第3章〓连续时间信号与系统的频域分析 教学目标： （1） 培养学生的科学精神、团队合作精神、工匠精神、规矩意识和系统观。 （2） 理解周期信号的频谱、频谱宽度和频谱图，掌握周期信号频谱的特点。 （3） 理解非周期信号的频谱、频谱宽度和频谱图，掌握信号的正、反傅里叶变换。 （4） 理解非周期信号激励下系统的零状态响应与全响应。 （5） 掌握周期信号的傅里叶变换及周期信号与非周期信号傅里叶变换之间的关系。 （6） 掌握频域系统函数的定义、物理意义、求法与应用。 （7） 掌握理想低通滤波器的定义、传输特性。 （8） 了解信号无失真传输的条件。 （9） 掌握采样信号的频谱及其求解。 （10） 掌握采样定理。 （11） 了解调制与解调的基本原理与应用。 （12） 培养学生具备数学概念、物理概念与工程概念相统一的意识。 学习重点： （1） 周期信号的频谱分析及其频谱的特点。 （2） 傅里叶变换的定义、性质及其傅里叶变换的求解。 （3） 周期信号的傅里叶变换，频域系统函数的定义与求解。 （4） 非周期信号激励下系统的零状态响应的求解。 （5） 理想低通滤波器的定义及其传输特性。 （6） 信号无失真传输的条件，采样信号和采样定理。 （7） 调制与解调的基本原理与应用。 教学难点： （1） 傅里叶级数系数的计算。 （2） 傅里叶变换的性质。 （3） 傅里叶变换的频谱分析应用。 （4） 系统函数的频域分析。 在第2章中讨论了连续时间系统的时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号都可分解为一系列冲激函数，而系统的零状态响应是输入信号与系统冲激响应的卷积。本章将以正弦函数(正弦和余弦函数可统称为正弦函数)或虚指数函数ejωt为基本信号，将任意信号表示为不同频率的正弦函数或虚指数函数之和(对于周期信号)或积分(对于非周期信号)。把信号表示为不同频率正弦分量或虚指数分量的和称为信号的频域分析，也称信号的谱分析。用频谱分析的观点来分析系统，称为系统的频域分析。 3.1周期信号的傅里叶级数分析 傅里叶 【科学家故事之二】傅里叶 具体内容请扫描二维码查看。 周期信号是定义在(-∞，+∞)区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图311所示。周期信号可以表示为 图311周期信号 f(t)＝f(t+mT)(311) 式中，m为任意整数。时间T称为该信号的重复周期，简称周期。周期的倒数称为该信号的频率。 周期信号f(t)在区间(t0,t0+T)可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅里叶级数”，统称傅里叶级数。 需要指出，只有当周期信号满足狄利克雷条件时，才能展开成傅里叶级数。通常遇到的周期信号都满足该条件，以后不再特别说明。 3.1.1周期信号的分解 欧拉 【科学家故事之三】欧拉 具体内容请扫描二维码查看。 1. 信号分解为正交函数 信号分解为正交函数的原理与向量分解为正交向量的概念相似。例如，在平面上的向量A在直角坐标中可以分解为x方向分量和y方向分量，如图312(a)所示。如令υx、υy，为各相应方向的正交单位向量，则向量A可写为 A=C1υx+C2υy(312) 图312向量分解 为了便于研究向量分解，将相互正交的单位向量组成一个二维“正交向量集”。这样，在此平面上的任意向量都可用正交向量集的分量组合表示。 对于一个三维空间的向量A，可以用一个三维正交向量集{υx,υy,υz}的分量组合表示，如图312(b)所示，它可写为 A=C1υx+C2υy+C3υz(313) 空间向量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任一信号均可表示为它们的线性组合。 如有定义在(t1,t2)区间的两个函数φ1(t)和φ2(t)，若满足 ∫t2t1φ1(t)φ2(t)dt=0(314) 则称φ1(t)和φ2(t)在区间(t1,t2)内正交。 如有n个函数φ1(t)，φ2(t)，…，φn(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1,t2)内满足 ∫t2t1φi(t)φj(t)=0,i≠j Ki≠0,i=j(315) 式中，Ki为常数，则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。在区间(t1,t2)内相互正交的n个函数构成正交信号空间。 如果在正交函数集{φ1(t),φ2(t),…,φn(t)}之外，不存在函数ψ(t)满足等式 ∫t2t1ψ(t)φi(t)dt=0,i=1,2,3,…,n(316) 则此函数集称为完备正交函数集。也就是说，如能找到一个函数ψ(t)，使得式(316)成立，即ψ(t)与函数集{φi(t)}的每个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然，不包含ψ(t)的集是不完备的。 例如，三角函数集{1,cos(Ωt),…,cos(mΩt),…,sin(Ωt),…,sin(nΩt),…}在区间(t0,t0+T)T=2πΩ组成正交函数集，而且是完备的正交函数集。这是因为 ∫t0+Tt0cos(mΩt)cos(nΩt)dt=0,m≠n T2,m=n≠0 T,m=n=0 ∫t0+Tt0sin(mΩt)sin(nΩt)dt=0,m≠n T2,m=n≠0 ∫t0+Tt0sin(mΩt)cos(nΩt)dt=0,对于所有的m和n(317) 集合{sin(Ωt),sin(2Ωt),…,sin(nΩt),…}在区间(t0,t0+T)内也是正交函数集，但它是不完备的，因为还有许多函数，如cos(Ωt)，cos(2Ωt)，…，也与此集合中的函数正交。 如果是复函数集，则正交的定义如下。 若复函数集{φi(t)}(i=1,2,…,n)在区间(t1,t2)满足 ∫t2t1φi(t)φ*j(t)dt=0,i≠j Ki≠0,i=j(318) 则称此复函数集为正交函数集。式中，φ*j(t)为函数φj(t)的共轭复函数。 复函数集{ejnΩt}(n=0,±1,±2,…)在区间(t0,t0+T)内是完备的正交函数集，式中，T=2πΩ。它在区间(t0,t0+T)内满足 ∫t0+Tt0ejmΩt(ejnΩt)*dt=∫t0+Tt0ej(m-n)Ωtdt=0,m≠n T,m=n(319) 设有n个函数φ1(t)，φ2(t)，…，φn(t)在区间(t1,t2)内构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C1φ1(t)+C2φ2(t)+…+Cnφn(t)=∑nj=1Cjφj(t)(3110) 这里的问题是，如何选择Cj才能得到最佳近似。显然，应选取各系数Cj使实际函数与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为最小。这里“误差最小”不是指平均误差最小，因为在平均误差很小甚至等于零的情况下，也可能有较大的正误差和负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的均方值(或称方均值)最小，这时，可以认为已经得到了最好的近似。误差的均方值也称为均方误差，用符号ε2表示。 ε2=1t2-t1∫t2t1f(t)-∑nj=1Cjφj(t)2dt(3111) 在j=1,2，…,i，…，n时，为求得使均方误差最小的第i个系数Ci，必须使 ε2Ci=0 即 Ci∫t2t1f(t)-∑nj=1Cjφj(t)2dt=0(3112) 展开上式的被积函数，注意到由序号不同的正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不包含Ci的各项对Ci求导也等于零。这样，式(3112)中只有两项不为零，它可以写为 Ci∫t2t1［-2Cif(t)φi(t)+C2iφ2i(t)］dt=0 交换微分与积分次序，得 -2∫t2t1f(t)φi(t)dt+2Ci∫t2t1φ2i(t)dt=0 于是，可求得 Ci=∫t2t1f(t)φi(t)dt∫t2t1φ2i(t)dt=1Ki∫t2t1f(t)φi(t)dt(3113) 式中， Ki=∫t2t1φ2i(t)dt(3114) 这就是在满足最小均方误差的条件下，式(3110)中系数Ci的表示式。此时，f(t)能获得最佳近似。 当按式(3113)选取系数Ci时，将Ci代入式(3110)，可以求得最佳近似条件下的均方误差为 ε2=1t2-t1∫t2t1f(t)-∑nj=1Cjφj(t)2dt =1t2-t1∫t2t1f2(t)dt+∑nj=1C2j∫t2t1φ2j(t)dt-2∑nj=1Cj∫t2t1f(t)φj(t)dt 考虑到Kj=∫t2t1φ2j(t)dt，Cj=1Kj∫t2t1f(t)φj(t)dt，得 ε2=1t2-t1∫t2t1f2(t)dt+∑nj=1C2jKj-2∑nj=1C2jKj =1t2-t1∫t2t1f2(t)dt-∑nj=1C2jKj(3115) 利用式(3115)可直接求得在给定项数n的条件下的最小均方误差。 由均方误差的定义式(3111)可见，由于函数平方后再积分，因而ε2不可能为负，即恒有ε2≥0。由式(3115)可见，在用正交函数去近似(或逼真)f(t)时，所取的项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时，ε2=0。由式(3115)可得，如ε2=0，则有 ∫t2t1f2(t)dt=∑+∞j=1C2jKj(3116) 式(3116)称为帕斯瓦尔(Parseval)方程。 如果信号f(t)是电压或电流，那么，式(3116)等号左端就是在(t1,t2)区间信号的能量，等号右端是在(t1,t2)区间信号各正交分量的能量之和。式(3116)表明，在区间(t1,t2)信号所含能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量的总和。与此相反，如果信号在正交函数集中的各正交分量能量总和小于信号本身的能量，这时式(3116)不成立，则该正交函数集是不完备的。 这样，当n→+∞时，均方误差ε2=0，式(3110)可写为 f(t)=∑+∞j=1Cjφj(t)(3117) 即函数f(t)在区间(t1,t2)内可分解为无穷多项正交函数之和。 2. 周期信号的分解 设有周期信号f(t),它的周期是T，角频率Ω=2πF=2πT，它可以分解为 f(t)=a02+a1cos(Ωt)+a2cos(2Ωt)+…+b1sin(Ωt)+b2sin(2Ωt)+… =a02+∑+∞n=1ancos(nΩt)+∑+∞n=1bnsin(nΩt)(3118) 式(3118)中的系数an和bn称为傅里叶系数。为简便，式(317)的积分区间(t0,t0+T)取为-T2,T2或(0,T)。考虑到正、余弦函数的正交条件，由式(317)可得傅里叶系数 an=2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt，n=0,1,2,…(3119) bn=2T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt，n=1,2,…(3120) 式中，T为函数f(t)的周期，Ω=2πT为角频率。由式(3119)和式(3120)可见，傅里叶系数an和bn都是n(或nΩ)的函数，其中an是n的偶函数，即有a-n=an； 而bn是n(或nΩ)的奇函数，即有b-n=-bn。 将式(3118)中同频率项合并，可写成如下形式： f(t)=A02+A1cos(Ωt+φ1)+A2cos(2Ωt+φ2)+… =A02+∑+∞n=1Ancos(nΩt+φn)(3121) 式中， A0=a0 An=a2n+b2n，n=1,2,… φn=-arctanbnan，n=1,2,…(3122) 如将式(3121)的形式化为式(3118)的形式，其系数之间的关系为 a0=A0 an=Ancosφn，n=1,2,… bn=-Ansinφn，n=1,2,…(3123) 由式(3122)可见，An是n(或nΩ)的偶函数，即有A-n=An； 而φn是n(或nΩ)的奇函数，即有φ-n=-φn。 式(3121)表明，任何满足狄利克雷条件的周期函数可分解为直流和许多余弦(或正弦)分量。其中，第一项A02是常数项，是周期信号中所包含的直流分量； 第二项A1cos(Ωt+φ1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，φ1是基波初始相角； 第三项A2cos(2Ωt+φ2)称为二次谐波，其频率是基波频率的2倍，A2是二次谐波振幅， 图313例31图 φ2是其初始相角。以此类推，还有三次、四次等谐波。因此，式(3121)表明，周期信号可以分解为各次谐波分量之和。 例31将图313所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。 解： 由式(3119)和式(3120)，可得 an=2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt =2T∫0-T2(-1)cos(nΩt)dt+2T∫T20(1)cos(nΩt)dt =2T1nΩ［-sin(nΩt)］0-T2+2T1nΩ［sin(nΩt)］T20 考虑到Ω=2πT，可得 an=0 bn=2T∫0-T2-sin(nΩt)dt+2T∫T20sin(nΩt)dt =2T1nΩcos(nΩt)0-T2+2T1nΩ［-cos(nΩt)］T20 =2nπ［1-cos(nπ)］=0,n=2,4,6,… 4nπ,n=1,3,5,… 将它们代入式(3118)，得到如图313所示信号的傅里叶级数展开式为 f(t)=4πsin(Ωt)+13sin(3Ωt)+15sin(5Ωt)+…+1nsin(nΩt)+…，n=1,3,5,…(3124) 它只含有一次、三次、五次等奇次谐波分量。 这里顺便计算用有限项级数逼近f(t)引起的均方误差。根据式(3115)，对于本例，考虑到t2=T2，t1=-T2，Kj=T2，均方误差为 ε2=1T∫T2-T2f2(t)dt-∑nj=1b2jT2=1T∫T2-T2dt-T2∑nj=1b2j =1-12∑nj=1b2j(3125) 当只取基波时， ε21=1-124π2=0.189 当取基波和三次谐波时， ε22=1-124π2-1243π2=0.0994 当取一次、三次、五次谐波时， ε22=1-124π2-1243π2-1245π2=0.0669 当取一次、三次、五次、七次谐波时， ε22=1-124π2-1243π2-1245π2-1247π2=0.0504 图314画出了一个周期的方波组成情况，其中图314(a)为基波，图314(b)为基波+三次谐波，图314(c)为基波+三次谐波+五次谐波，图314(d)为基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波。由图314可见，当它包含的谐波分量越多时，波形越接近于原来的方波信号f(t)(如图314中的虚线所示)，其均方误差越小。可以看出，频率较低的谐波其振幅较大，它们组成方波的主体，而频率较高的高次谐波振幅较小，它们主要影响波形的细节。波形中所含的高次谐波越多，波形的边缘越陡峭。 图314方波的组成 由图314还可以看到，合成波形所包含的谐波分量越多时，除间断点附近外，它越接近于原方波信号。在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰越接近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。可以证明，即使合成波形所含谐波次数n→+∞时，在间断点处仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象。在傅里叶级数的项数取得很大时，间断点处尖峰下的面积非常小以至于趋于零，因而在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。 视频讲解 3.1.2奇、偶函数的傅里叶级数 若给定的函数f(t)具有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算较为简便。 1. f(t)为偶函数 若函数f(t)是时间t的偶函数，即f(-t)=f(t)，则波形对称于纵坐标轴，如图315所示。 图315偶函数 当f(t)是t的偶函数时，式(3119)、式(3120)中被积函数f(t)cos(nΩt)是t的偶函数，而f(t)sin(nΩt)是t的奇函数。当被积函数为偶函数时，在对称区间-T2,T2的积分等于其半区间0,T2积分的2倍； 而当被积函数为奇函数时，在对称区间的积分为零，故由式(3119)、式(3120),得 an=4T∫T20f(t)cos(nΩt)dt, bn=0,n=0,1,2,…(3126) 进而由式(3122)，有 An=|an| φn=mπ,m为整数n=0,1,2,…(3127) 2. f(t)为奇函数 若函数f(t)是时间t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则波形对称于原点，如图316所示。 图316奇函数 这时有 an=0 bn=4T∫T20f(t)sin(nΩt)dtn=0,1,2,…(3128) 进而有 An=|bn| φn=(2m+1)π2,m为整数n=0,1,2,…(3129) 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t)=fod(t)+fev(t) 式中，fod(t)表示奇函数部分，fev(t)表示偶函数部分。由于 f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t) 所以有 fod(t)=f(t)-f(-t)2fev(t)=f(t)+f(-t)2(3130) 需要注意，某函数是否为奇(或偶)函数不仅与周期函数f(t)的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关。 3.1.3傅里叶级数的指数形式 三角函数形式的傅里叶级数含义比较明确，但运算不方便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 由于 cosx=ejx+e-jx2 所以式(3121)可写为 f(t)=A02+∑+∞n=1An2［ej(nΩt+φn)+e-j(nΩt+φn)］ =A02+12∑+∞n=1AnejφnejnΩt+12∑+∞n=1Ane-jφne-jnΩt 将上式第三项中的n用-n代换，并考虑到An是n的偶函数，即A-n=An； φn是n的奇函数，即φ-n=-φn，则上式可写为 f(t)=A02+12∑+∞n=1AnejφnejnΩt+12∑-∞n=-1A-ne-jφ-nejnΩt =A02+12∑+∞n=1AnejφnejnΩt+12∑-∞n=-1AnejφnejnΩt 如将上式中的A0写成A0ejφnej0Ωt(其中,φn=0)，则上式可以写为 f(t)=12∑+∞n=-∞AnejφnejnΩt(3131) 令复数量12Anejφn=|Fn|ejφn=Fn，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数，其模为|Fn|，相角为φn，则得傅里叶级数的指数形式为 f(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt(3132) 根据式(3123)，傅里叶系数 Fn=12Anejφn=12［Ancosφn+jAnsinφn］=12(an-jbn)(3133) 将式(3119)和式(3120)代入式(3133)，得 Fn=1T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt-j1T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt =1T∫T2-T2f(t)［cos(nΩt)dt-jsin(nΩt)］dt =1T∫T2-T2f(t)e-jnΩtdt，n=0,±1,±2,…(3134) 这就是求指数形式傅里叶级数的复系数Fn的公式。 式(3132)表明，任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号(ejnΩt)之和，其各分量的复数幅度(或相量)为Fn。 3.1.4典型周期信号的傅里叶级数 先讨论一些常用周期信号的傅里叶级数。 1. 周期矩形脉冲信号 设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为1，重复周期为T，如图317所示。 图317周期矩形信号的波形 信号在一个周期内-T2≤t≤T2的表示式为 f(t)=ut+τ2-ut-τ2 经计算，可以把周期矩形信号f(t)展开成三角形式的傅里叶级数 f(t)=a0+∑+∞n=1［ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)］ 可以求出各系数，其中直流分量 a0=1T∫T2-T2f(t)dt=1T∫τ2-τ2dt=τT(3135) 余弦分量的幅度为 an=2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt=2T∫τ2-τ2cosn2πTtdt=2nπsinnπτT 或写成 an=2τTSanπτT=τΩπSanΩτ2(3136) 其中，Sa为采样函数，且 SanπτT=sinnπτTnπτT 由于f(t)是偶函数，可得bn=0。这样，周期矩形信号的三角形式的傅里叶级数为 f(t)=τT+2τT∑+∞n=1SanπτTcos(nΩt) 或写成 f(t)=τT+τΩπ∑+∞n=1SanΩτ2cos(nΩt)(3137) 若将f(t)展开成指数形式的傅里叶级数，可得 Fn=1T∫τ2-τ2e-jnΩtdt=τTSanΩτ2 所以 f(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt=τT∑+∞n=-∞SanΩτ2ejnΩt(3138) 对称方波信号如图318所示，对称方波信号是矩形的一种特殊情况，两者相比较，对称方波信号有以下两个特点。 (1) 它是正负交替的信号，其直流分量(a0)等于零。 (2) 它的脉冲恰等于周期的一半，即τ=T2。 这样，可以直接得到方波的傅里叶级数，即 f(t)=2πcos(Ωt)-13cos(3Ωt)+15cos(5Ωt)-… =2π∑+∞n=11nsinnπ2cos(nΩt)(3139) 或写成 f(t)=2πcos(Ωt)+13cos(3Ωt+π)+15cos(5Ωt)+… 其波形如图318所示。 对称方波的傅里叶级数只包含基波和奇次谐波，也称奇谐函数。 2. 周期锯齿脉冲信号 周期锯齿脉冲信号如图319所示，显然它是奇函数，因而an=0，并可求出傅里叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数为 f(t)=1πsin(Ωt)-12sin(2Ωt)+13sin(3Ωt)-14sin(4Ωt)+… =1π∑+∞n=1(-1)n+11nsin(nΩt)(3140) 周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1n的规律收敛。 图318对称方波信号的波形 图319周期锯齿脉冲信号的波形 3. 周期三角脉冲信号 周期三角脉冲信号如图3110所示，显然它是偶函数，因而bn=0，可以求出傅里叶级数的系数an。这样，便可得到该信号的傅里叶级数为 f(t)=12+4π2cos(Ωt)+132cos(3Ωt)+152cos(5Ωt)+… =12+4π2∑+∞n=11n2sin2nπ2cos(nΩt)(3141) 周期三角脉冲的频谱只包含直流、基波和奇次波频率分量，谐波幅度以1n2的规律收敛。 4. 周期半波余弦信号 周期半波余弦信号如图3111所示。显然它是偶函数，因而bn=0，可以求出傅里叶级数的系数an。这样便可得到该信号的傅里叶级数为 f(t)=1π+12cos(Ωt)+43πcos(2Ωt)-415πcos(4Ωt)+… =1π-2π∑+∞n=11(n2-1)cosnπ2cos(nΩt)(3142) 其中， Ω=2πT 周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波和偶次谐波分量。谐波的幅度以1n2的规律收敛。 图3110周期三角脉冲信号的波形 图3111周期半波余弦信号的波形 5. 周期全波余弦信号 令余弦信号为 f1(t)=cos(Ωt) 其中， Ω=2πT 此时，全波余弦信号f(t)为 f(t)=|f1(t)|=|cos(Ωt)| 由图3112可见，f(t)周期是f1(t)的一半。因为f(t)是偶函数，所以bn=0，可以求出傅里叶级数的系数a0~an。这样，便可得到周期全波余弦信号的傅里叶级数为 f(t)=2π+43πcos(Ω1t)-415πcos(2Ω1t)+435πcos(3Ω1t)-… =2π+43π13cos(2Ωt)-115πcos(4Ωt)+135πcos(6Ωt)-… =2π+4π∑+∞n=1(-1)n+11(4n2-1)cos(2nΩt)(3143) 图3112周期全波余弦信号的波形 可见，周期全波余弦信号的频谱包含直流分量及Ω1的基波和各次谐波分量，或者说，只包含直流分量及Ω的偶次谐波分量。谐波幅度以1n2的规律收敛。 3.1.5MATLAB实现 各种周期信号的傅里叶级数展开可以运用MATLAB来实现。 例32周期矩形脉冲信号。 解： 对于周期为4，脉宽为2，幅度为1的周期信号，首先建立fourier.m文件函数，其MATLAB程序如下。 function F=fourier syms x; T=input('T='); n=10; t=0:0.001:16; f=max(square(pi*0.5*t,50),0); plot(t,f); grid on; hold on; axis(［0 4*pi -0.5 1.5］); A0=1/2; F=0; Fx=0; for i=1:n As=int(2*cos(2*pi*i*x/T)/T,x,0,T/2); Bs=int(2*sin(2*pi*i*x/T)/T,x,0,T/2); F=F+As*cos(2*pi*i*t/T)+Bs*sin(2*pi*i*t/T); Fx=Fx+As*cos(2*pi*i*x/T)+Bs*sin(2*pi*i*x/T); end F=F+A0; Fx=Fx+A0; Fx plot(t,F) 单击运行fourier.m文件函数，在命令行窗口中输入T=4，输出为 Fx =(2*sin((pi*x)/2))/pi + (2*sin((3*pi*x)/2))/(3*pi) + (2*sin((5*pi*x)/2))/(5*pi) + (2*sin((7*pi*x)/2))/(7*pi) + (2*sin((9*pi*x)/2))/(9*pi) + 1/2 即 Fx=2sinπx2π+2sin3πx23π+2sin5πx25π+2sin7πx27π+2sin9πx29π+12 则得到的波形如图3113所示。 图3113周期矩形脉冲信号傅里叶级数 视频讲解 3.2周期信号的频谱 3.2.1周期信号的频谱概述 周期信号可以分解成一系列正弦信号或虚指数信号之和，即 f(t)=A02+∑+∞n=1Ancos(nΩt+φn)(321) 或写成 f(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt(322) 其中，Fn=12Anejφn=|Fn|ejφn。为了直观地表示信号所含各分量的振幅，以频率(或角频率)为横坐标，以各谐波的振幅An或虚指数函数的幅度|Fn|为纵坐标，可画出如图321(a)、(b)所示的线图，称为幅度(振幅)频谱，或称幅度谱。图321中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线(见图321中虚线)，称为包络线，它反映了各分量幅度随频率变化的情况。 需要说明的是，在图321(a)中，信号分解为各余弦分量，图中的每一条谱线表示该次谐波的振幅(称为单边幅度谱)，而在图321(b)中，信号分解为各虚指数函数，图中的每一条谱线表示各分量的幅度|Fn|称为双边幅度谱，其中，|Fn|=F-n=12An。 图321周期信号的频谱 类似地，也可画出各谐波初相角φn与频率(或角频率)的线图，如图321(c)、(d)所示，称为相位频谱。如果Fn为实数，那么可用Fn的正负来表示φn为0或π。 由图321可见，周期信号的谱线只出现在频率为0，Ω，2Ω，…的离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。 3.2.2周期矩形脉冲信号的频谱 设有一幅度为1，脉冲宽度为τ的周期性矩形脉冲，其周期为T，如图317可以求得其傅里叶系数，见式(3138)。 图322中画出了T=10τ的周期性矩形脉冲的频谱，由于本例中的Fn为实数，其相位为0或π，故没有另外画出其相位谱。 图322周期性矩形脉冲的频谱 由图322可见，周期性矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共同特点，它们的频谱都是离散的。它仅含有ω=nΩ各分量，其相邻两谱线的间隔是ΩΩ=2πT，脉冲周期T越长，谱线间隔越小，频谱越稠密； 反之，则越稀疏。 对于周期矩形脉冲而言，其各谱线的幅度按包络线Saωτ2的规律变化。在ωτ2=mπ(m=±1,±2,…)各处，即ω=2mπτ的各处包络为零，其相应的谱线，即相应的频率分量也等于零。 周期矩形脉信号包括无限多条谱线，也就是说，它可分为无限多个频率分量。实际上，由于各分量的幅度随频率增高而减小，其信号的能量主要集中在第一个零点以内，在允许一定失真的条件下，只需要传送频率较低的那些分量就够了。通常把0≤f≤1τ0≤ω<2πτ这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的频带宽度或信号的带宽，用符号ΔF表示，即周期矩形脉冲信号频带宽度(带宽)为 ΔF=1τ(323) 图323画出了周期相同、脉冲宽度不同的信号及其频谱。由图323可见，由于周期相同，因而相邻谱线的间隔相同； 脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零点的频率越高，即信号带宽越宽，频带内所含的分量越多。可见，信号的频带宽度与脉冲宽度成反比。由式(323)可见，信号周期不变而脉冲宽度减小时，频谱的幅度也相应地减小，图323中未按比例画出这种关系。 图323脉冲宽度与频谱的关系 图324画出了脉冲宽度相同而周期不同的信号及其频谱。可见，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期增长时，相邻谱线的间隔减小，频谱变密。如果周期无限增长，那么，相邻谱线的间隔将趋于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。 图324周期与频谱的关系 随着周期的增长，各谐波分量的幅度也相应减小，图324为示意图，未按比例画出这种关系。 3.2.3周期信号的功率 周期信号是功率信号。为了方便，研究周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率，称为归一化平均功率。如果周期信号f(t)是实数，那么无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率都为 P=1T∫T2-T2f2(t)dt(324) 将f(t)的傅里叶级数展开式代入式(324)，得 P=1T∫T2-T2A02+∑+∞n=1Ancos(nΩt+φn)2dt(325) 将式(325)中的被积函数展开，在展开式中具有cos(nΩt+φn)形式的余弦项，其中一个周期内的积分等于零； 具有Ancos(nΩt+φn)Amcos(mΩt+φm)形式的项，当m≠n时，其积分值为零，对于m=n的项，其积分值为T2A2n，因此，式(325)的积分为 P=1T∫T2-T2f2(t)dt=A022+∑+∞n=112A2n(326) 式(326)等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的功率之和。式(326)表明，周期信号的功率等于直流功率与各次谐波功率之和。由于|Fn|是n的偶函数，且|Fn|=12An，式(326)可改为 P=1T∫T2-T2f2(t)dt=|F0|2+2∑+∞n=1|Fn|2=∑+∞n=-∞|Fn|2(327) 式(326)、式(327)称为帕斯瓦尔恒等式。帕斯瓦尔恒等式表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。 例33试计算图325所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。 图325例33图 解： 由图325(a)可求得信号f(t)的功率 P=1T∫T2-T2f2(t)dt=11∫0.1-0.1(1)2dt=0.2 将f(t)展开为指数形式傅里叶级数 f(t)=∑n=+∞n=-∞FnejnΩt 由式(3138)知，其傅里叶系数 Fn=τTSanπτT=0.2Sa(0.2nπ) 其频谱如图325(b)所示，频谱的第一个零点在n=5，这时, ω=5Ω=10πT=10πrad/s 根据式(327)，在频谱第一个零点内的各分量的功率和为 P10π=|F0|2+2∑5n=1|Fn|2 将|Fn|代入，得 P10π=(0.2)2+2(0.2)2［Sa2(0.2π)+Sa2(0.4π)+Sa2(0.6π)+Sa2(0.8π)+Sa2(π)］ =0.04+0.08(0.8751+0.5728+0.2546+0.05470+0) =0.1806 P10πP=0.18060.2=90.3% 即频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率的90.3%。 3.2.4MATLAB实现 实现周期矩形脉冲信号频谱分析的程序如下。 t=-10:0.01:10; y=0.5*(square(0.4*pi*(t+0.5),20)+1); plot(t,y); grid; axis(［-10,10,-0.1,1.2］); title('矩形脉冲周期信号'),xlabel('t'),ylabel('f(t)'); n=-30:30; e=1;tao=2; zq=5; w=(2*pi)/zq; xr=(e*tao/zq).*sinc(n.*tao./zq); xi=zeros(61,1); figure(2) subplot(2,1,1),stem(n,xr,'.'); grid; title('矩形脉冲周期信号频谱： 实部'),xlabel('k'),ylabel('Real Part of X(k)'); subplot(2,1,2),stem(n,xi,'.');grid; title('矩形脉冲周期信号频谱： 虚部'),xlabel('k'),ylabel('Imaginary Part of X(k)'); n=-30:30; e=1; tao=2; zq=5; w=(2*pi)/zq; x=abs((e*tao/zq).*sinc(n.*tao./zq)); y=atan2(0,(e*tao/zq).*sinc(n.*tao./zq)); figure(3) subplot(2,1,1),stem(n,x,'.');grid; xlabel('k'),ylabel('Magnitude Part of X(k)'); title('矩形脉冲周期信号频谱： 幅值'); subplot(2,1,2),stem(n,y,'.');grid; xlabel('k'),ylabel('Phase Part of X(k)'); title('矩形脉冲周期信号频谱： 相位'); 执行该程序，运行结果如图326~图328所示。 图326矩形脉冲周期信号波形 图327矩形脉冲周期信号频谱 图328矩形脉冲周期信号频谱的幅值与相位 视频讲解 3.3非周期信号的频谱 3.3.1傅里叶变换 以周期矩形信号为例，如图331所示，当周期T增大时，谱线间隔Ω=2πT变小，若周期T趋于无穷大，则谱线间隔趋于无穷小，此时，可以将周期信号视为非周期信号，离散频谱变为连续频谱。 图331T取不同值时矩形周期信号的频谱比较 周期信号f(t)的复指数形式傅里叶级数为 f(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt 其傅里叶系数为 Fn=1T∫Tf(t)e-jnΩtdt 可见，周期T趋于无穷大时，频谱的谱线长度Fn趋于零，但从物理意义上考虑，无论信号怎样分解，其所含能量是不变的，所以无论周期增大到什么程度，频谱依然存在。为了表达非周期信号的频谱，下面引入“频谱密度函数”的概念。 令 F(jω)=limT→+∞Fn1/T=limT→+∞ ∫Tf(t)e-jnΩtdt(331) 当T趋于无穷大时，F(jω)不趋于零而趋于有限值。在上式中FnΩ表示单位频带的频谱值，即频谱密度的概念。因此，F(jω)称为原函数f(t)的频谱密度函数，或简称为频谱函数。于是 F(jω)=limT→+∞ ∫T2-T2f(t)e-jnΩtdt 即 F(jω)=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt(332) 同样，考虑当T趋于无穷大的情况下，Ω趋于无穷小，取其为dω，而1T=Ω2π趋于dω2π。nΩ是变量，当Ω趋于无穷小时它就称为连续变量，取为ω，同时求和改为积分。即 Δ(nΩ)→dω nΩ→ω ∑+∞-∞→∫+∞-∞ 于是，傅里叶级数变成积分形式，即 f(t)=12π∫+∞-∞F(jω)ejωtdω(333) 这样，由周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱的表达式如式(332)和式(333)所示，此过程称为傅里叶变换。通常，式(332)称为傅里叶正变换，即F(jω)是f(t)傅里叶变换； 式(333)称为傅里叶逆(反)变换，即f(t)是F(jω)的原函数或傅里叶逆变换。 傅里叶正变换 F(jω)=F［f(t)］=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt 傅里叶逆变换 f(t)=F-1［F(jω)］=12π∫+∞-∞F(jω)ejωtdω 式中，F(jω)是f(t)的频谱函数，一般为复函数，可以写成 F(jω)=|F(jω)|ejφ(ω)=R(ω)+jX(ω) 其中，|F(jω)|是F(jω)的模，代表信号中各频率分量的相对大小； φ(ω)是F(jω)的相位函数，代表信号中各频率分量之间的相位关系。|F(jω)|~ω与φ(ω)~ω曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率ω的连续函数，其形状与相应的周期信号频谱包络线相同。 与周期信号相同，可将式(333)改写为三角函数形式，即 f(t)=12π∫+∞-∞F(jω)ejωtdω=12π∫+∞-∞|F(jω)|ej［ωt+φ(ω)］dω =12π∫+∞-∞|F(jω)|cos［ωt+φ(ω)］dω+j2π∫+∞-∞|F(jω)|sin［ωt+φ(ω)］dω 当f(t)是实函数时，由式(332)可知，F(jω)和φ(ω)分别为频率ω的偶函数与奇函数，则上式化简为 f(t)=12π∫+∞-∞|F(jω)|cos［ωt+φ(ω)］dω =1π∫+∞0F(jω)|cos［ωt+φ(ω)］dω 显然，非周期信号和周期信号一样，也可以分解为许多不同频率的余弦分量。它包含了频率从零至无限大的一切频率分量。 与周期信号一样，从理论上讲，上述傅里叶变换也必须满足一定条件。这种条件类似于狄利克雷条件，不同之处在于非周期信号的时间范围由一个周期变成无限的区间，即傅里叶变换存在的充分条件是，在无限区间内满足绝对可积条件，即 ∫+∞-∞|f(t)|dt<+∞ 大部分常用的能量信号都满足上述条件，都存在傅里叶变换。而很多信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等，虽然不满足绝对可积条件，但在变换过程中借助奇异函数(如冲激函数)就能使这些不满足条件的信号存在傅里叶变换。这样，就有可能把傅里叶级数和傅里叶变换结合在一起。 3.3.2典型非周期信号的傅里叶变换 1. 单边指数信号 已知单边指数信号的表示式为 f(t)=e-αtu(t),α>0(334) F(jω)=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt=∫+∞0e-αte-jωtdt=1α+jω(335) 幅度频谱为 |F(jω)|=1α2+ω2(336) 相位频谱为 φ(ω)=-arctanωα(337) 单边指数信号的波形、幅度频谱和相位频谱如图332所示。 图332单边指数信号的波形及频谱 2. 偶双边指数信号 已知双边偶指数信号的表示式为 f(t)=e-α|t|,α>0(338) F(jω)=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt =∫0-∞eαte-jωtdt+∫+∞0e-αte-jωtdt =1α-jωe(α-jω)t0-∞-1α+jωe-(α+jω)t+∞0 =2αα2+ω2(339) 幅度频谱为 |F(jω)|=2αα2+ω2(3310) 相位频谱为 图333双边偶指数信号的波形及频谱 φ(ω)=0(3311) 双边偶指数信号的波形和幅度频谱如图333所示。 3. 奇双边指数信号 例34求图334(a)所示信号的频谱函数。 图334例34图 解： 图334(a)的信号可写为 f(t)=-eαt,t<0 e-αt,t>0(其中α>0) 由式(339)可得其频谱函数为 F(jω)=-∫0-∞eαte-jωtdt+∫+∞0e-αte-jωtdt =-1α-jω+1α+jω=-j2ωα2+ω2 F(jω)的实部R(ω)和虚部X(ω)分别为 R(ω)=0 X(ω)=-2ωα2+ω2(3312) X(ω)曲线如图334(b)所示。 由上可见，例34中f(t)的相位频谱等于3π2(当ω>0时)或π2(当ω<0时)，因而只用一幅图就可表明其频谱特性。 4. 矩形脉冲信号 已知矩形脉冲信号的表达式为 f(t)=ut+τ2-ut-τ2 其中，脉冲幅度为1，τ为脉冲宽度。矩形脉冲信号的傅里叶变换为 F(jω)=∫τ2-τ2e-jωtdt=1-jωe-jωtτ2-τ2 =τωτ2ejωτ2-e-jωτ22j=τsinωτ2ωτ2=τSaωτ2 所以，矩形脉冲信号的频谱为 F(jω)=τSaωτ2(3313) 因此，矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱分别为 |F(jω)|=τSaωτ2 φ(ω)=0,4nπτ<|ω|<2(2n+1)πτ ±π,2(2n+1)πτ<|ω|<2(2n+2)πτn=0,1,2,… 因为F(jω)是实函数，通常用一条F(jω)曲线同时表示幅度谱F(ω)和相位谱φ(ω)，如图335所示。 图335矩形脉冲信号的波形及频谱 由以上分析可见，虽然矩形脉冲信号在时域集中于有限的范围内，然而它的频谱却以Saωτ2的规律变化，分布在无限宽的频率范围上，但是其信号能量主要集中于f=0~1τ范围内。因而，通常认为这种信号所占有的频率范围(频带)B近似为1τ，即 B=1τ(3314) 5. 升余弦脉冲信号 升余弦脉冲信号的表示式为 f(t)=121+cosπtτ,0≤|t|≤τ(3315) 其波形如图336(a)所示。 图336升余弦脉冲信号的波形及其频谱 因为 F(jω)=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt=∫τ-τ121+cosπtτe-jωtdt =12∫τ-τe-jωtdt+14∫τ-τejπτte-jωtdt+14∫τ-τe-jπτte-jωtdt =τSa(ωτ)+τ2Saω-πττ+τ2Saω+πττ 显然F(jω)是由3项构成的，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了ω=πτ。把上式化简，则可以得到 F(jω)=sin(ωτ)ω1-ωτπ2=τSa(ωτ)1-ωτπ2(3316) 其频谱如图336(b)所示。 由上可见，升余弦脉冲信号的频谱比矩形脉冲的频谱更加集中。对于半幅度宽度为τ的升余弦脉冲信号，它的绝大部分能量集中在ω为0~2πτ即f为0~1τ范围内。 视频讲解 3.3.3奇异函数傅里叶变换 1. 冲激函数 单位冲激函数δ(t)的傅里叶变换F(jω)为 F(jω)=F［f(t)］=∫+∞-∞δ(t)e-jωtdt=1 可见，单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀分布的。因此，这种频谱通常称为“均匀谱”或“白色谱”，如图337所示。 图337单位冲激函数及其频谱 2. 直流信号 直流信号的表达式为 f(t)=1，-∞0 虽然符号函数不满足狄利克雷条件，但其傅里叶变换存在。因为 sgn(t)= limα→0 sgn(t)e-α|t| 因此可以借助符号函数与双边指数衰减函数相乘，先得乘积信号的频谱，然后取极限，从而得到符号函数的频谱。 下面先求乘积信号f1(t)=sgn(t)e-α|t|的频谱F1(jω)。因为 F1(jω)=∫+∞-∞f1(t)e-jωtdt=∫0-∞-eαte-jωtdt+∫+∞0e-αte-jωtdt =-1α-jω+1α+jω=-j2ωα2+ω2 所以，符号函数的频谱为 F(jω)= limα→0F1(jω)= limα→0-j2ωα2+ω2=2jω(3320) 幅度频谱 |F(jω)|=2|ω|=2sgn(ω)ω(3321) 相位频谱 φ(ω)=π/2,ω<0 -π/2,ω>0=-π2sgn(ω)(3322) 符号函数的幅度频谱和相位频谱如图339所示。 图339符号函数的幅度频谱和相位频谱 4. 单位阶跃信号 单位阶跃信号也不满足狄利克雷条件，但其傅里叶变换同样存在。可以利用符号函数和直流信号的频谱来求单位阶跃信号的频谱。单位阶跃信号可用直流信号和符号函数表示为 u(t)=12［u(t)+u(-t)］+12［u(t)-u(-t)］=12+12sgn(t) 因此，单位阶跃信号的频谱函数为 F［u(t)］=πδ(ω)+1jω(3323) 单位阶跃信号的幅度频谱和相位频谱如图3310所示。 图3310阶跃信号的幅度频谱和相位频谱 熟悉上述常用信号的傅里叶变换对进一步掌握信号与系统的频域分析将会带来很大的方便。 表331列出了常用傅里叶变换的形式。 表331部分常用傅里叶变换对 编号名称f(t)F(jω) 1冲激函数δ(t)1 2直流信号12πδ(ω) 3矩形脉冲1,|t|<τ20,|t|>τ2τSaωτ2 4采样脉冲Sa(ωct)πωc，|ω|<ωc0，|ω|>ωc 5单边指数脉冲e-αtu(t)(α>0)1α+jω 6双边指数脉冲e-α|t|u(t)(α>0)2αα2+ω2 7阶跃函数u(t)πδ(ω)+1jω 8符号函数sgn=1，t>0-1，t<02jω 9余弦函数cos(ω0t)π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］ 10正弦函数sin(ω0t)jπ［δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)］ 11复指数函数ejω0t2πδ(ω-ω0) 12线性信号tu(t)jπδ′(ω)-1ω2 13冲激序列δT(t)=∑+∞n=-∞δ(t-nT1)ω1∑+∞n=-∞δ(ω-nω1)ω1=2πT1 3.3.4MATLAB实现 例35绘制信号f(t)=u(t+1)-u(t-1)的频谱图。 解： 编写的程序如下。 R=0.02; t=-2:R:2; f=heaviside(t+1)-heaviside(t-1); W1=2*pi*5 N=500;k=0:N;W=k*W1/N; F=f*exp(-j*t'*W)*R; F=real(F); W=［-fliplr(W),W(2:501)］; F=［fliplr(F),F(2:501)］; subplot(2,1,1);plot(t,f); xlabel('t');ylabel('f(t)'); title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); subplot(2,1,2);plot(W,F); xlabel('w');ylabel('F(w)'); title('f(t)的傅里叶变换F(w)'); 执行该程序，运行结果如图3311所示。 图3311例35信号的幅度频谱 3.4傅里叶变换的性质 3.4.1傅里叶变换的性质概述 时间函数(信号)f(t)可以用频谱函数(频谱密度)F(jω)表示，或者反之。也就是说，任一信号可以有两种描述方法，即时域的描述和频域的描述。本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一域中所引起的效应。譬如，在时域中信号延迟一定的时间，它的频谱将发生何种变化，等等。 为简便计，用f(t)F(jω)表示时域与频域之间的对应关系，它们二者之间的关系为 F(jω)=F［f(t)］=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt(341) f(t)=F-1［F(jω)］=12π∫+∞-∞F(jω)ejωtdω(342) 1. 线性 若 f1(t)F1(jω)，f2(t)F2(jω) 则对任意常数a1和a2，有 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(jω)+a2F2(jω)(343) 以上关系很容易证明，这里从略。傅里叶变换的上述线性性质不难推广到有多个信号的情况。 线性性质有两个含义。 (1) 齐次性： 它表明若信号f(t)乘以常数a(即信号增大a倍)，则其频谱函数也乘以相同的常数a(即其频谱函数也增大a倍)。 (2) 叠加性： 它表明几个信号之和的频谱函数等于各个信号的频谱函数之和。 在求单位阶跃函数u(t)的频谱函数时已经利用了线性性质。 2. 奇偶性 通常遇到的实际信号都是实信号，即它们是时间的实函数。现在研究时间函数f(t)与其频谱F(jω)的奇偶虚实关系。 如果f(t)是时间t的实函数，那么根据e-jωt=cos(ωt)-jsin(ωt)，式(341)可写为 F(jω)=F［f(t)］=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt=∫+∞-∞f(t)cos(ωt)dt-j∫+∞-∞f(t)sin(ωt)dt =R(ω)+jX(ω)=|F(jω)|ejφ(ω)(344) 式中，频谱函数的实部和虚部分别为 R(ω)=∫+∞-∞f(t)cos(ωt)dt X(ω)=-∫+∞-∞f(t)sin(ωt)dt(345) 频谱函数的模和相角分别为 |F(jω)|=R(ω)2+X(ω)2 φ(ω)=arctanX(ω)R(ω)(346) 由式(345)可见，由于cos(-ωt)=cos(ωt)，sin(-ωt)=-sin(ωt)，故若f(t)是时间t的实函数，则频谱函数F(jω)的实部R(ω)是角频率ω的偶函数，虚部X(ω)是ω的奇函数。进而由式(346)可知，|F(jω)|是ω的偶函数，而φ(ω)是ω的奇函数。 由式(345)还可以看出，如果f(t)是时间t的实函数并且是偶函数，则f(t)sin(ωt)是t的奇函数，因此式(344)中第二个积分为零，即X(ω)=0； 而f(t)cos(ωt)是t的偶函数，于是有 F(jω)=R(ω)=∫+∞-∞f(t)cos(ωt)dt=2∫+∞0f(t)cos(ωt)dt 这时频谱函数F(jω)等于R(ω)，它是ω的实函数和偶函数。 如果f(t)是时间t的实函数并且是奇函数，则f(t)cos(ωt)是t的奇函数，从而式(345)中的第一个积分为零，即R(ω)=0； 而f(t)sin(ωt)是t的偶函数，于是有 F(jω)=jX(ω)=-j∫+∞-∞f(t)sin(ωt)dt=-j2∫+∞0f(t)sin(ωt)dt 这时频谱函数F(jω)等于jX(ω)，它是ω的虚函数和奇函数。 此外，由式(341)还可求得f(-t)的傅里叶变换为 F［f(-t)］=∫+∞-∞f(-t)e-jωtdt 令τ=-t，得 F［f(-t)］=∫+∞-∞f(τ)ejωτd(-τ)=∫+∞-∞f(τ)ejωτdτ=F(-jω) 考虑到R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，故有 F(-jω)=R(-ω)+jX(-ω)=R(ω)-jX(ω)=F*(jω) 式中，F*(jω)是F(jω)的共轭复函数。于是f(-t)的傅里叶变换为 F［f(-t)］=F(-jω)=F*(jω) 将以上结论归纳如下。 如果f(t)是t的实函数，且设 f(t)F(jω)=|F(jω)|ejφ(ω)=R(ω)+jX(ω) 则有 (1) R(ω)=R(-ω)，X(ω)=-X(-ω) |F(jω)|=|F(-jω)|，φ(ω)=-φ(-ω)(347) (2) f(-t)F(-jω)=F*(jω)(348) (3) 如f(t)=f(-t)，则 X(ω)=0，F(jω)=R(ω)(349) (4) 如f(t)=-f(-t)，则 R(ω)=0，F(jω)=jX(ω)(3410) 前面的许多实例可以作为以上性质的证明，这里不再重复。 以上结论适用于f(t)是时间t的实函数情况。如f(t)是t的虚函数，则有 (1) R(ω)=-R(-ω)，X(ω)=X(-ω) |F(jω)|=|F(-jω)|，φ(ω)=-φ(-ω)(3411) (2) f(-t)F(-jω)=-F*(jω)(3412) 根据以上分析，读者不难推出f(t)为复函数的一般情况。 3. 对称性 若f(t)F(jω)，则 F(jt)2πf(-ω)(3413) 式(3413)表明，如果函数f(t)的频谱函数为F(jω)，那么时间函数F(jt)的频谱函数是2πf(-ω)，这称为傅里叶变换的对称性，证明如下。 傅里叶逆变换式 f(t)=12π∫+∞-∞F(jω)ejωtdω 将上式中的自变量t换为-t，得 f(-t)=12π∫+∞-∞F(jω)e-jωtdω 将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t，得 f(-ω)=12π∫+∞-∞F(jt)e-jωtdt 或 2πf(-ω)=∫+∞-∞F(jt)e-jωtdt 上式表明，时间函数F(jt)的傅里叶变换为2πf(-ω)，即式(3413)。 例如，时域冲激函数δ(t)的傅里叶变换为频域的常数1(-∞1 其波形如图341(b)所示。 图341函数Sa(t)及其频谱 例37求函数t和1t的频谱函数。 解： (1) 函数t。 由前面的内容可知 δ′(t)jω 由对称性并考虑到δ′(ω)是ω的奇函数，即δ′(-ω)=-δ′(ω)，可得 jt2πδ′(-ω)=-2πδ′(ω) 根据线性性质，在时域乘以(-j)，相应的频域也乘以(-j)，得 tj2πδ′(ω)(3415) (2) 函数1t。 sgn(t)2jω 由对称性并考虑到 sgn(-ω)=-sgn(ω) 2jt2πsgn(-ω)=-2πsgn(ω) 根据线性性质，时域、频域分别乘以j12，得 1t-jπsgn(ω)(3416) 4. 尺度变换 某信号f(t)的波形如图342(a)所示，若将该信号波形沿时间轴压缩到原来的1a例如13，就成为图342(c)所示的波形，它可表示为f(at)，这里a是常数。如果a>1，则波形压缩； 如果1>a>0,则波形展宽。如果a<0，则波形反转并压缩或展宽。 图342尺度变换 尺度变换特性： 若f(t)F(jω)，则对于实常数a(a≠0)，有 f(at)1|a|Fjωa(3417) 式(3417)表明，若信号f(t)在时间坐标上压缩到原来的1a，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1|a|。也就是说，在时域中信号占据时间的压缩对应于其频谱在频域中的扩展，或者反之，信号在时域中的扩展对应于其频谱在频域中的压缩。这一规律称为尺度变换特性或时频展缩特性。图342画出了f(t)为门函数，a=3时的时域波形及频谱图。 式(3417)可证明如下。 设f(t)F(jω)，则展缩后的信号f(at)的傅里叶变换为 F［f(at)］=∫+∞-∞f(at)e-jωtdt 令x=at，则t=xa，dt=1adx。 当a>0时, F［f(at)］=∫+∞-∞f(x)e-jωxa1adx=1a∫+∞-∞f(x)e-jωaxdx=1aFjωa 当a<0时, F［f(at)］=∫+∞-∞f(x)e-jωxa1adx=-1a∫+∞-∞f(x)e-jωaxdx=-1aFjωa 综合以上两种情况，即得式(3417)。 由尺度变换特性可知，信号的持续时间与信号的占有频带成反比。例如，对于门函数gτ(t)，其频带宽度Δf=1τ。在电子技术中，有时需要将信号持续时间缩短，以加快信息传输速度，这就不得不在频域内展宽频带。 顺便提及，式(3417)中若令a=-1，得 f(-t)F(-jω) 这正是式(348)的左边。 5. 时移特性 时移特性也称为延时特性，它表述如下。 若f(t)F(jω)，且t0为常数，则有 f(t±t0)e±jωt0F(jω)(3418) 式(3418)表示，在时域中信号沿时间轴右移(即延时)t0，其在频域中所有频率“分量”相应落后相位ωt0，而其幅度保持不变。 这可证明如下。 若f(t)F(jω)，则迟延信号的傅里叶变换为 F［f(t-t0)］=∫+∞-∞f(t-t0)e-jωtdt 令x=t-t0，则上式可写为 F［f(t-t0)］=∫+∞-∞f(x)e-jω(x+t0)dx=e-jωt0∫+∞-∞f(x)e-jωxdx=e-jωt0F(jω) 同理,可得 F［f(t+t0)］=ejωt0F(jω) 不难证明，如果信号既有时移，又有尺度变换，则有如下结论。 若f(t)F(jω),a和b为实常数，但a≠0，则 f(at-b)1|a|e-jbaωFjωa(3419) 显然，尺度变换和时移特性是上式的两种特殊情况，当b=0时，得式(3417)，当a=1时，得式(3418)。 例38如已知图343(a)的函数是宽度为2的门函数，即f1(t)=g2(t)，其傅里叶变换F1(jω)=2Sa(ω)=2sinωω，求图343(b)、(c)中函数f2(t)、f3(t)的傅里叶变换。 图343例38图 解： (1) 图343(b)中的函数f2(t)可写为时移信号f1(t+1)与f1(t-1)之差，即 f2(t)=f1(t+1)-f1(t-1) 由傅里叶变换的线性和时移性，可得f2(t)的傅里叶变换 F2(jω)=F1(jω)ejω-F1(jω)e-jω=2sinωω(ejω-e-jω)=j4sin2(ω)ω (2) 图343(c)中的函数f3(t)是f2(t)的压缩，可写为 f3(t)=f2(2t) 由尺度变换可得 F3(jω)=12F2jω2=12j4sin2ω2ω2=j4sin2ω2ω 显然，f3(t)也可写为 f3(t)=f1(2t+1)-f1(2t-1) 由式(3419)也可得到相同的结果。 例39若有5个波形相同的脉冲，其相邻间隔为T，如图344(a)所示，求其频谱函数。 图3445个矩形脉冲的波形及其频谱 解： 设位于坐标原点的单个脉冲表示式为fa(t)，其频谱函数为Fa(jω)，则图344(a)中的信号可表示为 f(t)=fa(t+2T)+fa(t+T)+fa(t)+fa(t-T)+fa(t-2T) 根据线性和时移特性，它的频谱函数为 F(jω)=Fa(jω)［ej2ωT+ejωT+1+e-jωT+e-j2ωT］(3420) 上式为等比数列，利用等比数列求和公式和欧拉公式得 F(jω)=Fa(jω)ej2ωT-e-j3ωT1-e-jωT=Fa(jω)sin5ωT2sinωT2(3421) 由式(3421)可以看出，当ω=2mπT(m=0,±1,±2,…)时, limω→2mπTsin5ωT2sinωT2=5 也就是说，在ω=2mπT处，其频谱函数的幅度是Fa(jω)在该处幅度的5倍。这是由于在这些频率处5个单个脉冲的各频率“分量”同相的缘故。这只要将ω=2mπT代入式(3420)中就可明显地看出。 由式(3421)还可看出，当ω=2mπ5T(m为正数，但不为5的整数倍)时，式中分子为零，从而F(jω)=0，这是由于5个单个脉冲的各频率“分量”相互抵消的缘故。图344(b)中画出了脉冲个数n=5，相邻脉冲间隔T=4τ时的频谱图。由图可见，当多个脉冲间隔为T重复排列时，信号的能量将向ω=2mπT处集中，在该频率处频谱函数的幅度增大，而在其他频率处幅度减小，甚至等于零。当脉冲个数无限增多时(这时就成为周期信号)，则除ω=2mπT的各谱线外，其余频率“分量”均等于零，从而变成离散频谱。 顺便指出，若有N个波形相同的脉冲N为奇数，中间一个，即第N+12个位于原点，其相邻间隔为T，则其频谱函数为 F(jω)=Fa(jω)sinNωT2sinωT2(3422) 式中，Fa(jω)为单个脉冲的频谱函数。 6. 频移特性 频移特性也称为调制特性，可表述如下。 若f(t)F(jω)，且ω0为常数，则 f(t)e±jω0tF［j(ωω0)］(3423) 式(3423)表明，将信号f(t)乘以因子ejω0t，对应于将频谱函数沿ω右移ω0； 将信号f(t)乘以因子e-jω0t，对应于将频谱函数左移ω0。式(3423)容易证明，这里从略。 例310如已知信号f(t)的傅里叶变换为F(jω)，求信号ej4tf(3-2t)的傅里叶变换。 解： 由已知f(t)F(jω)，利用时移特性,有 f(t+3)F(jω)ej3ω 根据尺度变换，令a=-2，得 f(-2t+3)1|2|F-jω2ej3ω-2=12F-jω2e-j3ω2 由频移特性，得 ej4tf(-2t+3)12F-jω-42e-j3(ω-4)2 频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅、同步解调等都是在频谱搬移基础上实现的。 7. 卷积定理 卷积定理在信号和系统分析中占有重要地位。它说明的是两个函数在时域(或频域)中的卷积积分，对应于频域(或时域)中二者的傅里叶变换(或逆变换)应具有的关系。 1) 时域卷积定理 若f1(t)F1(jω)，f2(t)F2(jω)，则 f1(t)*f2(t)F1(jω)F2(jω)(3424) 式(3424)表明，在时域中两个函数的卷积积分，对应于在频域中两个函数频谱的乘积。 2) 频域卷积定理 若f1(t)F1(jω)，f2(t)F2(jω)，则 f1(t)f2(t)12πF1(jω)*F2(jω)(3425) 其中， F1(jω)*F2(jω)=∫+∞-∞F1(jη)F2(jω-jη)dη(3426) 式(3425)表明，在时域中两个函数的乘积，对应于在频域中两个频谱函数之卷积积分的12π倍。 时域卷积定理证明如下。 根据卷积积分的定义 f1(t)*f2(t)=∫+∞-∞f1(τ)f2(t-τ)dτ 其傅里叶变换为 F［f1(t)*f2(t)］=∫+∞-∞∫+∞-∞f1(τ)f2(t-τ)dτe-jωtdt =∫+∞-∞f1(τ)∫+∞-∞f2(t-τ)e-jωtdtdτ(3427) 由时移特性知 ∫+∞-∞f2(t-τ)e-jωtdt=F2(jω)e-jωτ 将它代入式(3427)中，得 F［f1(t)*f2(t)］=∫+∞-∞f1(τ)F2(jω)e-jωτdτ=F2(jω)∫+∞-∞f1(τ)e-jωτdτ =F1(jω)F2(jω) 频域卷积定理的证明类似，这里从略。 例311求三角形脉冲的频谱函数。 fΔ(t)=1-2τ|t|,|t|<τ20,|t|>τ2 解： 两个完全相同的门函数卷积可得到三角形脉冲。这里三角形脉冲的宽度为τ，幅度为1，为此选宽度为τ2，幅度为2τ的门函数，即令f(t)=2τgτ2(t)，如图345(a)所示，即f(t)*f(t)=fΔ(t)。 图345例311图 由于门函数gτ(t)与其频谱函数的对应关系为 gτ(t)τSaωτ2 利用尺度变换特性，令a=2，将gτ(t)压缩，得 gτ2(t)τ2Saωτ4 于是得到信号f(t)的频谱函数 F(jω)=F2τgτ2(t)=τ2Saωτ4 最后，由时域卷积定理可得三角形脉冲fΔ(t)的频谱函数 FΔ(jω)=FT［fΔ(t)］=FT［f(t)*f(t)］ =F(jω)F(jω)=τ2Sa2ωτ4(3428) 其频谱如图345(b)所示。 例312求斜升函数r(t)=tu(t)和函数|t|的频谱函数。 解： (1) 求r(t)=tu(t)的频谱函数。 由式(3415)知 tj2πδ′(ω) 根据频域卷积定理，并利用卷积运算的规则，可得tu(t)的频谱函数 F［tu(t)］=12πF［t］*F［u(t)］=12πj2πδ′(ω)*πδ(ω)+1jω =jπδ′(ω)*δ(ω)+δ′(ω)*1ω=jπδ′(ω)-1ω2 即 tu(t)-1ω2+jπδ′(ω)(3429) (2) 求|t|的频谱函数。 由于t的绝对值可写为 |t|=tu(t)+(-t)u(-t) 对式(3429)利用奇偶性中的式(348)，有 (-t)u(-t)-1ω2-jπδ′(ω) 利用线性性质，可得函数|t|与其频谱函数的对应关系为 |t|-2ω2(3430) 8. 时域微分和积分 这里研究信号f(t)对时间t的导数和积分的傅里叶变换。f(t)的导数和积分可用下述符号表示。 fn(t)=dnf(t)dtn(3431) f(-1)(t)=∫t-∞f(x)dx(3432) (1) 时域微分(定理)。 若f(t)F(jω)，则 f(n)(t)(jω)nF(jω)(3433) (2) 时域积分(定理)。 若f(t)F(jω)，则 f(-1)(t)πF(0)δ(ω)+F(jω)jω(3434) 其中，F(0)=F(jω)|ω=0，它也可以根据傅里叶变换定义(见式(341)）令ω=0得到，即 F(0)=F(jω)|ω=0=∫+∞-∞f(t)dt(3435) 如果F(0)=0，则式(3434)为 f(-1)(t)F(jω)jω(3436) 式(3433)、式(3434)可证明如下。 由第2章卷积的微分运算知，f(t)的一阶导数可写为 f′(t)=f′(t)*δ(t)=f(t)*δ′(t) 根据时域卷积定理，考虑到δ′(t)jω，有 F［f′(t)］=F［f(t)］F［δ′(t)］=jωF(jω) 重复运用以上结果，得 F［f(n)(t)］=(jω)nF(jω) 即式(3433)得证。 函数f(t)的积分可写为 f-1(t)=f(-1)(t)*δ(t)=f(t)*u(t) 根据时域卷积定理并考虑到冲激函数的采样性质，得 F［f-1(t)］=F［f(t)］F［u(t)］=F(jω)πδ(ω)+1jω =πF(0)δ(ω)+F(jω)jω 即式(3434)得证。 例313求三角形脉冲的频谱函数。 fΔ(t)=1-2τ|t|,|t|<τ20,|t|>τ2 解： 三角形脉冲fΔ(t)及其一阶、二阶导数如图346(a)、图346(b)、图346(c)所示。若令f(t)=f″Δ(t)，则三角形脉冲fΔ(t)是函数f(t)的二重积分，即 fΔ(t)=∫t-∞∫x-∞f(y)dydx 式中，x和y都是时间变量，引用它们是为了避免把积分限与被积函数相混淆。 图346fΔ(t)及其导数 图346(c)的函数由3个冲激函数组成，它可以写为 f(t)=2τδt+τ2-4τδ(t)+2τδt-τ2 由于F［δ(t)］=1，根据时移特性，f(t)的频谱函数可以写为 F(jω)=2τejωτ2-4τ+2τe-jωτ2=2τ(ejωt2-2+e-jωτ2) =4τcosωτ2-1=-8sin2ωτ4τ 由图346(b)、图346(c)可见，显然有∫+∞-∞f(t)dt=0和∫+∞-∞f′Δ(t)dt=0，利用式(3436)，得fΔ(t)的频谱函数 FΔ(jω)=1(jω)2F(jω)=8sin2ωτ4ω2τ=τ2sin2ωτ4ωτ42=τ2Sa2ωτ4 可见结果与例311相同。 例314求门函数gτ(t)积分的频谱函数。 f(t)=1τ∫t-∞gτ(x)dx 解： 门函数gτ(t)及其积分1τg-1τ(t)的波形如图347所示。门函数的频谱为 F［gτ(t)］=τSaωτ2 图347门函数gτ(t)及其积分1τg-1τ(t)的波形 由于Sa(0)=1，由式(3434)得到f(t)的频谱函数为 F［f(t)］=F1τg-1τ(t)=πSa(0)δ(ω)+1jωSaωτ2 =πδ(ω)+1jωSaωτ2(3337) 需要指出的是，在欲求某函数g(t)的傅里叶变换时，常可根据其导数的变换，利用积分特性求得F［g(t)］，如例313、例314。需要注意的是，对某些函数，虽然有f(t)=g′(t)，但有可能g(t)≠f-1(t)=∫t-∞f(x)dx，这是因为若设f(t)=dg(t)dt，则有 dg(t)=f(t)dt 对上式从-∞到t积分，有 g(t)-g(-∞)=∫t-∞f(x)dx 即 g(t)=∫t-∞f(x)dx+g(-∞)(3438) 式(3438)表明，式(3432)的约定中隐含着f-1(-∞)=0。当常数g(-∞)≠0时，对式(3438)进行傅里叶变换，得 G(jω)=πF(0)δ(ω)+F(jω)jω+2πg(-∞)δ(ω)(3439) 例315求图348(a)、图348(b)所示信号的傅里叶变换。 图348例315图 解： (1) 图348(a)的函数可写为 g1(t)=2u(t+1) 其导数g′1(t)=f(t)=2δ(t+1)，如图348(c)所示。容易求得 f(t)F(jω)=2ejω，F(0)=2 故可得 G1(jω)=2πδ(ω)+2jωejω (2) 图348(b)的函数可写为 g2(t)=sgn(t+1)=2u(t+1)-1 其导数也是f(t)=2δ(t+1)。由图348(b)可见，g2(-∞)=-1，故可得 G2(jω)=2πδ(ω)+2jωejω-2πδ(ω)=2jωejω 9. 频域微分和积分 设 Fn(jω)=dnF(jω)dωn(3440) F-1(jω)=∫ω-∞F(jη)dη(3441) 与前类似，式(3441)也隐含F-1(-∞)=0。 1) 频域微分 若f(t)F(jω)，则 (-jt)nf(t)Fn(jω)(3442) 2) 频域积分 若f(t)F(jω)，则 πf(0)δ(t)+1-jtf(t)F-1(jω)(3443) 式中, f(0)=12π∫+∞-∞F(jω)dω(3444) 如果f(0)=0，则有 1-jtf(t)F-1(jω)(3445) 频域微分和积分的结果可用频域卷积定理证明，其方法与时域类似，这里从略。 例316求斜升函数tu(t)的频谱函数。 解： 单位阶跃信号u(t)及其频谱函数为 u(t)πδ(ω)+1jω 可得 -jtu(t)ddωπδ(ω)+1jω=πδ′(ω)-1jω2 再根据线性性质，得 tu(t)-1ω2+jπδ′(ω) 与例312完全相同。 例317求函数Sa(t)=sintt的频谱函数。 解： 首先求sint的频谱函数，令 f(t)=sint=12j(ejt-e-jt) 由于F(1)=2πδ(ω)，根据线性和频移特性，可得 F(sint)=12j［F(ejt)-F(e-jt)］=12j［2πδ(ω-1)-2πδ(ω+1)］ =jπ［δ(ω+1)-δ(ω-1)］ 由于f(t)=sint，显然有f(0)=0，故根据式(3445)，有 Ff(t)-jt=Fsint-jt=jπ∫ω-∞［δ(η+1)-δ(η-1)］dη=0,ω<-1 jπ,-1<ω<1 0,ω>1 在时域、频域分别乘以-j，得 Fsintt=0,ω<-1 π,-1<ω<1 0,ω>1 或写为 sinttπg2(ω) 所得结果与例36相同。 例318求∫+∞0sin(aω)ωdω的值。 解： 令τ=2a(显然τ=2a>0)，可得幅度为1，宽度为2a的门函数g2a(t)与其傅里叶变换的对应关系为 g2a(t)2sin(aω)ω 根据傅里叶逆变换表示式，有 g2a(t)=12π∫+∞-∞2sin(aω)ωejωtdω=1π∫+∞-∞sin(aω)ωejωtdω 令t=0，注意到g2a(0)=1，以及被积函数是ω的偶函数，得 1=g2a(0)=1π∫+∞-∞sin(aω)ωdω=2π∫+∞0sin(aω)ωdω 以上结果也可直接求得。上式为a>0的结果； 若a<0，则sin(aω)=-sin(|a|ω)，于是得到 ∫+∞0sin(aω)ωdω=π2,a>0 -π2,a<0 3.4.2相关定理 通常相关的概念是从研究随机信号的统计特性而引入的。本书从确定信号的相似性引出相关系数与相关函数的概念，为学习后续课程做好准备。 1. 相关系数与相关函数 在信号分析问题中，有时要求比较两个信号波形是否相似，希望给出二者相似程度的统一描述。例如，对于图349(a)中的两个波形，从直观上很难说明它们的相似程度，它们在任何瞬间的取值似乎都是彼此不相关的(ρxy=0)。图349(b)是一对完全相似的波形，它们或是形状完全一致，或是变化规律相同而幅度成某一倍数关系(ρxy=1)。图349(c)的两个波形极性相反，二者幅度成负系数相乘的关系(ρxy=-1)。对于这些不同组合的波形如何定量衡量它们之间的相关性，需要引出相关系数的概念。 图349两个不相同、相同及相反波形 假定f1(t)和f2(t)是能量有限的实信号，选择适当的系数c12使c12f2(t)去逼近f1(t)，利用方均误差ε2来说明二者的相似程度。令 ε2=∫+∞-∞［f1(t)-c12f2(t)］2dt 选择c12使误差ε2最小，即要求 dε2dc12=0 可得 c12=∫+∞-∞f1(t)f2(t)dt∫+∞-∞f22(t)dt 此时，能量误差为 ε2=∫+∞-∞f1(t)-f2(t)∫+∞-∞f1(t)f2(t)dt∫+∞-∞f22(t)dt2dt 将被积函数展开并化简，得到 ε2=∫+∞-∞f21(t)dt-∫+∞-∞f1(t)f2(t)dt2∫+∞-∞f22(t)dt 令相对能量误差为 ε2∫+∞-∞f21(t)dt=1-ρ212 式中， ρ12=∫+∞-∞f1(t)f2(t)dt∫+∞-∞f21(t)dt∫+∞-∞f22(t)dt12 通常把ρ12称为f1(t)与f2(t)的相关函数。不难发现，借助柯西施瓦茨不等式,可以求得 ∫+∞-∞f1(t)f2(t)dt≤∫+∞-∞f21(t)dt∫+∞-∞f22(t)dt12 ρ12≤1 由上述分析可以看出，对于两个能量有限信号，相关系数ρ12的大小由两信号的内积决定。 ρ12=〈f1(t),f2(t)〉［〈f1(t),f1(t)〉〈f2(t),f2(t)〉］1/2=〈f1(t),f2(t)〉‖f1(t)‖2‖f2(t)‖2 对于图349(b)、(c)所示的两个相同或相反的波形，由于它们的形状完全一致，内积的绝对值最大，ρ12分别等于+1或-1，此时ε2等于零。一般情况下，ρ12取值为-1~+1。当f1(t)与f2(t)为正交函数时ρ12=0，此时ε2最大。相关系数ρ12从信号之间能量误差的角度描述了它们的相关特性，利用向量空间的内积运算给出了定量说明。 上面对两个固定信号波形的相关性进行了研究，然而经常会遇到更复杂的情况，信号f1(t)和f2(t)由于某种原因产生了时差，例如，雷达站接收到两个不同距离目标的反射信号，这就需要专门研究两信号在时移过程中的相关性，为此需引出相关函数的概念。 如果f1(t)与f2(t)是能量有限信号且为实函数，它们之间的相关函数定义为 R12(τ)=∫+∞-∞f1(t)f2(t-τ)dt=∫+∞-∞f1(t+τ)f2(t)dt(3446) R21(τ)=∫+∞-∞f1(t-τ)f2(t)dt=∫+∞-∞f1(t)f2(t+τ)dt(3447) 显然，相关函数R(τ)是两信号之间时差的函数，注意上两式中下标顺序不能互换，一般情况下，R12(τ)≠R21(τ)。不难证明 R12(τ)=R21(-τ) 若f1(t)与f2(t)是同一信号，即f1(t)=f2(t)=f(t)，此时相关函数无须加注下标，以R(τ)表示，称为自相关函数。 R(τ)=∫+∞-∞f(t)f(t-τ)dt=∫+∞-∞f(t+τ)f(t)dt 与自相关函数相对照，一般的两信号之间的相关函数也称为互相关函数。显然，对自相关函数有如下性质: R(τ)=R(-τ) 可见，实函数的自相关函数是时移τ的偶函数。 2. 相关与卷积的比较 函数f1(t)与f2(t)的卷积表达式为 f1(t)*f2(t)=∫+∞-∞f1(τ)f2(t-τ)dτ 为便于和相关函数表达式相比较，把式(3446)中的变量t与τ互换，这样，实函数的互相关函数表达式可写作 R12(t)=∫+∞-∞f1(τ)f2(τ-t)dτ 借助变量置换方法,容易求得 R12(t)=f1(t)*f2(-t) 可见，将f2(t)反折(变量取负号)与f1(t)卷积积分，即得f1(t)与f2(t)的相关函数R12(t)。 3. 相关定理 在前面已经讨论了傅里叶变换的9个性质，这里介绍的相关定理作为其第10个性质。 若已知F［f1(t)］=F1(jω)，F［f2(t)］=F2(jω)，则 F［R12(τ)］=F1(jω)F*2(jω)(3448) 证明： 由相关函数定义可知 R12(τ)=∫+∞-∞f1(t)f2(t-τ)dt 取傅里叶变换 F［R12(τ)］=∫+∞-∞R12(τ)e-jωτdτ =∫+∞-∞∫+∞-∞f1(t)f2(t-τ)dte-jωτdt =∫+∞-∞f1(t)∫+∞-∞f2(t-τ)e-jωτdτdt =∫+∞-∞f1(t)F*2(jω)e-jωtdt F［R12(τ)］=F1(jω)F*2(jω) 同理可得 F［R21(τ)］=F*1(jω)F2(jω)(3449) 若f1(t)=f2(t)=f(t)，F［f(t)］=F(jω)，则自相关函数为 F［R(τ)］=|F(jω)|2(3450) 可见，两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭二者的乘积，这就是相关定理。 3.4.3MATLAB实现 1. 傅里叶变换数值计算 连续时间信号的傅里叶变换涉及函数的数值计算问题。MATLAB提供了多种计算数值积分的函数，如quad()、quadl()、dblquad()、triplequad()、inline()等函数。下面以较常用的quadl()函数为例,说明其在信号傅里叶变换计算中的应用。 quadl（）函数的调用格式有以下两种： y=quadl('F',a,b) y=quadl('F',a,b,［ ］,［ ］,P) 其中，F是被积函数的文件名，a、b是积分的上下限，P为传给函数F的参数。 例319试用数值计算方法计算非周期矩形脉冲信号p2(t)的频谱。 解： 在调用quadl()函数之前，需要定义被积函数。对于非周期矩形脉冲信号p2(t)，其函数定义如下。 function y=f1(t,w); y=(t>=-1&t<=1).*exp(-j*w*t); 上述函数中的参数w为角频率，由调用它的程序规定其取值； t为积分变量。将上述被积函数的MATLAB程序用文件名f1.m保存在与调用它的程序相同的位置。 计算非周期矩形脉冲信号p2(t)频谱的MATLAB程序如下。 w=linspace(-6*pi,6*pi,512); N=length(w); F=zeros(1,N); for k=1:N F(k)=quadl('f1',-1,1,［ ］,［ ］,w(k)); end figure(1); plot(w,real(F)); xlabel('＼omega'); ylabel('F(j＼omegal)'); 图3410非周期矩形脉冲信号p2(t)的频谱 该程序的运行结果如图3410所示。已知脉冲宽度为2的非周期矩形脉冲信号p2(t)频谱为F［p2(t)］=2Sa(ω)。可见，由MATLAB程序计算所得频谱与理论频谱是一致的。 2. 傅里叶变换和傅里叶逆变换 例320已知f(t)=e-2|t|，求其傅里叶变换。 解： MATLAB程序如下。 syms t; F=fourier(exp(-2*abs(t))) ezplot(F); 执行该程序，运行结果为 F = 4/(4+w^2) 即 e-2|t|44+ω2 绘制的图形如图3411所示。 例321试画出信号f(t)=23e-3tu(t)的波形及其幅频特性曲线。 解： MATLAB程序如下。 syms t w f; f=2/3*exp(-3*t)*str2sym('heaviside(t)'); F=fourier(f,t,w); subplot(2,1,1); ezplot(f); subplot(2,1,2); ezplot(abs(F)); 执行该程序，运行结果如图3412所示。 图3411信号f(t)的傅里叶变换 图3412信号f(t)的波形及其幅频特性曲线 例322已知F(jω)=11+ω2，求其傅里叶逆变换。 解： MATLAB程序如下。 syms t w; f=ifourier(1/(1+w^2),w,t) 执行该程序，运行结果为 f = 1/2*exp(-t)*heaviside(t)+1/2*exp(t)*heaviside(-t) 即 11+ω212e-t+12etu(t) 3. 傅里叶变换的时移特性 分别绘制信号f(t)=12e-2tu(t)与信号f(t-1)的频谱图，并观察信号时移对信号频谱的影响。 1) 信号f(t)=12e-2tu(t)的频谱 MATLAB程序如下。 t=-5:0.02:5;N=200;W=2*pi;k=-N:N;w=k*W/N; f1=1/2*exp(-2*t).*stepfun(t,0); F=0.02*f1*exp(-j*t'*w); F1=abs(F);P1=angle(F); subplot(3,1,1);plot(t,f1);grid; xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)'); subplot(3,1,2);plot(w,F1);grid; xlabel('w');ylabel('F(jw)');title('模'); subplot(3,1,3);plot(w,P1*180/pi);grid, xlabel('w');ylabel('相位');title('相位(度)'); 执行该程序，运行结果如图3413所示。 图3413傅里叶变换的时移特性 2) 信号f(t-1)的频谱 MATLAB程序如下。 t=-5:0.02:5;N=200;W=2*pi;k=-N:N;w=k*W/N; f1=1/2*exp(-2*(t-1)).*stepfun(t,1); F=0.02*f1*exp(-j*t'*w); F1=abs(F);P1=angle(F); subplot(3,1,1);plot(t,f1);grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t-1)'); subplot(3,1,2);plot(w,F1);grid on; xlabel('w');ylabel('F(jw)');title('F(jw)的模'); subplot(3,1,3);plot(w,P1*180/pi);grid, xlabel('w');ylabel('相位');title('相位(度)'); 执行该程序，运行结果如图3414所示。 图3414傅里叶变换的时移特性 4. 傅里叶变换的频移特性 信号f(t)=g2(t)为门信号，试绘制信号f1(t)=f(t)e-j10t以及信号f2(t)=f(t)ej10t的频谱图，并与原信号频谱图进行比较。 MATLAB程序如下。 t=-2:0.02:2;f=stepfun(t,-1)-stepfun(t,1); f1=f.*exp(-j*10*t);f2=f.*exp(j*10*t); W1=2*pi*5;N=500;k=-N:N;W=k*W1/N; F1=f1*exp(-j*t'*W)*0.02; F2=f2*exp(-j*t'*W)*0.02; F1=real(F1);F2=real(F2); subplot(2,1,1);plot(W,F1); xlabel('w');ylabel('F1(jw)');title('F1(jw)频谱'); subplot(2,1,2);plot(W,F2); xlabel('w');ylabel('F2(jw)');title('F2(jw)频谱'); 执行该程序，运行结果如图3415所示。 图3415傅里叶变换的频移特性 视频讲解 3.5周期信号的傅里叶变换 在前面讨论周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换的基础上，本节将研究周期信号的傅里叶变换，以及傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系。这样，就能把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换的应用范围更加广泛。 1. 正﹑余弦函数的傅里叶变换 由于常数1(即幅值为1的直流信号)的傅里叶变换 F(1)=2πδ(ω)(351) 根据相移特性，可得 F(ejω0t)=2πδ(ω-ω0)(352) F(e-jω0t)=2πδ(ω+ω0)(353) 利用式(352)和式(353)，可得正、余弦函数的傅里叶变换 F［cos(ω0t)］=F12(ejω0t+e-jω0t)=π［δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)］(354) F［sin(ω0t)］=F12j(ejω0t-e-jω0t)=jπ［δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)］(355) 正、 余弦信号的波形及频谱如图351所示。 图351正、余弦函数及其频谱 2. 一般周期函数的傅里叶变换 对于一般周期为T的周期信号f(t)，其指数型傅里叶级数展开式为 fT(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt(356) 式中，Ω=2πT是基波分量，Fn是傅里叶系数。 Fn=1T∫T2-T2fT(t)e-jnΩtdt(357) 对式(356)两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到Fn与时间t无关，可得 F［fT(t)］=F∑+∞n=-∞FnejnΩt=∑+∞n=-∞FnF［ejnΩt］ =2π∑+∞n=-∞Fnδ(ω-nΩ)(358) 式(358)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成的，这些冲激函数位于信号的各谐波频率nΩ(n=0,±1,±2,…)处，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的2π倍。 例323周期性矩形脉冲信号pT(t)如图352(a)所示，其周期为T，脉冲宽度为τ，幅度为1，试求其频谱函数。 图352周期性矩形脉冲信号及其频谱 解： 在前面已经求得图352(a)所示周期性矩形脉冲信号f(t)=pT(t)的傅里叶系数为 Fn=τTSanΩτ2(359) 代入式(358),得 F［pT(t)］=2τπT∑+∞n=-∞SanΩτ2δ(ω-nΩ) =∑+∞n=-∞2sinnΩτ2nδ(ω-nΩ)(3510) 式中，Ω=2πT。可见，周期矩形脉冲信号pT(t)的傅里叶变换由位于ω=0,±Ω,±2Ω,…处的冲激函数所组成，其在ω=±nΩ处的强度为2sinnΩτ2n。图352(b)给出了T=4τ情况下的频谱图。由图352(b)可见，周期信号的频谱密度是离散的。 需要注意的是，虽然从频谱的图形看，这里的F(jω)与前面的Fn是极相似的，但是二者含义不同。当对周期函数进行傅里叶变换时，得到的是频谱； 而将该函数展开为傅里叶级数时，得到的是傅里叶系数，它代表虚指数分量的幅度和相位。 在引入了冲激函数以后，对周期函数也能进行傅里叶变换，从而对周期函数和非周期函数可以用相同的观点和方法进行分析运算，这给信号和系统分析带来了很大方便。 例324图353(a)画出了周期为T的周期性单位脉冲函数序列δT(t)： δT(t)=∑+∞m=-∞δ(t-mT)(3511) 式中，m为整数。求其傅里叶变换。 图353周期脉冲序列及其傅里叶变换 解： 首先求出周期性脉冲函数序列的傅里叶系数。由式(357)知 Fn=1T∫T2-T2f(t)e-jnΩtdt=1T∫T2-T2δT(t)e-jnΩtdt 由图353(a)可见，函数δT(t)在区间-T2,T2内只有一个冲激函数δ(t)。考虑到冲激函数的采样性质，上式可写为 Fn=1T∫T2-T2δ(t)e-jnΩtdt=1T(3512) 将它代入式(358)，得δT(t)的傅里叶变换为 F［δT(t)］=2πT∑+∞n=-∞δ(ω-nΩ)=Ω∑+∞n=-∞δ(ω-nΩ)(3513) 令 δΩ(ω)=∑+∞n=-∞δ(ω-nΩ)(3514) 它是在频域内周期为Ω的冲激函数序列。这样，时域周期为T单位冲激函数序列δT(t)与其傅里叶变化的关系为 δT(t)ΩδΩ(ω)(3515) 式(3515)表明，在时域中周期为T的单位冲激函数序列δT(t)的傅里叶变换是一个在频域中周期为Ω、强度为Ω的冲激序列。图353中画出了δT(t)及其频谱函数。 如有周期信号fT(t)，从该信号中截取一个周期，例如-T2,T2，就得到单脉冲信号，令其为f0(t)，如图354所示。 图354从周期信号中截取一个周期 由前面的内容可以知道，周期为T的周期信号fT(t)可看作f0(t)与周期为T的冲激序列δT(t)的卷积，即 fT(t)=f0(t)*δT(t)(3516) 式中，δT(t)=∑+∞n=-∞δ(t-nT)。 设f0(t)的傅里叶变换为F0(jω)，根据时域卷积定理可得周期信号fT(t)的傅里叶变换为 F［fT(t)］=F0(jω)ΩδΩ(ω)=Ω∑+∞n=-∞F0(jnΩ)δ(ω-nΩ)(3517) 式(3517)表明，利用信号f0(t)的傅里叶变换F0(jω)，很容易求得周期信号fT(t)的傅里叶变换。 3. 傅里叶系数与傅里叶变换 式(358)和式(3517)都是周期信号fT(t)的傅里叶变换表示式，比较两式可得，周期信号fT(t)的傅里叶系数Fn与其第一个周期脉冲的单脉冲信号频谱F0(jω)的关系为 Fn=1TF0(jnΩ)=1TF0(jω)|ω=nΩ(3518) 式(3518)表明，周期信号的傅里叶系数Fn等于F0(jω)在频率为nΩ处的值乘以1T。 由傅里叶系数的定义式可得 Fn=1T∫T2-T2fT(t)e-jnΩtdt=1T∫T2-T2f0(t)e-jnΩtdt 由傅里叶变换的定义式可得 F0(jω)=∫+∞-∞f0(t)e-jωtdt=∫T2-T2f0(t)e-jωtdt 比较以上两式可得到式(3518)。这表示，傅里叶变换中的许多性质和定理也可以用于傅里叶级数，这提供了一种求周期信号傅里叶系数的方法。 例325将如图355(a)所示的周期信号fT(t)展开成指数形式的傅里叶级数。 图355例325图 解： 周期信号fT(t)的一个周期波形f0(t)如图355(b)所示。图355(c)所示信号f1(t)的傅里叶变换为 F1(jω)=T2Sa2ωT4 图355(b)的信号f0(t)比f1(t)延迟T2，即 f0(t)=f1t-T2 根据时移特性，信号f0(t)的傅里叶系数为 F0(jω)=F1(jω)e-jωT2=T2Sa2ωT4e-jωT2 由式(3518)，可得周期信号fT(t)的傅里叶系数为 Fn=12Sa2nΩT4e-jnΩT2=12Sa2nπ2e-jnπ 即 Fn=2sin2nπ2n2π2e-jnπ 于是得到周期信号fT(t)的傅里叶展开式为 fT(t)=∑+∞n=-∞2sin2nπ2n2π2e-jnπejnΩt 视频讲解 3.6采样定理 采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值(或称样本值)来表示。这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，可以利用这些样本值把信号完全恢复过来。采样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。由于离散时间信号(或数字信号)的处理更为灵活、方便，在许多实际应用中(如数字通信系统等)，首先将连续信号转换为相应的离散信号，并进行加工处理，然后再将处理后的离散信号转换为连续信号。在数字信号处理技术和计算机广泛应用的今天，连续时间信号的离散处理显得日益重要。 3.6.1采样信号的频谱 所谓“采样”，就是利用采样脉冲序列s(t)从连续时间信号f(t)中抽取一系列离散样本值的过程，这样得到的信号为采样信号，如图361所示。 图361信号的采样 采样信号fs(t)可写为 fs(t)=f(t)s(t)(361) 若采用均匀采样，采样周期为Ts，则采样频率为ωs=2πfs=2πTs。 令F(jω)=F［f(t)］，S(jω)=F［s(t)］，则根据频域卷积定理得到采样信号fs(t)的频谱函数为 Fs(jω)=12πF(jω)*S(jω)(362) 1. 冲激采样 若采样脉冲取周期为Ts的冲激函数序列δTs(t)，则称为冲激采样。冲激序列的频谱函数也为周期冲激序列，有 S(jω)=F［δTs(t)］=F∑+∞n=-∞δ(t-nTs)=ωs∑+∞n=-∞δ(ω-nωs)(363) 函数δTs(t)及其频谱如图362(c)、(d)所示。 如果信号f(t)的频带是有限的，也就是说，信号f(t)的频谱只在区间(-ωm,ωm)为有限值，而在此区间外为零，这样的信号称为频带有限信号。 将式(363)代入式(362)，得 Fs(jω)=12πF(jω)*S(jω)=1Ts∑+∞n=-∞F(jω)*δ(ω-nωs) =1Ts∑+∞n=-∞F［j(ω-nωs)］(364) 式(364)说明Fs(jω)以ωs为周期等幅重复，如图362所示。 图362冲激采样 2. 矩形脉冲采样 若采样脉冲取幅度为1，脉宽为τ(τ4π0,|ω|<4π 若滤波器的输入为f(t)=Sa(6πt),-∞ωc(391) 由于这种滤波器允许信号通过的频带以ω=0为中心，因此称为理想低通滤波器。滤波器通过的频率范围称为滤波器的通带，不能通过的频率范围称为阻带，频率ωc称为截止频率。为了满足无失真传输的要求，理想低通滤波器的相位特性为一通过原点的直线，即 φ(ω)=-ωt0(392) 于是可得理想低通滤波器的频率响应H(jω)为 H(jω)=|H(jω)|ejφ(ω)=e-jωt0,|ω|≤ωc0,|ω|>ωc(393) 将系统函数H(jω)进行傅里叶逆变换，不难得到理想低通滤波器的冲激响应h(t)。 h(t)=F-1H(jω)=12π∫+∞-∞H(jω)ejωtdω=12π∫+ωc-ωce-jωt0ejωtdω =12πejω(t-t0)j(t-t0)+ωc-ωc=ωcπsin［ωc(t-t0)］ωc(t-t0)=ωcπSa［ωc(t-t0)］ 其波形如图393所示。 图393理想低通滤波器的冲激响应 根据图393，比较输入和输出，理想低通滤波器的冲激响应的峰值比输入的δ(t)延迟了t0，而且输出脉冲在其建立之前已出现。对于实际的物理系统，当t<0时，输入信号尚未接入，不可能有输出。这个结果是采用了理想化传输特性所致。 3.9.2理想低通滤波器的阶跃响应 对于理想低通滤波器，激励信号为阶跃信号u(t)时，激励信号的频谱为 u(t)πδ(ω)+1jω 而理想低通滤波器的系统函数为 H(jω)=|H(jω)|ejφ(ω)=e-jωt0,-ωc<ω<ωc0,其他 所以,阶跃响应的频谱 G(jω)=H(jω)F(jω)=πδ(ω)+1jωe-jωt0,-ωc<ω<ωc 取其傅里叶逆变换，就可得到理想低通的阶跃响应为 g(t)=F-1G(jω)=12π∫+ωc-ωcπδ(ω)+1jωe-jωt0ejωtdω=12+12π∫+ωc-ωcejω(t-t0)jωdω =12+12π∫+ωc-ωccos［ω(t-t0)］jωdω+12π∫+ωc-ωcsin［ω(t-t0)］ωdω 式中，被积函数cos［ω(t-t0)］jω是ω的奇函数，所以在对称区间内的积分为零； 被积函数sin［ω(t-t0)］ω为ω的偶函数，所以 g(t)=12+1π∫+ωc0sin［ω(t-t0)］ωdω令x=ω(t-t0)12+1π∫ωc(t-t0)0sinxxdx 这里函数sinxx的积分称为“正弦积分”，其函数值可以从正弦积分表中查得，以符号Si(y)表示： Si(y)=∫y0sinxxdx 因此，理想低通的阶跃响应为 g(t)=12+1πSi［ωc(t-t0)］ 阶跃信号u(t)和阶跃响应g(t)的波形如图394所示。 图394理想低通滤波器的阶跃响应 由图394可见，理想低通滤波器的阶跃响应的延迟时间为t0。阶跃响应最小值出现在t0-πωc时刻，最大值出现在t0+πωc时刻，阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为上升时间tr=2πωc。可见理想低通滤波器的截止角频率ωc越低，系统响应g(t)上升越缓慢。令B=ωc2π=1tr，表示将角频率折合为频率的滤波器带宽(截止频率)，可以得到一个重要的结论，理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间与系统的截止频率(带宽)成反比，即Btr=1。 虽然理想低通滤波器是物理不可实现的，但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成。如图395(a)所示是二阶低通滤波器，其中R=L2C。电路的频率响应函数为 H(jω)=UR(jω)US(jω)=11R+jωCjωL+11R+jωC=11-ω2LC+jωLR 考虑到R=L2C，并令截止角频率ωc=1LC，上式可写为 H(jω)=11-ωωc2+j2ωωc=|H(jω)|ejφ(ω) 图395二阶低通滤波器的特性 其幅频和相频特性分别为 |H(jω)|=11+ωωc4 φ(ω)=-arctan2ωωc1-ωωc2 图395(b)画出了图395(a)电路的幅频和相频特性。在ω=±ωc处，|H(±jωc)|=12，φ(±ωc)=π2。由图395(a)可见，其幅频、相频特性与理想低通滤波器相似。实际上，电路的阶数越高，其幅频、相频特性越逼近理想特性。图395(c)、(d)分别画出了图395(a)电路的冲激响应和阶跃响应，也与理想特性相似。不过，这里的响应是从t=0开始的，在t<0时，h(t)=g(t)=0。这是由于图395(a)电路是物理可实现的。 视频讲解 3.10调制与解调 3.10.1调制与解调的原理 调制与解调是通信技术中最主要的技术之一，在几乎所有的通信系统中为实现信号的有效、可靠和远距离传输，都需要进行调制和解调。任何一个特定的通信信道都有一个最适合信号传输的频率范围。例如，地球大气层对音频范围(10Hz~20kHz)的信号剧烈衰减，但对某一个较高频率范围的信号则衰减很小，使其能传播很远的距离。因此，如果需要通过大气层在某一个通信信道内传输语音和音乐那样的音频信号，则调制系统就是用一个更高频率的载频信号来携带需要传输的音频信号。为此目的，常用到的调制系统就是正弦幅度调制，此时载有信息的信号，如语言或音乐，被用于改变一个正弦载波信号的振幅，而此载波信号的频率则位于某一频率范围之内。 从另一方面考虑，如果不进行调制而是把需要传输的信号直接发射出去，那么各电台所发出的信号频率就会相同，它们混合在一起，收信者就无法简单地选择所要接收的信号。通过调制信号的频谱产生位移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，接收机就可利用带通滤波器分别处理所需频率的信号，不产生相互干扰。利用调制可以在一个信道中传输多路信号，即所谓的“多路复用”。在简单的通信系统中，只能在一对通话者之间使用，而“多路复用”技术将多路信号的频谱分别搬到不同的频带范围，从而实现在一个信道内传送多路信号，近代通信系统都广泛采用多路复用技术。 此外，在自动控制和电子测量系统中，将极低频的信号进行直接放大将产生诸如零、极点漂移和自激振荡等问题。为此，可以利用调制方法将需要放大的低频信号频谱搬移到适宜的高频范围，经放大后再还原为低频信号。 实现调制的原理图如图3101(a)所示。如调制信号g(t)的频谱记为G(jω)，占据-ωm~ωm的有限频带，如图3101(b)所示，将g(t)与cos(ω0t)进行时域相乘，如图3101(a)所示，即可得到已调信号f(t)=g(t)cos(ω0t)。 图3101调制原理方框图及其频谱图 设载波信号为cos(ω0t)，其傅里叶变换为 cos(ω0t)π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］ 如图3101(c)所示。 根据卷积定理，易求得已调信号的频谱 F(jω)=F［f(t)］=12πG(jω)*［πδ(ω+ω0)+πδ(ω-ω0)］ =12［G(jω+jω0)+G(jω-jω0)］(3101) 其频谱图如图3101(d)所示。可见，信号的频谱被搬移到载频ω0附近。 由已调信号f(t)恢复原始信号g(t)的过程称为解调。图3102(a)所示为实现解调的一种原理方框图，这里cos(ω0t)信号是接收端的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相，因此该解调方案又称为同步解调。f(t)与cos(ω0t)相乘的结果使频谱F(jω)向左、右分别移动±ω0并乘以系数12，得到如图3102(d)所示的频谱G0(jω)，此图可以从时域的相乘关系得到解释。 g0(t)=［g(t)cos(ω0t)］cos(ω0t)=12g(t)［1+cos(2ω0t)］ =12g(t)+12g(t)cos(2ω0t) F［g0(t)］=G0(jω)=12G(jω)+14［G(jω+j2ω0)+G(jω-j2ω0)］(3102) 图3102解调原理方框图及其频谱图 再利用一个带宽为ωd(ωm≤ωd≤2ω0-ωm)的低通滤波器，滤除在频率为2ω0附近的分量，即可取出g(t)，完成解调。 这种解调器称为同步解调(或相乘解调)，需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波，这将使接收机复杂化。为了在接收端 图3103调幅、抑制载波调幅及其解调波形 省去本地载波，可采用如下几种方法。在发射信号中加入一定强度的载波信号Acosω0t，这时，发送端的合成信号为［A＋g(t)］，如果A足够大，那么对于全部t，有A＋g(t)＞0，于是，已调信号的包络就是A＋g(t)。这时，利用简单的包络检波器(由二极管、电阻、电容组成)即可以从图3103相应的波形中提取包络、恢复g(t)，不需要本地载波。此方法常用于民用通信设备，如广播接收机。因为要降低接收机的成本，所以要使用昂贵的发射机来提供足够强的信号Acosω0t的附加功率。这对于民用是十分经济的，对于大批接收机只有一个发射机。由图3103波形可见，在这种调制方法中，载波的振幅随信号g(t)成比例地改变，因而称为“振幅调制”或“调幅”(AM)； 前述不传送载波的方案则称为“抑制载波振幅调制”(AMSC)。此外还有“单边带调制”(SSB)、“残留边带调制”(VSB)等。 还可以控制载波的频率或相位，使它们随信号g(t)成比例地变化，这两种调制方法分别称为“频率调制”或“调频”(FM)与“相位调制”或“调相”(PM)。它们的原理也是使g(t)的频谱G(ω)搬移，但搬移以后的频谱不再与原始频谱相似。 3.10.2MATLAB实现 设载波信号的表达式为cos(ω0t),调制信号的表达式为m(t)=A0mcos(ω0t),则调幅信号的表达式为s(t)=［A0+m(t)］cos(ω0t)，下面用MATLAB运行调制与解调的分析。 1. 载波信号 t=-1:0.00001:1; A0=10; f=6000; w0=f*pi; Uc=A0*cos(w0*t); figure(1); Subplot(2,1,1); plot(t,Uc); title('载频信号波形'); axis(［0,0.01,-15,15］); subplot(2,1,2); Y1=fft(Uc); plot(abs(Y1)); title('载波信号频谱'); axis(［5800,6200,0,1000000］) 执行该程序，运行结果如图3104所示。 图3104载波信号波形与频谱 2. 调制信号 t=-1:0.00001:1; A1=5; f=6000; w0=f*pi; mes=A1*cos(0.001*w0*t); subplot(2,1,1); plot(t,mes); xlabel('t'),title('调制信号'); subplot(2,1,2); Y2=fft(mes); plot(abs(Y2)); title('调制信号频谱'); axis(［198000,202000,0,1000000］); 执行该程序，运行结果如图3105所示。 图3105调制信号波形与频谱 3. AM调制信号 t=-1:0.00001:1; A0=10; A1=5; A2=3; f=3000; w0=2*f*pi; m=0.15; mes=A1*cos(0.001*w0*t); Uam=A2*(1+m*mes).*cos((w0).*t); subplot(2,1,1); plot(t,Uam); grid on; title('AM调制信号波形'); subplot(2,1,2); Y3=fft(Uam); plot(abs(Y3)),grid; title('AM调制信号频谱'); axis(［5950,6065,0,500000］); 执行该程序，运行结果如图3106所示。 4. FIR低通滤波器 Ft=2000; fpts=［100 120］; mag=［1 0］; dev=［0.01 0.05］; ［n21,wn21,beta,ftype］=kaiserord(fpts,mag,dev,Ft); b21=fir1(n21,wn21,kaiser(n21+1,beta)); ［h,w］=freqz(b21,1); plot(w/pi,abs(h)); grid on title('FIR低通滤波器') 执行该程序，运行结果如图3107所示。 图3106AM调制信号波形与频谱 图3107FIR低通滤波器 5. 滤波前AM解调信号 t=-1:0.00001:1; A0=10; A1=5; A2=3; f=3000; w0=2*f*pi; m=0.15; k=0.5; mes=A1*cos(0.001*w0*t); Uam=A2*(1+m*mes).*cos((w0).*t); Dam=Uam.*cos(w0*t); subplot(2,1,1); plot(t,Dam); title('滤波前AM解调信号波形'); subplot(2,1,2); axis(［187960,188040,0,200000］); Y5=fft(Dam); plot(abs(Y5)),grid; title('滤波前AM调解信号频谱'); 执行该程序，运行结果如图3108所示。 图3108滤波前AM解调信号波形与频谱 6. 滤波后AM解调信号 z21=fftfilt(b21,Dam); subplot(2,1,1); plot(t,z21); title('滤波后的AM解调信号波形'); T5=fft(z21); subplot(2,1,2); plot(abs(Y5)); title('滤波后的AM解调信号频谱'); axis(［198000,202000,0,100000］); 执行该程序，运行结果如图3109所示。 图3109滤波后AM解调信号波形与频谱 3.11从采样信号恢复连续时间信号 3.11.1从采样信号恢复连续时间信号的原理 前面已经研究了傅里叶变换应用于通信系统的两个重要方面，即滤波和调制。现在介绍从冲激采样信号恢复连续时间信号的时域分析。 根据前面介绍过的冲激采样信号的采样原理，若带限信号f(t)的傅里叶变换为F(jω)，则经冲激序列采样之后fs(t)的傅里叶变换为Fs(jω)，在满足采样定理的条件下Fs(jω)的图形是F(jω)的周期重复，而且不会产生混叠。利用理想低通滤波器取出Fs(jω)在ω=0两侧的频率分量即可恢复F(jω)，从而无失真地恢复f(t)，如图3111所示。这种频域分析方法简洁、直观，但是如何从时域角度解释这一过程需进一步分析。假设理想低通滤波器的频域特性为 H(jω)=Ts，|ω|<ωc0，|ω|>ωc(3111) 式中，ωc是滤波器的截止频率； Ts是冲激采样序列的周期。为方便以下分析，取相位特性为零。 设有冲激采样信号fs(t)，其采样角频率ωs>2ωm(ωm为原信号的最高角频率)。fs(t)及其频谱Fs(jω)如图3111(d)、(a)所示。为了从Fs(jω)中无失真地恢复F(jω)，选择一个理想低通滤波器，其频率响应的幅度为Ts，截止角频率为ωcωm<ωc≤ωs-ωm，即 F(jω)=Fs(jω)H(jω) 不难求出滤波器冲激响应h(t)表达式为 h(t)=Ts·ωcπSa(ωct)(3112) 若冲激序列采样信号fs(t)为 fs(t)=∑+∞n=-∞f(nTs)δ(t-nTs)(3113) 利用时域卷积关系可求得输出信号，即原连续时间信号f(t)。 f(t)=fs(t)*h(t)=∑+∞n=-∞f(nTs)δ(t-nTs)*TsωcπSa(ωct) =Tsωcπ∑+∞n=-∞f(nTs)Sa［ωc(t-nTs)］(3114) 图3111由采样信号恢复连续信号 参看图3111说明上述结果，图中对照给出从时域和频域恢复f(t)和F(jω)的过程。式(3114)表明，连续信号f(t)可展开成正交采样Sa函数的无穷级数，级数的系数等于采样值f(nTs)。也就是说，若在采样信号fs(t)的每个样点处画一个最大峰值为f(nTs)的Sa函数波形，那么其合成波形就是原信号f(t)，如图3111(f)所示。因此，只要已知各采样值f(nTs)，就能唯一地确定出原信号f(t)。 3.11.2MATLAB实现 用程序实现对信号Sa(t)=sinctπ的采样及由该采样信号恢复重建。 wm=1; wc=wm; Ts=pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi); Dt=0.005;t=-15:Dt:15; fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(211); stem(t1,f1); xlabel('kTs'); xlabel('f(kTs)'); title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号'); subplot(212); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)'); title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)'); grid; 执行该程序，运行结果如图3112所示。 图3112信号的采样与重构 3.12典型题目解析 图3121例328图 例328已知连续周期信号的频谱如图3121所示，试写出三角形式的傅里叶级数(ω0=3)。 解： 由图可知c0=4，c±1=3，c±2=1，c±3=2，其他项为0，所以 f(t)=∑+∞n=-∞Cnejnω0t =4+3(ejω0t+e-jω0t)+(ej2ω0t+e-j2ω0t)+2(ej3ω0t+e-j3ω0t) =4+6cos(ω0t)+2cos(2ω0t)+4cos(3ω0t) 例329已知周期信号f(t)=2cos(2πt-3)+sin(6πt)，试求f(t)的傅里叶级数表示式，并画出频谱。 解： ω0=2π，根据欧拉公式，f(t)可以写为 f(t)=ej(2πt-3)+e-j(2πt-3)-0.5jej6πt+0.5je-j6πt =e-j3ejω0t+ej3e-jω0t-0.5jej3ω0t+0.5je-j3ω0t 所以 c1=e-j3，c-1=ej3，c3=-0.5j，c-3=0.5j(cn=0,n≠±1,±3) 将cn用模和相角表示为Cn=|Cn|ejn，可得 |C±1|=1，φ1=-3，φ-1=3，|C±3|=0.5，φ3=-π2，φ-3=π2 由此可画出信号f(t)的幅度频谱和相位频谱，分别如图3122(a)、(b)所示。 图3122例329图 例330如图3123所示，已知F［f1(t)］=F1(jω)，试求信号f2(t)的频谱函数。 图3123例330图 解： 由于 f2(t)=f1(-t+t0)+f1(t-t0) 因此 F2(jω)=［F1(-jω)+F1(jω)］e-jω0t 例331已知信号的频谱F(jω)如图3124所示，试求f(t)。 图3124例331图 解： (a) 由于 tf(t)jdF(jω)dω，-t2f(t)jd2F(jω)d2ω，ω0=1 F″(jω)=2p2(ω)+δ′(ω+1)-2δ(ω+1)-δ′(ω-1)-2δ(ω-1) 又 Sa(ω0t)πω0p2ω0(ω)，Sa(t)πp2(ω) 12πδ(ω)，-jt2πδ′(ω) 利用傅里叶变换的频域微分性质与对称性质,得 -t2f(t)=2πSa(t)-jt2πe-jt-1πe-jt+jt2πejt=2πSa(t)-2πcos(t)-tπsin(t) 所以 f(t)=2cos(t)πt2+Sa(t)π-2Sa(t)πt2 (b) 将频谱分解成两个方波： F(jω)=p4(ω)+p2(ω) 由于Sa(ω0t)πω0p2ω0(ω)，因此f(t)=2πSa(2t)+1πSa(t)。 (c) 利用对称性质，得 F(jt)=pπ(t)cos(t)，又pπ(t)πSa(ωπ/2)，Sa(πt/2)2pπ(ω) F(jt)2πf(-ω)，又pπ(t)cos(t)π2［Sa(π(ω-1)/2)+Sa(π(ω+1)/2)］ 所以 2πf(-ω)=π2［Sa(π(ω-1)/2)+Sa(π(ω+1)/2)］ 用t替换-ω，得 f(t)=14Sa(π(t+1)/2)+14Sa(π(t-1)/2) (d) 将频谱分解成一个方波和一个三角波之差： F(jω)=p2ω0(ω)-Δ2ω0(ω) 又 Sa(ω0t)πω0p2ω0(ω)，Sa2(ω0t)πω0Δ4ω0(ω) 所以 f(t)=ω0πSa(ω0t)-ω02πSa2(ωt/2) 例332已知一个LTI连续系统的频率特性为 H(jω)=j4ω(jω)2+j6ω+8 求出描述该系统的微分方程，并计算在输入f(t)=cos(3t)u(t)激励下系统的稳态响应y(t)。 解： 由于 H(jω)=Y(jω)F(jω)=j4ω(jω)2+j6ω+8 Y(jω)［(jω)2+j6ω+8］=F(jω)j4ω 对以上方程两边进行傅里叶逆变换，并利用傅里叶变换的时域微分性质,可得 y″(t)+6y′(t)+8y(t)=4f′(t),t>0 系统的稳态相响应为 y(t)=|H(j3)|cos(3t+φ(3))=0.6656cos(3t-0.0555) 图3125例333图 例333已知一个LTI连续系统的动态方程为y′(t)+3y(t)=f(t)，若输入信号f(t)是如图3125所示的周期方波，求系统的输出y(t)。 解： 对微分方程两边进行傅里叶变换,可得 Y(jω)(jω+3)=F(jω) H(jω)=Y(jω)F(jω)=1jω+3 将周期信号展开为傅里叶级数形式： f(t)=∑+∞n=-∞，n≠010Sa(nπ/2)ej(nπt-nπ/2)，ω0=2π/T0=π 所以系统输出为 y(t)=∑+∞n=-∞，n≠010Sa(nπ/2)ej(nπt-nπ/2)H(jnπ)=∑+∞n=-∞，n≠010Sa(nπ/2)Reej(nπt-nπ/2)jnπ+3 例334已知一个LTI连续系统的频率特性为 H(jω)=1jω+2 求在输入f(t)=u(t)的激励下系统的零状态响应y(t)。 解： F(jω)=πδ(ω)+1jω Y(jω)=H(jω)F(jω)=1jω+2πδ(ω)+1jω =πδ(ω)2+1(jω+2)jω=0.5πδ(ω)+0.5jω-0.5jω+2 系统零状态响应为 y(t)=F-1Y［(jω)］=0.5(1-e-2t)u(t) 例335已知一个LTI连续系统的动态方程如下，输入信号f(t)=e-4tu(t)，求输出响应的频谱函数Y(jω)。 (1) y′(t)+3y(t)=2f(t)，t>0； (2) y″(t)+5y′(t)+6y(t)=3f′(t)+5f(t)，t>0。 解： (1) 由于 jωY(jω)+3Y(jω)=2F(jω)，F(jω)=14+jω 因此 Y(jω)=2jω+3F(jω)=2(jω+3)(jω+4) (2) 由于 (jω)2Y(jω)+5jωY(jω)+6Y(jω)=3jω2F(jω)+5F(jω) 因此 Y(jω)=3jω+5(jω+2)(jω+3)F(jω)=3jω+5(jω+2)(jω+3)(jω+4) 例336根据给定的输入信号f(t)与输出信号y(t)，判断下列系统是否为无失真传输系统。 (1) f(t)=u(t)，y(t)=-2u(t+2)； (2) f(t)=u(t-t0)+δ(t)，y(t)=3u(t-t0-10)+3δ(t-10)。 解： 无失真传输系统的输入输出关系应满足y(t)=Kf(t-td)，其中，K是一个正常数，td是输入信号通过系统后的时间延迟。因此，无失真传输系统的频率响应为H(jω)=Ke-jωtd，单位冲激响应为h(t)=Kδ(t-td)。 (1) 由于y(t)=-2u(t+2)=-2f(t+2)，k=-2，不是一个正常数，不满足无失真传输系统的条件，故系统不是无失真传输系统。 (2) 由于y(t)=3f(t-10)，因此h(t)=3δ(t-10)，满足无失真传输条件，故系统为无失真传输系统。 例337已知理想低通滤波器的频率特性为 H(jω)=e-j2ω，|ω|<2π 0,|ω|>2π (1) 求该滤波器的单位冲激响应h(t)； (2) 输入f(t)=Sa(πt),-∞2π=p4π(ω)e-j2ω，故有h(t)=2Sa［2π(t-2)］。 (2) f(t)=Sa(πt),F(jω)=p2π(ω) Y(jω)=H(jω)F(jω)=p2π(ω)e-j2ω y(t)=F-1［Y(jω)］=Sa(π(t-2)) (3) f(t)=Sa(3πt)，F(jω)=13p6π(ω) Y(jω)=13p4π(ω)e-j2ω y(t)=F-1［Y(jω)］=23Sa［2π(t-2)］ 3.13习题 3.13.1自测题 一、 填空题 1. 周期信号的傅里叶级数的两种表示形式是和。 2. 信号的频谱包括两部分，它们分别是谱和谱。 3. 从信号频谱的连续性和离散性来考虑，非周期信号的频谱是的。 4. 从信号频谱的连续性和离散性来考虑，周期信号的频谱是的。 5. 时域为1的信号傅里叶变换是。 6. 已知x(t)的傅里叶变换为X(jω)，则x1(t)=x(3t)的傅里叶变换为 。 7. 频谱函数F(jω)=12［u(ω+2)-u(ω-2)］的原函数f(t)=。 8. 频谱函数F(jω)=δ(ω-2)+δ(ω+2)傅里叶逆变换f(t)=。 9. 已知f(t)的频谱函数为F(jω)，则频谱函数df(t)dte-jω0t=。 10. 若f(t)的傅里叶变换为F(jω)，则f(t)e-jω0t傅里叶变换为，df(t)dt的傅里叶变换为。 11. δ(t)的傅里叶变换是。 12. x(t)的傅里叶变换为X(jω)，则y(t)=x13t的傅里叶变换为。 13. 常见的滤波器有、、。 14. 对带宽为20kHz的信号f(t)进行采样，其奈奎斯特间隔Ts=μs； 信号f(2t)的带宽为kHz，其奈奎斯特频率fs=kHz。 15. 人的声音频率为300~3400Hz，若对其采样，则采样频率应为。 16. 对频带为0~20kHz的信号f(t)进行采样，最低采样频率为。 17. 无失真传输系统的频域表达式是。 二、 单项选择题 1. 狄利克雷条件是傅里叶级数存在的()。 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 以上均否 2. 当周期信号的周期增大时，频谱图中谱线的间隔()。 A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法回答 3. 当周期信号的持续时间减少时，频谱图中谱线的幅度()。 A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法回答 4. 当信号f(t)的带宽为Δω，则信号f(2t)的带宽为()。 A. ΔωB. 2ΔωC. 12ΔωD. 4Δω 5. 信号经时移后，其频谱函数的变化为()。 A. 幅度频谱不变，相位频谱变化B. 幅度频谱变化，相位频谱不变 C. 幅度频谱相位频谱均不变D. 幅度频谱相位频谱均变化 6. 已知信号f(t)刚好不失真通过某一系统，则信号f12t()不失真通过该系统。 A. 不能B. 能C. 不一定D. 无法回答 7. 信号的频带宽度与信号的持续时间成()。 A. 反比B. 正比C. 不变D. 无法回答 8. 频谱搬移后，信号的带宽()。 A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法回答 9. 系统频域分析的基础是()。 A. 线性特性B. 频域卷积特性C. 时域卷积特性D. 频移特性 10. 设滤波器的频率特性为H(jω)=ke-j2πt0ω，则系统的单位冲激响应h(t)=()。 A. kδ(t)B. kδ(t+2πt0) C. kδ(t-2πt0)D. kδ(t-πt0) 11. 无失真传输系统的含义是()。 A. 输出信号与输入信号完全一致 B. 输出信号与输入信号相比，波形相同，起始位置不同 C. 输出信号与输入信号相比，波形不同，起始位置相同 D. 输出信号与输入信号相比，波形和起始位置都不同 12. 无失真传输系统的频率特性是()。 A. 幅度特性为ω的线性函数，相频特性为常数 B. 幅度特性为常数，相频特性为ω的线性函数 C. 幅度特性和相频特性均为ω的线性函数 D. 幅度特性和相频特性均为常数 13. 信号e-2(t-1)u(t-1)的频谱为()。 A. e-22+jωB. e-2-2+jωC. e-jω2+jωD. e-2-2-jω 14. 信号e-(2+5j)tu(t)的频谱为()。 A. ejω2-j5B. ejω2+j5C. 12+j(ω+5)D. 1-2+j(ω+5) 15. 函数ddt［e-2tω(t)］的傅里叶变换为()。 A. 12+jωB. 1-2+jωC. jω2+jωD. jω-2+jω 16. 周期信号f(t)=1+2cost+12sin3t的傅里叶变换为()。 A. δ(ω)+2δ(ω+3)+12δ(ω-3) B. 2πδ(ω)+j2π［δ(ω+3)-δ(ω-3)］ C. 2πδ(ω)+2π［δ(ω+1)+δ(ω-1)］+j2π［δ(ω+3)-δ(ω-3)］ D. δ(ω)+2［δ(ω+1)+δ(ω-1)］+j2［δ(ω+3)-δ(ω-3)］ 17. 若f(t)F(jω)，则f(at-b)的傅里叶变换为()。 A. 1|a|Fjωae-jωbaB. 1aF(jaω)e-jωba C. 1|a|FjωaejωbaD. 1|a|Fjωae-jωb 18. 求信号f(t)=δ(t)-2e-2tu(t)的频谱()。 A. jω2-jωB. 1-22-jωC. jω2+jωD. 22-jω 19. 求信号gτt-τ2的频谱()。 A. Saτ2ωe-jτ2ωB. τSaτ2ωe-jτ2ω C. τSaτ2ωe-jωτD. τSaτ2ωejωτ 20. 信号经微分后，频谱中高频分量的比重()。 A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法回答 21. 理想低通滤波器(LPF)的频率特性为H(jω)=G2π(ω)，输入信号为f(t)=Sa(πt)，输出信号y(t)=()。 A. G2π(t)B. 2πSa(πt)C. Sa(πt)D. 2πG2π(t) 22. 如果f1(t)=1,|t|<1 0,|t|>1 ，f2(t)=cos(4πt)，则f1(t)f2(t)的频谱为()。 A. Sa(ω+4π)*Sa(ω-4π)B. Sa2(ω-4π) C. Sa2(ω+4π)D. Sa(ω+4π)+Sa(ω-4π) 23. 如图3131所示系统，当输入信号为e(t)=1+cost+12sin3t时的响应为()。 A. y(t)=1+2cost+12sin3tB. y(t)=1+12cost C. y(t)=1+cost+14sin3tD. y(t)=2+4cost|H(jω)| 图3131题23图 3.13.2基础题、提高题、MATLAB习题和小结 第3章基础题 第3章提高题 第3章MATLAB习题 第3章小结