第5章离散系统和数字滤波器 本章首先集中讨论离散系统的表示。研究离散系统的基本分析和设计，给出离散系统实现的基本结构； 讨论离散系统实现的几个基本问题，如可实现性、唯一性、逆系统的可实现性等； 为此也讨论了几种基本系统，如无失真系统、全通系统和最小相位系统。为了后续数字滤波器的设计，重点研究了一类FIR（有限抽样响应）系统——线性相位系统。讨论了FIR和IIR（无限抽样响应）滤波器的等价格型实现结构。本章最后还直观性地构造了一些实用系统的例子。 5.1线性时不变系统的表示方法 对于线性时不变离散系统，已经有一些系统的分析和设计方法。首先，对于一个给定的或待设计的线性时不变系统，要有一种表示方法，用一组数据或一个函数来指定一个系统。有几种典型的方法表示一个线性时不变系统，这些方法之间相互是有联系的。第2章讨论过一些系统的表示方法，本节集中地进一步讨论系统的表示问题。 为了表示一个离散LTI（Linear timeinvariant,线性时不变）系统，可以有几种不同的方法，它们之间有紧密的关联性。 1. 单位抽样响应表示 对于一个离散LTI系统，单位抽样响应是其一种表示方式。给出了单位抽样响应h［n］，就指定了一个具体的系统，系统的输入和输出之间的关系由卷积和表示，即 y［n］=x［n］*h［n］=∑+∞k=-∞x［k］h［n-k］=∑+∞k=-∞h［k］x［n-k］(5.1) 在系统分析的问题中，当给定了h［n］，对于任意给出的输入信号x［n］，可以求出相应的输出信号y［n］。在系统设计问题中，给出一个特定的任务要求，若能求出一个能完成该任务的LTI系统的单位抽样响应h［n］，就相当于完成了系统设计，这类问题也被称为系统综合。 依据h［n］的长度，可将LTI系统分成两大类： 有限冲激响应(FIR)和无限冲激响应(IIR)系统。 FIR系统系统的单位抽样响应仅有有限个不为零的值，其他取值都为零。不失一般性，假设h［n］不为零的范围为0≤n≤M。这里，M是一个有限大小的非负整数。 IIR系统系统的单位抽样响应有无限多个不为零的值。若系统是因果的，h［n］取值的非零范围是［0,+∞)； 若系统是非因果的，h［n］取值的非零范围可能是(-∞,+∞)。 对于因果FIR系统，可列出全部不为零的单位抽样响应值，h［n］,0≤n≤M。由这组系数值可完整地表示该系统，对于给定的输入信号，可由卷积和有效地计算输出信号，即 y［n］=∑Mk=0h［k］x［n-k］(5.2) 对于FIR系统，h［n］,0≤n≤M是最有效的表示方法。一般地，当需要设计一个具有指定功能的FIR系统时，只要求出这组不为零的单位抽样响应值，设计任务即告完成。 对于IIR系统，由于单位抽样响应非零值个数为无穷，直接用h［n］表示并不方便。对IIR系统的更有效的表示是系统函数或差分方程。 2. 系统函数表示 离散LTI系统的系统函数定义为其单位抽样响应h［n］的z变换 H(z)=ΔY(z)X(z)=∑+∞n=-∞h［n］z-n(5.3) 尽管不是所有可能的离散LTI系统的系统函数都可以写成有限阶有理分式形式，但大多数或通过系统设计方法设计出的全部离散LTI系统的系统函数都可以写成有理分式形式，即 H(z)=B(z)A(z)=∑Mr=0brz-r1+∑Nk=1akz-k(5.4) 这里分子和分母多项式分别定义为 B(z)=∑Mr=0brz-r A(z)=1+∑Nk=1akz-k 可以看到，任何一个分子多项式阶数为M、分母多项式阶数为N的有理分式均可写成式(5.4)的形式。尽管A(z)中的系数a0=1不是必需的，但为了与差分方程表示式对应，采用式(5.4)的分母形式，这并不失一般性。 在2.5节关于z变换和系统函数的讨论中已知，若式(5.4)中分子多项式和分母多项式没有可约因式且分母多项式阶数N>1时，系统的单位抽样响应有无穷多非零项，是IIR系统。若再指定系统是因果的(若今后不特加说明，系统函数总是隐含着指定一个因果系统)，则式(5.4)唯一地确定了一个系统。 对于IIR系统来讲，式(5.4)的系数确定一个系统，因此这组系数{br,0≤r≤M； ak,1≤k≤N}与一个系统是对应的。若需要设计一个具有指定功能的IIR系统，只要确定了阶数M和N以及这组系数，即完成了一个IIR系统的设计。 式(5.4)也可以表示FIR系统。若分母多项式取A(z)=1，则系统函数为H(z)=∑Mr=0brz-r，表示的是一个FIR系统。利用系统函数的定义，即可得到系数和单位抽样响应的对应关系为 h［r］=br,0≤r≤M(5.5) 3. 频率响应表示 离散LTI系统的频率响应定义为其单位抽样响应h［n］的离散时间傅里叶变换(DTFT) H(ejω)=∑+∞n=-∞h［n］e-jωn=H(z)z=ejω(5.6) 若单位抽样响应是绝对可和的，其频率响应是系统函数H(z)在复平面单位圆上的取值。在研究系统设计问题时，一般希望设计的系统是因果稳定系统，因此频率响应作为系统函数在单位圆上取值的条件总是满足的。 系统的频率响应具有明确的物理意义，其可分解为幅度部分和相位部分，即 H(ejω)=H(ejω)ejφ(ω)(5.7) 其幅度部分H(ejω)表示输入信号各频率成分通过系统后幅度的放大或衰减程度，其相位部分φ(ω)表示输入信号各频率成分通过系统后的相位偏移。 由于频率响应明确的物理意义，在一大类系统设计问题中往往指定频率响应的部分特性，然后设计一个系统以达到这个要求。例如，数字滤波器的设计中，往往指定频率响应的幅度函数H(ejω)，设计一个系统满足这个要求。若要求设计的系统是FIR的，一般需要计算出h［n］,0≤n≤M以达到或逼近指定的要求； 若要求设计的系统是IIR的，一般需要计算出式(5.4)中的阶数和系数。 若仅指定频率响应的部分特性，例如幅度函数H(ejω)，即使在理想情况下也有无穷多的系统函数H(z)存在以满足这个要求。理论上的可实现性和唯一性是一个有必要研究的课题，关于这些问题在5.3节和5.4节中做详细讨论。 4. 差分方程表示 一个LTI系统，其输入和输出关系可由差分方程表示为 y［n］+∑Nk=1aky［n-k］=∑Mr=0brx［n-r］(5.8) 也可将式(5.8)的差分方程写成递推关系式 y［n］=-∑Nk=1aky［n-k］+∑Mr=0brx［n-r］(5.9) 当将式(5.8)的差分方程写成式(5.9)时已经隐含系统是因果的，即当前时刻输出值仅由当前时刻输入以及以前时刻的输入和输出所决定。式(5.9)右侧的第一项称为递归项(离散反馈项)，第二项称为滑动平均项。 对式(5.8)两侧做z变换即得到式(5.4)的系统函数，因此差分方程和系统函数表示是直接对应的。通过差分方程表示，很容易构造出系统的实现结构。对于一般的IIR系统，通过式(5.9)的递推关系可以方便地计算系统输出，也可以方便地构造出系统的递归实现结构。若是FIR系统，式(5.2)是式(5.9)的特例，相当于式(5.9)右侧第一项不存在的特殊情况。关于离散系统实现结构的更详细讨论，将在5.5节进行。 这里讨论了系统的几种表示方法。对于不同的系统，一种或几种表示方法是最有效的。例如若系统是FIR的，直接列出非零的单位抽样响应值可能是最简单的表示方法； 但若系统是IIR的，单位抽样响应表示就不太方便。各种方法设计出的IIR系统的单位抽样响应的数学表达式往往是可以写出的，但却不方便用几个数据来简单表达。所以对IIR系统，最简单的表示方法是系统函数表示，通过几个数据列写出系统函数分子分母多项式的阶数和系数值即可清晰地表达该系统。而系统函数和差分方程系数又是一一对应的，若系统函数是有理分式表示的，可认为系统函数和差分方程是同一种表示。 几种系统表示之间是紧密相关的。若有单位抽样响应表示h［n］，对其做z变换就得到系统函数表示； 若系统函数是有理分式，则立刻得到差分方程表示。若系统是稳定的，对h［n］做DTFT可得到频率响应表示，也可对系统函数在单位圆上取值得到频率响应。若已知系统 的差分方程表示，可直接得到其有理分式形式的系统函数， 用部分分式展开或留数定理作z反变换即可得到单位抽样响应， 图5.1系统表示的相互关系 也可直接对差分方程通过时域求解技术或直接递推得到单位抽样响应。如上讨论了几种表示之间的相互关系。只讨论了部分转换关系，其他互相转换关系和限制性条件请读者自行分析。这些转换关系，示于图5.1中。 5.2系统设计 在很多工程问题中，需要设计具有特定功能的系统。一般来讲，根据要求得到所设计的系统称为系统设计问题。所谓设计了一个系统，就是根据设计要求计算得到了系统的一种表达方式，例如5.1节中的某种表示方式。系统设计的要求源自各类不同的应用，本节以两个典型要求为例初步讨论系统设计问题。 5.2.1逆系统设计 对于一个给出的LTI系统，用系统函数H(z)表示该系统，对于任意的输入信号x［n］，通过H(z)系统的输出表示为y［n］。若可以找到另一个LTI系统，其系统函数为HI(z)，以y［n］作为系统HI(z)的输入，若产生的输出是x［n］，这时称系统H(z)是可逆的，系统HI(z)是系统H(z)的逆系统。图5.2是一个系统和它的逆系统的示意图。 图5.2一个LTI系统和其逆系统 显然，用z变换表示的图5.2所示级联系统的最右侧输出为 X(z)=HI(z)Y(z)=HI(z)H(z)X(z) 因此，一个系统和它的逆系统的复频域关系为 HI(z)H(z)=1(5.10) 注意，由于系统函数存在收敛域，式(5.10)隐含着H(z)和HI(z)必须有公共的收敛域，否则该式没有意义。 也可以在时域表示一个系统与其逆系统的关系，与式(5.10)对应的时域关系为 hI［n］*h［n］=δ［n］(5.11) 式(5.11)隐含着，若h［n］表示的系统可逆，由式(5.11)可解出hI［n］。 逆系统设计问题来自许多不同的应用需求。例如，一个简化的基带通信系统，把信号的传输通道看成为一个LTI系统H(z)，传输的信号x［n］通过信道后得到了信号y［n］。为了在接收端恢复传送的原信号，设计一个补偿系统，将接收到的y［n］转换成x［n］。显然这个补偿系统是H(z)的逆系统HI(z)。在通信系统中，在接收端用于补偿信道传输对信号影响的系统称为“均衡器”。这种逆系统作为均衡器是通信领域均衡器设计的一种方法。 从式(5.10)看，似乎逆系统的设计是非常简单的事情，从式(5.10)得到逆系统的系统函数为 HI(z)=1H(z)(5.12) 初看式(5.12)的解是很简单的，但要考虑系统和逆系统的收敛域必须有公共区间这一要求，可以发现，“性能良好”的系统不一定具有“性能良好”的逆系统。这里，“性能良好”指的是系统是稳定因果的。通过两个例子说明这一点。 例5.2.1一个LTI系统的系统函数为 H(z)=1-0.65z-11-0.9z-1,|z|>0.9 求其可能的逆系统。 逆系统的系统函数为 HI(z)=1-0.9z-11-0.65z-1 它有两种可能的收敛域，一是|z|>0.65； 二是|z|<0.65。显然，第二种情况与原系统函数的收敛域没有公共区间，因此只有第一种情况是有意义的解，逆系统为 HI(z)=1-0.9z-11-0.65z-1，|z|>0.65 利用部分分式展开，可求出其单位抽样响应，系统函数重新写为 HI(z)=96.5-513·11-0.65z-1，|z|>0.65 单位抽样响应为 hI［n］=96.5δ［n］-513·0.65nu［n］ 例5.2.1的解是一种很理想的情况，即一个稳定因果的系统有一个稳定且因果的逆系统。但不是所有稳定因果系统都有这样的逆系统，例5.2.2说明了这种情况。 例5.2.2一个稳定因果系统的系统函数为 H(z)=1-1.3z-11-0.9z-1，|z|>0.9 逆系统的系统函数和收敛域有两种情况 情况1HI(z)=1-0.9z-11-1.3z-1，|z|>1.3 情况2HI(z)=1-0.9z-11-1.3z-1，|z|<1.3 两种情况下，逆系统收敛域和原系统收敛域均有公共区域，因此有两种可能的逆系统均满足可逆条件，但这两种系统都不是“性能良好”的系统。第一种情况，收敛域不包括单位圆，是一种因果的不稳定系统； 第二种情况，收敛域包括单位圆，系统稳定，但单位抽样响应是左序列，是非因果的。两种逆系统都不是稳定因果系统。 例5.2.2说明稳定因果系统不一定具有稳定因果的逆系统。例5.2.3说明一个特别简单的FIR系统，其逆系统却是IIR的，并且可能是不稳定的。 例5.2.3一个FIR系统，其单位抽样响应仅有两个不为零的值，记为 h［n］=0.5δ［n］+0.5δ［n-1］ 显然，其系统函数为 H(z)=0.5(1+z-1) 其逆系统有两种可能解： 情况1HI(z)=21+z-1，|z|>1； 其单位抽样响应为h［n］=2(-1)nu［n］。 情况2HI(z)=21+z-1，|z|<1； 其单位抽样响应为h［n］=-2(-1)nu［-n-1］。 两种情况下，逆系统均为IIR系统。情况1是因果系统，情况2是非因果系统，且两种逆系统均不满足BIBO稳定性，仅满足临界稳定性。 这几个例子说明逆系统的表现是复杂的，远比解的形式式(5.12)令人感到困惑。实际上，很多问题可转化为系统求逆的问题，但系统求逆的问题却是一个复杂的问题。是不是有一种简单结论呢？若对系统施加一些约束，就一定有稳定因果的逆系统呢？答案是最小相位系统，最小相位系统具有稳定因果的逆系统(至少是临界稳定的)，5.3节将讨论最小相位系统。 图5.2和式(5.10)所定义的逆系统要求过于严格。实际上，信号经过一个系统，尤其是因果系统后，允许产生一定的延迟和幅度变化，广义逆系统更符合实际情况。系统与广义逆系统级联构成无失真传输系统，即图5.3所示的系统结构。 图5.3一个LTI系统与其广义逆系统 定义HT(z)=HI(z)H(z)=cz-k，这里k是一个给定的正整数，c是任意给定的不为零的实数。满足条件 HT(z)=cz-k(5.13) 的系统称为无失真传输系统。广义逆系统满足 HI(z)H(z)=cz-k(5.14) 与式(5.10)相同，要求式(5.14)中的两个系统函数的收敛域有公共区域。广义逆系统的时域条件对应修改为 hI［n］*h［n］=cδ［n-k］(5.15) 如果令c=1，对于给定的k，重解例5.2.1至例5.2.3，问题并没有根本性改善。在实际中，对于系统求逆问题，经常放弃精确解，只寻求近似解。例5.2.4中，讨论用最小二乘法设计一个近似逆系统的问题。有关最小二乘法的介绍参考附录A.3。 例5.2.4设一个FIR系统，其单位抽样响应为 h［n］=0.5δ［n］+δ［n-1］+0.5δ［n-2］ 它的精确逆系统是IIR的且是不稳定的，它的精确逆系统的系统函数和单位抽样响应留作习题。本例中，求一个近似逆系统hI［n］。我们选择hI［n］是FIR的，并设其仅有9个非零值，即仅对0≤n≤8,hI［n］≠0。取k=5，c=1，利用式(5.15)求该近似逆系统。 利用卷积的定义有 ∑2k=0h［k］*hI［n-k］=δ［n-5］(5.16) 因为h［n］有3个非零值，hI［n］有9个非零值，卷积的有效长度为9+3-1=11，故如上卷积仅对0≤n≤10有效，分别取n=0,1,…,10，展开式(5.16)如下 h［0］hI［n］+h［1］hI［n-1］+h［2］hI［n-2］=δ［n-5］,n=0,1,…,10(5.17) 写成矩阵形式 h［0］00000000 h［1］h［0］0000000 h［2］h［1］h［0］000000 0h［2］h［1］h［0］00000 00h［2］h［1］h［0］0000 000h［2］h［1］h［0］000 0000h［2］h［1］h［0］00 00000h［2］h［1］h［0］0 000000h［2］h［1］h［0］ 0000000h［2］h［1］ 00000000h［2］hI［0］ hI［1］ hI［2］ hI［3］ hI［4］ hI［5］ hI［6］ hI［7］ hI［8］=0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 (5.18) 由已知条件知系数矩阵中，h［0］=0.5,h［1］=1,h［2］=0.5，该方程可写成矩阵形式为 AhI=b 显然，这是过确定性方程，一般是无解的，但可以通过最小二乘(LS)技术得到近似解(LS解的说明见附录A.3)。近似逆系统的LS解为 hI,LS=ATA-1ATb =0.1818-0.54551.0909-1.81822.7273 -1.81821.0909-0.54550.1818T 将求出的hI,LS［n］代入式(5.16)左侧，可计算卷积结果，并与式(5.16)右侧比较以分析解的精确性。参考式(5.18)，卷积用如下矩阵运算完成。 bLS=AhI,LS =［0.0909-0.09090.0909-0.09090.09090.90910.0909 -0.09090.0909-0.09090.0909］T 显然如下矢量 e=b-bLS =［-0.09090.0909-0.09090.0909-0.09090.0909 -0.09090.0909-0.09090.0909-0.0909］T 表示了近似逆系统带来的输出误差矢量，更一般地，用误差矢量的范数 d=‖e‖22=eTe=0.0909 表示误差的大小。 可见求出的近似逆系统系数hI,LS是对称的。稍后会看到，这种对称性带来线性相位性，并且近似逆系统与原系统的卷积结果bLS与b误差是较小的。如果不加入延迟k=5，而是取k=0，c=1，式(5.18)右侧第一行为1，其他为零，重解该问题，相应的解为 hI,LS= ATA-1ATb =［1.3636-2.18182.5455-2.54552.2727 -1.81821.2727-0.72730.2727］T bLS=AhI,LS =［0.68180.2727-0.22730.1818-0.1364 0.0909-0.045500.0455-0.09090.1364］T e=b-bLS =［0.3182-0.27270.2273-0.18180.1364 -0.09090.04550-0.04550.0909-0.1364］T 可见，求出的逆系统单位抽样响应不再对称，误差也更大。 系统求逆是一个复杂的问题，有各种近似处理方法，本节只做简要介绍。第9章的自适应滤波，也可用于系统近似求逆问题。 5.2.2数字滤波器设计 数字滤波器是数字信号处理中研究最多的一种离散系统。人们从不同的角度出发，对滤波器给出不同的定`义，典型的分类方法是将滤波器分类为经典滤波器和现代滤波器。本书前8章讨论的是所谓的“经典”滤波器的概念，把滤波器视为一种具有频率选择能力的装置。若信号中包含了宽范围的频率成分，通过滤波器可保留一些范围的频率成分，而滤除另一些范围的频率成分。经典滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器，其功能描述是一致的。数字滤波器是一个离散时间系统，输入和输出均为离散信号，本书主要讨论数字滤波器。 由于经典滤波器主要关心频率选择特性，因此，一般通过频域特性来定义。表示一个LTI系统的频域特性的主要量是频率响应H(ejω)，频率响应的幅度即幅频响应，表示了一个系统的频率选择特性，故常用对H(ejω)的取值要求来定义一个数字滤波器。 图5.4给出了几种理想数字滤波器的定义，是通过指定H(ejω)来定义的。图5.4中从上向下分别定义了理想低通滤波器、理想高通滤波器、理想带通滤波器和理想带阻滤波器。 图5.4典型的理想数字滤波器 以理想低通数字滤波器为例，分析理想滤波器的定义。只需要在ω≤π范围内定义一个滤波器的幅频特性，在该范围之外周期重复。在该范围内，理想低通滤波器的定义为 H(ejω)=C,ω≤ωc 0,ωc<ω≤π(5.19) 一般给出滤波器幅频响应的定义后，根据设计方法的不同，对于相位部分可有不同处理方式。例如若设计FIR滤波器，可要求线性相位，若同时要求系统是因果的，则相位项可以被确定下来(详见5.6节)； 若设计IIR系统，一些设计方法默认地设计出最小相位系统，幅频响应确定了，相位函数也就确定了，设计中不必再给出相位要求。式(5.19)的定义中，ω≤ωc称为滤波器的通频带，ωc<ω≤π称为阻带。 设相位函数φ(ω)=0，那么理想低通滤波器的频率响应为 H(ejω)=H(ejω)ejφ(ω)=C,ω≤ωc 0,ωc<ω≤π(5.20) 可计算出单位抽样响应为 h［n］=12π∫wc-wcCejωndω=Csinωcnπn=CωcπSaωcn(5.21) 该理想低通滤波器的单位抽样响应在-∞0(5.34) 利用式(5.33)的因式分解形式，任意全通系统可由多个一阶全通系统级联而成，其相位函数等于各一阶全通系统的相位函数之和。故若任意一阶系统的群延迟为正，则全通系统的群延迟即为正，利用式(5.31)，得到一阶系统群延迟为 -ddω-ω-2arctanrsin(ω-φ)1-rcos(ω-φ)=(1-r2)1-rej(φ-ω)2>0 故该性质得到证实。 全通系统的另一个性质为 Hap(z)>1,|z-1|>1 =1,|z-1|=1 <1,|z-1|<1(5.35) 该性质的证明留作习题。 5.3.2最小相位系统 定义一个稳定因果系统，若其系统函数的极点和零点均位于单位圆内，称该系统是最小相位系统。若全部零点位于单位圆外，称为最大相位系统，这里主要讨论最小相位系统。注意，也有文献和著作将零点位于单位圆内和单位圆上的系统称为最小相位系统，即将零点位于单位圆上也包括在最小相位系统中。这是因为若有零点位于单位圆上，也满足后续讨论的关于最小相位的性质。但若零点位于单位圆上，其逆系统不再满足BIBO稳定性。故为了系统实现问题讨论的方便性，本书仅将最小相位系统定义为零点在单位圆内。 性质1最小相位系统有最小的相位变化。 性质1实际是对“最小相位”名称的一种校正。在幅频响应相同的所有稳定、因果系统中，对角频率ω的任意变化范围，最小相位系统的相位函数变化最小。“最小相位”实际是一个不准确的名称，其实际是“最小相位变化系统”。 性质1的结论可通过性质3直接得到。 性质2任何稳定、因果的非最小相位系统，可以表示为一个最小相位系统和全通系统的级联，它们具有相同的幅频响应。 设H(z)是稳定因果的非最小相位系统，其极点均位于单位圆内，部分零点位于单位圆内，部分零点位于单位圆外。为简单起见，假设位于单位圆外的零点只有一个，记为z0=cr且cr>1，其系统函数可分解为两部分，即 H(z)=H1(z)(1-crz-1) 通过下列的重新组合，得到 H(z)=H1(z)(1-crz-1)z-1-c*rz-1-c*r =H1(z)(z-1-c*r)1-crz-1z-1-c*r =Hmin(z)Hap(z) 这里 Hmin(z)=H1(z)(z-1-c*r),Hap(z)=1-crz-1z-1-c*r 由此可见，一个稳定因果的非最小相位系统可分解为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。上述通过只有一个零点在单位圆外的情况给出了证明，稍加推广即可得到一般结论。 性质3在具有相同幅频响应的稳定因果系统中，最小相位系统具有最小群延迟，即若 H(ejω)=Hmin(ejω) 则有 -ddωφ(ω)>-ddωφmin(ω)(5.36) 证明由 H(z)=Hmin(z)Hap(z) 得到 φ(ω)=φap(ω)+φmin(ω) 或 φap(ω)=φ(ω)-φmin(ω) 由于全通系统的群延迟为正，故上式两侧求导，得 ddωφap(ω)=ddωφ(ω)-ddωφmin(ω)<0 由上式直接得到式(5.36)。 性质4在具有相同幅频响应的稳定因果系统中，最小相位系统具有最小能量延迟特性，若 H(ejω)=Hmin(ejω) 图5.9三个系统的结构图 则有 ∑mn=0h2min［n］≥∑mn=0h2［n］(5.37) 这里，m是任意正整数。 证明为了直观地证明该性质，构造如图5.9所示的三个系统。由系统2的右侧模块，因为Hap(ejω)2=1，利用帕塞瓦尔定理，有 ∑+∞n=0h2min［n］＝12π∫π-πHmin(ejω)2dω =12π∫π-πHmin(ejω)Hap(ejω)2dω =∑+∞n=0h2［n］ 故 ∑+∞n=0h2min［n］＝∑+∞n=0h2［n］(5.38) 由系统3的右侧模块，同理 ∑+∞n=0hmin［n］w［n］2＝∑+∞n=0g2［n］ 故 ∑mn=0h2min［n］＝∑+∞n=0g2［n］(5.39) 对于系统2和系统3，根据因果性，有，h［n］=g［n］,n≤m ∑mn=0h2min［n］＝∑+∞n=0g2［n］=∑mn=0g2［n］+∑+∞n=m+1g2［n］ =∑mn=0h2［n］+∑+∞n=m+1g2［n］≥∑mn=0h2［n］ 性质5最小相位系统一定存在一个稳定且因果的也是最小相位的逆系统。 根据逆系统的定义和最小相位系统的定义，性质5的成立是显然的。 性质6如果系统H(z)是最小相位的，可定义H^(z)=lnH(z)，H^(z)的z反变换h^［n］=Z-1H^(z)是稳定且因果的序列； 反之，若h^［n］是稳定且因果的序列，系统H(z)是最小相位的。 由于H(z)是最小相位的，假设其所有零点中模最大的零点zmax=ρ1<1，所有极点中模最大的极点为pmax=ρ2<1。H(z)是有理分式，故H^(z)=lnH(z)可分解为H(z)各分式的自然对数之和，H(z)的极点和零点全部变成H^(z)的极点。这样，H^(z)模最大的极点是ρ=maxρ1,ρ2<1，因此H^(z)的收敛域为|z|<ρ<1，由此得到结论： H^(z)反变换得到的序列h^［n］是稳定且因果的； 反之，若h^［n］是稳定且因果的序列，同样可推出系统H(z)是最小相位的结论。 5.4系统的可实现性 在5.2节曾讨论，若给定一个如式(5.19)这样的要求，即要求设计一个理想低通滤波器，这样的系统是不可实现的。那么什么样的要求一定可以设计出一个因果系统来实现呢？如下的因式分解定理给出了回答。 因式分解问题有三种等效的提法［5］： (1) 给定一个非负的实函数A(ejω)，求一个因果序列h［n］，使得它的z变换H(z)在单位圆上的幅度值等于A(ejω)，即H(ejω)=A(ejω)； (2) 给定一个非负的实函数A(ejω)，求一个对|z|>1解析并满足H(ejω)=A(ejω)的函数H(z)； (3) 给定一个序列r［n］，它的z变换R(z)在单位圆上的取值是一个非负的函数，即 R(ejω)=∑+∞n=-∞r［n］e-jωn=A2(ejω)≥0 求一个因果序列h［n］，使它的z变换H(z)满足 R(ejω)= H(ejω)2,R(z)=H(z)H*1z* 若是实系统，上述第二式简化为 R(z)=H(z)H1z 对于上述三个等价的提法，因式分解定理为： 因式分解定理若A(ejω)满足如下的离散佩里维纳条件 ∫π-πlnA(ejω)dω<+∞(5.40) 则上述等价问题就有解；又若H(z)是最小相位系统，则这个解是唯一的。 定理的含义是,不管给出一个非负实函数A(ejω)或一个平方函数A2(ejω)，只要满足式(5.40)，就可以找到一个因果系统满足H(ejω)=A(ejω)或H(ejω)2=A2(ejω)。从离散情况下的佩里维纳条件式(5.40)容易看出，如果A(ejω)在一个区间内为零那么一定不满足式(5.40)的佩里维纳条件，这样的系统是不可实现的。一个推论是，若A(ejω)非常数但在一个子区间内恒为一常数也是不可实现的。 以低通滤波器为例。如果给出的低通滤波器的要求不是图5.4或式(5.19)表示的理想低通滤波器，而是如图5.10所示的幅频特性要求(相当于给定A(ejω))。可以看到，这个幅频特性可能在有限几个点上取零，但不会在一个区间上恒为零。由定理知，一定可以找到一个因果系统H(z)满足H(ejω)=A(ejω)，即这样的要求是可实现的。 图5.10一个可实现的幅频特性 因式分解定理的证明由等价性只给出第三种提法的证明。由PaleyWiener条件，知道lnR(z)的收敛域包含单位圆。假设lnR(z)的收敛域为r<|z|<1/r,0r 由H(z)的收敛域，它对应的序列h［n］是因果和稳定的； 且对于|z|>r，H(z)和lnH(z)都是解析的。因此H(z)是最小相位的(见最小相位系统性质6)，故H(z)可以写成 H(z)=h［0］+h［1］z-1+h［2］z-2+… 由r(k)的共轭对称性，进一步有 σ2exp∑-1k=-∞c［k］z-k=σ2exp∑+∞k=1c*［k］zk=σ2exp∑+∞k=1c*［k］1/z*-k* =H*(1/z*) 因此 R(z)=σ2H(z)H*(1/z*) 结论得证。 5.5IIR系统的实现结构 离散时间系统的实现方式有很多种，可以将采样后的信号直接处理，例如应用声表面波器件、开关电容网络等； 也可以将离散信号先经过A/D转换器，通过数字系统实现。数字系统实现自身就有很多种形式： 利用FPGA构成的数字系统，利用通用微处理器编程实现等。讨论这些具体化的实现问题超出了本书的范围。本节讨论的基本结构指的是： 用基本运算单元实现一个离散时间系统所要求的运算单元的连接结构。 图5.11构成离散LTI系统的 基本运算单元 实现一个离散LTI系统需要三种基本运算单元，分别示于图5.11中，三种基本运算单元分别是加法器、乘法器和单位延迟单元。由这三种基本运算单元可构成任何离散LTI系统。注意到，这样三种基本运算单元是一种“抽象”出的运算模块，在用一种实际工具实现时可能对应该工具中的具体部件。例如，若使用FPGA构成一个离散LTI系统，一般采用同步时序逻辑来实现，加法器和乘法器都是可由FPGA实现的基本运算模块，单位延迟单元z-1可由同步寄存器来实现。若系统中用B位二进制数字表示离散信号和计算结果，则寄存器是B位宽的。 本节讨论IIR系统，并假设由有理系统函数或差分方程描述该IIR系统。 5.5.1IIR系统的基本结构 首先通过一个简单例子，说明一个IIR系统的基本实现结构。一个IIR系统的差分方程写为 y［n］=-a1y［n-1］-a2y［n-2］+b0x［n］ 显然，该差分方程可由图5.12所示的一个递归计算结构来实现。 图5.12的例子可推广到一般情况，设一个系统的系统函数为有理分式 H(z)=∑Mr=0brz-r1+∑Nk=1akz-k 相应的差分方程写为 y［n］=-∑Nk=1aky［n-k］+∑Mr=0brx［n-r］ 图5.12一个递归实现结构的例子 推广图5.12的结构到一般情况，得到图5.13的一般实现结构，称这个结构为IIR系统的直接Ⅰ型实现。 直接Ⅰ型实现可以看作两个子系统的级联，第一个子系统的输入/输出关系为 v［n］=∑Mr=0brx［n-r］(5.41) 第二个子系统的输入/输出关系为 y［n］=-∑Nk=1aky［n-k］+v［n］(5.42) 由于所讨论的是LTI系统，显然上述两个子系统也是LTI系统。两个LTI子系统的级联与次序交换后的系统是等价的，故将图5.13中前后两个子系统交换，得到图5.14所示的结构。 图5.14的第一个子系统的输入/输出关系为 w［n］=-∑Nk=1akw［n-k］+x［n］(5.43) 第二个子系统的输入/输出关系为 y［n］=∑Mr=0brw［n-r］(5.44) 图5.13IIR系统的直接Ⅰ型实现 图5.14直接Ⅰ型实现的次序交换 将图5.14中中间两列的单位延迟单元合并并不影响系统输出结果。合并后的结构示于图5.15中，该结构称为IIR系统的直接Ⅱ型实现。图5.15画出了M=N的情况。 图5.15IIR系统的直接Ⅱ型实现 为了简单，如上的实现结构图可用信号流图来表示。例如图5.15所示直接Ⅱ型实现的信号流图示于图5.16。 图5.16直接Ⅱ型实现的信号流图 5.5.2IIR系统级联和并联结构 若一个IIR系统的有理分式系统函数的阶数较高时，也可以得到一些等价的级联和并联实现方式。 设有理系统函数的分子多项式和分母多项式均为实系数，分别分解因式得到零点和极点。假设有部分实的零点和极点，也有部分以共轭形式成对出现的复零点和极点。分解因式后一个有理分式系统函数的一般形式为（此处假设M1=N1,M2=N2） H(z)=A∏M1k=1(1-gkz-1)∏M2k=1(1-hkz-1)(1-h*kz-1)∏N1k=1(1-ckz-1)∏N2k=1(1-dkz-1)(1-d*kz-1) =A∏N1k=1H1,k(z)∏N2k=1H2,k(z)(5.45) 这里 H1,k(z)=1-gkz-11-ckz-1(5.46) H2,k(z)=1+b1kz-1+b2kz-21+a1kz-1+a2kz-2(5.47) 式(5.45)中将H(z)分解为多个低阶有理分式H1,k(z)和H2,k(z)的相乘，从系统实现角度讲是将一个高阶系统分解成多个低阶系统(系统函数为H1,k(z)或H2,k(z))的级联。例如一个IIR系统，分子分母多项式均是六阶的，各有三对复数根。每对复零点和每对复极点可任意组合构成三个子系统，每个子系统的系统函数是式(5.47)的形式，则原系统分成3个子系统的级联，其级联结构如图5.17。 图5.17一个IIR系统的级联形式 另一种分解方式如下 H(z)=∑Mr=0brz-r1+∑Nk=1akz-k =∑M-Nk=0Ckz-k+∑N-1r=0b-rz-r1+∑Nk=1akz-k =∑M-Nk=0Ckz-k+∑N-1r=0b-rz-r∏N1k=1(1-ckz-1)∏N2k=1(1-dkz-1)(1-d*kz-1) =∑M-Nk=0Ckz-k+∑N1k=1Ak(1-ckz-1)+∑N2k=1Bk(1-ekz-1)(1-dkz-1)(1-d*kz-1) =∑M-Nk=0Ckz-k+∑N1k=1H1,k(z)+∑N2k=1H2,k(z) 这个分解过程中，若M0，而在阻带内H^(ejω)可能在很小的取值范围-δ,δ内振荡，即线性相位在通带内是严格线性相位的，所有通带内频率分量都不存在相位失真； 而阻带内的频率成分，通过滤波器后的残留值是由滤波器特性的不理想造成的，是系统所允许的，而这些残留成分的相位失真是无关紧要的。所以滤波器设计文献中，所谓的线性相位是式(5.50)定义的“广义”线性相位系统，是严格线性相位系统的一种近似。 为了导出线性相位系统需要满足的一般条件，将式(5.50)改写为 H(ejω)= H^(ejω)e-j(αω-β) = H^(ejω)cosβ-ωα+jH^(ejω)sinβ-ωα(5.51) 另一方面，由频率响应的定义 H(ejω)=∑+∞n=-∞h［n］e-jωn=∑+∞n=-∞h［n］cos（ωn）-j∑+∞n=-∞h［n］sin（ωn）(5.52) 由于式(5.51)和式(5.52)是相等的，故由两式得到相位的正切函数是相等的，即 H^(ejω)sinβ-ωαH^(ejω)cosβ-ωα=∑+∞n=-∞h［n］sin（ωn）-∑+∞n=-∞h［n］cos（ωn） 由三角函数积化和差公式得 ∑+∞n=-∞h［n］sinω(n-α)+β=0(5.53) 式(5.53)给出了一个线性相位LTI系统的单位抽样响应需满足的条件。 可以给出式(5.53)的典型解。注意到，若取β=0，则只需要h［n］以n-α=0对称，式(5.53)左侧和式为零即可得到满足。h［n］以n-α=0对称可表示为h［n］=h［2α-n］， 这里2α必须为整数，即2α=M，M是任给的正整数。若取β=π，也有相同的解。若再加上限制条件系统是因果的，条件h［n］=h［2α-n］将限制h［n］仅在0≤n≤M范围内非零，故式(5.53)的一类解为 β=0,π h［n］=h［M-n］,0≤n≤M 0,n为其他(5.54) 类似地，可得到式(5.53)的另一类解为 β=±π/2 h［n］=-h［M-n］,0≤n≤M 0,n为其他(5.55) 实际上式(5.54)和式(5.55)表示的都是FIR系统，其单位抽样响应分别是关于n=M2偶对称和奇对称的。这就得到一个结论，单位抽样响应具有这种偶对称或奇对称的因果FIR系统是线性相位系统。 这里，定义 N=M+1 为FIR系统非零系数的数目，M表示h［n］非零值的最大序号。 由于h［n］的对称性质，通过组合相同的系数可将运算量减少大约一半。为了推导简单，设h［n］满足式(5.54)的偶对称特性且长度N为奇数(M为偶数)，卷积计算为 y［n］=∑Mk=0h［k］x［n-k］ =∑M2-1k=0h［k］x［n-k］+hM2xn-M2+∑Mk=M2+1h［k］x［n-k］ =∑M2-1k=0h［k］x［n-k］+∑M2-1k=0h［M-k］x［n-M+k］+hM2xn-M2 用式(5.54)，即 y［n］=∑M2-1k=0h［k］x［n-k］+x［n-M+k］+hM2xn-M2(5.56) 式（5.56)的实现框图如图5.21所示，与同等长度非线性相位FIR的实现相比，可节省大约一半运算量。 图5.21奇数长对称FIR滤波器的实现结构 经过类似推导，若偶对称型FIR滤波器的长度N为偶数(M为奇数)，则计算公式为 y［n］=∑M-12k=0h［k］x［n-k］+x［n-M+k］(5.57) 注意式(5.57)与式(5.56)的区别，缺少一个单独项，且求和上标有所不同，其实现结构如图5.22所示。 图5.22偶数长对称FIR滤波器的实现结构 对于满足奇对称式(5.55)的FIR系统，同样可得其计算公式，当N为奇数 y［n］=∑M2-1k=0h［k］x［n-k］-x［n-M+k］(5.58) 注意到，式(5.58)中，并没有单独项hM2xn-M2，原因是，当N为奇数时，由式(5.55)代入n=M2有 hM2=-hM2=0，故单独项消失了。 当满足奇对称且N为偶数时，计算公式为 y［n］=∑M-12k=0h［k］x［n-k］-x［n-M+k］(5.59) 式(5.58)和式(5.59)的实现结构，可由图5.21和图5.22的结构稍加修改，这里不再画出。 5.6.3线性相位系统的零点分布和级联实现 线性相位系统函数的零点分布有其特殊性。一个线性相位系统的单位抽样响应和其系统函数是一对z变换对，记为 h［n］H(z) 容易证明，如下是一对z变换对(证明留作习题) h［M-n］H(z-1)z-M 既然线性相位系统的单位抽样响应满足 h［n］=±h［M-n］ 其系统函数则满足 H(z)=±H(z-1)z-M(5.60) 式(5.60)指出，若z1=r1ejθ1是系统函数的一个复零点，则1z1=1r1ejθ1=1r1e-jθ1也是一个复零点。h［n］是实序列，H(z)是实系数多项式，则零点必然以共轭形式出现，故z*1=r1e-jθ1也是一个复零点，因此1z*1=1r1e-jθ1=1r1ejθ1也是一个复零点。这样，一个线性相位系统，若有1个复零点，必有3个复零点与其相伴，即4个复零点组成一个零点组，零点组写为 r1ejθ1r1e-jθ11r1e-jθ11r1ejθ1(5.61) 这个复零点组画于图5.23中(以z1和z*1的各变换形式标出)。其中z1和1z*1是一对以单位圆为镜像的零点。 图5.23线性相位系统的复零点组 这里也有几种退化的特殊情况，当零点z2是绝对值不为1的实数时，对应的只有一个镜像零点1z2，这是两个一组的实零点情况，即零点组为z21z2。当零点z3是位于单位圆上的复零点时，其倒数和其共轭是相等的，故单位圆上的复零点是两个为一对的，即ejθ3e-jθ3。还有一种退化情况，就是z4=±1的情况，此时，单一零点既满足互为倒数，又满足互为共轭，可单独成组。 在这些情况下，一个零点组所对应的子系统函数可分别求得。 1. 4个零点构成的复零点组 H1(z)=1-r1ejθ1z-11-r1e-jθ1z-11-1r1ejθ1z-11-1r1e-jθ1z-1 =1r211-2r1cosθ1z-1+r21z-2r21-2r1cosθ1z-1+z-2 =1-2r21+1r1cosθ1z-1+r21+1r21+4cos2θ1z-2-2r21+1r1cosθ1z-3+z-4 简写为 H1(z)=1+bz-1+cz-2+bz-3+z-4(5.62) 这里 b=-2r21+1r1cosθ1,c=r21+1r21+4cos2θ1 2. 镜像实零点 H2(z)=1-r2z-11-1r2z-1=1-r2+1r2z-1+z-2(5.63) 3. 单位圆上的复零点 H3(z)=1-ejθ3z-11-e-jθ3z-1=1-2cosθ3z-1+z-2(5.64) 4. 单位圆上的实零点 H4(z)=1-z-1(5.65) 或 H4(z)=1+z-1(5.66) 以上讨论的是每个零点都是单零点时，也有零点是重根的情况，这种情况留给读者自行讨论。 既然线性相位系统的实现具有更低的运算量，若需要将一个有很多非零系数的线性相位系统分解为更小的子系统的级联，则希望每个子系统仍保持线性相位特性以使得总运算量更低。这一点很容易做到，只要每个子系统仍具有以上几种零点分组特性，这些子系统就仍具有线性相位特性。一个简单做法就是： 按上述的零点组方式进行划分， 图5.24一个复零点组构成 的子系统 由每个零点组组成一个子系统。根据零点类型的不同，可按式(5.62)~式(5.66)构成子系统。例如，对于一个不在单位圆上的复零点，由4个零点构成的零点组如式(5.61)所示，其对应的子系统函数如式(5.62)所示，它的结构是图5.21的特例，画在图5.24中。 式(5.63)~式(5.66)构成的子系统的结构流程图留作习题，由读者自行画出。将这些子系统级联起来，可构成一个高阶的线性相位FIR系统。 5.7FIR滤波器的FFT实现结构 对于FIR滤波器，给出滤波器单位抽样响应h［n］，其非零值的序号范围为0≤n≤M。当给出输入信号x［n］，也可以利用DFT方法求出输出信号y［n］。在这个实现过程中，总是用FFT计算DFT和IDFT，故称这种实现方式为FIR滤波器的FFT实现。 5.7.1FIR滤波器的基本FFT实现结构 先考虑简单情况。若输入信号也是较短的有限长序列，可通过FFT方法一次计算出所有输出。假设输入信号x［n］非零长度为L，其非零值的序号范围为0≤n(M+1)，对h［n］和x［n］均做L点DFT，则 X［k］=DFTx［n］(L),H［k］=DFTh［n］(L) yO［n］=IDFTX［k］H［k］(L)(5.75) 上式中的(L)符号表示L点DFT或IDFT变换，循环卷积结果yO［n］的前M点是线性卷积的混叠信号，需要丢弃，但后L-M点是与线性卷积y［n］相等的，即 yO［n］=y［n］,M≤n≤L-1(5.76) 也就是说，利用长点数L的DFT方法可得到部分正确的系统输出值。利用这一点，若在输入信号分段时，使前一段数据和后一段数据有M点的重叠，然后通过L点DFT或IDFT变换，将每段循环卷积结果yO［n］的前M点丢弃，后L-M点拼接起来就构成了系统输出信号，该方法称为重叠保留法。 第r段数据xr［n］表示为 xr［n］=x［n］,rL-(r+1)M≤n≤(r+1)(L-M)-1 0,其他(5.77) 比较特殊的情况是起始的第一段x0［n］，为了同样丢弃yO0［n］中的前M点，需要在x0［n］前面补上M个数据，一般将这M个数据取为零，故 x0［n］=0,-M≤n≤-1 x［n］,0≤n≤(L-M)-1 0,n≥(L-M)(5.78) 为了完成每一段的循环卷积运算，设H［k］=DFTh［n］(L)已经预先算好，在每一段分别计算 xOr［n］=xr［n-rL+(r+1)M］(5.79) XOr［k］=DFTxOr［n］(L)(5.80) yOr［n］=IDFTXOr［k］H［k］(L)(5.81) 注意，式(5.79)是把xr［n］搬移到序号范围为0≤nM。 为了求出系数gm，由图5.38得到 y［n］=∑Mm=0gmbm［n］(5.136) 对式(5.136)两侧做z变换，并除以X(z)，然后利用x［n］=fN［n］和b0［n］=y［n］=f0［n］，得到 H(z)=Y(z)X(z)=∑Mm=0gmBm(z)X(z) =∑Mm=0gmBm(z)X(z)=∑Mm=0gmBm(z)B0(z)F0(z)FN(z) =∑Mm=0gmCm(z)1AN(z)=∑Mm=0gmCm(z)AN(z)(5.137) 比较式(5.135)和式(5.137)得 DM(z)=∑Mm=0gmCm(z)(5.138) 式(5.138)可进一步写为 DM(z)=∑M-1m=0gmCm(z)+gMCM(z) =DM-1(z)+gMz-MAM(z-1)(5.139) 式(5.139)的最后一行用了式(5.134)，对比式(5.139)两侧，右侧z-M项只有一个系数gM，由此得到 gM=dM［M］(5.140) 在式(5.139)中，用m替代M，得到 Dm-1(z)=Dm(z)-gmz-mAm(z-1)(5.141) 令m=M,M-1,…,1递推执行式(5.141)，并令 gm-1=dm-1［m-1］,m=M,M-1,…,1(5.142) 得到梯形加权系数gm,m=M,M-1,…,1,0，完成图5.38中各参数的计算。 图5.38IIR滤波器的“格型梯形”结构 注意到，在递推式(5.141)时，各阶Am(z)在通过式(5.117)递推反射系数时已经算出，不需要重新计算。 在不考虑滤波器实现时的计算误差时，所有实现结构都是等同的。但当使用有限位数进行计算的(有限字长)数字系统实现时，计算误差必然存在。当存在计算误差时，不同实现结构的表现是不同的，这称为系统实现的数值稳定性问题。就目前所知，格型结构是数值稳定性最好的实现方式之一。 5.10数字系统实例 第6章将讨论数字系统的一般设计方法，即给出一个要求，根据设计方法的程序化过程总可以设计出一个系统满足设计要求。在实际中，有一些常用系统可以通过一些直接的构造方法获得。也有一些系统，因其特殊要求，例如不满足标准的BIBO稳定性，因而不便利用标准设计程序进行设计，反而通过对问题的特殊处理而容易构造。本节讨论几种这类系统。 5.10.1数字正弦振荡器 在数字系统处理和仿真的应用中，常需要产生一些特殊信号，例如离散正弦和余弦信号，作为数字调制和解调系统等所需要的信号源。可以通过特殊的递归结构产生这类信号。将这类系统称为数字正弦振荡器。 首先考虑一个具有共轭极点的系统，其两个极点分别为 p1,2=re±jω0 其构成的一个递归系统的系统函数为 H(z)=b01-2rcosω0z-1+r2z-2 在第2章讨论过，该系统函数的单位抽样响应为 h［n］=b0rnsinω0sinω0(n+1)u［n］ 对该系统，取r=1，即系统的两个极点位于单位圆上，此时系统不是BIBO稳定的，称该类系统为临界稳定系统，若再取 b0=Asinω0 得到系统的单位抽样响应为 h［n］=Asinω0(n+1)u［n］(5.143) 由以上分析，可以构造图5.39(a)所示的系统，只在n=0时输入幅度为Asinω0的值，其后输入信号为零，并且保证零初始条件，即y［-1］=y［-2］=0，则系统输出即为式(5.143)所示的正弦信号，这正是数字正弦振荡器。稍做变化，图5.39(b)的系统同时产生正交的两路信号源。 图5.39数字振荡器 另一种更有效的方法，是利用三角函数的性质，构造一个特殊递归系统。考查三角函数关系式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ(5.144) 结合上式，令 α=(n-1)ω0 β=ω0 yc［n］=cosω0nu［n］ ys［n］=sinω0nu［n］(5.145) 将式(5.145)代入式(5.144)，得到 yc［n］=cosω0nyc［n-1］-sinω0nys［n-1］ ys［n］=sinω0nyc［n-1］+cosω0nys［n-1］(5.146) 由式(5.146)可以构成如图5.40的系统，若取起始条件为 yc［-1］=cosω0 ys［-1］=-sinω0 则图5.40所示系统同时产生两路正交的正余弦信号。 图5.40数字正弦/余弦振荡器 5.10.2数字陷波器 所谓数字陷波器是指这样一个系统，对于一个给定的角频率ω0，系统将完全滤除输入信号中的±ω0分量，而尽可能不损失其他分量。 若以实信号输入，设信号由两部分组成， x［n］=x1［n］+acosω0n+φ(5.147) 这里用x1［n］表示信号中不包括±ω0分量的部分。理想的陷波器要求，以式(5.147)表示的输入信号通过陷波器后，x1［n］部分没有损失，而acosω0n+φ部分将被完全消除。在很多应用中，陷波器常用于消除电源干扰或其他固定频率干扰。 由于 acosω0n+φ=12aejφejω0n+12ae-jφe-jω0n 若一个系统的系统函数在 z1,2=e±jω0 处有一对零点，则信号经过该系统后，±ω0分量被完全消除。故最简单的陷波器的系统函数为 H(z)=1-ejω0z-11-e-jω0z-1 =1-2cosω0z-1+z-2(5.148) 这是一个仅有3个非零系数的FIR滤波器，并且是一个线性相位系统。 图5.41给出了式(5.148)表示的简单陷波器的频率响应。由图5.41发现，这个简单陷波器可以完全消除cosω0n+φ的分量，但是由于凹口太宽，它也使得±ω0附近的其他分量被明显衰减，是一个很不理想的陷波器。 图5.41一个简单陷波器的幅频特性 一个直观构造的更好的陷波器是在零点对z1,2=e±jω0附近放置一对极点，p1,2=re±jω0，这对极点要与零点非常近，但又不重叠，使得对偏离±ω0的频率分量由于极点和零点的“近似抵消”作用而使得系统幅频响应近似为1； 而在±ω0频点上，由于零点的作用，仍保证完全陷波。这就要求极点取值满足r<1,r≈1，这里r<1保证系统是稳定的。这样构成的系统函数为 H(z)=1-2cosω0z-1+z-21-2rcosω0z-1+r2z-2(5.149) 选择不同r，可得到不同幅频特性的系统。图5.42给出两个不同r取值时的频率特性。 图5.42附加极点的陷波器频率特性 （上图r=0.75，下图r=0.95） 图5.42(续) 5.10.3梳状滤波器 梳状滤波器是一个形象化的名称，即滤波器的幅频响应犹如梳子的形状。梳状滤波器是一种导出的滤波器。一般首先得到一个“原型”滤波器，再经过对其频率响应或单位抽样响应的变化得到梳状滤波器。 设一个原型滤波器的单位抽样响应为h［n］，其频率响应为H(ejω)，构造一个新的滤波器，其单位抽样响应为hL［n］，其频率响应为HL(ejω)，这里L是一个给定的正整数，hL［n］由下式给出 hL［n］=h［n/L］，n=0,±L,±2L，… 0，其他(5.150) hL［n］是由h［n］的两个非零值之间插入L-1个零而构成的。图5.43给出了L=5时，hL［n］的例子。 图5.43一个梳状滤波器的单位抽样响应 由DTFT的定义和式(5.150)，得到 HL(ejω)=H(ejLω)(5.151) 显然。HL(ejω)是由H(ejω)在频率轴上压缩了L倍的结果，即把H(ejω)在区间-Lπ,Lπ的图形压缩到了-π,π之间就得到了HL(ejω)，故HL(ejω)的幅频特性具有梳子的形状，故得名梳状滤波器。 为了给出更直接和更形象的理解，以如下熟悉的平均滤波器为原型滤波器，即 h［n］=1M+1，0≤n≤M 0，其他 其频率响应为 H(ejω)=1M+1sin（ω(M+1)/2）sin（ω/2）e-jωM/2 因此得到梳状滤波器的频率响应为 HL(ejω)=1M+1sin（ωL(M+1)/2）sin（ωL/2）e-jωLM/2(5.152) 图5.44梳状滤波器的幅频响应 (上： 原型滤波器，中： L=5的梳状滤波器，下： L=6的梳状滤波器) 梳状滤波器的幅频响应为 HL(ejω)=1M+1sin（ωL(M+1)/2）sin（ωL/2）(5.153) 图5.44给出了一个例子，M=7，L分别取5和6，可以看到，由于原型滤波器的主瓣峰处于ω=2πk的位置，故梳状滤波器的各通带频率中心为ω=2πk/L处。因此，当L为奇数时，±π处于阻带状态； 当L为偶数时，±π处于通带状态。 若原型滤波器的通带中心频率为ω=ω0，则由DTFT的周期性，ω=ω0+2πk也是通带中心频率，梳状滤波器的各通带频率中心为ω=ω0+2πkL，梳状滤波器各通带带宽是原型滤波器通带带宽的1/L。可以通过梳状滤波器的要求，导出原型滤波器参数。首先设计原型滤波器，然后通过式(5.150)得到梳状滤波器的单位抽样响应。第6章将讨论一般滤波器的设计方法，利用这些设计方法，可设计出更一般的原型滤波器，从而构成类型更丰富的梳状滤波器。 5.11与本章相关的MATLAB函数与样例 5.11.1相关的MATLAB函数简介 首先介绍几个与离散系统和数字滤波器相关的MATLAB函数。 1. impz 功能介绍离散系统单位抽样响应的函数。本函数集成在Signal Processing工具箱中，用于计算数字滤波器单位抽样响应。 语法 ［h,t］ = impz(b,a) ［h,t］ = impz(b,a,n) ［h,t］ = impz(b,a,n,fs) impz(b,a) 输入变量 ［h,t］ = impz(b,a)用于计算数字滤波器的单位抽样响应，其中a和b分别是数字系统差分方程表示形式下左右两侧的系数。n是整数时，表示返回的冲击响应点的个数； n是矢量时，表示的是时间点，只有矢量n指定的那些整数时间序号上的单位抽样响应值被计算和输出。fs表示采样率，相邻采样点之间时间间隔1/fs，默认值为1。 输出内容 返回值h表示单位抽样相应，默认的时间序号为t=［0,1,2,3,…］； t表示h对应的抽样时间。如果调用时没有指定返回值，impz函数自动绘制出单位抽样响应的波形。 2. freqz 功能介绍数字滤波器频率响应函数。本函数集成在Signal Processing工具箱中，用于计算数字滤波器频率响应。这是一个功能很强的常用函数。 语法 ［h,w］ = freqz(b,a,l) h = freqz(b,a,w) ［h,w］ = freqz(b,a,l,'whole') ［h,f］ = freqz(b,a,l,fs) h = freqz(b,a,f,fs) ［h,f］ = freqz(b,a,l,'whole',fs) freqz(b,a,...) 输入变量 ［h,w］ = freqz(b,a,l)用于计算数字滤波器的频率响应，其中a和b分别是数字系统差分方程表示形式下左右两侧的系数，或系统函数有理分式分母和分子多项式的系数矢量，l表示返回h、w的长度，缺省时，在［0,π］范围内均匀地计算512个点。 h = freqz(b,a,w)计算在给定频率点的响应，其中输入向量w表示给定的频率点。 ［h,w］ = freqz(b,a,l,'whole')，'whole'表示计算角频率范围为［0,2π］的频率响应，未指定情况下默认计算角频率范围为［0,π］。 ［h,f］ = freqz(b,a,l,fs)，fs是采样频率，单位是赫兹。 h = freqz(b,a,f,fs)计算在响应频率点的响应，其中向量f指定频率点，fs是采样频率，单位是赫兹（Hz）。 输出内容 向量h是数字滤波器的频率响应。向量w是h对应的数字角频率，其单位是弧度（rad）； 向量f则是跟h相对应的模拟频率，其单位是赫兹（Hz）。如果调用时没有指定返回值，freqz函数自动绘制出频率响应的波形。 3. filter 功能介绍计算一个数字滤波器的输出。 语法 y =filter(b,a,x) 输入变量 输入a和b分别是数字系统差分方程表示形式下左右两侧的系数，或系统函数有理分式分母和分子多项式的系数矢量。x是输入信号矢量。 输出内容 滤波器输出矢量。 4. tf2latc 功能介绍系统函数形式滤波器转级联格型结构函数。本函数集成在Signal Processing工具箱中，用于将滤波器从传输函数形式转为格型。 语法 ［k,v］ = tf2latc(b,a) k = tf2latc(1,a) ［k,v］ = tf2latc(1,a) k = tf2latc(b) k = tf2latc(b, 'phase') 输入变量 输入a和b分别是数字系统差分方程表示形式下左右两侧的系数，或系统函数有理分式分母和分子多项式的系数矢量。'phase'参数有'max'，'min'两种取值，前者表示返回的格型是最大相位滤波器，后者表示返回最小相位格型滤波器。 输出内容 返回值k是格型反射系数，v是梯形加权系数(当滤波器是IIR时)。 5. latc2tf 这是与tf2latc相反功能的函数，将格型结构转换成系统函数或差分方程形式，变量的说明与tf2latc相同，只是交换位置。 ［b,a］ = LATC2TF(K,V) b = LATC2TF(K) b = LATC2TF(K,'fir') b = LATC2TF(K,'phase') ［b,a］ = LATC2TF(K,'allpole') ［b,a］ = LATC2TF(K,'allpass') 6. tf2zp 功能介绍根据输入的滤波器系统函数求滤波器系统函数的零极点分布。 语法 ［z, p, k］ = tf2zp(b, a) 输入变量 b是表示滤波器系统函数分子多项式系数矢量； a是表示滤波器系统函数分母多项式系数矢量。 输出内容 z是滤波器零点矢量，p是滤波器极点矢量，k是滤波器系统增益系数。 7. zplane 功能介绍绘制滤波器的零极点分布图。 语法 zplane(z, p) zplane(b,a) 输入变量 z是滤波器零点向量，p是滤波器极点向量。b是表示滤波器系统函数分子多项式系数矢量； a是表示滤波器系统函数分母多项式系数矢量。 输出内容 画出滤波器的零极点分布图。 5.11.2MATLAB例程 通过几个例程及其运行结果，说明MATLAB函数在离散系统和数字滤波器上的应用。 例5.11.1已知系统的差分方程表示 y［n］-0.3y［n-1］+0.8y［n-2］=x［n］-0.5x［n-2］ 利用impz函数求该离散系统的单位抽样响应，例程如下，运行结果如图5.45所示。 a = ［1 -0.3 0.8］; b = ［1 0 -0.5］; n = 50; impz(b,a,n);%用impz函数计算单位抽样响应 图5.45例5.11.1的例程结果 例5.11.2尽管第2章已有卷积和的例子，由于其常用性并与系统分析紧密相关，这里再次给出一个卷积和的例子。一系统单位抽样响应是h［n］ = anu［n］，其中a = 0.6，激励信号为x［n］=u［n］ -u［n-5］，利用conv函数求响应y［n］,例程如下，运行结果如图5.46所示。 a = 0.6;%定义系数a = 0.6 N = 5;%定义激励的长度N n = ［0:20］;%定义时间 h = ((0.6).^n).*(n>=0);%定义单位抽样响应 图5.46例5.11.2的例程结果 x = ones(1, 5);%定义激励信号x(n) y = conv(h, x)%用conv计算卷积 ex_5_11_2_plot();%画图，此处调用一个自编的函数 例5.11.3已知系统的差分方程表示 y［n］-0.3y［n-1］+0.8y［n-2］=x［n］-0.5x［n-2］ 利用freqz函数求该离散系统的频率响应，例程如下，运行结果如图5.47所示。 a = ［1 -0.3 0.8］;%定义左侧系数 b = ［1 0 -0.5］;%定义右侧系数 freqz(b,a);%绘制频率特性曲线 zplane(b,a); 图5.47所示分别为零极点分布与频率响应。 图5.47例5.11.3的例程运行结果 例5.11.4四阶FIR传输函数 Hz=1+1.2z-1+1.12z-2+0.12z-3-0.08z-4 实现其级联格型结构，例程和运行结果如下。 b = ［1 1.2 1.12 0.12 -0.08］;%FIR滤波器传输函数 k = tf2latc(b)%用tf2latc函数求格型反射系数 b1 = latc2tf(k)%用latc2tf函数实现逆过程进行验证 运行结果： k = ［0.51.00.2174-0.08］，且b = b1。用函数latc2tf验证了格型实现的正确性。 5.12本章小结 本章全面介绍了LTI系统的表示方法，讨论了表示一个LTI系统的几种等效的方式。研究了LTI系统设计问题，并回答了系统的可实现性条件。本章详细讨论了IIR系统和FIR系统的各种实现结构以及这些结构之间必要的转换关系。对于FIR系统，重点关注了线性相位系统的特性。利用直观的理解，本章也给出了几个实际系统的例子。 习题 5.1设一个FIR系统，其单位抽样响应为 h［n］=0.5δ［n］+δ［n-1］+0.5δ［n-2］ 求它所有可能的逆系统，求出逆系统的系统函数和收敛域，以及系统的单位抽样响应。 5.2已知一个线性时不变系统对输入序列x［n］=12nu［n］+2nu［-n-1］的响应为 y［n］=612nu［n］-634nu［n］ （1） 求系统函数H(z)，并画出它的极、零点分布及收敛域； （2） 求系统的单位抽样响应h［n］； （3） 写出系统的差分方程表示； （4） 分析系统是否是因果的和BIBO稳定的。 5.3已知两个FIR滤波器的单位抽样响应分别为h1［n］=18,58,1,58,18和h2［n］=18,-58,1,-58,18。两个单位抽样响应中第1个取值对应的时间序号均为零，两个系统的系统函数分别为H1(z)和H2(z)。 （1） h1［n］和h2［n］所表示的两个滤波器是否是线性相位FIR滤波器？ （2） 用h1［n］表示h2［n］，用H1(z)表示H2(z)。 （3） 计算H1(ej0)和H1(ejπ)。 （4） 不用计算，由第（2）和（3）题的结果直接得到H2(ej0)和H2(ejπ)。 （5） 由第（3）和（4）题的结果,判断H1(z)和H2(z)分别是低通还是高通滤波器？ 5.4已知Hi(z)=z-1-ai1-a*iz-1为全通系统的系统函数，判断如下各系统函数是否保持全通性质： （1） ∑Ni=1Hi(z)（2） ∏Ni=1Hi(z)（3） ∑N-1i=1Hi(z)Hi+1(z) 5.5已知一个全通IIR系统的系统函数为 H(z)=1+3z-1+α+βz-2+2z-32+α-βz-1+3z-2+z-3 请确定α和β的取值。 5.6证明全通系统的系统函数Hap(z)具有如下性质： Hap(z)>1,|z-1|>1 =1,|z-1|=1 <1,|z-1|<1 5.7设hmin［n］为一最小相位系统的单位抽样响应，而h［n］为与其具有相同幅频响应的因果非最小相位系统的单位抽样响应。请利用z变换初值定理证明： |h［0］|<|hmin［0］|。 5.8给定一个FIR系统的单位抽样响应为h［n］=δ［n］+δ［n-1］-12δ［n-2］+38δ［n-3］。 （1） 请判断该系统是否为最小相位系统； 如果不是，请找出与其具有相同幅频响应的最小相位系统的单位抽样响应。 （2） 请找出与该系统具有相同幅频响应的最大相位系统的单位抽样响应。 5.9已知具有相同幅频响应的最小相位系统和最大相位系统的单位抽样响应分别为hmin［n］和hmax［n］，这两个系统的系统函数分别为Hmin(z)和Hmax(z)。请证明： Hmax(z)=z-NHmin(z-1) 并利用此结果用hmin［n］来表示hmax［n］。 5.10已知一个稳定LTI系统的单位抽样响应h［n］是偶对称的，即满足h［n］=h［-n］。 (1) 请确定该系统的系统函数的极点分布具有什么特点？ (2) 如果该系统的系统函数为H(z)=2-4.25z-1(1-0.25z-1)(1-4z-1)，请确定其收敛域并写出h［n］的表达式。 5.11已知一个系统的系统函数是H(z)=z-1(1+5z-1)1-13z-1，求一个系统函数形式为G(z)=d+cz-11+bz-1且与H(z)有相同幅频响应的最小相位系统，请写出其系统函数并画出系统实现的流图。 5.12一个LTI系统的系统函数为H(z)=(1+1.3z-1)(1-0.5z-1)(1-0.8z-1)(1+0.93z-1)，写出与该系统具有相同幅频响应的最小相位系统的系统函数。 5.13已知一个LTI系统的系统函数为 H(z)=3+3.6z-1+0.6z-21+0.1z-1-0.2z-2 请画出该系统如下实现形式的结构流图： （1） 直接形式Ⅰ； （2） 直接形式Ⅱ； （3） 级联形式； （4） 并联形式。 5.14已知一个实系数全通系统的系统函数为H(z)=z-1-a1-az-1。 （1） 请画出该系统直接形式Ⅱ实现的结构流图。 （2） 请画出一种只需一次乘法而延迟单元数不受限的实现结构流图（其中乘±1不计作乘法次数）。 （3） 请对比分析第（1）和（2）题实现结构各自的优缺点。 5.15已知一数字系统用差分方程y［n］=x［n］-x［n-1］+425y［n-1］-1625y［n-2］描述。 （1） 画出系统的零极点分布，粗略画出系统的幅频特性； 说明它具有什么滤波特性？ （2） 画出系统实现的直接Ⅱ型结构流图。 （3） 如果系统输入信号为x［n］=2cosπ4n，求系统输出信号。 5.16一个IIR系统的实现流图如题5.16图所示。 （1） 请写出其系统的系统函数。 （2） 请画出该系统直接形式Ⅱ实现的结构流图。 （3） 请对比分析两种实现结构的优缺点。 题5.16图 5.17有一个输入信号为x［n］=cos14πn+0.12cos34πn，其中第一个余弦分量是有用信号，第2个余弦分量是干扰噪声，该信号经过一个IIR滤波器，滤波器传输函数的两个极点分别是z1,2=0.8e±jπ/4，一阶零点位于z0=-1，且其频率响应在零频率点的取值H(ej0)=1/4。 （1） 求出系统的传输函数，用直接Ⅱ型实现，画出其实现流图。 （2） 求两个频率分量经过系统后，各自的幅度值，并讨论该系统有提高信噪比的作用吗？ 5.18已知FIR滤波器的单位抽样响应为 h［n］=δ［n-1］-1.5δ［n-2］+2.75δ［n-3］+ 2.75δ［n-4］-1.5δ［n-5］+δ［n-6］ 求该滤波器的零点分布，并画出其级联形式结构流图。 5.19一个实系数滤波器可用线性常系数差分方程y［n］=b0x［n］+b1x［n-1］+b2x［n-2］ 表示。已知其可完全抑制ω0=2π/3处的频率成分，且其频率响应满足H(ej0)=1，请写出该滤波器的单位抽样响应，并计算出其群延迟。 5.20设h［n］H(z)是z变换对，证明h［M-n］Hz-1z-M是z变换对。 5.21一个有五个非零系数的线性相位因果LTI数字FIR滤波器，已知其中一个零点是0.8ej34π，且H(ejω)ω=0=1，求其单位抽样响应。 5.22已知一个第Ⅲ类实系数因果线性相位FIR滤波器的单位抽样响应的长度为9且具有零点z1=-22+22j和z2=-14j。 （1） 写出该滤波器的其他零极点，并注明零极点的阶数。 （2） 写出该滤波器的群延迟。 5.23一个类型Ⅱ型的实系数线性相位FIR滤波器，已知其单位脉冲响应的长度为8且具有零点z1=2和z2=1+j， （1） 写出该滤波器其他的零点。 （2） 写出该滤波器的群延迟。 5.24已知两个FIR系统的单位抽样响应分别为 h1［n］={1,4,2,3,3,2,4,1} ↑ h2［n］={1,-4,2,-1,3,-1,2,-4,1} ↑ 其中箭头代表n=0的位置。请写出这两个系统的群延迟响应。 5.25已有滤波器的系统函数为H(z)，单位抽样响应为h［n］，对其进行z=-Z2变换，得到新的滤波器H1(z)和单位抽样响应为h1［n］。用h［n］表示h1［n］; 若H(z)是对应截止频率为π/3的理想低通滤波器，画出新滤波器的幅频响应的图形（画出［-π,π］之间的图形），标出关键频率点的值（即截止频率的位置）。 5.26已知离散序列x［n］，将其送入如题5.26图结构的系统，其中h［n］=12(δ［n］+δ［n-5］)，系统A的输入输出关系为b［n］=a［n］,n为偶数 0，n为奇数，若输出序列为y［n］，请给出y［n］用x［n］表示的表达式，要求化到最简形式。 题5.26图 5.27用基2的FFT处理器做线性卷积和运算，参与运算的两个信号第一个长度为97，第二个长度为132，均为实信号。 （1） 选择多长的FFT点数是合适的？ （2） 统计实数乘法运算次数并与直接卷积求和比较运算量（假设第一个信号的DFT预先做好，不需要实际统计其运算次数）。 5.28我们希望利用长度为50的h［n］对一长串信号数据进行滤波，要求利用重叠保留法通过DFT实现。为了做到这一点： 输入各段必须重叠V个数据点； 每一段产生的输出中取出M个数据点，使这些从每一段得到的数据点连接在一起时得到的序列就是要求的滤波结果。假设输入的各段数据长度为100，而DFT的点数为128。又假设每段循环卷积输出结果的序号为0~127。 （1） 请确定满足要求的V和M。 （2） 求从循环卷积输出的128点中要取出M点的起点和终点的序号。 5.29有一个FIR滤波器，冲激响应长度为56，均为实数值，该滤波器过滤一个实值长信号，用256点按基2分解的FFT程序做处理（W0N等旋转因子都计入乘法次数），采用重叠保留法。给出长信号的分段方法和结果的拼接方法。假设用DSP处理器处理该任务，处理器完成一次乘法需要一个时钟周期，假设编程技巧足够好，数据存取和加法均不需要额外指令，只需考虑乘法次数。若信号是按1MHz采样获得的，为完成实时处理，需要处理器MIPS值至少多大？并与直接卷积方法需要的MIPS数进行比较（注： MIPS指处理器每秒执行的兆时钟周期数）。 5.30设原型滤波器的单位抽样响应为 h［n］=(-1)nM+1，0≤n≤M 0，其他 （1） 写出其梳状滤波器的频率响应HL(ejω)。 （2） 求出其梳状滤波器的通带中心频率的一般表达式。 （3） 若取M=7，画出L分别取5和6时，梳状滤波器的幅频响应，并与图5.44进行对比分析。 5.31如果一个滤波器的冲激响应是h［n］=1,0≤n≤15 0,其他。 （1） 它的频率响应H(ejω)，大致画出频率响应的草图，如果定义频率响应的峰值到第一个零值点的距离为带宽，该滤波器的带宽为多大？ （2） 要求以H(ejω)为基础，设计多通带滤波器，在［0,2π］范围内，各通带中心为ωi=π3k，k=0,1,…,6，每个通带形状与H(ejω)一致，但带宽约是H(ejω)的1/6，求该滤波器的冲激响应h1［n］。 （3） 在2中滤波器的基础上，求一个新的滤波器，频率中心比2中滤波器向右平移π/12，求该滤波器的冲激响应h2［n］。 5.32已知实系数FIR滤波器的单位抽样响应h［n］长度N为16，0≤n≤15。H［k］为h［n］的16点DFT，且已知H［0］=12，H［1］=-3-j3，H［2］=1+j，H［3］～H［8］都为零。 （1） 请求出h［n］。 （2） 请画出该FIR滤波器频率取样结构的实现流图。 5.33FIR系统的单位抽样响应h［n］是N=M+1点的有限长序列，若按下式对h［n］的DTFT进行采样，并取0≤α<1 Hα［k］=H(ejω)ω=2πN(k+α) 证明系统函数可由Hα［k］按下式求得 H(z)=1N(1-ej2παz-N)∑N-1k=0Hα［k］1-ej2πN(k+α)z-1 5.34一个线性相位FIR系统，其系统函数可写为 H(z)=(1-0.8ej3π/4z-1)(1-az-1)(1-bz-1)(1-cz-1) 求（1） a,b,c的值； （2） 写出系统函数的多项式表达式； （3） 若用格型实现，求各反射系数，并画出格型结构的信号流图。 5.35一个IIR系统的系统函数为 H(z)=1+1.2z-1(1-0.75ejπ/3z-1)(1-0.75e-jπ/3z-1)(1-0.5z-1) （1） 给出系统的一种并联实现结构，画出信号流图。 （2） 若采用格型梯形实现，求出各参数，画出信号流图。 MATLAB习题 5.1请利用MATLAB自带函数画出习题5.8中数字系统的单位抽样响应、零极点分布图、幅频响应、相频响应和群延迟响应。 5.2请分别编写MATLAB函数实现采用重叠相加法和重叠保留法的FIR滤波器FFT实现结构，函数应可根据输入的FIR滤波器单位抽样响应的长度自行选择最优的FFT变换长度。请通过与MATLAB自带滤波函数的对比验证所编写函数的正确性。 5.3请针对习题5.12给出的系统函数，利用MATLAB验证关于最小相位系统的如下性质。 (1） 在具有相同幅频响应的稳定因果系统中，最小相位系统具有最小群延迟。 (2） 在具有相同幅频响应的稳定因果系统中，最小相位系统具有最小能量延迟。 5.4请针对习题5.18中给出的FIR滤波器，利用MATLAB验证关于线性相位系统的相关性质，包括： ①单位抽样响应的对称性； ②零点分布的对称性； ③相频响应的广义线性； ④固定的群延迟响应。 5.5请利用MATLAB确定如下IIR滤波器系统函数因式分解后的表示形式 H(z)=0.1103-0.4413z-1+0.6619z-2-0.4413z-3+0.1103z-41-0.1510z-1+0.8042z-2+0.1618z-3+0.1872z-4 在此基础上请给出H(z)两种不同的级联实现和并联实现形式。