第3章
函数



函数是离散数学中最基本的概念之一。值得注意的是： 函数是一种特殊的二元关系，主要涉及将一个有限集合进行适当的变换后，转换成另一个有限集合的离散函数，因此，本章讨论的函数的定义域与值域都是离散的情况，是一类应用广泛的重要函数。在本章里，主要介绍三个与函数相关的内容： 函数的基本概念、特殊函数以及复合函数与逆函数。
本章主要包括如下内容。
 函数的基本概念。
 特殊函数。
 复合函数与逆函数。
3.1函数的基本概念
计算机科学中常常将输入和输出的关系看成是一种函数关系。函数在许多应用中起着重要的作用。在离散数学中，任何对象，包括集合都可以看成是自变量或函数值，并且函数仅指单值函数，也没对两个集合的元素做任何特殊限制。

定义3.1设f是集合A到B的一个关系，如果对每个x∈A，都存在唯一y∈B，使得(x，y)∈f，则称关系f为A到B的函数(或映射、变换)，记为f： A→B。当(x，y)∈f时，通常记为y=f(x)，这时称x为函数的自变量，称y为x在f下的函数值(或像)。
由函数的定义显然有： 
(1) dom(f)=A，称为函数f的定义域。
(2) ran(f)B，称为函数f的值域，B称为函数f的陪域，ran(f)也可记为f(A)，并称f(A)为A在f下的像。
(3) (x，y)∈f，(x，z)∈fy=z。
(4) |f|=|A|。
需要注意的是： f(x)仅表示一个变值，但f却代表一个集合，因此有f≠f(x)，不能混淆这两个概念。同时，在定义一个函数时，必须指定函数的定义域、陪域及变换规则，且变换规则要覆盖定义域中所有的元素。

例3.1设集合A={1，2，3}，集合B={a，b，c}，判断下列各式是否是函数？
(1) f={(1，a)，(2，b)，(3，c)}。
(2)  f={(1，a)，(1，b)，(2，b)，(2，c)}。
(3) f={(1，a)，(2，a)，(3，c)}。
解： 根据定义，(1)和(3)满足条件，因此是函数； (2)不是函数，因为在(2)中，集合A中的元素1对应集合B中的两个元素a，b，故不是函数。
例3.2判断关系：
(1)  f1={(a，1)，(b，1)，(c，2)}。
(2)  f2={(a，1)，(a，2)，(b，1)，(c，2)}。

是否为函数。
解： 根据定义，有
(1) 对任意的x∈domf1，都存在唯一的y∈ranf1，使得(x，y)∈f1成立，因此f1是函数。
(2) 对a∈domf2，存在不同的1∈ranf2，2∈ranf2，使得(a，1)∈f2与(a，2)∈f2同时成立，因此f2是函数。

第
3
章

函数


离散数学（第3版）
例3.3(1) 任意集合A上的恒等关系IA是一个函数，常称为恒等函数，并且IA(x)=x(对任意x∈A)。
(2) 自然数集合上的m倍关系是一个函数，若用f表示这一关系，那么f： N→N，可表示为： y=f(x)=mx。
如何表示一个函数？通常有以下三种方法。
(1) 列表法。由于函数具有“单值性”，即对任一自变量有唯一确定的函数值，因此可将其序偶排列成一个表，将自变量与函数值一一对应起来。列表法一般适用于定义域为有限集合的情况。
(2) 图表法。用笛卡儿平面上点的集合表示函数。与列表法一样，图表法一般适用于定义域有限的情况。
(3) 解析法。用等式y=f(x)表示函数，这时可认为y=f(x)为函数的“命名式”，有别于“y是f在x处的值”。y=f(x)具有双重意义，可依上下文加以区别。

由于函数是关系的一种特殊形式，因而函数相等的概念、包含的概念，也就是关系相等的概念及包含概念。

定义3.2设函数f： A→B与g： C→D，如果A=C，B=D，并且对任意的a∈A或a∈C，都有f(a)=g(a)，则称函数f与g相等，记作f=g。
函数作为一种特殊的二元关系，其函数相等的定义与关系相等的定义一致，即相等的两个函数必须有相同的定义域、陪域及序偶集合。因此，两个函数相等，一定满足下面两个条件。
(1) dom(f)=dom(g)。
(2) x∈dom(f)=dom(g)，都有f(x)=g(x)。
定义3.3设A，B，C是3个非空集合，函数f： A→B，AC，f在C-A上无定义，则称f是C到B的偏函数。
定义3.4设A，B，C是3个非空集合，函数f： A→B； g： C→B，如果CA，且对于所有的a∈C，有g(a)=f(a)，则称g是f的限制，f是g的扩充。
如果g是A到B的偏函数，当对g无定义处规定一个值，即对g做一补充定义，即可构造出g的一个扩充。

例3.4设Z是整数集，并定义函数f： 
Z→Z，设f={(x，2x+1)|x∈Z}，且
NZ为自然数集合，求f在Z上的限制。
解： 先写出f的集合表示形式如下： 


f={…，(-1，-1)，(0，1)，(1，3)，…}


因此，f在自然数集N上的限制为


g={(0，1)，(1，3)，…}


定义3.5设A，B是非空集合，所有从A到B的函数记作BA，读作“B上A”，符号化表示为： BA={f|f： A→B}。
那从A到B上一共可以定义多少个函数呢？有如下结论成立。
定理3.1设A，B是非空有限集合，则从A到B共有|B||A|个不同的函数。
证明： 
设|A|=n，|B|=m。函数f是从A到B的任一函数，并且f由A中的n个元素的取值唯一确定，对于A中的任一元素，f在该元素处的取值都有m种可能，因此从A到B可以定义m·m·…·m=mn=|B||A|个不同的函数。
例3.5设集合A={1，2，3}，集合B={a，b}，计算
BA。
解： 根据定义，有BA={f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，f8}。



f1(1)=a，f1(2)=a，f1(3)=a；  f2(1)=a，f2(2)=a，f2(3)=b；

f3(1)=a，f3(2)=b，f3(3)=a；   f4(1)=a，f4(2)=b，f4(3)=b；

f5(1)=b，f5(2)=a，f5(3)=a；   f6(1)=b，f6(2)=a，f6(3)=b；

f7(1)=b，f7(2)=b，f7(3)=a；   f8(1)=b，f8(2)=b，f8(3)=b。


也可以表示成如下形式。


f1={(1，a)，(2，a)，(3，a)}；    f2={(1，a)，(2，a)，(3，b)}； f3={(1，a)，(2，b)，(3，a)}；

f4={(1，a)，(2，b)，(3，b)}；    f5={(1，b)，(2，a)，(3，a)}； f6={(1，b)，(2，a)，(3，b)}；

f7={(1，b)，(2，b)，(3，a)}； f8={(1，b)，(2，b)，(3，b)}。


例3.6设集合A={1，2}，集合B={a，b，c}，计算BA。
解： 根据定义，有BA={f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，f8，f9}。



f1(1)=a，f1(2)=a； f2(1)=a，f2(2)=b； f3(1)=a，f3(2)=c；

f4(1)=b，f4(2)=a； f5(1)=b，f5(2)=b； f6(1)=b，f6(2)=c；

f7(1)=c，f7(2)=a； f8(1)=c，f8(2)=b； f9(1)=c，f9(2)=c。


也可以表示成如下形式:


f1={(1，a)，(2，a)}； f2={(1，a)，(2，b)}； f3={(1，a)，(2，c)}；

f4={(1，b)，(2，a)}； f5={(1，b)，(2，b)}； f6={(1，b)，(2，c)}；

f7={(1，c)，(2，a)}； f8={(1，c)，(2，b)}； f9={(1，c)，(2，c)}。


因为函数是一种特殊的关系，所以一个函数确定一个关系； 但一个关系不一定确定一个函数，如例3.6中，从A到B共有64个不同的关系，但仅有9个不同的函数。
定理3.2设A，B，X，Y是非空集合，f： X→Y且 Af(X)，Bf(X)，则
(1) f(A∪B)=f(A)∪f(B)。
(2) f(A∩B)f(A)∩f(B)。
证明： (1) 先证f(A∪B)f(A)∪f(B)。
对任意的y∈f(A∪B)，存在x∈A∪B，使得


y=f(x)


即x∈A或x∈B时，有y=f(x)
，因此f(x)∈f(A)或f(x)∈f(B)，即y∈f(A)∪f(B)，则


f(A∪B)f(A)∪f(B)


再证f(A)∪f(B)f(A∪B)。
对任意的y∈f(A)∪f(B)，有y∈f(A)或y∈f(B)，因此在集合A，B中至少有一个集合里有一个x，使得


y=f(x)


即y=f(x)∈f(A∪B)，则


f(A)∪f(B)f(A∪B)


因此f(A∪B)=f(A)∪f(B)。
(2) 对任意的y∈f(A∩B)，存在x∈A∩B，使得


y=f(x)


即x∈A且x∈B时，有y=f(x)，因此f(x)∈f(A)且f(x)∈f(B)，即y∈f(A)∩f(B)，则


f(A∩B)f(A)∩f(B)


一般地，f(A∩B)≠f(A)∩f(B)。
例3.7设集合X={1，2，3}，集合Y={a，b，c}，A={1，2}，B={3}且f： X→Y，f(1)=a，f(2)=b，f(3)=b。有A∪B={1，2，3}，则f(A∪B)={a，b}。
因此，f(A)∪f(B)={a，b}∪{b}={a，b}，即f(A∪B)=f(A)∪f(B)成立。但是f(A∩B)=f(A)∩f(B)不一定成立。
例3.8设集合X={1，2，3}，集合Y={a，b，c}，A={1，2}，B={3}且f： X→Y，f(1)=a，f(2)=b，f(3)=b。有A∩B=，则f(A∩B)=。
但是f(A)∩f(B)={a，b}∩{b}={b}，即f(A∩B)f(A)∩f(B)成立。但是不满足f(A∩B)=f(A)∩f(B)。

定义3.6设集合A=A1×A2×…×An与集合B，则对任意x∈A，且x=(x1，x2，…，xn)，其中，xi∈Ai，1≤i≤n，有y∈B，这时定义y=f(x)=f((x1，x2，…，xn))，则称f为A到B的n元函数。
例3.9设A，B是非空集合，f： A×B→A的函数，若f(a，b)=a，则f是一个二元函数，其中，a∈A，b∈B。
3.2特 殊 函 数
函数作为一种关系，也可以进行分类，如果从函数的最基本性质出发，可以讨论单射的、满射的和双射的函数类。本节
主要讨论函数的基本性质及几种常用的函数。
定义3.7设f： A→B是一个函数。
(1) 如果对任意的x1，x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射函数或单射，或称一对一的函数。
(2) 如果对任意的y∈B，均有x∈A，使y=f(x)，即ran(f)=B，则称f为A到B的满射函数或满射，或称A到B的映上函数。
(3) 如果f既是A到B的单射，又是A到B的满射，则称f为A到B的双射函数或双射，或称一一对应的函数。
下面通过一个例子来理解这三种函数。
例3.10设集合A，B，定义函数f： A→B，在图3.1中给出了四种不同情形下的函数。


图3.1四种情形下的函数


由定义可知： 当集合A，B为有限集时，有
(1) f： A→B是单射的必要条件为|A|≤|B|。
(2) f： A→B是满射的必要条件为|A|≥|B|。
(3) f： A→B是双射的必要条件为|A|=|B|。
例3.11在实数集上也可以找到这样的函数，
例如，实数集上的函数y=5x是单射而非满射，多项式函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是满射而非单射，一次函数y=ax+b(a≠0)是双射，但二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)既非单射，又非满射。

例3.12设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，找出一个从A2到A的函数，能否找到一个从A2到A的满射？能否找到一个从A2到A的单射？
解： 对任意的x，y∈A，设


f(x，y)=max(x，y)


则f是一个从A2到A的函数，该函数也是一个从A2到A的满射，因为


|A2|=|A×A|=10×10=100

|A|=10


因此|A2|>|A|，这是满射函数存在的必要条件。但是找不到一个从A2到A的单射，因为|A2|>|A|，不满足单射的必要条件。
例3.13设集合A=P({1，2，3})，集合B={1，2}{a，b，c}，构造双射函数f： A→B。
解： A={，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
B={f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，f8}，其中： 
f1={(a，1)，(b，1)，(c，1)}，f2={(a，1)，(b，1)，(c，2)},
f3={(a，1)，(b，2)，(c，1)}，f4={(a，1)，(b，2)，(c，2)},
f5={(a，2)，(b，1)，(c，1)}，f6={(a，2)，(b，1)，(c，2)},
f7={(a，2)，(b，2)，(c，1)}，f8={(a，2)，(b，2)，(c，2)}。
令f： A→B，使得f()=f1，f({1})=f2，f({2})=f3，f({3})=f4，f({1，2})=f5，f({1，3})=f6，f({2，3})=f7，f({1，2，3})=f8。
定理3.3设A和B为有限集，若|A|=|B|，则f： A→B是单射的充要条件是f： A→B为满射。
证明： 
必要性： 若f： A→B是单射，则|A|=|f(A)|，因为|A|=|B|，所以


|f(A)|=|B|


因此，B=f(A)。否则，若存在b∈B且bf(A)，又B是有限集，因此有|f(A)|<|B|=|A|，与|f(A)|=|B|矛盾。因此f： A→B是满射。
充分性： 若f： A→B是满射，根据定义有B=f(A)，于是


|A|=|B|=|f(A)|


则f： A→B。否则，存在x1，x2∈A，尽管x1≠x2，但仍有f(x1)=f(x2)，因此，|f(A)|<|A|=|B|与|A|=|B|=|f(A)|矛盾，所以f： A→B是单射。
定义3.8设函数f： A→B，给出几个特殊函数的定义如下。
(1) 若存在b∈B，使得对任意的a∈A都有f(a)=b，则称f是从A到B的常值函数。
(2) 集合A上的恒等关系IA称为集合A上的恒等函数,即对任意的a∈A，都有IA（a）=a。
定义3.9设U是全集，且AU，函数ψA： U→{0，1}定义为



ψA(x)=1，x∈A


0，xA


称ψA是集合A的特征函数。
由特征函数的定义可知，集合A的每一个子集都对应于一个特征函数，不同的子集对应于不同的特征函数。因此，可以利用特征函数来标识集合A的不同子集，及利用特征函数建立函数与集合之间的一一对应关系，有利于用计算机去解决集合中的问题。
例3.14设U={a，b，c，d}，A={a，b}，则A的特征函数为


ψA： {a，b，c，d}→{0，1}


ψA(a)=ψA(b)=1，ψA(c)=ψA(d)=0。
关于特征函数有下列性质成立。
定理3.4设U是全集，且AU，BU，则对任意的x∈U，有
(1) x(ψA(x)=0)A=
(2) x(ψA(x)=1)A=U
(3) x(ψA(x)≤ψB(x))AB
(4) x(ψA(x)=ψB(x))A=B
(5) ψA′(x)=1-ψA(x)
(6) ψA∩B(x)=ψA(x)·ψB(x)
(7) ψA∪B(x)=ψA(x)+ψB(x)-ψA∩B(x)
(8) ψA-B(x)=ψA∩B′(x)=ψA(x)-ψA(x)·ψB(x)
证明： 这里给出(6)的证明，其余的可类似证明。
① 若x∈A∩B，有x∈A且x∈B，则ψA(x)=1且ψB(x)=1，于是ψA∩B(x)=1=ψA(x)·ψB(x)。
② 若xA∩B，则ψA∩B(x)=0，又因为xA∩B，则有xA或xB，因此ψA(x)=0或ψB(x)=0，于是ψA(x)·ψB(x)=0=ψA∩B(x)。
由①，②有ψA∩B(x)=ψA(x)·ψB(x)。
利用集合的特征函数可以证明一些集合恒等式。
例3.15利用特征函数证明A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
证明： 对任意的x，有


ψ(A∪B)∩(A∪C)(x)=ψA∪B(x)·ψA∪C(x)

=(ψA(x)+ψB(x)-ψA∩B(x))·(ψA(x)+ψC(x)-ψA∩C(x))

=(ψA(x)+ψB(x)-ψA(x)·ψB(x))·(ψA(x)+ψC(x)-ψA(x)·ψC(x))

=ψA(x)+ψA(x)·ψC(x)-ψA(x)·ψC(x)+ψA(x)·ψB(x)+

ψB(x)·ψC(x)-ψA(x)·ψB(x)·ψC(x)-ψA(x)·ψB(x)-

ψA(x)·ψB(x)·ψC(x)+ψA(x)·ψB(x)·ψC(x)

=ψA(x)+ψB(x)·ψC(x)-ψA(x)·ψB(x)·ψC(x)

=ψA(x)+ψB∩C(x)-ψA∩B∩C(x)

=ψA∪(B∩C)(x)


因此A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
定义3.10设R是定义在非空集合A上的等价关系，函数f： A→A/R，f(x)=［x］R，其中，［x］R是x关于R的等价类，则称f为从A到商集A/R的自然映射。
显然，自然映射是一个满射。但是当等价关系不是恒等关系时，自然映射都不是单射。
例3.16设A={1，2，3}，等价关系R={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(1，2)，(2，1)}，写出从A到商集A/R的自然映射。
解： 从A到商集A/R的自然映射f： A→A/R，f(1)=f(2)={1，2}，f(3)={3}。
3.3复合函数与逆函数
因为函数是一种特殊的关系，因此关系的复合运算及逆运算也适用于函数，即函数也可以进行复合运算与逆的运算。
3.3.1复合函数
定义3.11设A，B，C是集合，有函数f： A→B和g： B→C，则f与g的复合函数是一个由A到C的函数，记作gf，符号化表示为


gf={(a，c)|x∈A，c∈C，且存在b∈B，使得(a，b)∈f，(b，c)∈g}


对于a∈A，有(gf)(a)=g(f(a))。
约定： 只有当两个函数中一个的定义域与另一个的值域相同时，它们的合成才有意义。当这一要求不满足时，可利用函数的限制与扩充来弥补。
例3.17设f，g均为实数集上的函数，f(x)=x+1，g(x)=x2+1，则


gf(x)=g(f(x))=(x+1)2+1=x2+2x+2


而fg(x)=f(g(x))=(x2+1)+1=x2+2。
例3.18设集合A={a，b，c}上的两个函数： f={(a，c)，(b，a)，(c，c)}，g={(a，b)，(b，a)，(c，c)}，则


fg={(a，c)，(b，b)，(c，c)，gf={(a，a)，(b，c)，(c，c)}


一般地，复合函数是不可交换的，即fg≠gf。对于复合函数有下列性质成立。
例3.19在不含0和1的实数集上定义函数： 


f1(x)=x，f2(x)=1/x，f3(x)=1-x，f4(x)=1/(1-x)，

f5(x)=(x-1)/x，f6(x)=x/(x-1)


证明： (1) f2f3=f4； (2) f3f4=f6； (3) f5f6=f2。
证明： (1) f2f3(x)=f2(f3(x))=f2(1-x)=1/(1-x)=f4(x)
因此f2f3=f4。
(2) f3f4(x)=f3(f4(x))=f3(1/(1-x))=1-1/(1-x)=x/(1-x)=f6(x)
因此f3f4=f6。
(3) f5f6(x)=f5(f6(x))=f5(x/(x-1))
=((x/(x-1)-1)/(x/(x-1))
=1/x=f2(x)
因此f5f6=f2。
由于二元关系的复合运算满足结合律，因此函数的复合运算也满足结合律，所以有


(fg)h=f(gh)


对于特殊函数的复合运算有如下定理。
定理3.5设集合A、B、C，函数f： A→B，g： B→C，则
(1) 若f与g是满射，则gf： A→C是满射。
(2) 若f与g是单射，则gf： A→C是单射。
(3) 若f与g是双射，则gf： A→C是双射。
证明： (1) 对于任意的c∈C，因为g是满射，所以存在b∈B，使得c=g(b)。而对于b∈B，因为f是满射，所以存在a∈A，使得b=f(a)。于是


(gf)(a)=g(f(a))=g(b)=c


因此gf是满射。

(2) 对于任意的a，b∈A，如果a≠b
，则f(a)≠f(b)。又因为g是单射，所以g(f(a))≠g(f(b))，因此gf是单射。
(3) 因为f与g是双射，即f与g既是单射又是满射，由(1)和(2)可知，gf也既是单射又是满射，即gf是双射。
定理3.6设集合A、B、C，函数f： A→B，g： B→C，则
(1) 若gf是满射，则g是满射。
(2) 若gf是单射，则f是单射。
(3) 若gf是双射，则g是满射且f是单射。
证明： 
(1) 对于任意的c∈C，因为gf是满射，所以存在a∈A，使得c=gf(a)，即c=g(f(a))。因此有b=f(a)∈B，使得c=g(b)，因此g是满射。
(2) 对于a，b∈A，如果f(a)=f(b)，又因为g是函数，所以g(f(a))=g(f(b))，即gf(a)=gf(b)。由于gf是单射，所以a=b，即f是单射。

(3) 因为gf是双射，所以gf既是满射又是单射，由(1)和(2)可知，g是满射且f是单射。
注意： 若gf是满射，则f不一定是满射； 若gf是单射，则g不一定是单射。
例3.20设集合A、B、C，函数f： A→B，g： B→C，举例说明。
(1) gf是满射，则f不是满射。
(2) gf是单射，则g不是单射。

解： 设A={a1，a2}，B={b1，b2}，C={c}，定义函数f(a1)=f(a2)=b1，g(b1)=g(b2)=c，则gf： A→C为


gf(a1)=gf(a2)=c


可以验证gf是满射，但是f不是满射。
(2) 设A={a1，a2}，B={b1，b2，b3}，C={c1，c2}，定义函数f(a1)=b1，f(a2)=b3，g(b1)=g(b2)=c1，g(b3)=c2，则gf： A→C为


gf(a1)=c1，gf(a2)=c2


可以验证gf是单射，但是g不是单射。
3.3.2逆函数

函数作为关系可以求取它的逆关系。但是函数的逆关系不一定是函数，那在什么情况下函数的逆关系可以成为函数呢？我们做如下定义： 
定义3.12设集合A、B，函数f： A→B是双射，函数g： B→A使得对于每一个元素b∈B，有g(b)=a，其中，a∈A且使得f(a)=b，则称g是f的逆函数，记作f-1。若f存在逆函数，则称f是可逆的。逆函数也称为反函数。
例3.21设A={1，2，3}，B={a，b，c}，f： A→B，f={(1，a)，(2，b)，(3，b)}，因为f不是单射，因此f的逆关系{(a，1)，(b，2)，(b，3)}不是函数，但是如果f={(1，a)，(2，b)，(3，c)}，则f是双射，f的逆关系f-1={(a，1)，(b，2)，(c，3)}则是f的反函数。
定理3.7若f是从集合A到B的双射，则它的逆关系f-1是从B到A的双射。
证明： 因为f是双射，所以逆关系f-1是函数。
对于任意的a∈A，存在唯一的元素b∈B使得b=f(a)，又由逆函数定义知，a=f-1(b)
，即a∈f-1(B)，因为a是任意的，所以f-1是满射。
设b1，b2∈B，且b1≠b2，由双射的定义可知，必有两个元素
a1
，a2∈A，且a1≠a2，使得b1=f(a1)，b2=f(a2)，于是a1=f-1(b1)，a2=f-1(b2)，且f-1(b1)≠f-1(b2)，因此f-1是单射。

所以f-1是从B到A的双射。
定理3.8设集合A、B、C，f： A→B，g： B→C，且f与g都是可逆的，则
(1) (f-1)-1=f。
(2) (gf)-1=f-1g-1。
证明： 
(1) 由条件可知，f与f-1都是双射，并且有(f-1)-1是从A到B的双射。下面证明(f-1)-1=f。
对于任意的a∈A，设f(a)=b∈B，有f-1(b)=a，因此(f-1)-1(a)=b，于是f(a)=(f-1)-1(a)，因为a是任意的，因此(f-1)-1=f。

(2) 从假设可知，等式两边都是从C到A的双射。下面证明(gf)-1=f-1g-1。
对于任意的c∈C，存在b∈B与a∈A，使得g-1(c)=b，f-1(b)=a，则


(f-1g-1)(c)=f-1(g-1(c))=f-1(b)=a


另外，又有(gf)(a)=g(f(a))=g(b)=c

因此(gf)-1(c)=a。因为c是任意的，所以有


(gf)-1=f-1g-1


例3.22设R为实数集，函数f： R→R，g： R→R，f(x)=x+1，g(x)=x2，求fg，gf。如果f与g存在逆函数，求出相应的逆函数。
解： fg=f(g(x))=(x2)+1=x2+1
gf=g(f(x))=(x+1)2+1=x2+2x+2
f-1(x)=x-1
因为g不是双射，因此不存在逆函数。
习题
1. 下面的关系哪些构成函数？其中，(x，y)∈R定义为x2+y2=1，x，y均为实数。
(1) 0≤x≤1，0≤y≤1
(2) -1≤x≤1，-1≤y≤1
(3) -1≤x≤1，0≤y≤1
(4) x任意，0≤y≤1
2. 设A={a，b，c}，问： 
(1) A到A可以定义多少种函数？
(2) A×A到A可以定义多少种函数？
(3) A×A到A×A可以定义多少种函数？
(4) A到A×A可以定义多少种函数？
3. 设A={0，1，2}，B={a，b}，问下列关系哪些是A到B的函数？
(1) f1={(0，a)，(0，b)，(1，a)，(2，b)}
(2) f2={(0，a)，(1，b)，(2，a)}
(3) f3={(0，a)，(1，b)}
(4) f4={(0，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)}
4. 设f与g是函数，证明f∩g也是函数。
5. 设f与g是函数，且fg，dom(g)dom(f)，则f=g。
6. 设A={1，2，3，4，5}，B={a，b，c，d，e}，问下列函数哪些是单射？哪些是满射？哪些是双射？
(1) f1={(1，a)，(3，b)，(2，d)，(4，c)，(5，e)}
(2) f1={(1，a)，(3，a)，(2，d)，(4，c)，(5，d)}
(3) f1={(1，a)，(2，b)，(3，d)，(4，c)，(5，e)}
7. 设A={1，2，3，4，5}，B={a，b，c，d，e}，试给出满足下列条件的函数的例子。
(1) 是单射不是满射； 
(2) 是满射不是单射； 
(3) 不是单射也不是满射； 
(4) 既是单射又是满射。
8. 设f，g，h都是实数集上的函数，且f(x)=2x+1，g(x)=x2+2，h(x)=x2-2，求fg，gh，f(gh)，g(hf)。
9. 设f： A→B，g： B→ρ(A)，对于b∈B，g(b)={x∈A|f(x)=b}，证明： 若f是A到B的满射函数，则g是单射函数。
10. 设f与g是函数，且f(x)=2x+1，g(x)=3x+2，x∈Z(整数集)，求(fg)-1，(gf)-1。
11. 证明： 若(gf)-1是一个函数，则f与g是单射不一定成立。
12. 设函数f： R×R→R×R，f定义为


f(x，y)=(x+y，x-y)


(1) 证明f是单射； 
(2) 证明f是满射； 
(3) 求逆函数f-1； 
(4) 求复合函数f-1f与ff-1。