第3章一元积分学



专题12变限函数


 
李白是独一无二的，他的文字无处不弥漫着他生命与个性的独特气息。他的诗，七分酿成了月光，余下的三分啸成剑气，绣口一吐，就半个盛唐。变限函数也是如此，不仅独一无二，而且无处不在，如李白，绣口一吐，就是半个高数。

















14. 设f(x)在x=0点及某邻域内二阶导连续，又设f(0)=f′(0)=0,f″(0)≠0，求极限I=limx→0∫x0(x－t)f(t)dtx∫x0f(x－t)dt。
























15. 求极限limx→0∫x20dt∫xtarctan(1+t)duxcosx－x。
















16.  设函数fx=∫10t2－x2dt，

(1) 求f′x并求fx的最小值。

(2) 求函数f(x)是否存在拐点。

(3) 求积分∫10fxdx。












专题13积分审敛





反常积分从诞生的那一天开始便是众多考生的噩梦。反常积分的计算不难，难在积分审敛。本专题汇总了4类核心考法。掌握这4类考法的考生，在考场之上必能心诗飞逸九重天。













17. 关于反常积分，下列说法正确的个数为()。

(1) 设m,n是正整数,则反常积分∫10mln21－xnxdx的收敛性与m,n的取值均无关。

(2) 设f(x)=1(x－1)α－11<x<e
1xlnα+1xx≥e，若反常积分∫+∞1f(x)dx收敛，则0<α<2。

(3)  反常积分∫+∞0xlnxk2+x2dxk∈－∞,+∞的敛散性与k无关。

(4) 设m、n均为正数，若反常积分∫π20dxsinnxcosmx收敛，则m<1，且n<1。

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4







专题14分部积分



分部积分是积分夜空中最亮的星，命题人对此一往情深，套路还固定，十分善良。本题融合4道真题，总结了分部积分的核心考法，并加入一个十分有用但易忽略的小技巧，使同学们既能统筹全局，又能狠抓细节。 


















18. 计算下列积分： 

(1) 计算∫10f(x)xdx,其中f(x)=∫x1arcsint+lnttdt。

(2) 设f(x)=∫x0sintπ－tdt，求f(x)在［0,π］上的平均值。




专题15定积分求立体体积






柱壳法与圆盘法是两大基本方法，复杂旋转体考虑大体积减小体积。本题融合了深受命题人喜爱的lnx函数及其切线方程、方程根的个数、形心坐标等。小白不可绕行。












19. 设f(x)=lnx，直线L为曲线f(x)过原点的切线，其函数表达式记为g(x)，曲线f(x)与直线L及x轴围成的图形记为D。

(1) 方程f(x)=g(x)－∫π01－cos2xdx有几个不同的实根？

(2) 求图形D分别绕x轴、x=e旋转一周所得旋转体的体积。

(3) 求图形D的形心坐标。















20. 对数螺线r=eθ0≤θ≤π2,在点(r,θ)=eπ2,π2处的切线为L，

(1) 求切线L的直角坐标方程。(数学三不要求)

(2) 求对数螺线、极轴、θ=π2围成图形的面积。

(3) 求此段对数螺线的弧长。(数学三不要求)




























专题16有理函数积分






有理函数积分在许多场合作为绿叶考查。近年来，命题人有将有理积分作为红花的趋势。暇点函数法与待定系数法是两大方法，两者犹如大炮与步枪。战斗开始后，先用炮兵火力压制，继而步兵冲锋。当然，有时仅炮兵足矣。













21. 求不定积分∫3x+6(x－1)2(x2+x+1)dx。