本章要点 
. 什么是滤波器组？其基本结构和作用是什么？ 
. 滤波器组的失真来源有哪些？如何避免失真？ 
. 两通道滤波器组的基本结构及输入、输出关系是什么？ 
. 滤波器组无混叠失真和完全重构的条件是什么？ 
. 什么是两通道正交镜像滤波器组（QMFB）？其特点是什么？ 
. 什么是两通道共轭正交滤波器组（CQFB）？其特点是什么？ 
. 什么是仿酉滤波器组？其特点是什么？ 
. 如何设计满足完全重构的滤波器组？有哪些方法？ 
. 什么是功率互补滤波器？满足功率互补条件的滤波器是否是线性相位的？ 
3.1 滤波器组的基本概念 
滤波器组（filter bank），顾名思义，是由多个滤波器组成的系统。具体又可分为分析 
（analysis）滤波器组和综合（synthesis）滤波器组，结构分别如图 3.1（a）和图 3.1（b）所 
示。每个滤波器对应的支路称为通道（channel）。 
图 3.1 滤波器组的基本结构
分析滤波器组的作用是将信号分解为多个不同的子带（subband），进而可以对各子带 
信号进行单独地处理。这个过程也称为信号分解（signal decomposition）。与之相反，综合 
滤波器组的作用是将各子带信号重新组合起来，以形成新的信号。这个过程又称为信号重 
构（signal reconstruction）。 
在分析端，由于子带信号的带宽通常比输入信号的带宽小得多，因此可以在滤波之后 
放置一个 D 倍抽取器，以降低各支路的采样率，如图 3.2（a）所示。相应地，在综合端可在滤 
波之前先对各子带信号进行 D 倍内插，以恢复至原始的采样率，如图 3.2（b）所示。对于 M 
通道均匀（uniform）滤波器组而言，每个通道的带宽为 2π/M。为了避免子带信号抽取之后 
发生混叠，抽取因子应满足 D . M。当 D = M 时，称为最大抽取（maximally decimated） 
或临界采样（critically sampled）滤波器组。当 D < M 时，则称为过采样（over-sampled） 
或冗余（redundant）滤波器组。本书主要讨论最大抽取滤波器组。 
图 3.2 含有抽取与内插的滤波器组结构（D .M） 
通常，信号经过分解和重构之后会产生一定的失真，主要包括：混叠失真（aliasing 
distortion，ALD）、幅度失真（amplitude distortion，AMD）、相位失真（phase distortion， 
PHD），以及子带量化误差（subband quantization error）等。其中前三类失真源于滤波器组 
的内部结构，而最后一类失真发生在子带处理过程中（如量化、编码等），与滤波器组的自身 
特性无关。因此在设计滤波器组的过程中，主要考虑前三类失真。如果能够消除这三类失 
真，则称该滤波器组是完全重构（perfect reconstruction，PR）的，此时重构信号可以表示 
为原始信号的一个延迟，且至多在幅度上相差一个倍数，即 
.x(nT) = cx[(n . n0)T] (3.1.1) 
式中，c 为非零常数；n0 为整数。 
完全重构问题是滤波器组的主要研究内容之一，本章余下部分将进行详细讨论。 
3.2 两通道滤波器组 
两通道滤波器组是最基本也是最常用的滤波器组，结构如图 3.3所示，其中 H0,G0 为 
低通滤波器，H1,G1 为高通滤波器à。在实际应用中，将信号分解为低频分量和高频分量 
à 稍后会解释分析端与综合端的关系。 
66
是一种十分常见的处理方式。以子带编码为例，已知信号 x(nT1) 的采样率为 F1 = 1/T1， 
若采用 16bit 编码，则码率为 16F1bps。假设信号的能量主要集中在低频部分，可以利用 
两通道滤波器组对该信号进行分解，得到信号的低频分量 y0(nT2) 和高频分量 y1(nT2)。由 
于两个子带包含的信息量不同，可以选择不同的字长进行编码。如对 y0(nT2), y1(nT2) 分 
别采用 16bit 与 8bit 编码，则总码率为 
F1/2 × 16 + F1/2 × 8 = 12F1 (bps) 
其中，F1/2 表示子带信号的采样率。相较于直接编码，码率减少 1/4。因此在保证信号主 
要信息不损失的情况下实现了数据压缩。 
图 3.3 二通道滤波器组 
3.2.1 两通道滤波器组的输入、输出关系 
下面分析两通道滤波器组的输入、输出关系。方便起见，以下全部采用 z 变换进行表 
示。对于分析端，根据抽样率转换关系，不难得到 
Yk(z2) = 
1
2 
1 Xl=0 
Vk(z1Wl) = 
1
2 
1 Xl=0 
X(z1Wl)Hk(z1Wl) 
= 
1
2
[X(z1)Hk(z1) + X(.z1)Hk(.z1)], k = 0, 1 (3.2.1) 
式中，W = e.jπ, z2 = z2
1。 
式(3.2.1)也可写作矩阵形式： 
"Y0(z2) 
Y1(z2)#= 
1
2 "H0(z1) H0(.z1) 
H1(z1) H1(.z1)#" X(z1) 
X(.z1)# (3.2.2) 
对于综合端，易知各支路信号为 
.X
k(z1) = . Vk(z1)Gk(z1) = . Yk(z2)Gk(z1), k = 0, 1 (3.2.3) 
故重构信号为 
.X
(z1) = 
1 Xk=0 
.X
k(z1) = 
1 Xk=0 
. Yk(z2)Gk(z1) (3.2.4) 
67
或写成矩阵形式： 
.X
(z1) = hG0(z1) G1(z1)i". Y0(z2) 
. Y1(z2)# (3.2.5) 
注意到在上述推导过程中使用了 z1, z2 以区分信号所处的采样率。当然也可以利用 
z2 = z2
1 的关系将表达式统一为同一变量，读者可自行写出，不再赘述。 
3.2.2 无混叠失真条件 
混叠失真源自滤波器组内部的抽样率转换过程，是影响滤波器组性能的主要因素之一， 
也是在滤波器组设计过程中首先需要考虑的问题。在理想情况下，滤波器组将信号划分为 
互不交叠的子带，进而可以最大抽取因子进行抽取，理论上来讲是没有混叠的。而在实际 
应用中，滤波器的过渡带宽不可能为零。为了不丢失原始信息，应尽量保证滤波器通带内 
没有严重衰减，所以在实际设计中会把过渡带延伸到相邻滤波器的频带中，从而在过渡带 
内会产生混叠。 
以两通道滤波器组为例，图 3.4（a）给出了原始输入信号频谱，图 3.4（b）为低通滤 
波器 H0 与高通滤波器 H1 的幅频响应示意图（注意这里暂不考虑幅度失真）。可以看出两 
个滤波器的过渡带有交叠。相应地，图 3.4（c）、图 3.4（d）分别给出了原始信号经过低 
通滤波和高通滤波之后的频谱，图 3.4（e）、图 3.4（f）则为经过 2 倍抽取之后的各子带频 
谱。可以明显看出，此时子带信号发生了混叠。对于综合端，各子带信号先经过 2 倍内插， 
此时产生了镜像频谱。图 3.4（g）、图 3.4（h）给出了滤除镜像之后的频谱。最后，将两 
个子带信号的频谱叠加得到重构信号的频谱，如图 3.4（i）所示。显然，相较于原始信号， 
频谱发生了一定的失真，这就是由于混叠造成的。 
为了定量描述混叠失真，下面通过数学公式推导重构信号与原始信号的关系。在此不 
考虑任何子带处理，故令 . Yk(z2) = Yk(z2), k = 0, 1，结合式(3.2.2)与式(3.2.5)，有 
图 3.4 两通道滤波器组各阶段信号的频谱 
68
图 3.4 （续） 
.X
(z1) = 
1
2 hG0(z1) G1(z1)i"H0(z1) H0(.z1) 
H1(z1) H1(.z1)#" X(z1) 
X(.z1)# 
= 
1
2
X(z1)[H0(z1)G0(z1) + H1(z1)G1(z1)] 
+ 
1
2
X(.z1)[H0(.z1)G0(z1) + H1(.z1)G1(z1)] (3.2.6) 
注意到上式变量均为 z1，为了便于分析，下面省略下标，并记 
T(z) = 
1
2
[H0(z)G0(z) + H1(z)G1(z)] (3.2.7) 
A(z) = 
1
2
[H0(.z)G0(z) + H1(.z)G1(z)] (3.2.8) 
于是式(3.2.6)可记作 
.X
(z) = T(z)X(z) + A(z)X(.z) (3.2.9) 
上式说明，重构信号 .X
(z) 由原始信号 X(z) 与其混叠分量 X(.z) 组成。显然，若要求滤 
波器组无混叠失真，应令 A(z) = 0，此时滤波器组的输入、输出关系式为 
.X
(z) = T(z)X(z) (3.2.10) 
称 T(z) 为滤波器组的总体传递函数（overall transfer function）或失真函数（distortion function）
。 
结合上述分析，得到两通道滤波器组无混叠的充要条件。 
69
命题 3.1 两通道滤波器组无混叠的充要条件为 
" H0(z) H1(z) 
H0(.z) H1(.z)#"G0(z) 
G1(z)#= "2T(z) 
0 # (3.2.11) 
下面分析是否存在相应的 H0,H1 与 G0,G1 满足式(3.2.11)。不妨将式(3.2.11)理解为 
线性方程组，记 
H(z) = " H0(z) H1(z) 
H0(.z) H1(.z)# (3.2.12) 
称 H(z) 为调制矩阵（modulation matrix）à。根据线性代数知识，可得 
"G0(z) 
G1(z)#= H.1(z) "2T(z) 
0 #= 
2T(z) 
detH(z) " H1(.z) .H1(z) 
.H0(.z) H0(z) #"1
0# 
= 
2T(z) 
detH(z) " H1(.z) 
.H0(.z)# (3.2.14) 
式中，detH(z) = H0(z)H1(.z) . H1(z)H0(.z)。 
式(3.2.14)实际给出了 G0(z),G1(z) 的一般形式。特别地，若取 
"G0(z) 
G1(z)#= " H1(.z) 
.H0(.z)# (3.2.15) 
则 
2T(z) = H0(z)G0(z) + H1(z)G1(z) = H0(z)H1(.z) . H1(z)H0(.z) = detH(z) 
这说明式(3.2.15)是满足无混叠条件的一个解。结合物理意义来看，若 H0(z),H1(z) 分别为 
低通和高通滤波器，中心频率分别为 0 和 π。则 G0(z) = H1(.z) 是将 H1(z) 的中心频率 
搬移至 0，因此为低通滤波器；类似地，G1(z) = .H0(.z) 为高通滤波器。 
3.2.3 完全重构条件 
根据式(3.2.10)，在无混叠条件下，重构信号与原始信号的关系完全由总体传递函数 
T(z) 刻画。据此还可以得到滤波器组无其他失真的条件。例如，若 T(z) 为全通函数（allpass 
function），即 |T(z)| = c .= 0，则 
| .X
(z)| = |T(z)X(z)| = c|X(z)| (3.2.16) 
à 有些文献也将调制矩阵定义为 
H(z) = "H0(z) H0(.z) 
H1(z) H1(.z)# (3.2.13) 
与本书定义相比较，两者仅相差一个转置，在一些推导中稍有区别，但不会影响矩阵的性质及相关结论。 
70
此时滤波器组无幅度失真。 
若 T(z) 具有线性相位，即 ∠T(ejω) = .n0ω，则 
∠ .X
(ejω) = ∠X(ejω) + ∠T(ejω) = ∠X(ejω) . n0ω (3.2.17) 
那么滤波器组无相位失真。 
若要求滤波器组既无幅度失真也无相位失真，则 T(z) 只能是纯延迟，即 T(z) = cz.n0， 
其中 c 为非零常数，n0 为整数。此时输入、输出关系为 
.X
(z) = cz.n0X(z) (3.2.18) 
式(3.2.18)即为式(3.1.1)在 z 变换域的表达。 
综合上述分析，得到完全重构滤波器组的充要条件。 
命题 3.2 两通道滤波器组完全重构的充要条件为 
" H0(z) H1(z) 
H0(.z) H1(.z)#"G0(z) 
G1(z)#= "2cz.n0 
0 # (3.2.19) 
式中，c 为非零常数；n0 为整数。 
式(3.2.19)还可以扩展为 
" H0(z) H1(z) 
H0(.z) H1(.z)#"G0(z) G0(.z) 
G1(z) G1(.z)#= "2cz.n0 0 
0 2c(.z).n0# (3.2.20) 
式中，等式左端的两个矩阵分别为 H0,H1 和 G0,G1 构成的调制矩阵。特别地，当 n0 为 
偶数时， 
H(z)GT(z) = 2cz.n0I (3.2.21) 
或等价地， 
G(z)HT(z) = 2cz.n0I (3.2.22) 
因此式(3.2.21)或式(3.2.22)也可作为完全重构的一个充分条件à。 
在滤波器组的理论分析中，矩阵是一种常用的形式。其优势在于数学表示更紧凑，同 
时可将物理问题抽象为数学问题，并借助数学相关方法来进行分析求解。3.4节将详细讨论 
完全重构滤波器组的构造方法。 
3.3 正交镜像滤波器组 
正交镜像滤波器组（quadrature mirror filter bank，QMFB）是一种典型的两通道滤 
波器组，最早应用于语音子带编码[13] 中。QMFB 分析端的滤波器具有如下关系： 
H1(z) = H0(.z) (3.3.1) 
à 对于理论分析而言，为了保证结论的严谨性和完整性，通常希望得到滤波器组完全重构的充要条件。而在实际应用中， 
目标是设计满足完全重构的滤波器组，这时只要满足充分条件就足够了。本书不刻意强调充分条件和充要条件的差别。 
71
或在频域表示为 
H1(ejω) = H0(ej(ω.π)) (3.3.2) 
即 H1(ejω) 是由 H0(ejω) 频移 π 得到的。若 H0(ejω) 是低通滤波器，则 H1(ejω) 是高通滤 
波器，两者的幅频响应如图 3.5所示。注意到 |H0(ejω)| 与 |H1(ejω)| 关于 π/2 镜像对称，这 
正是其名称中“正交镜像”à的由来。 
图 3.5 两通道 QMFB 的幅频特性 
若要求 QMFB 无混叠失真，可令综合端的滤波器组为 
G0(z) = H1(.z) = H0(z) (3.3.3a) 
G1(z) = .H0(.z) = .H1(z) (3.3.3b) 
由此可见，无混叠 QMFB 仅由一个滤波器 H0(z) 决定，且分析端和综合端的低通滤波器 
完全相同，高通滤波器相差一个负号（这意味着幅频响应相同，相频响应相差 π/2）。以下 
讨论均假设 QMFB 无混叠。 
3.3.1 QMFB 的多相结构 
对 H0(z) 进行第一型多相分解， 
H0(z) = E00(z2) + z.1E01(z2) (3.3.4) 
相应地， 
H1(z) = H0(.z) = E00(z2) . z.1E01(z2) (3.3.5) 
式(3.3.4)与式(3.3.5)可用矩阵形式表示为 
"H0(z) 
H1(z)#= "1 1 
1 .1#" E00(z2) 
z.1E01(z2)# (3.3.6) 
à “正交”源于英文 quadrature，本意是相位差 π/2，即采样率的四分之一（2π/4），这与几何意义（内积空间）上的 
正交（orthogonality）并非同一含义。此外值得说明的是，并非所有的两通道滤波器组都满足式(3.3.1)，但由于 QMFB 的起 
源较早，且最具有代表性，以致后续的许多研究者习惯将两通道滤波器组统称为 QMFB，甚至将该名称推广至多通道滤波器 
组 [8,14]，这时 QMFB 已经失去了原本的含义。 
72
图 3.6给出了分析端的多相结构。注意到此时两条支路并非平行的关系，而是有相互作 
用，这种结构又称为格形（lattice）结构。 
图 3.6 QMFB 分析端的格形结构 
类似地，对于综合端的滤波器有 
G0(z) = H0(z) = E00(z2) + z.1E01(z2) (3.3.7) 
G1(z) = .H0(.z) = .E00(z2) + z.1E01(z2) (3.3.8) 
或写成矩阵形式： 
"G0(z) 
G1(z)#= " 1 1 
.1 1#" E00(z2) 
z.1E01(z2)# (3.3.9) 
由此可以看出，分析端与综合端的滤波器均由 H0(z) 的两个多相成分决定。图 3.7给出了 
综合端的多相结构。 
图 3.7 QMFB 综合端的格形结构 
进一步，利用多抽样率网络的恒等关系，可以将上述的格形结构转换为一种高效结构。 
以分析端为例，注意到转换前的计算是在高抽样率一侧。现将 2 倍抽取放到各支路中去，再 
与 E00(z2) 和 E01(z2) 交换顺序，于是便将计算转化为在低抽样率一侧进行。综合端的分 
析类似。图 3.8给出了 QMFB 格形结构的高效实现方式。 
图 3.8 QMFB 的高效格形结构 
不妨具体分析一下转换前后的计算量。假设分析滤波器 H0(z)（同 H1(z)）的长度为 
N，采样率为 F，则分析端的总计算量为 2NF（MPS）；若采用高效实现方式，各支路的 
73
多相滤波器长度为 N/2，抽样率为 F/2，分析端的总计算量为 NF/2（MPS），计算量减 
少为原来的 1/4。对于综合端可以得到同样的结果。 
3.3.2 QMFB 的误差分析 
本节分析两通道 QMFB 是否满足完全重构。在无混叠条件下，根据式(3.2.6)及式(3.3.3)， 
输入、输出关系式为 
.X
(z) = T(z)X(z) = 
1
2 H2
0 (z) . H2
1 (z)X(z) (3.3.10) 
因此，完全重构的充要条件为
T(z) = 
1
2 H2
0 (z) . H2
1 (z)= cz.λ (3.3.11) 
于是问题归结为是否存在 H0(z), H1(z) 使得式(3.3.11)成立。 
假设 H0(z),H1(z) 均为 FIR 滤波器，注意到如果 H0(z), H1(z) 具有线性相位，则 T(z) 
也是线性相位，因此不存在相位失真。反之，若 H0(z), H1(z) 不是线性相位，则 T(z) 也非 
线性相位。因此，为了满足式(3.3.11)应要求 H0(z), H1(z) 都具有线性相位。对 H0(z) 和 
H1(z) 进行第一型多相分解，如式(3.3.4)与式(3.3.5)所示，于是得 
T(z) = 
1
2 H2
0 (z) . H2
1 (z)= 2z.1E00(z2)E01(z2) (3.3.12) 
此时完全重构条件转化为 
T(z) = 2z.1E00(z2)E01(z2) = cz.λ (3.3.13) 
上式成立存在两种可能的情况。第一种为 
E00(z2) = 
1
2
cz.(λ.1)/E01(z2) 
这意味着 E00(z) 或 E01(z) 中至少有一个为有理函数，即 IIR 滤波器。进而 H0(z) 和 H1(z) 
也是 IIR 滤波器，与假设不符。 
第二种情况为 E00(z), E01(z) 均为纯延迟，即 
E00(z) = c0z.n0 , E01(z) = c1z.n1 
式中，c0, c1 均为常数；n0, n1 均为整数。于是 T(z) = 2c0c1z.2(n0+n1).1，故滤波器组满 
足完全重构。然而注意到此时，
H0(z) = c0z.2n0 + c1z.2n1.1 (3.3.14) 
H1(z) = c0z.2n0 . c1z.2n1.1 (3.3.15) 
74
上述形式的滤波器没有平坦的通带及快速衰减的阻带，实际应用价值不大。举例来讲，令 
c0 = c1 = 1/√2, n0 = n1 = 0，则得到 Haar 滤波器组： 
H0(z) = 
1 
√2
(1 + z.1) (3.3.16) 
H1(z) = 
1 
√2
(1 . z.1) (3.3.17) 
相应地，频率响应为 
H0(ejω) = 
1 
√2
(1 + e.jω) = √2 cos ω
2 
e.jω/2 (3.3.18) 
H1(ejω) = 
1 
√2
(1 . e.jω) = √2 sin ω
2 
e.j(ω.π)/2 (3.3.19) 
注意到，|H0(ejω)|, |H1(ejω)| 均为三角函数，结合图 3.9来看，两者既没有平坦的通带，也 
没有快速衰减的阻带，因此不具备良好的幅频特性à。 
图 3.9 Haar 滤波器组的幅频响应 
综合上述分析，QMFB 在要求 H0(z),H1(z) 都是 FIR 线性相位的情况下，既要满足 
完全重构，又要使滤波器具有良好的幅频特性是不可行的。在实际应用中，可以考虑以下 
折中方案： 
.1 FIR QMFB：要求 H0(z), H1(z) 都是 FIR 且具有线性相位，在无混叠失真、无相 
位失真的条件下，尽可能减小幅度失真，从而近似实现完全重构。 
à 尽管 Haar 滤波器组的幅频特性不理想，但它在小波分析理论中尤为重要。注意到滤波器的冲激响应为 
h0[n] = 
1 
√2 
(δ[n] + δ[n . 1]) 
h1[n] = 
1 
√2 
(δ[n] . δ[n . 1]) 
因此 H0(z) 的作用是对信号相邻两点求平均（可忽略倍数上的差异，下同），H1(z) 则为相邻两点求差。经过分析滤波器组， 
信号被分解为其平均值（低频信息）和局部差值（高频信息）。这种计算方式即为 Haar 小波变换。 
75
.2 IIR QMFB：要求 H0(z), H1(z) 都是 IIR，保证无混叠失真和无幅度失真，而相位 
失真由额外的相位均衡器解决，从而近似实现完全重构。 
.3 共轭正交滤波器组：修正 H0(z) 与 H1(z) 的关系，从而实现完全重构。 
下面对前两种方案进行简要讨论，第三种方案将在 3.3.3节详细介绍。 
1. FIR QMFB 的设计 
首先来分析滤波器组幅度失真的原因。幅度失真主要来源于滤波器幅频特性中的波纹 
（误差容限）、截止频率的位置以及过渡带的陡峭程度。其中波纹是不可避免的，过渡带宽 
主要由滤波器阶数决定，这里主要分析截止频率的位置。以图 3.10为例，若 H0(z), H1(z) 
的幅频响应如图 3.10（a）所示，两者在 π/2 处不重叠，则重构信号会在 π/2 附近出现频 
谱损失。损失的信息是无法复原的，因此在设计滤波器时应当避免这种情况。也就是说允 
许 H0(z)、H1(z) 在 π/2 处有重叠，如图 3.10（b）所示。此时子带信号会有混叠，但混叠 
成分可以通过综合滤波器组消除。而最终的重构信号会在 π/2 附近有幅度偏差。因此减小 
幅度失真的途径就是优化传递函数 T(ejω)，使其幅度接近于 1（或常数 c）。 
图 3.10 FIR QMFB 幅度失真原因分析 
以下假设 H0(z), H1(z) 都是具有线性相位的 FIR 滤波器。不妨设滤波器的长度为 N， 
则 
H0(ejω) = e.jωM|H0(ejω)| 
H1(ejω) = H0(ej(ω.π)) = (.1)Me.jωM|H1(ejω)| 
式中，M = 
N . 1 
2 
。于是 
T(ejω) = 
1
2
[H2
0 (ejω) . H2
1 (ejω)] 
76
= 
1
2
e.jω(N.1) |H0(ejω)|2 . (.1)N.1|H1(ejω)|2 
=8>
><>
>:
1
2
e.jω(N.1) [|H0(ejω)|2 . |H1(ejω)|2] , N 为奇数 
1
2
e.jω(N.1) [|H0(ejω)|2 + |H1(ejω)|2] , N 为偶数 
若 N 为奇数，注意到 |H1(ejω)| = |H0(ej(ω.π))|，故 
T(ejπ/2) = 
1
2
e.jω(N.1) |H0(ejω)|2 . |H1(ejω)|2
ω=π/2 
= 0 
这意味着重构信号在 π/2 处有严重的幅度失真。为避免此类情况，N 只能取偶数。此时， 
若 
|H0(ejω)|2 + |H1(ejω)|2 = c (3.3.20) 
则 T(ejω) = 
1
2
ce.jω(N.1)，滤波器组满足完全重构。 
不失一般性，可以令式(3.3.20)中 c = 1，称满足该式的滤波器 H0(z), H1(z) 为功率互 
补滤波器（power-complementary filters）。理论分析表明[15]，若 H0(z), H1(z) 为功率互补 
滤波器，同时又要求具有线性相位，则一般形式为 
H0(z) = 
1
2
(z.k1 + z.k2), H1(z) = 
1
2
(z.k1 . z.k2) (3.3.21) 
相应地，幅频响应为 
|H0(ejω)| = cos(Kω), |H1(ejω)| = sin(Kω) (3.3.22) 
式中，K = (k1 . k2)/2。根据前文的分析，这种设计出来的线性相位滤波器缺乏良好的幅 
频特性。因此实际设计中只能要求 
|H0(ejω)|2 + |H1(ejω)|2 = |H0(ejω)|2 + |H0(ej(ω.π))|2 ≈ 1 (3.3.23) 
Johnston 提出一种基于优化的设计方法[16]，可以得到一组近似完全重构的 FIR QMFB， 
最小化目标函数为 
E = α ∫π
ωs |H0(ejω)|2dω + (1 . α) ∫π 
0 ..1 . |H0(ejω)|2 . |H0(ej(ω.π))|2
2 dω 
:= αE1 + (1 . α)E2 
式中，ωs 为阻带边缘频率；E1 表示阻带的能量；E2 为完全重构误差的能量（即波纹误差 
的能量）；α 为权重。具体方法参见文献[16]。 
77
2. IIR QMFB 的设计 
实现完全重构的另一种思路是在无混叠失真的条件下，利用 IIR 全通滤波器消除幅度 
失真，而相位失真的问题则依靠全通均衡器解决。设 H0(z),H1(z) 的多相分解为 
H0(z) = Q00(z2) + z.1Q01(z2) (3.3.24a) 
H1(z) = Q00(z2) . z.1Q01(z2) (3.3.24b) 
式中，Q00(z),Q01 均为全通函数，即 
Q00(z) =Yk 
z.1 . ak 
1 . akz.1 ,Q01(z) =Yk 
z.1 . bk 
1 . bkz.1 (3.3.25) 
于是 
T(z) = 
1
2
z.1Q00(z2)Q01(z2) (3.3.26) 
也为全通函数，因而保证了滤波器组无幅度失真。 
研究表明[17-18]，许多典型的滤波器（如具有奇数阶的巴特沃斯、切比雪夫或椭圆半带 
滤波器等）都可以表示为两个全通函数的和，这意味着多相表示对 IIR 滤波器同样有效。此 
外，若 H0(z) 为 IIR 低通滤波器且 |H0(z)| . 1，则总可以找到一个 IIR 高通滤波器 H1(z) 
使得它与 H0(z) 满足功率互补条件[14,19]，即 
|H0(ejω)|2 + |H1(ejω)|2 = 1 (3.3.27) 
具体分析及设计实例可参见文献[19]。 
3.3.3 共轭正交滤波器组 
根据 3.3.2节的分析，QMFB 在满足完全重构的条件下，滤波器只能是纯延迟的线性 
组合形式，幅频特性不佳。造成这一问题的重要因素之一在于约束 H1(z) = H0(.z)。如果 
修正 H0(z) 与 H1(z) 的关系，则可以在满足完全重构的条件下，优化滤波器的幅频特性。 
下面考虑 H0(z), H1(z) 均为 FIR 且具有如下关系： 
H1(z) = .z.NH0(.z.1) (3.3.28) 
式中，N 为奇数。称满足式(3.3.28)的滤波器组为共轭正交滤波器组（conjugate quadrature 
filter bank，CQFB）[20-21]。注意到如果 H0(z) 为因果滤波器，则 H0(.z.1) 为非因果滤波 
器，因此可通过选取合适的 z.N 保证 H1(z) 为因果滤波器。 
下面分析 CQFB 是否满足完全重构。令 G0(z) = H1(.z),G1(z) = .H0(.z) 以满足 
无混叠条件，根据式(3.2.7)，滤波器组的传递函数为 
T(z) = 
1
2 
[H0(z)H1(.z) . H1(z)H0(.z)] 
78
= 
1
2
z.N[H0(z)H0(z.1) + H1(z)H1(z.1)] (3.3.29) 
上式推导利用了 N 为奇数。显然，当 
H0(z)H0(z.1) + H1(z)H1(z.1) = 1 (3.3.30) 
时，滤波器组满足完全重构。这意味着 H0(z),H1(z) 依然是功率互补滤波器。根据 3.3.2节 
的分析可知，若 H0(z),H1(z) 满足功率互补条件且具有线性相位，则幅频响应只能是三角 
函数的形式。因此，为了设计具有良好幅频特性的滤波器，须放弃 H0(z),H1(z) 为线性相 
位的条件，但此时仍可以保证 T(z) 是线性相位的。 
现令 P(z) = H0(z)H0(z.1)，则完全重构等价于 
P(z) + P(.z) = 1 (3.3.31) 
或在频域表示为 
P(ejω) + P(ej(ω.π)) = 1 (3.3.32) 
上式表明，P(z) 为半带滤波器。因此，完全重构问题转化为半带滤波器的设计问题。当半 
带滤波器 P(z) 确定之后，可依据谱分解定理求得 H0(z)。 
上述构造思路最早由 Smith 等人于 1984 年提出[20]，Mintzer 在文献[22]中也阐述了 
类似的思想。具体的设计方法与实例可参见文献[20-22]。 
3.4 仿酉滤波器组 
本节介绍满足完全重构条件的两通道滤波器组的一般形式。首先给出滤波器组的多相 
结构，并分析基于多相矩阵的完全重构条件，进而引入仿酉矩阵的概念，并介绍仿酉滤波 
器组的设计方法。 
3.4.1 两通道滤波器组的多相结构 
多相结构是滤波器组的一种高效实现结构。3.3.1节给出了 QMFB 的多相结构，即格 
形结构。本节将给出一般的两通道滤波器组的多相结构。 
对 H0(z)、H1(z) 作第一型多相分解： 
"H0(z) 
H1(z)#= "E00(z2) E01(z2) 
E10(z2) E11(z2)#" 1 
z.1#= E(z2) " 1 
z.1# (3.4.1) 
式中，E(z) 的第 k 行元素为 Hk(z) 的多相成分，称 E(z) 为第一型多相矩阵。 
类似地，对 G0(z)、G1(z) 作第二型多相分解： 
"G0(z) 
G1(z)#= "R00(z2) R01(z2) 
R10(z2) R11(z2)#"z.1 
1 #= RT(z2) "z.1 
1 # (3.4.2) 
79
注意 R(z) 带有一个转置符号à，故 R(z) 的第 k 列元素为 Gk(z) 的多相成分，称 R(z) 为 
第二型多相矩阵。 
根据上述关系，可以将两通道滤波器组转化为多相结构，如图 3.11（a）所示，其中， 
E(z)、R(z) 的内部结构分别如图 3.11（b）、图 3.11（c）所示。 
图 3.11 两通道滤波器组的多相结构 
注意到在图 3.11（a）所示的多相结构中，计算均是在高抽样率一侧进行的。根据第 2 
章介绍的多抽样率网络的等效关系，可以将多相矩阵 E(z2) 与 2 倍抽取交换，同时将多相 
矩阵 R(z2) 与 2 倍内插交换，这样就得到了多相结构的高效实现，如图 3.12（a）所示。进 
一步，若不考虑分析端与综合端的中间处理过程，则可以将多相矩阵 E(z) 与 R(z) 视为一 
个整体，记 
P(z) = R(z)E(z) (3.4.3) 
称 P(z) 为滤波器组的转移矩阵或传递矩阵（transfer matrix），该矩阵决定了滤波器组的 
传输特性，如图 3.12（b）所示。稍后会看到，P(z) 与 T(z) 具有固定关系，通过恰当构造 
E(z) 与 R(z)，滤波器组就能够实现完全重构。 
3.4.2 基于多相矩阵的完全重构条件 
本节讨论基于多相矩阵的两通道滤波器组完全重构条件。两通道滤波器组的输入、输 
出关系为 
.X
(z) = 
1
2
X(z)[H0(z)G0(z) + H1(z)G1(z)] 
à 稍后会看到，综合端多相矩阵加一个转置符号是为了便于推导。当然也可按照第一型多相矩阵方式定义，推导形式上 
有所区别。 
80
+ 
1
2
X(.z)[H0(.z)G0(z) + H1(.z)G1(z)] (3.4.4) 
图 3.12 两通道滤波器组的多相结构（高效实现） 
根据命题 3.2及其扩展形式，完全重构的充要条件为 
" G0(z) G1(z) 
G0(.z) G1(.z)#"H0(z) H0(.z) 
H1(z) H1(.z)#= "2cz.n0 0 
0 2c(.z).n0# (3.4.5) 
为了便于后续推导，这里将原式(3.2.20)等式两端都取了转置。 
对 H0(z), H1(z) 进行第一型多相分解，易知多相矩阵 E(z) 与调制矩阵 H(z) 具有如 
下关系： 
HT(z) = "H0(z) H0(.z) 
H1(z) H1(.z)#= E(z2) " 1 1 
z.1 .z.1# (3.4.6) 
类似地，对 G0(z), G1(z) 进行第二型多相分解，得 
G(z) = " G0(z) G1(z) 
G0(.z) G1(.z)#= " z.1 1 
.z.1 1#R(z2) (3.4.7) 
于是式(3.4.5)可以写作 
" z.1 1 
.z.1 1#R(z2)E(z2) " 1 1 
z.1 .z.1#= "2cz.n0 0 
0 2c(.z).n0# (3.4.8) 
不难验证，当 E(z), R(z) 满足如下关系时： 
R(z)E(z) = cz.λI, λ ∈ Z (3.4.9) 
式(3.4.8)成立，此时 n0 = 2λ + 1。于是得到两通道滤波器组完全重构的充分条件。 
81
命题 3.3 两通道滤波器组完全重构的充分条件为 
P(z) = R(z)E(z) = cz.λI (3.4.10) 
式中，c 为非零常数；λ 为整数；I 为单位矩阵。 
不妨结合系统框图来验证上述命题。事实上，当 P(z) = cz.λI 时，其作用相当于一 
个延迟系统，如图 3.13所示。易知 
.X
0(z1) = V0(z2) = cz.λ 
2 U0(z2) = 
1
2
cz.2λ 
1 [X(z1) + X(.z1)] (3.4.11) 
.X
1(z1) = V1(z2) = cz.λ 
2 U1(z2) = 
1
2
cz.(2λ+1) 
1 [X(z1) . X(.z1)] (3.4.12) 
于是 
.X
(z1) = z.1 
1 
.X
0(z1) + .X
1(z1) = cz.(2λ+1) 
1 X(z1) (3.4.13) 
因此满足完全重构。 
图 3.13 P(z2) = cz.λ 
2 I 时的滤波器组结构 
3.4.3 仿酉滤波器组的一般形式 
命题 3.3给出了构造完全重构滤波器组的一般原则，即如果找到一对多相矩阵 E(z),R(z) 
满足式(3.4.10)，则该滤波器组必然满足完全重构。由于纯延迟 cz.λ 并不会影响完全重构的 
性质，因此为了便于分析，下面均假设 cz.λ = 1。此时完全重构条件可进一步简化为 
R(z)E(z) = I (3.4.14) 
是否存在多相矩阵满足式(3.4.14)？如果存在，形式又是怎样的？关于这些问题，可以 
借助所谓的仿酉矩阵（paraunitary matrix）来解决。 
定义 3.1 称矩阵 E(z) 为仿酉矩阵，如果 
eE(z)E(z) = I (3.4.15) 
式中， eE(z) 为 E(z) 的共轭转置矩阵à。特别地，若 E(z) 中的元素为实系数多项式，则 
eE(z) = ET(z.1)。 
à 即对 E(z) 的元素取共轭后再转置。例如 E(z) = [a+bz.1, c+dz.1]T，则 eE(z) = [a.+b.z, c.+d.z], a, b, c, d ∈ 
C。 
82
注意到当 z = 1 时，仿酉矩阵即为复数域上的酉矩阵。因此仿酉矩阵可视为酉矩阵在 
多项式域上的推广。仿酉矩阵具有如下性质。 
命题 3.4 若 E(z) 为仿酉矩阵，则 detE(z) = ±z.n，其中，n 为整数。 
命题 3.5 若 E1(z)、E2(z) 为仿酉矩阵，则 E1(z)E2(z) 也是仿酉矩阵。 
上述性质可通过仿酉矩阵的定义直接证明，具体证明过程留给读者。 
联系式(3.4.14)，显然，若多相矩阵 E(z) 为仿酉矩阵，则可令 R(z) = eE(z)，这样就 
找到了满足完全重构条件的一对多相矩阵。由仿酉矩阵构造的滤波器组称为仿酉滤波器组 
（paraunitary FB）或正交滤波器组（orthogonal FB）à。 
那么 E(z) 和 R(z) 的具体形式是怎样的？下面进行详细分析。 
设二通道分析滤波器组的多相矩阵为 
E(z) = "E00(z) E01(z) 
E10(z) E11(z)# (3.4.16) 
并假设它为仿酉矩阵。令综合滤波器组的多相矩阵为 
R(z) = eE(z) = "eE00(z) eE10(z) 
eE01(z) eE11(z)# (3.4.17) 
式中， eEij(z) 表示 Eij(z) 的复共轭。特别地，若 Eij(z) 均为实系数多项式，则 eEij(z) = 
Eij(z.1)。 
另一方面，注意到 E(z) 可逆，故 
E.1(z) = 
1 
detE " E11(z) .E01(z) 
.E10(z) E00(z) #= ±zn " E11(z) .E01(z) 
.E10(z) E00(z) # (3.4.18) 
式中，±zn 是由 E(z) 的行列式引入的。 
令 eE(z) = E.1(z)，对比式(3.4.17)与式(3.4.18)可知 
eE00(z) = ±znE11(z) (3.4.19a) 
eE10(z) = .znE01(z) (3.4.19b) 
eE01(z) = .znE10(z) (3.4.19c) 
eE11(z) = ±znE00(z) (3.4.19d) 
将式(3.4.19a)与式(3.4.19c)代入式(3.4.16)，替换原有的 E10(z) 和 E11(z)，可得 
E(z) = " E00(z) E01(z) 
.z.n eE01(z) ±z.n eE00(z)# (3.4.20) 
à 这是因为仿酉矩阵也称为正交（orthogonal）矩阵，即矩阵的列向量是正交的。正交滤波器组的概念在小波分析理论中 
经常使用。事实上，离散小波变换与滤波器组具有密切联系，第 5 章将详细阐述。 
83
上式说明，矩阵 E(z) 实际只由 E00(z)、E01(z) 决定。 
类似地，将式(3.4.19b)与式(3.4.19d)代入式(3.4.17)，替换原有的 eE10(z) 和 eE11(z)，得 
R(z) = eE(z) = "eE00(z) .znE01(z) 
eE01(z) ±znE00(z)# (3.4.21) 
同样发现，矩阵 R(z) 只由 E00(z)、E01(z) 决定。事实上，利用 R(z) = eE(z) 可得同样 
结果。
式(3.4.20)与式(3.4.21)给出了 E(z) 与 R(z) 为仿酉矩阵时的一般形式。注意到两者均 
是由多相分量 E00(z) 和 E01(z) 决定，这意味着所有滤波器均可以由分析端的低通滤波器 
H0(z) 得到。下面推导仿酉滤波器组的一般形式。为了便于分析，以下假设滤波器均为实 
系数，则相应的多相矩阵也为实系数。因此式(3.4.20)与式(3.4.21)又可写作 
E(z) = " E00(z) E01(z) 
.z.nE01(z.1) ±z.nE00(z.1)# (3.4.22) 
R(z) = "E00(z.1) .znE01(z) 
E01(z.1) ±znE00(z)# (3.4.23) 
根据第一型多相分解， 
"H0(z) 
H1(z)#= E(z2) " 1 
z.1#= " E00(z2) E01(z2) 
.z.2nE01(z.2) ±z.2nE00(z.2)#" 1 
z.1# 
= " E00(z2) + z.1E01(z2) 
.z.2n(E01(z.2) . z.1E00(z.2))# (3.4.24) 
由于 
H1(z) = .z.2n(E01(z.2) . z.1E00(z.2)) (3.4.25) 
故 
H1(.z.1) = .z2n(E01(z2) + zE00(z2)) = .z2n+1H0(z) (3.4.26) 
因此 
H1(z) = ±z.(2n+1)H0(.z.1) (3.4.27) 
于是得到 H1(z) 与 H0(z) 的关系，其中 ± 号及指数中的 n 均是由仿酉矩阵的行列式决定 
的。不难发现，上述关系与 CQFB 非常相似。事实上，CQFB 可视为仿酉滤波器组的一种 
特例à。 
à 尽管 CQFB 是通过截然不同的方式分析得到的，但是由于仿酉滤波器组具有满足完全重构的一般形式，不难预见， 
CQFB 也必然满足仿酉滤波器组的一般形式。 
84