第
5
章
线性空间与线性变换
.. 5.1 线性空间
5.1.1 集合与映射
定义5-1 集合是能够作为整体看待的一些对象。
集合有两种表示法:
(1)列举法:S={a1,a2,a3,…}。
(2)性质法:S={a|a 所具有的性质}。
集合S1、S2 相等(S1=S2)指下面二式同时成立:
.a ∈S1.a ∈S2,即S1 .S2
.b ∈S2.b ∈S1,即S2 .S1
集合可以进行以下运算:
(1)交:S1∩S2={a|a∈S1 且a∈S2}。
(2)并:S1∪S2={a|a∈S1 或a∈S2}。
(3)和:S1+S2={a=a1+a2|a1∈S1,a2∈S2}。
定义5-2 数域是关于四则运算封闭的数的集合,例如实数域R、复数域C、有
理数域Q 等。
定义5-3 设有集合S1 与S2,若对任意的a∈S1,按照法则σ,对应唯一的
b∈S2,记为σ(a)=b,称σ 为由S1 到S2 的映射,b 为a 的象,a 为b 的象源。
定义5-4 当S1=S2 时,称S1 到S2 的映射σ 为S1 上的变换。
例5-1 假设有两个集合分别是
S1 = A = 0 a12
a21 a22
é
. êê
ù
. úú
aij { ∈ R}
S2 = A =
a11 a12
a21 0
é
. êê
ù
. úú
{ aij ∈ R} ,S1 ≠S2
求两个集合的交、并、和。
解: S1∩S2= A= 0 a12
a21 0
é
. êê
ù
. úú
{ a12,a21∈R}
S1∪S2= A= a11 a12
a21 a22
é
. êê
ù
. úú
{ a11,a22=0,aij∈R}
1 42 人工智能应用的数学基础(微课版)
S1+S2= A= a11 a12
a21 a22
é
. êê
ù
. úú
{ aij∈R}
例5-2 S={A=(aij)n×n|aij∈R}(n≥2)。
解:映射σ1 为
σ1(A)=detA (S→R)
变换σ2 为:
σ2(A)=(detA)In (S→S)
5.1.2 线性空间及其性质
定义5-5 设集合V 非空,给定数域K 。若在V 中定义的加法运算封闭,即.x,y∈V,
对应唯一元素(x+y)∈V,且满足
(1)结合律:x+(y+z)=(x+y)+z(.z∈V)。
(2)交换律:x+y=y+x。
(3)有零元:.θ∈V,使得x+θ=x(.x∈V)。
(4)有负元:.x∈V,.(-x)∈V,使得x+(-x)=θ。
并且定义的数乘运算封闭,即.x∈V,.k∈K ,对应唯一元素(kx)∈V,且满足
(1)数对元素分配律:k(x+y)=kx+ky(.y∈V)。
(2)元素对数分配律:(k+l)x=kx+lx(.l∈K )。
(3)数因子结合律:k(lx)=(kl)x(.l∈K )。
(4)有单位数:单位数为1,有x∈K ,使得1x=x。
则称V 为K 上的线性空间。
例5-3 集合R+ ={a|a 是正整数},数域R={k|k 是实数}。
加法:a,b∈R+ ,a..b=ab。
数乘:a∈R+ ,k∈R,k..a=ak ,验证R+ 是R 上的线性空间。
证:R+ 关于加法运算封闭,且定义5-5中关于加法运算封闭性的(1)、(2)成立。
(3)a..θ=a.aθ=a.θ=1。
(4)a..(-a)=θ.a(-a)=1.(-a)=1/a。
R+ 关于数乘运算封闭,(1)~(4)成立,故R+ 是R 上的线性空间。
5-1 线性空间V 中的零元素唯一,负元素也唯一。
证:设θ1 与θ2 都是V 的零元素,则
θ1=θ1+θ2=θ2+θ1=θ2
设x1 与x2 都是x 的负元素,则由x+x1=θ 及x+x2=θ 可得
x1 =x1 +θ=x1 + (x +x2)=(x1 +x)+x2 =(x +x1)+x2
=θ+x2 =x2 +θ=x2
定义5-6 在线性空间V 中,减法运算为
x-y=x+(-y)
定义5-7 向量x,xi∈V,若存在Ci∈K ,使向量x=c1x1+c2x2+…+cmxm ,则称向
量x 是x1,x2,…,xm 的线性组合,或者向量x 可由x1,x2,…,xm 线性表示。
定义5-8 若有c1,c2,…,cm 不全为0,使得c1x1+c2x2+…+cmxm =θ,则称x1,x2,…,
第5章 线性空间与线性变换1 43
xm 线性相关。
定义5-9 仅当c1,c2,…,cm 全为0时,才有c1x1+c2x2+…+cmxm =θ,则称x1,x2,…,
xm 线性无关。
5.1.3 基与坐标
定义5-10 在线性空间V 中,若元素组x1,x2,…,xn 满足以下两个条件:
(1)x1,x2,…,xn 线性无关。
(2).x∈V 都可由x1,x2,…,xn 线性表示。
称x1,x2,…,xn 为V 的一个基,n 为V 的维数,记作dimV=n,或者Vn 。
例5-4 在矩阵空间Rm ×n 中,易见,因为Eij(i=1,2,…,m ;j=1,2,…,n)线性无关,
A =(aij)m×n =Σm
i=1Σn
j=1
aijEij
故Eij(i=1,2,…,m ;j=1,2,…,n)是Rm ×n 的一个基,dimRm ×n =mn。
定义5-11 给定线性空间Vn 的基x1,x2,…,xn ,当x∈Vn 时,x=ξ1x1+ξ2x2+…+
ξnxn ,称ξ1,ξ2,…,ξn 为x 在给定基x1,x2,…,xn 下的坐标,记作列向量α=(ξ1,ξ2,…,ξn)T。
例5-5 在矩阵空间R2×2中,设A=(aij)2×2,取基E11、E12、E21、E22:
A=a11E11+a12E12+a21E21+a22E22
坐标为α=(a11,a12,a21,a22)T。
取基B1= 1 1
1 1
é
. êê
ù
. úú
,B2= 0 1
1 1
é
. êê
ù
. úú
,B3= 0 0
1 1
é
. êê
ù
. úú
,B4= 0 0
0 1
é
. êê
ù
. úú
:
A =a11(B1 -B2)+a12(B2 -B3)+a21(B3 -B4)+a22B4
=a11B1 + (a12 -a11)B2 + (a21 -a12)B3 + (a22 -a21)B4
坐标为β=(a11,a12-a11,a21-a12,a22-a21)T。
基与坐标
例题
5-2 在线性空间Vn 中,元素在给定基下的坐标唯一。
证:设Vn 的基为x1,x2,…,xn 。对于x∈Vn ,若
x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξnxn =η1x1+η2x2+…+ηnxn
则有
(ξ1-η1)x1+(ξ2-η2)x2+…+(ξn -ηn)xn =θ
因为x1,x2,…,xn 线性无关,所以ξi -ηi =0,即ξi =ηi(i=1,2,…,n),故x 的坐标
唯一。定
义5-12 设线性空间Vn 的基(Ⅰ)为x1,x2,…,xn ,基(Ⅱ)为y1,y2,…,yn ,则
y1 =c11x1 +c21x2 + … +cn1xn
y2 =c12x1 +c22x2 + … +cn2xn
.
yn =c1nx1 +c2nx2 + … +cnnxn
ì
.
í
...
...
, C =
c11 c12 … c1n
c21 c22 … c2n
. . . .
cn1 cn2 … cnn
é
.
êêêêê
ù
.
úúúúú
(5-1)
基变换与
坐标变换
写成矩阵乘法形式为
(y1,y2,…,yn)=(x1,x2,…,xn)C
称上式为基变换公式,C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵。
定义5-13 设x∈Vn 在两个基下的坐标分别为α 和β,则有
1 44 人工智能应用的数学基础(微课版)
x =ξ1x1 +ξ2x2 + … +ξnxn =(x1,x2,…,xn)α (5-2)
x =η1y1 +η2y2 + … +ηnyn =(y1,y2,…,yn)β=(x1,x2,…,xn)Cβ (5-3)
由定理5-2可得α=Cβ,或者β=C-1α,称为坐标变换公式。
例5-6 在多项式空间P[t]2 中存在两种基:
(Ⅰ)f1(t)=1,f2(t)=1+t,f3(t)=1+t+t2。
(Ⅱ)g1(t)=1+t2,g2(t)=t+t2,g3(t)=1+t。
(1)求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵。
(2)求P[t]2 中在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下有相同坐标的全体多项式。
解:
(1)采用中介基法求过渡矩阵:取P[t]2 的简单基C 为1,t,t2,写出由简单基改变为
基(Ⅰ)和基(Ⅱ)的过渡矩阵:
所以
f1(t)=1×1+0×t+0×t2
f2(t)=1×1+1×t+0×t2
f3(t)=1×1+1×t+1×t2
ì
.
í
..
..
,C1=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
又
g1(t)=1×1+0×t+1×t2
g2(t)=0×1+1×t+1×t2
g3(t)=1×1+1×t+0×t2
ì
.
í
..
..
,C2=
1 0 1
0 1 1
1 1 0
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
可得
f=CC1
g=CC2 {
由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为
C1-1C2=
1 -1 0
0 1 -1
0 0 1
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
1 0 1
0 1 1
1 1 0
é
.
êêêê
ù
.
úúúú=
1 -1 0
-1 0 1
1 1 0
é
.
êêêê ù
.
úúúú
(2)设f(t)∈P[t]2 在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的坐标分别为α=(ξ1,ξ2,ξ3)T,β=(η1,η2,
η3)T。由坐标变换公式α=Cβ 及题设α=β 可得(I-C)α=0。
该齐次线性方程组的通解为
α=k (1,0,1)T(.k∈R)
在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下有相同坐标的全体多项式:
f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))α=kf1(t)+kf3(t)=2k+kt+kt2(.k∈R)
线性子空间
定义5-14 在线性空间V 中,若子集V1 非空,且对V 中的线性运算封闭,即
.x,y∈V1.x+y∈V1
若.x∈V1,.k∈K .kx∈V1,称V1 为V 的线性子空间,简称子空间。
说明:
(1)子空间V1 也是线性空间,而且dimV1≤dimV。
(2){θ}是V 的线性子空间,规定dim{θ}=0。
(3)子空间V1 的零元素就是V 的零元素。
划分A=(aij)m ×n =(β1,β2,…,βn)∈Cm ×n(βj∈Cm ),称R(A)=L(β1,β2,…,βn )为矩
第5章 线性空间与线性变换1 45
阵A 的值域(列空间)。易见dimR(A)=rankA。
设A∈Cm ×n ,称N (A)={x|Ax=0,x∈Cn }为矩阵A 的零空间。易见dimN (A)=
n-rankA。
5-3 线性空间Vn 中,设子空间V1 的基为x1,x2,…,xm (m <n),则存在xm +1,
xm +2,…,xn ∈Vn ,得x1,x2,…,xm ,xm +1,…,xn 为Vn 的基。
线性子空
间例题
证:m <n..xm +1∈Vn 不能由x1,x2,…,xm 线性表示.x1,x2,…,xm ,xm +1 线性
无关。若
m +1=n,则x1,…,xm ,xm +1是Vn 的基。
否则,m +1<n..xm +2 ∈Vn 不能由x1,…,xm ,xm +1 线性表示.x1,…,xm ,xm +1,
xm +2线性无关。
若m +2=n,则x1,…,xm ,xm +1,xm +2是Vn 的基;否则,m +2<n.…。
依此类推,即得所证。
定义5-15 子空间的交:
V1∩V2={x|x∈V1 且x∈V2}
子空间的和:
V1+V2={x=x1+x2|x1∈V1,x2∈V2}
子空间的直和:
V1+V2={x=x1+x2|唯一x1∈V1,唯一x2∈V2}
记作
V1 +V2 =V1 ..V2 (5-4)
5-4 设V1、V2 是线性空间V 的子空间,则V1∩V2 是V 的子空间。
证:θ∈V1,θ∈V2.θ∈V1∩V2.V1∩V2 非空。
.x,y ∈V1 ∩V2.
x,y ∈V1.x +y ∈V1
x,y ∈V2.x +y ∈V2 { .x +y ∈V1 ∩V2
.k ∈K ,.x ∈V1 ∩V2.
x ∈V1.kx ∈V1
x ∈V2.kx ∈V2 { .kx ∈V1 ∩V2
所以,V1∩V2 是V 的子空间。
5-5 设V1、V2 是线性空间V 的子空间,则V1+V2 是V 的子空间。
证:θ∈V1,θ∈V2.θ=θ+θ∈V1∩V2.V1∩V2 非空。
.x,y ∈V1 +V2. x =x1 +x2,x1 ∈V1,x2 ∈V2
y =y1 +y2,y1 ∈V1,y2 ∈V2 {
.x +y =(x1 +y1)+ (x2 +y2),x1 +y1 ∈V1,x2 +y2 ∈V2
.x +y ∈V1 +V2
.k ∈K ,.x ∈V1 +V2.x =x1 +x2,x1 ∈V1,x2 ∈V2
.kx =kx1 +kx2,kx1 ∈V1,kx2 ∈V2
.kx ∈V1 +V2
所以V1+V2 是V 的子空间。
5-6 设V1、V2 是线性空间V 的有限维子空间,则
1 46 人工智能应用的数学基础(微课版)
dim(V1 +V2)=dimV1 +dimV2 -dim (V1 ∩V2) (5-5)
证:
dimV1=n1,dimV2=n2,dim(V1∩V2)=m
要证dim(V1∩V2)=n1+n2-m 。
(1)m =n1 时:
(V1 ∩V2).V1.V1 ∩V2 =V1
(V1 ∩V2).V2.V1 .V2.V1 +V2 =V2
dim(V1 +V2)=dimV2 =n2 =n1 +n2 -m
(2)m =n2 时:
(V1 ∩V2).V2.V1 ∩V2 =V2
(V1 ∩V2).V1.V2 .V1.V1 +V2 =V1
dim(V1 +V2)=dimV1 =n1 =n1 +n2 -m
(3)m <n1,m <n2 时:
设V1∩V2 的基为x1,x2,…,xm ,那么,扩充为V1 的基:
x1,x2,…,xm ,y1,y2,…,yn1-m (Ⅰ)
扩充为V2 的基:
x1,x2,…,xm ,z1,z2,…,zn2-m (Ⅱ)
考虑元素组:
x1,x2,…,xm ,y1,y2,…,yn1-m ,z1,z2,…,zn2-m (Ⅲ)
因为V1=L(Ⅰ),V2=L(Ⅱ),所以V1+V2=L (Ⅲ)(自证)。
下面证明元素组(Ⅲ)线性无关:
设有数组k1,k2,…,km ,p1,p2,…,pn1-m ,q1,q2,…,qn2-m ,使得
k1x1+k2x2+…+kmxm +p1y1+p2y2+…+pn1-myn1-m +q1z1+q2z2+…+qn2-mzn2-m =θ
由x=
k1x1+k2x2+…+kmxm +p1y1+p2y2+…+pn1-myn1-m ∈V1
-(q1z1+q2z2+…+qn2-mzn2-m )∈V2 { (*)
得x∈V1∩V2.x=l1x1+l2x2+…+lmxm
结合(*)中第二式得
l1x1+l2x2+…+lmxm +q1z1+q2z2+…+qn2-mzn2-m =θ
结合(*)中第一式得
k1x1+k2x2+…+kmxm +p1y1+p2y2+…+pn1-myn1-m =θ
(Ⅰ)由线性无关可得
k1=k2=…=km =0,p1=p2=…=pn1-m =0
故元素组(Ⅲ)线性无关,从而是V1+V2 的一个基。因此,
dim(V1+V2)=n1+n2-m
5-7 设V1,V2 是线性空间V 的子空间,则
V1+V2 是直和.V1∩V2={θ}
证:充分性。已知V1∩V2={θ}。对于.z∈V1+V2,若
z=x1+x2,x1∈V1,x2∈V2
z=y1+y2,y1∈V1,y2∈V2 {
第5章线性空间与线性变换147
则有
(y1)
+
(-y2)θ,-y1∈V1,
x1-x2=x1x2-y2∈V2
(
.x1-y1=-x2-y2)∈V1∩V2
θ,θ
.x1-y1=x2-y2=
.x1=x2y2
y1,=
故z∈V1+V2 的分解式唯一,从而V1+V2=V1..V2。
必要性。若V1∩V2≠{则有θ≠x∈V1∩V2 有θ=θ+θ,
θ∈V2,
θ}, 。对于θ∈V1∩V2, θ∈V1,
-x∈V1,(θ=x+(x),-x)∈V2
θ}。
即θ∈V1+V2 有两种不同的分解式,这与V1+V2 是直和矛盾。故V1∩V2={
推论
1
V1+V2 是直和.dVm1(
的基为x1,xk
,
。
y2,…,则V1+
iV1+V2)=dimV1+dimV2
推论
2
设V1+V2 是直和,x2,…,V2 的基为y1,yl,
V2 的基为x1,xk
,y2,…,。
x2,…,y1,yl
证:因为V1+V2=L(xk
,yiV1+V2)dmiV2=
x2,…,y2,…,l),
x1,y1,且dm(=iV1+dmk+l, xk
,yl
线性无关, x2,…,y1,yl
所以x1,x2,…,y2,…,故x1,y2,…,是V1+V2
y1,xk ,
的基
。
..5.2
线性变换及其矩阵
2.线性变换及相关概念
5.1
定义5-16
设有线性空间
V
和数域
K
,
T
是
V
中的变换。若对.x,y∈V,.k,
都有T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty), 称
T
是
V
中的线性变换。
l∈
K
,
线性变换的性质如下:
(1)Tθ=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=0。
(2)T(x)T((1)y)-Tx)+0(=-x)。
-=-x+0=(1)(Ty)T(
(3)x2,…,Tx2,…,Txm
线性相关
。
x1,xm
∈
V
线性相关.Tx1,
(x2,…,不能推出Tx1,线性无关
。
4)x1,xm
∈
V
线性无关时, Tx2,…,Txm
(5)
T
是线性变换.T(=T(x)k(y∈V,.k∈
K
)。
x+y)Tx+Ty,k=Tx)(.x,
例5-
7
矩阵空间Rn×n
,给定矩阵Bn×n
,则变换TX=BX+XB(.X∈Rn×n
)是Rn×n
的
线性变换。
-17
T)y|y=Tx,定义5线性变换的值域是R(={x∈V}。
定义5-线性变换的核是
N
(={θ,
18
T)x|Tx=x∈V}。
5-
8
设
T
是线性空间
V
的线性变换,则R(T)和
N
(T)都是
V
的子空间。
证:
(1)
V
非空.R(T)非空。
.y2∈R(T)..x2∈V,sty2=Tx2
y1+y2=Tx1+Tx2x1+(.) 2)∈R(T)( 因x1+x2∈V)
k(Tx1)k=T(
Tx)(.) (因.
k
∈
K
,
ky1==T(x1)∈R(kx1∈V)
1 48 人工智能应用的数学基础(微课版)
故R(T)是V 的子空间。
(2)θ∈V,Tθ=θ.θ∈N (T),即N (T)非空。
.x,y∈N (T).T(x+y)=Tx+Ty=θ,即x+y∈N (T)。
.x∈N (T),.k∈K .T(kx)=k(Tx)=θ,即kx∈N (T)。
故N (T)是V 的子空间。
注意,定义T 的秩为dimR(T),T 的亏为dimN (T)。
例5-8 设线性空间Vn 的基为x1,x2,…,xn ,T 是V 的线性变换,则
R(T)=L(Tx1,Tx2,…,Txn),dimR(T)+dimN (T)=n
证:
(1)先证R(T).L(Tx1,Tx2,…,Txn)。
.y∈R(T)..x∈Vn ,s.t.y=Tx
x=c1x1+c2x2+…+cnxn .y=c1(Tx1)+c2(Tx2)+…+
cn(Txn)∈L(Tx1,Tx2,…,Txn)
再证R(T).L(Tx1,Tx2,…,Txn)。
.y ∈L(Tx1,Tx2,…,Txn)..c1,c2,…,cn ,s.t.y=c1(Tx1)+c2(Tx2)+ …+cn(Txn)
xi ∈Vn .Txi ∈R(T).y=c1(Tx1)+c2(Tx2)+ …+cn(Txn)∈R(T)
(2)设dimN (T)=m ,且N (T)的基为y1,y2,…,ym ,扩充为Vn 的基:y1,y2,…,ym ,
ym +1,…,yn ,则
R(T)=L(Ty1,Ty2,…,Tym ,Tym +1,…,Tyn)=L(Tym +1,Tym +2,…,Tyn)
设数组km +1,km +2,…,kn 使得km +1(Tym +1)+km +2(Tym +2)+…+kn(Tyn)=θ,故
T(km +1ym +1+km +2ym +2+…+knyn)=θ
因为T 是线性变换,所以km +1ym +1+km +2ym +2+…+knyn ∈N (T),故
km +1ym +1+km +2ym +2+…+knyn =l1y1+l2y2+…+lmym
即(-l1)y1+(-l2)y2+…+(-lm )ym +km +1ym +1+…+knyn =θ
因为y1,y2,…,ym ,ym +1,…,yn 线性无关,所以km +1=0,2,…,kn =0。
因此,Tym +1,Tym +2,…,Tyn 线性无关,从而dimR(T)=n-m ,即dimR(T)+m =n。
例题5-9
例5-9 在向量空间R4 中,x=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4),线性变换T 为Tx=(ξ1+ξ2-3ξ3-ξ4,
3ξ1-ξ2-3ξ3+4ξ4,0,0),求R(T)和N (T)的基与维数。
解:
(1)取R4 的简单基e1,e2,e3,e4,计算
Te1=(1,3,0,0),Te2=(1,-1,0,0),Te3=(-3,-3,0,0),Te4=(-1,4,0,0)
该基象组的一个最大线性无关组为Te1,Te2。故dimR (T )=2,且R (T )的一个基为
Te1,Te2。
(2)记
A= 1 1 -3 -1
3 -1 -3 4
é
. êê
ù
. úú
则N (T)={x|Tx=θ}= x|A
ξ1
ξ2
ξ3
ξ4
é
.
êêêêê
ê
ù
.
úúúúú
ú
=0
ì
.
í
...
...
ü
t
y
...
...
第5章 线性空间与线性变换1 49
A
ξ1
ξ2
ξ3
ξ4
é
.
êêêêêê
ù
.
úúúúúú
=0的基础解系为
3320
é
.
êêêêê
ê
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-3704
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。故dimN (T)=2,且N (T)的一个基为
(3 3 2 0),(-3 7 0 4)
定义5-19 在线性变换V 中,定义变换T 为Tx=x(.x∈V ),则T 是单位变换,记
作Te。
定义5-20 在线性空间V 中,定义变换T 为Tx=θ(.x∈V ),则T 是零变换,记
作T0。
5.2.2 线性变换的运算
定义5-21 设有线性空间V 和数域K ,线性变换T1 与T2。线性变换有以下运算:
(1)相等。若T1x=T2x(.x∈V),称T1=T2。
(2)加法。定义变换T 为Tx=T1x+T2x(.x∈V ),则T 是线性变换,记作T =
T1+T2。
(3)负变换。定义变换T 为Tx=-(T1x)(.x∈V),则T 是线性变换,记作T=-T1。
(4)数乘。给定k∈K ,定义变换T 为Tx=k(T1x)(.x∈V),则T 是线性变换,记作
T =kT1。
注意,集合Hom(V,V)=det{T|T 是数域K 上的线性空间V 的线性变换},按照线性运
算(2)~(4)构成数域K 上的线性空间,称为V 的同态。
(5)乘法。定义变换T 为Tx=T1(T2x)(.x∈V ),则T 是线性变换,记作T =
T1T2。
定义5-22 设T 是线性空间V 的线性变换,若V 的线性变换S 满足(ST)x=(TS)x=
x(.x∈V),则称T 为可逆变换,且S 为T 的逆变换,记作T -1=S。
逆变换、幂
变换、多项
式变换
定义5-23 设T 是线性空间V 的线性变换,则Tm =detTm -1T(m =2,3,4,…)也是V 的
线性变换。
定义5-24 设T 是线性空间V 的线性变换,多项式
f(t)=a0 +a1t+ … +amtm (ai ∈K ) (5-6)
则f(T)=a0Te+a1T +…+amTm 也是V 的线性变换,称为多项式变换。
5.2.3 线性变换的矩阵表示
线性变换的
矩阵表示
定义5-25 设线性空间Vn 的基为x1,x2,…,xn ,T 是Vn 的线性变换,则Txi ∈Vn ,
且有
Tx1 =a11x1 +a21x2 + … +an1xn
Tx2 =a12x1 +a22x2 + … +an2xn
.
Txn =a1nx1 +a2nx2 + … +annxn
ì
.
í
...
...
,A =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
. . . .
an1 an2 … ann
é
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(5-7)
1 50 人工智能应用的数学基础(微课版)
写成矩阵乘法形式T(x1,x2,…,xn)=det(Tx1,Tx2,…,Txn )=(x1,x2,…,xn )A,称A 为线
性变换T 在基x1,x2,…,xn 下的矩阵。
注意:
(1)给定Vn 的基x1,x2,…,xn 和线性变换T 时,矩阵A 唯一。
(2)给定Vn 的基x1,x2,…,xn 和矩阵A 时,基象组Tx1,Tx2,…,Txn 确定。
.x∈Vn .x=c1x1+c2x2+…+cnxn
定义变换Tx=c1(Tx1)+c2(Tx2)+…+cn (Txn ),则T 是线性变换,因此线性变换T 与
矩阵A 有一一对应关系。
定义5-26 线性运算的矩阵表示由定理5-9给出。
5-9 设线性空间Vn 的基为x1,x2,…,xn ,线性变换T1 与T2 的矩阵为A 与B。
(1)T1+T2 在该基下的矩阵为A+B。
(2)kT1 在该基下的矩阵为kA。
(3)T1T2 在该基下的矩阵为AB。
(4)T1-1 在该基下的矩阵为A-1。
证:T
1(x1,x2,…,xn)=(x1,x2,…,xn)A,T2(x1,x2,…,xn)=(x1,x2,…,xn)B
(1)略。
(2)略。
(3)先证:.C=(cij)n×m ,T[(x1,x2,…,xn)C]=[T(x1,x2,…,xn)]C。
左=T Σi
ci1x1,Σi
ci2x2,…,Σi
cinxn
= Σi
ci1(Tx1),Σi
ci2(Tx2),…,Σi
cin(Txn)
=(Tx1,Tx2,…,Txn)C =右
由此可得
(T1T2)(x1,x2,…,xn)=T1[T2(x1,x2,…,xn)]=T1[(x1,x2,…,xn)B]
=[T1(x1,x2,…,xn)]B =(x1,x2,…,xn)AB
(4)记T1-1=T2,则
T1T2=T2T1=Te.(3)AB=BA=I.B=A-1
定义5-27 象与原象坐标间的关系由定理5-10给出。
5-10 线性空间Vn 的基为x1,x2,…,xn ,线性变换T 在该基下的矩阵为A,x∈
Vn 的坐标为
ξ1
ξ2.
ξn
é
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,Tx 的坐标为
η1
η2
.
ηn
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,则
η1
η2
.
ηn
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=A
ξ1
ξ2.
ξn
é
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证: x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξnxn
Tx =ξ1(Tx1)+ξ2(Tx2)+ … +ξn(Txn)