第5章〓离散时间信号与系统的z域分析

考点1z变换及其反变换

本节考点： 主要考查z变换定义、收敛域及其性质理解，以及z变换和z反变换的求解。

……知识点链接……
1. z变换定义(又称双边z变换)

X(z)=z［x(n)］=∑∞n=-∞x(n)z-n

式中，z=|z|ejΩ或z=rejΩ。

2. z变换收敛域

使X(z)存在的z的范围(即z的模|z|或r的范围)称为z变换收敛域(ROC)。

离散信号(序列)x(n)与其z变换存在的收敛域存在以下关系。

(1) 有限长离散时间信号x(n)，z变换是有限项幂级数求和，其收敛域是全平面收敛(但|z|=0和|z|=∞处不一定收敛)。进一步地，如果x(n)
是因果的有限长序列，其收敛域为0<|z|≤∞。如果x(n)是反因果的有限长序列，收敛域为0≤|z|<∞。

(2) 对于无限长离散时间信号x(n)的收敛域，有如下结论： 

 右边序列x(n)u(n+m)，m≠0的收敛域为圆外收敛，当为因果序列x(n)u(n)时，收敛域包含|z|=∞。

 左边序列x(n)u(-n+m)，m≠0的收敛域为圆内收敛，当为反因果序列x(n)u(-n-1)时，收敛域包含|z|=0。

 双边序列x(n)u(n)+x(n)u(-n-1)的收敛域存在，为环状区域。

3. 单边z变换


X(z)=∑∞n=0x(n)z-n


单边z变换的收敛域只有全平面收敛和圆外收敛(且包含|z|=∞)两种情况。

【题511】选择题

下列序列中，z变换的收敛域为2<|z|<5的是()。



A. (2)nu(n)+(5)nu(n)
B. (2)nu(-n-1)+(5)nu(-n-1)

C. (2)nu(n)+(5)nu(-n-1)
D. (2)nu(-n-1)+(5)nu(n)

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，其为序列级数求和，只有|z|在一定的范围内该序列才收敛。通常因果序列的收敛域在圆外，反因果序列的收敛域在圆内，而双边序列的收敛域为圆环状。

【解答】C。

【题512】选择题

已知x(n)是一个绝对可和的序列，且其z变换X(z)是有理函数，如果已知X(z)在z=1/5有一个极点，则x(n)不可能为()。

A. 无限长序列B. 双边序列C. 右边序列D. 左边序列

【分析】由于序列绝对可和，根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，其收敛域包含单位圆。又因为X(z)在单位圆内有一个极点，收敛域应该在某个圆外收敛且包含单位圆，因此该序列不可能为反因果序列。

【解答】D。

【题513】填空题

序列12n［u(n)-u(n-10)］的z变换为，其收敛域为。

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n可知，该序列的z变换为等比数列求和，而且为一个有限长的因果序列，收敛域在原点之外。

【解答】1-(2z)-101-(2z)-1； |z|>0。

【题514】选择题

下列序列中，z变换的收敛域为|z|>12的是()。

A. 12nu(n)+13nu(n)
B. 12n［u(n)-u(n-10)］

C. 12nu(-n-1)
D. 12nu(n)+23
nu(n)

【分析】通常因果序列的收敛域在圆外，反因果序列的收敛域在圆内，而双边序列的收敛域为圆环状。当多个序列线性叠加时，其收敛域为不同序列收敛域的交集。

【解答】A。

【题515】判断题

双边离散信号若其z变换存在，其收敛域为某个圆环内。()

【分析】双边序列的收敛域为圆环状。

【解答】正确。

【题516】计算题

序列x(n)的z变换为X(z)，x1(n)=xn2，n为偶数
0，n为奇数，求x1(n)的z变换。

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，进行合理的变量替换，最终转换为z变换定义形式即可。

【解答】

∑∞n=-∞xn2z-n=∑∞k=-∞x(k)z-2k

=∑∞k=-∞x(k)(z2)k=X(z2)


【题517】选择题

离散时间信号的z变换的收敛域()。

A. 基本的形状是带状
B. 基本的形状是圆环状

C. 与|z|无关
D. 以上都不对

【分析】z变换的收敛域要么在某个圆外，要么在某个圆内，要么为圆环状，因此其基本形状为圆环状。

【解答】B。

【题518】填空题

序列x(n)=u(n)-u(n-2)的单边z变换为，收敛域为。

【分析】该序列为有限长因果序列，因此根据z变换的定义式不难得到其z变换结果，收敛域为除原点外的所有区域。

【解答】1+z-1； |z|>0。

【题519】判断题

对于单边z变换，序列与z变换一一对应。()

【分析】若时域序列及其变换域结果满足一一对应关系，两者可以相互转换。

【解答】正确。

【题5110】计算题

求x(n)=anu(n-4)的z变换，并写出收敛域。

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，对原始序列进行合理的变量替换即可完成计算，鉴于这是一个因果序列，其收敛域在圆外。

【解答】

x(n)=anu(n-4)=a4an-4u(n-4)


所以，anu(n)的z变换为zz-a，
a4an-4u(n-4)的z变换为a4zz-a1z4，
a4z3(z-a)收敛域为|z|>a。

【题5111】判断题

若x(n)=a|n|的z变换不存在，则一定有|a|≥1。()

【分析】原始序列x(n)=a|n|=anu(n)+a-n-1u(-n-1)为双边序列，因此其收敛域|a|<|z|<1|a|。又因该序列的z变换不存在，即没有收敛域，所以|a|≥1。

【解答】正确。

【题5112】计算题

若x(n)的z变换为X(z)，收敛域为R1<|z|<R2，求anx(n)的z变换及收敛域。

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，不难求得X1(z)=∑∞n=-∞anx(n)z-n=∑∞n=-∞x(n)za-n=Xza。z域的尺度扩展将导致收敛域的压缩。

【解答】

X1(z)=∑∞n=-∞anx(n)z-n=∑∞n=-∞x(n)za-n=Xza


故收敛域为|a|R1<|z|<|a|R2。

【题5113】计算题

已知x(n)满足下列条件： ∑∞n=-∞|x(n)|<∞； 其z变换X(z)是一个有理函数； X(z)的一个极点为z=13。试分析并说明理由。

(1) x(n)的长度是有限长，还是无限长？

(2) x(n)可能是一个左边序列吗？

【分析】由序列绝对可和条件可知存在z变换，且收敛域包括单位圆。又因其存在一个单位圆内极点，所以其收敛域必定为圆环形，而且存在因果序列成分13nu(n)，所以其长度为无限长且不可能为左边序列。

【解答】
(1) 因为x(n)存在极点，所以X(z)必然存在收敛域。

又因为存在一个单位圆内极点z=13，所以其收敛域为圆环形，且存在因果序列成分13nu(n)，因此x(n)的长度为无限长。

(2) 因为存在因果序列成分13nu(n)，所以不可能为左边序列。

【题5114】填空题

离散时间信号x(n)=∑∞m=0(-1)mδ(n-m)的z变换X(z)=。

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，序列x(n)的z变换为无限长的等比数列求和，比值为-z-1。

【解答】zz+1。

【题5115】填空题

序列x(n)满足条件∑∞n=-∞|x(n)|<∞，其z变换的收敛域为R1<|z|<R2，则R1、R2应满足的条件为。

【分析】由序列x(n)绝对可积条件可知z变换存在，且收敛域包含单位圆。所以其圆环状收敛域应包含单位圆。

【解答】R1<1，R2>1。

【题5116】填空题

序列x(n)的z变换X(z)的收敛域为|z|≤2，则X(z)的极点的模应满足的条件为。

【分析】z变换的极点应都在收敛域外，收敛域内不包含任何极点。

【解答】大于2。

【题5117】选择题

序列x(n)的z变换X(z)的收敛域为3≤|z|≤∞，则X(z)的极点的模()。

A. >3B. ≥3C. <3D. ≤3

【分析】根据收敛域不能包含极点，而且收敛域不包含极点所处的边界，所以其极点的模一定小于3。



图511

【解答】C。

【题5118】计算题

x(n)如图511所示，试求X(z)。

【分析】有限长序列的z变换可由z变换的定义式X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n直接写出。

【解答】X(z)=∑∞n=0x(n)z-n=1+z-1+z-2+3z-3+z-4-3z-5+z-6+z-7+z-8

【题5119】选择题

已知序列x(n)的z变换X(z)仅有一个极点z=14，且12nx(n)绝对可和，18nx(n)不是绝对可和的，x(n)为()序列。


A. 右边B. 左边C. 双边D. 有限长

【分析】由题干中有且只有一个极点可排除双边序列，再由12nx(n)绝对可和，18nx(n)不是绝对可和的条件，排除左边序列，因此x(n)为右边序列。

【解答】A。

……知识点链接……
1. 常用z变换性质

(1) 线性。

若


x(n)X(z)，rx-<|z|<rx+，y(n)Y(z)，ry-<|z|<ry+

则


ax(n)+by(n)aX(z)+bY(z)，r-<|z|<r+


(2) 时移。

① 双边z变换的时移特性。

若x(n)X(z)，r1<|z|<r2，
则x(n+n0)zn0X(z)，n0为整数，r1<|z|<r2。

② 单边z变换的时移特性。

若x(n)X(z)，|z|>r，当m
为大于零的整数时，则


x(n+m)zmX(z)-∑m-1k=0x(k)z-k
x(n-m)z-mX(z)+∑-1k=-mx(k)z-k


(3) 频移性质。

若x(n)X(z)，r1<|z|<r2，
则


ejΩ0nx(n)X(e-jΩ0z)，r1<|z|<r2


推广有


zn0x(n)Xzz0，|z0|r1<|z|<r2|z0|


(4) z域微分(序列线性加权)。

若x(n)X(z)，r1<|z|<r2，则


nx(n)-zddzX(z)，r1<|z|<r2


(5) 时域卷积定理。

若x(n)X(z)，rx-<|z|<rx+，h(n)H(z)，rh-<|z|<rh+，
则


x(n)*h(n)X(z)H(z)，r-<|z|<r+


(6) 初值定理。

对于因果序列x(n)，若x(n)X(z)，
则


limz→∞X(z)=x(0)


(7) 终值定理。

若因果序列x(n)X(z)，且X(z)除在z=1处可以有一阶极点外，全部其他极点都在单位圆|z|=1以内，则

limn→∞x(n)=limz→1［(z-1)X(z)］

2. 常用z变换对

(1) δ(n)1，0≤|z|≤∞

(2) δ(n+1)z，0≤|z|<∞

(3) δ(n-1)z-1，0<|z|≤∞

(4) anu(n)zz-a，|z|>|a|

(5) -anu(-n-1)zz-a，|z|<|a|

(6) nanu(n)az(z-a)2，|z|>|a|

(7) -nanu(-n-1)az(z-a)2，|z|<|a|

(8) ancos(βn)u(n)z(z-acosβ)z2-2azcosβ+a2，|z|>|a|

(9) ansin(βn)u(n)azsinβz2-2azcosβ+a2，|z|>|a|

(10) ancosπ2nu(n)z2z2-a2，|z|>|a|

(11) ansinπ2nu(n)azz2+a2，|z|>|a|

【题5120】证明题

设x(n)为N点长序列，且当n≤-1或n≥N时，x(n)=0。y(n)=x(n)-x(n-N)，y～(n)=∑∞l=0y(n-2Nl)。

证明： y～(n)的z变换为Y～(z)=11+z-NX(z)。

【分析】由题意可知，x(n)为有限长因果序列，y(n)与x(n)相等，y～(n)为y(n)的周期延拓，延拓周期等于2N。然后根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，进行合理的变量替换即可得证。

【证明】y～(n)为y(n)的周期延拓，周期为2N


y～(n)=y(n)*∑∞k=-∞δ(n-2k)
=［x(n)-x(n-N)］*∑∞k=0δ(n-2Nk)
Y～(z)=［X(z)-X(z)z-N］(1+z2N+z4N+…)
=X(z)(1-z-N)11-z2N


所以

Y～(z)=11+z-NX(z)


【题5121】计算及画图题

已知x(n)=a|n|，a>0，求出X(z)，并画出零极点图以及a>1和a<1的收敛域。

【分析】根据z变换定义式X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n计算。序列x(n)中存在绝对值时先将x(n)中包含的绝对值符号消去再做变换，并求出对应a取值时的收敛域。

【解答】
方法一： 根据定义求解。


X(z)=∑∞n=-∞a|n|z-n=∑-1n=-∞a-nz-n+∑∞n=0anz-n
=zz-a-zz-1a=a-1az(z-a)z-1a




图512

零极点图如图512所示。


当a<1时X(z)存在，收敛域为|a|<|z|<1a。

当a>1时X(z)不存在。

方法二： 利用性质求解。

利用z变换的时域翻转性质，假设x(n)的z变换为X(z)，则x(-n)的z变换为X(z-1)，据此不难得出与方法一相同的结果。

【题5122】填空题

序列x(n)=a-nu(-n)的双边z变换为，收敛域为。

【分析】思路一，根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n=∑0n=-∞a-nz-n=∑∞n=0anzn=11-az，收敛域为等比数列公比的模小于1； 思路二，根据-1anu(-n-1)的双边z变换为11-za-1，利用z变换的线性性质，不难得到a-nu(-n)=1anu(-n-1)+δ(n)的变换结果。

【解答】11-az； |z|≤1|a|。

【题5123】计算题

已知序列x(n)=anu(n)，g(n)=x(n)-x(n-1)。

(1) 求g(n)的z变换。

(2) y(n)=∑nk=-∞g(k)，求y(n)及y(n)的z变换Y(z)。

【分析】常见序列x(n)=anu(n)的z变换为11-az-1； δ(n)和δ(n-1)的z变换为1和z-1。由卷积和的性质可知，g(n)=x(n)*［δ(n)-δ(n-1)］，y(n)=g(n)*u(n)。利用卷积定理，不难得出g(n)和y(n)的z变换结果。

【解答】(1) G(z)=zz-a-zz-az-1=z-1z-a

(2) 
y(n)=∑nk=-∞g(k)
=∑∞k=-∞g(k)u(n-k)
=g(n)*u(n)
=an+1-1a-1u(n)

所以


Y(z)=zz-azz-1
=z2(z-a)(z-1)


【题5124】填空题

已知离散时间信号x(n)的单边z变换为X(z)，x(1)=1，x(0)=0.5，则x(n+2)的单边z变换为。

【分析】根据时域平移性质x(n+n0)ε(n)zn0X(z)+∑n0-1k=0x(k)z-k。

【解答】z2X(z)-z-0.5z2。

【题5125】填空题

若因果序列x(n)的z变换为X(z)=z+3(z-0.6)(z2-0.5z+0.06)，求limn→∞x(n)=。

【分析】根据终值定理x(∞)=limz→1(z-1)X(z)，该定理要求极点都在单位圆内。

【解答】0。

【题5126】填空题

已知x(n)u(n)的z变换为X(z)，则y(n)=∑nk=0x(k)的z变换Y(z)为。

【分析】根据卷积的计算公式，序列y(n)相当于x(n)u(n)与序列u(n)卷积。再由z变换的序列卷积性质可得序列y(n)的z变换Y(z)。

【解答】zz-1X(z)。

【题5127】计算题

已知x(n)=12n［u(n)-u(n-10)］，求其z变换，并画出零极点图。

【分析】由z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n可知，该序列的z变换为等比数列求和，且为一个有限长的因果序列。根据z变换得到的结果画出零极点图。

【解答】

X(z)=z-1210z-9z-12=z10-1210z9z-12




图513

零极点图如图513所示。


【题5128】证明题

设x(n)的单边z变换为X(z)，证明： x(n+2)的单边z变换为z2X(z)-z2x(0)-zx(1)。

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，对原始序列进行合理的变量替换即可实现证明。该题实际上是单边z变换的时域平移性质证明的特例。

【证明】


x(n+2)∑∞n=0x(n+m)z-n


令n+2=k，得


x(n+2)∑∞k=2x(k)z2-k=z2∑∞k=2x(k)z-k=z2∑∞k=0x(k)z-k-∑1k=0x(k)z-k

所以


x(n+2)z2X(z)-z2x(0)-zx(1)


【题5129】证明题

已知x(n)=x(-n)，试证明其z变换满足X(z)=Xz-1。

【分析】根据z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n，进行合理的变量替换即可完成证明。

【证明】x(-n)的z变换为


∑∞n=-∞x(-n)z-n=∑∞n=-∞x(n)zn=∑∞n=-∞x(n)(z-1)n=X(z-1)

所以

X(z)=X(1/z)


【题5130】选择题

已知因果序列x(n)的z变换X(z)=1+2z-2(1-z-1)1-32z-1，则序列x(n)的初值x(0)和终值x(∞)=limn→∞x(n)分别为()。

A. x(0)=1，x(∞)=0
B. x(0)=1，x(∞)不存在

C. x(0)=1，x(∞)=-6
D. x(0)=-6，x(∞)=1

【分析】根据z变换的初值定理x(0)=limz→∞X(z)和终值定理x(∞)=limz→1(z-1)X(z)进行计算可得到结果。但要注意该序列z变换的其中一个极点z=32不在单位圆内，不满足终值定理。

【解答】B。

【题5131】证明题

已知x(n)z变换X(z)，证明： ∑nm=-∞x(m)z变换zz-1X(z)。

【分析】根据卷积的计算公式，∑nm=-∞x(m)相当于x(n)和u(n)进行卷积运算。再根据序列卷积性质，可得到对应的z变换结果。

【证明】

∑nm=-∞x(m)=x(n)*u(n)

x(n)*u(n)zz-1X(z)


……知识点链接……

z反变换的求解方法通常有以下几种。

(1) 留数法。


x(n)=12πj∮cX(z)zn-1dz=∑iRes［X(z)zn-1］c内所有极点zi

式中，c为包围全部极点的闭合积分路径，zi为［X(z)zn-1］的极点，Res表示级数的留数。zi点的留数为


Res［X(z)zn-1］=［X(z)zn-1］(z-zi)z=zi


(2) 幂级数展开法。

将X(z)展开为z的负幂z-n级数，则其系数就是x(n)的相应项。

(3) 部分分式展开法。

若X(z)z为有理真分式，则可将X(z)z展开为部分分式，然后乘以z得到X(z)，再利用常用z变换对进行z反变换，从而求得x(n)。

【题5132】计算题

已知x(n)的z变换为X(z)=zz2+1.5z-1，12<|z|<2，求信号x(n)。

【分析】离散时间信号与系统z域分析中的反变换方法通常包括定义法、常用变换对法、部分分式展开法等。本题可灵活运用部分分式展开法和常用变换对法求解反变换，其中应特别注意收敛域中的左边界确定了因果序列，右边界确定了反因果序列。

【解答】

X(z)=23zz-2-zz-1/2


所以


x(n)=-23(2)nu(-n-1)-2312nu(n)


【题5133】填空题

已知离散时间信号x(n)和x1(n)的z变换为分别为x(n)X(z)，x1(n)X1(z)，且X1(z)=X(-z)，则x(n)和x1(n)的关系为。

【分析】思路一，由z变换定义X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n可知


X1(z)=X(-z)=∑∞n=-∞x(n)(-z)-n=∑∞n=-∞(-1)nx(n)z-n


思路二，根据题意X1(-z)=X(z)，再利用z变换的频移性质zn0x(n)X1zz0可知，z0=-1。

【解答】x1(n)=(-1)nx(n)。

【题5134】选择题

已知x(n)的z变换X(z)=1(z-0.5)(z-0.25)，则x(n)可以是（）不同的信号。

A. 1种
B. 2种
C. 3种
D. 不能确定

【分析】利用部分分式展开法和常用变换对法可求解X(z)的反变换，通过假设收敛域左右边界可确定可能的原信号。可能的情况有： 原信号为因果信号，收敛域为圆外区域； 原信号为非因果信号，收敛域为圆内区域； 原信号同时包含因果信号和非因果信号，收敛域为圆环区域(可能不存在)。

【解答】C。

【题5135】填空题

已知X(z)=5z2(z+2)(z-3)的收敛域为2<|z|<3，则其原序列x(n)等于。

【分析】本题可利用部分分式展开法和常用变换对法求解X(z)的反变换，并根据收敛域左右边界分别确定原信号的因果序列和非因果序列。

【解答】2(-2)nu(n)-3(3)nu(-n-1)。

【题5136】计算题

x(n)是因果信号，其z变换为X(z)=z5/(z5-a)，求x(n)。

【分析】出现zn时考虑常见变换对∑∞k=0δ(n-5k)11-z-k。该变换对由原序列周期延拓得到。对原变换做变形即可求得x(n)。

【解答】

x(n)=∑∞k=0akδ(n-5k)。


【题5137】计算题

已知z变换X(z)=1(z-1)(z-2)，根据其可能存在的收敛域，分别求出对应的反变换序列。

【分析】极点分别为z=1和z=2，题目中没有给出系统的性质，可能得到的反变换序列一般为3种，分别对应左边序列、右边序列和双边序列。

【解答】由题意可知，z=1和z=2为其两个极点，所以收敛域可能为|z|>2、1<|z|<2或|z|<1。

当|z|>2时，x(n)=12δ(n)-u(n)+12·2nu(n)。

当1<|z|<2时，x(n)=12δ(n)-u(n)-2n-1u(-n-1)。

当|z|<1时，x(n)=12δ(n)+u(-n-1)-2n-1u(-n-1)。

……知识点链接……

 z变换与拉普拉斯变换的关系。


Xs(s)s=1Tlnz=X(z)
X(z)z=esT=Xs(s)


 z变换与DTFT的关系。


DTFT［x(n)r-n］=∑∞n=-∞x(n)z-n


【题5138】证明题

已知xs(t)=∑∞n=-∞x(n)δ(t-nT)，xs(t)的拉普拉斯变换为Xs(s)，x(n)的z变换为X(z)，证明： X(z)|z=esT=Xs(s)。

【分析】根据z变换定义式X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n及拉普拉斯变换定义式X(s)=∫∞0x(t)e-stdt可以证明。

【证明】X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n

所以


X(z)|z=esT=∑∞n=-∞x(n)e-nsT


【题5139】简答题

试分析傅里叶变换与拉普拉斯变换之间的关系、DTFT与z变换之间的关系。

【分析】拉普拉斯变换X(s)是x(t)e-σt的傅里叶变换，当σ=0时，拉普拉斯变换与傅里叶变换等价。DTFT与z变换之间的关系为X(Ω)=X(z)|z=ejΩ，只有当收敛域包含单位圆时才成立。

【解答】
方法一： 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系。


X(jω)=∫∞-∞x(t)e-jωtdt
X(s)=∫∞0x(t)e-jsdt


x(t)的拉普拉斯变换X(s)是x(t)e-σt的傅里叶变换，而傅里叶变换是σ=0时的拉普拉斯变换。

方法二： DTFT与z变换的关系。

x(n)的z变换是x(n)r-n的离散时间傅里叶变换。


X(z)=∑∞n=-∞x(n)(rejΩ)-n=∑∞n=-∞［x(n)r-n］e-jΩn


离散时间傅里叶变换是单位圆上的z变换。


X(Ω)=X(z)|z=ejΩ


要求： z变换的收敛域包含单位圆。

考点2离散时间系统的系统函数


本节考点： 主要考查利用z变换求解系统函数和系统特性分析。

……知识点链接……
1. 系统函数


H(z)=Yzs(z)X(z)=零状态响应的z变换输入信号的z变换

2. 系统函数与单位冲激响应关系


Z［h(n)］=H(z)

3. 系统函数常用求解方法

(1) H(z)=Z［h(n)］。

(2) 对描述系统的差分方程进行单边变换求解H(z)。


y(n+k)+ak-1y(n+k-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n)
=bmx(n+m)+bm-1x(n+m-1)+…+b1x(n+1)+b0x(n)


对差分方程进行单边变换，得


∑ki=0aiziYzs(z)=∑mj=0bjzjX(z)
H(z)=Yzs(z)X(z)=B(z)A(z)=bmzm+bm-1zm-1+…+b1z+b0akzk+ak-1zk-1+…+a1z+a0

其中，


A(z)=∑ki=0aizi，B(z)=∑mj=0bjzj


(3) 根据系统的模拟框图求解H(z)。

(4) 由信号流图，根据梅森公式求解H(z)。

(5) 根据H(z)的零极点图求解H(z)。

【题521】计算题

某因果离散系统的差分方程为


y(n)-34y(n-1)+18y(n-2)=x(n)+13x(n-1)


求系统函数和单位样值响应。

【分析】对差分方程两边求z变换并可由H(z)=Y(z)X(z)得到系统函数，再根据题干系统因果条件，利用部分分式展开和常用变换对法进行反变换得到单位样值响应。

【解答】两边同时进行z变换，可得


Y(z)-34z-1Y(z)+18z-2Y(z)=X(z)+13z-1X(z)
H(z)=Y(z)X(z)=1+13z-21-34z-1+18z-2=-73zz-14+103zz-12


由于系统因果，所以

h(n)=-7314nu(n)+10312nu(n)


【题522】填空题

已知一稳定时不变系统的系统函数为H(z)=9.5z(z-0.5)(10-z)，该系统的单位样值响应h(n)为。

【分析】利用部分分式展开和常用变换对法可求出系统函数H(z)的反变换，再根据给定的条件系统稳定写出单位样值响应h(n)。

【解答】(0.5)nu(n)+10nu(-n-1)。

【题523】填空题

已知某因果离散时间线性时不变系统函数H(z)的全部极点均位于z平面单位圆内，则limn→∞h(n)的值为。

【分析】极点都在单位圆内的因果离散时间线性时不变系统，其收敛域一定包含单位圆，是稳定系统。故单位样值响应终值为0。由终值定理x(∞)=limz→1(z-1)X(z)也可得出。

【解答】0。

【题524】填空题

已知非因果离散系统的系统函数为H(z)=(z+1)z+12z-12z+34(z-2)且存在系统频率响应H(ejΩ)，则系统函数H(z)的收敛域为12<|z|<2。

【分析】频率响应存在，则系统稳定，收敛域应包含单位圆，再结合系统的3个极点z=12、z=-34、z=2及题干中指出的非因果性，即可对系统收敛域进行判断。

【解答】12<|z|<2。

【题525】证明题

某离散时间系统框图如图521所示，试证明： 


图521



Y(z)=H1(z)X(z)1+H1(z)H2(z)


【分析】本题主要考查如何从系统框图得到系统函数。

【证明】由图521可得


［-Y(z)H2(z)+X(z)］H1(z)=Y(z)


所以


Y(z)=X(z)H1(z)1+H1(z)H2(z)


【题526】计算题

对于下列差分方程描述的离散时间线性时不变系统： 


y(n)+y(n-1)-34y(n-2)=x(n-1)


(1) 求该系统的系统函数H(z)，并求系统单位样值响应h(n)的所有可能选择； 

(2) 对(1)中的每种h(n)，讨论系统是否具有稳定性，是否具有因果性； 

(3) 求该系统的频率响应，并粗略画出其幅频特性图。

【分析】对差分方程两边进行z变换求解得到系统函数。在没有说明系统因果性和稳定性的情况下，可能的收敛域有多个，分别可能对应右边序列、左边序列和双边序列，其因果性和稳定性也各有差异。单位圆上的系统函数|H(ejΩ)|即对应系统频率响应，通过计算频率在0~π的几个特殊点(如Ω=0，π2，π等)可以对幅频特性进行一个大致的描绘。

【解答】(1) 两边同时进行z变换，得


Y(z)+z-1Y(z)-34z-2Y(z)=z-1X(z)


所以


H(z)=Y(z)X(z)=z-11+z-1-34z-2=12zz-12-zz+32


存在两个极点z=12和z=-32，

① h(n)=-1212nu(-n-1)+12-32nu(-n-1)

② h(n)=-1212nu(-n-1)+12-32nu(-n-1) 

③ h(n)=1212nu(n)+12-32nu(-n-1)

(2) 对于①，h(n)=-1212nu(-n-1)+12-32nu(-n-1)，收敛域为|z|<12，不包含单位圆，系统不稳定，不具有因果性。

对于②，h(n)=-1212nu(-n-1)+12-32nu(-n-1)，收敛域为|z|>32，不包含单位圆，系统不稳定，具有因果性。

对于③，h(n)=1212nu(n)+12-32nu(-n-1)，收敛域为12<|z|<32，包含单位圆，系统稳定，不具有因果性。

(3) |H(ejΩ)|=e-jΩ1+e-jΩ-34e-2jΩ

幅频特性如图522所示。



图522


……知识点链接……

离散系统的z域求解方法

(1) 建立描述系统的常系数差分方程： 


∑ki=0aiy(n-i)=∑mj=0bjx(n-j)，m≤k


(2) 求已知输入信号x(n)的单边z变换X(z)。

(3) 对常系数差分方程等号两边求单边z变换，得到z域代数方程： 


∑ki=0aiz-iY(z)-∑ki=0［aiz-i∑-1l=-iy(l)z-l］=∑mj=0bjzjX(z)


(4) 由(3)所得代数方程，得响应的z域解： 


 Y(z)=Yzi(z)+Yzs(z)
Yzi(z)=∑ki=0［aiz-i∑-1l=-iy(l)z-l］∑ki=0aiz-i，
Yzs(z)=∑mj=0bjzjX(z)∑k
i=0aizi


(5) 对(4)所求得的z域解进行z反变换，从而得到响应的时域解。

【题527】计算题

某二阶因果时不变系统，输入为x(n)=u(n)时零状态响应为y(n)=(2n+3×5n+10)u(n)。

(1) 求表示该系统的差分方程； 

(2) 在初始状态为y(-1)=1、y(-2)=2时的零输入响应； 

(3) 在初始状态为y(-1)=2、y(-2)=4，输入为x(n)=3［u(n)-u(n-5)］时的全响应。

【分析】在已知输入和零状态响应的条件下，差分方程可由系统函数反推得到。在已知输入和初始状态的条件下，可以求得系统全响应。

【解答】(1) y(n)=(2n+3·5n+10)u(n)


Y(z)=zz-2+3zz-5+10zz-1
X(z)=zz-1

所以


H(z)=Y(z)X(z)=10zz-1+3zz-5+zz-2zz-1=14z2+85z+111z2-7z+10
y(n)-7y(n-1)+10y(n-2)=14x(n)-85x(n-1)+111x(n-2)


(2) yzi(n)=12·2nu(n)-25·5nu(n)，n≥0

(3) y(n)=3(2nu(n)+3×5nu(n)+10u(n))-3(2n-5u(n-5)+3·5n-5u(n-5)+10u(n-5))+2·12·2nu(n)-50·5nu(n)

【题528】计算题

因果系统的差分方程为


y(n+2)+3y(n+1)+2y(n)=x(n+1)


(1) 求该系统的单位样值响应； 

(2) 输入信号x(n)=(2)nu(n)，初始条件y(0)=3，y(1)=-6，试求系统的全响应、零输入响应、零状态响应。

【分析】系统函数是单位脉冲响应的z变换，单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。系统函数的计算可由系统零状态响应的z变换与激励的z变换的比值得到。在已知输入和初始状态下对差分方程求解得到输出，再进行z变换可以计算系统的全响应、零输入响应、零状态响应。

【解答】(1) 两边同时进行z变换，得


z2Y(z)+3zY(z)+2Y(z)=zX(z)

所以


H(z)=Y(z)X(z)=zz2+3z+2=zz+1-zz+2


由于系统具有因果性，所以


h(n)=(-1)nu(n)-(-2)nu(n)


(2) z2Y(z)-zy(1)-z2y(0)+3zY(z)-3zy(0)+2Y(z)=zX(z)


Y(z)=zX(z)(z+1)(z+2)+3z(z-1)(z+1)(z+2)


零输入响应的z变换为


Yzi(z)=3z(z-1)(z+1)(z+2)=-6zz+1+9zz+2


由于系统具有因果性，所以


yzi(n)=-6(-1)nu(n)+9(-2)nu(n)


零状态响应的z变换为


Yzs(z)=zX(z)(z+1)(z+2)=z2(z+1)(z+2)(z-2)=13zz+1-12zz+2+16zz-2


因为系统具有因果性，所以


yzs(n)=13(-1)nu(n)-12(-2)nu(n)+162nu(n)


系统全响应为


y(n)=yzi(n)+yzs(n)
y(n)=-173(-1)nu(n)+172(-2)nu(n)+162nu(n)


【题529】计算题

设因果的离散时间系统y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)，输入信号x(n)=(2)nu(n)。初始条件y(0)=0，y(1)=2，试求其系统的全响应、零输入响应、零状态响应、自然响应和强迫响应。

【分析】在已知输入和初始状态下对差分方程求解得到输出，再进行z变换可以计算系统的全响应、零输入响应、零状态响应。强迫响应对应激励信号，剩余响应即为自然响应，与激励无关。

【解答】y(n+2)+3y(n+1)+2y(n)=x(n+2)

所以


z2Y(z)-zy(1)-z2y(0)+3zY(z)-3zy(0)+2Y(z)=z2X(z)
Y(z)=z3(z+1)(z+2)(z-2)+3z(z+1)(z+2)


零输入响应： 


yzi(n)=-13(-1)nu(n)+(-2)nu(n)-13·2nu(n)


零状态响应： 


yzs(n)=2(-1)nu(n)-2(-2)nu(n)


全响应： 


y(n)=yzi(n)+yzs(n)=53(-1)nu(n)-(-2)nu(n)-
132nu(n)


自然响应： 


yn(n)=53(-1)nu(n)-(-2)nu(n)


强迫响应： 


yf(n)=-132nu(n)


【题5210】填空题

已知因果的离散时间LTI系统H(z)=zz+0.5，输入x(n)时的零状态响应为y(n)=2nu(n)+(-0.3)nu(n)，则x(n)=。

【分析】X(z)=Y(z)H(z)，由已知的零状态响应和系统函数可以求得输入x(n)的z变换，做反变换即可得到x(n)。

【解答】2n+1u(n)-322n-1u(n-1)。

【题5211】计算题

求离散时间信号y(n)的z变换，给出收敛域，并画图表示之。


y(n)=h(n)*x(n)
h(n)=anu(n)
x(n)=βnu(n)


【分析】根据z变换时域卷积性质，通过计算h(n)和x(n)二者z变换乘积可以得到输出信号y(n)的z变换，收敛域根据极点位置取值。

【解答】y(n)=h(n)*x(n)

所以


Y(z)=zz-αzz-β=z2(z-α)(z-β)



收敛域为|z|>max{|α|，|β|}，如图523所示。



图523


……知识点链接……
1. 系统的因果性


若为因果系统，则H(z)收敛域满足r<|z|<∞(其中r表示H(z)最外面的极点对应的圆半径)，或h(n)=0(n<0)。

2. 系统的稳定性

若为稳定系统，则H(z)收敛域包含单位圆，或∑∞n=-∞|h(n)|<∞。

3. 梅森公式

梅森公式中，T是流图的总增益，也是系统函数。


T=1Δ∑nk=1TkΔk

式中，T为流图的总增益； Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…为流图的特征式，其中∑La是所有回路增益之和； ∑LbLc是在所有互不接触的回路中，每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和； ∑LdLeLf是在所有互不接触的回路中，每次取其中3个回路的回路增益之和； n是前向通路总数； Tk是第k条前向通路总增益； Δk是流图因子式，它等于流图特征式中除去第k条前向通路相接触的回路增益项(包括回路增益的乘积项)以后的余子式。

【题5212】填空题

离散LTI系统的单位脉冲响应为h(n)，则该系统稳定的充要条件是。

【分析】系统稳定的充要条件为单位响应序列绝对可和。

【解答】∑∞n=-∞|h(n)|<∞。

【题5213】选择题

离散LTI系统的系统函数H(z)的收敛域为12<|z|<3，该系统为()。

A. 因果稳定系统B. 非因果稳定系统

C. 因果不稳定系统D. 非因果不稳定系统

【分析】离散LTI系统的系统函数收敛域为圆环状，且该收敛域包含单位圆，系统为稳定系统。

【解答】B。

【题5214】选择题

设系统的输入与输出分别为f(t)或x(n)和y(t)或y(n)，在下述方程所描述的系统中，线性时不变因果稳定系统的是()。

A. y(t)=∫3t-∞f(τ)dτB. y(n)=x(n)(n-1)

C. y(t)=df(t)dtD. y(n)=x(n-2)+2x(n-10)

【分析】A选项不满足因果性； B选项不满足时不变性； C选项不满足稳定性。采用排除法可以得到答案。

【解答】D。

【题5215】计算题

已知离散时间系统的系统函数为


H(z)=zz2+52z-32

不限定系统是否具有因果性和稳定性，可以得到几种单位样值响应h(n)？分别求出每种h(n)，并说明每种系统的因果性和稳定性。

【分析】如果不限定系统的性质，可能得到的单位样值响应一般为3种，分别对应左边序列、右边序列和双边序列。该题中就以两极点12、3作为区间边界对可能的单位样值响应做区分。

【解答】H(z)=zz2+52z-32=2z2z2+5z-3=2z(z+3)(2z-1)

所以系统函数的极点为


z=-3，z=12


根据极点的分布可以得到3种样值响应h(n)。

(1) 当|z|>3时，


H(z)=-27zz+3+47z2z-1=-27zz+3+27
zz-12
h(n)=-27(-3)nu(n)+2712nu(n)


此时收敛域不包含单位圆，所以系统不稳定； 收敛域包含正无穷，所以为因果系统。

(2) 当12<|z|<3时，h(n)=27(-3)nu(-n-1)+2712nu(n)，系统非因果，稳定。

(3) 当|z|<12时，h(n)=27(-3)nu(-n-1)+2712nu(-n-1)，系统非因果，非稳定。



图524

【题5216】计算题

已知因果的离散时间LTI系统框图如图524所示。

(1) 求系统的系统函数H(z)及收敛域； 

(2) 求系统的单位样值响应h(n)； 

(3) 求当激励为x(n)=cos12πn+cos(πn)时的稳态响应。

【分析】该题考查由信号流图得到系统函数H(z)的方法，系统函数H(z)的反变换就是单位样值响应h(n)，可以使用定义法、常用变换对法、部分分式展开法等进行计算。系统的频率响应H(ejω)=H(z)z=ejω对应单位圆上的系统函数，稳态响应为随着时间不断增大仍然不趋于零的响应中的项。

【解答】(1) H(z)=1511-45z-1=15zz-45

由于为因果系统，所以|z|>45。

(2) 因为


H(z)=15zz-45


所以


h(n)=1545nu(n)


(3) 因为极点为z=45，位于单位圆内，收敛域包含单位圆，
所以系统稳定，


H(ejΩ)=15ejΩejΩ-45


所以


Hejπ2=15ejπ2ejΩ-45=441ej(π2+arctan54)
H(ejπ)=15ejπejπ-45-19
y(n)=H(ejπ2)cos12πn+H(ejπ)cos(πn)
=441cosπ2n+π2arctan54+19cos(πn)




图525

【题5217】计算题

已知如图525所示的因果系统，
(1) 该系统的系统函数H(z)，判断系统的稳定性并说明理由； 

(2) 试求系统的单位样值响应； 

(3) 若输入信号为x(n)=u(n)，零输入响应的初始条件为y0(0)=1，y0(1)=2，试求系统的全响应。

【分析】该题首先要求由信号流图得出系统函数，并由极点判断其稳定性。单位样值响应通过运用定义法、常用变换对法、部分分式展开法等对系统函数H(z)进行反变换得到。系统全响应可以先通过z域求解得到全响应的z域表示，再经过反变换得到系统的全响应y(n)。

【解答】(1) 由图525可得


X(z)-0.8z-1Y(z)+0.2z-2Y(z)=Y(z)
H(z)=Y(z)X(z)=11+0.8z-1-0.2z-2=z2(z-0.2)(z+1)


因为极点为z=0.2和z=1，位于单位圆内，所以系统稳定。

(2) H(z)=z2(z-0.2)(z+1)=16zz-0.2+56zz+1

因为是因果系统，所以h(n)=1615nu(n)+56(-1)nu(n)

(3) 因果系统


y(n)+0.8y(n-1)-0.2y(n-2)=x(n)


因为y(1)+0.8y(0)-0.2y(-1)=x(1)，所以y(-1)=9。

因为y(0)+0.8y(-1)-0.2y(-2)=x(0)，所以y(-2)=36。


Y(z)+0.8(z-1Y(z)+y(-1))-0.2(z-2Y(z)+z-1y(-1)+y(-2))=X(z)
Y(z)=X(z)1+0.8z-1-0.2z-2-1.8z-11+0.8z-1-0.2z-2
Y(z)=z3(z-1)(z-0.2)(z+1)-1.8z(z-0.2)(z+1)
Y(z)=z512z+1-124z-15+58z-1+32zz-15-zz+1


所以


y(n)=58+(-1)n+15nu(n)+3215n-32(-1)nu(n)


【题5218】计算题

一离散系统的差分方程为


y(n+2)+0.1y(n+1)-0.2y(n)=x(n+2)+1.2x(n+1)+0.2x(n)


初始值y(0)=-1，y(1)=2，激励x(n)=u(n)。

(1) 求系统的传输函数H(z)。

(2) 判定该系统是否稳定。

(3) 求系统的全响应y(n)。

【分析】系统传输函数通过对差分方程进行z变换后z域求解得到，根据系统函数极点位置判断系统稳定性。系统的全响应可以先用z域求解，根据收敛域的不同，做反变换得到的全响应y(n)也有所区别，注意区分情况讨论。

【解答】
(1) H(z)=10z2+12z+210z2+z-2。

(2) H(z)=2(z+1)(5z+1)(2z+1)(5z-2)。

极点为z=-12和z=25，收敛域包含单位圆，系统稳定。有3种情况： 

① 收敛域为|z|>12，系统稳定。

② 收敛域为|z|<25，系统不稳定。

③ 收敛域为25<|z|<12，系统稳定。

(3) z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)+0.1zY(z)-0.1zy(0)-0.2Y(z)=z2X(z)-z2x(0)-zx(1)
+1.2zX(z)-1.2zx(0)+0.2X(z)

所以


Y(z)=(z2+1.2z+0.2)X(z)z2+0.1z-0.2-2z2+0.3zz2+0.1z-0.2
Y(z)=zz2+1.2z+0.2(z+0.5)(z-0.4)(z-1)-2z2+0.3(z+0.5)(z-0.4)
Y(z)=z-19z+0.5+-149z-0.4+83z-1-79zz+0.5+119zz-0.4


① 当收敛域为|z|>12时


y(n)=83-19(-0.5)n-149(0.4)nu(n)-79(-0.5)n+119(0.4)nu(n)


② 当收敛域为|z|<25时


y(n)=83u(n)+19(-0.5)n+149(0.4)nu(-n-1)+
79(-0.5)n+119(0.4)nu(-n-1)


③ 当收敛域为25<|z|<12时


y(n)=83u(n)+19(-0.5)nu(-n-1)-149(0.4)nu(n)+
79(-0.5)nu(-n-1)-119(0.4)nu(n)


【题5219】计算题

已知一个离散因果线性时不变系统，初值y(-1)=0，y(-2)=256，输入x(n)=u(n)时，系统的响应为


y(n)=［1-(0.4)n-(0.6)n］u(n)


(1) 求该系统的差分方程。

(2) 求该系统的单位样值响应h(n)，说明该系统的稳定性。

(3) 若输入信号为x(n)=u(n)-u(n-2)，求输出响应y(n)。

【分析】观察输入/输出响应形式，可知系统存在z1=0.4，z2=0.6两个极点，从而计算得到差分方程。由题干已知该系统为因果系统，利用部分分式展开法和常用变换对法做系统函数反变换得到单位样值响应，系统的稳定性由极点位置判定。输出响应y(n)可由z域求解。

【解答】
(1) 因为是因果LTI系统，且存在两个极点z1=0.4，z2=0.6，所以差分方程为


y(n)-y(n-1)+0.24y(n-2)=ax(n)+bx(n-1)+cx(n-2)


(2) Y(z)-z-1Y(z)-y(-1)+0.24z-2Y(z)+0.24z-1y(-1)+0.24y(-2)=aX(z)+bz-1X(z)+cz-2X(z)

所以


Y(z)=a+bz-1+cz-21-z-1+0.24z-2zz-1-0.24y(-2)-y(-1)1-z-1+0.24z-2
=zz-1-zz-0.4-zz-0.6


解出


a=0，b=1，c=-0.76
H(z)=z-1-0.76z-21-z-1+0.24z-2=5zz-0.6-5zz-0.4-3.8z-1zz-0.6-zz-0.4


因此


h(n)=5(0.6)nu(n)-5(0.4)nu(n)-3.8(0.6)n-1u(n-1)+3.8(0.4)n-1u(n-1)
=343(0.6)nu(n)+92(0.4)nu(n)-196
δ(n)


由于为因果系统，
收敛域|z|>0.6包含单位圆，所以系统稳定。

(3) y(n)=x(n)*h(n)=［u(n)+u(n-1)］*h(n)

=3431-(0.6)n+11-0.6u(n)+921-(0.4)n+11-0.4u(n)-196［u(n)-u(n-1)］

【题5220】计算题

已知H(z)的系统方框图如图526所示。
在H(z)的基础上搭建一个因果的离散时间反馈系统，如图527所示。




图526





图527



(1) 求该离散时间反馈系统的系统函数H^(z)，并判断该系统是否为稳定系统。

(2) 求该离散时间反馈系统的单位冲激响应h^(n)。

(3) 当x(n)=u(n)时，试求离散时间反馈系统输出端的响应y(n)。

【分析】根据系统框图写出系统函数。

【解答】(1) H(z)=11+16z-123z-11-z-1=23zz+16(z-1)

又因为


H′(z)=H(z)1+H(z)=23zz+16(z-1)1+23zz+16(z-1)=23zz2-16z-16
=23zz-12z+13=45zz-12+-45zz+13


且H′(z)是因果的，所以|z|>12，为稳定系统。

(2) h^(n)=4512nu(n)-45-13nu(n)。

(3) y(n)=x(n)*h^(n)

=h^(n)*u(n)

=4512n+1-1n+112-1u(n)-45-13n+1-1n+1-13-1u(n)

=-8512n+1-1n+1u(n)+35-13n+1-1n+1u(n)



图528

【题5221】画图题

已知离散时间系统单位样值响应h(n)=2δ(n-1)+δ(n-2)+0.5δ(n-3)，则系统函数H(z)=2z-1+z-2+0.5z-3，画出其零极点图。

【分析】将原系统函数变形为H(z)=2z2+z+0.5z3，从而计算出零点为z=-1±3j4，极点为z=0。


【解答】零极点图如图528所示。

【题5222】计算题

已知某离散时间系统的单位样值响应h(n)=a|n|，a为实常数，求系统函数H(z)，写出收敛域，并判断系统的稳定性。

【分析】单位样值响应h(n)=a|n|，包含绝对值的序列不方便计算，考虑消去绝对值表示，计算系统函数H(z)=∑∞n=-∞a|n|z-n=∑-1n=-∞a-nz-n+∑∞n=0anz-n，从而得到系统对应的极点和收敛域，系统稳定性由收敛域是否包含单位圆判断。

【解答】H(z)=∑∞n=-∞a|n|z-n=∑-1n-∞a-nz-n+∑∞n=0anz-n

=zz-a-zz-1a=a-1az(z-a)z-1a

收敛域为|a|<|z|<1a。

当-1≤a≤1时存在系统函数，当a>1时不存在系统函数。

当-1<a<1时系统稳定。

【题5223】计算题

已知一个离散线性时不变因果系统如图529所示。



图529


(1) 求该系统的系统函数。

(2) 指出该系统函数的收敛域和零极点。

(3) 求该系统的单位样值响应。

(4) 若f(n)=(-1)n，求该系统的零状态响应y(n)。

(5) 指出该系统是否稳定。

【分析】先由系统框图写出系统函数H(z)，并由题干中已知系统因果的条件得到该系统函数的收敛域和零极点。利用部分分式分解和常用变换对法作反变换得到系统单位样值响应，由于系统因果，故只有一种可能。输入f(n)=(-1)n相当于直流分量，输出即为系统对应的H(-1)与输入相乘得到。系统的稳定性由收敛域是否包含单位圆判断。

【解答】(1) H(z)=2z-11+5z-1+6z-2=2zz2+5z+6

(2) H(z)=2z(z+2)(z+3)

所以极点为z=-2和z=-3，零点为z=0。

因为系统为因果系统，所以H(z)的收敛域为|z|>3。

(3) H(z)=2z(z+2)(z+3)=2z(z+2)-2z(z+3)

h(n)=-(-2)n+1u(n)-2·(-3)nu(n)

(4) y(n)=H(-1)·(-1)n=(-1)n+1



图5210

(5) 因为收敛域为|z|>3，不包含单位圆，所以系统不稳定。

【题5224】选择题

如图5210所示的离散系统，k为何值时可使系统稳定。()

A. |k|>12
B. |k|<12

C. |k|>2
D. |k|<2


【分析】首先根据系统框图确定该系统为因果系统并写出系统函数H(z)=1+k3z-11+k2z-1，可得到极点z=-k2。再由系统稳定时收敛域包含单位圆即可确定k的取值范围。

【解答】D。

考点3离散时间系统的复频域(z域)分析

本节考点： 主要考查利用z变换求解系统响应，分析系统多种特性。

【题531】简答题

因果离散时间系统的差分方程如下所示(其中a为实数)： 


y(n)-ay(n-1)=x(n)


(1) 求该系统的系统函数H(z)，并绘出其信号流图。

(2) 试讨论a的取值与系统稳定性的关系。

(3) 在系统稳定的情况下，试讨论a的取值与系统滤波特性的关系。

(4) 输入信号为x(n)=δ(n)-a4δ(n-4)，求零状态响应。该响应中是否含有完整的自然响应分量？试简要分析其原因。

【分析】利用求解差分方程可得到目标系统函数H(z)，常用的方法有时域经典法、时域卷积和求解和z域求解。由系统极点分布决定系统稳定性，稳定系统的收敛域包含单位圆。系统频率特性由决定零极点分布。零状态响应与系统初始状态无关，仅由激励信号引起，其中的自然响应分量由系统极点决定，当输入信号与系统响应之间存在零极点相消时会消去对应的自然响应分量。

【解答】(1) H(z)=11-az-1，|z|>|a|。

(2) 当|a|<1时系统稳定。

(3) 当0<a<1时为低通滤波器，当-1<a<0时为高通滤波器，|a|越大，通带越窄，当a=0时为全通系统。

(4) y(n)=an·［u(n)-u(n-4)］={1，a，a2，a3}。

系统的特征模式为h(n)=anu(n)，由于输入信号X(z)=1-(az)-4的零点与系统的极点相消，因此输出中不含有完整的自然响应分量。

【题532】计算及画图题

滑动平均是一种用于滤除噪声的简单数据处理方法，差分方程y(n)=14［x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)］描述的是一种滑动平均系统，当接收到输入数据x(n)后，将本次输入与前3次的输入数据进行平均。

(1) 求该系统的系统函数H(z)和单位样值响应h(n)。

(2) 画出其零极点图。

(3) 求系统的频率响应H(Ω)，并定性画出其幅频特性曲线(要求表明关键阶段的数值)。

【分析】本题已知差分方程，对差分方程进行z变换得到系统函数H(z)，再利用部分分式展开法和常用变换对求反变换得到单位样值响应h(n)。系统的频率响应对应单位圆上的系统函数，关键点可能为接近系统零极点及常见的0、π2、π频率的位置。

【解答】(1) 两边同时进行z变换，得


Y(z)=14［X(z)+z-1X(z)+z-2X(z)+z-3X(z)］


所以


H(z)=Y(z)X(z)=14(1+z-1+z-2+z-3)
h(n)=14δ(n)+14δ(n-1)+14δ(n-2)+14δ(n-3)


(2) H(z)=14(z2+1)(z+1)z3

零极点图如图531所示。


(3) 
H(Ω)=∑∞n=-∞h(n)e-jΩn

=14+14e-jΩ+14e-j2Ω+14e-j3Ω

幅频特性曲线如图532所示。

【题533】计算及画图题

已知某因果线性时不变系统的差分方程为


y(n)-16y(n-1)-16y(n-2)=x(n)-2x(n-1)


(1) 该系统的系统函数H(z)，画出其零极点图，指明其收敛域。




图531




图532




(2) 该系统是否为稳定系统？若稳定，则粗略画出其幅频响应|H(ejΩ)|图，并指明其为何种类型滤波器(低通、高通、带通、全通等)。

(3) 当输入信号为x(n)=1+cosπ2n时，求系统输出y(n)。

【分析】由题干可知，该系统为因果线性时不变系统，系统函数H(z)通过对差分方程进行z域求解，收敛域为圆外区域，并根据收敛域是否包含单位圆判断稳定性，系统的频率响应H(ejω)=H(z)z=ejω对应单位圆上的系统函数。

【解答】
(1) H(z)=z2-2zz2-16z-16=z(z-2)z-12z+13

零极点图如图533所示。


(2) 由于收敛域包含单位圆，所以系统稳定。


|H(ejΩ)|=1-e-j2Ω1-16e-jΩ-16e-2jΩ


频率响应特性曲线如图534所示，为高通滤波器。




图533




图534



(3) y(n)=1·|H(j0)|+1·Hjπ2cosπ2n+∠Hjπ2

=32+625cosπ2n+172°

【题534】计算及画图题

某因果离散系统的差分方程为


y(n)-34y(n-1)+18y(n-2)=x(n)+13x(n-1)


(1) 求系统函数和单位样值响应。

(2) 讨论此因果系统的收敛域和稳定性。

(3) 画出系统的零极点分布图。

(4) 定性画出［0，2π］范围内的幅频响应特性曲线。

【分析】系统函数H(z)通过对差分方程进行z域求解，由题干中因果系统的条件可以进行反变换得到单位样值响应。收敛域为圆外区域，并根据收敛域是否包含单位圆判断稳定性，系统的频率响应H(ejω)=H(z)z=ejω对应单位圆上的系统函数，基于频率响应在频率为0~π时与各极点的距离判断系统的滤波特性。

【解答】
(1) 两边同时进行z变换，可得


-34z-1Y(z)+18z-2Y(z)=X(z)+13z-1X(z)

所以


H(z)=Y(z)X(z)=24z2+8z24z2+18z+3=z24z+8(4z-1)(6z-3)
=-283z4z-1+20z(6z-3)
=-73zz-14+103
zz-12
h(n)=-7314nu(n)+10312nu(n)


(2) 因为系统是因果的，极点为z=14，z=12，所以收敛域为|z|>12。
因为极点在单位圆内，收敛域包含单位圆，所以系统稳定。

(3) 其零极点图如图535所示。


(4) |H(jΩ)|在Ω为0~π时，两个极点的距离越来越大，而到z=-13极点处的距离越来越小，所以这是一个低通滤波器。


|H(j0)|=329，|H(jπ)|=1645


频率响应特性曲线如图536所示。

【题535】计算题

某离散时间系统的方框图如图537所示。




图535




图536






图537


(1) 求该系统的系统函数H(z)。

(2) 描述该系统的差分方程。

(3) 分析该系统的因果性、稳定性，并指明其收敛域。

(4) 求系统稳定时的单位样值响应h(n)。

【分析】本题首先要根据给出的系统方框图写出系统函数H(z)，并得到系统的差分方程。系统的因果性和稳定性靠收敛域判断，如果题中未明确给出条件，要对各种情况进行假设。

【解答】(1) 
x(n)-43x(n-2)+2x(n-1)-x(n-1)=y(n)

H(z)=1+z-1-43z-2

(2) x(n)-43x(n-2)+x(n-1)=y(n)。

(3) 极点为z=0，若收敛域为|z|>0，则系统具有因果性，为稳定系统。

(4) h(n)=δ(n)+δ(n-1)-43δ(n-2)。

【题536】计算及画图题

滑动平均滤波器可用如下差分方程描述，其中b为待定的常系数。


y(n)=b［0.5x(n)+x(n-1)+0.5x(n-2)］


(1) 推导该系统的单位冲激响应h(n)和系统函数H(z)，并指出其收敛域。

(2) 若要求该系统的直流增益为1，则参数b应如何取值？

(3) 若取b=1，试绘制系统的幅频和相频特性曲线，并指出该系统实现的滤波器类型。

(4) 若取b=1，输入为x(n)=(-1)n，求系统的输出y(n)。

【分析】首先对差分方程进行z变换求解，得到系统函数H(z)和单位冲激响应h(n)，注意，因果系统对应的收敛域为圆外区域。直流增益的计算为零频点对应系统函数的数值|H(ej0)|。单位圆上的系统函数|H(ejΩ)|即对应系统频率响应，观测频率响应在频率为0~π时与各极点的距离，可以判断系统的滤波特性。

【解答】
(1) Y(z)=0.5bX(z)+bz-1X(z)+0.5bz-2X(z)

所以

H(z)=0.5b+bz-1+0.5bz-2
h(n)=0.5bδ(n)+bδ(n-1)+0.5bδ(n-2)，|z|>0


(2) H(ejΩ)=0.5b+be-jΩ+0.5be-j2Ω

|H(ej0)|=0.5b+b+0.5b=2b=1

所以b=0.5。

(3) H(z)=z2+2z+12z2=(z+1)22z2

|H(ejΩ)|在Ω为0~π时，
幅频和相频特性曲线如图538所示。



图538


(4) y(n)=0.5x(n)+x(n-1)+0.5x(n-2)=(-1)n+(-1)n-1=0

【题537】计算及画图题

已知某因果线性时不变系统的差分方程为


y(n)-14y(n-2)=x(n)-2x(n-1)


(1) 该系统的系统函数H(z)，画出其零极点图，指明其收敛域。

(2) 该系统是否为稳定系统？若稳定，则粗略画出其幅频响应|H(ejΩ)|或|H(Ω)|图，并指明其为何种类型滤波器(低通、高通、带通、全通等)。

(3) 画出其用离散时间3种基本单元(延时器、加法器和乘法器)构成的级联实现结构的方框图或信号流图。

【分析】对系统差分方程做z变换并计算系统函数和零极点。题干中给出系统为因果线性时不变系统，故收敛域圆外收敛。系统稳定性由收敛域是否包含单位圆判断。单位圆上的系统函数|H(ejω)|即对应系统频率响应，基于频率响应在频率为0~π时与各极点的距离可判断系统的滤波特性。信号流图可参照系统函数绘制。

【解答】
(1) Y(z)-14z-2Y(z)=X(z)-2z-1X(z)

H(z)=1-2z-11-14z-2=z(z-2)z+12z-12

零极点图如图539所示。


(2) 收敛域包含单位圆，系统稳定。收敛域如图5310所示。




图539




图5310



所以|H(jΩ)|图如图5311所示。

(3) H(z)=11+12z-11-2z-11-12z-1，信号流图如图5312所示。




图5311





图5312



【题538】计算及画图题

已知某因果线性时不变系统的差分方程为


y(n)-14y(n-2)=x(n)-2x(n-1)


(1) 求该系统的系统函数H(z)，画出其零极点图，指明其收敛域。

(2) 该系统是否为稳定系统？若稳定，则粗略画出其幅频响应|H(ejΩ)|或|H(Ω)|图，并指明它是何种类型滤波器(低通、高通、带通、全通等)。

【分析】对差分方程两边进行z变换求解得到系统函数。题中已经给出系统具有因果性，故其收敛域位于单位圆外。由于两个极点z=12、z=-12都位于单位圆内，故系统稳定，单位圆上的系统函数|H(ejΩ)|即对应系统频率响应，通过对0~π的频率响应求解可判断系统的滤波特性。

【解答】(1) 两边同时进行z变换，得


Y(z)-14z-2Y(z)=X(z)-2z-1X(z)

所以

H(z)=1-2z-11-14z-2=z(z-2)z-12z+12


由于系统具有因果性，所以其零极点图及收敛域如图5313所示。


(2) 收敛域包含单位圆，系统稳定。


|H(ejΩ)|=1-2e-jΩ1-14e-2jΩ


|H(ejΩ)|图如图5314所示。




图5313




图5314



【题539】计算题

离散因果系统框图如图5315所示，若x(n)=［1+2cos(nπ/2)+3cos(nπ)］u(n)，求系统的稳态响应。



图5315


【分析】由系统框图可求出系统函数以及该系统的幅频响应，对照输入信号可计算系统的响应，其中稳态响应为响应中不随时间衰减到零的部分。

【解答】

X1(z)=X(z)-X1(z)z-1-X1(z)z-2

Y(z)=3X1(z)+X1(z)z-2


联立方程，有


X1(z)=11+z-1+z-2X(z)
Y(z)=3+z-21+z-1+z-2X(z)


若


X(z)=11-z-1+21-cosπ2z-11-2cosπ2z-1+z-2+31-(cosπ)z-11-(2cosπ)z-1+z-2
=11-z-1+211+z-2+31+z-11+2z-1+z-2=6+4z-1-2z-4(1-z-1)(1+z-2)(1+z-1)2

则有


Y(z)=6+4z-1-2z-4(1-z-1)(1+z-2)(1+z-1)23+z-21+z-1+z-2
=6-2z-1+2z-2-2z-31-z-43+z-21+z-1+z-2


【题5310】计算及画图题

已知某离散时间系统的差分方程为


y(n+2)-52y(n+1)+y(n)=x(n)


(1) 求系统函数H(z)，并画出零极点图。

(2) 讨论系统的因果性和稳定性，并说明原因。

(3) 假设系统为因果系统，初始状态为y(0)=-1，y(1)=1，输入x(n)=u(n)，求系统的零输入响应和零状态响应。

【分析】对差分方程两边进行z变换并由H(z)=Y(z)X(z)得到系统函数和零极点。当系统收敛域圆外收敛时该系统为因果系统，收敛域圆内收敛时为非因果系统。



图5316

系统收敛域包含单位圆时该系统为稳定系统，反之不稳定。题目中未直接指出系统的因果稳定性质，故需分情况进行讨论。求解已知输入的响应时一般运用z域求解得到输出全响应的z变换，再由其得到零输入响应和零状态响应z变换，该问中已给出系统因果的条件，故进行反变换时无须再分类讨论。

【解答】
(1) H(z)=3(z-2)(2z-1)=1+13zz-2-83z2z-1

零极点图如图5316所示。


(2) |z|>2时系统因果，不稳定。因为收敛域包含无穷大，不包含单位圆； 
12<|z|<2时系统稳定，非因果。因为收敛域包含单位圆，不包含无穷大。

(3) 两边进行z变换： 


z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)-52zY(z)+52zy(0)+Y(z)=X(z)
Y(z)=72z-z2(z-2)z-12+X(z)(z-2)z-12


零输入响应z域表达式为


Yzi(z)=72z-z2(z-2)z-12=zz-2-2zz-12


因为系统具有因果性，所以


yzi(n)=2nu(n)-212nu(n)


零状态响应z域表达式为


Yzs(z)=X(z)(z-2)z-12=z(z-1)(z-2)z-12
Yzs(z)=-2zz-1+23zz-2
+43zz-12


因为系统具有因果性，所以


yzs(n)=-2u(n)+232nu(n)+4312nu(n)


【题5311】计算及画图题

已知一滤波器的系统函数为


H(z)=1+z-11-0.5z-1


(1) 求因果系统的单位样值响应，并判断该系统是否为稳定系统。

(2) 求其频率响应，并画出幅度频谱图，该滤波器为何种类型滤波器(低通、高通、带通、带阻或全通)。

(3) 若滤波器的单位样值响应为g(n)=(-1)nh(n)，画出其幅度频谱图，该滤波器为何种类型滤波器(低通、高通、带通、带阻或全通)。

【分析】已知系统为因果系统，利用部分分式分解和常用变换对法对系统函数进行反变换即可得到系统单位样值响应，再由收敛域是否包含单位圆内确定稳定性。单位圆上的系统函数|H(ejΩ)|即对应系统频率响应。对g(n)=(-1)nh(n)进行z变换即可得到新滤波器的特性。

【解答】(1) H(z)=11-0.5z-1+z-11-0.5z-1

因为系统具有因果性，所以|z|>0.5，为稳定系统。

(2) H(ejΩ)=1+e-jΩ1-0.5e-jΩ

系统为低通滤波器，幅度频谱图如图5317所示。


(3) 系统为低通滤波器


G(z)=H(-z)
G(ejΩ)=1+ejΩ1-0.5ejΩ



幅度频谱图如图5318所示。




图5317




图5318



【题5312】计算及画图题

已知因果离散系统差分方程为


y(n)-34y(n-1)+18y(n-2)=x(n)-2x(n-1)


输入信号x(n)=2nu(n)，y(0)=2，y(1)=3/2，试求： 

(1) 该系统的全响应y(n)，自然响应yn(n)，强迫响应yf(n)。

(2) 系统函数H(z)，并画出系统的零极点图。

(3) 该系统是否存在频率响应？若存在，则粗略画出系统幅频响应特性曲线； 若不存在，则说明理由。

(4) 画系统的方框图或结构图或信号流图。

【分析】先根据已知系统初始状态y(0)=2，y(1)=32求出其他系统初始状态y(-1)=0，y(-2)=-8。对系统差分方程进行z变换并求出全响应，注意题干中已经给出了系统因果的条件。系统函数和零极点同样由差分方程的z变换得到。系统是否存在频率响应等价于系统是否具有稳定性，通过收敛域是否包含单位圆可以判断，系统频率响应即对应z域单位圆上的系统函数|H(ejω)|。信号流图可根据差分方程或系统函数绘制。

【解答】
(1) 由y(1)-34y(0)+18y(-1)=0，得


y(-1)=0


由y(0)-34y(-1)+18y(-2)=1，得


y(-2)=-8


对差分方程两边进行z变换，得


Y(z)-34{z-1Y(z)+y(-1)}+18{z-2Y(z)+z-1y(-1)+y(-2)}=(1-2z-1)X(z)
Y(z)=(1-2z-1)X(z)1-34z-1+18z-2+11-34z-1+18z-2


因为


X(z)=11-2z-1


所以


Y(z)=21-34z-1+18z-2=4zz-12-2zz-14


由于系统具有因果性，所以全响应为


y(n)=412nu(n)-214nu(n)


自然响应为

yn(n)=412nu(n)-214nu(n)


强迫响应为


yf(n)=0


(2) H(z)=1-2z-11-34z-1+18z-2=z(z-2)z-12z-14

零极点图如图5319所示。

(3) 由于收敛域包含单位圆，所以系统稳定，频率响应存在。


H(ejΩ)=1-2e-jΩ1-34e-jΩ+18e-j2Ω


幅频响应特性曲线如图5320所示。




图5319



图5320




图5321

(4) 信号流图如图5321所示。

【题5313】计算题

已知因果离散系统如图5322所示，取延时器输出为状态变量。

(1) 试建立该系统的状态方程和输出方程。

(2) 若要使系统稳定，试确定常量b的大小。




图5322


【分析】首先根据系统框图确定状态变量，得到相应方程，然后根据因果稳定系统约束确定b。

【解答】
(1) 系统为二阶系统，因此有两个状态变量，取两个积分器后的输出作为两个状态变量，由后到前为x2和x1，可得到以下状态方程： 


x·1=bx1+x2
x·2=0.5x2+f(n)


输出方程为


y(n)=3x·2+x1
H(z)=11-0.5z-111-bz-1+3
=4-3(b+0.5)z-1+1.5bz-21-(b+0.5)z-1+0.5bz-2

所以


y(n)-(b+0.5)y(n-1)+0.5by(n-2)=4x(n)-3(b+0.5)x(n-1)+1.5bx(n-2)


(2) 由于系统具有因果性，所以|z|>0.5且|z|>|b|。

若系统稳定，则要求|b|<1。

【题5314】计算题

已知一因果离散时间系统的方框图如图5323所示，当输入f(n)=13n，-∞<n<∞时，输出响应y(n)=0。

(1) 求系统函数H(z)，并写出系统的差分方程。

(2) 选延时器的输出作为状态变量，试建立该系统的状态方程和输出方程(用矩阵方式表示)。

(3) 求系统的单位阶跃响应s(n)。



图5323


【分析】首先根据方框图写出系统函数和差分方程。

【解答】(1) H(z)=1+kz-11-34z-1+18z-2

所以


y(n)-34y(n-1)+18y(n-2)=x(n)+kx(n-1)


又因为x(n)=13n时


y(n)=0


所以必定存在零点z=13，所以k=-13。于是有


y(n)-34y(n-1)+18y(n-2)=x(n)-13x(n-1)


(2) 系统为二阶系统，因此有两个状态变量，取两个积分器后的输出作为两个状态变量，可得到以下状态方程： 


x·1=x2x·2=X(z)-18x1+34x2
x·1x·2=01-1834x1x2+01X(z)


输出方程为


Y(z)=Kx2+x·2
Y(z)=K1x2x·2


方框图如图5324所示。



图5324


(3) h(n)=2312nu(n)+1314nu(n)

所以


s(n)=h(n)*u(n)=2312n+1-112-1u(n)+1314n+1-114-1u(n)
=-4312n+1-1u(n)-4914n+1-1u(n)

考点4离散时间信号及系统的频域分析

本节考点：  主要考查离散时间信号的DTFT定义及求解，以及利用DTFT分析离散线性时不变系统，重点是系统的滤波特性。

……知识点链接……

1. DTFT定义和存在条件

DTFT： X(Ω)=∑∞n=-∞x(n)e-jΩn=DTFT［x(n)］

IDTFT： x(n)=12π∫2πX(Ω)ejΩndΩ=IDTFT［X(Ω)］

存在条件： 离散信号x(n)是绝对可和，即∑∞n=-∞|x(n)|<∞。

2. DFS定义和存在条件

DFS： X～(k)=∑n=<N>x～(n)e-j2πNkn=∑n=<N>x～(n)WknN=DFS［x～(n)］

IDFS： x～(n)=1N∑k=<N>X～(k)ej2πNkn=1N∑k=<N>X～(k)W-knN=IDFS［X～(k)］

存在条件： 离散信号x～(n)是绝对可和，即∑∞n=-∞|x～(n)|<∞。

3. CTFT、DTFT、DFS之间的关系

CTFT与DTFT的关系： 


X(Ω)=Xs(jω)ω=ΩTs=XsjΩTs

其中，Xs(jω)对连续时间信号Xa(t)以时间间隔Ts进行理想抽样后的CTFT。

DTFT与DFS的关系： 


X～(k)=X(Ω)Ω=2π
N

或


X～(Ω)=2πN∑∞k=-∞X2πNkδΩ-2πNk

4. 常用DTFT性质

(1) 周期性。

离散时间傅里叶变换对Ω来说，总是周期的，其周期为2π。

(2) 线性。


ax1(n)+bx2(n)aX1(Ω)+bX2(Ω)


(3) 对称性。


x*(n)X*(-Ω)


对实信号x(n)，幅度谱|X(Ω)|是Ω的偶函数，相位谱∠X(Ω)是Ω的奇函数。

(4) 时移和频移性质。


x(n-n0)e-jΩn0X(Ω)
ejΩ0nx(n)X(Ω-Ω0)


(5) 时间和频率尺度特性。


x(k)(n)X(kΩ)，k为1的整数


特例： 


x(-n)X(-Ω)


(6) 频域微分。


nx(n)jdX(Ω)dΩ


(7) 帕塞瓦尔定理。


∑∞n=-∞|x(n)|2=12π∫2π|X(Ω)|2dΩ


(8) 卷积性质。


x(n)*h(n)X(Ω)H(Ω)

5. 常用DTFT变换对

(1) δ(n)1

(2) u(n)11-e-jΩ+π∑∞l=-∞δ(Ω-2πl)

(3) anu(n)11-ae-jΩ，|a|<1

(4) nanu(n)，|a|<1ae-jΩ(1-ae-jΩ)2=aejΩ(ejΩ-a)2

(5) 12π∑∞l=-∞δ(Ω-2πl)

(6) ejΩ0n2π∑∞l=-∞δ(Ω-Ω0-2πl)

(7) cosΩ0nπ∑∞l=-∞［δ(Ω-Ω0-2πl)+δ(Ω+Ω0-2πl)］

(8) ΩcπSa(Ωcn)∑∞l=-∞G2Ωc(Ω-2πl)

【题541】多选题

序列x(n)的DTFT为X(Ω)，则以下正确的有()。



A. X(Ω)=X(Ω+2π)
B. x(-n)DTFTX(-Ω)

C. x(2n)DTFTX(Ω/2)
D. nx(n)DTFTdX(Ω)dΩ


【分析】由DTFT定义可知，X(ejω)=∑∞n=-∞x(n)e-jωn，所以


X(Ω+2π)=∑∞n=-∞x(n)e-j(Ω+2π)n=X(Ω)
∑∞n=-∞x(-n)e-jΩn=∑∞n=-∞x(-n)e-j(-Ω)(-n)=X(-Ω)
∑∞n=-∞x(2n)e-jΩn=∑∞n=-∞12［x(n)+(-1)nx(n)］e-j(2Ω)n2
=12［X(ejΩ/2)+X(ej(Ω-2π)/2)］


故选项C错误。


nx(n)DTFTjdX(Ω)dΩ


故选项D错误。

【解答】A、B。

【题542】计算题

求序列12n［u(n+4)-u(n-2)］的离散时间傅里叶变换X(Ω)。

【分析】该题可等价于求序列的z变换，再取z=ejΩ就能得到离散时间傅里叶变换X(Ω)。

【解答】因为序列是有限长序列，必然可以进行z变换，所以
z变换为


1-(2z)6z(1-2z)=1+2z+…+(2z)5z

X(Ω)=1+2ejΩ+…+(2ejΩ)5ejΩ


【题543】填空题

已知x(n)的DTFT为X(Ω)，则x(-n)的DTFT为。

【分析】∑∞n=-∞x(-n)e-jΩn=∑∞n=-∞x(-n)e-j(-Ω)(-n)=X(-Ω)

【解答】X(-Ω)。

【题544】填空题

x(n)的离散时间傅里叶变换为X(Ω)，则xn2的离散时间傅里叶变换为。

【分析】∑∞n=-∞xn2e-jΩn=∑∞n=-∞xn2e-j(2Ω)n2=X(2Ω)

【解答】X(2Ω)。

【题545】多选题

已知x(n)的离散时间傅里叶变换为X(Ω)，则下列x(n)中一定满足X(Ω)|Ω=0=X(0)=0的有()。

A. x(n)奇对称
B. x(n)偶对称

C. x(0)=0
D. ∑∞n=-∞x(n)=0

【分析】X(Ω)=∑∞n=-∞x(n)e-jΩn X(0)=∑∞n=-∞x(n)，故当∑∞n=-∞x(n)=0或序列x(n)奇对称时一定有X(Ω)|Ω=0=X(0)=0。

【解答】A、D。

【题546】多选题

离散时间周期信号的频谱具有的特点是()。

A. 离散的B. 收敛的C. 周期的D. 连续的

【分析】离散信号对应的频谱是周期的，周期信号对应的频谱是离散的。

【解答】A、C。

【题547】填空题

已知信号x(n)如图541所示，其离散时间傅里叶变换(DTFT)为X(Ω)，则有∫π-πX(Ω)dΩ=。



图541


【分析】x(n)=12π∫π-πX(Ω)ejΩndΩ，故∫π-πX(Ω)dΩ=2πx(0)=4π。

【解答】4π。

【题548】多选题

序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为X(Ω)，则下列说法正确的有()。

A. X(Ω)一定是连续的
B. X(Ω)一定是周期的

C. x(-n)DTFTX(-Ω)
D. x(n/2)DTFTX(2Ω)

E. x(2n)DTFTX(Ω/2) 

【分析】周期信号对应的频谱是离散的，排除选项A。离散信号的频谱一定是周期的，故选项B正确。∑∞n=-∞x(-n)e-jΩn=∑∞n=-∞x(-n)e-j(-Ω)(-n)=X(-Ω)，故选项C正确。∑∞n=-∞xn2e-jΩn=∑∞n=-∞xn2e-j(2Ω)n2=X(2Ω)，故选项D正确。∑∞n=-∞x(2n)e-jΩn=∑∞n=-∞12［x(n)+(-1)nx(n)］e-j(2Ω)n2=12［X(ejΩ2)+X(ej(Ω-2π)2)］，因为序列x(2n)没有使用x(n)的奇数项，所以不能与xn2使用相同的方法，排除选项E。

【解答】B、C、D。

【题549】多选题

序列x(n)的DTFT为X(Ω)，满足X(0)=0的条件有()。

A. x(n)奇对称B. x(n)偶对称

C. x(n)=0D. ∑∞n=-∞x(n)=0

【分析】X(Ω)=∑∞n=-∞x(n)e-jΩn X(0)=∑∞n=-∞x(n)，故当∑∞n=-∞x(n)=0或序列x(n)奇对称时一定有X(Ω)|Ω=0=X(0)=0。当序列x(n)=0时也满足上述条件。

【解答】A、C、D。

【题5410】填空题

已知一周期信号x(n)=cosnπ4+sinnπ8-2cosnπ2，其周期应该为。

【分析】序列x(n)包含的正弦序列的周期分别为8、16、4。取其最小公倍数即为答案。

【解答】16。

……知识点链接……
1. 系统的频率响应

系统的单位样值响应为h(n)的傅里叶变换H(Ω)称为系统的频率响应，简称频响。

2. 系统的频率响应特性


H(Ω)=∑∞n=-∞h(n)e-jΩn


H(Ω)可以表示为H(Ω)=|H(Ω)|ej∠H(Ω)，则|H(Ω)|称为系统的“幅频特性”，它反映了系统对输入信号各频率分量相对大小的改变； ∠H(Ω)称为系统的“相频特性”，它反映了系统对输入信号各频率分量相位大小的改变。与连续时间系统频率响应H(jω)显著不同的是，H(Ω)是Ω的周期函数，且周期为2π。

3. 系统的频率响应与输入/输出信号的关系


H(Ω)=Yzs(Ω)X(Ω)


【题5411】计算题

离散时间理想低通的频率响应为(只写出了|Ω|<π范围内)


H(Ω)=e-jΩτ，|Ω|<Ωc
0，Ωc<|Ω|<π


(1) 求单位样值响应h(n)； 

(2) 若h1(n)=h(n)，n为偶数
-h(n)，n为奇数，求H1(Ω)，写出Ω<π范围内的表达式。

【分析】系统函数为一理想滤波器，可以写作H(Ω)=e-jΩτ［u(Ω-Ωc)-u(Ω+Ωc)］，进行反变换得到h(n)=sin(n-τ)Ωcπ(n-τ)。


h1(n)=(-1)nh(n)


所以


H1(Ω)=∑∞n=-∞h(n)(-z)-n=
e-j(n-π)τ，-π<Ω<Ωc-π，π-Ωc<Ω<π
0，其他


【解答】(1) h(n)=sin(n-τ)Ωcπ(n-τ)

(2) H1(Ω)=e-j(n-π)τ，-π<Ω<Ωc-π，π-Ωc<Ω<π
0，其他

【题5412】填空题

已知某离散时间系统的频率响应为H(jΩ)=e-j3Ω，|Ω|≤Ωc
0，Ωc<|Ω|<π，则其单位样值响应h(n)=。

【分析】H(jΩ)=e-j3Ω［u(Ω-Ωc)-u(Ω+Ωc)］将卷积的两部分分别进行反变换并相乘就可以得到单位样值响应h(n)。

【解答】1(3-n)πsin(3-n)Ωc。

【题5413】填空题

已知某离散时间系统的频率响应如图542所示，则其单位样值响应h(n)=。



图542



【分析】写出频率响应的表达式H(Ω)=e-jΩn［u(Ω-Ωc)-u(Ω+Ωc)］，再对其进行反变换得到单位样值响应h(n)。

【解答】12π∫Ωc-ΩcejΩndΩ=1πnsinΩcn。

【题5414】简答及画图题

已知信号x(n)为离散时间序列，其中x1(n)傅里叶变换X1(Ω)如图543所示，该信号通过如图544所示系统(其中h(n)=sinπn2πn)后恢复出的信号为y(n)，假设信号x2(n)有3种情况： 
①x2(n)=cosπ2n； 
②x2(n)=∑∞k=-∞δ(n-2k)； 
③x2(n)=∑∞k=-∞δ(n-4k)。




图543





图544



(1) 请画出x2(n)在3种情况下，信号x(n)的傅里叶变换X(Ω)，画频谱图Y(Ω)。

(2) 对于信号x1(n)来说，图544所示系统是无失真传输系统吗？请针对x2(n)的3种情况分别分析： 如果是，解释原因并写出y(n)的时域表达式； 如果不是，只需说明原因。

【分析】信号x1(n)与信号x2(n)二者卷积，相当于频域相乘，理解两信号的频域表达式及频谱图是解题的关键。后续的h(n)=sin(πn/2)πn在频域相当于一个Ωc=π/2的低通滤波器，所以只要滤除Ωc=π/2之外的信号就能得到Y(Ω)，如果输入滤波器的信号原本拥有Ωc=π/2之外的成分，则会造成失真。

【解答】(1) 因为


x(n)=x1(n)x2(n)

所以


X(ejΩ)=12π∫π-πX2(ejθ)X1(ej(Ω-θ))dθ


① 当x2(n)=cosπ2n时


X2(ejΩ)=∑∞l=-∞πδΩ-π2+2πl+δΩ+π2+2πl

所以


X(ejΩ)=12∑π-πδΩ-π2+2πl+δΩ+π2+2πlX1(ej(Ω-θ))dθ
=12X1ejΩ-π2+X1ejΩ+π2



因此，其频谱图如图545所示。



图545

② 当x2(n)=∑∞k=-∞δ(n-2k)时


X2(ejΩ)=2πN∑∞l=-∞δΩ-2πlN
=π∑∞l=-∞δ(Ω-lπ)

所以


X(ejΩ)=12［X1(ej(Ω+π))+X1(ej(Ω-π))］


其频谱图如图546所示。

④ 当x2(n)=∑∞k=-∞δ(n-4k)时，
同理得


X(ejΩ)=X1(ej(Ω+2π))+X1(ej(Ω-2π))=2X1(ejΩ)


其频谱图如图547所示。




图546




图547



(2) 因为


h(n)=sinπn2πn

所以


H(jΩ)=1，|Ω|<π2
0，π2<|Ω|≤π


因此，x2(n)在第①种和第②种情况时为失真系统。

为第③种情况时，为无失真系统，y(n)=2x(n)。

【题5415】填空题

已知离散时间系统H(Ω)是高通滤波器，H1(Ω)=H(π-Ω)，则H1(Ω)是滤波器。

【分析】H1(Ω)=H(π-Ω)相当于关于Ω=π2作了一次对称，原来位于Ω=0附近的低频分量转移到了Ω=π附近； 同理，原高频分量转移到了低频分量处，故新系统为低通滤波器。

【解答】低通。