第3章Wolfram语言列表 在Wolfram语言中，各种类型的数据均由原子类型数据构成，而用花括号“{ }”包围起来的各种类型数据的结构称为列表(List)。例如，“{a,b,1,2,3,{5.1}}”为长度为5的列表，由符号a、b和整数1、2、3以及一个子列表{5.1}构成。Wolfram语言为函数式的语言，花括号“{ }”对应的函数为List，上述的列表“{a,b,1,2,3,{5.1}}”在Wolfram语言内部的形式为“List［a,b,1,2,3,List［5.1］］”(借助于函数FullForm［{a,b,1,2,3,{5.1}}］查看)。使用花括号或List函数是创建列表的基本方法，此外，Wolfram语言提供了创建列表的大量内置函数。本章将详细介绍列表的创建函数和基于列表的常用操作函数等。列表是Wolfram语言中最常用的基础数据结构，熟悉列表的创建和操作方法是全面掌握Wolfram语言的关键。 3.1列表构造 Wolfram语言中，数据的存储和处理主要基于列表实现。最直接的创建列表方法为使用List函数或花括号，并手动输入列表中的数据，如图31所示。 图31直接创建列表的方法 在图31中，“In［2］”使用List函数创建了一个列表t1，“In［3］”使用花括号方式创建了另一个列表t2，“In［4］”创建了一个空列表t3。在“In［5］”中使用Length函数统计了列表t1、t2和t3的长度，如“Out［5］”所示，依次为4、6和0。“In［6］”调用FullForm函数显示了列表t2的完全格式，即Wolfram语言表示列表t2的格式，可见列表是用List函数施加于一组数据而构成的结构。 借助于花括号“{ }”和List函数手动创建列表，考虑时间因素，仅限于创建列表元素个数比较少的小型列表。对于大型列表而言，一般借助于各种数据传感器采集感兴趣的数据信息，这些数据以数据文件的形式保存在硬盘或云盘上，然后，借助于Import函数将这些数据导入Mathematica软件中，以列表的形式存储； 对于一些有规律的列表，可以借助于Wolfram语言的内置列表构造函数构造。下面将介绍Import函数和常用的列表构造函数。 3.1.1Import函数 Import函数可以向笔记本中导入各种类型的文件数据，也可以像“爬虫”一样从网站上导入网页数据等。Import函数功能极其强大，而且随着Mathematica软件版本的升级，Import函数正在支持越来越多的数据文件类型。目前已经支持234种数据文件类型格式，可以通过全局参数“$ImportFormats”查看，其中，几乎包括全部图像数据文件格式。 下面以XML格式文档和Excel格式文档为例介绍Import函数导入文件数据的用法。这里，打开Word软件编辑一个文件，如图32所示，将该文件存储为XML格式文件，文件名取为D0301.xml，保存在目录“E:＼ZYMaths＼YongZhang”下。 图32XML文档D0301.xml 由图32可知，文档D0301.xml的内容为一个浮点数序列。 现在，打开Excel软件编辑一个电子表格，如图33所示，将文件命名为D0302.xlsx，保存在目录“E:＼ZYMaths＼YongZhang”下。 图33Excel格式文件D0302.xlsx 在图33中，Excel文件D0302.xlsx具有一个表单Sheet1，为一个13行3列的电子表格。 Import函数可以读取上述两个文件中的内容，如图34所示。 图34Import函数读取XML格式文件和Excel文件 在图34中，“In［1］”调用函数“ClearAll［"Global'*"］”清除笔记本中已定义的变量的值，然后，调用“SetDirectory［NotebookDirectory［］］”将工作目录设置为“E:＼ZYMaths＼YongZhang”，如“Out［1］”所示。 在“In［2］”中，使用Import函数从“D0301.xml”文件中读取数据，使用了选项“CDATA”，表示读取数据项，此时，将D0301.xml中的数据以字符串列表的形式读出，而这个字符串列表的第一个元素为图32中显示的数据。所以，使用First函数获取读到的字符串列表的第一个元素，并将其赋给t1，t1的值如“Out［2］”所示。这里，全局变量t1的值为一个字符串，在“In［3］”中使用函数“InputForm［t1］”可以显示t1的输入形式，如“Out［3］”所示，即"3.2 9.2 10.5 11.3 12.8 13.1 19.7 14.5"，这一个由双引号包围的字符串。现在，将字符串形式的t1转化为数值列表。在“In［4］”中调用函数“StringSplit［t1］”，从t1中的空格处分隔字符串t1，得到一个字符串列表，保存在t2中，如“Out［4］”所示。然后，在“In［5］”中调用函数“ToExpression［t2］”将字符串列表t2转化为数值列表，保存在t3中，如“Out［5］”所示。 上述操作表明，函数Import以字符串列表的形式读取XML文件中的内容，读出的数据常常需要进行后续的处理，这与XML文件存储格式有关。Excel格式文件中的数据有明确的类型标识，Import函数读取Excel格式文件的数据可以识别数据的类型。在“In［6］”中调用“Import［"D0302.xlsx"］”读取图33所示Excel文件D0302.xlsx中的内容，读出的结果保存在t4中，如“Out［6］”所示，这是一个三层的列表，这个列表的每个子列表对应着一个Excel文件中的表单。由图33可知，这里的D0302.xlsx只有一个表单“Sheet1”，所以，t4仅有一个子列表。这个子列表为一个二维的列表，它的每个子列表对应着图33中的一行数据。 在图34的“In［7］”中使用TableForm函数将t4中的数据以表格的形式呈现，这里的TableForm函数的第一个参数为“Rest［First［t4］］”，其中，“First［t4］”返回列表t4的第一个元素，这里是返回t4的第一个子列表，即“{{No.,Quantity,Price},{1.,1200.,35.5},{2.,1330.,40.3},{3.,1260.,42.3},{4.,1180.,47.9},{5.,1240.,50.3},{6.,1300.,53.8},{7.,1270.,58.1},{8.,1310.,61.4},{9.,1290.,65.6},{10.,1210.,70.2},{11.,1230.,74.4},{12.,1220.,80.9}}”，然后，“Rest［First［t4］］”返回“First［t4］”的除第一个元素外的元素构成的列表，即“{1.,1200.,35.5},{2.,1330.,40.3},{3.,1260.,42.3},{4.,1180.,47.9},{5.,1240.,50.3},{6.,1300.,53.8},{7.,1270.,58.1},{8.,1310.,61.4},{9.,1290.,65.6},{10.,1210.,70.2},{11.,1230.,74.4},{12.,1220.,80.9}}”。其中函数“Rest［列表］”得到丢掉“列表”的第一个元素的新列表。TableForm函数的第二个参数为选项“TableHeadings->{None,First［First［t4］］}”，用于设定表格的行标题和列标题，其中None表示无行标题，而列标题为“First［First［t4］］”，表示t4的第一个元素(这里为二层子列表)的第一个元素(这个元素仍为列表)，即“{No.,Quantity,Price}”。TableForm函数的显示结果如图34的“Out［7］”所示。 除了读取数据文件外，Import函数还常用于读取图像文件。类似于上述将创建的XML文档和Excel文件先保存到工作目录再调用Import函数读取其文件内容相似，需要先将拟读取的图像文件保存到工作目录中，然后使用Import［“图像文件全名”］读取图像文件内容，并以图像的形式显示在笔记本中。在Import函数中必须输入“图像文件全名”，即包含图像文件的文件名和扩展名。如果图像文件不在工作目录中，Import函数需要使用完整的路径名加上图像文件全名读取图像文件内容。 在笔记本中，输入“$Path”可以查看Mathematica软件的默认搜索路径，其中，包括目录“C:＼Program Files＼Wolfram Research＼Mathematica＼12.3＼Documentation＼English＼System＼”。在这个目录下有一个子目录“ExampleData”，在这个子目录中有一些实例数据文件，其中包括“rose.gif”。可借助Import函数读取这个图像文件，其语句为“Import［"C:＼＼Program Files＼＼Wolfram Research＼＼Mathematica＼＼12.3＼＼Documentation＼＼English＼＼System＼＼ExampleData＼＼ rose.gif"］”。在使用“Import”函数读取文件时，默认的搜索路径可以省略，上述语句中只需要输入“Import［"ExampleData＼＼rose.gif"］”或“Import［"ExampleData/rose.gif"］”，这里子目录的分隔符使用双斜线“＼＼”或反斜线“/”。注意： 子目录“ExampleData/”不能省略，因为它不在默认的搜索路径中。图35为Import函数读取图像文件的实例。 图35Import函数读取图像文件的实例 在图35中，“In［2］”执行语句“img=Import［"ExampleData/rose.gif"］”读取图像文件rose.gif，赋给全局变量img，并在“Out［2］”中显示了该图像(“玫瑰花”)。在“In［3］”中使用语句“ImageDimensions［img］”获取图像img的大小，如“Out［3］”所示为“{223,164}”，表示图像的宽为223，高为164，即这是一幅164×223像素点的彩色图像。在“In［4］”中，执行语句“dat=ImageData［img,"Byte"］;”，使用函数“ImageData”获取图像中的数据(即每个像素点的值)，参数“Byte”表示像素点的数据以字节形式读取，读取的数据保存在全局变量dat中。由于图像img为一幅彩色图像，每个像素点由R(红色)、G(绿色)和B(蓝色)三色表示，因此，dat的大小为164×223×3。在“In［5］”中使用语句“Dimensions［dat］”得到dat的维数，如“Out［5］”所示，为“{164,223,3}”。 函数Import还可以像“网络爬虫”一样从互联网上爬取数据，例如，语句“Import［"http://www.wolfram.com"］”将读取网页“http://www.wolfram.com”上的文本数据； 而语句“Import［"http://www.wolfram.com","Images"］”将读取该网页上的图像； 语句“Import［"http://www.wolfram.com","Hyperlinks"］”将读取该网页上的超链接信息。此外，与函数Import功能相对的函数为Export函数，用于输出笔记本中的列表数据。 3.1.2Table函数 列表数据有规律的列表可用Table函数生成。Table函数是Wolfram语言最常用的函数，它的用法和Do函数相似，可以实现循环功能，但需注意： ①在Table函数内部不能使用Continue函数和Break函数，Do函数中可以使用这两个函数； ②Do函数没有输出，Table函数输出一个列表； ③Table函数的执行速度远远高于Do函数、For函数和While函数等循环控制函数，所以，常使用Table函数替换这些循环控制函数。 Table函数的语法如下： (1) Table［表达式, n］，表示循环执行“表达式”n次，生成一个长度为n的列表，每个元素为“表达式”在循环时计算得到的值。 (2) Table［表达式, n1, n2,…,nk］，这是上述第(1)个语法的扩展版本，表示循环执行“表达式”n1×n2×…×nk次，生成一个大小为n1×n2×…×nk的列表，每个元素为“表达式”在循环时计算得到的值。 (3) Table［表达式, {i, imax}］，表示循环变量i从1按步长1递增到imax，循环执行“表达式”，生成一个列表，列表的每个元素为“表达式”在循环执行时计算得到的值。这里的循环变量i为属于Table表的局部变量，所以，在Table函数的嵌套中(Table表达式中还有Table函数)，两个Table函数可以使用相同的局部变量。但是，为了增强程序的可读性，建议嵌套的Table函数使用不同的循环变量。 （4） Table［表达式, {i, imin, imax}］，表示循环变量i从imin按步长1递增到imax，循环执行“表达式”，生成一个列表，列表的每个元素为“表达式”在循环执行时计算得到的值。这里的循环变量i为属于Table表的局部变量。 （5） Table［表达式, {i, imin, imax, di}］，表示循环变量i从imin按步长di递增到imax，循环执行“表达式”，生成一个列表，列表的每个元素为“表达式”在循环执行时计算得到的值。这里的循环变量i为属于Table表的局部变量。 （6） Table［表达式, {i, {i1, i2, …}}］，表示循环变量i从列表{i1, i2, …}中依次取值，循环执行“表达式”，生成一个列表，列表的每个元素为“表达式”在循环执行时计算得到的值。这里的循环变量i为属于Table表的局部变量。 上述的第（3）~（6）种语法均生成一维列表，这些语法均可以扩展为生成多层列表的版本，如下所示： （7） Table［表达式, {i1, i1,max}, {i2, i2,max},…,{in, in,max}］，上述第（3）种语法的扩展版本。 （8） Table［表达式, {i1, i1,min, i1,max}, {i2, i2,min, i2,max},…, {in, in,min, in,max}］，上述第（4）种语法的扩展版本。 （9） Table［表达式, {i1, i1,min, i1,max, di1}, {i2, i2,min, i2,max, di2},…, {in, in,min, in,max, din}］，上述第（5）种语法的扩展版本。 （10） Table［表达式, {i1, {i1,1, i1,2, …}} , {i2, {i2,1, i2,2, …}},…, {i3, {i3,1, i3,2, …}}］，上述第（6）种语法的扩展版本。 在上述Table函数的10种语法中，其中“表达式”的值是“串行”计算的。这里用第（3）种语法“Table［表达式, {i, imax}］”为例说明一下： “Table［表达式, {i, imax}］”的执行将得到一个长度为imax的列表，该列表具有imax个元素，每个元素依次计算，即当i取值1时，计算一次“表达式”的值（表达式中可能会用到i的值），得到列表的第1个元素； 然后i递增1，此时再计算一次“表达式”的值（表达式中可能会用到i的值），得到列表的第2个元素； 以此类推，直到i取imax，再最后计算一次“表达式”的值（表达式中可能会用到i的值），得到列表的最后一个元素。 Table的这种计算方式与Do函数计算方式相同，着重强调这种计算方式的目的在于两种原因： 其一，Wolfram语言中还有一个并行计算函数ParallelTable，它的语法和用法与Table的语法和用法相同，但可以并行执行。例如下面的两条语句： (1) Table［Pause［1］;RandomInteger［10］,10］//AbsoluteTiming。 (2) ParallelTable［Pause［1］;RandomInteger［10］,10］//AbsoluteTiming。 上述这两条语句中的表达式均为“Pause［1］; RandomInteger［10］”，这里的“Pause［1］”表示暂停1秒，“RandomInteger［10］”表示生成一个0~10的随机整数。对于使用Table函数的第(1)条语句，由于“表达式”被串行10次，所花费的时间至少为10秒，因为其中的延时一秒函数“Pause［1］”被串行执行了10次。而第(2)条语句，由于使用了并行计算，所有的表达式均并行执行，只花费了一秒多的运行时间。注意： 并行计算在计算前需要做大量的数据预处理工作，当执行简单的计算时，ParallelTable函数可能不如Table函数快。 其二，还有一个ConstantArray函数可以像上述Table函数的第(1)种语法一样，生成常数列表。但是，在ConstantArray函数中表达式只计算一次。 下面通过典型实例依次介绍Table函数各种语法的应用方法，先讨论Table函数的第(1)和第(2)种语法的实例，如图36所示。 图36Table函数实例 图36中，“In［2］”中使用语句“t1=Table［0, 5］”生成长度为5的元素全为0的一维列表，如“Out［2］”所示。在“In［3］”所示语句“(t2=Table［0,2,3］)//MatrixForm”中，先执行括号内部的“t2=Table［0,2,3］”，生成一个两层嵌套列表赋给全局变量t2，它包括2个子列表，每个子列表包括3个元素。然后，将MatrixForm函数作用于t2上，以矩阵的形式显示列表t2。注意，如果去掉“In［3］”中的括号，表达式变为“t2=Table［0,2,3］//MatrixForm”，相当于“t2=(Table［0,2,3］//MatrixForm)”(赋值号优先级最低)，此时，t2将保存列表的矩阵显示格式，如“Out［3］”所示，而不是保存着列表本身，即此时的t2不能参与列表的运算。 除了使用Table函数可以生成常数形式的列表外，还可以使用ConstantArray函数生成这类列表，例如，在图36的“In［4］”中，使用ConstantArray函数生成了列表t3，t3和t2完全相同。 ConstantArray函数的语法如下： (1) ConstantArray［表达式, n］，生成一个长度为n的列表，每个元素为“表达式”的值。注意： 这里的“表达式”只会被计算一次。 （2） ConstantArray［表达式, {n1, n2, …, nk}］，生成一个大小为n1×n2×…×nk的列表，每个元素为“表达式”的值。注意： 这里的“表达式”仅被计算一次。 例如，如图37所示的两条语句。 图37Table和ConstantArray创建常数列表的区别 在图37中，函数SeedRandom用于为伪随机数发生器设为“种子”，即初始值。凡是具有相同“种子”的伪随机数发生器生成的随机数都是相同的。在“In［5］”中，调用语句“SeedRandom［899789］”后，再调用语句“Table［RandomInteger［100］,5］”，生成一个长度为5的列表，每个列表元素为一个由RandomInteger函数生成的0~100的随机整数，如“Out［5］”所示，列表中的随机数不同，表明RandomInteger被重复执行了5次。在“In［6］”中再次调用语句“SeedRandom［899789］”，以确保后续重复调用“RandomInteger［10］”时将依次生成序列“62, 84, 31, 45, 83, …”，即生成与“Out［5］”相同的序列。但是，在“In［6］”中执行语句“ConstantArray［ RandomInteger［100］, 5］”时，RandomInteger［100］仅被计算一次，即得到第一个元素62，所以得到的列表为一个长度为5的元素全为62的列表，如“Out［6］”所示。 Table函数的第(3)~(5)种语法的用法如图38所示。 图38Table函数生成列表实例 在图38中，“In［2］”调用语句“Table［i2,{i,5}］”生成一个列表，循环变量i从1按步长1递增至5，列表的每个元素为循环变量i的平方，即“{1,4,9,16,25}”，如“Out［2］”所示。在“In［3］”中使用了Prime函数，Prime［n］用于生成第n个素数，这里的语句“Table［Prime［i］, {i,3,6}］”将产生由第3~第6个素数为元素的列表，如“Out［3］”所示。在“In［4］”中，循环变量为x，从0按步长π/8递增到π/2，循环执行Sin［x］。这里的“表达式//N”是一种函数调用的后缀写法，相当于“N［表达式］”。使用函数N将Table函数生成的列表转化为浮点数显示，如“Out［4］”所示。 由图38的实例可知，在Table函数中，循环变量的名称可以使用任意合法的标识符，在Table函数的第（5）种语法的循环变量部分“{i, imin, imax, di}”中，变量变化的起始值imin和最大值imax（可能取不到，与步长有关）以及步长di，可以取为任意的数值类型。 图39为Table函数的第(6)~第(10)种语法的典型实例。 图39Table函数生成列表实例 在图36中，“In［5］”中的Table函数的循环变量为x，取值为列表“{a, b, c, d, e}”，其生成的列表如“Out［5］”所示，其各个元素顺次对应着x依次遍历列表“{a, b, c, d, e}”中的符号，这种用法表明当循环变量取值为列表时，可以使用符号，并生成符号表示的列表。在“In［6］”~“In［9］”中，各个Table函数的表达式均为“10i+j”，循环变量i和j均为个位数，这样，表达式“10i+j”相当于把i作为十位数、j作为个位数生成一个整数，以显示i和j的“增长”规律。在“In［6］”的Table函数中，循环变量i从1按步长1递增到2，对于每个i，j都从1按步长1递增到3，因此得到的列表为“{{11,12,13},{21,22,23}}”，如“Out［6］”所示。在“In［7］”的Table函数中，循环变量i从2按步长1递增到5，对于每个i，j都从3按步长1递增到4，对于每个i和j的组合，都计算一次表达式“10i+j”，得到的列表为“{{23,24},{33,34},{43,44},{53,54}}”，如“Out［7］”所示，其中包含4个子列表(与i的取值个数相等)，每个子列表具有2个元素(与j的取值个数相等)。在“In［8］”的Table函数中，循环变量i从2按步长2递增到6(最大值7取不到)，对于每个i，j都从2按步长2递增到6(最大值7取不到)，对于每个i和j的组合，都计算一次表达式“10i+j”，得到的列表为“{{22,24,26},{42,44,46},{62,64,66}}”，如“Out［8］”所示，其中包含3个子列表(与i的取值个数相等)，每个子列表具有3个元素(与j的取值个数相等)。在“In［9］”的Table函数中，循环变量i顺序从列表“{8, 7, 6}”中取值，对于每个i，j都顺序遍历列表“{1, 2, 3,}”中的全部元素，对于每个i和j的组合，都计算一次表达式“10i+j”，因此得到的列表为“{{81,82,83},{71,72,73},{61,62,63}}”，如“Out［9］”所示。 当Table函数中的循环变量按“递减”的方式变化时，必须指定步长，如图39的“In［10］”所示。在“In［10］”的Table函数中，循环变量i从8按步长-1递减到5，对于每个i，计算表达式“i2”的值，得到如“Out［10］”所示的列表。注意： 这里Table函数中的循环变量递减的步长“-1”不能省略。 上述方法中生成的两层嵌套列表具有一个共同点，即它们的子列表具有相同的元素，用矩阵形式表示时，将呈现为矩形的阵列。图310中的Table函数将生成一个不规则的列表，即九九乘法表。 图310九九乘法表 在图310的“Table”函数中，循环变量i从1按步长1递增到9，对于每个i，循环变量j都从1按步长1递增到i，然后，对于每组i和j，计算表达式“ToString［j］<>"*"<>ToString［i］<>"="<>ToString［i*j］”，该表达式中“ToString［表达式］”将“表达式”转化为字符串，“<>”表示连接两个字符串成为一个更长的字符串。Table函数的计算结果保存在全局变量t1中。语句“t1//Grid”与“Grid［t1］”等价，Grid函数将t1以二维的网格状呈现，如“Out［3］”所示。 最后，关于Table函数需要说明的是，在其语法中的“表达式”均可以为语句组，语句组中的各条语句以分号分隔，语句组最后一条语句的计算结果作为本次循环的输出，即作为Table函数输出的列表中的一个元素。图311给出了一个典型的实例，求10层的杨辉三角形。 图311Table函数包括语句组的实例 在图311中，“In［4］”定义了函数t2(无参数)，使用模块Module实现。在模块Module内部，定义了局部变量y1、y2、y3和yang，其中y1初始化为{0, 1, 0}。然后，Table函数的执行结果赋给yang，Table函数中包含了语句组，即“Table［y2=Partition［y1,2,1］; y3=Map［Total,y2］; y1=Join［{0},y3,{0}］; y3,{i,2,10}］”，这里，循环变量i从2按步长1递增到10，共循环执行语句组“y2=Partition［y1,2,1］; y3=Map［Total,y2］; y1=Join［{0},y3,{0}］; y3”9次，每次循环中： 先用Partition函数将y1分成包含两两一组的子列表的一个新列表，并赋给y2，例如，若y1={0,1,0}，则y2={{0,1}, {1,0}}，Partition函数将在4.1.1节详细介绍； 然后，执行“Map［Total,y2］”，并将结果赋给y3，Total［列表］函数用于计算“列表”元素的累加和，而“Map［Total,y2］”将“Total”函数作用于y2的每个子列表上，即对其每个子列表求累加和，例如，y2={{0,1}, {1,0}}，则y3={1, 1}，y3为杨辉三角的第2层元素； 然后，语句“y1=Join［{0},y3,{0}］”借助于Join函数将两个0元素分别添加到y3的头部和尾部，并赋给变量y1，如果y3={1, 1}，则y1={0, 1, 1, 0}； 最后，y3作为Table函数的输出。Module模块的输出为“Join［{{1}},yang］”，即将列表“{1}”添加到列表yang的头部，因此由Table函数生成的yang仅包含杨辉三角的第2~第10层，这里添加上第一层的元素。计算结果如“Out［5］”所示。 图311的“In［6］”中的Table函数的作用在于将10层的杨辉三角形输出。在该Table函数中，循环变量i从1按步长1递增到10，对于每个i，j从1按步长1递增到i，对于每一组i和j，循环执行语句组“If［j==1, str="1 ", str = StringJoin［str, ToString［t2［［i,j］］］, StringTake［" ", 6StringLength［ToString［t2［［i,j］］］］］］］; If［j==i, Print［Spacer［(10-i)*20］,str］］”，这里为两条If语句： ①第一条If语句为“If［j==1, str="1", str = StringJoin［str, ToString［t2［［i,j］］］, StringTake［" ", 6-StringLength［ToString［t2［［i,j］］］］］］］”，表示如果j为1，则令str="1 "，表示每一行显示的第一个元素； 否则，随着j的递增，将同一行的其他元素合并到str中。其中，函数StringJoin用于连接多个字符串，使其成为一个字符串； ToString函数将其参数转化为字符串； StringTake［字符串, n］表示从“字符串”中提取前n个字符的子字符串； StringLength［字符串］返回“字符串”的长度。②第二条If语句为“If［j==i, Print［Spacer［(10-i)*20］,str］］”，表示当j等于i时输出一堆空格点和字符串str，其中，空格点用函数Spacer生成。经过上述的格式化输出方法，可以得到如图311中所示的标准杨辉三角形。 3.1.3数组与矩阵 元素为数值类型的列表均可以称为数组。如果认为数组元素可以为符号，那么列表均可以视为数组。而二维数组中的矩形数组，即二维数组的每行都具有相同的元素数，这类二维数组称为矩阵。数组中只有少量非零元素的数组称为稀疏数组； 同样，矩阵中具有少量非零元素的矩阵称为稀疏矩阵。本节将介绍构造数组和矩阵的一些方法。 首先，介绍生成一维等差序列数组的函数Range。Range函数的语法如下： （1） Range［imax］，生成列表{1, 2, …, imax}。 （2） Range［imin, imax］，生成列表{imin, imin+1, imin+2, …, imax}。 （3） Range［imin, imax, di］，生成一个列表，第一个元素为imin，步长为di，最后一个元素为小于或等于imax、但是其与di之和大于imax。注意，imax可能不在生成的列表中。当di为1时可以省略，退化为第（2）种形式，但是当di为非1的数值或负数时，di不能省略。 上述Range函数生成的序列公差相同。此外，Wolfram语言中还有一个函数PowerRange可以生成公比相同的一维序列，PowerRange函数的语法如下： （1） PowerRange［b］，生成列表{1, 10, 100, …, 10k}, k=Floor［Log10［b］］，即k为b的常用对数的整数部分。这个列表的公比为10。 （2） PowerRange［a, b］，生成列表{a, 10a, 100a, …, 10ka}, k满足10ka≤b<10k+1a，这个列表的公比为10。 （3） PowerRange［a, b, r］，生成列表{a, r×a, r2a, …, rka}，k满足rka≤bval1, pos2->val2,…,posn->valn},{d1, d2,…, dk}］，生成一个维数为d1×d2×…×dk的稀疏数组，位置pos1处的值为val1，pos2处的值为val2，…，posn处的值为valn，其余元素的值为0。 （2） SparseArray［{pos1, pos2,…, posn}- >{val1, val2,…, valn},{d1, d2,…, dk}］，含义与（1）相同。 （3） SparseArray［{pos1->val1, pos2->val2,…,posn->valn},{d1, d2,…, dk}, val］，生成一个维数为d1×d2×…×dk的稀疏数组，位置pos1处的值为val1，pos2处的值为val2，…，posn处的值为valn，其余元素的值为val。 （4） SparseArray［{pos1, pos2,…, posn}- >{val1, val2,…, valn},{d1, d2,…, dk}, val］，含义与（3）相同。 （5） SparseArray［arr］，将一个普通的数组arr转化为稀疏数组。 在上述语法中，形如“pos1->val1”的表达式称为规则Rule，6.2.1节将详细介绍。 在上述稀疏数组中常使用Band函数，Band函数的语法如下： （1） Band［{i,j}］表示在二维矩阵中从位置(i,j)开始，i和j的值同时按步长1递增，直到矩阵的边缘，这条斜线上遍历的位置均属于Band［{i,j}］。 （2） Band［{imin,jmin},{imax,jmax}］，表示在二维矩阵中从位置{imin,jmin}开始，i和j的值同时按步长1递增，直到遇到imax或jmax指定的边缘为止，这条斜线上的位置均属于此Band。 （3） Band［{imin,jmin},{imax,jmax}, {di, dj}］，表示在二维矩阵中从位置{imin,jmin}开始，i和j的值同时分别按步长di和dj递增，直到遇到imax或jmax指定的边缘为止，这条斜线上的位置均属于此Band。 图313和图314分别列出了稀疏数组函数SparseArray和Band函数的用法。 图313稀疏数组函数SparseArray用法实例 图314稀疏数组函数SparseArray和Band函数用法实例 在图313中，“In［2］”调用了语句“m1=SparseArray［{{1,2}->3,{2,4}->5,{4,3}->7},{5,5}］”，创建了一个5×5的稀疏矩阵m1，其中，位置(1,2)的元素为3，位置(2,4)的元素为5，位置(4,3)的元素为7，其余的元素为0。在“Out［2］”中显示了m1的主要信息，共有3个非零元素，矩阵为{5,5}，表示大小为5×5。使用Normal函数可以得到稀疏矩阵m1的普通形式，在“In［3］”中，使用Normal函数将m1转换为普通矩阵，然后，借助于函数MatrixForm显示该矩阵的内容，如“Out［3］”所示，可见，只有3个非零元素，分别位于位置(1,2)、(2,4)和(4,3)处。 在图314中，“In［4］”使用稀疏数组函数SparseArray的第(2)种语法生成一个稀疏矩阵m2，稀疏矩阵仍然是矩阵，可以直接借助于MatrixForm函数查看其内容，如“In［5］”和“Out［5］”所示。稀疏矩阵m2只有3个非零元素，分别位于位置(2,1)、(4,4)和(5,3)处。在“In［6］”中，使用稀疏矩阵函数SparseArray的第(4)种语法生成一个稀疏矩阵m3，m3与m2的指定位置元素相同，但是m3的非指定位置元素均为1，如“Out［6］”所示。 稀疏矩阵具有存储优势，在“In［7］”中，使用CenterArray函数创建了一个大小为100×100的普通矩阵m4，然后，借助于SparseArray将m4转化为稀疏矩阵m5，接着，使用函数ByteCount计算m4和m5的存储字节数。由“Out［8］”可知，m4占据80208字节，而其对应的稀疏矩阵m5只占据1672字节。 在图314的“In［9］”中使用Band函数指定稀疏矩阵中的特定位置，这里Band［{1,1}］对应于主对角线上的全部位置，而Band［{2,1}］表示主对角线下方的次对角线上的全部位置。然后，在“In［9］”中，“{Band［{1,1}］->x,Band［{2,1}］->y}”表示主对角线上全部元素设为x，其下方的次对角线上全部元素设为y。创建的稀疏矩阵如“Out［9］”所示。 本节最后需要介绍的两个函数为“IdentityMatrix”和“DiagonalMatrix”，分别用于生成单位矩阵和对角矩阵，它们的语法如下： (1) IdentityMatrix［n］，生成一个n×n的单位矩阵。 (2) IdentityMatrix［n, SparseArray］，生成一个n×n的单位矩阵，以稀疏矩阵形式存储。 (3) DiagonalMatrix［一维列表］，生成一个矩阵，其对角线元素为“一维列表”的元素，其他元素为0。 (4) DiagonalMatrix［一维列表, k］，生成一个矩阵，其第k条对角线上的元素为“一维列表”的元素，其余元素为0。这里的第k条对角线的含义为： k=0表示主对角线； k=1表示主对角线上方元素位置(1,2)所在的斜对角线； 当k为大于1的整数时，第k条对角线为主对角线上方元素位置(1,k+1)所在的斜对角线； 当k为小于0的整数时，第k条对角线为主对角线下方元素位置(|k|+1,1)所在的斜对角线。 这两个函数的实例如图315所示。 图315单位矩阵和对角矩阵实例 在图315中，“In［10］”使用函数IdentityMatrix生成了一个三阶单位矩阵m7，如“Out［10］”所示，其主对角线元素为1，其他元素为0； “In［11］”生成了一个十阶单位矩阵，使用稀疏矩阵形式存储，如“Out［11］”所示； “In［12］”使用函数DiagonalMatrix生成一个矩阵m9，该矩阵的元素位置(3,1)所在的斜对角线上的元素为{3,5,7}，其余位置的元素均为0，如“Out［12］”所示。 除了上述介绍的各种数组和矩阵函数外，Wolfram语言中还有一些几何变换矩阵和代数变换矩阵，这里限于篇幅不再介绍。 3.1.4字符列表 字符串是用双引号括起来的一串符号，而字符是由双引号括起来的单个符号。在Wolfram语言中，函数Characters用于把字符串转化为字符列表，而函数CharacterRange可生成规则排序的字符列表。这两个函数的用法实例如图316所示。 图316字符列表函数用法实例 在图316中，“In［2］”执行“Characters［"The Everest."］”将字符串“The Everest.”转化为字符列表“{T, h, e, , E, v, e, r, e, s, t, .}”，如“Out［2］”所示。“Out［2］”中每个字符均带有双引号，其形式通过“InputForm”函数查看，如“Out3”所示。函数Characters具有“Listable”属性，其参数为列表时，函数Characters作用于列表的每个字符串上，如“In［4］”所示。“Characters［{"The Everest.", "Maths!"}］”将返回每个字符串的字符列表，如“Out［4］”所示。 CharacterRange函数若指定两个字符作为参数，将生成这两个字符间按字符编码排列的全部字符列表； 若指定两个整数作为参数，将生成这两个整数间的全部整数作为编码对应的字符列表。如图316中“In［5］”所示的“{CharacterRange［"h","o"］, CharacterRange［65,75］}”，这里生成字符“h”至“o”的全部字符列表以及编码65对应的字符“A”至编码“75”对应的“K”的字符列表，如“Out［5］”所示。需要注意： CharacterRange函数的参数的两个字符或两个数值，必须满足后者大于前者，否则返回空列表。这里的字符的编码是Unicode编码，查看一个字符的编码的方式为“ToCharacterCode［字符］”，该函数返回“字符”的编码。在图316的“In［6］”中，使用语句“{ToCharacterCode［{"A","B","C","中"}］}”显示字符“A”“B”“C”和“中”的编码，如“Out［6］”所示。 借助于英文字符的编码规律，即大写英文字符的编码加上32为其对应的小写英文字符的编码，可实现英文字符的大小写转换。例如： “FromCharacterCode［ToCharacterCode［"A"］ + 32］”，将“A”转换为“a”。这里的函数“FromCharacterCode”为由编码得到相对应的字符的函数。Wolfram语言中集成了实现英文字符大小写转换的函数，即函数ToLowerCase和ToUpperCase，其参数均为字符或字符串，执行后将分别得到小写形式和大写形式的字符串。 3.1.5随机数列表 随机数是一种重要的计算资源。Wolfram语言中集成了各种随机数发生器函数，本节将详细介绍这些函数的实现方法。 首先是随机整数发生器函数RandomInteger，其语法如下： （1） RandomInteger［］，随机生成0或1。 （2） RandomInteger［imax］，随机生成一个位于{0, 1, 2, …, imax}中的整数。 （3） RandomInteger［{imin, imax}］，随机生成一个位于{imin, imin+1,…,imax}中的整数。 （4） RandomInteger［{imin, imax}, n］，随机生成一个长度为n的列表，每个元素均为随机取自{imin, imin+1,…,imax}中的整数。 （5） RandomInteger［{imin, imax}, {n1, n2,…,nk}］，随机生成一个大小为n1×n2×…×nk的列表，每个元素为随机取自{imin, imin+1,…,imax}中的整数。 （6） RandomInteger［概率分布函数］，随机生成按“概率分布函数”分布的一个整数。 （7） RandomInteger［概率分布函数, n］，随机生成一个长度为n的整数列表，其中的元素服从“概率分布函数”给定的分布规律。 （8） RandomInteger［概率分布函数, {n1, n2,…,nk}］，随机生成一个大小为n1×n2×…×nk的整数列表，其中的元素服从“概率分布函数”给定的分布规律。 上述RandomInteger函数的数值参数必须为整数，概率分布函数必须为定义在整数域上的分布。 伪随机浮点数发生器函数RandomReal的语法与RandomInteger有相似之处，如下所示： （1） RandomReal ［］，随机生成区间［0, 1］中的一个浮点数。 （2） RandomReal ［xmax］，随机生成一个位于区间［0, xmax］中的浮点数。 （3） RandomReal ［{xmin, xmax}］，随机生成一个位于区间［xmin, xmax］中的浮点数。 （4） RandomReal ［{xmin, xmax}, n］，随机生成一个长度为n的列表，每个元素均为随机取自区间［xmin, xmax］中的浮点数。 （5） RandomReal ［{xmin, xmax}, {n1, n2,…,nk}］，随机生成一个大小为n1×n2×…×nk的列表，每个元素为随机区间［xmin, xmax］中的浮点数。 （6） RandomReal ［概率分布函数］，随机生成按“概率分布函数”分布的一个浮点数。 （7） RandomReal ［概率分布函数, n］，随机生成一个长度为n的浮点数列表，其中的元素服从“概率分布函数”给定的分布规律。 （8） RandomReal ［概率分布函数, {n1, n2,…,nk}］，随机生成一个大小为n1×n2×…×nk的浮点数列表，其中的元素服从“概率分布函数”给定的分布规律。 在上述的第（6）~第（8）种情况下，“概率分布函数”必须为定义在浮点数域上的分布。 随机复数发生器函数RandomComplex的语法如下所示： （1） RandomComplex ［］，随机生成一个复数，其实部和虚部均为区间［0, 1］中的浮点数。 （2） RandomComplex ［zmax］，随机生成一个复数，其位于复坐标系中以复数zmax为对角线的矩形内。 （3） RandomComplex ［{zmin, zmax}］，随机生成一个复数，其位于复坐标系中以zmin和zmax为端点，以连接这两个端点的线段为对角线的矩形内。 （4） RandomComplex ［{zmin, zmax}, n］，随机生成一个长度为n的复数列表，其每个元素位于复坐标系中以zmin和zmax为端点，以连接这两个端点的线段为对角线的矩形内。 （5） RandomComplex ［{zmin, zmax}, {n1, n2,…,nk}］，随机生成一个大小为n1×n2×…×nk的复数列表，其每个元素位于复坐标系中以zmin和zmax为端点，以连接这两个端点的线段为对角线的矩形内。 在RandomReal和RandomComplex函数中，可以指定浮点数的工作精度，使用选项“WorkingPrecision->精度值”，其中，精度值可以为小数。 上述伪随机数发生器函数的典型实例如图317所示。 图317伪随机数发生器典型实例 在图317中，“In［2］”调用了函数SeedRandom，该函数将其参数设为伪随机数发生器的“种子”值(即初始值)，而所有的随机数函数均由同一个伪随机数发生器得到，因此，设定了“种子”值后，其后的各个伪随机数函数生成的随机数随“种子”值的确定而确定了。从而在任何计算机上(或任何时间)，图317中的执行结果都是相同的。如果没有“In［2］”中的语句“SeedRandom［299792458］”(这里的参数值为光在真空中的传播速率)，图317中的执行结果在不同的计算机上(甚至不同的执行时间)是不同的。 在图317中详细介绍了RandomInteger函数的各种用法，由于函数RandomReal与RandomComplex的用法和函数RandomInteger类似，这两个函数仅作了简单介绍。在“In［3］”中语句“{RandomInteger［］,RandomInteger［100］,RandomInteger［{10,20}］}”用于产生一个列表，如“Out［3］”所示，第一个元素0由“RandomInteger［］”生成； 第2个元素13由“RandomInteger［100］”生成； 第3个元素17由“RandomInteger［{10,20}］”生成。上述三个调用对应于RandomInteger函数的第(1)~第(3)种语法。 在“In［4］”中，“RandomInteger［{1,10}, 6］”将生成一个长度6的列表，每个元素从{1, 2, …, 10}中随机取得，其执行结果如“Out［4］”所示。“In［5］”中“r1=RandomInteger［{1,10},{2,4}］”生成了2×4的矩阵，并赋给全局变量r1，每个元素为随机取自1~10的整数，使用MatrixForm函数将r1显示为矩阵形式，如“Out［5］”所示。在“In［6］”中，“PoissonDistribution”为泊松分布函数，具有一个表示均值的参数，其中，“PoissonDistribution［5］”为一个均值为5的泊松分布。而“RandomInteger［PoissonDistribution［5］,{2,3}］”生成一个大小为2×4的列表，其元素服从均值为5的泊松分布，然后，借助于MatrixForm函数显示为矩阵形式，如“Out［6］”所示。 在“In［7］”中，语句“{RandomReal［］, RandomReal［3.9］, RandomReal［{5.6,9.2}］}”对应着RandomReal函数第(1)~第(3)种语法，执行结果如“Out［7］”所示。在“In［8］”中，函数“UniformDistribution［{min,max}］”用于产生一个在区间［min, max］上的均匀分布，其中“RandomReal［UniformDistribution［{0,10}］,{2,3}］”生成一个2×3的列表，其元素服从区间［0,10］上的均匀分布，执行结果借助MatrixForm函数以矩阵形式呈现，如“Out［8］”所示。 在图317的“In［9］”中，调用“RandomComplex［1+I, 3］”生成一个包括3个复数的列表，每个复数随机生成，且取自以复数“1+I”为对角线的矩阵区域内。执行结果如“Out［9］”所示。 在Wolfram语言中，综合了上述RandomInteger［概率分布函数］和RandomReal［概率分布函数］两个函数功能的函数称为RandomVariate，该函数的语法如下： (1) RandomVariate［概率分布函数］，按“概率分布函数”随机生成一个数值； (2) RandomVariate［概率分布函数, n］，按“概率分布函数”随机生成一个包含n个数值的列表； (3) RandomVariate ［概率分布函数, {n1, n2,…,nk}］，按“概率分布函数”随机生成一个大小为n1×n2×…×nk的数值列表。 这样，在图317中的“In［6］”等价于语句“RandomVariate［PoissonDistribution［5］, {2,3}］//MatrixForm”； 而“In［8］”等价于语句“RandomVariate［UniformDistribution［{0,10}］, {2,3}］//MatrixForm”。 除了上述随机数发生器函数外，Wolfram语言中还有一个生成随机颜色的函数RandomColor，调用“RandomColor［n］”将返回一个长度为n的颜色列表，每个颜色值取自 RGBColor函数的颜色空间。 Wolfram语言中，可以将伪随机器发生器函数的作用局部化，通过BlockRandom函数实现。Block模块函数将在5.2节深入介绍，它具有将全局变量的值局部化的作用，即不影响全局变量的全局值，在Block模块内部可以给该全局变量赋一个新的局部值。类似于Block函数，BlockRandom函数使用的伪随机数发生器函数，对“伪随机数发生器”的“全局状态值”没有影响，这样，类似于下面的两个RandomInteger函数的调用一定会返回相同的伪随机数： "{BlockRandom［RandomInteger［100］］,RandomInteger［100］}" 每次执行其结果都会不同，但是，返回的两个随机数一定相同。假设执行到这个语句时，“伪随机数发生器”的当前状态值为x，进入这个语句后，在“BlockRandom［RandomInteger［100］］”中“伪随机数发生器”将使用x进行迭代生成下一个伪随机数供这个RandomInteger函数使用，但是这个RandomInteger函数在BlockRandom中，它不会改变“伪随机数发生器”的原有状态x。而在执行语句“RandomInteger［100］”，“伪随机数发生器”仍然是从状态“x”开始迭代，但是迭代之后，状态x被新的状态取代。 另一类型的随机函数为随机抽样函数，包括RandomChoice和RandomSample函数，前者为有放回的随机取样，即每次取样都是从全部样本空间中取样； 后者为无放回的随机取样，即每次取样是从前面已取样后的剩余样本空间中取样。这两个函数的语法相近，下面一起介绍： （1） RandomChoice［{e1,e2,…,en}］，从“{e1,e2,…,en}”中随机抽样一个数据，返回这个数据。 RandomSample［{e1,e2,…,en}］与上述函数意义完全不同，它是对“{e1,e2,…,en}”的全部元素作一个随机排列，返回一个包含重新排列后的全部元素的新列表。事实上，RandomSample［{e1,e2,…,en}］与RandomSample［{e1,e2,…,en}, n］含义相同。 （2） RandomChoice［{e1,e2,…,en}, m］，从“{e1,e2,…,en}”中有放回地随机抽样m个数据，组成一个列表，这里的m可以大于n。 RandomSample［{e1,e2,…,en},m］，从“{e1,e2,…,en}”中无放回地随机抽样m个数据，组成一个列表，这里的m≤n，当m=n时，相当于“{e1,e2,…,en}”的一个全排列。 （3） RandomChoice［{e1,e2,…,en}, {m1, m2,…, mk}］，生成一个大小为m1×m2×…×mk的列表，每个元素均从“{e1,e2,…,en}” 中有放回地随机抽样得到。 RandomSample函数无此对应语法。 （4） RandomChoice［{p1,p2,…,pn}->{e1,e2,…,en}］，按可能出现的比例“p1:p2:…:pn”从“{e1,e2,…,en}”中随机抽样一个数据，返回这个数据。这里的“p1, p2, …, pn”可以为整数也可以为浮点数。 RandomSample［{p1,p2,…,pn}->{e1,e2,…,en}］，与上述函数意义不同，按可能出现的比例“p1:p2:…:pn”对“{e1,e2,…,en}”的全部元素作一个随机排列，返回一个包含重新排列后的全部元素的新列表。这种情况下，每个元素被抽样的概率越大，其出现在新列表中的位置越靠前。事实上，RandomSample［{p1,p2,…,pn}->{e1,e2,…,en}］与RandomSample［{p1,p2,…,pn}-> {e1, e2, …, en}, n］含义相同。 （5） RandomChoice［{p1,p2,…,pn}->{e1,e2,…,en}, m］，按可能出现的比例“p1:p2:…:pn”从“{e1,e2,…,en}”中有放回地随机抽样m个数据，组成一个列表。 RandomSample［{p1,p2,…,pn}->{e1,e2,…,en}, m］ ，按可能出现的比例“p1:p2:…:pn”从“{e1,e2,…,en}”中无放回地随机抽样m个数据，组成一个列表。这里的m≤n。当m=n时与“RandomSample［{p1,p2,…,pn}->{e1,e2,…,en}］”含义相同。 （6） RandomChoice［{p1,p2,…,pn}->{e1,e2,…,en}, {m1, m2,…, mk}］，生成一个大小为m1×m2×…×mk的列表，每个元素均按它们出现的比例“p1:p2:…:pn”从“{e1,e2,…,en}” 中有放回地随机抽样得到。 RandomSample函数无此对应语法。 图318列举了几个随机取样的实例。 图318随机取样函数实例 在图318中，“In［2］”中语句“RandomChoice［Range［6］］”从{1, 2, …,6}中随机选取一个数值； “RandomSample［Range［6］］”对{1, 2, …,6}进行一次随机全排列。“In［2］”的执行结果如“Out［2］”所示。在“In［3］”所示的语句“{RandomChoice［Range［6］,4］, RandomSample［Range［6］,4］}”中，两个函数都是随机从{1, 2, …,6}中抽取4个数值，只是前者是有放回抽样，数据可能重复抽取到； 后者是无放回抽样，数据不可能重复。“In［3］”的执行结果“Out［3］”也印证了上述分析。 在图318中，“In［4］”中的语句“RandomChoice［Range［6］,{2,3}］//MatrixForm”，有放回地从{1, 2, …,6}中随机选取了6个数据，构成一个2×3的列表，以矩阵形式显示于“Out［4］”处。“In［5］”中，“RandomChoice［RandomInteger［10,6］->Range［6］］”以随机生成的权重从{1, 2, …,6}中随机选取一个数值； 而“RandomSample［RandomInteger［10,6］->Range［6］］”以随机生成的权重对{1, 2, …,6}进行了一次随机全排列。“In［5］”的结果如“Out［5］”所示。“In［6］”与“In［5］”类似，只是从中随机抽样4个数据;同样地，“RandomChoice［RandomInteger［10,6］-> Range［6］,4］”可能会重复抽样，而“RandomSample［RandomInteger［10,6］->Range［6］,4］”不会重复抽样。 在图318的“In［7］”中，语句“RandomChoice［RandomInteger［10,6］-> Range［6］,{2,3}］ //MatrixForm”，以“RandomInteger［10,6］”生成的随机序列作为权重，从{1, 2, …,6}中随机有放回地抽取6个数值，组成一个2×3的列表，以矩阵的形式显示在“Out［7］”中。“In［7］”对应着RandomChoice函数的第(6)种语法，而RandomSample在当前的Mathematica版本中无此功能。 3.2列表操作 列表是Wolfram语言中的基础数据类型，是数据的组织方式，也是内置函数的主要处理对象。本节的“列表操作”仅介绍一些与列表元素处理直接相关的内置函数，那些使用列表进行数学计算的内置函数将在下一章介绍。 3.2.1列表元素访问 在Wolfram中所有表达式都有一个标头，用函数“Head［表达式］”获取。列表的标头为“List”，例如，“Head［{1,2,3}］”返回“List”。列表的标头为列表的第0号位置的元素，通过Extract可以读出标头，函数“Extract［列表, {位置}］”读出该“位置”处的元素。借助于TreeForm可以查看列表的结构，“TreeForm［列表］”将以树和层的形式显示列表结果。“列表”的层数用Depth函数统计。用Level可读取列表的某一层的数据，例如“Level［列表, {层号}］”读出“列表”中第“层号”层的数据，当层号为-1时，读出列表中的全部原子类型数据。下面借助于图319具体说明上述函数的用法。 图319列表标头和层的函数 在图319中，“In［1］”定义了全局变量x为一个列表“{{1,2},3,{{{4,5},6},7}}”。在“In［2］”中，调用“Head［x］”和“Extract［x,{0}］”时均得到“List”，因为x是一个列表，其标头为List，而标头List位于x的0号位置，故Extract［x, {0}］也返回List。“Extract［x, {2}］”返回列表x的第2个元素，由“In［1］”或“Out［1］”可知，列表x的第2个元素为3。Depth［x］返回列表x的深度，也就是x的层数，由“Out［3］”可以看到x共5层，即深度为5。这样，“In［2］”的执行结果为“{List, List, 3, 5}”，如“Out［2］”所示。在“In［3］”中调用“TreeForm［x］”显示列表x的树形结构。注意两点： ①TreeForm可以用于显示任意表达式的树形结构； ②树形结构中，层号从0开始标注，在“Out［3］”中，第0层就是整个List列表，访问方式“Level［x, {0}］”，将返回“{{{1,2},3,{{{4,5},6},7}}}”，相当于“{x}”，因为Level以列表的形式返回值，故多加了一层“{ }”； 第1层为“List［1,2］”“3”和“List［List［List［4,5］,6］,7 ］”，访问方式为“Level［x,{1}］”，返回“{{1,2},3,{{{4,5},6},7}}”，相当于x，实际上是返回x的各个元素，并添加了一层“{ }”，注意，如果某层中有一个List，那么List下面的“树枝”和“树叶”都算在这一层中； 第2层为“1”“2”“List［List［4,5］,6］”和7，访问方式为“Level［x,{2}］”，返回“{1,2,{{4,5},6},7}”； 第3层为“List［4,5］”和6，访问方式为“Level［x,{3}］”，返回“{{4,5},6}”； 第4层为“4”和“5”，访问方式为“Level［x,{4}］”，返回“{4, 5}”。在“In［4］”中，语句“{Level［x,{4}］,Level［x,{3}］,Level［x,{2}］}”返回x的第4、3、2层上的内容，如“Out［4］”所示。 若拟访问列表中指定位置的元素，使用Part函数。在列表中，各个元素的索引号从左向右依次为“1、2、3、…”，而从右向左依次为“-1、-2、-3、…”。从列表的第m个元素向右到第n个元素，使用记号“m;;n”； 如果从第n个元素向左至第m个元素，使用记号“n;;m;;-1”； 如果从第m个元素以步长k到第n个元素，使用记号“m;;n;;k”。Part函数的常用表示形式为双方括号对“［［ ］］”。对于多层列表，使用逗号“,”分别表示不同层的索引号。图320进一步演示了列表的元素访问方法。 图320列表元素访问 在图320中，“In［1］”定义了x为列表“{{1,2},3,{{{4,5},6},7}}”。在“In［2］”中“Part［x,1,2］”和“x［［1,2］］”等价，都返回x列表的第1个元素(为列表)中的第2个元素，为2。图320中的紧凑形式的双方括号由“Esc+［［+Esc”键和“Esc+］］+Esc”键输入。在“In［2］”中的“Part［x,3,1,1］”和“x［［3,1,1］］”含义相同，都指返回x列表的第3个元素(为列表)中的第1个元素(仍为列表)中的第1个元素(仍然是列表)，即“{4, 5}”。“In［2］”的输出如“Out［2］”所示。 在“In［3］”中定义了列表y为“{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}”。在“In［4］”中“y［［-3;;-1］］”读取列表y的倒数(指从右向左数)的第3个元素按步长1至倒数的第1个元素； “y［［4;;9;;2］］”读取列表y的第4个元素按步长2至第9个元素(注： 第9个元素取不到)； “y［［{3,5,9,4,1}］］”读取以列表“{3,5,9,4,1}”的元素为索引号的列表y中的元素。“In［4］”的输出为“{{10,11,12},{6,8,10},{5,7,11,6,3}}”，如“Out［4］”所示。 在“In［5］”中执行“y［［3;;5］］={a,b,c}”将列表{a, b, c}赋给列表y的第3~第5个元素，然后，在“In［6］”中显示列表y，其内容如“Out［6］”所示，为“{3,4,a,b,c,8,9,10,11,12}”。可见，y［［3;;5］］已被赋值为{a,b,c}，即可以通过赋值的方式修改列表元素的值。 除了按元素的索引号访问列表中的元素外，还可以根据元素获取它在列表中的索引号，用“Position［列表, 元素］”函数获得“元素”在列表中的所有索引号，用“FirstPosition［列表, 元素］”函数获得“元素”在列表中的第一个索引号，也就是首先出现的位置。谓词函数“MemberQ［列表, 元素］”当“元素”在“列表”内时，返回真； 否则返回假。函数“Sort”可对列表排序，默认为升序排列； 函数“Ordering”和“Sort”是一对函数，“Ordering”函数用于保存排序后的元素在原列表中的索引号。图321列出了上述函数的一些典型用法。 图321列表索引号相关的函数实例 在图321中，“In［1］”定义了列表x为“{a,b,c,a,d,e,b,e,a,e}”，在“In［2］”中“{Position［x,e］,FirstPosition［x,e］,MemberQ［x,e］,Count［x,e］}”这4个函数的调用依次返回元素e在列表x中的全部索引号{{6},{8},{10}}、元素e在列表x中的第一个索引号{6}和元素e在列表x中出现的次数3。函数Count［列表,元素］用于统计“元素”在“列表”中出现的次数。函数Position和FirstPosition返回的结果均为列表的形式，这是因为对于多维列表而言，这两个函数的返回结果将不止一个数值，故把返回的全部索引号放在列表中。在“In［3］”的语句“{Sort［x］,Ordering［x］}”中，“Sort［x］”对列表x以升序(这里按字符的编码值升序)排序，“Ordering［x］”获取排序后的元素索引号序列，运行结果如“Out［3］”所示。 Sort函数可以指定排序方式。在图321中，“In［4］”定义了列表y为“{3,-1,2,-4,6,7,-8}”，在“In［5］”中，“{Sort［y］, Sort［y,Greater］, Sort［y, (#12>#22)&］}”依次对y按数值大小升序排列、按数值大小降序排列和按平方数大小降序排列，结果如“Out［6］”所示，为“{{-8,-4,-1,2,3,6,7}, {7,6,3,2,-1,-4,-8}, {-8,7,6,-4,3,2,-1}}”。Sort函数可以指定第二个参数，为排序选项。当该选项为“Greater”时，表示以“Greater［#1,#2］&”即前一个元素大于后一个元素的方式排序。这里“Greater［#1,#2］&”为纯函数； 如果选项为纯函数“(#12>#22)&”，表示按第一个元素的平方数大于第二个元素的平方数的顺序排序。可以为Sort函数的第二个参数指定所需要的排序纯函数实现特定的排序。当Sort函数使用排序选项时，相应的Ordering函数也需要使用相同的选项。例如，“In［6］”中的“Ordering［y,All,(#1^2>#2^2)&］”与“In［5］”中的“Sort［y,(#1^2>#2^2)&］”对应，在“Ordering”函数中，多了一个中间参数，这里该参数为“All”表示显示全部索引号，如果该参数为具体的整数，则只显示指定的整数个索引号。“In［5］”和“In［6］”的输出结果分别为“Out［5］”和“Out［6］”，对比这两个结果，可以直观地确认列表元素排序的变化与其引起的索引号的变化的关系。 3.2.2Map和Apply方法 Map函数和Apply函数增强了访问列表元素的方法。其中，Map函数的语法如下： (1) Map［函数, 列表］，表示“函数”将作用于列表的每个元素，相当于作用于列表第1层的元素。也可以用符号“/@”表示，即“函数/@列表”的形式。这里的“@”表示函数映射，即“函数［列表］”等价于“函数@列表”。 (2) Map［函数, 列表, {层号}］，表示“函数”作用于“列表”的第“层号”层元素。 (3) Map［函数, 列表, 层号］，表示“函数”作用于“列表”的第1层至第“层号”层的全部元素。 (4) Map［函数］［列表］，与第(1)种情况“Map［函数, 列表］”含义相同，有时称“Map［函数］”为“函数”的Map算子形式。 Apply函数的语法如下： (1) Apply［函数, 列表］，表示使用“函数”替换“列表”的标头，即列表的第1层的全部元素作为“函数”的参数。也可以用符号“函数@@列表”表示。 (2) Apply［函数, 列表, {1}］，表示使用“函数”替换“列表”的第1层的子列表的标头，也可以用符号“函数@@@列表”表示。 (3) Apply［函数, 列表, {层号}］，表示使用“函数”替换“列表”的第“层号”层的子列表的标头。 (4) Apply［函数, 列表, 层号］，表示使用“函数”替换“列表”的第1层至第“层号”层的子列表的标头。 (5) Apply［函数］［列表］，等价于第(1)种情况的“Apply［函数, 列表］”，有时称“Apply［函数］”为“函数”的Apply算子形式。 图322给出了Map和Apply函数的典型实例。 图322Map和Apply函数典型实例 在图322中，“In［2］”定义了列表x并调用TreeForm显示了它的树形结构，如“Out［2］”所示，列表x共有4层，从第0层至第3层。由于“Map［f, x］”相当于“Map［f, x, {1}］”，所以，“In［3］”的语句“{Map［f,x］, Map［f,x,{2}］, Map［f,x,{3}］}”依次为将函数f作用于列表x的第1、2和3层上的元素，结果如“Out［3］”所示。这里以“Map［f, x, {2}］”为例详细介绍一下计算方式： 由“Out［2］”可知，列表x的第2层为“b, c, d, List［e,f］”“Map［f, x, {2}］”，其中函数f是作用于x的第2层上的元素，与第2层不相关的“树枝”和“树叶”上的元素将保留原样，故“Out［2］”中的元素“a”保留原样，所以，“Map［f, x, {2}］”将得到一个列表“{a,{f［b］,f［c］},{f［d］,f［{e,f}］}}”。 Apply函数与Map函数的作用方式不同，在图322的“In［4］”中，“{Apply［f, x］, Apply［f, x, {2}］, Apply［f, x, {3}］}”表示依次将函数f替换列表x的第1、2和3层上的标头，这里的“Apply［f, x］”和“Apply［f, x, {1}］”含义相同。“In［4］”的执行结果如“Out［4］”所示。这里以“Apply［f, x, {2}］”为例详细介绍一下执行过程： 列表x的第2层为“b, c, d, List［e,f］”，这里只有最后一个元素为列表，因此，Apply函数仅把最后一个元素的标头替换为f，其余元素保持不变，即得到“{a,{b,c},{d,f［e,f］}}”。在“In［3］”和“In［4］”中，有两个符号“f”，这不影响Map和Apply函数的正确执行，因为Wolfram语言可执行符号运算，这两个符号“f”是相同的，但是上述介绍中，把Map函数中的“f”称为函数，列表x中的“f”称为元素。 在图322的“In［5］”和“In［6］”中，列举了两个数值计算的Map和Apply实例，“In［5］”和“In［6］”含义相同，执行结果也相同，如“Out［5］”或“Out［6］”所示。其中，“Map［(3#)&,Range［5］］”或“(3#)&/@Range［5］”将纯函数“(3#)&”作用于列表“{1,2,3,4,5}”的每个元素，得到“{3,6,9,12,15}”，这里的纯函数“(3#)&”返回函数的参数的值的3倍。“Apply［Plus,Range［5］］”和“Plus@@Range［5］”含义相同，均表示使用函数“Plus”替换列表“{1,2,3,4,5}”的标头，即得到“Plus［1,2,3,4,5］”，为15，这里的“Plus”函数为求和函数。 3.2.3向量与矩阵操作 在Wolfram语言中，一维列表为列向量的形式，二维列表为矩阵的形式。本节将介绍向量与矩阵的基本运算，关于矩阵的变换等高级运算将在4.1.4节中介绍。 Wolfram语言的基本运算函数和相应的简化符号为： 加“Plus(+)”、减“Subtract(-)”、乘“Times(*)”、除“Divide(/)”、乘方“Power(^)”和开平方“Sqrt()”，开平方的符号用“Ctrl+@”或“Ctrl+2”快捷键输入。这些运算均可以应用于向量与矩阵中。 图323为向量和矩阵的一些基本运算操作。 图323向量与矩阵的基本运算实例 在图323中，在“In［1］”中“{2+3,2-3,2*3,2/3,2^3,3}”演示了四则运算的应用，在Wolfram语言中，整数和有理数是无限精度表示和计算的，所以，“3”的计算结果仍然为“3”，如果查看这个无理数的浮点数近似值，需借助于“N”函数，“N［3］”可显示“3”的6位有效数字近似值。“In［2］”和“In［3］”使用随机整数发生器函数RandomInteger生成了两个长度为5的列表x1和x2，以及两个2行3列的矩阵y1和y2，分别如“Out［2］”和“Out［3］”所示。 在图323中，“In［4］”调用Min和Max函数计算了列向量x1和矩阵y1的最小值和最大值，如“Out［4］”所示。Wolfram语言中还有一个函数“MinMax［列表］”，可以同时得到“列表”的最小值和最大值。在“In［5］”中，调用Length和Dimensions函数，分别获取了列表的长度(列表的第一层的元素个数)和矩阵的维数(矩阵的行和列的大小)。对于向量x1，Dimensions将返回其长度“{5}”； 对于规则的矩阵y1，将返回其行数和列数，即“{2,3}”。 在Wolfram语言中，“*”号，即Times，用于向量或矩阵的操作时，是指向量或矩阵的对应元素相乘，此时要求参与相乘的两个向量的长度相同或者参与相乘的两个矩阵的结构相同(即具有相同的大小)。在图323的“In［6］”中，“x1*x2”和“y1*y2”实现了对应元素相乘的操作，返回的结果为“{1924, 4340, 1034, 4312, 1078}”和“{{0, 400, 2686}, {6930, 240, 3339}}”。而实现“矩阵乘法”的运算函数或符号为“Dot”或“.”，“x1.x2”即“Dot［x1, x2］”，执行x1与x2的内积运算(又称点积运算)，得到“12688”。“y1.Transpose［y2］”执行y1与y2的转置的矩阵乘法运算，得到“{{3086,8724},{2002,10509}}”。这里的函数“Transpose［矩阵］”返回“矩阵”的转置。“In［6］”的执行结果如“Out［6］”所示。Dot函数的扩展版本为“Inner”函数，称为广义内积函数，它的对偶操作函数为“Outer”函数，称为广义外积函数，这里不作详细说明。 3.2.4集合操作 集合是由一组互不相同的元素组成的集体。对于列表而言，如果其元素互不相同，则可认为该列表为集合。集合的基本操作为求两个集合的并集和交集以及求一个集合的子集和它相对于全集的补集等。下面介绍基本的集合操作函数。 函数DeleteDuplicates用于删除列表中的重复元素，即重复出现的元素仅保留一个，其语法如下： (1) DeleteDuplicates［列表］，删除“列表”中的重复元素，那些重复出现的元素仅保留一个。 (2) DeleteDuplicates［列表, 条件］，删除“列表”中满足“条件”的元素，而不是删除“列表”中的重复元素。 函数Union用于求列表的并集，其语法如下： (1) Union［列表］，与“DeleteDuplicates［列表］”作用类似，删除了“列表”中的重复元素，但是，还对“列表”中剩下的元素进行排序。 (2) Union［列表1, 列表2,…］，对参数中的全部“列表”求并集，删除结果集合中的重复元素，并对结果集合中的元素进行排序。“Union”函数的运算符为符号“∪”（“Esc+un+Esc”键），“Union［列表1, 列表2,…］”等价于“列表1 ∪ 列表2 ∪ …”。 函数Intersection用于求列表的交集，其语法如下： Intersection［列表1, 列表2,…］，对参数中的全部“列表”求交集，删除结果集合中的重复元素，并对结果集合中的元素进行排序。“Intersection”函数的运算符为符号“∪”(“Esc+inter+Esc”键)，“Intersection［列表1, 列表2,…］”等价于“列表1 ∩ 列表2 ∩ …”。 函数Complement函数用于求列表关于全集的补集，其语法如下： Complement［表示全集的列表, 列表1, 列表2,…］，返回在“表示全集的列表”中但不在“列表1”“列表2”等中的元素的集合，并对元素进行排序。 在上述求集合的并、交和补的函数中，可以使用“SameTest”相同性选项重新定义两个元素是否相同。例如，对于Union函数，增加了相同性选项的语法为： Union［列表1, 列表2, …, 列表n, SameTest->用于判定相同的纯函数］。 图324给出一些集合的基本操作。 图324集合的基本操作实例 在图324中，“In［1］”定义了两个列表x1和x2，分别为“{d,c,b,c,d,e,a,b,c}”和“{d,d,b,b,f,f}”。在“In［2］”中，语句“{DeleteDuplicates［x1］, Union［x1］, Union［x1, x2］, Intersection［x1, x2］, Complement［x1, x2］}”中各个函数依次实现了： 删除x1中的重复元素、删除x1中的重复元素并对元素排序、求x1和x2的并集并对元素排序、求x1和x2的交集并对元素排序、求x2相对于x1的补集并对元素排序，其结果如“Out［2］”所示。 在图324中，“In［3］”生成两个序列y1和y2，分别为“{6, 9, 1, 10, 5, 8, 7, 10, 3, 1}”和“{2, 5, 7, 2, 1, 1, 6, 8, 6, 8}”。“In［4］”中语句“{DeleteDuplicates［y1］, Union［y1］, Union［y1, y2］, Intersection［y1, y2］, Complement［y1, y2］}”依次实现了： 删除y1中的重复元素、删除y1中的重复元素并排序、求y1和y2的并集并排序、求y1和y2的交集并排序、求y2相对于y1的补集并排序，其结果如“Out［4］”所示。 在“In［5］”“In［6］”和“In［7］”中对函数“Union”“Intersection”和“Complement”添加了选项“SameTest->((Mod［#1,5］==Mod［#2,5］)&)”，表示如果两个数模5的余数相等，则判定其“相同”，按这个“相同性”判定条件分别在“In［5］”“In［6］”和“In［7］”中执行集合的并、交和补运算，其结果分别如“Out［5］”“Out［6］”和“Out［7］”所示。这里以“In［5］”中的“Intersection［y1, y2, SameTest->((Mod［#1,5］==Mod［#2,5］)&)］”为例作详细介绍： 在“相同性”条件下，y1等价于列表“{6(1), 9(4), 1, 10(0), 5(0), 8(3), 7(2), 10(0), 3, 1}”，这里括号中的值表示模5后的余数； y2等价于列表“{2, 5(0), 7(2), 2, 1, 1, 6(1), 8(3), 6(1), 8(3)}”。这样，在两个列表中所有的“6(1)和1”是“相同”的，所有的“10(0)、5(0)”是“相同”的，所有的“7(2)、2”是“相同”的，所有“8(3)、3”是“相同”的。“相同”的元素在求交集时只保留1个元素，“In［5］”的执行结果为“{6,7,8,10}”，在模5求余的情况下相当于“{1, 2, 3, 0}”，但是需要使用原列表中的元素。问题在于： 既然“6”和“1”在模5求余的情况下是相同的，求交集应保留哪个呢？然而，Wolfram语言并没有给出规律，从“In［5］”~“In［7］”返回的结果估计为： 对于求模取余“相同”的元素，当求并集时，保留较小的数值； 求交集时，保留较大的数值； 而求补集时，保留较小的数值。这就是“In［6］”执行后得到“Out［6］”(即“{6,7,8,10}”，而不是{1,2,3,5})的原因。 最后，讨论一个求子集函数Subsets的功能，其语法如下： (1) Subsets［列表］，返回“列表”的所有子集(包含空集)，此函数将“列表”中的重复元素视为有效元素，即这不是数学意义上求“集合”的全部子集的方法。如果进行数学意义上的求“集合”的子集的处理，需要使用Union函数或DeleteDuplicates将“列表”转换为“集合”。 (2) Subsets［列表, {n}］，返回“列表”中包含n个元素的所有子集，“列表”中的重复元素视为有效元素。 (3) Subsets［列表, n］，返回“列表”中包含0~n个元素的所有子集，“列表”中的重复元素视为有效元素。 (4) Subsets［列表, {imin, imax}］，返回“列表”中包含imin~imax个元素的所有子集，“列表”中的重复元素视为有效元素。 （5） Subsets［列表, {imin, imax, di}］，返回“列表”中包含i个元素的所有子集，这里的i的取值为自imin按步长di增加到imax（可能取不到）的所有整数，“列表”中的重复元素视为有效元素。 图325为函数Subsets的典型用法实例。 图325函数Subsets的典型用法实例 在图325中，“In［1］”中的“Subsets［{a, b, c},{2}］”取得列表“{a, b, c}”的包含2个元素的所有子列表，即“{{a, b},{a, c},{b, c}}”，而“Subsets［{a, b, c, b},{1,4,2}］”生成列表“{a, b, c, b}”的包含1个元素或3个元素的所有子列表，即“{{a}, {b}, {c}, {b}, {a, b, c}, {a, b, b}, {a, c, b}, {b, c, b}}”。“In［1］”的执行结果如“Out［2］”所示。 本章小结 本章介绍了Wolfram语言中最重要的数据结构——列表，详细阐述了列表的结构、列表的创建、有规则列表的生成方法、数组和矩阵及其基本运算、字符列表和随机数列表的设计等，并深入讨论了列表元素的存储访问方法和集合的操作方法。本章的重点在于Table函数的应用技巧和列表元素的访问方法，需要做大量的编程练习以熟练掌握Table函数和Part函数的应用。除了本章介绍的列表操作函数外，Wolfram语言还有大量用于列表处理的内置函数，例如，与列表元素的提取、增加、删除、压平和分解等相关的一些函数，这些内容将在下一章中作为内置函数的应用技巧详细介绍。除了列表之外，关联和数据集也是Wolfram语言中重要的数据结构，这部分内容需要用到纯函数，故将纯函数也安排在下一章中阐述。