第12章无穷级数
高等数学的主线是微积分，微积分的一个最基本的思想就是“极限”。高等数学中所谓的“极限”，跟生活中的“极限”不大一样，准确地说是所能达到“极限”的尺度不大一样，高等数学中的“极限”要远比生活中所能达到“极限”还要“极限”得多。无论是微分还是积分，都蕴含着这种“无限逼近”的极限思想。只要透彻理解了高等数学中“极限”的概念，就不难理解微分、积分和无穷级数之间的关系，它们之间最简单的关系就是都蕴含了这种“极限”的思想。其实可以说无穷级数是微积分的另一种表现形式，就像一次函数和直线方程实质上是同一种东西。
无穷级数的重要作用是可以用有限的、比较简单的函数形式来逼近复杂的函数，从而实现对复杂函数的近似计算，这对于工程计算具有非常重要的意义，也体现了微积分在工程领域的应用方法。无穷级数是高等数学最后的内容，微积分由极限的思想引入，经历了微分、积分的学习，最后又回归到无穷级数这一体现极限思想的概念，所以说无穷级数也是对微积分的回归与总结。
12.1本章目标
本章将首先介绍常数项级数的概念，介绍无穷级数的收敛与发散，并将尝试通过MATLAB来实现某些级数的审敛，而对于一些收敛的级数则确定它的和。随着知识的进一步深入，将了解一些特殊的级数，譬如正项级数等，进一步地也获得了更多的审敛法。
然后将了解函数项级数的概念，知道其中最常见的幂级数。有了阿贝尔定理的理论支持，可以编写对应的脚本很方便地求收敛半径与收敛域。将函数展开成幂级数的部分即为泰勒展开，很容易在MATLAB中实现，有着对应的Taylor函数，这部分内容在上册的第3章中已经讲述了相关知识，本章不作重复赘述了。另外，关于函数幂级数展开式应用部分将不做重点介绍，因为近似计算用MATLAB来做未免显得有些笨拙，其实已经有了其他强大的计算工具； 用幂级数解微分方程较有技巧性，需要分析，不适合用MATLAB编写脚本； 欧拉公式只是引入，为之后的傅里叶级数做铺垫。
本章最后讲述了傅里叶级数的相关知识，将编写更为复杂的脚本来将函数展开为傅里叶级数。在了解一般周期函数的傅里叶级数以及傅里叶级数的复数形式之后，就能够简化脚本。学习傅里叶级数后，可以了解一些拓展知识。将参考MATLAB中的帮助文档了解快速傅里叶变换函数fft的用法与功能，并利用它进行傅里叶变换的一种常见应用——频谱分析。





12.2相关命令
本章涉及的新的MATLAB命令。
(1) symsum： 级数的和。用法如下： 

 F=symsum(f,k,a,b)： 从下界a到上界b返回级数f对求和阶数k求和。如果不指定k，symsum将使用由symvar确定的变量作为求和阶数。如果f是常数，那么默认变量是x。

 symsum(f,k,［a b］)或symsum(f,k,［a; b］)等价于symsum(f,k,a,b)。

 F=symsum(f,k)： 返回级数f关于求和阶数k的不定和(反差分)。f定义了这个级数，使得不定和f满足F(k+1)-F(k)=f(k)的关系。如果不指定k，symsum将使用由symvar确定的变量作为求和阶数。如果f是常数，那么默认变量是x。
(2) strcat： 水平串联字符串。用法如下： 

 s=strcat(s1,…,sN)： 水平串联s1,…,sN。每个输入参数都可以是字符数组、字符向量元胞数组或字符串数组。如果任一输入是字符串数组，则结果是字符串数组； 如果任一输入是字符向量元胞数组，并且没有输入字符串数组，则结果是字符向量元胞数组； 如果所有输入都是字符数组，则结果是字符数组。对于字符数组输入，strcat会删除尾随的ASCII空白字符： 空格、制表符、垂直制表符、换行符、回车和换页符。对于元胞数组和字符串数组输入，strcat不删除尾随空白字符。
(3) fft： 快速傅里叶变换。用法如下： 

 Y=fft(X)： 用快速傅里叶变换(FFT)算法计算X的离散傅里叶变换(DFT)。

如果X是向量，则fft(X)返回该向量的傅里叶变换。

如果X是矩阵，则fft(X)将X的各列视为向量并返回每列的傅里叶变换。

如果X是一个多维数组，则fft(X)将沿大小不等于1的第一个数组维度的值视为向量并返回每个向量的傅里叶变换。

 Y=fft(X,n)： 返回n点DFT。如果未指定任何值，则Y的大小与X相同。

如果X是向量且X的长度小于n，则为X补上尾零以达到长度n。

如果X是向量且X的长度大于n，则对X进行截断以达到长度n。

如果X是矩阵，则每列的处理与向量情况相同。

如果X为多维数组，则大小不等于1的第一个数组维度的处理与向量情况相同。

 Y=fft(X,n,dim)： 返回沿维度dim的傅里叶变换。例如，如果X是矩阵，则fft(X,n,2)返回每行的n点傅里叶变换。




12.3常数项级数的计算
本章最基础的部分是理解什么是级数，并会计算一些简单的级数的和。在MATLAB中，可以通过symsum函数实现这一点。
首先用syms函数定义k与n，那么symsum函数则可以计算用k表示的通式在自变量遍历某一段区间的总和。
为了更好地理解symsum的用法，可以在MATLAB中先做几个小实验： 
定义： syms k n


输入：输出：

symsum(k) 	k^2/2 - k/2

symsum(k,0,n-1) 					(n*(n - 1))/2

symsum(k,0,n) 					(n*(n + 1))/2

symsum(k^2,0,n)					(n*(2*n + 1)*(n + 1))/6

expand(symsum(k^2,0,n)) 			n^3/3 + n^2/2 + n/6

symsum(k^2,0,10) 					385

symsum(k^2,［0,10］) 				385

symsum(k^2,11,10) 				0

symsum(1/k^2) 					-psi(k, 1)

symsum(1/k^2,1,Inf)				pi^2/6

其中，expand表示将含括号的多项式拆开，化为单项式之和； psi表示Ψ函数，也称为双γ函数，是gamma函数的对数导数； Inf表示正无穷大。
下面以例题来展示如何运用symsum函数计算简单的级数的和。
例121计算等比级数的和。
解： 



syms a q k

symsum(a*q^k,k,0,Inf)



运行程序，得到如下结果： 

ans = a∞if 1≤q
-aq-1if ｜q｜＜1

可见该函数很好地解决了等比级数求和问题，并且做出了分类： 当q≥1时，和为正无穷大乘以a，与a的符号有关； 当 q＜1时，和为a1-q。同时可以理解的是，只要通过symsum函数能够算出某级数的和，且为有限量，那么它必然是收敛的； 若该和与Inf有关或表示为NaN，那么它就是一个发散级数。
例122证明级数1+2+3+…+n+…是发散的。
解： 



syms k

symsum(k,k,1,Inf)



运行程序，得到如下结果： 

ans = ∞

说明该级数是发散的。
例123判定无穷级数11·2+12·3+…+1n·n+1+…的收敛性。
解： 



syms k

symsum(1/(k*(k+1)),k,1,Inf)



运行程序，得到如下结果： 

ans = 1

也就是说该级数收敛且和为1。可以看出面对简单的级数和与收敛性问题，只用一个symsum函数就完全可以解决。
12.4常数项级数的审敛法
在上一节中，了解到了symsum函数可以计算常数级数和，在本节将继续用该函数来判断级数的审敛性。
例124讨论p级数的收敛性。
解： 



syms p k

symsum(1/k^p,k,1,Inf)



运行程序，得到如下结果： 

ans = {ξ(p) if 1 <real(p)}


尝试按之前的做法，发现答案比较奇怪。仅讨论p为实数时，知道当p大于1时级数收敛，而zeta函数在MATLAB里表示黎曼zeta函数，事实上就是当p为实数时的p级数。也就是说，symsum函数只是起到了转换表达方式的作用，并没有起到计算的功能，也不能进一步地确切地说明p级数是否收敛。
不过，通过教材上的方法得到p级数的收敛性后，可以将其他级数与p级数作比较，利用极限形式比较审敛法： 
设∑+∞n=1un为正项级数，
(1) 如果limn→∞nun=l＞0(或limn→∞nun=+∞)，那么级数∑+∞n=1un发散；
(2) 如果p＞1，而limn→∞npun=l(0≤l＜+∞)，那么级数∑+∞n=1un收敛。
这样就可以判断级数的收敛情况。具体实现脚本为： 



%% 输入通项

syms n f p;

f=f(x);

%% 审敛

if limit(n*f,n,Inf)>0

fprintf("级数发散")

else

if limit(n^(1+1e-10)*f,n,Inf)>=0&&isfinite(limit(n^(1+1e-10)*f,n,Inf))==1

fprintf("级数收敛")

else

fprintf("无法用本方法判断该级数收敛性")

end

end



把通项f用n的表达式来表示，就可以判断级数的收敛性了，其中isfinite函数能够判断某值是否为有限值，若有限则输出逻辑值1； 无限/NaN则输出0。1e-10指10-10，表示非常小的数，这是因为通过(2)可以判断p越接近1越有可能满足条件。
例125证明级数∑+∞n=11nn+1是发散的。
解： 



% 输入通项

syms n f p;

f=1/sqrt(n*(n+1));






% 审敛

if limit(n*f,n,Inf)>0

fprintf("级数发散")

else

if limit(n^(1+1e-10)*f,n,Inf)>=0&&isfinite(limit(n^(1+1e-10)*f,n,Inf))==1

fprintf("级数收敛")

else

fprintf("无法用本方法判断该级数收敛性")

end

end



运行程序，得到如下结果： 

级数发散

利用之前编写的脚本，将f表示为1/sqrt(n*(n+1))，运行脚本，得到该级数是发散的。同样地，可以编写使用比值审敛法与根值审敛法判断级数收敛性的脚本，这里以比值审敛法为例。读者可以自己尝试编写根值审敛法的脚本。
例126判断级数∑+∞n=11n-1！ 的收敛性。
解： 



% 输入通项

syms n f1 f2;

f1=1/factorial(n-1);

f2=subs(f1,n,n+1);

% 审敛

l=limit(f2/f1,n,Inf);

if l>1

fprintf("级数发散")

else

if l<1

fprintf("级数收敛")

else

fprintf("无法用本方法判断该级数收敛性")

end

end



运行程序，得到如下结果： 

级数收敛


其中subs起到复制的作用，把f2作为f1的副本的同时，将n替换为n+1。
根据绝对收敛必定收敛的定理，便可以通过判断正项级数收敛性的脚本解决绝大多数问题，为此只需对之前的脚本做一些改进。
12.5幂级数
将常数项级数的概念扩展至函数项级数后，便引入了一个新的简单而常见的概念——幂级数。通过教材知识的学习，可以知道幂级数有收敛域，在收敛域内它会收敛于某一和函数。通过MATLAB可以很容易地求出幂级数的收敛半径进而判断出收敛域。
例127求幂级数x-x22+x33-…+-1n-1xnn+…的收敛半径与收敛域。
解： 



% 输入通项

syms n x an an1;

an=(-1)^(n-1)^n/n;

an1=subs(an,n,n+1);

% 判断收敛半径

l=limit(abs(an1/an),n,Inf);

R=1/l

% 判断收敛域

if isfinite(symsum(an*R^n,n,1,Inf))==1

Right=1;

else 

Right=0;

end

if isfinite(symsum(an*(-R)^n,n,1,Inf))==1

Left=1;

else

Left=0;

end

% 输出收敛域

if Left==1

s = '［';

else

s = '(';

end

s=strcat(s,num2str(double(-R),'%d,'),num2str(double(R),'%d'));

if Right==1

s = strcat(s,'］');

else

s = strcat(s,')');

end

fprintf(s);


运行程序，得到如下结果： 

R =1

［-1,1)

事实上，对于简单的幂级数，完全可以仅通过symsum函数判断它的性质，既可以了解它的收敛域，又能够知晓它在收敛域内的和函数。
例128求幂级数∑∞n=0xnn+1 的和函数。
解： 



syms x n

symsum(x^n/(n+1),n,0,Inf)



运行程序，得到如下结果： 

ans = 
∞1≤x

-log(1-x)x
｜x｜≤1∧x≠1


由此可以看到，该级数的收敛域为［-1,1)，并且它的和函数为-ln(1-x)x。特别地，由和函数的连续性可以得到其在x=0处取1。
12.6傅里叶级数
这节将学习如何通过MATLAB将函数展开为傅里叶级数。根据教材中的操作步骤，以f(x)=x为例将其展开，实现代码为： 



%% 参数定义

syms x n;

f=x;

n2=5;

A=zeros(2,n2);

f1=int(f*cos(n*x),-pi,pi);

f2=int(f*sin(n*x),-pi,pi);

f3=0;

%% 计算傅里叶系数

a0=int(f,-pi,pi)/pi;

for idx=1:n2

A(1,idx)=int(f*cos(idx*x)/pi,-pi,pi);

A(2,idx)=int(f*sin(idx*x)/pi,-pi,pi);

end

%% 打印结果

s = 'f(x)=';







if (a0~=0)

s=strcat(s,num2str(a0/2,'%g+'));

else

a0=0;

end

if A(1,1)~=0

s=strcat(s,num2str(A(1,1),'%g*cos(x)+'));

else

A(1,1)=0;

end

if A(2,1)~=0

s=strcat(s,num2str(A(2,1),'%g*sin(x)+'));

else

A(2,1)=0;

end

for idx=2:n2

if A(1,idx)~=0

s=strcat(s,num2str(A(1,idx),'%g*'),num2str(idx,'cos(%gx)+'));

else

A(1,idx)=0;

end

if A(2,idx)~=0

s=strcat(s,num2str(A(2,idx),'%g*'),num2str(idx,'sin(%gx)+'));

else

A(2,idx)=0;

end

end

s=strcat(s,'...');

fprintf(s);



运行程序，得到如下结果：


f(x)=2*sin(x)－1*sin(2x)+0.666667*sin(3x)－0.5*sin(4x)+0.4*sin(5x)+…




%% 画图检验

fplot(f,［-pi,pi］);

for idx=1:n2

f3=f3+A(1,idx)*cos(idx*x)+A(2,idx)*sin(idx*x);

end

hold on;

fplot(f3+a0/2,［-pi,pi］,'--r');

xlabel('x'), ylabel('f');

title(［'n为',num2str(n2)］)

legend('原函数', '傅里叶级数')

hold off



运行程序，得到如图121所示的检验图(对照图)。


图121检验图(n=5)


进一步地，考查将n提高后的结果(只打印图片)，如图122所示。


图122对照图(n=10)


可以看出通过教材中的方法能够实现将函数展开为傅里叶级数，且精度随n的增大而提高。不过善于思考的读者可以发现，对于某些分段函数(如方波，是一种非正弦曲线的波形)无法用统一的表达式表达f，无法输入该脚本也无法求定积分。特定的分段函数可以使用polyfit与polyval函数拟合为多项式函数，但方波显然是难以较好地拟合为多项式函数的。为此需要使用数值积分函数integral(会导致精确度降低)。
例129设f(x)是周期为2π的周期函数，它在［-π,π)上的表达式为f(x)=
-1,-π≤x＜0
1,0≤x＜π，将f(x)展开为傅里叶级数。
解： 



% 参数定义

syms n x;

f=@(x)square(x);

n2=10;

A=zeros(2, n2);

f0=0;

x0=-pi:0.01:pi;

% 计算傅里叶系数

a0=integral(@(x)f(x)./pi,-pi,pi);

for idx=1:n2

A(1,idx)=integral(@(x)f(x).*cos(idx.*x)./pi,-pi,pi);

A(2, idx)=integral(@(x)f(x).*sin(idx.*x)./pi,-pi,pi);

end

% 打印结果

s = 'f(x)=';

if abs(a0)>=1e-10

s=strcat(s,num2str(a0/2,'%g+'));

else

a0=0;

end

if abs(A(1,1))>=1e-10

s=strcat(s,num2str(A(1,1),'%g*cos(x)+'));

else

A(1,1)=0;

end

if abs(A(2,1))>=1e-10

s=strcat(s,num2str(A(2,1),'%g*sin(x)+'));

else

A(2,1)=0;

end

for idx=2:n2

if abs(A(1,idx))>=1e-10

s=strcat(s,num2str(A(1,idx),'%g*'),num2str(idx,'cos(%gx)+'));

else

A(1,idx)=0;

end

if abs(A(2,idx))>=1e-10

s=strcat(s,num2str(A(2,idx),'%g*'),num2str(idx,'sin(%gx)+'));

else






A(2,idx)=0;

end

end

s=strcat(s,'...');

fprintf(s);

% 画图检验

plot(x0,f(x0));

for idx=1:n2

f0=f0+A(1,idx)*cos(idx*x)+A(2,idx)*sin(idx*x);

end

hold on

fplot(f0+a0/2,［-pi,pi］);

xlabel('x'), ylabel('f');

hold off



运行程序，得到如下结果： 

f(x)=1.27324*sin(x)+0.424413*sin(3x)+0.254648*sin(5x)+0.181891*sin(7x)+
0.141471*sin(9x)+…

得到的检验图(对照图)如图123所示。


图123方波傅里叶级数与原函数的对照图


其中@是MATLAB中函数句柄的符号，在integral函数中用到。可以在函数名称前添加一个@符号来为函数创建句柄。
由于integral函数并不精确，会有极小的偏差，导致有些值为零的数值变为极小但非零(1e-17等)，为此需要修改一些判断条件，在脚本中有体现。
本题利用了square函数，而对于一般的分段函数，如f(x)=x,-π≤x＜0
0,0≤x＜π，可以通过f=@(x)(x<0).*x;实现，其中利用了在条件为True时逻辑值为1，为False时逻辑值为0的特点。同时，使用逻辑值进行乘、除、幂运算时符号前要加“.”。但在之前的脚本中，如果不使用@符号，是不能按这种方法实现的，感兴趣的读者可以尝试一下。
12.7一般周期函数的傅里叶级数
一般周期函数的周期不一定是2π，不过通过教材上的定理，很容易发现只需修改一小部分脚本就能够实现将周期不为2π的函数展开为傅里叶级数。
例1210设f(x)是周期为4的周期函数，它在［-2,2)上的表达式为f(x)=0,-2≤x＜0
1,0≤x＜2，将f(x)展开成傅里叶级数。
解： 



% 参数定义

syms n x;

f=@(x)(x>=0);

n2=10;

l=2;

A=zeros(2,n2);

f0=0;

x0=-l:0.01:l;

% 计算傅里叶系数

a0=integral(@(x)f(x)./l,-l,l);

for idx=1:n2

A(1,idx)=integral(@(x)f(x).*cos(idx.*x.*pi/l)./l,-l,l);

A(2,idx)=integral(@(x)f(x).*sin(idx.*x.*pi/l)./l,-l,l);

end

% 打印结果

s = 'f(x)=';

if abs(a0)>=1e-10

s=strcat(s,num2str(a0/2,'%g+'));

else

a0=0;

end

for idx=1:n2

if abs(A(1,idx))>=1e-10

s=strcat(s,num2str(A(1,idx),'%g*'),num2str(idx*pi/l,'cos(%gx)+'));

else

A(1,idx)=0;

end

if abs(A(2,idx))>=1e-10

s=strcat(s,num2str(A(2,idx),'%g*'),num2str(idx*pi/l,'sin(%gx)+'));






else

A(2,idx)=0;

end

end

s=strcat(s,'...');

fprintf(s);

% 画图检验

plot(x0,f(x0));

for idx=1:n2

f0=f0+A(1,idx)*cos(idx*x*pi/l)+A(2,idx)*sin(idx*x*pi/l);

end

hold on

fplot(f0+a0/2,［-l,l］);

xlabel('x'), ylabel('f');

hold off



运行程序，得到如下结果： 

f(x)=0.5+0.63662*sin(1.5708x)+0.212207*sin(4.71239x)+0.127324*sin(7.85398x)+
0.0909457*sin(10.9956x)+0.0707355*sin(14.1372x)+…


得到的检验图(对照图)如图124所示。


图124函数f(x)展开所得傅里叶级数与原函数的对照图


由此得到了一般周期函数傅里叶级数展开的方法，进一步地，还可以将其展开为傅里叶级数的复数形式，而且也很容易用MATLAB实现，只需要做一些小小的改动就可以了，感兴趣的读者可以尝试一下。
12.8拓展内容： 傅里叶变换的应用——频谱分析
将周期函数展开为傅里叶级数，是将其展开为一个个频率离散的三角函数之和，而傅里叶变换则能够将一个一般函数展开为频率连续的三角函数之和。MATLAB内置的函数fft（x）能够实现用快速傅里叶变换计算X的离散傅里叶变换。如果X是向量，则fft(X)返回该向量的傅里叶变换。如果X是矩阵，则fft(X)将X的各列视为向量并返回每列的傅里叶变换。如果X是一个多维数组，则fft(X)将沿大小不等于1的第一个数组维度的值视为向量并返回每个向量的傅里叶变换。
快速傅里叶变换最常见的一个应用便是频谱分析，以MATLAB自带的一个例子“使用傅里叶变换求噪声中隐藏信号的频率分量”来考查其用法与功能。
首先需要定义信号的参数，采样频率为1kHz，信号持续时间为1.5秒： 



Fs = 1000;%采样频率

T = 1/Fs;%采样周期

L = 1500;%信号长度

t = (0:L-1)*T;%持续时间




接下来构造一个信号，包含幅值为0.7的50Hz正弦量和幅值为1的120Hz正弦量： 



S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);



再用均值为零、方差为4的白噪声干扰该信号： 



X = S + 2*randn(size(t));



接下来绘制该噪声信号： 



plot(1000*t(1:50),X(1:50))

title('被零均值随机噪声污染的信号')

xlabel('时间t/毫秒')

ylabel('X(t)')



运行程序，得到如图125所示的噪声信号。


图125被噪声污染的信号变化图


通过查看信号X(t)很难确定原信号S(t)的频率分量，而通过fft函数进行傅里叶变换后，将能够把该信号分解为无穷多个不同频率的三角函数和。可以猜想由于白噪声分解后的频率应是均匀随机的，而原信号分解后的频率应以其频率分量为主，这样就能够通过分解该信号得到原信号的频率分量。为此，可以尝试对信号进行傅里叶变换： 



Y =fft(X);



接下来计算双侧频谱P2，然后基于P2和偶数信号长度L计算单侧频谱P1： 



P2 = abs(Y/L);

P1 = P2(1:L/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);



P2处要将Y/L的原因可以参考fft函数的帮助文档中的详细信息： 
Y=fft(X)和X=ifft(Y)分别实现傅里叶变换和逆傅里叶变换，对于长度n的X和Y，这些变换定义如下： 

Y(k)=∑nj=1X(j)W(j-1)(k-1)n

X(j)=1n∑nk=1Y(k)W-(j-1)(k-1)n

其中，Wn=e-2πin为n次单位根之一。
可见，fft函数直接计算出的Y(k)并不是振幅谱，观察X(j)的公式，对应的幅值为Y(k)/N，因此可以得出需要将fft得到的结果除以信号长度L。
由于经过傅里叶变换后得到的频谱是对称的(一半是信号的负频率)，只需要考查单侧频谱，P1只需取P2的前半部分。进一步地，由于对称的频率幅值相同，取好单侧频谱后需要对幅值进行翻倍。
接下来，定义频域f并绘制单侧振幅谱P1： 



f = Fs*(0:(L/2))/L;

plot(f,P1) 

title('X(t)单侧振幅谱')

xlabel('f (Hz)')

ylabel('|P1(f)|')



运行程序，得到如图126所示的频域f的单侧振幅谱。


图126频域f的单侧振幅谱


基本与猜想相符，不过由于增加了噪声，幅值并不精确等于0.7和1。一般情况下，较长的信号会产生更好的频率近似值。
接下来尝试将原信号进行傅里叶变换，检索精确幅值0.7和1.0，与之前步骤基本相同： 



Y = fft(S);

P2 = abs(Y/L);

P1 = P2(1:L/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

plot(f,P1) 

title('S(t)单侧振幅谱')

xlabel('f (Hz)')

ylabel('|P1(f)|')



运行程序，得到如图127所示的原信号傅里叶变换后的单侧振幅谱。


图127对原信号进行傅里叶变换所得的单侧振幅谱


可以看到，通过fft函数对噪声信号进行傅里叶变换，能够较好地得到原噪声中隐藏的信号的频率分量。频谱分析是该函数的一个常见应用，其他的应用有兴趣的读者可以在参考文档中进一步了解。
12.9上机实践
1. 输入命令判断调和级数的收敛性。
2. 通过γ=limn→+∞1+12+…+1n-lnn了解欧拉常数在MATLAB中的表示方法。
3. 判断1+12-13+14+15-16+…的收敛性。
4. 编写利用根值审敛法判断级数收敛性的脚本以∑+∞n=12+-1n2n为例。
5. 求∑+∞n=1x4n+14n+1的和函数。
6. 将函数f(x)=ex,-π≤x＜0
1,0≤x＜π展开成傅里叶级数。
7. 将函数f(x)=-π2,-π≤x＜-π2

x,-π2≤x＜π2

π2,π2≤x＜π展开成傅里叶级数。
8. 将函数f(x)=cosx,0≤x＜π2

0,π2≤x≤π分别展开成正弦级数和余弦级数。
9. 更改并简化将一般周期函数展开为傅里叶级数的脚本，使得输出为复数形式，以

f(x)=0,-3≤x＜-1

1,-1≤x≤1
0,1＜x≤3

为例。
10. 将f(x)=1-x2-12≤x＜12展开为傅里叶级数。