第5章
CHAPTER 5


正弦交流电路分析方法









引子： 第4章给出的相量变换可将电感和电容伏安特性的微分式转化为乘积式，为使交流电路分析可像直流电路一样简单快捷铺平了道路。而由此引出的“相量分析法”就是破解交流电路各种问题的利器。

5.1相量分析法的步骤

第4章给出的相量分析法主要基于以下概念： 

（1） 电阻、电感和电容都用频域模型——阻抗或导纳表示。

（2） 电路中的激励和响应都用相量表示。

（3） 电路数学模型中的微积分运算转化为乘除运算。

利用相量法分析交流电路的实质是：

抽掉交流电随时间变化的特性，而只用其不变的有效值及初相位对交流电进行描述。

因此，直流电路分析法基本上可以全面移植到交流电路的分析中，只要掌握了直流电路分析法，对交流电路的分析就会事半功倍。

为便于对比和记忆，我们将相关直流电路分析法中的一些重要概念结合交流电路的分析过程重新给出，然后，通过一些例题帮助读者理解和掌握交流电路相量分析法。

相量分析法的基本步骤如下： 

（1） 将激励和响应正弦量都用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，并据此画出电路的相量模型图，也就是频域电路图。

（2） 在频域电路图中，可用类似电阻电路的分析方法（等效化简法、节点电压法和网孔电流法等）求得各电压和电流的响应相量。

（3） 将求得的响应相量转化成时域正弦函数表达式，完成分析任务。

5.2阻抗网络的等效分析

通常，把包含动态元件且以交流电为激励的RLC网络称为“阻抗网络”。因此，本书的阻抗网络包括L网络、C网络、RL网络、RC网络、LC网络及RLC网络。

5.2.1电感网络的等效

（1） 将多个电感首尾相连就构成了电感串联网络，如图51（a）所示。因为所有电感流过同一电流且各电感电压之和为总电压（KVL），所以有


u=L1didt+L2didt+…+Lndidt=(L1+L2+…+Ln)didt=Ldidt（5.21）


式中，L是串联网络等效总电感的电感量，满足


L=L1+L2+…+Ln（5.22）


因此，可以得出结论： 

串联电感网络等效总电感的电感量等于各分电感的电感量之和。





等效图如图51（b）所示。



图51串联电感网络及其等效图


（2） 将多个电感首与首、尾与尾相连就构成了电感并联网络，如图52（a）所示。因为所有电感的端电压相同且各电感电流之和为总电流（KCL），所以有


i=1L1∫udt+1L2∫udt+…+1Ln∫udt
=1L1+1L2+…+1Ln∫udt=1L∫udt（5.23）


式中,L是并联网络等效总电感的电感量，满足


1L=1L1+1L2+…+1Ln（5.24）


因此，可以得出结论： 

并联电感网络等效总电感的电感量倒数等于各分电感的电感量倒数之和。

等效图如图52（b）所示。



图52并联电感网络及其等效图


特别地，当两个电感L1和L2相并联时，等效电感的电感量L为


L=L1L2L1+L2（5.25）


可见，电感网络的等效结果与电阻网络类似。

5.2.2电容网络的等效

（1）  将多个电容首尾相连就构成了电容串联网络，如图53（a）所示。因为所有电容流过同一电流且各电容端电压之和为总电压（KVL），所以有


u=1C1∫idt+1C2∫idt+…+1Cn∫idt
=1C1+1C2+…+1Cn∫idt=1C∫idt（5.26）


式中，C是串联网络等效总电容的电容量，满足


1C=1C1+1C2+…+1Cn（5.27）


因此，可以得出结论： 

串联电容网络等效总电容的电容量倒数等于各分电容的电容量倒数之和。

等效图如图53（b）所示。



图53串联电容网络及其等效图


特别地，当两个电容C1和C2相串联时，等效电容的电容量C为


C=C1C2C1+C2（5.28）


（2） 将多个电容首与首、尾与尾相连就构成了电容并联网络，如图54（a）所示。因为所有电容的端电压相同且各电容电流之和为总电流（KCL），所以有


i=C1dudt+C2dudt+…+Cndudt=(C1+C2+…+Cn)dudt=Cdudt（5.29）


式中，C是并联网络等效总电容的电容量，满足


C=C1+C2+…+Cn（5.210）


因此，可以得出结论： 

并联电容网络等效总电容的电容量等于各分电容的电容量之和。

等效图如图54（b）所示。



图54并联电容网络及其等效图


可见，电容网络的等效结果与电导网络类似。

显然，纯电感网络和纯电容网络的等效结果满足对偶特性。

上述关于电感网络和电容网络的等效结论并没有涉及相量和阻抗，都是直接根据电感和电容的时域VCR得到的，具有普适性。其实，用相量概念也很容易推出上述结论。

5.2.3串联阻抗的分析

“阻抗元件”可以像电阻一样进行串联、并联和混联，从而形成各种交流电路。因此，对交流电路的分析就不可避免地涉及阻抗元件的连接及等效问题。

阻抗的串联分析法与电阻的串联分析法类似。

设有阻抗Z1=R1+jX1=Z1∠φ1，Z2=R2+jX2=Z2∠φ2，…，Zn=Rn+jXn=Zn∠φn，则根据KVL有“总电压相量等于各阻抗电压相量之和”。


U·= U·1+ U·2+…+ U·n=∑nk=1U·k（5.211）


因为通过各阻抗的电流均为I·，所以可得串联阻抗的总阻抗


Z=U·I·=U·1I·+…+U·nI·=Z1+Z2+…+Zn
=∑nk=1Zk=∑nk=1Rk+j∑nk=1Xk（5.212）


因此，可以得出结论： 

串联阻抗的等效总阻抗等于各分阻抗之和。

根据KVL可知，任一个串联分阻抗Zj上的电压U·j与总电压U·的关系为


U·j=Zj×I·=Zj∑nk=1ZkU·（5.213）


式（5.213）的分压公式表明，串联的阻抗越大，其分得的电压也越大。

若只有两个阻抗Z1与Z2相串联，则根据式（5.213）可得各自的电压



U·1=Z1Z1+Z2U·
U·2=Z2Z1+Z2U·（5.214）


式（5.214）是常用的分压公式。从该式可得“两个阻抗的电压比等于它们的阻抗比”的结论。


U·1U·2=Z1Z2（5.215）


5.2.4并联阻抗的分析

阻抗的并联分析法与电阻的并联分析法类似。

若把阻抗换为导纳的话，即Y=1Z=G+jB，则根据KCL有“总电流相量等于各阻抗电流相量之和”。


I·= I·1+ I·2+…+ I·n=∑nk=1I·k（5.216）


因为各阻抗的端电压均为U·，所以可得并联阻抗的总导纳


Y=I·U·=I·1U·+…+I·nU·=Y1+Y2+…+Yn
=∑nk=1Yk=∑nk=1Gk+j∑nk=1Bk（5.217）


因此，可以得出结论： 

并联阻抗的等效总导纳等于各分导纳之和。

若只有两个阻抗Z1与Z2相并联，则根据式（5.217）可得等效总阻抗


Z=Z1//Z2=Z1Z2Z1+Z2（5.218）


式（5.218）是常用的并联阻抗计算公式。

根据KCL可知，任一个并联导纳Yj的电流相量I·j与总电流I·的关系为


I·j=Yj× U·=Yj∑nk=1YkI·（5.219）


式（5.219）的分流公式表明，并联的导纳越大，其分得的电流也越大。

若只有两个阻抗Z1与Z2相并联，则根据式（5.219）可得各自的电流



I·1=Y1Y1+Y2I·
I·2=Y2Y1+Y2I·（5.220）


或



I·1=Z2Z1+Z2I·
I·2=Z1Z1+Z2I·（5.221）


式（5.221）是常用的分流公式，从中可得“两个阻抗的电流比与阻抗比成反比”的结论。


I·1I·2=Z2Z1（5.222）


综上所述，只要将时域电路图转化为频域电路图，即用阻抗或导纳代替电阻或电导，则对由阻抗构成的交流电路的分析方法就与直流电阻电路的基本相同。



视频讲解


5.2.5滤波和移相

从系统的角度上看，双口电阻网络的功能主要是对激励信号进行分压、分流和阻抗变换。而双口阻抗网络除了这3个基本功能外，还具有“滤波”和“移相”两个功能。

滤波： 根据需要从激励信号中选择或去除某些频率分量信号的一种信号处理方法。

其表现是阻抗网络的输出（响应）比输入（激励）信号少了一些频率分量信号。根据选取信号频段的不同，滤波分为低通滤波（选择低频段信号）、高通滤波（选择高频段信号）、带通滤波（选择某一频段信号）和带阻滤波（去除某一频段信号）4种形式。

把用于滤波的阻抗网络称为“滤波器”，其原理基于电感和电容的电抗（频率）特性。

移相： 根据需要改变激励信号起始时刻的一种信号处理方法。

其表现是阻抗网络的输出（响应）与输入（激励）信号的初相位不一样。根据输出与输入的不同相位差，移相可分为前移（超前，输出领先输入）、后移（滞后，输出滞后输入）及同相（输出与输入同相）3种形式。

把用于移相的阻抗网络称为“移相器”，其原理基于电感和电容的动态特性。

因为滤波器和移相器都是具有动态元件的电路，所以，一个阻抗网络同时具有滤波和移相两个功能。或者说，滤波器也是移相器，移相器也是滤波器。它们的主要区别是，滤波器的输入信号包含不同频率的交流分量，人们在意的是其“选频”而不是“移相”功能； 移相器的输入为单频交流信号，人们主要关心其输出与输入的相位差或时域波形的起始时刻。


实际应用中，主要有RL低通滤波器（滞后网络）、RC高通滤波器（超前网络）、RLC或LC带通滤波器（同相网络）。图55为3种常用滤波器（移相器）及其频率特性示意图。



图55滤波器及其频率特性


滤波器和移相器在信号处理领域，尤其是通信和控制领域非常有用。



【例题51】如图56（a）所示的电路，已知I2=10A，US=102V。求电压U·S及感抗ωL，并画出相量关系图。

解： 设参考相量I·2=10∠0°A，则有


U·2= I·2(－j)=10∠－90°V，
I·1= U·2/1=10∠－90°A


由KCL可得 


I·= I·1+ I·2=10－j10=102∠－45°（A）


又因阻抗为


Z=jωL+1×(－j1)1－j1=12+jωL－12（5.223）


且阻抗模满足


|Z|=USI=10/2102=12（Ω）


则在式（5.223）中，只有虚部为零，阻抗模才能等于12。因此，可得


Z=12Ω和ωL=12


这样，电压U·S为 


U·S=ZI·=12×102∠－45°=52∠－45°（V）


电流和电压相量图见图56（b）。可见，电压U·2滞后于U·S。



图56例题51图


【例题52】如图57（a）所示的电路，已知u(t)=2202cosωtV，i1(t)=22cos(ωt－30°)A,i2(t)=1.822cos(ωt－60°)A，ω=314rad/s。欲使u(t)与i(t)同相，求容抗XC。



图57例题52图


解： 将时域电路化为相量模型如图57（b）所示。设u(t)初相为零，则


U·=220∠0°V，
I·1=2∠－30°A，
I·2=1.82∠－60°A


根据KCL有


I·= I·1+ I·2+ I·3=2∠－30°+1.82∠－60°+220－jXC=2.642－j2.576－220XC


欲使u(t)与i(t)同相，需要I·的虚部为零，即


2.576－220XC=0


解得


XC=85.4Ω



【例题53】若要如图58所示电路中的R改变而电流I保持不变，L和C应满足什么条件？



图58例题53图


解： 电路等效阻抗为


Z=1jωC//(R+jωL)=R+jωLjωCR－ω2CL+1=1jωCR+jωLR+jωL－1ωC


根据欧姆定律，有


I=U|Z|=jωCR+jωL－1ωCR+jωLU


显然，只要ωL－1ωC=ωL，I=U|Z|=ωCU就不随R变化。

因ωL－1ωC=ωL可等效为ωL－1ωC2=(ωL）2，所以可从中解出


LC=12ω2



【例题54】如图59所示的电路，已知u1(t)=52sin336000πtV，输入阻抗的模为1005Ω。试问： 

（1） 该网络是超前还是滞后网络？是低通还是高通滤波器？

（2） 若要求u2与u1相位差为60°，求R和C的值。



图59例题54图


解： 由已知条件得


Zin=R2+1ωC2=1005


解出


(ωCR)2+1=50000(ωC)2（5.224）


由分压公式可得


U·2U·1=1jωCR+1jωC=11+(ωCR)2(1－jωCR)（5.225）


显然，u2滞后u1，该网络为滞后网络。又因频率越高，u2有效值越小，故是低通滤波器。

若要求u2与u1相位差为60°，即需满足


ωCR1=tan60°=3（5.226）


将式（5.226）代入式（5.224），得


ωC=45×10－3（5.227）


由式（5.227）和式（5.226）解出


C=8.5nF，R=193.6Ω


本题说明，同样的RC网络，若输出量的选择不同，网络特性或功能就不同。


5.3独立电源的等效分析
5.3.1电源的串联和并联


只要将电源电压U和电源电流I分别用电压相量U·和电流相量I·代替，内阻R0用内阻抗Z0代替，内导G0用内导纳Y0代替，则前面介绍的直流电源相关概念、分析方法及结论都可沿用到交流电源的分析中。

1． 理想电源的串、并联

理想电压源可以串联，串联后总电源的电压相量是各子电源电压相量之和。串联电压源允许各子电源的电压相量不一样。因此，在需要高电压供电的场合，可以考虑电压源串联。

设有理想电压源U·1，U·2，…，U·n，则串联后的总电压源为


U·= U·1+ U·2+…+ U·n=∑nk=1U·k（5.31）


理想电流源可以并联，并联后总电源的电流相量是各子电源电流相量之和。并联电流源允许各子电源的电流相量不一样。因此，在需要大电流输出的场合，可以考虑电流源并联。

设有理想电流源I·1，I·2，…，I·n，则并联后的总电流源为


I·= I·1+ I·2+…+ I·n=∑nk=1I·k（5.32）


2. 实际电源的串、并联

多个实际电压源可以串联，串联后总电源的电压相量是各子电源电压相量之和，总内阻抗等于各子电源内阻抗之和。

设有实际电压源U·1（内阻抗Z01），U·2（内阻抗Z02），…，U·n（内阻抗Z0n），则串联后电源的总电压相量和总内阻抗分别为



U·= U·1+ U·2+…+ U·n=∑nk=1U·k
Z0=Z01+Z02+…+Z0n=∑nk=1Z0k（5.33）


多个实际电流源可以并联，并联后总电源的电流相量是各子电源电流相量之和，总内导纳等于各子电源内导纳之和。


设有实际电流源I·1（内导纳Y01），I·2（内导纳Y02），…，I·n（内导纳Y0n），则并联后电源的总电流相量和总内导纳分别为



I·= I·1+ I·2+…+ I·n=∑nk=1I·k
Y0=Y01+Y02+…+Y0n=∑nk=1Y0k（5.34）



图510给出了交流电源串、并联示意图。



图510交流电源串、并联示意图


5.3.2有伴电源的相互等效

有伴电压源和有伴电流源模型分别如图511(a)和图511（b）所示。



图511交流有伴电源转换示意图


为保证两种电源的等效转换，需要它们具有相同的伏安关系。

对于如图511（a）所示的有伴电压源，端钮处的伏安关系为


U·O= U·S－Z01I·O（5.35）


对于如图511（b）所示的有伴电流源，端钮处的伏安关系为


U·O=Z02I·S－Z02I·O（5.36）


比较式（5.35)和式（5.36)，若要两式的U·O或I·O相等，则需U·S=Z02I·S和Z01=Z02。

因此，有伴电源等效转换的条件是： 

电压源的电压相量等于电流源的电流相量乘以内阻抗或电流源的电流相量等于电压源的电压相量除以内阻抗，而两者的内阻抗相等。



U·S=Z0I·S
I·S=U·SZ0
Z01=Z02=Z0（5.37）


5.3.3理想电源与任一元件的连接等效

对于外电路（端钮右端）而言，任一元件与理想电压源并联并不改变端钮处的电流和电压，因此，该元件的并入无意义，可以忽略。同样，任一元件与理想电流源串联也不改变端钮处的电流和电压，因此，该元件的串入无意义，可以忽略。

显然，上述两种情况中的接入元件可以去掉，它们的等效电路如图512所示。




图512交流理想电源与任一元件的连接等效图


注意：  
不同电压的理想电压源不能并联，不同电流的理想电流源不能串联。


【例题55】化简图513中的各二端网络。



图513例题55图


解： 因图513（a）的电压源U·S和阻抗Z均串接在电流源I·S上，故可去掉，只剩I·S。

因图513（b）的电流源I·S和阻抗Z均并接在电压源U·S上，故可去掉，只剩U·S。

图513（c）中，电流源I·S和阻抗Z可先化为电压源U·E=ZI·S和阻抗Z串接在电压源U·S上，然后再合并U·E和U·S为U·ES=U·E+U·S。

图513（d）去掉Z2和Z3后，就变为图513（c）形式，由U·ES=U·E+U·S和Z1串联而成。

最后，简化图如图514所示。



图514例题55答案示意图


5.4受控电源电路的等效分析

与第2章的相关概念类似，对含有受控源的电路通常可按下列步骤进行等效分析： 

（1） 将受控源当作独立源看待，列写其相量伏安表达式。

（2） 补充列写一个受控源的受控关系的相量表达式。

（3） 联立求解上述两个方程式，得到最简单的端钮相量伏安关系表达式。

（4） 依据第（3）步的伏安表达式画出二端网络（受控源）的最简等效相量电路图。

对含有受控源电路的分析，一定要理解和掌握“受控源的输出（电压或电流）是电路中另外一个参数的函数（或者说被另一个参数所控制），分析过程中，只要保证不丢掉或改变这个控制参数，受控源就可按照独立电源进行处理”这个概念。

【例题56】在图515（a）中，已知Z1=10+j50Ω，Z2=400+j1000Ω。若要I·2与U·S正交（相位差为90°），β应为多大？若受控源换为电容C，如图515（b）所示，同样要求I·2与U·S正交，求ωC为多少？



图515例题56示意图


解： 由KCL可得 


I·1= I·2+βI·2=(1+β)I·2


由KVL可得


U·S=Z1I·1+Z2I·2=Z1(1+β)I·2+Z2I·2=［10+10β+400+j(50+50β+1000)］I·2


显然，要I·2与U·S正交，需上式中的实部为零，即有


10+10β+400=0


解出


β=－41


换为电容后，由欧姆定律可得


I·3=Z2I·21jωC=jωCZ2I·2=(－1000ωC+j400ωC)I·2


由KCL得


I·1= I·2+ I·3=(1－1000ωC+j400ωC)I·2


由KVL得


U·S=Z1I·1+Z2I·2=［(1－1000ωC+j400ωC)(10+j50)+400+j1000］I·2
=［410－30000ωC+j(1050－46000ωC)］I·2


要I·2与U·S正交，需上式中的实部为零，即有


410－30000ωC=0


解出


ωC=41030000≈1.37×10－2S


本题主要应用了KCL、KVL和相量正交概念。注意，引入受控源可以改变电路性质。

5.5线性定理

交流电路的相量模型也满足叠加定理和齐次定理。

叠加定理： 在有两个或两个以上电源作用的线性交流电路中，任一支路上的电流相量或任意两点间电压相量都等于各电源相量单独作用而其他电源相量为零（电压源短路，电流源开路）时，在该支路产生的各电流相量或在该两点间产生的各电压相量的代数和。

齐次定理： 在只有一个电源作用的线性交流电路中，任一支路上的电流相量或任意两点间的电压相量，都与该电源相量的变化成正比。

将二者结合起来考虑，就是

线性定理： 在线性交流电路中，若所有电源相量同时扩大或缩小k倍，则电路中任一支路的电流相量或任意两点间的电压相量也扩大或缩小k倍。

5.6替代定理

替代定理： 一个已知端电压相量或端电流相量的交流单口网络可以用一个大小和方向均相同的理想电压源相量或理想电流源相量替代。替代之后，该网络之外的其他电压相量和电流相量均保持不变。

在如图516（a）所示的电路中，设U·ab或I·已知。为计算A电路中的未知量，B电路可用一个恒压源U·ab代替（见图516（b）），也可用一个恒流源I·代替（见图516（c））。



图516交流电路替代定理示意图


特别地，若U·ab或I·为零，则从图516（b）和图516（c）中可得如下结论： 

零电压的节点可以用短路线连接，零电流的支路可以用开路线替代。

5.7戴维南定理和诺顿定理

戴维南定理： 任何一个含有独立电源的二端网络（电路）都可以简化为一个由恒压源U·OC和内阻抗Z0串联而成的电压源。其中U·OC是网络中各独立电源单独作用下的端口开路电压相量的代数和，Z0是网络内部所有电源为零时从端口看进去的等效阻抗。

诺顿定理： 任何一个含有独立电源的二端网络（电路）都可以简化为一个由恒流源I·SC和内导纳Y0并联而成的电流源。其中I·SC是网络中各独立电源单独作用下的端口短路电流相量的代数和，Y0是网络内部所有电源为零时从端口看进去的等效导纳。

这里，所谓“电源为零”指“电压源短路”和“电流源开路”。

戴维南定理和诺顿定理的等效原理见图517。



图517戴维南及诺顿定理示意图


当然，根据有伴电源互换原理，戴维南定理与诺顿定理模型也可相互转换，即有



I·SC=U·OCZ0=Y0U·OC
Z0=1Y0（5.71）



实际应用中，究竟是采用戴维南定理还是诺顿定理，主要由二端网络的开路电压和短路电流的计算难易程度决定。

【例题57】如图518（a）所示的电路，其中uS=100cos20000tV，iS=2sin20000tA。

（1） 求电路中负载得到的功率。

（2） 负载获得最大功率需要什么负载？求出元件参数及负载可得到的最大功率。



图518例题57示意图


解： 设电流源的初相为零，则有效值相量为


U·S=502∠90°=j502V，
I·S=2∠0°A


（1） 由叠加定理得负载端开路电压为


U·OC=－j5050－j50j502+－j50×5050－j502=502（V）


等效内阻抗为


Z0=50+－j50×5050－j50=75－j25（Ω）


这样可得戴维南等效电路如图518（b）所示。则负载电流为


I·L=50275－j25+100+j200=27(1－j)=27∠45°（A）


负载得到的功率为


P=100I2=100272=40049≈8.16（W）


（2） 当共轭匹配时，即当ZL=Z0=75+j25Ω时，负载得到最大功率


PLmax=U2OC4R0=(502)24×75=503≈16.7（W）


本题主要应用了叠加定理、戴维南定理和最大功率传输概念。

5.8其他定理

除了上述等效方法外，根据第2章的内容，本章还应该有“特勒根定理”“互易定理”“对偶定理”的相应介绍，但为了节省篇幅，这里不再详细讨论这些定理的相量形式，实际使用时，读者只需将电压和电流相量（U·和I·）以及阻抗或导纳（Z或Y）代入这些定理的相关公式中即可。

【例题58】证明图519（a）虚框内的网络在正弦稳态下为互易网络。已知iS=2sin(2t+30°)A。



图519例题58示意图


证： 根据互易定理，若网络互易，则图519（a）中的U·1应该与图519（b）中的U1相同。

对图519（a）列写节点电压方程



15+j2+1j2U·n1－1j2U·n2=2∠30°
－1j2U·n1+1+1j2U·n2=0


可以解得


U·1= U·n2=0.49∠－9.6°V


对图519（b）列写节点电压方程



15+j2+1j2U·n1－1j2U·n2=0
－1j2U·n1+1+1j2U·n2=2∠30°


可以解得


U1= U·n1=0.49∠－9.6°V


因为U1=U·1，所以网络是互易的。

5．9基本定律分析法

基本定律分析法主要指以KCL和KVL为基础的节点电压法和网孔电流法。只要将直流电压和电流用相量电压和电流替代，电阻、电导用阻抗、导纳替代，直流电源用相量电源替代，则第3章的直流电路分析法相关内容就能很容易地移植到交流电路上来。

（1） 节点电压法分析交流电路的一般步骤： 

第一步，将时域电路化为相量域电路模型。

第二步，选取参考节点，并给其他独立节点编号。

第三步，按

自导纳×本节点相量电压-∑(互导纳×相邻节点相量电压)
=流入本节点所有相量电流源的代数和

的形式列写各独立节点的节点相量电压方程。

第四步,求解各节点相量电压方程，得到各节点相量电压。

第五步,根据各节点相量电压，再求电路其他变量，如支路相量电流、相量电压、元件参数和功率等。

（2） 网孔电流法分析交流电路的一般步骤： 

第一步,将时域电路化为相量域电路模型。

第二步,确定电路中网孔数，并设定各网孔相量电流的符号及方向。通常网孔相量电流统一取顺时针或逆时针方向。

第三步,按

自阻抗×本网孔相量电流-∑(互阻抗×相邻网孔相量电流)
=本网孔所有相量电压源的代数和

的形式列写各网孔的网孔相量电流方程。

第四步,求解各网孔相量电流方程，得到各网孔相量电流。

第五步,根据各网孔相量电流，再求其他电路变量，如支路相量电流、相量电压、元件参数和功率等。

【例题59】如图520（a）所示的电路，已知u1=20cos4000tV，u2=50sin4000tV。求电压uab。（注： 1F=109nF）



图520例题59图


解： 画出幅值相量模型如图520（b）所示。选b点为参考点。设u2的初相为零相位。

节点电压方程为


15000－j12000+j12500U·ab=j20j2000+50－j2500


整理得 


(1－j2.5+j2)U·ab=50+j100


求出


U·ab=j100V


化为时域表达式


uab=100sin(4000t+90°)V=100cos4000tV



注意：  


（1） 本题全部采用幅值计算。

（2） 余弦式与正弦式的初相相差90°。


【例题510】如图521（a）所示的电路，已知uS=6sin3000tV，用网孔电流法求i。



图521例题510图


解： 画出幅值相量图如图521（b）所示。标出网孔电流。列出方程



(1000+j1000)I·1m－j1000I·2m=6
－j1000I·1m+(j1000－j1000)I·2m=－2000I·1m


解出


I·1m=0，I·2m=j61000=6∠90°mA=I·m


则有


i=6sin(3000t+90°)A=6cos3000tA


5.10综合练习

【练习题51】在如图522（a）所示的正弦电路中，L=1mH，R=1kΩ。求： 

（1） I·0=0时，C为多少？

（2） 在满足条件（1）时，等效阻抗Zin为多少？



图522练习题51图


解： 将图522（a）转化为图522（b），可见该电路为一个电桥。

（1） I·0=0时，电桥平衡，则根据平衡条件jωL1jωC=R2，可以解出


C=LR2=1×10－3(103)2=10－9F=103pF



（2） 电桥平衡时，桥支路可以开路，也可以短路。若开路，则等效阻抗Zin为


Zin=R+1jωC(R+jωL)R+1jωC+(R+jωL)=2R2+jRωL－1ωC2R+jωL－1ωC=R


此题的知识点是电桥和阻抗串并联。

【练习题52】在如图523所示的正弦电路中，R1=R2=10Ω，L=0.25H，C=10－3F，电压表的读数为20V，功率表的读数为120W。求U·2U·S及电压源的复功率。



图523练习题52图


解： 设U·2=20∠0°V，则电流I·1、I·2和I·分别为


I·1=jωCU·2=j0.02ωA，
I·2=U·2R2=20∠0°10=2∠0°A，
I·= I·1+ I·2=2+j0.02ωA


电路的有功功率为R1和R2消耗功率之和，即P=R1I2+R2I22，代入数值有


120=10×(22+0.022ω2)+10×22


从中可解得


ω=100rad/s


则


I·1=jωCU·2=j0.02ω=j2A，
I·= I·1+ I·2=2+j0.02ω=2+j2A


由KVL可得电源电压U·S


U·S=(R1+jωL)I·+ U·2=－10+j70=70.7∠98.13°V


这样，就有


U·2U·S=20∠0°70.7∠98.13°=0.283∠－98.13°


电压源U·S的复功率为


= U·SI·*=70.7∠98.13°×(2－j2)=70.7∠98.13°×22∠－45°

=200∠53.13°=120+j160VA




把复功率化为代数形式的目的是展现其由有功功率和无功功率构成的物理实质。

此题的知识点主要是电表的用法和交流电路的功率概念。电压、电流表的示数均为有效值，功率表给出的是有功功率。电压表和功率表在计算时均可去掉。

【练习题53】在如图524（a）所示正弦电路中，若a、b两端的戴维南等效阻抗Z0=－j2Ω，则压控电流源的控制系数g为多大？



图524练习题53图


解： 令图524（a）中的独立电流源I·S为零，即将电流源开路，并在ab两端外加电压U·0,得等效图如图524（b）所示，则由KCL和分压公式得


I·0=U·02－j2－gU·，
U·=－j22－j2U·0


解出


I·0=1+j2g2－j2U·0


戴维南等效阻抗为


Z0=U·0I·0=2－j21+j2gΩ


若需Z0=－j2Ω，则有2－j21+j2g=－j2，可以解得g=0.5S。

此题的知识点是戴维南等效阻抗的外加电压求解法和受控源的分析法。

【练习题54】在如图525所示的正弦电路中，已知IS=10A，ω=5000rad/s，R1=R2=10Ω，C=10μF，β=0.5。试用节点电压法求解各支路电流。



图525练习题54图


解： 选择b点为参考点，设I·S=10∠0°A。显然，列写节点a电压方程时可忽略电容。但因为受控源被该电容的电压控制，所以，还必须列写一个与电容电压有关的方程，即有



1R1+1R2U·a=I·S+βU·CR1
U·C=1jωCI·S


代入已知量可得


15U·a=10∠0°+0.510×10∠0°j5000×10－5


解得


U·a=502∠45°V


则各支路电流为


I·2=U·aR2=502∠45°10=52∠45°A，I·1= I·S－I·2=52∠－45°A



此题的知识点是节点电压法和电源等效及受控源的分析法。

【练习题55】在如图526所示的正弦电路中，已知R1=100Ω，R2=200Ω，L1=1H，I·2=0A，ω=100rad/s，U·S=1002∠0°V。试求其他各支路电流。



图526练习题55图


解： 由题意知，因为I·2=0A，则


I·1= I·，I·3=－I·4
I·=U·SR1+jωL1=1002∠0°100+j100=1∠－45°（A）

U·1=jωL1I·1=j100×1∠－45°=100∠45°（V）


因为I·2=0A，所以，U·2=U·1=100∠45°V，则有


I·3=U·2jωL2=100∠45°j100=1∠－45°（A），
I·4=－I·3=1∠(180°－45°)=1∠135°（A）


此题的关键是要理解L2与C发生并联谐振时才会使得I·2=0A。

【练习题56】写出如图527（a）所示电路的回路电流方程和节点电压方程。已知uS=102sin2tV，iS=2sin(2t+30°)A。



图527练习题56图


解： 将原时域电路转化为相量电路如图527（b）所示。

选取d点为参考点，设置回路（网孔）电流方向。由题意可得


U·S=10∠0°V，
I·S=1∠30°A，
ωL=8Ω，
1ωC=0.125Ω


因为恒流源的存在不利于列写回路电流方程，所以将恒流源与容抗一起等效为电压源


U·E=－j1ωCI·S=－j0.125×1∠30°=0.125∠－60°（V）



注意：  

在列写节点电压方程时，电流源I·S可不等效为电压源。



节点电压方程为



U·a= U·S
－U·a+2+11+j8U·b－ U·c=0
－j8U·a－ U·b+(2+j8)U·c= I·S


回路电流方程为



(2+j8)I·1－(1+j8)I·2－I·3= U·S
－(1+j8)I·1+(3+j8)I·2－I·3=0
－I·1－I·2－(2－j0.125)I·3= U·E



此题的知识点是节点电压法如何处理理想电压源和回路电流法如何处理有伴电流源。

【练习题57】求如图528（a）和图528（b）所示电路的谐振频率。



图528练习题57图


解： 如图528（a）所示电路的输入阻抗为


Zin=jωL11jωC1jωL1+1jωC1+jωL21jωC2jωL2+1jωC2=jωL11－ω2L1C1+jωL21－ω2L2C2（5.101）


一个LC网络是否发生谐振可从输入阻抗判断。若输入阻抗为零，则发生串联谐振； 若输入阻抗为无穷大，则发生并联谐振。

当式（5.101）为零时，电路发生串联谐振。可解出


ω=L1+L2L1L2(C1+C2)


当式（5.101）为无穷大，即1－ω2L1C1=0或1－ω2L2C2=0时，电路发生并联谐振。可解出


ω=1L1C1或ω=1L2C2


如图528（b）所示电路的输入阻抗为


Zin=U·L+ U·C2I·C+ I·C=jωL·3I·C+1jωCI·C3I·C=jωL+1j3ωC=jωL－13ωC（5.102）


显然，式（5.102）不能为无穷大，只有当ωL－13ωC=0，即ω=13LC时，电路发生串联谐振。

此题的主要知识点是串并联谐振电路的阻抗特性。


【练习题58】在图529（a）中，已知R1=1Ω，R2=2Ω，L=0.4mH，C=103μF，ω=1000rad/s，U·S=10∠－45°V。ZL为多少时能获得最大功率，最大功率为多少？



图529练习题58图


解： 用戴维南定理将ZL左端电路等效为电压源。断开ZL的电路如图529（b）所示。

（1） 求开路电压U·OC。列写节点电压方程



11－j+1j0.4+12U·a－12U·OC=10∠－45°1－j
－12U·a+12U·OC=0.5U·a（5.103）


求得


U·a=j52V，
U·OC=j52V



注意：  

在列写a点电压方程时，受控电流源可忽略，因为b点电压是U·OC。但在列写b点电压方程时，受控电流源就必须考虑。



（2）  求内阻Z0。因电路中有受控源，故可采用外加电源法求解，即假设给b、c两端施加电压源U·，就会产生电流I·，则从b、c两端看进去的等效阻抗就是Z0=U·I·。

对于图529（c），列写节点电压方程


11－j+1j0.4+12U·a－12U·=0（5.104）


可得


U·a=(0.1+j0.2)U·（5.105）


由KCL和式（5.105）可得


I·=U·－ U·a2－0.5U·a=(0.4－j0.2)U·（5.106）


由式（5.106）可得


Z0=U·I·=2+j1Ω



这样，可得戴维南等效电路如图529（d）所示。

根据最大功率传输定理可知当ZL=Z*0=2－j1Ω时，ZL获得最大功率


PLmax=U·E4R0=(52)24×2=6.25W


此题的知识点主要是含受控源电路的戴维南电路等效及最大功率传输问题。

【练习题59】在图530（a）中，已知Z1消耗的功率为80W，功率因数为0.8（感性）。Z2消耗的功率为30W，功率因数为0.6（容性）。求电路总阻抗的功率因数。



图530练习题59图


解： 本题可利用功率三角形（如图530（b）所示）计算。由公式P=Scosφ可得


S1=P1cosφ1=800.8=100（VA）


则有


Q1=S21－P21=1002－802=60（var）


同理


S2=P2cosφ2=300.6=50（VA）

Q2=－S22－P22=－502－302=－40（var）


电路总有功功率和无功功率分别为


P=P1+P2=100+30=110W，
Q=Q1+Q2=60－40=20（var）


总视在功率为


S=P2+Q2=1102+202=111.8（VA）


总功率因数为


λ=cosφ=PS=1101102+202=0.98



因为Q>0，所以总功率因数λ为感性。功率因数的性质体现在无功功率的正负极性上。

【练习题510】在图531（a）中，已知R=10Ω，L=0.01H，n=5，uS=202sin1000tV。求电容C为多大时电流i的有效值最大并求此时的电压u2。



图531练习题510图


解： 由理想变压器阻抗变换特性，即式（4.123），可得等效图如图531（b）所示。


Zin=Rin+j(XLin－XCin)=n2ZL=521jωC=－j25XC→XCin=25XC


显然，在图531（b）中，当XL=XCin=25XC时，电路发生串联谐振，电流I最大。

有


1000L=2511000C


解出


C=25×10－4F=2500μF


初级、次级电流为


i=uSR=22sin1000tA，i2=ni=102sin1000tA


则


u2=－j1ωCi2=11000×0.0025102sin(1000t－90°)=42sin(1000t－90°)V


此题的知识点主要是理想变压器的特性和谐振概念。

【练习题511】在图532（a）中，已知L1=L2=L、互感M和电源频率ω。若要求ZL改变时I·L保持不变，阻抗Z应取什么性质的元件并计算其参数。



图532练习题511图


解： 先根据图532（a）消去互感，得等效图如图532（b）所示。再用诺顿定理化简为图532（c）。 显然，若等效导纳Y0=0，即Y0支路开路，则I·L就等于恒流源电流I·SC且与ZL无关。

等效导纳


Y0=1jωL－M2+jωM+1Z=1jωL+M2+1Z


令Y0=0，即有1jωL+M2+1Z=0，可以解出


Z=－jωL+M2（5.107）


也就是说，当Z为容抗时，Y0=0，电流I·L就与ZL无关。

设Z=－j1ωC，代入式（5.107），得电容量为


1ωC=ωL+M2→C=2ω2(L+M)F


因为I·SC的具体数值与求解无关，所以不用求出I·SC。

此题的主要知识点是互感去耦、诺顿定理以及恒流源回路电流大小与负载无关。

通过上述练习题可知，在用相量法分析交流电路时，需要格外注意： 

（1） 在电压或电流相量叠加时，会出现和相量小于分电压或分电流相量甚至为零的情况。其原因是“相量”的叠加类似于“向量”，其“和”与两个叠加相量的相位角有关！

（2） 正弦稳态电路的功率问题比直流电路复杂。除了电阻吸收或消耗的有功功率外，要深刻理解储能元件（电感和电容）所吸收的无功功率以及将有功功率与无功功率联系起来的视在功率概念及其计算方法。



视频讲解


5.11结语

综上所述，可以得到如下结论： 

（1） 将正弦量用相量表示后，交流电路的分析方法与直流电路的基本相同。

（2） 滤波和移相是交流处理电路的两大重要功能。

（3） 无功功率既是交流换能电路的一个特点，也是电力系统中一个关注点。

本章主要概念和内容框图及思维导图

本章主要概念和内容框图及思维导图如图533所示。



图533第5章主要概念和内容框图及思维导图

实践拓展——触电现象

人们常说的“触电”是指人体某一部分接触了电线（电极）从而导致电流通过人体的现象。有资料表明，2mA以下的电流通过人体，仅产生麻感，对人体影响不大； 8～12mA电流通过人体，肌肉自动收缩，身体可自动脱离电源，除感到“被打了一下”外，对身体损害不大； 但超过20mA的电流可导致接触部位皮肤灼伤，皮下组织也可因此而碳化； 25mA以上的电流即可引起心室起颤、血液循环停顿及死亡。根据国际电工委员会IEC的标准，人体可承受的安全电流是10mA。

1984年颁布的国家标准GB 3805—83《安全电压》中规定，安全电压值的等级有42V、36V、24V、12V、6V五种。当电压超过24V时，就必须采取防止直接接触带电体的保护措施。安全电压指对人体不造成任何损害的电压值。

“触电”原理是人身体的某一部分碰触到了裸露的电线（电源正极），电流在电压的作用下通过人体进入大地再回到电源负极，相当于电源利用人体和大地构成了回路； 也有人体两个部分接触电线，从而使电源通过人体构成回路的触电情况发生，如图534所示。因此，若只是碰触到了电极，但没有构成回路，就没有电流通过身体使人受到伤害。这就是要求在脚下垫上木制品（使人体与大地绝缘），再进行换灯泡、装灯具、接插座等操作的原因。



图534人体触电示意图

一旦遇到触电事故，要做到如下几点： 

（1） 使触电者迅速脱离电源。设法迅速切断电源，如拉开开关或刀闸、拔下电源插头。

（2） 施救者不可直接用手或身体其他部位碰触触电者。可用绝缘物体，比如木制品、绳索等将触电者与电线或电极分离，也可抓住触电者干燥而不贴身的衣服将其拖开。

（3） 触电者脱离电源后，要让其平躺，不可摇动头部。

（4） 若触电者没有呼吸或心跳，则须进行口对口或口对鼻的人工呼吸及胸外按压。胸外按压与人工呼吸应同时进行，其节奏为每按压15次后吹气2次，反复进行。


哲言智语

马克思主义者认为人类社会的生产活动，是一步又一步地由低级向高级发展，因此，人们的认识，不论对于自然界方面，对于社会方面，也都是一步又一步地由低级向高级发展，即由浅入深，由片面到更多的方面。——《实践论》

人们要想得到工作的胜利即得到预想的结果，一定要使自己的思想合于客观外界的规律性，如果不合，就会在实践中失败。——《实践论》




视频讲解


本章习题


51如图535所示交流电路，请问电压表V2的读数是多少？（（a）80V;（b）80V;（c）160V）



图535习题51图


52如图536所示电路，ω=5000rad/s。求使输入阻抗Zin为纯阻时的C值及Zin值。（2μF，50Ω）

53如图537所示电路，写出输入阻抗Zin并求使其虚部为零时的角频率ω0。ω0=1LC－RL2


54一个电容加500V直流电压时（见图538），测得通过其电流为0.1A。而加50Hz的500V交流电压时，测得电流为0.4A。求该电容的电容量C和漏电导G。（2.47μF，0.2mS）



图536习题52图




图537习题53图




图538习题54图



55如图539所示电路，ω=2000rad/s，U·S=10∠0°V，求I·、U·L和U·C并画出相量图。26∠45°A，1023∠135°V，2523∠－45°V

56如图540所示电路，iS=22sin(10000t)mA，求端电压和各支路电流并画出相量图。
（22∠45°V，2∠45°mA，2∠135°mA，22∠－45°mA） 



57如图541所示电路，已知U·S1=100∠0°V，U·S2=100∠－120°V，I·S=2∠0°A，XL=XC=R=5Ω，试用叠加定理求I·1和I·2。（40∠137°A，39.2∠－72.2°A）



图539习题55图




图540习题56图




图541习题57图



58如图542所示电路，已知iS1=0.5sin(50000t)A，iS2=0.25sin(50000t)A，uS=2sin(50000t)V，试用叠加定理求uX。（uX=1.6sin(50000t+36.87°)V）


59如图543所示电路，已知U=100V，IL=10A，IC=15A，U·比U·ab超前π4。求R、XL和XC。102Ω，52Ω，1032Ω

510如图544所示电路，已知Z1=1－j1Ω，Z2=j0.4Ω，Z3=2Ω，ZL=1+j2Ω，U·S=10∠－45°V。求阻抗电流I·L。53∠45°A




图542习题58图




图543习题59图




图544习题510图



511已知交流电压源U·S=100∠0°V，ω=1000rad/s，内阻抗ZS=50+j75Ω； 负载R=100Ω。 问在电源与负载之间用电容接成怎样的电路才能使负载R获得最大功率？画出电路图并求出元件参数和最大功率值。（电容接成7字形，40μF，10μF，50W）

512电压信号源的角频率ω=1000rad/s、内阻RS=100Ω。负载RL=75Ω。试在它们之间设计一个电路，要求RL获得最大功率，并使负载电流I·2超前信号源电流I·1 30°。
（电容和电感接成倒L形。23.1μF，0.1732H，I·2=23∠30°×I·1A）


513求如图545所示电路的戴维南等效相量图。－j110V，23(6－j)Ω

514如图546所示电路，当ZL=0时，I·=3.6－j4.8mA，当ZL=－j40Ω时，I·=10－j0mA。 求网络N的戴维南等效电路。（0.3∠0°V，30+j40Ω）




图545习题513图



图546习题514图



515用节点电压法求如图547所示电路中的uX。已知u1=20cos(4000t)V，u2=50sin(4000t)V。uX=100sin4000t+π2V

516用节点电压法求如图548所示电路中的iX。已知u=20sin(4t)V。

（iX=7.59sin(4t+108.4°)A）



图547习题515图




图548习题516图



517如图549所示电路，已知uS=6sin(3000t)V，用网孔电流法求i。

（i=6sin(3000t+90°)mA）

518用网孔电流法求图550电路的输入阻抗Zin。（1.9∠19.1°Ω）



图549习题517图




图550习题518图



519设计如图551所示接口电路中的电抗X1和X2值，使得从电源端向右看进去的输入阻抗为50Ω，从负载端向左看进去的输出阻抗为600Ω。若ω=106rad/s，求X1和X2所需的电感和电容值。（165.8Ω，±180.9Ω，165.8μH，5.53nF）

520图552为雷达指示器的移相电路，R1的中点接地。证明当R=XC时，U·1、U·2、U·3和 U·4大小相同，相位依次差90°。设 U·S=U∠0°V。



图551习题519图




图552习题520图



521如图553所示理想变压器电路，已知U·S=100∠0°V，I·S=100∠0°A，且它们同频率； R1=R2=1Ω，RL=10Ω。求负载获得最大功率时的匝比、最大功率和次级电流。（n=20，5kW，205∠0°A）

522求图554所示电路的输入电阻。已知n=0.5。（8/3Ω）


523求图555所示电路的输入阻抗Zin、电流I·1和I·2。已知U·S=100∠0°V。（4.9∠85.3°Ω，20.4∠－85.3°A，4.01∠－6°A）

524求图556所示电路的输入阻抗Zin。（4－j4Ω）




图553习题521图




图554习题522图





图555习题523图




图556习题524图