第5章基于扰动观测器的PID和谐振控制器
5.1引言

第1~4章讨论了具有明确的比例控制、积分控制、微分控制功能的PID控制系统。由于积分控制在控制器结构中嵌入了临界稳定模式，当控制信号达到饱和限值时会使积分器饱和，因此在PID控制系统实现时，需要加以改进，以克服这一问题。谐振控制器也面临类似问题，而且情况更糟。
本章从与前几章不同的角度研究PID控制器和谐振控制器的设计。通过扰动估计引入积分模态和谐振模态，使设计变得更简单。更重要的是，PID和谐振控制器的实现可自然地从具有抗饱和机制的设计中获得。这种改进对谐振控制器特别重要，因为对于实际应用而言，抗饱和机制实现的简单性至关重要。
5.2基于扰动观测器的PI控制器
本节介绍扰动估计的思想，这会产生一个等价的PI控制系统。本节使用的数学模型为一阶模型，若系统具有更高阶传递函数，则需要进行近似。
5.2.1带有控制的扰动估计
假设存在一个恒定的未知输入扰动d(t)，那么用于描述一阶系统的微分方程可表示为： 

y·(t)=-ay(t)+bu(t)+d(t)(5.1)

其中a和b为模型系数，u(t)和y(t)为输入和输出变量。图5.1给出了基于估计器设计PI控制器的数学模型。



图5.1基于扰动观测器的PI控制器系统框图


假设d(t)为常数，有： 

d·(t)=0(5.2)

指定两个期望的闭环极点-α1和-α2，其中α1＞0，α2＞0。所提出的设计中，α1的取值主要影响比例增益K1，α2主要影响积分增益K2。
1. 比例控制器K1的选择
K1的选择很简单。首先定义： 

u～(t)=u(t)+d(t)(5.3)

式(5.1)变成： 

y·(t)=-ay(t)+bu～(t)(5.4)

加上比例控制： 

u～(t)=-K1y(t)

可得闭环系统为： 

y·(t)=-a+bK1y(t)(5.5)

使实际的闭环极点-(a+bK1)与期望的闭环极点-α1相等，求得比例增益K1为： 

K1=α1-ab(5.6)





2. 稳态误差补偿
大家知道，对于一个恒定的给定信号或扰动信号，比例控制会使闭环系统存在稳态误差。为了消除稳态误差，需要在控制系统中引入积分作用。这里，可估计稳态误差，并在控制信号中进行补偿。为此，从式(5.1)中提取扰动信息： 

bd(t)=y·(t)+ay(t)-bu(t)(5.7)

可以尝试使用式(5.7)直接计算未知扰动d(t)，并在控制信号中对其进行补偿。然而，由于模型参数的不确定性和实际应用中的其他缺陷，很容易验证该方法不能产生所需的控制信号。我们估计扰动信号d(t)来对误差进行补偿。
令d^(t)表示扰动信号的估计。给定和估计值之间的误差为： 

ò(t)=bd(t)-bd^(t)= y·(t)+ay(t)-bu(t)-bd^(t)(5.8)

将误差ε(t)以增益K2加权，并假设d·(t)=0，构造估计值d^(t)为： 

dd^(t)dt=K2y·(t)+ay(t)-bu(t)-bd^(t)(5.9)

这就是所谓的观测器方程。选择增益K2，使误差d^(t)=d(t)-d^(t)收敛到零。
注意到： 

dd～(t)dt=-K2bd～(t)(5.10)

然后，选择参数K2使得-K2b=-α2，有： 

K2=α2b

因此，

dd～(t)dt=-α2d～(t)(5.11)

对任意给定的初始条件|d^(0)|＜∞和α2＞0，随着t→∞，估计误差d～(t)→0。收敛速度取决于参数α2，α2越大，估计误差收敛到零的速度越快。
现在，为了计算具有稳态误差补偿的控制信号，将式(5.3)中的未知扰动d(t)替换为由式(5.9)得出的估计值d^(t)，控制信号为： 

u(t)=-K1y(t)-d^(t)(5.12)

3. 闭环极点
为了验证控制系统的闭环极点确实是-α1和-α2，将式(5.12)代入式(5.1)，得： 

y·(t)=-a+bK1y(t)+bd～(t)=-α1y(t)+bd～(t)(5.13)

其中d～(t)=d(t)-d^(t)。结合式(5.11)，写出闭环系统方程： 

dy(t)dt
dd～(t)dt=-α1b
0-α2Ay(t)
d～(t)(5.14)

由于A为上三角矩阵，因此可以简单地将闭环极点(或特征值)作为特征方程的解来计算： 

det(sI-A)=(s+α1)(s+α2)=0

其中，I为维数2×2的单位矩阵，特征方程的解为-α1和-α2。
4. 实现过程
由于估计方程(5.9)包含输出信号y(t)的微分，直接离散化需要采样时刻ti的信息y(ti+1)，这无法得到。
定义一个变量z～(t)为： 

z～(t)=d^(t)-K2y(t)(5.15)

将该变量代入估计式(5.9)，得： 


dz^(t)dt=-K2bz^(t)-K22b-K2ay(t)-K2bu(t)


=-α2z^(t)-K2α2-ay(t)-α2u(t)

(5.16)

如果给定信号r(t)≠0，则以y(t)-r(t)替换y(t)来修改式(5.15)和式(5.16)。此外，如果控制信号u(t)达到饱和限值，则饱和信息通过式(5.16)在扰动的估计d^(t)中更新。图5.2给出了使用扰动观测器的控制系统框图。为了离散化，在采样时刻ti处，导数dz^(t)dt使用一阶近似，为： 

dz^(t)dt≈z^(ti+1)-z^(ti)Δt



图5.2使用扰动观测器的控制系统框图


那么： 

z^(ti+1)=z^(ti)-
α2z^(ti)+α2α2-aby(ti)-r(ti)+α2u(ti)Δt(5.17)

控制信号的计算过程总结如下。选择闭环运行开始时的初始条件z^(t0)，如果没有其他可用信息，可取为零。利用采样时刻ti的给定信号r(ti)和输出信号y(ti)，递归计算控制信号u(ti)，控制信号限制在umin和umax之间。

(1) 计算采样时刻ti的扰动信号估计值，为： 

d^(ti)=z^(ti)+K2y(ti)-r(ti)

(2) 用下式计算控制信号： 

u(ti)=-K1y(ti)-r(ti)-d^(ti)

(3) 对控制信号加以饱和限制： 

u(ti)=uminif u(ti)＜umin

u(ti)if umin≤u(ti)≤umax

umaxif u(ti)＞umax


(4) 更新下一个采样时刻的扰动估计d^(ti+1)： 

z^(ti+1)=z^(ti)-
α2z^(ti)+α2α2-aby(ti)-r(ti)+α2u(ti)Δt

(5) 输出控制信号u(ti)加以实现。当下一个采样周期到来时，对输出进行新的测量，并从步骤(1)开始重复补偿过程。
5.2.2PI控制器的等价
为了计算等价PI控制器，拉氏变换z(s)表示为： 

z^(s)=-K2α2-a(s+α2)Y(s)-α2(s+α2)U(s)

其中K2=α2/b，D^(s)的拉氏变换为： 

D^(s)=z^(s)+K2Y(s)=K2(s+a)s+α2Y(s)-α2s+α2U(s)(5.18)

控制信号的拉氏变换U(s)变成： 

U(s)=-K1Y(s)-K2(s+a)s+α2Y(s)+α2s+α2U(s)

即

U(s)=-K1(s+α2)s+K2s+K2α2sY(s)(5.19)

由此可知，等效PI控制器为： 


C(s)=K1(s+α2)s+K2s+K2α2s
=K1+K2+K1α2+K2as

(5.20)

PI控制器参数为： 

Kc=K1+K2

Kcτ1=K1α2+K2a


其中K1=(α1-a)/b，K2=α2/b。可以验证闭环极点位于-α1和-α2处，这正是设计指标。
定义系数c1=Kc，c0=KcτI，饱和限制器为∑，图5.3给出了具有抗饱和机制的PI控制器的传递函数实现，该控制器根据给定信号R(s)和输出信号Y(s)计算控制信号U(s)。


图5.3基于估计器的PI控制器的传递函数实现(∑为饱和限制)


5.2.3通过估计实现PI控制器的MATLAB教程
在Simulink环境下对估计的嵌入式PI控制器进行仿真研究。
教程5.1本教程旨在说明如何实时实现基于估计器的PI控制算法。教程的核心是产生一个MATLAB内嵌函数，该函数可用于Simulink仿真，也可以在MATLAB中实时实现。MATLAB内嵌函数完成了控制信号的一个计算周期。对于每个采样周期，将重复相同的计算过程。
步骤
(1) 创建一个新的Simulink文件，命名为PIEstimate.slx。
(2) 在Simulink“用户定义函数”目录，找到MATLAB内嵌函数图标，并将其复制到PIEstim模型中。
(3) 单击内嵌函数图标，定义PIEstim模型的输入变量和输出变量，使内嵌函数具有如下形式：

function uCur = PIEstim(r,y,K1,K2,alpha2,a,deltat,umin,umax)


其中uCur为计算出的采样时刻tk控制信号，输入变量中的前两个元素(r和y)为采样时刻ti给定信号和输出信号的测量值，K1和K2是控制器增益和估计器增益，deltat是采样间隔，umin和umax为控制信号uCur的下限和上限。
(4) 在内嵌功能顶部的“工具”中找到“模型资源管理器”。打开“模型资源管理器”，“更新”方法选“离散”，在“采样时间”中输入deltat。选择“支持”维数可变数组； 整数溢出选择“饱和”； 选择“定点”。单击“应用”保存更改。
(5) 编辑输入和输出数据端口，使内嵌函数知道哪些输入是实时变量，哪些是参数。该编辑任务使用“模型资源管理器”完成。
 单击r，“示波器”选择为“输入”,“端口”指定为“1”，“大小”选为“-1”，“复杂度”选为“继承”，“类型”选为“继承： 与Simulink相同”。对输出信号y重复相同的编辑过程。
 内嵌函数的其余5个输入是计算所需的参数。单击K1，在“示波器”上选择“参数”，依次单击“可调”→“应用”保存更改。对其余参数重复相同的编辑过程。
 编辑内嵌函数的“输出端口”，单击uCur，在“示波器”上选择为“输出”，“端口”选为“1”，“大小”选为“-1”，“采样模型”选为“基于样本”，“类型”选为“继承： 与Simulink相同”，然后单击“应用”按钮保存更改。
(6) 程序将声明每次迭代存储在内嵌函数中的变量，以获取它们的维数和初始值。zhat为采样时刻ti时的扰动估计，它需要一个初始值，赋值为零。在文件中输入以下程序：

persistent zhat

if isempty(zhat)

zhat=0;

end


(7) 更新z^(ti+1)的估计。在文件中输入以下程序：

dhat=zhat+K2*(y-r);


(8) 结合比例控制和扰动估计更新控制信号。在文件中输入以下程序：

Cur=-K1*(y-r)-dhat;


(9) 使用抗饱和机制实现饱和限制。在文件中输入以下程序：

if (uCur>umax)

uCur=umax;

end

if (uCur<umin)

uCur=umin;

end


(10) 计算下一个采样时刻的z^(ti+1)。在文件中输入以下程序： 

zhat=zhat-alpha2*zhat*deltat-(y-r)*(alpha2-a)*K2*deltat…

-alpha2*uCur*deltat;


5.2.4基于估计器的PI控制器示例
【例5.1】连续时间系统由以下一阶模型近似： 

G(s)=0.1T1s+1(5.21)

其中时间常数T1为10s。已知该系统具有可变的时延TD，其最大值为1s，一个忽略的时间常数T2的最大值为5s。设计基于估计器的PI控制器，并对闭环控制性能和扰动抑制性能进行仿真，给定信号为单位阶跃变化，输入扰动为幅度20的阶跃信号。
解由于系统存在忽略的时延和时间常数，因此模型的不确定性将限制期望的闭环性能指标。第一个好的起点是选择与系统的已知极点相等的闭环主导极点，该极点位于-0.1。因此，α1=0.1。第二个期望的闭环极点-α2由5.2.3节中介绍的MATLAB实时函数通过闭环仿真确定。
在a=0.1，b=0.01，α1=0.1的情况下，参数K1的计算如下： 

K1=α1-ab=0

参数K2计算如下： 

K2=α2b

取参数α2为0.1、0.2、0.3，计算出对应的K2分别为10、20和30。
取采样间隔Δt=0.01s，并将Simulink仿真与5.2.3节中建立的PIEstim.slx函数配合使用，可以获得最坏情况下的闭环仿真结果，此时，仿真中使用的控制对象传递函数为： 

G(s)=0.1e-s(10s+1)(5s+1)

仿真中，单位阶跃给定信号在t=0时刻进入系统，输入扰动在仿真时间进行到一半时进入系统。由图5.4所示的比较结果可以看出，随着α2的增加，闭环系统给定值跟踪和扰动抑制的响应速度都提高了。可以验证,α2的进一步增大将导致闭环响应振荡增大。对于模型不确定性，α2=0.3是一个不错的选择。


图5.4不同α2值时，基于估计器的PI控制器闭环控制性能比较(例5.1)


其中，1线表示α2=0.1； 2线表示α2=0.2； 3线表示α2=0.3



显然，取α2=0.3用于基于估算器的PI控制器设计时，需要的控制幅值更大。实际上，由于驱动器的物理限制，如此大的控制幅值可能无法实现。这引出一个有趣的问题，如果控制信号幅值受限，闭环响应速度将如何变化。下面的例子将进行比较研究。
【例5.2】继续例5.1。假设控制信号幅值受限： 

-11≤u(t)≤14(5.22)

比较单位阶跃给定信号作用下和振幅为20的阶跃输入扰动下的闭环响应。
解考查最慢响应情况α2=0.1和最快响应情况α2=0.3，两种情况下均取α1=0.1。
α2=0.1时，除了短时间内抑制扰动外，控制信号的最大值和最小值自然满足条件(见图5.5)。因此，α2=0.1时，给定信号和扰动信号的闭环响应在控制信号受限时保持不变。但当α2=0.3时，在给定值跟踪和扰动抑制仿真中，控制信号幅值超过其最大值和最小值。实际上，最大值需要从35.60降低到14，最小值需要从-17.92增加到-11。控制器设计中取α2=0.3时，控制信号的限制将使其幅值急剧减小。图5.5(a)显示了阶跃给定信号和扰动信号作用下的闭环系统控制信号。可以看出，控制信号确实在限值范围内。图5.5(b)比较了闭环系统阶跃给定信号和扰动信号作用下的输出响应。可以看出，阶跃给定信号下闭环响应速度相仿，但α2越大，扰动抑制就越快。


图5.5不同α2值时，基于估计器的PI控制器闭环控制性能比较(例5.2)


其中，1线表示α2=0.1； 2线表示α2=0.3； 3线表示控制信号的限制



以上两个例子表明，在基于估计器的PI控制系统中，系统中未建模动态引起的模型不确定性限制了闭环性能。性能限制由α2的值反映出来。控制信号的限制可以嵌入自然具有抗饱和机制的控制系统的实现中。
从5.2.2节可以明显看出，对基于估计的PI控制器，存在参数为Kc和τI的等价PI控制器。4.6节讨论了具有抗饱和机制的速度式PI控制器的实现。同时我们想知道这两种实现是否会产生不同的结果。下面的例子将对两种具有抗饱和机制的PI控制器进行比较。
【例5.3】继续例5.1和例5.2。对基于估计的PI控制器实现和原始速度式PI控制器实现进行评估比较。
解当α1=0.1，α2=0.3时，比例控制增益和积分时间常数的计算如下： 

Kc=K1+K2=30，KcτI=K1α2+K2a=3，τI=10

其中K1=0，K2=30。图5.6表明，虽然达到饱和限制时闭环性能之间存在微小差异，但两种实现方式都包含了抗饱和机制。


图5.6速度式PI控制器与基于扰动观测器的PI控制器的闭环控制性能比较(例5.3)


其中，1线表示速度式PI控制器； 2线表示基于扰动观测器的PI控制器



5.2.5进一步思考
(1) 在基于扰动观测器的PI控制器设计中，期望的闭环极点-α1和-α2对闭环性能有何影响？
(2) 如果系统存在较大的模型误差，你会减小α1和α2吗？
(3) 如果控制信号和输出信号的稳态值在初始时刻不为零，那么在基于扰动观测器的PI控制器实现中如何加入这些稳态值？
(4) 是否有可能在控制系统中估计扰动d(t)而不进行补偿？
(5) 积分器的实施是否基于稳定的系统？
5.3基于扰动观测器的PID控制器
为了用基于估计的方法设计PID控制器，考虑二阶传递函数

G(s)=bs2+a1s+a0=Y(s)U(s)(5.23)

其中，U(s)和Y(s)是输入和输出信号的拉氏变换。假设b≠0，并假设初始条件为零，则微分方程为： 

y¨(t)=-a1y·(t)-a0y(t)+bu(t)

以矩阵形式表示为： 

y·(t)

y¨(t)=01
-a0-a1y(t)
y·(t)+0
bu(t)(5.24)

5.3.1比例微分控制
首先设计一个比例微分控制器。因此，反馈控制信号u(t)为： 

u(t)=-K1K2y(t)
y·(t)(5.25)

将式(5.25)代入式(5.24)，得到闭环方程： 


y·(t)
y¨(t)=01

-a0-a1-00
K1bK2by(t)
y·(t)

=01
-a0-K1b-a1-K2by(t)
y·(t)
(5.26)

计算闭环特性多项式，为： 

dets0
0s-01
-a0-K1b-a1-K2b=ss+a1+K2b+a0+K1b

显然这是二阶多项式。可以指定阻尼系数ξ=0.707，参数ωn作为闭环性能参数。或者，也可以选择两个期望的闭环极点为-α1和-α2，其中α1＞0，α2＞0。在任何情况下，要确定比例和微分控制器增益，可使实际的闭环特性多项式与期望的相等，从而有： 

s2+a1+K2bs+a0+K1b=s2+2ξωns+ω2n

求解多项式方程，得比例控制增益:

K1=ω2n-a0b(5.27)

以及微分控制增益： 

K2=2ξω2n-a1b(5.28)

由于测量噪声的影响，必须对微分作用使用滤波器，计算一阶滤波器时间常数的一种快速方法是求出对应的增益τD，即

τD=K2K1

基于式(5.25)，积分滤波器常数为： 

τf=βτD

通常取β=0.1。滤波后的微分输出信号表示为： 

Ydf(s)=sτfs+1Y(s)

对许多应用，最好将PD控制器与微分滤波器τf一起设计，以避免因近似而引入的额外误差。在3.4.1节中将详细讨论含滤波器的PD控制器设计，其中滤波器常数由期望的闭环性能指标来计算。
5.3.2增加积分作用
为了给PD控制器增加积分作用，假设存在恒定输入扰动d(t)，因而y·(t)=0。将微分方程模型即式(5.24)修改为： 

y·(t)
y¨(t)=01
-a0-a1y(t)
y·(t)+0
bu(t)+d(t)(5.29)

与基于估计的PI控制器设计类似，将未知扰动项写为： 

bd(t)=y¨(t)+a1y·(t)+a0y(t)-bu(t)(5.30)

假设d·(t)=0，构造d(t)的估计式： 

dd^(t)dt=K3y¨(t)+a1y·(t)+a0y(t)-bu(t)-bd^(t)(5.31)

取α3＞0，由下式确定估算器的增益K3： 

K3=α3b

由于式(5.31)具有输出信号y(t)的一阶微分和二阶微分，不便计算。为此，定义一个新变量： 

z^(t)= d^(t)+K3y·(t)

并将式(5.31)改写为z^(t)的函数： 

dz^(t)dt=-α3z^(t)+K3a1-α3y·(t)+K3a0y(t)-α3u(t)(5.32)

假设给定信号在采样时刻ti为r(ti)，输出信号及其微分的测量值为y(ti)和y·(ti)，采样间隔为Δt，饱和限值为umin和umax，使用以下步骤计算控制信号： 
(1) 更新扰动信号的估计。取初始条件z^(t0)，作为控制算法的开始。

d^(ti)=z^(ti)-K3y·(ti)

(2) 计算控制信号： 

u(ti)=-K1y(ti)-r(ti)-K2y·(ti)-d^(ti)

(3) 对控制信号进行饱和限制： 

u(ti)=
umin,u(ti)＜umin

u(ti),umin≤u(ti)≤umax

umax,u(ti)＞umax


(4) 更新ti+1时刻的扰动估计： 


z^(ti+1)=z^(ti)+Δt-α3z^(ti)+K3a1-α3y·(ti)+

ΔtK3a0y(ti)-r(ti)-α3u(ti)


(5) 下一个采样周期到来时，回到步骤(1)，重复计算过程。
注意，在PID控制器的实现过程中，微分控制仅作用于输出，避免了给定信号r(t)阶跃变化时控制信号产生尖峰。当滤波器用于微分信号y·(ti)时，信号y·(ti)替换为y·f(ti)，如教程5.2所示。
5.3.3PID控制器的等价
为了寻找所提出的基于估计的PID控制器与以传递函数形式表示的PID控制器两种的等价关系，考察估计方程(5.31)的拉氏变换，即

sD^(s)=K3s2+a1s+a0Y(s)-α3U(s)-α3D^(s)(5.33)

其中α3=K3b。求解D^(s)得： 

D^(s)=1s+α3K3s2+a1s+a0Y(s)-α3U(s)(5.34)

注意，控制信号的拉氏变换表示为： 

U(s)=-K1Y(s)-K2sY(s)-D^(s)(5.35)

将式(5.34)代入式(5.35)，得到控制信号U(s)的拉氏变换为： 

U(s)=-s+α3sK1+K2sY(s)-K3ss2+a1s+a0Y(s)(5.36)

考虑负反馈，得到等效控制器的传递函数C(s)为： 

C(s)=s+α3K1+K2ss+K3s2+a1s+a0s=P(s)L(s)(5.37)

现在，可以验证闭环多项式为： 

A(s)L(s)+B(s)P(s)=s+α3s2+2ξωns+ω2n(5.38)

其中B(s)和A(s)为式(5.23)给出的传递函数模型的分子和分母。此外，可以验证控制器传递函数可写成PID控制器的等价形式： 

C(s)=c2s2+c1s+c0s(5.39)

其中，参数c2、c1、c0计算式为： 


c2=K2+K3(5.40)

c1=K1+K2α3+K3a1(5.41)

c0=K1α3+K3a0(5.42)


图5.7给出了基于扰动观测器的PID控制器的传递函数实现，其中∑为饱和限制。


图5.7基于扰动观测器的PID控制器的传递函数实现


以下是几个相关的评论。首先，式(5.38)的关系表明，所设计的PID控制器有3个期望的闭环极点。当ξ=0.707或1时，位于-ξωn±jωn1-ξ2处的一对复极点用于确定参数K1和K2，位于-α3处的极点用于确定参数K3。其次，可以使用输入扰动的估计值实现PID控制器，从而为积分器提供稳定的实现方式。最后，式(5.39)中所示的控制器传递函数可以很容易地用于频率响应分析，从而可以计算所设计控制器的增益裕度、相位裕度、延迟裕度。
5.3.4基于扰动观测器的PID控制器实现的MATLAB教程
本节介绍用于实现基于扰动观测器的PID控制器的MATLAB教程。当控制信号达到最大值或最小值时，此实现包含抗饱和机制。基于估计的内嵌PID控制器将在Simulink环境下用于仿真研究。
教程5.2本教程旨在说明如何实时实现基于扰动观测器的PID控制算法。本教程的核心是产生一个MATLAB内嵌函数，该函数可用于Simulink仿真，也可以在MATLAB中实时实现。对每个采样周期，将重复相同的计算过程。
步骤
(1) 创建一个新的Simulink文件，命名为PIDEstimate.slx。
(2) 在Simulink用户定义函数目录中，找到内嵌MATLAB函数图标，将其复制到PIDEstim模型中。
(3) 单击内嵌函数图标，定义PIDEstim模型的输入和输出变量，使内嵌函数具有如下形式：

function uCur = PIDEstim(r,y,K1,K2,K3,tauf,alpha3,...

a1,a0,deltat,umin,umax)


其中uCur是采样时刻ti计算出的控制信号，输入变量中的前两个元素(r和y)是采样时刻ti时给定信号和输出信号的测量值，K1、K2、K3为PD控制器增益和估计器增益，tauf为微分滤波器时间常数，
alpha3
为估计器的极点位置，deltat为采样间隔，umin和umax为控制信号uCur的下限和上限。
(4) 在内嵌函数顶部，在“工具”中找到“模型资源管理器”。打开模型资源管理器时，选择“离散”的“更新”方法，然后在“采样时间”中输入deltat。选择“支持可变大小数组”； 对“整数溢出”选择“饱和”； 并选择“定点”。单击“应用”保存更改。
(5) 需要编辑输入和输出数据端口，以使内嵌函数知道哪些输入端口是实时变量，哪些是参数。使用模型资源管理器执行此编辑任务。
 单击r，在“示波器”上选择“输入”，并指定“端口1”，“大小-1”，复杂度为“继承”，类型为“继承： 与Simulink相同”。对输出信号y重复相同的编辑过程。
 内嵌函数的其余10个输入是计算所需的参数。单击K1，在“示波器”上选择“参数”，再单击“可调”，然后单击“应用”以保存更改。对其余参数重复相同的编辑过程。
 编辑内嵌函数的“输出端口”，单击uCur，在“示波器”上选择“输出”，“端口”选为“1”，“大小”选为“-1”，“采样模型”选为“基于样本”，“类型”选为“继承： 与Simulink相同”，然后单击“应用”保存更改。
下面，程序将声明在每次迭代期间存储于内嵌函数中的变量，以获取它们的维数和初始值。zhat是在采样时刻ti时的扰动估计，它需要一个初始值并赋值为零。还声明了将存储于存储器中的上一时刻滤波后的输出微分和输出信号。在文件中输入以下程序： 

persistent zhat

if isempty(zhat)

zhat=0;

end

persistent ydfpast

if isempty(ydfpast)

ydfpast=0;

end

persistent ypast

if isempty(ypast)

ypast=0;

end


(6) 更新滤波后的输出微分信号，在文件中输入以下程序：

ydf=tauf/(tauf+deltat)*ydfpast+1/(tauf+deltat)*(y-ypast);

(7) 更新扰动估计d～(ti)。在文件中输入以下程序：

dhat=zhat+K3*ydf;


(8) 结合比例微分控制和扰动估计来更新控制信号，在文件中输入以下程序：

uCur=-K1*(y-r)-K2*ydf-dhat;


(9) 使用抗饱和机制实现饱和限制，在文件中输入以下程序：

if (uCur>umax) uCur=umax;end

if (uCur<umin) uCur=umin;end


(10) 计算下一采样时刻的2(ti+1)，在文件中输入以下程序： 

zhat=zhat-deltat*alpha3*zhat+…

deltat*(K3*(a1-alpha3)*ydf+K3*a0*(y-r)-alpha3*uCur);


(11) 更新上一时刻输出信号和滤波后的微分输出信号，为下一个采样周期做准备。在文件中输入以下程序： 

ypast=y;

ydfpast=ydf;


该程序将使用5.3.5节给出的示例进行测试。

5.3.5基于扰动观测器的PID控制器示例

【例5.4】不稳定系统传递函数为： 

G(s)=0.1e-0.05s(s+2)(s-2)(5.43)

其中，延迟时间短的原因是动态模型来自执行器。设计基于估计器的PID控制器，控制器的一对主导极点均位于-2，估计器极点位于-10。在存在控制信号幅值限制的情况下，评估控制系统的给定值跟踪和扰动抑制性能。
解取ξ=1，ωn=2，使闭环极点位于-2。式(5.43)给出了参数a1=0，a0=-4，b=0.1。计算PD控制器参数，为： 

K1=ω2n-a0b=80

微分控制增益为： 

K2=2ξωn-a1b=40

由于这是一个不稳定系统，其时延被忽略，因此仿真研究中考虑第3个极点-α3的选择。当α3过大时，忽略的时间延迟将导致闭环系统不稳定。但当α3不够大时，控制幅值的限制也可能导致不稳定。当α3的范围在5~15时，在控制信号幅值受限的情况下，闭环性能令人满意。α3=10时，计算参数K3为： 

K3=α3b=100

计算微分滤波器时间常数为： 

τf=0.01K2K1=0.005

滤波时间常数非常小，因为它在系统中引入了额外的动态。如果系统有严重的噪声，需要更大的滤波器时间常数，则需要将微分滤波器设计为控制系统的一部分(参见3.4.1节)。通过5.3.4节中的MATLAB实时函数以及Simulink程序进行仿真研究，可以评估基于扰动观测器的PID控制系统。在仿真中，选择采样间隔Δt=0.001s，单位阶跃给定信号在t=0时刻进入闭环系统，幅值为20的输入阶跃扰动在仿真进行到一半时进入系统。控制信号的幅值被限制在-68~26。图5.8(a)、(b)为控制信号幅值受限的情况下闭环控制性能。为了比较，不受限制的控制信号和输出信号的响应也在同一个图中显示。可以看出，在仿真开始时，控制信号幅值就从100左右降低到26。为了抑制扰动，控制信号由原来的-73被限制到-68。比较结果表明，在满足约束条件的情况下，闭环性能几乎没有下降。


图5.8具有控制信号幅值约束的基于扰动观测器的PID控制器的闭环控制性能(例5.4)


其中，1线表示有限制时的响应； 2线表示无限制时的响应


还可以验证，4.6节介绍的抗饱和PID控制器的实现将产生相同的扰动抑制结果，但是，如果比例控制仅作用于输出，则给定信号下的响应会变慢。这个问题留作练习。

5.3.6进一步思考
(1) 在基于扰动观测器的PID控制器的设计中，如何修改式(5.29)~式(5.32)以包含微分滤波器？
(2) 你能否列出3个具有二阶传递函数且适用于PD控制器的物理系统？
(3) 在基于扰动观测器的PID控制器的实现中，如何将控制信号和输出信号的稳态值包括在内？
(4) 在PD控制器使系统稳定后，是否考虑通过减去扰动项达到增加积分作用的可能性？
5.4基于扰动观测器的谐振控制器
本节将使用扰动估计方法研究具有抗饱和机制的谐振控制器设计和实现。
5.4.1谐振控制器设计
假设一个动态系统由以下微分方程描述： 

y·(t)=-ay(t)+bu(t)+d(t)(5.44)

其中a和b为系数，u(t)和y(t)为输入和输出信号，d(t)为输入扰动信号。特别地，假设d(t)为频率ω0已知时幅值dm和相角X0未知的正弦信号，表示为： 

d(t)=dmsinω0t+ψ0

谐振控制律表示为： 

u(t)=-K1y(t)-r(t)-d^(t)

其中，d(t)为未知扰动d(t)的估计。
取期望的闭环极点位于-α1，且α1＞0，比例反馈控制增益K1可计算为： 

K1=α1-ab

接下来的问题是如何计算输入正弦扰动信号的估计值d(t)。该扰动信号的微分为： 

d·(t)=dmω0cosω0t+ψ0

二阶微分为： 

d¨(t)=-dmω20sinω0t+ψ0=-ω20d(t)

现在，取x1(t)=d(t)和x2(t)=y·(t)。这样，可由以下微分方程来描述正弦扰动信号： 

x·1(t)
x·2(t)=01
-ω200x1(t)
x2(t)(5.45)

为了估计扰动信号d(t)，由式(5.44)得： 

bd(t)=b0x1(t)
x2(t)= y·(t)+ay(t)-bu(t)

这就是估计的输出方程。构造估计变量x^1(t)和x^2(t)为： 


dx^1(t)dt
dx^2(t)dt=01
-ω200x^1(t)
x^2(t)+γ1
γ2

y·(t)+ay(t)-bu(t)-b0x^1(t)
x^2(t)(5.46)



其中，γ1和γ2为设计中待选择的估计器增益。
下一个问题是如何选择γ1和γ2，以确保估计的扰动信号和真实扰动信号之间的误差在t→∞时收敛到零。为此，定义x～1(t)=x1(t)-x^1(t)，x～2(t)=x2(t)-x^2(t)，得到以下误差系统(该式的验证作为练习)： 

dx～1(t)dt
dx～2(t)dt=
01
-ω200-γ1b0
γ2b0x～1(t)
x～2(t)(5.47)

这里使用了以下关系： 

b0x1(t)
x2(t)= y·(t)+ay(t)-bu(t)

显然，可以选择参数γ1和γ2，使误差系统的极点(或特征值)位于复平面的左半部分，从而确保其稳定性。误差系统的特征多项式计算为： 

dets0
0s--γ1b1
-ω20-γ2b0=s2+γ1b+ω20+γ2b

现在，选择期望的特征多项式，性能指标为s2+2ξωns+ω2n。使误差系统的特征多项式与期望的特征多项式相等，求出系数γ1和γ2为： 


γ1=2ξωnb

γ2=ω2n-ω20b(5.48)


在应用中，阻尼参数ξ取0.707，参数ωn根据误差收敛到零的希望速度进行调整。
5.4.2谐振控制器的实现
由式(5.46)计算估计的输入扰动需要输出信号的微分y·(t)，这在物理上不可实现。为了解决这个问题，定义一对新变量： 

z^1(t)= x^1(t)-γ1y(t);z^2(t)=x^2(t)-γ2y(t)

由式(5.46)可得以下两个方程： 


dz^1(t)dt=-2ξωnz^1(t)+z^2(t)+aγ1+γ2-2ξωnγ1y(t)-bγ1u(t)(5.49)

dz^2(t)dt=-ω2nz^1(t)+aγ2-ω2nγ1y(t)-bγ2u(t)(5.50)


前面介绍的控制律是比例反馈和扰动观测器的组合。本节将介绍如何在具有抗饱和机制的离散时间环境中实现此控制律。
观测式(5.49)和式(5.50)中的微分首先进行离散化，取采样间隔Δt，得到采样时刻ti的近似:

dz^1(t)dt≈z^1(ti+1)-z^1(t)Δt;dz^2(t)dt≈z^2(ti+1)-z^2(t)Δt

以下算法总结了实现具有抗饱和机制的谐振控制器的计算过程。
假设控制信号u(t)受限于umin和umax之间，即

umin≤u(t)≤umax

选择z^1和z^2的初始条件，根据以下步骤迭代计算控制信号，其中r(ti)是采样时刻ti的给定信号。
(1) 计算正弦扰动的估计d(ti)： 

d^(ti)=z^1(ti)+γ1y(ti)-r(ti)

(2) 计算控制信号u(ti)为： 

u(ti)=-K1y(ti)-r(ti)-d^(ti)

(3) 对控制信号进行饱和限制： 

u(ti)=
umin,u(ti)＜umin

u(ti),umin≤u(ti)≤umax

umax,u(ti)＞umax


(4) 更新扰动信号的估计： 


z^1(ti+1)=z^1(ti)+Δt-2ξωnz^1(ti)+z^2(ti)+

Δtaγ1+γ2-2ξωnγ1y(ti)-r(ti)-bγ1u(ti)

z^2(ti+1)=z^2(ti)+Δt-ω2nz^1(ti)+aγ2-ω2nγ1y(ti)-r(ti)-bγ2u(ti)


(5) 当下一个采样周期到来时，从步骤(1)开始重复计算。

5.4.3谐振控制器的等价
为了求取基于扰动估计的谐振控制器的拉普拉斯传递函数，注意到控制信号的拉氏变换表达式如下： 

U(s)=-K1Y(s)-D^(s)(5.51)

其中，D^(s)=X^1(s)为正弦扰动估计的拉氏变换。可以验证式(5.46)的拉氏变换为： 

w^1(s)

w^2(s)
=s+2ξωn-1
ω2ns-1
γ1
γ2(sY(s)+aY(s)-bU(s))(5.52)


计算矩阵求逆和相乘，得： 

w^1(s)=γ1s+γ2s2+2ξωns+ω2n((s+a)Y(s)-bU(s))(5.53)

为了求出控制信号的拉氏变换，将式(5.53)代入式(5.51)，并将包含U(s)的项从等式的左边移到右边，从而得到控制信号的表达式： 

U(s)=-K1s2+2ξωns+ω2ns2+ω20Y(s)-(γ1s+γ2)(s+a)s2+ω20Y(s)(5.54)

其中，bγ1=2ξωn，bγ2=ω2n-ω20。
由式(5.54)知谐振控制器的拉普拉斯传递函数为： 

C(s)=K1s2+2ξωns+ω2ns2+ω20+(γ1s+γ2)(s+a)s2+ω20(5.55)

该控制器在s1,2=±jω0处有一对复极点。
为了验证闭环极点是否确实位于-α1和-ξωn±jωn1-ξ2(ξ=1或0.707)，计算闭环特征多项式，为： 


(s+a)(s2+ω20)+bK1s2+2ξωns+ω2n+(γ1s+γ2)(s+a)

=s2+2ξωns+ω2n(s+α1)(5.56)



其中K1=α1-ab，γ1=2ξωnb，γ2=ω2n-ω20b。由闭环特征多项式(5.56)可知闭环极点位于指定位置。
图5.9为具有抗饱和机制的谐振控制器的传递函数实现。



图5.9具有饱和限制的谐振控制器的传递函数实现


5.4.4基于扰动观测器的谐振控制器实现的MATLAB教程
本节介绍当控制信号达到最大值或最小值时，如何实现基于扰动观测器同时具有抗饱和机制的谐振控制器的MATLAB教程。基于估计的内嵌谐振控制器将在Simulink环境下进行仿真研究。
教程5.3本教程的核心是产生一个MATLAB内嵌函数，该函数可用于Simulink仿真，也可以在MATLAB中实时实现。MATLAB内嵌函数完成控制信号的一个计算周期。对于每个采样周期，将重复相同的计算过程。
步骤
(1) 创建一个新的Simulink文件，命名为ResEstim.slx。
(2) 在Simulink的用户定义函数目录中，找到MATLAB内嵌函数图标，将其复制到ResEstim模型中。
(3) 单击内嵌函数图标，定义ResEstim模型的输入和输出变量，使内嵌函数具有如下形式：

function uCur =ResEstim(r,y,K1,gamma1,gamma2,xi,wn,…

a,omega0,deltat,umin,umax)


其中，uCur是在采样时刻ti计算出的控制信号，输入变量中的前两个元素(r和y)分别是采样时刻ti的给定信号和输出信号的测量值，K1为比例控制器增益，gamma1，gamma2，xi，x·n，a，omega0为估计器的参数，deltatWie为采样间隔，umin和umax为控制信号uCur的下限和上限。
(4) 在内嵌函数顶部，在“工具”中找到“模型资源管理器”。打开模型资源管理器时，选择“离散”的“更新”方法，然后在“采样时间”中输入deltat。选择“支持可变大小数组”； 整数溢出选择“饱和”； 选择“定点”。单击“应用”保存更改。
(5) 需要编辑输入和输出数据端口，使嵌入式函数知道哪些输入端口是实时变量，哪些是参数。使用模型资源管理器执行此编辑任务。
 单击r，在“示波器”上选择“输入”，分配“端口1”和“大小-1”，复杂度为“继承”，类型为“继承： 与Simulink相同”。对输出信号y重复相同的编辑过程。
 内嵌函数的其余10个输入为计算所需的参数。单击K1，在“示波器”上选择“参数”，再单击“可调”按钮，然后单击“应用”按钮以保存更改。对其余参数重复相同的编辑过程。
 编辑内嵌函数的“输出端口”，单击uCur按钮，在“示波器”上选择“输出”，“端口”选“1”，“大小”选“-1”，“采样模型”选“基于样本”，“类型”选“继承： 与Simulink相同”，然后单击“应用”按钮保存更改。
下面，程序将声明在每次迭代期间存储在内嵌函数中的变量，以获取它们的维数和初始值。zhat1和zhat2为采样时间ti时的两个估计变量，需要初始值并赋为零。在文件中输入以下程序：

persistent zhat1

if isempty(zhat1)

zhat1=0;

end

persistent zhat2

if isempty(zhat2)

zhat2=0;

end


(6) 用估算器的参数计算以下两个常数。可以在内嵌函数之外计算参数以节省内存。在文件中输入以下程序：

cz1=a*gamma1-2*xi*wn*gamma1+gamma2;

cz2=2*xi*wn;


(7) 更新扰动的估计d^(ti)。在文件中输入以下程序：

dhat=zhat1+gamma1*(y-r);


(8) 结合比例控制和扰动估计更新控制信号，在文件中输入以下程序：

uCur=-K1*(y-r)-dhat;


(9) 使用抗饱和机制实现饱和限制，在文件中输入以下程序：

if (uCur>umax) uCur=umax;end

if (uCur<umin) uCur=umin;end


(10) 计算下一采样时刻的z^1(ti+1)和z^2(ti+1)，在文件中输入以下程序：

zhat1=zhat1+deltat*((-cz2*zhat1+zhat2)+cz1*(y-r)-cz2*uCur);

zhat2=zhat2+deltat*(-wn∧2*zhat1…

+(a*gamma2-wn∧2*gamma1)*(y-r)…

-(wn∧2-omega0∧2)*uCur);


该程序将使用5.4.5节给出的示例进行测试。

5.4.5基于扰动观测器的谐振控制器示例
下例给出了基于扰动观测器的谐振控制器设计。

【例5.5】某电气系统可以由以下一阶延迟模型近似： 

G(s)=0.3e-0.0015s0.001s+1(5.57)

其中，时延用于描述系统中其他电子元件忽略的时间常数。控制目标是使系统输出跟踪频率为ω0=2π×50rads-1的给定正弦信号。设计一个谐振控制器，并以采样间隔Δt=0.00001s对闭环输出进行仿真。
解使用一阶模型设计谐振控制器，模型参数为a=1/0.001=1000，b=0.3/1000=3000。由于系统存在谐振控制器设计中未使用的时间延迟，这将影响闭环稳定性和性能。因此，需要根据实际的一阶延迟系统来选择比例控制器增益和估计器增益。首先选择期望闭环极点-α1，使控制器的增益K1等于模型极点-a，从而得到： 

K1=α1-ab=0

然后，选择估计器参数，使存在未建模延迟的情况下能满足闭环稳定性和性能。取ξ=0.707，由参数ωn调整闭环响应速度和鲁棒性。参数选择可以通过闭环仿真和频率响应分析来进行。
使用5.4.4节教程5.3中创建的Simulink内嵌函数可以验证，ωn=1000时，闭环系统不稳定。将ωn减小至500，可得出估计器增益为： 

γ1=2ξωnb=2.3567；γ2=ω2n-ω20b=504.3465


图5.10(a)和(b)为闭环控制信号和频率为ω0=100π的给定正弦信号和输出信号，可以看出，闭环系统是稳定的。但是，闭环响应在控制信号和输出信号的初始阶段都是振荡的，这是由于忽略了控制对象的时间延迟。


图5.10基于扰动观测器的谐振控制器闭环控制响应(例5.5，ωn=500)


其中，1线表示输出响应； 2线表示给定信号


为了消除不良特性，有必要进一步减小ωn。取ωn=300时，估算器增益为： 

γ1=2ξωnb=1.4140；γ2=ω2n-ω20b=-28.9868


图5.11(a)、(b)给出了闭环控制信号和正弦给定信号作用下的输出。可以看出，ωn的减小消除了控制信号和输出信号中不希望出现的模态。


图5.11基于扰动观测器的谐振控制器的闭环控制响应(例5.5，α1=1000，ωn=300)


其中，1线表示输出响应； 2线表示给定信号


另一种选择参数α1和ωn的方法是使α1=ωn，这可以简化谐振控制器的调节过程。可以通过仿真研究验证，当α1=ωn=600时，闭环系统存在振荡模态。当参数α1=ωn减小到400时，控制器和估计器的增益计算如下： 

K1=α1-ab=-2；γ1=2ξωnb=1.8853；γ2=ω2n-ω20b=204.3465


图5.12(a)和(b)给出了控制信号和正弦给定信号作用下的输出响应。可以看出，选择此性能参数后，闭环系统的响应令人满意。


图5.12基于扰动观测器的谐振控制器的闭环控制响应(例5.5，α1=ωn=1000)


其中，1线表示输出响应； 2线表示给定信号


使用补灵敏度函数和时间延迟，容易分析未建模态的影响(参见2.7节)。标称补灵敏度函数使用传递函数G0(s)=bs+a计算。如果对任意ω＞0，满足以下条件： 

Γ(jω)=G0(jω)C(jω)1+G0(jω)C(jω)e-jωd-1＜1

其中d=0.0015，则可确保闭环系统稳定。图5.13比较了两种谐振控制器参数选择时的幅值|Γ(jω)|。可以看出，对于任意ω，有|Γ(jω)|＜1，说明两个闭环系统都具有鲁棒稳定性。


图5.13|Γ(jω)|(例5.5)


其中，1线表示α1=1000，ωn=300； 2线表示ωn=α1=400


显然，这两种选择参数α1和ωn的方法产生了完全不同的控制器参数，尽管对给定信号的响应相似。问题是这两个谐振控制器在周期性扰动的情况下将如何工作。显然，如果扰动的频率正好等于ω0，则根据2.5节中的灵敏度分析，两个谐振控制器将在稳态运行下具有相同的扰动抑制性能。但是，当实际扰动频率不等于ω0时，控制系统性能会有所不同。下面的例子将比较两个谐振控制器的闭环性能，以达到抑制扰动的目的。

【例5.6】继续例5.5。假设存在一个正弦输入扰动，频率范围位于1.5ω0和2ω0之间，评估两个谐振控制器的闭环系统扰动抑制性能。
解为了测量谐振控制器如何响应其他频率区域的扰动，研究灵敏度函数： 

S(jω)=11+G(jω)C(jω)

其中G(jω)为系统的频率响应，系统传递函数参见式(5.57)； C(jω)为谐振控制器的频率响应，谐振控制器的传递函数参见式(5.55)。图5.14比较了两个谐振控制系统灵敏度函数的幅值。由解析解可知，两个灵敏度函数在ω=100π时的幅值均为0。与α1=ωn=400的第二种情况相比，取α1=1000和ωn=300时，灵敏度函数在所有频率区域具有较低的增益。这意味着第一种选择将更好地达到抑制扰动的目的，因为灵敏度函数越小，抑制扰动效果越好。由于灵敏度函数的幅值在扰动信号频带范围(1.5ω0，2ω0)不为零，因此无法通过谐振控制器完全消除扰动。为了评估实际的闭环性能，例5.5中Simulink仿真程序增加输入扰动： 

di(t)=0.6sin1.7ω0t+0.1



图5.14灵敏度函数的幅值(例5.6)


其中，实线表示α1=1000，ωn=300； 点表示ωn=α1=400


其中ω0=100πrad/s。其余仿真参数和条件与前面例子一样。图5.15(a)、(b)比较了两个谐振控制器的闭环输出响应。可以看出，由α1=1000和ωn=300设计的谐振控制器产生的给定值跟踪结果要好于由α1=ωn=400设计的谐振控制器。这种改进的原因在于： 灵敏度函数在扰动信号频带的幅值越小，扰动抑制性能越好。



图5.15基于扰动观测器的谐振控制器的闭环控制响应(例5.6，ωn=500)


其中，1线表示α1=1000，ωn=300； 2线表示ωn=α1=400



总之，为了更好地抑制扰动，应该选择尽可能大的α1，在存在未建模延迟的情况下，可调整估计器带宽ωn以实现闭环稳定性和性能。值得强调的是，稳态时不能完全消除周期性扰动的原因是实际扰动的频率为1.7ω0。
下面的例子说明谐振控制器中抗饱和机制的有效性。
【例5.7】继续例5.5和例5.6。为了使闭环系统跟踪正弦给定信号并抑制正弦扰动，控制信号的幅值约为4.2。假设物理系统仅允许控制信号的变化范围为-3.6~+3.6，即

-3.6≤u(t)≤3.6

在控制信号幅值受限的情况下评估谐振控制系统。
解使用5.4.4节教程5.3介绍的MATLAB内嵌函数，指定控制信号的最大值和最小值。其余的仿真条件与例5.6相同。

图5.16(a)、(b)给出了闭环谐振控制系统对正弦给定信号和正弦扰动信号的响应。可以看出，控制信号被限制在指定范围内，抗饱和机制非常有效。图5.16(b)表明，尽管控制信号幅值受限，但给定参考信号下的输出响应几乎没有性能损失。


图5.16控制信号幅值受限情形基于扰动观测器的谐振控制器闭环控制响应(α1=1000，ωn=300)





其中，1线表示受限时的控制； 2线表示不受限时的控制





5.4.6进一步思考
(1) 能否列出3个具有一阶动态模型的系统？这些系统需要谐振控制系统来抑制正弦扰动或跟踪给定正弦信号。
(2) 对基于扰动观测器的谐振控制器，补灵敏度函数在频率ω=ω0处的幅值为1，其中ω0是正弦给定信号或扰动信号的频率，这种说法正确吗？
(3) 在基于扰动观测器的谐振控制器的设计中，闭环性能参数α1和ωn代表什么？ 如果系统中存在被忽略的动态，如何选择这些参数？
(4) 基于扰动观测器的谐振控制器实现中，产生抗饱和机制的关键是什么？
(5) 具有抗饱和机制的谐振控制器很容易实现吗？
5.5多频谐振控制器
5.4节介绍了包含单一频率的谐振控制器，在许多应用中，给定和扰动为多频信号，使得单一频率谐振控制器不能很好地跟踪给定值和抑制扰动。可以将单频情况下使用的框架扩展到多频情形。
5.5.1在谐振控制器中加入积分作用
考虑在5.4节中的一阶微分方程如下： 

y·(t)=-ay(t)+bu(t)+d(t)(5.58)


其中a和b为系数； u(t)和y(t)为输入和输出信号； d(t)为输入扰动信号。与谐振控制器设计不同，假设d(t)是正弦信号与常数的组合。将d(t)表示为： 

d(t)=d1(t)+d0

其中，d1(t)=dmsinω0t+ψ0，d0为未知常数。确定反馈控制律为： 

u(t)=-K1y(t)-r(t)-d^(t)

其中，d^(t)是未知扰动d(t)的估计。
指定期望的闭环极点为-α1，α1＞0，得出比例反馈控制增益K1为： 

K1=α1-ab

现在，将5.4节中介绍的估计算法扩展到包括对未知常数的估计。设x1(t)=d1(t)，x2(t)=d·1(t)，x3(t)=d0。注意，由于d0为一个常数，所以x·3(t)=0。由以下微分方程描述未知扰动d(t)，其中含附加状态x3(t)： 

x·1(t)

x·2(t)
x·3(t)=010
-ω2000
000x1(t)
x2(t)
x3(t)(5.59)

为了估计扰动信号d(t)，由式(5.58)得： 

bd(t)=b101x1(t)
x2(t)
x3(t)= y·(t)+ay(t)-bu(t)

此为估计的输出方程。因此，估计变量x^1(t)、x^2(t)、x^3(t)表示为： 


dx^1(t)dt
dx^2(t)dt
dx^3(t)dt=010
-ω2000
000x^1(t)
x^2(t)
x^3(t)+γ1
γ2
γ3

y·(t)+ay(t)-bu(t)-b101x^1(t)
x^2(t)
x^3(t)

(5.60)

其中，γ1、γ2、γ3为选择的估计器增益。
如5.4节所述，选择参数γ1、γ2、γ3，使误差系统的极点位于复平面的左半部分，以确保估计误差收敛。这里，计算误差系统的特征多项式为： 

detM=dets00
0s0
00s-010
-ω2000
000+γ-1
γ-2
γ-3101(5.61)

其中，为简化计算设γ-i=bγi（i=1，2，3）。
式(5.61)给出的行列式有解析表达式，由此可求出参数γ1、γ2和γ3的解析解。首先将M矩阵划分为分块矩阵，如下所示： 

M=M11M12
M21M22

其中： 


M11=s+γ-1-1
ω20s;M12=γ-1
γ-2
M21=γ-30;M22=s+γ-3

这样，分块矩阵的行列式变为

det(M)=detM11detM22-M21M-111M12

注意，M11与5.4节中正弦信号估计的行列式完全相同，即

detM11=s2+γ-1s+ω20+γ-2

第二个行列式为： 

detM22-M21M-111M12=s3+γ-1+γ-3s2+ω20+γ-2s+γ3ω20s2+γ-1s+ω20+γ-2

闭环误差系统的特征多项式变为： 

det(M)=s3+γ-1+γ-3s2+ω20+γ-2s+γ3ω20(5.62)

选择满足性能指标的期望特征多项式，该多项式由一对复极点和一个实极点组成，形如s+αs2+2ξωns+ω2n，求出系数γ-1，γ-2，γ-3为： 


γ-3=αω2nω20

γ-1=2ξωn+α-γ-3


γ-2=ω2n-ω20+2ξωnα(5.63)


估计中使用的实际增益以系数缩放，得γi=γ-ib，其中i=1、2、3。
定义z^1(t)=x^1(t)-γ1y(t)，z^2(t)=x^2(t)-γ2y(t)，z^3(t)=x^3(t)-γ3y(t)，可以证明估计扰动的实现方程变为： 

dz^1(t)dt
dz^2(t)dt
dz^3(t)dt=Ωz^1(t)
z^2(t)
z^3(t)+Ωγ1
γ2
γ3y(t)+aγ1
γ2
γ3y(t)-γ-1
γ-2
γ-3u(t)(5.64)

其中，Ω是系统矩阵，定义为： 

Ω=-γ-11-γ-1
ω20-γ-20-γ-2
-γ-30-γ-3

Ω的特征值即为特征方程的解： 

s+αs2+2ξωns+ω2n=0

因此，由式(5.64)实现的估计器稳定。
由估计得到的z^1(t)和z^3(t)，有： 

d^1(t)=z^1(t)+γ1y(t); d^0(t)=z^3(t)+γ3y(t); d^(t)=d^1(t)+d^0(t)

5.5.2增加更多周期分量
如果系统的扰动或给定信号具有一对以上的周期成分，则需要对扰动估计器进行设计，使其包含这些成分。
假设系统由微分方程(5.58)描述。如前所述，d(t)为输入扰动信号，是正弦信号和常数的组合。将d(t)表示为： 

d(t)=d1(t)+d2(t)+d0

其中，d1(t)=dm1sin(ω1t+ψ1)，d2(t)=dm2sin(ω2t+ψ2)(ω1≠ω2)，d0为未知常数。
继续5.5.1节的设计，设x1(t)=d1(t)，x2(t)=y·1(t)，x3(t)=d0(t)，x4(t)=d2(t)，x5(t)=y·2(t)。以下微分方程用于描述输入扰动d(t)： 

x·1(t)
x·2(t)
x·3(t)
x·4(t)
x·5(t)=01000
-ω210000
00000
00001
000-ω220x1(t)
x2(t)
x3(t)
x4(t)
x5(t)(5.65)

其中包含两个附加状态。为了估算动态系统式(5.58)的扰动信号d(t)，将扰动项表示为： 

bd(t)=b10110x1(t)
x2(t)
x3(t)
x4(t)
x5(t)=y·(t)+ay(t)-bu(t)=η(t)

估计变量x^1(t)，x^2(t)，x^3(t)，x^4(t)，x^5(t)表示为： 


dx^1(t)dt
dx^2(t)dt
dx^3(t)dt
dx^4(t)dt
dx^5(t)dt=

01000
-ω210000
00000
00001
000-ω220Ax^1(t)
x^2(t)
x^3(t)
x^4(t)
x^5(t)+


γ1
γ2
γ3
γ4
γ5η(t)-b10110Cx^1(t)
x^2(t)
x^3(t)
x^4(t)
x^5(t)














(5.66)


其中，γ1、γ2、γ3、γ4、γ5为设计中待选择的估计器增益。
为了求出估计器增益，考虑矩阵对A和C。由于它们的维数较大，不再容易计算出估计器增益的解析解。但我们可以由MATLAB程序求出估算器的增益矩阵。为此，定义式(5.66)中所示的矩阵
A和C，并为误差系统选择五个期望的闭环极点，以确保估计变量收敛。MATLAB程序place.m用于计算γi，其中i=1、2、3、4、5，程序如下：

Gamma=place(A',C',P)

其中,P包含误差系统的五个期望的闭环极点，而γ是包含γi的向量，其中i=1、2、3、4、5。
5.5.3进一步思考
(1) 在基于扰动观测器的多频信号谐振控制器设计中，为了估算多频扰动信号，估计器的复杂性增加了，这种说法正确吗？
(2) 在一般情况下，要估计更多的频率分量需要更高的模型精度吗？
(3) 是否可以设计一种多频控制的谐振控制器方案，以便能按顺序一次输入一个周期分量？
5.6小结
从扰动估计的角度讨论了PID控制器和谐振控制器的设计。使用基于扰动观测器的方法，通过输入扰动的估计，引入积分控制或谐振控制，并假设对于积分模式扰动恒定，对谐振模式扰动为正弦信号。所提方法的优点包括： ①简化控制器的设计； ②在控制信号饱和的情况下，利用抗饱和机制直接实现稳定的控制器结构。其他重要内容总结如下： 
 对于存在恒值扰动的一阶系统，控制器是比例控制，估计器基于一阶模型。这与具有比例和积分增益的PI控制器等价。控制器增益和估计器增益的选择分别有独立的性能指标。
 对于具有恒值扰动的二阶系统，控制器具有比例和微分控制功能，估计器基于一阶模型。这与具有比例、积分、微分增益的PID控制器等价。控制器和估计器的闭环性能分别由闭环极点的位置指定。
 对于谐振控制器设计，假定系统具有一阶模型且存在输入正弦扰动。正弦扰动包括单频或多频信号。控制函数采用比例控制器，并采用内嵌正弦模态的估计器对扰动进行估计。这等价于前面讨论的谐振控制器。因为扰动估计基于稳定的系统，当控制信号达到饱和限值时自然纳入抗饱和机制，这种实现方法在数值上是合理的。
对于具有较高阶动态模型的系统，使用本章提出的设计方法时，需要进行模型降阶。
5.7进一步阅读
(1) 一本专门介绍基于扰动观测器的线性和非线性控制系统的图书［Li等(2014)］。Chen等(2016)的一篇综述文章，该课题组还研究了控制系统中扰动观测器的各种主题［Li等(2012)、Yang等(2012)］。
(2) Komada等(1991)使用扰动观测器进行了运动控制的早期工作。Schrijver和van Dijk(2002)将扰动观测器用于刚性机械系统，Chen等(2000)将扰动观测器用于机械臂； Jia(2009)提出一种利用扰动观测器进行扰动抑制的控制器设计，同时估计频率； Sariyildiz和Ohnishi(2015)使用扰动观测器分析运动控制的稳定性和鲁棒性。
(3) Han(2009)介绍了PID控制和主动扰动抑制。
(4) Mita等(1998)将H∞控制与基于扰动观测器的控制方法进行了比较。
(5) She等(2011)讨论了两级进给驱动控制系统的扰动抑制。
(6) 最近的一篇综述文章［Yang等(2017)］利用扰动观测器的框架对PMSM驱动器进行扰动估计和衰减。
(7) McNabb等(2017)使用基于扰动观测器的谐振控制器控制单相电压转换器，并进行实验验证。
问题
5.1使用基于扰动观测器的方法为以下系统设计并实现PI控制器： 


G(s)=1(s+1)(s+10)

G(s)=2e-0.5s(s+0.1)(s+10)

G(s)=0.5e-2ss+0.01(s+10)

(1) 在保持稳态增益不变的情况下，忽略相对较小的时间常数和较小的时间延迟，求近似的一阶模型GA(s)=bs+a。
(2) 为比例控制器K1选择期望的闭环极点为-2a，其中a为系统的主导极点，估计器的极点为-3a，以获得估计器增益K2。
(3) 计算控制器、灵敏度函数、输入扰动灵敏度函数、补灵敏度函数的频率响应C(jω)、S(jω)、Si(jω)、T(jω)。调整控制器和估计器期望闭环极点，并观察其对灵敏度函数的影响。
(4) 用奈奎斯特图评估闭环稳定性。如果闭环系统不稳定，调整控制器和估计器极点使闭环系统稳定。
(5) 对于任意ω＞0评估鲁棒稳定性条件： 

|T(jω)|ΔGm(jω)＜1

(6) 你从奈奎斯特图和鲁棒稳定性条件中可以观察到什么？如何提高闭环系统的鲁棒性？
(7) 按5.2.3节教程5.1构建MATLAB实时函数PIEstim.slx，并对闭环阶跃响应和输入扰动抑制进行，选择采样间隔Δt=0.001，将控制信号幅值限制设为足够大。在仿真研究中使用单位阶跃给定信号，其中振幅为-1的阶跃输入扰动在仿真进行到一半时进入系统。
(8) 评估控制信号幅值受限的影响，其中约束参数umax和umin取上一步控制信号最大幅值的85％。
(9) 从控制信号受限的系统仿真中可以观察到什么?
5.2使用基于扰动观测器的方法为以下系统设计PID控制器： 


G(s)=2(s-1)(s+1)

G(s)=3s2

G(s)=1s2+0.1s+3

(1) 为比例微分控制器选择期望的闭环特征多项式为s2+2ξωns+ω2n，其中ξ=0.707，ωn=3，取估算器的极点为-4，求出估算器增益K3。
(2) 按照5.3.4节教程5.2构建MATLAB实时函数PIDEstim.slx，采样间隔取Δt=0.001，对闭环阶跃响应和输入扰动抑制性能进行仿真，其中将控制信号幅值限制设为足够大。在仿真中，微分滤波器时间常数取τf=0.1τD。给定信号为单位阶跃信号，输入扰动信号幅值为-2，在仿真进行到一半时进入系统。
(3) 评估控制信号幅值受限的影响，其中约束参数umax和umin取上一步控制信号最大幅值的85％。
(4) 从控制信号受限的系统仿真中观察到了什么?
5.3
对问题5.2中的3个系统设计基于扰动观测器的PID控制器。除了设计带滤波器的比例微分控制器(参阅3.4.1节)外，其他所有条件均保持不变，在此过程中考虑了滤波器时间常数。PD控制器的另一个极点取-2ωn。
(1) 与问题5.2中获得的参数相比，你对PD控制器参数有何看法？
(2) 按照问题5.2中所述的约束条件进行仿真研究，并将仿真结果与问题5.2获得的结果进行比较。你的观察结果是什么？
5.4
将微分滤波器嵌入PID控制器的设计和分析是理想的。在5.3节中，引入微分滤波器τf将改变式(5.39)中PID控制器的传递函数。求出该PID控制器的传递函数： 

C(s)=c2s2+c1s+c0s(s+l0)

这与基于扰动观测器的PID控制器等价。
5.5
由式(5.18)可知，基于扰动观测器的PI控制等价于利用输入和输出信号计算扰动传递函数： 

D^(s)=α2s+α2s+abY(s)-α2s+α2U(s)(5.67)

本质上，它是将控制对象模型的反演与单位稳态增益的一阶稳定滤波器一起实现，这是基于扰动观测器方法的重要组成部分［Li等(2014)］。
(1) 基于式(5.67)给出扰动估计的离散化方案。
(2) 绘制控制信号幅值受限的闭环反馈图。此实现是否包含了抗饱和机制？
5.6
式(5.34)表明，基于扰动观测器的PID控制器等价于由以下传递函数计算扰动信息： 

D^(s)=α3s+α3s2+a1s+a0bY(s)-α3s+α3U(s)(5.68)

这是对具有单位稳态增益含一阶滤波器的控制对象模型的反演。
(1) 基于扰动观测给出含一阶滤波器的传递函数［见式(5.68)］的离散化方案，使其可实现。
(2) 绘制控制信号幅值受限的闭环反馈图。

5.7在问题5.6中，如果控制对象传递函数为： 

G(s)=b1s+b0s2+a1s+a0

其中b1≠0，b1和b0符号相同，意味着有一个稳定的零点。
(1) 用控制对象模型的反演表示D^(s)。
(2) 如果|b1|≥|b0|或|b1|≤|b0|，该稳定的零点会导致扰动抑制变慢吗？
(3) 考察两种情况下的输入扰动灵敏度函数Si(s)来验证你的答案。
5.8对以下系统设计谐振控制器，给定频率ω0： 


G(s)=0.3e-0.01ss+2,ω0=0.5

G(s)=1(s+1)(s+10),ω0=0.3

G(s)=2(s+0.5)(s+10)2,ω0=0.1

(1) 忽略小的延迟或小的时间常数(s)，基于一阶模型bs+a设计谐振控制器，其中比例控制器极点取-2a，估计器的期望闭环特性多项式为(s+ωn)2，其中ωn=3a。
(2) 计算补灵敏度函数的频率响应T(jω)和乘性建模误差ΔGm(jω)，对任意ω＞0，检查鲁棒稳定性条件： 

|T(jω)|ΔGm(jω)＜1

是否满足?如果不满足，减小参数ωn直到满足。
(3) 按照5.4.4节教程5.3构建MATLAB实时函数ResEstim.slx，并对正弦给定信号r(t)=sin(ω0t)的闭环响应进行仿真，其中Δt=0.001。
(4) 在仿真进行到一半时加入正弦输入扰动di=3cos(ω0t)，并对闭环系统的扰动抑制性能进行仿真。
(5) 为了评估抗饱和机制，可以将瞬态响应中最大和最小控制信号的85％取控制信号限值umax和umin。
5.9
在许多应用中，需要跟踪斜坡给定信号。可以通过假设频率ω0=0修改5.4节介绍的基于扰动观测器的谐振控制器，以跟踪斜坡给定信号。假设一阶系统由以下传递函数模型描述： 

G(s)=0.3s+1

(1) 修改基于扰动观测器的谐振控制器以跟踪斜坡输入信号。
(2) 将期望闭环极点置于-2，求出比例控制器增益K1，选择期望的闭环特性多项式为s2+2ξωns+ω2n，其中
ξ=1，ωn=2，求估算器增益γ1和γ2。
(3) 利用终值定理证明这种基于扰动观测器的控制系统能够无稳态误差跟踪斜坡给定信号。
(4) 在给定信号为0.5t的情况下，使用MATLAB实时函数ResEstim.slx对闭环响应进行仿真，其中采样间隔Δt=0.01。
5.10考虑以下一阶系统： 

G(s)=300s+100

设计一个谐振控制器，使其跟踪给定信号r(t)=10+sint，并抑制输入扰动di(t)=cos3t，其中控制器和估计器的所有期望闭环极点均位于-200。
5.11谐振控制器的一项应用是单相交流电流调节器领域，目标是精确跟踪频率与电网匹配的正弦给定信号。
利用电感电阻滤波网络，建立与反电动势耦合的单相电压源逆变器(Voltage Soutle Inverter,VSI)的动态模型： 

di(t)dt=-RLi(t)+1Lv(t)-εg(t)(5.69)

其中，i(t)为逆变器的输出电流； v(t)为输入变量，即VSI的脉宽调制(PWM)开关电压； εg(t)为反电动势电压，为标称频率ω0的正弦波； 参数R为电阻； L为电感，与电感电阻滤波器网络相关。
控制信号v(t)等于调制信号m(t)与逆变器直流侧电压Vdc的乘积： 

v(t)=m(t)Vdc(5.70)

在单相电压源逆变器的数学模型中，取物理参数Vdc=200V，L=12×10-3H，R=1Ω。反电动势电压εg=130VRMS，频率为50Hz(ω0=100π)。
(1) 为单相电压源逆变器设计一个谐振控制器，其中ω0=100π。对以下两种情况，分别考虑闭环性能指标。
① 选择反馈控制器增益K1，使闭环控制系统极点等于开环系统极点，估计器的参数为ωn=200π，ξ=0.707。
② 选择反馈控制器增益K1，使闭环控制系统极点的大小为开环系统极点的两倍，估计器的参数为ωn=100π和ξ=0.707。
(2) 对这两种情况比较灵敏度函数|S(jω)|和补灵敏度函数|T(jω)|，确定谐振控制系统可以承受的最大时间延迟，有什么观察结果？(提示： 对忽略的时间延迟d，乘性建模误差为ΔGm(jω)=1-e-jdω。)
(3) 取采样间隔Δt=0.0001s，对闭环系统的给定值跟踪和扰动抑制性能进行仿真，其中给定信号为r(t)=3cos(ω0t)，扰动为εg=130cos(ω0t)。为简化，在仿真模型中，控制信号为v(t)。
(4) 限制v(t)的幅值，限值取无约束情况瞬态响应中控制信号的最大值和最小值的85％。
(5) 针对两种期望闭环性能指标的情况讨论闭环控制性能。