学习要点 1. 理解多元中心极限定理。 2. 掌握拟合优度检验的方法。 3. 掌握一些常用的正态性检验方法。 4. 掌握独立性检验的方法。 5. 综合应用本章所学方法完成实际应用问题的总体分布和独立性检验。 3.1 拟合优度检验 3.1.1 多项分布的中心极限定理 设总体 X 服从 k 项分布 P{X = xj} = pj , j = 1, 2, · · · , k (3.1) 对 X 做 n 次简单抽样, 记 xj 出现的次数为 nj（称为频数）, 它是一个服从 Bernoulli 分布 的随机变量, 不难得到 E(nj) = npj ,D(nj) = npj(1 . pj)。xj 出现的频率为 nj/n, 记 Y (n) = (Y (n) 1 , Y (n) 2 , · · · , Y (n) k )T, Y (n) j = √n nj n . pj, j = 1, 2, · · · , k (3.2) 我们想知道当 n → ∞ 时随机变量 Y (n) 的极限分布。 设 X1,X2, · · · ,Xn 是来自总体的简单样本, 对每个 Xi 定义随机向量 η(i) = (η(i) 1 , η(i) 2 , · · · , η(i) k )T 如下: 如果 Xi = xj , 则定义 η(i) j = 1 √n , η(i) j′ = 0, . j′ .= j 则有 Y (n) = n Xi=1 η(i) . √np (3.3) 其中 p = (p1, p2, · · · , pk)T。注意到 η(i) 的矩母函数为 Mη(i)(t) = E hetTη(i)i= k Xj=1 pj e tj √n (3.4) 因此 MY (n)(t) = e.√ntTp n Yi=1 Mη(i)(t) = e.√ntTp k Xj=1 pj e tj √n!n (3.5) 注意到 e tj √n = 1 + tj √n + t2j 2n + o1 n (3.6) 因此有 k Xj=1 pj e tj √n = k Xj=1 pj + 1 √n k Xj=1 pjtj + 1 2n k Xj=1 pjt2j + o1 n =1 + 1 √n tTp + 1 2n k Xj=1 pjt2j + o1 n (3.7) 再注意到 ln(1 + u) = u . 1 2 u2 + o(u2), u → 0 因此有 ln k Xj=1 pj e tj √n!=ln 1 + 1 √n tTp + 1 2n k Xj=1 pjt2j + o1 n! = 1 √n tTp + 1 2n k Xj=1 pjt2j + o1 n . 1 2 1 √n tTp + 1 2n k Xj=1 pjt2j + o1 n!2 + o1 n = 1 √n tTp + 1 2n k Xj=1 pjt2j . 1 2n tTppTt + o1 n (3.8) 由此得到 k Xj=1 pj e tj √n!n =exp(n ln k Xj=1 pj e tj √n!) 70 =exp(√ntTp + 1 2 k Xj=1 pjt2j . 1 2 tTppTt + o(1)) (3.9) MY (n)(t)=exp(1 2 k Xj=1 pjt2j . 1 2 tTppTt + o(1)) (3.10) 因此有 lim n→∞ MY (n)(t)=exp(1 2 k Xj=1 pjt2j . 1 2 tTppTt) =exp1 2 tT ..diag(p) . ppTt (3.11) 其中 diag(p) 表示以向量 p 中的元素作主对角元素的对角矩阵。由此可以看出, 当 n → ∞ 时, Y (n) 的极限分布是 k 维正态分布, 均值向量为 0, 协方差矩阵为 Σ = diag(p) . ppT = 0BBBB@ p1(1 . p1) .p1p2 · · · .p1pk .p2p1 p2(1 . p2) · · · .p2pk ... ... ... ... .pkp1 .pkp2 · · · pk(1 . pk) 1CCCCA(3.12) 需要指出的是, Σ 不是满秩矩阵, 因为它的 k 个列向量之和为 0。 综上所述, 我们证明了如下中心极限定理。 定理 3.1 设总体 X 服从 k 项分布 (3.1), Y (n) 和 Y (n) j 由式 (3.2) 给出, 则当 n → ∞ 时, k 维随机向量 Y (n) 的极限分布是均值向量为 0 的正态分布, 其协方差矩阵 Σ 由 式 (3.12) 给出。 3.1.2 拟合优度检验 设总体 X 服从 k 项分布式 (3.1), 其中参数 pj , j = 1, 2, · · · , k 未知, 需要检验如下 假设: H0 : pj = poj , j = 1, 2, · · · , k (3.13) 对 X 做 n 次简单抽样, 设 xj 出现的频数为 nj , 频率为 nj/n。根据大数定律, 当 n → ∞ 时, 频率 nj/n 将以概率 1 趋于概率 pj。但由于实际样本容量是有限的, 频率 nj/n 与概率 pj 总是有偏差, 因此不能简单地通过看 nj/n 与 poj 是否相等判断原假设 H0 是否成立。为 了解决这种假设检验问题, Pearson 提出了下列统计量[47]: K2 := k Xj=1 nj n . pj2 pj n = k Xj=1 (nj . npj)2 npj (3.14) 71 Pearson 认为这个统计量是实际抽样数据对理论分布的拟合优度的度量, 因此这类假设检 验称为拟合优度检验 (goodness-of-fit test)。利用式 (3.2) 中定义的变量 Y (n) 和 Y (n) j 还 可以将 K2 表示为 K2 := k Xj=1 Y (n) j√ pj !2 (3.15) 研究统计量 K2 的极限分布时需要用到这种表示。 记 Z(n) j = Y (n) j√ pj , Z(n) = (Z(n) 1 ,Z(n) 2 , · · · ,Z(n) k )T (3.16) 则 Z(n) 的极限分布是 N(0,Q), 其中 Q = 0BBBB@ 1 . p1 .√p1p2 · · · .√p1pk .√p2p1 1 . p2 · · · .√p2pk ... ... ... ... .√pkp1 .√pkp2 · · · 1 . pk 1CCCCA (3.17) 记 v1 = (√p1,√p2, · · · ,√pk)T, 则有 Q = I . v1vT 1 引理 3.1 设 v1 = (√p1,√p2, · · · ,√pk)T, 矩阵 Q 由式 (3.17) 定义, 则存在 v2, v3, · · · , vk, 使得 v1, v2, v3, · · · , vk 构成正交规范向量组, 且有 Q = k Xj=2 vjvT j (3.18) 从而 Q 的秩为 k . 1。 证明 将 v1 扩充为 Rk 的规范正交基 v1, v2, · · · , vk, 则有 Q=I . v1vT 1 = k Xj=1 vjvT j . v1vT 1 = k Xj=2 vjvT j =V 0 0 0 In.1 !V T (3.19) 其中 V = (v1, v2, · · · , vn) 是正交矩阵, In.1 是 n . 1 阶单位矩阵。式 (3.19) 就是 Q 的特征 分解。由此可以看出, Q 有 k.1 个特征值为 1, 一个特征值为 0, 因此 rank(Q)=k.1。 □ 定理 3.2 在由式 (3.13) 定义的原假设 H0 成立的条件下, 当样本容量 n 充分大时, 由式 (3.14) 定义的统计量 K2 近似服从 χ2(k . 1) 分布。 72 证明 设 Z(n) j 及 Z(n) 由式 (3.16) 定义, 则当 n 充分大时, Z(n) 近似服从 N(0,Q) 分 布, 且 K2 = k Xj=1 Z(n) j 2 (3.20) 设 v1 = (√p1,√p2, · · · ,√pk)T, 根据引理 3.1, 存在 v2, v3, · · · , vk, 使得 v1, v2, · · · , vk 构成 正交规范向量组, 且式 (3.19) 成立。设 V 是式 (3.19) 中最后一个等号右边的正交矩阵, Λ 是其中的分块矩阵, 令 η = V TZ(n), 则 η 近似服从 N(0,Λ), 可见随机向量 η 的第一个分量 是 0, 第 2 ～ k 个分量是近似独立的、服从标准正态分布的随机变量, 从而 ∥η∥22 近似服从 自由度为 k . 1 的卡方分布 χ2(k . 1)。又因为 V 是正交矩阵, 因此有 K2 = ∥Z(n)∥22 = ∥V TZ(n)∥22 = ∥η∥22 由此推出 K2 近似服从 χ2(k . 1) 分布。 □ 定理 3.2 只说了当样本容量 n 充分大时, Pearson 统计量 K2 近似服从 χ2(k . 1) 分 布, 但并没有说明 n 到底要多大才行。实践表明, 在大多数应用场景中, 当 n . 50 时, 用卡 方分布近似代替 K2 的分布检验效果良好。 例 3.1 将一颗骰子连续掷 400 次, 各种点数出现的次数如表 3.1 所示, 试问这颗骰 子是否质地均匀。 表 3.1 掷 100 次骰子结果统计 点 数 1 2 3 4 5 6 出现次数 61 72 91 59 64 53 解 用 X 表示随机掷骰子掷出的点数, 如果这颗骰子质地均匀, 则各种点数出现的概 率是一样的, 因此本题实际上是要检验下列原假设: H0 : pj = P{X = j} = 1 6 , j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (3.21) 根据定理 3.2, 在原假设成立的条件下, Pearson 统计量 K2 = 6 Xj=1 (nj . npj)2 npj 近似服从自由度为 ν = 6 . 1 = 5 的卡方分布 χ2(5), 利用表 3.1 中的数据计算得到 K2 = 13.58, 取显著性水平为 α = 0.05, 用 MATLAB 计算自由度为 5 的卡方分布的分位点, 得 到 χ2 α(5) = 11.0705, 由于 K2 > χ2 α(5), 因此拒绝原假设, 即认为这个骰子质地不均匀, 各种 点数出现的概率不平等。 计算过程的 MATLAB 代码如下: 73 function Li3_1 () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.1 中 Pearson 卡 方 分 布 检 验 的 计 算 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N=400; %% 掷 骰 子 的 总 次 数 n=[61 ,72 ,91 ,59 ,64 ,53]; %% 各 种 点 数 出 现 的 次 数 k=size(n,2) p=(1/6)*ones (1,6); %% 原 假 设 成 立 时 各 种 点 数 出 现 的 概 率 K2=sum (((n-N*p).^2) ./(N*p)) %% 计 算 Pearson 统 计 量 a=0.05 %% 显 著 性 水 平 Ka=chi2inv(1-a,k-1) %% 计 算 显 著 性 水 平 为α的 分 位 点 end 例 3.2 某服务台最近 100 天每天接待的售后服务次数统计如表 3.2 所示, 请检验该 服务台每天接待的售后服务次数 X 是否服从参数为 λ = 1 的泊松分布（取显著性水平为 α = 0.05）。 表 3.2 服务台每天接待的售后服务次数统计 接待的售后服务次数 0 1 2 3 4 5 . 6 天数 22 37 20 13 6 2 0 解 依题意, 需要检验下列假设 P{X = j} = e.1 j! , j = 0, 1, 2, · · · (3.22) 但这样做存在一个问题, 就是 X 的可能取值有无穷多个, 而样本容量又是有限的, 导致很 多像 {X = 7} 这样的基本事件因概率太小而没有被观察到。为了解决这个问题, 我们将一 些基本事件合并, 将 X 的所有可能取值重新划分为表 3.3 所示的 4 个互斥的事件, 使得这 些事件发生的概率相差不太大。 表 3.3 重新划分的 4 个互斥事件 事 件 X 的取值范围 概率 pj 理论频数 npj 实际频数 nj A1 X = 0 0.3679 36.79 22 A2 X = 1 0.3679 36.79 37 A3 X = 2 0.1839 18.39 20 A4 X . 3 0.0803 8.03 21 其中 pj 为事件 Aj 的理论概率, nj 为事件 Aj 的频数, n = n1 + n2 + n3 + n4, npj 为事件 Aj 的理论频数。需要检验的原假设为 H0 : P(Aj) = pj , j = 1, 2, 3, 4 (3.23) Pearson 统计量为 K2 = 4 Xj=1 (nj . npj)2 npj 74 根据定理 3.2, K2 近似服从自由度为 ν = 4 . 1 = 3 的卡方分布 χ2(3), 将表 3.3 中的数据 代入 K2 的表达式, 计算得到 K2 = 27.0370, 用 MATLAB 计算自由度为 3 的卡方分布的 分位点, 得到 χ2 α(3) = 7.8147, 由于 K2 > χ2 α(3), 因此拒绝原假设, 即认为该服务台每天接 待的售后服务次数 X 不服从参数为 λ = 1 的泊松分布。 计算过程的 MATLAB 代码如下: function Li3_2 () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.2 中 泊 松 分 布 的 Pearson 卡 方 检 验 的 计 算 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N=100; %% 样 本 容 量 n=[22 ,37 ,20 ,21]; %%4 个 事 件 的 实 际 频 数 k=size(n,2) p=[0.3679 ,0.3679 ,0.1839 ,0.0803]; %%4 个 事 件 的 理 论 概 率 K2=sum (((n-N*p).^2) ./(N*p)) %% 计 算 Pearson 统 计 量 a=0.05 %% 显 著 性 水 平 Ka=chi2inv(1-a,k-1) %% 计 算 显 著 性 水 平 为α的 分 位 点 end 3.1.3 理论分布中含有未知参数的拟合优度检验 现在考虑如下问题: 设总体 X 只有 k 个可能取值, 需要用抽样数据检验下列原假设 H0 : P{X = xj} = pj(θ), j = 1, 2, · · · , k (3.24) 其中 θ = (θ1, θ2, · · · , θr) 是未知参数。 由于 pj 依赖于参数 θ, 因此需要先估计参数 θ 的值才能确定 pj 的值。参数 θ 的估计 通常采用极大似然估计法。设 bθ 是 θ 的极大似然估计量, 则 pj 的估计量为 bpj = pj(bθ) (3.25) 因此 Pearson 统计量为 K2 = k Xj=1 (nj . nbpj)2 nbpj (3.26) Fisher (1924) 证明了在一定的条件下, 若原假设 (3.24) 成立, 则当样本容量 n → ∞ 时, 统计量 (3.26) 的极限分布是自由度为 ν = k . 1 . r 的卡方分布 χ2(k . 1 . r)。 例 3.3 从 2013 年 1 月 1 日至 2013 年 7 月 2 日在全世界范围内监测到里氏 4 级及 4 级以上的地震共计 203 次, 相继两次地震的间隔天数统计情况如下: 2.8234, 0.4556, 0.9500, 0.0187, 4.9367, 0.6577, 0.1879, 2.1782, 1.4361, 0.1734, 2.0078, 0.8055, 5.1404, 0.0653, 0.8923, 0.2695, 3.8726, 1.3405, 0.4399, 1.1258, 2.1235, 0.3277, 1.2999, 1.9503, 2.8688, 0.8859, 0.4791, 0.1755, 3.2988, 1.3525, 2.0089, 1.0948, 0.1129, 1.9937, 0.2992, 0.0903, 0.5078, 0.1184, 0.4289, 0.6545, 0.9721, 0.6151, 0.0882, 0.1695, 75 0.0027, 0.0006, 0.0167, 0.0039, 0.0179, 0.0062, 0.0058, 0.0041, 0.0080, 0.0015, 0.0274, 0.0136, 0.0387, 0.0534, 0.1023, 0.1019, 0.0608, 0.0834, 0.1262, 0.1529, 0.0410, 0.1026, 0.1672, 0.0259, 0.2123, 0.0174, 0.0542, 0.1448, 0.4581, 0.3300, 0.5298, 1.0555, 0.9554, 0.0016, 1.3616, 2.3574, 2.1154, 6.0860, 4.2432, 0.7769, 0.5642, 1.5924, 0.1715, 1.0159, 0.2445, 0.0657, 0.6286, 0.0038, 1.0987, 0.3581, 0.3088, 0.3233, 1.5390, 1.2992, 0.1046, 0.0235, 0.0304, 2.4831, 0.1588, 0.3591, 0.3831, 1.6332, 0.2873, 2.5222, 4.1730, 2.7920, 0.1693, 2.4935, 1.4002, 4.6063, 1.9748, 0.0580, 1.3601, 3.2862, 3.8311, 0.0644, 0.6454, 0.5678, 0.9427, 2.2946, 0.2697, 1.2136, 0.5476, 1.0824, 0.1819, 0.2975 试问相继两次地震的间隔天数 X 是否服从指数分布? 解 由于题目并未给出指数分布的参数 θ, 因此需要先用极大似然估计法估计参数 θ。 参数为 θ 的指数分布的密度函数为 f(x; θ) =8<: 1 θ e.x/θ, x > 0 0, x . 0 (3.27) 因此对数似然函数为 L(θ) := ln n Yi=1 f(xi; θ) = .n ln θ . 1 θ n Xi=1 xi (3.28) 其导数为 L′(θ) = . n θ + 1 θ2 n Xi=1 xi (3.29) 令 L′(θ) = 0, 解得 θ 的极大似然估计量为 bθ = 1 n n Xi=1 xi = x (3.30) 将样本数据代入上述表达式, 计算得到 bθ = 0.8951。 接下来需要将 X 的取值范围划分成若干互不相交的区间, 使得 X 落在各个区间的概 率相差不要太大。区间划分情况如表 3.4 所示。 表 3.4 相继两次地震间隔天数统计 X 的取值范围 0 . X < 0.2 0.2 . X < 0.4 0.4 . X < 0.6 0.6 . X < 0.8 理论概率 bpj 0.2002 0.1601 0.1281 0.1024 理论频数 nbpj 40.45 32.35 25.87 20.69 实际频数 nj 70 34 15 8 X 的取值范围 0.8 . X < 1 1 . X < 1.4 1.4 . X < 1.8 X . 1.8 理论概率 bpj 0.0819 0.1179 0.0754 0.1339 理论频数 nbpj 16.55 23.82 15.24 27.04 实际频数 nj 10 22 10 33 76 记样本容量为 n, 第 j 个区间的实际频数为 nj , X 落在第 j 个区间的理论概率为 bpj , 则 Pearson 统计量为 K2 = 8 Xj=1 (nj . nbpj)2 nbpj (3.31) 由于分布中有一个未知参数使用了极大似然估计, 因此统计量 K2 近似服从自由度为 ν = 8 . 1 . 1 = 6 的卡方分布 χ2(6)。将表 3.4 中的数据代入 K2 的表达式计算得到 K2 = 39.8720, 取显著性水平为 α = 0.05, 用 MATLAB 计算自由度为 6 的卡方分布的分位点, 得 到 χ2 α(6) = 12.5916, 由于 K2 > χ2 α(6), 因此拒绝原假设, 即认为相继两次大于或等于里氏 4 级的地震的间隔天数 X 不服从指数分布。 本例题用到的地震时间间隔数据已输入至一个名为“Li3-3timeIntervalData”的 MATLAB 变量中, 并保存在文件“里氏 4 级以上地震时间间隔数据.mat”中, 使用时只要载入 该文件即可。计算过程的 MATLAB 代码如下: function Li3_3 () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.3 中 地 震 时 间 间 隔 数 据 是 否 服 从 指 数 分 布 的 Pearson 卡 方 检 验 的 %% 计 算 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% load(' 里 氏 4 级 以 上 地 震 时 间 间 隔 数 据 .mat');%% 导 入 数 据 , 其 中 有 两 个 变 量 , 本 程 序 用 %% 到 的 变 量 为 Li3_3timeIntervalData N=size(Li3_3timeIntervalData ,1); %% 样 本 容 量 theta=mean(Li3_3timeIntervalData) %% 参 数 theta 的 极 大 似 然 估 计 p=zeros (1,8); %% 用 于 保 存 理 论 概 率 p(1)=1-exp ( -0.2/ theta); p(2)=1-exp ( -0.4/ theta) -(1-exp ( -0.2/ theta)); p(3)=1-exp ( -0.6/ theta) -(1-exp ( -0.4/ theta)); p(4)=1-exp ( -0.8/ theta) -(1-exp ( -0.6/ theta)); p(5)=1-exp(-1/ theta) -(1-exp ( -0.8/ theta)); p(6)=1-exp ( -1.4/ theta) -(1-exp(-1/ theta)); p(7)=1-exp ( -1.8/ theta) -(1-exp ( -1.4/ theta)); p(8)=exp ( -1.8/ theta) Np=N*p %% 理 论 频 数 n=zeros (1,8); %% 用 于 保 存 实 际 频 数 n(1)=sum(Li3_3timeIntervalData <0.2); n(2)=sum(( Li3_3timeIntervalData >=0.2) &( Li3_3timeIntervalData <0.4)); n(3)=sum(( Li3_3timeIntervalData >=0.4) &( Li3_3timeIntervalData <0.6)); n(4)=sum(( Li3_3timeIntervalData >=0.6) &( Li3_3timeIntervalData <0.8)); n(5)=sum(( Li3_3timeIntervalData >=0.8) &( Li3_3timeIntervalData <1)); n(6)=sum(( Li3_3timeIntervalData >=1)&( Li3_3timeIntervalData <1.4)); n(7)=sum(( Li3_3timeIntervalData >=1.4) &( Li3_3timeIntervalData <1.8)); n(8)=sum(Li3_3timeIntervalData >=1.8) k=size(n,2) K2=sum (((n-Np).^2) ./(Np)) %% 计 算 Pearson 统 计 量 77 a=0.05 %% 显 著 性 水 平 r=1; %% 参 数 的 个 数 Ka=chi2inv(1-a,k-1-r) %% 计 算 自 由 度 为 k-1-r 的 卡 方 分 布 显 著 性 水 平 为α的 %% 分 位 点 end 3.2 正态性检验 本节讨论总体正态性检验的问题, 即检验总体分布是否为正态分布。下面将以上证指 数 (000001)2021 年 8 月 31 日至 2022 年 9 月 30 日期间 264 个交易日的收益率作为案例 数据, 介绍各种检验正态性的方法。具体数据如下。 0.0045, 0.0065, 0.0084, .0.0043, 0.0111, 0.0150, .0.0004, 0.0049, 0.0027, 0.0033, .0.0143, .0.0017, .0.0135, 0.0019, 0.0040, 0.0038, .0.0080, .0.0084, 0.0054, .0.0185, 0.0090, 0.0067, .0.0001, .0.0125, 0.0042, .0.0010, 0.0040, .0.0012, 0.0070, .0.0017, 0.0022, .0.0034, 0.0076, .0.0034, .0.0099, .0.0124, 0.0082, .0.0008, .0.0110, .0.0020, 0.0081, .0.0101, 0.0020, 0.0024, .0.0042, 0.0115, 0.0018, .0.0016, .0.0033, 0.0044, .0.0047, 0.0112, 0.0061, 0.0020, 0.0010, .0.0024, .0.0056, .0.0004, 0.0003, 0.0036, .0.0009, 0.0094, .0.0050, 0.0016, 0.0117, 0.0097, .0.0018, 0.0040, .0.0053, .0.0038, 0.0075, .0.0117, .0.0107, 0.0087, .0.0007, 0.0057, .0.0070, .0.0006, 0.0039, .0.0092, 0.0061, 0.0057, .0.0020, .0.0103, .0.0025, .0.0018, 0.0039, .0.0073, 0.0084, .0.0118, .0.0096, 0.0058, 0.0079, .0.0033, .0.0009, .0.0092, 0.0004, .0.0262, 0.0066, .0.0179, .0.0097, 0.0201, 0.0067, 0.0079, 0.0017, .0.0066, .0.0099, 0.0050, 0.0057, 0.0006, 0.0065, 0, .0.0096, 0.0092, .0.0171, 0.0062, 0.0032, 0.0076, .0.0013, .0.0009, .0.0097, .0.0219, .0.0238, .0.0113, 0.0121, 0.0041, .0.0264, .0.0508, 0.0342, 0.0139, 0.0111, 0.0008, 0.0019, 0.0034, .0.0064, .0.0118, 0.0007, .0.0033, 0.0194, .0.0044, 0.0093, 0.0002, .0.0143, 0.0047, .0.0264, 0.0145, .0.0083, 0.0121, .0.0045, .0.0049, .0.0005, .0.0135, .0.0229, 0.0023, .0.0527, .0.0145, 0.0246, 0.0058, 0.0238, 0.0068, .0.0218, 0.0009, 0.0105, 0.0075, .0.0012, 0.0095, .0.0034, 0.0065, .0.0025, 0.0036, 0.0159, 0.0001, .0.0244, 0.0118, 0.0050, 0.0023, 0.0060, 0.0118, .0.0013, 0.0042, 0.0127, 0.0017, 0.0068, .0.0076, 0.0141, .0.0090, 0.0102, 0.0050, .0.0061, 0.0095, .0.0004, .0.0026, .0.0120, 0.0161, 0.0089, 0.0087, 0.0088, .0.0141, 0.0110, .0.0032, 0.0052, .0.0004, .0.0144, 0.0027, .0.0025, .0.0127, .0.0097, 0.0009, .0.0008, .0.0165, 0.0154, 0.0004, 0.0077, .0.0100, .0.0006, .0.0060, 0.0083, .0.0005, 0.0021, .0.0090, 0.0021, .0.0229, .0.0071, 0.0080, 0.0118, 0.0031, 0.0032, .0.0054, 0.0159, .0.0015, .0.0002, 0.0005, 0.0045, .0.0046, .0.0060, 0.0060, .0.0005, .0.0188, 0.0096, .0.0031, 0.0014, .0.0042, .0.0078, .0.0054, 0.0005, 0.0042, 0.0135, 0.0009, .0.0033, 0.0081, 0.0005, .0.0081, .0.0117, .0.0232, .0.0035, 0.0022, .0.0017, .0.0027, .0.0066, .0.0121, 0.0139, .0.0159, .0.0013, .0.0055 以上数据已输入至一个名为“SHR”的 MATLAB 变量中, 并保存在文件“上证指数 收益率.mat”中, 使用时只需要将这个文件载入即可。 78 3.2.1 图示法 1. 直方图 将 X 的取值范围均匀地划分成若干区间, 然后统计每个区间的频数, 并画出条形图展 示, 这就是直方图。 例 3.4 画出本节开头给出的上证指数收益率数据的直方图, 并根据图形判断该数据 是否来自正态总体。 解 样本数据的最小值为 .0.0527, 最大值为 0.0342, 因此将区间 [.0.055, 0.055] 等分 为 22 个长度为 0.005 的小区间, 统计每个小区间的频数, 并绘制成直方图, 如图 3.1 所示。 图 3.1 上证指数收益率直方图 为了与正态分布对比, 我们计算出样本数据的均值 bμ = .0.000583, 标准差 bσ = 0.0105, 相应的正态分布密度函数为 f(x) = 1 √2πbσ e.(x.bμ)2 2bσ2 图 3.1 中的曲线便是这个概率密度函数的图像。从图 3.1 可以看出, 样本数据在均值附近的 频率明显高于相应正态分布的概率, 且远离均值的异常值出现的频率也高于正态分布的概 率, 因此我们认为样本数据不是来自正态总体的。 例 3.4 的计算和绘图过程的 MATLAB 代码如下: function Li3_4 () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.4 中 绘 制 上 证 指 数 收 益 率 直 方 图 的 操 作 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% load(' 上 证 指 数 收 益 率 .mat'); %% 导 入 数 据 , 上 证 指 数 收 益 率 数 据 保 存 在 变 量 SHR 中 mu=mean(SHR); %% 计 算 样 本 均 值 s=std(SHR); %% 计 算 样 本 标 准 差 edges =( -0.055:0.005:0.055); %% 划 分 区 间 的 分 割 点 histogram(SHR ,edges); %% 绘 制 直 方 图 hold on x=( -0.055:0.0005:0.055) '; y=(1/( sqrt (2*pi)*s))*exp(-(x-mu).^2./(2*s^2)); plot(x,y,'blue'); hold off 79 end 2. 经验分布函数 设 x1, x2, · · · , xn 是来自总体 X 的样本数据, 为了估计总体 X 的分布函数 F(x), 定义 Fn(x) := .{xi : xi . x, i = 1, 2, · · · } n (3.32) 其中 .{xi : xi . x, i = 1, 2, · · · } 表示集合 {xi : xi . x, i = 1, 2, · · · } 中的元素个数, 称 Fn(x) 为经验分布函数 (empirical distribution function)。按照上面的定义, 对于给定 的实数 x, Fn(x) 的值就是样本数据 x1, x2, · · · , xn 中小于或等于 x 的那部分所占的比例。 如果把这些样本数据按照从小到大的顺序排序, 最小的记为 x(1), 第二小的记为 x(2), 以此类推, 最大的记为 x(n), 则称 x(1), x(2), · · · , x(n) 为顺序统计量 (order statistics)。 利用顺序统计量可以将经验分布函数表示成下列形式: Fn(x) =8> ><> >: 0, x < x(1) k n , x(k) . x < x(k+1), k = 1, 2, · · · , n . 1 1, x . x(n) (3.33) 不难发现 Fn(x) 是一个分段阶梯函数。 根据 Glivenko-Cantelli 引理（附录 C 定理 C.4）, 当样本容量 n → ∞ 时, 经验分布函 数 Fn(x) 将以概率 1 一致收敛域总体 X 的分布函数 F(x), 即有 P lim n→∞ sup x∈R |Fn(x) . F(x)| = 0= 1 (3.34) 关于顺序统计量和经验分布的更多知识可参阅附录 C。 3. P-P 图 如果需要检验总体 X 是否服从某个给定的理论分布, 可以利用抽样数据 x1, x2, · · · , xn 求出经验分布函数 Fn(x), 然后将 Fn(x) 与给定的理论分布函数 F(x) 进行对比, 以判断总 体 X 是否服从给定的理论分布。 如何检验经验分布函数 Fn(x) 和理论分布函数 F(x) 是否一致呢? P-P 图 (probabilityprobability plot) 是一种直观的图示检验方法。 P-P 图的绘制方法如下: 对于每个样本数据 xi, 分别以 F(xi)、Fn(xi) 为横坐标和纵 坐标在二维坐标平面上绘制点 (F(xi), Fn(xi)), 这 n 个点构成一个散点图, 同时画出连节点 O(0, 0) 和 A(1, 1) 的直线段, 便得到了 P-P 图。 如何从散点图判断总体 X 是否服从给定的理论分布呢? 如果总体 X 服从给定的理论 分布, 则经验分布 Fn(x) 应与理论分布 F(x) 很接近, 从而点 (F(xi), Fn(xi)), i = 1, 2, · · · , n 应落在线段 OA 附近。如果总体 X 不服从给定的理论分布, 则经验分布 Fn(x) 应与理论 分布 F(x) 有显著的偏差, 从而点 (F(xi), Fn(xi)), i = 1, 2, · · · , n 会偏离线段 OA。 80 例 3.5 用 P-P 图判断本节开头给出的上证指数收益率数据是否服从正态分布。 解 首先求出收益率数据的样本均值 bμ 和样本标准差 bσ 为 bμ = .0.000583, bσ = 0.0105 然后对数据进行标准化变换 zi = xi . bμ bσ , i = 1, 2, · · · , n (3.35) 如果总体 X 服从正态分布, 则标准化的数据 zi, i = 1, 2, · · · , n 应服从标准正态分布, 因此 只要画 P-P 图检验 zi, i = 1, 2, · · · , n 是否服从标准正态分布即可。 标准化的上证指数收益率数据的 P-P 图如图 3.2 所示。可以看出, 经验分布 Fn(x) 与理论分布 F(x)（标准正态分布）有显著偏差, 因此我们认为上证指数收益率不服从正态 分布。 图 3.2 标准化的上证指数收益率数据 P-P 图 例 3.5 的计算和绘图过程的 MATLAB 代码如下: function Li3_5 () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.5 中 画 P-P 图 检 验 上 证 指 数 收 益 率 是 否 服 从 正 态 分 布 的 操 作 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% load(' 上 证 指 数 收 益 率 .mat'); %% 导 入 数 据 , 上 证 指 数 收 益 率 数 据 保 存 在 变 量 SHR 中 mu=mean(SHR); %% 计 算 样 本 均 值 s=std(SHR); %% 计 算 样 本 标 准 差 z=(SHR -mu)/s; %% 数 据 标 准 化 z=sort(z); %% 从 小 到 大 排 序 n=size(z,1); Fn=(1:n)'/n; %%z 对 应 的 经 验 分 布 值 F=normcdf(z); %%z 对 应 的 标 准 正 态 分 布 函 数 值 plot(F,Fn ,'+','LineWidth ',1,'MarkerSize ' ,... 81 6,'MarkerFaceColor','k','MarkerEdgeColor','k'); hold on plot ([0;1] ,[0;1] ,'LineStyle ','--','Color','b','LineWidth ' ,2); xlabel(' 理 论 分 布 F(z)'); %% 横 轴 名 称 ylabel(' 经 验 分 布 F_n(z)'); %% 纵 轴 名 称 title('P-P 图 '); %% 添 加 图 的 标 题 hold off end 4. Q-Q 图 设某个随机变量 X 的分布函数为 F(x), 我们知道 F(x) 的值域为 [0, 1], 对于任意给定 的 p ∈ [0, 1], 记 Q(p) := inf{x ∈ R : F(x) . p} (3.36) 称为随机变量 X 的（或分布函数 F(x) 的）p-分位数 (p-quantile)。如果 F(x) 是严格单 调增加的连续函数, 则不难发现 Q 是 F 的反函数, 即有 Q(p) = F.1(p)。 例如, 设 Φ 是标准正态分布函数, 通过计算知道 Φ(.0.674489750196082) = 0.25, 因此 标准正态分布的 0.25-分位数是 Q(0.25) = Φ.1(0.25) = .0.674489750196082 Q-Q 图 (quantile-quantile plot) 是另外一种检验总体分布是否为某个给定的理论分布 的图示方法。设 x1, x2, · · · , xn 是来自总体 X 的抽样数据, Fn(x) 是经验分布函数, 记 pi = Fn(xi), i = 1, 2, · · · , n 为了比较 Fn(x) 与理论分布 F(x), 我们计算 F(x) 的 pi-分位数 yi = Q(pi), i = 1, 2, · · · , n 然后在二维平面直角坐标系中绘制出点集 {(yi, xi) : i = 1, 2, · · · , n} 的散点图, 这就是所 谓的 Q-Q 图。 例 3.6 用 Q-Q 图判断本节开头给出的上证指数收益率数据是否服从正态分布。 解 首先将数据标准化, 设标准化后的数据为 zi, i = 1, 2, · · · , n。为了方便计算经验分 布函数, 将标准化的数据从小到大排序, 设排序后的数据为 z(1) . z(2) . z(3) . · · · . z(n) 根据经验分布函数的定义得 Fn(z(k)) = k/n, n = 1, 2, · · · , n, 为了使 Q-Q 图更合理, 通常取 y(k) = Qk . 0.375 n + 0.25 = Φ.1 k . 0.375 n + 0.25 , k = 1, 2, · · · , n (3.37) 82 然后绘制点集 {(y(k), z(k)) : k = 1, 2, · · · , n} 的散点图。为了对比, 我们在同一坐标系中画 出直线 z = y, 如果上证指数的收益率服从正态分布, 则标准化数据 zi, i = 1, 2, · · · , n 应服 从标准正态分布, 从而点集 {(y(k), z(k)) : k = 1, 2, · · · , n} 应落在直线 z = y 附近。 标准化的上证指数收益率数据的 Q-Q 图如图 3.3 所示, 其中的虚线是直线 z = y。可 以看出, 样本分位数与标准正态分布的分位数有显著偏差, 对于很小概率 p 对应的分位数, 样本分位数明显小于标准正态分布的对应分位数, 对很大的概率 p 对应的分位数, 样本分位 数明显大于标准正态分布的对应分位数, 这说明上证指数收益率分布具有拖尾特性, 远离均 值的收益率出现的概率明显高于正态分布。因此我们认为上证指数收益率不服从正态分布。 图 3.3 标准化的上证指数收益率数据 Q-Q 图 标准化的上证指数收益率 Q-Q 图的计算和绘图过程的 MATLAB 代码如下: function Li3_6A () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.6 中 绘 制 标 准 化 收 益 率 数 据 Q-Q 图 的 操 作 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% load(' 上 证 指 数 收 益 率 .mat'); %% 导 入 数 据 , 上 证 指 数 收 益 率 数 据 保 存 在 变 量 SHR 中 mu=mean(SHR); %% 计 算 样 本 均 值 s=std(SHR); %% 计 算 样 本 标 准 差 z=(SHR -mu)/s; %% 数 据 标 准 化 z=sort(z); %% 从 小 到 大 排 序 n=size(z,1); Fn =((1:n)' -0.375)/(n+0.25); %%z 对 应 的 经 验 分 布 修 正 值 y=norminv(Fn); %%Fn 对 应 的 标 准 正 态 分 布 分 位 数 plot(y,z,'+','LineWidth ',1,'MarkerSize ',6,'MarkerFaceColor' ,... 'k','MarkerEdgeColor','k'); hold on plot([y(1);y(n)],[y(1);y(n)],'LineStyle ','--','Color','b' ,... 'LineWidth ' ,2); xlabel(' 标 准 正 态 分 布 分 位 数 y'); %% 横 轴 名 称 83 ylabel(' 样 本 分 位 数 z'); %% 纵 轴 名 称 title('Q-Q 图 '); %% 添 加 图 的 标 题 hold off end 也可以不对上证指数收益率数据 xi, i = 1, 2, · · · , n 进行标准化, 而是直接将其按照从 小到大的顺序排列: x(1) . x(2) . x(3) . · · · . x(n) 并利用式 (3.37) 计算 yk, k = 1, 2, · · · , n, 然后绘制点集 (y(k), x(k)) : k = 1, 2, · · · , n (3.38) 的散点图。这样得到的 Q-Q 图具有下列性质: 如果总体 X ～ N(μ, σ2), 则点集 {(y(k), x(k)) : k = 1, 2, · · · , n} 应落在直线 x = σy+μ 附近。至于原因, 请读者自行分析。 未经标准化的上证指数收益率数据的 Q-Q 图如图 3.4 所示, 其中的虚线是直线 x = bσy + bμ 其中 bμ 是样本均值, bσ 是样本标准差。可以看出, 点集 {(y(k), x(k)) : k = 1, 2, · · · , n} 与直 线有显著的偏离, 因此我们认为上证指数收益率不服从正态分布。 图 3.4 未经标准化的上证指数收益率数据 Q-Q 图 未经标准化的上证指数收益率 Q-Q 图的计算和绘图过程的 MATLAB 代码如下: function Li3_6B () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.6 中 绘 制 收 益 率 数 据 Q-Q 图 的 操 作 ( 不 进 行 标 准 化 ) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% load(' 上 证 指 数 收 益 率 .mat'); %% 导 入 数 据 , 上 证 指 数 收 益 率 数 据 保 存 在 变 量 SHR 中 84 mu=mean(SHR); %% 计 算 样 本 均 值 s=std(SHR); %% 计 算 样 本 标 准 差 x=sort(SHR); %% 从 小 到 大 排 序 n=size(x,1); Fn =((1:n)' -0.375)/(n+0.25); %%x 对 应 的 经 验 分 布 修 正 值 y=norminv(Fn); %%Fn 对 应 的 标 准 正 态 分 布 分 位 数 plot(y,x,'+','LineWidth ',1,'MarkerSize ',6,'MarkerFaceColor' ,... 'k','MarkerEdgeColor','k'); hold on plot([y(1);y(n)],[s*y(1)+mu;s*y(n)+mu],'LineStyle ','--' ,... 'Color','b','LineWidth ' ,2); xlabel(' 标 准 正 态 分 布 分 位 数 y'); %% 横 轴 名 称 ylabel(' 样 本 分 位 数 x'); %% 纵 轴 名 称 title('Q-Q 图 '); %% 添 加 图 的 标 题 hold off end 3.2.2 拟合优度检验 上文介绍的直方图、P-P 图和 Q-Q 图虽然直观, 但缺乏定量标准, 主观性强, 且不便 于程序自动化执行, 因此在许多领域使用受限。为了解决这个问题, 统计学家提出了许多定 量化的正态性检验方法, 下面选择几种常用的方法进行介绍。 首先是拟合优度检验, 这种方法的用途不限于正态性检验, 已在 3.1.1 节、3.1.2 节进行 了详细介绍。下面通过一个例子说明如何用拟合优度检验法检验总体是否服从正态分布。 例 3.7 用拟合优度检验法检验本节开头给出的上证指数收益率数据是否服从正态 分布。 解 由于正态分布的均值 μ 和标准差 σ 未知, 因此需要计算这两个参数的极大似然估 计。利用附录 B 中的例 B.1 的结论得 bμ = x = .0.000583, bσ = rn . 1 n s2 = 0.010474 (3.39) 接下来需要将收益率数据的取值范围划分成若干互不相交的区间, 并用正态分布 N(bμ, bσ2) 估计收益率落在每个区间的理论概率和理论频数。区间划分情况如表 3.5 所示。 记样本容量为 n, 第 j 个区间的实际频数为 nj , 收益率落在第 j 个区间的理论概率为 bpj , 则 Pearson 统计量为 K2 = 11 Xj=1 (nj . nbpj)2 nbpj (3.40) 由于正态分布中有 2 个未知参数使用了极大似然估计, 因此统计量 K2 近似服从自由度为 ν = 11 . 1 . 2 = 8 的卡方分布 χ2(8)。将表 3.5 中的数据代入 K2 的表达式, 计算得到 85 K2 = 21.5537, 取显著性水平为 α = 0.05, 用 MATLAB 计算自由度为 8 的卡方分布的分 位数, 得到 χ2 α(8) = 15.5037, 由于 K2 > χ2 α(8), 因此拒绝原假设, 即认为所给上证指数收益 率数据不服从正态分布。 表 3.5 上证指数收益率统计 取值范围 (.∞,.0.025) [.0.025,.0.02) [.0.02,.0.015) [.0.015,.0.01) 理论概率 bpj 0.0099 0.0220 0.0525 0.1000 理论频数 nbpj 2.6057 5.8103 13.8485 26.3902 实际频数 nj 5 7 6 21 取值范围 [.0.01,.0.005) [.0.005, 0) [0, 0.005) [0.005, 0.01) 理论概率 bpj 0.1523 0.1856 0.1808 0.1409 理论频数 nbpj 40.2112 48.9931 47.7323 37.1861 实际频数 nj 32 58 56 50 取值范围 [0.01,.0.015) [0.015, 0.02) [0.02,+∞) 理论概率 bpj 0.0877 0.0437 0.0247 理论频数 nbpj 23.1647 11.5381 6.5198 实际频数 nj 19 6 4 实现本例计算过程的 MATLAB 代码如下: function Li3_7 () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.7 中 上 证 指 数 收 益 率 数 据 是 否 服 从 正 态 分 布 的 拟 合 优 度 检 验 的 %% 计 算 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% load(' 上 证 指 数 收 益 率 .mat'); %% 导 入 数 据 , 上 证 指 数 收 益 率 数 据 保 存 在 变 量 SHR 中 N=size(SHR ,1); %% 样 本 容 量 mu=mean(SHR) %% 均 值 的 极 大 似 然 估 计 s=sqrt((N-1)/N)*std(SHR) %% 标 准 差 的 极 大 似 然 估 计 p=zeros (1 ,11); %% 用 于 保 存 理 论 概 率 p(1)=normcdf (-0.025,mu ,s); p(2)=normcdf (-0.02,mu ,s)-normcdf (-0.025,mu ,s); p(3)=normcdf (-0.015,mu ,s)-normcdf (-0.02,mu ,s); p(4)=normcdf (-0.01,mu ,s)-normcdf (-0.015,mu ,s); p(5)=normcdf (-0.005,mu ,s)-normcdf (-0.01,mu ,s); p(6)=normcdf(0,mu ,s)-normcdf (-0.005,mu ,s); p(7)=normcdf (0.005 ,mu ,s)-normcdf(0,mu ,s); p(8)=normcdf (0.01 ,mu ,s)-normcdf (0.005 ,mu ,s); p(9)=normcdf (0.015 ,mu ,s)-normcdf (0.01 ,mu ,s); p(10)=normcdf (0.02 ,mu ,s)-normcdf (0.015 ,mu ,s); p(11)=1-normcdf (0.02 ,mu ,s) Np=N*p %% 理 论 频 数 n=zeros (1 ,11); %% 用 于 保 存 实 际 频 数 n(1)=sum(SHR < -0.025); n(2)=sum((SHR >= -0.025) &(SHR < -0.02)); n(3)=sum((SHR >= -0.02)&(SHR < -0.015)); 86 n(4)=sum((SHR >= -0.015) &(SHR < -0.01)); n(5)=sum((SHR >= -0.01)&(SHR < -0.005)); n(6)=sum((SHR >= -0.005) &(SHR <0)); n(7)=sum((SHR >=0)&(SHR <0.005)); n(8)=sum((SHR >=0.005) &(SHR <0.01)); n(9)=sum((SHR >=0.01) &(SHR <0.015)); n(10)=sum((SHR >=0.015) &(SHR <0.02)); n(11)=sum(SHR >=0.02) k=size(n,2) K2=sum (((n-Np).^2) ./(Np)) %% 计 算 Pearson 统 计 量 a=0.05 %% 显 著 性 水 平 r=2; %% 参 数 的 个 数 Ka=chi2inv(1-a,k-1-r) %% 计 算 自 由 度 为 k-1-r 的 卡 方 分 布 显 著 性 水 平 为α的 %% 分 位 点 end 3.2.3 Kolmogorov-Smirnov 检验 设 x1, x2, · · · , xn 是来自总体 X 的抽样数据, x(1), x(2), · · · , x(n) 是其顺序统计量, Fn(x) 是经验分布函数。我们想要检验总体 X 是否服从某个指定的理论分布 F(x), 即检验原假设 H0 : 总体X的分布函数为F(x) (3.41) 为了度量 Fn(x) 与 F(x) 的偏差, Kolmogorov 定义了统计量 K := √n sup x∈R |Fn(x) . F(x)| (3.42) 在原假设 H0 成立的条件下, 如果分布函数 F(x) 是连续的, Kolmogorov[48] 证明了当 n → ∞ 时统计量 K 的极限分布为 P{K . x} = 1 . 2 ∞Xk=1 (.1)k.1e.2k2x2 = √2π x ∞Xk=1 e.(2k.1)2π2/(8x2) (3.43) 这个分布称为 Kolmogorov 分布。 计算 Kolmogorov 统计量涉及在实数集 R 上取上确界的运算, 貌似不可行, 但实际上 经验分布函数 Fn(x) 是形如式 (3.33) 的阶梯函数, 而分布函数又是在 [0, 1] 上取值的单调 非减函数, 不难证明 sup x∈R |Fn(x) . F(x)|=max |Fn(x(k)) . F(x(k))|, |Fn(x(k.1)) . F(x(k))| : k = 1, 2, · · · , n =maxk n . F(x(k)), F(x(k)) . k . 1 n : k = 1, 2, · · · , n (3.44) 因此有 K := √n maxk n . F(x(k)), F(x(k)) . k . 1 n : k = 1, 2, · · · , n (3.45) 87 为了实现检验, Smirnov[49] 制定了 Kolmogorov 分布的分位数表, 对于给定的显著性 水平 α, 可查到相应的分位数 Kα, 当由样本数据计算得到的统计量 K > Kα 时, 拒绝原假 设, 即认为总体 X 的分布函数不是 F(x)。 Kolmogorov-Smirnov 检验的实际计算过程比较烦琐, 可直接调用 MATLAB 提供的函 数 kstest()。 例 3.8 用 MATLAB 函数 kstest() 检验本节开头给出的上证指数收益率数据是否服 从均值 μ = .0.000583、标准差 σ = 0.010494 的正态分布。 解 先对数据进行变换: yi = xi . μ σ , i = 1, 2, · · · , n 如果原来的数据 {xi : i = 1, 2, · · · , n} 服从正态分布 N(μ, σ2), 则变换后的数据 {yi : i = 1, 2, · · · , n} 服从标准正态分布, 因此只需要检验变换后的数据是否服从标准正态分布。我 们取显著性水平为 α = 0.05, 进行 Kolmogorov-Smirnov 检验。 下面是实现本例的 Kolmogorov-Smirnov 检验的 MATLAB 代码: function Li3_8 () %% 这 个 函 数 实 现 了 例 3.8 中 上 证 指 数 收 益 率 数 据 的 Kolmogorov -Smirnov 检 验 的 计 算 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% load(' 上 证 指 数 收 益 率 .mat'); %% 导 入 数 据 , 上 证 指 数 收 益 率 数 据 保 存 在 变 量 SHR 中 mu = -0.000583; s=0.010494; y=(SHR -mu)/s; %% 数 据 变 换 n=size(y,1) %% 样 本 容 量 a=0.05 %% 显 著 性 水 平 [h,p]= kstest(y,'Alpha ',a) %% Kolmogorov -Smirnov 检 验 %% 原 假 设 H0 ： y 来 自 标 准 正 态 总 体 %% 输 出 参 数 : h-- 逻 辑 变 量 , h=1 代 表 拒 绝 原 假 设 , h=0 代 表 接 受 原 假 设 %% p-- 概 率 值 , 可 以 理 解 为 能 拒 绝 原 假 设 的 最 小 显 著 性 水 平 end 运行程序后屏幕输出计算结果为 h = 1, p = 0.0467。其中 h = 1 表示拒绝原假设, 即认 为变换后的数据 {yi : i = 1, 2, · · · , n} 不服从标准正态分布, 从而原始收益率数据 {xi : i = 1, 2, · · · , n} 不服从均值 μ = .0.000583、标准差 σ = 0.010494 的正态分布; p = 0.0467 表 示能够拒绝原假设的最小显著性水平为 0.0467。 需要指出的是, 虽然 Kolmogorov-Smirnov 检验拒绝了原始收益率数据 {xi : i = 1, 2, · · · , n} 服从均值 μ = .0.000583、标准差 σ = 0.010494 的正态分布的假设, 但并没有拒绝 这个数据服从其他均值和标准差的正态分布, 换句话说, Kolmogorov-Smirnov 检验的结果 依赖于指定分布的参数, 必须保证分布参数精确, 检验结论才有效。 88