第3章傅里叶变换 【本章导读】 本章讨论连续时间信号与系统的傅里叶分析方法，从正交函数出发，得出三角函数形式和复指数形式的傅里叶级数展开式，引出傅里叶变换并建立信号频谱概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握连续信号的频域分析方法。在此基础上延伸至周期信号与抽样信号的傅里叶变换。在最后介绍傅里叶变换最主要的应用——滤波、调制和抽样。 【学习要点】 （1） 掌握傅里叶级数(三角函数形式与指数形式)的定义、性质及将周期信号展开为傅里叶级数的方法。 （2） 掌握傅里叶正变换和逆变换的定义、性质及计算方法。 （3） 掌握信号的频域分析的概念以及各种信号(周期信号、非周期信号、抽样信号、调幅信号)频谱的特点及绘制频谱图的方法，了解信号的频域特性与时域特性的关系，深刻理解信号的频带宽度与信号脉冲宽度之间的关系。 （4） 了解时域抽样与频域抽样的方法及应用，掌握时域抽样定理与频域抽样定理的内容，深刻理解其物理意义。 3.1引言 傅里叶变换是以正交函数集为理论基础，对连续时间函数进行的积分变换。利用周期信号取极限变成非周期信号的方法，可以由周期信号的傅里叶级数推导出傅里叶变换。对于周期信号而言，在进行频谱分析时可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。而对非周期信号而言，则不存在傅里叶级数，此时就要用傅里叶变换求出它的频谱。 傅里叶分析方法从建立到应用经历了一段漫长的历史，1822年法国数学家傅里叶(J.Fourier，1768—1830)在《热的分析理论》一书中提出并证明了周期函数展开成谐波关系的正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。此后傅里叶扩展了其研究成果，提出非周期函数也可以表示为正弦函数的加权积分，从而使傅里叶级数推广到傅里叶积分。在傅里叶之后，1829年狄里克雷(P.L.Dirichlet)给出了严格的傅里叶级数收敛条件，让傅里叶级数和傅里叶积分在许多领域得到了广泛的应用，如热学问题、机械振动等。其后，泊松(Poisson)、高斯(Gauss)等人又把三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具应用于电力、通信和自动化控制等实际的工程问题中。迄今，傅里叶分析方法在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析中得到了广泛的应用，已成为系统分析不可缺少的重要工具。 3.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数 3.2.1傅里叶级数的三角形式 给定一个实周期信号f(t)，设其周期为T1，角频率为ω1=2π/T1，若满足下列狄里克雷条件(通常遇到的周期信号都能满足狄里克雷条件，因此，以后除非特殊说明，一般都认为周期信号满足此条件)： （1） 在f(t)的任意一个周期内，f(t)是绝对可积的； （2） 在f(t)的任意一个周期内，f(t)仅有有限个极大值点和极小值点； （3） 在f(t)的任意一个周期内，f(t)仅有有限个不连续点。 若周期信号f(t)(周期为T1，角频率ω1=2π/T1=2πf1)满足狄里克雷条件，则它便可以展开成如式(31)所示的傅里叶级数三角形式，即： f（t）=a0+a1cos（ω1t）+b1sin（ω1t）+a2cos（2ω1t）+b2sin（2ω1t） +…ancos（nω1t）+bnsin（nω1t）+… =a0+∑+∞n=1［ancos（nω1t）+bnsin（nω1t）］(31) 其中，系数an和bn称为傅里叶级数的系数，简称为傅里叶系数，有 直流分量 a0=1T1∫t0+T1t0f(t)dt(32) 余弦分量的幅度 an=2T1∫t0+T1t0f(t)cos(nω1t)dt(33) 正弦分量的幅度 bn=2T1∫t0+T1t0f(t)sin(nω1t)dt(34) 其中，n=1,2,…。 通常，公式中的积分区间取(0，T1)或－T22，+T22。式(32)~式(34)表明，an和bn都是nω1的函数，其中an是nω1的偶函数，bn是nω1的奇函数。 若将式(31)中同频率项进行合并，可以得到另一种余弦形式的傅里叶级数，即 f(t)=c0+∑+∞n=1cncos(nω1t+n)(35) 或 f(t)=d0+∑+∞n=1dnsin(nω1t+θn) 式(35)也是傅里叶级数的三角函数展开形式。式中n为正整数，c0和d0称为周期函数f(t)直流分量，c1cos(nω1t+1)，d1sin(nω1t+θ1)称为基波分量，ω1称为基波角频率，其余各项(n>1的项)统称为高次谐波分量。高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。当n=2时称为二次谐波分量，n=3时称为三次谐波分量，等等。cn和dn为第n次谐波的幅度，n和θn为第n次谐波的相位。 比较式(31)和式(35)，各参数之间的关系如式(36)所示 a0=c0=d0 an=cncosn=dnsinθn dn=cn=a2n+b2n bn=－cnsinn=dncosθn n=arctan－bnan θn=arctananbn(36) 从以上各式可以发现，展开式中各分量的幅度an、bn、cn及相位n都是nω1的函数。cn和nω1的曲线关系称为信号的幅度频谱，通常简称为幅度谱,如图31(a)所示。相位n与nω1的曲线关系称为相位频谱，通常简称为相位谱,如图31(b)所示。 图31周期信号的频谱 从图31(a)中，可以清楚、直观地看出各频率分量的相对大小，每条实线称为谱线，它代表在该频率分量下的幅度大小。ω1称为基波角频率。由于n为整数，使得周期信号的频谱只会出现在0，ω1，2ω1等离散频率点上，即频谱是离散的，故称此频谱为离散谱，所以周期信号的频谱是离散谱。 3.2.2傅里叶级数的复指数形式 由上述内容可知，周期信号f(t)可以展开为： f(t)=a0+∑+∞n=1［ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)］(37) 根据欧拉公式： cos(nω1t)=12(ejnω1t+e－jnω1t) sin(nω1t)=12j(ejnω1t－e－jnω1t) 代入式(37)，整理可得 f(t)=a0+∑+∞n=1an－jbn2ejnω1t+an+jbn2e－jnω1t(38) 由式(33)和式(34)知，an是n的偶函数，bn是n的奇函数，可设 F(0)=a0 F(nω1)=12(an－jbn)(39) 则 F(－nω1)=12(an+jbn)，n=1,2,3,… 把式(39)代入式(38)，整理可得指数形式的傅里叶级数展开式为 f(t)=∑+∞n=－∞F(nω1)ejnω1t(310) 令Fn=F(nω1)，上式可以写成 f（t）=∑+∞n=-∞Fnejnω1t(311) 其中，Fn为指数形式的傅里叶级数的系数。将式(33)和式(34)代入到式(39)，得到Fn的表达式为： Fn=1T1∫t0+T1t0f(t)e－jnω1tdt(312) 其中n为整数。 不同形式的傅里叶级数展开式系数间的关系如下 F0=c0=d0=a0 |Fn|=|F－n|=12cn=12dn=12a2n+b2n Fn=|Fn|ejn=12(an－jbn) |Fn|+|F－n|=cn F－n=|F－n|e－jn=12(an+jbn) Fn+F－n=an bn=j(Fn－F－n) c2n=d2n=a2n+b2n=4FnF－n(313) 其中，n=1,2,3,…。 周期信号的频谱不仅可以根据傅里叶级数的三角函数形式绘出，还可以绘出指数形式表示的信号频谱。已知Fn一般都是复函数，所以Fn与ω间的关系称为周期信号的复数频谱。又已知道Fn=|Fn|ejn，则|Fn|→ω的关系表示复数幅度谱，n→ω的关系表示复数相位谱。图32(a)、图32(b)分别画出|Fn|对ω的关系和相位φn对ω的关系，即周期信号的复数幅度谱和复数相位谱。如图32(c)所示，是当Fn为实函数时的情况，此时可用Fn的正负来表示φn的0或π，因此通常把幅度谱和相位谱画在一张图上。由公式f(t)=∑+∞n=－∞F(nω1)ejnω1t知，不仅有正频率项nω1，还有负频率项－nω1，所以复指数幅度频谱相对于纵轴是左右对称的，即为双边频谱。由上可知，图32（c）中每条谱线长度为Fn=12cn。 图32周期信号的复数频谱 通过介绍傅里叶级数的三角形式和指数形式，可以发现周期信号的两种频谱的表示方法实质上是一样的，只是复数频谱图中的每个分量的幅度一分为二，并且对称地分布在正负频率的位置上。接下来通过研究周期信号的功率特性来了解其功率在各次谐波中的分布情况，即研究周期信号的功率频谱，简称功率谱。 对周期信号的傅里叶级数三角形式表示式或指数形式表示式进行数学处理，可以得到周期信号f(t)的平均功率P与傅里叶系数有下列关系： P=f2(t)=1T1∫t0+T1t0f2(t)dt =∑+∞n=－∞|Fn|2(314) 此式表明，周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量幅度的平方和，也即时域和频域的能量守恒。式(314)称为帕塞瓦尔定理(或帕塞瓦尔方程)。 3.2.3具有对称性的周期信号的频谱 当周期信号的波形具有某种对称性时，其相应的傅里叶级数的系数会呈现出一定的特征。周期信号的对称性大致分两类，一类是对整个周期对称，如奇函数或偶函数，这种对称性决定了展开式中是否含有正弦项或余弦项； 另一类对称性是关于波形前半周期与后半周期是否相同或成镜像的关系，如奇谐信号。这种对称性决定了展开式中是否含有偶次项或奇次项。下面分别讨论不同的对称情况下傅里叶系数的性质。 1. 偶对称信号 如果以T0为周期的实值周期信号f(t)具有f(t)=f(－t)的关系，则表示周期信号f(t)为t的偶函数，其信号波形对于纵轴是左右对称的，故也称为纵轴对称信号。图33是偶对称信号的一个实例。 图33偶对称信号 用式(33)和式(34)求傅里叶系数时，因为f(t)cos(nω1t)为偶函数，而f(t)sin(nω1t)为奇函数，故有 an=4T1∫T120f(t)cos(nω1t)dt bn=0(315) 此时不同展开式各系数的关系如下 cn=dn=an=2Fn Fn=F－n=an2 n=0 θn=π2 可知，实偶信号的傅里叶系数Fn是实函数，并是n的偶函数，实偶信号的傅里叶系数中不会含正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 2. 奇对称信号 如果以T0为周期的实值周期信号f(t)具有f(t)=－f(－t)这种关系，则表示周期信号f(t)为奇函数，其信号波形对于原点是对称的，故称为原点对称信号。图34是奇对称信号的一个实例。 图34奇对称信号 用式(33)和式(34)求傅里叶系数时，此时f(t)cos(nω1t)为奇函数，而f(t)sin(nω1t)为偶函数，即 a0=0,an=0 bn=4T1∫T120f(t)sin(nω1t)dt(316) 此时不同展开式各系数的关系如下 cn=dn=bn=2jFn Fn=－F－n=－12jbn n=－π2 θn=0 可知，实奇信号的傅里叶系数Fn是虚函数，并是n的奇函数，实奇信号的傅里叶系数中不包含余弦项，只可能含有正弦项。有的信号是由一奇信号和一直流成分构成，它不再是奇函数，但在其级数展开式中仍然不会含有余弦项。 3. 奇谐信号 如果以T0为周期的周期信号f(t)具有的关系为f(t)=－ft±T12，则表示周期信号f(t)信号波形平移半个周期后，将与原波形上下镜像对称，故也称为半波镜像信号。函数f(t)称为半波对称函数或奇谐函数，图35是奇谐函数的一个实例。 图35奇谐信号 图35中实线都表示半波对称函数f(t)，而图35(b)~图35(e)中的虚线分别可以表示cos(ω1t)，sin(ω1t)，cos(2ω1t)，sin(2ω1t)的波形。从奇谐函数的实例图35(a)中可以明显地发现直流分量a0一定等于零。从图32(b)和图32(c)可以看出f(t)cos(ω1t)，f(t)sin(ω1t)的积分存在，而从图32(d)和图32(e)可以看出f(t)cos(2ω1t)，f(t)sin(2ω1t)积分为零。所以可以定性地看出式(33)、式(34)中被积函数f(t)cos(nω1t)，f(t)sin(nω1t)的形状，这样以此类推，可以得到 a0=0an=bn=0，n=2k an=4T1∫T120f(t)cos(nω1t)dt，n=2k－1 bn=4T1∫T120f(t)sin(nω1t)dt，n=2k－1(317) 其中，k=1,2,3，…。 因此，在半波镜像信号函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含偶次谐波项。同时，要注意奇函数和奇谐函数的不同之处，在于奇函数只可能含有正弦项，而奇谐函数只可能包含奇次谐波的正弦、余弦项。 3.3非周期信号的频谱——傅里叶变换 之前章节讨论了有关周期信号的傅里叶级数，同时得到了其离散频谱。然而对于非周期信号来说，则是另一类重要的信号，但由于它的波形在有限长的时间段内不能重复出现，因此不能以一个周期内的傅里叶展开式来代表整个信号，这就需要采用不同的分析方法来求解非周期信号的频域特性，这种研究方法称为傅里叶变换方法。 3.3.1傅里叶变换的导出 傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变化形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换的导出主要是根据将对周期信号的傅里叶分析方法推广到非周期信号中去，即将周期信号的周期无限增大时，其谱线间隔减小，从而离散频谱变成连续频谱， 谱线的长度趋向于零。此时，若再按3.2节来表示信号的频谱，频谱将会化为乌有，这就失去了应有的意义。下面将讨论如何实现对非周期信号进行频谱分析。 对于周期矩形脉冲信号f(t)而言，它的频谱为F(nω1)，如图36所示。 图36从周期信号的离散频谱到非周期信号的连续频谱 从图36可以看出当周期信号转化为非周期信号时，谱线间隔趋向于零； 离散谱转化为连续谱。 此时，若再用F(nω1)表示频谱已不再合适，也就是说这样就会失去应有的意义。然而，从物理上分析，信号的产生必然含有一定的能量，不管信号如何分解，其所含的能量是维持不变的。或者从数学上分析，在极限情况下，无限多个无穷小量之和，仍可能等于一个有限数值。因此，对于非周期信号的表示方法，必须要引入一个新的量，称之为“频谱密度函数”，从而可由周期信号的傅里叶级数推导出非周期信号的傅里叶变换。 将该周期信号展开成指数形式的傅里叶级数，如下： f(t)=∑+∞－∞F(nω1)ejnω1t 其频谱为： 两边乘以T1F(nω1)T1=2πF(nω1)ω1=∫T12－T12f(t)e－jnω1tdt(318) 对于非周期信号，当 T1→+∞时，ω1→0，Δ(nω1)=ω1→dω，nω1→ω，则： F(nω1)→0 但2πF(nω1)ω1→有限值，为连续函数，记为F(ω)或F(jω)。在此式中F(nω1)ω1表示频谱密度函数，即频谱密度。因此F(ω)称为频谱密度函数，简称频谱函数。若以F(nω1)ω1的幅度为高，以间隔ω1为宽画一个小矩形(如图36(c)所示)，则该小矩形的面积等于ω=nω1频谱值F(nω1)。 式(318)在非周期信号下变成 f(t)=∑+∞n=－∞F(nω1)ejnω1t=∑+∞nω1=－∞F(nω1)ω1ejnω1t·ω1 即 F(ω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt(319) 式(319)称为傅里叶正变换。 而 f(t)=∑+∞n=－∞F(nω1)ejnω1t=∑+∞nω1=－∞F(nω1)ω1ejnω1t·ω1 当T1→+∞时 ω1→dω，nω1→ω 从而有 F(nω1)ω1→F(ω)2π，∑+∞－∞→∫+∞－∞ 可得 f(t)=12π∫+∞－∞F(ω)ejωtdω(320) 式(320)称为傅里叶逆变换。 3.3.2傅里叶变换存在的条件 之前推导傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。从理论上讲，傅里叶变换也应该满足一定的条件才能存在。 严格意义上讲，傅里叶变换存在的充分条件是： f(t)在无限区间内满足绝对可积，即 ∫+∞－∞|f(t)|dt<+∞ 可见，所有的能量信号均满足此条件。当引入奇异函数的概念后，傅里叶变换的函数类型将会大大扩展。 3.4傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了信号时域和频域的一一对应关系。信号在时域中所具有的特性，必然在频域中有其相对应的特性存在，当在某个域中分析发生困难时，利用傅里叶变换的性质可以转到另一个域中进行分析计算； 另外，根据定义来求取傅里叶正、反变换时，不可避免地会遇到繁杂的积分或不满足绝对可积而可能出现广义函数的麻烦，而傅里叶变换的性质是一种来求取傅里叶正、反变换的简洁方法。 1. 线性(叠加性) 傅里叶变换是一种线性运算。若 f1(t)F1(ω)，f2(t)F2(ω) 则 af1(t)+bf2(t)aF1(ω)+bF2(ω)(321) 其中a和b都是常数。这个性质可由傅里叶变换的定义式即可得出。 【例31】求f(t)=δ(t+2)+2δ(t)+δ(t－2)的傅里叶变换。 解： F(ω)=∫+∞－∞［δ(t+2)+2δ(t)+δ(t－2)］e－jωtdt =∫+∞-∞δ(t+2)e－jωtdt+2∫+∞－∞δ(t)e－jωtdt+∫+∞－∞δ(t－2)e－jωtdt =ej2ω+2+e－j2ω =2+2cos2ω =4+cos2ω 【例32】求图37(a)所示信号的频谱。 图37由线性特性得到傅里叶变换 解： 因为 f(t)=f1(t)+f2(t) gτ(t)τSaωτ2 f1(t)4Sa(2ω) f2(t)2Sa(ω) 所以 F(ω)4Sa(2ω)+2Sa(ω) 显然傅里叶变换是一种线性运算，它满足齐次性和可加性。此结论表明两个含义： 一是当某个信号乘以一常数，其频谱函数将乘以同一常数； 二是相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。 2. 时移特性 若f(t)F(ω)，则 f(t－t0)F(ω)e－jωt0(322) 证明因为 f(t)=12π∫+∞－∞F(ω)ejωtdω 在该式中以t－t0代替t，有 f(t－t0)=12π∫+∞－∞F(ω)ejω(t－t0)dω=12π∫+∞－∞［e－jωt0F(ω)］ejωtdω 所以可得到 f(t－t0)F(ω)e－jωt0 这个性质表明： 信号f(t)在时域中沿时间轴右移t0等效于在频域中频谱乘以因子e－jωt0。换句话说，也就是信号在时间上移位，并不改变傅里叶变换的模，只是在其变换中引入了相移，即－ωt0，与频率ω呈线性关系，所要研究的无失真传输系统对信号的作用正是基于此特性。 【例33】信号如图38(a)所示，求其傅里叶变换。 图38例33的信号图 解： 先将f(t)分解成f1(t)和f2(t)的线性组合，f1(t)和f2(t)分别如图38(b)和图38(c)所示， f(t)=12f1(t－2.5)+f2(t－2.5) 分别求出f1(t)和f2(t)的傅里叶变换为 F1(ω)=∫0.5－0.5e－jωtdt=2sin(ω/2)ω F2(ω)=∫1.5－1.5e－jωtdt=2sin(3ω/2)ω 利用傅里叶变换的时移特性有 f1(t－2.5)e－j5ω/2F1(ω) f2(t－2.5)e－j5ω/2F2(ω) 利用傅里叶变换的线性性质有 f(t)F(ω)=e－j5ω/2sin(ω/2)+2sin(3ω/2)ω 3. 频移特性 若f(t)F(ω)， 则 f(t)ejω0tF(ω－ω0)(323) 证明因为 f(t)ejω0t=∫+∞－∞f(t)ejω0t·e－jωtdt =∫+∞－∞f(t)e－j(ω－ω0)tdt 所以 f(t)ejω0tF(ω－ω0) 同理 f(t)e－jω0tF(ω+ω0) 其中ω0为实常数。 频域特性表明： 若时间信号f(t)乘以ejω0t，等效于f(t)的频谱F(ω)沿频率轴右移ω0。基于频域特性的频谱搬移技术，在通信和信号处理中得到了广泛的应用，如在载波幅度调制、同步调制、变频和混频等技术中的应用。 【例34】已知矩形调幅信号f(t)=g(t)cosω0(t)，试求其频谱函数。 解： 因为 f(t)=12gτ(t)(ejω0t+e－jω0t) gτ(t)τSaωτ2 根据频移特性，可得 f(t)12τSaω－ω02τ+12τSa(ω+ω0)2τ 其波形及频谱如图39所示。 图39矩形调幅信号的波形及频谱图 可见，调幅信号的频谱等于将gτ(t)频谱一分为二，各向左、右移载频ω0，进行了频谱搬移。 4. 尺度变换特性 若f(t)F(ω)， 则 f(at)1|a|Fωa(324) 这里a是非零实常数。 证明： f(at)∫+∞－∞f(at)e－jωtdt 令at=τ，则 当a>0， ∫+∞－∞f(at)e－jωtdt=∫+∞－∞f(τ)e－jωτa1adτ =1aFωa 当a<0， ∫+∞－∞f(at)e－jωtdt=∫－∞+∞f(τ)e－jωτa1adτ =－1aFωa 综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表达式为 f(at)1|a|Fωa 特例，当a=－1时，有 f(－t)F(－ω) 尺度变换性质表明： 除因子1/|a|以外，信号在时域中有尺度变换因子a，则其频谱在频域中有因子1/a。这就意味着，对一个脉冲信号，如果脉冲宽度越宽，它的频带越窄； 脉宽减小a倍，其带宽就相应地增加a倍，因此脉宽与带宽之乘积是一个常数。在数字通信技术中，必须压缩矩形脉冲的宽度以提高通信速率，这时必须展宽信道的频带。 图310(a)和图310(b)分别表示了单位矩形脉冲信号尺度变换前后的时域波形及其频谱。 图310单位矩形脉冲信号的尺度变换 【例35】求偶对称和奇对称双边指数函数的频谱。 解： 由于 F(e－atu(t))=1a+ω，a>0 F(e－atu(－t))=1a－ω，a<0 据此可得偶对称双边指数函数的频谱为 F［e－a｜t｜u(t)］=F［e－atu(t)+e－atu(－t)］ =1a+ω+1a－ω =2aa2+ω2 奇对称双边指数函数的频谱为 F［e－a｜t｜u(t)－eatu(－t)］=1a+ω－1a－ω =－2ωa2+ω2 【例36】已知图311(a)所示的函数是宽度为2的门信号，即f1(t)=g2(t)，其傅里叶变换F1(ω)=2Sa(ω)=2sinωω，求图311(b)和图311(c)中函数f2(t)，f3(t)的傅里叶变换。 图311例36中的函数波形图 解： (1) 图311(b)中函数f2(t)可写为时移信号f1(t+1)与f1(t－1)之差，即由傅里叶变换的线性和时移特性可得f2(t)的傅里叶变换 F2(ω)=F1(ω)ejω－F1(ω)e－jω=2sinωω(ejω-e－jω)=j4sin2(ω)ω (2) 图311(c)中的函数f2(2t)是f2(t)的压缩，可写为 f3(t)=f2(2t) 由尺度变换特性可得 F3(ω)=12F2ω2=12j4sin2ω2ω2=j4sin2ω2ω 【例37】已知f(t)F(ω)=Eτ·Saωτ2，求f(2t－5)频谱密度函数。 解： 由已知条件和尺度变换特性得 f(2t)12Fω2=12Eτ·Saωτ4 再根据时移特性得 f(2t－5)Eτ2·Saωτ4e－j52ω 【例38】如果信号f(t)的频谱为F(ω)，试求信号ej4tf(3－2t)的频谱。 解： 由傅里叶变换的时移特性得 f(t+3)F(ω)ej3ω 利用尺度变换，令a=－2， 则 f(－2t+3)1|－2|Fω－2ej3ω－2=12Fω－2e－j3ω2 最后，由频移特性得 ej4tf(3－2t)12Fω－4－2ej3(ω－4)2 5. 对称性 若f(t)F(ω)， 则 F(t)2πf(－ω)(325) 该式表明，如果时间函数f(t)的频谱函数是F(ω)，那么时间函数F(t)的频谱函数是2πf(－ω)。 证明 由傅里叶反变换式 f(t)=12π∫+∞－∞F(ω)ejωtdω 将上式中自变量t更换为－t，得 f(－t)=12π∫+∞－∞F(ω)e－jωtdω 将上式中自变量t更换为ω，而把ω换为t，得 2πf(－ω)=∫+∞－∞F(t)e－jωtdt 上式表明，时间函数F(t)的傅里叶变换为2πf(－ω), 所以 F(t)2πf(－ω) 当f(t)为偶函数时，就有F（t）2πf（ω）。 【例39】求f(t)=11+t2的傅里叶变换。 解： 因为e－｜t｜21+ω2，从而由傅里叶变换的对称特性得 21+t22πe－|－ω| 所以 11+t2πe－|ω| 【例310】求取样函数Sa(t)=sintt的傅里叶变换。 解： 由傅里叶变换公式F(ω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt知宽度为τ，幅度为E的矩形脉冲信号g(t)的傅里叶变换为 g(t)EτSaωτ2 若取E=12，τ=λ，则g(t)Sa(ω)。 由对称特性，以及已知矩形脉冲信号g(t)是偶函数 Sa(t)=2πg(ω)=π|ω|<1 0|ω|>1 其波形如图312所示。其中，图312(a)表示E=1/2，τ=2的矩形脉冲信号g(t)及其频谱密度函数Sa(ω)，图312(b)表示抽样函数Sa(t)及其频谱密度函数2πg(ω)，这里已明显地表示了它们之间的对称关系，并表达了这一性质给某些信号的傅里叶变换的求取带来极大的方便。 图312由对称性求取取样函数Sa(t)的频谱 6. 奇偶虚实性 根据傅里叶变换的定义，信号f(t)的傅里叶变换为 f(t)F(ω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt F(ω)在一般情况下是频率ω的复函数，它可以表示成实部R(ω)和虚部X(ω)的形式，即有 f(ω)=｜F（ω）｜ejφ（ω）=R（ω）+jX（ω） 且有 φ(ω)=arctanX(ω)R(ω) |F(ω)|=R2(ω)+X2(ω)(326) 讨论： (1) 当f(t)是实函数时，那么F(ω)的实部R(ω)是偶函数，虚部X(ω)是奇函数。 证明 F(ω)=∫+∞-∞F（t）e-jωtdt=∫+∞-∞f（t）cos（ωt）dt-j∫+∞-∞f（t）sin（ωt）dt 显然频谱函数的实部和虚部分别为 R（ω）=∫+∞-∞f（t）cos（ωt）dt X（ω）=-∫+∞-∞f（t）sin（ωt）dt R(ω)是偶函数，X(ω)是奇函数，满足 R(ω)=R（-ω） X(ω)=X（-ω） F(-ω)=F*（ω） 再利用式(326)可证得|F(ω)|是偶函数，φ(ω)是奇函数。通过验证已求得各种实函数的频谱都应满足这一结论： 实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别得偶、奇函数。这一特性在信号频谱分析中具有广泛的应用。 当f(t)是实偶函数时，有 X（ω）=0 F（ω）=R（ω）=2∫+∞0f（t）cos（ωt）dt 可见，实偶函数的频谱函数也是实偶函数。 当f(t)是实奇函数时，有 R（ω）=0 F（ω）=jX（ω）=-2j∫+∞0f（t）sin（ωt）dt (2) 若f(t)是虚函数，则F(ω)的实部R(ω)是奇函数，虚部X(ω)是偶函数。 证明 令f(t)=jg(t)，则 R（ω）=∫+∞-∞g（t）sin（ωt）dt X（ω）=∫+∞-∞g（t）cos（ωt）dt 显然，R(ω)为奇函数，X(ω)为偶函数，即满足 R(ω)=－R(－ω) X(ω)=－X(－ω) 当f(t)是虚函数时，由式(326)可知，其幅度频谱|F(ω)|仍为偶函数，相位频谱φ(ω)仍为奇函数。 显然F(ω)是由三项构成，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了ω=πτ。把上式化简，则可以得到 F(ω)=Esin(ωτ)ω1－ωτπ2=EτSa(ωτ)1－ωτπ2(327) 其频谱如图313所示。 图313升余弦脉冲信号频谱 由上可见，升余弦脉冲信号的频谱比矩形脉冲的频谱更加集中。对于半幅度宽度为τ的升余弦脉冲信号，它的绝大部分能量集中在ω=0~2πτ即f=0~1τ范围内。 7. 卷积特性 1） 时域卷积定理 若给定两个时间函数f1(t)、f2(t)，并且已知 f1(t)F1(ω) f2(t)F2(ω) 则 f1(t)f2(t)F1(ω)F2(ω) 证明： 根据卷积的定义，可得 f1(t)f2(t)=∫+∞－∞f1(τ)f2(t－τ)dτ(328) 因此 F［f1（t）f2（t）］=∫+∞－∞∫+∞－∞f1（τ）f2(t－τ)dτe－jωtdt =∫+∞－∞f1（τ）∫+∞－∞f2(t－τ)e－jωtdtdτ =∫+∞－∞f1（τ）F2(ω)e－jωτdτ =F2(ω)∫+∞-∞f1(τ)e－jωτdτ 所以 F［f1（t）f2（t）］=F1(ω)F2(ω)(329) 时域卷积定理表明，两个时间函数卷积的频谱等于各时间函数频谱的乘积，即在时域中两函数的卷积对应于频域中两函数频谱的乘积。 2) 频域卷积定理 类似于时域卷积定理，由频域卷积定理可知，若 f1(t)F1(ω) f2(t)F2(ω) 则 f1(t)·f2(t)12πF1(ω)F2(ω)(330) 证明方法同时域卷积定理，读者可自行证明，这里不再重复。式(330)称为频域卷积定理，它表明两时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱的卷积乘以12π，即在时域中两函数的乘积对应于频域中两函数频谱的卷积。 【例311】若f(t)的频谱F(ω)如题图314所示，利用卷积定理粗略画出f(t)cos(ω0t)、f(t)ejω0t、f(t)cos(ω1t)的频谱(注明频谱的边界频率)。 图314例311的频谱图 解： F1(ω)=F［f(t)·cos(ω0t)］ =12［F(ω+ω0)+F(ω－ω0)］ F2(ω)=F［f(t)ejω0t］ =F(ω－ω0) F3(ω)=F［f(t)cos(ω1t)］ =12［F(ω+ω1)+F(ω－ω1)］ F1(ω)、F2(ω)、F3(ω)的频谱图如315所示。 卷积定理揭示了时域与频域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到了广泛应用。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、z变换、Hartley变换等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换，实现有效的计算，节省运算代价。 图315不同函数表达式的频谱图 8. 微分与积分 1） 时域微分 若f(t)F(ω)， 则 df(t)dtjωF(ω)(331) 证明 因为 f(t)=12π∫+∞－∞F(ω)ejωtdω 两边对t求导数，得 df(t)dt=12π∫+∞－∞［jωF(ω)ejωt］dω 同理 dnf(t)dtn(jω)nF(ω) 时域的微分特性说明在时域中f(t)对t去n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F(ω)乘以(jω)n。 【例312】求信号f(t)=1t2的傅里叶变换。 解： 由于1t-jπsgn(ω)，根据时域微分定理可得 －1t2－jπsgn(ω)·jω=πωsgn(ω) 即 1t2－πωsgn(ω)=－π|ω| 【例313】求信号f(t)=sgn(t+1)的傅里叶变换。 解： 信号也可以写为 f(t)=sgn(t+1)=2u(t+1)－1 则有 f′(t)=2δ(t+1) 利用时移特性可得 f′(t)2δ(t+1)=2ejω 根据时域的微分特性有f′(t)jωF(ω)，故得信号的傅里叶变换为 F(ω)=2jωejω 2） 时域积分 若f(t)F(ω)，则时域积分特性为 ∫t－∞f(τ)dτπF(0)δ(ω)+1jωF(ω)(332) 证明 按定义有 ∫t－∞f(τ)dτ∫+∞－∞∫t－∞f(τ)dτe－jωt =∫+∞－∞∫+∞－∞f(τ)u(t－τ)dτe－jωtdt 变换积分次序，利用阶跃信号u(t－τ)的频谱函数 u(t－τ)πδ(ω)+1jωe－jωτdt 可得 ∫t－∞f(τ)dτ∫+∞-∞f(τ)∫+∞-∞u(t－τ)e－jωtdtdτ =∫+∞-∞f(τ)πδ(ω)e－jωτdτ+∫+∞-∞f(τ)1jωe－jωτdτ =πδ(ω)F(ω)+1jωF(ω) =πF(0)δ(ω)+1jωF(ω) 式中F(0)=∫+∞-∞f(t)dt即为f(t)曲线下的面积。 若F(0)=0，则有 ∫t－∞f(τ)dτ1jωF(ω) 【例314】试求平顶斜变信号y(t)=∫t－∞f(τ)dτ的频谱函数Y(ω)，其中f(t)是如图316所示的矩形波。 图316平顶斜变信号 解： f(t)是矩形脉冲函数1t0Gt0(t)右移t02所得，其频谱为 f(t)F(ω)=Saωt02e－jωt0/2 因为F(0)=1，由式(312)的时域积分特性，得 y(t)Y(ω) =πF(0)δ(ω)+1jωF(ω) =πδ(ω)+1jωSaωt02e－jωt0/2 例314的计算过程表明，利用矩形脉冲函数的傅里叶变换及时域微分特性，使平顶斜变信号的傅里叶变换的计算过程大大简化。 3） 频域微分特性 若f(t)F(ω)，则 F(ω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt(333) 证明 因为 F(ω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt 将上式两边对ω求导数，得 dF(ω)dω=∫+∞－∞(－jt)f(t)e－jωtdt 根据傅里叶变换的定义可得 (－jt)f(t)dF(ω)dω 类似推广可得 (－jt)nf(t)dnF(ω)dω 【例315】求斜升函数f(t)=tu(t)的频谱。 解： 因为 u(t)πδ(ω)+1jω 由频域微分特性可得 －jtu(t)ddωπδ(ω)+1jω=πδ′(ω)－1jω2 再由线性特性得信号的傅里叶变换为 F(ω)=1－jπδ′(ω)－1jω2=jπδ′(ω)－1ω2 【例316】求信号f(t)=tn的频谱。 解： 因为 12πδ(ω) 由频域微分特性可得 f(t)=tnjndndωn［2πδ(ω)］=2πjndndωnδ(n)(ω) 由上述例子可以看出，利用频域微分特性可以方便求出通常意义下不方便进行傅里叶变换的信号的频谱。 4） 频域积分 若F［f(t)］=F(jω)，则 F－1∫Ω－∞F(jμ)dμ=f(t)－jt+πf(0)δ(t) 证明： 根据卷积性质可得 ∫Ω－∞F(jμ)dμ=F(jΩ)u(Ω) 再利用频域卷积定理可知： F－1［∫Ω－∞F(jμ)dμ］=F－1［F(jΩ)u(Ω)］=2πf(t)F－1［u(Ω)］ 由于 F［u(t)］=1jΩ+πδ(Ω) 利用对偶性可得 F－1［u(Ω)］=12πF［u(t)］Ω=－t =12π1jΩ+πδ(Ω)Ω=－t =12δ(t)－12π×1jt 将上式代入可得 F－1∫Ω－∞F(jμ)dμ=2πf(t)12δ(t)－12π×1jt =f(t)－jt+πf(0)δ(t) 其中，f(0)是f(t)在t=0的值。 3.5典型非周期信号的频谱 3.5.1单边指数信号 单边指数信号表达式为 f（t）=e－t，t≥0a>0 0，t<0 将f(t)代入傅里叶变换定义式，即可得 F(ω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt =∫+∞0e－ate－jωtdt =∫+∞0e－(a+jω)tdt =1a+jω 其幅度特性和相位特性分别为 |F(ω)|=1a2+ω2 φ(ω)=－arctanωa(334) 单边指数信号的波形f(t)、幅度频谱|F(ω)|和相位频谱φ(ω)如图317所示。 图317单边指数信号的波形及频谱 3.5.2双边指数信号 双边指数信号的表达式为 f(t)=e－a｜t｜(-∞0。它的傅里叶变换为 F(ω)=∫0－∞eate－jωtdt+∫+∞0e－ate－jωtdt =1a－jω+1a+jω =2aa2+ω2 其幅度频谱和相位频谱分别为 |F(jω)|=2aa2+ω2 (ω)=0(335) 双边指数信号的波形f(t)、幅度谱|F(ω)|如图318所示。 图318双边指数信号的波形及频谱 3.5.3矩形脉冲信号 矩形脉冲信号的表达式为 f(t)=Eut+τ2－ut－τ2 式中，E为脉冲幅度，τ为脉冲宽度。它的傅里叶变换为 F(ω)=∫τ2－τ2Ee－jωtdt=E－jωe－jωtτ2－τ2 =Eτωτ2·ejωτ2－e－jωτ22j=Eτsinωτ2ωτ2 =EτSaωτ2(336) 这样，矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱分别为 |F(ω)|=Eτ|Saωτ2| φ(ω)=04nπτ<|ω|<2(2n+1)πτ π2(2n+1)πτ<|ω|<4(n+1)πτ,n=0,1,2,… 因为F(ω)在这里是实函数，通常用一条F(ω)曲线同时表示幅度谱F(ω)和相位谱φ(ω)，如图319所示。 由上可见，非周期矩形单脉冲的频谱函数曲线与周期矩形脉冲离散频谱的包络线形状相同,都具有抽样函数的形状。和周期矩形脉冲的频谱一样，矩形单脉冲频谱也具有收敛性，信号的绝大部分能量集中在f=0~1τ频率范围内。因而，通常认为这种信号占有的频率范围(即频带宽度)为 B≈1τ(337) 图319矩形脉冲信号的波形及频谱 3.5.4钟形脉冲信号 钟形脉冲信号又称高斯脉冲信号，定义为 f(t)=Ee－tτ2 (－∞0 0，t=0 -1，t<0(340) 显然，符号函数不满足绝对可积的条件，但它存在傅里叶变换，可以借助于符号函数与双边指数函数f(t)相乘，先求出此乘积信号f(t)的频谱，然后取极限，从而得出符号函数sgn(t)的频谱。下面先求乘积信号f1(t)的频谱F1(ω)。 因为 F1(ω)=∫+∞－∞f1(t)e－jωtdt 所以 F1(ω)=∫0－∞(－eat)e－jωtdt+∫+∞0e－at·e－jωtdt 式中，a>0。 积分并化简，可得其傅里叶变换为 F1(ω)=－2jωa2+ω2 |F1(ω)|=2|ω|a2+ω2 φ1(ω)=+π2,ω<0 －π2,ω>0(341) 其波形和幅度谱如图321所示。 图321指数信号f1(t)的波形和频谱 符号函数可看做是当a趋于0时f1(t)的极限。因此，它的频谱函数也是f1(t)的频谱函数F1(ω)在a趋于0时的极限。所以 F(ω)=limα→0F1(ω)=limα→0－j2ωα2+ω2 从而 F(ω)=2jω |F(ω)|=2|ω| φ(ω)=－π2，ω>0 +π2，ω<0(342) 其波形和频谱如图322所示。 图322符号函数的波形和频谱 3.5.6升余弦脉冲信号 升余弦脉冲信号的表达式为 f（t）=E21+cosπtτ,0≤｜t｜≤τ(343) 其波形如图323所示。 图323升余弦脉冲信号的波形 因为 F(ω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt =∫τ－τE21+cosπtτe－jωtdt =E2∫τ－τe－jωtdt+E4∫τ－τejπtτ·e－jωtdt+E4∫τ－τe－jπtτ·e－jωtdt =EτSa(ωτ)+Eτ2Saω－πττ+Eτ2Saω+πττ 显然F(ω)是由三项构成，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了ω=πτ。把上式化简，则可以得到 F(ω)=Esin(ωτ)ω1－ωτπ2=EτSa(ωτ)1－ωτπ2(344) 其频谱如图324所示。 图324升余弦脉冲信号频谱 由上可见，升余弦脉冲信号的频谱比矩形脉冲的频谱更加集中。对于半幅度宽度为τ的升余弦脉冲信号，它的绝大部分能量集中在ω=0~2πτ即f=0~1τ范围内。 3.6周期信号的傅里叶变换 由周期信号傅里叶级数及非周期信号傅里叶变换，得到了周期信号的频谱为离散的振幅谱，而非周期信号的频谱是连续的密度谱。现在研究周期信号傅里叶变换的特点以及它与傅里叶级数之间的联系。目的是力图把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换这一工具得到更广泛的应用，对它的理解更加深入、全面。前已指出，虽然周期信号不满足绝对可积条件，但是在允许冲激函数存在并认为它是有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制了，在这种意义上说周期信号的傅里叶变换是存在的。 本节借助频移特性导出指数、余弦、正弦信号的频谱，然后研究一般周期信号的傅里叶变换。 3.6.1正弦、余弦信号的傅里叶变换 若 F［f0(t)］=F0(ω) 由频移特性知 F［f0(t)ejω1t］=F0(ω－ω1)(345) 在式（345）中，令 f0(t)=1 由式前面可知f0(t)的傅里叶变换为 F0(ω)=2πδ(ω) 这样式（344）变成 F［ejω1t］=2πδ(ω－ω1)(346) 同理 F［e－jω1t］=2πδ(ω+ω1)(347) 由式(346)、式(347)以及欧拉公式，可以得到 F［cos(ω1t)］=π［δ(ω+ω1)+δ(ω－ω1)］ F［sin(ω1t)］=jπ［δ(ω+ω1)－δ(ω－ω1)］ (t为任意值) 式(346)、式(347)表示指数、余弦和正弦函数的傅里叶变换。这类信号的频谱值包含于±ω1处的冲激函数，如图325所示。 图325余弦和正弦信号的频谱 另外，还可以用极限的方法求正弦信号sin(ω1t)，余弦信号cos(ω1t)及指数信号ejω1t的傅里叶变换。 先令f0(t)为有限长的余弦信号，它只存在于－τ2到+τ2的区间，即把有限长的余弦信号看成矩形脉冲G(t)与余弦信号cos(ω1t)的乘积。 f0(t)=G(t)cos(ωt) 因为 G(ω)=F［G(t)］ 根据频移特性，可知图325的频谱为 F0(t)=12［G(ω+ω1)+G(ω－ω1)］ 如图326所示。 显然，余弦信号cos(ω1t)的傅里叶变换为 F［cos(ω1t)］=limτ→+∞F0(ω) 可知余弦信号的傅里叶变换为 F［cos(ω1t)］=π［δ(ω+ω1)+δ(ω－ω1)］ 同理可求得sin(ω1t)，ejω1t的频谱。 图326有限长余弦信号的频谱 3.6.2一般周期信号的傅里叶变换 令周期信号f(t)的周期T1，角频率为ω1，可以将f(t)展开成傅里叶级数，它是 f(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω1t 将上式两边取傅里叶变换得 F［f(t)］=F∑+∞n=－∞Fnejnω1t =∑+∞n=－∞FnF［ejnω1t］(348) 由式(346)可知 F［ejnω1t］=2πδ(ω－nω1) 代入到(348)中可得 F［f(t)］=2π∑+∞n=－∞Fnδ(ω－nω1)(349) 其中，Fn是f(t)的傅里叶级数的系数 Fn=1T1∫T2－T2f(t)e－jnω1tdt(350) 式(350)表明： 周期信号的频谱由无限多个冲激函数组成，各冲激函数位于周期信号f(t)的各次谐波nω0处，每个冲激的强度等于傅里叶级数相应系数Fn的2π倍。显然，周期信号的频谱是离散的。然而，由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于傅里叶级数，这里不是有限值，而是冲激函数，它表明在无穷小的频带范围内取得了无限大的频谱值。 下面再来分析非周期信号的傅里叶变换与周期信号的傅里叶系数之间的关系。周期信号f(t)的傅里叶级数是 f(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω1t 其中，傅里叶级数为 Fn=1T1∫T2－T2f(t)e－jnω1tdt(351) 从周期性脉冲序列f(t)中截取一个周期，得到所谓单脉冲信号。它的傅里叶变换F0(ω)等于 F0(ω)=∫T2－T2f(t)e－jnω1tdt(352) 比较式(351)和式(352)，显然可以得到 Fn=1T1F0(ω)|ω=nω1(353) 周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲信号的傅里叶变换F0(ω)在nω1频率点的值乘以1T1。所以利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶级数。 【例317】已知三角脉冲信号f1(t)如图327（a）所示。试利用有关性质求图327（b）的f2(t)=f1t－τ2cos(ω0t)的傅里叶变换F2（ω）。 图327三角脉冲信号的波形 解： 由 F［f1(t)］=F1(ω)=Eτ2Sa2ωτ4 得 Ff1t－τ2=F1（ω）e－jωτ2=Eτ2Sa2ωτ4e－jωτ2 由周期信号傅里叶变换可得： F［cos(ω1t)］=π［δ(ω+ω1)+δ(ω-ω1)］ 因此 F［f(t)cos(ω0t)］=12［F(ω+ω0)+F(ω－ω0)］ 所以 F［f2(t)］=Ff1t－τ2cos(ω0t) =Eτ4Sa2ω+ω04τe－jω+ω02τ+Sa2ω－ω04τe－jω－ω02τ 3.7抽 样 定 理 抽样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域中得到了广泛的应用。所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔抽取一个瞬时幅度值，抽样是由抽样门完成的。抽样定理在通信、信息传输、数字信号处理等领域占有十分重要的地位，许多近代通信方式(如数字通信系统)都以此定理作为理论基础。该定理在连续信号与系统、离散信号与系统和数字信号与系统之间架起了一座桥梁，用理论回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续信号与系统在实际应用中遇到的难题。 3.7.1时域抽样定理 若连续信号f(t)的频谱为F(ω)=F［f(t)］，抽样脉冲p(t)的频谱为P(ω)=F［p(t)］，抽样信号的频谱为Fs(ω)=F［fs(t)］，均匀抽样周期为Ts，抽样角频率为ωs，则： Ts=2πωs=1fs 时域抽样过程是通过抽样脉冲信号p(t)与连续信号f(t)相乘得到的，即： fs(t)=f(t)×p(t)(354) 根据频域卷积定理，可得 Fs(ω)=12πF(ω)P(ω)(355) 由于抽样脉冲信号p(t)为一周期信号，其频谱P(ω)可写为 P(ω)=2π∑∞n=－∞Pnδ(ω－nωs)(356) 其中，Pn为p(t)的傅里叶级数的系数，有： Pn=1Ts∫Ts2－Ts2p(t)e－jnωstdt 将式(356)代入式(355)，可得抽样信号fs(t)的频谱为 Fs(ω)=∑∞n=－∞PnF(ω－nωs)(357) 上式表明，抽样信号的频谱Fs(ω)是原始信号频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周期地重复而得到，其幅度被p(t)的傅里叶系数Pn所加权，而F(ω)形状不变，傅里叶系数Pn随抽样脉冲而变化。 连续信号被抽样后，抽样信号是否保留了原信号f(t)的全部信息，在什么样的条件下才能保留了原信号的全部信息，带限信号时域抽样定理给出了答案，下面介绍该定理。 一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据－ωm~+ωm的范围，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地确定，而抽样间隔必须不大于12fm(其中ωm=2πfm)，或者说，最低抽样频率为2fm。参看图328来证明此定理，若以间隔Ts 或重复频率ωs=2πTs对f(t)进行抽样，抽样后信号fs(t)的频谱Fs（ω）是F(ω)以ωs为周期重复。若抽样过程满足时域抽样定理，则F(ω)频谱在重复过程中是不产生失真的。在此情况下，只有满足ωm≥2ωs的条件，Fs（ω）才不会产生频谱的混叠。这样，抽样信号fs(t)保留原连续信号f(t)的全部信息，完全可以用fs(t)唯一表示f(t),或者说，完全可以用fs(t)恢复出f(t)。图328画出了当抽样率不混叠时及混叠时两种情况下冲激抽样信号的频谱。 图328冲激抽样信号的频谱 用物理概念对带限信号时域抽样定理做如下解释： 由于一个频带受限的信号波形绝不可能在很短的时间内产生独立的、实质的变化，它的最高变化速度受最高频率分量ωm的限制。因此为了保留这一频率分量的全部信息，一个周期的间隔内至少抽样两次，即必须满足fs≥2fm。最大允许间隔Ts=πωm=12fm称为奈奎斯特间隔。或者说，抽样的最低允许频率fs=-2fm称为奈奎斯特频率。如果抽样采用最小频率，那么为了恢复原信号f(t)，所采用的低通滤波器在截止频率处必须具有很陡直的频率特性，这对于滤波器的设计要求太高，实际上是做不到的，所以抽样频率通常采取大于奈奎斯特抽样频率。从图328可以看出，在满足抽样定理的条件下，为了从频谱Fs(ω)中无失真地选出F(ω)，可以用如下的矩形函数H(ω)与Fs(ω)相乘，即 F(ω)=Fs(ω)H(ω) 其中 H（ω）=Ts，|ω|<ωm 0，|ω|>ωm 带限信号时域抽样定理也广泛应用于理想低通滤波器。设滤波器的传输函数为H（ω），抽样信号为fs(t)，将Fs(ω)与H（ω）相乘，等价于将抽样信号fs(t)施加于“理想低通滤波器”，这样，在滤波器的输出端就可以得到频谱为F(ω)的连续信号f(t)。这相当于从图328无混叠情况下的Fs(ω)频谱中只取出|ω|=ωm的成分，这就恢复了F(ω)，也即恢复了f(t)。以上从频域解释了由抽样信号的频谱恢复连续信号频谱的原理，也可从时域直接说明由fs（t）经理想低通滤波器产生的f(t)原理。 3.7.2频域抽样定理 若原始信号f(t)的频谱为F(ω)，F(ω)在频域中被间隔为ω1的周期冲激序列δω(ω)进行抽样，得到： F1(ω)=F(ω)×δω(ω)(358) 其中， δω(ω)=∑∞n=－∞δ(ω－nω1) 按照时域卷积定理，由式(330)可得： F－1［F1(ω)］=f1(t)=F－1［F(ω)］F－1［δω(ω)］(359) 而 F［δT(t)］=ω1∑∞n=－∞δ(ω－nω1) 因此 F－1［δω(ω)］=1ω1δT(t) 故可得： f1(t)=f(t)1ω1δT(t)=f(t)1ω1∑∞n=－∞δ(t－nT1) 于是，便得到频域抽样后F1(ω)所对应的信号为： f1(t)=1ω1∑∞n=－∞f(t－nT1)(360) 式(360)表明： 若f(t)频谱F(ω)被间隔为ω1的周期冲激序列δω(ω)在频域中抽样，得到抽样频谱F1(ω)，则在时域中等效于f(t)以T1为周期T1=2πω1进行重复。 信号f(t)是时间受限信号，它集中在（－tm，+tm）的时间范围内，其频谱函数F(jω)可以由其在均匀频率间隔fs上的样点值Fs(jnωs)唯一确定，只要它的频率间隔fs小于或等于12tm。 此定理的证明类似于时域抽样定理，这里不再推导。下面从物理概念上对此进行简单的说明。因为在频域中对F(ω)进行抽样，等效于f(t)在时域中重复形成周期信号f1(t)。只要抽样间隔不大于12tm，则在时域中波形不会产生混叠，利用矩形脉冲作为选通信号从周期信号f1(t)中选出单个脉冲就可以无失真地恢复出原信号f(t)。值得指出的是，实际工程中要做到完全不失真地恢复原信号f(t)是不可能的。原因一，在有限时间内存在的实际信号，其频谱是无限宽的，故所谓的最高频率fm近似满足抽样定理第一条件。原因二，要完全恢复就要使用理想低通滤波器，而理想低通滤波器在物理上是不可实现的，工程上使用的实际低通滤波器只能做到大致接近理想的低通特性。 3.8无失真传输 在设计一个系统时，往往要求系统无失真地传输信号。因为在实际工程中常常需要实现信号的无失真传输。例如，高保真系统要求喇叭高保真地重现磁带或光碟上录制的音乐； 示波器应尽可能无失真地显示信号波形等。下面将简单地讨论什么是无失真传输、无失真传输的条件以及无失真传输在理想低通滤波器中的应用。 3.8.1什么是无失真传输 所谓无失真是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波形上的变化。设激励信号为e(t)，响应信号为r(t)，则无失真传输的条件是 r(t)=Ke(t－t0)(361) 其中，K是一常数，t0为滞后时间。满足此条件时，r(t)波形是e(t)波形经t0时间的滞后，虽然幅度方面有系统K倍的变化，但波形形状不变，示意图如图329所示。 图329线性网络的无失真传输 通常把失真分为两大类： 一类为线性失真； 另一类为非线性失真。 信号通过线性系统所产生的失真称线性失真。其特点是在响应r(t)中不会产生新频率。也就是说，组成响应r(t)的各频率分量在激励信号e(t)中都含有，只不过各频率分量的幅度、相位不同而已。反之，e(t)中的某些频率分量在r(t)中可能不存在。如图330所示的失真就是线性失真。对r(t)和e(t)求傅里叶变换可知，r(t)中绝不会有e(t)中不含有的频率分量。 图330线性失真 信号通过非线性电路所产生的失真称非线性失真。其特点是在响应r(t)中产生信号e(t)中所没有的新的频率成分。如图331所示，输入信号为单一正弦波，e(t)中只含有e0(t)的频率分量。而经过非线性元件二极管后得到的半波整流信号，在波形上产生了失真，而在频谱上产生了由无穷多个e0(t)的谐波分量构成的新频率，这就是非线性失真。 图331非线性失真 信号通过系统的冲激响应发生波形的改变和频谱的改变，直接取决于系统本身的传输特性，即取决于系统的冲激响应h(t)或其系统函数H(jω)。必须指出线性系统的幅度失真和相位失真都不产生新的频率分量，这与非线性系统有着本质的差别。 3.8.2无失真传输系统的条件 为了实现无失真传输，就必须研究传输系统应具备的条件。 设 e(t)E(jω)，r(t)R(jω) 对式(361)两端同时取傅里叶变换，并利用傅里叶变换的时移性质，可得 R(jω)=KE(jω)e－jωt0 由于 R(jω)=E(jω)·H(jω) 从而可得无失真传输系统的系统函数为 H(jω)=R(jω)E(jω)=Ke－jωt0(362) 式（362）即无失真传输系统的条件。由于H(jω)=|H(jω)|ejφ(ω)，可得幅度无失真条件为 |H(jω)|=H(jω)=K 相位无失真条件为 φ(ω)=－ωt0 说明： （1） 系统的幅频特性在整个频率范围内为一常数； （2） 系统的相频特性应是经过原点的直线。 无失真传输系统的频谱函数如图332所示。 图332无失真传输系统的频谱函数 由图332可知，若使幅度无失真，要求系统函数的幅度对一切频率均为常数K。实际上这种条件就是要求传输系统的通频带无限宽。而若使相位无失真，必须使系统函数的相频特性是一条过原点的直线，使信号中一切频率分量的相移均与频率成正比。 而对于实际信号而言，其能量或功率主要集中在低频率分量上，所以实际系统中只要有足够的带宽，就可以认为是一个无失真系统。 【例318】电路如图333所示为示波器衰减器，其中R1C1=R2C2，试证明该系统为无失真传输系统。 图333例320电路图 证明示波器输入衰减器频率特性为 H(jω)=u2(jω)u1(jω)=R21+jωR2C2R11+jωR1C1+R21+jωR2C2 因 R1C1=R2C2 所以 H(jω)=R2R1+R2 即H(jω)=R2R1+R2是常数，φ(ω)=0，满足无失真传输条件，从而证明了该衰减器是无失真传输系统。 3.9理想低通滤波器 3.9.1理想低通滤波器的频率特性和冲激响应 理想低通滤波器就是具有如图334所示的幅频特性与相频特性的系统。这种低通滤波器对于低于某一角频率ωc的频率成分不失真地全部通过，而将频率高于ωc的信号完全抑制，其中ωc称为截止频率。能使信号通过的频率范围称为通带，抑制信号通过的频率范围称为阻带。则理想低通滤波器的通带为0~ωc。理想低通滤波器的相频特性是通过原点的一条直线，同样满足无失真传输信号的特性。理想低通滤波器的这些特性说明理想低通滤波器具有频率截断的功能。 图334理想低通滤波器的特性 由图334可以得到理想低通滤波器的频响特性的表示式为 H(jω)=|H(jω)|ej(ω)=e－jωt0，|ω|<ωc 0，｜ω｜>ωc(363) 其中 |H(jω)|=1,｜ω｜<ω0 0,｜ω｜>ωc (ω)=－ωt0 将H(jω)进行傅里叶逆变换，就可以求得理想低通滤波器的冲激响应，计算过程如下 h(t)=F－1［H(jω)］=12π∫+∞－∞H(jω)ejωtdω =12π∫+ωc－ωce－jωt0ejωtdω =12πejω(t－t0)j(t－t0)ωc－ωc =ωcπsin［ωc(t－t0)］ωc(t－t0) =ωcπSa［ωc(t－t0)］(364) 这是一个峰值位于t0时刻的Sa函数，如图335(b)所示。为了与激励信号作比较画出了激励信号δ(t)的波形，如图335(a)所示。 图335理想低通滤波器的冲激响应 由图335可见，冲激响应的波形不同于冲激信号的波形，产生了很大的失真。这是因为理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号的频带是无限宽的。此外，按照冲激响应的定义，激励信号在零时刻加入，而响应在t为负值时就已经出现，所以实际上构成具有这种理想特性的系统是不可能的，只能做到相当接近于理想滤波的特性。但研究理想低通滤波器不能因为无法实现就认为没有价值，恰恰需要这种理想滤波器的理论指导实际滤波器的分析与设计。 3.9.2理想低通滤波器的阶跃响应 下面讨论理想低通滤波器的频率截断效应对信号波形的影响。先看理想低通滤波器的阶跃响应。 已知阶跃信号的频谱为 E(jω)=πδ（ω）+1jω 于是 R(jω)=H(jω)E(jω)=πδ(ω)+1jωe－jωct(－ωc<ω<ωc) 可以利用卷积定理或取傅里叶逆变换的方法求得阶跃响应，按逆变换定义可知 r(t)=F－1［R(jω)］ =12π∫ωc－ωcπδ(ω)+1jωe－jωt0ejωtdω =12+12π∫ωc－ωcejω(t－t0)jωdω =12+12π∫ωc－ωccos［ω(t－t0)］jωdω+12π∫ωc－ωcsin［ω(t－t0)］jωdω 从式中可以看出前面一项积分的被积函数cos［ω(t－t0)］ω是ω的奇函数，所以它的积分为零，后面一项积分的被积函数是ω的偶函数，所以有 r(t)=12+1π∫ωc0sin［ω(t－t0)］ωdω=12+1π∫ωc(t－t0)0sinxxdx(365) 这里使用了积分变量代换x=ω(t－t0)。而函数sinxx的积分称为正弦积分。通常用符号Si(y)表示 Si(y)=∫y0sinxxdx 可在数学手册中查到它的积分值。函数sinxx和Si(y)曲线同时画于图336中。 图336sinxx函数与Si(y)函数 从它们的曲线图中可以看出，Si(y)函数是y的奇函数，随着y的增加，Si(y)从0增长，以后围绕π2起伏，起伏逐渐衰减而趋于π2，各极值点与sinxx函数的零点对应。 引用以上有关的数学结论，响应r(t)最终可以写作 r(t)=12+1πSi［ωc(t－t0)］(366) 其波形图如图337所示。 图337r(t)的波形图 由图337可见，理想低通滤波器的截止频率ωc越低，输出r(t)上升越慢。如果定义输出由最小值到最大值所需时间为上升时间tr，则由图337可以得到 tr=2πωc=1B 这里，B=ωc2π，是将角频率折合为频率的滤波器带宽(截止频率)。于是得到重要的结论： 阶跃响应的上升时间与系统的截止频率(带宽)成反比。 总之，低通滤波器对信号的作用是对信号的频谱进行频域加窗，频窗有限将引起时域的吉布斯波纹。另外，由于傅里叶变换的对称性，当对信号的波形进行时域截断时，其频谱也会相应地出现吉布斯波纹。 3.10调制与解调 在通信系统中，调制与解调的概念起着十分重要的作用，并有着广泛的应用。当某一信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往需要进行调制和解调。所谓调制就是指将各种基带信号转换成适合信道传输的数字调制信号(已调信号或频带信号)，而解调则是指在接收端将收到的频带信号还原成基带信号。在时域上，调制就是用基带信号去控制载波信号的某个或几个参量的变化，将信息荷载在其上形成已调信号传输，而解调是调制的反过程，通过具体的方法从已调信号的参量变化中将恢复原始的基带信号。在频域上，调制就是将基带信号的频谱搬移到信道通带中或者其中的某个频段上的过程，而解调是将信道中来的频带信号恢复为基带信号的反过程。 调制是一种非线性过程。载波被调制后产生新的频率分量，通常它们分布在载频的两边，占有一定的频带，分别叫作上边带和下边带。这些新频率分量与调制信号有关，是携带着消息的有用信号。调制的目的是实现频谱搬移，即把欲传送消息的频谱，变换到载波附近的频带，使消息更便于传输或处理。调制的主要性能指标是频谱宽度和抗干扰性。调制方式不同，这些指标也不一样。一般说，调制频谱越宽,抗干扰性能越好； 反之，抗干扰性能较差。 图338搬移信号频谱 的原理图 本节将通过傅里叶变换的性质来说明搬移信号频谱的原理，用信号与系统的理论和方法来介绍幅度调制和解调的基 本定理。 下面应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理。设载波信号为cos(ω0t)它的傅里叶变换是F［cos(ω0t)］=π［δ(ω+ω0)+δ(ω－ω0)］调制信号g(t)也称为基带信号，若g(t)的频谱为G(ω)，占据－ωm至ωm的有限频带，将g(t)与cos(ω0t)进行时域相乘，即可得到已调信号f(t)，根据卷积定理，容易求得已调信号的频谱F(ω)，如图338所示。 因为 f(t)=g(t)cos(ω0t) 所以 F［f(t)］=F(ω) =12πG(ω)*［πδ(ω+ω0)+πδ(ω－ω0)］ =12［G(ω+ω0)+G(ω－ω0)］(367) 由此可见，信号的频谱被搬移到载频ω0附近。 解调的过程即为由已调信号f(t)恢复基带信号g(t)。图339(a)所示的是实现解调的一种原理方框图，这里，cos(ω0t)信号是接收端的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相。f(t)与cos(ω0t)相乘的结果是频谱F(ω)向左、右分别移动±ω0(并乘以系数1/2)，得到如图339(b)所示的频谱G0(ω),此图形也可从时域的相乘关系得到解释。 g0(t)=［g(t)cos(ω0t)］cos(ω0t) =12g(t)［1+cos(2ω0t)］ =12g(t)+12g(t)cos(2ω0t) F［g0(t)］=G0(ω)=12G(ω)+14［G(ω+2ω0)+G(ω－2ω0)］(368) 再利用一个带宽大于ωm，小于2ω0－ωm的低通滤波器，滤除在频率为2ω0附近的分量，即可取出g(t)，完成解调。 图339同步解调原理方框图及其频谱 这种解调器称为乘积解调(或同步解调)，由于系统结构简单，可节省大功率的发射设备，适应于定点之间的通信。但需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波，这将使接收机复杂化。为了在接收端省去本地载波，可采用如下方法。在发射信号中加入一定强度的载波信号Acos(ω0t)，这是发送端的合成信号为［A+g(t)］cos(ω0t)，如果A足够大，对于全部t，有A+g(t)>0，于是，已调信号的包络就是A+g(t)。这时，利用简单的包络检波器(由二极管、电阻、电容组成)即可从图339相应的波形中提取包络，恢复g(t)，不需要本地载波。此方法常用于民用通信设备(例如广播接收机)，在那里需要降低接收机成本，但付出的代价是要用价格昂贵的发射机，因为需要提供足够强的信号Acos(ω0t)附加功率。显然，这是合算的，对于大批接收机只有一个发射机。由于波形不难发现，在这种调制方法中，载波的振幅随信号g(t)成比例地改变，因而称为振幅调制或调幅，前述不传送载波的方案则称为抑制载波振幅调制。此外，还有单边带调制、留边带调制等。通过控制载波的频率或相位，使它们随信号g(t)成比例地变化，这两种调制方法分别称为调频或调相。它们的原理也使g(t)的频谱G(ω)搬移，但搬移以后的频谱不再与原始频谱相似。 调制与解调技术在通信系统中不断地被广泛应用，对于一般的通信系统而言，它由以下几个环节组成，如图340所示。 （1） 变换器： 转换消息为可处理的信号。 （2） 发送系统： 调制信号至某频率段再发送。 （3） 信道： 同时传送多路不同频率段的信号。 （4） 接收系统： 解调传送的信号恢复出原频段的信号。 （5） 变换器： 转换接收信号恢复出原信号。 图340通信系统的组成框图 通常，按调制信号的形式可以分为模拟调制和数字调制两种方式。在模拟调制中，调制信号的取值是连续的。而在数字调制中，调制信号的取值是离散的。总的说来，数字调制比模拟调制具有较强的抗调制失真的能力。按被调信号的种类可分为脉冲调制、正弦波调制和强度调制(如对非相干光调制)等。调制的载波分别是脉冲、正弦波和光波等。正弦波调制有幅度调制、频率调制和相位调制三种基本方式，后两者合称为角度调制。此外还有一些变异的调制，如单边带调制、残留边带调制等。脉冲调制也可以按类似的方法分类。此外还有复合调制和多重调制等。不同的调制方式有不同的特点和性能。通过调制，不仅可以进行频谱搬移，把调制信号的频谱搬移到所希望的位置上，从而将调制信号转换成适合于信道传输或便于信道多路复用的已调信号，而且它对系统的传输有效性和传输可靠性有着很大的影响。在通信系统的发射端通常需要有调制过程，而在接收端则需要有反调制过程(解调)，即从已调信号中恢复出原调制信号。调制方式不同，解调方法也不一样。与调制的分类相对应，解调可分为正弦波解调(有时也称为连续波解调)和脉冲波解调。正弦波解调还可再分为幅度解调、频率解调和相位解调，此外还有一些如单边带信号解调、残留边带信号解调等。同样，脉冲波解调也可分为脉冲幅度解调、脉冲相位解调、脉冲宽度解调和脉冲编码解调等。对于多重调制需要配以多重解调。 从另一方面讲，如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去，那么各电台所发出的信号频率就会相同，它们混在一起，收信者将无法选择所要接收的信号。调制作用的实质是把各种信号的频谱搬移，也即信号分别调制在不同的频率载波上，接收机可以分离出所需要的频率信号。此问题的解决为在一个信道中传输多对通话提供了依据，这就是利用调制原理实现多路复用。在简单的通信系统中，每个电台只允许有一对通话者使用，而多路复用技术可以用同一部电台将各路信号的频谱分别搬移到不同的频率区段，从而完成在一个信道内传送多路信号的“多路通信”。 调制解调技术的发展历史由来已久，从模拟调制到数字调制，从二进制调制发展到多进制调制。虽然调制形式多种多样，但都朝着一个方向发展，使通信更高速更可靠。未来十年将是电信史上技术发展最活跃的时期，技术的发展是如此之惊人以至于谁都无法准确描述未来通信技术发展，但有一点是肯定的，那就是信息化正以前所未有的速度渗透到人类社会的各个方面，深刻改变着人类的生存环境。 3.11傅里叶变换的MATLAB实现 傅里叶变换是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系，所以当自变量“时间”和“频率”取连续值或离散值时，就形成了几种不同形式的傅里叶变换。MATLAB实现信号傅里叶变换的常用方法有： ①MATLAB提供了符号函数fourier和ifourier实现傅里叶变换和逆变换； ②数值计算方法。工程应用中经常需要对抽样数据进行傅里叶分析，这种情况下往往无法得到信号的解析表达式，因而数值计算方法是应用傅里叶变换的主要途径。数值计算方法实现傅里叶变换的途径有： ①直接计算法（循环法）； ②矢量计算法； ③矩阵计算法。由于MATLAB对矩阵运算作了很大优化，所以采用矩阵计算法可以优化程序，提高运行效率。 【例319】已知周期矩形脉冲f(t)如图340所示，设脉冲幅度为A=2，宽度为τ，重复周期为T1(角频率ω1=2π/T1)。试将其展开为复指数形式傅里叶级数，并说明周期矩形脉冲的宽度τ和周期T1变化时对其频谱的影响。 解： 根据傅里叶级数理论知道，周期矩形脉冲信号的傅里叶级数为 f(t)=AτT1∑∞n=－∞San2πT1·τ2ejnω1t=AτT1∑∞n=－∞SanπτT1ejnω1t=AτT1∑∞n=－∞sincnτT1ejnω1t 该信号第n次谐波的振幅为 Fn=AτT1SanπτT1=AτT1sincnτT1 各谱线之间间隔为2π/T1。下面的MATLAB程序给出了三种情况下的振幅频谱： ①τ=1,T1=10②τ=1,T1=3③τ=2,T1=10。 ［MATLAB程序］ n=-50:50;A=2; tao=1;T1=10;w1=2*pi/T1; %定义T1=10时的基波频率 x=n*tao/T1;Fn=A*tao/T1*sinc(x); %定义第n次谐波的振幅Fn subplot(3,1,1),stem(n*w1,Fn) %画出T1=10，tao=1时的振幅谱 title('tao=1,T1=10') n=-50:50; %定义T1=3时的基波频率 tao=1;T1=3;w2=2*pi/ T1; %定义第n次谐波的振幅Fn x=n*tao/T1;Fn=A*tao/T1*sinc(x); n2=round(50*w1/w2); n=-n2:n2; Fn=Fn(50-n2+1:50+n2+1); subplot(3,1,2),stem(n*w2,Fn) %画出T1=10，tao=1时的振幅谱 title('tao=1,T1=3') n=-50:50; tao=2;T1=10;w3=2*pi/T1; %定义T1=10时的基波频率 x=n*tao/T1;Fn=2*A*tao/T1*sinc(x); %定义第n次谐波的振幅Fn subplot(3,1,3),stem(n*w3,Fn) %画出T1=10，tao=2时的振幅谱 title('tao=2,T1=10') ［程序运行结果］ 运行得到的周期矩形脉冲信号的振幅谱线如图341所示。 图341周期矩形脉冲信号的振幅谱线 【例320】设f(t)=ε(t+1)－ε(t－1)，试用MATLAB编程画出f(t)=f(t)e－j20t的频谱F1(jω)及f2(t)=f(t)ej20t的频谱F2(jω)，并将它们与f(t)的频谱F(jω)进行比较。 解： ［MATLAB程序］ R=0.02;t=-2:R:2; f=(t>=-1)-(t>=1); f1=f.*exp(-j*20*t); f2=f.*exp(j*20*t); W1=2*pi*5; N=500;k=-N:N;W=k*W1/N; F1=f1*exp(-j*t'*W)*R; %求f1(t)的傅里叶变换F1(jw) F2=f2*exp(-j*t'*W)*R; %求f2(t)的傅里叶变换F2(jw) F1=real(F1); F2=real(F2); subplot(1,2,1) plot(W,F1) xlabel('w') ylabel('F1(jw)') title('F(jw)左移到w=20处频谱F1(jw)') subplot(1,2,2) plot(W,F2) xlabel('w') ylabel('F2(jw)') title('F(jw)右移到w=20处的频谱F2(jw)') ［程序运行结果］ 运行后得到的波形如图342所示。 图342频谱波形 【例321】设时域信号f(t)=Sa(πt)，现用采样频率Ω1=1.5πrad/s和Ω2=2.5πrad/s对其进行采样，用MATLAB绘制其时域采样信号及对应的频域信号的幅度谱。 解： 信号f(t)=Sa(πt)的最高频率分量为π，根据采样定理可知，其奈奎斯特采样频率为2π，故采样频率Ω1小于2π，T1=2π/Ω1=(4/3)s，会发生频谱混叠； 采样频率Ω2大于2π，T2=2π/Ω2=(4/5)s，不会发生混叠。用MATLAB绘制的信号序列和信号幅度谱的程序如下，波形和频谱如图343所示。 ［MATLAB程序］ n1=-8:4/3:8; f1=sinc(n1); subplot(2,2,1); stem(n1,f1);hold on; t1=-8:0.1:8; f2=sinc(t1); plot(t1,f2,':'); %绘制Sa函数包络 title('采样频率小于奈奎斯特频率'); axis(［-8 8 -0.25 1］); n2=-8:4/5:8; f3=sinc(n2); subplot(2,2,2); stem(n2,f3);hold on; t2=-8:0.1:8; f4=sinc(t2); plot(t2,f4,':'); title('采样频率大于奈奎斯特频率'); axis(［-8 8 -0.25 1］); x1=［-4.5*pi:0.001:4.5*pi］; d1=［-4.5*pi:1.5*pi:4.5*pi］; subplot(2,2,3); y1=pulstran(x1+0.75*pi,d1,'rectpuls',0.5*pi); %产生脉冲串 plot(x1/pi,y1+1); axis(［-4.5 4.5 0 2.1］); title('频谱产生混淆'); xlabel('＼Omega/π'); x2=［-5*pi:0.001:5*pi］; d2=［-5*pi:2.5*pi:5*pi］; subplot(2,2,4); y2=pulstran(x2,d2,'rectpuls',2*pi); %产生脉冲串 plot(x2/pi,y2); axis(［-5 5 0 1.1］); title('频谱没有混叠'); xlabel('＼Omega/π'); 图343不同采样频率下的采样信号波形及频谱 【本章小结】本章首先从傅里叶级数的正交函数展开问题并进行讨论，接着对周期信号的傅里叶级数进行分析并得到它们的离散频谱，最后将此傅里叶分析方法推广到非周期信号中去，导出傅里叶变换。通过对典型信号频谱以及傅里叶变换性质的分析与研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号来说，在进行频谱分析的时候可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换的方法，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊的表达方法。在3.6节中专门研究周期信号的傅里叶变换。3.6节与3.7节对比研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，这将有助于读者从连续时间信号分析逐步过渡到离散时间信号的分析。利用MATLAB软件实现了傅里叶变换，对课程理论知识点及应用实例进行仿真。今后还将看到，作为信息科学研究领域中广泛应用的有力工具，傅里叶变换在很多后续课程以及研究工作中将不断地发挥着至关重要的作用。 习题 31将图344中所示的方波信号展开成三角级数。 图344题31图 32求如图345所示的周期锯齿波函数的三角函数形式的傅里叶级数展开式。 图345题32图 33已知f(t)=1+sin(ω1t)+2cos(ω1t)=cos2ω1t+π4，画出幅度谱和相位谱。 34如图346，已知f(t)=f1(t)－g2(t)，求f(t)的傅里叶变换F(ω)。 图346题34图 35求移位冲激函数δ(t－t0)的频谱函数。 36求正弦信号sin(ω0t)和余弦信号cos(ω0t)的频谱。 37求高频矩形调幅信号f(t)=Egτ(t)cos(ω0t)的频谱函数F(ω)。 38已知f(t)F(ω)，求f(at－b)对应的傅里叶变换。 39求f(t)=11+t2的频谱函数F(ω)。 310求如图347所示的三角脉冲f(t)的傅里叶变换级数F(ω)。 图347题310 图 311已知f(t)如图348所示，求f(t)的频谱函数F(ω)。 图348题311图 312已知f(t)=tε(t)，求f(t)的频谱函数F(ω)。 313试求f(t)=cos4t+sin8t的傅里叶级数表达式。 314已知f1（t）EτSaωτ2，求f（t）=f1（t）*f1（t）的频谱密度函数F（ω）。 315已知f（t）的傅里叶变换F（ω），求下列信号f（t）=tf（-3t）的傅里叶变换。 316求如图349所示的信号的傅里叶变换。 图349题316图 317图350(a)所示的系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应h1（t）,h2（t）如图350(b)所示。求复合系统的冲激响应h(t)，并画出它的波形。 图350题317图 318若已知F［f(t)］=F(ω)，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换。 (1) tf(2t);（2） (t－2)f(t); (3) (t－2)f(－2t); （4） tdf(t)dt; （5） f(1－t);（6） (1－t)f(1－t) 319一频谱包含有直流至100Hz分量的连续时间信号持续2min，为便于计算机处理，对其抽样以构成离散信号，求最小的理想抽样点数。 320已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换，如图351所示周期梯形信号和周期全波余弦信号的傅里叶变换和傅里叶级数。 图351题320图 321确定下列信号的最低抽样率与奈奎斯特间隔。 (1) Sa(100t)； (2) Sa2(100t)； (3) Sa(100t)+Sa(50t)； (4) Sa(100t)+Sa2(60t) 322已知f(t)的频谱函数F(ω)=1，|ω|<2 rad/s 0，|ω|>2 rad/s，求f2(t)理想抽样的奈奎斯特抽样间隔。 习 题 答 案 31f(t)=4πsinΩt+13sin3Ωt+15sin5Ωt+… 32f(t)=0+AπsinΩt－A2πsin2Ωt－… 33 34F(ω)=2πδ(ω)－2Sa(ω) 35δ(t－t0)e－jωt0*1=e－jωt0 36cos(ω0t)12［2πδ(ω－ω0)+2πδ(ω+ω0)］ sin（ω0t）－jπδ(ω－ω0)+jπδ(ω+ω0) 37Eτ2Sa(ω－ω0)τ2+Eτ2Sa(ω+ω0)τ2 381|a|e－jbaωFωa 39πe－|ω| 310τ2Saωτ22 3114Sa2(ω) 312jπδ′(ω)－1ω2 313f(t)=12ej4t+12e-j4t+12jej8t-12je-j8t 314E2τ2Sa2ωτ2 315j13ddωF－jω3 316(a) 1jωSaω2e－jω2+πδ(ω)(b) 1jωSaω2e－jω2+3πδ(ω) (c) 1jωSaω2e－jω2－e－jω 317h(t)=h1(t)［h1(t)+h2(t)］ 318(1) 12jdFω2dω (2) jdF(ω)dω-2F(ω) (3) -F-ω2+j2gdF-ω2dω (4) -F(ω)-ωdF(ω)dω (5) F(-ω)e-jω (6) -jdF(-ω)dωe-jω 31924000 320(a) F(ω)=2π∑+∞－∞Fmσω－2nπT (b) Fm=1TFb(ω)ω=nω1=2Eπ·cos(nπ)1－4n2=(－1)22Eπ(1－4n2) 321(1) fs=2×ωc4π=100πHz，Ts=π100s (2) fs=200πHz，Ts=π200s (3) fs=100πHz，Ts=π100s (4) fs=120πHz，Ts=π120s 322Ts=π4s