第5章

代数系统的一般性
质


代数系统也是一种数学模型,可以用它表示现实世界中的离散结构。例如,在形式语
言中,常将有穷字符集表示为Σ。由
Σ 
上的有限个字符(包括0个字符)可以构成一个字
符串,称为
Σ 
上的字。
Σ 
上的全体字符串构成集合Σ*。设α、
β 
是Σ*上的两个字,将
β 
连接在
α 
后面,得到Σ*上的字αβ。如果将这种连接看作Σ*上的一种运算,那么这种运
算不可交换,但是可结合。集合Σ*关于连接运算就构成了一个代数系统,它恰好是代数
系统(半群)的一个实例。代数系统在计算机中有着广泛的应用,例如自动机理论、编码理
论、形式语义学、代数规范、密码学等,都要用到代数系统的知识。代数结构的主要研究对
象就是各种典型的代数系统。

构造一个代数系统,需要3方面的要素:集合、集合上的运算、说明运算性质或运算
之间关系的公理。请看下面的例子: 

(1)整数集合
Z 
与普通加法+构成代数系统<
Z;+> 。
(2)
n 
阶实数矩阵的集合Mn 
(R)与矩阵加法+构成代数系统<Mn 
(R);+> 。
(3)幂集P(B)与集合的对称差运算..构成代数系统<P(B);..> 。
类似的代数系统可以列举出许多,它们都是具体的代数系统。考察它们的共性,不
难发现它们都含有一个集合、一个二元运算,并且这些运算都具有交换性、结合性等
性质。

为了概括这类代数系统的共性,可以定义一个抽象的代数系统<A,..> 。其中,
A 
是
一个集合,..是
A 
上的可交换、可结合的运算。这类代数系统实际上就是可交换半群。

为了研究抽象的代数系统,需要先定义一元和二元运算以及二元运算的性质,并通过
选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上,再深入研究这些抽
象代数系统的内在特性和应用。

本章主要包括代数运算的表示、代数运算的运算律、代数系统、代数常数以及代数系
统的同态和同构。

5.相关历史背景
1 

代数(algebra)一词最早来源于阿拉伯数学家、天文学家花拉子密。1859年,中国数
学家李善兰首次将algebra翻译为代数。清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里
斯的《代数学》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”等语,也就是说,代数
就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。


119
第
5 
章　代数系统的一般性质

目前代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说。一个带有形式运算的集合称
为代数系统,因此,代数是研究一般代数系统的一门科学。

5.1.1 
代数之父花拉子密
花拉子密(Al-Khwarizmi)是阿拉伯阿拔斯王朝著名数学家、天文学家、地理学家。
花拉子密是代数与算术的整理者,被誉为“代数之父”。花拉子密的研究兴趣十分广泛,包
括数学、天文、历法、历史学、地理学等。在数学方面,花拉子密编著了两部传世之作:《代
数学》和《印度的计算术》,其著作通过后来的拉丁文译本对欧洲近代科学的诞生产生过积
极影响。

花拉子密汲取和综合了古巴比伦、古希腊和古印度的数学成果,促进了数学向深度和
广度发展。公元830 年,花拉子密写了一本有关代数的书,这本书被翻译成欧洲文字,书
名逐渐简化,被直接译成了《代数学》,代数学一词即由此书而来。书中阐述了解一次方
程、二次方程的基本方法及二次平方根的计算公式,明确提出了代数、已知数、未知数、根、
移项、集项、无理数等一系列概念,并附有例题800 多道,提供了代数计算方法,把代数学
发展成为一门与几何学相提并论的独立学科。

此外,印度数码(0~9)也通过他的著作传入西方,欧洲人称之为阿拉伯数字。《代数
学》系统地叙述了十进制记数法和小数的运算法,对普及十进制起了很大作用。花拉子密
展示了数字加、减、乘、除的基本方法,甚至展示了如何求平方根和π。这些方法被称为
“运算法则”。

5.1.2 
布尔代数
布尔代数(或逻辑代数)是计算机的基础,没有布尔代数,就不会有计算机。19 世纪
早期,英国数学家乔治·布尔(GeorgeBoole)提出一个问题:人的思想能不能用数学表
达? 在此之前,数学只用于计算;没有人意识到,数学还能表达人的逻辑思维。为了研究
逻辑学,特别是数理逻辑,布尔正式提出了布尔代数。

布尔代数发展到今天已经非常抽象了,但是它的核心思想很简单。简单而言,所谓布
尔代数,是指一个有序四元组<S;∨,∧,*>,其中
S 
是一个非空集合,∨与∧是定义在
S 
上的两个二元运算,*是定义在
B 
上的一个一元运算。布尔代数虽然和普通代数一样
也用字母表示变量,但变量的值只有1和0,所谓逻辑1、逻辑0分别代表两种相反的逻辑
状态。在布尔代数中,只有逻辑乘(与运算)、逻辑加(或运算)、求反(非运算)这3种基本
运算。

20 世纪初,英国科学家香农(C.E.Shannon)指出,布尔代数可以用来描述电路,或者
说,电路可以模拟布尔代数。于是,人类的推理和判断就可以用电路实现了。这就是计算
机的实现基础。到了20 世纪三四十年代,布尔代数又有了新的进展。大约在1935 年,斯
通(M.H.tn指出布尔代数与环之间有明确的联系。他还得到了斯通定理:任意一个

Soe)
布尔代数一定同构于某个集合上的一个集域,任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑
空间的闭开代数等。这使布尔代数在理论上有了一定的发展。布尔代数在代数学(代数
结构)、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应


120
离散数学简明教程

用。1967年后,在公理化集合论以及模型论的理论研究中,布尔代数也起着一定的作用。
近几十年来,布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等工程技术领域中有重要的
应用。

布尔代数的运算法则与集合论很像。

(1)交集的运算法则如下:
1×1=1 
1×0=0 

(2)并集的运算法则如下:
0×0=
0
1+1=
1
1+0=
1
0+0=
0
集合论可以描述逻辑推理过程,布尔代数可以判断某个命题是否符合这个过程。人
类的推理和判断由此就变成了数学运算。

虽然布尔代数可以判断命题真伪,但是无法取代人类的理性思维,原因是布尔代数有
一个局限:布尔代数必须依据一个或几个已经明确知道真伪的命题,才能做出判断。例
如,只有知道“所有人都会死”“苏格拉底是人”这两个命题是真的,才能得出结论“苏格拉
底会死”。也就是说,布尔代数只能保证推理过程正确,无法保证推理所依据的前提是否
正确。如果前提是错的,正确的推理过程也会得到错误的结果。而前提的真伪要由科学
实验和观察来决定,布尔代数无能为力。

5.代数运算的表示
2 

为了引入代数运算的抽象定义,首先分析代数运算的例子,说明代数运算与映射的
联系。

例5.下面是几个代数运算的例子。

1 

(1)任意非零实数
X 
∈R-{0},有唯一倒数
X 
-1∈R-{0}。因此,求倒数运算是非
零实数集合上的映射,可以记作-1:
R-{0}→R-{0}。
(2)任意两个实数X∈R、Y∈R有相应的唯一的实数积
X 
*Y。因此,乘法运算是
从R×R到R的映射,可以记作×:
R×R→R。
(3)全集
E 
的任意两个子集
A 
.E、B.
E 
有唯一的并集
A 
∪B.E。因此,集合的
并运算是从P(E)×P(E)到P(E)的映射,可以记作∪:P(E)×P(E)→P(E)。
(4)任意两个非零自然数n∈N+、m∈N+有唯一的有理数商q=n/
m 
∈Q。因此, 
除法运算是从N+×N+到Q的映射,可以记作÷:
N+×N+→Q。
(5)运算规则△是集合{2,4,12} 是从{3,6,×{3,6,
3,6,上的二元运算, 2,4,12}2,4,12} 
到{0,的映射。△的运算表如表5.

1} 1所示。


第5 章　代数系统的一般性质1 21 
表5.1 集合{2,3,4,6,12}上△的运算表
△ 2 3 4 6 12 
2 1 0 1 1 1 
3 0 1 0 1 1 
4 0 0 1 0 1 
6 0 0 0 1 1 
12 0 0 0 0 1 
分析以上例子可以发现:运算的本质其实是集合到集合的映射。
定义5.1 设S 是集合,定义如下映射: 
f:S→S 称为S 上的一元运算(unaryoperation),a∈S 是运算数,b=f(a)是运算
结果。
f:S×S→S 称为S 上的二元运算(binaryoperation)。<a1,a2>∈S×S,a1、a2 是
运算数,b=f(<a1,a2>)是运算结果。通常也表示成b=a1fa2。
f:Sn →S 称为S 上的n 元运算(n-aryoperation),其中n 是自然数,Sn 是S 的n 重
笛卡儿积。
集合S 上的代数运算并非只有加、减、乘、除运算,它的意义具有广泛性。表示代数
运算的符号(运算符)有多种,可以用..、*、·、..、.等符号表示二元运算或一元运算。对
于二元运算·,如果运算数x、y 经过·运算得到运算结果z,那么记作x·y=z。对于
一元运算符..,运算数a 的运算结果记作..a。
例5.2 下面是集合上一元运算的实例。
(1)求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q 、实数集合R上的一元运算。
(2)求一个数的倒数是非零有理数集合Q * 、非零实数集合R* 上的一元运算。
(3)在幂集合P(S)上,求集合绝对补的运算~是P(S)上的一元运算。
(4)A 为集合S 上所有双射函数的集合,求双射函数的反函数是A 上的一元运算。
(5)在n(n≥2)阶实矩阵集合Mn(R)上,求矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。
(6)定义upper:-Σ→Σ,满足对于任意σ∈Σ,upper(σ)将σ 中所有小写字母改为大
写字母。upper是Σ 上的一元运算。
小结:一元运算是集合上的变换。
在本章中,主要考虑二元运算及其性质。判断一个运算是否为集合S 上的二元运
算,主要考虑以下两点: 
(1)S 中任意两个元素都可以进行这种运算,且运算结果是唯一的。
(2)S 中任意两个元素的运算结果都属于S,即S 对该运算是封闭的(closed)。
例5.3 下面是几个集合上二元运算、三元运算的实例。
(1)定义f:N ×N →N ,f(<x,y>)=x+y,f 是自然数集合N 上的二元运算,即
加法运算。
(2)并运算∪、交运算∩、对称差运算..均为集合S 的幂集P(S)上的二元运算。

122
离散数学简明教程

(3)在集合Σ={
σ 
是英文字母符号串}上,定义
& 
:Σ×Σ→Σ,对于任意<σ1,
∈Σ×Σ,有σ1&σ2=σ1σ2。
& 
为
Σ 
上的二元运算,称为字符串的连接运算。
σ|σ2> 

(4)在实数集合R上,aax,z)x+
定义三元函数Men:
R×R×R→R,Men(y,=(
y+z)/3。Mean是实数集合R上的三元运算。

(5)减法运算不是自然数集合N上的二元运算。因为两个自然数相减可能得到负
数,而负数不是自然数。称集合N对减法运算不封闭,或者称减法运算在集合N上不
封闭
(
。
6)除法运算在实数集合R上不封闭。因为0∈R,而0不能作除数。
除法运算在非零实数集合R*=R0} 因为.x,*都有x/*。

-{上封闭, y∈Ry∈R

(7)加法、乘法运算是自然数集合N上的二元运算
。
减法、除法运算不是自然数集合N上的二元运算
。
(8)加法、减法、乘法运算都是整数集合
Z 
上的二元运算
。
除法运算不是整数集合
Z 
上的二元运算
。
(9)乘法、除法运算都是非零实数集R*上的二元运算。
得0。
加法、减法运算不是非零实数集R*上的二元运算,两个非零实数相加或相减可能
(10)设Mn 
(为
n 
阶(实矩阵的集合,矩阵加法和乘法运算都是Mn 
(上的
二元运算。
R) n≥2) R) 
小结:二元运算是从笛卡儿积S×S 
到集合
S 
的映射。
运算表是表示一元运算或二元运算的重要方法。表5.3分别是一元运算表

2和表5.
和二元运算表的一般形式,其中a1,a是
S 
中的元素,

a2,…,
n 
..为运算符。

表5.2 
一元运算表3

表5.二元运算表

ai 

a1 

a2 

. 

an 

..ai 

..a1 

..a2 

. 

..an 

.. a1 
a2 … 
an 
a1 a1..a1 a1..a2 … a1..an 
a2 a2..a1 a2..a2 … a2..an 
. . . . . 
an 
an..a1 an..a2 … an..an 

例5.分别给出S={1,2}的幂集P(S)上的~运算表和..运算表。P(S)上的~

4 

运算表如表5.4所示。P(S)上的..运算表如表5.

5所示。

表5.S)上的~运算表表5.S)上的..运算表

4 
P(

5 
P(

ai 

. 

{1}
{2}
{1,2} 
..ai 

{1,2}
{2}
{1} 
. 

.. . {1} {2} {1,2} 
. . {1} {2} {1,2}
{1} {1} . {1,2} {2}
{2} {2} {1,2} . {1}
{1,2} {1,2} {2} {1} . 


第
5 
章　代数系统的一般性质

123
例5.在集合
aS,
=
c{
} 
b,上可以定义多少个二元运算? 
=|S|

5 
a,c}
解:集合S={b,上的二元运算可以定义为f:S×S→S。|S×S|9,= 

3,所以集合
S 
上可以定义的二元运算的总个数是39。
例5.6 
下面各集合都是自然数集合N的子集,在普通加法运算(+)下是否封闭? 
(1){x|
x 
的某次幂可以被16整除}。
(2){x|
x 
与5互质}。
(3){x|
x 
是30的因子}。
(4){x|
x 
是30的倍数}。

ts+t

解:(1)封闭。若xs、y是16的倍数,则(x+y)也是16的倍数。

(2)不封闭。反例:2和5互质,3也和5互质,但2+3=5不与5互质。
(3)不封闭。反例:3和5都是30的因子,但3+5=8不是30的因子。
(4)封闭。
x 
是30的倍数,x+
y 
也是30的倍数。
解: 
7 
集合S={b} 
a,b} 
y 
是30的倍数,
=|S|2, 
例5.在集合S={上可以定义多少个二元运算? 
a,上的二元运算可以定义为f:S×S→S。|S×S|4,=
所以集合
S 
上可以定义的二元运算的个数是24。

5.代数运算的运算律
3 

定义5.2 
设
S 
是集合,..和*为集合
S 
上不同的二元运算。

(1)如果.x,有x..y=x,称运算..在
S 
上满足交换律()。
y∈S, y..commutativity

(2)如果.x,z∈S, x....x..(z), acaiiy
y,有(y)z=y..称运算..满足结合律(
soitvt)。

(3)如果.x∈S,有x..x,称运算..在
S 
上满足幂等律(e)。
x=idempotenc

(4)如果.x,y,z∈S, x*y)z=(..*(z),并且zx*y)zx)zy),
有(..xz)y....(=(..*(..
称..运算对*运算满足分配律(distributivity)。

(5)如果运算..和*都可交换,并且.x,y∈S,有x..(x*y)=
x 
和x*(x..y)=x, 
称..运算和*运算满足吸收律(absorptive)。
表5.6给出了一些代数运算的性质,其中Z表示整数集,
Q 
表示有理数集,
R 
表示实
(表示n(AA

数集,Mn R) n≥2)阶实矩阵集合,是所有从集合
A 
到集合
A 
的函数集合。

表5.一些代数运算的性质

6 

集合运算交换律结合律幂等律分配律吸收律
Z,
Q,
R 
+,× √ √ × ×对+ × 
Mn 
(
R) 矩阵加法(+)
矩阵乘法(×) 
√ 
× 
√ 
√ 
× 
× ×对+ × 
P(S) ∪,∩ √ √ √ 互相有√ 
AA 
函数合成× √ × × × 


124
离散数学简明教程

例5.分别判断下述二元运算是否满足交换律。

8 

(1)整数集合
Z 
上的减法
。
(2)
n 
阶实矩阵集合Mn 
(
R)上的矩阵加法
。
(3)*运算:任给a,a*b=b+a+b。
b∈
Z,a

(4)·运算:集合|S|≥2,.a,
a 
·b。
b∈S,b=
解:(1)、(4)不满足交换律,(2)、(3)满足交换律
。
例5.分别判断下述二元运算是否满足结合律
。


9 

(1)整数集合
Z 
上的减法运算
。
(2)
n 
阶实矩阵集合Mn 
(
R)上的矩阵加法
。
(3)*运算:任给a,a*b=b+a+b。
b∈
Z,a

(4)·运算:集合|S|≥2,.a,
a 
·b。
b∈S,b=
解:(1)不满足结合律,(2)~(4)满足结合律
。
例5.判断下述每一对二元运算是否满足分配律
。


10 

(1)在实数集合R上,乘法对加法。
(2)在实数集合R上,加法对乘法。
(3)在实数集合R上,乘法对减法。
(4)在正实数集合R+上,除法对加法。
(5)集合
S 
的幂集P(S)上,交运算对并运算。
解:(1)、(3)、(5)满足分配律,(2)、(4)不满足分配律。
左分配律和右分配律是相互独立的。证明*对..服从分配律时,必须证明左分配律和
右分配律都成立。如果*是可交换的,则只需验证一个分配律,因为左右分配律要么同时
成立,要么同时不成立。
例5.y∈Q,x+y-*运算是否满足交换律、结合律和幂等律?

11 
.x,x*y=xy,
解:.x,交换律成立
:


y∈Q,
x*y=x+y-xy
y*x=y+x-yx


y,结合律成立: 
x*y=y*
x 
-xy)

.x,z∈Q,
(x*y)*z=(
x 
+
y 
-xy)+z-(x+
y z
=
x 
+y+z-xy-yz+xyz
x*(=y+z-yz)-x(y+z-yz)


y*z)x+ (
=
x 
+y+z-xy-xz-yz+xyz
(x*y)*z=x*(y*z)
幂等律不成立。反例如下
:


2*2=2+2-2·2=0≠2 
所以,*运算满足交换律、结合律,不满足幂等律。
例5.分别说明表5...、是否满足交换律、结合律和幂

12 
7所示的二元运算*、· 
等律。


第
5 
章　代数系统的一般性质

表5.二元运算*、..、·运算表

7 

125
* 
a b c 
.. 
a b c · a b c a a b c a a b c a a b c b b c a b a b c b b b b c c a b c a b c c c b c 

解:(1)*运算满足交换律和结合律,不满足幂等律。

(2)..运算不满足交换律,满足结合律和幂等律。
(3)·运算满足交换律、结合律和幂等律
。
如果二元运算由运算表给出,则需要检查运算表的特征。具体说明如下
:
(1)如果运算表关于主对角线是对称的,则该运算满足交换律。
(2)如果运算表的主对角线元素排列顺序与表头元素顺序一致,则该运算是幂等的。
(3)结合律的判断需要对所有可能的元素x、y、
z 
验证关于结合律的等式。一般来
说,如果集合中有
n 
个元素,就需要验证n3 个等式。但是对于一些特殊情况,可以有某些简
便的方法。总之,对于结合律的验证是相当烦琐的。至于分配律和吸收律,就更难判断了。
具体分析上面3个运算*、..、·的运算表: 

(1)*和·的运算表,是对称的,所以*和·的运算满足交换律。
(2)·和..主对角线元素是a、b、c,与表头元素排列顺序一致,所以·和..满足幂
等律
(
。
3)关于结合律的验证,*运算的单位元是a,只需对
b 
和
c 
进行验证。又由于对称
性,只要验证关于
b 
、
bc、的情况即可。..运算的每个元素都是右零元,不必验证。

·运算的
a 
是单位元,
b 是c 零(c ) 
元。又由于对称性,的情况显然为真。

5.代数系统与代数常数
4 

定义5.非空集合
A 
及其上的若干个封闭运算f1,f2,…,组成的系统称为代数

3 
fn 
系统(algebraicsystem),记作<A;f1,f2,…,

fn 
>。

例5.下面是一些代数系统。

13 

(1)<N;+,×>,表示自然数集合及自然数的加法运算和乘法运算。
(2)<Σ;&,Lt,Rt,Lower,Upper>,表示字符串集合及字符串的连接运算、左截取

运算、右截取运算、小写化运算和大写化运算。
(3)<R;+,-,×>,表示实数集合及实数的加法、减法和乘法运算。
(4)<N;Max,Min>,表示自然数集合及自然数的求大值和求小值运算。
(5)<Tn×n 
;+,-,×>,表示
n 
阶方阵集合及矩阵的加法、减法和乘法运算。
(6)<R-{0};÷>,表示非零实数集合及实数除法运算。
(7)<P(E);∪,∩,~>,表示幂集及集合的并、交、补运算。
(8)<P(E);..>,表示全集的幂集及集合的对称差运算。
(9)<K;K={1,k-1}, :对于任意k1,有k1+mk2=

+m>,0,2,…,运算+mk2∈K, 


126
离散数学简明教程

(dk。

k1+k2)mo
检验以上的例子,可以发现所有运算都是在集合上封闭的,也就是说,运算数来自这
个集合,运算结果属于这个集合。
例5.下面的集合与运算不构成代数系统。

14 

(1)<N;->,表示自然数集合及减法运算。因为两个自然数相减,结果可能是

负数
(
。
2)<R-{0};+>,表示非零实数集合及加法运算。非零实数-2和2进行加法运
算的结果为0。
例5.设S={2,6,9,
S 
对于下面的运算能否构成代数系统?

15 
1,5,8,10},

(1)求最大公约数。
(2)求最小公倍数。
(3)求两个数之中较大的数。
解:(1)、(2)不是,(3)是。
判断给定集合与运算能否构成代数系统,实际上是判断所有给定的运算是否为该集
合上的运算。
(1)6和9的最大公约数是3,3不在
S 
中,运算不封闭。
(2)6和9的最小公倍数是18,18不在
S 
中,运算不封闭。
(3)
S 
中的任意两个元素x、y(不妨设x<y),较大的数是y,运算封闭。
在某些代数系统中,存在着一些特定的元素,它们对于代数系统的一元运算或二元运

算起着重要的作用。在定义代数系统的时候,有时规定代数系统必须含有这些特定元素, 
作为代数系统的性质,例如,规定代数系统必须具有单位元和零元。
4 
)∈S,

定义5.设..为集合
S 
上的二元运算,如果.el(或e使得对.x∈S,都有
el..x=x(或x..r=x),则称el(或er)是
S 
中关于..运算的左((r) 或右)单位元。若e∈
S 
关
于..运算既是左单(e) 位元又是右单位元,则称
e 
为
S 
上关于..运算的单位元。单位元也称为
幺元(identityelement),一般记作e。

如果.θl(或θ)∈S,使得对.x∈S,都有θl..x=θl(或x..θr=θ),则称θl(或θr)是
S 
中关于..运算的左((r) 或右)零元。若
S 
关于..运算既是左零元又是右零(r) 元,则称
θ 
为
S 
上
关于运算..的零元(zeroelement),一般记作θ。

令
e 
为
S 
中关于运算..的单位元。对于x∈S,如果.yl(或yr)∈S,使得yl..x=
(或x..yr=e),则称yl(或yr)是
x 
的左逆元(或右逆元)。若y∈
S 
既是
x 
的左逆元又是(e) x 
的右逆元,则称
y 
为
x 
的逆元(nesln一般记作
x 
-1。如果
x 
逆元存在,就
称
x 
可逆。
ivreeemet), 

单位元和零元称为代数系统的代数常数。表5.

8给出了一些代数系统的代数常数。

表5.一些代数系统的代数常数

8 

集合运算单位元零元逆元
Z,
Q,
R 
+ 
× 
0 
1 
无
0 
-
x 
1/x(x≠0) 


第
5 
章　代数系统的一般性质

续表

127
集合运算单位元零元逆元
Mn 
(R) 矩阵加法(+)
矩阵乘法(×) 
零矩阵
单位矩阵
无
零矩阵
-
M M 
-1(
M 
为可逆矩阵) 
P(S) ∪ 
∩ 
. 
S S 
. 
只有.有逆元. 只有
S 
有逆元
S 

关于代数系统的单位元、零元与逆元,有下述定理。
定理5.设..为集合
S 
上的二元运算,为
S 
中

1 
el 为
S 
中关于..运算的左单位元,

关于..运算的右单位元。记作el=er=e,这是集合S上关于..运算的唯一单位元。(r) (e) 证明:因为er 为右单位元,所以el..er=el。
因为el为左单位元,所以el..er=er。
所以el=er,将这个单位元记作e。
假设e'('≠e)也是
S 
中的单位元,则有e。
因此,集合(e) S 
上关于..运算单位元是唯一的
'=
。
e..e'=
e 
类似地可以证明关于零元的唯一性。
定理5.设..为集合
S 
上可结合的二元运算,如果

2 e 
为..运算的单位元。对于x∈S, 
存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y,且
y 
是
x 
唯一的逆元。
证明:如果x∈
S 
存在左逆元yl 和右逆元yr,那么yl..e,

e 
为..运算的单位元, x=
x..yr=e。
yl=yl..e=x..yr)yl..x)..yr=e..yryr

yl..(=(=
令yl=yr=
y 
是
x 
的逆元。
若y'∈S('
y≠
,
y) 则yy..y..(y)y....ey

y也是
x 
的逆元, '='e='x..=('x)y=..y=。
所以
y 
是
x 
唯一的逆元。
由定理5.2可知,对于可结合的二元运算,可逆元素
x 
只有唯一逆元,通常记作
x 
-1。
用反证法可以证明,单位元与零元是不同的,除非集合
S 
只有一个元素。在集合
S 

只有一个元素的情况下,这个唯一的元素既是单位元也是零元。
由上述定理可以得到下面两个推论。
其逆元是它自己()。推论5.1 
代数系统中的单位元
e 
是可逆元素, 
e 
推论5.代数系统中的零元素
θ 
不是可逆元素。

2 

对于一个代数系统,如何求代数系统的单位元和零元? 对于代数系统中的元素x,如
何求
x 
的逆元? 一般把单位元e、零元
θ 
或逆元
x 
-1分别带入公式,然后求解。
例5.在有理数集合Q上定义*运算:.x、。求出*

16 
y∈Q,x*y=x+y-xy 
运算的单位元、零元和Q上所有可逆元素的逆元。
解:.x∈Q,有x*e=e*x=x,即x+e-xe=e+x-ex=x+e(1-x)=0。由
x 
的任意性可得e=0。
.x∈Q,有x*θ=θ*x=x,即x+θ-xθ=θ+x-θx=θ,x(1-θ)=0,由
x 
的任
意性可得θ=1。