5.1 教 学 目 标 
（1）掌握概率论在不确定性推理中的应用。 
（2）能够建立贝叶斯网络模型，能够进行贝叶斯网络的精确求解。 
（3）能够应用蒙特卡洛采样方法计算概率，包括拒绝采样方法、似然加权采样方法、 
Gibbs 采样方法等。 
（4）能够分析研究不同的计算方案的特点。 
5.2 实验内容与任务 
三支足球队 A、B、C 两两之间各赛一场，总共需要赛三场，分别是 A 对 B、A 对 
C、B 对 C。对一支球队来说，一场比赛的结果可能是胜、平、负之一。假设每场比赛 
的结果以某种概率取决于两队的实力，而球队实力为一个 0～3 的整数。现已知前两场 
比赛结果是 A 战胜了 B，A 和 C 战平，请预测最后一场比赛 B 对 C 的结果。 
5.3 实验过程及要求 
（1）实验环境要求：Windows/Linux 操作系统，Python 编译环境，numpy、random 
等程序库。 
（2）建立足球比赛的贝叶斯网络，设置贝叶斯网络的条件概率表。 
（3）分别实现精确求解方法、拒绝采样方法、似然加权采样方法、Gibbs 采样方法， 
获得 B 对 C 比赛结果的后验分布。 
（4）调整采样次数，观测几个近似方法相对于精确解的差距。 
（5）撰写实验报告。
5.4 相关知识及背景 
不确定性推理利用概率论知识来处理状态和采取的行为。通过完全联合概率分布可 
以计算多个变量的任何分布问题，但是当变量过多时，计算量是巨大的，最后可能多到 
不可操作。实际问题中，如果变量之间存在独立关系或者条件独立关系，则计算概率分 
布时的计算量要小很多。应用贝叶斯网络模型来表示变量之间的依赖关系，是进行不确 
定性推理的重要方法。 
应用贝叶斯网络模型，进行概率分布的精确计算依然可能有较大的计算量，此时可 
以用采样的方法完成计算。当然采样计算是一种近似计算，但当采样规模足够大时，计 
算结果逼近精确结果。 
5.5 实验教学与指导 
5.5.1 贝叶斯网络 
记三队的实力为 XA、XB、XC，其先验分别满足分布 PA(X)、PB(X)、PC(X)，其 
中 X 取值 0、1、2、3。一场比赛结果与队伍实力的关系的表现为条件分布，如 P(sAB|XA, 
XB)，其中 sAB 是 A 队对战 B 队时 A 队的结果，假设胜、平、负分别用 0、1、2 表示。 
根据实力和比赛结果的关系，构建贝叶斯网络（图 5.1）。实验任务为求 P(sBC|sAB = 
0, sAC = 1)。 
图 5.1 比赛问题的贝叶斯网络 
假设在足球比赛问题中，XA、XB、XC 结点的条件概率表 PA、PB、PC 分别是： 
1 PA =[0.3 ,0.3 ,0.2 ,0.2] 
2 PB =[0.4 ,0.4 ,0.1 ,0.1] 
3 PC =[0.2 ,0.2 ,0.3 ,0.3] 
31
因为实验中比赛结果取决于实力，因此 sAB, sAC, sBC 共享一个条件概率表 PS， 
即 
1 PS=\ 
2 [[[0.2 ,0.6 ,0.2] ,[0.1 ,0.3 ,0.6] ,[0.05 ,0.2 ,0.75] ,[0.01 ,0.1 ,0.89]] , 
3 [[0.6 ,0.3 ,0.1] ,[0.2 ,0.6 ,0.2] ,[0.1 ,0.3 ,0.6] ,[0.05 ,0.2 ,0.75]] , 
4 [[0.75 ,0.2 ,0.05] ,[0.6 ,0.3 ,0.1] ,[0.2 ,0.6 ,0.2] ,[0.1 ,0.3 ,0.6]] , 
5 [[0.89 ,0.1 ,0.01] ,[0.75 ,0.2 ,0.05] ,[0.6 ,0.3 ,0.1] ,[0.2 ,0.6 ,0.2]]] 
PS 是一个 4 × 4 × 3 的表，PS[i][j] 是一个比赛结果的分布，表示参赛两队的实力 
为 i、j 时比赛结果的分布。 
5.5.2 精确算法 
贝叶斯网络的联合分布概率计算公式为 
P(x1, x2, · · · , xn) = 
n Πi=1 
P(xi|Parent(xi)) (5.1) 
应用条件概率、边缘概率及联合分布率计算公式为 
P(sBC|sAB = 0, sAC = 1) 
= αP(sBC, sAB = 0, sAC = 1) (5.2) 
= α 
3 Σ XA=0 
3 ΣXB=0 
3 Σ XC=0 
P(sBC, sAB = 0, sAC = 1,XA,XB,XC) (5.3) 
= α 
3 Σ XA=0 
3 ΣXB=0 
3 Σ XC=0 
P(sBC|XB,XC)P(sAB = 0|XA,XB) 
P(sAC = 1|XA,XC)PA(XA)PB(XB)PC(XC) (5.4) 
利用条件概率表，则精确计算方法为： 
1 def direct_cal (): 
2 res=[0,0,0] 
3 for XA in range (4): 
4 for XB in range (4): 
5 for XC in range (4): 
6 for sBC in range (3): 
7 res[sBC] += PA[XA]*PB[XB]*PC[XC]\ 
8 *PS[XA][XB ][0]\ 
9 *PS[XA][XC ][1]\ 
32
10 *PS[XB][XC][sBC] 
11 return normal(res) # normal(X)=X/sum(X) 将计数变成概率 
5.5.3 拒绝采样方法 
5.5.2节给出的精确算法的计算式包括多层累加，当变量较多时，计算复杂性是指数 
级的。蒙特卡洛算法通过采样的方式，给出近似解，能降低算法的复杂性。拒绝采样方 
法按贝叶斯网络结点的顺序对所有变量进行采样，获得一个事件。经过 N 次采样后，对 
所有采样事件进行统计，获得查询结果。 
1 def reject_sampling (): 
2 n=5000 
3 res=[0,0,0] 
4 for i in range(n): 
5 XA=np.random.choice(4,p=PA) 
6 XB=np.random.choice(4,p=PB) 
7 XC=np.random.choice(4,p=PC) 
8 sAB=np.random.choice(3,p=PS[XA][XB]) 
9 sAC=np.random.choice(3,p=PS[XA][XC]) 
10 sBC=np.random.choice(3,p=PS[XB][XC]) 
11 i f sAB ==0 and sAC ==1: 
12 res[sBC ]+=1 
13 return normal(res) 
5.5.4 似然加权采样方法 
拒绝采样方法最后统计的是出现证据 sAB = 0 且 sAC = 1 的样本点，其他的被拒 
绝，因此造成计算浪费。似然加权方法固定证据变量，只对非证据变量进行采样。然而 
每个事件与证据有不同的吻合程度，在计数时须被考虑，因此对证据变量计算权值，最 
后算到结果中。 
1 def likehood_weighting (): 
2 n=5000 
3 res =[0 ,10 ,0] 
4 for i in range(n): 
5 w=1 
6 XA=np.random.choice(4,p=PA) 
7 XB=np.random.choice(4,p=PB) 
8 XC=np.random.choice(4,p=PC) 
9 
10 w=w*PS[XA][XB][0] # sAB 加权 
33
11 w=w*PS[XA][XC][1] # sAC 加权 
12 
13 sBC=np.random.choice(3,p=PS[XB][XC]) 
14 res[sBC ]+=w 
15 return normal(res) 
5.5.5 Gibbs 采样方法 
Gibbs 采样从一个初始样本出发，每次更改一个非证据变量形成一系列的采样点， 
然后对查询变量进行统计。采样一个非证据变量时，以其马尔可夫覆盖为条件进行 
采样。 
1 def Gibs(): 
2 n=4999 
3 res=[0,0,0] 
4 XA ,XB ,XC ,sAB ,sAC ,sBC=0,0,1,0,1,1 
5 for k in range(n): 
6 _PA=normal ([PA[i]*PS[i][XB][sAB]*PS[i][XC][sAC] \ 
7 for i in range(4)]) 
8 XA=np.random.choice(4,p=_PA) 
9 
10 _PB=normal ([PB[i]*PS[XA][i][sAB]*PS[i][XC][sBC] \ 
11 for i in range(4)]) 
12 XB=np.random.choice(4,p=_PB) 
13 
14 _PC=normal ([PC[i]*PS[XA][i][sAC]*PS[XB][i][sBC] \ 
15 for i in range(4)]) 
16 XC=np.random.choice(4,p=_PC) 
17 
18 sBC=np.random.choice(3,p=PS[XB][XC]) 
19 res[sBC ]+= 1 
20 return normal(res) 
5.6 实验报告要求 
实验报告须包含实验任务、实验平台、实验原理、实验步骤、实验数据记录、实验 
结果分析和实验结论等部分，特别是以下重点内容。 
（1）正确建立比赛问题的贝叶斯网络模型。 
（2）实现精确求解方法、拒绝采样方法、似然加权采样方法、Gibbs 采样方法。 
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（3）分析各种算法的时间复杂性，分析近似方法相对于精确解的差距。 
（4）对各种算法的优缺点进行分析。 
5.7 考核要求与方法 
实验总分 100 分，通过实验报告进行考核，标准有如下 3 点。 
（1）报告的规范性 10 分。报告中的术语、格式、图表、数据、公式、标注及参考 
文献是否符合规范要求。 
（2）报告的严谨性 40 分。结构是否严谨，论述的层次是否清晰，逻辑是否合理，语 
言是否准确。 
（3）实验的充分性 50 分。实验是否包含“实验报告要求”部分的 4 个重点内容，数 
据是否合理，是否有创新性成果或独立见解。 
5.8 案例特色或创新 
本实验的特色在于：培养学生应用概率论的知识进行推理，建立了足球比赛问题 
的贝叶斯网络模型，要求学生使用精确求解方法、拒绝采样方法、似然加权采样方法、 
Gibbs 采样方法进行贝叶斯网络的近似计算，培养学生应用贝叶斯网络对复杂问题进行 
建模和分析计算的能力。 
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