第5章多元函数微分

本章解读




本章题目考点解读







试题编号亮点1亮点2

第1题可微的充分条件偏导数连续
第2题全微分多元函数化为一元函数

第3题定义法计算偏导数第4题闭区域上的多元函数最值
第5题隐函数的存在性第6题偏导数存在与函数连续的关系全微分的存在性
第7题可微的判别定义法计算偏导数第8题偏微分化为常微分伽马函数
第9题偏导数的性质第10题定义求二阶偏导数
第11题偏导数方程变量替换第12题多元极限推导可微矩阵可对角化的条件
第13题多元极限与可微的关系第14题条件极值简便解法
第15题偏导数计算第16题链式法则
第17题变限函数求偏导第18题交换次序求混合偏导积分极限
第19题二阶偏导全微分第20题链式法则求偏导隐函数求导
第21题变限函数求偏导第22题多元函数的极值
第23题多元隐函数的极值第24题由距离构造条件极值
第25题二阶偏导第26题闭区域上的多元函数最值
第27题偏导数与全微分法向量、切向量第28题偏导数反求原函数全微分
第29题曲线的旋转曲面曲面的法向量第30题梯度最大方向导数
第31题全微分反求原函数多元函数极值







试题编号亮点1亮点2


第32题多元极限与极值
第33题曲面的切平面第34题偏导数反求原函数
第35题偏微分化为常微分求解常系数常微分方程第36题全微分反求原函数伽马函数
第37题偏导数的含义第38题偏导数方程变量替换求多元原函数
第39题偏导数确定多元函数第40题向量的混合积
第41题直线在平面的投影直线的旋转曲面方程第42题曲面的切平面直线在平面的投影
第43题多元函数的极值结合一元函数第44题空间曲线的切线








1. 二元函数fx,y在点(0，0)处可微的一个充分条件是()。



(A) lim(x,y)→(0,0)fx,y－f0,0=0

(B) limx→0fx,0－f0,0x=0，且limy→0f0,y－f0,0y=0

(C) lim(x,y)→(0,0)fx,y－f0,0x2+y2=0

(D) limx→0fxx,0－fx0,0=0，且limy→0fy0,y－fy0,0=0





2. 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2，f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=。





3. 设f(x,y)=sinx2+y4，则f(x,y)在(0，0)处()。

(A) 对x可偏导，对y不可偏导(B) 对x不可偏导，对y可偏导

(C) 对x可偏导，对y可偏导(D) 对x不可偏导，对y也不可偏导





4.  设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足2uxy≠0及2ux2+2uy2=0，则()。

(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得

(B) u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部取得

(C) u(x,y)的最大值在D的内部取得，u(x,y)的最小值在D的边界上取得

(D) u(x,y)的最小值在D的内部取得，u(x,y)的最大值在D的边界上取得

5. 根据隐函数存在定理，方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0在其定义域任意点(x,y,z)的邻域内，下列说法正确的有()。

①  可确定具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)

②  可确定具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)

③  可确定具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)

(A)  0个(B) 1个(C)  2个(D) 3个





6. 若函数z=f(x,y)有f′x(0,0)=1,f′y(0,0)=－1，则下列说法正确的有()。

①  z=f(x,y)在点(0,0)处连续

②  g(x)=f(x,0)在点x=0处连续

③  g(x)=f(x,0)在点x=0的邻域(0,σ)内单调增加

④  在点(0,0)处dz=dx－dy

(A) 1 个(B) 2个(C) 3 个(D) 4个





7. 设fx,y=φxy，φ0=0，u=0附近φu≤u2，则fx,y在点0,0处()。

(A) 连续，但偏导不存在(B) 偏导数存在，但不连续

(C) 连续且偏导存在，但不可微(D) 可微





8. 设fu具有二阶连续导数，z=fexsiny满足2zx2+2zy2=e2xz，且有f0=1,f′0=－1，则积分∫+∞0x3f(x)dx=。


9. 若从函数Fx,y,z=0可分别解出x=fy,z,y=gz,x，z=hx,y，则下列各式中不成立的是()。

(A) F′xdx+F′ydy+F′zdz=0(B) zx·xy·yz2=1

(C) zx·xy·yz3=1(D) zx·xy·yz4=1





10. 设函数fx,y=xyx2－y2x2+y2,x,y≠0,0
0,x,y=0,0，则f″xy0,0=。








11. 设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42ux2+122uxy+52uy2=0。等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下化简为2uξη=0，则ab=。





12. 设矩阵A=001
a10
100有3个线性无关的特征向量，连续函数z=f(x,y)满足limx→0
y→1f(x,y)－2x+y－2x2+(y－1)2=a，则下列说法不正确的是()。

(A) z=f(x,y)在点(0,1)处可微

(B) f(0,1)=1

(C) 点(0,1)处偏导数zx+zy(0,1)=1

(D) dz(0,1)=2dx+dy




13. 如果函数f(x,y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是()。

(A) 若极限limx→0
y→0f(x,y)x+y存在，则f(x,y)在(0，0)处可微

(B) 若极限limx→0
y→0f(x,y)x2+y2存在，则f(x,y)在(0，0)处可微

(C) 若f(x,y)在(0，0)处可微，则极限limx→0
y→0f(x,y)x+y存在

(D) 若f(x,y)在(0，0)处可微，则极限limx→0
y→0f(x,y)x2+y2存在




14. 函数u=sinxsinysinz满足x+y+z=π2x>0,y>0,z>0的条件极值为()。

(A) 1(B) 0(C) 16(D) 18




15. 设fx=lnx+1x∈1,+∞，Fu,v可微，yx由Fxex+y,fxy=x2+y2确定，则dydx =。




16. 设u=f(x,y,z),ψ(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f，φ都具有一阶连续偏导数,且φz≠0,则dudy=。




17. 设f(x,y)=∫xy0e－t2dt,则xy2fx2－22fxy+yx2fy2=。

18. 设u=e-xsinxy,回答下列问题:

(1) 2uxy在点2,1π处的值为;

(2) I=limn→∞∫10u(x,1)ndx= 。




19. 下列说法正确的是()。

(A) 设函数F(x,y)=∫xy0sint1+t2dt，则2Fx2x=0
y=2=4

(B) 设函数fu,v满足fx+y,yx=x2－y2 ，则fuu=1
v=1=0 

(C) 设函数f(u,v)可微，z=z(x,y)由方程(x+1)z－y2=x2f(x－z,y)确定，则zx(0,1)=1

(D) z=xex+y+(x+1)ln(1+y),则dz(1,0)=2edx+(e+2)dy





20. 设函数z=z(x,y)由方程Fyx,zx=0确定，其中F为可微函数，且F′2≠0，则u(x,y)=xzx+yzy，则ux=。





21. 设φx连续，fx,y=∫x2+y20tφx2+y2－t2dt，且φ2=8，则df1,1=。



22. 设fx,y=x3－4x2+2xy－y2，则下述结论中正确的是()。

(A) 点0,0是极大值点

(B) 点2,2是fx,y的驻点，且为极大值点

(C) 点2,2是极小值点

(D) 点0,0是fx,y的驻点，但不是极值点




23. 设z=z(x,y)是由x2－6xy+10y2－2yz－z2+18=0确定的函数，下列说法正确的是()。

(A) 有极小值，但无极大值(B) 无极小值，但有极大值

(C) 无极小值，且无极大值(D) 有极小值，且有极大值




24. （仅数学一）已知曲线C:x2+y2－2z2=0

x+y+3z=5，则曲线C距离xOy面最远的点和最近的点的z坐标值之和为。





25. 设函数z=f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，则2zxyx=1
y=1=。





26. 关于函数f(x,y)=x2+2y2－x2y2在区域D=(x,y)|x2+y2≤4,y≥0上的最大值和最小值，下列说法正确的是()。

(A) 函数在区域内无驻点(B) 函数最小值为2

(C) 函数最大值为2(D) 函数的最小值在边界的直线段上取到

27. (仅数学一)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且f′x(0,0)=3,f′y(0,0)=1,则下列说法正确的有()。

① dz|(0,0)=3dx+dy

② 曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为(3,1,-1)

③ 曲线z=f(x,y)

y=sinx在(0,0,f(0,0))处的切向量为(1,0,3)

④ 曲线z=f(x,y)

y=0在(0,0,f(0,0))处的切向量为(3,0,1)

(A)  0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个






28. 设z=fx,y，且fx,1=0，f′yx,0=sinx，f″yyx,y=2x，则dzπ2,1=。






29. (仅数学一)由曲线3x2+2y2=12

z=0绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为。






30. (仅数学一)已知函数fx,y=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，fx,y在曲线C上的点x0,y0取最大方向导数，则fx,y在x0,y0处的梯度为。




31. 设函数z=fx,y在有界闭区域D上连续，且全微分为dz=xdx+ydy，则()。

(A) 点0,0不是fx,y的极值点
(B) 点0,0是fx,y的极大值点

(C) 函数一定能在边界上取到最值
(D) z=x2+y22+C，其中C为任意非零常数




32. 已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limx→0
y→0f(x,y)－kxyx2+y22=1，则()。

(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点
(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点

(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点
(D) 点(0,0)是否为f(x,y)的极值点与k有关




33. (仅数学一)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0,1,－1)处的切平面方程为()。

(A) x－y+z=－2(B) x+y+z=2

(C) x－2y+z=－3(D) x－y－z=0




34. 已知f(x,y)满足f″xy(x,y)=2(y+1)ex，f′x(x,0)=(x+1)exf(0,y)=y2+2y，则f′y(x,y)=。




35. 设函数f(u)具有二阶连续导数， z=fexcosy满足2zx2+2zy2=4z+excosye2x。若f(0)=0,f′(0)=0，则f(1)=。


36. 设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0,0)=0，则∫+∞0f(x,－x)dx=。





37.  设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)，都有f(x,y)x>0,f(x,y)y<0，则()。

(A) f(0,0)>f(1,1) (B) f(0,0)<f(1,1)

(C) f(0,1)>f(1,0) (D) f(0,1)<f(1,0)





38. 设z=zu,v具有二阶连续偏导数，且z=zx－2y,x+3y满足62zx2+2zxy－2zy2=2zx+zy，则zu,v的函数表达式为。





39. 设函数fx,y可微，且满足条件：fy0,yf0,y=coty,fx=－fx,y,f0,π2=1，则函数fx,y=。





40. (仅数学一)设（a×b）·c=2,则［(a+b)×(b+c)］·(c+a)=。




41. (仅数学一)直线L: x-11=y1=z-1-1在平面Π: x-y+2z-1=0上的投影直线为L0，则L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为。






42. (仅数学一)设有直线L： x+3y+2z+1=0

2x-y-10z+3=0及平面Π: 4x-2y+z-3=0。

(1) 直线L();

(A) 平行于Π(B)  在Π上(C)  垂直于Π(D)  与Π斜交

(2) 曲面z-ez+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面Σ的方程为;

(3) 平面Σ与平面Π的交线在平面x+y+z=1上的投影为。






43. 设函数f(x)>0具有二阶连续导数，且f(x)>0， f′(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()。

(A) f(0)>1,f″(0)>0(B) f(0)>1,f″(0)<0

(C) f(0)<1,f″(0)>0(D) f(0)<1,f″(0)<0






44. (仅数学一)在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中,与平面x+2y+z=4平行的切线()。

(A) 只有1条(B)  只有2条(C)  至少有3条(D)  不存在