第5章 视频 CHAPTER 5 直流动态电路的分析 本章主要内容： 电路中常用的元件除了电阻元件之外，还有电容元件和电感元件。这两种元件为动态元件，含有动态元件的电路称为动态电路。在动态电路中，描述激励响应关系的数学方程是微分方程。 本章首先介绍电容元件、电感元件，然后应用微分方程理论，从微分方程出发对一阶电路和二阶电路过渡过程进行分析。主要内容有一阶RC、RL电路的零输入响应、零状态响应、完全响应，二阶RLC串联电路的零输入响应，二阶RLC串联电路和GCL并联电路的完全响应。 5.1动态元件 在电路分析中通常将电路中的独立源称为激励，在激励或元件内部储能作用下所产生的电压或电流称为响应。习惯上，电阻元件和直流电源构成的电路称为电阻电路。电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的激励有关，与过去的激励无关，因此电阻电路是“无记忆”功能的，或者说是“即时”的。电容元件和电感元件的伏安特性是微分或积分关系，称为动态元件。电路模型中出现动态元件的原因： 一是在实际电路中为了能够实现某种功能，有意接入电容器、电感器等器件； 二是当信号变化很快时，一些实际器件已不能再用电阻模型来表示。 知识点 5.1.1电容元件 电容元件简称电容，是电路的基本元件，是实际电容器的理想化模型，表征电容器的主要物理特性。 电容器种类很多，构成原理基本相同，是由两个金属极板间隔以不同介质所组成的。按介质材料分有瓷片电容器、云母电容器、电解电容器等； 按极板形状分有平板电容器、圆柱形电容器等。当两个极板与电源两端相连，电容器的两个极板分别存储等量的异性电荷，电子充满极板间的介质，形成电场，储存有电场能量，当电源移去后，绝缘介质不能中和电荷，能量能够继续保存，所以电容器为储能元件，广泛应用于电力、电子、通信等领域，起滤波、隔直、去噪等作用。 在任意时刻t，电容元件的电荷q(t)和电压uC(t)之间的关系可以用quC平面上的一条曲线来确定，q(t)和uC(t)分别为电荷和电压的瞬时值，如果quC平面上的特性曲线是一条过原点的直线，且不随时间而变化，此电容元件称为线性时不变电容元件。 线性时不变电容元件的电路符号如图51所示。两极板之间的电压与极板上储存的电荷之间满足线性关系： q(t)=CuC(t)或C=q(t)uC(t)(51) 式中： C为正值，它是用来度量特性曲线斜率的，表示电容元件的参数，称为电容(量)，表征电容元件储存电荷的能力。在国际单位制中，电容C的单位为法拉（简称法），用F表示。当电容两端充上1V的电压时，极板上若储存了1C的电量，则该电容的值为1F。在实际应用中，电容的单位法拉太大，常用微法(μF)和皮法(pF)，其换算关系是1μF=10－6F，1pF=10－12F。 当C为常数时，称为线性电容； 当C不为常数时，称为非线性电容。C随时间变化，称为时变电容； 否则，称为时不变电容。如无特别说明，本书讨论的均为线性时不变电容。 图51电容元件符号 1.电容元件的伏安关系 当电容元件两端的电压随时间变化时，极板上存储的电荷量随之变化，和极板相接的导线中就有电流。对于线性时不变电容，若uC、iC的参考方向是如图51(a)所示的关联参考方向时，则电容的伏安关系式为 iC(t)=dq(t)dt=dCuC(t)dt=CduC(t)dt（52a） 对该式积分有 uC(t)=1C∫t－∞iC(τ)dτ(52b) 若uC、iC的参考方向是非关联参考方向，则有 iC(t)=－CduC(t)dt 式(52)表明： 在某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。电容元件的电压与电流具有动态关系，是动态元件。 (1) 当电容上的电压发生剧变时，将会有非常大的电流流过电容。在实际电路中，通过电容的电流总为有限值，这意味着duCdt必须为有限值，也就是说，电容两端电压uC必定是时间t的连续函数而不能跃变。 (2) 在直流电路中，由于电压不随时间变化，电容元件的电流为零，故电容元件相当于开路。电容元件有隔断直流的作用。 由式(52)可得电容上的电压为 uC(t)=1C∫t－∞iC(τ)dτ=uC(t0)+1C∫tt0iC(τ)dτ(53) 式中： uC(t0)为在t=t0时电容上的电压。 式(53)表明： 在某一时刻t，电容电压的数值不仅取决于该时刻的电流值，而且取决于从-∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流的“全部过去历史”有关，因此说电容电压有“记忆”电流的性质，电容是一种“记忆元件”。通常研究问题总有一个起点，对此之前电容电流的情况不必了解，所以只需知道某一初始时刻t0电容的初始电压值uC(t0)及t0后电容的电流情况，即可确定t0后电容的电压。 电容电压具有连续性，即若电容电流iC(t)在闭区间ta，tb内为有界的，则电容电压uC(t)在开区间(ta，tb)内为连续的。对任意时间t，且tawC(t1)时，电容吸收能量，即电容充电； 当wC(t2)0表示电容吸收功率，pC(t)<0表示电容发出功率，两部分面积相等，说明电容元件不消耗功率，只与电源进行能量交换。 根据式(57)可求得电容元件的储能表达式为 wC(t)= 0，t≤0 2t2，0≤t<1 2(t－2)2，1≤t<2 0，t≥2 电容元件储能的波形如图52(e)所示。 图52例51电路及波形 3. 电容元件的连接 使用电容不仅要看电容量是否符合需要，而且必须注意它的额定工作电压是多少。额定工作电压称为耐压。如果电容的实际电压超过额定电压太多，其介质会被击穿而导电，电容也就失去容纳电荷的功能。当 电容的大小或耐压不符合要求时，可以把两个或两个以上的电容以适当的方式连接起来，得到电容和耐压符合要求的等效电容。 知识点 1) 电容元件的串联 图53(a)为两个电容元件串联的电路。电容串联时，各电容的电流相等。根据电容元件的伏安关系，有 u1(t)=1C1∫t－∞i(τ)dτ，u2(t)=1C2∫t－∞i(τ)dτ 图53电容元件的串联 根据KVL，串联电路的总电压等于两个电容电压之和，有 u(t)=u1(t)+u2(t) =1C1∫t－∞i(τ)dτ+1C2∫t－∞i(τ)dτ =1C1+1C2∫t－∞i(τ)dτ (58) 图53(b)中，根据电容元件的伏安关系式，有 u(t)=1C∫t－∞i(τ)dτ(59) 若图53(a)与图53(b)所示电路等效，则两电路端口的伏安关系式对应相等，由式(58)和式(59)可得出 1C=1C1+1C2或C=C1C2C1+C2(510) 同理可推得，若有n个电容Ck(k=1，2，…，n)相串联，则其等效电容为 1C=∑nk=11Ck(511) 式(511)表明，n个电容串联的电路，其等效电容的倒数等于各串联电容的倒数之和。 由u1(t)、u2(t)和u(t)表达式可得各电容电压与端口电压的关系为 u1=C2C1+C2u，u2=C1C1+C2u(512) 图54电容元件的并联 即在两个电容串联的电路中，每个电容分配到的电压是总电压的一部分。 知识点 2) 电容元件的并联 图54(a)为两个电容元件并联的电路。电容并联时，各电容的电压相等。根据电容元件的伏安关系，有 i1(t)=C1du(t)dt，i2(t)=C2du(t)dt 根据KCL，有 i(t)=i1(t)+i2(t)=C1du(t)dt+C2du(t)dt=C1+C2du(t)dt(513) 图54(b)中，根据电容元件的伏安关系式，有 i(t)=Cdu(t)dt(514) 若图54(a)与图54(b)所示电路等效，则两电路端口的伏安关系式对应相等，由式(513)和式(514)可得 C=C1+C2(515) 同理可推得，若有n个电容Ck(k=1，2，…，n)并联时，其等效电容为 C=∑nk=1Ck(516) 式(516)表明，n个电容并联的电路，其等效电容等于各并联电容之和。由i1(t)、i2(t)和i(t)表达式可得电容电流与端口电流的关系为 i1=C1Ci=C1C1+C2i，i2=C2Ci=C2C1+C2i(517) 即： 两个电容并联的电路，每个电容可分得一部分电流。 例52电容C1=200μF，耐压UM1=100V，电容C2=50μF，耐压UM2=500V。(1)若将两电容串联使用，其等效电容和耐压各是多少？(2)若将两电容并联使用，其等效电容和耐压各是多少？ 解： 对于电容量一定的电容，当工作电压等于其耐压UM时，它所带的电量q=QM=CUM即为其电量的限额。只要电量不超过此限额，电容的工作电压也就不会超过其耐压。 (1) 两电容串联的等效电容为 C=C1C2C1+C2=200×50200+50=40（μF） 由式(51)可得电容C1和C2存储的最大电荷为 QM1=C1UM1=200×10－6×100=20×10－3(C) QM2=C2UM2=50×10－6×500=25×10－3(C) 由于QM10时的iL(t)，并绘出波形图。(2) t=2.5s时，电感储存的能量是多少？ 图57例53电路及波形 解： (1) 由uS(t)波形可以写出函数的表达式： uS(t)= 5，0≤t<1 －5，1≤t<3 5，3≤t<4 根据图57(a)可得 uL(t)=uS(t)=LdiL(t)dt iL(t)=1L∫t－∞uL(τ)dτ=iL(t0)+1L∫tt0uL(τ)dτ 分段计算电流： 当0≤t<1时，因电感无储能，iL(0)=0A，所以 iL(t)=10.05∫t05dτ=100t(A) 当t=1时，有 iL(t)=100A 当10时，特征方程(544)有两个不相等的实根： 齐次方程(542)的通解为 xh(t)=K1es1t+K2es2t ② 当p2－4q=0时，特征方程(544)有两个相等的实根： s1=s2=－p2 齐次方程(542)的通解为 xh(t)=K1+K2tes1t ③ 当p2－4q<0时，特征方程(544)有一对共轭复根： s1=－α+jωd，s2=－α－jωd 式中： α=p2，ωd=p2－4q2>0 齐次方程(542)的通解为 xh(t)=e－αtK1cosωdt+K2sinωdt (2) 非齐次方程特解xp(t)的求解方法。 非齐次微分方程(541)的特解xp应根据ω(t)的形式确定，可参考表51假设。把特解xp代入方程(541)，用待定系数法确定特解xp中的常数(如表51中的Q等)。 (3) xh(t)中常数K的确定。 将初始条件代入式(543)中可以确定xh(t)中常数K，从而求得二阶常系数线性非齐次微分方程(541)的通解。 5.3直流一阶电路的分析 当电路中含有电容或电感时，由于这些元件的电压和电流的约束关系是以微分或积分形式来表示的，因此描述电路特性的方程是以电压或电流为变量的微分方程，这类电路称为动态电路。当电路中只含一个动态元件时，相应的方程是一阶微分方程，对应的电路为一阶电路。电阻电路是以代数方程来描述的，如果没有激励的作用，电路就不会出现响应。而动态电路则不同，没有激励时，如果动态元件上有储能，在能量释放时就会引起电路的响应。 动态电路在激励或内部储能作用下，会从一个稳定状态变化到另一个稳定状态，这个变化的过程称为过渡过程。电路产生过渡过程必须具备两个条件： 一是电路中必须有储能元件(电感或电容)，并且当电路工作条件改变时，它们的储能状态发生变化； 二是电路工作条件发生变化，统称为“换路”。工作条件发生变化包括： 电路的连接方式改变(电路中开关的接通、断开)，电路参数的突然变化等。 通常为了叙述方便，将换路的瞬间定义为t=0(当然也可将它定义为t=t0)，把换路前的最终瞬间记为t=0-，把换路后的最初瞬间记为 t=0+，换路经历的瞬间为 0-到 0+。在一阶电路中，换路瞬间，根据电容电压(电感电流)的连续性，在电容电流(电感电压)有界的情况下，有uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)。 如图510(a)所示的电路中只有一个独立的电容，设电容初始电压uC(0-)=U0，US为直流激励。由KVL得uR+uC=US，因为 uR=iR，i=CduCdt 所以 RCduCdt+uC=US(545a) 图510一阶RC电路 即 duCdt+1RCuC=USRC(545b) 式(545)对应的齐次方程为 RCduCdt+uC=0(546a) 或duCdt+1RCuC=0(546b) 设齐次方程的通解为xCh(t)=Kest，代入式(546)，可得 Ksest+1RCKest=0 即 s+1RC=0(547) 式(547)是式(546)的特征方程。由式(547)可得s=-1RC,有uCh=Ke－tRC，其中K为任意常数，由初始条件确定。 US为直流激励，根据表51，式(545)的特解为常数，设特解uCp=Q，代入式(545)，可得uCp=US。所以式(545)的通解为 uC(t)=Ke－tRC+US(548) 根据电容电压的初始值uC(0)=U0，可求得常数K=U0－US。将K值代入式(548)中，可得到电容电压的通解，即 uC(t)=US+(U0-US)e-tRC(549) 对于包含电感元件的一阶电路，如图510（b）所示，电路中只有一个独立的电感，设电感电流初始值iL(0)=I0，电源为直流电源US，由KVL得uR+uL=US，因为uL=LdiLdt，uR=iLR，所以有 LdiLdt+iLR=US(550a) 即 diLdt+1L/RiL=US/RL/R(550b) 对应齐次方程为 LdiLdt+iLR=0(551a) 即 diLdt+1L/RiL=0(551b) 同理，式(550a)的通解为 iL(t)=Ke-tL/R+USR(552a) 将电感电流的初始值iL(0)=I0代入式(552a)，可求得常数K=I0-USR，得到电感电流的通解 iL(t)=USR+I0-USRe－tL/R(552b) 在图510中，US为直流激励，U0(I0)为电容(电感)的初始储能。若US=0，且U0≠0(或I0≠0)，即电路无外加激励，电路的响应由动态元件的初始储能产生，称为一阶电路零输入响应。若US≠0，且U0=0(或I0=0)，即动态元件的初始储能为零，电路的响应由外加激励产生，称为一阶电路零状态响应。若US≠0，且U0≠0(或I0≠0)，即电路有外加激励，动态元件也有初始储能，此时电路的响应称为一阶电路完全响应。 由图510可以看出，如果电路中的储能元件只有一个独立的电感或一个独立的电容，则相应的电路方程是一阶微分方程，若激励为直流激励，则这样的电路称为直流一阶电路。求解复杂的一阶电路时，可将复杂电路看作一个动态元件与线性含源电阻网络相连的两个二端网络，可先借助戴维南(或诺顿)定理将线性含源的电阻网络等效为电压源串联电阻支路(或根据诺顿定理等效为电流源并联电阻支路)，再利用本节介绍的方法分析求解。含电容元件的复杂电路分解过程如图511所示。 图511一阶动态电路的分解 5.3.1一阶电路的零输入响应 1. 一阶RC电路的零输入响应 如图512（a）所示RC电路，t<0时电路已处于稳态，即t=0-时电容充电完毕，电容相当于开路，如图512(b)所示，uC(0－)=US=U0，其初始储能为12CU20。在t=0时开关S由1合向2。t>0后无激励，即US=0且U0≠0，故为RC电路的零输入响应。 对换路后的电路，由KVL得uR+uC=0。因为 uR=Ri，i=CduCdt 有 RCduCdt+uC=0(553) 式（553）与式(546a）相同，同理可求得t≥0电路的响应为uC(t)=Ke-tRC,其中K为常数，据uC(0+)=U0,得 k=uC(0+)=U0 uC(t)=uC0+e－tRC=U0e－tτ(554a) 故得i(t)=CduCdt=－uC0+Re－tRC=－U0Re－tτ(554b) uR(t)=iR=－U0e－tRC=－U0e－tτ (554c) 式中： τ=RC，具有时间的量纲，称为RC电路的时间常数。当R单位为欧，C单位为法时，τ的单位为秒。可见τ决定了uC(t)、i(t)及uR(t)衰减的速度。 式（554b）和式（554c）中的“-”表明： 电流i(t)及电阻上电压uR(t)的参考方向均与实际方向相反。uC、uR和i随时间的变化曲线如图513所示。由上可知，在t<0时电路已处于稳态。在t=0时开关S将RC电路短接。t>0时电路进入电容C通过R放电的过渡过程。随着时间t的增加，RC电路中的电流、电压由初始值开始按指数规律衰减，电路工作在过渡过程中，直到t→∞，过渡过程结束，电路达到新的稳态。 图512RC电路的零输入响应 图513uC、uR和i随时间的变化曲线 从理论上讲，只有当t→∞时，电容电压才能达到稳态值。但是，指数函数开始变化较快，而后逐渐变慢，如表52所示。 表52e－tτ随时间变化的数值 tτ2τ3τ4τ5τ…∞ e－tτ0.36790.13530.049790.01832 0.006738…0 uC0.3679U00.1353U00.04979U00.01832U00.006738U0…0 从表52中明显看出，当t=（3~5）τ时，uC与稳态值仅差5%~0.7%，在工程实际中通常认为经过（3~5）τ后，电路的过渡过程已经结束，电路进入稳定状态。 确定时间常数τ的三种常用方法： (1) 由电路参数进行计算。RC电路中的时间常数τ=RC。适当调节参数R和C，就可控制RC电路过渡过程的快慢。 (2) 由电路的响应曲线求得。如已知uC的曲线，且初始值为U0，由于uC(τ)=uC(0+)e－1=0.368U0，所以当uC衰减到初始值的36.8%时，对应的时间坐标即为时间常数τ。另外，也可以选任意时刻t0的电压uC(t0)作为基准，当数值下降为uC(t0)的36.8%时，所需要的时间也正好是一个时间常数τ，说明如下： uC(t0+τ)=U0e－t0+ττ=0.368U0e－t0τ=0.368uC(t0) 图514从uC的曲线上估算τ (3) 对零输入响应曲线画切线确定时间常数。 在工程上可以用示波器来观察RC电路uC的变化曲线。可以证明，uC的指数曲线上任意点的次切距长度ab乘以时间轴的比例尺均等于时间常数τ，如图514所示。 从能量关系上讲，RC电路的零输入响应实际上是电容的电场能量转换为电阻上的热能的过程。整个放电过程中电阻R消耗的电能为 WR=∫∞0i2Rdt=∫∞0-U0Re-tτ2Rdt=12CU20=WC(555) 与电容的初始储能12CU20相等。 例54某高压电路中有一组 C=40μF的电容器，断开时电容器的电压为5.77kV，断开后电容器经它本身的漏电阻放电。如电容器的漏电阻R=100MΩ，试问断开后经多长时间电容器的电压衰减为1kV？若电路需要检修，应采取什么安全措施？ 解： 该题为RC电路的零输入响应。电路的时间常数为 τ=RC=100×106×40×10－6=4000(s) 由式(554a)可得 uC(t)=uC(0+)e－tRC=U0e－tτ 可得 uC(t)=5.77e－t4000（kV） 把uC=1kV代入上式，可得 1=5.77e－t4000 由上式解得 t=4000ln5.77=7011（s） 由于R和C的数值较大，所以电容器从电路断开后经过大约2h，仍然有1kV的高电压。为安全起见，须待电容器充分放电后才能进行线路检修。为缩短电容器的放电时间，可以用一个阻值较小的电阻并联于电容器两端以加速放电过程。 2.一阶RL电路的零输入响应 如图515（a）所示一阶RL电路，t<0时电路处于稳态，即t=0-时电感充电完毕，此时电感可用短路线代替，如图515（b），iL(0－)=USR=I0，其初始储能为12LI20。在t=0时开关S由1切换至2，在换路瞬时，电感端电压为有限值，所以电感电流连续，即iL(0+)=iL(0-)。t>0时无激励，故为RL电路的零输入响应。 图515RL电路的零输入响应 对换路后的电路，由KVL得uR+uL=0，因为 uR=RiL，uL=LdiLdt 所以有 LdiLdt+RiL=0(556) 图516iL、uR和uL随时间 的变化曲线 式（556）与（551a）相同，可求得t≥0时电路的响应为iL(t)=Ke-tL/R,其中K为常数。据iL(0+)=iL(0-)=USR=I0,K=I0得 iL(t)=iL(0+)e－tL/R=I0e－tτ(557a) uR(t)=iLR=I0Re－tτ(557b) uL(t)=LdiLdt=-I0Re－tτ(557c) iL、uR和uL的变化曲线如图516所示。式(557)中τ=L/R，具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数，当L的单位为H、R的单位为Ω时，L/R的单位为s。RL电路的时间常数决定电感电流、电阻电压及电感电压衰减的快慢。 注意： RL电路的时间常数τ与电感L成正比，而与电阻R成反比； 但在RC电路中，时间常数τ是与电容C和电阻R成正比的。 RL电路的零输入响应和RC电路的零输入响应相似，当t=（3~5）τ时，iL与稳态值仅差5%~0.7%，从能量关系上讲，RL电路的零输入响应实际上是把电感中原先储存的能量转换为电阻上的热能的过程。 从式(554)和式(557)可以看出： 若初始状态增大K倍，则零输入响应也增大K倍。这种初始状态和零输入响应的正比关系称为零输入比例性，是线性电路激励与响应呈线性关系的反映。 例55如图517(a)所示电路中，已知US =20V，L=1H，R=1kΩ，电压表的内阻RV=500kΩ，在t=0时开关S断开，断开前电路已处于稳态。试求开关S断开后电压表两端电压的变化规律。 图517例55电路 解： 换路前，电路已处于稳态，L相当于短路，电路如图517(b)所示。 iL(0－)=USR=20103=0.02(A) 根据电感电流的连续性，有 iL(0+)=iL(0－)=0.02A 换路后，US断开，电路如图517(c)所示，故本题是求RL电路的零输入响应的问题。 列KVL方程： uR+uL+uV=0，有iL=LdiLdt,uR=RiL,uV=RViL 代入得diLdt+(R+RV)LiL=0 换路后电路的时间常数为 τ=LR+RV=1(1+500)×103=15.01×105（s） 换路后电感电流为 iL(t)=iL(0+)e－tτ=0.02e－5.01×105t(A) 所以，开关断开后电压表两端电压按下面的指数规律衰减： uV(t)=iL(t)RV=0.02e－5.01×105t×500×103=10000e－5.01×105t(V) 以上计算可以看出，在换路的瞬间，电压表两端出现了10000V的高电压，尽管时间常数很小(μs级)，过渡过程的时间很短，也可能使电压表击穿或把电压表的表针打弯。所以在有电感线圈的电路中要特别注意过电压现象，以免损坏电气设备。就测量电压而言，一般应该先移开电压表，再断开电源开关。 5.3.2一阶电路的零状态响应 1. 一阶RC电路的零状态响应 如图518所示RC电路，当t<0时，开关S闭合前电容未充电，无初始储能，即uC(0－)=0。在t=0时，合上开关S，S闭合瞬间，流过电容的电流为有限值，电容电压连续，即uC(0+)=uC(0-)=0。在t>0后，电路有外加直流激励US，故为RC电路的零状态响应。 对换路后的电路，由KVL得uR+uC=US，因为 uR=Ri，i=CduCdt 所以有 RCduCdt+uC=US(558) 式(558)与式（545a）相同，通解为uC(t)=Ke-1RCt+US，并将电容电压是初始值uC(0+)=0代入，可得常数K=-US,于是可求得t≥0时电路的响应为 故 uC(t)=US1－e－tRC=US1－e－tτ(559a) i(t)=CduCdt=USRe－tRC=USRe－tτ(559b) uR(t)=Ri=USe－tRC=USe－tτ (559c) 其中，τ=RC,与一阶RC电路零输入τ相同。uC、uR和i的变化曲线如图519所示，按指数规律上升或衰减。可见，开关S闭合瞬间C相当于短路，电阻电压最大为US，充电电流最大为US/R。工程上，经过t=（3~5）τ时间后，充电过程结束，电路进入新的稳态，此时电容相当于开路，电容电流i(∞)=0，电容电压uC(∞)=US，电阻电压uR(∞)=0。 图518RC电路的零状态响应 图519uC、uR和i随时间的变化曲线 在整个充电过程中R消耗的电能为 WR=∫∞0i2Rdt=∫∞0USRe－tτ2Rdt=U2SR－RC2e－2tRC∞0=12CU2S=WC(560) 整个充电过程中R消耗的电能等于充电结束后电容的储能，因此充电效率为50%，充电效率并不高。 例56在图518电路中，电容原先未充电。已知US=100V,R=500Ω,C=10μF,在t=0时将开关S闭合，试求： (1) uC和i随时间变化的规律； (2) 当充电时间为8.05ms时，uC达到多少伏？ 解： (1) 电容原先未充电，有uC(0-)=0V,由电容电压的连续性知uC(0+)=uC(0－)=0V。在t=0时将开关S闭合。本题是有关RC电路的零状态响应问题。 由图518电路知 uR+uC=uS 换路后时间常数为 τ=RC=500×10×10－6=5×10－3（s） 由式(559a)得 uC(t)=US1－e－tRC=US1－e－tτ 代入数值可解得 uC(t)=100(1－e－200t)（V） i(t)=CduCdt=0.2e－200t（A） (2) 当充电时间为8.05ms时，电容电压为 uC(t)=100(1－e－200×8.05×10－3)=100(1－e－1.61)=80(V) 2. 一阶RL电路的零状态响应 如图520所示一阶RL电路，在t<0时，开关S与1点接通，电感无初始储能，即iL(0-)=0。在t=0时，开关S由1切换至2，在闭合瞬间，电感电压为有限值，电感电流连续，即iL(0+)=iL(0-)=0。在t>0时，有外加激励US。故为RL电路的零状态响应。 对换路后的电路利用KVL，可得 uR+uL=US 由于 uL=LdiLdt，uR=RiL 将它们代入上式，可得 LdiLdt+RiL=US(561) 式（561）与式（550a）相同，通解为iL(t)=Ke-tL/R+USR,将电感电流初始值iL(0+)=0代入得K=-USR，于是可求得t≥0时电路的响应为 iL(t)=USR1－e－tL/R=USR1－e－tτ(562a) uL(t)=USe－tL/R=USe－tτ(562b) uR(t)=US1－e－tL/R=US1－e－tτ (562c) 式中，τ=L/R，与一阶RL电路零输入τ相同。iL、uR和uL的变化曲线如图521所示。可见，开关S闭合瞬间L相当于开路，电感电压最大为US，电阻电压为零。随着时间t的增加，充电电流按指数规律增大，电阻电压也随之增大，而电感电压则逐渐减小。经过t=（3~5）τ时间后，充电过程结束，电路进入新的稳态，此时电感相当于短路，电感电流iL(∞)=US/R，电感电压uL(∞)=0，电阻电压uR(∞)=US。 图520RL电路的零状态响应 图521iL、uR和uL随时间的变化曲线 从式(559)和式(562)可以看出： 若外加激励增大K倍，则零状态响应也增大K倍。这种外加激励和零状态响应的正比关系称为零状态比例性，是线性电路激励与响应呈线性关系的反映。如果有多个独立电源作用于电路，那么可以运用叠加定理求出零状态响应。 例57在图522(a)电路中，已知US=36V，R1=6kΩ，R2=3kΩ，R3=10kΩ，L=12mH，求开关S闭合后电感中的电流和电压(设iL(0－)=0A)。 解： 开关S闭合前，iL(0－)=0A，本题是求解RL电路的零状态响应问题。 t>0时的电路如图522(b)所示，将电感与其余电阻网络分解为两个二端网络，电阻网络如图522(c)所示，该电阻网络的戴维南等效电路如图522(d)虚线左边所示，图中， UOC=R2R1+R2US=36+3×36=12(V) R0=R3+R1R2R1+R2=10+6×36+3=12(kΩ) 图522（d）中，uR0+uL=UOC,uR0=R0iL,uL=LdiLdt,有LdiLdt+R0iL=UOC，与式（561）相似，可解得电感中的电流为 iL(t)=UOCR01－e－tτ，其中τ=L/R0=12×10-312×103=10-6(s) 代入数值得 iL(t)=1-e-106t（mA） 电感的电压为 uL(t)=LdiLdt=12e－106t(V) 图522例57电路 5.3.3一阶电路的完全响应 1. 一阶RC电路的完全响应 如图523所示RC电路，开关S闭合前电容已充电，即uC(0－)=U0≠0。在t=0时，合上开关S。可见，在t>0时有直流激励US，根据电容电压的连续性，有uC(0+)=uC(0-)=U0≠0,为RC电路的完全响应。 对换路后的电路，由KVL得uR+uC=US，因为 uR=Ri，i=CduCdt 有 RCduCdt+uC=US(563) 式（563）与式（545a）相同，解方程，同理可求得t≥0时电路的响应为 uC(t)=US+U0－USe－tRC=US+U0－USe－tτ (564a) 因此，有i(t)=US－U0Re－tRC=US－U0Re－tτ(564b) uR(t)=(US－U0)e－tRC=(US－U0)e－tτ (564c) 其中，τ=RC。0US>0，或者一个为正，一个为负，则过渡过程中电容是充电还是放电？读者可自行分析。 图523一阶RC电路的完全响应 图524一阶RC电路的完全响应uC波形 知识点 2. 一阶RL电路的完全响应 如图525所示一阶RL电路，在t<0时，已知iL(0－)=I0≠0。在t=0时，开关S由1切换至2。根据电感电流的连续性，有iL(0+)=iL(0-)=I0,在t>0时电路有外加激励US，为RL电路的完全响应。 图525一阶RL电路的完全响应 对换路后的电路列KVL方程，得uR+uL=US，因为 uL=LdiLdt，uR=RiL 有 LdiLdt+iLR=US(565) 式（565）与式（550a）相同，解方程同理可求得t≥0时电路的响应为 iL(t)=USR+I0-USRe－tL/R=USR+I0-USRe-tτ(566a) 因此，可得 uL(t)=－I0Re－tL/R+USe－tL/R=－I0Re－tτ+USe－tτ(566b) uR(t)=US+(I0R-US)e-tτ其中，τ=L/R (566c) 5.3.4一阶电路的求解方法 1. 直接解微分方程 5.3.1节~5.3.3节就是使用直接解微分方程对一阶电路进行分析。 2. 利用分解方法求解 直流一阶电路还可用以下两种分解方法求解(以uC(t)为例)： (1) 完全响应=稳态响应+暂态响应。 以图523所示RC电路为例，已求得在t≥0时电容电压为式（564a）,即 uC(t)=US+(U0－US)etRC (567) 式(567)中右边第一项为稳态响应，右边第二项为暂态响应。两个响应的变化规律不同： 稳态响应只与输入US有关，如果输入的是直流量，稳态响应就是恒定不变的； 如果输入的是正弦量，稳态响应就是同频率的正弦量。暂态响应随着时间t的增长按指数规律逐渐衰减为零，一般可以认为在t=（3~5）τ后消失。暂态响应既与初始状态U0有关，也与输入US有关，只有当U0－US≠0时，才有暂态响应。 (2) 完全响应=零输入响应+零状态响应。 式(567)可改写成 uC(t)=U0e－tRC+US1－e－tRC(568) 式(568)等号右边： 第一项是一阶RC电路的零输入响应，见式(554a)； 第二项则是一阶RC电路的零状态响应，见式(559a)。表明一阶RC电路完全响应等于零输入响应和零状态响应的叠加，这是线性电路叠加性质的体现。当US=0，U0≠0时，一阶RC电路完全响应即为零输入响应； 当US≠0，U0=0时，一阶RC电路完全响应即为零状态响应。 把全响应分解为零输入响应和零状态响应，能较明显地反映电路响应与激励在能量方面的因果关系，并且便于分析计算。把全响应分解为稳态响应与暂态响应，能较明显地反映电路的工作状态，便于分析过渡过程的特点。这两种分解的概念都是很重要的。 3. 利用三要素法进行求解 设uC(0+)及uC(∞)表示uC(t)的初始值和稳态值，τ=RC为时间常数，式(567)可写为 uC(t)=US+U0－USe－tτ=uC(∞)+uC0+－uC(∞)e－tτ(569) 式(569)表明，电压uC(t)是由uC0+、uC(∞)及τ三个参量所确定的。即只要求得初始值、稳态值和时间常数这三个要素，就能确定uC(t)的解析表达式，而不用求解微分方程。 可以证明： 在直流一阶RC电路中任何两个节点间的电压和任意支路中的电流都是按指数规律变化的，且具有与uC(t)相同的时间常数τ。对于RL电路中的电感电流iL(t)，也能得出类似于式(569)的表达式。同样可以证明： 在直流一阶RL电路中任何两个节点间的电压和任意支路中的电流都是按指数规律变化的，且具有与iL(t)相同的时间常数τ。 因此，在直流一阶电路中，所有电压、电流均可在求得它们的初始值、稳态值和时间常数后直接写出它们的表达式，即 f(t)=f(∞)+f(0+)－f(∞)e－tτ(570) 它们具有相同的时间常数τ，满足0<τ<∞，式(570)中的f(t)泛指直流一阶电路中的任意电压或电流。这种方法称为三要素法。 利用三要素法求解过渡过程的步骤如下： (1) 确定初始值。 首先画出换路前t=0－的等效电路(在t=0－电路中，电路达到直流稳态时，电容元件视为开路，电感元件视为短路)、求出uC(0－)或iL(0－)。由电容电压和电感电流的连续性可得uC(0+)=uC(0－)或iL(0+)=iL(0－)。 其次画出换路后瞬间t=0+的等效电路(在t=0+电路中，电容元件用电压为uC(0+)的电压源置换或电感元件用电流为iL(0+)的电流源置换。如果uC(0+)=0，则电容元件视为短路。如果iL(0+)=0，则电感元件视为开路)。应用电路的分析方法，在t=0+电路中计算其他电压或电流的初始值，即u(0+)或i(0+)。 (2) 确定稳态值。 在直流电源激励条件下，换路后，当电路达到稳态时，电容元件用开路线代替，电感元件用短路线代替，画出直流稳态电路的等效电路，应用电路的分析方法求解电路中电压或电流的稳态值u(∞)或i(∞)。 (3) 计算时间常数。 将换路后电路中的储能元件(L或C)与其余电路分解为两个二端电路，除L（或C）之外的电路是一个电阻性有源二端网络，根据戴维南定理求得该网络的等效电阻Ro。对于一阶RC电路， τ=RoC； 对一阶RL电路，τ=L/Ro。 (4) 写出电压或电流的表达式。 若0<τ<∞，则根据求得的三要素，依照f(t)=f(∞)+f(0+)－f(∞)e－tτ的形式，直接写出电压或电流的表达式。 例58如图526(a)所示电路原处于稳态，已知US=100V，R1=R2=4Ω，L=0.4H，在t=0时将开关S断开，求S断开后电路中的电流iL和电感的电压uL，并绘出电流iL(t)、电压uL(t)的变化曲线。 解： 因为开关S断开前电路原处于稳态，电路初始条件不为零,开关S断开后RL电路有外加激励US，所以此电路为全响应问题用三要素法求解。 (1) 求iL0+。t=0-时等效电路如图526(b)所示，开关S断开前电路原处于稳态，电感相当于短路，所以 iL(0－)=USR2=1004=25（A） 根据电感电流的连续性可得 iL(0+)=iL(0－)=25（A） (2) 求iL(∞) 。在t=0时，开关S断开。在t=∞时，电路处于稳态，电感相当于短路，电路如图526(c)所示，有 iL(∞)=USR1+R2=1004+4=12.5（A） (3) 求τ。 换路后，从电感两端看进去的求解戴维南等效电路等效电阻的电路如图526(d)所示，其中电压源用短路线代替，由图可见等效电阻为R1+R2，有 τ=LR1+R2=0.48=0.05（s） (4) 求电感电流和电感电压。 iL(t)=iL(∞)+iL0+－iL(∞)e－tτ =12.5+（25－ 12.5）e－20t=12.5+12.5e－20t （A） 有uL(t)=Ldidt=0.4×12.5e－20t×(－20)=－100e－20t（V） 电感电流、电感电压的波形如图526(e)、图526(f)所示。 图526例58图 例59如图527(a)所示电路原处于稳态，在t=0时将开关S闭合，用三要素法求换路后电路中所示的电压和电流，并画出其变化曲线。 解： 电路原处于稳态，电路初始条件不为零，在t=0时将开关S闭合，开关S闭合后有外加激励US，此电路为全响应问题。 (1) 求uC(0+)、iC(0+)、i1(0+)、i2(0+)。 t=0－的等效电路如图527(b)所示。此时电路处于稳态，C用开路线代替。可知uC(0－)=US=12V，根据电容电压的连续性，得uC(0+)=uC(0－)=12V。 t=0+的等效电路如图527(c)所示。此时电容元件用电压值为uC(0+)=12V的电压源代替。可求得iC(0+)=－1mA，i1(0+)=23mA，i2(0+)=53mA。 (2) 求uC(∞)、iC(∞)、i1(∞)、i2(∞)。 t=∞时等效电路如图527(d)所示。此时电路处于一个新的稳态，C用开路线代替。 uC(∞)=R2R1+R2US=63+6×12=8（V） iC(∞)=0mA，i1(∞)=i2(∞)=12(3+6)×103=43（mA） 图527例59的电路 (3) 求τ。 换路后，从电容两端看进去的求解戴维南等效电路等效电阻的电路如图527(e)所示，其中电压源用短路线代替，由图可见 Ro=R1∥R2+R3=3×63+6+2=4(kΩ) τ=RoC=4×103×5×10－6=2×10－2（s） (4) 写出uC(t)、iC(t)、i1(t)、i2(t)的表达式。 uC(t)=uC(∞)+uC(0+)－uC(∞)e－tτ=8+4e－50t（V） iC(t)=iC(∞)+iC(0+)－iC(∞)e－tτ=－e－50t（mA） i1(t)=i1(∞)+i1(0+)－i1(∞)e－tτ=43－23e－50t（mA） i2(t)=i2(∞)+i2(0+)－i2(∞)e－tτ=43+13e－50t（mA） uC(t)、iC(t)、i1(t)、i2(t)的变化曲线如图528所示。 图528例59中uC(t)、iC(t)、i1(t)、i2(t)的变化曲线 例510如图529(a)所示电路，开关S合在1时电路已处于稳态。在t=0时开关S由1切换至2。试求t≥0时的iL(t)、uL(t)，并画出其变化曲线。 解： 开关S合在1时电路已处于稳态，电路初始条件不为零。t=0时开关S由1切换至2，有外加激励，为全响应问题。用三要素法求解如下： (1) 求iL(0+)。 t=0－的等效电路如图529(b)所示，此时电路处于稳态，L用短路线代替。可知iL(0－)=－8/2=－4（A），根据电感电流的连续性得iL(0+)=iL(0－)=－4（A）。 (2) 求iL(∞)。 t=0时开关S由1切换至2。t>0后的电路如图529(c)所示。去除电感后如图529(d)所示。由于含有受控源，故采用开路电压/短路电流的方法求等效电阻Ro。 求开路电压的电路如图529(d)所示，i11=2A，uOC=4i11+2i11=12（V）。 求短路电流的电路如图529(e)所示， 图529例510的电路 对右边回路，根据KVL，有 4iSC－2i12－4i12=0 对1节点，根据KCL，有 i12+iSC=2 联立上面两式求解得iSC=1.2A，所以 Ro=uOCiSC=121.2= 10（Ω） t≥0时的等效电路如图529(f)所示。因t→∞时电路处于新的稳态，图529(f)中L用短路线代替，如图529（g）所示，所以 iL(∞)=1210=1.2(A) (3) 求τ。 τ=LRo=0.110=0.01（s） (4) 写出iL(t)的表达式，并求uL(t)。 iL(t)=iL(∞)+iL(0+)－iL(∞)e－tτ =1.2+(－4－1.2)e－t0.01=1.2－5.2e－100t（A） uL(t)=LdiLdt=52e－100t（V） (5) iL(t)、uL(t)的波形如图530(a)、图530(b)所示。 图530例510的iL(t)、uL(t)的波形 5.4直流二阶电路的分析 凡是能用二阶线性常微分方程描述的动态电路称为二阶(线性)电路。本节将在一阶电路的基础上分析二阶电路的过渡过程。在二阶电路中，给定的初始条件有两个，它们由储能元件的初始值决定。RLC串联电路和GCL并联电路是最简单的二阶电路。 5.4.1二阶串联电路的零输入响应 图531为RLC串联电路，若电容的初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0，电感中的初始电流i(0+)=i(0－)=I0。 图531RLC串联电路的零输入响应 在t=0时合上开关S，由于电路中无激励源，即为二阶串联电路的零输入响应。 对图531所示电路，S闭合后按照KVL可写出 uR+uL+uC=0(571) 将 i=CduCdt，uR=Ri=RCduCdt，uL=Ldidt=LCd2uCdt2 代入式(571)可得 LCd2uCdt2+RCduCdt+uC=0(572) 式(572)是一个以uC为未知量的二阶、线性、常系数、齐次微分方程。设齐次方程通解为xh(t)=Kest，将它代入式(572)，得特征方程LCs2+RCs+1=0，其特征根为 s1，2=－R2L±R2L2－1LC(573) 特征根有两个值，特征根是电路的固有频率，决定零输入响应的形式。R、L、C参数取值不同, 特征根s1、s2可能出现三种不同情况： (1) 当R2L2>1LC即R>2LC时，s1、s2是两个相异负实根； (2) 当R2L2=1LC即R=2LC时，s1、s2是两个相同负实根； (3) 当R2L2<1LC即R<2LC时，s1、s2是两个共轭复根，其实部为负数。 因此，RLC电路的零输入响应分为下面三种情况来讨论。 (1) R>2LC时，称为过阻尼情况。 此时特征根是两个相异实根，而且均为负根，特征根为 s1=－R2L+R2L2－1LC，s2=－R2L－R2L2－1LC 其通解可表示为 uC(t)=K1es1t+K2es2t(574) 式中： K1和K2为两个待定的系数，由电路的初始条件决定。 该电路有两个储能元件，相应的初始条件有两个，即电容电压和电感电流的初始值： uC(0+)=uC(0－)=U0，i(0+)=i(0－)=I0 因i=CduCdt，所以有duCdtt=0+=I0C。将这两个初始条件代入式(574)，可得 K1+K2=U0 s1K1+s2K2=I0C (575) 以上两个方程联立求解，可得常数K1和K2： K1=1s2－s1s2U0－I0C K2=1s1－s2s1U0－I0C (576) 将式（576）代入式(574)并整理，可得 uC(t)=U0s2－s1(s2es1t－s1es2t)+I0(s2－s1)C(es2t－es1t)(577) 根据i=CduCdt，并利用s1s2=1LC，可得 i(t)=U0L(s2－s1)(es1t－es2t)+I0s2－s1(s2es2t－s1es1t)(578) 根据uL=Ldidt可得 uL(t)=U0s2－s1(s1es1t－s2es2t)+I0Ls2－s1(s22es2t－s21es1t)(579) 为了方便讨论，电压、电流的变化趋势，假设电容有初始储能而电感无初始储能，即U0≠0，I0=0，这时电容电压、电路电流、电感电压的表达式(式（577）~式（579）)可简化为 uC(t)=U0s2－s1(s2es1t－s1es2t)(580) i(t)=U0L(s2－s1)(es1t－es2t)(581) uL(t)=U0s2－s1(s1es1t－s2es2t)(582) uC、uL和i随时间的变化曲线如图532所示。因为s1、s2是两个负实数，所以电容电压由两个单调下降的指数函数组成，其放电过程是单调的衰减过程； 至于电流i，因为s1>s2，根据式(581)，放电电流始终为负。在t=0时，i=0，这是由电流的初始条件决定的。在t=∞时，电容的电场能量全部为电阻消耗，电流也是零。在中间某一时刻t=tm时，电流i数值最大。由di/dt=0可计算出 tm=ln(s2/s1)s1－s2(583) 图532非振荡放电过程uC、uL和i随时间的变化曲线 在0~tm期间，电容中的电场能量一部分消耗在电阻上，另一部分则变为电感中的磁场能量。当t>tm时，电容中剩余的电场能量和电感中的磁场能量都逐渐消耗在电阻上；当t=tm时，电感电压过零点，当t=2tm时，电感电压为最大。可见，过渡过程为非振荡过程，即此时为过阻尼情况。 (2) R=2LC时，称为临界阻尼情况。 此时特征根是两个相等的负实根。特征根为s1=s2=－R2L，记α=R2L,微分方程式(572)的通解为 uC(t)=(K1+K2t)e－αt(584) 初始条件 uC(0+)=uC(0－)=U0，i(0+)=i(0－)=I0 因为i=CduCdt，所以有duCdtt=0+=I0C。将这两个初始条件代入式(584)，可得 K1=U0 －αK1+K2=I0C (585) 求解可得 K1=U0，K2=αU0+I0C(586) 把K1和K2代入式(584)，并整理，可得电容电压为 uC(t)=U0(1+αt)e－αt+I0Cte－αt(587) 电路电流为 i(t)=CduCdt=－U0α2Cte－αt+I0(1－αt)e－αt =－U0Lte－αt+I0(1－αt)e－αt (588) 从式(587)、式(588)可以看出，电路的响应仍然属于非振荡性质。 (3) R<2LC时，称为欠阻尼情况。 此时特征根是两个共轭复根。特征根为 s1=－α+jωd，s2=－α－jωd(589) 式中 α=R2L，ωd=1LC－R2L2=ω20－α2，ω0=1LC 此时微分方程(572)的通解可表示为 uC(t)=e－αt(K1cosωdt+K2sinωdt)(590) 式(590)中K1和K2为两个待定的系数。由电容电压和电感电流的初始值 uC(0+)=uC(0－)=U0，i(0+)=i(0－)=I0 可得 K1=U0 －αK1+ωdK2=I0C (591) 求解，可得 K2=1ωdαU0+I0C(592) 把K1和K2代入式(590)，便可求得电容电压为 uC(t)=U0ω0ωde－αtcos(ωdt－θ)+I0ωdCe－αtsinωdt(593) 电路电流为 i(t)=－U0ω20Cωde－αtsinωdt+I0ω0ωde－αtcos(ωdt+θ)(594) 为了便于反映响应的特点，式(590)变换为 uC(t)=e－αt(K1cosωdt+K2sinωdt)=Ke－αtcos(ωdt+θ)(595) 图533振荡放电过程uC随时间的变化曲线 式中 K=K21+K22，θ=－arctanK2K1 式(595)表明： uC(t)是衰减振荡，它随时间变化的曲线如图533所示。它的振幅Ke－αt是随时间按指数规律衰减的。α称为衰减系数，α越大，衰减越快。ωd是衰减振荡的角频率，T为振荡的周期，ωd越大，T越小。该电路的振荡频率为 f=1T=ωd2π=12π1LC－R2L2 (596) 振荡频率与电路参数有关，而与电源的频率无关，故称为自由振荡。 从能量关系看，在振荡放电过程中，电容中的电场能量和电感中的磁场能量反复交换，电容反复地充电放电，其两端电压和电路电流以及电感电压均周期变化，这种过程称为电磁振荡。由于电阻消耗能量，所以振荡过程中电磁能量不断减少，即电容电压和电路电流不断减少，最终全部消耗在电阻上，各电压电流都衰减到零。 当R=0时，α=0，则 ωd=ω0=1LC 电容电压和电路电流分别为 uC(t)=U0cosω0t+I0ω0Csinω0t(597) i(t)=－U0ω0Csinω0t+I0cosω0t=－U0L/Csinω0t+I0cosω0t(598) 由式(597)、式(598)可以看出： uC、i的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为ω0。当L、C为任意正值时，根据式(597)、式(598)可以得出，对所有t≥0，总有 w(t)=12u2C(t)+12Li2(t)=12u2C(0)+12Li2(0)=w(0)(599) 式(599)表明，任何时刻储能总等于初始时刻的储能，能量不断往返于电场与磁场之间，永不消失。 综上所述，电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率s，固有频率可以是复数、实数或虚数，从而决定了响应为非振荡过程、衰减振荡过程或等幅振荡过程。 例511如图534所示电路，已知US=10V，C=1μF，R=4kΩ，L=1H，开关S原来闭合在1，在t=0时，开关S由1切换至2。试求： (1)uC、uR、uL、i； (2)imax。 图534例511电路图 解： (1) 在t=0－时，电容用开路线代替，可得uC(0－)=US=10V。 根据电容电压的连续性可得uC(0+)=uC(0-)=10V。而iL(0+)=iL(0-)=I0=0。 t＞0后该电路无激励，为零输入响应，据KVL可得 uR+uL－uC=0 将 i=－CduCdt，uR=Ri=－RCduCdt，uL=Ldidt=－LCd2uCdt2 代入上式，可得 LCd2uCdt2+RCduCdt+uC=0 由R、L、C参数可知 R=4kΩ>2LC=2110－6=2（kΩ） 为非振荡过程，特征根为 s1=－R2L+R2L2－1LC=－268，s2=－R2L－R2L2－1LC=－3732 由于I0=0,据式（580）得电容电压 uC(t)=U0s2－s1(s2es1t－s1es2t)=（10.77e－268t－0.773e－3732t）（V） 电路电流 i(t)=－CduCdt=U0(s2－s1)L(es2t－es1t)=2.89(e－268t－e－3732t)（mA） 电阻电压为 uR=Ri=11.56(e－268t－e－3732t)（V） 电感电压为 uL=Ldidt=（10.77e－3732t－0.773e－268t）（V） (2) 电流最大值发生在tm时刻，即 tm=ln(s2/s1)s1－s2=7.60×10－4（s） imax=2.89(e－268×7.6×10－4－e－3732×7.6×10－4)=2.19（mA） 例512某RLC串联电路的R=1Ω，固有频率为－3±j5。电路中的L、C保持不变，试计算： (1)为获得临界阻尼响应所需的R值； (2)为获得过阻尼响应，且固有频率之一为s1=－10时所需的R值。 解： (1) 固有频率 s1，2=－R2L±R2L2－1LC=－3±j5 可知 R2L=3，R2L2－1LC=j5 则有 L=16，1LC=34 现电路属于临界阻尼状态，应使 R2L2－1LC=0 则 R=2L1LC=2×16×34=1.94（Ω） (2) 要使 s1=－R2L±R2L2－1LC=－10 因为L=16，1LC=34，所以－R2L=－3R，则 －3R－(3R)2－34=－10 解得 R=2.23Ω 5.4.2二阶串联电路的完全响应 如图535所示的RLC串联电路，若电容C原先已充电，其初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0，电感中的初始电流 图535RLC串联电路的完全响应 i(0+)=i(0－)=I0。在t=0时合上开关S。t>0时电路中有直流激励源。即为RLC串联电路完全响应。 对图535所示电路，按照KVL可写出 uR+uL+uC=US 将 i=CduCdt，uR=Ri=RCduCdt，uL=Ldidt=LCd2uCdt2 代入上式，可得 LCd2uCdt2+RCduCdt+uC=US(5100) 式(5100)是一个以uC为未知量的二阶、线性、常系数、非齐次微分方程，它的解由该方程的特解和对应的齐次微分方程的通解组成。特解uCP=US； 齐次方程通解设为uCh=Kest，得特征方程LCs2+RCs+1=0，其特征根为 s1，2=－R2L±R2L2－1LC(5101) R、L、C参数取值不同, 特征根s1、s2可能是两个相异实根、两个共轭复根或两个相等的实根，所以RLC串联电路的全响应也分为3种情况： (1) R>2LC时，称为过阻尼情况。特征根是两个相异实根，而且均为负根，其通解可表示为 uC(t)=K1es1t+K2es2t+US(5102) (2) R=2LC时，称为临界阻尼情况。特征根是两个相等的负实根，即 s1=s2=－R2L=－α 其通解为 uC(t)=(K1+K2t)e－αt+US(5103) (3) R<2LC时，称为欠阻尼情况。此时特征根是两个共轭复根，特征根为 s1=－α+jωd，s2=－α－jωd 式中 α=R2L，ωd=1LC－R2L2=ω20－α2，ω0=1LC 其通解为 uC(t)=e－αt(K1cosωdt+K2sinωdt)+US(5104) 式(5102)~式(5104)中K1和K2为两个待定的系数。由电容电压和电感电流的初始值uC(0+)=uC(0－)=U0，i(0+)=i(0－)=I0决定。 例513电路如图536(a)所示，当t＜0时，uS(t)=－1V，在t=0时，uS(t)突然增至1V，以后一直保持为此值，如图536(b)所示。试求电容电压和电感电流。 图536例513电路及输入波形 解： t=0－时，电容用开路线代替，电感用短路线代替，可知uC(0－)=－1V，i(0－)=0A，根据电容电压和电感电流的连续性，有uC(0+)=－1V，i(0+)=0A。 t＞0时为全响应，电路方程为 uL+uC=uS,uL=Ldidt,i=CduCdt 有 LCd2uCdt2+uC=uS 因为R=0，所以 α=0，ωd=ω0=1LC=1 对应的特征根为s1,2=±j，其通解为 uC(t)=K1cost+K2sint+1 根据uC(0)=－1V，i(0)=0A，得K1=－2，K2=0。所以 uC(t)=－2cost+1（V） i(t)=C·duC(t)dt=2sint（A） 5.4.3二阶并联电路的响应 图537为GCL并联电路，若电容的初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0，电感的初始电流i(0+)=i(0－)=I0。在t=0时合上开关S。t>0时电路中有直流激励，即为GCL并联电路完全响应。 图537GCL并联电路 按照KCL可写出 iR+iL+iC=IS 将 iG=Gu=GLdiLdt，iC=Cdudt=LCd2iLdt2 代入上式，可得 LCd2iLdt2+GLdiLdt+iL=IS(5105) 式(5105)是一个以iL为未知量的二阶、线性、常系数、非齐次微分方程。将式(5105)和式(5100)比较可以发现： 把串联电路方程中的uC换成iL，L换成C，C换成L，R换成G，US换成IS就会得到并联电路的方程。因此，按照对偶原理可以从已有的RLC串联电路的响应得到GCL并联电路的响应。 例514如图537所示GCL并联电路，已知u(0)=0V，iL(0)=0A，L=1H，C=1F，IS=1A(t>0)。若G为10S、2S、0.1S，求t>0时iL(t)的响应。 解： 该电路为GCL并联电路的零状态响应，微分方程为 LCd2iLdt2+GLdiLdt+iL=IS 根据RLC串联电路和GCL并联电路的对偶原理，可得特征根为 s1，2=－G2C±G2C2－1LC 且特解 iLP=IS=1A。 (1) G=10S时，G2C2>1LC，属于过阻尼，特征根为 s1=－102×1+102×12－11×1=－5+26，s2=－5－26 则通解为 iL(t)=K1es1t+K2es2t+1 根据 u(0)=0V，iL(0)=0A 可得 iL(0)=K1+K2+1=0，i′L(0)=s1K1+s2K2=u(0)L=0 由此解得 K1=s2s2－s1=－5+2646，K2=s1s1－s2=5－2646 所以 iL(t)=1+146(5－26)e－(5+26)t－(5+26)e－(5－26)t)（A），t≥0 (2) G=2S时，G2C2=1LC，属于临界阻尼，特征根为 s1=s2=－G2C=－1 则通解为 iL(t)=K1es1t+K2tes2t+1 根据 u(0)=0V，iL(0)=0A 可得 iL(0)=K1+1=0，i′L(0)=s1K1+K2=u(0)L=0 由此解得 K1=－1，K2=－1 所以 iL(t)=1－(1+t)e－t（A），t≥0 (3) G=0.1S时，G2C2<1LC， 属于欠阻尼，特征根为 s1，2=－α±jωd=－0.12×1±0.12×12－11×1≈－0.05±j 则通解为 iL(t)=e－αt(K1cosωdt+K2sinωdt)+1 根据 u(0)=0V，iL(0)=0A 可得iL(0)=K1+1=0，i′L(0)=－αK1+ωdK2=u(0)L=0 由此解得 K1=－1，K2=－αωd=－0.05 所以 iL(t)=1－e－0.05t(cost+0.05sinωdt)≈1－e－0.05tcost（A），t≥0 三种情况iL的波形如图538所示。 图538例514的电流波形 本章小结 1. 电容C、电感L是两种基本电路元件，属于无源二端储能元件。在某一时刻t，在关联参考方向下，电容C的伏安关系式为iC=CduCdt，储能为wC(t)=12Cu2C(t)； 电感L的伏安关系式为uL=LdiLdt，储能为wL(t)=12Li2L(t)。 2. 动态电路发生换路时，在激励或内部储能作用下，电路会从一个稳定状态变化到另一个稳定状态，这个变化的过程称为过渡过程。在有限激励作用下，储能元件的储能不能跃变，必须是连续的，若换路发生在t0时刻，对于电容元件有uC(t0+)=uC(t0－)，对于电感元件有iL(t0+)=iL(t0－)。 3. 如果电路中的储能元件只有一个独立的电感或一个独立的电容，电路方程是一阶微分方程，这样的电路称为一阶电路，常见的一阶电路有RC电路和RL电路。若一阶电路激励为直流激励，称为直流一阶电路。求解直流一阶电路常用直接解微分方程、利用分解方法求解、利用三要素法进行求解等三种方法。 其中三要素法无须求解微分方程，响应的一般形式为f(t)=f(∞)+［f(0+)－f(∞)］e－tτ，其中,f(t)可代表任意支路电压或支路电流； f(0+)代表该支路电压或电流的初始值，f(∞)代表该支路电压或电流的稳态值，τ为一阶电路的时间常数。对一阶RC电路τ=R0C，对一阶RL电路τ=L/R0，其中R0是换路后与动态元件两端相连的电阻网络的戴维南电路的等效电阻。 4. 用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。在二阶动态电路中，给定的初始条件有两个，它们由储能元件的初始值决定。其中RLC串联电路和GCL并联电路是最简单的二阶电路，其响应有过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况，具体取决于R、L、C的参数值。以RLC串联电路的零输入响应为例，依电路元件参数值的不同分以下三种情况： (1) R>2LC时，称为过阻尼情况。过渡过程为非振荡放电过程。 (2) R=2LC时，称为临界阻尼情况。过渡过程为非振荡放电过程。 (3) R<2LC时，称为欠阻尼情况。过渡过程为振荡放电过程。 习题 一、 选择题 1. 在关联参考方向下，R、L、C三个元件的伏安关系式可分别用()表示。 A. iR=GuR,uL=uL(0)+1L∫t0iL(τ)dτ,uC=CdiCdt B. uR=RiR,uL=uL(0)+1L∫t0iL(τ)dτ,uC=CdiCdt C. uR=GiR,uL=LdiLdt,uC=uC(0)+1C∫t0iC(τ)dτ D. uR=RiR,uL=LdiLdt,uC=uC(0)+1C∫t0iC(τ)dτ 2. 一阶电路的零输入响应是指()。 A. 电容电压uC(0－)≠0V或电感电压uL(0－)≠0V, 且电路有外加激励作用 B. 电容电流iC(0－)≠0A或电感电压uL(0－)≠0V, 且电路无外加激励作用 C. 电容电流iC(0－)≠0A或电感电流iL(0－)≠0A, 且电路有外加激励作用 D. 电容电压uC(0－)≠0V或电感电流iL(0－)≠0A, 且电路无外加激励作用 3. 若C1、C2两电容并联，则其等效电容C=()。 A. C1+C2B. C1C2C1+C2C. C1+C2C1C2D. C1C2 图x5.1选择题4图 4. 已知电路如图x5.1 所示，电路原已稳定，开关闭合后电容电压的初始值uC(0+)等于()。 A. －2VB. 2V C. 6VD. 8V 5. 已知uC(t)=15e－tτV，当t=2s时，uC=6V，电路的时间常数τ等于()。 A. 0.458sB. 2.18s C. 0.2sD. 0.1s 6. 二阶RLC串联电路，当R2LC时，电路为欠阻尼情况； 当R2LC时，电路为临界阻尼情况()。 A. >、=B. <、=C.<、>D. >、< 二、 填空题 1. 若L1与L2两电感串联，则其等效电感L=； 若这两个电感并联，则等效电感L=。 2. 一般情况下，电感的不能跃变，电容的不能跃变。 3. 在一阶RC电路中，若C不变，R越大，则换路后过渡过程越。 图x5.2填空题5图 4. 二阶RLC串联电路，当R2L/C时，电路为振荡放电； 当R=时，电路发生等幅振荡。 5. 如图x5.2所示电路中，开关闭合前电路处于稳态，uC0+=V，duCdt0+=V/s。 6. R=1Ω和C=1F的并联电路与电流源IS接通。当IS=2A(t≥0)，电容初始电压为1V时，uC(t)=(2－e－t)（V）(t≥0)，则当激励IS增大1倍(IS=4A)，而初始电压保持原值，t≥0时，uC(t)应为V。 三、 计算题 1. 电路如图x5.3所示，求图x5.3(a)中ab端的等效电容以及图x5.3(b)中ab端的等效电感。 图x5.3计算题1图 2. 电路如图x5.4(a)所示，电压源uS波形如图x5.4(b)所示，求电容电流并画出波形图，以及电容的储能并画出电容储能随时间变化的曲线。 图x5.4计算题2图 3. 如图x5.5(a)所示电路，iL(0)=0A，电压源uS的波形如图x5.5(b)所示。求当t分别为1s、2s、3s、4s时的电感电流iL。 图x5.5计算题3图 4. 如图x5.6所示S在t=0时闭合，闭合前已达稳态，求初始值uC(0+)、iC(0+)。 5. 如图x5.7所示电路，S在t=0时闭合，闭合前已稳定，求闭合后iL的初始值、稳态值以及电路的时间常数τ，如R1增大，电路的时间常数τ如何变化？ 图x5.6计算题4图 图x5.7计算题5图 6. 如图x5.8所示电路，已知E=6V，R1=5Ω，R2=4Ω，R3=1Ω，开关S闭合前电路处于稳态，t=0时闭合开关S，求换路瞬间的uC(0+)、iC(0+)。 7. 如图x5.9所示电路，已知IS=5A，R1=10Ω，R2=10Ω，R3=5Ω，C=250μF，t=0时开关S闭合，求t≥0时的uC(t)、iC(t)和i3(t)。 (开关闭合前电路已处于稳态) 图x5.8计算题6图 图x5.9计算题7图 8. 如图x5.10所示电路，t=0时开关S1打开，S2闭合。试用三要素法求出t≥0时的iL(t)和uL(t)。(注： 在开关动作前，电路已达稳态) 9. 如图x5.11所示电路，在t<0时已处于稳态，在t=0时将开关S由1切换至2，求换路后的电容电压uC(t)，以及t=20ms时的电容元件的储能。 图x5.10计算题8图 图x5.11计算题9图 10. 电路如图x5.12所示，电路原处于稳态。在t=0时,将开关S由位置1合向位置2，试求t>0时iL(t)和i(t)，并画出它们随时间变化的曲线。 11. 如图x5.13所示电路，已知US=10V，L=1H，C=1μF，开关S原来合在触点1处，在t=0时，开关由触点1合到触点2处。求 R分别为2000Ω、4000Ω和5000Ω时的uC、uR、uL和i。 图x5.12计算题10图 图x5.13计算题11图 12. 如图x5.14所示电路，在开关S闭合前已达稳态，t=0时，S由1切换至2，已知US1=4V，US2=6V，R=2Ω，L=1H，C=0.2F，求t>0时的i(t)。 图x5.14计算题12图