第5章
CHAPTER 5


静态场的边值问题及其解法






前面几章讨论的静电场、恒定电场和恒定磁场都是静态场。简单的静态场问题可采用库仑定律、安培力定律进行求解。但是对于更复杂的问题，这些求解方法就很难胜任。讨论静态场边值问题及其解法的意义就在于，为一些复杂的静态场问题提供简单的或者可行的解法。另外，静态场的解必须是唯一的才有实际意义。因此，静态场边值问题的内涵是： 在边值确定的情形下，求得静态场的唯一解。不管采用哪种方法，唯一性定理都是其理论基础。

本章将讨论边值问题的分类，证明唯一性定理，讨论镜像法和分离变量法，简单讨论数值解法中的有限差分法。复变函数法和保角变换法在本书中不作讨论。其他数值解法将在第10章作概要性说明。

5．1静态场的边值问题及唯一性定理
5．1．1边值问题的分类
已知电荷源、电流源的分布去求解场，这类问题称为分布问题(distribution problem)。但有很多情形，只能得知场域V的边界面S上某些场量的值，即边值或边界值(boundary value)。通过边值求解场域内的场量则称为边值问题(boundaryvalue problem)。静态场的边值问题可以分为三类： 

(1) 已知位函数φ(rS)在场域V的边界面S上各点的值，称之为第一类边界条件，也称之为狄利克雷(Dirichlet)边界条件； 

(2) 已知位函数φ(rS)在场域V的边界面S上各点法向导数值φ(r)nr=rS，称之为第二类边界条件，也称之为纽曼(Neumann)边界条件； 

(3) 已知部分边界面S1上位函数φ(rS1)的值，而另一部分边界面S2上已知位函数的法向导数值φ(r)nr=rS2，且S=S1+S2，称之为第三类边界条件，也称之为混合边界条件。

对于某些问题，场域可能要延伸到无穷远。此时，还需要考虑场量在无穷远处的条件，这类条件称为自然边界条件。例如，电位函数在无穷远处需要满足limr→∞rφ→有限值。对于轴对称的情形，例如同轴电缆，需要考虑周期性边界条件φ(+2nπ)=φ()。另外，场量还必须满足静态场条件下分界面上的边界条件，也可称为衔接边界条件。

5．1．2唯一性定理

唯一性定理(uniqueness theorem)指出： 在给定边界条件下(同时还应当满足自然边界条件和分界面上边界条件)，满足拉普拉斯方程(或泊松方程)的解是唯一的。也就是说，不管采用哪种方法求解，静态场的解唯一。下面用反证法证明唯一性定理。

假设场域V内的解不唯一，即存在两个位函数φ1和φ2都满足泊松方程
2φ1=-ρε和2φ2=-ρε
令φ0=φ1-φ2，于是在场域V内有
2φ0=2φ1-2φ2=-ρε+ρε=0
根据格林第一恒等式，即∫V(φ·ψ+φ2ψ)dV=∮SφψndS，可以令φ=φ0以及ψ=φ0，因此得到
∫V(φ0·φ0+φ02φ0)dV=∮Sφ0φ0ndS(5．1．1)
考虑到2φ0=0，式(5．1．1)可改写为
∫V|φ0|2dV=∮Sφ0φ0ndS(5．1．2)
另外，由于φ1和φ2都满足边界条件，因此可以分三种边界条件考虑。

(1) 第一类边界条件： φ0|S=φ1|S-φ2|S=0； 

(2) 第二类边界条件： φ0nS=φ1nS-φ2nS=0； 

(3) 第三类边界条件： φ0|S1=φ1|S1-φ2|S1=0，φ0nS2=φ1nS2-φ2nS2=0。

可以看出，不管哪一种边界条件，都有
∫V|φ0|2dV=∮Sφ0φ0ndS=0
考虑到|φ0|2的非负性，就必须要求φ0=0，即φ0在整个场域内为常数C，
φ0=φ1-φ2=C
对于第一类边界条件，在S上φ0=φ1-φ2=0，故C为0，亦即φ1=φ2，此时解唯一。对于第二类边界条件，假设φ1和φ2的参考点取在同一位置，那么在该点有φ0=φ1-φ2=0，故C为0。因此φ1=φ2，此时解同样唯一。对于第三类边界条件，φ1|S1=φ2|S1，故C为0。同理，φ1=φ2，此时解仍然唯一。综合三种情况可以看出，不管是给定哪种边界条件，解都是唯一的。

唯一性定理为解的正确性提供了一种验证方法。如果不同的方法得出的解不唯一，那么至少有一种解法是错误的。实际上，唯一性定理也是数值方法的理论基础。




动画10

5．2镜像法

镜像法(method of images)是解析解法的一种，也可以称为等效法。在静态场中，位于导体附近的电荷源或者电流源会在导体表面感应出表面电荷或者感应电流。感应电荷或电流也将产生场量。如果直接用库仑定律或安培力定律计算将十分困难，原因是导体表面的感应电荷或者感应电流分布比较复杂，一般情况下不容易确定。但是，如果电荷或者电流比较简单，在一些具有结构对称的情形下，可以采用等效的方法去表示感应电荷或者电流，即镜像电荷和镜像电流(或称为镜像源)。利用镜像源进行求解是一种特殊的解析解法，它既能保证解的唯一性，又能满足导体的边界条件。

镜像源必须满足以下条件： 

(1) 所有镜像源必须位于所求场域之外； 

(2) 镜像源的数量、位置以及大小需要通过边界条件确定。

下面将重点讨论平面、球面、柱面和介质分界面等几种特殊的情形。电流元的镜像只在平面分界情形做简单讨论。




视频21

5．2．1导体平面镜像
1． 电荷的镜像
如图5．2．1所示，一点电荷q置于无限大导体平面上方h处，导体平面接地，且其上方是介电常数为ε的无限大均匀各向同性的介质。以垂直于导体平面且穿过点电荷的矢量为z轴，以平行于导体表面为x轴。由于系统具有圆对称性，因此x轴的方向可以在导体平面内任意选取而不失一般性。



图5．2．1点电荷在接地导体平面的镜像电荷分析


由于电荷会在接地导体表面感应出极性相反的电荷。因此，从直观上考虑，镜像电荷应当与原始电荷的极性相反。下面详细分析镜像电荷的求解过程。

求解条件： 

(1) 在z>0的空间内，电场由电荷q及其感应电荷产生； 

(2) 在z>0的空间内，除点(0,0,h)外，其他点都满足拉普拉斯方程； 

(3) 在z=0的平面，电位为0。

接下来将理想导体移去，而将理想导体的感应电荷等效为电荷q′，该电荷位于z=-h处。那么在z>0的空间内任一点P(x,y,z)的电位为
φ(x,y,z)=q4πεx2+y2+(z-h)2+q′4πεx2+y2+(z+h)2，z>0
注意，此时q′的作用空间只在z>0的上半空间。根据边界条件，在z=0的平面，电位为0，于是可得
φ(x,y,0)=q4πεx2+y2+h2+q′4πεx2+y2+h2=0
也就得到q′=-q。说明镜像电荷与原电荷关于导体平面对称，且带电极性相反，大小相等。于是上半空间的电位可写为
φ(x,y,z)=q4πε1x2+y2+(z-h)2-1x2+y2+(z+h)2，z>0
根据导体与介质分界面上的边界条件，可求出导体平面上的感应电荷密度
ρs=-εφzz=0=-qh2π(x2+y2+h2)3/2
因为此时，正z方向就是表面的法向。导体平面上的总感应电荷为
qin=∫SρsdS=-qh2π∫∞-∞∫∞-∞dxdy(x2+y2+h2)3/2
=-qh2π∫2π0∫∞0ρdρd(ρ2+h2)3/2=-q(5．2．1)
可见，导体平面上的总感应电荷恰好与所设置的镜像电荷相等。接地导体平面好像一面镜子，电荷-q就是原电荷q的镜像，故称之为镜像电荷。

而在z<0的空间内，电场为0。其镜像电荷就在原电荷所在位置，且带电极性相反，大小相等。这与静电屏蔽是一致的。 

现在把问题延伸一下，点电荷变成无限长线电荷ρl，其他条件不变，如图5．2．2所示。此时结构对称性发生改变，当x坐标固定时，该结构对任意y坐标的电位都是相等的。假设镜像线电荷的位置仍在z=-h处，而电荷密度为ρ′l，那么在z>0的空间范围内任一点P(x,y,z)的电位为
φ(x,y,z)=ρl2πεln1x2+(z-h)2+ρ′l2πεln1x2+(z+h)2，z>0


图5．2．2线电荷在接地导体平面的镜像电荷分析


根据边界条件，在z=0的平面，电位为0，于是
φ(x,0,0)=ρl2πεln1x2+h2+ρ′l2πεln1x2+h2
也就得到ρ′l=-ρl。说明镜像线电荷与原电荷关于导体平面对称，且带电极性相反，线电荷密度大小相等。

2． 电流的镜像

电流元也有镜像，镜像的原则是在接地导体平面产生的磁感应强度B的法向分量Bn为0，电场强度E的切向分量Et为0。水平放置的电流元，其镜像电流元与原电流元大小相等，方向相反，所处位置与原电流元关于导体平面对称，如图5．2．3(a)所示； 垂直放置的电流元，其镜像电流元与原电流元大小相等，方向相同，所处位置与原电流元关于导体平面对称。镜像电流元在分析置于地表面附近的线天线时十分方便。



图5．2．3线电流元接地导体平面的镜像电流分析


对于水平放置的电流元
B=μ04πIl×eR+R2+μ04πI′l×eR-R2
=μ04πIlex×(x,y,z-h)［x2+y2+(z-h)2］3/2+μ04πI′lex×(x,y,z+h)［x2+y2+(z+h)2］3/2
在接地平面，有z=0，因此
B=μ04πIlex×(x,y,-h)(x2+y2+h2)3/2+μ04πI′lex×(x,y,h)(x2+y2+h2)3/2=μ0l4π(0,Ih-I′h,Iy+I′y)(x2+y2+h2)3/2
要保证磁感应强度的法向分量为0，需要Iy+I′y=0，即I′=-I。

实际上，更简便的分析方法是将电流元看成正负电极，电流元起始端为正电荷，箭头端为负电荷，如图5．2．3(b)所示。利用电荷的镜像原理可以很容易判断电流元的镜像。对于斜放的电流元，可以将电流元分解为水平和垂直两个方向。

对于磁流元在电导体表面的镜像、电流元和磁流元在磁导体表面的镜像，在本章最后设置了相关习题，请读者自行推导。




视频22

5．2．2导体球面镜像
1． 点电荷对接地导体球面的镜像
假设有一如图5．2．4所示的接地金属球，球的半径为a，球外距离球心D处有一点电荷q。求球外任意一点的电位。

点电荷q靠近金属球时，会在金属球表面感应出与之极性相反的电荷，且这部分电荷呈非均匀分布，即靠近点电荷q的一端电荷密度更大一些。那么，整个球的等效电荷就应当更靠近点电荷q。考虑到球的对称性，把这些等效电荷(即镜像电荷q′)置于z轴且离球心距离为d。那么，球外任意一点P(r,θ)的电位为
φ=14πεqr2+D2-2rDcosθ+q′r2+d2-2rdcosθ


图5．2．4点电荷在接地导体球面的镜像电荷分析


边界条件： 导体球接地，即在球面r=a处φ=0。于是有
φ=14πεqa2+D2-2aDcosθ+q′a2+d2-2adcosθ=0
由此得
(a2+D2)q′2-(a2+d2)q2-2acosθ(Dq′2-dq2)=0
因上式对任意θ都成立，所以必须满足两个条件： 

(1) cosθ的系数为0; 

(2) cosθ为0时其他部分也必须为0。于是可得
(Dq′2-dq2)=0
(a2+D2)q′2-(a2+d2)q2=0
由此可得两组解
q′=-aDq，d=a2D(5．2．2)
和
q′=-q，d=D
第二组解无意义，需舍去。

于是，球外的电位函数为
φ=q4πε1r2+D2-2rDcosθ-a(Dr)2+a4-2rDa2cosθ，r>a
球面上的感应电荷面密度为
ρs=-εφrr=a=-q(D2-a2)4πa(a2+D2-2aDcosθ)3/2(5．2．3)
说明接地导体球面上的感应电荷分布不均匀，靠近点电荷q的一侧密度更大。这与静电分析的结果是一致的。

另外，导体球面上的总感应电荷为
qin=∫SρsdS=-q(D2-a2)4πa∫2π0∫π0a2sinθdθd(a2+D2-2aDcosθ)3/2=-aDq(5．2．4)
也就是总的感应电荷等于镜像电荷，相当于把总的感应电荷全部放置在镜像位置。



图5．2．5点电荷在非接地导体
球面的镜像电荷分析

2． 点电荷对不接地导体球面的镜像

如果导体不接地，那么金属球的电位就不为0，但它仍然是一个等位体，如图5．2．5所示。另外，由于金属球未接地，因此整个球面的净电荷为0。


可以把问题分成两步： 

(1) 先利用接地金属球的方法求解镜像电荷q′，此时整个球面的电位为0； 

(2) 利用静电场叠加原理，在球心处放置一镜像电荷q″，该镜像电荷能把导体表面的电位提高并保证球面为等位面。

根据第(1)步，得到
q′=-aDq，d=a2D(5．2．5)
根据第(2)步，必须保证导体内净电荷为0，这样才能保证通过球面的电通量为0。于是得到
q″=-q′=aDq(5．2．6)
于是，球外的电位函数为
φ=q4πε1r2+D2-2rDcosθ-a(Dr)2+a4-2rDa2cosθ+aDr，r>a



视频23

5．2．3导体圆柱面的镜像
1． 线电荷对导体圆柱面的镜像
假设有一如图5．2．6所示的接地金属柱，柱的半径为a。在圆柱外距离圆柱对称轴D处，有一电荷密度为ρl并与柱平行的无限长线电荷。求圆柱外任意一点的电位。

考虑到金属圆柱的柱对称性，镜像电荷必须是无限长电荷源。假设镜像电荷的线密度为ρ′l，并且镜像电荷与圆柱平行。同时，设镜像电荷ρ′l距圆柱的轴线为d。此时，空间任意一点P(ρ,)的电位函数应为ρl和ρ′l在该点产生的电位之和，即
φ=ρl2πεln1ρ2+D2-2ρDcos+ρ′l2πεln1ρ2+d2-2ρdcos+c
此处，c为一常数。由于导体圆柱接地，所以当ρ=a时，电位应为零，即
φ=ρl2πεln1a2+D2-2aDcosφ+ρ′l2πεln1a2+d2-2adcosφ+c=0
要求解镜像电荷的线密度和位置，可以采用两种方法。



图5．2．6线电荷在接地导体柱面的镜像电荷分析


方法一： 将电位表达式规整之后可得
(a2+D2-2aDcos)ρl·(a2+d2-2adcos)ρ′l=c′
或写成
(a2+D2-2aDcos)ρl(a2+d2-2adcosφ)-ρ′l=c′
此处，c′为一常数。上式对任意的都成立，必须满足两个条件
ρ′l=-ρl(5．2．7)
和
a2+D2a2+d2=2aDcos2adcos=Dd
即
Dd2-(a2+D2)d+a2D=0
于是又得到
d=a2D或者d=D(5．2．8)
第二个解没有意义，故舍去。于是可得，c=ρl2πεlnDa。

方法二： 当ρ=a时，电位为0对任意的都应成立。也就是电位在任意方向保持不变，所以电位表达式对的导数应当为0，由此可得
ρlD(a2+d2)+ρ′ld(a2+D2)-2aDd(ρl+ρ′l)cos=0
所以有
ρlD(a2+d2)+ρ′ld(a2+D2)=0
ρl+ρ′l=0
由此可求得关于镜像电荷的两组解
ρ′l=-ρl，d=a2D(5．2．9)
和
ρ′l=-ρl，d=D(5．2．10)
第二组解无意义，故舍去。同样可求得c=ρl2πεlnDa。

导体圆柱面外的电位函数为
φ=ρl2πεlnD2ρ2+a4-2ρDa2cosa2ρ2+a2D2-2ρDa2cos
导体圆柱面上的感应电荷面密度为
ρs=-εφρρ=a=-ρl(D2-a2)2πa(a2+D2-2aDcos)
导体圆柱面上单位长度的感应电荷为
qin=∫SρsdS=-ρl(D2-a2)2πa∫2π0ada2+D2-2aDcos=-ρl(5．2．11)
同样可见，导体圆柱面上单位长度的感应电荷与镜像电荷也相等。

2． 两平行圆柱导体的电场

在通信系统中，平行双导线可以近似为无限长圆柱导体。为计算平行双导线的电场分布，可以采用镜像法。平行双导线的等效模型如图5．2．7所示。



图5．2．7平行双导体传输线的镜像电荷分析


假设导线的半径都为a，它们的轴线间距为2d。同样地，由于两圆柱带电导体的电场互相影响，导体表面上的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度较大，而相背的一侧电荷密度较小。根据线电荷对导体圆柱的镜像法，可以设想圆柱的表面电荷为集中在某一位置的线电荷，其线密度分别为ρl和-ρl，且两线电荷相距为2b。因此，ρl和-ρl实际上可以看成是互为镜像的线电荷。由此可得任意一点P的电位φ为
φ=ρl2πεlnR-R+
式中
R-=(x+b)2+y2
R+=(x-b)2+y2
电轴的位置可由圆柱导体的镜像表示，d′=d-b，D′=d+b，故有
(d-b)(d+b)=a2
由此解得
b=d2-a2(5．2．12)
5．2．4介质平面的镜像
1． 点电荷对电介质分界平面的镜像
如图5．2．8所示，介质分界面为xy平面，在z>0和z<0区域的介电常数分别为ε1和ε2。在电介质1中有一点电荷q，与分界平面距离为h。在求解z>0区域的电位时，假设镜像电荷位于z=-h处，带电量为q′； 在求解z<0区域的电位时，假设镜像电荷位于z=h处，带电量为q″。



图5．2．8点电荷对电介质分界平面的镜像电荷分析


于是在介质1中的电位可以表示为
φ1(x,y,z)=14πε1qx2+y2+(z-h)2+q′x2+y2+(z+h)2，z>0
在介质2中的电位可以表示为
φ2(x,y,z)=14πε2q+q″x2+y2+(z-h)2，z<0
在介质分界平面z=0处，电位应满足边界条件： 

(1) 电位连续； 

(2) 法向电位移矢量连续。
即
φ1|z=0=φ2|z=0
D1n|z=0=D2n|z=0(ε1E1n|z=0=ε2E2n|z=0)
亦即
φ1|z=0=φ2|z=0
ε1φ1zz=0=ε2φ2zz=0
于是得到
q+q′ε1=q+q″ε2
q-q′=q+q″
由此解得
q′=ε1-ε2ε1+ε2q
q″=-ε1-ε2ε1+ε2q(5．2．13)
2． 线电流对磁介质分界平面的镜像

与静电问题类似，当线电流位于两种不同磁介质分界平面附近时，也可用镜像法求解磁场分布问题。

如图5．2．9所示，磁导率分别为μ1和μ2的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在介质1中有一电流元Il平行于分界平面，且与分界平面相距h。此时，在电流元Il产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在不同磁介质的分界面上和介质中都有磁化电流分布。空间中的磁场由电流元Il和磁化电流共同产生。依据镜像法的基本思想，在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流元I′l来代替磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为μ1的均匀介质。

在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流I″l元来代替磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为μ2的均匀介质。



图5．2．9线电流对磁介质分界平面的镜像电流分析


因为设定电流沿y轴方向流动，所以矢量磁位只有y分量，即A=eyA。则磁介质1和磁介质2中任意一点P(x,z)的矢量磁位分别为
A1=μ1Il4π1x2+y2+(z-h)2+μ1I′l4π1x2+y2+(z+h)2，z>0(5．2．14)
和
A2=μ2(I+I″)4π1x2+y2+(z-h)2，z<0(5．2．15)
所设置的镜像电流I′和I″的取值需通过磁介质分界面上的边界条件来确定。在磁介质分界平面z=0处，矢量磁位应满足边界条件
A1|z=0=A2|z=0
1μ1A1zz=0=1μ2A2zz=0
将式(5．2．14)和式(5．2．15)代入上式，得
μ1(I+I′)=μ2(I+I″)
I-I′=I+I″
由此解得
I′=μ2-μ1μ2+μ1I
I″=-μ2-μ1μ2+μ1I(5．2．16)
5．3分离变量法

分离变量法(separation of variables)也称为本征函数法或者级数法。它是求解边值问题的一种重要的解析方法。其基本思想是： 把待求位函数表示为几个本征函数的乘积，其中每一个本征函数仅是一个坐标变量的函数，利用这几个本征函数代入偏微分方程可实现变量分离，并且将原偏微分方程分离为几个常微分方程。分别求解这些常微分方程要简单得多，再利用边界条件便可确定其中的常数，从而求得位函数。

本节主要介绍直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系下，利用分离变量法求解二维拉普拉斯方程的边值问题。




视频24

5．3．1直角坐标系中的分离变量法

在实际应用中，矩形波导、矩形谐振腔等器件可采用直角坐标系下的分离变量法分析。在直角坐标系下，拉普拉斯方程可表示为
2φx2+2φy2+2φz2=0
如果将φ(x,y,z)表示为三个一维函数X(x)、Y(y)和Z(z)的乘积，即
φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)(5．3．1)
则有
Y(y)Z(z)d2X(x)dx2+X(x)Z(z)d2Y(y)dy2+X(x)Y(y)d2Z(z)dz2=0
用X(x)Y(y)Z(z)除上式各项，得
1X(x)d2X(x)dx2+1Y(y)d2Y(y)dy2+1Z(z)d2Z(z)dz2=0(5．3．2)
上式中每一项都只与一个坐标变量有关。因此为了保证在任意坐标系下都成立，必须满足每一项都等于一个常数，分别对应-k2x、-k2y和-k2z。因为如果不是常数，说明各函数之间还存在相关性，就不能称之为分离变量。于是得到
d2X(x)dx2+k2xX(x)=0
d2Y(y)dy2+k2yY(y)=0
d2Z(z)dz2+k2zZ(z)=0(5．3．3)
同时满足
k2x+k2y+k2z=0(5．3．4)
如果是二维情形，即φ(x,y)=X(x)Y(y)，那么k2x+k2y=0，或者k2x=k2，k2y=-k2x=-k2，那么就有
d2X(x)dx2+k2X(x)=0
d2Y(y)dy2-k2Y(y)=0
(1) 当k2=0时，上式的解为
X(x)=A0x+B0
Y(y)=C0y+D0
(2) 当k2x>0时，其解的形式为
X(x)=Asinkx+Bcoskx
Y(y)=Ceky+De-ky
于是
φ(x,y)=(Asinkx+Bcoskx)(Ceky+De-ky)
(3) 当k2y>0时，其解的形式又为
X(x)=Aekx+Be-kx
Y(y)=Csinky+Dcosky
于是
φ(x,y)=(Aekx+Be-kx)(Csinky+Dcosky)
在求解边值问题时，为了满足给定的边界条件，分离常数k通常取一系列特定的值kn(n=1,2,…)，而待求位函数φ(x,y)则由所有可能解的线性组合构成，称为位函数的通解,即
φ(x,y)=(A0x+B0)(C0y+D0)+∑∞n=1［Ansin（knx）+Bncos（knx）］(Cnekny+Dne-kny)(5．3．5)
或者
φ(x,y)=(A0x+B0)(C0y+D0)+∑∞n=1(Aneknx+Bne-knx)［Cnsin（kny）+Dncos（kny）］(5．3．6)


图5．3．1例5．3．1示意图

通解中分离常数的选取以及待定常数均由给定的边界条件确定。


例5．3．1如图5．3．1所示结构，由z=0、x=a和x=0三个平面围成上半区域，其中z=0平面在0<x<a范围内电位恒为U，其他两个平面的电位为0，求该区域内的电位函数。


解： 由于在y方向上无穷大，因此位函数与y无关，也就可以假设φ(x,z)=X(x)Z(z)。于是得到
1X(x)d2X(x)dx2+1Z(z)d2Z(z)dz2=0
由前面的推导可知，该位函数的通解为
φ(x,z)=(Ax+B)(Cz+D)+∑∞n=1［Ancos（knx）+Bnsin（knx）］(Cneknz+Dne-knz)
边界条件1： 当z→∞时，φ(x,∞)→0，此时必然要求C=0、D=0以及Cn=0，于是
φ(x,z)=∑∞n=1［A′ncos（knx）+B′nsin（knx）］e-knz
边界条件2： 当x=0时，φ(0,z)=0，即
φ(0,z)=∑∞n=1A′ne-knz
故A′n=0，即得到
φ(x,z)=∑∞n=1B′nsin（knx）e-knz
边界条件3： 当x=a时，φ(a,z)=0
φ(a,z)=∑∞n=1B′nsin（kna）e-knz
故kna=nπ，即kn=nπa，于是
φ(x,z)=∑∞n=1B′nsinnπaxe-nπaz
边界条件4： 当z=0时，φ(x,0)=U
φ(x,0)=∑∞n=1B′nsinnπax=U
利用傅里叶变换，可得
B′n=∫a0Usinnπaxdx∫2a0sin2nπaxdx=(-1)n-12Unπ
故
φ(x,z)=2Uπ∑∞n=1(-1)n-1nsinnπaxe-nπaz
5．3．2圆柱坐标系中的分离变量法

在实际应用中，圆波导、圆柱谐振腔等器件具有圆柱形边界条件，可以采用圆柱坐标系下的分离变量法分析。此时拉普拉斯方程为
2φ(ρ,,z)=1ρρρφρ+1ρ22φ2+2φz2=0(5．3．7)
令位函数φ(ρ,,z)=R(ρ)Φ()Z(z)，代入式（5.3.7）可得
ρR(ρ)ddρρdR(ρ)dρ+1Φ()2Φ()2+ρ2Z(z)2Z(z)z2=0
在这里，先讨论位函数与z坐标无关的情形。对于位函数与z坐标有关的情形，将留在8.4节一并讨论。此时，拉普拉斯方程简化为
ρR(ρ)ddρρdR(ρ)dρ+1Φ()2Φ()2=0(5．3．8)
利用与直角坐标系相似的方法，取1Φ()2Φ()2=-n2，也就是
2Φ()2+n2Φ()=0
ρddρρdR(ρ)dρ-n2R(ρ)=0(5．3．9)
(1) 当n=0时，方程的解为
Φ()=A0+B0
R(ρ)=C0+D0lnρ
于是
φ(ρ,)=(A0+B0)(C0+D0lnρ)
对于许多具有圆柱面边界的问题，位函数φ(ρ,)是变量的周期函数，其周期为2π，即φ(ρ,+2mπ)=φ(ρ,)，其中m=0,1,2,…，故必须满足B0=0。

(2) 当n≠0时，方程的解为
Φ()=Acos（n）+Bsin（n）
R(ρ)=Cρn+Dρ-n
于是
φ(ρ,)=［Acos（n）+Bsin（n）］(Cρn+Dρ-n)
因此，圆柱区域中二维拉普拉斯方程的通解为
φ(ρ,)=C0+D0lnρ+∑∞n=1［Ancos（n）+Bnsin（n）］(Cnρn+Dnρ-n)(5．3．10)


图5．3．2例5．3．2示意图

式中的待定常数由具体问题所给定的边界条件确定。


例5．3．2在均匀外电场E=exE0中，放置一半径为a的无限长金属导体圆柱，见图5．3．2。圆柱的轴与电场垂直，柱外为空气。试求导体圆柱外面的电位函数和电场强度。


解： 由于金属导体圆柱外无电荷分布，因此电位函数φ满足拉普拉斯方程，且与z轴无关。因此，通解应当为
φ(ρ,)=C0+D0lnρ+∑∞n=1［Ancos（n）+Bnsin（n）］(Cnρn+Dnρ-n)
边界条件1： 当ρ→∞时，感应电荷的作用基本可以忽略，电位函数基本由外电场决定，即
φ(ρ,)=-E0x=-E0ρcos(ρ→∞)
因此，必须满足C0和D0均为0。由于不含sin函数，因此Bn为0。又由于只含n=1的cos函数，因此An=0(n≠1)，Cn=0(n≠1)，Dn=0(n≠1)。故得到
φ(ρ,)=cos(C′ρ+D′ρ-1)
边界条件2： 当ρ=a时，柱面为等位体，即
φ(ρ,)ρ=a=-sin(C′a+D′a-1)=0
于是得到D′=-a2C′，即
φ(ρ,)=C′ρcos+C′a2ρ-1cos
再次利用边界条件1，可得C′=-E0。故导体圆柱外的电位函数为
φ(ρ,)=-E0(ρ-a2ρ-1)cos
导体圆柱外的电场为
E外(ρ,)=-φ(ρ,)=-eρφρ-eφρ
=eρE0(1+a2ρ-2)cos-eE0(1-a2ρ-2)sin
导体圆柱表面感应电荷的面密度为
ρS= ε0eρ·E外(ρ,)|ρ=a=2ε0E0cos
5．3．3球坐标系中的分离变量法*

在实际应用中，球面波展开是具有球面边界的边值问题，这一类问题宜采用球坐标系中的分离变量法求解。球坐标系下拉普拉斯方程为
2φ(r,θ,)=1r2rr2φr+1r2sinθθsinθφθ+1r2sin2θ2φ2=0(5．3．11)
令位函数φ(r,θ,)=R(r)Θ(θ)Φ(),代入式（5.3.11），得
sin2θR(r)ddrr2dR(r)dr+sinθΘddθsinθdF(θ)dθ+1Φd2Φ()d2=0
由于在球坐标系下的分离变量法比较复杂，故这里只讨论位函数与坐标变量无关的情形。这类情形是具有轴对称性的情形，其拉普拉斯方程为
1R(r)ddrr2dR(r)dr+1Θ(θ)sinθddθsinθdΘ(θ)dθ=0
令
1Θ(θ)sinθddθsinθdΘ(θ)dθ=-k2
则可分离成为两个常微分方程
ddrr2dR(r)dr-k2R(r)=0
1sinθddθsinθdΘ(θ)dθ+k2Θ(θ)=0(5．3．12)
方程(5．3．12)的第二式称为勒让德方程。若取k2=n(n+1)(n=0,1,2,…)，则其解为
Θ(θ)=AnPn(cosθ)+BnQn(cosθ)
式中，Pn(cosθ)称为第一类勒让德函数，Qn(cosθ)称为第二类勒让德函数。考虑到： 

(1) θ的取值范围为［0，π］； 

(2) Qn(cosθ)在θ=0和π时是发散的。

因此，当场域包含θ=0和π的点时，必须取Bn=0，即
F(θ)=AnPn(cosθ)
Pn(cosθ)又称为勒让德多项式，其一般表达式为
Pn(cosθ)=12nn!dnd(cosθ)n［(cos2θ-1)n］，n=0,1,2,…
前几个勒让德多项式分别为
P0(cosθ)=1
P1(cosθ)=cosθ
P2(cosθ)=32cos2θ-12
P3(cosθ)=52cos3θ-32cosθ
当k2=n(n+1)时，方程(5．3．12)第一式的解为
R(r)=Cnrn+Dnr-(n+1)
于是得到方程(5．3．11)的特解为
φ(r,θ)=［Cnrn+Dnr-(n+1)］Pn(cosθ)
而其通解为
φ(r,θ)=∑∞n=0［Cnrn+Dnr-(n+1)］Pn(cosθ)(5．3．13)


图5．3．3例5．3．3示意图

式中的待定常数由具体问题所给定的边界条件确定。

例5．3．3如图5．3．3所示，在均匀外电场E=exE0中，放置一半径为a的金属导体球，球外为空气，试求导体球外面的电位函数和电场强度。


解： 由于金属导体球外无电荷分布，因此电位函数φ满足拉普拉斯方程，且与无关。因此，通解应当为
φ(r,θ)=∑∞n=0［Cnrn+Dnr-(n+1)］Pn(cosθ)
边界条件1： 当r→∞时，感应电荷的作用基本可以忽略，电位函数基本由外电场决定，即
φ(r,θ)=-E0z=-E0rcosθ(r→∞)
因此，只含有一阶勒让德方程，于是必须满足Cn=0(n≠1)，Dn=0(n≠1)。故得到
φ(r,θ)=cosθ(C′r+D′r-2)
边界条件2： 当r=0时，球面为等位体，即
φ(r,θ)θr=a=-sinθ(C′a+D′a-2)=0
于是得到D′=-a3C′，即
φ(r,θ)=C′rcosθ+C′a3r-2cosθ
再次利用边界条件1，可得C′=-E0。故导体球外的电位函数为
φ(r,θ)=-E0(r-a3r-2)cosθ
导体柱外的电场为
E外(r,θ)=-φ(r,θ)=-erφr-eθφrθ
=erE0(1+2a3ρ-3)cosθ-eθE0(1-a3ρ-3)sinθ
导体柱表面感应电荷的面密度为
ρS= ε0er·E外(r,θ)|r=a=3ε0E0cosθ



动画11


5．4有限差分法*

镜像法和分离变量法都属于求解电磁场边值问题的解析解法(analytical method)，即最终结果是一个描述电磁场空间分布的确定解析表示式。在这里，简单介绍一种数值解法(numerical method)，即有限差分法(finite difference method)。这种方法可以解决边界形状过于复杂的实际问题，这类问题很难有解析解。对于静态场，有限差分法是比较容易理解的数值方法。第10章还会简要介绍其他各种数值方法。 

利用有限差分法计算静态场边值问题，需先将偏微分方程变换成差分方程迭代式。因此主要分为以下几步。

(1) 求解区域网格化。如图5．4．1所示，将求解区域S划分成网格，网格的边长为h，对网格节点进行编号，以i和j为下标。

(2) 求解区域拉普拉斯方程离散化。在求解区域S内，电位函数φ(x,y)满足拉普拉斯方程
2φx2+2φy2=0(5．4．1)



图5．4．1有限差分法网格剖分图


用φi,j表示点Pi,j(xi,yj)处的电位值。将电位函数进行泰勒展开，得到与节点Pi,j(xi,yj)直接相邻节点上的电位表达式
φi-1,j=φ(xi-h,yj)=φi,j-hφxi,j+h222φx2i,j-…(5．4．2)
φi+1,j=φ(xi+h,yj)=φi,j+hφxi,j+h222φx2i,j+…(5．4．3)
φi,j-1=φ(xi,yj-h)=φi,j-hφyi,j+h222φy2i,j-…(5．4．4)
φi,j+1=φ(xi,yj+h)=φi,j+hφyi,j+h222φy2i,j+…(5．4．5)
将式(5．4．2)与式(5．4．3)相加，并略去比h2更高阶的项，可得
2φx2i,j=φi-1,j-2φi,j+φi+1,jh2(5．4．6)
同理，由式(5．4．4)与式(5．4．5)可得到
2φy2i,j=φi,j-1-2φi,j+φi,j+1h2(5．4．7)
将式(5．4．6)与式(5．4．7)代入式(5．4．1)，可得到节点Pi,j(xi,yj)处的差分方程
φi,j=14(φi-1,j+φi,j-1+φi+1,j+φi,j+1)
这就是二维拉普拉斯方程的差分形式。

(3) 应用边界条件进行初始赋值。先对场域内的节点赋予迭代初值φ0i,j，这里上标0表示0次(初始)赋值。边界的赋值按初始边界条件处理，其他地方的初始值可以都设为0。已知的边界条件经离散化后转换为边界节点上的固定取值，不参与第(4)步中的迭代。若场域的边界正好落在网格节点上，则将这些节点赋予边界上的位函数值。一般情况下，场域的边界不一定正好落在网格节点上，最简单的近似处理就是将最靠近边界的节点作为边界节点，并将位函数的边界值赋予这些节点。

(4) 迭代。利用下式进行迭代
φ(k+1)i,j=14［φ(k)i-1,j+φ(k)i,j-1+φ(k)i+1,j+φ(k)i,j+1］，i,j=1,2,…
其中，k=0,1,2,…。迭代停止的条件是第k次迭代以后，所有内节点的相邻两次迭代值之间的最大误差不超过允许范围，即
maxi,j|φ(k)i,j-φ(k-1)i,j|<E
这里E是预定的允许误差。此时迭代终止，而第k次的迭代结果即可视为最终数值解。

(5) 扩展： 超松弛迭代。为了提高迭代效率，也可采用超松弛迭代，即
φ(k+1)i,j=φ(k)i,j+α［φ~(k+1)i,j-φ(k)i,j］
此时的迭代包含了第k次的值和第k+1次周围四个节点的值，并且
φ~(k+1)i,j=14［φ(k+1)i-1,j+φ(k+1)i,j-1+φ(k)i+1,j+φ(k)i,j+1］，i,j=1,2,…
而α的最佳取值可以是
αopt=21+sinπp-1
p为网格划分每边的节点数。

本章知识结构




习题

5．1求直角、60°角、45°角的镜像电荷，试探索其中的规律。如果劈尖为70°角，镜像电荷又会有什么特点？

5．2求磁流元在电导体表面的镜像、电流元和磁流元在磁导体表面的镜像。

5．3如题5．3图所示，有一半径为a的金属导体球，带电量为Q。将其置于无穷大金属表面上方h处，求该球体的镜像电荷大小及位置。



5．4广播天线经常会竖直或水平架设在地表面附近。此时地表面可近似为无限大导体平面，请画出题5．4图情形的镜像电流。箭头代表电流方向。





题5．3图




题5．4图






5．5在直角坐标系下，利用分离变量法求解题5．5图中各图的电位分布。



题5．5图


5．6在圆柱坐标系下，利用分离变量法求解题5．6图中的电位分布。介质柱体的半径为a，介电常数为ε。外电场E沿x方向。



题5．6图




5．7在圆柱坐标系下，利用分离变量法求解题5．7图中同轴电缆的电位分布。同轴电缆的内、外半径分别为a和b，内导体电位为U。



5．8如题5．8图所示，在均匀外磁场H中(幅度为H0)放置一磁导率为μ的无限长磁介质圆柱体，介质分为三个区域。在圆柱坐标系下，利用分离变量法求解腔内的磁场分布。(提示： 利用题5．6的方法)





题5．7图




题5．8图






5．9如题5．9图所示，无限长切开圆柱管的上下部分电位分别为U和-U，圆柱管半径为a。在圆柱坐标系下，利用分离变量法求解其电位分布。


5．10在圆柱坐标系下，利用分离变量法求解题5．10图中的电位分布。





题5．9图




题5．10图






5．11在球坐标系下，利用分离变量法求解题5．11图的电场分布。介质球体的半径为a，介电常数为ε。外电场E沿z方向。


5．12在球坐标系下，利用分离变量法求解题5．12图中对半切球体的电位分布。上半球电位为U，下半球电位为0。





5．13在球坐标系下，利用分离变量法求解题5．13图中的电位分布。




题5．11图




题5．12图




题5．13图