第5章
CHAPTER 5


含运算放大器的电阻电路






本章提要
运算放大器是一种多端电子器件，在工程中获得了非常广泛的应用。在电路理论中，运算放大器被视为一种基本的多端电路元件。本章介绍运算放大器的特性以及含有理想运算放大器的线性电阻电路的分析方法。
5.1运算放大器及其特性
运算放大器是一种具有较复杂结构的多端集成电路，它通常由数十个晶体管和许多电阻构成，其本质上是一种具有高放大倍数的直接耦合的放大器。由于早期主要将它用于模拟量的加法、减法、微分、积分、对数等运算，因此称之为运算放大器，也简称为“运放”。现在运算放大器的应用已远远超出了模拟量运算的范围，在各种不同功能的电路、装置中都能看到它的应用，例如广泛地使用于控制、通信、测量等领域中。人们已将运算放大器视为一种常用电路元件。

5.1.1实际运算放大器及其特性
实际运算放大器有多个外部端钮，其中包括为保证其正常工作所需连接的外部直流电源的端钮以及为改善其性能而在外部采取一定措施的端钮。而在电路分析中人们关心的是它的外部特性，而将它看作为一种具有四个端钮的元件，其电路符号如图51所示。


图51运算放大器的电路符号


图中的三角形符号表示它为放大器。它的四个端钮是反相输入端1，同相输入端2，输出端3以及接地端4。图中的u1和u2分别为反相输入端和同相输入端的对地电压； i1和i2分别为自反相输入端和同相输入端流入运算放大器的电流； uo为输出端的对地电压。A称为运算放大器的开环放大倍数。当运算放大器工作在放大区时，其输出电压与两个输入端的电压间的关系式为

uo=A（u2-u1）=Aud（51）

式中ud=u2-u1，ud称为差动电压，为同相输入端电压与反相输入端电压之差，即两个输入端子间的电压。



图52运算放大器典型的

转移特性


输出电压uo与差动电压ud的关系曲线称为运放的转移特性（输入输出特性）。运算放大器典型的转移特性如图52所示。图中Eo称为运放的输出饱和电压。显而易见，实际运算放大器是一种非线性器件。
实际运算放大器有如下特性： 
（1） 其开环放大倍数A很高，一般可达105~108。
（2） 由转移特性可见，当-e<ud<e时，输出电压随输入差动电压的增加而增长，这一区域称为运放的放大区。e一般很小，为mV级。
（3） 当ud<-e及ud>e时，输出电压|uo|≈|Eo|，即输出电压几乎保持不变，一般比运放外加直流电源的电压小2V左右。这一区域称为运放的饱和区。
（4） 流入实际运算放大器的电流i1和i2很小，近似为零。
（5） 由运放的输入输出关系式（51），当u1=0时，uo=Au2，即输出电压uo与输入电压u2具有相同的符号，因此把端钮2称为同相输入端，并在运放的电路符号中用“+”标识。当u2=0时，uo=-Au1，即输出电压uo与输入电压u1的符号相反，因此把端钮1称为反相输入端，并在运放的电路符号中用“-”标识。


图53运放的分段线性化的转移特性


（6） 无论是由运放的两个输入端观察，还是由各输入端与接地端观察，电阻Rin（称输入电阻）均很大，一般为106~1013Ω。而从运放的输出端与接地端观察的电阻Ro（称输出电阻）很小，通常在100Ω以下。
实际运算放大器有一种常用的近似处理方法，即将运放的转移特性分段线性化，如图53所示。图中，当-e≤ud≤e时，运放的转移特性用一条过原点的斜率为A的直线段表示，这一区域称为线性放大区。在直流和低频的情况下，实际运算放大器的有限增益电路模型如图54所示，这一电路可用于含运算放大器电路的定量分析计算。该电路的简化模型如图55所示。



图54运放的有限增益电路模型



图55运算放大器的简化电路模型



5.1.2理想运算放大器及其特性
1. 理想运放的条件
在电路理论中作为电路元件的运算放大器是实际运算放大器的理想化模型，理想化的条件为： 




图56理想运算放大器的

转移特性



（1） 具有理想化的转移特性，如图56所示。由图可见，其线性区域中的转移特性位于纵轴上，该直线的斜率为无穷大，这也表明理想运放的开环放大倍数A=∞。
（2） 具有无穷大的输入电阻，即Rin=∞。
（3） 输出电阻为零，即Ro=0。
2. 理想运放的特性
由理想运放的条件，可导出该元件的如下重要特性： 
（1） 因输入电阻Rin=∞，则从理想运放两输入端观察相当于断路，因此有i1=0和i2=0，即流入两输入端钮的电流均为零。这一特性称为“虚断路”。
（2） 输出电压uo=Aud，但A=∞，而uo总为有限值，因此必有ud=0，这表明理想运放的两输入端之间的电压为零，或两输入端的对地电位相等，或两输入端之间等同于短路。这一特性称为“虚短路”。


图57运算放大器是有源元件的说明图



（3） 理想运算放大器是有源元件，它能向外电路提供能量。在如图57所示的电路中，运算放大器吸收的功率为

p=u1i1+u2i2-uoio

因i1=0，i2=0，且uo=RLio，则

p=-uoio=-RLi2o<0

上述结果表明运算放大器向外接电阻输出功率。
需说明的是，分析计算含理想运放的电路时，并不使用理想运放的输入输出关系式即式（51），这是因为式中A=∞，ud=0，显然用该式不能求得输出电压。实际计算时，需根据连接于运放的外部电路，利用运放的基本特性（即“虚断路”“虚短路”特性）并结合KCL和KVL进行求解。
在后面的讨论中，若不特别说明，所涉及的均是理想运算放大器，其电路符号中的开环放大倍数用∞表示。

5.2含运算放大器的电阻电路分析
对含理想运算放大器的电路进行分析时，依据的是其“虚短路”和“虚断路”这两个基本特性。“虚短路”是指它的两个输入端子间的电压为零，或两个输入端子的电位相等； “虚断路”是指流入它的两个端子的电流为零。
需特别说明的是，运算放大器在实际应用中需引入“负反馈”以构成闭环电路（系统），如图58所


图58引入负反馈的运放电路



示。图中反馈电路应接于运算放大器的输出端和反相输入端之间。
1. 反相放大器



图59例51电路


例51求如图59(a)所示电路中的输出电压uo。
解电路中运放的同相输入端直接接地，按运放的“虚短路”特性，a点也相当于接地，即ua=0。于是流过电阻R的电流为

i=us-uaR=usR



电阻Rf接在反相输入端和输出端之间，称为反馈电阻。由于i1=0，有if=i。又由KVL，得

uo=-Rfif=-RRfus=βus

这表明该电路的输出电压与输入电压成正比。显然这一电路与一电压控制电压源相当，如图59（b）所示。该电路的输出电压uo与输入电压us极性相反，故称为反相放大器。
在图59(a)所示电路中，若R=1kΩ,Rf=12kΩ，us(t)=50sinωtmV，则输出电压为


uo(t)=-RfRus(t)=-12us(t)=-600sinωtmV


为保证运算放大器工作在线性放大区，应将输入电压us的幅值限制在一定的范围内。若该运放的饱和电压Eo=12V，则输入us的幅值应满足下式


|us|<RRfEo=112×12=1V


2. 同相放大器
例52电路如图510所示，求输出电压uo。
解由运放的“虚短路”特性，有


ua=us


又有


i=uaR1=usR1


根据“虚断路”特性，得到if=i，于是由KVL，有


uo=Rfif+us=1+RfR1us


由此可以看出，这一电路的输出电压幅度大于输入电压幅度，且两者极性相同，因此称为同相放大器。
3. 电压跟随器
例53图511所示电路称为“电压跟随器”，求其输出电压uo。


图510例52电路



图511例53电路


解根据运放的“虚断路”“虚短路”特性，有


i1=0,i2=0,ud=0


又由KVL，有


uo=us-ud


于是可得


uo=us


可见该电路的输出电压uo与输入电压us的变化规律完全相同，即输出跟随输入变化，因此称之为“电压跟随器”。此电路的输入电阻为无限大，而输出电阻为零，输出电压uo与外接负载无关，即使电源us含有内阻时也是如此，即它的输出具有理想电压源的特性。这表明该电路能实现信号源与负载的“隔离”作用，因此又称它为“缓冲器”。
在图512(a)所示的分压电路中，输出电压uo将随负载RL的变化而变化。当在电阻Ro与负载电阻RL之间接入电压跟随器之后，如图512(b)所示，则负载电阻RL上得到不变的电压uo，且


uo=RoRs+Rous




图512电压跟随器的隔离作用




图513例54电路


4. 加法器
例54求图513所示电路的输出电压uo和各输入电压间的关系。
解因运放的同相输入端直接接地，由“虚短路”特性，可知

ua=0


又由“虚断路”特性及KCL，有

i1+i2+i3=if①

又有

i1=E1R1，i2=E2R2，i3=E3R3，if=-uoRf

将各电流代入式①，得

-uoRf=E1R1+E2R2+E3R3

uo=-RfR1E1+RfR2E2+RfR3E3


若有R1=R2=R3=R，则


uo=-RfR(E1+E2+E3)


可见该电路能实现各输入电压的求和运算，故称为加法器。
5. 减法器
例55电路如图514所示，求输出电压uo和两个输入电压us1和us2间的关系。



图514例55电路


解由“虚断路”，有


i2=i3=us2R1+Rf，ub=Rfi3=RfR1+Rfus2


由“虚短路”，知ua=ub。又由“虚断路”，得


if=i1=us1-uaR1



根据KVL，有


uo=-Rfif+ua



将ua及if的表达式代入上式后解得


uo=RfR1(us2-us1)


由此可见，该电路的输出正比于两输入之差，故称为“减法器”。
6. 负阻变换器
例56求图515所示电路的输入电阻Rab。




图515例56电路


解设在ab端口加电压u，由运放的“虚短路”和“虚断路”特性，可得


u=uc=R2R1+R2uo


于是有


uo=R1+R2R2u


又由KVL，有


u=Rfi+uo=Rfi+R1+R2R2u


由此解出


Rab=ui=-R2RfR1


这一结果表明，从ab端口看进去，该电路为一负电阻。例如当R1=R2=2kΩ，Rf=20kΩ时，则Rab=-20kΩ。这一电路称为“负阻变换器”。
7. 回转器



图516回转器电路符号

回转器是现代网络理论中使用的一种双口电路器件，它可由运算放大器予以实现。回转器的电路符号如图516所示，其端口伏安关系式为



i1=gu2

i2=-gu1


或


u1=-ri2

u2=ri1


式中的g为回转电导，r=1/g为回转电阻。由上述关系式可见，回转器具有转换端口电压、电流的特性，即能将一个端口的电压转换为另一端口的电流，或将一个端口的电流转换为另一端口的电压。
在工程应用中，可利用回转器的特性，将电容元件“回转”为电感元件。当在回转器的输出端口接一电容元件后，从回转器的输入端口看进去则相当于一电感元件。这一结果可用于在集成电路制造中实现不易集成的电感元件。
例57图517所示的电路可用于实现回转器。试求该电路的输入、输出端口电压、电流间的关系式。


图517例57电路——实现回转器的电路

解对运算放大器A1，有


ua=ui=RR+Rub=12ub



于是可得


i=ua-ubR+ua-uoR=ui-2uiR+ui-uoR

=-uoR



对运算放大器A2，有


ud=uc-ubRR+uc=uo-2ui+uo=2uo-2ui


又得到


io=uo-udR+uo-uiR=2ui-uoR+uo-uiR=uiR


若令uo=u1,io=i1,ui=u2,i=i2,g=1/R,则可得到i1=gu2,i2=-gu1,可见该电路为一回转器。

例58电路如图518所示。（1）当两个开关接在a和a′位置时，分别求R1=R2=1kΩ和R1=R2=2kΩ时的电路输出电压和输入电压之比（转移电压比）uo/ui； （2）当两个开关接在b和b′位置时，再求上述两种参数条件下的转移电压比uo/ui。


图518例58电路

解（1） 当开关S1、S2接在a、a′位置时，若R1=R2=1kΩ，有uo=u2/2，又求出


u2=u1=12+1ui=13ui



于是转移电压比为


uoii=13×12=16



若R1=R2=2kΩ，仍有uo=ui/2，且


u2=u1=4/32+4/3ui=25ui



于是转移电压比为


uoui=25×12=15


由上述分析计算可知，N1的转移电压比受N2的影响，从而电路的整体转移电压比（或输出电压）将随N2的变化而变化。
（2） 当开关S1、S2接在b、b′位置时，是在N1和N2之间插入电压跟随器。由于跟随器的输入电阻为无限大，因此N2的接入不会对N1的转移电压比和输出u1产生影响。这表明电压跟随器起到了隔离N1和N2的作用，避免了两者的相互影响。于是电路的总体转移电压比是两个电路N1和N2转移电压比的乘积。对N1其转移电压比为


u1ui=22+2=12



对N2，在两组R1、R2参数时，均有转移电压比为


uou2=uou1=12



于是在R1、R2两组参数下的电路总体转移电压比为


uoui=u1ui·uou2=12×12=14



由此可见，在插入了电压跟随器后，可使电路的分析、设计得到简化。


例59电路如图519所示，求输出电压Uo。


图519例59电路


解先求电路左边运放的输出Ua。由“虚断路”及“虚短路”特性，知Ub=5V，由此可得


Ua=Ub+Ub5×3=5+1×3=8V


又知Uc=2V，且有


i=Ua-Uc3×103=8-23×103=2mA


于是求出


Uo=-5×103i+Uc=-10+2=-8V



练习题
51在图520所示的电路中，运放的开环放大倍数A为有限值，求该电路的电压增益K=uoui。
52求图521所示理想运放电路的输出电压uo。



图520练习题51电路




图521练习题52电路



习题
51求题51图所示含理想运放电路中的输出电压uo。
52电路如题52图所示，求输出电压uo。



题51图




题52图


53求题53图所示电路的电压uo。
54电路如题54图所示，求输出电压与输入电压之比uo/ui。



题53图



题54图


55求题55图所示电路中a、b两点间的戴维宁等效电路。
56求题56图所示电路中的输出电压uo。



题55图



题56图


57求题57图所示电路中的输出电压uo和电流i。


题57图

58电路如题58图所示，试求其入端电阻Rin。


题58图

59试求题59图所示电路的输出电压uo。


题59图

510电路如题510图所示，试求输出电压uo。


题510图