第 3 章 单量子比特门 本章核心知识点: □单量子比特门OpenQASM语句 □Pauli门 □Hadamard门 □相位门:S门、T门、S.门、T.门和P门 □旋转门:RX门、RY门和RZ门 任意轴旋转门Rnθ) □ ^( 3.1 单量子比特门OpenQASM 语句 量子门是量子线路的基础。量子门在数学上可以表示为酉 矩阵。酉矩阵从数学上保证了所有量子门都是可逆的。量子门 的输入和输出要求有相同数量的量子比特,因此酉矩阵肯定是方 阵。一个作用在 n 量子比特的量子门可以写成一个2n ×2n 的酉 矩阵 表 。 3.enQASM语句格式及其 1给出了常用单量子比特门的Op 功能简要说明。OpenQASM(OpenQuantumAsemblylanguage)是 一种用于描述量子线路的量子汇编语言,作为高级编译器与量子硬 件通信的中间表示,它被众多量子程序开发平台或模拟器支持。表 3.atompsr中的标准图标。 1中的线路符号采用QunumCoe 本书推荐的量子程序开发平台为IBM公司的量子计算云平台集 成的QuantumComposer(量子线路开发工具)与QuantumLab(基于 高级语言的Qiskit量子程序开发工具)。当前的QuantumComposer 支持量子汇编语言Op0。 enQASM2. 第3章 单量子比特门 45 本章将介绍表3.1中的单量子比特门。 表3.1 单量子比特门的OpenQASM 基本语句 线路符号名 称语句格式说 明 Pauli-X xq[i]; X门(非门),沿x 轴轴对称翻转 Pauli-Y yq[i]; Y门,沿y 轴轴对称翻转 Pauli-Z zq[i]; Z门,沿z 轴轴对称翻转 H hq[i]; Hadamard门 S sq[i]; 相位门,绕z 轴逆时针旋转π/2 T tq[i]; 相位门,绕z 轴逆时针旋转π/4 S. sdgq[i]; 相位门,绕z 轴顺时针旋转π/2 T. tdgq[i]; 相位门,绕z 轴顺时针旋转π/4 P p(λ)q[i]; 相位门,作用一个相位eiλ 到基态 |1>,λ∈[0,π] RX rx(θ)q[i]; 绕x 轴逆时针旋转θ 角度 RY ry(θ)q[i]; 绕y 轴逆时针旋转θ 角度 RZ rz(θ)q[i]; 绕z 轴逆时针旋转θ 角度 3.2 Pauli门 Pauli矩阵作为一组酉矩阵,其对应的量子门是非常重要的基础单量子比 特门。 3.2.1 Pauli-X 门 Pauli-X门的矩阵形式为 σ1 ≡σx ≡X ≡ 0 1 1 0 é . êê ù . úú (3.1) Pauli-X门简称X门,作用效果为绕布洛赫球x 轴旋转角度π,实现该量 子比特的两个基向量的振幅的交换,也可理解为沿x 轴做轴对称翻转。 对于任意的量子态|ψ>=α|0>+β|1>,α,β∈C,有 46 量子程序设计基础 X|ψ>= 0 1 1 0 é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = β α é . êê ù . úú (3.2) X门的行为类似于经典电路中的“非门”,有如下性质: X|0>=|1>,X|1>=|0>,X|+>=|+>,X|->=-|-> (3.3) X门的线路符号如图3.1所示。 【例3.1】 证明X|+>=|+>,X|->=-|->。 证: X|+>= 0 1 1 0 é . êê ù . úú 1 2 1 2 é . êê ê ù . úú ú T = 1 2 1 2 é . êê ê ù . úú ú T =|+> X|->= 0 1 1 0 é . êê ù . úú 1 2 -1 2 é . êê ê ù . úú ú T = -1 2 1 2 é . êê ê ù . úú ú T =-|-> (3.4) 3.2.2 Pauli-Y 门 Pauli-Y门的矩阵形式为 σ2 ≡σy ≡Y ≡ 0 -i i 0 é . êê ù . úú (3.5) Pauli-Y门简称Y门,作用效果为绕布洛赫球y 轴旋转角度π,也可理解 为沿y 轴做轴对称翻转。 对于任意量子态|ψ>=α|0>+β|1>,α,β∈C,有 Y|ψ>= 0 -i i 0 é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = -iβ iα é . êê ù . úú =ei3π/2β|0>+eiπ/2α|1> (3.6) Y门的线路符号如图3.2所示。 图3.1 X门 图3.2 Y 门 【例3.2】 求Y门对|ψ>=1 2|0>+1 2|1>作用后的末态。 解: Y|ψ>= 0 -i i 0 é . êê ù . úú 1 2 1 2 é . êêêêêê ù . úúúúúú = -i 2 i 2 é . êêêêêê ù . úúúúúú =ei3π/21 2|0>+eiπ/21 2|1> (3.7) 第3章 单量子比特门 47 3.2.3 Pauli-Z门 Pauli-Z门的矩阵形式为 σ3 ≡σz ≡Z ≡ 1 0 0 -1 é . êê ù . úú (3.8) Pauli-Z门的作用效果是绕布洛赫球z 轴旋转角度π,简称Z门。对于任 意量子态|ψ>=α|0>+β|1>,α,β∈C,有 Z|ψ>= 1 0 0 -1 é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = α -β é . êê ù . úú =α|0>+eiπβ|1> (3.9) Z门具有以下性质: Z|0>=|0>,Z|1>=-|1>,Z|+>=|->,Z|->=|+> (3.10) Z门的线路符号如图3.3所示。 图3.3 Z门 【例3.3】 求Z门对|ψ>=1 2|0>+1 2|1>作用后的末态。 解: Z|ψ>= 1 0 0 -1 é . êê ù . úú 1 2 1 2 é . êêêêêê ù . úúúúúú = 1 2 -1 2 é . êêêêêê ù . úúúúúú=1 2|0>-eiπ1 2|1> (3.11) 3.3 Hadamard门 Hadamard门的矩阵形式为 H = 1 2 1 1 1 -1 é . êê ù . úú (3.12) Hadamard门简称H 门。H 门作用在单量子比特上,将基态|0>变成 (|0>+|1>)/2,将|1>变成(|0>-|1>)/2,即 48 量子程序设计基础 H (|0>)=1 2(|0>+|1>)=|+> H (|1>)=1 2(|0>-|1>)=|-> ì . í ... ... (3.13) 对于任意的量子态|ψ>=α|0>+β|1>,α,β∈C,有 H|ψ>= 1 2 1 1 1 -1 é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = 1 2 α +β α -β é . êê ù . úú =α +β 2 |0>+α -β 2 |1> (3.14) H 门的线路符号如图3.4所示。 图3.4 H 门 【例3.4】 证明对任一量子态连续使用两次H 门,其状态保持不变。 证: HH =12 1 1 1 -1 é . êê ù . úú 1 1 1 -1 é . êê ù . úú =12 2 0 0 2 é . êê ù . úú = 1 0 0 1 é . êê ù . úú =I (3.15) 【例3.5】 证明H 门的共轭转置和逆矩阵都等于其自身。 证: H.= 1 2 1 1 1 -1 é . êê ù . úú =H ,HH =I,H =H -1 (3.16) H 门通常用作以下用途。 (1)基变换 H 门的效果可视为对一个量子比特的状态做基底变换,以实现计算基 {|0>,|1>}到基{|+>,|->}之间的相互转换。其中,{|0>,|1>}为泡利Z 矩 阵的本征向量;{|+>,|->}为泡利X 矩阵的本征向量。 假设有一个基{|+>,|->}上的量子态,对X 方向进行测量不如对Z 方 向进行测量更方便,这时可先用H 门进行基变换,再通过计算基{|0>,|1>}进 行测量。 (2)将多个量子比特的初态制备为等权叠加态 H ..n 作用在零态|0>..n 上能够产生等权叠加态1 2n Σ x ∈{0,1}n |x>,即从零态 第3章 单量子比特门 49 得到2n 个态的叠加态。 H 门作用在|0>上得到H (|0>)=1 2(|0>+|1>)。 作用在|00>上得到: H ..2|00>=H|0>..H|0> =1 2(|0>+|1>)..1 2(|0>+|1>) =12 (|00>+|01>+|10>+|11>) (3.17) 作用在n 个|0>,即|0>..n上得到: H ..n|0>..n = 1 2nΣ2n-1 x=0 |x> = 1 2n (|00…00>+|00…01>+|00…10>+ … +|11…11>) (3 .18) 3.4 相 位 门 3.4.1 S门 S门的矩阵形式为 S = 1 0 0 i é . êê ù . úú = 1 0 0 ei(π/2) é . êê ù . úú (3.19) S门相当于绕布洛赫球z 轴逆时针旋转π/2角度。布洛赫球上任一量子 态|ψ>=cosθ2 |0>+eiφsinθ2 |1>,其中eiφ 是相对相位,φ 是相位角。S门作用 后,相位角由φ 变为φ+π/2。 对于任意量子态|ψ>=α|0>+β|1>,S门作用后|1>的振幅由β 变为iβ,即 S|ψ>= 1 0 0 i é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = α iβ é . êê ù . úú =α|0>+iβ|1> (3.20) S门又常被称为π/4门,即 S = 1 0 0 ei(π/2) é . êê ù . úú =ei(π/4) e-i(π/4) 0 0 ei(π/4) é . êê ê ù . úú ú (3.21) 上式方括号外的ei(π/4)不影响S门作用后的观测结果。 50 量子程序设计基础 S门的线路符号如图3.5所示。 【例3.6】 求S门对|ψ>=1 2|0>+1 2|1>作用后的末态。 解: S|ψ>= 1 0 0 i é . êê ù . úú 1 2 1 2 é . êêêêêê ù . úúúúúú =1 2|0>+ei(π/2)1 2|1> (3.22) 【例3.7】 证明连续两个S门等同于一个Pauli-Z门,即Z=SS。 证: SS = 1 0 0 i é . êê ù . úú 1 0 0 i é . êê ù . úú = 1 0 0 -1 é . êê ù . úú =Z 3.4.2 T门 T门的矩阵形式为 T = 1 0 0 ei(π/4) é . êê ù . úú (3.23) T门相当于绕布洛赫球z 轴逆时针旋转π/4角度,有时也称之为π/8门。 T = 1 0 0 ei(π/4) é . êê ù . úú =ei(π/8) e-i(π/8) 0 0 ei(π/8) é . êê ê ù . úú ú (3.24) 上式方括号外的ei(π/8)对T门作用后的结果观测不起作用。 将T门作用两次等于作用一次S门,即S=TT 。 T门作用在任意量子态|ψ>=α|0>+β|1>,α,β∈C上,得到的新的量子 态为 T|ψ>= 1 0 0 ei(π/4) é . êê ù . úúα β é . êêù . úú = α ei(π/4)β é . êê ù . úú =α|0>+ei(π/4)β|1> (3.25) T门的线路符号如图3.6所示。 图3.5 S门 图3.6 T门 【例3.8】 求T门对|ψ>=1 2|0>+1 2|1>作用后的末态。 第3章 单量子比特门 51 解: T|ψ>= 1 0 0 ei(π/4) é . êê ù . úú 1 2 1 2 é . êêêêêê ù . úúúúúú =1 2|0>+ei(π/4)1 2|1> (3.26) 3.4.3 S. 门 S. 门又称Sdg门或S-dagger门,可视为S门的逆操作。S. 门相当于绕 布洛赫球z 轴顺时针旋转π/2角度,矩阵形式为 Sdg= 1 0 0 -i é . êê ù . úú (3.27) S. 门作用在任意量子态|ψ>=α|0>+β|1>,α,β∈C上,得到的新的量子 态为 Sdg|ψ>= 1 0 0 -i é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = α -iβ é . êê ù . úú =α|0>-iβ|1> (3.28) S. 门的线路符号如图3.7所示。 3.4.4 T. 门 T. 门又称Tdg门或T-dagger门,可视为T门的逆操作。T. 门相当于绕 布洛赫球z 轴顺时针旋转π/4角度,矩阵形式为 Tdg= 1 0 0 e-iπ/4 é . êê ù . úú (3.29) T. 门作用在任意量子态|ψ>=α|0>+β|1>,有 T|ψ>= 1 0 0 e-iπ/4 é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = α e-iπ/4β é . êê ù . úú =α|0>+e-iπ/4β|1> (3.30) T. 门的线路符号如图3.8所示。 图3.7 S. 门 图3.8 T. 门 52 量子程序设计基础 3.4.5 P门 P门的矩阵表示为 P(λ)= 1 0 0 eiλ é . êê ù . úú (3.31) P门作用一个相位eiλ到基态|1>上。λ 可取[0,π]的任意值。λ 为π、π/2 或π/4时分别等价于Z门、S门和T门,即 P(λ =π)=Z (3.32) P(λ =π/2)=S (3.33) P(λ =π/4)=T (3.34) P门的线路符号如图3.9所示。 图3.9 P门 3.5 旋 转 门 Pauli门分别实现了单量子比特绕布洛赫球对应轴旋转固定的π角度的 操作。RX门、RY门和RZ门称为旋转门,它们可以让一个量子比特的状态 绕布洛赫球对应轴旋转一个合理的任意角度。本节将介绍这组旋转门,相应 算子定义如下。 Rx(θ)≡e-iθX 2 Ry(θ)≡e-iθY 2 Rz(θ)≡e-iθZ 2 ì . í ... ..(3.35) 令A =Σa a|a>=α|0>+β|1>上,得到的新的量子 态为 RX π 2|ψ>= 2 2 1 -i -i 1 é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = 2 2 α-iβ β-iα é . êê ù . úú = 2(α-iβ) 2 |0>+ 2(β-iα) 2 |1> (3.45) 【例3.10】 求RX(π)门的矩阵表示。 解: RX(π)= cosπ 2 -isinπ 2 -isinπ 2 cosπ 2 é . êêêêê ê ù . úúúúú ú = 0 -i -i 0 é . êê ù . úú =-iX (3.46) 其等于Pauli-X矩阵与全局相位-i的乘积。 3.5.2 RY 门 RY门由Pauli-Y矩阵作为生成元生成,其矩阵表示为 RY(θ)≡e-iθY 2 =cosθ2 I -isinθ2 Y = cosθ2 -sinθ2 sinθ2 cosθ2 é . êêêêêêê ù . úúúúúúú (3.47) RY门的功能为绕布洛赫球y 轴逆时针旋转θ 角度,其线路符号如图3.11 第3章 单量子比特门 55 所示。 图3.11 RY 门 【例3.11】 RY(π/2)门的功能。 解: RY(π/2)算子作用在任意量子态|ψ>=α|0>+β|1>上,得到的新的量子 态为 RY π 2 |ψ>= 2 2 1 -1 1 1 é . êê ù . úú α β é . êê ù . úú = 2 2 α -β α +β é . êê ù . úú = 2(α -β) 2 |0>+ 2(α +β) 2 |1> (3.48) 3.5.3 RZ门 RZ门由Pauli-Z矩阵作为生成元生成,其矩阵表示为 RZ(θ)≡e-iθZ 2 =cosθ2 I -isinθ2 Z = e-iθ2 0 0 eiθ2 é . êêê ù . úúú (3.49) 上式还可写成如下形式 RZ(θ)= e-iθ/2 0 0 eiθ/2 é . êê ê ù . úúú =e-iθ/2 1 0 0 eiθ é . êê ù . úú (3.50) 两种形式只相差一个全局相位e-iθ/2,如果只考虑单门,则两个矩阵表示 的量子逻辑门是等价的。因此,有时RZ门的矩阵表示也写作 RZ(θ)= 1 0 0 eiθ é . êê ù . úú (3.51) RZ门的功能为绕布洛赫球z 轴逆时针旋转θ 角度,其线路符号如图3.12 所示。 图3.12 RZ门 56 量子程序设计基础 【例3.12】 求RZ门作用在单量子比特计算基上的结果。 解: RZ|0>= 1 0 0 eiθ é . êê ù . úú 10 é . êê ù . úú =10 é . êê ù . úú =|0> (3.52) RZ|1>= 1 0 0 eiθ é . êê ù . úú 01 é . êê ù . úú = 0 eiθ é . êê ù . úú =eiθ|1> (3.53) 【例3.13】 RZ(π/2)门的功能。 解:RZ(π/2)作用在任意量子态|ψ>=α|0>+β|1>上,得到新的量子态为 RZ π 2|ψ>= 1 0 0 2(1+i) 2 é . êêêê ù . úúúú α β é . êêêê ù . úúúú = α 2(1+i) 2 β é . êêêê ù . úúúú =α|0>+ 2(1+i) 2 β|1> (3.54) 【例3.14】 求RZ(α)作用于任意量子态后的相对相位角。 解:考虑 RZ(α)|ψ>= e-iα/2 0 0 eiα/2 é . êê ù . úú cosθ2 ei.sinθ2 é . êêêêê ê ù . úúúúú ú = e-iα/2cosθ2 eiα/2ei.sinθ2 é . êêêêêê ù . úúúúú ú (3.55) 为了使|0>的系数为实数,必须将当前状态再乘以一个eiα/2,即 eiα/2 e-iα/2cosθ2 eiα/2ei.sinθ2 é . êêêêê ê ù . úúúúú ú = cosθ2 eiαei.sinθ2 é . êêêêê ê ù . úúúúú ú (3.56) 经过上一步,末态的相对相位角才是.+α(|ψ>的原始相对相位角为.)。 可见,RZ(α)算子的功能为绕布洛赫球z 轴旋转α 角度。 【例3.15】 在布洛赫球的三维空间中,RZ门需要旋转多少角度才能使 一个量子态的相位恢复为初始值? 2π还是4π? 解:考虑以下式子 RZ(0)=I (3.57) RZ(2π)=-I (3.58) RZ(4π)=I (3.59) 可以看出,2π的旋转不能将相位恢复到初始值,需要旋转4π。 第3章 单量子比特门 57 3.6 任意轴旋转门Rn^(θ) 如果n^=(nx ,ny ,nz)是三维坐标系中的实数单位向量,那么以n^ 为轴将 布洛赫矢量旋转θ 角度的算符R^n (θ)为 R^n (θ)≡exp -iθn^·σ2 (3.60) 其中,σ 表示3个泡利矩阵构成的向量(X ,Y,Z)。可以证明(n^·σ)2=I,进 而可以得到 R^n (θ)=cosθ2 I -isinθ2 n^·σ =cosθ2 I -isinθ2 (nxX +nyY +nzZ) (3.61) 可以看出,任意一个单量子比特的酉算符都可以写成以下形式: U =exp(iα)R^n (θ) (3.62) 其中,α 和θ 应为实数。 【例3.16】 请给出Hadamard门的一种R^n (θ)实现。 解: 当α=π/2,θ=π,n^= 1 2,0,1 2 时, U =exp(iπ/2)cos π 2 I -isin π 2 1 2(X +Z) é . êêê ù . úúú = 1 2 1 1 1 -1 é . êê ù . úú (3.63) 该酉算符就是Hadamard门。上式表明,Hadamard门可被理解为绕n^= (1/2,0,1/2)逆时针旋转π角度,且具有一个全局相位ei(π/2)。 小 结 本章结合量子比特布洛赫球表示阐述了常用的单量子比特门的功能、矩 阵表示和线路符号等内容,并介绍了绕任意轴旋转门R^n (θ)。 58量子程序设计基础 基于量子门矩阵表示的量子态演化推导是设计和分析量子线路的必备 技能,希望读者在后续学习中不断加强和提高。 习题 1.分别给出X门对|i>和|-i>的操作结果。 2.推导σx、σy和σz的本征向量和本征值。 3.验证XY=-YX、XZ=-ZX和ZY=-YZ。 4.用矩阵形式验证:H|+>=|0>,H|->=|1>。 5.验证推导T门与Pauli-Z门、S门与Pauli-Z门的关系。 6.用Hadamard门以外的其他单量子比特门实现Hadamard门的功能, 并验证在H|0>、HH|0>、H|1>和HH|1>等情况下结果的正确性。 7.一个量子比特的初态为|0>, 请用单量子比特门分别实现|+>、|->、 |i>和|-i>等目标态。 8.假设一个量子态可以通过同样的方式大量制备,若只有计算基态上的 测量门,设计并给出测量该量子态的直角坐标x、y和z的方案。