第3章线性系统的运动分析

动态系统的行为和性能是由系统运动过程的形态所决定的。状态空间描述的建立为严格地和定量地分析系统的运动提供了基础。本
章以线性系统为对象，包括连续时间系统和离散时间系统，时不变系统和时变系统，较为系
统和全面地讨论运动分析的理论和方法。

3.1引言
对系统运动的分析，归结为从状态空间描述出发研究由输入作用和初始状态的激励所引起的
状态或输出响应，以为分析系统的运动形态和性能行为提供基础。本节是对线性系统运动分
析的一些共性概念的一个引论性介绍，包括运动分析的数学实
质、运动解的存在性和唯一性条件、系统运动的分解等。

3.1.1运动分析的数学实质
从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统状态方程，以解析形式或数值分析形式，建立
系统状态随输入和初始状态的演化规律，特别是状态演化形态对系统结构和参数的依赖关系
。对连续时间线性系统，运动分析归结为相对于给定初始状态x0和输入向量
u(t)，求解向量微分方程型状态方程： 
x·=A(t)x+B(t)u,x(t0)=x0,t∈［t0,tα］(3.1)
或
x·=Ax+Bu,x(0)=x
0,t≥0(3.2)
对离散时间线性系统，运动分析归结为相对于给定初始状态x0和输入向量u(k)，
求解向量差分方程型状态方程： 
x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),x(0)=x0k=0,1,2,…(3.3)
或

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),x(0)=x0k=0,1,2,…(3.4)

其中，式(3.2)和式(3.4)对应于时不变系统，式(3.1)和式(3.3)对应于时变系统。

应当指出，尽管运动响应由初始状态x0和输入向量u(t)
所激励，系统的运动形态主要由系统的结构和参数所决定。对连续时间线性系统，由矩阵对
(A(t),B(t))或(A,B)决定； 对离散时
间线性系统，由矩阵对(G(k),H(k))或(G,H)决定。对于线性系统，必可得到解析形式的状态解x(t)或x(k)，即能以显式形式给出运动过程
对系统结构与参数的依赖关系。这一属性为分析线性系统的基本特性如稳定性、能
控性和能观测性等提供了简便的途径。




第3章线性系统的运动分析

3.1.2解的存在性和唯一性条件
容易理解，当且仅当状态方程的解为存在和唯一，对系统的运动分析才是有意义的。为此，
需要对状态方程的系数矩阵和输入引入附加的限制条件，以保证状态方程解的存在性和唯一
性。

考虑连续时间线性时变系统，其状态方程如式(3.1)所示。由微分方程理论可
知，如果系数矩阵(A(t),B(t))
的所有元在时间定义区间［t0,tα］上为时间t的连续实函数，输入u(t)
的所有元在时间
定义区间［t0,tα］上为时间t的连续实函数，那么状态方程(3.1)的解x(
t)为存在且唯一。
对于大多数实际
物理系统，上述条件一般总是能够满足的。但从数学观点，上述条件可能显得过强而可减弱
为如下3个条件： 
(i) 系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间［t0,tα］上为
绝对可积，即有
∫tαt0|aij(t)|dt<∞,i,j=1,2,…,n(3.5)
(ii) 输入矩阵B(t)的各个元aik(t)在时间区间［t0,tα
］上为平方可积，即有
∫tαt0［bik(t)］2dt<∞,i=1,2,…,n;k=1,2,…,p
(3.6)
(iii) 输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间［t0,tα］上为平
方可积，即有
∫tαt0［uk(t)］2dt<∞,k=1,2,…,p(3.7)
其中，n为状态x的维数，p为输入u的维数。进而，利用施瓦茨
(Schwarz)不等式，可以导出： 
∑pk=1∫tαt0|bik(t)uk(t)|dt≤∑pk=1∫tαt0［bik(t)］2dt·∫tα
t0［uk(t)］2dt1/2(3.8)

上式表明，条件(3.6)和(3.7)还可合并为要求B(t)u(t)的
各元在时间区间［t0,tα］上绝对可积。对于连续时间线性时不变系统，系数矩阵A和B为常阵且元为有限值，条件(3.5)和(3.6)自然满足，存在性唯一性
条件只归结为条件(3.7)。

本章的讨论中，总是假定系统满足上述存在性唯一性条件，并在这一前提下分析
系统状态运动的演化规律。

3.1.3零输入响应和零初态响应
线性系统的一个基本属性是满足叠加原理。基于叠加原理，如图3.1所示，把系统同
时在初始状态x0和输入u作用下的状态运动x(t)
分解为由初始状态x0和输入u分别单独作用所产生的运动x0u(t)和x0x(t)的叠加，即x(t)=
x0u(t)+x0x(t)。并且，称x0u(t)为
系统的零输入响应，x0x(t)为系统的零初态响应。线性系统运动的可
分解属性为分析系统运动过程的演化规律提供了简便性和直观性。


图3.1线性系统运动的分解



下面，给出零输入响应和零初态响应的定义。
定义3.1 ［零输入响应］线性系统的零输入响应x0u(t)定义为只有初始状态作用即x0≠0而无输入作
用即u(t)≡0时系统的状态响应。
注数学上，零输入响应x0u(t)就是无输入自治状态方程
x·=A(t)x,x(t0)=x0,t∈［t0,tα］(3.9)
的状态解。物理上，零输入响应x0u(t)代表系统状态的自由运动，特点
是响应形态只由系统矩阵所决定，不受系统外部输入变量的影响。
定义3.2 ［零初态响应］线性系统的零初态响应x0
x(t)定义为只有输入作用即u(t)0而无初始状态作用即x0=0时系统的状态响应。
注数学上，零初态响应x0x(t)即为零初始状态强迫状态方程
x·=A(t)x+B(t)u,x(t0)=0,t∈［t0,tα］(3.10)
的状态解。物理上，零初态响应x0x(t)代表系统状态由输入u所激励的强迫运动，特点是响应稳态时具有和输入相同的函数形态。
3.2连续时间线性时不变系统的运动分析

连续时间线性时不变系统的运动分析是本章讨论的重点。这不仅在于其在现实世界中存在的
普遍性，而且还在于其基本结果和分析方法在运动分析中的基础性。本节以线性时不变系统为对象，先讨论系统
零输入响应和作为分析基础的矩阵指数函数，再在此基础上拓展讨论零初态响应，最后基于
叠加原理给出系统状态响应的完整表达式。
3.2.1系统的零输入响应
考虑连续时间线性时不变系统。令系统输入u(t)≡0即无外部输入，导出系统
自治状态方程为

x·=Ax,x(0)=x0,t≥
0(3.11)

其中，x为n维状态，A为n×n常阵。进而，仿照指数函数： 
eatΔ1+at+12!a2t2+…=∑∞k=01k!
aktk(3.12)
对系统矩阵A定义矩阵指数函数： 

eAtΔI+At+12!A2t2+…=∑∞k=01k!Aktk(3.
13)
在此基础上，可对线性时不变系统的零输入响应导出如下的结论。

结论3.1 ［零输入响应］连续时间线性时不变系统的零输入响应x0u(t)，即系统自治状态方程(3.11)的解，具有如下的表达式： 

x0u(t)=eAtx0,t≥0(3.14)
证对自治方程(3.11)，表其解x0u(t)是系数为待定向量
的一个幂级数，有
x0u(t)=b0+b1t+b2
t2+…=∑∞k=0bktk,t≥0(3.15)
由使其满足方程(3.11)，可以导出： 
b1+2b2t+3b3t2+…=Ab0+Ab1t+Ab2t2+…(3.16)
由等式(3.16)两边tk(k=0,1,2,…)项的系数向量必为相等，并顺序地利用所导出的
结果，可以定出各个待定系数向量为
b1=Ab0

b2=12Ab1=12!A
2b0

b3=13Ab2=13!A
3b0

……

bk=1kAbk-1=1k!A
kb0

……(3.17)
将式(3.17)代入式(3.15)，进而得到
x0u(t)=I+At+12!A2t2+13!A3t3+…b0
,t≥0(3.18)
令上式中t=0，并使其满足初始条件x(0)=x0，又可定出
b0=x0(3.19)
于是，将式(3.19)代入式(3.18)，并利用矩阵指数函数关系式(3.13)，即证得零输入响应x0u(t)的表达式(3.14)。证明完成。

下面，对线性时不变系统零输入响应的属性导出如下的几点推论。

1. 零输入响应的几何表征
对线性时不变系统，表达式(3.14)表明，x0u(t)取t=ti导出的
x0u(ti)=eAtix0即时刻ti状态
点x0u(ti)，几何上对应于状态空间中由初始状态点x
0经线性变换eAtix0导出的一个变换点。
零输入响应x0u(t)随时间t演化过程，几何上即为状态空间中由初
始状态点x0出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹。

2. 零输入响应的运动属性
对线性时不变系统，由零输入响应为自治状态方程解属性决定，状态空间中x
0u(t)随时间t演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始状态x0引起
的自由运动。一个典型的例子是，人造卫星在末级火箭脱落后的运行轨迹就属于以脱落时刻
运行状态为初始状态的自由运动即零输入响应。
3. 零输入响应的形态
对线性时不变系统，由表达式(3.14)看出，零输入响应即自由运动轨迹的形态，由且仅由系
统的矩阵指数函数eAt唯一决定。不同的系统矩阵A
，导致不同形态的矩阵指数函数eAt，从而导致不同形态的零输入
响应即自由运动轨迹。这就表明，矩阵指数函数eAt即系统矩阵A包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息。
4. 零输入响应的计算
对线性时不变系统，由表达式(3.14)看出，计算零输入响应x0u(t)的核
心步骤是计算矩阵指数函数eAt。eAt的算
法和特性将在随后进行讨论。
5. 零输入响应表达式的更一般形式
对线性时不变系统，通常习惯地取初始时间t0=0。由于时不变系统的分析只与相对时间有
关，这
种处理并不失去讨论的一般性。但若因某种需要，将初始时间取为t0≠0，对此需将x0u(t)表为更一般形式： 
x0u(t)=eA(t-t0)x0,
t≥t0(3.20)
3.2.2矩阵指数函数的性质
矩阵指数函数eAt在线性时不变系统运动和特性的分析中具有基本
的重要性。为此，基于定义式(3.13)，下面进一步给出eAt的基本
性质。
1. eAt在t=0的值

由eAt定义式(3.13)，取t=0，即可导出： 
limt→0eAt=I(3.21)


2. eAt相对于时间变量分解的表达式
由eAt定义式(3.13)，取时间变量为t+τ，t和τ为两个独立自变
量，即可导出： 
eA(t+τ)=eAteAτ=eAτeAt(3.22)

3. eAt的逆
对任意系统矩阵A，矩阵指数函数eAt必为非奇异。进
而，在式(3.22)中，取τ=-t，即可导出eAt的逆为
(eAt)-1=e-At(3.23)

4. 矩阵和的指数函数
由定义式(3.13)，对可交换两个同维方阵A和F，即成立AF
=FA，可以导出矩阵和的指数函数为
e(A+F)t=eAte
Ft=eFteAt(3.24)

5. eAt对t的导数

由eAt定义式(3.13)，通过对时间变量t求导运算，即可导出： 
ddteAt=AeAt=eAtA(3.25)

6.  eAt逆对t的导数
由关系式eAt(eAt)-1=eAte-At=I，通过对时间变量t求导运算
，即可导出： 
ddte-At=-Ae-At=-e-AtA(3.26)

7. eAt积的关系式

由eAt相对于时间变量分解的表达式(3.22)，即可推导出： 
(eAt)m=eA(mt),m=0,1,2,…
(3.27)
3.2.3矩阵指数函数的算法
进而，给出矩阵指数函数eAt的一些常用计算方法，并举例说明其
计算过程。
1. 定义法
结论3.2 ［eAt算法］给定n×n矩阵A
，则计算eAt的算式为
eAt=I+At+12!
A2t2+13!A3t3+…(3.28)

注通常，基于定义法只能得到eAt数值结果，难以
获得eAt解析表达式。
2. 特征值法
结论3.3 ［eAt算法］给定n×n矩阵A
，且其n个特征值λ1,λ2,…,λn两两相异，表由矩阵A的属于各
个特征值的右特征向量组成的变换阵为
P=［v1v2…vn］(3.29)

则计算eAt的算式为
eAt=Peλ1t


eλntP-1(3.30)
结论3.4 ［eAt算法］给定n×n矩阵A
，其特征值属于包含重值情形。为使符号不致过于复杂，设n=5，特征值λ1(代数
重数σ1=3，几何重数α1=1)，λ2(σ2=2，α2=1)。再表由矩阵A
的属于λ1和λ2的广义特征向量组所构成的变换矩阵为Q，且基于约当规
范形可把A化为如下形式： 
A=Qλ110|00

0λ1100

00λ1 - 00

000λ21

0000λ2Q-1(3.31)


则计算eAt的算式为
eAt=Q
eλ1tteλ1t12!t2eλ1t00

0eλ1tteλ1t|00

00eλ1t00 - 

000eλ2tteλ2t

0000eλ2tQ-1(3.32)
证证明思路类同于结论3.3，具体证明过程略去。
3. 有限项展开法
结论3.5 ［eAt算法］给定n×n矩阵A
，则计算eAt的算式为
eAt=α0(t)I+α1(t)A+…+α
n-1(t)An-1(3.33)
对A的特征值λ1,λ2,…,λn两两相异情形，系数{α0,α1,
…,αn-1}的计算关系式为
α0(t)

α1(t)

︙

αn-1(t)=

1λ1λ21…λn-11

1λ2λ22…λn-12

︙︙︙︙

1λnλ2n…λn-1n-1

eλ1t

eλ2t

︙

eλnt
(3.34)

对A的特征值包含重值如λ1(代数重数σ1=3，几何重数α1=1)，λ2
(σ2=2,α2=1)，λ3,…,λn-3情形，系数{α0,α1,…,αn-1}的
计算关系式为


α0(t)

α1(t)

α2(t) - 

α3(t)

α4(t) - 

α5(t)

︙

αn-1(t)=

0013λ1…(n-1)(n-2)2!λn-31

012λ13λ21…(n-1)1!λn-21

1λ1λ21λ31… - λn-11

012λ23λ22…(n-1)1!λn-22

1λ2λ22λ32… - λn-12

1λ3λ23λ33…λn-13

︙︙︙︙︙

1λn-3λ2n-3λ3n-3…λn-1n-3-1

12!t2eλ1t

11!teλ1t

eλ1t - 

11!teλ2t

eλ2t - 

eλ3t

︙

eλn-3t
(3.35)

4. 预解矩阵法
结论3.6 ［eAt算法］给定n×n矩阵A
，定出预解矩阵(sI-A)-1，则计算eAt的算式为
eAt=L-1(sI-A
)-1(3.36)
例3.1给定一个连续时间线性时不变系统，其自治状态方程为
x·=01
-2-3x
下面，分别采用上述四种算法计算矩阵指数函数eAt。

(1) 定义法。由算式(3.28)，即得
eAt=I+At+12！
A2t2+…

=10
01+
0t
-2t-3t+-t2-32t2

3t272t2+…

=1-t2+…t-32t2+…

-2t+3t2+…1-3t+72t2+…


(2) 特征值法。首先，定出矩阵A的特征值λ1=-1和λ2=-2。进而
，定出使矩阵A化为对角线型约当规范形的变换矩阵P及其逆P-1： 
P=11
-1-2,P-1=
21
-1-1
基此并由算式(3.30)，即可定出： 
eAt=Peλ1t


eλ2tP-1

=11
-1-2e-t
e-2t
21
-1-1

=
2e-t-e-2te-t-e-2t

-2e-t+2e-2t-e-t+2e-2t

(3) 有限项展开法。首先，定出矩阵A的特征值λ1=-1和λ2=-2。进
而，据此并利用(3.34)，定出系数矩阵： 
α0(t)
α1(t)=1λ1
1λ2
-1eλ1t
eλ2t=1-1
1-2-1e-t
e-2t


=2-1
1-1e-t
e-2t
=
2e-t-e-2t

e-t-e-2t
基此并由算式(3.33)，即可定出： 
eAt=α0(t)I+α1(t)A


=(2e-t-e-2t)10
01
+(e-t-e-2t)01
-2-3


=2e-t-e-2te-t-e-2t

-2e-t+2e-2t-e-t+2e-2t

(4) 预解矩阵法。首先，求出系统矩阵A的预解矩阵为
(sI-A)-1=s-1
2s+3-1=(s+3)(s+1)(s+2)1(s+1)(s+2)

-2(s+1)(s+2)s(s+1)(s+2)

=2s+1+-1s+21s+1+-1s+2

-2s+1+2s+2-1s+1+2s+2
对上式求拉普拉斯反变换，即可得到
eAt=
2e-t-e-2te-t-e-2t

-2e-t+2e-2t-e-t+2e-2t
3.2.4系统的零初态响应

考虑连续时间线性时不变系统，令系统初始状态x(0)=0，相应状
态方程为
x·=Ax+Bu,x(0)=0
,t≥0(3.37)

其中，x为n维状态向量，u为p维输入向量，A和B分别为n×n和n×p常阵。那么，对系统零初态响应可导出如下的结论。
结论3.7 ［零初态响应］连续时间线性时不变系统的零初态响应x0x(t)，即状态方程(3.37)的解，具有如下表达式： 
x0x(t)=∫t0eA(t-τ)Bu(τ
)dτ,t≥0(3.38)
证考虑如下显等式： 
ddte-Atx=
ddte-Atx+e-Atx·

=e-At［x·-Ax］=e-AtBu(3.39)
对上式从0到t积分，并注意到x(0)=0，得到
e-Atx(t)=∫t0e-Aτ
Bu(τ)dτ(3.40)
再将等式(3.40)左乘eAt，并利用eA(t-
τ)=eAte-Aτ，即可证得
x0x(t)=∫t0eAte-AτBu(τ)dτ=∫t0eA(t-τ)B
u(τ)dτ(3.41)

例3.2给定一个连续时间线性时不变系统： 
x·1
x·2=01
-2-3x1
x2+0
1u,t≥0
其中，初始状态x1(0)=x2(0)=0，输入u(t)=1(t)即为单位阶跃函数。
例3.1中已经导出，矩阵A的矩阵指数函数为
eAt=
2e-t-e-2te-t-e-2t

-2e-t+2e-2t-e-t+2e-2t
基此，并利用基本关系式(3.38)，即可定出系统零初态响应为

x0x1(t)

x0x2(t)=
∫t0eA(t-τ)Bu(τ)dτ

=∫t0
2e-(t-τ)-e-2(t-τ)e-(t-τ)-e-2(t-τ)


-2e-(t-τ)+2e-2(t-τ)-e-(t-τ)+2e-2(t-τ
)0
1·1dτ

=∫t0e-(t-τ)-e-2(t-τ)

-e-(t-τ)+2e-2(t-τ)dτ=
12-e-t+12e-2t

e-t-e-2t,t≥0
下面，对零初态响应的特征和属性作如下的几点讨论。
1. 零初态响应关系式的数学特征
由零初态响应x0x(t)的关系式
x0x(t)=∫t0eA(t-τ)Bu(τ)dτ,t≥0(3.42)

可以看出，积分式中矩阵指数函数影响和输入作用函数影响在时序上是对偶的。对时刻
t，输入作用函数的影响是从τ=0考虑到τ=t，矩阵指数函数的影响则从τ=t考虑到τ=0。
数学上，称这种类型的积分为“卷积”。卷积具有对称性，即可将上述x
0x(t)关系式化为如下等价形式： 
x0x(t)=∫t0eAτBu(t-
τ)dτ,t≥0(3.43)
2. 零初态响应的几何特征

对零初态响应x0x(t)关系式(3.38)，可进而表示为
xu(t)=∫t0e-AτBu(
τ)dτ

x0x(t)=eAtxu(t),t≥0

xu(t)代表时刻t输入作用等价状态，x0x(t)
是输入作用等价状态xu(t)以eAt为变换阵导出的变
换点，eAt为矩阵指数函数。零初态响应x0x(t)
几何上代表状态空间中由各个时刻t输入作用等价状态的变换点构成的一条轨迹。
3. 零初态响应的运动属性

零初态响应x0x(t)随时间t演化的轨迹
属于输入驱动下的强迫
运动。由x0x(t)的运动属性决定，x0x(
t)的形态在稳态过程中同于输入函数结构，在过渡过程
中则同时依赖于系统特性和输入作用。
4. 零初态响应相对于任意初始时刻的表达式
若更为一般地取初始时刻t0≠0，则零初态响应x0x(t)的关系式对应
地具有形式： 
x0u(t)=∫tt0eA(t-τ)
Bu(τ)dτ,t≥t0(3.44)
3.2.5系统状态运动规律的基本表达式

考虑同时作用有初始状态和输入的连续时间线性时不变系统，状态方程为
x·=Ax+Bu,x(t0)=x
0,t≥t0(3.45)

其中，x为n维状态，u为p维输入，A和B为n×n和n×p常阵。基于系统的零输入响应x0u(t)和零初态响应
x0x(t)，并利用叠加原理，可对系统状态运动规律直接导出如下的一个结论。

结论3.8 ［状态运动规律］连续时间线性时不变系统的状态运动规律
，即同时作用有初始状态和输入的状态方程(3.45)的解，对初始时刻t0=0情形具有表达式
： 
x(t)=eAtx0+∫t0e
A(t-τ)Bu(τ)dτ,t≥0(3.46)
对初始时刻t0≠0情形具有表达式： 
x(t)=eA(t-t0)x0+∫t
t0eA(t-τ)Bu(τ)dτ,t≥t0(3.47)

注直观上，式(3.46)或式(3.47)意味着系统状态运动由“初始状态转移项”和
“输入作用下受控项”叠加而成。正是受控项的存在，使得有可能通过选取输入u来改善状态x(t)的运动行为和性能，以避免有害运动过程如不稳定或使状
态轨迹满足期望性能指标。
3.2.6基于特征结构的状态响应表达式
对特征值两两相异一类连续时间线性时不变系统，可进一步导出基于特征值和特征向量
的状态响应表达式。系统状态空间描述为
x·=Ax+Bu,x(t0)=x0,t≥t0(3.48)
其中，x为n维状态，u为p维输入，A和B为n×n和n×p常阵，矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn为两两相异。
进而，表
n×1向量v1,v2,…,vn=A的属
于λ1,λ2，…,λn线性无关右特征向量组

1×n向量wT1,wT2,…,wT
n=A的属于λ1,λ2,…,λn线性无关左特征向量组
再引入右特征向量矩阵
P=［v1,v2,…,vn］,P-1=v-T1
v-T2

︙
v-Tn
和左特征向量矩阵
T=
wT1

wT2

︙

wTn,T-1=［
w-
1,w-2,…,w-n］

并且，成立
∑ni=1viv-Ti=In,
∑ni=1w-iwTi=In(3.49)
在此基础上，作为导出状态响应表达式的准备知识，先来给出关于矩阵指数函数e
At的如下两个结论。
结论3.9 ［矩阵指数函数］对特征值两两相异一类n维连续时间线性
时不变系统(3.48)，基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式为
eAt=∑ni=1viv-
Tieλit(3.50)
其中，λi为特征值，vi为A的属于λi的右特征向量，i=1,2,
…,n 。
证据矩阵指数函数eAt的特征值算法，即可证得
eAt=P
eλ1t




eλntP-1=［v1…vn］
eλ1t



eλnt

v-T1

︙

v-Tn

=［v1eλ1t…vneλnt］v-T1

︙

v-Tn=∑ni=1viv-Tieλit(3.51)
结论3.10 ［矩阵指数函数］对特征值两两相异一类n维连续时间
线性时不变系统(3.48)，基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达
式为
eAt=∑ni=1w-iwTieλit(3.52)

其中，λi为特征值，wTi为A的属于λi的左特征向
量，i=1,2,…,n。
证证明过程类似结论3.9。
基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式(3.50)和(3.52)，
并运用状态响应的有关关系式，可直接给出基于特征结构的零输入响应x0
u(t)、零初态响应x0x(t)和状态运动规律x(t)的表达
式。

结论3.11 ［零输入响应］对特征值两两相异一类n维连续时间线性时
不变系统(3.48)，基于特征结构的零输入响应x0u(t)的表达式可按两类
情形给出。
对t0=0情形，有
x0u(t)=∑ni=1(viv-Ti)x0eλit,t≥0(3.53)
或
x0u(t)=∑ni=1(w-iwTi)x0eλit,t≥0(3.54)
对t0≠0情形，有
x0u(t)=∑ni=1(viv-
Ti)x0eλi(t-t0),t≥t0(3.55)
或
x0u(t)=∑ni=1(w-iwTi)x0eλi(t-t0),t≥t0(3.56)
其中，λi为特征值，vi和wTi为A的属于
λi的右和左特征向量，i=1,2,…,n,x0为初始状态。

结论3.12 ［零初态响应］对特征值两两相异一类n维连续时间线性时
不变系统(3.48)，基于特征结构的零初态响应x0x(t)的表达式可按两类
情形给出。
对t0=0情形，有
x0x(t)=∑ni=1(vi
v-
Ti)∑pj=1bj∫t0eλi(t-τ)u
j(τ)dτ,t≥0(3.57)
或
x0x(t)=∑ni=1(w-iwTi)∑pj=1bj∫t0eλi(t-τ
)uj(τ)dτ,t≥0(3.58)
对t0≠0情形，有
x0x(t)=∑ni=1(viv-
Ti)∑pj=1bj∫tt0eλi(t-τ)u
j(τ)dτ,t≥t0(3.59)
或
x0x(t)=∑ni=1(w-iwTi)∑pj=1bj∫tt0eλi(t-τ
)uj(τ)dτ,t≥t0(3.60)
其中，λi为特征值，vi和wTi为A的属于
λi的右和左特征向量，i=1,2,…,n，bj为B的第j个列，u
j为u的第j个分量，j=1,2,…,p。
结论3.13 ［系统的运动规律］对特征值两两相异一类n维连续时间线
性时不变系统(3.48)，基于特征结构的状态运动规律x(t)的表达式可按两类情
形给出。
对t0=0情形，有
x(t)=∑ni=1(viv-Ti)
x0eλit+∑pj=1bj∫
t0eλi(t-τ)uj(τ)dτ,t≥0(3.61)
或
x(t)=∑ni=1(w-iwT
i)x0eλit+∑pj=1b
j∫t0eλi(t-τ)uj(τ)dτ,t≥0(3.62)
对t0≠0情形，有


x(t)=∑ni=1(viv-Ti)
x0eλi(t-t0)+∑pj=1b
j∫tt0eλi(t-τ)uj(τ)dτ,t≥t0(3.63)


或
x(t)=∑ni=1(w-iwT
i)x0eλi(t-t0)+∑pj=1bj∫tt0eλi(t-τ)uj(τ)dτ,t≥t0(3.64)

其中，λi为特征值，vi和wTi为A的属于
λi的右和左特征向量，i=1,2,…,n,x0为初始状态，
bj为B的第j个列，uj为u的第j个分量，j=1,2,
…,p。
由基于特征结构的状态响应关系式，还可导出如下几点推论。
1. 特征值对状态响应的影响

由基于特征结构状态响应关系式可以看出，状态响应的运动模式即函数结构，主要由特征值
所决定。对实数特征值，运动模式为指数函数形式； 对共轭复数特征值，运动模式为指数正
余弦函数形式。若特征值具有负实部，则运动模式随时间单调地或振荡地衰减至稳态过程； 若
特征值具有正实部，则运动模式随时间单调地或振荡地扩散至无穷大而不能到达稳态。因此
，特征值对系统运动行为具有主导性作用。
2. 特征向量对状态响应的影响
基于特征结构状态响应关系式意味着，状态响应可以看成是各个特征值相应运动模式的
一个线性组合，特征向量的影响体现于对不同运动模式的“权重”上。特征向量对状态响应
的影响本质上属于“量”而非“质”的范畴，即只能影响各个运动模式在组合中的比重，一
般不能影响各个运动模式本身。因此，尽管特征向量也对系统运动进程和行为具有影响，但
其属性是属于非主导性的。
3. 特征结构在系统分析和综合中的基础性
基于特征结构的状态响应关系式及其推论表明，系统运动行为性能和特征值特征向量具
有直接的相关性。这从一个方面说明特征值特征向量将对系统的分析和综合具有重要作用。
随后章节中的讨论表明，系统基本特性如稳定性、能控性、能观测性等都和特征值有着直接
关系，特征结构特别是特征值也是系统综合的一类重要指标形式。
3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵
不管是初始状态引起的运动，还是输入作用引起的运动，本质上都属于相应状态的一种
转移。引入状态转移矩阵有利于使状态响应表达式更为直观地反映这个基本事实。基于状态转移矩阵，还可使线性时不变系统和线性时变
系统的状态响应建立形式上统一的表达式。
3.3.1状态转移矩阵和基本解阵
考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为
x·=Ax+Bu,x(t0)=x0,t≥t0(3.65)
其中，x为n维状态，u为p维输入，A和B为n×n和n×p常阵。
定义3.3 ［状态转移矩阵］连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵
，定义为基于(3.65)构造的矩阵方程
Φ·(t-t0)=AΦ(t-t0),Φ(0)=
I,t≥t0(3.66)
的n×n解阵Φ(t-t0)。
定义3.4 ［基本解阵］连续时间线性时不变系统的基本解阵，定义为
基于(3.65)构造的矩阵方程
Ψ·
(t)=AΨ(t),Ψ(t0)=H
,t≥t0(3.67)
的n×n解阵Ψ(t)。其中，H为任意非奇异实常阵。
下面，就基本解阵和状态转移矩阵的属性和形式作进一步的讨论。
1. 基本解阵的构成和形式
结论3.14 ［基本解阵不唯一性］对连续时间线性时不变系统的基本
解阵方程(3.67)，由初始常阵H的任意性所决定，基本解阵即解矩阵Ψ(t)为不唯一。
结论3.15 ［基本解阵构成］对连续时间线性时不变系统的基本解阵
方程(3.67)，其一个基本解阵Ψ(t)可由系统自治状态方程
x·=Ax,x(t0)=x0,
t≥t0(3.68)
的任意n个线性无关解为列来构成。
证对n维系统自治状态方程(3.68)，有且仅有n个线性无关解，表
为
X(t)=［x(1)(t)x(2)(t)…
x(n)(t)］,t≥t0(3.69)
进而，由x(i)为(3.68)的解，可以导出： 
X·(t)=［x·(1)(t)x·(2)(t)…x·(n)(t)］

=［Ax(1)(t)Ax(2)(t)…Ax
(n)(t)］

=AX(t),t≥t0(3.70)
和
X(t0)=［x(1)(t0)x(2)(t
0)…x(n)(t0)］=H(非奇异)(3.71)

表明，式(3.69)的X(t)为满足基本解阵方程和初始条件的n×n解阵。
证明完成。
结论3.16 ［基本解阵形式］对连续时间线性时不变系统的基本解阵
方程(3.67)，一个基本解阵Ψ(t)具有形式： 
Ψ(t)=eAt,t≥t0(3.72)
2. 状态转移矩阵和基本解阵的关系

结论3.17 ［状态转移矩阵］对连续时间线性时不变系统的状态转移
矩阵方程(3.66)，其解阵即状态转移矩阵Φ(t-t0)可由基本解阵Ψ(t
)定出： 
Φ(t-t0)=Ψ(t)Ψ-1(t0),t≥t0(3
.73)
3. 状态转移矩阵的唯一性

结论3.18 ［状态转移矩阵的唯一性］对连续时间线性时不变系统的
状态转移矩阵方程(3.66)，其解阵即状态转移矩阵Φ(t-t0)为唯一。并且，在
运用式(3.73)确定Φ(t-t0)时，与所选择基本解阵Ψ(t)无关。

4. 状态转移矩阵的形式
结论3.19 ［状态转移矩阵形式］对连续时间线性时不变系统的状态
转移矩阵方程(3.66)，其解阵即状态转移矩阵Φ(t-t0)的形式可按两种情形给
出： 
对t0≠0情形，有
Φ(t-t0)=eA(t-t0),t≥t0(3.74)
对t0=0情形，有
Φ(t)=eAt,t≥0(3.75)

3.3.2基于状态转移矩阵的系统响应表达式
本部分讨论系统状态响应基于状态转移矩阵的表达式。

下面，基于状态转移矩阵的形式(3.74)和(3.75)，直接给出相应的一些结论。

结论3.20 ［零输入响应］对连续时间线性时不变系统(3.65)，基于
状态转移矩阵的零输入响应关系式可按两种情形给出： 
对t0≠0情形，有
x0u(t)=Φ(t-t0)x0,t≥t0(3
.76)
对t0=0情形，有
x0u(t)=Φ(t)x0,t≥0(3.77)

结论3.21 ［零初态响应］对连续时间线性时不变系统(3.65)，
基于状态转移矩阵的零初态响应关系式可按两种情形给出： 
对t0≠0情形，有
x0x(t)=∫tt0Φ(t-τ)Bu(
τ)dτ,t≥t0(3.78)

对t0=0情形，有
x0x(t)=∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)d
τ,t≥0(3.79)
结论3.22 ［状态运动规律］对连续时间线性时不变系统(3.65)
，基于状态转移矩阵的状态运动规律关系式可按两种情形给出： 
对t0≠0情形，有
x(t)=Φ(t-t0)x0+∫tt0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ,t≥t0(3.80)
对t0=0情形，有
x(t)=Φ(t)x0+∫t0Φ(t
-τ)Bu(τ)dτ,t≥0(3.81)
基于对状态转移矩阵含义的直观理解，零输入响应是状态空间中从初始状态点x0出发并由x0经状态转移矩阵在各个时刻转移点构成的一条轨迹，零
初态响应是状态空间中从原点0出发并由各个时刻输入作用等价状态经状态转
移矩阵在相应时刻转移点构成的一条轨迹，整个状态运动为状态空间中由零输入响应和零初
态响应叠加构成的一条轨迹。并且，轨迹的基本特征由状态转移矩阵所决定。
3.3.3状态转移矩阵的特性

最后，在行将结束讨论状态转移矩阵之际，基于状态转移矩阵的基本关系式和方程，进
一步给出状态转移矩阵Φ(t-t0)的一些常用基本性质。
(1) 状态转移矩阵的初始阵。由式(3.73)并取t=t0，即得
Φ(0)=Φ(t0-t0)=Ψ(t0)Ψ-1(t
0)=I
(2) 状态转移矩阵的逆。由式(3.73)，并考虑到基本矩阵的可逆性，即得
Φ-1(t-t0)=［Ψ(t)Ψ-1(t0)］
-1=Ψ(t0)Ψ-1(t)=Φ(t0-t)

Φ-1(t)=Φ-1(t-0)=Φ(0-t)=Φ(-t)

(3) 状态转移矩阵的传递性。由式(3.73)，即得
Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Ψ(t2)Ψ
-1(t1)·Ψ(t1)Ψ-1(t0)

=Ψ(t2)
Ψ-1(t0)=Φ(t2-t0)
(4) 时间变量为独立变量和的状态转移矩阵。由状态转移矩阵的传递性，即得
Φ(t2+t1)=Φ(t2-(-t1))=Φ(t2-0)Φ(0-(-t1))=Φ(t2)Φ(t1)
(5) 时间变量数乘的状态转移矩阵。由时间变量为独立变量和的状态转移矩阵属性，即
得
Φ(mt)=Φ∑mi=1t=∏mi=1Φ(t)=［Φ(t)］m
(6) 状态转移矩阵对时间的求导。由状态转移矩阵方程，并考虑到矩阵A
和状态转移矩阵Φ(t-t0)=eA(t-t0)的可交换性，即
得
ddtΦ(t-t0)=AΦ(t-t0)=Φ(t-t0)A
(7) 状态转移矩阵逆对时间的求导。由式(3.66)，并利用Φ-1(t-t0)=
Φ(t0-t)，以及A和Φ(t0-t)=eA(t0-t)的可交换性，即得
ddtΦ-1(t-t0)=ddtΦ(t0-t)=-AΦ(t0-t)=-Φ(t0-t)A

3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵

脉冲响应矩阵和传递函数矩阵一样也是线性时不变系统一个基本特性。脉冲响应矩阵是从时间域角度表征系统的输出输入关系。本节首先引入脉冲响应矩阵的概
念和特性，在此基础上讨论脉冲响应矩阵和系统的状态空间描述及传递函数矩阵间的关系。


3.4.1脉冲响应矩阵
先来讨论单输入单输出连续时间线性时不变系统的脉冲响应。下面，给出单位脉冲和脉冲响
应的定义。
定义3.5 ［单位脉冲］表t为时间自变量，δ(t-τ)是作用时刻为τ
的单位脉冲，则δ(t-τ)定义为满足如下关系的广义函数： 


δ(t-τ)=0,t≠τ

∞,t=τ,∫+∞-∞δ(t-τ)dt=limε→0
∫τ+ετ-εδ(t-τ)dt=1(3.82)



注单位脉冲δ(t-τ)是多种形状现实脉冲的一个极限函数。一个作用于时刻τ的
“宽度为ε”和“高度为1/ε”的矩形脉冲当ε→0时的极限函数就为单位脉冲δ(t-τ)。

定义3.6 ［脉冲响应］对单输入单输出连续时间线性时不变系统
脉冲响应Δ零初始状态下以单位脉冲为输入的系统输出响应
表对应于单位脉冲δ(t-τ)的系统脉冲响应为h(t-τ) 。其中，由系统满足因果性和
假设初始状态为零决定，h(t-τ)具有属性： 
h(t-τ)=0,τ和t<τ(3.83)

基于脉冲响应可来计算系统在任意输入u作用下的输出响应。对此，可以导出如下的一
个结论。
结论3.23 ［输出响应］对单输入单输出连续时间线性时不变系统，
假设系统的初始状态为零，则系统在任意输入u作用下基于脉冲响应的输出响应y(t)的关系
式为
y(t)=∫tt0h(t-τ)u(τ)dτ,t≥t0(3.84)
或
y(t)=∫tt0h(τ)u(t-τ)dτ,t≥t0(3.85)
其中，可取初始时间为t0≠0或t0=0。

下面，推广讨论多输入多输出连续时间线性时不变系统，输入维数为p和输出维数为q，且设
系统初始状态为零。再表hij(t-τ)为，第j个输入端在时刻τ加以单位脉冲δ(t-τ)
而所有其他输入端的输入取为零时，第i个输出端在时刻t的脉冲响应。那么，基此可以给出
脉冲响应矩阵的定义。

定义3.7 ［脉冲响应矩阵］对p维输入q维输出连续时间线性时不变系
统，脉冲响应矩阵定义为零初始状态条件下以脉冲响应hij(t-τ)(i=1,2,…,q,j=1,2
,…,p)为元构成的一个q×p输出响应矩阵： 
H(t-τ)=
h11(t-τ)h12(t-τ)…h1p(t-τ)

h21(t-τ)h22(t-τ)…h2p(t-τ)

︙︙︙

hq1(t-τ)hq2(t-τ)…hqp(t-τ)(3.86)
其中，由系统满足因果性和假设初始状态为零所决定，脉冲响应矩阵H(t-τ
)具有属性： 
H(t-τ)=0,τ和t<τ(3.87)
进而，基于脉冲响应矩阵可来计算系统在任意输入u作用下的输出响应。
相应地，可以直接导出如下的一个结论。

结论3.24 ［输出响应］对p维输入q维输出连续时间线性时不变系统
，假设初始状态为零，则系统在任意输入u作用下基于脉冲响应矩阵的输出响
应y(t)的关系式为
y(t)=∫tt0H(t-τ)u(τ)dτ,t≥t0(3.88)
或
y(t)=∫tt0H(τ)u(t-τ)dτ,t≥t0(3.89)
其中，可取初始时间为t0≠0或t0=0 。
3.4.2脉冲响应矩阵和状态空间描述

这一部分讨论脉冲响应矩阵和状态空间描述间的关系。在此基础上，进而导出相关
的一些基本属性。考虑连续时间线性时不变系统，状态空间描述为
x·=Ax+Bu,x(t0)
=x0,t≥t0

y=Cx+Du(3.90)
其中，A，B，C和D分别为n×n,n×p,
q×n和q×p的实常阵。
结论3.25 ［脉冲响应矩阵］对连续时间线性时不变系统(3.90)，设
初始状态为零即x0=0，则系统脉冲响应矩阵基于状态空间描述
的表达式为
H(t-τ)=CeA(t-τ)B
+Dδ(t-τ)(3.91)
或
H(t)=CeAtB+D
δ(t)(3.92)
证对状态空间描述(3.90)，基于状态解表达式和输出方程，得到
y(t)=CeA(t-t0)x
0+∫tt0CeA(t-τ)Bu(τ)
dτ+Du(t)(3.93)
进而，将上式中表Du(t)=∫tt0Dδ(t-τ)u(τ)dτ，并利用假定x0=0，可以导出
y(t)=∫tt0［CeA(t-τ)
B+Dδ(t-τ)］u(τ)dτ(3.94)
从而，比较式(3.94)和基于脉冲响应矩阵输出响应关系式(3.88)，即可证得
H(t-τ)=CeA(t-τ)B
+Dδ(t-τ)(3.95)
将上式作变量置换t=t-τ，又可证得
H(t)=CeAtB+D
δ(t)(3.96)
结论3.26 ［脉冲响应矩阵］对连续时间线性时不变系统(3.90
)，设初始状态为零即x0=0，表Φ(t-τ)为系统状态
转移矩阵，则系统脉冲响应矩阵基于状态空间描述的表达式为
H(t-τ)=CΦ(t-τ)B+Dδ(t-τ)(3.97)
或
H(t)=CΦ(t)B+Dδ(t)
(3.98)

证对线性时不变系统，有Φ(t-τ)=eA(t-τ)和Φ(t)=eAt。基此，可由式(3.91)和式(3.92)
立即导出式(3.97)和式(3.98)。证明完成。
结论3.27 ［代数等价系统的脉冲响应矩阵］两个代数等价的连续时
间线性时不变系统具有相同脉冲响应矩阵。

结论3.28 ［代数等价系统的输出响应］两个代数等价的连续时
间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。
3.4.3脉冲响应矩阵和传递函数矩阵
这一部分进一步讨论脉冲响应矩阵和传递函数矩阵的关系。对此，给出如下的两个
结论。

结论3.29 ［脉冲响应矩阵和传递函数矩阵］对连续时间线性时不变
系统(3.90)，表H(t)和G(s)为系统的脉冲响应矩阵和传递函数
矩阵，则两者具有如下的关系： 
G(s)=L［H(t)］,t≥0(3.99)
和
H(t)=L-1［G(s)］,t≥0(3.
100)
证由脉冲响应矩阵基本关系式： 
H(t)=CeAtB+Dδ(t)(3.101)
再考虑到
L［eAt］=(sI-A)
-1,L［δ(t)］=1(3.102)
其中，已注意到将拉普拉斯变换积分下限取为0-，以使变换积分包含δ(t)。于是，对(3.
101)取拉普拉斯变换，即可证得
L［H(t)］=C(sI-A
)-1B+D=G(s)(3.103)
进而，对(3.103)取拉普拉斯反变换，又可证得
H(t)=L-1［G(s)］=L
-1［C(sI-A)-1B+D］=CeAtB+Dδ(t)
(3.104)
结论3.30 ［脉冲响应矩阵等同条件］给定两个连续时间线性时
不变系统(A，B,C,D)和(,,,)，两者具有相同
输入维数和输出维数，但状态维数可不相同。则两个系统具有相同脉冲响应矩阵即相同传递
函数矩阵，当且仅当两者参数矩阵间成立如下关系式： 
D=(3.105)
和
CAiB=i
,i=0,1,2,…(3.106)
3.5连续时间线性时变系统的运动分析

线性时变系统的运动不管是规律形态还是分析方法都要复杂得多。但运动规律表达式形式上
十分类似于线性时不变系统。本节
主要内容包括状态转移矩阵、状态运动响应、脉冲响应矩阵，以及一类周期性线性时变
系统的运动分析等。

3.5.1状态转移矩阵
考虑连续时间线性时变系统，状态方程为
x·=A(t)x+B(t)u,x(t0)=x0,t∈［t0,tα］(3.107)
其中，x为n维状态，u为p维输入，A(t)和B(t)分别为n×n和n×p时变实值矩阵。
下面，首先给出状态转移矩阵和基本解阵的定义。
定义3.8 ［状态转移矩阵］对连续时间线性时变系统，表t0为初始
时刻，t为观测时刻，则状态转移矩阵定义为基于式(3.107)构造的矩阵方程
Φ·(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I，t∈［t0,tα］(3.108)
的n×n解矩阵Φ(t,t0)。
定义3.9 ［基本解阵］对连续时间线性时变系统，表t0为初始时刻
，t为观测时刻，则基本解阵定义为基于式(3.107)构造的矩阵方程
Ψ·(t)=A(t)Ψ(t),Ψ(t0)=H, t∈［t0,tα］(3.109)
的n×n解矩阵Ψ(t)。其中，H为任意非奇异实常值矩阵。

进而，讨论基本解阵和状态转移矩阵的属性和形式，并不加证明地表为相应的一些结论。
1. 基本解阵的构成

结论3.31 ［基本解阵不唯一性］对连续时间线性时变系统(3.107)，
由矩阵H为任意非奇异实常阵决定，其基本解阵即矩阵方程(3.109)解阵
Ψ(t)为不唯一。
结论3.32 ［基本解阵构成］对连续时间线性时变系统(3.107)，其一
个基本解阵即矩阵方程(3.109)的一个解阵Ψ(t)，可由系统自治状态方程
x·=A(t)x,x(t0)=x0, t∈［t0,tα］(3.110)
的任意n个线性无关解为列构成。

结论3.33 ［基本解阵形式］对连续时间线性时变系统(3.107)，其一
个基本解阵即矩阵方程(3.109)的一个解阵Ψ(t)具有如下形式： 
Ψ(t)=Φ(t,t0)Ψ(t0), t∈［t0,tα］(3.111)
2. 状态转移矩阵和基本解阵的关系
结论3.34 ［状态转移矩阵］对连续时间线性时变系统(3.107)，其状
态转移矩阵即矩阵方程(3.108)解阵Φ(t,t0)基于基本解阵Ψ(t)的关
系式为
Φ(t,t0)=Ψ(t)Ψ-1(t0), t∈［t0,tα］(3.
112)

3. 状态转移矩阵的唯一性
结论3.35 ［状态转移矩阵的唯一性］对连续时间线性时变系统(3.107)，其状态转移矩阵即矩阵方程(3.108)的解阵Φ(t,t0)为唯一。并且，在运用方程
(3.112)确定Φ(t,t0)时，与选取的基本解阵Ψ(t)无关。
4. 状态转移矩阵的形式
结论3.36 ［状态转移矩阵形式］对连续时间线性时变系统(3.107)，
其状态转移矩阵即矩阵方程(3.108)的解阵Φ(t,t0)具有形式： 
Φ(t,t0)=I+∫tt0A(τ)dτ+
∫tt0A(τ1)∫τ1t0A(
τ2)dτ2dτ1+…

t∈［t0,tα］(3.113)
5. 线性时变系统和线性时不变系统在状态转移矩阵上的区别

对线性时变系统和线性时不变系统，由比较状态转移矩阵Φ(t,t0)和Φ(t-t0)的符号和形式可以看出，基本区别表现在两个方面。一是，线性时变系
统状态转移矩阵Φ(t,t0)依赖于“绝对时间”，随初始时刻t0选择不同具有不
同结果； 线性时不变系统状态转移矩阵Φ(t-t0)依赖于“相对时间”，随
初始时刻t0选择不同具有相同结果。二是，对线性时不变系统，可以定出状态转移矩阵
Φ(t-t0)的闭合形式表达式； 对线性时变系统，除极为特殊类型和简单情形外，状态
转移矩阵Φ(t,t0)一般难以求得闭合形式表达式。

在基本关系式(3.112)和(3.113)的基础上，现来给出线性时变系统状态转移矩
阵的一些基本性质。

(1) 状态转移矩阵的初始阵。在式(3.112)中令t0=t,t∈［t0,tα］为任意，即得
Φ(t,t)=Ψ(t)Ψ-1(t)=I(3.114)
(2) 状态转移矩阵的逆。由式(3.112)，并利用乘积矩阵求逆公式，即得
Φ-1(t,t0)=［Ψ(t)Ψ-1(t0)］
-1=Ψ(t0)Ψ-1(t)=Φ(t0,t)(3.115)
(3) 状态转移矩阵的传递性。由式(3.112)，即得
Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)=
Ψ(t2)Ψ-1(t1)·Ψ(t1)Ψ-1
(t0)

=Ψ(t2)Ψ-1(t0)=Φ(t2,t0)(3.116)
(4) 状态转移矩阵逆求导。由Φ(t,t0)Φ-1(t,t0)=I和 Φ-1(t,t0)
=Φ(t0,t)，得
ddtΦ-1(t,t0)=ddtΦ(t0,t)=-Φ(t0,t)A(t)(3.117)
3.5.2系统的状态响应

考虑连续时间线性时变系统，状态方程为
x·=A(t)x+B(t)u,x(t0)=x0,t∈［t0,tα］(3.118)
其中，x为n维状态，u为p维输入，A(t)和B(t)为n×n和n×p的时变实值矩阵。

下面，基于系统状态转移矩阵，导出线性时变系统状态运动规律的关系式。
结论3.37 ［状态响应］对连续时间线性时变系统，状态运动即状态
方程(3.118)解基于状态转移矩阵的表达式为
x(t)=Φ(t,t0)x0+∫tt0Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ,t∈［t0,tα］(3.119)

其中，Φ(t，·)为系统状态转移矩阵。

证线性时变系统同样满足叠加原理，类似于线性时不变系统那样，
把系统运动表为“初始状态x0转移项”与“输入作用等价状态ξ(t)转移项
” 之和，有
x(t)=Φ(t,t0)x0+Φ(t,t0)ξ(t
)=Φ(t,t0)［x0+ξ(t)］(3.120)
由要求x(t)满足式(3.118)的初始条件，还可导出
x0=x(t0)=Φ(t0,t0)［x
0+ξ(t0)］=x0+ξ(t0)(3.121)
基此，可以定出等价状态ξ(t)的初态： 
ξ(t0)=0(3.122)
再由要求x(t)满足方程(3.118)，又可得到
A(t)x+B(t)u=
x·=
Φ·(t,t0)［x0+ξ(t)］+Φ(t,t
0)ξ·(t)


=A(t)Φ(t,t0)［x0+ξ(t)］+Φ(t
,t0)ξ·(t)

=A(t)x+Φ(t,t0)ξ·(t)(3.123)

基此，可以导出
Φ(t,t0)ξ·(t)=B(t)u(3.124)

或
ξ·(t)=Φ(t0,t)B(t)u(3.125)
上式中将时间符号以τ代替t，并从t0到t取积分，则由ξ(t0)=0得到等价
状态ξ(t)为
ξ(t)=∫tt0Φ(t0,τ)B(τ)u(τ)
dτ(3.126)
将式(3.126)代入式(3.120)，证得
x(t)=Φ(t,t0)x0+Φ(t,t
0)∫tt0Φ(t0,τ)B(τ)u(τ)d
τ

=Φ(t,t0)x0+∫tt0Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ,t∈［t0,tα］(3.127)

进一步，基于关系式(3.119)，还可对连续时间线性时变系统的运动性质导出
如下的几点推论。
1. 零输入响应和零初态响应
由运动关系式(3.119)看出，线性时变系统的状态运动x(t)由零输入响应x0u和零初态响应x0x叠加组成。x0u
和x0x基于状态转移矩阵的表达式，分别为
x0u(t)=Φ(t,t0)x0,t∈［t0,tα］(3.1
28)
和
x0x(t)=∫tt0Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ,t∈［t0,tα］(3.129)
2. 状态运动计算上的困难性
由运动关系式(3.119)看出，一旦定出状态转移矩阵Φ(t,τ)，则线性时变系统状
态运动x(t)就可通过计算得到。除极为简单情况外，一般难以确定
Φ(t,τ)的解析表达式，关系式(3.119)的意义主要在于理论分析中的应
用。现今，对线性时变系统状态运动通常采用数值方法进行求解，且已有专门的求解
程序。

3. 线性系统状态运动表达式在形式上的统一性
前已导出，对线性时不变系统，状态运动的关系式为
x(t)=Φ(t-t0)x0+∫tt0Φ(t-τ)B(τ)u(τ)dτ,t≥t0(3.130)
对线性时变系统，状态运动的关系式为
x(t)=Φ(t,t0)x0+∫tt0Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ,t∈［t0,tα］(3.131
)
比较(3.130)和(3.131)可以看出，两者运动规律表达式的形式类同，区别仅在于时不变
系统表达式中“-”在时变系统表达式中代之为“，”。表达形式的这种统一性为理论研究提
供了方便性。表达形式的这种区别则反映了一个基本物理事实，即时变系统运动形态对初始
时刻t0的选取具有直接依赖关系，时不变系统的运动形态和初始时刻t0没有直接关系。

例3.3给定连续时间线性时变系统： 
x·=00
t0x+
1
1u,x(1)=1
2,t0=1,t∈［1,10］
其中，u为作用于时刻τ=1的单位阶跃函数1(t-1)。

首先，定出系统状态转移矩阵Φ(t,t0)。为此，求解系统自治状态方程组
x·1=0

x·2=tx1
得到
x1(t)=x1(t0)

x2(t)=0.5x1(t0)t2-0.5x1(t0)t20+x2(t0)
再任取两组线性无关初始状态变量： 
x1(t0)=0,x2(t0)=1

x1(t0)=2,x2(t0)=0
以导出两个线性无关解： 
x(1)(t)=0
1,
x(2)(t)=2
t2-t2
0
基此，得到系统的一个基本解阵： 
Ψ(t)=［x(1)x(2)］=02
1t2-t20
于是，利用关系式(3.112)，即可定出状态转移矩阵Φ(t,t0)： 
Φ(t,t0)=Ψ(t)Ψ-1(t0)=0
2
1t2-t2002
10-1=10
0.5t2-0.5t201
进而，确定系统运动规律。为此，基于状态转移矩阵Φ(t,t0)结果和系统
运动基本关系式(3.119)，并利用给定t0=1，x(1)=x0=［12］T和u(t)=1(t-1)，即可定出：
x(t)=Φ(t,t0)x0+∫tt0Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ

=10
0.5t2-0.511
2+∫t110
0.5t2-0.5τ211
1dτ

=1
0.5t2+1.5+t-1
13t3-0
.5t2+t-56

=t
13t3+t+23,t∈［1,10］
3.5.3脉冲响应矩阵
考虑零初始状态的连续时间线性时变系统，状态空间描述为
x·=A(t)x+B(t)u,x(t0)=0,t∈［t0,tα］

y=C(t)x+D(t)u(3.132)

对线性时变系统，如同状态转移矩阵那样，脉冲响应矩阵的符号表示对应地采用H(t,τ)。通过与时不变系统类同推导，可导出如下的两个结论。

结论3.38 ［脉冲响应矩阵］对零初始状态即x(t0)=0连续时间线性时变系统(3.132)，脉冲响应矩阵基于状态空间描述的表达式为
H(t,τ)=C(t)Φ(t,τ)B(τ)+D(t)δ(t-τ)(3.133)
其中，Φ(t,τ)为状态转移矩阵，δ(t-τ)是作用点为τ的单位脉冲。
结论3.39 ［输出响应］对零初始状态即x(t0)=0的连续时间线性时变系统(3.132)，取u为任意输入，则输出响应y(t)基于脉冲响应矩阵的表达式为
y(t)=∫tt0H(t,τ)u(τ)dτ
,t∈［t0,tα］(3.134)

3.5.4A(t)为周期阵的线性时变系统的状态运动分析
本部分讨论一类特殊形式连续时间线性时变系统。系统状态空间描述为
x·=A(t)x+B(t)u

y=C(t)x+D(t)u(3.135)
其中，x为n维状态，u为p维输入，y为q维输出，n
×n系统矩阵A(t)是以T为周期的周期性矩阵，即满足如下属性： 
A(t)=A(t+T), t(3.136)
下面，针对这类特殊形式线性时变系统，分析和讨论系统运动响应的一些有关属性。
1. 基本解阵的属性

结论3.40 ［基本解阵属性］对A(t)为周期性矩阵即满
足A(t)=A(t+T)的线性时变系统(3.135)，若Ψ(t)为自
治状态方程x·=A(t)x的一个基本解阵，则Ψ(t+T)必也为它的一个基本解阵。


结论3.41 ［基本解阵属性］对A(t)为周期性矩阵即满
足A(t)=A(t+T)的线性时变系统(3.135)，若Ψ(t)和Ψ(t+T)均为系统自治状态方程x·=A(t)x的基本解阵，则必存在一个常值矩阵使下式成立： 

Ψ(t+T)=Ψ(t)eT(3.137)
2. 周期性矩阵A(t)在李雅普诺夫变换下的属性

定义3.10 ［李雅普诺夫变换］对A(t)为周期性矩阵即
满足A(t)=A(t+T)的线性时变系统(3.135)，引入n维变换矩阵P(t)，P(t)和
P·(t)在［t0,∞)上为连续和有
界，并存在有限实常数η使下式成立： 
|detP(t)|>η>0,所有t≥t0(3.138)
基此，取变换x-=P(t)x使系统(3.135)变换为
x=(t)x-+(t)u

y=(t)x-+(t)u(3.139)

其中
(t)=P(t)A(t)P
-1(t)+P·(t)P-1(t)

(t)=P(t)B(t)

(t)=C(t)P-1(t)

(t)=D(t)(3.140)
则称{(t),(t),(t),(t)}为{A(t),B(t),C(t),D
(t)}的李雅普诺夫变换。
注对所讨论的A(t)为周期性矩阵的线性时变系统，李雅普诺夫变换
不改变系统的稳定性，而一般等价变换不能保证这一点。

结论3.42 ［周期性时变系统属性］对A(t)为周期性矩
阵即满足A(t)=A(t+T)的线性时变系统(3.135)，必存在一个n维
常值矩阵以构成变换矩阵： 
P(t)=etΨ-1(t)(3.
141)
Ψ(t)为系统的一个基本解阵，使系统在李雅普诺夫变换x-=P(t)x下的状态空间描述为
x=x-+［P(t)B(t)］u

y=［C(t)P-1(t)］x-+D(t)u(3.142)
其中，变换后的系统矩阵为常阵。
证据李雅普诺夫变换下的系数矩阵关系式(3.140)，并利用P
(t)=etΨ-1(t)和基本解阵的性质，即可证
得
(t)=［P(t)A(t)+P·(t)］P-1(t)

=［etΨ-1(t)A(t)+etΨ-1(t)+etΨ·-1(t)］Ψ(t)e-t

=+［etΨ-1(t)
A(t)-etΨ-1(t)A(t)
］Ψ(t)e-t

=(3.143)

注1对上述结论中由式(3.141)定义的变换矩阵P(t)
，利用线性周期性时变系统基本解阵的属性式(3.137)，可以导出
P(t+T)=e(t+T)Ψ
-1(t+T)=eteTe-
TΨ-1(t)

=etΨ-1(t)=P(t)(3.144)
表明P(t)为周期矩阵，从而P(t)满足有界性。再由矩阵P(t)的形式(3.141)知，P(t)和P·(t)满足连续性。因
此，上述结论中引入的变换为李雅普诺夫变换。
注2上述结论的意义在于，基于李雅普诺夫变换不改变系统稳定性的
属性可进而给出一个重要的推论，即线性周期性时变系统(3.135)的稳定性必同于对应线性
时不变系统(3.142)。这是这类特殊线性时变系统的一个重要属性。

3.6连续时间线性系统的时间离散化
本节在系统状态运动关系式基础上讨论连续时间线性系统的时间离散化问题。随着计算机在
系统分析和控制中的广泛应用，时间离散化问题已经变得愈来愈突出。这从一个侧面反映了
现代线性系统控制理论的时代特征。
3.6.1问题的提出
无论是采用数字计算机分析连续时间系统运动行为，还是采用离散控制装置控制连续时间受
控系统，都会遇到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。通常，称这类问题为连续
时间系统的时间离散化。
连续时间系统时间离散化的一类典型情形如图3.2所示。图3.2(a)给出时间离散化系统的构
成，其在组成上具有如下的一些特点。


图3.2连续时间系统时间离散化的一类典型情形


(i) 受控对象为连续时间系统。受控对象的状态x(t)、输入u(t)和输出y(t)均为连续时间t的向量函数。

(ii) 控制装置为离散时间系统。控制装置由“数字量/模拟量转换装置”(D/A)、“数字
计算机”和“模拟量/数字量转换装置”(A/D)构成。对控制装置，输入为受控对象输出y(t)的时间离散化向量y(k)，输出为受控对象输入u
(t)的时间离散化向量u(k)，离散时间序列取为k=0,1,2,…。
(iii) 通过“采样器”和“保持器” 以连接连续时间受控对象和离散时间控制装置使
系统实现协调运行。采样器的作用是把连续时间变量y(t)转换为离散时间变量
y(k)。典型的采样器为周期性动作的采样开关，开关接通时将变量输入，开关
断开时将变量阻断。保持器的作用是把离散时间变量u(k)转换为连续时间变量
u(t)。典型的保持器为由电子元件组成的保持电路，按其保持函数类型可区分
为零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。
(iv) 由“保持器连续时间系统采样器”组成连续时间受控对象的时间离散化系统
。时间离散化系统在结构上就为图中用虚线框出的一个整体。若表x(k)为离散
时间状态向量，则时间离散化系统的状态空间描述即为以x(k)、u(k)和y(k)为变量的离散时间系统。实质上，离散控制装置面对的正是时间离
散化模型，图3.2(b)给出其直观示意图。
由上述讨论可知，所谓连续时间线性系统的时间离散化问题，就是基于一定的采样方
式和保持方式，由系统的连续时间状态空间描述导出相应的离散时间状态空间描述，并对两
者的系数矩阵建立对应的关系式。
3.6.2基本约定

对连续时间线性系统的时间离散化系统，随采样方式和保持方式的不同，通常其状态空间描
述也为不同。为使系统的时间离散化状态空间描述具有简单形式，并使离散化变量在原理上
是可复原的，进一步需要对采样方式和保持方式引入如下的3个基本约定。
(i) 对采样方式的约定。采样器的采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，并表采
样瞬时为tk=kT,k=0,1,2,…。进而，假定采样时间宽度Δ比之采样周期T小得多，即有ΔT
，因而分析中可将其视为零处理。由此，若表y(t)和y(k)为采样
器的连续输入和离散输出，则在上述约定下两者具有如下关系： 
y(k)=y(t),t=kT

0,t≠kT(3.145)

其中，k=0,1,2,…。图3.3给出这种采样方式的示意图，其中yi(t)和yi(k)分别为向量y(t)和y(k)的第i个分量，i=1,2,…,q。


图3.3周期为T的等间隔采样示意图

(ii) 对采样周期T大小的约定。基于保证离散化变量在理论上可复原的要求，在周期T
大小的选择上需要遵循香农(Shannon)采样定理给出的条件。表|Yi(jω)|为连续
时间信号yi(t)的幅频谱，其为自变量ω的一个偶函数即如图3.4所示具有对称于纵轴的形
状，并称ωc为上限频率。香农采样定理指出，离散时间信号yi(k)理论上可以完满地
复原为原连续时间信号yi(t)的条件为，采样频率ωs=2π/T必须满足如下关系式： 
ωs>2ωc(3.146)


图3.4连续信号的幅频谱及其上限频率示例

等价地，上述条件也可表为，采样周期T必须满足如下关系式： 
T<π/ωc(3.147)

实际上，为了兼顾其他性能，通常进一步把T的值取为理论上限值的几十分之一，如
T=110～20×πωc(3.148)

(iii) 对保持方式的约定。为使离散化描述关系式及其推导过程较为简单，通常把
由离散
时间信号到连续时间信号的转换形式取为零阶保持方式，即将保持器取为零阶保持器。零阶
保持方式的直观含义可由图3.5来说明。在采样瞬时，保持器输出u(t)的分量uj(
t)的值等于对应离散时间
分量uj(k)的值； 在两个采样瞬时的区间上，分量uj(t)的值保持前一采样瞬时上的值。



图3.5零阶保持方式的直观含义说明

3.6.3基本结论
在上述基本约定前提下，可以给出连续时间线性系统时间离散化问题的基本关系式和相关属
性，并表其为如下的一些结论。
结论3.43 ［时变系统情形］给定连续时间线性时变系统： 
x·=A(t)x+B(t)u,x(t0)=x0,t∈［t0,tα］

y=C(t)x+D(t)u(3.149)
则其在基本约定下的时间离散化描述为
x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),x(0)=x0,k=0,1,…,l

y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)(3.150)

两者在变量和系数矩阵上具有如下关系： 
x(k)=［x(t)］t=kT,u(k)=［u
(t)］t=kT, y(k)=［y(t)］t=kT(3.151
)

G(k)=Φ((k+1)T,kT)ΔΦ(k+1,k)

H(k)=∫(k+1)TkTΦ((k+1)T,τ)B(τ)d
τ

C(k)=［C(t)］t=kT

D(k)=［D(t)］t=kT(3.152)

式中，T为采样周期，l=(tα-t0)/T为取整得到的正整数，Φ(·，·)为连续时间
线性时变系统(3.149)的状态转移矩阵。

证先来证明状态方程的时间离散化关系式。对此，导出线性时变系
统(3.149)的状态运动响应表达式为
x(t)=Φ(t,t0)x0+∫tt0Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ,t∈［t0,tα］(3.153
)
上式中，令t=(k+1)T，并表k=0对应于t0，即可证得
x(k+1)=Φ(k+1,0)x0+∫(k+1)T0Φ((k+1)T,τ)B(τ)u(τ)dτ

=Φ(k+1,k)Φ(k,0)x0+∫kT0Φ(kT,τ)B(τ)u(τ)dτ+

∫(k+1)TkTΦ((k+1)T,τ)B(τ)dτu(k)

=G(k)x(k)+H(k)u(k)(3.154)


其中，基于零阶保持的约定，在最后等式前的关系式中将u(k)移出积分式。并
且，进而基于关系式(3.152)，导出最后的关系式。再来证明输出方程的时间离散化关系式
。对此，令t=kT，即可证得
y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)(3.155)
至此，证明完成。
结论3.44 ［时不变系统情形］给定连续时间线性时不变系统： 
x·=Ax+Bu,x(0)=x0,t≥0

y=Cx+Du(3.156)

则其在基本约定下的时间离散化描述为
x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),x(
0)=x0,k=0,1,2,…

y(k)=Cx(k)+Du(k)(3.157)
其中，两者在变量和系数矩阵上具有如下的关系： 
x(k)=［x(t)］t=kT,u(k)=［u
(t)］t=kT,y(k)=［y(t)］t=kT(3.158)

G=eAT,H=∫T0eAtdtB(3.159)
证时不变系统为时变系统的一种特殊情形。基于两者运
动规律表达式的统一性和差异性，由式(3.150)即可导出式(3.157)，而由式(3.152)则可导出
G=Φ((k+1)T-kT)=Φ(T)=eAT(3.160)

H=∫(k+1)TkTΦ((k+1)T-τ)Bdτ(3.161)
对式(3.161)作变量置换t=(k+1)T-τ，有
dτ=-dt,∫(k+1)TkT·dτ=-∫0T·dt(3.162)
于是，利用式(3.162)，即可由式(3.161)证得
H=-∫0TΦ(t)dtB=
∫T0eAtdtB(3.163)
结论3.45 ［时间离散化属性］上述两个结论表明，时间离散化不改
变系统的时变或时不变属性。也即，时变系统在时间离散化后仍为时变系统，时不变系统在
时间离散化后仍为时不变系统。
结论3.46 ［离散化系统属性］对连续时间线性系统，不管为时变或
时不变，也不管系统矩阵A(t)和A为非奇异或奇异，其离散化系
统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。
例3.4给定连续时间线性时不变系统： 
x·1
x·2=01
0-2x1
x2+0
1u,t≥0(3.164)
取采样周期T=0.1s，现在来定出其时间离散化模型。
首先，确定连续时间系统的矩阵指数函数eAt。为此，采用预解矩
阵法，先来定出
(sI-A)-1=s-1
0s+2-1=1s1s(s+2)

01s+2
将上式取拉普拉斯反变换，即可得到
eAt=10.5(1-e-2t)

0e-2t
进而，确定时间离散化系统的系数矩阵。对此，利用关系式(3.159)，即可得到
G=eAT=10.5(1-e
-2T)
0e-2T=10.091
00.819


H=∫T0eAtdtB=∫T010.5(1-e-2t)

0e-2tdt0
1

=T0.5T+0.25e-2T-0.25

0-0.5e-2T+0.50
1

=0.5T+0.25e-2T-0.25

-0.5e-2T+0.5=0.005
0.091
最后，确定时间离散化描述。基于上述计算结果，即可定出给定连续时间线性时不变系
统的时间离散化描述为
x1(k+1)
x2(k+1)=10.091
00.81
9x1(k)
x2(k)+0.005
0.091
u(k)
3.7离散时间线性系统的运动分析
离散时间系统不仅代表社会、经济、工程等领域一大批离散动态问题的数学模型，而且代表
连续时间系统的时间离散化模型。离散时间线性系统的运动分析数学上归结为求解时变或
时不变线性差分方程。离散时间系统的差分方
程型状态方程的求解，既在计算上简单得多也更宜于采用计算机进行计算。

3.7.1迭代法求解状态响应
考虑离散时间线性系统，对时变情形系统状态方程为
x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),x(0)=x0,k=0,1,2,…(3.165)
对时不变情形系统状态方程为
x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),x(0)=x0,k=0,1,2,…(3.166)
其中，x(k)为n维状态，u(k)为p维输入。
可以看出，不管是时变差分方程(3.165)，还是时不变差分方程(3.166)，都可采用迭代
法容易地求解。迭代法思路是，基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻
状态值，迭代地定出下一个采样时刻的系统状态。
结论3.47 ［迭代法求解状态响应］对离散时间线性时变系统(3.165
)，给定系统初始状态x(0)=x0，各个采样时刻输入u(0),u(1),u(2),…,以及分析过程末时刻正整数l，则其系统
状态响应可按如下算法来求解。
Step 1：  令k=0。
Step 2：  对给定G(k),H(k)和u(k)，以及已知
x(k)，计算
x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)
Step 3：  令k=k+1。
Step 4：  如果k=l+1，进入下一步； 如果k<l+1，去到Step 2。
Step 5：  计算停止。

注1上述算法具有递推特点，容易编程并适于采用计算机
进行计算。但由于后一步计算依赖于前一步计算结果，导致对计算过程中引入的误差造成积
累性误差，这是迭代法的一个共同缺点。

注2由时不变系统(3.166)为时变系统(3.165)的一类特殊情况可知，
上述算法对时不变系统同样适用，差别只在于计算中取系数矩阵为G(k)=G和H(k)=H。
例3.5给定离散时间线性时变系统： 
x1(k+1)
x2(k+1)=01
1coskπ
x1(k)
x2(k)+sin(kπ/2)
1u(k),x1(0)
x2(0)=1
1
其中
u(k)=1,k=0,2,4,…

-1,k=1,3,5,…
现来计算状态变量x1(k)和x2(k)在采样时刻k=1,2,3,4的值。
对k=0，由
G(0)=01
11,H(0)=0
1,u(0)=1,x1(0)
x2(0)=1
1
即可定出： 
x1(1)
x2(1)=01
111

1+0
1=1
3
对k=1，由
G(1)=01
1-1,H(1)=1
1,u(1)=-1,x1(1)
x2(1)=1
3

即可定出： 
x1(2)
x2(2)=01
1-11

3+-1
-1=2
-3
对k=2，由
G(2)=01
11,H(2)=0
1,u(2)=1,x1(2)
x2(2)=2
-3

即可定出： 
x1(3)
x2(3)=01
112
-3+0
1=-3
0
对k=3，由
G(3)=01
1-1,H(3)=-1
1,u(3)=-1,x1(3)
x2(3)=-3
0
即可定出： 
x1(4)
x2(4)=01
1-1-3

0+1
-1=1
-4
3.7.2状态响应的解析关系式
迭代法对分析具体系统的运动行为和性
能无疑是方便的。但在理论研究中，通常更为希望在一般意义上建立状态响应的解析表达式
，以更深刻地揭示状态响应和系统结构的关系。这一部分进一步给出有关离散时间线性系统
状态响应的一些一般性结论。
1. 状态转移矩阵
定义3.11 ［状态转移矩阵］对离散时间线性时变系统(3.165)，状态
转移矩阵定义为对应矩阵方程
Φ(k+1,m)=G(k)Φ(k,m),Φ(m,m)=I(3.167)
的n×n解阵Φ(k,m)。对离散时间线性时不变系统(3.166)，状态转移矩阵定义为
对应矩阵方程
Φ(k+1)=G Φ(k),Φ(0)=I
(3.168)
的n×n解阵Φ(k)。
结论3.48 ［状态转移矩阵］对离散时间线性时变系统(3.165)，状
态转移矩阵即矩阵方程(3.167)解阵Φ(k,m)，具有如下关系式： 
Φ(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)(
3.169)
对离散时间线性时不变系统(3.166)，状态转移矩阵即矩阵方程(3.168)解阵Φ(k)
，具有如下关系式： 
Φ(k)=GG…G=Gk(3.170)
证对线性时变系统(3.165)，由关系式(3.169)可以直接导出： 
Φ(k+1,m)=G(k)［G(k-1)G(k-2)…G(m)］=G(k)Φ(k,m)(3.171)
和
Φ(m,m)=I(3.172)
表明方程(3.169)给出的Φ(k,m)同时满足方程(3.167)和初始条件，从而证得
其为系统状态转移矩阵。对线性时不变系统(3.166)，方程(3.169)给出的Φ(k,m)关系
式中，取
m=0,G(k-1)=G(k-2)=…=G(1)=G(0)=G,“，”换为“-”
即可证得式(3.170)。证明完成。
结论3.49 ［状态转移矩阵属性］不同于连续时间线性系统，离散时
间线性系统的状态转移矩阵不保证必为非奇异。对离散时间线性时变系统(3.165)，有
Φ(k,m)非奇异G(i),i=m,m+1,…,k-2,k-1均为非奇异
对离散时间线性时不变系统(3.166)，有

Φ(k)非奇异G非奇异
结论3.50 ［状态转移矩阵属性］对连续时间线性系统的时间离
散化系统，不管为时不变或时变，状态转移矩阵必为非奇异。
2. 状态响应表达式
结论3.51 ［状态响应］对离散时间线性时变系统(3.165)，同时由输
入u和初始状态x0激励的状态响应x(k)具有表达
式： 

x(k)=Φ(k,0)x0+∑k-1i=0
Φ(k,i+1)H(i)u(i)(3.173)
或
x(k)=Φ(k,0)x0+∑k-1i=0
Φ(k,k-i)H(k-i-1)u(k-i-1)(3.174)

证由系统状态方程(3.165)，分别取k=0,1,2,…，可以得到

x(1)=G(0)x(0)+H(0)u(
0)

x(2)=G(1)x(1)+H(1)u(
1)

x(3)=G(2)x(2)+H(2)u(
2)

……

x(k)=G(k-1)x(k-1)+H(k-1)u(k-1)(3.175)
对式(3.175)，由上而下依次迭代，可以导出： 

x(1)=G(0)x0+H(0)u(0)

x(2)=G(1)G(0)x0+{G(1)H(0)u(0)+H(1)u(1)}

x(3)=G(2)G(1)G(0)x
0+{G(2)G(1)H(0)u(0)+G(2)H(1)u(1)+

H(2)u(2)}

……(3.176)

x(k)=G(k-1)…G(0)x0+{G
(k-1)…G(1)H(0)u(0)+

G(k-1)…G(2)H(1)u(1)+…+G
(k-1)H(k-2)u(k-2)+

H(k-1)u(k-1)}
再利用状态转移矩阵关系式： 
Φ(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)(
3.177)
可把式(3.176)中x(k)关系式进而表为
x(k)=Φ(k,0)x0+{Φ(k,1)H(0)u(0)+Φ(k,2)H(1)u(1)
+…+

Φ(k,k-1)H(k-2)u(k-2)+H(k-1)u(k-1)}
于是，将上式中“与输入u相关部分”，按由左至右顺序相加可导出式(3.173)，按由右至左顺序相加可导出式(3.174)。证明完成。
结论3.52 ［状态响应］对离散时间线性时不变系统(3.166)，同时由
输入u和初始状态x0激励的状态响应x(k)具有表
达式： 
x(k)=Φ(k)x0+∑k-1i=0Φ(k-i-1)Hu(i)(3.178)
或
x(k)=Φ(k)x0+∑k-1i=0Φ(i)Hu(k-i-1)(3.179)
证在时变系统状态响应解析表达式(3.173)和(3.174)中，取
Φ(k,0)=Φ(k-0)=Φ(k)

Φ(k,i+1)=Φ(k-i-1)

Φ(k,k-i)=Φ(k-k+i)=Φ(i)

H(0)=H(1)=…=H(k-1)=H

即可导出式(3.178)和式(3.179)。证明完成。
3. 状态运动的分解
结论3.53 ［状态响应的分解］离散时间线性系统的状态响应可分解为
零输入响应x0u(k)和零初态响应x0x(k)，即有
x(k)=x0u(k)+x0x(k)(3.180
)
结论3.54 ［零输入响应］对离散时间线性时变系统(3.165)，零
输入响应x0u(k)具有表达式： 
x0u(k)=Φ(k,0)x0(3.181)
对离散时间线性时不变系统(3.166)，零输入响应x0u(k)具有表达式： 
x0u(k)=Φ(k)x0(3.182)
结论3.55 ［零初态响应］对离散时间线性时变系统(3.165)，零
初态响应x0x(k)具有表达式： 
x0x(k)=∑k-1i=0Φ(k,i+1)H
(i)u(i)=∑k-1i=0Φ(k,k-i)H(k-i-1)u(k-i-1)(3.183)
对离散时间线性时不变系统(3.166)，零初态响应x0x(k)具有表达式： 
x0x(k)=∑k-1i=0Φ(k-i-1)Hu(i)=∑k-1i=0Φ(i)Hu(k-i-1)(3.184)

4. 零初态响应的因果性
结论3.56 ［零初态响应的因果性］对离散时间的线性时不变系统(3.166)和线性时变系统(3.165)，基于零初态响应x0x(k)的关系式(3.184
)和(3.183)，导出其零初态响应x0x(k)的展开式： 


x0x(k)=Φ(k-1)Hu(0)+Φ(k-2)Hu(1)+…+Hu(k-1)(3.185)


和
x0x(k)=Φ(k,1)H(0)u(0)+Φ(k,2)H(1)u(1)+…+H(k-1)u(k-1)(3
.186)
可以看出，零初态响应x0x(k)必满足因果性
。即对采样时刻k，x0x(k)只与此前各个时刻的输入u(0),
u(1),…,u(k-1)有关，而与同时刻输入u(k)无关。

3.7.3脉冲传递函数矩阵
对应于连续时间线性时不变系统的传递函数矩阵，对离散时间线性时不变系统同样可以采用
脉冲传递函数矩阵作为系统的输入输出描述。

考虑离散时间线性时不变系统，状态空间描述为

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),x(0)=x0(3.187)

y(k)=Cx(k)+Du(k)(3.188)
其中，x(k)为n维状态，u(k)为p维输入，y(k)为q
维输出。
定义3.12 ［脉冲传递函数矩阵］对离散时间线性时不变系统(3.187
)和(3.188)，表u^(z)和
y^(z)为输入u(k)
和输出y(k)的z变换，即有
u^(z)=Z ［u(k)］Δ∑∞k=0
u(k)z-k(3.189)

y^(z)=Z ［y(k)］Δ∑∞k=0y(k)z-k(3.190)
则脉冲传递函数矩阵G^(z)定义为，零初始状态即x0=0条件下，满足关系式
y^(z)=G^(z)u^(z)(3.191)

的一个q×p有理分式矩阵G^(z)，其中z为复变量。
结论3.57 ［脉冲传递函数矩阵］对离散时间线性时不变系统(3.187
)和(3.188)，令初始条件为零即x0=0，则脉冲传递函数矩阵G^(z)的基于状态空间描述的表达式为
G^(z)=C(zI-G)-1H+D(3.192)
3.8小结和评述
(1) 本章的定位。本章分别就连续时间线性系统和离
散时间线性系统，给出系统状态运动相对于初始状态和输入作用的显式关系。本章的内容对
于进一步研究系统的基本结构特性，如能控性、能观测性和稳定性等
，将是不可缺少的基础。

(2) 运动分析的实质。运动分析的数学实质，归结为相对于输入和初始状态求解
系统状态方程，建立反映因果关系的解析形式解。运动分析的物理含义，是在状态空间中定
出由初始状态点出发的状态运动轨道，运动轨道由“初始状态经状态转移矩
阵在各时刻值阵的变换点构成的轨迹” 和“各时刻输入作用等价状态经状态转移矩阵在各
时刻值阵的变换点构成的轨迹”的合成。
(3) 连续时间线性系统的状态响应。对线性时不变系统，状态响应解析表达式为
x(t)=Φ(t-t0)x0+∫tt0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ,t≥t0
对线性时变系统，状态响应解析表达式为
x(t)=Φ(t,t0)x0+∫tt0Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ,t∈［t0,tα］
除了参数矩阵随时间为不变和变化的差异外，两者形式上差别仅在于时不变情形状态转移矩
阵Φ(t-τ)中的“-”在时变情形状态转移矩阵Φ(t,τ)中表为“，”
。
(4) 离散时间线性系统的状态响应。对线性时不变系统，状态响应解析表达式为
x(k)=Φ(k)x0+∑k-1i=0Φ(k-i-1)Hu(i)
对线性时变系统，状态响应解析表达式为
x(k)=Φ(k,0)x0+∑k-1i=0
Φ(k,i+1)H(i)u(i)
离散时间线性系统的分析结果只反映采样时刻上状态响应的形态
。

(5) 连续时间线性系统的时间离散化。时间离散化来自于将离散型计算机应用于分析与控
制连续型线性系统的需要。对连续时间线性时不变系统，时间离散化描述具有形式： 

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),x(
0)=x0，k=0,1,2,…

y(k)=Cx(k)+Du(k)
其中
G=eAT

H=∫T0eAtdtB
对连续时间线性时变系统，时间离散化描述具有形式： 
x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),x(0)=x0,k=0,1,…,l

y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(
k)
其中
G(k)=Φ((k+1)T,kT)ΔΦ(k+1,k)

H(k)=∫(k+1)TkTΦ((k+1)T,τ)B(τ)
dτ

C(k)=［C(t)］t=kT

D(k)=［D(t)］t=kT
(6) 计算问题。对离散时间线性系统，不管为时变或时不变，状态运动分析在计算上归
结为矩阵的代数运算如“乘”和“加”，不存在计算上的困难。对连续时间线性系统，状态
运动分析在计算上主要归结为确定状态转移矩阵，这对时变系统将是一件困难的任务。
习题

3.1分别定出下列常阵A的矩阵指数函数eAt： 
(i) A=-20
0-3
(ii) A=-21
0-2
(iii) A=00
10
(iv) A=0-1
40
3.2采用除定义算法外的三种方法，计算下列各个矩阵A的矩阵指
数函数eAt： 
(i) A=01
-2-3
(ii) A=010
001
-6-11-6
3.3试求下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解x1(t)和x2(t)： 
(i) x·1
x·2=01
-3-2x1
x2, x1(0)
x2(0)=1
1, t≥0
(ii) x·1
x·2=01
-2-3x1
x2+2
0u, x1(0)
x2(0)=
0
1, u(t)=e-t, t≥0
3.4给定一个连续时间线性时不变系统，已知
Φ(t)=e-t0
0e-2t,
b=1
1,x(0)=2
3
定出系统相对于下列各个u(t)的状态响应x(t)： 
(i) u(t)=δ(t)(单位脉冲函数)
(ii) u(t)=1(t)(单位阶跃函数)
(iii) u(t)=t
(iv) u(t)=sint
3.5给定一个连续时间线性时不变系统，已知状态转移矩阵Φ(t)为
Φ(t)=
12(e-t+e3t)14(-e-t+e3t)

-e-t+e3t12(e-t+e3t)
试据此定出系统矩阵A。
3.6对连续时间线性时不变系统x·=Ax+Bu,x(0)=x0，试利用拉普拉斯变换证
明系统状态运动的表达式为
x(t)=eAtx0+∫t0e
A(t-τ)Bu(τ)dτ
3.7给定一个时不变矩阵微分方程： 
X·=AX+XAT,X(0)=
P0
其中，X为n×n变量矩阵。证明上述矩阵方程的解阵为
X(t)=eAtP0eATt
3.8给定连续时间时变自治系统x·=A
(t)x及其伴随系统z·=-AT(t)z，表Φ(t,t0)和Φz(t,t0)分别为它们的状态转移矩阵，试
证明Φ(t,t0)ΦTz(t,t0)=I。
3.9给定连续时间线性时变系统为
x·=
A11(t)A12(t)

A21(t)A22(t)x+B1(t)
B2(t)u,t≥t0
表系统状态转移矩阵为
Φ(t,t0)=
Φ11(t,t0)Φ12(t,t0)

Φ21(t,t0)Φ22(t,t0)
试证明： 若A21(t)≡0，则必有Φ21(t,t
0)≡0。
3.10给定一个二维连续时间线性时不变自治系统x·=
Ax,t≥0。现知，对应于两个不同初态的状态响应为

对x(0)=1
-4,x(t)=e-3t

-4e-3t

对x(0)=2
-1,x(t)=2e-2t

-e-2t
试据此定出系统矩阵A。
3.11给定方常阵A，设其特征值为两两相异，表trA为A的迹即其对角元素之和，试证明： 
deteAt=e(trA)t
3.12定出下列连续时间线性时不变系统的时间离散化状态方程： 
x·1
x·2=01
00x1
x2+0
1u
其中，采样周期为T=2。
3.13给定一个人口分布问题的状态方程为
x1(k+1)
x2(k+1)=
1.01(1-0.04)1.01(0.02)

1.01(0.04)1.01(1-0.02)
x1(k)
x2(k),
x1(0)
x2(0)=107
9×107

其中，x1表示城市人口，x2表示乡村人口，令k=0表示2001年。试采用计算机计算2001
—2015年城市和乡村人口分布的演化过程，并绘出城市和乡村人口分布的演化曲线。
3.14给定一个离散时间线性时不变系统为
x1(k+1)
x2(k+1)=12
10x1(k)
x2(k)+1
2u(k),x1(0)
x2(0)
=1
1
再取控制u(k)为
u(k)=1, 当k=0,2,4,…

0, 当k=1,3,5,…
采用计算机计算x1(k)和x2(k)当k=1,2,…,10时的值。
3.15对上题给出的离散时间线性时不变系统，计算系统状态转移矩阵Φ(k)在k=10时的结果。