第3章〓电路分析方法






3.1两类约束与电路方程

3.1.1两类约束


电路由元件按一定方式连接而成，任何集总参数电路的电流和电压都必须满足涉及元件性质和电路连接方式的两类约束。

(1) 元件性质的约束： 元件VCR给出每条支路的电压与电流间的线性约束关系(如欧姆定律U=RI)，这类约束与电路的连接方式无关。

(2) 电路连接方式的约束： KCL、KVL分别给出具有一定电路连接方式的支路电流、支路电压间的线性约束关系，这类约束与元件性质无关。

基尔霍夫电流定律： 在电路中任意节点上，任意时刻流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

基尔霍夫电压定律： 在任意闭合回路中，各元件上的电压降的代数和等于电动势的代数和，即从一点出发绕回路一周回到该点时，各段电压的代数和恒等于零。

任何集总参数电路的电压和电流都必须同时满足这两类约束关系。因此电路分析的基本方法： 根据电路的结构和参数，列出反映这两类约束关系的KCL、KVL和VCR方程(称为电路方程)，然后求解电路方程就能得到各电压和电流的解。

3.1.2电路方程

对于具有b条支路、n个节点的连通电路的电路方程具有如下特点： 

(1) b条支路的VCR方程彼此独立； 

(2) 任意n－1个节点的KCL方程彼此独立，独立节点数=n－1； 

(3) 任意b－n+1个回路的KVL方程彼此独立，独立回路数=网孔数=b－n+1； 

(4) 独立的电路方程数共计b+(n－1)+(b－n+1)=2b，2b方程是最原始的电路方程，是分析电路的基本依据； 

(5) 独立电源的VCR方程直接给出了本支路的电压或电流，同时减少约束方程和求解变量。

例3.1如图3.1.1所示电路中，uS=0.05cost(V)，求各支路的电压和电流。



图3.1.1例3.1电路

解： 电路具有4条支路、2个独立节点、2个网孔，可列出4个VCR方程、2个KCL方程和2个KVL方程。

4个VCR方程： 


uS=0.05cost
uR1=2.5iR1
iCCCS=100iR1
uR2=2iR2


2个KCL方程： 


iU+iR1=0
iCCCS+iR2=0


2个KVL方程： 


uR1－uS=0
uR2－uCCCS=0


通过上面的方程得到


uR1=0.05cost(V)
iR1=0.05cost2.5=0.02cost(mA)
iU=－0.02cost(mA)
iCCCS=100×0.02cost=2cost(mA)
iR2=－2cost(mA)
uCCCS=uR2=2×(－2cost)=－4cost(V)



例3.2如图3.1.2所示电路中，开关在t=0时闭合，已知电容的初始电压uC(0)=1V，求t≥0时各支路的电压和电流。

解： 电路闭合后具有3条支路、2个独立节点、1个网孔，可列出3个VCR方程、2个KCL方程和1个KVL方程。



图3.1.2例3.2电路


3个VCR方程： 


US=2V
uR=200×103iR
iC=5×10－6duCdt


2个KCL方程： 


iU+iR=0
－iR+iC=0



1个KVL方程： 


uR+uC－US=0



环路KVL方程： 


200×103×5×10－6duCdt+uC=duCdt+uC=2
uC(0)=1


一阶非齐次线性微分方程解由两部分构成，uC=uCh+uCp，其中对应一阶齐次线性微分方程的通解uCh： 


uCh=Kest,t≥0(3.1.1)


式中： s为特征方程的特征根； K为待定常数，特征方程s+1=0，特征根s=－1。


uCh=Kest,t≥0； 对应一阶非齐次线性微分方程的一个特解uCp，特解一般形式与激励相同，设uCp=C，代入一阶非齐次线性微分方程得到uCp=2，得到


uC=uCh+uCp=Ke－t+2,t≥0(3.1.2)


由初始电压uC(0)=1，求解待定常数K，令t=0，有


uC(0)=K+2=1→K=－1→uC=2－e－t(V),t≥0(3.1.3)


求出电容两端电压后，可以解得

电阻两端电压为


uR=US－uC=e－t(V),t≥0(3.1.4)


各部分流过的电流为


iC=5×10－6duCdt=5×10－6e－t(A)=5e－t(μA),t≥0(3.1.5)
iR=iC=5e－t(μA),t≥0(3.1.6)
iU=－iR=－5e－t(μA),t≥0(3.1.7)


3.2一阶电路的三要素法

3.2.1一阶RC电路

图3.2.1(a)是一个简单的电源电阻电容电路，对顶部节点列写KCL方程： 



图3.2.1电容充电的暂态过程




i(t)=uCR+CduCdt(3.2.1)


式(3.2.1)可重写为


duCdt+uCRC=i(t)C(3.2.2)



要求出uC(t)，必须求解一个非齐次线性一阶常微分方程。利用求齐次解和特解的方法来求解这个方程。令uCh(t)是与非齐次方程(3.2.2)相关的齐次方程


duCdt+uCRC=0(3.2.3)


的任意解，令原来非齐次方程中的驱动函数(这里是i(t))为0，就可以得到相应的齐次方程。再令uCp(t)为式(3.2.2)的任意解，最后将两个解相加得到


uC(t)=uCh(t)+uCp(t)(3.2.4)


就是式(3.2.2)的一般解或全解。uCh(t)称为齐次解，uCp(t)称为特解。就电路响应而言，齐次解也可称为电路的自由响应，因为它仅取决于电路的内部储能性质，与外部输入无关。特解也可称为强制响应或强制解，因为它是由电路的外部输入决定的。

为了使问题更明确，假定电流源是一个阶跃函数，


i(t)=I0，t>0(3.2.5)


如图3.2.1(b)所示。进一步假定在阶跃电流加上之前，电容电压为0。从数学角度看，这就是初始条件。


uC=0，t<0(3.2.6)


求解齐次解和特解的方法分三步进行： 

第一步求解齐次解uCh(t)，齐次方程为


duChdt+uChRC=0(3.2.7)


假定解的形式为


uCh=Aest(3.2.8)


将式(3.2.8)代入式(3.2.7)，得到


Asest+AestRC=0(3.2.9)



从这个方程无法确定A的值，但舍弃A=0这一特殊情况，得到


sest+estRC=0(3.2.10)


对于有限的s和t，est永远不会为0，因此这一因式可以被消去，从而有


s=－1RC(3.2.11)


式(3.2.10)是系统的特征方程，s=－1/RC是这个特征方程的根。现在知道齐次解具有这样的形式： 


uCh=Ae－t/RC(3.2.12)


乘积RC具有时间的量纲，称为电路的时间常数。

第二步求出一个特解，也就是求满足原微分方程的任意一个解uCp。它不必满足初始条件，即要求的是满足方程： 


I0=uCpR+CduCpdt(3.2.13)


的任意一个解。

因为I0在t>0时是一个常数，因此一个可以接受的特解也是一个常数，即


uCp=K(3.2.14)


为了证明这一点，将式(3.2.14)代入式(3.2.13)，有


I0=KR+0(3.2.15)
K=I0R(3.2.16)


因为式(3.2.15)可以求出K，所以确信关于特解形式，即式(3.2.13)的猜想是正确的。因此特解为


uCp=I0R(3.2.17)


第三步求全解。全解就是齐次解与特解之和


uC=Ae－t/RC+I0R(3.2.18)


余下的唯一未知常数就是A，可以利用初始条件来确定它。式(3.2.6)适用于t<0，而式(3.2.18)适用于t>0。因为电容电压的瞬时跳变需要一个无穷大的脉冲电流，因此对于有限的电流，电容电压必须是连续的。该电路不能提供无穷大的电流，因此可以合理地假定uC是连续的，从而令正时间段的解和负时间段的解在t=0时刻是相等的。


0=A+I0R(3.2.19)


因此，有


A=－I0R(3.2.20)


t>0时的全解为


uC=－I0Re－t/RC+I0R(3.2.21)


或


uC=I0R(1－e－t/RC)(3.2.22)


画出它的图形如图3.2.1(c)所示。

此处做一些注释有助于加深理解： ①注意到电容电压在t=0时从0开始经过很长的时间t后到达它的终值I0R。从0到I0R的增长过程有一个时间常数RC。电容电压的终值I0R表明电流源发出的所有电流都流过电阻，电容看起来就像开路一样。



图3.2.2时间常数RC的意义


② 电容电压的初值为0，表明在t=0时刻电流源发出的所有电流都必须从电容流过，而电阻上没有电流，因此电容在t=0时刻看起来就像瞬时短路。

③ 现在可以看出时间常数RC的物理意义。如图3.2.2所示，它是一个表征暂态性质的因子，决定了过渡过程结束的速度。

电容现在已经充好电了，假定电流源被突然置零，如图3.2.3(a)所示。为方便起见，图中对时间轴重新定义，使得电流源在t=0时刻被关断。现在用来分析RC关断或放电暂态过程的电路只含有一个电阻和一个电容，如图3.2.3(c)所示。实验开始时电容上的电压用初始条件描述为


uC=I0R，t<0(3.2.23)


这种情况下的RC放电与含有一个电阻和一个电容，并且电容电压初值uC(0)=I0R的电路是一样的。



图3.2.3电容放电的暂态过程



因为驱动电流为0，所以t>0时的微分方程为


0=uCR+CduCdt


与前面一样，齐次解为


uCH=Ae－t/RC(3.2.24)


但是，现在的特解为0，因为没有强制输入，因此式(3.2.24)就是全解。换言之


uC=uCH=Ae－t/RC(3.2.25)


令式(3.2.23)和式(3.2.24)在t=0时刻相等，得到


I0R=A(3.2.26)


因此，当t>0时，电容电压的波形为


uC=I0Re－t/RC(3.2.27)


解的示意图如图3.2.3(b)所示。

一般而言，由一个电阻和一个电容组成的电路，若电容电压初值为uC(0)，则在t>0时电容电压波形为


uC=uC(0)e－t/RC(3.2.28)


3.2.2指数的性质

因为在简单的RC和RL的暂态问题的解中衰减指数会经常出现，因此在这里对这些函数的某些性质加以讨论会有助于画出它们的图形。

指数函数的一般形式为


x=Ae－t/τ(3.2.29)


指数的起始斜率为


dxdtt=0=－Aτ(3.2.30)


因此，以曲线的起始斜率向时间轴作直线，与时间轴相交于t=τ，与A的值无关，如图3.2.4(a)所示。

此外，注意到当t=τ时，式(3.2.29)中函数变为


x(t=τ)=Ae(3.2.31)


换言之，函数达到它初始值的1/e，而与A的值无关。图3.2.4(b)中在指数曲线上描述出了这一点。

因为e－5=0.0067，一般假定在t大于5个时间常数时，即


t>5τ(3.2.32)


函数基本上已经为0，也就是说假定暂态过程已经结束。

在后面将会看到时间常数τ的这些性质对于大致估计指数增长或衰减的持续时间是非常有用的。



图3.2.4指数的性质


3.3叠加定理及其应用

3.3.1叠加定理

电路中m个独立电压源和n个独立电流源共同作用所产生的任一支路电压或电流，等于每个独立电源单独作用所产生的相应支路电压或电流分量的代数和，其中所有支路电压或电流分量取相同参考方向。


y=∑m+ni=1yi=∑m+ni=1Kixi（3.3.1）
yi=y∩j≠ixj=0=Kixi（i,j=1,2,…,m+n)（3.3.2）
y=u或i
xi=uSi或iSi（3.3.3）


某个独立电源单独作用时，相当于电路中其他独立电源置零，即独立电压源短路，独立电流源开路，受控电源既不属于单独作用范畴也不属于置零范畴。

3.3.2叠加定理的应用

要求电路中若干独立电源共同作用所产生的任一支路电压或电流，只需要计算各个独立电源单独作用所产生的相应支路电压或电流分量，再叠加各个分量就可以了。

例3.3如图3.3.1所示电路中，uS=0.01cost(V)，求电压uO。



图3.3.1例3.3电路


解： 所有直流电源作用时(图3.3.2)，有


IR1=1－0.724+2.2≈0.0115(mA)
UO=1004+100×12－100×0.0115×4×1004+100=11.5－11.5×3.85≈7.08(V)




图3.3.2例3.3(a)图解


交流电源单独作用时(图3.3.3)，有


iR1=0.01cost24+2.2≈0.0004cost(mA)
uO=－100×0.0004cost×4×1004+100=－0.04cost×3.85≈－0.15cost(V)




图3.3.3例3.3(b)图解


叠加后的输出电压为


uO=UO+uO=7.08－0.15cost(V)


3.4网络等效与戴维南定理和诺顿定理的应用

3.4.1网络等效

单口网络是只具有一个外接端口的电路。只有两个端钮与其他电路相连接的网络称为二端网络。当强调二端网络的端口特性而不关心网络内部的情况时，二端网络称为单口网络，简称单口。有源单口含有独立电源，一般用N表示。无源单口不含独立电源，一般用N0表示。

外电路指单口连接的电路其他部分，单口的外特性由端口VCR确定。

如果两个单口的端口VCR相同，单口网络可以称为对外等效。两个等效的单口对外电路具有相同的作用，但它们的内部结构参数可以完全不同。单口电路如图3.4.1所示。



图3.4.1单口电路


单口等效电路是可以反映端口VCR的最简电路。

例3.4如图3.4.2所示的两个单口网络是否等效？



图3.4.2例3.4电路



解： 两个单口的端口VCR都是U=I，等效。

(1) 两个单口对外电路的作用都是I=－1mA； 

(2) 两个单口的内部一个为一个1kΩ电阻，另一个为两个2kΩ电阻并联。

例3.5如图3.4.3所示的两个单口网络是否等效？



图3.4.3例3.5电路


解： 两个单口的端口VCR都是U=1V，等效。

(1) 两个单口对外电路的作用都是I=－1mA； 

(2) 两个单口的内部一个为1V电压源，另一个为1V电压源与1kΩ电阻并联。单口等效电路为1V电压源。

3.4.2戴维南定理和诺顿定理
1. 戴维南定理

任一有源电阻单口N的端口特性等效为电压源电阻串联，此电路称为戴维南等效电路，如图3.4.4所示。其中，电压源uOC是N的端口开路电压。电阻Ro是N内全部独立电源置零所对应无源电阻单口N0的等效电阻，称为戴维南等效电阻。



图3.4.4戴维南等效电路


戴维南等效电路的端口VCR为


u=uoc+Roi(3.4.1)


戴维南定理的意义： 

(1) 明确了任一有源电阻单口等效为电压源电阻串联； 

(2) 提供了化简有源电阻单口的方法。

2. 诺顿定理

任一有源电阻单口N的端口特性等效为电流源电阻并联称为诺顿等效电路，如图3.4.5所示。其中，电流源isc是N的端口短路电流，电阻Ro是N内全部独立电源置零所对应无源电阻单口N0的等效电阻，称为诺顿等效电阻，也可称为戴维南等效电阻。



图3.4.5诺顿等效电路


诺顿等效电路的端口VCR为


i=－isc+u/Ro(3.4.2)


诺顿定理的意义： 

(1) 明确了任一有源电阻单口等效为电流源电阻并联； 

(2) 提供了化简有源电阻单口的方法。

3. 戴维南定理和诺顿定理的等效

1) 戴维南/诺顿等效电路的等效变换

若一个有源电阻单口N既能等效为戴维南等效电路又能等效为诺顿等效电路，则端口VCR相同。

戴维南等效电路的端口VCR： u=uoc+Roi

诺顿等效电路的端口VCR： i=－isc+u/Ro


u=uoc+RoiRo≠0i=－uocRo+1Rou=－isc+1Rou(3.4.3)


式中： isc=uocRo。

只要戴维南等效电路的电阻不为零(不是电压源支路)，可等效变换为诺顿等效电路。


i=－isc+1RouRo≠∞u=Roisc+Roi=uoc+Roi(3.4.4)


式中： uoc=Roisc。

只要诺顿等效电路的电阻不为无穷大(不是电流源支路)，可等效变换为戴维南等效电路。

2) 戴维南/诺顿等效电路的等效变换时

(1) Ro取值相同，但连接方式不同。

(2) uoc的方向与isc的方向相反。

戴维南/诺顿等效电阻Ro的另一种求法： 


isc=uocRo或uoc=Roisc→Ro=uocisc


不必将有源电阻单口N内全部独立电源置零得到对应无源电阻单口N0后求等效电阻，而是直接在N中分别求uoc、isc后，两者之比即为Ro。

3.4.3戴维南定理和诺顿定理的应用

戴维南定理和诺顿定理主要用于求电阻电路中某一条支路或单一动态元件动态电路动态支路的电压或电流，待求支路之外的电阻电路作为有源电阻单口的戴维南等效电路和诺顿等效电路。

(1) 求有源电阻单口的戴维南等效电路和诺顿等效电路的两个步骤。

首先求N的端口开路电压uoc或端口短路电流isc，然后求N的戴维南/诺顿等效电阻。

求等效电阻Ro有两种方法： 一是外接电源法，在N所对应N0(N内全部独立电源置零)端口加电流源求端口电压或端口加电压源求端口电流； 二是同时求N的uoc、isc后，两者之比即为Ro。

例3.6求如图3.4.6所示有源电阻单口的戴维南等效电路和诺顿等效电路。

解： 求N的端口开路电压Uoc时(I=0，图3.4.7)，有


Uoc=1812+6×12－6×126+12×2=12－8=4(V)




图3.4.6例3.6电路




图3.4.7例3.6图解（1）



求N的端口短路电流Isc时(U=0,图3.4.8)，有


Isc=186－2=3－2=1(mA)


求戴维南等效电阻和诺顿等效电阻Ro时有两种方法： 一是外接电源法(图3.4.9)，N所对应N0(N内18V电压源和2mA电流源置零)端口加电流源I求端口电压U。
Ro=UI=6×126+12=4(kΩ)


图3.4.8例3.6图解（2）




图3.4.9例3.6图解（3）



二是N的Uoc、Isc两者之比(图3.4.10)： 


Ro=UocIsc=41=4(kΩ)




图3.4.10例3.6图解（4）


例3.7如图3.4.11所示有源电阻单口中，uS=0.05cost(V)，求其戴维南等效电路。

解： 如图3.4.12所示，求N的端口开路电压uoc时，i=0。


uR1=2×5－0.05cost2+3=2－0.02cost(V)
uoc=－4×(2－0.02cost－1.5)×2=－4+0.16cost(V)




图3.4.11例3.7电路




图3.4.12例3.7图解（1）




用外接电源法求戴维南等效电阻Ro，如图3.4.13所示，将uS、5V和1.5V电压源置零，在N所对应N0端口加电流i求电压u。



图3.4.13例3.7图解（2）





uR1=uR1+ur1=0
4uR1-34UR1=0
u=2i
Ro=ui=2(kΩ)


例3.7最终的戴维南等效电路如图3.4.14所示。



图3.4.14例3.7最终的戴维南等效电路


(2) 求电阻电路中某一条支路的电压或电流。

将待求支路之外的电阻电路作为有源电阻单口的戴维南等效电路和诺顿等效电路，再求单回路电路或单独立节点电路(电阻分压电路或电阻分流电路)的支路电压或支路电流。转化为单回路电路后，具体有如下两种形式： 

① 电阻分压电路： 若干电阻和一个电压源构成的单回路电路。两个电阻和一个电压源构成的电阻分压电路，如图3.4.15所示。

环路电流： 


uS=u1+u2=R1i+R2i=(R1+R2)i
i=1R1+R2uS


各个电阻分压： 


u1=R1i=R1R1+R2uS，u2=R2i=R2R1+R2uS



n个电阻和一个电压源构成的电阻分压电路： 

分压公式
ui=Ri∑nj=1RjuS，i=1,2,…,n(3.4.5)
② 电阻分流电路： 若干电阻和一个电流源构成的单独立节点电路。两个电阻和一个电流源构成的电阻分流电路，如图3.4.16所示。



图3.4.15电阻分压电路




图3.4.16电阻分流电路



并联电阻两端电压：


iS=i1+i2=G1u+G2u=(G1+G2)u
u=1G1+G2iS


各个电阻分得的电流： 


i1=G1u=G1G1+G2iS=R2R1+R2iS
i2=G2u=G2G1+G2iS=R1R1+R2iS


n个电阻和一个电流源构成的电阻分流电路： 

分流公式
ii=Gi∑nj=1GjiS,i=1,2,…,n(3.4.6)
例3.8求如图3.4.17所示电桥电路的电流i，如要求i=0(电桥平衡)，桥臂电阻间应满足什么关系？

解： 求RL以外的有源电阻单口N的端口开路电压uoc时i=0，如图3.4.18所示。


uoc=ua－ub=R2R1+R2－R4R3+R4uS




图3.4.17例3.8电路




图3.4.18例3.8图解(1)



求戴维南等效电阻Ro时的方法——外接电源法(图3.4.19)，在N所对应的N0(N内uS置零)端口加电流源i，求端口电压u。

对于此例题，戴维南等效电路中(图3.4.20)电阻Ro为


Ro=(R1∥R2)+(R3∥R4)




图3.4.19例3.8图解(2)




图3.4.20例3.8图解(3)




求电阻分压电路的i： 


i=uocRo+RL=R2R1+R2－R4R3+R4uS(R1∥R2)+(R3∥R4)+RL


当i=0时，有


R2R1+R2－R4R3+R4=0
R2R1+R2=R4R3+R4
R2R3=R1R4



例3.9如图3.4.21所示电路中，uS=0.05costV，求电压uO。



图3.4.21例3.9电路


解： 求2kΩ电阻、10V电压源串联以外有源电阻单口N的戴维南等效电路，如图3.4.22所示。

求2kΩ电阻、10V电压源串联的电压uO，如图3.4.23所示。


uO=22+2×(－14+0.16cost)+10=3+0.08cost(V)




图3.4.22例3.9图解(1)




图3.4.23例3.9图解(2)



(3) 求单一动态元件动态电路动态支路的电压或电流，将待求动态支路之外的电阻电路作为有源电阻单口的戴维南等效电路和诺顿等效电路，再列单回路电路或单独立节点电路的微分方程求动态支路电压或电流。

例3.10如图3.4.24所示电路中，电容在t=0时接入，且u(0)=0，求t≥0时电容的电压u。



图3.4.24例3.10电路


解： 求25μF电容以外有源电阻单口N的诺顿等效电路，如图3.4.25所示。

求单独立节点电路的u，如图3.4.26所示。



图3.4.25例3.10图解诺顿等效电路




图3.4.26例3.10图解单独立节点电路



根据节点KCL得出以下方程： 


25×10－6dudt+14×103u=1×10－3,t≥0
u(0)=0
u=Ke－10t+4(V),t≥0
u(0)=0
u=4(1－e－10t)(V),t≥0


3.5节点分析法

3.5.1节点电压

示例电路如图3.5.1所示。



图3.5.1节点电压示意电路


图3.5.1中支路数b=5，支路电压为u1、u2、u3、uiS1、uiS2。独立节点数n－1=2，小于支路数b=5。


任意选取一个节点作为零电位点，即参考节点； 选定参考节点后，其余独立节点对于参考节点的电压为节点电压，分别为ua、ub。

以节点电压为变量的KVL方程如下： 

－ua+(ua－ub)+ub=0——KVL对节点电压不构成线性约束： 


ua+uiS1=0
－ub+uiS2=0


结合VCR以节点电压为变量的KCL方程如下： 


G1ua+G3(ua－ub)－iS1=(G1+G3)ua－G3ub－iS1=0
G2ub－G3(ua－ub)+iS2=－G2ua+(G2+G3)ub+iS2=0


支路电压与节点电压的关系如下： 


u1=ua
u2=ub
u3=ua－ub
uiS1=－ua
uiS2=ub


节点电压具有以下特性： 

(1) 独立性： KVL对节点电压不构成线性约束。

(2) 可解性： n－1个节点电压，n－1个结合VCR以节点电压为变量的KCL方程。

(3) 完备性： 所有支路电压都是节点电压的线性组合。

由以上分析可以看出，节点分析法以节点电压为变量，列写n－1个结合VCR的KCL方程，求解n－1个节点电压，求解之后便可求出b个支路的电压和电流。

3.5.2节点方程的列写

示例电路如图3.5.2所示。



图3.5.2节点方程示意电路


结合VCR以节点电压为变量列出KCL方程如下： 


G1ua+G3(ua－ub)－iS1=(G1+G3)ua－G3ub－iS1=0
G2ub－G3(ua－ub)+iS2=－G2ua+(G2+G3)ub+iS2=0
(G1+G3)ua－G3ub=iS1
－G2ua+(G2+G3)ub=－iS2


节点a、b的自电导Gaa、Gbb是连接节点a、b的各支路电导之和，即Gaa=G1+G3，Gbb=G2+G3，有


(G1+G3)ua－G3ub=iS1
－G2ua+(G2+G3)ub=－iS2


节点间的互电导Gab=Gba，是同时连接节点a、b的各支路电导之和，Gab=Gba=G3； 

流入节点a、b的电流源之和iSaa、iSbb，iSaa=iS1，iSbb=－iS2。


(1) 不含电压源和受控电源电阻电路的节点方程列写。对于b条支路、n个节点的电路，有n－1个节点方程： 



∑n－1j=1±Gijuj=iSii，i=1,2,…,n－1(3.5.1)


当j=i时，Gij为节点i的自电导； 当j≠i时，Gij为节点i、j间的互电导； iSii为流入节点i的电流源之和。电导前的正、负取决于是自电导还是互电导，自电导前取正，互电导前取负。

例3.11求如图3.5.3所示电路中电流源的功率。

解： 设参考节点和节点电压U1、U2、U3如图3.5.4所示。



图3.5.3例3.11电路




图3.5.4例3.11图解



根据节点电压列出节点KCL方程，得到下列方程组： 


(1+2)U1－2U2=3U1－2U2=0
－2U1+(2+1)U2－U3=－2U1+3U2－U3=－2
－U2+(1+1)U3=－U2+2U3=0


通过方程组解得


U1=－87V
U2=－127V
U3=－67V
P=2U2=2(－12/7)=－247（mW）


(2) 含电压源、不含受控电源电阻电路的节点方程列写。

电压源只与一个节点关联时，电压源确定该节点电压，不必列写该节点的节点方程； 电压源同时与两个节点关联时，电压源给出该两个节点电压的约束关系(补充方程)，列写该节点的节点方程时设待求电流流过电压源，将电压源看成待求电流的电流源； 其余与不含电压源和受控电源电阻电路的节点方程列写相同。

例3.12求如图3.5.5所示电路的电流I。

解： 设参考节点和节点电压U1、U2、U3如图3.5.6所示。

节点1电压确定： U1=10V。

节点2和节点3的节点方程： 


－120U1+120+130+110U2－110U3=－120×10+1160U2－110U3=0
－110U2+110U3=2





图3.5.5例3.12电路




图3.5.6例3.12图解



解得


11U2－6U3=30
－U2+U3=20
U2=30V
U3=50V
I=U2/30=30/30=1（mA）


例3.13求如图3.5.7所示电路中的电压U。

解： 设参考节点和节点电压U1、U2，待求电压源电流I如图3.5.8所示。



图3.5.7例3.13电路




图3.5.8例3.13图解（1）



节点1电压与节点2电压的约束关系(补充方程)： U1－U2=3V。

节点1和节点2的节点方程： 


U1=2－I1
U2=I1－1
U1+U2=1V
U1－U2=3V
U1=2V
U2=－1V
I=0
U=U2=－1V



例3.13的另解： 

设参考节点和节点电压U1、U2如图3.5.9所示。



图3.5.9例3.13图解（2）


节点1电压确定： U1=3V。

节点2的节点方程： 


－U1+(1+1)U2=－U1+2U2=－3+2U2=1－2=－1(V)
U2=1V
U=－U2=－1V


(3) 含受控电源电阻电路的节点方程列写，将受控电源的控制量转换为节点电压，受控电源看成独立电源列写方程，再移项整理； 其余与不含受控电源电阻电路的节点方程列写相同。

例3.14求如图3.5.10所示电路的电流I。

设参考节点和节点电压U1、U2、U3如图3.5.11所示。



图3.5.10例3.14电路




图3.5.11例3.14图解



节点1电压确定： U1=2V。

受控电源的控制量转换为U3/4。

节点2和节点3的节点方程： 


－14U1+14+14U2－14U3=－14×2+12U2－14U3=－I=－U34
－12U1－14U2+12+14+14U3=－12×2－14U2+U3=0


解得


U2=1V
－U2+4U3=4(V)
U1=2V
U2=1V
U3=1.25V
I=U3/4=1.25/4=0.3125（mA）


*3.5.3阶跃输入的RC串联电路

阶跃输入的RC串联电路如图3.5.12所示。



图3.5.12阶跃输入的RC串联电路


假设函数波形uS是一个幅值为U的阶跃电压，在t=0时加到电路上。但这一次假设电容在阶跃之前为U0，即电路的初始条件为


uC=U0(3.5.2)


利用节点法可以得出微分方程。对电压为uC的节点应用KCL得到


uC－u1R+CduCdt=0(3.5.3)


方程两边除以C，并整理得到


duCdt+uCRC=u1RC(3.5.4)


齐次方程为


duChdt+uChRC=0(3.5.5)


正如所期望的那样，该式和表示诺顿等效电路的式(3.2.7)是一样的，因为诺顿等效电路和戴维南等效电路是等效的。借用式(3.2.7)的齐次解，有


uCh=Ae－t/RC(3.5.6)


式中： RC为电路的时间常数。

现在来求特解。因为输入是一个幅值为U的阶跃信号，特解方程满足： 


duCpdt+uCpRC=URC(3.5.7)


因为电源是一个阶跃函数，在t很大时是一个常数，假定特解的形式为


uCp=K(3.5.8)


式(3.5.8)代入式(3.5.7)，得到


KRC=URC(3.5.9)


这就说明，K=U。因此特解为


uCp=U(3.5.10)


将uCh和uCp相加，得到全解为


uC=U+Ae－t/RC(3.5.11)


现在可以利用初始条件来确定A。因为电容电压在t=0时刻必须是连续的，得到



uC(t=0)=U0(3.5.12)


因此，在t=0时，由式(3.5.11)可以得出


A=U0－U(3.5.13)


t>0时电容电压全解为


uC=U+(U0－U)e－t/RC(3.5.14)


式中： U为t>0时输入驱动电压； U0为电容上的初始电压。

接下来做一个快速正确性检查： 将t=0代入，得到uC(0)=U0； 将t=∞代入，得到uC(∞)=U。两个边界条件都是期望的，电容电压的初值都是U0，而经过很长一段时间后，电源电压必然全部加到电容两端。

对式(3.5.14)中各项进行重新整理，可以得到下面的等效形式： 


uC=U0e－t/RC+U(1－e－t/RC)(3.5.15)


流过电容的电流为


iC=CduCdt=U－U0Re－t/RC(3.5.16)


iC的表达式也符合期望，因为当t很大时，iC肯定为零； 而在t=0时电容就像是一个电压为U0的电压源，因此t=0时的电流必然为(U－U0)/R。

这些波形如图3.5.12(b)所示。

如果期望求电阻电压uR，可以应用KVL很容易地得到： 


uR=u1－uC(3.5.17)


其中，取电阻的输入端作为uR的正参考方向。

或者取电流和电阻的乘积也可以得到电阻电压为


uR=iCR(3.5.18)


式(3.5.14)是在假定初始条件(U0)和输入(阶跃U)都不为零的情况下得到的。

将U0=0代入式(3.5.14)得到


uC=U0e－t/RC(3.5.19)


将U0代入式(3.5.14)得到


uC=U－Ue－t/RC(3.5.20)


全响应就是两者之和，将式(3.5.19)和式(3.5.20)的右边相加，并与式(3.5.14)的右边相比较，即可证明这一点。

*3.5.4方波输入的串联RC信号

研究图3.2.3(a)和图3.2.3(b)中的波形表明，电容的存在改变了输入方波的形状。当一个方波脉冲加入到RC电路上时，会得到不是方波的脉冲，它缓慢上升又缓慢下降。电容使得电路可以做一定的波形整形。这个概念可以通过方波驱动的实验来进一步建立。

在该实验中，用图3.5.13所示的戴维南等效电路。电源可以是一个标准的实验室方波发生器。输入方波在图3.5.13中用1加以标注。根据驱动方波的周期和网络的时间常数RC的关系，可以得到几种截然不同的uC(t)的波形。这些波形都是在前面得到的解的各种变化。



图3.5.13对方波的响应


当电路时间常数与方波周期相比非常短时，指数函数衰减的速度相对要快一点，如图3.5.13中波形2所示。电容波形除了在拐角处有一些小小的圆角外，与输入波形非常相似。

若时间常数占脉冲长度的相当大部分，则解的波形如图3.5.13中波形3所示。注意图形表明暂态过程仍然是几乎快要结束了，因此要适用这个解，RC的乘积有一个上限。与上面指出的一样，假定简单的暂态过程在时间大于5倍时间常数后就结束了，RC的乘积必须小于脉冲长度的1/5，或方波周期的1/10，才能适用这个解。

当电路的时间常数远大于方波周期时，得到的波形如图3.5.13中波形4所示。这种情况下，暂态过程显然没有结束。实际上，只看到指数函数的第一部分。波形看起来像一个三角波，即输入波形的积分。这一点可以从描述电路的微分方程中看出。应用KVL可得


u1=iCR+uC(3.5.21)


利用电容的电压电流关系得到微分方程： 


u1=RCduCdt+uC(3.5.22)


显然，根据式(3.5.22)或图3.5.13，当电路的时间常数变大时，电容电压uC必然变小。对于波形4，时间常数RC足够大，uCu1，因此这种情况下，式(3.5.21)可近似写为


u1≈iCR(3.5.23)


从物理意义上讲，电流现在仅取决于驱动电压和电阻，因为电容电压几乎为0。假定uC可以忽略，对于式(3.5.22)两边积分，得到


uC≈1RC∫u1dt+K(3.5.24)


式中： 积分常数K=0。因此RC很大时，电容的电压就近似是输入电压的积分。这是一条非常有用的信号处理性质。

非常容易求得图3.5.13(a)所示电路中电阻的电压(因为可以由电容的电压求出电流)： 


uR=iCR=RCduCdt(3.5.25)


以充电时间段为例，假定暂态过程已经结束，由式(3.2.22)得


uC=U1－e－t/RC(3.5.26)


因此


uR=Ue－t/RC(3.5.27)


若输入信号u1的平均值为0，即如果u1在－U/2~+U/2之间变化，则图3.5.8中的波形几乎不发生变化。更明确地说，uC的平均值也是0。若暂态过程结束，如图3.5.14中的波形2、3所示，则偏移量将为－U/2和+U/2。

3.6正弦稳态电路的相量模型

3.6.1正弦信号激励下的动态电路

例3.15如图3.6.1所示电路中iS=5cos(10t+45°)(mA)，开关在t=0时闭合，已知uC(0)=0，求t足够大时的uC、uR、uS、iC和iR。



图3.6.1正弦激励动态电路

解： 根据节点的KCL可得


0.3duCdt+4uC=5cos(10t+45°),t≥0
uC(0)=0


求解微分方程可得


uC=uCh+uCp=Ke－40t3+uCp(V),t≥0
uC(0)=0


设uCp=UCmcos(10t+φu)→
－10×0.3UCmsin(10t+φu)+4UCmcos(10t+φu)=5cos(10t+45°)
－332+42UCmsin(10t+φu)+432+42UCmcos(10t+φu)=532+42cos(10t+45°)
由于φ=arctan34=36.9°，因此可得


－UCmsin(10t+φu)sin36.9°+UCmcos(10t+φu)cos36.9°
=UCmcos(10t+φu+36.9°)=cos(10t+45°)
UCm=1，φu=45°－36.9°=8.1°


则


uCp=cos(10t+8.1°)
uC=Ke－40t3+cos(10t+8.1°)(V)，t≥0，uC(0)=0
uC=cos(10t+8.1°)－0.99e－40t3(V)，t≥0


t足够大时，有


uC=cos(10t+8.1°)(V)
uR=uS=cos(10t+8.1°)(V)
iC=0.3ddtcos(10t+8.1°)=－3sin(10t+8.1°)=3cos(10t+98.1°)(mA)
iR=cos(10t+8.1°)0.25=4cos(10t+8.1°)(mA)


3.6.2正弦稳态电路

正弦稳态电路是正弦信号激励下处于稳态响应(t足够大时的响应)的动态电路。正弦稳态电路中所有支路电压、电流都是与信号同频率的正弦量。

3.6.3正弦量的相量表示
1. 正弦量的(振幅)相量，欧拉公式




ej(ωt+φ)=cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)(3.6.1)
cos(ωt+φ)=Re［ej(ωt+φ)］sin(ωt+φ)=Im［ej(ωt+φ)］(3.6.2)
u=Umcos(ωt+φu)=Re［Umej(ωt+φu)］=Re［U·mejωt］
i=Imcos(ωt+φi)=Re［Imej(ωt+φi)］=Re［I·mejωt］(3.6.3)




图3.6.2相量图

相量图如图3.6.2所示。

电压相量为


U·m=Umejφu=Um∠φu


电流相量为


I·m=Imejφi=Im∠φi



2. 正弦量的有效值和有效值相量


比较通过同一电阻的正弦电流在一个周期所消耗的能量与直流电流在同一时期所消耗的能量。正弦量的有效值为均方根值，从所消耗的能量角度而言两个电流相当，即Wi=WI。


I=1T∫T0i2(t)dt=1T∫T0I2mcos(ωt+φi)2dt
=1T∫T0I2m12［1+cos(2ωt+2φi)］dt
=12Im=0.707Im
(3.6.4)

正弦量的有效值相量： 


u=Umcos(ωt+φu)=2Ucos(ωt+φu)=Re［2Uej(ωt+φu)］=2Re［U·ejωt］
i=Imcos(ωt+φi)=2Icos(ωt+φi)=Re［2Iej(ωt+φi)］=2Re［I·ejωt］
(3.6.5)

电压的有效值相量为


U·=Uejφu=U∠φu


电流的有效值相量为


I·=Iejφi=I∠φi
U·=12U·m,I·=12I·m


正弦量到相量，相量及角频率到正弦量的转换如下： 


i=5cos(314t+60°)(mA)→I·m=5∠60°(mA)(3.6.6)
U·=－5∠－30°=5∠150°(V)，ω=2π(rad/s)
u=52cos(2πt+150°)(V)


3.6.4正弦量的相量计算

正弦量和相量具有以下三种性质： 

(1) 唯一。设分别对应的相量为i1I·1，i2I·2。若i1=i2，则I·1=I·2。

(2) 线性。设i1I·1，…，inI·n，则有α1i1+…+αninα1I·1+…+αnI·n。

(3) 微分。设iI·，则有didtjωI·，…，dnidtn(jω)nI·


didt=ddtRe［I·ejωt］=ReddtI·ejωt=Re［jωI·ejωt］jωI·(3.6.7)



例3.16已知i1=sin(2t－30°)(mA)，i2=cos(2t+45°)(mA)，试求di1dt+2i2。

解： 先将电流i1、i2用相量表示出来，如图3.6.3所示。



i1=sin(2t－30°)=cos(2t－120°)I·1m=1∠－120°
i2=cos(2t+45°)I·2m=1∠45°



图3.6.3例3.16相量图


j2I·1m+2I·2m=2∠90°×1∠－120°+2×1∠45°
=2∠－30°+2∠45°
=(1.732－j1)+(1.414+j1.414)
=3.146+j0.414=3.17∠7.5°

di1dt+2i2=3.17cos(2t+7.5°)(mA)



3.6.5正弦稳态电路的相量模型
1. 电阻的相量模型

正弦稳态电路中任一电阻，关联参考方向下电压相量与电流相量间满足VCR方程U·=RI·或U·m=RI·m。


u=2Ucos(ωt+φu)=2Re［U·ejωt］
=Ri=R2Icos(ωt+φi)=R2Re［I·ejωt］=2Re［RI·ejωt］(3.6.8)
U·=RI·
U·=U∠φu=RI·=RI∠φi(3.6.9)


有效值或振幅满足U=RI或Um=RIm，电压相位与电流相位同相，φu=φi，如图3.6.4所示。

2. 电感的相量模型

正弦稳态电路中任一电感，关联参考方向下电压相量与电流相量间满足VCR方程U·=jωLI·或U·m=jωLI·m。


u=2Ucos(ωt+φu)=2Re［U·ejωt］
=Ldidt=Lddt2Icos(ωt+φi)
=Lddt2Re［I·ejωt］=2Re［jωLI·ejωt］(3.6.10)


则U·=jωLI·


U·=U∠φu=jωLI·=ωL∠90°I∠φi=ωLI∠(φi+90°)(3.6.11)


有效值或振幅满足U=ωLI或Um=ωLIm，电压相位超前于电流相位90°，φu=φi+90°，如图3.6.5所示。



图3.6.4相量图



图3.6.5相量图



3. 电容的相量模型

正弦稳态电路中任一电容，关联参考方向下电压相量与电流相量间满足VCR方程U·=1jωCI·或U·m=1jωCI·m。


i=2Icos(ωt+φi)=2Re［I·ejωt］
=Cdudt=Cddt2Ucos(ωt+φi)
=Cddt2Re［U·ejωt］=2Re［jωCU·ejωt］(3.6.12)


则I·=jωCU·


U·=U∠φu=1jωCI·=1ωC∠－90°I∠φi=1ωCI∠(φi－90°)(3.6.13)




图3.6.6相量图

有效值或振幅满足U=IωC或Um=1ωCIm，电压相位滞后于电流相位90°，φu=φi－90°，如图3.6.6所示。

4. 阻抗/导纳——欧姆定律的相量形式

阻抗相量形式： 


Z=U·I·=UI∠(φu－φi)=Z∠φz=R+jX(3.6.14)


导纳相量形式： 


Y=I·U·=IU∠(φi－φu)=|Y|∠φy=G+jB(3.6.15)


欧姆定律的相量形式： 


U·=ZI·或U·m=ZI·m(3.6.16)
I·=YU·或I·m=YU·m(3.6.17)


(1) 电阻的阻抗/导纳。


Z=U·I·=R
Y=I·U·=G
(3.6.18)

电阻的阻抗/导纳只有实部，即电阻/电导。

(2) 电感的阻抗/导纳。


Z=U·I·=jωL=jX→X=ωL
Y=I·U·=1jωL=－j1ωL=jB(3.6.19)


则
B=－1ωL
电感的阻抗/导纳只有虚部，即电抗/电纳，一般称感抗/感纳。

感抗/感纳不仅与电感L相关，而且与角频率ω相关。

(3) 电容的阻抗/导纳。


Z=U·I·=1jωC=－j1ωC=jX


则


X=－1ωC
Y=I·U·=jωC=jB
B=ωC
(3.6.20)

电容的阻抗/导纳只有虚部，即电抗/电纳，一般称容抗/容纳。

容抗/容纳不仅与电容C相关，而且与角频率ω相关。

例3.17如图3.6.7所示电路中，已知交流电流表A1、A2的读数均为10mA，求交流电流表A的读数。

解： 设并联支路电压U·=U∠0°，可得


I·1=U·R=UR∠0°=10∠0°（A）
I·2=jωCU·=ωCU∠90°=10∠90°（A）
I·=I·1+I·2=10∠0°+10∠90°=10+j10=14.14∠45°（A）


交流电流表A的读数为14.14mA，图解如图3.6.8所示。



图3.6.7例3.17电路




图3.6.8例3.17图解




5. 独立电源的相量模型

正弦稳态电路中任一相同角频率的独立电源，VCR方程用电压相量或电流相量表示。

(1) 独立电压源。VCR方程： U·=U·S或U·m=U·Sm，可得


u=2Ucos(ωt+φu)=2Re［U·ejωt］
=uS=2UScos(ωt+φus)=2Re［U·Sejωt］
(3.6.21)

故有


U·=U·S


(2) 独立电流源。VCR方程： I·=I·S或I·m=I·Sm，可得


i=2Icos(ωt+φi)=2Re［I·ejωt］
=iS=2IScos(ωt+φis)=2Re［I·Sejωt］(3.6.22)

故有


I·=I·S


6. 受控电源的相量模型

正弦稳态电路中任一受控电源，关联参考方向下电压相量与电流相量间满足： 

(1) VCVS。VCR方程： I·1=0，U·2=μU·1或I·m1=0，U·m2=μU·m1，可得


i1=2I1cos(ωt+φi1)=2Re［I·1ejωt］=0(3.6.23a)


则


I·1=0
u2=2U2cos(ωt+φu2)=2Re［U·2ejωt］
=μu1=μ2U1cos(ωt+φu1)=2Re［μU·1ejωt］(3.6.23b)

则U·2=μU·1

(2) CCVS。
VCR方程： U·1=0，U·2=rI·1或U·m1=0，U·m2=rI·m1，可得


u1=2U1cos(ωt+φu1)=2Re［U·1ejωt］=0(3.6.24a)


则U·1=0



u2=2U2cos(ωt+φu2)=2Re［U·2ejωt］
=ri1=r2I1cos(ωt+φi1)=2Re［rI·1ejωt］
(3.6.24b)

则U·2=rI·1


(3) VCCS。VCR方程： I·1=0，I·2=gU·1或I·m1=0，I·m2=gU·m1，可得


i1=2I1cos(ωt+φi1)=2Re［I·1ejωt］=0
(3.6.25a)

则I·1=0


i2=2I2cos(ωt+φi2)=2Re［I·2ejωt］
=gu1=g2U1cos(ωt+φu1)=2Re［gU·1ejωt］
(3.6.25b)

则I·2=gU·1

(4) CCCS。VCR方程： U·1=0，I·2=βI·1或U·m1=0，I·m2=βI·m1，可得


u1=2U1cos(ωt+φu1)=2Re［U·1ejωt］=0(3.6.26a)


则U·1=0


i2=2I2cos(ωt+φi2)=2Re［I·2ejωt］
=βi1=β2I1cos(ωt+φi1)=2Re［βI·1ejωt］
(3.6.26b)

则I·2=βI·1

7. 基尔霍夫定律的相量形式

1) KCL的相量形式

正弦稳态电路中流出任一节点的全部支路电流相量的代数和等于零。

KCL方程： ∑nk=1±I·k=0或∑nk=1±I·mk=0，可得


∑nk=1±ik=∑nk=1±2Ikcos(ωt+φik)=∑nk=1±2Re［I·kejωt］
  =2Re［∑nk=1±I·kejωt］=0
∑nk=1±I·k=0



2) KVL的相量形式

正弦稳态电路中沿任一回路的全部支路电压相量的代数和等于零。

KVL方程： ∑mk=1±U·k=0或∑mk=1±U·mk=0，可得


∑mk=1±uk=∑mk=1±2Ukcos(ωt+φuk)=∑mk=1±2Re［U·kejωt］
  =2Re［∑mk=1±U·kejωt］=0
∑mk=1±U·k=0
∑nk=1±I·k=∑nk=1±Ik∠φik=0
∑mk=1±U·k=∑mk=1±Uk∠φuk=0(3.6.27)


由此可见： 

(1) 电流/电压相量满足KCL/KVL； 

(2) 电流/电压有效值或振幅不满足KCL/KVL。

例3.18在正弦稳态RLC串联电路中，uS=102cos(ωt)(V)，uL=32sin(ωt)(V)，uC=152cos(ωt+180°)(V)，求uR。

解： uS=102cos(ωt)

则U·S=10∠0°(V)
uL=32sin(ωt)=32cos(ωt－90°)



图3.6.9例3.18图解


则U·L=3∠－90°(V)

uC=152sin(ωt+180°)=152cos(ωt+90°)

则U·C=15∠90°(V)

U·R=U·S－U·L－U·C=10∠0°－3∠－90°－15∠90°
=10+j3－j15
=10－j12=15.6∠－50°(V)
uR=15.62cos(ωt－50°)(V)

图解如图3.6.9所示。


3.7正弦稳态电路的相量分析

3.7.1正弦稳态电路相量分析的基本方法

(1) 正弦稳态电路的相量模型。

① 电路结构不变； 

② 电压和电流变为电压相量和电流相量，参考方向不变； 

③ 元件参数改变，RLC参数变为阻抗参数，电压源和电流源变为电压源相量和电流源相量，参考方向不变。

(2) 根据元件的相量模型和基尔霍夫定律的相量形式列写相量方程，求出电压相量和电流相量。

(3) 由所求出的电压相量和电流相量得到相应的正弦电压和正弦电流。

例3.19如图3.7.1所示正弦稳态电路中，已知uS=2cos(ωt)(V)，求ω分别为200rad/s、1000rad/s时的i。

图解如图3.7.2所示。



图3.7.1例3.19电路




图3.7.2例3.19图解



解： 根据正弦稳态电路的相量模型，列写相量方程并求解： 


2I·+j5ω×10－3(I·－I·C)=1∠0°
－j1/ω×103I·C+2I·+j5ω×10－3(I·C－I·)=0


当ω=200rad/s时，有


2I·+j1(I·－I·C)=1∠0°
－j5I·C+2I·+j1(I·C－I·)=0
(2+j1)I·－j1I·C=1
(2－j1)I·－j4I·C=0
I·=46+j5=4∠0°7.81∠39.8°=0.51∠－39.8°(mA)


当ω=1000rad/s时，有


2I·+j5(I·－I·C)=1∠0°
－j1I·C+2I·+j5(I·C－I·)=0
(2+j5)I·－j5I·C=1
(2－j5)I·+j4I·C=0
I·=418－j5=4∠0°18.68∠－15.5°=0.21∠15.5°(mA)


相应的正弦量： 

当ω=200rad/s时，有


i=0.512cos(200t－39.8°)(mA)


当ω=1000rad/s时，有


i=0.212cos(1000t+15.5°)(mA)


3.7.2正弦稳态电路相量分析中叠加定理的应用

在正弦稳态电路相量分析中运用叠加定理，只需要做对应的改变即可。独立电源单独作用变为独立电源相量单独作用，电路变为电路相量模型(角频率不同阻抗参数不同)，电压/电流分量变为电压/电流相量分量。



图3.7.3例3.20电路


例3.20如图3.7.3所示稳态电路中，已知uS1=3V，uS2=42sin(2000t)(V)，求i。

解： 当uS1=3V单独作用时，稳态电路的相量模型(电路)如图3.7.4所示。

列写相量方程(时域方程)并求解： 


i1=3/1=3(mA)


当uS2=42sin(2000t)(V)单独作用时，稳态电路的相量模型(电路)如图3.7.5所示。



图3.7.4例3.20图解（1）




图3.7.5例3.20图解（2）



列写相量方程并求解： 


I·2=－11+j1×4∠－90°－j1+j11+j1=4∠90°－j1(1+j1)+j1=4∠90°(mA)


相应的正弦量： 


i2=42cos(2000t+90°)(mA)


叠加： 


i=i1+i2=3+42cos(2000t+90°)(mA)


3.7.3正弦稳态电路相量分析中戴维南定理和诺顿定理的应用

同理，在正弦稳态电路相量分析中运用戴维南定理和诺顿定理，做对应的变换即可。电路变为电路相量模型，单口模型变为单口相量模型，开路电压/短路电流变为开路电压相量/短路电流相量，等效电阻变为等效阻抗，戴维南/诺顿等效电路变为戴维南/诺顿等效相量模型。

例3.21如图3.7.6所示正弦稳态电路中，已知uS=2cos(ωt)(V)，求ω分别为200rad/s、1000rad/s时的i。

解： 2kΩ电阻支路之外有源单口的相量模型如图3.7.7所示。



图3.7.6例3.21电路




图3.7.7例3.21图解（1）



求N的开路电压相量U·oc时I·=0，如图3.7.8所示。


U·oc=1∠0°(V)


运用外接电源法求N→N0的等效阻抗Z0，加U·求I·，如图3.7.9所示。


I·=U·j5ω×10－3+U·－2I·－j1/ω×103




图3.7.8例3.21图解（2）




图3.7.9例3.21图解（3）



当ω=200rad/s时，有


I·=U·j1+U·－2I·－j5
Z0=U·I·=－2+j54=－0.5+j1.25(kΩ)





图3.7.10例3.21图解（4）

当ω=1000rad/s时，有


I·=U·j5+U·－2I·－j1
Z0=U·I·=10－j54=2.5－j1.25(kΩ)


单回路电路的相量模型如图3.7.10所示。

当ω=200rad/s时，有


I·=U·oc2+Z0=1∠0°2－0.5+j1.25=1∠0°1.5+j1.25=1∠0°1.95∠39.8°
=0.51∠－39.8°(mA)


当ω=1000rad/s时，有


I·=U·oc2+Z0=1∠0°2+2.5－j1.25=1∠0°4.5－j1.25=1∠0°4.67∠－15.5°
=0.21∠15.5°(mA)


相应的正弦量： 

当ω=200rad/s时，有


i=0.512cos(200t－39.8°)（mA）


当ω=1000rad/s时，有


i=0.212cos(1000t+15.5°)（mA）


3.7.4正弦稳态电路相量分析中的节点分析法

在正弦稳态电路相量分析中运用节点分析法，只需要做出对应的变量变换即可。电路变为电路相量模型，节点电压变为节点电压相量，自电导变为自导纳，互电导变为互导纳，电源变为电源相量，节点方程变为节点相量方程。

例3.22如图3.7.11所示正弦稳态电路中，已知uS=2cos(ωt)(V)，求ω分别为200rad/s、1000rad/s时的i。

解： 根据正弦稳态电路的相量模型，设参考节点和节点电压相量如图3.7.12所示，受控电源相量的控制量转换为I·=(U·1－U·2)/2，节点1和节点3电压相量确定： 


U·1=1∠0°(V),U·3=2I·=U·1－U·2




图3.7.11例3.22电路




图3.7.12例3.22图解



节点2的节点相量方程： 


－12U·1+12+jω×10－3－15ω×103U·2－jω×10－3U·3=0
U·2=12+jω×10－312+j2ω×10－3－15ω×103


当ω=200rad/s时，有


U·2=0.5+j0.20.5+j(0.4－1)=0.5+j0.20.5－j0.6=0.539∠21.8°0.781∠－50.2°=0.69∠72°(V)
I·=U·1－U·22=1∠0°－0.69∠72°2=1－0.213－j0.6562
=0.394－j0.328=0.51∠－39.8°(mA)


当ω=1000rad/s时，有


U·2=0.5+j10.5+j(2－0.2)=0.5+j10.5+j1.8=1.118∠63.4°1.868∠74.5°=0.599∠－11.1°(V)
I·=U·1－U·22=1∠0°－0.599∠－11.1°2=1－0.588－j0.1152
=0.206－j0.058=0.21∠－15.7°(mA)


相应的正弦量： 

当ω=200rad/s时，有


i=0.512cos(200t－39.8°)(mA)


当ω=1000rad/s时，有


i=0.212cos(1000t+15.7°)(mA)


3.8正弦稳态电路的频率特性

3.8.1正弦稳态电路的传递函数与频率特性

正弦稳态电路的传递函数是输出相量与输入相量的比值，是关于频率的函数。频率特性是传递函数的幅值和相位与频率的关系。幅频特性是传递函数的幅值与频率的关系，相频特性是传递函数的相位与频率的关系。

3.8.2一阶低通特性

例3.23求如图3.8.1所示一阶RC正弦稳态电路的频率特性。



图3.8.1一阶低通电路




A·u=U·oU·i=1jωCR+1jωC
=11+jωRC=11+j2πfRC(3.8.1)


设Au=1，f0=12πRC，则有


A·u=Au1+jff0(3.8.2)


幅频特性： 


|A·u|=Au1+ff02(3.8.3)


相频特性：


φ=0°－arctanff0(3.8.4)


1. 定性分析

当ff0时，有


|A·u|→|Au|=1，φ→0°


当f=f0时，有


|A·u|=|Au|2=12，φ=0°－arctan1=－45°


当ff0时，有


|A·u|→0，φ→－90°


一阶低通特性(一阶滞后特性)。

2. 波特图分析

横坐标f采用对数尺度、纵坐标采用线性尺度所构成坐标系下的幅频特性曲线和相频特性曲线称为波特图。


20lg|A·u|=20lg|Au|－10lg1+ff02
=20lg1－10lg1=0,ff0
20lg1－10lg2=－3,f=f0
20lg1－20lgff0=－20lgff0,ff0
(3.8.5)

一阶低通幅频特性波特图如图3.8.2所示。


φ=0°－arctanff0=0°,ff0
0°－arctan1=－45°,f=f0
－90°,ff0
(3.8.6)

一阶低通相位波特图如图3.8.3所示。



图3.8.2一阶低通放大倍数波特图




图3.8.3一阶低通相位波特图




3.8.3一阶高通特性

例3.24求如图3.8.4所示图示一阶RC正弦稳态电路的频率特性。



图3.8.4一阶高通电路





A·u=U·oU·i=RR+1jωC=11+1jωRC
=11－j12πfRC
(3.8.7)

设Au=1，f0=12πRC，则有


A·u=Au1－jf0f(3.8.8)


幅频特性： 


|A·u|=|Au|1+f0f2(3.8.9)


相频特性： 


φ=0°－arctan－f0f(3.8.10)


1. 定性分析

当ff0时，有


|A·u|→0，φ→0°


当f=f0时，有


|A·u|=|Au|2=12，φ=0°－arctan(－1)=45°


当ff0时，有


|A·u|→|Au|=1，φ→90°


一阶高通特性(一阶超前特性)。

2. 波特图分析


20lg|A·u|=20lg|Au|－10lg1+f0f2
=20lg1－20lgf0f=20lgff0,ff0
20lg1－10lg2=－3,f=f0
20lg1－10lg1=0,ff0
(3.8.11)

一阶高通幅频特性波特图如图3.8.5所示。


φ=0°－arctan－f0f=90°,ff0
0°－arctan(－1)=45°,f=f0
0°,ff0(3.8.12)


一阶低通相位波特图如图3.8.6所示。



图3.8.5一阶高通幅频特性波特图




图3.8.6一阶低通相位波特图



3.9仿真： 戴维南等效电路和诺顿等效电路


1. 实验要求与目的

(1) 求线性含源二端网络的戴维南等效电路或诺顿等效电路。

(2) 掌握戴维南定理及诺顿定理。

2. 实验原理

根据戴维南定理和诺顿定理，任何一个线性含源二端网络都可以等效为一个理想电压源与一个电阻串联的实际电压源形式或一个理想电流源与一个电阻并联的实际电流源形式。这个理想电压源的值等于二端网络端口处的开路电压，这个理想电流源的值等于二端网络两端口短路时的电流。这个电阻的值是将含源端网络中的独立源全部置0后，两端口间的等效电阻。根据两种实际电源之间的互换规律，这个电阻实际上也等于开路电压与短路电流的比值。

3. 实验电路

含源二端线性网络如图3.9.1所示。



图3.9.1含源二端线性网络


4. 实验步骤

(1) 在电路窗口中编辑图3.9.2。其中，节点a、b的端点通过启动Place菜单中的Place junction命令获得； a、b文字标识在启动Place菜单中的Place Text后，在确定位置输入所需的文字即可。

(2) 从仪器栏中取出万用表，并设置到直流电压挡位，连接到a、b两端点，测量开路电压，测得开路电压Uab=7.820V，如图3.9.2(a)所示。

(3) 将万用表设置到直流电流挡位，测量短路电流Is，测得的短路电流Is=78.909mA，如图3.9.2(b)所示。



图3.9.2电路窗口编辑图(1)


(4) 求二端网络的等效电阻。

方法一： 通过测得的开路电压和短路电流，可求得该二端网络的等效电阻。


R0=UabIs=7.82078.909=0.0991kΩ=99.1Ω




方法二： 将二端网络中所有独立源置0，即电压源用短路代替，电流源用开路代替，直接用万用表的欧姆挡测量a、b两端点之间的电阻。测得Ro=99.099≈99.1Ω，如图3.9.3所示。



图3.9.3电路窗口编辑图(2)


(5) 画出等效电路。戴维南等效电路如图3.9.4(a)所示，诺顿等效电路如图3.9.4(b)所示。



图3.9.4戴维南等效电路和诺顿等效电路


习题

3.1电路如图P3.1所示，求：

(a) 图中网络可以写多少个线性独立的KVL方程？

(b) 图中网络可以写多少个线性独立的KCL方程？

(c) 写出网络的一组KVL和KCL方程。

3.2运用叠加定理，求图P3.2所示电路的UO。



图P3.1




图P3.2



3.3运用叠加定理，求图P3.3所示电路的UO。

3.4图P3.4电路中两个电路等效，即端口处有相同的U、I关系。求UT、RT。



图P3.3




图P3.4



3.5求如图P3.5所示电路的戴维南等效电路。

3.6求如图P3.6所示电路aa′接线端对左侧网络的戴维南等效电路。



图P3.5




图P3.6



3.7求如图P3.7所示电路的诺顿等效电路。

3.8求如图P3.8所示电路的诺顿等效电路。




图P3.7




图P3.8



3.9求图P3.9所示电路aa′接线端对左侧网络的诺顿等效电路。



图P3.9


3.10求如图P3.10所示电路的时间常数和截止频率。其中RS=1kΩ，RP=10kΩ，CS=1μF。

3.11求如图P3.11所示电路的时间常数和截止频率。其中RS=1kΩ，RP=10kΩ，CP=3pF。

3.12如图P3.12所示电路，其中RS=4.7kΩ，RP=25kΩ，CP=120pF，求截止频率fH。

3.13求图P3.13所示电路的截止频率和带宽。其中RS=1kΩ，RP=10kΩ，CS=1μF，CP=3pF。



图P3.10




图P3.11






图P3.12



图P3.13


3.14如图P3.14所示电路，已知U1=40V，U2=75V，R1=20kΩ，R2=60kΩ，R3=8kΩ，R4=40kΩ，R5=160kΩ，C=0.25μF，开关闭合1端为时已经很久，在t=0时开关转向2端，试求在t≥0时的电容电压uC(t)。

3.15已知正弦电流i1(t)=20cos(ωt－30°)A，i2(t)=40cos(ωt+60°)A，且i3(t)=i1(t)+i2(t)，试求i3(t)的相量。

3.16如图P3.16所示电路，已知uS=750cos(5000t+30°)V，R=90Ω，L=32mH，C=5μF，试用相量法求稳态电流i。



图P3.14




图P3.16