第
5 
章数值积分与数值微分

在科研与工程实践中,经常需要求解函数的积分或导数,但在很多情况
下,已知的函数关系只是一个数据表或者复杂的解析式,难以得到用于求解
积分值的原函数,或者难以直接求解导数,因而不能实际计算积分值或导数
值。于是,数学家回归微积分本源,用求和来近似积分,用有限差分来近似微
分,创造出数值求解法。

构造数值积分公式的常用方法是用积分区间上的
n 
次插值多项式代替
被积函数,导出插值型求积公式,当结点等距分布时称为牛顿-科茨公式。梯
形公式与抛物线公式是最基本的近似公式,其精度较差;龙贝格算法是在区
间逐次分半过程中,对梯形公式近似值加权平均求得精确度较高的积分值的
方法,可在等距分布时获得简练易用且稳定性好的求积公式;当用不等距结
点计算时,常用高斯型求积公式,其准确度高、稳定性好且可计算无穷积分。

数值微分是用函数值及其他已知信息来估算函数导数的方法。可以根
据函数在某些离散点上的值来推算某点的导数或高阶导数的近似值,通常用
差商代替微商,或用一个简单的可微函数(多项式、样条函数等)的导数近似
代替待解的函数导数。

5.机械求积法
1 

计算连续函数f(x)在[b] 只要找到f(的原函数F(

a,内的定积分时, x) x)
(F'(x)=f(x)), 即可由牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式

∫bf(x)xF(-F(

d=b)a)

a 

求得定积分

I(f)=
bf(x)dx 

但是,当被积函数f(x)未知或其原函∫数(a) F(x)过于复杂时,可以使用机械求

积法。这种方法的特点是,直接通过一些离散结点上的函数值f(xi)的线性

组合来计算定积分的近似值。这种方法将定积分计算归结为函数值计算,避

开了寻找原函数的麻烦,也为编程序求解积分近似值提供了可行性。


0 
　数值计算方法——人工智能、大数据分析的数学基础

5.1.1 
数值求积基本思想
计算定积分时,被积函数f(x)的表现形式多种多样,原函数F(x)也五花八门,往往需
要甚至不得不利用某种数值计算方法来求解定积分的近似值。

1. 
难解问题
实际的待解问题中,有如下3种常见的难解问题。

(1)被积函数f(x)是用函数表或图形给出的,没有解析表达式,因而不能使用牛顿-莱
布尼茨公式求解。
(2)f(x)的原函数F(x)不能用初等函数的有限形式表示,如

∫1sinxx,∫10-x

de2dx 

等,因而无法套用牛顿-莱布尼茨公式(0) 求解。(x) 

(3)虽然原函数能用初等函数表示,但其表达式非常复杂。例如, 
f(x)=x22x2+3 

积分后的原函数为

1 

162
计算定积分的值非常困难,因而不便使用牛顿-莱布尼茨公式求解。

F(x)
= 
4x22x2+3+ 
3 
x 
2x2+3-9ln(2x+x22x2+3)

16

2. 
定积分的几何意义
依据积分第一中值定理,如果f(x)在[a,上连续,则至少存在一点ξ∈[a,

b] b], 使得

d=ξ)(a)

∫baf(x)xf(b

其几何意义如图5-1所示。
上面的f(x)是一个非负函数,y=f(x)在[a,b] 
上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高、[b]

a,为底的矩

b 

形的面积。而1∫f(x)dx 
可理解为f(x)在区间

b-aa 

[b]上所有函数值的平均值。这是广义的有限个数
a,
的算术平均数。可见,找到一种f(的近似手段即
可


图5-
1 
积分第一中值定理的几何意义估计函数积分的结果。
ξ) 

ξ) 
注:f(为f(在区间[b] 只

ξ) x) a,上的平均高度, 
要找到一种求解f(的算法,就获得了一种数值求积方法了。

3. 
机械求积
积分区域两端点函数值的算数平均数近似f(

如果用f(x) 
f(a)
2 
+f(b) 
ξ) 

ξ)≈f(

则积分结果近似为

badb-)f()+f(

∫f(x)
x 
≈(b2 
a) 

a 



第5 章　数值积分与数值微分　1 21 
这就是梯形公式。如果用区间中点的函数值近似f(ξ) 
f(ξ)≈f a +b 
2 
.
è .
.
. ÷ 
则积分结果近似为
∫b
af(x)dx ≈ (b-a)f a +b 
2 
.
è .
.
. ÷ 
这就是中矩形公式。梯形公式和中矩形公式的区别如图5-2所示。
图5-2 梯形公式与中矩形公式的区别
更复杂一点,可同时使用区间两端点、中点的函数值作为平均高度f(ξ)的近似值
f(ξ)≈16
f(a)+46
f a +b 
2 
.
è .
.
. ÷ 
+16
f(b) 
则积分结果近似为
∫b
af(x)dx ≈b-a 
6 f(a)+4f a +b 
2 
.
è .
.
. ÷ 
+f(b) é
. êê
ù
. úú 
这就是辛普森公式。
更一般地,在区间[a,b]上适当选取n+1个结点(xi,f(xi)),i=0,1,2,…,n,加权平
均得到f(ξ)的估计值,即可构造出求积公式
∫b
af(x)dx ≈ Σn 
i=0
Aif(xi) 
其中,xi 为求积结点;Ai 为求积系数。由于Ai 的值仅与结点xi 的选取有关,而不依赖于
被积函数f(x),因此求积公式具有通用性。
例5-1 设积分区间[a,b]为[0,2],取f(x)=1、x、x2、x3、ex ,分别用梯形、中矩形与辛
普森公式求解定积分。
解:计算定积分的梯形、中矩形与辛普森公式分别为
∫2
0
f(x)dx ≈f(0)+f(2) 
∫2
0
f(x)dx ≈2f(1) 
∫2
0
f(x)dx ≈13
[f(0)+4f(1)+f(2)] 
代入不同的被积函数,求得定积分的近似值如表5-1所示。

2 
　数值计算方法——人工智能、大数据分析的数学基础

表5-
1 
定积分求值结果

f(x) 
1 x 
x2 
x3 
ex 
精确值2 2 2.67 4 6.389 
梯形公式求值2 2 4 8 8.389 
中距形公式求值2 2 2 2 5.436 
辛普森公式求值2 2 2.67 4 6.421 

可以看出,当f(x)=x2、x3、ex 
时,辛普森公式比梯形公式与中矩形公式更精确。

5.1.2 
代数精度
为了保证计算精度,自然希望求积公式对于“尽可能多”的函数都是准确的,可以通过代
数精度来评判求积公式。

1. 
代数精度的概念
如果某个求积公式对于次数不大于
m 
的多项式均能准确成立,但用于
m 
+1 次多项式
却不一定准确,则称该求积公式具有
m 
次代数精度。
由于次数不大于
m 
的多项式可以表示为
xm

f(x)=a0+a1x+a2x2+ 
…+am
故当验证求积公式的代数精度时,只需验证该求积公式对
xm 
,

xm+1 

是否成立即可。
f(x)=1,x,x2,…,

例5-
2 
验证梯形求积公式的代数精度。

解:梯形求积公式

x)
x 
≈b-a[f(b)] 

a 

(1)当f(x)=1时∫bf(d2 a)+f(
1dx=b-a, b-a[1+1]=b-a

∫ba2 

因为左式=右式,所以公式准确成立。

(2)当f(x)=
x 
时
b 
1
∫xdx 
2(-a2)

=b2

a 

b-a(1(-a2) 

因为左式=右式,所以公式准确成立。

(3)当f(x)=x2 时
21 
ab+
3b)
= 
2b2
∫bx2dx= 
(-a3)

a 
3b-
2 
a(a2b2)21(a2+b2)(a+b)

-
= 


第5 章　数值积分与数值微分　1 23 
因为左式≠右式,所以公式不成立。
综上所述,梯形求积公式具有一次代数精度。
可以验证,中矩形公式具有一次代数精度,辛普森公式具有三次代数精度。一般地,机
械求积公式
∫b
af(x)dx ≈ Σn 
k=0
Akf(xk) 
中包含2n+2个参数xk 、Ak ,k=0,1,2,…,n。适当选择这些参数,可使求积公式具有不同
的代数精度。
2.求积系数Ai 
一般地,要使求积公式具有m 次代数精度,只要令其对于f(x)=1,x,x2,…,xm 均能
准确成立,也就是说,对给定n+1个互异结点xi(i=0,1,2,…,n),相应的求积系数Ai 满
足条件
A0 +A1 + … +An =b-a 
A0x0 +A1x1 + … +Anxn =b2 -a2 
2 
. 
A0xm
0 +A1xm
1 + … +Anxm 
n =bm+1 -am+1 
m +1 
ì
.
í
.... 
.... 
如果事先选定结点xk ,取m =n,则有
A0 +A1 + … +An =b-a 
A0x0 +A1x1 + … +Anxn =b2 -a2 
2 
. 
A0xn0
+A1xn1
+ … +Anxnn
=bn+1 -an+1 
n +1 
ì
.
í
.... 
.... 
这是关于Ak 的线性方程组,其系数行列式为范德蒙德行列式。当xi(i=0,1,2,…,n)互异
时,其值非零。可通过克拉默法则唯一求得Ai(i=0,1,2,…,n),进而构造出数值求积公
式。但是,这种方法的计算量非常大,如果采用插值多项式来构造数值求积公式,则会减少
计算量。
例5-3 确定求积系数,使得
∫1
-1
f(x)dx ≈Af(-1)+Bf(0)+Cf(1) 
具有最高的代数精度。
解:分别取f(x)=1,x,x2,x3,则有方程组
A +B +C =2 
-A +C =0 
A +C =23 
ì
.
í
..
.
.. 
解之,并构造求积公式为∫
1
-1
f(x)dx ≈13
f(-1)+43
f(0)+13
f(1)

1 24 　数值计算方法——人工智能、大数据分析的数学基础
该公式对于f(x)=1,x,x2 都准确成立,对于f (x)=x4 就不准确了,故具有三次代数
精度。
5.1.3 插值型求积公式
由于区间[a,b]上的函数f(x)可以用该区间上n+1个点(xi,f(xi)),i=0,1,2,…,n 
的n 次插值多项式Pn(x)来近似替代,故f(x)在区间[a,b]上的积分就可以用该区间上的
插值多项式Pn(x)来近似替代。
1.构造求积公式
给定f(x)的一组互异结点xi(i=0,1,2,…,n),相应的函数值分别为f(xi),i=0,1, 
2,…,n,则可构造拉格朗日插值多项式
Ln(x)=Σn 
i=0
li(x)f(xi)=Σn 
i=0 Πn 
j=0 j≠i 
x -xj 
xi -xj 
.
è .
.
.÷f(xi) 
由于代数插值多项式Ln(x)的原函数容易求出,因此可取
∫b
af(x)dx ≈∫b
a
Ln(x)dx =∫b
aΣn 
i=0
li(x)f(xi)dx =Σn 
i=0∫b
aΣn 
i=0
( li(x)dx )f(xi) 
故有插值型求积公式
∫b
af(x)dx ≈ Σn 
i=0
Aif(xi) 
该式中
Ai =∫b
a
li(x)dx =∫b
aΠn 
j=0 j≠i 
x -xj 
xi -xjdx 
2.求积公式的代数精度
插值型求积公式的余项为
R[f]=∫b
a 
fn+1(ξ) 
(n +1)! Πn 
j=0(x -xj)dx 
当被积函数f(x)取次数不超过n 次的多项式时
因为fn+1(x)=0 所以余项R[f]=0 
这说明插值型求积公式对一切次数不超过n 次的多项式都精确成立。可见,含有n+1个
互异结点xi(i=0,1,2,…,n)的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
反之,如果插值型求积公式至少具有n 次代数精度,则它对于n 次插值基函数li(x),i 
=0,1,2,…,n 也是准确成立的,即
∫b
a
li(x)dx =Σn 
j=0
Ajli(xj)dx =Ai 
可见,至少具有n 次代数精度的求积公式必为插值型的。
综上所述,数值型求积公式为插值型求积公式的充分必要条件是,该公式至少具有n 
次代数精度。
例5-4 已知3个求积结点的函数值分别为x0=14
、x1=12
、x2=34
,据此构造区间[0, 
1]内的插值型求积公式;分析其代数精度,并用于计算∫1
0
x3dx。

第5 章　数值积分与数值微分　1 25 
解:(1)求得过3个已知点的拉格朗日插值多项式
p2(x)= (x -x1)(x -x2) 
(x0 -x1)(x0 -x2)f(x0)+ 
(x -x0)(x -x2) 
(x1 -x0)(x1 -x2)f(x1)+ 
(x -x0)(x -x1) 
(x2 -x0)(x2 -x1)f(x2) 
故有求积公式
∫1
0
f(x)dx ≈∫1
0
p2(x)dx =A0f(x0)+A1f(x1)+A2f(x2) 
该式中
A0 =∫1
0 
(x -x1)(x -x2) 
(x0 -x1)(x0 -x2)dx =∫1
0 
(x -1/2)(x -3/4) 
(1/4-1/2)(1/4-3/4)dx =23 
A1 =∫1
0 
(x -x0)(x -x2) 
(x1 -x0)(x1 -x2)dx =∫1
0 
(x -1/4)(x -3/4) 
(1/2-1/4)(1/2-3/4)dx =13 
A2 =∫1
0 
(x -x0)(x -x1) 
(x2 -x0)(x2 -x1)dx =∫1
0 
(x -1/4)(x -1/2) 
(3/4-1/4)(3/4-1/2)dx =23 
求得插值型求积公式为
∫1
0
f(x)dx ≈23
f 14
.
è .
.
. ÷ 
+13
f 12
.
è .
.
. ÷ 
+23
f 34
.
è .
.
. ÷ (2)由于这个积分公式是求解二次插值函数积分的结果,故至少具有二次代数精度。
代入f(x)=x3、f(x)=x4。
因为∫1
0
x3dx =14
=23
f 14
.
è .
.
. ÷
3 
+13
f 12
.
è .
.
. ÷
3 
+23
f 34
.
è .
.
. ÷
3 
又因为∫1
0
x4dx =15
≠23
f 14
.
è .
.
. ÷
4 
+13f 12
.
è .
.
. ÷
4 
+23
f 34
.
è .
.
. ÷
4 
所以该求积公式具有三次代数精度。
(3)∫1
0
x3dx ≈23
f 14
.
è .
.
. ÷
3 
+13
f 12
.
è .
.
. ÷
3 
+23
f 34
.
è .
.
. ÷
3 
=14 
因为求积公式具有三次代数精度。
所以14
实际上是∫1
0
x3dx 的精确值。
5.2 牛顿-科茨求积法
如果将积分区间[a,b]划分为n 等份,记步长h=b-a 
n ,选取等距结点xi=a+ih(i= 
0,1,2,…,n),则当对应函数值f(xi)已知时,以这些等距结点所导出的插值型求积公式
I(f)=∫b
af(x)dx ≈ (b-a)Σn 
i=0
C(n) i f(xi) 
称为n 阶牛顿-科茨(Newton-Cotes)求积公式。其中,C(n) i 称为科茨系数。

6 
　数值计算方法——人工智能、大数据分析的数学基础

5.2.1 
科茨系数及求积公式
与插值型求积公式比较,可知

Ci(n) 
a)Ai= 
(
1 a)
baΠ(n) x-xj 
dx=1(b-
j≠
i 
为简化计算,做变换xi=a+th,则有
b-∫j=0xi-xj 

=t,t-h,(j)

dxhdx 
-xj 
=(j)xi-xj=i-
h 

从而有

Ci(n)
= 
1 
b 
(x-x0)(-x1)…(-xi-1)(-xi+1)…(-xn 
)dxb-a∫
a 
(x0)(x1)…((x) 1)(x(x) i-xi+1)…((x) )

xi-xi-(x) xi-xi-xi-xn 

t-1)…(i+1)(i-1)…(n)

nt(t-t-t-hn 
dt

n

∫i(…2×1× 
(-2)…(ni))

=hb-a0 i-1)-1)
× 
(-(-h

n-
i n 

ni!(i)!∫0 
t-1)…(i+1)(i-1)…(n)
t 
n

= 
(-1)t(t-t-t-d

即科茨系数

C(n)(-1)(j)dt

i 
=i!(
ni-
i 
)!∫
n Π(n) t

nn-0j=0 j≠
i 

可以看出,科茨系数只依赖于被积区间[b] 与积分区间[b] x)

a,的等分数n, a,及被积函数f(
都无关。只要给出等分数n,就能求得Ci(n),从而写出相应的牛顿-科茨求积公式。
表5-2列出了科茨系数表起始部分
n 
从1到7的科茨系数。可以看出,科茨系数对
i 

n 

具有对称性,即C() () 并且其代数和为1,即Σ () 1。

ni=Cnn-i; Cni=
i=0 

表5-
2 
n=1~7的科茨系数

n 
1 1 
2 
1 
2 
2 1 
6 
2 
3 
1 
6 
3 1 
8 
3 
8 
3 
8 
1 
8 
4 7 
90 
16 
45 
2 
15 
16 
45 
7 
90 
5 19 
288 
25 
96 
25 
144 
25 
144 
25 
96 
19 
288 
6 41 
840 
9 
35 
9 
280 
34 
105 
9 
280 
9 
35 
41 
840 
7 751 
17280 
3577 
17280 
1323 
17280 
2989 
17280 
2989 
17280 
1323 
17280 
3577 
17280 
751 
17280 

当n=8时,科茨系数会出现负数,对应求积公式的稳定性得不到保证。而且,对于高
次插值多项式来说,收敛性一般不成立。故实际计算中一般不会使用高阶牛顿-科茨求积
公式,实用的仅仅是
n 
不大于4的低阶公式。


第5 章　数值积分与数值微分　1 27 
当n=1时,C(1) 0 =C(0) 1 =12
,牛顿-科茨求积公式为
∫b
af(x)dx ≈ (b-a)12
f(a)+12
f(b) é
. êê
ù
. úú
=b-a 
2 [f(a)+f(b)] 
这就是梯形求积公式。
当n=2时,C(2) 0 =C(2) 2 =16
,C(2) 1 =46
,牛顿-科茨求积公式为
∫b
af(x)dx ≈ (b-a)16
f(a)+46
f a +b 
2 
.
è .
.
. ÷ 
+16
f(b) é
. êê
ù
. úú 
=b-a 
6 f(a)+4f a +b 
2 
.
è .
.
. ÷ 
+f(b) é
. êê
ù
. úú 
这就是辛普森求积公式。
当n=4时, 
C0(4)=C4(4)= 7 
90, C1(4)=C3(4)=16 
45, C2(4)= 2 
15 
牛顿-科茨求积公式为
∫b
af(x)dx ≈b-a 
90 [7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)] 
这个公式称为科茨求积公式。该式中xi =a+ih(i=0,1,2,3,4),h=b-a 
4 。这是在等距
结点条件下的插值型求积公式,至少具有n 次代数精度;当n 为偶数时,则可以达到n+1 
次代数精度。
5.2.2 低阶求积公式的误差估计
牛顿-科茨求积公式的余项就是插值型求积公式的余项
R[f]=∫b
a 
fn+1(ξ) 
(n +1)! Πn 
j=0(x -xj)dx 
当n=1时,有
R1[f]=I[f]-T1 =1 2∫b
afn(ξ)(x -a)(x -b)dx 
由于(x-a)(x-b)≤0,在[a,b]上不变号,故依积分加权平均值定理,存在η∈(a,b),使
R1[f]=f″(η) 
2∫b
a(x -a)(x -b)dx =- (b-a)3 
12 f″(η), η ∈ (a,b) 
这就是梯形求积公式的截断误差。
当n=2时,有
R2[f]=∫b
a
f.(ξ) 
3! (x -a)x -a +b 
2 
.
è .
.
. ÷ 
(x -b)dx 
由于(x-a)x-a+b 
2 
.
è ..
. ÷ 
(x-b)在[a,b]上不保号,即符号可正可负,无法直接应用积分加
权平均值定理。但因辛普森求积公式具有三次代数精度,对于满足插值条件
H (a)=f(a), H (b)=f(b) 
{H (c)=f(c), H'(c)=f'(c),c=a +b 
2

1 28 　数值计算方法——人工智能、大数据分析的数学基础
的三次插值多项式H (x)能准确成立,故有
∫b
a
H (x)dx =b-a 
6 [H (a)+4H (c)+H (b)] 
由插值条件式可知,这个积分值实际上等于辛普森求积公式求得的积分值,从而有
R2[f]=I[f]-S1 =∫b
a[f(x)-H (x)]dx 
通过埃尔米特插值的余项公式,求得
R2[f]=∫b
a
f4(ξ) 
4 (x -a)(x -c)2(x -b)dx 
由于(x-a)(x-c)2(x-b)在[a,b]上保号(非正),故依积分中值定理得
R2[f]=f(4)(η) 
4! ∫b
a(x -a)(x -c)2(x -b)dx 
=- (b-a) 
180 
b-a 
2 
.
è .
.
. ÷
4
f(4)(η), η ∈ (a,b) 
这就是辛普森求积公式的截断误差。
类似地,可以求出科茨求积公式的截断误差为
R4[f]=I[f]-C1 =2(b-a) 
945 
b-a 
4 
.
è .
.
. ÷
6
f(6)(η), η ∈ (a,b) 
例5-5 如果f″(x)≥0,证明用梯形求积公式求解定积分
I =∫b
af(x)dx 
得到的值大于准确值,并说明其几何意义。
证明:由梯形公式余项
R[f]=- (b-a)3 
12 f″(η), η ∈ (a,b) 
可知,如果f(x)>0,则R[f]<0,于是
I =∫b
af(x)dx =T +R[f]<T 
也就是说,由梯形公式计算得到的积分值大于准确值。其几何意义为f″(x)>0,因而f(x) 
为下凸函数,梯形面积大于曲边梯形面积。证毕。
例5-6 分别用梯形求积公式、辛普森求积公式与牛顿-科茨求积公式求解定积分
I =∫1
0.5 
xdx 
的近似值,并与准确值比较。
解:(1)用梯形公式计算
∫1
0.5 
xdx ≈1-0.5 
6 [f(0.5)+f(1)]=0.25× [0.70711+1]≈0.4267767 
(2)用辛普森公式计算
∫1
0.5 
xdx ≈1-0.5 
6 [0.5+4× 0.5+1 
2 + 1]=0.43093403