第3章电阻电路系统法分析 本章的基本任务是学习线性电阻电路的几种系统分析方法，以便从不同角度进行线性电路的分析计算， 为深入理解电路的一般规律和编制计算机程序提供理论依据。 3.1基本要求 （1） 掌握支路法。 （2） 牢固掌握并熟练应用网孔分析法和回路分析法。 （3） 牢固掌握并熟练应用节点分析法。 （4） 掌握理想运算放大器的电路模型及其主要特点，熟练运用“虚断”和“虚短”的概念分析含理想运算放大器的电阻电路。 （5） 掌握和熟练应用叠加定理，理解对偶原理。 （6） 熟练运用系统法等效化简一端口电路。 3.2理论提要 电路系统分析法是对给定了拓扑结构、元件参数和激励电源的电路，选择合适的电路变量，依据KCL和KVL建立电路方程并求解电路变量，再按元件的伏安关系求出待求量的分析方法。由于电路变量选择的不同，电路系统分析法通常分为支路法、网孔分析法、回路分析法和节点分析法。这些方法均是依据KVL、KCL来列写求解变量的线性方程，通过求解方程而得到分析计算的结果，所以系统分析法也称为电路方程法。 叠加定理、替代定理、戴维南定理（诺顿定理）、特勒根定理和互易定理共同构成了电路的基本定理。电路基本定理描述了线性电路的基本性质，是分析线性电路的重要方法。它们既可以从系统法得到论证，又有助于对网络分析的一般方法加深理解，并简化其分析计算。其中，叠加定理揭示了线性电路的最基本的性质——叠加性，它的重要性不仅在于提供了电路分析中用的叠加法，尤其在于它为其他网络定理的证明和分析法提供了理论依据。由它引出的齐性定理，也为电路分析提供了方便。 1. 电阻电路系统分析方法 电阻电路的系统分析方法主要有支路分析法、网孔分析法、回路分析法和节点分析法。 1) 支路分析法 支路分析法即支路电流法，简称支路法。支路法直接以支路电流为电路变量，按照ＫC Ｌ、ＫVＬ建立与支路电流数相等的独立方程，从而解得支路电流的分析方法。建立方程关键是选 择独立节点列出节点电流方程和选择独立回路列出回路电压方程。 对于有b条支路n个节点的电路，在确定支路电流参考方向的条件下，选择任一节点为参考点 ，则其他节点即为独立节点，按照ＫCＬ可列出ｎ-1个独立节点方程。独立回路的选 择，可按每次选取的回路至少有一条新支路(独立回路)的方法选取，直到选出ｌ=b-（ｎ-1）个。取法有两种： ①对于平面 网络，每个网孔就是一个独立回路； ②先将电路中连接全部ｎ个节点的ｎ-1条支路(树支 )保留不动，其他支路(连支)暂时移出，然后将被移出的支路逐条添加上去，每添一条就得一个 独立回路(单连支回路)。选好独立回路后，指定回路绕向，按照ＫVＬ列出ｌ=b-（ ｎ-1）个独立回路方程。两组方程的总数ｎ-1＋b-（ｎ-1）为支路数b，满足 待求变量支路电流的数目。支路法的缺点是方程数目多，分析计算量大。 由上面的分析已知，一个网络有ｌ=b-（ｎ-1）个独立回路，有ｎ-1个独立节点，如果分 别以独立回路电流和独立节点电压为求解变量，就是回路分析法和节点分析法 。这些方法的独立变量和独立方程数目均较支路法大为减少，而且电路方程的建立和求解具有 系统性和规则性，是线性电路普遍适用的一般分析方法。 2) 网孔分析法 对于平面电路，网孔是平面电路中若干支路组成的区域内没有支路交叉的独立回路。网孔电 流是假想的沿网孔边界流动的电流，就是独立回路电流。各网孔电流之间不受ＫCＬ的 约束，一旦求出了网孔电流，则各支路电流就可从有关的网孔电流的代数和求得。以网孔电 流为变量分析电路的方法，称为网孔电流分析法，简称网孔分析法（网孔法）。网孔法是分析电路 的有效方法，但当电路中含有电流源时，由于电流源的端电压未知，要设其为未知量，使方 程数目增加，增加了分析计算量。 3) 回路分析法 用回路分析法求解含有电流源的电路 时，若假想的沿回路边界流动的回路电流选择适当，即只让一个回路电流通过电流源，则这个回路电流的量值就是电流源的量值，未知量就少了一个，方程也就少了一个，方程越少 分析求解越方便。回路电流求得后，各支路电流、支路电压就可从有关的回路电流的代数和 求得。这种以回路电流为变量分析电路的方法，称为回路电流分析法，简称回路分析法（回路法）。 网孔分析法是回路分析法的特例。 4) 节点分析法 节点电压(也称节点电位)是由节点指向参考节点的电压。各节点电压之间不受ＫVＬ 的约束，一旦求出了节点电压，则各支路电压就从有关节点电压之差求得。节点电压分析法特 有的优点是： ①独立节点电压容易确定； ②适用于平面网络和非平面网络； ③便于 编制 程序，易于采用计算机分析。这种以节点电压(电位)为变量分析电路的方法，称为节点电压 (电位)分析法，简称节点分析法（节点法）。 由上叙述可知各种系统分析方法的优缺点。学习系统法，应从支路法入手，支路法是方程法 的基础，集中主要精力于网孔法、回路法和节点法。牢固掌握和熟练应用它们 的理论依据、独立变量的选择、运用特点、步骤和规律性。 几种分析方法小结见表31。 表31几种分析方法小结 分析方法支路法网孔法回路法节点法 电路变量支路电流网孔电流回路电流节点电压 理论根据ＫCＬ、ＫVＬＫVＬＫVＬＫCＬ 分析步骤① 选定各支路电流的参考方向； ② 对ｎ-1个独立节点列写ＫCＬ方程； ③ 选取b-ｎ＋1个独立回路，列写ＫVＬ方程； ④ 联立求解b个独立方程，得出各支路电流； ⑤ 选一个未用过的回路，若满足∑ｕ=0,则求解正确。或用功率平衡验算 ① 选定网孔电流参考方向； ② 利用自电阻、互电阻及网孔电压源电位升等概念，列写ｌ=b-（ｎ-1）个网孔电流方程； ③ 解方程求得各网孔电流； 标出各支路电流的参考方向，求出各支路电流、电压和功率； ④ 选外回路，若满足∑ｕ=0,则分析正确① 选定b-ｎ＋1个独立回路，并假定回路电流方向； ② 利用自电阻、互电阻及回路电压源电位升等概念,直接列写回路电流方程； ③ 联立求解这b-ｎ＋1个独立方程，求出各回路电流进而求其他待求量； ④ 选择一个未用过的回路，若满足∑ｕ=0,则分析正确。  如有电流源，只让一个回路电流通过电流源,且方向一致，此时回路电流就等于电流 源的电流，该回路的ＫVＬ 方程不需要列写 ① 选定参考节点，标出其他节点电压； ② 对ｎ-1个独立节点利用自电导、互电导及电流源流进（出）的概念列写节点电压方程； ③ 解方程求得各节点电压进而 求各支路电压、电流和功率； ④ 对参考节点，若满足∑ｉ=0,则分析正确。 * 若有无伴电压源，则取其中一个无伴电压源的负极端为参考节点，另一端节点电压为该电压源的数值，可不列写该节点的电压方程 电路方程用ＫCＬ对ｎ-1个节点列写,有关支路电流 的代数和等于零； 用ＫVＬ对b-ｎ＋1个独立回路列写,有关支路电压的代数和等于零 R11Ｉ1＋R12Ｉ2＋…＋ R1ｎＩｎ=US11 R21Ｉ1＋R22Ｉ2＋…＋ R2ｎＩｎ=US22 … Rｎ1Ｉ1＋Rｎ2Ｉ2＋…＋ RｎｎＩｎ=USｎｎ R11，R22，…，Rｎｎ为各网孔的自电阻，自电阻为正； Rｉｊ为网孔间的互电阻，互电阻在两网孔电流流过它时，方向一致为正，否则为负； USｉｉ为网孔电压源电压的代数和，与网孔电流绕向一致为负，否则为正 R11Ｉ1＋R12Ｉ2＋…＋R1ｎＩｎ=US11 R21Ｉ1＋R22Ｉ2＋…＋R2ｎＩｎ=US22 … Rｎ1Ｉ1＋Rｎ2Ｉ2＋…＋RｎｎＩｎ=USｎｎ R11，R22，…，Rｎｎ为各回路的自电阻，自电阻为正； Rｉｊ为回路间互电阻，互电阻在两回路电流流过它时，方向一致为正，否则为负； USｉｉ为回路电压源电压的代数和，与回路电流绕向一致为负，否则为正。 若有电流源，且取回路电流的序号与电流源序号一致，则有Ｉｋ=ＩSｋ Ｇ11U1＋Ｇ12U2＋…＋Ｇ1ｎUｎ=Ｉ S11 Ｇ21U1＋Ｇ22U2＋…＋Ｇ2ｎUｎ=ＩS22 … Ｇｎ1U1＋Ｇｎ2U2＋…＋ＧｎｎUｎ= ＩSｎｎ Ｇ11，Ｇ22，…，Ｇｎｎ为各节点的自电导，自电导为正； Gｉｊ为节点间的互电导，互电导为负； ＩSｉｉ为注入各节点的电流的代数和，流入节点为正，流出节点为负。 * 与电流源串联的电阻不计入方程 物理意义在各电源的作用下，流入(流出)各节点的电 流代数和为零，各回路 中所有支路电压的代数和为零在各电压源的作用下，沿网孔电流方向，各电阻电压降的代 数和等于该网孔电压源电位升的代数和在各电压源的作用下，沿回路电流方向各电阻 电压降的代数和等于该回路电压源电位升的代数和在各节点电压的共同 作用下，流出节点的电流代数和等于流入节点的电流源电流的代数和 2. 具有理想运算放大器的电阻电路分析 1） 运算放大器的电路模型 运算放大器(简称运放)是作为元件引入的，因此不研究它的内部结构、电路和工作原 理 ，只介绍它的外部性能，即端钮上的伏安关系。 运放是一个多端元件，实际上是高放大倍数的直流电压放大器，其符号如图31（ａ ）所示。它有两个输入端，ａ端称为反相输入端，在“矩形”图形符号里标以“-”； b 端为同相输入端，在图形符号里标以“＋”。一个输出端用ｏ表示，还有输入输出的 公共 端钮，用ｇ表示。除上述端钮外，还有加电源的端钮、调整端钮等，因与电路分析无直接关 系，故一般不画出来。运放是一种单方向工作的器件，即只有在它的输入端加信号电压时， 电压才能被放大。 运放的输入输出特性是非线性的，可用图31 （ｃ）来近似地描述。本章中把运放的工作范围局限在线性段，即-US＜ｕ o＜US（US为电源电压)，则输出和输入的关系为 ｕｏ=A（ｕb-ｕａ）=Aｕｉ 其中A为开环电压放大倍数，即图31（ｃ）中斜线的斜率。 图31 运放的电路模型如图31（b）所示。Rｉ为输入电阻； Ro为输出 电阻 ； A(ｕb-ｕａ）为电压控制电压源。 图32 2） 理想运算放大器 若运放的输入电阻Rｉ→∞，输出电阻Ro=0，电压放大倍数A→∞，这种 运放称为理想 运算放大器（理想运放）。理想运放的电路符号如图32所示。 其主要特点是：  由于在理想情况下Rｉ→∞，所以ｉｉ=ｕｉ Rｉ≈0，即流入运放输入端口的电流为零，可视为断路，但不是真正的 断路，故称为“虚断”。  由于理想运放的A→∞，而输出电压ｕｏ为有限值，所以ｕｉ =ｕｏA≈0，即ｕｉ=ｕb-ｕａ ≈0，故有ｕb=ｕａ。也就是说输入端口的电压为零，可视为短路 ，但又不是真正的短路，所以称为“虚短”。  由于Ro=0，其输出电压为受控源二端的电压，与输出端所接电路无关。 在掌握运算放大器的概念和特点的基础上，对具有运放的电阻电路进行分析 ，运放一般不单独使用，它总是和其他元件一起构成不同的电路，以实现不同的功能。 所涉及的运放均处于放大工作状态按理想运放对待，因此，只要紧紧抓住理想运放的特点——“虚断”和 “虚短”，并正确运用，就不难分析含有理想运放的电路。 3. 叠加定理、齐性定理和替代定理 1） 叠加定理 叠加定理可以表述为： 线性电阻电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的代数和。当电路中存在受控源时，叠加定理仍然适用，但不能当激励作用。使用叠加定理时应注意以下几点： （1） 叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。 （2） 在各电源单独作用时，不作用的电压源置零，原电压源处用短路代替； 不作用的电流源置零，原电流源处用开路代替。电路中所有电阻都不予变动，受控源仍保留在各个分电路中。 （3） 计算各独立源单独作用时，电路中的电流、电压参考方向如与原电路中的参考方向相同 时，叠加时取正，否则取负。 （4） 功率不能用叠加定理计算，必须用叠加后的电压、电流计算功率。 2) 齐性原理(齐次定理) 齐性原理可以表述为： 在线性电路中，当所有激励同时增大k倍（缩小为原来的1/k）时，响应也相应增大k倍（缩小为原来的1/k）。 应用齐性原理要注意： （1） 激励是指独立电源； （2） 当电路中只有一个激励时，响应与激励成正比。 3) 替代定理 替代定理可以表述为： 在给定的任意一个线性或非线性的电路中，若第k条支路的电压ｕｋ和电流 ｉｋ为已知，则该支路可以用一个电压等于ｕｋ的电压源，或一个电流等于ｉｋ的电 流源，或一个电阻值等于ｕｋ/iｋ的电阻替代，替代后电路中各支路电压和电流均保持 原值，即不破坏原来电路的电气关系。 替代时要注意： 不能形成电压源回路，也不能形成电流源割集。 4. 系统法等效化简一端口电路 对于有源一端口网络，除用等效变换方法得到最简的戴维南等效电路或诺顿等效电路，在电路分析中常用回路法和节点法等系统方法得到端口的伏安关系，从而确立其uoc或isc和Ri，得到最简等效电路。 本章重点难点 网孔法、回路法和节点法是本章学习的重点 。采用节点法，可 把有伴电压源变换成有伴电流源，也可直接用电压源的电压除以它的内阻写在方程等号的右 边。如果电压源的“＋”极性在所分析的节点则取正号，否则取负号。 运用节点法时，要特别注意对无伴电压源及电流源与电阻串联支路的处理，当电路中具有两个或 两个以上无伴电压源时，正确列写节点方程是本章的难点。 对于复杂电路采用何种方法分析，要具体问题具体分析，一般来说，若电路中电流源较多，常选择回路法，若电流源大多分布在电路的外围，则往往选择网孔法； 若电路中电压源较多，且独立节点数与独立回路数相当或者更少，则选择节点法。 叠加定理、替代定理、戴维南定理（诺顿定理）、特勒根定理和互易定理等定理都是线性电路的重要定理，其中较常用的是叠加定理，用得最多的是戴维南定理。对于不含受控源的网络，根据两个定理进行分析并不困难。但当网络含有受控源，运用叠加定理时，不同独立源单独作用或分组作用都会带来控制量的变化； 而求戴维南电路除源电阻时，要计及受控源的影响，必须采用外加电源法或控制量为“1”法或开路短路法。这些往往会使初学者顾此失彼，难以掌握，这是本章的难点。需要综合应用各定理时，难度往往更大。 3.3典型题解析 1. 支路分析法 例31列写图33所示电路的支路电流方程。 图33 解把R3、ＩS3看成一条支路，该电路便有6条支路 、4个节点，选支路电流标号与支路电阻标号一致,各支路电流方向及节点电压标号见图示 。取节点④为参考节点。统一设定流出节点的支路电流为正，流入节点的支路电流为负，则有 节点① -Ｉ1-Ｉ2＋Ｉ5=0 节点② Ｉ1-Ｉ3＋Ｉ4=0 节点③ Ｉ2＋Ｉ3-Ｉ6=0 取3个网孔作为独立回路，取回路绕向是顺时针方向，设定电阻电压降与绕行方向一致取正号，否则取负号，由ＫVＬ有 R1Ｉ1＋R5Ｉ5-R4Ｉ4=US1＋US4 -R2Ｉ2-R5Ｉ5-R6Ｉ6=0 R4Ｉ4＋R6Ｉ6＋R3（Ｉ3-ＩS3）=-US4 将上述三方程整理后便有 R1Ｉ1-R4Ｉ4＋R5Ｉ5=US1＋U S4 -R2Ｉ2-R5Ｉ5-R6Ｉ6=0 R3Ｉ3＋R4Ｉ4＋R6Ｉ6=-US4＋R3ＩS3 将三个节点电流方程和三个回路电压方程联立求解，可得各支路电流及其他待求量。此例中如将R3、IS3看作两条支路，请读者思考怎样列写方程。 图34 2. 网孔分析法和回路分析法 1) 常规电路的网孔电流分析和回路电流分析 例32列写图34中的网孔电流方程和回路 电流方程。 解法1此例独立回路数为3个，选定三个网孔电流ｉ1、ｉ2、ｉ3 如图34中所示，则网孔电流方程为 （1＋2＋3）ｉ1-3ｉ2-2ｉ3=16-6 -3ｉ1＋（1＋2＋3）ｉ2-ｉ3=6-4 -2ｉ1-ｉ2＋（1＋2＋3）ｉ3=-2 即 6ｉ1-3ｉ2-2ｉ3=10 -3ｉ1＋6ｉ2-ｉ3=2 -2ｉ1-ｉ2＋6ｉ3=-2 解得网孔电流为 i1=3 A,i2=2 A,i3=1 A 解法2若选回路电流与网孔电流相同 ，则回路电流方程与上述方程一样。解上述方程组可得各网孔(回路)电流。网孔是回路的特例，读者自行选择回路电流列写回路电流方程进行回路法分析。 该电路不含受控源，方程的系数行列式对主对角线对称，此特点可用来检验方程的正确性。 2) 含电流源电路的网孔电流分析和回路电流分析 图35 电流源的电流恒定或是给定的时间函数，它的端电压不确定而取决于外电路。这就给 网孔电流方程的建立带来困难，可根据电流源在电路中所处的两种位置，予以分别处理。 （1） 电流源仅处于一个网孔， 此时该网孔电流等于电流源电流为已知，该网孔的电压方程不 必列写，其他网孔电流方程按常规列写。 例33列写图35所示电路的网孔电流方程。 解选网孔电流ｉ1、ｉ2、ｉ3如图35所示，电流源在外围支路上，其正好为网孔电流，则网孔电流方程为 （R2＋R3＋R4）ｉ1-R3ｉ2-R4ｉ3=US2 -R3ｉ1＋（R1＋R3）ｉ2=US1-US3 ｉ3=ＩS （2） 电流源处于两网孔的公共支路上。 例34试求图36（ａ）中的电压Uo。 图36 解法1直接用网孔法。5 A电流 源在网孔电流ｉ1、ｉ2的公共支路上，5 A电流源端电压未知，设其为U，网孔电流ｉ 1、ｉ2、ｉ3如图36(a)中所示。由于增设了一个辅助变量U，必须增加一个有关网孔电流 与5 A电流源电流相约束的辅助方程，网孔电流方程为 2ｉ1＋U=10① 3ｉ2-2ｉ3-U=0② -2ｉ2＋4ｉ3=0③ 辅助方程为 ｉ2-ｉ1=5④ 式①＋式②得 2ｉ1＋3ｉ2-2ｉ3=10⑤ 由式③得 ｉ2=2ｉ3⑥ 由式④得 ｉ1=ｉ2-5=2ｉ3-5⑦ 将式⑥、式⑦代入式⑤得 2（2ｉ3-5）＋3×2ｉ3-2ｉ3=10 8ｉ3=20 ｉ3=2.5 A 所以Uo=2.5 V 解法2本例也可用回路法求解。只让 一个回路电流通过5 A电流源，取回路电流Ｉａ、Ｉb、Ｉｃ如图36(b )所示。回路电流方程为 5Ｉａ＋3Ｉb-2Ｉｃ=10⑧ Ｉb=5⑨ -2Ｉａ-2Ｉb＋4Ｉｃ=0⑩ 式⑨代入式⑧和式⑩并整理得 5Ｉａ-2Ｉｃ=-5 -Ｉａ＋2Ｉｃ=5 式＋式×5得 8Ｉｃ=20 Ｉｃ=2.5 A 所以Uo=2.5 V 可见，用回路法方程数少，求解更方便些。熟练后式⑨可不列出，其值直接代入其他回路方程。 解法3此例是求Uo，可以把5 A电流 源变换一下位置，如图36(ｃ）所示，此时再用网孔法较方便。 （3） 含理想受控电流源的网孔分析和回路分析。 例35试求图37（ａ）所示电路 中电流I及受控电流源的功率。 图37 解电路含有电流源和受控电流源，前者在两网孔的公共支路 上，如用网孔法分析，必须在5 A电流源两端设一电压，比较麻烦。而用回路法， 取回路如图37(b）所示，就比较方便。列方程时受控源按独立源看待，并把控制量 用回路电流表示，回路电流方程为 Ｉ1=5 A① Ｉ2=0.25U2② U2=（Ｉ3-Ｉ1）×5③ （1＋1＋5）Ｉ3-5Ｉ1＋Ｉ2=1-20-4④ 式①代入式③，式③再代入式②得 Ｉ2=0.25（Ｉ3-5）×5=1.25Ｉ3-6.25⑤ 将式①和式⑤代入式④得 7Ｉ3-5×5＋1.25Ｉ3-6.25=-23 8.25Ｉ3=8.25 Ｉ3=1 A Ｉ2=1.25×1-6.25=-5 A 所以 Ｉ=-（Ｉ2＋Ｉ3）=-（-5＋1）=4 A 设VCCS的端电压U的方向与其回路电流I2关联，由ＫVＬ则有 U＋5Ｉ2＋10（Ｉ1＋Ｉ2）＋4＋（Ｉ2＋Ｉ3）×1=0 U=-5×（-5）-10×（5-5）-4-（-5＋1）×1=25 V 所以受控源的功率 Ｐ0.25U2吸=25×（-5）=-125 W＜0(实际发出) 思考求解过程中，VCCS与5 Ω电阻串联的支路可等 效为VCCS，而将5 Ω电阻去掉时，对求解I和受控电流源的功率有无影响? 图38 3. 节点分析法 1) 只含电流源和电阻电路的节点分析 例36列写图38所示电路的节点电压方程。 解该电路由电阻和电流源构成，共有4个节点，参考节点选在下面，设其他节点电压 分别为ｕ1、ｕ2和ｕ3，节点电压方程为 （Ｇ1＋Ｇ4）ｕ1-Ｇ4ｕ2-0ｕ3=ｉS1 -ｉS6 -Ｇ4ｕ1＋（Ｇ2＋Ｇ4＋Ｇ5）ｕ2-Ｇ5ｕ3=0 -0ｕ1-Ｇ5ｕ2＋（Ｇ3＋Ｇ5）ｕ3=ｉS3＋ｉS 6 图39 电路不含受控源，故系数行列式关于主对角线对称。 2) 含有伴电压源电路的节点分析 例37求图39所示电路的各节点电压。 解参考节点已选定，令其余各节点电压分别为ｕ1、ｕ2和ｕ 3。该电路中各支路给出的是电阻值，而节点方程中为电导，这应特别注意。电路含2个有 伴电压源，如用等效变换将它们变成有伴电流源，就可以用常规方法列写方程。也可不进行等 效变换，直接列写方程，有伴电压源引起的电流用其电压与串联电阻的比值表示。所考 虑的节点在电压源的正极端时，比值写在方程等号右边，取正号； 反之取负号。另外，该题中 还有一个1 A电流源与5 Ω电阻串联支路，按电流源与电阻串联等效的原理可等效为1 A电流源 ，所以5 Ω不能作为自导(凡是与电流源相串联的电阻或电导，在列写节点电压方 程时，该电阻或电导不能作为自导或互导，其理由是该电阻或电导不影响该支路电流)。 考虑了上述诸问题后，可得该电路的节点电压方程为 12＋12＋11ｕ1-11ｕ2-12ｕ3=32-72 -11ｕ1＋11＋ 12ｕ2-12ｕ3=1＋1.5 -12ｕ1-12ｕ2＋ 12＋12＋11ｕ3=72-1.5 整理后得 4ｕ1-2ｕ2-ｕ3=-4 -2ｕ1＋3ｕ2-ｕ3=5 -ｕ1-ｕ2＋4ｕ3=4 解得 ｕ1=1 V，ｕ2=3 V，ｕ3=2 V 3) 含无伴电压源电路的节点分析 理想电压源的端电压恒定或是给定的时间函数，但输出电流不定，它取决于外电路。这给列 写节点电压方程带来困难，要根据情况作相应处理。 （1） 若电路中只有一个理想电压源，选取电压源的一端为参考节点，则另一端的节点电压即 为已知，就是此电压源的电压，该节点的电流方程就不用列写。 图310 例38用节点分析法求图310所示电路中的电压ｕ和电流ｉ。 解该电路只有一个理想电压源，可选其负端节点④为参考节点，其节 点电压方程为 ｕ1=2 V① -12ｕ1＋12＋ 12ｕ2-0ｕ3=4② -11ｕ1-0ｕ2＋11＋ 11ｕ3=-4③ 式①分别代入式②和式③可得 ｕ2=5 V，ｕ3=-1 V 所以ｕ=ｕ2-ｕ3=5-（-1）=6 V ｉ=ｕ1-ｕ31=2-（-1）1=3 A 熟练之后，u1直接代2 V，不必单独列出。 （2） 电路中有两个(无公共节点)以上理想电压源。由于无公共节点，选其中一个电压源的一 端为参考点，则其他电压源就不能与参考点直接相连，理想电压源支路的电导为无限大， 无法列节点方程，可将其电流作为变量，暂时把它当作未知电流源处理。由于未知量增加，必须增加相应的有关节点电压与理想电压源 之间关系的辅助方程。 例39用节点分析法求图311（a）所示电路 中电流i1和i2。 图311 解法1该电路有两个理想电压源，无公共节点。选④为参考节点，并设6 V电压源中电流为ｉ，该电路节点电压方程为 ｕ1=12 V① -13ｕ1＋13＋ 14ｕ2=ｉ② -11ｕ1＋11＋ 12ｕ3=-ｉ③ 辅助方程为 ｕ2-ｕ3=6 V④ 式②＋式③并整理得 -16ｕ1＋7ｕ2＋18ｕ3=0⑤ 式①代入式⑤得 7ｕ2＋18ｕ3=192⑥ 式⑥-式④×7得 25ｕ3=150 ｕ3=6 V ｕ2=6＋6=12 V 所以 i1=ｕ1-ｕ23=12-123=0 i2=u1-u31=12-61=6 A 解法2用广义节点概念列写方程，画出包围节点②、③的广义节点圈如图311（b）所示，应用KCL对广义节点列出节点电压表示的方程有 13+14u2+1+12u3-13+1u1=0⑦ 式⑦经整理则为式⑤，与式①、式④联立求解得到与解法1相同的结果。 4) 含受控源电路的节点分析 对含受控源电路列节点电压方程时，把受控源当作独立源看待，控制量用节点电压表示。 例310用节点分析法求图312所示电 路中的ｉX和ｕX。 图312 解由图312可知该电路有5个节点，两个受控源VCCS和CCVS。理想电压源 在节点②和节点⑤之间， 故选⑤为参考节点，可得节点电压方程为 13＋14 ｕ1-14ｕ2 -13ｕ4=-3① ｕ2=15 V② -11ｕ2＋11 ＋12ｕ3=3③ -13ｕ1＋13＋ 12ｕ4=2ｕX＋18ｉX2④ 控制量用节点电压表示为 ｉX=ｕ1-154⑤ ｕX=15-ｕ3⑥ 式②代入式③得 32ｕ3=18 ｕ3=12 V⑦ 式⑦代入式⑥得 ｕX=15-12=3 V⑧ 式②代入式①后两边同乘以12得 7ｕ1-4ｕ4=9⑨ 式⑤和式⑧代入式④并整理得 -31ｕ1＋10ｕ4=-333 式⑨和式联立得 ｕ1=9-4 -333107-4 -3110=-1242-54=23 V 代入式⑤得 ｉX=23-154=2 A 注意ｕ4=38 V对本题可以不求。与3 A串联的5 Ω 电阻不能作为自导，也不能作为互导。 4. 含有运算放大器的电阻电路分析 同时运用理想运放的“虚断”和“虚短”两条规则，并与节点分析法相结合，将使含理想运 放的电路的分析大为简化。需要注意，在对理想运放输入端列写ＫCＬ方程时，由于理 想运放输入端电流为零，故可将其视为“开路”。另外，由于运放输出端的电流事先无法确 定，因此不能对输出端列节点方程，所缺方程由“虚短”来补充。还需注意运放是多端元件，为了分析的需要，一般仅标出输入端和输出端。此时不能用KCL，将输入电流和输出电流约束起来等于零。 例311图313所示电路，求输出电压ｕ ｏ与输入电压ｕ1、ｕ2之间的关系。 图313 解应用理想运算放大器的“虚短”和“虚断”性质，结合KVL有 ｕａ=ｕb=ｕ2R＋R×R=ｕ22 ｕｏ=-ｕ1-ｕａR×2R＋ｕ1 =-2（ｕ-ｕａ）＋ｕ1 =ｕ2-ｕ1 图314 讨论由上式可知，输出电压是输入电压的差值，该电路具有减法 器的运算功能。 例312图314所示为电流测量电路，用满 刻度为5 V的电压表作指示，设三挡的测量范围分别为5 mA、1 mA、0.1　 mA，求电阻R1、R2和R3的值。 解满刻度为5 V电压表作指示，即要求理 想运算放大器输出电压为5 V。应用理想运算放大器的“虚短”和 “虚断”特性。 当测量范围为5 mA时，有 5R1=5 所以 R1=1 kΩ 当测量范围为1 mA时 1×（R1＋R2）=5 即1×（1＋R2）=5 有R2=4　ｋΩ 当测量范围为0.1 mA时，有 0.1×（R1＋R2＋R3）=5 得 R3=45 kΩ 讨论磁电式(直流)电流表扩大量程是通过安装 环形分流器的方法来实现的。这里是结合理想运算放大器的应用来说明测量不同范围电流的 原理。 例313图315所示电路为电流电压变 换器，求ｕｏ／ｉS。 图315 解法1设三电阻相连的节点为a，且设 三个电阻中的电流分别为ｉ1、ｉ2和ｉ3，方向如图315所示。由“虚断”有 ｉ1=ｉS 由“虚短”有u+=u-=0，则 ｕa=-R1ｉ1=-R1ｉS ｉ2=ｕaR2=-R1ｉSR2 ｉ3=ｕa-ｕｏR3=-R1 ｉS-ｕｏR3 对节点a ｉS=ｉ2＋ｉ3=-R1ｉSR2＋-R1ｉS -ｕｏR3=-R1ｉSR2＋-R1ｉS R3-ｕｏR3 整理得 ｉS1＋R1R2＋R1R3=-ｕｏR3 所以ｕｏｉS=-R31＋ R1R2＋R1R3 解法2也可对节点ｕ-、ｕa直接列 节点电压方程 1R1ｕ--1R1ｕa=ｉS① -1R1ｕ-＋1R1＋ 1R2＋1R3 ｕa-1R3ｕｏ=0② 对输入端有 ｕ-=ｕ＋=0③ 式③代入式①即得 ｕa=-R1ｉS④ 式③和式④代入式②得 1R1＋ 1R2＋ 1R3-R1ｉS= 1R3 ｕｏ 所以 ｕｏｉS=-R 1R31R1＋ 1R2＋ 1R3 =-R31＋R1R2＋R 1R 3 例314求图316所示电路的输出电 压ｕo。 图316 解由“虚短”有 ｕ-=ｕ＋=4 V 由“虚断”有 ｉ2=ｉ1=6-44×103 =24×103 所以 ｕｏ=-10×103ｉ2＋4=-10×103×24×10 3＋4 =-1 V 例315求图317所示电路的电流增益ｉ ｏ／ｉS。 图317 解法1由“虚断”对节点①列ＫCＬ 方程 -ｉS＋ｕ1R1＋ｕ1-ｕ ｏ1R3＋ｕ1-ｕｏ2R2＋0=0① 由“虚短”有 ｕ1=ｕ-=ｕ＋=0 式①变为 -ｉS-ｕｏ1R3- ｕｏ2R2=0② 而 ｕｏ1=ｕ2=ｕｏ2R4＋ R5×R4③ ｕｏ2=-ｉｏRＬ④ 式④代入式③得 ｕｏ1=-R4RＬR4＋R5ｉ ｏ⑤ 将式④和式⑤代入式②得 -ｉS＋R4RＬR3（R4＋R5）ｉ ｏ＋RＬR2ｉｏ=0 ｉS=R4RＬR3（R4＋R 5）＋RＬR2ｉｏ =3×210×（3＋3）＋2 4ｉｏ =110＋12 ｉｏ=35ｉｏ 所以ｉｏｉS=53 解法2直接对节点①、②列节点电压方程，再 由“虚短”得2个补充方程。 1R1＋1R2＋1R3ｕ1- 1R3ｕｏ1 -1R2ｕｏ2=ｉS⑥ 1R4＋1R5ｕ2-1R5ｕｏ2=0⑦ ｕ1=0⑧ ｕｏ1=ｕ2⑨ 由式⑦得 ｕ2=1R5×1 1R4＋1R5 ｕｏ2=R4R4＋R5ｕｏ2 将式⑧~式代入式⑥得 -1R3×R4R4＋R5ｕｏ2-1R2ｕｏ2=ｉS 再将ｕｏ2=-RＬｉｏ代入式得 1R3×R4RＬR4＋R 5ｉｏ＋RＬR2ｉｏ=ｉS 将电阻值代入后可得 ｉｏｉS=53 例316求图318所示电路的电压增益ｕ ｏ／ｕｉ。 图318 解法1分别对节点①、③列ＫCＬ方程。 由“虚断”有 ｕｉ-ｕ1R1=ｕ1 -ｕ2R2＋ｕ1-ｕｏR3① ｕｉ-ｕ3R6＋ｕ2-ｕ3R 5=ｕ3-ｕｏR4② 由“虚短”有 ｕ1=0 ｕ3=0 式①和式②化简为 ｕｉR1=-ｕ2R2 ＋-ｕｏR3③ ｕｉR6＋ｕ2R5= -ｕｏR4④ 由式④可得 ｕ2=R5-ｕｉR6-ｕｏR4 代入式③得 ｕｉR1=-1R2 R 5-ｕｉR6-ｕｏR4-ｕｏR3 =R5R2R6ｕｉ＋R5 R2R4ｕｏ-ｕｏR3 移项合并得 1R1-R5R2R6 ｕｉ=R5R2R4-1R3 ｕｏ 所以ｕｏｕｉ= 1R1-R5R2R6 R5R2R4-1R3=R2R6-R1R5R1R2R6 R5R3-R2R4R2R4R3 =R3R4（R2R6-R1R5）R1R6（R 3R5-R2R4） 解法2直接对节点①、③列节点电压方程 1R1＋1R2＋1R3ｕ1-1R2ｕ2-1R3ｕｏ=ｕｉR1⑤ -1R5ｕ2＋1R4＋1R5＋1R6ｕ3-1R4ｕｏ=ｕｉR6⑥ ｕ1=0⑦ ｕ3=0⑧ 将式⑦和式⑧代入式⑤和式⑥得 -1R2ｕ2-1R3ｕ ｏ=ｕｉR1⑨ -1R5ｕ2-ｕｏR4=ｕｉR6 式⑨和式与解法1的式③和式④一样，所以得到 ｕｏｕｉ=R3R4（R2 R6-R1R5）R1R6（R3R5-R2R4） 在以计算机为核心构成的数据处理或控制等系统中，计算机处理的是数字信号。这些经 过处理后的数字信号往往需要转换成模拟信号(亦称为连续信号)，然后直接输出或控制执行 机构如电动机等。通过数字模拟转换器(digitalanalog convertor,DAC)可以将数 字信号变换为模拟信号。 计算机处理的数字信号采用二进制，即仅采用0和1两个数码。设一个4位的二进制数码为“d 3ｄ2ｄ1ｄ0”(数字量)，则其对应的十进制数值(模拟量)为 23×ｄ3＋22×ｄ2＋21×ｄ1＋20×ｄ0 表32列举了二进制数码及其对应的十进制数值(0～15）。 表32二进制数码及其对应的十进制数值 二进制数码十进制数码二进制数码十进制数码二进制数码十进制数码二进制数码十进制数码 0 0 0 000 1 0 04 1 0 0 081 1 0 012 0 0 0 110 1 0 1 51 0 0 191 1 0 113 0 0 1 020 1 1 061 0 1 0101 1 1 014 0 0 1 130 1 1 171 0 1 1111 1 1 115 例317图319所示为实现DAC的一 种电路。求输出电压ｕｏ。 图319 解用节点法分析电路，运用运算放大器的“虚断”“虚短” 概念，对节点①列出节点电压方程 1R＋ 12R＋ 14R＋ 18R＋ 1R1ｕｎ1-ｕｏR1= -ｄ3ｕSR -ｄ2ｕS2R -ｄ1ｕS4R -ｄ0ｕS8R ｕｎ1=0 解得输出电压 ｕｏ=R1ｕS8R（23×ｄ3＋ 22×ｄ2＋21×ｄ1＋20×ｄ0） 如果取 R1=8RｕS 则有 ｕｏ=23×ｄ3＋22×ｄ2＋21×ｄ1＋20×ｄ0 对图319所示电路，ｄ3ｄ2ｄ1ｄ0=1100，因此有 ｕｏ=23×1＋22×1＋21×0＋20×0=12 V 即输出的电压值与输入的二进制数字所表示的十进制数值完全相同。 讨论该电路的核心为接入运算放大器的电阻电路，称为权电阻解码电 路。由于所使用的电阻的个数较少，而每个电阻的大小都不一样，且电阻之间的差值较大， 给保证精度带来一定的困难，因此转换的精度不高。 例318如图320（ａ）所示为T 形电阻网络DAC的电路。 (1) 利用戴维南定理化简图320（ａ）电路； (2) 在图320(b）电路中， ｕSｉ=124（23ｄ3＋22ｄ2＋ 21ｄ1＋20ｄ0）ｕS ，求输出电压ｕｏ，由此结果阐述实现数字到模拟信号的转换。 (3) 在图320(ａ）电路中，已知ｕS=16 V，输入数字信号“1010”， 则输出模拟量ｕｏ为多少?若输入为“1111”，则ｕｏ为何值? 图320 解（1） 戴维南等效电路如图320(b）所示。 (2) 利用运算放大器“虚断”“虚短”的概念 ｕｏ=ｕSｉ3R·3R=ｕSｉ 上式说明了数字信号到模拟信号的转换。 (3) 若输入数字信号“1010”，则 ｕｏ=ｕS24（23× ｄ3＋22ｄ2＋21ｄ1＋20ｄ0） =（23×1＋22×0＋21×1＋20×0）=10 V 若输入数字信号“1111”，则 ｕｏ=23×1＋22×1＋21×1＋20×1=15 V 讨论理想运算放大器是集成运算放大器的电路模型，“虚断”和 “虚短”是理想运放工作在线性放大区时的两个重要特性。利用运算放大器能构成各种运算电路 ，数/模(DAC)、模/数(ADC)转换器是其应用之一。运算放大器在电子技术中有着广泛的 应用，请读者参阅有关电子技术书籍。 5. 叠加定理 例319电路如图321（ａ）所示，用叠加定理求电压Uａb。 解应用叠加定理时，电源分别单独作用，也可分组作用。本题将 电压源和电流源分两组作用，如图321（b）、（ｃ）所示。 图321 由图321(b)有 Uａ′b′=Uａ′ｃ′＋Uｃ′b′=2-62＋2×2＋6-21＋4×1 =-1.2 V 由图321(ｃ)有 Uａ″b″=Uａ″ｃ″＋Uｃ″b ″=12×4×2-24＋1× 4×1=2.4 V 根据叠加定理，得 Uａb=Uａ′b′＋Uａ″b″=-1.2＋ 2.4=1.2 V 例320用叠加定理求图322（ａ） 所示电路中的ｉX和ｕX。 图322 解用叠加定理求解，电压源和电流源分别作用，受控源保留，如图322 (b)、(c)所示。控制量分别为ｉX1、ｉX2，受控量相应为2ｉX1、2ｉX2。 由图322（b）有ｉX1=10-2ｉX12＋1 可解得ｉX1=2 A，ｕX1=10-2ｉX1=6 V 由图322（ｃ）,根据KVL有 2ｉX2＋（ｉX2＋5）×1＋2ｉX2=0(也可用ＫCＬ求) 可解得ｉX2=-1 A，ｕX2=-2ｉX2=2 V 据叠加定理 ｉX=ｉX1＋ｉX2=2-1=1 A ｕX=ｕX1＋ｕX2=6＋2=8 V 例321图323（ａ）所示电路，N为 无源电阻网络。当US=12 V，R1=0时，Ｉ1=5 A，ＩR =4 A； 当US=18 V，R1→∞时，U1=15 V，ＩR =1 A。试求US=6 V，R1=3 Ω时，ＩR为何值? 图323 解由条件R1→∞，U1=15 V可知R1两端的开路 电压。据此由线性性质得知，当US=12 V，R1→∞时，电阻R1两端 开路电压为 18∶12=15∶Uoc 所以 Uoc=12×1518=10 V 而当US=12 V时，R1=0，Ｉ1=5 A即为R1支路的短路 电流，所以R1两端看进去的除源电阻 Ri=UocＩsc=105=2 Ω 当US=6 V，R1→∞时，R1两端的开路电压 Uoc=15×618=5 V 就R1两端的戴维南等效电路如图323(b)所示，由此得 U1=UocRｉ＋R1×R1=5×32＋3=3 V 将U1用电压源替代，其等效电路如图323(c)所示，应用线性与叠加性，则ＩR可表示为 ＩR=k1US＋k2U1 式中，k1、k2是电压源US、U1分别为1 V单独作用电路时产生的响 应电流，由已知条件得 k1×12＋k2×0=4 k1×18＋k2×15=1 解出 k1=13 k2=-13 故 ＩR=6k1＋3k2=2-1=1 A 评注应用替代(置换)定理时，被替代的支路既可用电压源也 可用电流源置换，对电路求解的结果是相同的。一般用已知值的电压源(或电流源)进行置换 对电路求解较为方便。应用替代定理还可加深对无伴电压源支路和电流源与电导串联支路电 路的等效变换的理解。 例322图324(a)所示电路中，方框部分NS为含独立源和电阻的网络。当端口ab短接时，电阻R支路中电流I=IS1； 当端口ab开路时，电阻R支路中电流I=IS2。当端口ab间接电阻Rf时，Rf获得最大功率。试证明当端口ab间接电阻Rf时，流过R支路的电流I=IS1+IS22。 图324 证明图324(a)所示a、b端口的戴维南等效电路如图324(b)所示。设流过Rf的电流为If，当Rf=Ri匹配时，负载Rf获得最大功率，则有 If=Uoc2Ri 根据叠加定理和替代定理，将待求电路分为两个电路，如图324(c)所示。 根据已知条件并应用叠加定理和替代定理得电路如图324(d)所示。 比较图324(c)和图324(d)，可得 I′=IS2 I″=I12=IS1-IS22 根据叠加定理得 I=I′+I″=IS2+IS1-IS22= IS1+IS22 证毕。 例323图325（ａ）电路中，NS为 含源线性电阻网络，n支路接电阻R，m支路断开。当n支路断开时，m支路两端的电压为 Uｍｏ； 当n支路短接时，m支路两端的电压为UｍS。从n支路a、b 两端向左看去，入端电阻为Rｉ。试证明当n支路接有电阻R时，m支路的电压为 Uｍ=Uｍｏ＋（UｍS-Uｍｏ）RｉR＋Rｉ 图325 证明设从ａ、b端向左看进去的戴维南等效电路的参数 为Uｏ=Uａb及Rｉ(已知)。 由条件，当ａ、b开路时，此时为NS内电源激励，m支路电压为Uｍｏ， 如图325(b)所示。 当ａ、b短路时，仍为NS内电源激励，m支路电压为UmS，ｎ支路( ａ、b间)电流为ＩS=UｏRｉ ，如图325（ｃ）所示。将ＩS=UｏR ｉ用电流源替代，如图325（ｄ）所示。 将图325（ｄ）用叠加定理分成有源网络内电源作用和ＩS分别独立作用，如图325（ｅ）、 （f）所示。 因为UmS=Uｍｏ＋US 所以US=UmS-Uｍｏ 其中，Umo为ＩS单独作用时的响应。 当ｎ支路接有电阻时，如图325(g)所示，电阻中的电流 Ｉ=UｏRｉ＋R=ＩSRｉRｉ＋R 将Ｉ用电流源替代，如图325（ｈ）所示。再用叠加定理分成有源网络内电源作用和I作用 ，如图325（ｉ）、（ｊ）所示。 将图325（ｊ）与图325（ｆ）比较，由齐性原理可得 U′S=（UmS-Uｍｏ）Rｉ Rｉ＋R 所以Uｍ=Uｍｏ＋U′S=Uｍｏ ＋（UmS-Uｍｏ）RｉRｉ ＋R 证毕。 该题还有其他证法，读者可以试试。 例324图326（a）所示电路，网络N仅由线性电阻组成。当IS=20 A，R=r=2 Ω时，I=5 A;当IS=10 A，R=r=3 Ω时,I=2 A。求当IS=15 A，R=4 Ω，r=5 Ω时的I值。 图326 解法1此例看起来激励源只有一个IS，其变化必然影响I，但是I与IS之间并不成比例关系，因为还有r和R也在变，也就是说除了激励源外，电路中的电阻参数也在变，仔细观察电阻r与电流源IS是串联，其变化不影响I，但R变化时，必然导致其上电压变化，因此可将其看成电压源RI，这样支路电流I就与两个源有关系，一个电流源IS，一个电压源RI，它们之间的线性关系可用叠加定理表示为 I=k1IS+k2RI 由已知条件得 5=k1×20+k2×2×52=k1×10+k2×3×2 联立解得 k1=0.5k2=-0.5 故 I=0.5×15+(-0.5)×4×I 得I=2.5 A 评注此例中，读者知道I与激励源呈线性关系，但写成I=k1IS+k2R，就是错误的，叠加定理中一定是激励与响应之间呈线性关系。另外，电阻r与电流源串联等效的特点容易忽视。 解法2此电路从R往左看，其开路电压与IS成比例关系，记作Uoc=kIS。而除源电阻是电流源IS断开只与网络N有关的电阻，网络N不变，此电阻记为R0，则R左边一端口戴维南等效电路如图326（b）所示，电路中电流I表示为 I=kISR0+R 由已知条件得 5=k×20R0+2 2=k×10R0+3 联立解得 k=1R0=2 故I=1×152+4=2.5 A 解法3网络N仅由线性电阻组成，可将其等效为最简T形网络，如图326（c）所示。 由图326（c）可知 I=R3R2+R3+RIS 由已知条件得 5=R3R2+R3+2×20 2=R3R2+R3+3×10 联立解得 R2=1 ΩR3=1 Ω 故I=11+1+4×15=2.5 A 评注解法3中看得很清楚，与IS串联的电阻对I没有影响。电路分析要特别注意电源等效变换中与电流源串联电阻的处理。 例325图327（ａ）所示是由线 性电阻组成的无限伸展的网络，其中每个电阻均为R，求节点ａ、b间的等效电阻。 图327 解将无限伸展网络看作以a、b为端子的一端口网络。若在ａ 、b端加一电流源ｉS，并计算出ａ、b端的电压ｕａb，则根据 定义，等效电阻 Rａb=ｕａbｉS 在ａ、b端加了电流源ｉS后，还无法求出ｕａb。如将电流源 分解为两个(参见电流源转移原理)，其中一个电流ｉS流入节点ａ，而在无限远处 收集电流，如图327（b）所示； 另一电流源ｉS由节点b流出，流向无限远处，如图327（ ｃ）所示。 由图327（b）可见，由于网络结构对称(因网络无限伸展)，所以流经与节点ａ相连的4个 电阻中电流相等，方向如图327（b）所示，可得流经ａ、b间的电流ｉ1=14ｉS； 同理，由图327（ｃ）可得流经ａ、b间的电流ｉ 2=14ｉS。根据叠加定理，流经ａ、b的总 电流 ｉａb=ｉ1＋ｉ2=12ｉS 故得ａ、b间的电压 ｕａb=12RｉS 可得ａ、b间的等效电阻 Rａb=ｕａbｉS=12RｉSｉS= 12R 6. 系统法一端口等效 例326试求图328（ａ）、（b ）所示一端口网络的戴维南或诺顿等效电路。 图328 解对于图328（ａ）所示电路，开路时ｉ=0，所以受 控电流源3ｉ=0，受控电流源所在处开路，可求得开路电压 ｕｏｃ=102＋1＋3×3=5 V 求输入电阻时，外加电压源u，10 V电压源置零，有伴CCCS等效变换为CCVS，并设两支路的电 流分别为ｉ1、ｉ2，如图328(c)所示，则有 ｉ=-（ｉ1＋ｉ2）=-ｕ3＋ｕ-3ｉ3=-23ｕ-ｉ -23ｕ=0ｉ 所以Rｉ=ｕ-ｉ=0 Ω 图328（ａ）所示电路的戴维南等效电路是一个5 V理想电压源，无诺顿 等效电路。 此例在图328(c)中，保留与52 Ω电阻串联的10 V电压源不动，图略，取节点1′为参考节点，则节点1的节点电压方程为 13+13u=10+3i3-i 解得u=5 V 结果相同，此为“一步法”求解戴维南或诺顿等效电路。 对图328（b）所示电路，求开路电压，选1′为参考点，则ｕｏｃ= ｕ1，节点电压方程为 16＋112＋18ｕ2-18ｕｏｃ =156 即-18ｕ2＋18＋14ｕｏｃ=4ｕ24 整理为924ｕ2-18ｕｏｃ=156① -98ｕ2＋38ｕｏｃ =0② 式①×（-3）得-98ｕ2＋ 38ｕｏｃ=-152③ 式③与式②矛盾，无法求得开路电压，到此并不能说此题无解。下面转而求11′ 端口的短路电流ｉsc，如图328（ｄ）所示。选1′为参考点，由于短路，ｕ 1=0，节点电压方程为 16＋112＋18ｕ2-18×0= 156 解得ｕ2=203 V 所以ｉsc=ｕ28＋4ｕ24=18×203＋203=7.5 A 再求除源电阻(电导)。将独立源置零，6 Ω与12 Ω并联后为4 Ω，用虚线所接4 Ω 表示，外加电压ｕ，如图328（ｅ）所示，则 ｉ=ｉ1＋ｉ2=ｕ8＋4＋ｕ -4ｕ24④ ｕ2=ｕ8＋4×4 代入式④得 ｉ=ｕ12＋14ｕ-ｕ 12×4=0ｕ 所以Rｉ=ｕｉ=10→∞ Ｇｉ=ｉｕ=0 由此可得，图328（b）所示电路的等效电路是一个7.5 A理想电流源，无 戴维南等效电路。 同理，在图328(e)中保留与6 Ω电阻电联的15 V电压源不动（图略），列出节点电压方程为 16+112+18u2-18u=156 -18u2+18+14u=i+4u24 整理后解得i=-7.5 A 即isc=-i=7.5 A 结果相同。所以，“一步法”是求解含源一端口网络伏安关系的直接方法。 注意有时还会遇到含源一端口网络的等效电路为一个纯电阻(电导)的情况(即开路电压为零或短路电 流为零)。此时要注意当开路电压为零时，不能用开路短路法求输入电阻。 例327电路如图329（ａ）所示，试求R为何值时可以获得最大功率，该最大功率值为多少? 图329 解要求R为何值时可以获得最大功率，实际即求移去R后的无源一端 口网络的输入电阻Rｉ，要求最大功率是多少，先求出开路电压即可。 先求开路电压。因开路ｉ=0，受控电压源等于零。用网孔分析法，设网孔电流如图329(b )所示，网孔方程为 ｉ1=1 A 40ｉ2-20ｉ1=20 可得ｉ2=1 A 所以ｕｏｃ=20＋20×ｉ1＋20×ｉ2=60 V 再求输入电阻。将独立源置零，外加电压ｕ，由图329（ｃ）列出网孔方程为 40ｉ-10ｉ＋20ｉ1=ｕ 20ｉ-10ｉ＋40ｉ1=0 整理得30ｉ＋20ｉ1=ｕ 10ｉ＋40ｉ1=0 消去ｉ1得50ｉ=2ｕ Rｉ=ｕｉ=25 Ω 所以，当R=Rｉ=25 Ω时可获得最大功率，最大功率Ｐｍａｘ为 Ｐｍａｘ=ｕ2ｏｃ4Rｉ =6024×25=36 W 3.4习题精解 题31用支路分析法求图330（ａ ）所示电路中的支路电流ｉ5。 图330 解选参考点、独立节点和独立回路如图330（b）所示（图中数字为 支路编号、带圈数字为节点编号）。 对节点①ｉ1＋ｉ2＋ｉ6=0 ②-ｉ2＋ｉ3＋ｉ4=0 ③-ｉ4＋ｉ5-ｉ6=0 对回路Ⅰ-15ｉ1＋10ｉ2＋4ｉ3=-2＋8=6 Ⅱ-4ｉ3＋8ｉ4＋8ｉ5=2 Ⅲ-10ｉ2-8ｉ4＋2ｉ6=-32 联立求解得ｉ5=-1 A（另ｉ1=0.75 A，ｉ2=1. 625 A，ｉ3=0.25 A，ｉ4=1.375 A，ｉ6= -2.375 A） 题32用网孔分析法求图331所示电路 的网孔电流。 解取网孔电流ｉ1、ｉ2、ｉ3，并设受控源的端电压为ｕ′ ，则网孔电流方程为 图331 ｉ1=15 A① -ｉ1＋6ｉ2-3ｉ3=0② -2ｉ1-3ｉ2＋6ｉ3=ｕ′③ ｕ=3×（ｉ3-ｉ2）④ ｉ3-ｉ1=ｕ9⑤ 由于网孔1未列方程，式③在求网孔电流时用不到，而求ｕ′时要用，但不能列写成- 2ｉ1-3ｉ2＋6ｉ3=0。 联立求解式①、②、④、⑤可得 ｉ1=15 A，ｉ2=11 A，ｉ3=17 A 题33电路如图332所示，用回路分 析法求4 Ω电阻的功率。 图332 解选回路电流如图332所示，则有 ｉ1=2 -2ｉ1＋7ｉ2-ｉ3=0 -ｉ2＋2ｉ3＋ｉ4=-16＋4 ｉ4=3ｕ1 ｕ1=2（ｉ1-ｉ2）＋4 联立求解可得ｉ2=-4 A（另ｉ3=-32 A，ｉ4 =48 A） 所以Ｐ4Ω吸=（-4）2×4=64 W 题34已知某电路求解网孔电流的方程为 3ｉ1-ｉ2-2ｉ3=1 -ｉ1＋6ｉ2-3ｉ3=0 -2ｉ1-3ｉ2＋6ｉ3=6 试画出该电路的结构图。(网孔电流量纲为A，电压源量纲为V) 解由已知电路的网孔电流方程求电路结构属于网络拓扑范畴。要画出 最简电路(因电路不是唯一的)，可根据已知方程中自电阻、互电阻和电压源电位升的概念来 试画，画出后再列出方程与原方程对照，一致者就满足要求。具体画时先由第一个方程知，网 孔1的自电阻为3 Ω，与网孔2的互电阻为1 Ω，与网孔3的互电阻为2 Ω，电位升为1 V。因互电 阻之和也是3 Ω，等于自电阻，所以1 V电压源支路电阻为零，可得网孔1 。再由第二个方程知，网孔2与网孔1的互电阻为1 Ω，与网孔3的互电阻为3 Ω，而自电阻为6 Ω，所 以不是公共支路的电阻应为自电阻6 Ω减去互电阻(1＋3） Ω，即为2 Ω，再由电位升为0 V，可得网孔2。类推 可画出网孔3。所得电路的结构图如图333所示。由图示电路列出方程与原方程一致，满足 要求。 题35求图334所示电路中3 ｋΩ 电阻上的电压ｕ。 图333 图334 解该电路中电压源用电位表示，即端点上所标的“＋”“-”电压值 ，是表示该点与接地端的电位差。用节点法可得节点电压方程为 120＋112 ＋130＋13ｕ1 -13ｕ2=12020-24030 -13ｕ1＋13＋ 120＋160＋1 10ｕ2=48060- 12520 可解得ｕ1=-3 V，ｕ2=1.5 V 所以ｕ=ｕ2-ｕ1=1.5-（-3）=4.5 V 注意方程中分数分母的量纲要一致，用电位表示的电路要熟练，不必还原成电压源表示。 图335 题36求图335所示电路中的ｕ。 解法1因电路中含CCVS，可取其“- ”极为参考节点，则节点电压方程为 ｕ1=3ｉａ -16ｕ1＋16＋ 14＋12ｕ2=1 7.4-9 ｉａ=-ｕ22 联立求解可得 u1=-10.8 V，ｕ2=7.2 V，ｉａ=-3.6 A 所以 ｕ=ｕ1-ｕ2=-10.8-7.2=-18 V 解法2由图335可知ｉａ=ｕ-3ｉａ2 得到ｉａ=0.2ｕ1 对节点②列ＫCＬ方程 -9＋ｕ6＋2ｉａ4＋17.4＋ｉａ=0 将ｉａ=0.2ｕ代入上式，可得 ｕ=-18 V 题37ＮA与NＢ均为含源 线性电阻网络，如图336（ａ）所示，用多种方法计算3 Ω电阻的端电压U。 图336 解法1节点法选择参考节点如图336(b） 所示，列出节点电压方程 13＋16U1-13×6=2 解出 U1=8 V 所以 U=U1-6=2 V 解法2网孔法选择网孔电流如图336(b ）中所示，列出网孔方程 （3＋6）Ｉ-6×2=-6 解出 Ｉ=23 A 所以 U=3Ｉ=2 V 注解由二端网络的等效概念不难理解，含源线性电阻网络Ｎ A、ＮＢ其端口特 性就体现在2 A电流源和6 V电压源上，可直接替代。本题还有其他解法，如叠加法、戴维南定理等， 读者不妨一试。 题38试用虚断路和虚短路 的概念求图337所示电路中的ｉ1、ｉ2及ｕo的表达式。 图337 解由虚短路得 ｉ1=USR1 由虚断路得 ｉ2=ｉ1=USR1 又由虚短路得 ｕo=-Rｆｉ2=-RｆUS／R1 题39求图338所示电路的电压比 值ｕｏ／ｕｉ。 图338 解对节点①、②、③列节点电压方程 1R1＋12R1 ＋14R1ｕ1-12R1 ｕｏ1-14R1ｕｏ=ｕ ｉR1① -1R2ｕｏ1＋1R2＋12R2ｕ2=0② 1R2＋12R2ｕ3- 12R2ｕｏ=0③ ｕ1=0④ ｕ2=ｕ3⑤ 式⑤代入式③得 1R2＋12R2ｕ 2=12R2ｕｏ⑥ 式⑥代入式②得 1R2ｕｏ1=12R2ｕｏ ｕｏ1=12ｕｏ⑦ 式④和式⑦代入式①得 -12R1×12ｕｏ -14R1ｕｏ=ｕｉR1 -12ｕｏ=ｕｉ 所以 ｕｏｕｉ=-2 题310根据所学知识，设计一个4输入 单输出的数模转换器(ＤAC），即输出电压与输入电压的关系为ｕｏ=20 ｕｉ1＋21ｕｉ2＋22ｕｉ3＋23ｕ ｉ4。 解据题意电路可设计成如图339所示。 图339 验证利用理想运算放大器的“虚断”“虚短”特性列出方程为 ｕｉ1R＋ ｕｉ212R＋ ｕｉ314R＋ ｕｉ418R=-ｕｏR 整理得 ｕｏ=-（20ｕｉ1＋21ｕｉ2＋22ｕ ｉ3＋23ｕｉ4） 式中,负号表示输出电压与输入电压极性相反，只要适当选取输入电压的极性，即可满足题意 所要求关系式。 题311图340中N为含源线性电阻网络。当ＩS1=0，ＩS2=0时，UＸ=-20 V； 当ＩS1=8 A，ＩS2=12 A时，UＸ=80 V； 图340 当ＩS1= -8 A，ＩS2=4 A时，UＸ=0 V。求ＩS1=ＩS2=20 A时，UＸ是多少？ 解设k1、k2分别为电流源ＩS1、ＩS2 等于1 A单独作用电路时，响应端口产生的电压分量； k3为网络N内部电源单独 作用电路时，响应端口产生的电压分量。则电源共同作用时，响应端口的电压为 UＸ=ｋ1ＩS1 ＋ｋ2ＩS2＋ｋ3 代入已知条件ｋ1×0＋ｋ2×0＋ｋ3=-20 ｋ1×8＋ｋ2×12＋ｋ3=80 -ｋ1×8＋ｋ2×4＋ｋ3=0 可解得ｋ1=1.25 ｋ2=7.5 ｋ3=-20 当ＩS1=ＩS2=20 A时 UＸ=1.25×20＋7.5×20-20=155 V 题312电路如图341（ａ）所示，当开关S在位置1时，毫安表的读数为40 mA； 当开关S在位置2时，毫安表的读数为-60 mA。求开关S在位置3时毫安表的读数。 图341 解法1可设电源共同作用时毫安表的读数为 Ｉ3=ｋ1US＋ｋ2U右 代入已知条件ｋ1US＋ｋ2×0=40 ｋ1US＋ｋ2（-4）=-60 可解得ｋ1US=40 ｋ2=25 当S打在位置3时 Ｉ3=ｋ1US＋ｋ2×6=40 ＋25×6=190 ｍA 用求系数的方法，有时比较方便，但学会用叠加定理求出各电源单独作用或分组作用的 分响应，再求总响应，对于比较复杂的电路是很有用的。 解法2当开关S打在位置1时，实际为U S单独作用，其响应Ｉ′3=40 ｍA，如图341（ｃ）所示。 当开关S打在位置2时，US与4 V电压源共同作用，如图341（b）所示 。由叠加定理可分成图341（ｃ）加图341（ｄ）。 由已知条件有-60=Ｉ′3＋Ｉ″3 求得Ｉ″3=-100 ｍA Ｉ″3为4 V电压源单独作用的响应。 根据齐性原理，当6 V电压源单独作用时(6 V和4 V极性相反)响应应为 -100-4=Ｉ36 所以Ｉ3=150 ｍA 当US和6 V电压源共同作用时 Ｉ3=Ｉ′3＋Ｉ3=40＋150=190 ｍA 题313求图342（ａ）所示电路ａ、b端的戴维南等效电路。 图342 解先求开路电压ｕｏｃ=ｕａb，因ａ 、b端开路，ｉ1=0，所以受控电压源3ｉ1=0。用节点法，选b为参考点，则 11＋13＋16ｕ1-13＋16ｕａ=4 -13＋16ｕ1＋13＋16＋13ｕａ=-2ｕ1 化简得1.5ｕ1-0.5ｕａ=4 1.5ｕ1＋56ｕａ=0 可解得ｕａ=-3 V 所以ｕｏｃ=-3 V 再求除源电阻Rｉ，分别用几种方法求。 （1） 开路短路法。将ａ、b端短接，设电流为ｉsc，如图342（b） 所示，由图342（b）可见ｉ1=ｉsc。对节点ａ有 ｕ1-3ｉsc6＋ｕ13=2ｕ1＋ｉsc 对节点b有ｕ11＋2ｕ1＋ｉsc =4 化简得ｕ1＋ｉsc=0 3ｕ1＋ｉsc=4 可解得ｉsc=-2 A 所以Rｉ=ｕｏｃｉsc =-3-2=1.5 Ω （2） 外施电源法。独立源置零，即电流源开路，在端口加电压ｕ，如图342(c)所示。对节点b有 ｉ1=ｕ3-2ｕ1-ｕ11=ｕ3-3ｕ1① 对节点ｃ有 ｕ11＋ｕ1＋ｕ3 ＋ｕ1＋ｕ-3ｉ16=0② 由式②有ｕ1=ｉ1-ｕ3 代入式①，得 ｉ1=ｕ3-3ｉ1-ｕ3=ｕ3-ｉ1＋ｕ 2ｉ1=43ｕ 所以Rｉ=ｕｉ1=2×34=1.5 Ω 注意如果ａ端为电压ｕ的“＋”极，则Rｉ=ｕ-ｉ1。 (3) 一步法。原电路不变，在端口加电流源ｉ(也可加电压源ｕ)，端口电压为u，如图342（ ｄ）所示。写出端口的电压电流表达式，可同时求得开路电压ｕｏｃ和除源电 阻Rｉ，其原理由图342（ｅ）可知，端口电压电流表达式为 ｕ=ｕｏｃ＋Rｉｉ 对图342（ ｄ），选b点为参考点，列节点电压方程为 11＋13＋16ｕ1-13＋16ｕ=4＋3ｉ16 -13＋16ｕ1＋13＋16＋13ｕ=ｉ-3ｉ16-2ｕ1 ｉ1=-ｉ 化简可得1.5ｕ1-0.5ｕ=4-ｉ2③ 1.5ｕ1＋56ｕ=1.5ｉ④ 式④-式③得86ｕ=-4＋2ｉ 即ｕ=-3＋1.5ｉ 所以可得ｕｏｃ=-3 V Rｉ=1.5 Ω 另外，也可对电路中受控电压源和受控电流源支路先进行等效变换，然后再求ｕ ｏｃ和Rｉ，这样会简单些。但要注意，控制量不能随便变掉。 题314图343（a）所示电路，已知网络NS含有独立源、受控源和电阻。当ab端接入电阻R=4 Ω时，测得电压Uab=4 V，2 Ω电阻中电流I=1.5 A; 当ab端接入电阻R=12 Ω时，测得电压Uab=6 V,2 Ω电阻中电流I=1.75 A，（1）求ab两端戴维南等效电路； （2）ab两端接入电阻R为何值时，2 Ω电阻中电流I=1.9 A。 图343 解（1） 假定戴维南等效电路如图343（b）所示。首先用“二步法”分别求出开路电压Uoc及除源电阻Ri，据题意有 UocRi+4×4=4 UocRi+12×12=6 联立求解得 Uoc=8 V Ri=4 Ω （2） 2 Ω中电流与含源网络NS内部激励及电压Uab线性相关，令 I=k1+k2Uab 据题意有 1.5=k1+k2×4 1.75=k1+k2×6 联立求解得 k1=1,k2=0.125 则有I=1+0.125Uab 当I=1.9 A时，则 1.9=1+0.125Uab 所以Uab=7.2 V 由图343（b）分压知 RR+4×8=7.2 解得R=36 Ω 图344 题315图344所示电路中，N为含独立源 和电阻的网络。当端钮a、b短接时， 电阻R中的电流Ｉ=Ｉ1； 当端钮a、 b开路时，电阻R中的电流Ｉ=Ｉ2； 当端钮a、b间接电阻RＬ时，RＬ 获得最大功率。求当端钮a、b间接电阻RＬ时，流过电阻R的电流I。 解a、b端电压为Uａb，且视为电压源，则R支路电 流I可看成网络N内部独立源和Uａb共同作用产生，由叠加定理设为 Ｉ=k1＋k2Uａb① 则a、b短接时，Uａb=0，Ｉ=Ｉ1，此时式①为 Ｉ1=k1② 当a、b开路时，Uａb=Uoc，Ｉ=Ｉ2，则式①为 Ｉ2=k1＋k2Uoc③ 由式②和式③得 k1=Ｉ1 k2=Ｉ2-Ｉ1Uoc 代入式①则有 Ｉ=Ｉ1＋Ｉ2-Ｉ1UocUａ b④ 由题意知，当RＬ获得最大功率时有 Uａb=12Uoc⑤ 式⑤代入式④有 Ｉ=Ｉ1＋Ｉ2-Ｉ1Uoc×12Uoc=12（Ｉ1＋Ｉ2） 3.5阶段测试题 31用支路分析法求图345所示电 路的各支路电流。 32分别用网孔分析法和回路分析 法求图346所示电路中的电流I。 图345 图346 33图347所示电路，要求仅列一个方程求电流ｉ。 34图348所示电路中，已知U ａb=8 V，ＩR=200 ｍA，求US及US发 出的功率。 图347 图348 35求图349所示电路的节点电压 ｕ1、ｕ2。 36试用“虚断”“虚短”的概 念求图350所示含理想运算放大器电路中的ｉ1、ｉ2及ｕo。 图349 图350 37图351所示电路，试计 算ｕo1、ｕo2、ｕo3、ｕo4和ｕo 5的值。 图351 38电路如图352所示，当ｕ ｉ=3 V时，求负载电阻中的电流ｉo。 图352 39图353所示为实现ＤAC的一 种电路。电路输出电压满足 ｕｏ=23×ｄ3＋22×ｄ2＋21×ｄ1＋20×ｄ0 试求R1、Rｆ应满足的关系，并求该图所示电路的输出电压ｕｏ。 图353 310电路如图354所示，求该电路的电 压增益比ｕｏ／ｕｉ。 图354 讨论 （1） 若在输出端接入负载电阻RL=10 kΩ，其他条件均不变，则电压增益ｕｏ／ｕｉ是否改变？ （2） 运算放大器A3是否实现减法器功能？ （3） 列举应用理想运算放大器和电阻构成加法器、减法器的电路。 311用叠加定理求图355（ａ ）、（b）电路中的ＩＸ和UＸ。 312电路如图356所示，NS 为含独立源的线性电阻电路。如已知： 当ｕS=0时，电流ｉ=4 ｍA； 当ｕ S=10 V时，ｉ=-2 ｍA。求当ｕS=-15 V时的电流ｉ。 图355 图356 313求图357所示电路ａ、b端的戴维南等效电路。 图357 314求图358所示电路ａ、b端的诺顿等效电路。 图358 315电路如图359所示，负载R Ｌ为何值时能获得最大功率?最大功率是多少? 图359 316图360所示电路。 （1）求当负载电阻RL为何值时，它消耗的功率最大？ （2）求出此时的最大功率Pmax。 317图361所示电路。求： （1）电流I； （2）5 V电压源发出的功率P。 图360 图361 318图362所示电路。（1）若电流I=1 A,求US值； （2）若要使电压源US发出120 W功率，则US应取何值？ 319图363所示电路中，已知当IS=0时，I=1.2 mA； IS=10 mA时，I=1.4 mA。网络cd端的入端电阻Ri=100 Ω。求： 图362 图363 （1） 当IS=15 mA时，I为多少？ （2） 如仍保持IS=15 mA，而将电阻R改为200 Ω则I又为多少？ 3.6阶段测试题答案 31i1=-4 A，i2=1 A，i3=-1 A，i4=2 A，i5=2 A 32-0.25 A 332 A 348 V，-24 W 35u1=20 V，u2=20 V 36uS/R1uS+uSR1×R2 37(a) -2 V(b) -1 V(c) 4 V5 V5 V 383.75 mA 39uS151+RfR1=1 ，uo=9 V 310uoui=443 3111 A，-4 V 31213 ｍA 313（ａ） 5 V，2 Ω（b） 6 V，6 Ω 314（ａ） 3 A，2 Ω (或0.5 S）（b） 4 A，1 Ω（或1 S) 315(a) 5 Ω，1.25 W（b） 10 Ω，0.9 W 3165 Ω，45 W 317(1) 0.875 A(2) 16.875 W 318(1) 15 V(2) 60 V或-30 V 319（1） 1.5 mA(2) 1 mA