第 3 章
符号与多项式运算
符号计算是指在运算时，无须事先对变量进行赋值，而是将所有得到的结果以标准的符
号形式表示。符号计算是以符号对象和符号表达式作为运算对象的表示方法，在运算过程中得
到的解析值是一个精确的数学表达式，它不会受到计算误差累积问题的影响，其计算命令较为
简单，相比数值计算的结果减少了占用资源。多项式是在符号表示的基础上建立的表达式，使
用 MATLAB 动态系统建模、仿真与分析时，常使用多项式表示。自动控制系统模型描述中的
传递函数均使用多项式描述，在此基础上对系统再进行仿真分析。
3.1 MATLAB 中的符号运算
符号运算与数值运算的区别是：数值运算中必须先对变量赋值才能参与运算。符号运算
无须事先对变量赋值，运算结果以标准的符号形式表示，即数值运算矩阵变量中不允许有未定
义的变量，而符号运算中可以含有未定义的符号变量。
3.1.1 符号变量与符号表达式
在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数，而排在后
面的字母表示变量。例如：
f(x)=ax2+bx+c
表达式中的 a,b,c 通常被认为是常数，用作变量的系数；而将 x 看作自变量。MATLAB 提
供了 sym()和 syms()两个建立符号对象的函数。
1．Sym()函数用法
Sym()函数用于建立单个符号对象，语法格式：
符号对象名=sym(A)
其中：
（1）A 为符号对象。它可以是数值常量、数值矩阵或数值表达式，不加单引号为一个符
第 3 章 符号与多项式运算 63
号常量；加单引号时，该符号对象为一个符号变量。
例如：
x=sym(a); y=sym('x'); z=sym('y'); %a 为符号常量，x、y 为符号变量
（2）当需要定义多个字符变量时，可添加需要变量的行数、列数，以生成多行多列的字
符变量矩阵，方法见【实战练习 3-2】。
（3）使用 sym()函数能够将数据的值进行精确的保留，不必担心计算的误差等问题。
例如：计算 1/123456×(4/5)时，分别使用下面两种方法，其结果精度不同。
d1=1/123456*(4/5)
d2=1/sym(123456)*(4/5)
结果分别为：
d1 = 6.4800e-06
d2 = 1/154320
2．syms函数用法
syms 函数用于一次定义多个符号变量，语法格式：
syms 符号变量名 1 符号变量名 2…符号变量名 n
其中：变量名不能加单引号，相互之间用空格隔开。
例如：要同时定义四个符号变量 a、b、c、d，则可以输入如下命令：
syms a b c d; 或 syms('a','b','c','d')
说明：
（1）syms()函数可以替换 sym()函数，定义符号变量的类型时可使用：syms x positive; 限
定 x 为正数，若要取消该限定，可用命令 syms x clear;
（2）syms 建立符号矩阵时，可在符号后添加行值和列值，使用方法见【实战练习 3-1】。
3．符号及操作
例如：
定义符号变量并建立符号表达式，命令如下：
x=sym('x'); y=sym('y'); z=sym('z');
a=[1,3,5]; b=[3,7,9]; c=[11,12,13];
Y=a*x+b*y+c*z
结果：
Y = [ x + 3*y + 11*z, 3*x + 7*y + 12*z, 5*x + 9*y + 13*z]
4．查找符号变量函数symvar()
语法格式：
symvar(f,n) %f 为符号表达式，n 为查找的符号变量个数，默认为查找所有符号变量
例如：
syms x y z a
f=2*x-3*y+z^2+5*a
symvar(f) %查找所有符号变量
64 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
symvar(f,1) %查找一个符号变量
symvar(f,3) %查找三个符号变量
结果：
[ a, x, y, z]
x
[ x, y, z]
【实战练习 3-1】建立符号矩阵
建立 3×4 的符号矩阵 A 和 2×3 的符号矩阵 B。
编程代码如下：
A=sym('a',[3 4])
syms B [2,3]
结果：
A =[a1_1, a1_2, a1_3, a1_4]
[a2_1, a2_2, a2_3, a2_4]
[a3_1, a3_2, a3_3, a3_4]
B =[B1_1, B1_2, B1_3]
[B2_1, B2_2, B2_3]
5．符号变量与符号表达式
语法格式：
F='符号表达式'
例如：F='sin(x)+5x'
说明：F为符号变量名，sin(x)+5x为符号表达式，' '为符号标识，符号表达式一定要用单
引号引起来MATLAB才能识别。引号内容既可以是符号表达式，也可以是符号方程。
例如：
f1='a∗x^2+b∗x+c' %二次三项式
f2= 'a∗x^2+b∗x+c=0' %方程
f3='Dy+y^2=1' %微分方程
符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便，也可以不赋给符号变量而直
接参与计算。
6．符号矩阵的创建
语法格式：
A=sym('[ ]')
说明：符号矩阵输入内容同数值矩阵，必须使用 sym 命令定义，且需用单引号（' '）
标识，若定义数值矩阵必须是数值，否则不能识别，例如：
A=[1,2;3,4]可以，但 A=[a,b;c,d] 则出错。应使用如下命令：
A = sym('[a,b;c,d]')
第 3 章 符号与多项式运算 65
结果：
A =[ a, b]
[ c, d]
符号矩阵每一行的两端都有方括号，这是与 MATLAB 数值矩阵的一个重要区别。若用字
符串直接创建矩阵，需保证同一列中各元素字符串有相同的维度。可以用 syms 先定义 a,b,c,d
为符号变量再建立符号矩阵，方法是：
syms a b c d
A=[a,b;c,d]
也可以使用：
A =['[a, b]'; '[c, d]']
3.1.2 符号基本运算
因为符号运算不需进行数值运算，不会出现误差，因此符号运算是非常准确的。符号运
算可以得出完全封闭解或任意精度的数值解，但符号运算的时间比数值运算速度慢。
1．符号算术运算
符号运算包括算术运算、关系运算、逻辑运算和因式分解运算等，算术运算与四则运算
的数值运算一样，用+、-、*、/、^运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式；关系运
算仅列出相应的关系表达式；逻辑运算结果还是逻辑值。
【实战练习 3-2】符号算术运算
定义符号表达式，进行算术与关系运算。
编程代码如下：
syms x y;
g1=x^2+2*x+1; %定义符号表达式
g2=3*x^2+7*x+10;
G1=g1+g2
G2=g1-g2
G3=g1.*g2
G4=g1/g2
G5=g1>=g2
结果：
G1 = 4*x^2 + 9*x + 11
G2 = - 2*x^2 - 5*x - 9
G3 = (x^2 + 2*x + 1)*(3*x^2 + 7*x + 10)
G4 = (x^2 + 2*x + 1)/(3*x^2 + 7*x + 10)
G5 = 3*x^2 + 7*x + 10 <= x^2 + 2*x + 1
2．符号关系运算与逻辑运算
（1）符号关系运算。
符号关系运算与数值关系运算一样，包括 6 种运算符：<、<=、>、>=、==、~=。
66 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
也可以使用对应的 6 个函数来实现：lt()、le()、gt()、ge()、eq()、ne()。
例如：
symsab c
a> b<c
结果：
ans =(b < a) < c
若参与运算的是符号，其结果是一个符号关系表达式；若参与运算的是符号矩阵，其结
果是由符号关系表达式组成的矩阵。
在进行符号对象运算前，可用 assume()函数对符号对象设置值域，语法格式：
assume(条件) 或 assume(表达式,集合) %设置表达式属于集合中，使用方法见
%【实战练习 3-4】
（2）符号逻辑运算。
常用的符号逻辑运算有 3 种：&（与）、|（或）、~（非）。
4 个逻辑运算函数分别为：and(a,b)、or(a,b)、not(a)和 xor(a,b)。
说明：符号逻辑运算的结果还是逻辑符号表达式，使用方法见【实战练习 3-3】。
【实战练习 3-3】符号的关系运算与逻辑运算
已知符号 x，先使用 assume()函数进行判断，如果 a 是一个正数，用 assume(a>0)进行判
断，则结果是 a；如果 a 是一个负数，用 assume(a<0)进行判断，则结果是-a。
编程代码如下：
syms x;
assume(x<0);
y1=abs(x)==x
assume(x,'positive')
y2=abs(x)==x
y3=x>0&x<10
y4=or(x<0,x>10)
结果：
y1 =-x == x
y2 =x == x
y3 =0 < x & x < 10
y4 =x < 0 | 10 < x
说明：因为 x<0，所以 abs(x)的值 y1 为-x；x 为整数，所以 abs(x)的值 y2 为 x。
3．符号替换函数subs()
使用符号定义了一个符号函数后，subs()函数可将符号函数中的一些符号替换成其他符号
或者其他数值类型。
语法格式：
subs(S, old, new)
第 3 章 符号与多项式运算 67
其中：符号表达式 S 可利用 new 中的符号或数值替换 old 中的符号。
例如：
f=x^2+y^2
f1=subs(f,y,3)
结果：
f1=x^2+9
【实战练习 3-4】符号表达式的替换
根据符号表达式 f(x,y)和 f，分别对下面两个多项式进行符号、数值和多数值替换操作。
ax22+ by
fxy(, )= ， f =++ax2 by c
c2
编程代码如下：
syms a b c x y m %定义符号运算变量
fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2 %生成符号函数
fxy1=subs(fxy,[a,b,c],[1,2,3]) %数值替换符号
f = a * x^2 + b * y + c; %原表达式
f1 = subs(f, [x y], [sin(x) log(y)]) %符号替换符号
f2 = subs(f, [a b], [2 3]) %数值替换符号
f3 = subs(f, a, 1: 4) %多数值替换符号
结果：
fxy = (a*x^2 + b*y^2)/c^2
fxy1 = x^2/9 + (2*y^2)/9
f1 = a*sin(x)^2 + c + b*log(y)
f2 = 2*x^2 + c + 3*y
f3 = [x^2 + c + b*y, 2*x^2 + c + b*y, 3*x^2 + c + b*y, 4*x^2 + c + b*y]
3.2 多项式表示
MATLAB 语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。
例如：
n n-1
P(x)=anx +an-1x +…+a0
多项式输入时，缺少项的向量系数的相应位置用零补足，在 MATLAB 中建立方法为：
P=[an+an-1+…+a0]
3.2.1 直接建立多项式
由于 MATLAB 自动将向量元素按降幂顺序分配给各系数，所有输入按照由高项系数到低
项系数依次输入并直接建立多项式，若中间有缺项需要添加零，例如：对于多项式
P(x)=x5+3x4+11x3+25x+36
P=[1 3 11 0 25 36]
68 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
3.2.2 使用函数建立多项式
1．使用sym2poly()函数建立多项式系数
sym2poly()函数将符号多项式转换为多项式系数，由高次项系数到低次项系数依次输出。
例如：
syms x;
sym2poly(7*x^3 +3*x^2- 5*x -18)
结果为：
7 3 -5 -18
2．使用poly2sym()函数建立符号多项式
poly2sym()函数把多项式系数转换为符号多项式。
例如：
sym x;
poly2sym([3 5 4],x);
结果：
ans =3*x^2+5*x+4
【实战练习 3-5】符号与多项式的转换
使用 sym2poly()与 poly2sym()函数完成符号与多项式的转换。
π 23
（1）生成表达式： ax=+++sin e x ln100i x 1 并计算；
6
（2）生成 3 次项的符号表达式 c；
（3）给定系数【1，-1，-3】生成符号表达式 d。
编程代码如下：
syms x c1 c2 c3 c4
a=sym2poly(sin(pi/6)*x + exp(1)*x^2+log(100)*x^3+1)
b = [c1 c2,c3,c4]
c = poly2sym(b)
d = poly2sym([-1,1,-30])
结果：
a = 4.6052 2.7183 0.5000 1.0000
b = [c1, c2, c3, c4]
c = c1*x^3 + c2*x^2 + c3*x + c4
d = - x^2 + x - 30
3.3 多项式运算
多项式是一个式子，可以包含数字、变量和运算符号，是代数学中的基础概念。多项式
运算除多项式加、减、乘、除运算外，还包括多项式提取、分解、展开、合并同类项等操作。
第 3 章 符号与多项式运算 69
3.3.1 多项式加、减运算
多项式加、减运算就是其相同幂次系数向量的加、减运算，幂次相同的多项式直接对向
量系数进行加、减运算，若两个多项式幂次不同，在低次多项式中不足的高次多项式用零补足，
再进行加、减运算。
【实战练习 3-6】多项式加、减运算的应用
已知 p1=3x3+5x2+7，p2=2x2+5x+3，请计算：P1=p1+p2 和 P2=p1-p2 并转换为符号表达
式。
编程代码如下：
p1=[3 5 0 7]; p2=[0 2 5 3];
P1=p1+p2 ；
P2= p1-p2；
p3=poly2sym(P1)
p4=poly2sym(P2)
结果：
p3 = 3*x^3 + 7*x^2 + 5*x + 10
p4 = 3*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 4
加、减运算直接加入加、减运算符即可完成。
3.3.2 多项式乘、除运算
多项式乘、除运算是一个复杂的过程，使用 MATLAB 提供的函数就异常简单，语法格式：
k=conv(p,q) %多项式相乘
[q,r]=deconv(a,b) %多项式相除，q 为多项式的商，r 为多项式的余数
【实战练习 3-7】多项式的乘、除运算的应用
已知 a=6x4+2x3+3x2+12，b=3x2+2x+5，求 c=a*b，d=a/b。
编程代码如下：
a=[6 2 3 0 12 ]; b=[3 2 5];
c=conv(a,b);
[d,r]=deconv(a,b);
C=poly2sym(c)
d=poly2sym(d)
r=poly2sym(r)
结果：
C=18*x^6+18*x^5+43*x^4+16*x^3+51*x^2+24*x+60
d=2*x^2-(2*x)/3-17/9
r=(64*x)/9+193/9
说明：多项式相乘就是两个代表多项式的行向量的卷积，两个以上多项式相乘，conv 命
令使用嵌套。
70 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
例如：计算表达式 a×b×c 时，命令为 conv(conv(a,b),c)。
3.3.3 多项式分解、展开与提取
1．多项式分解与展开
语法格式：
F=factor(f) %对 f 多项式进行因式分解，也可用于正整数的分解
F=expand(f) %对多项式 f 展开
F=collect(f) %对于多项式 f 中相同变量且幂次相同项合并系数，即合并同类项
F=collect(f,v) %按变量 v 进行合并同类项
2．提取多项式的分子和分母
如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用 numden()函数提
取符号表达式中的分子或者分母，语法格式：
[n,d]=numden(s) %n 表示分子，d 表示分母
【实战练习 3-8】多项式分解与展开的应用
对 f 多项式及常数 y 进行分解并展开显示。
编程代码如下：
syms x;
f=x^9-1; f=factor(f)
y = 2025;
y1=factor(y)
y2 = factor(sym(y))
y3=poly2sym(y2)
结果：
f=[x-1,x^2+x+1,x^6+x^3+1]
y1=3 3 3 3 5 5
y2=[3,3,3,3,5,5]
y3=3*x^5+3*x^4+3*x^3+3*x^2+5*x+5
【实战练习 3-9】提取多项式的分子和分母
已知多项式 g1、g2，提取 g1 和 g2 多项式的分子和分母。
编程代码如下：
syms x y;
g1=x^2+2*x+1; g2=3*x^2+7*x+10; G=g1/g2;
[n,d]=numden(G)
结果：
n = x^2 + 2*x + 1
d = 3*x^2 + 7*x + 10
【实战练习 3-10】提取与展开三角函数多项式
展开三角函数多项式，并对展开的多项式提取其系数及变量。
第 3 章 符号与多项式运算 71
编程代码如下：
syms x y z;
f = sin(2*x)+cos(2*y) ;
f1 = expand(f)
f0 = (z+1)^8; f2 = expand(f0)
[p,x1]=coeffs(f2,'z')
结果：
f1 = 2*cos(x)*sin(x) + 2*cos(y)^2 - 1
f2 = z^8 + 8*z^7 + 28*z^6 + 56*z^5 + 70*z^4 + 56*z^3 + 28*z^2 + 8*z + 1
p = [ 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1]
x1= [ z^8, z^7, z^6, z^5, z^4, z^3, z^2, z, 1]
【实战练习 3-11】合并同类项的应用
已知 g1、g2 的符号表达式，先计算它们的积和商，再合并同类项。
编程代码如下：
g1=sym('x^2+2*x+1'); g2=sym('x+1');
G1=g1*g2
G2=g1/g2
R1=collect(G1) %按符号合并同类项
R2=collect(G2)
结果：
G1 = (x + 1)*(x^2 + 2*x + 1)
G2 = (x^2 + 2*x + 1)/(x + 1)
R1 = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1
R2 = x + 1
说明：针对符号乘、除运算可以使用 collect( )函数合并结果。
3.3.4 多项式化简
多项式化简语法格式：
simplify(S)； %对表达式 S 进行化简
【实战练习 3-12】化简并计算简单多项式
化简下列表达式：
abc444
w1 =++
()()abac−−()() bcba −−()() cacb −−
wxx22sincos= () ()
编程代码如下：
syms a b c x;
w1= a^4/((a-b)*(a-c))+b^4/((b-c)*(b-a))+c^4/((c-a)*(c-b));
w2=2*sin(x)*cos(x);
w11=simplify(w1)
w22=simplify(w2)
72 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
结果：
w11=a^2 + a*b + a*c + b^2 + b*c + c^2
w22=sin(2*x)
【实战练习 3-13】化简并计算复杂多项式
化简下列多项式：
fx1( )= e cab*log +
3 1612
fx2( )=+++ 8
xx32x
f 3(xxx )=+ sin22 ( ) cos ( )
编程代码如下：
syms a b c x;
f1= exp(c*log(sqrt(a+b))); f2=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
f3 = sin(x)^2 + cos(x)^2 ;
y1 = simplify(f1);y2 = simplify(f2) ;y3= simplify(f3)
结果：
y1 = (a + b)^(c/2)
y2 = ((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)
y3 = 1
3.3.5 表达式之间的转换
符号表达式与数值表达式之间的转换函数包括：
（1）利用函数 sym()可以将数值表达式转换成符号表达式。
（2）使用 eval()函数可以将符号表达式转换成数值表达式并计算。
例如：将符号表达式转换成数值表达式并计算。
s='sin(pi/4)+(1+sqrt(5))/2 '
b=eval(s)
结果：
s = sin(pi/4)+(1+sqrt(5))/2
b = 2.3251
【实战练习 3-14】多项式替换的应用
设 w1=((a+b)(a-b))2，在 w1 表达式中，使用 3 替换字符 a，使用 1、2 分别替换字符 a、b。
编程代码如下：
syms a b;
w1 = ((a+b)*(a-b))^2
w2 = subs(w1,a,3)
w3 = subs(w1,[a,b],[1,2])
结果：
第 3 章 符号与多项式运算 73
w1 = (a + b)^2*(a - b)^2
w2 = (b - 3)^2*(b + 3)^2
w3 = 9
3.3.6 复合函数与反函数
若 f=f(x)，自变量又是 x 的函数 g=g(y)，求 f 对 y 的过程称为复合函数。
若 y=f(x)，自变量又是 x 的函数 g=g(y)，对于 g(f(x))都有唯一确定的 x，则计算 g(f(x))=x
称为反函数。
语法格式：
compose(f,g) %返回 f=f(x),g=g(y)，复合函数 f(g(y))的运算。
g=finverse(f) %f 为符号函数表达式，g 为反函数，x 为单变量
【实战练习 3-15】复合函数及反函数的应用
已知：f=cos(x/t)；y=sin(y/g)；求 f(y)及反函数。
编程代码如下：
syms x y g t;
f=cos(x/t); y=sin(y/g);
x1=compose(f,y)
f=log(x);
x2=finverse(f)
结果：
x1 = cos(sin(y/u)/t)
x2 = exp(x)
3.3.7 分数多项式通分
分数多项式通分的语法格式：
[N,D]=numden(f) %f 为分数多项式
说明：对分数多项式 f 通分，N 为通分后的分子，D 为通分后的分母。
【实战练习 3-16】分数多项式通分计算的应用
xy+−35
已知： fx()=+ ，完成通分计算。
y + 2 x2 +1
编程代码如下：
syms x y;
f = (x+3)/(y+2)+(y-5)/(x^2+1);
[N,D]=numden(f)
结果：
N = x^3 + 3*x^2 + x + y^2 - 3*y - 7
D = (x^2 + 1)*(y + 2)
74 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
3.4 多项式求解（多项式方程求解）
多项式与多项式方程的区别是：令多项式为零就是多项式方程，因此求多项式的解也是
求多项式方程的解。MATLAB 中多项式方程求解主要使用 roots()函数，其返回值包含了多项
式参数的所有实数和虚数解；使用 solve()函数主要用于求解多项式方程符号解；使用 polyval()
函数用于求多项式数值解。本节包括高次方程数值解、符号方程求解、微分方程求解及数据
拟合。
3.4.1 多项式的特征值（多项式的解）
求多项式的解的语法格式：
r=roots(p)
使用命令 roots 可以求出多项式等于零的根，即该命令可以用于求高次方程的解。根用列
向量表示。
3.4.2 特征多项式系数
求多项式系数的语法格式：
p=poly (r)
若已知多项式等于零的解，可使用 poly 命令求出相应多项式系数。
说明：
（1）特征多项式一定是 n+1 维的。
（2）特征多项式第一个元素一定是 1。
（3）若要生成实系数多项式，则根中的复数必定对应共轭，生成的多项式向量包含很小
的虚部时可用 real 命令将其过滤掉。
【实战练习 3-17】求多项式的解及多项式系数
求方程 x4-12x 3+25x-16=0 的解，并根据解构造多项式系数。
编程代码如下：
p=[1 -12 0 25 -16];
r=roots(p)
r1=real(r)
p=poly(r)
结果：
r = 11.8311 + 0.0000i
-1.6035 + 0.0000i
0.8862 + 0.2408i
0.8862 - 0.2408i
r1= 11.8311
-1.6035
第 3 章 符号与多项式运算 75
0.8862
0.8862
p = 1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 -16.0000
3.4.3 方程与方程组的符号解
求方程与方程组的符号解的语法格式：
solve(eq1, [x, y]) %使用 solve()函数时，需要先定义变量为符号变量。
其中：eq1 是方程或方程组，[x,y]参数是未知数的符号变量。solve()函数返回的是一个结
构体数组，每个元素对应一个符号解。
【实战练习 3-18】求方程及方程组的数值解
已知：一元三次方程 x3+x2+x+1=0 和二元方程组
xy+=1
24xy−=
分别求数值解。
编程代码如下：
（1）求一元方程解：
syms x syms x
f=x^3+x^2+x+1==0; 或 f1=x^3+x^2+x+1;
x=solve(f,x) x=solve(f1)
也可以使用句柄求解：
f = @(x) x.^3 + x.^2 + x +1;
x1 = solve(f,x)
结果：
x = -1
-1i
1i
（2）求二元方程解：
syms x y
syms x y
[x,y]=solve(x+y-1,2*x-y-4)
[x,y]=solve(x+y==1,2*x-y==4,x,y) 或
结果：
x = 5/3
y = -2/3
【实战练习 3-19】求微分方程的符号解
已知范德瓦尔斯气体的三个临界参量：
aPP ∂∂2
PVbRT+−=() ，， =00 =
VV22∂V ∂
T T
求 PVccc,, T的值。
76 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
编程代码如下：
clc;clear all;
syms a b R T V
P = R*T/(V-b) - a/V^2
D1 = diff(P,V)
D2 = diff(D1,V)
S = solve(D1,D2,V,T)
Pc = subs(P,[V,T],[S.V,S.T])
Vc = S.V
Tc = S.T
结果：
Pc = a/(27*b^2)
Vc = 3*b
Tc = (8*a)/(27*R*b)
【实战练习 3-20】求方程组的符号解
ax−= by 1
已知 ，求方程组的符号解。
{ax+= by 5
a,b,x,y 均为符号运算量。在符号运算前，应先将 a,b,x,y 定义为符号运算量。
编程代码如下：
syms a b x y;
[x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y) %以 a,b 为符号常数，x,y 为符号变量
结果：
x =3/a
y =2/b
【实战练习 3-21】求复数乘积多项式的解
已知一个复数表达式为：z=x+i*y，试求其共轭复数，并求该表达式与其共轭复数乘积的
多项式。
为了使乘积表达式 x2+y2 非负，这里把变量 x 和 y 定义为实数。
编程代码如下：
x=sym('x','real'); %x 为实数
y=sym('y','real'); %y 为实数
z=x+i*y; %定义复数表达式
z1=conj(z) %求共轭复数
z2=expand(z*conj(z)) %求表达式与其共轭复数乘积的多项式
[a,b]=solve(z2)
结果：
z1 =x - y*1i
z2 =x^2 + y^2
a= 0
b= 0
第 3 章 符号与多项式运算 77
说明：若要去掉 x 的属性，可以使用下面的语句：
x = sym('x', 'unreal') %表示将 x 创建为纯格式的符号变量
3.4.4 多项式数值解
在 MATLAB 中，多项式在某个参数下的求值用 polyval()函数，其功能是求多项式在给定
参数下的值。
语法格式：
polyval(p,n) %返回多项式 p 在 n 点的值
利用多项式求值函数可以求得多项式在某一点的值。
例如：求方程 y=-0.0602x2+1.7020x+0.3096 在 x 等于 0，0.2，…，5 时的函数值。
p = [-0.0602,1.702, 0.3096];
xi = linspace(0,1,6);
z = polyval(p,xi)
结果：
z = 0.3096 0.6476 0.9808 1.3091 1.6327 1.9514
说明：p 代表的多项式在 xi 的每一个元素处的值，x 可以是一个向量或矩阵。
【实战练习 3-22】求多项式指定的数值解
求多项式 p=3x4+8x3+18x2+16x+15 在 x=[1,2,3,4,5]的解。
编程代码如下：
p1=[3,8,18,16,15];
x=[ 1,2,3,4,5]
p=polyval(p1,x)
结果：P= 60 231 684 1647 34203
3.4.5 多项式拟合
多项式拟合是一种数学技术，实际应用中可以用来拟合多种类型的数据，例如统计数据、
科学数据和经济数据等。多项式拟合的基本原理是使用一组多项式函数来拟合一组数据，以便
更好地理解数据变化趋势。
语法格式：
y=polyfit(x,y,n) %拟合唯一确定 n 阶多项式的系数
其中：n 表示多项式最高阶数，x、y 为将要拟合的数据，它是用数组的方式输入，输出
n n-1
参数 y 为拟合多项式 y=anx +an-1x +…+a1x+a0，共 n+1 个系数。n=1 为拟合直线；polyfit 只
适合形如 y = a[k]*x^k + a[k-1]*x^(k-1) +… + a[1]*x + a[0]的完全一元多项式数据拟合。
【实战练习 3-23】温度值的直线拟合
使用多项式拟合函数拟合深圳 2023 年 3 月 18 日一天从 12 点到 19 点温度为直线。
78 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
时间：12 点—19 点每隔 1 个小时采集一
次温度如下。
温度：25℃，24℃，24℃，25℃，24℃，
23℃，23℃，22℃。
编程代码如下：
clc;
x=12:19;
y=[25,24,24,25,24,23,23,22];
a=polyfit(x,y,1)
y1=polyval(a,x);
plot(x,y,'bp',x,y1,'r-');
温度直线拟合
title(" ");
多项式拟合直线如图 3.1 所示。 图 3.1 多项式拟合直线
【实战练习 3-24】求多项式的 2 阶和 4 阶拟合
对 2 阶多项式 x2+x-30 分别进行 2 阶和 4 阶拟合。
编程代码如下：
x=-5:0.5:5;
R=sqrt(2*x.^2);
y=x.^2-x-30;
a=polyfit(x,y,2); %2 阶拟合
b=polyfit(x,y,4); %4 阶拟合
y1=polyval(a,x);
y2=polyval(b,x);
subplot(1,2,1);plot(x,y,'bp',x,y1,'r-');
title("多项式 x^2-x-30 的 2 阶拟合");
subplot(1,2,2);plot(x,y,'bp',x,y2,'r-');
title("多项式 x^2-x-30 的 4 阶拟合");
2 阶和 4 阶多项式拟合曲线如图 3.2 所示。
图 3.2 2 阶和 4 阶多项式拟合结果曲线
第 3 章 符号与多项式运算 79
【实战练习 3-25】求多项式的曲线拟合
设数组 y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]，在横坐标 0~1 对 y 进
行 2 阶多项式拟合，并画图表示拟合结果。
编程代码如下：
y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];
x=0:0.1:1;
y1=polyfit(x,y,2); %进行 2 阶拟合
z=polyval(y1,x); %计算 y1 为系数向量对 x 点的函数值
plot(x,y,'r*',x,z,'b-') ; %“*”为原数据点，曲线为拟合结果
结果：
2 阶多项式拟合曲线如图 3.3 所示。
plot()函数使用方法见 6.1 节。
图 3.3 2 阶多项式拟合结果曲线
3.5 多项式求导
多项式求导是在数学中常见的一种操作，它可以计算出多项式的导函数。计算多项式的
导函数时，需要对每一项分别进行求导，并 根据求导规则将各项相加即可得到导函数。由于多
项式是连续函数，它是平滑的，其导数必定也是多项式。
3.5.1 多项式直接求导数
多项式直接求导数的语法格式：
k=polyder(p): %返回多项式 p 的 1 阶导数系数
k=polyder(p,q): %返回多项式 p 与 q 乘积的 1 阶导数系数
[k,d]=polyder(p,q): %返回 p/q 的导数，k 是分子，d 是分母
80 MATLAB 编程实战——手把手教你掌握 300 个精彩案例
【实战练习 3-26】多项式求导的应用
已知 p1=3x3+5x2+7，p2=2x2+5x+3，求 p1 导数、p1 与 p2 乘积和 p1 与 p2 商的导数。
编程代码如下：
clc;
p1=[3 5 0 7]; p2=[0 2 5 3];
pp1=polyder(p1)
pp2=polyder(p1,p2) %等价 pp2=polyder(conv(p1,p2))
disp("多项式 p1 的导数");
poly2sym(pp1)
disp("多项式 p1 与 p2 乘积的导数");
poly2sym(pp2)
结果：
pp1 = 9 10 0
pp2 = 30 100 102 58 35
多项式 p1 的导数
ans= 9*x^2 + 10*x
多项式 p1 与 p2 乘积的导数
ans= 30*x^4 + 100*x^3 + 102*x^2 + 58*x + 35
3.5.2 插值、拟合多项式并求导
当已知函数在一些离散点上的函数值时，该函数可用插值或拟合多项式来近似，然后对
多项式进行微分求得导数，函数求导主要是研究函数值随自变量变化而变化的趋势。
语法格式：
polyfit(x-xn,y ,length(x)-1); %xn 表示 x 某一点的值
【实战练习 3-27】插值、拟合多项式并求导数
通过实验测试，得到某数据集合为：
X： 0~5
Y： 0.3200 0.5720 0.7012 0.8132 0.9013 0.9616
要求：计算 x= 5 处的各阶导数。
编程代码如下：
clc;clear;
x=0:5;
y=[0.3200 0.5720 0.7012 0.8132 0.9013 0.9616]; %原数据点
xn=3; %指定坐标点
L=length(x); %得到数据长度
dd=polyfit(x-xn,y,L-1); %进行多项式拟合，(x-xn,y)为坐标,(L-1)为长度
fact=[1];
for k=1:L-1;
fact=[factorial(k),fact]; %进行微分求导数
end
第 3 章 符号与多项式运算 81
diffder=dd.*fact %计算拟合点
plot(x,y,"b*",x,diffder); %“*”号为原数据点，曲线为拟合多项式导数
结果为：
diffder = 0.1151 0.0028 -0.0341 -0.0241 0.1048 0.8132
原数据点与拟合多项式求导结果如图 3.4 所示。
图 3.4 原数据点与拟合多项式求导结果