第5章
CHAPTER 5


模拟信号数字化






5.1引言
数字通信由于自身固有的各种优点已得到广泛的应用。但常见的通信业务如电话、传真、电视等，这些信源输出的都是模拟信号。因此，如何实现从模拟信源到数字信源的转换是实现通信系统全数字化的一个重要环节。

在通信系统的发送端把模拟信号转换成数字信号是波形编码，简称“模/数转换(Analog to Digital Conversion，A/D)”，它包括三个基本步骤： 抽样、量化和编码。最终变换为二元数字序列。在接收端为了恢复原来的模拟信号则应包括一个“数/模转换
(Digital to Analog Conversion，D/A)”装置。

采用抽样、量化、编码等方法使模拟信号不但在时间上离散化，而且在幅度上用有限个数字量来表示，这便是模拟信号数字化。最常用的模拟信号数字化方法是脉冲编码调制(Pulse Code Modulation，PCM)。PCM的系统原理框图如图5.1.1所示。图中，输入模拟信号m(t)通过抽样后成为时间上离散、幅度上连续的模拟信号，称为脉冲振幅调制(Pulse Amplitude Modulation，PAM)信号。PAM信号经过量化后输出的是时间上和幅度上都离散的数字信号。编码是将量化输出的数字信号按一定的规则用二进制数字序列表示。接收端译码器进行与编码相反的变换，低通滤波器输出的是恢复的模拟信号。


图5.1.1PCM系统原理框图


本章在介绍抽样定理的基础上，以最常见的电话业务中的模拟语音信号为例，讨论了模拟信号数字化的基本原理和方法，即脉冲编码调制(PCM)、增量调制(Delta Modulation，ΔM)和差分脉码调制(Differential Pulse Code Modulation，DPCM)。然后介绍了时分复用的概念和多路数字电话系统。

5.2抽样定理
将时间上连续的模拟信号处理成时间上离散的信号，这一过程称之为抽样或采样、取样。如何使抽样值能完全表示原信号的全部信息，也就是由离散的抽样序列能不失真地恢复出原模拟信号则可由抽样定理来确定。因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论基础，也就是说，抽样定理为模拟信号与数字序列之间的可转换性奠定了理论基础。这对数字通信来说是十分重要的。

抽样定理告诉我们： 如果对某一带宽有限的时间连续的模拟信号进行抽样，且抽样速率达到一定数值时，由这些抽样值就能准确地确定原信号。这意味着： 如果要传输时间连续的模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只要传输按抽样定理得到的抽样值，在接收端就能恢复出该模拟信号。抽样定理将连续信号和相应的时间离散信号本质地联系了起来。
那么，究竟以怎样的抽样频率进行抽样才能在接收端恢复原信号呢？下面分别就低通型信号和带通型信号来讨论这个问题。




5.2.1低通型信号抽样定理

一个频带限制在(0，fH)内的低通型模拟信号m(t)，它完全由以速率fs≥2fH对其等间隔抽样的抽样值所确定。这就是说m(t)中所含的全部信息都包含在抽样值中而没有丢失，因此，m(t)完全可以用抽样值代替。这就是奈奎斯特抽样定理或低通型波形信号的均匀抽样定理。由该定理我们可以知道，无失真地恢复原信号的最低抽样速率是fs=2fH，称为奈奎斯特速率。相应的最大抽样时间间隔Ts=12fH称为奈奎斯特间隔。事实上，若fs<2fH恢复原信号时就会产生混叠失真。下面我们从频域和时域上来证明抽样定理。

假设频带限于(0，fH)内的被抽样模拟信号m(t)的傅里叶变换为M(ω)，抽样脉冲是周期性单位冲激序列δT(t)，即



δT(t)=∑+∞n=-∞δ(t-nTs)(5.2.1)


式中，Ts为抽样脉冲的周期。δT(t)的傅里叶变换为


δT(t)δT(ω)=2πTs∑+∞n=-∞δ(ω-nωs)(5.2.2)




图5.2.1抽样模型

式中，ωs=2πTs为抽样频率。根据图5.2.1所示的抽样模型，我们可以得到抽样后输出信号


ms(t)=m(t)·δT(t)(5.2.3)



由傅里叶变换的卷积定理，ms(t)的傅里叶变换Ms(ω)可写成


Ms(ω)=12π［M(ω)*δT(ω)］=1Ts［M(ω)*∑+∞n=-∞δ(ω-nωs)］ 

=1Ts∑+∞n=-∞M(ω-nωs)(5.2.4)


上式表明Ms(ω)是由无穷多个间隔为ωs的M(ω)相叠加而成，也就是Ms(ω)的频谱是由M(ω)频谱的周期性重复构成，重复周期是抽样频率ωs。如果ωs≥2ωH，即Ts≤12fH，M(ω)就周期性地重复而不重叠构成Ms(ω)，因而从频域上看，可由Ms(ω)通过采用理想低通滤波器来恢复M(ω)； 如果ωs<2ωH，Ms(ω)是M(ω)的周期性重复但存在重叠或称混叠，则不能由Ms(ω)恢复M(ω)。图5.2.2示出了抽样过程中信号的时间波形和频谱。由图5.2.2(f)看到，当满足抽样定理时原信号完全可由抽样信号通过低通滤波器取出，也就是抽样值包含了原信号的全部信息。


图5.2.2抽样过程中信号的时间波形和频谱


上面我们从频域上证明了抽样定理的正确性，即从频域上说明了抽样信号频谱与原信号频谱的关系。下面从时域上来分析抽样信号ms(t)与原信号m(t)的关系，也就是m(t)如何由ms(t)来恢复。我们以最低抽样速率对信号m(t)抽样，即取fs=2fH，把它代入式(5.2.4)，得到



Ms(ω)=1Ts∑+∞n=-∞M(ω-2nωH)(5.2.5)


为了得到M(ω)，将Ms(ω)通过如下的理想低通滤波器


H(ω)=Ts（|ω|≤ωH）


0（|ω|>ωH）(5.2.6)


其冲激响应为


H(ω)h(t)=Sa(ωHt)(5.2.7)


当式(5.2.5)表示的抽样信号通过式(5.2.6)的理想低通时，只有n=0这一项可以通过，其余项都被低通滤波器滤除，因此有


Ms(ω)·H(ω)=1TsM(ω)·H(ω)=M(ω)(5.2.8)


由卷积定理可求得M(ω)的时域表达式为


m(t)=ms(t)*h(t)=ms(t)*Sa(ωHt)(5.2.9)



因为


ms(t)=m(t)·δT(t)=m(t)·∑∞n=-∞δ(t-nTs)

=∑∞n=-∞mnδ(t-nTs)(5.2.10)


式中，mn是m(t)的第n个抽样值。将式(5.2.10)代入式(5.2.9)中，因此有


m(t)=∑∞n=-∞mnδ(t-nTs)*Sa(ωHt)=∑∞n=-∞mnSa［ωH(t-nTs)］

=∑∞n=-∞mnSa(ωHt-nπ)(5.2.11)


式(5.2.11)表明： 将每个抽样值mn与相对应的抽样函数相乘，并将所得的全部波形相加，即得到原信号m(t)，如图5.2.2(g)所示。这也说明了原信号完全可由抽样值来恢复。
5.2.2带通型信号抽样定理

上面我们讨论了低通型连续信号的抽样频率应该不低于2fH。那么对于带宽比最低频率分量小的带通型信号来说，是否还需要至少以信号最高频率两倍的抽样速率对其抽样呢？下面将对这个问题进行讨论。

如果一个信号的最高频率为fH，最低频率是fL，带宽为B=fH-fL，通常将fL<B的信号定义为低通型信号，而将fL≥B的信号称为带通型信号。带通型信号m(t)的频谱M(ω)如图5.2.3(a)所示，将fH表示成


fH=nB+kB（0<k<1）(5.2.12)


式中，n为不超过比值fHB的最大整数。带通抽样定理告诉我们，抽样后不发生波形混叠失真的抽样频率应满足下列关系式： 


fs≥2B1+kn(5.2.13)



图5.2.3示出了当fH=4B+0.5B，fs=2B1+0.54=2.25B时的已抽样信号频谱波形。从图中可看到频谱波形不发生混叠且波形中间有0.25B的空隙，M(ω)的频谱成分包含其中，因此用带通滤波器完全可以准确地恢复m(t)。一个特别的情况是当k=0，也就是信号最高频率是信号带宽的整数倍，即fH=nB时，这时所需的采样频率最低，最小等于2B，即最低采样频率是信号带宽的2倍，并与信号的最高频率取值无关。这时图5.2.3(c)的抽样信号频谱波形之间将没有空隙。


图5.2.3fH=4.5B时带通信号的抽样频谱


根据式(5.2.13)画出的曲线如图5.2.4所示。图中示出了最低取样频率与带通信号所含最低频率的关系。可以看到，不论信号所处的频段位置如何，恢复信号所需的最低取样频率总是在2B与4B之间。而且，随着n的增加，采样频率fs趋向于2B。在实际中得到广泛应用的高频窄带信号一般都满足fHB，也就是n的值都比较大，所以其抽样频率常用2B来近似。


图5.2.4带通抽样频率的fs与fL的关系


最后需要指出的是抽样定理也适用于频带受限的广义平稳随机信号。

5.2.3自然抽样与平顶抽样
在前面讨论抽样定理时，采用的抽样脉冲序列是周期性理想单位冲激序列δT(t)，这样的抽样称为理想抽样。理想冲激序列在实际中不能实现。因此，实际抽样电路中采用的抽样脉冲总是具有一定的持续时间，也就是具有一定的脉冲宽度，这样的抽样称为实际抽样。根据抽样脉冲脉宽持续时间内的幅度是否随被抽样信号而变化，实际抽样又可以分为自然抽样
和平顶抽样。由实际抽样得到的已抽样信号也称为脉冲振幅调制(PAM)信号。

1. 自然抽样

在抽样脉冲持续期间，抽样脉冲幅度随被抽样信号而变化的抽样称自然抽样，又称曲顶抽样。设抽样脉冲序列s(t)是幅度为A，脉宽为τ，周期为Ts的周期矩形脉冲序列，其傅里叶级数可表示为


s(t)=AτTs∑+∞n=-∞Sanωsτ2·ejnωst(5.2.14)


式中，ωs=2πTs。由上式得到s(t)的傅里叶变换为


S(ω)=2πAτTs∑+∞n=-∞Sanωsτ2·δ(ω-nωs)(5.2.15)


被抽样基带信号m(t)的傅里叶变换为M(ω)，信号的最高频率为ωH，则自然抽样后得到的信号为


ms(t)=m(t)·s(t) (5.2.16)


根据卷积定理，式(5.2.16)的频谱表达式为


Ms(ω)=12π［M(ω)*S(ω)］

=AτTs∑+∞n=-∞Sanωsτ2·M(ω-nωs)(5.2.17)


将式(5.2.17)与式(5.2.4)比较，可看到自然抽样与理想抽样信号的频谱分量形状相似，仅有幅度大小的差异且前者每一个M(ω-nωs)频谱幅度随n增大按Sa(x)函数逐渐衰减。据此，自然抽样也能用低通滤波器从Ms(ω)中取出M(ω)，因此两者的抽样和恢复过程是一样的。
2. 平顶抽样
抽样值的幅度是抽样时刻信号的瞬时值，而且在抽样脉冲持续期间样值幅度保持不变，这样的抽样称为平顶抽样，又称瞬时抽样。由于每个抽样脉冲顶部不随信号变化，在实际应用中可采用抽样保持电路来实现。为方便分析，可以把平顶抽样看成是理想抽样后再经过一个冲激响应是矩形的网络形成的，如图5.2.5(a)所示。图中的乘法器完成理想抽样，其输出信号的频谱Ms(ω)如式(5.2.4)，脉冲形成电路的冲激响应h(t)和频率特性H(ω)分别为


h(t)=A（|t|≤τ2）

0其他(5.2.18)

H(ω)=AτSaωτ2(5.2.19)


那么，平顶抽样电路输出信号的频谱为


MH(ω)=Ms(ω)·H(ω)=1Ts∑+∞n=-∞M(ω-nωs)·H(ω)

=AτTs∑+∞n=-∞Saωτ2·M(ω-nωs)(5.2.20)




图5.2.5平顶信号产生和恢复原理框图


式中，频谱幅度加权项Saωτ2是频率的函数，它使原信号频谱M(ω-nωs)的频率分量发生了变化，是频谱失真项。因此，在接收端不能直接由低通滤波器从MH(ω)取出M(ω)，而应在低通滤波器前采用频率响应为1/H(ω)的网络来进行频谱补偿，如图5.2.5(b)所示，以抵消上述失真项。

以上讨论的实际抽样都是采用矩形窄脉冲序列为抽样脉冲，这是实际中采用比较多的一种形式，但原理上只要能够反映瞬时抽样值的任意脉冲形式都是可以采用的。
5.3量化与信号量化噪声功率比
模拟信号经抽样后，样值脉冲的幅度变化仍是连续的，其取值的数目是无限的。显然，如果传输这样的时间离散、幅度连续的抽样信号仍然会受到干扰噪声的直接影响。因此，还必须对抽样信号进行幅度离散化即量化。所谓量化就是用有限个电平来表示幅度取值连续的模拟抽样值。也就是对信号变化范围内的电平作分层处理，层与层之间为量化间隔称为量化台阶，用Δv表示，每一个量化台阶表示一个量化级或一个量化电平。按量化台阶用取整的方法将抽样值用最接近的量化级代替。

量化由量化器完成，如图5.3.1(a)所示。若量化器输入抽样信号m(kTs)满足


mi-1≤m(kTs)≤mi(5.3.1)


则量化器输出为


mq(kTs)=qi(i=1，2，…，M)(5.3.2)


式中，mi-1、mi分别为量化器第i个量化间隔的起始和终点电平，qi为量化器第i个量化间隔的量化输出电平，如图5.3.1(b)所示，其大小为量化间隔的中点电平，即


qi=mi+mi-12(5.3.3)




图5.3.1量化器及第i个量化间隔电平


经过量化的信号与原信号存在一定的误差，称为量化误差。这是因为量化输出信号只能取有限个量化电平之一，所以量化过程不可避免地会造成误差。由于量化误差产生的影响类似于干扰和噪声，故又称其为量化噪声。量化误差可表示为


ΔV=m(kTs)-mq(kTs)(5.3.4)


量化误差一般在±Δv/2内变化。由于量化实际上是用离散随机变量mq(kTs)来近似表示连续随机变量m(kTs)，所以量化噪声功率Nq可用均方误差E{［m(kTs)-mq(kTs)］2}来度量，即



Nq=E{［m(kTs)-mq(kTs)］2}(5.3.5)


因而，用来衡量量化器性能的主要技术指标——信号量化噪声功率比可定义为


SoNq=E［m2(kTs)］E{［m(kTs)-mq(kTs)］2}(5.3.6)


根据对电平分层是否均匀，量化可分为均匀量化和非均匀量化两种。
5.3.1均匀量化

把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化。当信号是均匀分布(如图像信号)时，均匀量化器是最佳量化器。设量化器输入信号的最大值为b，最小值为a，量化电平数为M，那么均匀量化的量化间隔为


Δv=b-aM(5.3.7)


当mi-1≤m(kTs)≤mi时，量化器输出


mq(kTs)=qi=mi+mi-12=a+iΔv-Δv2(5.3.8)



第i个量化间隔的终点电平可写成


mi=a+iΔv(5.3.9)


均匀量化器的量化噪声功率为


Nq=E{［m(kTs)-mq(kTs)］2}=∫ba［x-mq(kTs)］2f(x)dx

=∑Mi=1∫mimi-1(x-qi)2f(x)dx(5.3.10)


式中，f(x)是输入随机信号的概率密度函数。输入信号功率为


So=E［m2(kTs)］=∫bax2f(x)dx(5.3.11)


下面我们来具体求解一个均匀量化器的信号量化噪声功率比。假定输入信号取值的概率分布在区间［-a，a］内是均匀的，量化器量化级数为M，那么信号的概率密度函数为


f(x)=12a-a≤x≤a


由式(5.3.8)得到量化器第i个量化间隔的输出电平


qi=-a+iΔv-Δv2


由式(5.3.9)得到量化器第i个量化间隔的终点电平


mi=-a+iΔv


将上面的关系式代入式(5.3.10)，得到


Nq=∑Mi=1∫mimi-1(x-qi)2f(x)dx

=∑Mi=1∫-a+iΔv-a+(i-1)Δv
x+a-iΔv+Δv2212adx


令y=x+a-iΔv+Δv2，有


Nq=∑Mi=1∫Δv/2-Δv/2y2·12a·dy=∑Mi=112a·(Δv)312=M(Δv)324a


将M·Δv=2a代入上式，求得均匀量化器的量化噪声功率为


Nq=(Δv)212(5.3.12)


由式(5.3.11)求得信号功率为


So=∫a-ax212adx=a23=M212(Δv)2(5.3.13)


将式(5.3.12)和式(5.3.13)代入式(5.3.6)，得到均匀量化器的信号量化噪声功率比为


SoNq=M2(5.3.14)


用分贝表示


SoNqdB=10
logSoNq=20logM(5.3.15)


由式（5.3.15）可见，信号量化噪声功率比与量化级数的平方成正比。在相同信号功率下，通过增加量化级数或减小量化间隔可以减小量化噪声，使信号量噪比得到提高。但量化电平数的增加会使编解码设备复杂度增加，当采用二进制编码时，编码位数将增加，用于传输的信道带宽也将增加。

由式(5.3.12)可看到均匀量化时的量化噪声功率与输入抽样信号的大小无关，仅与量化间隔有关。对于均匀量化，在量化区间内，大、小信号的量化间隔是相同的。因此，当量化间隔确定后，量化噪声功率是不变的。这就容易导致小信号的信号量噪比下降而不能满足要求，如在数字话音通信系统中要求信号量噪比≥26dB，大信号的信号量噪比却远远超出系统要求的指标。这时为了满足系统的要求或者是对最小允许输入信号提出要求，使输入信号动态范围减小； 或者增加量化电平数即减小量化间隔，使小信号时能满足信号量噪比的要求。这是均匀量化存在的一个主要缺点，克服的方法是采用下面将讨论的非均匀量化。

5.3.2非均匀量化
根据信号取值的不同区间来确定不同量化间隔的方法称为非均匀量化。非均匀量化可以实现在不增加量化级数M的前提下，利用降低大信号的信号量噪比来提高小信号的信号量噪比。也就是信号幅度小时，量化间隔小，其量化误差也小； 信号幅度大时，量化间隔大，其量化误差也大。对具有非均匀概率密度分布的信号，通过非均匀量化还可以得到较高的平均信号量噪比。例如，话音信号，其信号取值的概率密度分布可近似地用拉普拉斯分布来表示，即


p(u)=1σu2·e-2|u|σu(5.3.16)




图5.3.2话音信号概率密度分布曲线


相应的概率密度分布曲线如图5.3.2所示，图中U为过载电压。由图可见，话音信号为小信号时出现的概率大，大信号时出现的概率小且随着信号幅度的增加，其概率密度分布按指数规律衰减。因此，对话音信号采用非均匀量化既可以使小信号时的信号量噪比得到改善，又由于小信号出现的概率大使得信号量噪比改善概率增大而得到较高的平均信号量噪比。下面我们就语音信号来分析非均匀量化的方法。

实现非均匀量化的方法之一是采用压缩扩张技术，即在发送端对输入量化器的抽样信号先进行压缩处理再均匀量化、编码，在接收端进行相应的解码和扩张处理。压缩特性是对小信号放大，对大信号压缩，扩张特性正好与压缩特性相反。非均匀量化的原理框图如图5.3.3所示。


图5.3.3非均匀量化原理框图


实际中采用的主要压缩方法是近似对数压缩，它包括μ压缩律和A压缩律。
1. μ压缩律
μ压缩律主要用于美国、加拿大和日本等国的PCM24路基群中。其压缩特性具有如下的关系式



y=ln(1+μx)ln(1+μ)0≤x≤1(5.3.17)


式中，x，y分别为归一化的压缩器输入、输出电压，定义为： 


x=压缩器输入电压压缩器可能的最大输入电压

y=压缩器输出电压压缩器可能的最大输出电压


μ是压扩参数，表示压缩的程度。μ增大，压缩效果明显； μ=0时，y=x，表示输入、输出信号无压缩。μ律压缩特性曲线如图5.3.4(a)所示。它是以原点奇对称的，这里仅画出了正向部分。由图可见，压缩器特性曲线在小信号时斜率大于1，大信号时斜率小于1，说明压缩器对小信号是放大，对大信号是压缩。接收端的扩张特性应该与压缩特性正好相反，以与压缩器的作用相互抵消，使最终输出信号除量化误差外没有失真。μ律扩张特性曲线如图5.3.4(b)所示。下面我们来具体分析μ压缩律的信号量噪比的改善程度。对式(5.3.17)求导


y′=μ(1+μx)·ln(1+μ)(5.3.18)




图5.3.4μ律压扩特性曲线


因为压缩器输出y是均匀分级的，由于压缩反映到输入信号x就成为非均匀了，因此设非均匀量化间隔为Δx，当量化级数M很大即量化分层很密时，有


ΔyΔx=dydx=y′


那么，量化误差为


Δx2=1y′·Δy2=(1+μx)·ln(1+μ)μ·Δy2


因为Δy/2与Δx/2的比值，即y′=Δy/Δx表示信号压缩后的放大倍数，或者说量化精度的提高倍数，也就是非均匀量化相对于均匀量化的信号量噪比改善程度。所以用分贝表示的信号量噪比改善程度为


QdB=20lgΔyΔx=20lgdydx(5.3.19)


小信号(x→0)时，取μ=100，由式(5.3.18)和式(5.3.19)得到信号量噪比的改善程度为


dydxx→0=μln(1+μ)=100ln(1+100)=21.67

QdB=20lgdydx=20lg21.67=26.72(dB)


大信号(x=1)时，信号量噪比的改善程度为


dydxx=1=μ(1+μ)ln(1+μ)=100(1+100)ln(1+100)=0.2145

QdB=20lgdydx=20lg0.2145=-13.37(dB)



由上述计算可知，小信号时信号量噪比改善了26.72dB，而大信号时信号量噪比损失了13.37dB。归一化输入信号电平与信号量噪比改善程度的具体数据如表5.3.1所示。表中，QdB>0表示提高的信噪比，QdB<0表示损失的信噪比，取μ=100。图5.3.5画出了有无压扩的比较曲线。图中，μ=0和μ=100分别是无压扩和有压扩的归一化输入信号与输出信号量噪比的曲线。由图可见，无压扩时，信噪比随输入信号的减小而迅速下降，为满足信噪比大于26dB的系统要求，输入信号必须大于-18dB； 有压扩时，信噪比随输入信号的减小而下降较缓慢，若要使信噪比大于26dB，输入信号只要大于-36dB即可。因此，压扩技术提高了小信号的信噪比，也相当于扩大了输入信号的动态范围。

实际中μ的取值在早期是μ=100，现在国际标准是μ=255。


表5.3.1输入信号电平与信号量噪比改善程度的关系



输入信
号电平

x10.3160.10.03120.010.003

x(dB)0-10-20-30-40-50


QdB-13.3-3.55.814.420.624.4


2. A压缩律
A压缩律主要用于英、法、德等欧洲各国及我国的PCM30/32路基群中。其压缩特性具有如下的关系式


y=Ax1+lnA,0≤x≤1A

1+lnAx1+lnA,1A<x≤1
(5.3.20)


式中，x、y分别为归一化的压缩器输入、输出电压； A是压扩参数，表示压缩的程度。A律压缩特性曲线如图5.3.6所示。它也是以原点奇对称的，这里仅画出了正向部分。由图可见，在0≤x≤1/A范围内，y是一段直线，也就是说是均匀量化特性； 在1/A<x≤1范围内，是对数特性曲线，为非均匀量化。当A=1时，无压扩，为均匀量化。现行国际标准取A=87.6。


图5.3.5有无压扩的比较曲线




图5.3.6A律压缩特性曲线


A律与μ律压缩性能基本相似，小信号时μ律的信噪比改善优于A律。A律和μ律是CCITT建议G711中共存的两个国际标准。


3. 对数压缩特性的实现
由式(5.3.17)和式(5.3.20)表示的μ律和A律压扩特性都是连续的曲线。如果用电子电路来实现这样的函数规律是相当复杂的，特别是要保证压缩特性的一致性与稳定性以及压缩与扩张的匹配是很困难的。一般采用折线段来近似表示对数压缩特性。这样，它基本上保持了连续压扩特性曲线的优点，又便于用数字电路来实现近似A律和μ律特性的折线压扩特性。一般采用13折线法来逼近A律(A=87.6)压扩特性； 采用15折线法来逼近μ律(μ=255)压扩特性。
图5.3.7是A压缩律的13折线实现。具体实现方法是： 对x轴在0~1(归一化)范围内以2倍递增规律分成8个不均匀段，即取0~1/128之间作为第一段，取1/128~1/64之间作为第二段，取1/64~1/32之间作为第三段，依次下去，直到1/2~1为第八段； 对y轴

在0~1(归一化)范围内均匀地分成八段，每段间隔长度为1/8，因此它们的分段点是1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，7/8； 将坐标点(1/128，1/8)与原点相连构成第一段直线，再将点(1/64，2/8)与点(1/128，1/8)相连构成第二段直线，依次下去，直到点(1,1)与点(1/2，7/8)相连形成第八段直线。这样就可以得到由上述八段直线连成的一条折线。由于第一、二段的直线斜率相等，所以实际上只有七段直线。又由于压缩特性对原点奇对称，负方向也有七段直线，而负方向的第一段直线与正方向的第一段直线斜率是相同的，因此，共有13段直线构成，故称其为13折线。各段折线的斜率及x、y的起止坐标如表5.3.2所示。



图5.3.7A压缩律的13折线实现



表5.3.2A律13折线压缩特性各段落折线的斜率



段落12345678
x范围0~11281128~164164~132132~116116~1818~1414~1212~1
y范围0~1818~2828~3838~4848~5858~6868~7878~1
折线斜率161684211/21/4


13折线与式(5.3.20)表示的A=87.6的压缩特性是十分接近的。首先，13折线和A律曲线在原点处的斜率是相等的，这是通过选择合适的A参数达到的，即原点处折线的斜率为


1/81/128=16


A律曲线在原点处的斜率是


A1+lnA


令两者相等，可以得到A=87.6。这就是为什么取A=87.6的原因。13折线和A律曲线在原点处的斜率相等说明两者对小信号信号量噪比的改善程度是相当的。下面具体分析它们的近似程度。式(5.3.20)表示的A律曲线由两段组成，它们的相切点坐标为x=1/87.6，y由式(5.3.20)求得


y=Ax1+lnA=11+ln87.6≈0.183


因此，当y≤0.183时，A律曲线的x值应按式(5.3.20)的第一式计算，即


x=1A(1+lnA)y=187.6(1+ln87.6)y≈0.0625y(5.3.21)


当y>0.183时，A律曲线的x值应按式(5.3.20)的第二式计算，即


lnAx=(1+lnA)y-1

x=1(eA)1-y(5.3.22)


根据式(5.3.21)和式(5.3.22)计算的A律曲线(A=87.6)的x值和按折线分段的x值分别列于表5.3.3中。显然，表中对应于y≤1/8的A律曲线x值是按式(5.3.21)计算的，对应于y≥2/8的A律曲线x值是按式(5.3.22)计算的。由表可见，对应于同一y值的两个x值基本上是近似相等的，这说明按2倍递增规律进行非均匀分段的折线与A=87.6的A律压缩特性是十分逼近的。同时，x按2的幂次分割有利于数字化。


表5.3.3A律曲线(A=87.6)x计算值与按13折线分段的x值比较



y01/82/83/84/85/86/87/81
A律曲线x计算值01/1281/60.61/30.61/15.41/7.791/3.931/1.981
按折线分段的x值01/1281/641/321/161/81/41/21


用折线逼近μ律特性曲线的方法与A律一样，但它是采用15折线来近似的。具体方法是： y轴在0~1(归一化)范围内仍然是均匀地分割成八段，每段间隔长度为1/8，分段点的坐标是i/8(i=0，1，2，…，8)，相应的x分段点坐标由式(5.3.17)计算得到，即


x=256y-1255=256i/8-1255=2i-1255


其具体的段落区间坐标及斜率如表5.3.4所示。15折线的形成类似于A律13折线。由表5.3.4可见，各段落折线的斜率都是以1/2倍递减。由于压缩特性曲线的奇对称性，其正负方向各有8段直线，共16段直线。但正方向的第一段直线斜率与负方向的第一段直线斜率是相同的，所以整个μ压缩律由15段直线形成，故称其为μ律15折线。原点处的斜率为


1/81/255=31.875


它是A律13折线在原点处的斜率的近2倍，因此，小信号的信号量噪比改善量也将比A律13折线大近一倍，但其大信号的信号量噪比要比A律的差。


表5.3.4μ律15折线压缩特性各段落折线的斜率



段落12345678

折线端点i012345678
y=i80182838485868781
x=2i-125501255325572551525531255632551272551

折线斜率8255ΔyΔx11214181161321641128

接收端的扩张过程是发送端压缩的逆过程，两者特性曲线的合成等效于信号通过线性系统而没有失真。扩张的原理类似于压缩原理，因此，这里不再赘述。
5.4脉冲编码调制(PCM)
模拟信源经过抽样、M级电平量化后，可以作为M进制数字信号直接传输，但更一般的是采用编码方式将每个量化电平变换成较低进制数的代码后进行传输，通常是采用二进制代码来表示。发送时代码用一定的脉冲序列代替。我们将模拟信号抽样量化，然后变换成代码的过程称为脉冲编码调制(Pulse Code Modulation，PCM)。脉冲编码调制最典型的应用是将模拟语音信号变换成数字信号。下面以语音信号为例，对PCM编码的原理和系统性能加以讨论。
5.4.1PCM编码原理
脉冲编码调制中的抽样和量化已经在前面讨论过，这里主要讨论将已抽样量化的语音信号如何变换成二进制代码，也就是编码、译码原理。
1. 码型选择
在PCM中，把信号量化值转换成二进制码组称为编码。其相反过程称为解码或译码。码型指的是量化后的所有量化级，按其量化电平的大小次序排列起来，并由按一定规则变化的各个码字表示，这些码字的全体就称为码型。显然，码字变化规则不同，码型就不同。理论上，任何一种可逆的二进制码型都可以用于PCM编码。常用的二进制码型有自然二进码和折叠二进码两种，对应的编码规律如表5.4.1所示。表中，用4位二进制码表示16个量化级。这16个量化级可分成两部分： 0~7的8个量化级对应负极性样值脉冲； 8~15的8个量化级对应正极性样值脉冲。从表中可以看到，自然二进码的码值随信号从小到大依次增大，其上、下两部分的码字无任何相似之处。对于折叠二进码，除最高位外，上半部分与下半部分呈倒影关系，也就是折叠关系。上半部分的最高位为全“1”，表示正信号； 下半部分的最高位为全“0”，表示负信号。


表5.4.1常用二进码型



样值脉冲极性自然二进码折叠二进码量化级

正极性部分


1111111115
1110111014
1101110113
1100110012
1011101111
1010101010
100110019
100010008

续表



样值脉冲极性自然二进码折叠二进码量化级

负极性部分


011100007
011000016
010100105
010000114
001101003
001001012
000101101
000001110


语音信号的PCM编码采用折叠二进码。这是因为折叠二进码与自然二进码比较有下列两个优点： ①对双极性信号(语音信号通常具有这样的特点)，可用最高位表示信号的正、负极性，而用其余的码表示信号的绝对值大小。这意味着对正、负极性信号，只要它们的绝对值相同，则可进行相同的编码。也就是说，用第一位码表示信号极性后，双极性信号可以采用单极性编码方法。因此，采用折叠二进码可以使编码过程大为简化。②信号在传输过程中如果出现误码，对小信号的影响较小。例如，当大信号1111误为0111时，对自然二进码而言，其解码后得到的幅度误差为8个量化级，也就是信号最大幅度值的1/2； 而对于折叠二进码，误差是15个量化级。因此，大信号时误码对折叠二进码影响大。但如果由小信号的1000误为0000时，对于自然二进码产生的误差还是8个量化级，这在小信号的电话中能听到清晰的“咔嚓”干扰声； 而对于折叠二进码，其误差要小得多，只有一个量化级。因为语音信号中小信号出现的概率大，所以从统计的观点看，折叠二进码的这一特性有利于减小误码产生的均方误差功率。
根据上述讨论可以看到，在语音信号的PCM编码中用折叠二进码比用自然二进码优越。
2. 码长选择

编码位数即码长不仅关系到通信质量的好坏，而且还关系到通信设备的复杂程度。码位数由量化电平数确定。设量化电平数为M，当用二进制编码时，码位数N由下式确定


N=［log2M］(5.4.1)



式中，［x］表示若x有小数，则小数一律进位，再取x的整数。
当输入信号变化范围一定时，用于表示信号的码位数越多，量化分层就越细，量化噪声也越小，相应的通信质量也越好，但码位数的增加会使系统总的传输码率增加，这就会占用更多的频率资源，而且使设备的复杂性增加。因此，应该合理选择编码位数。对于语音信号，当采用非均匀量化的A或μ律编码时，一般选择7~8位码长即可满足CCITT规定的通信质量要求。
3. 码位安排

国际标准的A律13折线PCM编码规则规定其正、负非均匀量化是以原点奇对称的，共有16个量化段落，每一个量化段落内又均匀等分成16个量化级。所以，共有量化级数


M=8(段)×16(等分)×2(正、负值)=256


根据式(5.4.1)可以得到编码位数为N=log2256=8位。这8位码的安排如下： 


C1

极性码C2C3C4

段落码C5C6C7C8

段内码


第一位码C1是极性码，用来表示抽样量化值的极性。当输入信号为正极性时，C1=1，为负极性时，C1=0。其余7位码则表示抽样量化值的绝对大小。由此我们可以看到，这里的PCM编码采用的是8位折叠二进码。第二至第四位码C2C3C4称段落码，用来表示13折线中正(或负)的8个非均匀量化段落。段落码与8个段落之间的关系以及各个段落的起始电平如表5.4.2所列。第五至第八位码C5C6C7C8称段内码，表示任一段落内的16个均匀量化电平值。段内码与16个量化级之间的关系见表5.4.3所列。在每段内16个量化电平是等间隔的，但因段落长度不等，故不同段落的量化间隔是不同的。对于第一、二段落，它们的归一化段落长度是1/128(见表5.3.2)，再将它等分成16小段，则每小段的长度为


Δ=1128×116=12048


Δ是最小量化间隔。根据非均匀分割方法可知，第八段落的归一化长度最长，为1/2，将它等分成16小段后得每一小段的长度为1/32=64Δ，它是最大量化间隔。按照上述同样的方法，可以计算出各段落的量化间隔大小，其结果列于表5.4.2中。从表中可以看到，除第一、二段落具有相同的量化间隔外，其余段落的量化间隔大小是随段落序号的增加而以两倍递增。



表5.4.2段落码及其对应电平



段 落 序 号电平范围(Δ)段落码(C2C3C4)段落起始电平(Δ)量化间隔(Δ)
81024~2048111102464
7512~102411051232
6256~51210125616
5128~2561001288
464~128011644
332~64010322
216~32001161
10~1600001



表5.4.3段内码



段内量化级序号段内码段内量化级序号段内码



161111
151110
141101
131100
121011
111010
101001
91000


80111
70110
60101
50100
40011
30010
20001
10000



具有对数特性的非均匀量化PCM得到了广泛的应用，但在信号处理中常需要将它转换成均匀量化的PCM。在非均匀量化下，表示信号幅度绝对值大小的有8个段落，每个段落有16级，总共有16×8=128个量化级。因此需要7位码编码。这7位码就是8位非均匀量化编码中除表示极性的最高位外的其余7位码。对于均匀量化，设以非均匀量化时的最小量化间隔Δ为单位作均匀量化，则从13折线的第一段到第八段总共有(1+1+2+4+8+16+32+64)×16=2048Δ个均匀量化间隔。因此，均匀量化需要编11位码。在非线性码(7位)转换成线性码(11位)时，需要注意的是7位码表示的输出电平是段内量化间隔的1/2处。将非线性码与线性码比较，可以看到，在小信号时由于非均匀量化与均匀量化的量化间隔相同，它们的性能也相同。但前者编码位数少，相应的设备简单，所需系统传输带宽也小。

4. 逐次比较型编码器

PCM编码器的种类大体上可分为三种： 逐次比较(反馈)型、折叠级联型和混合型。
但在PCM通信中常用的编码器是逐次比较型编码器。它根据输入样值脉冲信号编出相应的8位二进制代码。除第一位极性码外，其他7位代码是通过逐次比较确定的。

逐次比较型编码的原理与天平称重的方法类似。样值脉冲信号相当于被测物，数值各不相同的预先规定好的作为比较标准的权值电流相当于天平各种重量规格的砝码。权值电流的个数与编码位数有关。当样值脉冲Is输入编码器后，用逐步逼近的方法有规律地与各标准权值电流Iw比较，每比较一次出一位代码。当Is>Iw时，出代码“1”； 反之，出“0”码。直至Iw与样值脉冲Is逼近为止，完成对输入抽样值的非线性量化和编码。

实现A律13折线压扩特性的逐次比较型编码器的原理方框图如图5.4.1所示。它由极性判决、整流、保持电路、比较器及本地译码器等组成。


图5.4.1逐次比较型编码器组成框图



极性判决首先对输入样值脉冲信号的极性进行判决，编出第一位码(极性码)。样值脉冲为正时，出“1”码； 样值脉冲为负时，出“0”码。
整流器的作用是将双极性脉冲变换成单极性脉冲，以便进行折叠二进制编码。
逐次比较型编码器对每一个输入样值脉冲要编出7位码，需要将样值信号Is与权值电流Iw比较7次。保持电路的作用就是使输入信号的抽样值在整个比较过程中保持不变。

比较器是将输入样值信号电流Is与本地译码输出的标准权值电流Iw比较，每比较一次输出一位二进制代码。当Is-Iw>0时，判决输出“1”； 当Is-Iw<0时，判决输出“0”。对A律13折线法，一个输入样值脉冲需要比较7次才能得到PCM信号的7位段落码和段内码。

本地译码器包括记忆电路、7/11变换电路和恒流源。在编码过程中，除第一次比较用的权值电流Iw为一定值外，其余各次比较用的Iw是由前几位比较的结果来确定相应权值电流的。因此，7位码组中的前6位码值状态需要由记忆电路寄存下来。恒流源有11个基本的权值电流支流，它要求有11个控制脉冲对其控制。而A律13折线只编7位码，加至记忆电路的码也只有7位。因此，需要7/11位逻辑变换电路将7位非线性码转换成11位线性码。恒流源用来产生各种标准权值电流Iw，它由若干个基本权值电流构成。恒流源中基本权值电流的数目与量化级数有关。对A律13折线编码器，编7位码需要1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024共11个基本权值电流支路。每个支路均有一个控制开关，每次比较该由哪几个开关接通组成比较用的标准权值电流Iw，由前面的比较结果经7/11变换后得到的控制信号来控制。

具体编码过程可以通过下面的一个例题来说明。
例5.1设输入信号抽样值为+1270个量化单位，采用逐次比较型编码器将它按照13折线A律特性编成8位码并求量化误差和对应于非线性7位码的线性11位码。
解设编成的8位码分别为C1C2C3C4C5C6C7C8。
(1)  确定极性码C1
由于输入抽样值为正，故极性码C1=1。
(2) 确定段落码C2C3C4
根据表5.6所列的段落码和段落起始电平可知，C2是用来表示输入信号抽样值处于13折线正半部分8个段落的前四段还是后四段，故有
第一次比较Iw=128Δ
因为Is=1270Δ>Iw=128Δ所以C2=1

它表示输入信号抽样值处于8个段落中的5~8段。C3用来进一步确定抽样值属于5~6段还是7~8段，故有
第二次比较Iw=512Δ
因为Is=1270Δ>Iw=512Δ所以C3=1

它表示输入信号抽样值处于8个段落中的7~8段。同理
第三次比较Iw=1024Δ
因为Is=1270Δ>Iw=1024Δ所以C4=1

因此，段落码C2C3C4为111，Is属于第8段。
(3) 确定段内码C5C6C7C8
从表5.7所示的段内码与量化级之间的关系可以看到，C5是用来确定输入信号抽样值处于段内16个量化级的前8个量化级还是后8个量化级。又信号处于第8段，该段落的起始电平为1024，段中的16个均匀量化级的间隔为64个量化单位，故C5的标准权值电流为
第四次比较Iw=1024+8×64=1536Δ
因为Is=1270Δ<Iw=1536Δ所以C5=0

它表示输入信号抽样值处于第8段落中的1~8量化级。同理
第五次比较Iw=1024+4×64=1280Δ
因为Is=1270Δ<Iw=1280Δ所以C6=0

说明输入信号抽样值处于第8段落中的1~4量化级。
第六次比较Iw=1024+2×64=1152Δ
因为Is=1270Δ>Iw=1152Δ所以C7=1

说明输入信号抽样值处于第8段落中的3~4量化级。
第七次比较Iw=1024+3×64=1216Δ
因为Is=1270Δ>Iw=1216Δ所以C8=1

说明输入信号抽样值处于第8段落中的第4量化级。
经过上述七次比较，逐次比较型编码器输出的8位码为11110011。它表示输入信号抽样值处于第8段落中的第4量化间隔。
(4) 量化误差
因为第8段落中第4量化间隔的量化电平为


I′s=1024+3×64+32=1248Δ


所以，量化误差为


ΔIs=Is-I′s=1270-1248=22Δ


(5) 对应于7位非线性码的11位线性码
将第8段落中第4量化间隔的量化电平1248Δ用二进制代码表示即为11位线性码，故对应于7位非线性码1110011的11位线性码为10011100000。
5. 译码器
译码就是把收到的PCM码还原为发送端的抽样脉冲幅值，这就是数/模转换(D/A)。译码器大致可分为三种类型： 电阻网络型、级联型和级联网络混合型等。在PCM通信中常用的译码器是电阻网络型译码器。其原理框图如图5.4.2所示。从原理框图上看，接收端电阻网络型译码器与发送端逐次比较型编码器中的本地译码器基本相似，都要使数字信号变为模拟信号。它也有记忆电路、恒流源及7/11变换电路部分。但编码器中的译码，只译出信号的幅度，不译出极性； 而接收端的译码器在译出信号幅度的同时，还要恢复出信号的极性。此外在接收端译码器中还增加了一个寄存读出器。


图5.4.2电阻网络型译码器框图


电阻网络型译码器中的记忆电路的作用是将接收到的PCM串行码变换为并行码，故又称串/并变换电路。7/11变换电路是将表示信号幅度的7位非线性码变换成11位线性码。寄存读出电路的作用是把存入的信号在一定的时刻并行读出到恒流源中的译码逻辑电路中，使它产生各种所需要的逻辑脉冲去控制恒流源的开关，从而驱动权值电流电路产生译码输出，完成D/A转换。
由上述电阻网络型译码器各部分电路的作用，我们可以知道该译码器的译码过程就是根据所收到的码组，由后七位幅值码产生相应的控制脉冲去控制恒流源的基本权值电流支路，从而输出一个与发送端原抽样值接近的脉冲； 由第一位极性码经极性控制电路后输出的信号去控制译码输出脉冲的极性。

以上介绍了PCM压扩编码原理和详细的编码过程。这种压扩编码器又称PCM非线性编码器。对于PCM通信系统的体制，CCITT推荐了两种标准。对基群而言，一种是30/32路采用13折线A律(A=87.6)压扩特性编码； 另一种是24路采用15折线μ律(μ=255)压扩特性编码。这种近似对数的非线性编码对提高小信号信噪比，扩大系统动态范围是必须而有效的。
5.4.2PCM系统的抗噪声性能

下面我们来分析图5.1.1所示PCM系统的抗噪声性能。在PCM通信系统中，使重建信号失真的噪声主要来源于量化器的量化噪声nq(t)以及信道的加性噪声ne(t)。因此，接收端低通滤波器的输出为


m～(t)=mo(t)+nq(t)+ne(t)(5.4.2)


式中，mo(t)为输出信号成分； 
nq(t)为由量化噪声引起的输出噪声； 
ne(t)为由信道加性噪声引起的输出噪声。

PCM系统的抗噪声性能通常用系统输出端的信噪比来衡量。根据式(5.4.2)，可以定义接收端低通滤波器输出的总信噪比为



SoNo=E［m2o(t)］E［n2q(t)］+E［n2e(t)］(5.4.3)


式中，E为求统计平均。
PCM系统中的量化噪声和信道加性噪声由于来源不同，它们互相统计独立，故可以分别讨论它们单独存在时的系统性能。

1. PCM系统输出端平均信号量化噪声功率比

假设： 
a. 发送端输入信号m(t)在区间［-a,a］内具有均匀分布，m(t)的最高频率为fH； 

b. 对m(t)采用理想冲激抽样，抽样频率为fs=2fH=1/Ts； 
c. 采用均匀量化，量化级数为M，量化间隔为Δv； 
d. 接收端低通滤波器的传递函数为


HR(f)=1（|f|≤fH）


0其他(5.4.4)


理想抽样的输出信号为


ms(t)=m(t)∑+∞k=-∞δ(t-kTs)


量化后的信号可以表示为


msq(t)=∑+∞k=-∞mq(kTs)δ(t-kTs)=∑+∞k=-∞［m(kTs)+mq(kTs)-m(kTs)］·δ(t-kTs)

=∑+∞k=-∞［m(kTs)+eq(kTs)］·δ(t-kTs)(5.4.5)



式中，eq(kTs)=mq(kTs)-m(kTs)，是由量化引起的误差。因为m(t)均匀分布且采用均匀量化，所以可以根据式(5.3.12)得到量化噪声功率为


E［e2q(kTs)］=(Δv)212(5.4.6)


eq(kTs)的功率谱密度为(参见文献［23］附录A： 411~415)。


Geq(f)=1TsE［e2q(kTs)］(5.4.7)


将式(5.4.6)代入上式，得到


Geq(f)=1Ts·(Δv)212(5.4.8)


式（5.4.8）表示了接收端低通滤波器输入端的量化噪声功率谱密度。根据式(3.6.10)，Geq(f)通过低通滤波器后的功率谱密度为


Gnq(f)=Geq(f)·|HR(f)|2


将式(5.4.4)及式(5.4.8)代入上式，得到


Gnq(f)=1Ts·(Δv)212,|f|≤fH

0,其他


因此，接收端低通滤波器输出端的量化噪声功率为


Nq=E［n2q(t)］=∫fH-fHGnq(f)df=1T2s·(Δv)212(5.4.9)


由式(5.2.8)得到，接收端低通滤波器输出信号为


mo(t)=1Tsm(t)(5.4.10)


m(t)是量化器输入信号，其功率可由式(5.3.13)得到


m2(t)=M212·(Δv)2


把上述结果代入式(5.4.10)，得到接收端低通滤波器输出信号功率为


So=E［m2o(t)］=1T2s·M2(Δv)212(5.4.11)


由此得到PCM系统输出端的平均信号量化噪声功率比为


SoNq=E［m2o(t)］E［n2q(t)］=M2(5.4.12)


对于二进制编码，有M=2N，则式(5.4.12)可写成


SoNq=22N(5.4.13)


式(5.4.13)表明，随着编码位数N的增加，So/Nq按指数增加。对于一个频带限制在fH的信号，当按最低抽样频率fs=2fH的速率抽样时，系统每秒必须传输2NfH个二进制脉冲。这时系统理论最小传输带宽B=Nf
H。因此，式(5.4.13)还可以写成如下形式


SoNq=22BfH(5.4.14)


可见，PCM系统输出端的平均信号量化噪声功率比与系统带宽成指数关系。
2. PCM系统输出端误码信噪比
信道中加性噪声的干扰将使PCM系统的接收端发生误判，导致恢复的抽样信号失真。这一情况可以用PCM系统误码信噪比来度量。
假设： 
a. 采用自然二进码编码，码长为N，量化间隔为Δv； 
b. 噪声为加性高斯白噪声，各误码的出现是相互独立的，系统误码率为Pe；  
c. 一个码组中只有一位码元发生错误，而且码组中各码元出错的可能性相同。
对于一个自然编码组，其各编码位与相应的权值关系为


编码位序号N…i…21

权值2N-1…2i-1…2120


因此，第i位码对应的抽样值为2i-1Δv。如果第i位码发生误码，则产生的误差电平为ee=±(2i-1Δv)。显然，误码发生在最高位时造成的误差最大，为±(2N-1Δv)，在最低位时的误差为最小，只有±Δv。所以当一个码组中只有一位误码时，由此在译码器输出端造成的平均误差功率为


E［e2e］=1N∑Ni=1(2i-1Δv)2=(Δv)2N∑Ni=1(2i-1)2

=22N-13N·(Δv)2≈22N3N·(Δv)2(5.4.15)


对于一个误码率为Pe的系统，出现错误码元的平均间隔为1/Pe个码元，如果用码组来度量，则错误码组之间的平均间隔为1/NPe个码组，那么出现错误码元或码组的平均间隔时间为


Ta=TsNPe


由于已假定发送端采用理想抽样，因此，根据式(5.4.7)同样的方法可以得到接收译码器输出端由误码引起的误差功率谱密度为


Gee(f)=1TaE［e2e］=NPeTs·22N3N(Δv)2(5.4.16)


Gee(f)通过式(5.4.4)所示的低通滤波器后的输出误码噪声功率谱密度为


Gne(f)=Gee(f)·|HR(f)|2=Gee(f)（|f|≤fH）



0其他(5.4.17)


故接收端低通滤波器输出误码噪声功率为


Ne=E［n2e(t)］=∫fH-fHGne(f)df=22NPe(Δv)23T2s(5.4.18)


由式(5.4.11)及式(5.4.18)，我们得到仅考虑信道加性噪声时的PCM系统输出端误码信噪比为


SoNe=14Pe(5.4.19)


可见，由误码引起的信噪比与误码率成反比。
3. PCM系统输出端总平均信噪功率比

将式(5.4.9)、式(5.4.11)及式(5.4.18)代入式(5.4.3)，得到PCM系统输出端总平均信噪功率比为


SoNo=E［m2o(t)］E［n2q(t)］+E［n2e(t)］=M21+4Pe22N=22N1+4Pe22N(5.4.20)


当接收输入端为大输入信噪比时，即满足条件4Pe22N1时，式(5.4.20)成为


SoNo≈22N(5.4.21)


式(5.4.21)与式(5.4.13)相同，说明大输入信噪比时，PCM系统的输出信噪比主要取决于信号量噪比。当接收输入端为小输入信噪比时，即满足条件4Pe22N1时，式(5.4.20)近似为


SoNo≈22N4Pe22N=14Pe(5.4.22)


式(5.4.22)与式(5.4.19)相同，说明在小输入信噪比的条件下，PCM系统的输出信噪比主要由误码信噪比确定。在基带传输的PCM系统中，通常能够使误码率达到Pe=10-6，这时PCM系统的性能可以按式(5.4.22)来估算。
5.5差分脉冲编码调制(DPCM)

采用A律或μ律对数压扩方法的PCM编码，其在满足长途电话质量标准的条件下，每路语音的标准传输速率是64kb/s。传输该信号所需要的二进制基带系统最小理论带宽为32kHz，而模拟单边带多路载波电话占用的频带仅4kHz。显然，
PCM占用频带要比模拟单边带通信系统宽很多倍。这使得它在频带受限的通信系统中的应用受到了很大限制。基于这个原因，一直以来人们都在致力于压缩数字语音信号频带的研究工作，也就是在保证通信质量指标的条件下，努力降低数字语音信号的数码率，以提高数字通信系统的频带利用率。大量研究表明，自适应差分脉冲编码调制(Adaptive Differential Pulse Code Modulation， ADPCM)能以32kb/s速率传输符合长途电话质量标准的话音信号。现在ADPCM体制已经形成CCITT标准，作为长途电话传输中一种国际通用的语音压缩编码方法。ADPCM是以差分脉冲编码调制(DPCM)为基础发展而来的，为此，下面主要介绍DPCM系统的工作原理。

前面所讲的PCM编码是将各样点幅值单独编码，认为各样值是互相独立、互不相关的。这样对样点幅值编码需要较多位数，导致数字化后的信号带宽大大增加。但是，实际上大部分信号源按奈奎斯特速率或更高速率抽样，各样点值有紧密的依赖性，也就是相邻的两个样值不会发生迅速变化，它们之间的相关性很强，有很大的冗余度。利用信源的这种相关性，根据线性均方差估值理论，可以用前面的p个样点值来预测当前的样点值，然后传送当前样值与预测值之差值的量化、编码信号。这样在量化台阶不变的情况下，可以使编码位数减少，信号带宽大大压缩。这种编码方法就称为差分脉冲编码调制。如果编码位数保持不变，则DPCM的信号量噪比显然优于PCM系统。
DPCM系统的工作原理是基于如下的基本思想。把信号样值分成两部分，一部分与过去的样值有关，因而是可以预测的； 另一部分是不可预测的。可预测的成分(也就是相关部分)可由过去的一些样值经适当加权后得到，不可预测的成分(也就是非相关部分)可看成是预测误差，简称差值。因为这种差值序列的信息可以代替原始序列中的有效信息，故不必直接传送原始信息抽样序列。又由于样值差值的动态范围比样值本身的动态范围小得多，因而可以在保证质量要求下，降低数码率。信号的相关性越强，压缩率就越大。在接收端，只要把收到的差值信号序列叠加到预测序列上，就可以恢复原始的信号序列。

图5.5.1示出了DPCM系统的原理框图。图中，输入信号mk是信源信号m(t)在kTs时刻的抽样值。ek是信号样值与其预测值m^k之差值，即


ek=mk-m^k(5.5.1)


称ek为预测误差值。它经过量化后得到e～k，一路通过编码后送入DPCM信道到接收端解码，另一路与预测值相加恢复出信号样值mk的量化值m～k，即


m～k= m^k+e～k(5.5.2)


m～k作为预测器的输入，用来对下一个信号样值作预测。预测器的输入、输出关系满足


m^k=∑pi=1aim～k-i(5.5.3)


式中，ai是预测系数，p为预测阶数，它们都为常数。式（5.5.3）表示m^k是前p个样值的适当线性加权组合。


图5.5.1DPCM系统原理框图


应当正确选择预测系数ai，使预测误差ek在均方误差意义下最小，即


E［(mk-m^k)2］=E［e2k］(5.5.4)


最小。设信号是均值为零的广义平稳随机过程，则E［e2k］即为预测误差的方差，表示为


σ2e=E［e2k］=Emk-∑pi=1aim～k-i
2


为方便分析，忽略样值的量化误差，即令m～k=mk，则上式可写成


σ2e=E［m2k］-2∑pi=1aiE［mkmk-i］+∑pi=1∑pj=1aiajE［mk-imk-j］

=R(0)-2∑pi=1aiR(i)+∑pi=1∑pj=1aiajR(i-j)(5.5.5)


式中，R(m)是样值序列的自相关函数。为选择最佳ai，使σ2e最小，由σ2e对ai求导，并令其为零，则得到求解ai的线性方程为


∑pi=0aiR(i-j)=R(j)(j=1,2,3,…，p)(5.5.6)


这个求解预测系数的方程组称为标准方程，又称尤里沃克方程(YuleWalker equations)，求解此方程的方法可参考文献［5］。
接收端解码器的加法器、预测器组成结构与编码端的完全一致，用来恢复原信号。如果信道传输没有误码，则有e～′k=e～k，m～′k=m～k，解码器输出的重建信号与编码器的m～k完全相同。DPCM系统的量化误差定义为输入信号样值mk与解码器输出的重建信号m～k之差，即


qk=mk- m～k=(ek+ m^k)-(e～k+ m^k)=ek-e～k(5.5.7)


由式(5.5.7)可见，DPCM系统的量化误差只与差值的量化误差有关，也就是等于量化器的输入与输出之差。因此，DPCM系统的信号量化噪声功率比可以定义为


SoNq=E［m2k］E［q2k］(5.5.8)


在DPCM基础上，为进一步改善性能，一方面可以将固定预测器改为自适应的，即ai可以随信号的统计特性而自适应变化； 另一方面用自适应量化取代固定量化，也就是用预测值去控制量化间隔，使量化台阶Δ随信号动态范围改变。这就是自适应差分脉冲编码调制(ADPCM)。它可以大大提高输出信噪比和编码动态范围。一种最简单实用的ADPCM方案是用前一个样点值来控制量化台阶，即Δk=Δk-1mk-1。需要指出的是ADPCM不仅应用于语音信号的编码，而且还普遍应用于图像信号的数字压缩编码中。
5.6增量调制(ΔM)

增量调制(ΔM)是由法国工程师De Loraine在1946年首先提出来的又一种模拟信号数字化的方法。它用一位二进制码表示相邻抽样值的相对大小，简化了模拟信号的数字化方法。
在PCM系统中，信号抽样值是用多位二进制码表示的。为了减小量化噪声，提高编码质量，一般需要较长的代码，使编译码设备复杂。而ΔM调制对每个抽样值只用一位二进制码代表，它表示了相邻样值的增减变化，在接收端也只需要用一个线性网络便可恢复出原模拟信号。
5.6.1增量调制原理

可以把增量调制看成是脉冲编码调制的一个特例，因为它们都是用二进制代码表示模拟信号。但ΔM只用一位编码，而且这一位码不是用来表示信号抽样值的大小，而是表示抽样时刻信号波形的变化趋势，也就是用一个阶梯波形去逼近一个模拟信号，如图5.6.1所示。这是ΔM与PCM的本质区别。图中，把横轴t按抽样时间间隔Ts划分成许多相等的时间段，把代表信号幅度大小的纵轴也分成许多相等的小间隔σ。由图中波形可以看到，如果Ts很小，则一个频带有限的模拟信号m(t)在相邻抽样时刻上得到的值的差别也将很小。这时，如果σ的取值合适，那么，该模拟信号m(t)就可以用图中所示的阶梯波形m～(t)去逼近。由于阶梯波形相邻间隔上的幅度差为±σ，因此，可以用二进制的“1”码表示m～(t)在给定时刻上升一个台阶σ，用“0”表示m～(t)下降一个台阶。这样，m(t)就可以被一个二进码的序列所表征。图5.6.1中表征m(t)的二进码序列是01010111111100。


图5.6.1增量调制波形




图5.6.2增量调制原理框图及量化特性


另外，从图5.6.1所示的差分脉冲编码调制系统看增量调制，当DPCM系统的量化电平数取为2，预测器是一个延迟为T
s的延迟线时，该DPCM系统即为增量调制系统。因此，可以得到ΔM编解码原理框图和量化特性，如图5.6.2所示。在每个抽样时刻，输入抽样值mk与本地预测值即前一抽样时刻的阶梯波形取值m～k-1之差值进行比较。若ek=mk-m～k-1>0，则差分值ek被量化器量化成+σ，即e～k=+σ，并被编为“1”码； 若ek=mk-m～k-1<0，则ek被量化成-σ，即e～k=-σ，并被编为“0”码。σ值称为量化台阶。在解码端，ΔM的“延迟单元相加器”结构与发送端的完全相同。如果传输无误码，则m～′k=m～k。当接收到“1”码时，解码器输出m～k=m～k-1+σ，输出波形上升一个台阶； 接收到“0”码时，解码器输出m～k=m～k-1-σ，输出波形下降一个台阶。可以看出，只要抽样频率足够高，台阶电压合适，这些上升和下降σ的累积就能近似地恢复原信号。

实现上述累积功能的最简单的电路是“积分器”。因此，图5.6.2中的“延迟单元相加器”环路可以用一个积分器替代。图5.6.3示出了硬件实现时实际ΔM系统的方框图。编码器由比较器(相减器)、抽样判决器、发端译码器(积分器和脉冲产生器)及抽样脉冲发生器组成。收端包括与发端完全相同的译码器和低通滤波器两部分。由图看到，ΔM的编译码设备通常要比PCM的简单。


图5.6.3ΔM硬件实现框图



图5.6.3的编解码器工作过程如下： 输入模拟信号m(t)与积分器输出的阶梯波形m～(t)进行比较，即相减得到差值信号e(t)，然后在抽样脉冲作用下对e(t)的极性进行判决，如果在给定抽样时刻tk有


e(tk)=m(tk)-m～(tk)>0


则判决器输出“1”码； 如果


e(tk)=m(tk)-m～(tk)<0


则输出“0”码。这里m(tk)是模拟信号在当前tk时刻的抽样值，即第k个抽样值，而m～(tk)则表示积分器根据判决器在前一时刻tk-1的判决结果而输出的阶梯波形值。由于这个阶梯波形值在下一次新的判决结果出现之前一直保持不变，因此，在tk抽样时刻得到的m～(tk)是阶梯波形第(k-1)个值。由抽样判决器输出的增量调制二进码序列p(t)一方面送入信道传输到接收端译码器，另一方面加到本地的脉冲发生器。脉冲发生器根据输入p(t)是“1”码，还是“0”码，分别产生正和负的脉冲。积分器收到正脉冲就使输出上升一个σ； 如果收到负脉冲，则下降一个σ。故积分器的输出是接近输入模拟信号的阶梯波形。积分器输出信号的另一形式是折线近似的积分波形，如图5.6.1中虚线所示。两种波形在相邻抽样时刻的幅度变化都只增加或减少一个固定的量化台阶σ，它们没有本质的区别，只是实现的方法不同。接收端的译码器功能与发送端的完全一样。但积分器输出往往还包含不必要的高次谐波分量，所以在接收输出端需要加一低通滤波器对积分输出信号平滑，使输出信号更接近于原始输入模拟信号。
5.6.2增量调制系统中的量化噪声

ΔM系统中的量化噪声有两种形式： 一种称为一般量化噪声，另一种称为过载量化噪声(简称过载噪声)。一般量化噪声与PCM编码中的量化噪声类似，是由于ΔM系统中信号量化按固定的台阶σ进行的，所以译码器输出信号与原模拟信号之间存在一定的误差，如图5.6.4(a)所示。这种由量化误差造成的失真称为一般量化噪声。过载量化噪声发生在输入模拟信号斜率陡变或信号频率过高时。这是因为量化台阶σ固定，取决于抽样频率的每秒内台阶数也是确定的，当输入信号发生上述情况时，译码器输出信号就会出现跟不上信号变化的现象，形成失真很大的阶梯波形，如图5.6.4(b)所示。这种现象称为过载现象，由此产生的失真称过载量化噪声。


图5.6.4ΔM系统的量化噪声



由图5.6.4(a)看到，ΔM系统的输入模拟信号m(t)与输出阶梯波形m～(t)的误差为


e(t)=m(t)- m～(t)


显然，在无过载的情况下，误差信号e(t)在±σ区间内变化，而不像PCM编码那样，由于四舍五入使误差在±Δ/2内变化。设e(t)在区间(-σ,+σ)上均匀分布，则其一维概率密度函数f(e)可表示为


f(e)=12σ(-σ≤e≤+σ)


因而可得到e(t)的平均功率，即译码积分器输出端的一般量化噪声功率


E［e2(t)］=∫+σ-σe2f(e)de=12σ∫+σ-σe2de=σ23(5.6.1)


由式(5.6.1)看出，ΔM系统的一般量化噪声与量化台阶的平方成正比，这就是说σ越小，一般量化噪声就越小。但是，从图5.6.4(b)可以看到，当抽样频率一定时，减小量化台阶会使译码器跟踪输入信号斜率的能力下降，导致产生更大的过载量化噪声。因此，应该合理选择量化台阶的大小。

过载量化噪声在正常工作状态下是必须而且可以避免的。那么，应该满足怎样的条件才能不产生过载失真？下面我们就来分析这个问题。
设增量调制器的量化间隔为σ、采样速率为fs，则ΔM系统能跟踪输入信号的最大斜率为


K=σTs=σ·fs(5.6.2)


式中，Ts为抽样时间间隔； 
σ/Ts为临界过载情况下的译码器最大跟踪斜率。当输入信号m(t)的实际斜率超过这个最大跟踪斜率时，将产生过载噪声。因此，为了不发生过载现象，要求


dm(t)dt≤K=σTs=σ·fs(5.6.3)


若输入信号为m(t)=Asinω0t，其斜率变化由下式确定


dm(t)dt=Aω0cosω0t


可见，最大斜率值为Aω0。因此，在正弦信号的情况下，不发生过载的条件为


Aω0≤σTs=σ·fs(5.6.4)


由式（5.6.4）看出，当输入信号幅度增大或频率过高时，容易引起过载失真。为了提高ΔM系统的抗过载能力，又为了使一般量化噪声小，量化台阶不能取得大，所以只能提高采样频率fs，或者使信号幅度随频率的增加而下降。根据式
(5.6.4)，临界过载时信号有最大振幅Amax，它的大小由下式确定


Amax=σ·fsω0(5.6.5)


可见，在ΔM系统中，临界振幅与量化台阶σ和抽样频率fs成正比，与信号频率ω0成反比。这意味着频率每增加一倍，幅度将下降6dB，ΔM系统的最大输出信噪比将随频率增高而下降。

根据上述分析可知，ΔM系统的最大允许编码电平是Amax=σ·fs/ω0，那么它的最小编码电平即起始编码电平是多少？我们知道，当输入交流信号峰峰值小于σ时，增量调制器输出的二进码序列为“0”和“1”交替的码序列，它并不随m(t)的变化而变化； 只有当输入交流信号单峰值大于σ/2(即峰峰值大于σ)时，输出二进码序列才开始随m(t)而变化。故增量调制器的起始编码电平是Amin=σ/2。
5.6.3增量调制系统的抗噪声性能

下面我们对图5.6.3所示的ΔM系统的抗噪声性能进行分析。增量调制是把模拟信号变换为数字信号的一种方法，它和PCM一样必定带来因量化而产生的量化噪声。量化噪声对系统的影响可以用系统输出端的信号量化噪声功率比So/Nq来衡量。这里我们分析存在量化噪声时的系统性能，也就是认为信道加性噪声很小，没有对传输信号造成误码，其影响可以忽略。这时接收端收到的信号等于发送端发送的信号，即p′(t)=p(t)。接收端译码积分器的输出为


m～(t)=m(t)+e(t)


式中，m(t)为输出信号成分； 
e(t)为量化误差成分。
根据式(5.6.1)，在译码积分器输出端由e(t)形成的一般量化噪声平均功率为


E［e2(t)］=σ23


观察图5.6.4(a)中的e(t)波形，可以粗略地看出： e(t)的变化频率最高可以达到采样频率fs，最低可以从0开始。因此，上述量化噪声功率谱应在(0,fs)频带内按某一规律分布。为简单起见，假定功率谱在(0,fs)频率范围内是均匀分布的，则e(t)的功率谱密度Ge(f)可近似认为


Ge(f)=σ23fs（0<f<fs）(5.6.6)


在接收端译码后还要经过低通滤波器。设接收端输出低通滤波器的截止频率为fH，则通过低通滤波器之后的量化噪声功率为


Nq=Ge(f)fH=σ2fH3fs(5.6.7)


由此可见，在未过载条件下，ΔM系统输出的量化噪声功率与量化台阶σ及比值(fH/fs)有关，而与输入信号的幅度无关。这是因为系统工作于无过载情况下，式(5.6.7)表示的量化噪声不含有过载噪声，所以输出量化噪声功率与信号的幅度无关。

在临界过载条件下，系统有最大的输出信号功率。若输入是正弦信号，由式(5.6.5)可知临界过载下的信号功率为


So=A2max2=σ2f2s2ω20=σ2f2s8π2f20(5.6.8)


由式(5.6.7)及式(5.6.8)求得系统的最大信号量化噪声功率比


SoNq=38π2f3sf20fH(5.6.9)


式(5.6.9)表明： ΔM系统的最大信号量化噪声功率比(So/Nq)与抽样频率fs的三次方成正比，即抽样频率每提高一倍，信号量化噪声功率比提高9dB； 与信号频率f0的平方成反比，即信号每提高一倍频率，信号量化噪声功率比下降6dB。因此，对于ΔM系统，提高采样频率将能明显地提高信号与量化噪声的功率比，而对高频段的语音信号，信号量噪比将下降。
5.7时分复用(TDM)
前面我们在介绍各种模拟信号数字化方法时都是用一路模拟信号来说明它们的编解码方法的。但在实际的数字通信系统中，一般都是采用时分复用(TDM)方式来提高信道的传输效率。如利用同一根同轴电缆传输1920路电话。因此，如何实现时分复用多路通信是至关重要的。
所谓复用是指多路信号利用同一信道传输而互不干扰。实现多路复用的方法主要有时分多路复用和我们在第四章已介绍过的频分多路复用。频分复用(FDM)是把可用的频带划分成若干频隙，各路信号占有各自的频隙在同一信道中互相独立、互不影响地传输； 而时分复用是把时间帧分成若干时隙，各路信号占有各自的时隙在同一信道上实现多路传输。因此，频分复用信号在频域上各路信号的频谱是分割开的，但在时域上是混叠在一起的； 时分复用信号在时域上各路信号的波形是分开的，但在频域上各路信号频谱是混叠的。通常，FDM用于模拟多路通信； TDM用于数字多路通信。
5.7.1时分复用原理

n路基带信号如话音信号，分别在具有相同抽样频率fs但在时间上依次错开的抽样脉冲作用下，得到在时间上分开的各路样值序列，经合路后，各路抽样值顺序地置入各自的时隙，形成一个可以在一个信道中传输的群路信号，如图5.7.1所示。我们把n路信号依次抽样一次所组成的序列称为1帧，所需要的时间称为帧周期，用TF表示； 把每路信号在一帧中所占有的时间间隔称为路时隙或时隙，用Tc表示。显然，一帧时间由抽样周期Ts=1/fs确定，即TF=Ts； 一帧中含有n个路时隙，每个时隙容纳一个抽样值或其编码的一个码组。如果n个路时隙在一帧中具有相同的时隙宽度，则有T
c=TF/n。如果一个抽样值在传输前被编成N位码，那么其中1位码所占用的时间称为位时隙，用Tb表示，它的大小为


Tb=TcN=TFnN(5.7.1)


由此可得到信道中的码元传输速率为


RB=1Tb=n·N·fs(5.7.2)




图5.7.1n路TDM信号的时隙分配


实现TDM的系统示意框图如图5.7.2所示。n路输入信号m1(t),m2(t),…,mn(t)分别通过截止频率为fH的低通滤波器，将信号频带限制在fH以内，以防止高于fH的信号通过，避免抽样后的PAM信号产生折叠噪声。然后各路信号去“发旋转开关”ST，又称采样开关。ST以符合抽样定理要求的速率对各路信号按顺序采样，并把在时间上周期地互相错开的各样值脉冲按顺序串行送入传输系统。这里，旋转开关同时完成抽样和信号合路功能，且每秒钟旋转fs次(旋转频率等于抽样频率)，并在一周旋转期内轮流对各输入信号提取一个样值
(旋转周期等于帧周期或单路信号抽样周期) 。如果传输话音信号，抽样频率规定为8000Hz，故一帧时间为125μs。若旋转开关的抽样是理想的，则开关输出信号可表示为



x(t)=∑∞k=-∞［m1(kTs)δ(t-kTs)+m2(kTs+Tc)δ(t-kTs-Tc)+…

+mn(kTs+nTc)δ(t-kTs-nTc)］(5.7.3)




图5.7.2TDM系统示意框图


图5.7.2中的“传输系统”包括量化、编码、调制解调、传输媒质和译码等。如果传输中的信道干扰噪声很小，不引起误码，则在接收端“收旋转开关”SR处的信号y(t)应该等于发端信号x(t)。收旋转开关又称分路器，它将收到的时分复用信号y(t)中的各路信号样值序列分离并送到相应的通路上，即分离成各通路的PAM信号，它们可以分别表示为



y1(t)=∑∞k=-∞m1(kTs)δ(t-kTs)

y2(t)=∑∞k=-∞m2(kTs+Tc)δ(t-kTs-Tc)

y3(t)=∑∞k=-∞m3(kTs+2Tc)δ(t-kTs-2Tc)
(5.7.4)


上述各路信号如果满足抽样定理条件，则分别通过输出低通滤波器后可恢复发端原始模拟信号，其中第i路的输出信号为m
oi(t)=mi(t)。
为了在接收端能正确接收或者说能正确区分每一路信号，时分多路复用系统中的收、发两端必须保持严格同步，主要包括位同步和帧同步(正确识别各路信号的排队次序)。要做到位同步，即保证收、发码元的节拍一致，以正确识别每一位码元，在图5.7.2中，相当于要求收、发两端旋转开关的旋转速度保持相同。为了做到帧同步，即保证收、发两端相应各话路要对准，以正确区分每一路信号，这相当于要求收、发两端旋转开关的起始位置要相同。通常，在每个帧的第一个时隙安排标志码(即帧同步码)，以便接收端识别判断帧的开始位置是否与发端的相对应。因为每帧内各路信号的位置是固定的，如果能把每帧的首尾辨别出来，就可正确区分每一路信号，即实现帧同步。而位同步可以通过时钟同步来实现。
上面TDM系统中的合路信号x(t)是PAM多路信号，但它也可以是已量化和编码的多路PCM信号或增量调制信号。时分多路PCM系统有各种各样的应用，最重要的一种是PCM电话系统。下面我们概略介绍PCM时分多路数字电话系统。
5.7.2时分多路数字电话通信系统
根据CCITT建议，国际上通用的PCM话音通信有两种标准化制式，即PCM30/32路制式(A律压扩特性)和PCM24路制式(μ律压扩特性)，并规定国际通信时以PCM30/32路制式为标准。我国规定采用PCM30/32路制式。
1. TDM电话通信系统的组成


图5.7.3PCM时分多路数字电话通信系统方框图


PCM时分多路数字电话通信系统基本组成框图如图5.7.3所示。图中，用户话音信号的发与收是采用二线制传输，但端机的发送支路与接收支路是分开的，即发与收是采用四线制传输的，因此用户的话音信号需经2/4线的变换。完成这个功能的是图中的输入、输出混合线圈。图5.7.3所示PCM电话系统的基本工作过程是： 输入话音信号从二线进入，经混合线圈的1→2端送入PCM系统的发送端。经过放大(调节话音电平)、低通滤波(限制话音频带，防止折叠噪声的产生)及抽样合路，形成时分复用的PAM信号。然后在群路编码器中一起被量化和编码，将PAM信号变成PCM信号。最后经码型变换电路将PCM信号变换成适合于信道传输的码型送往信道。在接收端首先将接收到的信号进行整形再生，然后由码型反变换电路恢复出原始的PCM信号并送到译码器，译码器把PCM信号转换成PAM信号，分路器分离出每一路PAM信号，各路PAM信号经各自的输出低通滤波器恢复成模拟话音信号，最后经放大、混合线圈的4→1端输出，送至用户。


图5.7.3示出的是采用群路编译码器的PCM多路数字电话系统。它给信号的上、下路带来很大不便。近年来，随着大规模集成电路技术的发展，PCM数字电话系统中的编译码器已由原来的群路编译码器改用单路编译码器。也就是每一路话音单独采用一片编译码集成电路。典型的单路PCM编译码器产品有Intel 2911、MK5156等。这种编译码器利用大规模集成技术的NMOS工艺在一块芯片上实现了A律13折线压扩的8比特PCM编码和译码功能。图5.7.4是采用单路编译码器的PCM数字电话系统框图。由图看到，发送端低通滤波器输出的模拟信号直接加到单路编译码器，而在单路编译码器的Dx端便可获得已编码的PCM数字信号。各个单路编译码器的输出线Dx均接至发送总线，构成多路PCM信号输出。接收端来自PCM收信总线的信号进入单路编译码器的DR端，在VFR端便能得到还原的模拟信号，再经输出低通滤波器和混合线圈送至用户。现在已有将系统中的低通滤波器一起集成进单路编译码器的产品，如Intel 2913/14、MT8961/63/65、MC14400/01/02/03/05、TLC32044等。单路编译码器的采用可以大大降低设备的功耗，缩减设备的体积和重量，从而使通信系统的可靠性大大提高。


图5.7.4采用单路编译码器的PCM数字电话系统方框图


如果多路数字电话系统采用增量调制方式，其系统组成与PCM数字电话系统基本相同，而且也采用单路编译码方式。单路增量调制编译码集成电路产品有MC3417/18等。
2. PCM30/32路系统帧结构和传码率

我国采用的PCM30/321路系统(又称基群或一次群)帧结构如图5.7.5所示。它采用A律13折线编码，语音信号抽样频率fs为8kHz，抽样周期为Ts=125μs，所以一帧的时间(即帧周期)TF=Ts=125μs。每一帧由32个路时隙组成，每个时隙对应一个样值，所有时隙都采用8位二进制码。其中，

(1) 30个话路时隙(TS0~TS15，TS17~TS31)
TS0~TS15分别传送第1~15路(CH1~CH15)话音信号，TS17~TS31分别传送第16~30路(CH16~CH30)话音信号。


图5.7.5PCM基群帧结构


(2) 帧同步时隙(TS0)
偶数帧的TS0用于发送帧同步码，其码组为*0011011。接收端根据此码组建立正确的路序，即实现帧同步。其中第一位码元“*”保留作国际通信用，目前暂固定为1，后7位为帧同步码。

奇数帧的TS0用于发送帧失步告警码，其码组为*1A111111。第1位码的作用与偶数帧TS0的第一位相同； 第2位码元固定为1，以区别于偶帧对应位的0，便于接收端区分是偶帧还是奇帧； 第3位是帧失步告警码，简称对告码，用于将本端的同步状况告诉对端，A1=0表示同步，A1=1表示失步； 第4~第8位码可用于传送其他信息，未使用时固定为1。
(3) 信令与复帧同步时隙(TS16)
TS16用来传送复帧同步和局间话路信令信息等，如振铃、拨号脉冲、被叫摘机、主叫挂机等信号信息。由于信令信号的频率很低，故其抽样频率取500Hz，相应的抽样周期为1/500=16×125μs=16TF，这说明对于每个话路信令，只要每隔16帧传输一次就够了。因此，将这16个帧(F0~F15)构成一个更大的帧，称之为复帧。其中15个帧(F1~F15)的TS16用来传送30个话路的信令码，每路信令占4位码，即每个TS16含两路信令。

为了保证收、发两端各路信令码在时间上对准，每个复帧需要一个复帧同步码。复帧中F0帧的TS16用来传送复帧同步和复帧失步告警码，其码组为00001A211。前4位码是复帧同步码； 第6位码是复帧失步告警码，A2=0为复帧同步，A2=1为失步； 第5，7，8位码可用于传送其他信息，未使用时固定为1。

根据以上帧结构，我们可以得到以下几个数据： 
 复帧周期16(帧)×TF=16×125μs=2ms，复帧频率500复帧/秒； 
 帧周期TF=125μs，帧频8000帧/秒，帧长度32(时隙)×8(bit)=256(bit)； 

 路时隙Tc=TFn=125μs32(时隙)=3.91μs(
n： 一帧中所含时隙数)； 
 位时隙Tb=TcN=3.91μs8(bit)=488ns
(N： 一个时隙内所含码元数)； 
 PCM30/32系统传码率


RBP=n·N·fs=32×8×8000=2.048(MB)(5.7.5)


 PCM30/32系统传信率
因为是二进制码元，传信率在数值上等于传码率，所以有


RbP=2.048(Mbit/s)(5.7.6)


 PCM30/32系统最小信道带宽



Bmin=12·RBP=12·n·N·fs=1.024(MHz)(5.7.7)




时分复用增量调制系统，目前尚无国际标准，但有一种国内外应用较多的DM32路制式。该制式中，抽样频率为32kHz，即帧周期为31.25μs，每个时隙含一个比特。TS0为帧同步时隙，TS1为信令时隙，TS2为勤务电话时隙，TS3、TS4、TS5为数据时隙，TS6~TS31为用户电话时隙。显然，该系统传信率为


RbDM=fs×n=32000×32=1.024(Mbit/s)(5.7.8)



60路ADPCM系统已有国际标准，它的帧结构类似于PCM30/32系统。根据CCITTG.761建议规定，其帧周期为125μs，分成32个时隙，每个时隙置入两路ADPCM信号(每路用4位码编码)。TS0时隙用于传输同步等信息，TS16时隙作为信令时隙，其他30个时隙可用来传输60个用户信息。显然，该系统的传信率为2.048Mb/s，与基群比特率相同。
3. 数字通信系统的高次群
通信技术的发展和通信需求的增长，使得数字通信容量不断增大。前面讨论的PCM30/32或PCM 24路时分复用系统称为数字基群即一次群。由若干个基群通过数字复接技术，汇合成更高速的数字信号是PCM通信的扩容方法。目前，PCM通信通过由低向高逐级复接，其高次群已形成了一个系列，按传输速率不同分别称为二次群、三次群、四次群等，如表5.7.1所示。四次及四次群以下的高次群，都是采用准同步方式按位复接的，称为准同步数字体系(plesiochronous digital hierarchy，PDH)。


表5.7.1TDM数字复接系列



准同步数字体系PDH同步数字体系SDH

国家单位基群二次群三次群四次群STM1STM4STM16STM64



北美
日本
欧洲

中国



kb/s1544631244736274176
路数24966724032
kb/s154463123206497728
路数24964801440
kb/s2048844834368139264
路数301204801920

155.52
Mb/s
622.08
Mb/s
2488.32
Mb/s
9953.28
Mb/s

随着光纤通信技术的发展，四次群速率已不能满足大容量、高速率传输的要求。为此，CCITT又制定了TDM制150Mb/s以上的同步数字体系(synchronous digital hierarchy，SDH)标准，以满足宽带业务传输和全球通信发展的需要。SDH的第一级速率规定为155.52Mb/s，记作STM1。四个STM1按字节同步复接得到STM4，比特率是STM1的4倍即622.08Mb/s，依次类推，具体见表5.8。

PCM系统所使用的传输介质与传输速率有关。基群PCM的传输介质一般采用市话对称电缆，也可以在市郊长途电缆上传输。可以传输电话、数据或可视电话信号。二次群速率较高，需采用对称平衡电缆、低电容电缆或微型同轴电缆。可传送可视电话、会议电视或电视信号。三次群以上的传输需采用同轴电缆或毫米波波导等，可传送彩色电视。如果采用光纤、卫星通信，则可以得到更大的通信容量。
5.8思考题

5.8.1抽样定理的主要内容是什么？在什么情况下抽样频谱会产生频谱混叠或折叠噪声？
5.8.2什么是理想抽样、自然抽样和平顶抽样？它们对已抽样信号的频谱各有什么影响？
5.8.3什么是均匀量化？什么是非均匀量化？采用非均匀量化的目的是什么？
5.8.4量化区间内最大量化误差等于多少？均匀量化时的信号量化噪声功率比与哪些因素有关？
5.8.5PCM编码中为什么要采用折叠二进码？
5.8.6A律压缩特性是如何对信号压扩的？A代表什么意义？它对压缩特性有什么影响？
5.8.7什么是差分脉冲编码调制？什么是增量调制？它们与脉冲编码调制有何异同？
5.8.8与PCM系统比较，为什么DPCM系统既能使信号频带压缩，又不影响通信质量？
5.8.9为了不发生过载噪声，增量调制系统应满足怎样的条件？该系统的输出信号量化噪声功率比与哪些因素有关？
5.8.10什么是时分复用？它与频分复用有什么区别？一般模拟、数字通信系统各采用什么方法进行多路复用？
5.8.11数字电话通信系统的基群信号是由多少路信号时分复用而成的？其帧频是由什么决定的？
5.9习题

5.9.1已知一低通信号m(t)的频谱为


M(f)=1-|f|200（|f|≤200Hz）

0其他


①  假设以fs=300Hz的速率对m(t)进行理想抽样，试画出已抽样信号ms(t)的频谱图。
② 若用fs=400Hz的速率抽样，重做上题。
5.9.2信号f(t)=10cos20πt·cos200πt，以每秒250次速率抽样。
①  要求给出抽样样值序列的频谱。
② 若用理想低通恢复f(t)，则低通滤波器的截止频率为何值？
③ 如把f(t)看作是低通信号，则最低抽样速率是多少?
④ 如把f(t)看作是带通信号.则最低抽样速率又是多少？
5.9.3已知某信号m(t)的频谱M(ω)如图5.9.1(a)所示。将它通过传递函数特性示于图5.9.1(b)的滤波器后再进行理想抽样，如图5.9.1(c)所示。
①  最低抽样速率应为多少？
② 若设抽样速率fs=3f1，试画出已抽样信号ms(t)的频谱。
③ 接收端的接收网络(图5.9.1(d))应具有怎样的传输函数H2(ω)，才能由ms(t)不失真地恢复m(t)。


图5.9.1


5.9.4设以每秒400次的速率对信号g(t)=10cos60πt·cos2106πt抽样，试确定由抽样波形恢复g(t)时所用理想低通滤波器的截止频率允许范围。
5.9.5一个基带信号m(t)，其频谱如图5.9.2所示。如果m(t)被抽样，并且要保证无失真地恢复原信号，试问最低的抽样频率是多少？


图5.9.2


5.9.6已知信号m(t)的最高频率为fm，其频谱M(ω)如图5.9.3(a)所示。若用图5.9.3(b)所示的抽样信号q(t)对m(t)进行自然抽样，试确定已抽样信号频谱的表达式，并画出其示意图。


图5.9.3


5.9.7如果传送信号是Asinωt，A≤10V，按线性PCM编码，分成64个量化级，试问： 
①  需要用多少位二进制码？
② 信号量化噪声功率比？
5.9.8信号f(t)=sinω0t以最小信号量噪比30dB被数字化，设采用线性PCM编码。问所需的最小量化间隔是多少？每样值用二进制编码时所需的编码位数是多少？
5.9.9设一信号m(t)=10+Acosωt，其中A≤10V。若m(t)被均匀量化为40个电平，试求： 
① 用二进制编码时，所需的编码位数N和量化间隔Δv。
② 若量化器量化范围是0~20V，量化后的最高、最低电平是多少？
5.9.10某信号的幅度概率分布是


p(u)=10.82e-|u|20.8


若考虑非过载范围|u|≤8V，对该信号用5位码进行PCM线性编码，求编码的量化噪声功率及信号量噪比。

5.9.11某信号的最高频率为3.4kHz，采用线性PCM方式传输，其信号的最大幅度为±0.64V，量化级差为10mV，编码信号中除音频信号外还另加1bit为同步信号，试求码元的最大持续时间是多少？若用占空比为50%的归零码，其信号脉冲的持续时间是多少？
5.9.12按A律压扩特性


y=Ax1+lnA0≤x≤1A

1+lnAx1+lnA1A≤x≤1


式中x=uV，为归一化输入信号电平，A=87.6。求x=0dB和x=-40dB非均匀量化时的信噪比改善量。
5.9.13采用13段折线A律编码，最小量化级为一个单位，已知样值脉冲为+635个单位。
①  试求编码器输出码组。
② 写出对应于该7位码(不含极性码)的均匀量化11位码(采用自然二进制码)。
③ 接收端译码器输出信号值为多少？与发端抽样脉冲值相比量化误差为多少？
5.9.14采用13折线A律编码，设最小量化级为1个单位，已知抽样脉冲值为-95单位。
①  试求此时编码器输出的码组，并计算量化误差(段内码用折叠二进制码)。
② 写出对应于该7位码(不含极性码)的均匀量化11位自然二进制码。
5.9.15采用13折线A律编码电路，设接收端收到的码组为“01010011”，最小量化间隔为1个量化单位。
①  试问译码器输出为多少量化单位？
② 写出对应于该7位码(不含极性码)的均匀量化11位自然二进码。
③ 求编码器输入端信号抽样值的范围。
5.9.16采用13段折线A律编码电路，设接收端收到的码组为“01010011”，最小量化间隔为1个量化单位，并已知段内码改用折叠二进码。
①  试问译码器输出为多少量化单位？
② 写出对应于该7位码(不含极性码)的均匀量化11位自然二进码。
5.9.17如果A律13段折线编码器的过载电压为±4.096V。
①  试对PAM1=3.01V，PAM2=-0.003V编PCM 8位码。
② 经线路传送到接收端，求译码后的PAM值。
5.9.18已知线性PCM系统的量化电平数为32，计算系统误码率分别为Pe=10-3和Pe=10-6时的PCM系统输出信噪比。

5.9.19已知语音信号的最高频率fm=3400Hz，今用线性PCM系统传输，要求信号量化噪声比So/Nq不低于30dB。试求此PCM系统所需的理论最小基带频宽。

5.9.20对信号f(t)=Msin(2πf0t)进行简单增量调制ΔM，若量化台阶σ和抽样频率fs选择保证既不过载，又不小于最小编码电平。试证明此时要求： fs>πf0。

5.9.21对信号f(t)进行简单增量调制。采样频率fs=40kHz，量化台阶为σ。

①  若f(t)=Asin(ωt)，求不发生过载的条件。
② 能保证系统正常工作的最低码元速率是多少？

5.9.22已知ΔM调制系统中，低通滤波器的截止频率为3400Hz，采用的抽样频率fs=32kHz。求在不过载条件下，信号频率为300Hz时，该系统输出的最大信噪比So/Nq。

5.9.23设一般语音信号动态范围为40dB，语音信号最高截止频率fH=3400Hz，若要求语音信号的最低输出信噪比为16dB，试计算ΔM调制中，在信号频率f=800Hz时满足动态范围的最低采样频率fs是多少？

5.9.24一个频带限制在fm=4kHz的信号分别通过PCM系统与ΔM系统，如果要求输出信号量噪比都满足30dB的要求，比较信号频率fk=1kHz时的PCM系统与ΔM系统所需的带宽。

5.9.25对24路最高频率均为4kHz的信号进行时分复用，采用PAM方式传输。假定所用的脉冲为周期性矩形脉冲，脉冲的宽度为τ，占空比为0.5。求此24路PAM信号的第一零点带宽和传输该信号所需的最小信道带宽。

5.9.26对12路语音信号(每路信号的最高频率均为4kHz)进行抽样和时分复用，抽样速率为8kHz，以PCM方式传输。设传输信号的波形是矩形脉冲，其宽度为τ，且占空比为1。

①  抽样后信号按8级量化，求PCM基带信号第一零点带宽。
② 若抽样后信号按128级量化，PCM基带信号第一零点带宽又为多少？
5.9.27有24路PCM信号，每路信号的最高频率为4kHz，量化级为128，每帧增加1bit作为帧同步信号，试求传码率和信道传输带宽。如果32路PCM信号，每路8bit，同步信号已包括在内，量化级为256，试求传码率和信道传输带宽。

5.9.28设有6个带宽分别为W、W、2W、2W、3W、3W的独立信息源，采用时分复用方式共用一条信道传输，每路信源均采用8位PCM编码。
①  设计该系统的帧结构和总时隙数，使各个信源信号可按各自的奈奎斯特速率取样。
② 求每个时隙占有的时隙宽度以及脉冲宽度。
③ 求信道最小传输带宽。