第3章〓点、直线和平面的投影









图3.1三棱锥及其三视图


章前思考



1. 如何绘制图3.1所示三棱锥等不规则平面立体的三视图？

2. 该三棱锥由哪些三角形平面、棱边和顶点围成？ 

3. 如果能够知道三棱锥四个顶点的三面投影，那么对于确定棱边、三角形表面的投影，以及绘制三棱锥的三视图将会有哪些帮助？


第2章概略介绍了立体视图的概念及三视图的形成及画法，无论物体具有怎样的构型，它总是由几何元素(点、直线、平面)依据一定的几何关系组合而成。为了正确地表达空间物体的形状，加深对三视图画法及投影规律的理解，必须熟悉点、直线、平面等几何元素的投影特点和投影规律。

3.1点的三面投影
3.1.1点的空间位置和直角坐标

如图3.2所示，点的空间位置可由其空间直角坐标值来确定，如A(x，y，z)。



图3.2点的投影和直角坐标

3.1.2点的三面投影

为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等； 水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等； 正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′； 侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。

如图3.3(a)所示，将点A(x，y，z)置于三投影面体系之中，过A点分别向三个投影面作垂线(即投射线)，交得三个垂足a、a′、a″即分别为A点的H面投影、V面投影、W面投影。



图3.3点的三面投影


A点在H面上的投影a，称为A点的水平投影，它由A点到V、W两投影面的距离或坐标值y、x所决定； A点在V面上的投影a′，称为A点的正面投影，它由A点到H、W两投影面的距离或坐标值z、x所决定； A点在W面上的投影a″，称为A点的侧面投影，它由A点到V、H两投影面的距离或坐标值y、z所决定。

如图3.3(b)所示，三投影面体系展开后，点的三个投影在同一平面内，即可得到点的三面投影。应注意的是，投影面展开后，同一条OY轴旋转后出现了两个位置。

3.1.3点的投影规律

（1） 点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即aa′⊥OX，a′a″⊥OZ，aayH⊥OYH，a″ayW⊥OYW。

（2） 点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离。如点A的正面投影到OX轴的距离a′ax等于点A到水平投影面的距离Aa。

为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aax＝a″az，常采用图3.3(b)所示作45°角平分线的方法。

【例3.1】已知点A(25，15，20)，求作点A的三面投影图。

解： 作图步骤如下。

(1) 画出投影轴，自原点O沿OX轴向左量取x=25，得点ax,如图3.4(a)所示； 

(2) 过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向上量取z=20，得点A的正面投影a′，自ax向下量取y=15，得点A的水平投影a,如图3.4(b)所示； 

(3) 过O向右下方作45°辅助线，并过a作OYH垂线与45°线相交，然后再由此交点作OYW轴的垂线，与过a′点且垂直于OZ轴的投影线相交，交点即为a″,如图3.4(c)所示。



图3.4求作点的三面投影图

3.1.4重影点

当空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时，这两点对该投影面的投影重合为一点，这两点称为该投影面的一对重影点。图3.5（a）所示的A、B两点就是水平投影面的一对重影点。



图3.5重影点的投影


重影点可见性判别的原则： 两点之中，对重合投影所在的投影面的距离或坐标值较大的点是可见的，而另一点是不可见的。即前遮后、上遮下、左遮右。因此，图3.5(a)中A点为可见、B点为不可见。

标记时，应将不可见点的投影用括号括起来。如图3.5(b)中B点的水平投影（b）。

3.2直线的三面投影

一般情况下，直线的投影仍是直线。特殊情况下，若直线垂直于投影面，则直线在该投影面上的投影积聚为一点。

3.2.1直线的投影

直线的投影可由直线上两点的同面投影连接得到。如图3.6所示，分别作出直线上两点A、B的三面投影，将其同面投影相连，即得到直线AB的三面投影。



图3.6直线的投影


立体上直线的投影在立体的同面投影上，且符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。图3.7中，直线 SA在三棱锥上，其水平投影sa、正面投影s′a′和侧面投影s″a″分别在三棱锥的水平、正面和侧面投影上，且s′a′和sa长对正，s′a′和s″a″高平齐，sa和s″a″宽相等(均为Δy)。




图3.7立体上直线的投影

3.2.2各种位置直线的投影特性

空间直线根据其对三个投影面的位置不同，可分为三类： 投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。

1.  投影面平行线

平行于一个投影面，与另外两个投影面都倾斜的直线称为投影面平行线。它平行于一个投影面，与另外两个投影面倾斜。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与W面平行的直线称为侧平线。

投影面平行线的投影特性为： 在所平行的投影面上的投影为一反映实长的倾斜直线； 其余两个投影分别为平行于相应投影轴且长度缩短的直线。它们的投影图、投影特性及其在三视图中的应用见表3.1。


表3.1投影面平行线的投影特性



类型立体图立体三视图直线投影图投 影 特 性

正平线（1） ab∥OX,a″b″∥OZ，长度缩短； 

（2） a′b′反映实长
水平线（1） c′b′∥OX,c″b″∥OYW，长度缩短； 

（2） cb反映实长
侧平线（1） c′a′∥OZ,ca∥OYH，长度缩短； 

（2） c″a″反映实长


2.  投影面垂直线

与一个投影面垂直的直线称为投影面垂直线。它垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行。与H面垂直的直线称为铅垂线，与V面垂直的直线称为正垂线，与W面垂直的直线称为侧垂线。

投影面垂直线的投影特性为： 在所垂直的投影面上的投影积聚为一点； 其余两个投影均为平行于某一投影轴且反映实长的直线。它们的投影图、投影特性及其在三视图中的应用见表3.2。

3.  一般位置直线

一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都是长度缩短的倾斜直线，如图3.6及图3.8中的AB直线，图3.7中的SA直线等。


表3.2投影面垂直线的投影特性



类型立体图立体三视图直线投影图投 影 特 性

正垂线（1） a′b′积聚成一点； 

（2） ab∥OYH,a″b″∥OYW，并反映实长
铅垂线（1） ac积聚成一点； 

（2） a′c′∥OZ,a″c″∥OZ,并反映实长
侧垂线（1） a″d″积聚成一点； 

（2） a′d′∥OX,ad∥OX，并反映实长




图3.8三视图中一般位置直线的投影

3.3平面的三面投影

一般情况下，平面图形的投影仍是其类似形。特殊情况下，若平面垂直于投影面，则平面在该投影面上的投影积聚为一条直线。

3.3.1平面的投影

平面的投影可由围成平面的各边及顶点的投影确定，如图3.9所示。 



图3.9平面的投影


立体上的平面是由若干条线段围成的平面图形，因此，立体上平面的投影就是这些线段的投影。平面的三面投影也应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。

3.3.2各种位置平面的投影特性

空间平面根据其对三个投影面的位置不同，可分为三类： 投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面。投影面垂直面和投影面平行面又称为特殊位置平面。

1. 投影面垂直面

在三投影面体系中，垂直于一个投影面、倾斜于另外两个投影面的平面，称为投影面垂直面。垂直于H面的平面，称为铅垂面； 垂直于V面的平面，称为正垂面； 垂直于W面的平面，称为侧垂面。

投影面垂直面的投影特性为： 在所垂直的投影面上的投影积聚为一倾斜于相应投影轴的直线； 其余两个投影均为小于实形的类似形。它们的投影图、投影特性及其在三视图中的应用见表3.3。


表3.3投影面垂直面的投影特性




类型立体图立体三视图平面投影图投 影 特 性

正垂面（1） 正面投影积聚成直线； 

（2） 水平投影和侧面投影为类似形
铅垂面（1） 水平投影积聚成直线； 

（2） 正面投影和侧面投影为类似形
侧垂面（1） 侧面投影积聚成直线； 

（2） 正面投影和水平投影为类似形


2. 投影面平行面

在三投影面体系中，平行于一个投影面、垂直于另外两个投影面的平面，称为投影面平行面。平行于H面的平面，称为水平面； 平行于V面的平面，称为正平面； 平行于W面的平面，称为侧平面。

投影面平行面的投影特性为： 在所平行的投影面上的投影反映实形； 其余两个投影积聚为平行于相应投影轴的直线。它们的投影图、投影特性及其在三视图中的应用见表3.4。


表3.4投影面平行面的投影特性




类型立体图立体三视图平面投影图投 影 特 性

正平面（1） 正面投影反映实形； 

（2） 水平投影积聚成直线，且平行于OX轴；

（3） 侧面投影积聚成直线，且平行于OZ轴
水平面（1） 水平投影反映实形； 

（2） 正面投影积聚成直线，且平行于OX轴； 

（3） 侧面投影积聚成直线，且平行于OYW轴
侧平面（1） 侧面投影反映实形； 

（2） 正面投影积聚成直线，且平行于OZ轴； 

（3） 水平投影积聚成直线，且平行于OYH轴


3. 一般位置平面

在三投影面体系中，与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置平面。图3.9及图3.10中所示的△ABC平面均为一般位置平面。



图3.10形体上的一般位置平面及其投影


一般位置平面的投影特性为： 三个投影均为小于实形的类似形。

若平面的三面投影都是类似形，则该平面一定是一般位置平面。

【例3.2】运用上述三类平面的投影特性，分析图3.11所示形体上各面的空间位置。


图3.11所示是一个由五个平面形围成的形体。顶面为△ABC，底面为△DEF，三侧面为四边形BCEF、ABFD和ACED。





截头三棱锥
三维模型




图3.11三视图中面的投影分析


△ABC的三面投影都是类似的三角形，分别是△abc、△a′b′c′和△a″b″c″，因而可以确认△ABC是一般位置平面。

△DEF的正面投影为直线d′e′f′，d′e′f′∥OX轴； 侧面投影为直线d″e″f″∥OYW轴； 水平投影为△def。可以判定△DEF是水平面，其水平投影反映△DEF的实形。

四边形BCEF的侧面投影b″c″(e″)f″是与OZ轴倾斜的直线，水平投影和正面投影bcef、b″c″e″f″为类似形，可以判定BCEF为侧垂面。

四边形ACED的三面投影aced、a′c′e′d′和a″c″e″d″均为类似形，可以判定四边形ACED是一般位置平面。同理，可判定四边形ABFD也是一般位置平面。

3.4平面上点和直线的投影
3.4.1平面上的直线

直线在平面上的条件： 

(1) 一直线通过属于该平面的两点； 

(2) 一直线通过属于该平面的一点，且平行于属于该平面的另一直线。

【例3.3】如图3.12所示，已知平面△ABC，试作出属于该平面的任一直线。



图3.12属于平面的直线


作法一(根据条件（1）作图，如图3.12(a)所示)： 

任取属于直线AB的一点M，它的投影分别为m和m′； 再取属于直线BC的一点N，它的投影分别为n和n′。连接两点的同面投影。由于M、N皆属于平面，所以mn和m′n′所表示的直线MN必属于△ABC平面。

作法二(根据条件（2）作图，如图3.12(b)所示)： 

通过属于平面的任一点M(投影为m和m′)，作直线MD(投影为md和m′d′)平行于已知直线BC(投影为bc和b′c′)，则直线MD必属于△ABC。

3.4.2平面上的点

点在平面上的条件： 若点属于直线，直线属于一平面，则点必属于该平面。

因此，在取属于平面的点时，首先应取属于平面的线，再取属于该线的点。

图3.12(a)表示了在属于△ABC平面的直线MN上取一点K的作图方法。由于K在MN上，所以根据点属于直线的特性可知，k′必在m′n′上，再过k′作OX轴的垂线，交mn于k，则k和k′即为点K的两面投影。


【例3.4】如图3.13(a)所示，已知属于△ABC平面的点E的正面投影e′，求作其水平投影。





作图视频





图3.13属于平面的点


分析： 因为点E属于△ABC平面，故过E作一条属于△ABC平面的直线，则点E的投影必属于相应直线的同面投影。

具体作图过程如图3.13(b)所示，过E作直线I II平行于AB，即过e′作1′2′∥a′b′，再求出水平投影12； 然后过e′作OX轴的垂线与12相交，交点即为点E的水平投影e。




1. 简答题


(1) 平面立体的三视图与立体顶点、边线及围成立体的各平面图形的投影有什么关系？

(2) 已知一点的任意两个投影，能够作出第三个投影吗？为什么？

(3) 投影面平行线和投影面垂直线各有什么位置特点？其各分为哪三种？投影分别有什么特性？

(4) 投影面平行面和投影面垂直面各有什么位置特点？其各分为哪三种？投影分别有什么特性？

2. 分析题

(1) 分析图3.14所示立体及其三视图中各投影面平行线的投影，并判断其具体类型及重影点的可见性(不可见的点加括号表示)。

(2) 分析图3.15所示立体及其三视图中各投影面垂直线的投影，并判断其具体类型及端点的可见性（不可见的点加括号表示）。




图3.14三视图中投影面平行线的投影




图3.15三视图中投影面垂直线的投影 




(3) 分析图3.16所示立体及其三视图中各投影面垂直面的投影，并判断其具体类型。

(4) 分析图3.17所示立体及其三视图中各投影面平行面的投影，并判断其具体类型。




图3.16三视图中投影面垂直面的投影




图3.17三视图中投影面平行面的投影




(5) 对照图3.18所示立体及其三视图，找出其中的一般位置平面P，在图中分别进行标注，并分析倾斜平面投影的类似性特征。



图3.18立体及其三视图中的一般位置平面