第3章叠加定理和额外元件定理

第1章已经对电路网络常用分析工具进行回顾。在众多定理中，诺顿和戴维南定理尤为实用，并且在第2章对某些电路进行具体分析时已经验证。然而当分析多输入电路时首先要考虑叠加定理，对叠加定理深入研究并扩展后即为额外元件定理(Extra Element Theorem，EET)。本章首先通过简单的图形方式引入叠加定理，并且以简单易懂的方式为EET的理解铺平道路。
3.1叠加定理


图3.1为包含u1和u2双输入源的线性系统黑盒子。输入无论为电流源或电压源，叠加定理均适用。当两激励源同时作用时输出响应y1定义为： 


y1=f(u1,u2)
(3.1)



叠加定理表明，输出y1为u1设置为0时得到的响应与u2设置为0时得到的响应的代数和。叠加定理的通用表达式为： 


y1(u1,u2,…,ui)=y1(u1)|u2=ui=0+y1(u2)|u1=ui=0+…+y1(un)u2=u1=0(3.2)


在前面章节中已经对电源设置为0或将其关闭进行详细定义： 独立电压源设置为0V时可由短路线代替，而独立电流源设置为0A时则将其断路或从电路中移除。除非分析过程中需要将受控源设置为0，否则电路中的受控源将保持不变。对图3.1中的简单电路应用叠加定理，新电路如图3.2所示。


图3.1由双输入源u1和u2以及单

输出y1构成的简单系统




图3.2当u2设置为0时u1单独作用于输出


从图3.2可得： 


y1u1u2=0≡A1
(3.3)



如图3.3所示，同样可设置u1为零、u2单独对电路进行激励，以测试输出响应y1。此时： 


y1u2u1=0≡A2
(3.4)


如图3.4所示，当两输入同时作用于电路时产生的输出为式(3.3)与式(3.4)之和，即： 


y1=y1u1u2=0u1+y1u2u1=0u2=A1u1+A2u2
(3.5)




图3.3当u1设置为0时u2单独作用于输出




图3.4此时输出为u1和u2单独

作用于电路时的输出之和


接下来通过两个简单实例具体讲解叠加定理如何应用。图3.5(a)所示电路包含两个输入源，分别为电压源和电流源，输出为电阻R3两端电压。首先如图3.5(b)所示，将电压源V1设置为0V。



图3.5包含电压源和电流源的简单电路


从图3.5(b)可得，电阻R2和R3串联，然后再与R1并联。因此电流源两端电压即节点1的电压为： 


V(1)=I1［R1‖(R2+R3)］(3.6)


电阻R3两端电压为R2和R3所构成电阻分压器的输出电压，即： 


Vo1=V(1)R3R2+R3
(3.7)


将式(3.6)代入式(3.7)，整理得V1=0时的输出电压Vo1为： 


Vo1=I1［R1‖(R2+R3)］R3R2+R3(3.8)


接下来利用图3.5(c)计算电压Vo2，此时将电流源关闭。因为R1、R2和R3串联构成电阻分压器，所以输出电压Vo2为： 


Vo2=V1R3R1+R2+R3
(3.9)


电阻R3两端最终电压为Vo1和Vo2之和，即： 


Vout=Vo1+Vo2=I1［R1‖(R2+R3)］R2R2+R3+V1R3R1+R2+R3
(3.10)



利用SPICE直流工作点分析或Mathcad根据电阻和电源参数的运算结果对计算值进行验证。通过图3.6可得计算结果完全一致。


R1=15ΩR2=38ΩR3=50ΩV1=12V

I1=2A‖(x,y)=x·yx+y

Vo1=I1·［R1‖(R2+R3)］·R3R2+R3=14.563V

Vo2=V1·R3R1+R2+R3=5.825V
Vout=Vo1+Vo2=20.388V




图3.6Mathcad输出结果和SPICE直流工作点数据验证计算正确

图3.7为第2个实例，该电路包括受控源。电压源对电阻网络进行偏置，其输出电流为I1。 电流源Ia对节点2进行偏置，并且与I1相关联的电流受控电压源通过电阻R2也连接到节点2。 接下来计算I1电流值。




图3.7受控电流源对右侧电路提供电压3I1


应用叠加，将独立源交替设置为0，而受控源保持不变。在图3.7（b）中，电流I1a计算公式为： 


I1a=V1-3I1aR1+R2
(3.11)


将式(3.11)移项并分解因式，整理得I1a计算公式为： 


I1a=V1R1+R2+3
(3.12)


接下来将电压源V1设置为0V(两端短路)，具体如图3.7（c）所示，然后求解包含I1和I2的简单方程。流经电阻R2的电流I2为其两端电压VR2与其电阻值之商，即： 


I2=VR2R2=-VR1-3I1bR2=-R1I1b-3I1bR2=-I1b(R1+3)R2
(3.13)


同时电流I2=Ia+Ib，即： 


I2=Ia+I1b
(3.14)


将式(3.13)和式(3.14)进行因式分解和重新整理，求得电流I1b为： 


I1b=-Ia1+R1+3R2=-R2IaR1+R2+3
(3.15)


于是电流I1=I1a+I1b的最终表达式为： 


I1=I1a+I1b=V1R1+R2+3-R2IaR1+R2+3=V1-R2IaR1+R2+3
(3.16)


根据电阻和激励源的具体参数值，利用Mathcad数值计算和SPICE直流工作点分析对表达式的正确性进行验证。应当注意，电流受控源中因数3的量纲为欧姆。根据图3.8可知计算结果正确。


R1=100ΩR2=25ΩV1=24VIa=7A‖(x,y)=x·yx+y

I1a=V1R1+R2+3Ω=0.632AI1b=-Ia1+R1+3ΩR2=-4.605A

I1=I1a+I1b=3.974A




图3.8Mathcad输出结果和SPICE直流工作点数据验证计算正确


类似上述电路分析的教程与习题在互联网随处可见，所以实例分析点到为止(具体见文献［1］和［2］)。文献［2］中的电路分析耐人寻味，本节第2个实例即来自该文献。文献中作者对叠加定理进行重申： 特定条件下所有输入源均可置零，包括受控源。并且作者结合大量实例对扩展定理进行佐证。
3.1.1双输入/双输出系统原书仅有3.1.1节，此处与原书保持一致。



图3.9当增加第二输出时黑盒子线性系

统成为双输入/双输出电路网络


在图3.1中，电路系统包含多个输入但仅有唯一输出。通过增加第二输出y2使系统成为双输出系统，如图3.9所示。此时输出响应y1和y2由激励源u1和u2控制。分析方法与双输入/单输出系统相同，计算y1和y2表达式时将u1和u2交替设置为0。双输入/双输出电路系统如图3.10所示。





图3.10计算输出y1时将u1和u2交替设置为0 



当输入u2=0时求得A1为： 


y1u1u2=0≡A1
(3.17)


当输入u1=0时求得A2为： 


y1u2u1=0≡A2
(3.18)


输出y2计算方法与上述一致，具体电路如图3.11所示。



图3.11计算输出y2时将u1和u2交替设置为0 



通过电路分析，求得增益B1和B2定义式为： 


y2u1u2=0≡B1
(3.19)

y2u2u1=0≡B2
(3.20)




按照图3.12规则将上述分析结果进行组合，此时输出y1和y2均由输入u1和u2清晰表达。利用叠加定理对双输入系统进行分析，当某一输入处于激活状态时另一


图3.12将图3.10和图3.11组合成

双输入/双输出系统


输入设置为0。当两输入同时处于激活时定义为双注入状态。因为输出y1和y2为输入u1和u2的线性组合，所以输出可为任意值。对电路进行分析时，当u1和u2为何值时输出为0通常为研究重点。一般利用电路网络零点计算时采用的NDI技术对电路进行分析。下面通过调整输入u1和u2将两输出之一y1置零。因为： 


y1=u1A1+u2A2
(3.21)


以及


y2=u1B1+u2B2
(3.22)


当y1为零时关于u1和u2的表达式为： 


0=u1|y1=0A1+u2|y1=0A2
(3.23)


当y1为零时y2关于u1和u2的表达式为： 


y2|y1=0=u1|y1=0B1+u2|y1=0B2
(3.24)


当y1为零时从式(3.23)中提取u1得： 


u1|y1=0=-u2|y1=0A2A1
(3.25)


将式(3.25)代入式(3.24)整理得： 


y2|y1=0=u2|y1=0B2-u2|y1=0A2A1B1
(3.26)


分解因式u2|y1=0得： 


y2|y1=0=u2|y1=0A1B2-A2B1A1
(3.27)


当y1为零时将y2重新表达为u2的传递函数，即： 


y2u2y1=0=A1B2-A2B1A1
(3.28)


应当注意，式(3.28)与u1=0时所得定义式(3.20)不同。虽然所分析电路比率相同，但此时输出y1为零。对于内部增益A和B已经确定的双输入/双输出系统，当输出y1为零时，可直接应用公式(3.28)解得y2与u2之间的相互关系，而不必重新实际计算y2/u2。
接下来通过简单实验对表达式的物理意义进行具体描述。图3.13为原始黑盒子电路，其中A和B分别设置为不同值。如前所述，当y1=0时计算u1和u2的偏置值。通过式(3.23)计算y1=0时u1与u2之比： 


u1u2y1=0=-A2A1
(3.29)




图3.13A和B具有不同增益值时的电路系统



对式(3.29)进行整理，结果与式(3.25)相同，即： 


u1|y1=0=-A2A1u2|y1=0
(3.30)


将图3.13中参数值代入式(3.30)，即： 


u1|y1=0=-25u2|y1=0=-0.4u2|y1=0
(3.31)



同样，利用公式(3.28)计算y1=0时y2关于u1和u2的输出值： 


y2|y1=0=A1B2-A2B1A1u2|y1=0=5×6-2×35u2|y1=0=4.8u2|y1=0(3.32)


当设置u2为5V时，计算y1=0时的u1值。计算结果如式(3.30)所示： 


u1|y1=0=-0.4u2|y1=0=-0.4×5=-2V(3.33)


当y1=0时利用式(3.32)计算y2的具体值，结果如下： 


y2|y1=0=4.8u2|y1=0=4.8×5=24V
(3.34)



当u2设置为5V时对u1进行扫描，仿真结果如图3.14所示,该实例通过对电源进行直流扫描分析使得输出Y1=0。通过图形数据可得，当偏置电压u2=－2V时输出y1=0V、y2=24V。此时利用式(3.28)计算y2关于u2的增益值，结果如下： 


y2u2y1=0=5×6-2×35=245=4.8
(3.35)




图3.14当u1和u2选择合理参数值时能够使得输出y1=0



如图3.14所示，当输入偏置电压为5V时输出为24V，此时增益为4.8。
该测试实验同样适用于交流分析，Middlebrook博士在其论文［3］已进行详细讲解。图3.15为交流仿真分析的具体设置。
在图3.15中，节点V1为交流正弦波电压源，峰值幅度为20V。节点V2与V1幅值相同但相位相差180°。节点ramp为锯齿波，最小值1V、最大值1V、周期100ms。利用BU1将V1与Vramp相乘，所得正弦波在100ms内从0V线性上升至峰值20V。设置V2为u2并且幅值固定，当u1为锯齿波时输出y1在某时刻为零，如图3.16所示。由公式(3.30)可得，当u1=20×0.4=8V峰值时输出y1=0。此时通过公式(3.32)可得y2=4.8×20=96V。当双输入/双输出系统中两注入信号同时变化时，利用上述两实例分析方法，可将某输出设置为零。



图3.15对黑盒子电路输入端进行交流扫描并记录输出结果




图3.16当输入电压设定为特定组合值时输出Y1=0


对电路变换网络的数学表达式进行分析时，s=sz为输出响应零点，所以需要将输出设置为零。下面章节将利用额外元件定理对零点进行计算。


3.2额外元件定理
到目前为止，u1和u2通常标定为激励源，但并未定义其类型，例如电压源或电流源。现在假设激励源u2为电流源i，输出变量y2为电压v，于是电路图3.12更新为图3.17。

通过对新电路进行分析，得到如下两方程： 


y1=u1A1+iA2
(3.36)


和


v=u1B1+iB2
(3.37)


当输入激励源u1和i使得y1为零时等式(3.36)的输出值为零。如果从式(3.36)中提取u1，然后将其代入式(3.37)并将其重新整理为v/i的比率形式，可得到式(3.28)中计算结果，即： 


viy1=0=A1B2-A2B1A1
(3.38)



式(3.38)为激励电流源i与输出电压响应v之间的传递函数式，即第1章所定义的互阻。因为v和i从不同端点测得，并非取自同一端口，所以其比值并非阻抗。当式(3.37)中激励源u2设置为0时可得比率i/v的其他形式的互阻定义式，与式(3.20)形式相同，即： 


viu1=0≡B2
(3.39)


在上述分析中，因为输入和输出物理分离，因此定义为互阻。但是，迄今为止对电阻或电导进行计算时i和v均取自相同端口。利用图3.17进行互阻计算时，只需更改第二输出端口y2的位置，使其成为激励源电流i两端产生的电压v。更改之后的电路如图3.18所示。


图3.17输入u2定义为电流源




图3.18输出y2为激励电流源两端电压，
比率i/v即为阻抗


图3.18为式(3.38)和式(3.39)的理论表示。实际上，电流源与元件端子相连接(此时更加清晰)，即为额外元件，图3.19为更新之后的原理图。
在图3.19所示电路中，由于i和v在相同物理位置(电流源连接端子)测量，所以将式(3.38)和式(3.39)定义为驱动点阻抗(DPI，标记为ZDP)。由于式(3.38)为y1=0时测得，所以称为Zn； 而式(3.39)为u1=0时测得，所以标记为Zd。“n”代表分子—当分子为0时函数输出值为零，即y1=0； 而“d”代表分母，当激励u1=0时得到其数值。根据上述定义，将函数式整理如下： 



viy1=0=ZDP|y1=0≡Zn=A1B2-A2B1A1(3.40)

viu1=0=ZDP|u1=0≡Zd=B2
(3.41)


更新之后的电路如图3.20所示，此时恒流源由阻抗Z代替，并且图3.19中的电流i和电压v仍然存在，且保持方向相同。此时电流i不再为外部电流源激励，而由阻抗Z两端的电压v决定。由式(3.21)和式(3.22)导出的数学关系仍然有效，并且y2和u2之间的函数关系由阻抗Z进行转换，即： 


i=-vZ
(3.42)




图3.19元件端口测试数据分别标识
为电流i和电压v




图3.20电流源由阻抗Z代替


因为图3.18中电压和电流方向一致，即i、v方向相同，所以式(3.42)中包含负号。
根据式(3.42)中电流新定义方式，可将式(3.36)更新为： 


y1=u1A1-A2Zv
(3.43)


从式(3.43)提取电压v得： 


v=u1A1-y1A2Z
(3.44)


将式(3.44)和式(3.42)代入式(3.37)，整理得： 


A1u1ZA2-y1ZA2=B1u1+B2y1A2-A1B2u1A2
(3.45)


整理同类项得


u1A1A2Z+A1B2A2-B1=y1ZA2+B2A2
(3.46)


将y1/u1之比定义如下： 


y1u1=A1A2Z+A1B2-B1A2A2ZA2+B2A2
(3.47)


提取因式A1ZA2得： 


y1u1=A1A2Z1+A2A1ZA1B2-A2B1A2ZA21+A2ZB2A2
(3.48)



分子和分母同时约分ZA2简化得： 


y1u1=A11+1ZA1B2-A2B1A11+1ZB2
(3.49)



将式(3.40)中A1B2－A2B1A1定义为Zn，即当输出y1=0时输入端口阻抗值。式(3.49)中分母B2定义为u1=0时的输入端口阻抗值，即式(3.41)中Zd。利用上述定义将式(3.49)重新表达为额外元件定理形式，即： 


y1u1=A11+ZnZ1+ZdZ
(3.50)



当式(3.50)中Z→∞并从电路物理移除时，该传递函数变为： 


y1u1Z→∞=A11+Zn∞1+Zd∞=A1
(3.51)


如果利用受额外元件Z控制的符号A对传递函数y1/u1进行标识，然后使用式(3.51)可将式(3.50)表达为如下更规范形式： 


A|Z=A|Z=∞1+ZnZ1+ZdZ(3.52)


通过额外元件定理可得，线性系统增益受额外元件Z控制，由两部分构成： 第一部分为Z断开时系统的增益值； 第二部分为校正系数，由Z以及两输出阻抗Zn和Zd组成，上述两阻抗分别为输出为零和输入激励为零时的额外元件端口阻抗值。
将式(3.52)中分子和分母分别提取因式ZnZ和ZdZ，该表达式重新整理为： 


A|Z=A|Z=∞ZnZZZn+1ZdZZZd+1=A|Z=∞ZnZd1+ZZn1+ZZd
(3.53)



与式(3.51)中将Z→∞不同，式(3.53)中可将Z→0，如下所示： 


A|Z=0=A|Z=∞ZnZd0Zn+10Zd+1=A|Z=∞ZnZd
(3.54)


利用该表达式，将式(3.53)中A|Z=∞ZnZd简单替换为A|Z=0，形成额外元件定理的第二个定义式为： 


A|Z=A|Z=01+ZZn1+ZZd
(3.55)


通过额外元件定理第二表达式可得，线性系统增益受额外元件Z控制，由两部分构成： 第一部分为Z短路时系统的增益值； 第二部分为校正系数，由Z以及两输出阻抗Zn和Zd组成，上述两阻抗分别为输出为零和输入激励为零时的额外元件端口阻抗值。
将EET应用于1阶电路的具体步骤如下。
（1）  定义额外元件Z。Z即可为储能元件L或C，也可为电阻R。同时EET适用于受控源电路，但本章不进行深入探讨。通常将“棘手”器件选定为额外元件，因为该类器件的存在使得电路传递函数变得非常复杂。
（2）  确定是否可将额外元件短路或去除。在某些情况下，如果将元件去除，传递函数可能变为零，式(3.52)无法应用。当原点处含有零点时即属上述情形，此时将其短路，然后利用式(3.55)进行分析。当储能元件处于参考状态(开路或短路)时计算主导项A|Z=0和A|Z=∞。该项定义为参考增益。
（3）  应用第1章和第2章所讲方法。将激励源设置为0，计算额外元件移除时端口阻抗值，即Zd。
（4）  利用空双注入法计算额外元件移除并且输出响应为零时端口的阻抗值，即Zn。
（5）  如果参考电路为纯电阻，即Zd=Rd和Zn=Rn，通过校正因数可直接求得所研究电路的转角频率。
上述即为EET具体操作规程，下面通过实例进行具体说明。
3.2.1EET实例1
根据上面章节已经整理得到额外元件定理，接下来将其解题技巧应用于1阶电路。第一个电路如图3.21（a）所示，为电阻桥电路。该电路无储能元件，完全为纯电阻电路。电阻R4两端电压为输出电压。计算输出Vout与输入Vin之间的传递函数。通过简单观察可以看出电阻R5使电路复杂化。不同观察者可能会选择R4(或任何其他电阻)为额外元件。无论选择任何电阻，EET分析流程均保持不变。假设选择R5为额外元件，首先将其电阻值设置为无穷大并检验传递函数增益是否存在。此时电路如图3.21（b）所示，电阻R1和R3串联，对输出无影响； Vout通过R4、R2与输入Vin相连接，构成简单分压器。第一步计算参考增益，即： 


VoutVinR5→∞=R4R4+R2
(3.56)





图3.21由电阻构成分压器电路，求Vout与Vin之间的传递函数


第二步将激励源设置为0，即输入源Vin由短路线代替，如图3.21（c）所示。将R1和R2上端子接地，此时R5两端电阻为两并联电阻之和，即R1/R3和R2/R4，具体公式如下： 


Rd=R1‖R3+R2‖R4
(3.57)


第三步即最后一步，计算输出v^out为零时电阻R5两端电阻值。更新之后的电路原理如图3.21（d）所示，此时输入源Vin重新复原，电路成为双输入系统。如前所述，通过调节输入电流源IT的参数值将输出电压设置为零。当计算储能元件(或电阻)两端电阻与其两端电压Vin无关。由于v^out为零，所以i^out也为零，所有测试电流IT均流入电阻R2的0V端。电阻R3两端电压为－VT，于是电流i2可简写为： 


i^2=-VTR3
(3.58)


电流i1为IT和i2之和，即： 


i^1=IT+i^2
(3.59)


此时电阻R2和R1两端电压VT为： 


VT=ITR2+i^1R1
(3.60)


提取i^1得： 


i^1=VT-R2ITR1
(3.61)


将式(3.58)和式(3.61)代入式(3.59)整理得： 


VT-R2ITR1=-VTR3+IT
(3.62)


将式（3.62）提取因式VT和IT整理得： 


VT1+R1R3=IT(R1+R2)
(3.63)


因此，当Vout=0时电阻R5两端电阻为： 


Rn=VTIT=R1+R21+R1R3
(3.64)


将式(3.56)、式(3.57)和式(3.64)整理为最终传递函数为： 


VoutVin=R4R4+R21+R1+R21+R1/R3R51+R1‖R3+R2‖R4R5
(3.65)


利用Mathcad对上述表达式进行实际参数计算，具体如图3.22所示。


R1=205ΩR2=12kΩR3=18kΩR4=150ΩR5=470Ω

‖(x,y)=x·yx+yV1=3VH1=R4R4+R21+R1+R21+R1R3R51+R1‖R3+R2‖R4R5=0.179

图3.22可用Mathcad可高效计算并联元件的传递函数


接下来利用SPICE对计算结果进行验证。图3.23为SPICE仿真电路图，包含上述所有步骤，并得到最终计算结果(电压源B7)。当采用电路图中具体参数时，节点TF的电压值0.179即为原始传递函数计算值，与Mathcad公式(3.65)计算结果一致。然后按照三步法进行计算： 第一步将电阻R5去除； 第二步将输入源Vin设置为0； 最后一步即第三步利用跨导放大器计算Rn。所有步骤通过节点TFEET进行组合，最终显示值为0.179，与计算值一致。如果在NDI设置中改变输入源V4，并且通过调节V5的注入电流使得输出电压v^out=0，但保持B4的电阻计算值恒定。对电路进行仿真计算时，务必确保跨导放大器的电压和电流测量值正负极性与图3.19一致。在SPICE电路中，电流流入元件(电阻或者电源等)端点定义为正电流，电流流出元件端点定义为负电流。为获得正确的电阻值，必须注意图3.23中与G1相串联电压源V5和节点14、节点15的极性，因为B4利用上述值计算Zn。

3.2.2EET实例2
第二个测试实例电路如图3.24所示，该电路图采用电感代替电阻R5，所以可采用式(3.52)或式(3.55)求解电路传递函数。如果采用第一定义，只需利用电感sL代替电阻R5，传递函数立即可得，即： 


Vout(s)Vin(s)=R4R4+R2
1+R1+R21+R1/R3sL
1+R1‖R3+R2‖R4sL
(3.66)


式(3.66)即为图3.24中输出Vout与输入Vin之间的新传递函数。然而式(3.66)中s在分母中，不能与传统低熵表达式相匹配，即： 


H(s)=H01+sωz1+sωp
(3.67)





图3.24由电感代替电阻R5

之后的新电路图

利用式(3.55)而非式(3.52)对新电路传递函数进行分析。在表达式中阻抗Z=0即电感L短路。此时为直流传递函数H0，在第1章和第2章已经详细计算多次。在图3.24中，

当电感L由短路代替时,电阻R1与R2、R3与R4分别并联，然后再串联构成电阻分压器，即： 


VoutVinL=0=R3‖R4R1‖R2+R3‖R4
(3.68)


因为前面章节已经计算得到激励为零并且输出为零时的电感L驱动电阻值。 所以只需按照式(3.55)对传递函数进行构建，并且设置Z=sL，最终传递函数表达式为： 


H(s)=R3‖R4R1‖R2+R3‖R41+sLR1+R21+R1/R31+sLR1‖R3+R2‖R4(3.69)



式(3.69)即为广义传递函数的低熵表达形式，与式(3.67)格式相符，具体如下： 


H0=R3‖R4R1‖R2+R3‖R4(3.70)

ωz=R1+R2(1+R1/R3)L(3.71)

ωp=R1‖R3+R2‖R4L(3.72)


表达式(3.66)和式(3.69)完全一致，利用Mathcad和SPICE对表达式进行验证，计算结果完全匹配。由SPICE中电压源B5/B6计算所得极点和零点值与图3.25中计算结果完全一致。在图3.26中，因为V5中电流能自动调整使得输出保持为零，所以将V4随意设置为4V或者其他任何值对计算结果无任何影响。
3.2.3EET实例3
EET实例3为电容构成的1阶系统，具体电路如图3.27（a）所示。如果电容C的容量无穷大，即电容由短路线代替，那么输出Vout与输入Vin之间的响应是否仍然存在？因为电容C与零点相关，所以输出依然存在。首先移除电容计算第一个传递函数，即参考直流增益，计算公式如下： 


H|Z→∞=H0=R3R3+R1
(3.73)


第二步将Vin设置为0，如图3.27(c)所示。此时电路结构得到简化，可得电容两端电阻为： 


Rd=R2+R1‖R3
(3.74)


最后设置v^out=0，如图3.27(d)所示。当R3中无电流流通时，所有IT电流均流入R1并通过R2返回。该状态下电容两端的等效电阻简化为： 


Rn=R1+R2
(3.75)


按照公式(3.52)格式将式(3.73)~(3.75)进行组合，最终传递函数H(s)为： 

R1=250ΩR2=12kΩR3=18kΩR4=150ΩR5=470ΩL=10mH

‖(x,y)=x·yx+y



H2(s)=R4R4+R2·1+R1+R21+R1R3s·L1+R1‖R3+R2‖R4s·L

H3（s）=R3‖R4R1‖R2+R3‖R4·1+sLR1+R21+R1R31+s·LR1‖R3+R2‖R4H0=R3‖R4R1‖R2+R3‖R4

ωz=R1+R21+R1R3·Lωp=(R1‖R3+R2‖R4)LH4(s)=H0·1+sωz1+sωp

fz=ωz2π=192.294kHzfp=ωp2π=6.282kHz


图3.25通过Mathcad验证式(3.66)与式(3.69)结果一致




H(s)=R3R3+R11+R1+R21/sC1+R2+R1‖R31/sC=R3R3+R11+s(R1+R2)C1+sC［R2+R1‖R3］
(3.76)


将上述传递函数重新整理为经典格式，即： 


H(s)=H01+sωz1+sωp
(3.77)


式(3.77)中H0由式(3.73)定义，并且极点和零点表达式为： 




图3.27由单电容和三电阻构成的EET第三实例




ωz=1（R1+R2）C(3.78)

ωp=1C［R2+R1‖R3］(3.79)


3.2.4EET实例4


EET实例4电路如图3.28所示，该电路为简单双极性晶体管放大电路，但是具有局部反馈电阻Rf。该放大电路的等效小


图3.28具有局部反馈电阻Rf
的双极性晶体管电路


信号模型如图3.29（a）所示。首先假设电容C直流阻塞，即电路分析时电容短路。接下来详细分析该电路中的关键元件Rf。首先将Rf电阻值设置为无穷大(即将Rf其从电路中移除)，此时电路如图3.29（b）所示，计算此时电路传递函数。当集电极电流βib通过电阻RC时形成输出电压Vout，即： 


Vout=-βibRC
(3.80)




输入电压Vin由动态输入电阻rπ和发射极电阻承担，即： 


Vin=rπib+(β+1)ibRE=ib［rπ+(β+1)RE］
(3.81)


提取基极电流ib得： 


ib=Vinrπ+(β+1)RE
(3.82)


将式(3.82)代入式(3.80)，然后分解Vout和Vin得： 


VoutVinRf→∞=-βRCrπ+(β+1)RE
(3.83)


此时传递函数第一项已经求得，接下来将输入电压源Vin短路，计算Rf两端的电阻值Rd。在图3.29(c)中，电阻rπ和RE接地，基极电流ib=0，因此电流源βib=0(即该电流源从电路中移除)，此时Rf两端的唯一电阻为集电极电阻RC，所以： 


Rd=RC
(3.84)





图3.29通过EET三步法计算电路传递函数


最后一步： 当输出为零时计算Rf两端电阻Rn，更新之后的原理图为3.29（d）。如果输出电压为零则输出电流也为零，所以测试电流IT全部由电流源βi^b吸收，即： 


IT=βib
(3.85)


此时基极电流为： 


i^b=ITβ
(3.86)


流过发射极电阻电流为基极电流和测试电流之和，即： 


i^e=ITβ+IT=IT1β+1
(3.87)


由于测试电流源的右端电位为0V，所以其左端电位为－VT，即电阻rπ和RE压降之和： 


-VT=rπITβ+RE1+1βIT
(3.88)


将式(3.88)重新整理即可得到v^out=0时Rf两端电阻，即： 


Rn=VTIT=-rπβ+RE1+1β
(3.89)


通过式(3.89)可得Rn为负电阻。如果采用电容代替电阻Rf将由此得到负时间常数，即产生右半平面零点。
利用式(3.52)将上述计算结果整理得到传递函数为： 


VoutVin=-βRCrπ+(β+1)RE1-rπβ+RE1+1βRf1+RCRf=-ββ+1RCrπβ+1+RE1-rπβ+RE1+1βRf1+RCRf
(3.90)



利用SPICE对每个电路进行仿真测试，然后将仿真结果与Mathcad计算数据进行对比，具体如图3.30和图3.31所示，两计算结果完全匹配。

3.2.5EET实例5
如图3.28所示，当电容Ci再次恢复至电路中时计算电路的传递函数。当电容短路时其EET表达式为式(3.90)的局部，具体参见式（3.55）。当电路包含电容Ci时传递函数完整表达式为： 


Vout(s)Vin(s)ZCi=Vout(s)Vin(s)ZCi→01+ZCiRn1+ZCiRd
(3.91)



如图3.32所示，计算与Rd相关的时间常数时将Vin设置为0V。但是由于电路中存在受控电流源，并且电路结构复杂，所以计算电容Ci的驱动电阻并非易事。实际计算时利用电流源IT对电路进行激励，并测试其两端电压VT，VT/IT即为所求电阻值。


现在从式(3.93)中提取i^c并代入式(3.97)导致： 
由KCL可得


IT=i^1+i^b
(3.92)


同时


IT+i^c=(β+1)i^b
(3.93)


流入电阻Rf电流为其两端电压与电阻值之比，即： 


i^1=VT+RCi^cRf
(3.94)


通过rπ和射极电阻构成的桥路两端电压为VT，即： 


VT=i^brπ+(β+1)i^bRE
(3.95)


整理得基极电流i^b为： 


i^b=VTrπ+(β+1)RE
(3.96)


将式(3.94)代入式(3.92)整理得： 


IT=VT+RCi^cRf+i^b
(3.97)


从式(3.93)中提取i^c并将其代入式(3.94)中整理得： 


IT=VT+RC［（β+1）i^b-IT］Rf+i^b
(3.98)





β=100RC=100kΩrπ=1.2kΩRE=470ΩRf=150kΩ

Rn=-rπβ+RE·1+1β=-486.7ΩRd=RCH0=-β·RCrπ+(β+1)·RE=-20.547

G1=-β·RCrπ+(β+1)·RE·1-rπβ+RE·1+1βRf1+RCRf=-19.2


图3.31Mathcad与图3.30中的SPICE直流工作点计算结果相匹配

当Vin设置为零时，将等式(3.96)代入上式，整理得电容两端电阻为： 


VTIT=Rd=(RC+Rf)(RE+rπ+βRE)RC+RE+Rf+rπ+β(RC+RE)
(3.99)


当输出为零时计算第二电阻值Rn，新电路如图3.33所示。


图3.32由于存在受控电流源，所以设置激励源为

零计算,电容驱动电阻时需要利用
KCL和KVL定理





图3.33图中输出电压为零，即无电流通
过集电极电阻RC


因为图3.33所示电路输出电压为零，所以集电极电流i^c为： 


v^out=0(3.100)

i^c=0(3.101)


假设集电极电流为零，则经过电阻Rf的电流i1=βi^b。假定输出电压为零，则Rf两端电压为电阻rπ和发射极电阻RE两端电压之和，即： 


βi^bRf=i^b［rπ+(β+1)RE］
(3.102)


只有当i^b=0时式(3.102)才能成立，此时i^1=0。因为测试电流IT=i^b+i^1，所以IT=0。 因此当空双注入时电容两端的等效电阻为： 


Rn=VTITIT=0→∞
(3.103)


上述分析结果与直流分析时原点处存在零点相一致： 当电容Ci从电路移除时输出电压为零，即增益为零。按照式(3.91)形式将上述表达式进行组合，所得传递函数为： 


VoutVinCi=-βRCrπ+(β+1)RE1-rπβ+RE1+1βRf1+RCRf1+1/sC∞1+1/sC(RC+Rf)(RE+rπ+βRE)RC+RE+Rf+rπ+β(RC+RE)
(3.104)


将式(3.104)简化为： 


VoutVin=H∞11+ωps
(3.105)


其中


H∞=-βRCrπ+(β+1)RE1-rπβ+RE1+1βRf1+RCRf
(3.106)


以及


ωp=1C1(RC+Rf)(RE+rπ+βRE)RC+RE+Rf+rπ+β(RC+RE)
(3.107)


式(3.105)由原点处的零点和相关极点构成。该表达形式与式(3.77)不同，因为s处于表达式不同位置。所以式(3.105)称为倒极点表达式，下一节将对其书写格式进行详细讲解。
利用SPICE对电路图3.28进行仿真，将其仿真结果与Mathcad计算值进行对比，以检验计算值是否正确。SPICE仿真电路如图3.34所示，频率为1Hz时增益为-22.189dB，-3dB时极点频率为247Hz。高频渐近线增益通过方程式(3.90)进行计算。图3.35为Mathcad计算工作表，计算公式返回值和输出图形与SPICE仿真结果非常一致。
3.2.6EET实例6
第1章曾经对含有电感的1阶电路进行分析，并计算电路时间常数以及直流输入电阻表达式。在电路图3.36中，如果将电感L1设定为额外元件，可以利用式(3.52)或式(3.55)对传递函数进行计算。当设定L1短路时，更新之后的电路如图3.37所示。该电路为桥型结构，通过输入端子很难直接求得其阻抗R。首先将电阻R3作为额外元件，然后利用EET对电路进行求解。当电感L1无穷大时，可将其从电路中移除，如图3.38所示，此时利用EET并且采用式(3.52)求得输入阻抗为： 


Z|L1→∞=R2+R4‖(R3+R5)(3.108)





现在计算激励源为零时电感两端的电阻值。当求解两端点阻抗时，通常将激励信号设定为电流源。计算电路时间常数时通常将其设置为零，或将其从电路中移除。更新之后的电路如图3.39(a)所示，为便于读图，将其整理为图3.39(b)所示电路。计算结果如第1章所示，首先电阻R4和R5串联，之后与R3并联，最后再与R2和rL串联，所以总电阻Rd表达式为： 



β=100RC=10kΩrπ=1.2kΩRE=470ΩRf=150kΩC1=0.1μF

H1(s)=β·RCrπ+(β+1)·RE·1-rπβ+RE·1+1βRf1+RCRf·11+1c1·s·（RC+Rf）·(RE+rπ+RE·β)RC+RE+Rf+rπ+RC·β+RE·β

20·log［|H1（i·2π·1Hz）|·10］=-22.18920·log［|H1(i·2π·106Hz)|·10］=25.666

ωp=1C1·（RC+Rf）·(RE+rπ+RE·β)RC+RE+Rf+rπ+β·（RC+RE）fp=ωp2π=247.028Hz(RC+Rf)·(RE+rπ+RE·β)RC+RE+Rf+rπ+RC·β+RE·β=6.443kΩ

Hinf=β·RCrπ+(β+1)·RE·1-rπβ+RE1+1βRf1+RCRfH3(s)=-Hinf·11+ωps





图3.35Mathcad计算结果与SPICE仿真结果完全一致




图3.36利用电流源IT和输出响应VT计算1阶电路输入阻抗




图3.37当L1=0时桥路输入电阻计算非常复杂，

需将R3设定为额外元件并利用EET求解




图3.38当L1无穷大时等效为将其从电路中移除，

此时通过观察可直接求得输入电阻R




图3.39设置激励信号为零等效于移除电流源




Rd=rL+R2+(R5+R4)‖R3
(3.109)



当输出响应为零时计算电感两端的电阻值Rn。利用第2章所学知识，如果电流源两端电压为零，可利用导线将其替代。更新之后的电路如图3.40所示，经过整理可得电阻Rn为： 


Rn=rL+R5‖［(R2‖R4)+R3］
(3.110)


应用式(3.52)将最终传递函数整理为： 


Zin(s)=R2+R4‖(R3+R5)1+rL+R5‖［(R2‖R4)+R3］sL11+rL+R2+(R5+R4)‖R3sL1
(3.111)




图3.40电流源两端电压为零时等效为将其短路



图3.41为数值计算，输入阻抗曲线包含直流和高频两条渐近线。采用EET形式时主导项代表高频渐近线； 如果选择其他形式，则主导项可能表示直流增益。建立SPICE仿真电路对计算结果进行检验。如图3.42所示，仿真结果与Mathcad计算结果完全一致。

3.2.7倒置极点和零点
在式(3.67)中，传递函数表达式由静态增益H0以及单零点和单极点构成，其频率特性由零点和极点控制。当s=0时可直接计算其增益值。假如传递函数的零点为原点，当极点生效后其高频渐近线为H∞，则该类传递函数表达式为： 


H(s)=H∞sω11+sω1
(3.112)



rL=10ΩR2=10kΩR3=120ΩR4=1.2kΩR5=3.3kΩL1=1H‖(x,y)=x·yx+y



Zinf=R2+R4‖(R3+R5)=10.8883kΩRd=rL+R2+(R5+R4)‖R3=10.1269kΩ

Z1(s)=Zinf·1+Rns·L11+Rds·L1Rn=［(R2‖R4)+R3］‖R5+rL=885.3817Ω

ωz=RnL1ωp=RdL1Z2(s)=Zinf·1+ωzs1+ωps

fz=ωz2π=140.9129Hzfp=ωp2π=1.6117kHz



图3.41利用Mathcad工作表对最终公式进行计算




图3.42利用SPICE和Mathcad得到的计算结果和频率特性完全一致




传递函数(3.112)的幅度响应与图3.35相似。但是其表达式可通过分子和分母中分解s/ω1表达为其他形式。更新之后的表达式如下所示： 


H(s)=H∞sω1sω1·1ω1s+1=H∞11+ω1s
(3.113)


在式(3.113)中，当s无穷大时可立即得出H的幅度与渐近线H∞几乎一致。表达式分母中的1+ω1/s称为倒置极点，利用该极点形式能够让式(3.112)更加简洁、可读，并且满足低熵理论。
有时需要将原始表达式进行因式分解以匹配式(3.113)的简单性，并获得其低熵表达式。 利用EET能够直接得到式(3.113)的表达形式。接下来再次利用实例5的求解过程计算图3.43的传递函数表达式。
在图3.43(a)中电容与激励信号源相串联，并且定义电容为额外元件。式(3.52)和式(3.55)为EET的两种表达形式，选择能够确定低频或高频渐近线具体数值的定义式。如果将电容C1删除，如式(3.52)所示，则静态增益为零。然后选择式(3.55)计算Z=0时的增益值，具体电路如图3.43（b）所示，此时增益值为： 


H∞|Z→0=R2R1+R2
(3.114)





图3.43在该表达式中电容C1对直流进行阻塞，所以原点处存在零点


由图3.43（c）可得，当激励源设置为零时电容的驱动电阻为Rd，其值为： 


Rd=R1+R2
(3.115)


如图3.43（d）所示，当输出电压为零时电容的驱动电阻为Rn。当电阻R2中电流为零时输出电压也为零。只有当电容两端电阻无穷大时才能使测试电流IT为零，因此： 


Rn=VTITIT=0→0
(3.116)


根据式(3.55)，将传递函数整理为： 


H(s)=R2R1+R21+1/sC1∞1+1/sC1R1+R2=R2R1+R211+1sC1(R1+R2)=H∞11+ωps
(3.117)


其中


ωp=1C1(R1+R2)
(3.118)


式(3.117)为分母采用倒置极点表示的低熵表达式。
接下来分析倒置零点的表达形式。当计算图3.44（a）所示滤波器的传递函数时，可以利用压控电压源代替运算放大器，将其两输入之间的误差电压进行AOL倍增益放大。


图3.44将EET定理用于运算放大器电路分析


在表达式(3.119)中，将电容C1指定为额外元件，并且确定C1短路时的运放增益，具体如式(3.55)所示。此时电路更新为图3.44（b），利用叠加定理计算电路增益，具体步骤如下： 


ε|Vin=0=-VoutR1R1+R2(3.119)

ε|Vout=0=-VinR2R1+R2(3.120)


总误差电压为式(3.119)与式(3.120)之和，即： 


ε=ε|Vin=0+ε|Vout=0=-VoutR1R1+R2-VinR2R1+R2
(3.121)


误差电压ε为输出电压Vout与运算放大器开环增益AOL之商，即： 


VoutAOL=-VoutR1R1+R2-VinR2R1+R2(3.122)


将式(3.122)重新整理为电压增益定义式，即： 


VoutVinZ→0=-R2R1+R1+R2AOL
(3.123)


当激励源设置为零时，通过电路图3.44（c）计算时间常数。此时运算放大器的反相端电压通过式(3.124)可轻易求得： 


V(-)=-ITR1
(3.124)


因此电流源左端偏置电压为电阻R1和R2两端负电压之和： 


Vleft=-ITR1-ITR2=-IT(R1+R2)
(3.125)


电流源右端电压为： 


Vright=εAOL=(V(+)-V(-))AOL=ITR1AOL
(3.126)


于是


VT=Vright-Vleft=ITR1AOL+IT(R1+R2)
(3.127)


当激励源设置为零时，电容两端的电阻为： 


VTIT=Rd=R1(AOL+1)+R2
(3.128)


如图3.44（d）所示，通过空双注入法可得到传递函数零点值。当输出为零时误差电压ε同样也为零，所以电阻R2左端接地，电流源输出电流只流经该电阻，所以： 


VTIT=Rn=R2
(3.129)


利用式(3.55)将上述表达式进行组合，最终传递函数由式(3.123)、式(3.128)和式(3.129)构成，即： 


Vout(s)Vin(s)=-R2R1+R1+R2AOL1+1/sC1R21+1/sC1R1(AOL+1)+R2
=-R2R1+R1+R2AOL1+1sR2C11+1sC1［R1(AOL+1)+R2］
(3.130)


在式(3.130)中，如果运算放大器开环增益无穷大，分母表达式简化为1，此时式(3.130)变为： 


H(s)=H∞1+ωzs
(3.131)


其中H∞其定义为


H|∞=-R2R1
(3.132)


零点定义为


ωz=1R2C1
(3.133)


表达式(3.131)采用倒置零点形式对传递函数进行描述。


图3.45经典的零/极点波特图及其倒置响应曲线



图3.45为经典的极点/零点波特图及其倒置响应曲线。零点的幅度和相位交流响应相当于极点交流响应的垂直轴倒置。倒置极点(或零点)交流特性相当于极点(或零点)的幅度和相位响应关于对数横轴倒置。利用倒置零极点形式可对低熵表达式的高频渐近线(H∞)进行描述。
3.31阶系统广义传递函数
EET定理可应用于如下两种分析方式： 额外元件短路或开路。因为式(3.52)和式(3.55)完全表达相同的传递函数H： 


H|Z=∞1+ZnZ1+ZdZ=H|Z=01+ZZn1+ZZd
(3.134)


所以可将式(3.134)按照如下方式进行重新排列： 


1+ZnZ1+ZdZ=H|Z=0H|Z=∞1+ZZn1+ZZd
(3.135)


将增益比移至等式右侧得： 


1+ZnZ1+ZZd1+ZdZ1+ZZn=H|Z=0H|Z=∞
(3.136)


将式(3.136)右侧表达式进行简化，整理为： 


ZnZd=H|Z=0H|Z=∞
(3.137)


也可将式(3.137)表达为： 


Zn=H|Z=0H|Z=∞=Zd(3.138)


或者


Zd=H|Z=∞H|Z=0Zn
(3.139)


在式(3.139)中： 
（1） Z=0即额外元件短路： C和L由短路线代替。
（2） Z=1即额外元件开路： C和L从电路中移除。
利用上述定义，采用式(3.138)代替Zn对EET进行整理。将式(3.138)代入式(3.55)整理得： 


H|Z=H|Z=01+ZH|Z=0H|Z=∞Zd1+ZZd=H|Z=0+H|Z=0ZH|Z=0H|Z=∞Zd1+ZZd
=H|Z=0+H|Z=∞ZZd1+ZZd=H|Z=01+H|Z=∞H|Z=0ZZd1+ZZd
(3.140)


同样，将式(3.138)代入式(3.52)整理得： 


H|Z=H|Z=∞1+H|Z=0H|Z=∞ZdZ1+ZdZ=H|Z=∞+H|Z=∞H|Z=0H|Z=∞ZdZ1+ZdZ
=H|Z=∞+H|Z=0ZdZ1+ZdZ=H|Z=∞1+H|Z=0H|Z=∞ZdZ1+ZdZ

(3.141)

虽然式(3.140)和式(3.141)形式各异，但是完全等价。如果将式(3.140)中阻抗Z由电感L表征，则传递函数更新为： 


H（s）=H|Z=0+H|Z=∞sLZd1+sLZd
(3.142)


如果将式(3.142)分子中第一项设定为直流增益(Z=0即L短路)，将第二项设定为高频增益(L从电路中移除)，利用第2章定义的广义传递函数： 


H0=H|Z=0(3.143)

H1=H|Z→∞
(3.144)


按照式（3.143）和式（3.144）的定义将式(3.142)改写为： 


H（s）=H0+H1sLZd1+sLZd
(3.145)


式(3.145)的分子和分母中的L/Zd定义为电路时间常数τ1，最终表达式为： 


H（s）=H0+H1sτ11+sτ1
(3.146)


如果Z更换为电容C，则式(3.141)变成： 


H(s)=H|Z=∞+H|Z=0Zd1/sC1+Zd1/sC
(3.147)


如果将式(3.147)分子中第一项定义为直流增益(Z=∞即电容C从电路中移除或电容值为零)，将第二项定义为高频增益(即电容C短路或电容值无穷大)，采用如下符号表示： 


H0=H|ZZ=∞(3.148)

H1=H|Z→0(3.149)


采用式（3.148）和式（3.149）表示的符号，将式(3.147)重新整理为


H（s）=H0+H1sZdC1+sZdC
(3.150)


式(3.150)分母和分子中的ZdC定义为电路时间常数τ1，于是式(3.150)可重新整理为： 


H(s)=H0+H1sτ11+sτ1
(3.151)


式(3.151)和式(3.146)为相同表达式，适用于所有具有电感或电容的1阶电路。该广义1阶表达式与第2章中使用不同方法所得最终结果一致，两种方式均出自参考文献［5］。表达式中H0可取不同值： 如果零点位于原点处，则其值为0； 当s=0时其值可为增益或衰减值； 但是，如果电路在原点处存在极点，则其值可能为无穷大。然而在实际设计中，如3.3.5节实例5所示，该增益受运算放大器(或任何其他类型放大器)开环增益AOL限制。
3.3.1广义传递函数实例1

在图3.37中，当L1设置为零时电路转换为电阻电桥电路，


图3.46当电阻R3设置为0时电路

变成简单的串并联结构


接下来计算输入传递函数。利用EET对电路进行分析，同时对NDI技术进行实际练习。因为此时电路为纯电阻电路，无任何储能元件，所以应用式(3.140)中的广义传递函数定义式计算电路的传递函数。首先将电阻R3设置为0，此时更新之后的电路如图3.46所示，通过观察可得输入阻抗为： 


R|Z=0=rL‖R2+R5‖R4
(3.152)



接下来进行第二步计算，即从电路中移除电阻R3(R3设置为无穷大)时电路的输入电阻，更新之后的电路如图3.47所示。


图3.47当电阻R3设置为无穷大时电路变成其他串并联结构


此时无须计算，通过观察可直接得到输入阻抗为


R|Z=∞=(R2+R4)‖(rL+R5)(3.153)




图3.48第三步设置时计算R3

端口电阻值的简化图


最后一步计算激励源设置为零时电阻R3两端电阻值。对于电流源，将其参数值设置为0A等效于将其从电路中移除，此时电路如图3.48所示。
通过观察图3.48可直接得到R3两端电阻值为： 


Zd=(rL+R2)‖(R5+R4)(3.154)


此时计算图3.37输入阻抗的所有因素均已求得，利用式(3.140)可得： 




Rin=R|Z=01+R|Z=∞R|Z=0ZZd1+ZZd

=(rL‖R2+R5‖R4)1+(R2+R4)‖(rL+R5)rL‖R2+R5‖R4R3(rL+R2)‖(R5+R4)1+R3(rL+R2)‖(R5+R4)
(3.155)


参考文献［4］利用EET和NDI整理得到不同表达式： 


Rin=(R2+R4)‖(rL+R5)1+R2‖R4+rL‖R5R31+(R2+rL)‖(R4+R5)R3
(3.156)



其实式（3.155）和式（3.156）完全等价。第2章已经对广义传递函数和EET所得结果进行对比，所以该实例分析结论合理： 广义传递函数无须利用空双注入法对电路进行配置，可在该特定设置下直接利用三步法得到最终表达式。通过式(3.156)可以看出，输入电阻表达式排列有序，但是系数相对比较复杂。当利用另一方法——EET与NDI相结合计算输入电阻时，所得表达式相对简单，因为输出为零时测试信号源短路。
当L1=0时的输入阻抗表达式已经得到，接下来继续利用式(3.109)和式(3.110)以及EET第二种表达式(3.55)将图3.36的输入阻抗定义为： 


Zin(s)=Rin1+sL1rL+R5‖［(R2‖R4)+R3］1+sL1rL+R2+(R5+R4)‖R3
(3.157)


表达式(3.111)和(3.157)本质相同，但书写形式不同。在图3.49中，利用Mathcad对计算结果进行对比，并绘制输入阻抗的交流频率特性曲线。


rL=10ΩR2=10kΩR3=120ΩR4=1.2kΩR5=3.3kΩL1=1H‖(x,y)=x·yx+y



Zinf=R2+R4‖(R3+R5)=10.8883kΩRd=rL+R2+(R5+R4)‖R3=10.1269kΩ

Rn=［(R2‖R4)+R3］‖R5+rL=885.3817Ω

R0a=(rL‖R2+R5‖R4)·1+（R2+R4）‖(rL+R5)(rL‖R2+R5‖R4)·R3（rL+R2）‖(R4+R5)1+R3(rL+R2)‖(R4+R5)=951.9525Ω

R0b=［(R2+R4)‖(rL+R5)］·1+rL‖R5+R2‖R4R31+(R2+rL)‖(R4+R5)R3=951.9525Ω

Z3(s)=R0a1+s·L1Rn1+s·L1RdZ1(s)=Zinf·1+Rns·L11+Rds·L1



图3.49利用额外元件定理和广义1阶传递函数所得结果一致



3.3.2广义传递函数实例2
图3.50为双极性晶体管电路，其集电极为输出端Vout。该电路对节点Vin电压进行监测，当齐纳二极管开始导通时双极性晶体管Q1正向偏置，Vout下立即降。该经典结构通常用于开关电源初级稳压电路中，并且Vout与所选集成控制器的反馈引脚相连接。Vin为初级侧整流辅助电源Vcc。接下来首先对图3.51中小信号等效电路进行分析。


图3.50简单双极性晶体管放大电路通常用于开关电源初级稳压





图3.51图3.50所示电路的小信号模型


本电路实例将EET理论推广至电容C(或电感L)。由于此时电路包含单一储能元件，所以该电路为1阶电路。在图3.51中，如果将电容Cf短路，输出响应Vout是否依然存在？此时电路与图3.29（a）所研究电路相似： 存在与Cf相关的零点。具有极点、零点和低频渐近线的1阶传递函数可表示为： 


H（s）=H01+sτ11+sτ2
(3.158)


实际上，式(3.52)中的Zn和Zd分别代表驱动阻抗Rn和Rd。Rn在NDI条件下确定，而Rd则在激励源为零时获得。电容阻抗Z=1/sC(电感阻抗Z=sL)。在定义式(3.158)中，时间常数τ1由电容Cf和驱动电阻Rn决定； 时间常数τ2为激励源设置为零时通过电阻Rd计算所得。首先计算电路直流增益H0，修改之后的电路如图3.52所示，此时输出电压定义为： 


Vout=-βibRC
(3.159)





图3.52直流分析时将电容Cf去除


基极电流通过电流源流入，定义式为： 


ib=VinR2rd+R1+R2-Vb(rd+R1)‖R2
(3.160)


基极电压为电阻rπ两端压降与发射极电压v(e)之和，即： 


Vb=rπib+v(e)=ib(rπ+(β+1)RE)
(3.161)


将式(3.161)代入式(3.160)，解得ib为： 


ib=Vin(R1+rd)［rπ+RE(β+1)］(R1+R2+rd)R2(R1+rd)+1
(3.162)


将式(3.162)中的ib定义式代入式(3.159)中，整理得直流传递函数为： 


H0=-βRC(R1+rd)［rπ+RE(β+1)］(R1+R2+rd)R2(R1+rd)+1
(3.163)


为获得阻抗Rn，需绘制NDI条件时的电路原理图，具体如图3.53所示。因为原理图3.29（d）中的电阻值已经计算得到，所以此处可直接使用。在电路中，测试电压VT直接与三极管基极相连接。该电压不仅与Vin无关，也不受电阻rd、R1和R2影响。图3.53的NDI分析结果如下所示，除串联电阻Rf外，Rn表达式与式(3.89)相似： 


Rn=VTIT=-rπβ+RE1+1β+Rf
(3.164)




图3.53当电路设置为NDI时输出电压应为零



应当注意，当无电阻Rf时,Rn为负值，当Rf满足如下条件时Rn为正数： 


Rf>rπβ+RE1+1β
(3.165)





分子时间常数τ1定义式为： 


τ1=CfRf-rπβ-RE1+1β
(3.166)



如图3.54所示，当激励源设置为零时计算电路时间常数。


图3.54当激励源设置为零时计算时间常数


首先在去除电阻Rf的情况下计算阻抗Rd，最后再将Rf与计算结果相加。上述技术为串联电路快速分析的经典技术，同样适用于并联电路。虽然电路中不包含输入电压，但当电流在输入电阻网络rd、R1和R2中循环流通时产生电压降v(b)，即： 


v(b)=Req(IT-ib)
(3.167)


其中


Req=(R1+rd)‖R2
(3.168)


因为rπ和RE之间电压相同，所以： 


v(b)=ibrπ+(β+1)ibRE=ib［rπ+(β+1)RE］
(3.169)


因为式(3.167)和式(3.169)相同，所以解得ib为： 


ib=kIT
(3.170)


其中


k=1rπ+(β+1)RE(R1+rd)‖R2+1
(3.171)


节点c处的电压为电流与电阻RC之积，即： 


v(c)=-RC(IT+βib)
(3.172)


所以阻抗定义式为： 


R=VTIT=v(b)-v(c)IT=Req(IT-k·IT)+RC(IT+k·ITβ)IT

=Req(1-k)+RC(1+kβ)
(3.173)


电阻Rd的最终表达式为： 


Rd=R+Rf
(3.174)


将Req和k采用其实际值代替，则第二时间常数τ2定义如下： 


τ2=Cf［(R1+rd)‖R2］1-1rπ+(β+1)RE(R1+rd)‖R2+1+RC1+1rπ+(β+1)RE(R1+rd)‖R2+1β+Rf
(3.175)



电路最终传递函数由式(3.163)、式(3.166)和式(3.175)组合而成，即： 


H（s）=H01+sωz1+sωp
(3.176)


其中直流增益定义为： 


H0=-βRC(R1+rd)［rπ+RE(β+1)］(R1+R2+rd)R2(R1+rd)+1
(3.177)


零点为


ωz=1CfRf-rπβ-RE1+1β
(3.178)


极点为


ωp=1Cf［(R1+rd)‖R2］1-1rπ+(β+1)RE(R1+rd)‖R2+1+RC1+1rπ+(β+1)RE(R1+rd)‖R2+1β+Rf
(3.179)



为了对上述复杂结果进行检验，利用Mathcad(见图3.55)对表达式进行计算，并将结果与SPICE仿真进行比较(见图3.56)，两者完全一致。


rd=150ΩRC=10kΩRE=1200Ωrπ=1kΩRf=2.2kΩCf=22nF

‖(x,y)=x·yx+yβ=150R1=470ΩR2=1kΩ



H0=-β·RC（R1+rd）·［rπ+RE·（β+1）］·(R1+R2+rd)R2·(R1+rd)+1=-5.07127condition for RHPZ or LHPZ

Rn=Rf-rπβ-RE·1+1β=985.33333Ωτ1=Cf·Rn=21.67733·μsrπβ+RE·1+1β=1.21467·kΩ

Rd=［（rd+R1）‖R2］·1-1RE+rπ+RE·β(rd+R1)‖R2+1+RC·
1+1RE+rπ+RE·β(rd+R1)‖R2+1·β+Rf=15.7261·kΩ

τ2=Cf·Rd=345.9742·μs

ωz=1τ1fz=ωz2π=7.342·kHzωp=1τ2fp=ωp2π=460.01968·HzH1(s)=H0·1+s·τ11+s·τ2


图3.55直流平坦、低频极点和高频零点


由表达式(3.165)可知，阻抗Rn的符号依赖于串联阻抗Rf。如果Rf被束缚，则式(3.178)中零点可能分布于s域的右半平面。与零点相位超前不同，右半平面零点产生相位滞后。如果Rf(Rf=1.2147kΩ)将零点完全抵消，则传递函数成为单极点形式，其最大滞后相位为90°。 最后，当Rf数值大于1.2147kΩ时极点/零点响应曲线如图3.56所示。图3.57为Rf取三种不同数值时传递函数响应特性总结。





图3.57通过改变射极电阻值Rf得到传递函数不同响应



3.3.3广义传递函数实例3

图3.58为运算放大器构成的反相放大电路，其中电容将反馈电阻中点连接至地。利用广义1阶传递函数计算该放大电路的传递函数。首先，如图3.59所示，将电容C1移除后计算电路的直流增益。因为运算放大器的开环增益为AOL，所以误差电压ε不为零。



图3.58由运算放大器及电阻和电容构成的1阶有源滤波器





图3.59去除电容C1之后的运放电路成为典型反相放大电路



图3.59所示电路的传递函数已经在第2章的习题10中进行详细计算。直流增益为： 



H0=-R2+R3R11R2+R3R1+1AOL+1

(3.180)



接下来计算电容C1短路时的电路增益，此时电路如图3.60所示。因为电阻R3等效为运算放大器的输出负载(运算放大器输出阻抗为0Ω)时，所以可将R3从电路中直接去除。


图3.60短路电容C1计算高频增益H1



于是： 


Vout=AOLε
(3.181)


此时运算放大器不再处于闭环状态，并且虚地效应不复存在。输入引脚之间电压由简单电阻分压器提供，即： 


ε=-R2R1+R2Vin
(3.182)



将式(3.182)代入式(3.181)中，整理得高频增益为： 


H1=-R2R1+R2AOL
(3.183)


接下来计算电路时间常数。首先将激励源设置为0V，电路如图3.61所示。直觉观察很难得到等效输入电阻，利用电流源对运放输入端进行激励，通过计算其两端电压求得输入电阻，具体如图3.62所示。应当注意，为使电流转换更加方便，特意将ε反相，从而输出电压εAOL也反相。



图3.61将激励电压源设置为0V以求得电路时间常数





图3.62计算激励电流源IT两端的电压表达式VT


首先定义电流I1： 


I1=εR1
(3.184)


其值也等于


I1=VT-εR2
(3.185)


令式（3.184）等于式（3.185）相等，求解ε为： 


ε=VTR1R1+R2
(3.186)


测试电流IT为I1和I2之和： 


IT=I1+I2=εR1+VT+εAOLR3
(3.187)


将式(3.186)代入式(3.187)中，整理得测试电流IT关于VT的函数，即： 


IT=VT1R1+R2+1+R1R1+R2AOLR3
(3.188)


于是阻抗的最终计算定义为： 


R=VTIT=11R1+R2+1+R1R1+R2AOLR3
(3.189)


重新整理式(3.189)，求得与电容C1相关的电路时间常数为： 


τ1=C1R3(R1+R2)R1+R2+R3+AOLR1
(3.190)


于是电路的最终传递函数为： 


Vout(s)Vin(s)=H01+H1H0sτ11+sτ1=H01+sωz1+sωp
(3.191)


其中


H0=-R2+R3R11R2+R3R1+1AOL+1(3.192)

ωz=H0H1τ1=-R2+R3R11R2+R3R1+1AOL+1-R2R1+R2AOLC1R3(R1+R2)R1+R2+R3+AOLR1
(3.193)


将上述等式简化，求得零点为： 


ωz=1C1(R2‖R3)
(3.194)


极点为： 


ωp=1C1R3(R1+R2)R1+R2+R3+AOLR1
(3.195)


利用Mathcad对上述等式进行计算，结果如图3.63所示。然后利用SPICE仿真程序对计算结果进行对比验证。SPICE仿真电路如图3.64所示，通过直流工作点仿真数据验证Mathcad计算结果正确。本实例特意将运算放大器开环增益设置为较低值(100或40dB)，以观察其对计算结果的影响。
子电路X1由极点、零点和增益构成。传递参数由B4和B5计算，然后将其交流响应(Vout2)与E2构建的原始电路输出响应Vout进行比较。仿真波形如图3.64所示，电路响应完全一致。
R1=12kΩR3=10kΩR2=22kΩC1=22nFAOL=100

‖(x,y)=x·yx+y



H0=-R2+R3R1·1R2+R3R1+1AOL+1=-2.57235H1=-R2R1+R2·AOL=-64.70588

Rd=R3·（R1+R2）R1+R2+R3+AOL·R1=273.3119Ωτ1=C1·RdH2(s)=H0·1+H1H0·s·τ11+s·τ1

ωz=H0H1·τ1=6.61157×1031s
fz=ωz2π=1.05226kHzωp=1τ1=1.6631×1051s

fp=ωp2π=26.46908kHz
1C1·（R2‖R3）=6.61157×1031s




图3.63利用Mathcad绘制波特图以便与SPICE进行对比



3.3.4广义传递函数实例4

图3.65为电路实例4的电路图，该电路以运算放大器为核心，并且运放的增益设置为无穷大。首先计算电容从电路中移除后电路的直流增益，此时相应电路如图3.66所示。 利用图右侧等效电路，通过应用叠加定理计算直流增益。当R1左端接地时电路成为同相放大器，输出Vout1受增益Ha影响，该增益计算公式为： 


Ha=R2R1+1
(3.196)



当R3左端接地时电路成为反相放大器，其第二增益Hb的计算公式为： 


Hb=-R2R1
(3.197)


最终增益为Ha与Hb之和，即： 


H0=-R2R1+R2R1+1=1
(3.198)


接下来计算电容C1无穷大时的电路增益，如图3.67所示。
此时电路为简单反相放大器，其增益与式(3.196)相似，计算公式为： 


H1=-R2R1
(3.199)





图3.65运放滤波器由三个电阻和一个电容构成，为1阶系统





图3.66使用叠加定理可快速求得直流增益




图3.67当C1由短路线代替时可直接求得电路增益





图3.68R3为电容驱动电阻



如图3.68所示，将激励电压源设置为0V，然后计算电路的时间常数。在该模式下，由于运放同相引脚的输入电阻无穷大，所以连接器两端的唯一电阻为R3，此时电路的时间常数为： 

τ1=R3C1
(3.200)


则最终传递函数为： 


H（s）=H01+H1H0sτ11+sτ1=1-sR2R1R3C11+sR3C1=1-sωz1+sωp
(3.201)


其中


ωz=R1R2R3C1(3.202)

ωp=1R3C1(3.203)




与式(3.201)相同，该电路具有右半平面零点。与90°极点滞后相关，该电路总滞后将达180°。图3.69和图3.70分别为Mathcad和SPICE计算结果，通过对比可得两结果完全一致。


R1=1kΩR2=4.7kΩR3=10kΩC1=0.1μF



H0=1τ1=R3·C1H1=-R2R1=-4.7H10(s)=H0·1+H1H0·s·τ11+s·τ1

ωp=1τ1=1×1031sfp=ωp2π=159.155Hzωz=-H0H1·τ1=212.7661sfz=ωz2π=33.863Hz




图3.69利用Mathcad绘制频率特性曲线以便与SPICE进行对比



3.3.5广义传递函数实例5

最后实例电路如图3.71所示，应用广义传递函数公式计算简单积分电路的传递函数。当电容C1从电路中移除时计算直流增益H0，电路如图3.72所示。 
此时直流增益简化为： 


图3.70利用SPICE软件对计算过程和最终传递函数进行验证




图3.71由开环增益为AOL的运算

放大器构成的简单积分器





图3.72当s=0时电容从电路中移除




H0=-AOL
(3.204)


然后将激励电压源设置为0V，并在电容C1两端增加电流源IT，具体电路如图3.73所示。 此时电流源两端电压为： 


VT=R1IT-Vout
(3.205)


运放输出电压计算公式为： 


Vout=ε·AOL
(3.206)



其中


ε=-R1IT
(3.207)


将式(3.207)代入式(3.206)整理得： 


Vout=-R1ITAOL
(3.208)


将式(3.208)代入式(3.205)得： 


VT=ITR1+R1ITAOL=ITR1(1+AOL)
(3.209)


电容C1的驱动电阻计算公式为： 


R=VTIT=R1(1+AOL)
(3.210)


因此时间常数τ1为： 


τ1=C1R1(1+AOL)
(3.211)


如图3.74所示，高频时电容C1短路，输出响应为0V，所以： 


H1=0(3.212)




图3.73利用电流源计算激励为零时电容C1的驱动电阻




图3.74C1短路时传递函数为0



应用广义传递函数表达式整理得： 


H(s)=H0+H1sτ11+sτ1=-AOL1+sR1C1(1+AOL)=-AOL1+sωp
(3.213)


其中低频极点为： 


ωp=1R1C1(1+AOL)
(3.214)


提取因数AOL整理得： 


H(s)=-AOLAOL11AOL+sR1C11+AOLAOL=-
11AOL+sR1C11+AOLAOL
(3.215)


当AOL非常大时,式(3.215)简化为： 


H(s)=-1sR1C1=-1sωpo
(3.216)


其中


ωpo=1R1C1
(3.217)


ωpo定义为0dB穿越极点，即增益为0dB时的频率值。图3.75为两传递函数的动态响应曲线。H2代表式(3.213)，用于计算低频极点，并且该极点依赖于AOL； H3用于计算AOL无穷大时的0dB穿越频率，即1.6kHz。

R1=10kΩC1=10nFAOL=10000



H0=-AOLH1=0

Rd=R1·(1+AOL)τ1=C1·Rdωp=1τ1=0.99991sfp=ωp2π=0.15914Hz

H2(s)=H0+H1·s·τ11+s·τ1H3(s)=1sωpoωpo=1R1·C1fpo=ωpo2π=1.59155kHz




图3.75直流时积分器的输出响应受运算放大器开环增益(80dB)限制



3.4深入阅读
本章以额外元件定理及其应用实例5作为结束。鼓励读者通过网站或专业书籍深入阅读其他论文及相关资料。除Middlebrook博士已经发表的基础论文［3］外，读者还可访问文献［6］的网址，其中包含Middlebrook博士讲授的关于面向设计分析的大部分演讲和讨论。本书主要对EET进行分析和讲解，并且以设计实例和创新思维贯穿始终。在学习全书过程中，文献［4］不容忽略，该文献对EET定理进行详细推导和具体实例分析——从简单1阶电路至结构复杂的电路网络。文献［5］另辟蹊径，创建异于NDI的不同电路分析方法。无论利用NDI技术求得最简分子表达式，还是首先整理得到广义传递函数表达式然后再对分子进行简化，完全由读者自行选择。两表达式结果相似，但是广义传递函数有时需要处理复杂的H1增益表达式，所以最终结果可能比较繁琐。文献［7］详细讲解利用EET和电路快速分析技术如何求解电路方程。文献［8］为比利时某大学的网站，该作者通过计算机仿真(例如Cadence)对Middlebrook博士(EET以及通用反馈定理)的各种定理进行验证。该网站还提供大量资料和网络链接。文献［9］为雅虎网址，设计师与该领域专家关于FACT进行互动讨论。最后，文献［10］并未对EET进行直接讨论，而是利用通用反馈定理（General Feedback Theorem,GFT）对环路技术进行分析，并且该文献包含大量实用信息。
尽管文字讲解和实例分析应有尽有，但实际练习必不可少： 读者必须投入时间和精力利用EET及其不同表达形式对电路进行求解，以使技术炉火纯青。当输出为零或者计算特定时间常数时，可利用SPICE仿真技术对错误出处和电流方向进行判断。仿真技术对于查找电路设计时遗留的缺陷功不可没。
本章已介绍如何求解1阶电路，接下来的第4章将具体分析如何求解2阶网络。在阅读第4章之前，读者务必独立完成本章课后习题。
3.5本章重点
第3章对电路快速分析技术核心——EET技术进行深入探讨，并将其应用于实例分析。 以下为本章内容总结： 
（1）  分析具有多个独立源的线性电路时，首先分别计算每个独立源单独作用于电路时的输出响应(电流或电压)，最后求得各个响应代数和。电压源关闭或设置为0V时由短路线代替，电流源设置为0A时等效为电源开路。
（2）  上述已经对单输出(响应)和多输入(激励)系统进行定义。总输出为某时刻仅有唯一激励源时电路输出响应之和。额外元件定理(EET)由叠加定理推导而来，最初用于分析双输出、双输入系统。与叠加定理不同，双输入信号可同时对电路进行激励，以产生双输出信号。当输入信号合理组合时，可使得两输出信号其中一路为零，即输出为0V或0A，此状态称为空双注入。
（3）  应用EET进行电路分析时，首先将电路结构复杂化的元件标识为额外元件。然后根据EET表达式格式，确定额外元件从电路中物理移除或短路。通常根据电路的简化程度选择额外元件的移除或短路状态。最后根据所选EET表达式在各个状态下计算电路传递函数。
（4）  如果传递函数存在零点，将零点置于分子中，并将储能元件与电阻Rn相关联。利用NDI对电路进行分析时，变量Rn为储能元件的端口电阻： 保持输入信号有效，当输出响应为零时计算给定端口的电阻值。
（5）  计算传递函数极点时，将激励源设置为零，然后计算储能元件端口的驱动电阻Rd。该电阻与储能元件共同决定电路时间常数τ。
（6）  利用EET可将广义1阶传递函数表达为不同形式。在上述表达式中，无须利用NDI计算Rn，但是必须求出直流增益H0和高频增益H1。将两增益与电路时间常数τ组合，构成传递函数的分子表达式。电阻Rd的计算方法与之前一致，无须利用NDI技术可直接求得，但所得结果与EET相比将会更加复杂。最终选择何种计算方法完全由读者决定。
（7）  EET可应用于各种电路，例如无源电路、双极性晶体管或运算放大器电路。EET同样适用于有源电路，但是当电路中含有受控源时计算Rn和Rd将变得复杂。
（8） 利用SPICE电路仿真技术能够对手工或数学计算器所得结果进行验证。当激励源为零时，利用简单的直流电流源对储能元件端口进行激励，通过SPICE电路仿真可直接求得电阻Rd； 同样可以利用NDI技术，通过跨导放大器对储能元件端口进行偏置，当输出为零时求解电阻Rn。
（9）  图3.76对EET的各种表达式形式及其传递函数分子(零点)和分母(极点)中时间常数的构成形式进行总结。图3.77未使用NDI技术对广义1阶传递函数表达式进行定义。


额外元件定理为

A： 激励与响应之间的传递函数

Z： 额外元件

Zn： 激励作用下输出响应为零时额外元件端口的阻抗

Zd： 激励为零时额外元件端口的阻抗


A|Z=A|Z=∞1+ZnZ1+ZdZA|Z=A|Z=01+ZZn1+ZZd


（1） 当Z移除时计算A（1） 当Z短路时计算A

（2） 当响应为时计算Zn（2） 当响应为时计算Zn

（3） 当激励为时计算Zd（3） 当激励为时计算Zd

如果Z为电容C或电感L，则

Rn： 激励作用下输出响应为零时C或L端口的电阻

Rd： 激励为零时C或L端口的电阻

当直流增益H0存在时： 


Z=1sC

τ1=RnC

τ2=RdCH(s)=H01+sτ11+sτ2=H01+sωz11+sωp1Z=sL

τ1=LRn

τ2=LRd



如果增益存在，当s=∞时有： 

H（s）=H∞1+1sτ11+1sτ2=H∞1+ωz1s1+ωp1s




图3.76EET及1阶传递函数总结







广义1阶传递函数

A： 激励与响应之间的传递函数

A0： 对电路进行直流分析时(s=0)的传递函数

A1： 当频率无限大时(s→∞)电路的传递函数

τ1： 与储能元件相关联的时间常数


A(s)=A0+A1sτ11+sτ1A1中右上角标1与高频状态τ1相关


（1） 当C或L移除时计算A0

（2） 激励为零时计算储能元件端口的电阻

（3） 计算时间常数τ1=RC或 τ1=L/R

（4）  当电容C短路或电感L移除时计算传递函数A1

（5）  如果存在A0(不同于0)，在传递函数的分子中提取因式A0


A(s)=A01+A1A0sτ11+sτ1A0对应储能元件工作于直流状态





图3.77广义1阶传递函数总结



3.6附录3A——习题
3.6.1习题内容

1. 习题1
如图3.78所示，计算电路网络的输出阻抗。
2. 习题2
如图3.79所示，计算电路网络的输出导纳。


图3.78习题1图




图3.79习题2图


3. 习题3
如图3.80所示，计算电路网络的输入阻抗。
4. 习题4
如图3.81所示，利用无NDI的1阶广义传递函数计算电路网络的输入阻抗，并与利用NDI获得的计算结果进行对比。


图3.80习题3图




图3.81习题4图


5. 习题5
如图3.82所示，计算电路网络的输出阻抗。
6. 习题6
如图3.83所示，计算电路网络的传递函数。


图3.82习题5图





图3.83习题6图


7. 习题7
如图3.84所示，计算运算放大器开环增益无穷大时电路的传递函数。
8. 习题8
如图3.85所示，计算电路网络的输出阻抗。


图3.84习题7图




图3.85习题8图


9. 习题9
如图3.86所示，计算电路的传递函数。


图3.86习题9图


10. 习题10
如图3.87所示，计算电路的传递函数。


图3.87习题10图


3.6.2习题答案
1. 习题1




将电路网络重新整理为图3.88所示，其中电流源IT为驱动信号，电压VT为响应信号。该电路包含一个储能元件，所以为1阶系统。


图3.88激励信号为IT,响应为VT


那么电路是否含有零点呢？如果电容C的容值无穷大或者短路，输出电压VT是否依然存在？答案是肯定的，因为存在与电容C相关联的零点。电路传递函数形式如下： 


Zout(s)=R01+sτ11+sτ2
(3.218)



当电容C从电路移除时直流电阻R0为： 


R0=R2‖R1
(3.219)


在图3.88中，当利用IT驱动电路时，阻抗如何变化才能使得响应电压VT为零？如果电阻R2两端短路，则响应为零。当角频率为sz时，电容C与rC构成的串联阻抗为零，此时R2两端短路，即： 


rC+1sC=1+srCCsC=0
(3.220)


解得


sz=-1rCC
(3.221)


或


ωz=1rCC
(3.222)


如图3.89所示，当输出为零时计算电路等效阻抗。由于电流源两端电压为零与电源短路相似，所以电阻rC上端接地。因此电容两端电阻为rC，零点时间常数简化为： 


τ1=rCC
(3.223)


当激励源设置为零时计算电路时间常数。由于电路中包含电流源，将其设置为零等效为开路，此时电路如图3.90所示，电容两端电阻简化为： 


R=rC+R1‖R2
(3.224)




图3.89电流源两端电压为零等效为电源短路




图3.90激励源设置为零等效为移除电流源


时间常数τ2计算公式为： 


τ2=(rC+R1‖R2)C
(3.225)


输出阻抗表达式为： 


Zout(s)=R01+sωz1+sωp
(3.226)


其中


R0=R2‖R1(3.227)

ωz=1rCC(3.228)

ωp=1(rC+R1‖R2)C(3.229)



2. 习题2
采用图3.91所示的电压源驱动电路网络，通过测试响应电流计算输入导纳，求解导纳表达式的方法有许多种。首先利用EET计算导纳，短路电感，具体公式如下： 


Y|L=0=1R1+rL‖R2
(3.230)




当响应为零时，计算电感L的驱动电阻Rn，即电流IT为零0时电感两端的电阻值。电路如图3.92所示，此时电阻R1与电路断开，所以Rn的计算公式为。


Rn=rL+R2
(3.231)


不利用NDI技术也能求得零点值。如果当角频率为sk(零点)时电流为0，则阻抗定义为： 


Z=R1+(rL+skL)‖R2
(3.232)




图3.91利用电压源驱动电路网络计算导纳




图3.92响应电流i1为零： 电流IT全部通过rL和R2


因为式(3.232)的阻抗无穷大，所以： 


skL+rL+R2=0
(3.233)


解得


sk=-rL+R2L
(3.234)




图3.93设计激励源为零，

即短路电压源



当激励源设置为0V时计算电感的时间常数值。如图3.93所示，电压源已经短路，可立即得到电阻Rd的计算公式： 


Rd=rL+R1‖R2
(3.235)




按照公式(3.55)将传递函数整理如下： 


Y|Z=Y|Z=01+sLRn1+sLRd=1R1+rL‖R21+sLrL+R21+sLrL+R1‖R2
(3.236)



式(3.236)与如下形式相符： 


Y(s)=Y01+sωz1+sωp
(3.237)


其中


Y0=1R1+rL‖R2(3.238)

ωz=rL+R2L(3.239)

ωp=rL+R1‖R2L(3.240)


利用数学软件Mathcad和电路仿真软件SPICE对计算数据进行验证，分别如图3.94和图3.95所示，两软件输出结果完全一致。


R1=1kΩR2=3kΩrL=22ΩL=1H‖(x,y)=x·yx+y



Y0=1R1+rL‖R2=9.786×10-4S20·logY0S=-60.188

Rn=rL+R2=3.022kΩRd=rL+R1‖R2=772Ω

ωp=RdL=7721sfp=ωp2π=122.868Hzωz=RnL=3.022×1031sfz=ωz2π=480.966Hz

Y(s)=Y0·1+s·LRn1+s·LRd





图3.94利用Mathcad快速绘制导纳的幅频和相频曲线


3. 习题3
如图3.96所示，计算输入阻抗时利用电流源对电路网络连接端口进行驱动。那么该传递函数中是否存在零点呢？将电容C1短路，测试电流源两端是否依然存在电压？由图3.96可得电压依然存在，所有该电路具有与C1相关联的零点。
电路传递函数形式如下： 


Zin(s)=R01+sτ11+sτ2
(3.241)


当电容C1移除时可直接得到端口的直流电阻R0： 


R0=R1+R2
(3.242)


当响应为零时，通过计算电容端口电阻求得第一时间常数τ1，具体电路如图3.97所示。因为电流源电压为零等效为短路，所以响应为零(VT=0)即R1左端电压为0V。 

于是： 


IT=i^1+i^2
(3.243)


当输出电压为零时VT与电阻R1和R2连接，所以： 


i^1=VTR2(3.244)

i^2=VTR1
(3.245)


将式(3.244)和式（3.245）代入式(3.243)中得： 



图3.96利用电流源对网络阻抗进行驱动，

输出响应为端口电压




图3.97输出电压为零表明第一个

电流源两端电压为0V




IT=VT1R1+1R2
(3.246)


重新整理得： 


Rn=11R1+1R2=R1‖R2
(3.247)


不必通过KCL计算，从图3.97可直接得出R1左端接地，电阻R1和R2并联。SPICE仿真电路如图3.98所示，10kΩ和1kΩ电阻的并联值由B1计算并显示，具体值为909Ω。本例将电流源I1任意设置为1A，也可以设置为其他任何值，但B1的计算结果将仍然相同。


图3.98利用SPICE验证R1和R2并联


于是时间常数τ1的定义式为： 


τ1=C1(R1‖R2)
(3.248)


第二时间常数： 将激励源设置为0——电流源从电路中移除——直接可得电容两端电阻。 由于R2从电路中断开，所以电容两端电阻即为R1，于是第二时间常数计算公式为： 


τ2=R1C1
(3.249)


根据式(3.241)整理得最终传递函数： 


Zin(s)=(R1+R2)1+sC1(R1‖R2)1+sR1C1=R01+sωz1+sωp
(3.250)


其中


R0=R1+R2(3.251)

ωz=1(R1‖R2)C1(3.252)

ωp=1R1C1(3.253)


交流响应曲线如图3.99所示。


R1=10kΩR2=1kΩC1=100nF‖(x,y)=x·yx+y



R0=R1+R2=11kΩ20·logR0Ω=80.828dBohm

Rn=R1‖R2=909.091ΩRd=R1=10kΩ

ωp=1Rd·C1=1×1031sfp=ωp2π=159.155Hzωz=1Rn·C1=1.1×1041sfz=ωz2π=1.751×103Hz

Z（s）=R0·1+s·C1·Rn1+s·C1·Rd




图3.99通过交流响应曲线对式(3.250)中的极点和零点进行验证



4. 习题4



图3.100计算输入阻抗时采用电流源作为

驱动信号、端口电压作为输出响应



如图3.100所示，计算输入阻抗时利用电流源对电路网络连接端口进行驱动。那么该传递函数中是否存在零点呢？将电容C1短路，测试电流源两端是否依然存在电压？由图3.100可得电压依然存在，所有该电路具有与C1相关联的零点。接下来首先计算电容C1移除时电路的直流输入电阻，具体电路如图3.101所示。

在图3.101所示电路中，电阻R1与R3、R4之和并联，然后再与电阻R2串联构成电阻R0： 


R0=R1‖(R3+R4)+R2(3.254)


在图3.102所示电路中，首先将电流源设置为0A，然后计算电容端口的电阻值，进而求得电路的时间常数值。通过分析得，电阻R3和R1串联之后再与R4并联，最后再和R2串联，则Rd为： 


Rd=(R1+R3)‖R4+R2(3.255)




图3.101计算直流电阻电路图




图3.102当电容移除并且激励电流源设置为

0时的时间常数计算电路


因此时间常数τ2为： 


τ2=［(R1+R3)‖R4+R2］C1
(3.256)


为得到传递函数的分子表达式，将C1设置为无穷大或者短路，具体如图3.103（a）所示。为了快速得到阻抗值，特将电路图简化为图3.103（b）所示，此时阻抗计算公式为： 


R1=R3‖(R1+R4‖R2)
(3.257)




图3.103当电容C1无穷大时，电阻R3和R4中点与输入地端短路



最终输入阻抗计算公式为： 


Zin(s)=R01+sR1R0τ21+sτ2

=(R1‖(R3+R4)+R2)1+sR3‖(R1+R4‖R2)R1‖(R3+R4)+R2［(R1+R3)‖R4+R2］C11+s［(R1+R3)‖R4+R2］C1

(3.258)


将式(3.258)简化为： 


Zin(s)=R01+sωz1+sωp
(3.259)


其中


R0=R1‖(R3+R4)+R2
(3.260)


零点计算公式为： 


ωz=R0τ2R1=R1‖(R3+R4)+R2［R3‖(R1+R4‖R2)］［(R1+R3)‖R4+R2］C1
(3.261)


最终极点计算公式为


ωp=1τ2=1［(R1+R3)‖R4+R2］C1
(3.262)



通过上述计算可得，未采用NDI技术得到的传递函数零点表达式非常复杂。如果需要对表达式进一步简化，可通过NDI技术实现。因为响应为零时意味着电流源短路，所以相对于其他应用而言，NDI更适用于阻抗计算，更新之后的电路如图3.104（a）所示。为计算简便，特将电路进行重新绘制，具体如图3.104（b）所示，于是可立即得到电阻Rn的计算公式为： 


Rn=R3‖(R4+R2‖R1)
(3.263)




则新的传递函数表达式为


Zin(s)=R01+sτ11+sτ2

=(R1‖(R3+R4)+R2)1+s［R3‖(R4+R2‖R1)］C11+s［(R1+R3)‖R4+R2］C1

=R01+sωz1+sωp
(3.264)


在式(3.260)和式(3.262)中R0和ωp的表达式相同，但零点表达式更加简单，即： 


ωz=1［R3‖(R4+R2‖R1)］C1
(3.265)


除了式(3.258)未采用NDI技术外，式(3.258)和式(3.264)在数学功能上完全相同。 进行输入阻抗计算时，NDI技术将电流源由短路线代替，比采用电压激励源计算输入阻抗更简单。利用数学软件Mathcad和电路仿真软件SPICE对数据进行验证，分别如图3.105和图3.106所示。最后，只有真正掌握其中差异，才能正确选择计算方法。


图3.104利用NDI技术对电流源驱动电路进行分析时，电流源端口由短路线代替



5. 习题5
计算输出阻抗时利用电流源对电路网络输出端口进行驱动。仍然与前面分析实例一致，VT为输出响应，IT为激励电流。从图3.107所示电路实例中可立即得到电容C1和电阻R3左端接地。无须利用电路快速分析技术，可直接求得电路输出阻抗为： 


Zout(s)=R2‖1sC1‖(R4+R1‖R3)
(3.266)




R1=10kΩR2=1kΩR3=2.2kΩR4=3.3kΩC1=100nF‖(x,y)=x·yx+y




R0=R1‖(R3+R4)+R2=4.548kΩ20·logR0Ω=73.157dBohm

R1HF=R3‖(R1+R4‖R2)=1.827kΩRd=(R1+R3)‖R4+R2=3.597kΩR1HFR0·Rd=1.445×103Ω

τ2=C1·RdRn=R3‖(R4+R2‖R1)=1.445kΩτ1=Rn·C1

ωp=1τ2=2.78×1031sfp=ωp2π=442.414Hzωz=R0τ1·R1HF=1.723×1041sfz=ωz2π=2.743kHz

Z1(s)=R0·1+s·τ2·R1HFR01+s·τ2Z2(s)=R0·1+s·τ11s




图3.105利用Mathcad绘制有无NDI时的频率特性曲线： 结果完全一致




如果将式(3.266)展开，表达式将变得非常复杂，并且对电路特性分析无任何意义。如果需要得到传递函数的极点和零点值，需要继续对其进行计算。那么该传递函数中是否存在零点呢？如果将电容C1短路，响应电压VT是否依然存在？通过图3.107分析可得，电容C1与电阻R2并联，将C1短路时输出响应为零，所以电路不存在零点，属于简单1阶传递函数，即： 


Zout(s)=R011+sτ1
(3.267)


如图3.108所示，当电容C1移除时可快速求得电路的直流电阻。

直流电阻计算公式为： 


R0=R2‖(R4+R1‖R3)
(3.268)


计算时间常数时将激励电流源设置为零，即将其从电路中移除，具体电路如图3.109所示。此时电容左端接地，右端通过电阻R2与R4、R3、R1的串并联组合接地，所以： 


Rd=R2‖(R4+R3‖R1)
(3.269)


式(3.269)与式(3.268)相同，因此电路的时间常数为： 


τ2=C1［R2‖(R4+R3‖R1)］
(3.270)




电路最终传递函数为： 



图3.107当直流输入源短路时利用电流源对输出端口进行扫描




图3.108通过观察可直接求得该电路的直流电阻R0




图3.109求解电容端口电阻电路图




Zout(s)=［R2‖（R4+R1‖R3）］11+sC1［R2‖(R4+R3‖R1)］

=R011+sωp

(3.271)


其中


R0=R2‖(R4+R1‖R3)(3.272)

ωp=1C1［R2‖(R4+R3‖R1)］
(3.273)


如图3.110所示，通过数学软件Mathcad验证，式(3.266)和式(3.271)频率特性曲线完全一致。
6. 习题6
当电路中含有电感L1时，首先将其参数值设置为无穷大，以判断传递函数中是否存在零点。此时电感L1等效于从电路中移除，测试输出响应是否依然存在。通过分析可得输出响应为零，所以电路为1阶网络，传递函数遵循如下形式： 


H(s)=H011+sτ2
(3.274)


当L1短路时计算电路直流增益，具体如图3.111所示，此时电路通过R2和R3构成电阻分压器，即： 


H0=R3R2+R3
(3.275)



如图3.112所示，计算时间常数时将激励电压源设置为零，此时电感端口的电阻为： 


Rd=R1‖(R2+R3)
(3.276)


电路时间常数为： 

R1=10kΩR2=1kΩR3=2.2kΩR4=3.3kΩC1=1μF‖(x,y)=x·yx+y



Zout(s)=R2‖1s·C1‖(R4+R1‖R3)

R0=R2‖(R4+R1‖R3)=0.836kΩ20·logR0Ω=58.446dBohm

Rd=R2‖(R4+R1‖R3)=836.154Ωτ2=C1·Rd

ωp=1τ2=1.196×1031sfp=ωp2π=190.342HzZout2(s)=R0·11+s·τ2



图3.110通过Mathcad验证表达式(3.266)和式(3.271)的频率特性曲线完全一致





图3.111直流分析时电感短路，可

直接求得传递函数H0





图3.112计算电感驱动电阻时将

激励电压源设置为零





τ2=L1R1‖(R2+R3)
(3.277)


最终传递函数为： 


H(s)=R3R2+R311+sL1R1‖(R2+R3)=H011+sωp
(3.278)


该表达式的直流增益为： 


H0=R3R2+R3
(3.279)


极点为： 


ωp=R1‖(R2+R3)L1
(3.280)


图3.113为Mathcad计算程序，其输出响应为简单1阶低通滤波器。



R1=1kΩR2=470ΩR3=100ΩL1=100mH‖(x,y)=x·yx+y



H0=R3R2+R3=0.17520·log(H0)=-15.117dB

Rd=R1‖(R2+R3)=363.057Ωτ2=L1Rd

ωp=1τ2=3.631×1031sfp=ωp2π=577.824HzH1(s)=H0·11+s·τ2



图3.113输出响应为简单低通滤波器



7. 习题7

图3.114为运算放大器电路，包含一个储能元件，所以为1阶电路。与前面实例一样，首先判断电容C1是否产生零点。利用短路线将电容C1短路，测试输出电压是否依然存在。



图3.114计算电路增益时利用短路线代替电容，以判断电路是否存在零点


当电容C1未短路时，运算放大器实现缓冲作用，输出电压Vout与V1的关系式为： 


Vout=-R1R2V1
(3.281)


当C1短路时V1与Vout一致，此时式(3.281)更新为： 


Vout=-R1R2Vout
(3.282)


只有当Vout=0时,式(3.282)才能成立： C1短路时输出响应为零，传递函数无零点。 于是将电路传递函数定义如下： 


G(s)=G011+sτ2
(3.283)


对电路进行直流分析时将电容移除，此时电路简化为图3.115，电路增益为： 


G0=-R1R2+R3
(3.284)





图3.115直流分析时电路简化为反相放大电路


计算电路时间常数时将电压源设置为0V，通过电容端口计算电阻Rd。分析类似运算放大器等有源电路时，通过简单观察很难求得电阻值，但并非绝无可能。因此如往常一样，通过增加激励电流源测试电阻值，更新之后的电路如图3.116所示。



图3.116利用激励电流源计算电容端口的电阻值


由于运算放大器增益接近无穷大，因此图3.116中运放反相引脚的电压为0V。电流I1可通过电阻R2两端电压或R1两端电压Vout进行定义，具体如下： 


I1=V1R2=-VoutR1
(3.285)


将电阻R3两端电压标记为V1，因为电阻R2和R3并联，所以当电流IT通过并联电阻时，电压V1的计算公式为： 


V1=IT(R2‖R3)
(3.286)


由式(2.285)和式(2.286)得： 


I1=IT(R3‖R2)R2
(3.287)


输出电压表达式为： 


Vout=-IT(R3‖R2)R2R1
(3.288)


电流源两端电压VT=V1－Vout，所以： 


VT=IT(R2‖R3)+IT(R2‖R3)R1R2
(3.289)


将式(3.289)重新整理并分解因式得： 


Rd=VTIT=(R2‖R3)1+R1R2
(3.290)


因此时间常数τ2为： 


τ2=(R2‖R3)1+R1R2C1
(3.291)


电路最终传输函数为： 


G(s)=-R1R2+R311+s(R2‖R3)1+R1R2C1=G011+sωp
(3.292)


其中


G0=-R1R2+R3
(3.293)


极点计算公式为： 


ωp=1(R2‖R3)1+R1R2C1
(3.294)


图3.117为Mathcad计算程序，图3.118为SPICE仿真结果，两者完全一致。

R1=470kΩR2=150kΩR3=10kΩC1=0.1μF‖(x,y)=x·yx+y



G0=-R1R2+R3=-2.937520·log(|G0|)=9.35956dB

Rd=(R2‖R3)·1+R1R2=38.75·kΩτ2=Rd·C1

ωp=1τ2=258.064521sfp=ωp2π=41.07224HzG1(s)=G0·11+s·τ2



图3.117利用Mathcad快速求得答案，并与SPICE仿真结果进行对比


8. 习题8
计算输出阻抗时,测试电流源按照图3.119所示进行连接。
首先进行零点确定： 当电感L1无穷大(即从电路中移除)时，采用电流源驱动电路以测


试输出响应是否依然存在。通过分析，输出响应依然存在，所以该电路含有与L1相关联的零点，即传递函数表达式为： 


Zout(s)=R01+sτ11+sτ2
(3.295)


当L1短路时计算直流电阻R0得： 


R0=0
(3.296)


当R0=0时式(3.295)始终为零，所以该阻抗计算表达式不适合于该电路。接下来利用图3.76中的阻抗表达式进行计算，即： 


Zout(s)=R∞1+1sτ11+1sτ2
(3.297)


此时电感L1无穷大，电阻R1与R2并联，所以输出电阻为： 


R∞=R1‖R2
(3.298)


当输出响应为零时计算第一时间常数τ1。即利用电流源对电路进行激励，使其两端电压为零，具体如图3.120所示。无须计算，可直接求得连接端口电阻Rn=0。因此时间常数τ1无穷大，即： 


τ1=L10→∞
(3.299)




图3.119计算输出阻抗时采用电流源进行

激励，端口电压为输出响应





图3.120电感两端电阻为0




图3.121计算时间常数时将
激励源设置为0A



计算电路第二时间常数τ2时将电流源设置为0A，然后求解电感两端的电阻值，具体电路如图3.121所示，则电阻Rd的计算公式为： 


Rd=R1‖R2
(3.300)


时间常数τ2为


τ2=L1R1‖R2
(3.301)



输出阻抗传递函数最终表达式为： 


Zout(s)=R∞1+1s·∞1+1sτ2=R∞11+1sτ2=R∞11+ωps
(3.302)


其中


R∞=R1‖R2(3.303)

ωp=R1‖R2L1
(3.304)



Mathcad计算程序和输出结果如图3.122所示。应当注意式(3.302)为倒相极点，即每个极点都有原点处零点与之对应。

R1=250ΩR2=1kΩL1=500mH‖(x,y)=x·yx+y



Rinf=R1‖R2=200Ω20·logRinfΩ=46.0206dBohm

Rd=R1‖R2=200Ωτ2=L1Rd

ωp=1τ2=4001sfp=ωp2π=63.66198HzZ1(s)=Rinf·11+1s·τ2




图3.122原点处零点和高频极点的频率特性曲线



9. 习题9
该电路为1阶电路，电容C1为储能元件。那么是否存在与C1相关联的零点呢？当C1短路时输出响应Vout是否依然存在？经过分析可得，确实存在与C1相关联的零点，所以传递函数表达式为： 


G(s)=G01+sτ11+sτ2
(3.305)


计算直流增益时将C1从电路中移除，具体电路如图3.123所示。



图3.123直流分析时C1不起作用，1阶电路简化为反相放大器


通过图3.123求得直流增益G0为： 


G0=-R1R2
(3.306)


计算零点电阻Rn时，采用NDI技术并且利用电流源对电容端口进行激励，具体电路如图3.124所示。



图3.124当输出响应为零时通过计算电容端口Rn电阻值求解电路零点


通过对电路进行仔细观察，不利用激励电流源，也可直接求出Rn电阻值。因为输出电压为零、运放反相引脚电压为零，所以电阻R1中无电流流过。全部测试电流IT均从R2和R3中通过，因此电阻Rn为： 


Rn=R2+R3
(3.307)


时间常数τ1表达式为： 


τ1=(R2+R3)C1
(3.308)


计算电路时间常数τ2时，将激励电压源设置为0V，然后计算该模式下电容端口的电阻值。对于图3.125所示测试电路，可通过观察法直接求得Rd电阻值，也可利用测试电流源对电路进行激励，求解Rd。



图3.125当激励电压源设置为0V时计算电路时间常数


由图3.125可得，电流源IT左端通过激励电压源设置为0V，然后通过R1返回电流源右端。因为运放反相端电位为0V(虚地)，所以电流源两端唯一电阻为R3，因此： 


Rd=R3(3.309)


即


τ2=R3C1
(3.310)


所以完整传递函数为： 


G(s)=-R1R21+s(R2+R3)C11+sR3C1=G01+sωz1+sωp
(3.311)


其中


G0=-R1R2(3.312)

ωz=1(R2+R3)C1(3.313)

ωp=1R3C1
(3.314)



图3.126和图3.127分别为Mathcad计算程序和SPICE仿真测试电路，两者结果完全一致。如果最终数据有所不同，则计算方程存在差错。


R1=100kΩR2=22kΩR3=2.2kΩC1=47nF‖(x,y)=x·yx+y



G0=-R1R2=-4.5454520·log(|G0|)=13.15155dB

Rd=R3=2.2kΩτ2=Rd·C1

Rn=R2+R3=24.2kΩτ1=Rn·C1

ωp=1τ2=9.67118×1031sfp=ωp2π=1.53922kHz

ωz=1τ1=879.198171sfz=ωz2π=139.92873Hz

G1(s)=G0·1+s·τ11+s·τ2




图3.126运放电路的Mathcad计算程序及响应曲线





10. 习题10
该电路包含单一储能元件，因此为1阶电路网络。当C1无穷大(短路)时输出响应为零(Vout短路)，因此该电路不存在零点，传递函数表达式为：


G(s)=G011+sτ2
(3.315)




计算直流增益时将电容C1移除，具体电路如图3.128所示。假设该电路采用理想运算放大器，只有I1为环路电流。运放反相引脚虚地，所以I1计算公式为： 


I1=VinR2
(3.316)


以及


Vout=-I1R1
(3.317)


将式（3.316）和式（3.317）组合得： 
 



图3.128尽管存在电阻R3，但反相放大器增益保持不变




G0=-R1R2
(3.318)


由上述分析可得，电阻R3对直流增益不起作用。当电流I1通过电阻R3时，运算放大器的工作点轻微改变。将激励电压源设置为0V，通过电容端口计算电路时间常数，此时电路如图3.129所示。



图3.129将激励电压源设置为0V，通过电容端口计算电路时间常数


首先由电流关系式可得： 


IT=I1+I2
(3.319)


假设运算放大器开环增益AOL无穷大，则误差电压ε为： 


ε=-I1R2
(3.320)


此时输出电压V2的计算式为： 


V2=AOL·ε=-I1R2AOL
(3.321)


流入电阻R3的电流为： 


I2=VT-V2R3=VT+I1R2AOLR3
(3.322)


电流I1的定义式为： 


I1=VT+εR1
(3.323)


将式(3.323)代入式(3.320)整理得： 


I1=VT-I1R2R1
(3.324)


将式(3.324)重新整理并提取因式VT得： 


I1=VTR1+R2
(3.325)


从式(3.319)中提取I2并且将其代入式(3.322)得： 


IT-I1=VT+I1R2AOLR3
(3.326)


利用定义式(3.325)代替I1，然后提取因式IT和VT，将式(3.326)整理为： 


ITR3=VT1+R2AOLR1+R2+R3R1+R2
(3.327)


阻抗Rd的计算为： 


Rd=VTIT=R31+R2AOLR1+R2+R3R1+R2(3.328)


当运算放大器开环增益无穷大时Rd变为0，即： 


Rd|AOL→∞=0
(3.329)


此时时间常数τ2也为0，所以式(3.315)中传递函数表达式简化为： 


G(s)≈-R1R2
(3.330)


所以输出电容对电路无影响。图3.130为Mathcad程序及计算结果。当运放开环增益为10000时电阻Rd为260mΩ，并且极点设置于高频： 交流响应在6.1MHz极点之前保持平坦。 图3.131为利用SPICE软件进行偏置点计算，所得阻抗值与Mathcad计算结果完全一致。最后在特定工作点对电路进行交流仿真分析，所得极点为6.1MHz，具体如图3.132所示。


R1=100kΩR2=22kΩR3=470ΩC1=100nF‖(x,y)=x·yx+y

AOL=10000



Rd=R31+R2·AOLR1+R2+R3R1+R2=0.26049ΩG0=R1R220·log(|G0|)=13.15155dB

τ2=Rd·C1ωp=1τ2=3.8389×1071sfp=ωp2π=6.1098MHzG1(s)=G0·11+s·τ2



图3.130Mathcad计算所得电容C1驱动电阻值很小： 整个频率范围内响应平坦





图3.131利用SPICE软件计算电阻Rd=260mΩ(由1A电流源对
节点1进行驱动，电压为260mV)





图3.132交流响应与Mathcad动态曲线相匹配，极点频率为6.1MHz


当驱动大容量电容负载时，通常采用上述电路使运算放大器稳定。由于运算放大器的闭环输出阻抗为感性，所以当负载为容性时可能导致电路不稳定。当运算放大器的输出端串联电阻R3时，运放输出与负载电容通过R3进行隔离，使电路保持稳定。相关具体技术请参考文献［11］和［12］。


参考文献


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11.  Pachchigar M. Compensation Techniques for Driving LargeCapacitance Loads with HighSpeed Amplifiers ［OL］. http://www.eetimes.com/document.asp?doc_id=1272424 (last accessed 20/12/2015).

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