第3章〓计算机控制系统分析




与连续控制系统一样，离散控制系统的性能也包括稳定性、稳态性能和动态性能，下面将从这三方面对计算机控制系统的性能进行分析，并进一步讨论根轨迹法及频率法在计算机控制系统中的应用。

3.1稳定性分析

3.1.1离散系统的稳定性


若离散系统在有界输入序列作用下其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。稳定的系统具有稳定性。

线性定常连续系统在时域稳定的充要条件是系统特征方程的根均具有负实部，线性定常离散系统在时域稳定的充要条件是系统特征方程的根均位于单位圆内，下面予以证明。

设线性定常离散系统的脉冲传递函数为


G(z)=C(z)R(z)=∑mj=0bjz-j1+∑ni=1aiz-i(31)


则其特征方程为


1+∑ni=1aiz-i=0(32)


将其进行因式分解，得到


∏ni=1(z-pi)=(z-p1)(z-p2)…(z-pn)=0(33)


式中，p1,p2，…，pn为系统的特征根。假设其各不相同，则式(31)可写为


C(z)=R(z)G(z)=R(z)K∏mj=1(z-zj)∏ni=1(z-pi)(34)


式中，z1,z2，…，zm为系统的零点； R(z)为输入信号的z变换。

将式(34)展开成部分分式，得到


C(z)=c1zz-p1+c2zz-p2+…+cnzz-pn+CR(z)(35)


式中,CR(z)为由输入信号极点得到的部分分式。

对式(35)进行z反变换，则对应特征根zi的反变换式为


Z-1cizz-pi=ci(pi)k(36)


若pi的模小于1，即在单位圆内，则可得到


limk→∞ci(pi)k=0(37)


根据离散系统稳定性的定义，若输入信号为有界序列，则由CR(z)经z反变换得到的式子也有界； 若输出信号为有界序列，则所有的特征根对应的z反变换均应满足式(37)，即所有特征根均位于单位圆内。上述结论对于G(z)中有重根时仍然成立。

因此，线性定常离散系统在时域稳定的充要条件为： 当脉冲传递函数的特征方程的所有特征根pi的模|pi|<1（i=1,2,…，n）,即均处于z平面的单位圆内时，该系统是稳定的。

3.1.2离散系统的稳定性判据

已知线性定常离散系统在时域稳定的充要条件，则可以通过求解系统特征方程的根从而判断系统是否稳定。当离散系统阶数较低时，该方法非常简便。但是，随着阶数的升高，直接求解特征方程会很困难，应用计算机软件可以很方便地解决这一问题，如MATLAB中的roots命令。除了直接求解特征根的方法，与连续系统类似，对离散系统进行稳定性判断时也可以应用稳定判据。


1. 朱利(Jury)判据

朱利判据是直接在z域内应用的稳定性判据，类似于连续系统中的赫尔维茨(Hurwitz)判据。它是根据离散系统闭环特征方程D(z)=0的系数，判别其根是否严格位于z平面的单位圆内，从而判断该离散系统是否稳定。

设离散系统n阶闭环特征方程为


D(z)=a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an(a0>0)


朱利稳定判据的必要条件为


D(1)>0,(-1)nD(-1)>0


满足必要条件后，构建朱利表如下： 







行列


1a0a1a2an-1an
2anan-1an-2a1a0
3b0b1b2bn-1
4bn-1bn-2bn-3b1b0
5c0c1c2cn-2
6cn-2cn-3cn-4c1c0
…
m-2l0l1
m-1l1l0
mm0


由表可见，第一行是由a0~an的原有系数组成，第二行是由同样的系数按相反的顺序构成，1、2行构成一个行对，3、4行构成一个行对，注意到下一个行对系数的序号总比上一个行对小1。

不同的系数可按下式估算： 


bi=a0an-ianai(i=0,1,2,…,n-1)
ci=b0bn-1-ibn-1bi(i=0,1,2,…,n-2)
di=c0cn-2-icn-2ci(i=0,1,2,…,n-3)
…
m0=l0l1l1l0


若b0>0,c0>0,…,l0,m0>0,则离散系统就是稳定的； 否则，系统不稳定。

对于二阶离散系统，设其特征方程为


D(z)=a0z2+a1z+a2(a0>0)

满足必要条件


D(1)=a0+a1+a2>0(a0>0)
D(-1)=a0-a1+a2>0(a0>0)


可得a0+a2>a1(a0>0)，构造朱利表如下： 






行列
行列


1a0a1a24b1b0
2a2a1a05c0
3b0b1


b0=a0a2a2a0=a02-a22

b1=a0a1a2a1=a1(a0-a2)

b0>0,可得a0>|a2|。


c0=b02-b12=(a02-a22)2-a12(a0-a2)2
=(a0+a2)2(a0-a2)2-a12(a0-a2)2
=［(a0+a2)2-a12］(a0-a2)2


由必要条件得到a0+a2>a1(a0>0)，可得c0>0。

因此，二阶离散系统判断稳定的充要条件是D(1)>0(a0>0)，D(-1)>0(a0>0)以及a0>|a2|。

例31已知系统的特征方程


D(z)=z3+2z2+1.9z+0.8


试用朱利判据判断系统的稳定性。

解： 在构建朱利表前，先检查D(1)和D(-1)，即


D(1)=1+2+1.9+0.8=5.7，D(1)>0
D(-1)=-1+2-1.9+0.8=-0.1，(-1)nD(1)>0


可见，满足前两个条件，构造朱利表如下： 






行列


1121.90.8
20.81.921
30.360.480.3
40.30.480.36
50.03960.0288
60.02880.0396
70.0007

满足约束条件，系统稳定。

2. 劳斯(Routh)稳定判据

为了使用劳斯判据，需要在与s域类似的域上进行判断，通过使用ω变换(双线性变换)，可以把z域单位圆内的部分映射到ω域的左半平面，从而使应用劳斯判据判稳成为可能。

如果令


z=ω+1ω-1或z=1+ω1-ω(38)


则有


ω=z+1z-1或ω=z-1z+1(39)


式(38)和式(39)表明，复变量z与ω互为线性变换，故ω变换又称双线性变换。令复变量


z=x+jy,ω=u+jv


代入式(39)可得


u+jv=(x2+y2)-1(x-1)2+y2-j2y(x-1)2+y2


显然，有


u=(x2+y2)-1(x-1)2+y2


由于上式中分母始终为正，因此u=0等价于x2+y2=1，u<0等价于x2+y2<1，u>0等价于x2+y2>1。可见，经过变换，z域单位圆映射为ω域的虚轴，z域单位圆内映射为ω域左半平面，z域单位圆外映射为ω域右半平面，如图31所示。




图31z域到w域的映射



由ω变换可知，通过从z域到ω域的变换，线性定常离散系统z域的特征方程D(z)转换为ω域特征方程D(ω)，则z域的稳定条件即所有特征根均处于单位圆内转换为ω域的稳定条件，特征方程的根严格位于左半平面。而该条件正是s平面上应用劳斯稳定判据的条件，所以根据ω域的特征方程系数直接应用劳斯判据即可以判断离散系统的稳定性，同时还能给出特征根处于单位圆外的个数。

例32设离散系统z域的特征方程为


D(z)=z3+2z2+1.9z+0.8

使用双线性变换并用劳斯判据确定稳定性。

解：  对D(z)作双线性变换，即将


z=ω+1ω-1


代入D(z)中，可得


D(z)=ω+1ω-13+2ω+1ω-12+1.9ω+1ω-1+0.8=0


化简后，可得ω域特征方程为

5.7ω3+0.7ω2+1.5ω+0.1=0

则构造成劳斯表如下： 


ω35.71.5
ω20.70.1
ω10.690
ω00.1


由劳斯表第一列系数可以看出，没有符号变化，表明系统是稳定的。若在第一列中有符号变化，则变化的数目和ω域上处于右半平面的极点个数相同，也和z域上单位圆外特征根的个数相同。

例33设直流电动机位置控制系统结构如图32所示，采样周期T=0.1s，控制器增益为K，直流电动机模型简化为Kms(Tms+1)，其中电动机时间常数Tm=0.1，电动机增益时间常数Km=1，试求系统稳定时K的取值范围。




图32直流电动机位置控制系统结构图



解： 先求系统的开环脉冲传递函数G(z)。由图中可以看出，连续环节包含零阶保持器，则由式(253)可得


G(z)=z-1z·K·Z10s2(s+10)=0.1·z-1z·K·Z10s2-1s+1s+10


查z变换表并化简，可得


G(z)=0.1·z-1z·K·10Tz(z-1)2-zz-1+zz-e-10T


T=0.1s，e-1=0.368，代入上式可得


G(z)=0.1·K·0.368z+0.264(z-1)(z-0.368)


再求闭环脉冲传递函数： 


(z)=G(z)1+G(z)=0.0368Kz+0.0264Kz2+(0.0368K-1.368)z+0.0264K+0.368


则特征方程为


D(z)=z2+(0.0368K-1.368)z+0.0264K+0.368=0


作双线性变换，将z=ω+1ω-1 代入上式化简后可得


0.0632Kω2+(1.264-0.0528K)ω+(2.736-0.0104K)=0


则劳斯表为


ω20.0632K2.736-0.0104Kω11.264-0.0528K0ω02.736-0.0104K0


由劳斯表，系统稳定时，K值应满足


K>0，1.264-0.0528K>0，2.736-0.0104K>0

即0<K<24。

故系统稳定的K值范围是0<K<24。

对于G(s)=10Ks(s+10)的单位反馈连续系统来说，只要K>0，系统总是稳定的。而由例33的结论来看，加入采样开关，当K超过一定值时，将使系统变得不稳定。因此，采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差。

另外，当开环增益一定时，加大采样周期，会使系统的信息丢失增加，也可能使系统变得不稳定。

如例33中，取T=0.2，则e-2=0.135，代入可得


G(z)=0.1135Kz+0.0594Kz2-1.135z+0.135


特征方程为


D(z)=z2+(0.1135K-1.135)z+0.0594K+0.135=0


做双线性变换后的特征方程为


0.1729Kω2+(1.73-0.1188K)ω+2.27-0.0541K=0


系统稳定的K值范围是0<K<14.56。

可见，增大采样周期，K值的稳定范围缩小了。

例34判断例224所示电阻加热炉炉温控制系统的稳定性。

解： 由例224，闭环系统的脉冲传递函数为


(z)=C(z)R(z)=D(z)G1(z)1+D(z)G(z)=4(1-e-0.5T)(z-e-0.5T)+0.16(1-e-0.5T)


当T=0.6时，有


(z)=1.04z-0.6984


只有一个特征根z1=0.6984，位于单位圆内，系统稳定。

3.2稳态性能分析

离散系统的稳态性能是用稳态误差来表征的。与连续系统类似，离散系统稳态误差和系统本身及输入信号都有关系，在系统特性中起主要作用的是系统的型别以及开环增益。稳态误差既可用级数的方法求取，也可用终值定理求取。应用终值定理，方法简便，所以较常使用。

3.2.1稳态误差计算


闭环系统如图33所示。图中G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，e*(t)为系统采样误差信号。由式(258)可知






e(z)=E(z)R(z)=11+GH(z)




图33闭环系统


若e(z)极点全部严格位于z平面上的单位圆内，即系统稳定，则应用z变换的终值定理可求出采样瞬时的终值误差，即


e*(∞)= limt→∞e*(t)= limz→1(z-1)E(z)= limz→1(z-1)R(z)［1+GH(z)］(310)


由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，误差脉冲传递函数也给不出一般的计算公式，因此在利用z变换终值定理求稳态误差时，必须按实际系统求出e(z)，然后求取e*(∞)。

利用z变换终值定理求取采样系统的稳态误差是一种基本方法，与连续系统类似，人们依然在寻求通过定义误差系数来简化稳态误差的计算过程。

对于一个采样系统，设Gk(z)=GH(z)=Z［G(s)H(s)］，其静态位置误差系数为


Kp= limz→1［1+Gk(z)］(311)


静态速度误差系数为


Kv= limz→1(z-1)Gk(z)(312)


静态加速度误差系数为


Ka= limz→1(z-1)2Gk(z)(313)



应用静态误差系数，对于图33所示的典型误差采样系统，可求出不同输入信号下稳态误差的值。

若


r(t)=1(t),R(z)=zz-1


则有


e*(∞)= limz→1(z-1)R(z)［1+Gk(z)］= limz→111+Gk(z)=1Kp(314)


若r(t)=t,R(z)=Tz(z-1)2

则有


e*(∞)= limz→1(z-1)R(z)［1+Gk(z)］= limz→1T(z-1)Gk(z)=TKv(315)


若r(t)=t22,R(z)=T2z(z+1)2(z-1)3

则有


e*(∞)= limz→1(z-1)R(z)［1+Gk(z)］= limz→1T2(z+1)2(z-1)2［1+Gk(z)］=T2Ka(316)


由此可见，应用静态误差系数，根据系统结构和输入信号可以方便地表示出采样系统的稳态误差。

为了简化求误差系数的过程，和连续系统类似，需要考查静态误差系数和系统型别的关系。对于采样系统，按照开环极点在z=1的个数定义系统的型别，若G(z)在z=1有0个、1个、2个…极点，则系统的型别分别是0型、Ⅰ型、Ⅱ型…。下面分析系统型别与静态误差系数的关系。

由式(311)，即


Kp= limz→1［1+Gk(z)］

可知： 若Gk(z)在z=1的极点个数为0，则Kp为有限值； 若Gk(z)在z=1时的极点个数大于或等于1，则Kp=∞。可见，对0型系统，Kp≠∞； 对于Ⅰ型及以上系统，Kp=∞。

由式(312)，即


Kv= limz→1(z-1)Gk(z)

可知： 若Gk(z)在z=1的极点个数为0，则Kv=0； 若Gk(z)在z=1的极点个数为1，则Kp为有限值； 若Gk(z)在z=1的极点个数大于或等于2，则Kp =∞。可见，对0型及Ⅰ型系统，Kv≠∞； 对于Ⅱ型及以上系统，Kv=∞。

同理，对于0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统，Ka≠∞，对于Ⅲ型及以上系统，Ka=∞。

对于图33所示的典型误差采样系统，考察不同类型的系统的静态误差系数及用静态误差系数表示稳态误差，可得到表31。


表31典型误差采样系统的误差系数和稳态误差




z=1的开环

极点个数
系统型别

静态误差系数稳态误差e(∞)

KpKvKa1(t)tt22


00型F001Kp∞∞
1Ⅰ型∞F00TKv∞
2Ⅱ型∞∞F00T2Ka
3Ⅲ型∞∞∞000

注： F代表有限值且不为0。




例35采样系统结构如图34所示，采样周期T=0.2s，输入信号r(t)=1+t+12t2，试计算系统的稳态误差。




图34采样系统结构图



解： 由图34可知，该系统为单位反馈误差采样系统，且连续环节中包含有零阶保持器，在求其稳态误差时，可利用表31中的结果。

求e*(∞)需分三步进行： 

(1) 求G(z)。系统中有零阶保持器，由式(253)可得


G(z)=z-1zZ10(0.5s+1)s3=z-1zZ10s3+5s2


查z变换表，可得


G(z)=z-1z5T2z(z+1)(z-1)3+5Tz(z-1)2


将采样周期T=0.2s代入并化简，可得


G(z)=1.2z-0.8(z-1)2


(2) 判别系统的闭环稳定性。由式(260)，闭环特征方程为


D(z)=1+G(z)=0


展开可得



(z-1)2+1.2z-0.8=0


即


z2-0.8z+0.2=0


进行ω变换，将z=ω+1ω-1代入上式并整理，可得


0.4ω2+1.6ω+2=0


列劳斯表： 


ω20.42ω11.60ω02


可见闭环系统稳定。

(3) 求e*(∞)。先求静态误差系数。


G(z)=1.2z-0.8(z-1)2


可见系统为Ⅱ型系统，所以


Kp=∞,Kv=∞,Ka= limz→1(z-1)2G(z)=0.4

由表31可知，对于r(t)=1+t+12t2作用下的稳态误差为


e(∞)=1Kp+TKv+T2Ka=0+0+0.040.4=0.1


3.2.2典型计算机控制系统稳态误差计算


典型计算机控制系统结构图如图35所示。




图35典型计算机控制系统结构图



由式(264)、式(265)和式(268)可知


G(z)=(1-z-1)ZG1(s)G2(s)H(s)s
ER(z)=11+D(z)G(z)R(z)
EN(z)=-HGNG2RN(z)1+D(z)G(z)


对于输入信号，对照典型采样系统图33，Gk(z)=D(z)G(z)，其静态误差系数的定义及不同输入信号下稳态误差的值依然如式(311)~式(316)所示，考查不同类型的系统的静态误差系数及用静态误差系数表示稳态误差仍然可应用表31。

对于干扰信号，应用静态误差系数的方法不再适用，和连续系统相同，干扰信号的稳态误差只能采用终值定理求得，且由于很多系统并不能直接求出en(z)，而只能求出EN(z)，故只能对EN(z)应用终值定理求稳态误差。

例36若输入信号及干扰信号均为单位阶跃信号，T=0.6s，求例224所示炉温控制系统的稳态误差。

解： 由式(265)可知



ER(z)=11+D(z)G(z)R(z)



由例224可知


Gk(z)=D(z)G(z)=0.16(1-e-0.5T)z-e-0.5T 

系统为0型系统，对于阶跃输入信号的稳态误差为


e*ssr=1Kp

由于


Kp= limz→1［1+Gk(z)］= limz→11+0.16(1-e-0.5T)z-e-0.5T=1.16

则可得


e*ssr=1Kp=0.862


由式(268) 可知


EN(z)=-HGNG2RN(z)1+D(z)G(z)


由于


GN(s)=2.5s+0.5，H(s)=0.04，G2(s)=1

HGNG2RN(z)=0.04Z2.5s+0.5·1s=0.2Z1s-1s+0.5=0.2z(1-e-0.5T)(z-1)(z-e-0.5T)


则可得


EN(z)=-0.2z(1-e-0.5T)(z-1)(z-e-0.5T)1+0.16(1-e-0.5T)(z-e-0.5T)=-0.2z(1-e-0.5T)(z-1)［z-e-0.5T+0.16(1-e-0.5T)］


由终值定理可得


e*ssn= limt→∞e*n(t)= limz→1(z-1)EN(z)
= -limz→1z-110.2z(1-e-0.5T)(z-1)［z-e-0.5T+0.16(1-e-0.5T)］= -limz→10.21.16=-0.1724



所以系统总的稳态误差为


e*ss=e*ssr+e*ssn=0.862-0.1724=0.6896


3.3动态性能分析

前两节主要介绍了离散系统稳定的充要条件及稳态误差的计算，但工程上不仅要求系统是稳定的，而且希望它具有良好的动态品质。通常，如果已知离散控制系统的数学模型(差分方程、脉冲传递函数等)，通过递推计算及z变换法不难求出典型输入作用下的系统输出信号的脉冲序列c*(t)，通过对脉冲序列c*(t)进行分析可以很方便地得到系统的动态性能。

例37设直流电动机位置控制系统结构如图32所示，其中输入信号为单位阶跃信号r(t)=1(t)，采样周期T=0.1s，控制器增益K=10，直流电动机模型简化为Kms(Tms+1)，其中电动机时间常数Tm=0.1，电动机增益时间常数Km=1，试分析该系统的动态性能。


解： 由例33可得


(z)=G(z)1+G(z)=0.0368Kz+0.0264Kz2+(0.0368K-1.368)z+0.0264K+0.368


将K=10 代入上式,可得


(z)=G(z)1+G(z)=0.368z+0.264z2-z+0.632


将R(z)=z/z-1代入，可求出单位阶跃序列响应的z变换，即


C(z)=(z)R(z)=0.368z-1+0.264z-21-2z-1+1.632z-2-0.632z-3


利用长除法将C(z)展成无穷幂级数，即


C(z)=0.368z-1+z-2+1.4z-3+1.4z-4+1.147z-5+
0.895z-6+0.802z-7+0.868z-8+…



由z变换定义，输出序列c(nT)为


C(0)=0,C(T)=0.368,C(2T)=1
C(3T)=1.4,C(4T)=1.4,C(5T)=1.147
C(6T)=0.895,C(7T)=0.802,…



得到的T=0.1s时单位阶跃响应曲线如图36所示。




图36T=0.1s时单位阶跃响应曲线



由图36求得系统的近似性能指标： 上升时间tr=0.2s，峰值时间tp=0.4s,调节时间ts=1.2s(5%误差带)，超调量σ%=40%。

如果该系统为连续系统，即其开环传递函数为


G(s)=100s(s+10)

则其闭环传递函数为


(s)=100s2+10s+100

连续系统单位阶跃响应曲线如图37所示。





图37连续系统单位阶跃响应曲线



由二阶系统的性能指标与参数的对应关系可知，阻尼比ξ=0.5，自然振荡角频率ωn=10，性能指标： 上升时间tr=0.243s，峰值时间tp=0.3626s，调节时间ts=0.6s，超调量σ%=16.3%。对比可知，系统离散化后性能下降。

同样，如果改变离散系统的采样周期，如将例37中系统的采样周期增大为0.2s，由例33可知，其开环传递函数为


G(z)=0.1135Kz+0.0594Kz2-1.135z+0.135

同样，将K=10代入可得


(z)=1.135z+0.6z2+0.735



此时系统的单位阶跃响应曲线如图38所示。



图38T=0.2s时单位阶跃响应曲线



由图38求得系统的近似性能指标： 上升时间tr=0.2s，峰值时间tp=0.5s，调节时间ts=4s(5%误差带)，超调量σ%=73%。由此可知，增大采样周期，系统的性能变差。

系统的性能不仅与采样周期有关，而且与系统的参数密切相关，如果系统的参数改变，那么系统的性能也会相应改变。

例37中，若直流电动机位置控制系统中电动机的时间常数存在误差，从而使其模型相应改变，如变为


G(s)=1s(0.2s+1)


则系统的开环脉冲传递函数为


G(z)=z-1zZ5s2(s+5)=20z-1zZ0.5s2-0.1s+0.1s+5


查z变换表并化简，可得


G(z)=20z-1z0.5Tz(z-1)2-0.1zz-1+0.1zz-e-5T


T=0.1s，e-0.5=0.606，代入上式可得


G(z)=0.212z+0.182(z-1)(z-0.606)


闭环脉冲传递函数为


(z)=G(z)1+G(z)=0.212z+0.182z2-1.394z+0.788


此时的单位阶跃响应曲线与原系统的单位阶跃响应曲线对比如图39所示。




图39改变电动机参数后单位阶跃响应曲线对比



由图39可见，参数改变后系统的近似性能指标： 上升时间tr=0.3s，峰值时间tp=0.5s，调节时间ts=2.1s，超调量σ%=55.6%。可见，随着电动机时间常数增加，系统的动态性能变差，这一点和连续系统是一致的。

大多数情况下，系统的参数受多种因素影响，建模时只能取其近似值，所以计算得到的系统性能只是实际性能指标的近似。当系统的参数和模型不能精确获得时，如何估算系统的性能指标就是面临的一个实际问题。随着科学技术的发展，基于数据驱动的机器学习和深度学习为系统建模提供了崭新的思路，鉴于篇幅，不再赘述，读者可参阅相关书籍。

由例37可见，通过求解系统输出信号的脉冲序列c*(t)可以定量地分析系统的动态性能，但有时需要对系统动态性能做定性分析，此时需要考查离散系统的闭环极点在z平面上的分布与系统动态性能的关系。

设闭环脉冲传递函数为


G(z)=C(z)R(z)=∑mj=0bjz-j1+∑ni=1aiz-i=K0∏mj=1(z-zj)∏ni=1(z-pi)(m≤n)


式中，zj(j=1,2,…,m)表示(z)的零点，pi(i=1,2,…,n)表示(z)的极点，它们既可以是实数，也可以是共轭复数。若离散系统稳定，则所有闭环极点应严格位于z平面上的单位圆内，即|pi|<1(i=1,2,…n)。为便于讨论，假定(z)无重极点，且系统的输入为单位阶跃信号。此时



r(t)=1(t),R(z)=zz-1


系统输出的z变换为


C(z)=(z)R(z)=(z)zz-1


将C(z)z展成部分分式，则有



C(z)z=(1)1z-1+∑ni=1Ciz-pi


式中，Ci为C(z)z在各极点处的留数，其获得方法与拉普拉斯变换的相同。

于是


C(z)=(1)zz-1+∑ni=1Cizz-pi


对于上式取z反变换，可得系统的输出脉冲序列为


c(k)=(1)1(t)+∑ni=1Ci(pi)k(317)


式(317)等号右边第一项为输出脉冲序列的稳态分量，第二项为动态分量，根据pi在z平面上分布的不同，其对应的动态性能也不相同。下面分两种情况进行讨论： 

1. 闭环极点为实轴上的单极点

若pi位于实轴上，则其对应的瞬态分量为


ci(k)=cipki(318)


因此，当pi位于z平面上不同位置时，其对应的脉冲响应序列也不相同： 

(1) 当pi>1时,c(k)为发散脉冲序列。

(2) 当pi=1时,c(k)为等幅脉冲序列。

(3) 当0<pi<1时,c(k)为单调衰减正脉冲序列，且pi越接近0，衰减越快。

(4) 当-1<pi<0时,c(k)是交替变化符号的衰减脉冲序列。

(5) 当pi=-1时,c(k)是交替变化符号的等幅脉冲序列。

(6) 当pi<-1时,c(k)是交替变化符号的发散脉冲序列。

pi在z平面的位置与相应脉冲响应序列关系如图310所示。



图310pi为实轴上单极点所对应的脉冲响应序列



2. 闭环极点为共轭复数极点

设pi和p-i为一对共轭复数极点，其表达式为


pi,p-i=|pi|e±jθi


式中，θi为共轭复极点pi的相角，从z平面上的正实轴算起，逆时针为正。

由式(318)可知，一对共轭复数所对应的瞬态分量为


ci，i(k)=cipki+c-ip-ki(319)


由复变函数理论可知，共轭复数极点所对应的留数ci及c-i也是共轭复数对。

设ci,c-i=|ci|e±jφi，有


ci,i(k)=|ci|
|pi|kej(kθi+φi)+|ci|
|pi|ke-j(kθi+φi)
=2|ci|
|pi|kcos(kθi+φi)(320)


由式(320)可见，一对共轭复数极点所对应的瞬态分量ci，i(k)按振荡规律变化，其振荡的角频率与θi有关，θi越大，振荡的角频率就越高。

当pi处于不同位置时，其对应的脉冲响应序列如下： 

(1) 当|pi|>1时,c(k)为发散振荡脉冲序列。

(2) 当|pi|=1时,c(k)为等幅振荡脉冲序列。

(3) 当|pi|<1时,c(k)为衰减振荡脉冲序列。

其对应关系如图311所示。




图311pi为共轭复极点所对应的脉冲响应序列



综上所述，离散系统动态响应的基本特性取决于极点在z平面上的分布，极点越靠近原点，动态响应衰减得越快，极点的辐角越趋于零，动态响应振荡的频率越低，因此为使系统具有较为满意的动态性能，其闭环极点最好分布在单位圆的右半部且尽量靠近原点。

例38若输入信号及干扰信号均为单位阶跃信号，求例224所示电阻炉炉温控制系统的动态性能。

解： 由例224，总的输出信号为



C(z)=CR(z)+CN(z)=1.04z-0.6984R(z)+z-0.74z-0.6984RNGN(z)
GNRN(z)=Z2.5s+0.5·1s=5z(1-e-0.5T)(z-1)(z-e-0.5T)



将T=0.6代入上式，可得


GNRN(z)=Z2.5s+0.5·1s=1.3z(z-1)(z-0.74)
C(z)=1.04z-0.6984zz-1+z-0.74z-0.69841.3z(z-1)(z-0.74)
=2.34z(z-0.6984)(z-1)=7.759zz-1-7.759zz-0.6984
c(kT)=7.759(1-0.6984k)



电阻炉炉温计算机控制系统的响应曲线如图312所示。



图312电阻炉炉温计算机控制系统的响应曲线


可以确定其上升时间为4.2s，此时，当c(7T)=7.759(1-0.081)=7.13。

3.4根轨迹法的应用

离散系统的根轨迹法与连续系统类似，同样是研究当系统的某一个参数变化时闭环极点变化的轨迹。

在离散系统中，若特征方程定义为


D(z)=1+Gk(z)=0


或


Gk(z)=-1(321)


D(z)为闭环离散系统的特征方程，Gk(z)为系统的等效开环脉冲传递函数，其一般表示形式为


Gk(z)=Kg∏mj=1(z-zoj)∏ni=1(z-poi)(322)


式中，Kg为开环根轨迹增益； zoj为系统的开环零点； poi为系统的开环极点。

故离散系统的根轨迹方程为


Kg∏mj=1(z-zoj)∏ni=1(z-poi)=-1(323)


由于离散系统的根轨迹方程与连续系统的根轨迹方程在形式上完全类似，所依据的幅值条件和辐角条件也完全一致，因此连续系统根轨迹的绘图规则和方法可以不加改变地应用于离散系统。由于连续系统的开环传递函数Gk(s)为s的有理分式函数，而离散系统的开环脉冲传递函数Gk(z)为z的有理分式函数，因此根轨迹与系统特性之间的关系有所差异。例如，在连续系统中临界稳定点是根轨迹与虚轴的交点，而在离散系统中则是根轨迹与单位圆的交点。

例39直流电动机位置控制系统，其开环脉冲传递函数为


Gk(z)=10·K·(e-T+T-1)z+1-e-T-Te-T(z-1)(z-e-T)


分别绘出采样周期T为1s、2s，参数K变化时系统的根轨迹，并判断系统稳定时K的范围。

解： (1) 当采样周期T=1s时，有


Gk(z)=10·K·0.368z+0.264(z-1)(z-0.368)


应用根轨迹的绘制方法，可以求得

① 根轨迹起点为z=0.368及z=1,终点为z=-0.7174及z=-∞。

② 有两条根轨迹分支且根轨迹对称于实轴。

③ 渐近线角度为π。

④ 实轴上z=0.368至z=1,z=-0.7174至z=-∞为根轨迹部分。

⑤ 分离点由下式确定： 


1d-0.368+1d-1=1d+0.7174


解得d1=-2.1，d2=0.65，复平面上的根轨迹是以z=-0.7174为圆心、半径为1.38的圆。

⑥ 和单位圆的交点。

根据幅值条件


10·K·0.368z+0.264(z-1)(z-0.368)=1


解得K=0.24。

也可以应用双线性变换，由劳斯判据求得K的稳定范围为0<K<0.24。由以上绘出根轨迹图如图313(a)所示，图中虚线小圆为单位圆。



图313根轨迹图



(2) 当采样周期T=2s时，有


G(z)=10·K·1.135z+0.6z2-1.135z+0.135


① 根轨迹起点为z=0.135及z=1,终点为z=-0.53及z=-∞。

② 有两条根轨迹分支且根轨迹对称于实轴。

③ 渐近线角度为π。

④ 实轴上z=0.135至z=1,z=-0.53至z=-∞为根轨迹部分。

⑤ 分离点为d1=-1.54，d2=0.48。

⑥ 与单位圆的交点K=0.144。

故系统稳定时K的范围是0<K<0.144。


由以上给出根轨迹图如图313(b)所示。



由图中同样可以发现，系统的稳定性不仅与K有关，而且与采样周期T有关，在相同的K值时，采样周期越小，系统越容易稳定。

3.5频率法的应用

频率法对于连续系统而言是很重要的分析方法，对于离散系统同样重要。但是正如2.7节提到的那样，绘制离散系统的频率特性曲线是非常烦琐的过程，直接在z域应用频率法并不方便，相反使用双线性变换到ω域后应用频率法的方法却发展起来。

前面介绍过，双线性变换将z域的单位圆之内和之外分别映射到ω域的左、右半平面，稳定的范围由单位圆内映射为虚轴左侧，因此映射后即可应用连续系统的频率法分析系统的性能。即映射后系统的频率特性是映射后的表达式G(ω)令ω=jωω获得的，即


G(ω)=G(z)z=1+ω1-ω
G(jωω)=G(ω)ω=jωω(324)


式中，ωω为虚频率。

虚频率ωω与实际频率ω的关系如下： 


ωω=jωω=z-1z+1z=ejωT(325)


即


jωω=ejωT-1ejωT+1=jtan(ωT/2)


或


ωω=tan(ωT/2)(326)


既然T=2π/ωs则ωω=tan(πω/ωs),所以对应关系为


ω=0，ωω=0
ω=ωs2，ωω=∞
ω=-ωs2，ωω=-∞


由上可见，当ω从-ωs2到ωs2在s域变化时，ωω相应的频率由-∞变化到∞。由于离散系统频率特性的周期性特点，只要考虑-ωs2<ω<ωs2的范围就足够。

这样由闭环采样系统的特征方程


1+Gk(z)=0


经ω变换并令ω=jωω,可得


1+Gk(jωω)=0


它与连续系统中的奈奎斯特判据所依据的表达式


1+Gk(jω)=0


是一致的，因此在连续系统中讨论的频率响应分析法可用来分析离散系统的特性。

1. 波特图

波特图是按频率变化以log标注幅值及相移的图形，用ω=jωω代替频率变化，使用连续系统中的方法即可绘制波特图。

例310直流电动机位置控制系统，当采样周期T=1s，K=0.1，其开环脉冲传递函数为


Gk(z)=0.368z+0.264(z-1)(z-0.368)


把G(z)经双线性变换后绘制波特图。

解： 将z=1+ω1-ω代入，G(z)变为


Gk(ω)=0.632-0.528ω-0.104ω2ω(1.264+2.736ω)


将ω=jωω代入上式，可得


Gk(jωω)=0.632-0.528jωω+0.104ωω2jωω(1.264+2.736jωω)


幅频和相频函数分别为


|Gk(jωω)|=(0.632+0.104ω2ω)2+(0.528ωω)2ωω1.2642+(2.736ωω)2
argGk(jωω)=arctan-0.528ωω0.632+0.104ωω2-90°-arctan2.736ωω1.264


波特图如图314所示。




图314ω域上的波特图



2. 奈奎斯特图

同样可以用连续系统的绘制方法绘制ω域上的奈奎斯特图。

例311电动机直流调速系统，当采样周期T=1s时，其开环脉冲传递函数为


G(z)=10·K·0.368z+0.264(z-1)(z-0.368)


绘制其奈奎斯特图，并求系统稳定的K值范围。

解： 由双线性变换得


Gk(jωω)=10·K·0.632-0.528jωω+0.104ωω2jωω(1.264+2.736jωω)


ω域上的奈奎斯特图如图315所示。




图315ω域上的奈奎斯特图



由图315可见，当


Gk(jωω)=10·K·0.632-0.528jωω+0.104ωω2jωω(1.264+2.736jωω)=-1



时，系统临界稳定，此时K=0.24为系统稳定的临界K值。该结论与根轨迹法及时域法得到的结果一致。

3.6本章小结

本章主要对计算机控制系统的性能进行分析，包括系统的稳定性分析、稳态性能分析和动态性能分析。

对计算机控制系统稳定性可以使用朱利判据和劳斯判据进行判断，前者可直接在z域使用，后者需要使用双线性变换变换到ω域进行。

在对计算机控制系统的性能分析中，主要讨论了闭环极点对系统动态性能的影响及根轨迹法和频率响应法在计算机控制系统中的应用，其中根轨迹法可以直接应用于z域，而频率响应法则应通过双线性变换到ω域进行。

为了分析计算机控制系统的稳态性能，定义了系统的静态误差系数及稳态误差，应用静态误差系数，根据系统结构和输入信号可以很方便地求出系统的稳态误差。


习题

1. 离散系统的特征方程如下，用朱利判据判断系统的稳定性。

(1) z2-1.2z+0.3=0(2) z2-1.6z+1=0

(3) z3-2.2z2+1.55z-0.35=0(4) z3-1.9z2+1.4z-0.45=0

2. 系统如图所示，其中T=1s，a=2,应用劳斯判据求使系统稳定的临界K值。




习题2图



3. 系统如图所示，其中T=1s，D(z)=K，K>0。

(1) 求使系统稳定的K值范围。

(2) 若T=0.1s，再求使系统稳定的K值范围。



习题3图


4. 机器人臂关节控制系统如图所示，若T=0.1s，D(z)=1，已知


Z1-e-Tss·4s(s+2)=0.01873z+0.0175(z-1)(z-0.8187)

用劳斯判据和朱利判据判断K的稳定域。



习题4图


5. 天线偏转角控制系统如图所示，其中θ(t)是偏转角，角度测量环节的输出v(kT)=0.4θ(kT)，v(t)为电压，T=0.05s，已知

Z1-e-Tss·20s(s+6)=0.02268z+0.0205(z-1)(z-0.7408)

用劳斯判据和朱利判据判断K的稳定域。




习题5图


6. 卫星方位角控制系统如图所示，D(z)=1，T=0.1s，J=0.1,Hk=0.02，已知


Z1-e-Tss·10s2=0.05(z+1)(z-1)2

用劳斯判据和朱利判据判断K的稳定域。



习题6图


7. 己知采样系统如图所示，T=2s，已知


G(z)=K(z+0.8)(z-1)(z-0.6)

用劳斯判据和朱利判据判断K的稳定域。




习题7图


8. 己知采样系统如图所示，T=0.25s。

(1) 求使系统稳定的K值范围。

(2) 当r(t)=2+t时,欲使稳态误差小于0.1，试求K值。



习题8图


9. 系统如图所示，其中T=1s，D(z)的差分方程为m(kT)=Ke(kT)，K>0，确定系统稳定K的取值范围，若稳定，求系统对于单位阶跃输入信号的稳态误差。




习题9图


10. 求如图所示系统对于单位阶跃输入信号的响应，设T=0.1s。




习题10图


11. 如图所示系统。




习题11图


(1) 设T=0.4s，D(z)=1，求系统对于单位阶跃输入信号的输出响应。

(2) 若系统为连续系统，即图中的采样开关，D(z)及零阶保持器均不存在，求系统对于单位阶跃输入信号的输出响应。

(3) 对比连续系统及离散系统在t为2s、4s、6s、8s、10s时输出响应的数值，并分别求系统的调节时间(2%的误差带)。

(4) 若T=2s，D(z)=1，重新回答上述问题。

12. 系统如图所示。

(1) 设T=1s,K=1,a=2,求系统的单位阶跃响应。

(2) 设T=1s,a=1,求使系统稳定的临界K值。



习题12图


13. 机器人臂关节控制系统如图所示，D(z)=1。



习题13图


(1) 若K=10,T=0.1s，输入为20倍的单位阶跃信号，求系统的输出θa(z)； 

(2) 判断系统的稳定性，若稳定，求其终值θa(∞)。

14. 卫星方位角控制系统如图所示，D(z)=1，T=1s，K=2，J=0.2,HK=0.04。



习题14图


(1) 求系统对于单位阶跃信号的输出响应θ(z)。

(2) 判断系统的稳定性，若稳定，求其终值θ(∞)。

15. 绘出如图所示系统的z域根轨迹，并确定使系统临界稳定的增益K值。



习题15图


16. 如图所示闭环采样系统，其中G0(s)为零阶保持器，想要获得输出脉冲幅值为一个衰减振荡响应，对K有什么要求，假定



G0G1(z)=K(z+0.71)(z-1)(z-0.37)(T=1s)





习题16图


17. 求如图所示系统的开环频率特性(波特图)。



习题17图