第5章 CHAPTER 5 线性系统的频域分析 ——频率响应法 前几章主要是在时域和复域中讨论了控制系统的特性。时域分析基于系统的时域数学模型——微分方程，用解析法分析系统的特性，它能准确地求得系统的稳态和动态响应的性能，但对高阶系统时域分析则比较困难； 复域分析基于系统的复域数学模型——传递函数，用根轨迹法分析系统的性能，对高阶系统则依据主导极点的思想简化系统的分析。本章介绍的频率响应法是基于系统的频域数学模型——频率特性进行系统分析，所以频率响应法又叫频率特性法。这种方法提出于20世纪30年代后期，具有直观、运算简便的特点，非常适合于工程实践，一时得到广泛的应用。 当系统传递函数G（s）中令s=jω，便得到系统的频率特性G（jω）。频率特性可以用图形（频率特性图）描述，其中用得最多的是伯德图，本章将主要讨论伯德图的绘制方法，它与系统性能的关系及在系统分析中的应用。同时还将简单讨论极坐标图和对数幅相图。 5.1频率特性 5.1.1线性定常系统对正弦输入信号的响应 设线性定常系统的传递函数为 G（s）=C（s）R（s）=P（s）Q（s） （51） 式中，P（s）和Q（s）是s的多项式，则输出的拉氏变换为 C（s）=P（s）Q（s）R（s） （52） 设输入r（t）=Asinωt，它的拉氏变换为 R（s）=Aωs2+ω2 （53） 假定Q（s）具有不相等的根且不等于±jω，用部分分式展开得 C（s）=P（s）Q（s）Aωs2+ω2=P1（s）Q（s）+αs+jω+βs-jω（54） 式中 α=-AG（-jω）2j及β=AG（jω）2j （55） 系统的输出响应 c（t）=L-1P1（s）Q（s）+L-1αs+jω+L-1βs-jω （56） 如果G(s)是稳定的，那么右边第一项是系统的瞬态响应，随着时间延伸将趋向零，后两项是系统对正弦输入的稳态响应，即 c（∞）=αe-jωt+βejωt （57） 又 G（jω）=|G（jω）|∠G（jω）=|G（jω）|ejφ（ω） （58） 因为G(s)是实系数的函数，所以G(jω)与G(-jω)是共轭复数，即 |G（-jω）|=|G（jω）|及φ（-ω）=-φ（ω） （59） 将式（55）、式（56）、式（58）与式（59）代入式（57）得 c（∞）=A|G（jω）|ej（ωt+φ（ω））-e-（jωt+φ（ω））2j =A|G（jω）|sin（ωt+φ（ω）） （510） 从上式可知： 稳定的线性定常系统对正弦输入信号 Asimωt 的稳态输出响应与输入是同频率的正弦信号，其幅值为A|G（jω）|，并与输入信号有一个相位移φ（ω），这个性质曾用作实验求取传递函数的主要依据。 5.1.2系统的频率特性 将系统传递函数中的s代之以jω便得系统的频率特性，图51是其方框图，其中C(jω)与R(jω)分别是c(t)与r(t)的傅里叶变换。 图51系统频率特性方框图 频率特性G（jω）是复变函数，它可以用幅值|G（jω）|和相角∠G（jω）表示，即 G（jω）=|G（jω）|∠G（jω）=|G（jω）|ejφ（ω） （511） 式中 ∠G（jω）=φ（ω） （512） |G（jω）|是G（jω）的幅频特性，它等于正弦输入的稳态的输出幅值与输入幅值之比； φ（ω）是G（jω）的相频特性，它是稳态输出对输入的相位移； |G（jω）|或φ（ω）都是角频率ω的函数。 频率特性G（jω）也可表示为实部和虚部： G（jω）=ReG（jω）+jImG（jω） （513） ReG（jω）——G（jω）的实频特性； ImG（jω）——G（jω）的虚频特性。 ReG（jω）和ImG（jω）都是角频率ω的函数。两种表示之间的关系如下： |G（jω）|=［ReG（jω）2+ImG（jω）2］1/2 （514） φ（ω）=arctanImG（jω）ReG（jω） （515） 图52G（jω）的向量图 式（514）和式（515）可以用复平面上的向量表示，如图52所示。 G（jω）是角频率ω的函数，当ω变化时，G（jω）的轨迹是复平面上的一条曲线，因此，频率特性可以用频率特性图表示。式（511）和式（513）都可用来绘制频率特性图。常用的频率特性图有以下3种： （1） 极坐标图，也称奈奎斯特（Nyquist）图，简称奈氏图； （2） 对数频率特性图，也称伯德（Bode）图； （3） 对数幅相特性图，也称尼科尔斯（Nichols）图。 这些频率特性图将在后面进行讨论。 5.1.3频率特性的性质 （1） 频率特性是系统的一种数学模型，它描述了系统的特性，与外界因素无关。当系统结构参数确定之后，系统的频率特性也随之确定。 （2） 稳定系统的频率特性刻画了系统对正弦输入的稳态响应，系统的稳态输出量与输入量是具有相同频率的正弦信号。|G（jω）|和φ（ω）都是ω的函数。 （3） 大部分系统输出的幅值随频率的升高而衰减，所以，它是一个低通滤波器。 频率特性还可以应用到某些非线性系统分析，这将在有关章节中讨论。 5.2频率特性图 5.2.1频率特性的极坐标图（奈氏图） 奈氏图是当ω自0变化到+∞时，向量G（jω）端点在复平面上的轨迹，所以也叫G（jω）的奈氏图。G（jω）可以表示为|G（jω）|和φ（ω），也可表示为ReG（jω）和ImG（jω）。下面以惯性环节为例说明奈氏图的绘制方法。 例51绘制惯性环节频率特性奈氏图 G（jω）=1jωT+1 （516） 解将式（516）写成式（511）的形式，有 G（jω）=|G（jω）|∠φ（ω） 式中 |G（jω）|=11+（ωT）2（517） φ（ω）=-arctan（ωT） （518） 求取奈氏图需要逐点计算，表51列出了一些特殊点的计算值。 表51一些特殊点的计算值 ω0 1/2T1/T1/0.5T∞ ｜G（jω）｜12/51/21/5 0 φ（ω）0°-26.6°-45°-63.4°-90° 图53惯性环节奈氏图 图53是惯性环节的奈氏图，它是一个半圆（第四象限的半圆为ω>0时的轨迹，第一象限的半圆是ω<0时的轨迹）。这可以通过建立ReG（jω）和ImG（jω）之间的方程证明。证明如下： G（jω）=ReG（jω）+jImG（jω） G（jω）的实部和虚部分别为 ReG（jω）=1（ωT）2+1 ImG（jω）=-ωT（ωT）2+1 ReG（jω）2+ImG （jω）2=1（ωT）2+1=ReG（jω） 配项化简得到 ReG（jω）2-ReG（jω）+14+ImG（jω）2=ReG（jω）-122+ImG（jω）2=14 这是一个圆心为12，j0、半径等于12的圆。■ 5.2.2典型环节的奈氏图 上面分析了典型环节——惯性环节的奈氏图，下面介绍其他典型环节，但略去绘制过程。 1. 比例环节 传递函数 G（s）=K （519） 频率特性 G（jω）=K∠0° （520） 比例环节的频率特性与角频率无关，其奈氏图是正实轴上的一个点（见图54），它到原点的距离为K。 2. 微分环节 1） 理想微分环节 传递函数 G（s）=s （521） 频率特性 G（jω）=jω=ω∠90° （522） 显然，理想微分环节的奈氏图是一条与正虚轴相重合的直线，见图55。 图54比例环节的奈氏图 图55理想微分环节的奈氏图 2） 一阶微分环节 传递函数 G（s）=Ts+1（523） 频率特性 G（jω）=jωT+1=（1+ω2T2）1/2∠arctan（ωT） （524） 一阶微分环节的奈氏图是复平面第一象限中一条通过（1，j0）点，并与虚轴平行的直线（图56）。当ω=0，处于（1，j0）点，随着ω=0→∞，向量G（jω）的端点沿着该直线向上移动。 3） 二阶微分环节 传递函数 G（s）=T2s2+2ζTs+1（525） 频率特性 G（jω）=T2（jω）2+2ζT（jω）+1 =（1-T2ω2）+j2ζTω =（1-T2ω2）2+4ζ2T2ω2∠arctan2ζTω1-T2ω2 （526） 二阶微分环节的奈氏图如图57所示，它可通过逐点计算得到。 图56一阶微分环节的奈氏图 图57二阶微分环节的奈氏图 3. 积分环节 传递函数 G（s）=1s （527） 频率特性 G（jω）=1jω=1ω∠（-90°）（528） 由于∠G（jω）=-90°是常数。而G（jω）随ω增大而减小。因此，积分环节是一条与负虚轴重合的直线，如图58所示。 图58积分环节的奈氏图 4. 振荡环节 传递函数 G（s）=1T2s2+2ζTs+1 （529） 频率特性 G（jω）=1T2（jω）2+2ζTjω+1 =1-ω2T2（1-ω2T2）2+（2ζωT）2-j2ζωT（1-ω2T2）2+（2ζωT）2 =1-ωωn22+2ζωωn2-1/2∠arctan-2ζω/ωn1-（ω/ωn）2（530） 式中ωn=1/T。振荡环节的奈氏图如图59所示。当ω=0，G（j0）=1∠0°，当ω=∞，G（j∞）=0∠（-180°），奈氏图与负实轴相切而到达原点。当ω=1/T=ωn，曲线通过虚轴，交点处的角频率等于无阻尼自然振荡角频率ωn=1/T，幅值等于|G（jω）|=1/2ζ，阻尼比ζ越小，幅值就越大。 5. 延迟环节 在工程实际系统中，经常会遇到另一个环节——延迟环节，它的传递函数G（s）=e-sT，其中T为延迟时间常数，其对应的频率特性为 G（jω）=e-jωT （531） 延迟环节的幅频特性是与ω无关的常量，其值为1。而相频特性则与ω呈线性变化。故其奈氏图是一个单位圆（图510）。 图59振荡环节的奈氏图 图510延迟环节的奈氏图 并不是所有系统的奈氏图都是简单的几何图形。一般来讲，奈氏图必须逐点计算，而且即使已知某一系统的奈氏图，如果要在原系统中增加一个环节，也没有简单的方法求取合成的奈氏图。 例52在例51的惯性环节基础上增加一个在原点的极点，绘制系统的奈氏图。 解增加一个在原点的极点后，其频率特性为 G（jω）=1jω（jωT+1）=1jω-ω2T（532） 其实部与虚部分别为 ReG（jω）=-Tω2T2+1和ImG（jω）=-1ω3T2+ω 由于ReG(jω)与ImG(jω)均小于零，所以系统的奈氏图始终在第三象限。 当ω=0，12T，1T，∞时的计算结果列于表52中。 表52计算结果 ω 0 1/2T 1/T 2/T∞ ReG（jω）-T-4T/5-T/2-T/5 0 ImG（jω）-∞-8T/5-T/2-T/10 0 由于ω→0时，ReG(jω)→-T,ImG（jω）→-∞,因此当ω→0,有渐近线σ=-T。 奈氏图示于图511。■ 要准确绘制系统的奈氏图是一件比较麻烦的工作，不过在工程实践中，并不需要准确画出整条奈氏图，只要知道曲线所在的象限、 图511例52的奈氏图 走向和主要特征。下面将奈氏图的一些绘制规律概括地作一介绍，这里假定G(s)具有时间常数型的标准形式，且所有零极点均位于左半s平面。 （1） 奈氏图的起点（ω=0）取决于系统的类型及系统的增益K，即 |G（j0）|= limω→0 Kων （533） 式中，ν是系统在原点的极点数。因此， φ（0）=-ν×90°（534） 例51的系统ν=0，所以|G（j0）|=K，φ（0）=0°； 例52的系统ν=1，所以|G（j0）|=∞，φ（0）=-90°。注意尽管ReG(0)=-T,但因为ImG(0)=-∞,所以φ(0)是-90°。 （2） 奈氏图的终点（ω=∞），对n>m的系统（n和m分别是系统的极点数和零点数），有 |G（j∞）|=0 （535） φ（∞）=-（n-m）×90° （536） 上面二式说明，系统的奈氏图是以-（n-m）×90°的角度趋向原点。例51的惯性环节，n=1，m=0,所以φ（∞）=-90°； 例52的系统和振荡环节的n=2，m=0，所以φ（∞）=-180°。 例53利用前述奈氏图的规律绘制下列系统的奈氏图草图： （1） G（s）=1（T1s+1）（T2s+1）； （2） G（s）=1s（T1s+1）（T2s+1）； （3） G（s）=（T3s+1）s（T1s+1）（T2s+1）； （4） G（s）=（T3s+1）s（T1s+1）（T2s+1）（T4+1）。 图512是以上诸系统的奈氏图草图，图中（a）~（d）分别对应（1）~（4）的系统。不难按前述规则解释曲线的形状特征。从以上一组曲线，还可以看到系统增加零、极点对系统奈氏图的影响： 增加极点，将向顺时针方向“拉”动曲线，例如系统（2）较系统（1）增加了一个在原点的极点，使曲线从第三、四象限“拉”向第二、三象限； 系统（4）较系统（3）增加一个极点，也有相同的效果。增加零点的影响与之相反，它将曲线向逆时针方向拉动，例如在系统（2）的基础上增加一个零点，结果就把系统的奈氏图从第二、三象限“拉”向第三、四象限，如图512（c）所示。了解这种影响，对于系统设计是有用的。 图512例53各系统的奈氏图草图■ 奈氏图在系统分析中是有一定价值的，后面将要讨论的稳定性判据就是根据奈氏图的特征来判别系统稳定性的。但当要在已知系统中附加零、极点时，由于要进行复数的乘法运算，计算比较烦琐，这就限制了奈氏图在系统设计中的应用。对数频率特性图（伯德图）将乘法运算变成加法运算，从而大大简化了频率特性的计算，成为控制系统设计的有效工具，得到广泛的应用。 5.2.3对数频率特性图（伯德图） 伯德图是将系统的对数幅频特性和对数相频特性分别画在各自的坐标系中。对数幅频特性是取|G（jω）|的对数20lg|G（jω）|为纵坐标，单位是分贝（dB），相频特性以φ（ω）为纵坐标，单位为度（°），横坐标都是角频率ω，单位为弧度/秒（rad/s），但以lgω进行分度，这就是半对数坐标系。 由于横轴采用对数分度，因此伯德图没有原点。 伯德图优点如下。 （1） 绘图方便。由于纵坐标的单位是分贝，它取了对数运算，因此 伯德图将幅值的乘除转化为加减，|G（jω）|与|G-1（jω）|关于0分贝直线对称，相频也关于零度对称。 而且可以用 对数幅频特性的渐近线近似曲线，绘图非常简便，便于工程应用。 （2） 分析方便。实际控制系统多半是低通滤波器，低频段特性很重要。伯德图是绘制在半对数坐标上，它的横坐标角频率采用的是对数分度，可以扩展低频段范围，这对系统分析和设计是很有利的。 系统的传递函数为 G（s）=K∏m1i=1（τis+1）∏m2k=11ωk2s2+2ζk1ωks+1sν∏n1j=1τjs+1∏n2l=11ωl2s2+2ζl1ωls+1 （537） 对应的频率特性为 G（jω）=K∏m1i=1（jωτi+1）∏m2k=1jωωk2+2ζkjωωk+1（jω）ν∏n1j=1（jωτj+1）∏n2l=1jωωl2+2ζljωωl+1 （538） 其中包括增益K，m1个一阶零点和m2对复零点，在原点的ν重极点，n1个一阶极点和n2对复极点。要绘制系统的奈氏图是相当麻烦的，而绘制其伯德图却不难。G（jω）的对数幅频特性是 20lg|G（jω）|=20lgK+20∑m1i=1lgjωτi+1+20∑m2k=1lgjωωk2+2ζkjωωk+1- 20lg|（jω）ν|-20∑n1j=1lgjωτj+1- 20∑n2l=1lgjωωl2+2ζljωωl+1（539） 从上式可见，系统的对数幅频特性是一些典型环节的对数幅频特性的代数和，只要将这些典型环节的对数幅频特性叠加，便可得到系统的对数幅频特性曲线。 相频特性是 φ（ω）=∑m1i=1arctan（ωτi）+ ∑m2k=1arctan2ζkωkωω2k-ω2-90° ν-∑n1j=1arctan（ωτj）-∑n2l=1arctan2ζlωlωω2l-ω2（540） 系统的相频特性曲线等于这些典型环节的相频特性之和。可以把这些典型环节归纳为以下4类基本因子： （1） 常数增益K； （2） 在原点的极点（或零点）（jω）±ν； （3） 实极点（或零点）（jωτ+1）±1； （4） 复极点（或零点）jωωn2+2ζjωωn+1±1。 以上各式中的指数取正时为零点，取负时为极点。这些基本因子实际上就是基本环节。所有系统的伯德图都是这4类基本因子伯德图求和的结果，尤其是利用它们的渐近线近似时，整个过程将变得十分简单。 5.2.4基本因子的伯德图 1. 常数增益的伯德图 设常数增益为K，则其对数幅频特性是 L（ω）=20lgK （541） 当增益K>1，L（ω）=20lgK>0； 而当增益00.707时，必须考虑ζ对L（ω）曲线的影响，对ω=ωn附近的L（ω）曲线进行修正。图516（a）给出了在不同ζ时的L（ω）曲线。由图可见，当ζ<0.707，L（ω）会出现一个谐振峰值Mr，Mr及它出现的角频率ωr（谐振角频率）可以通过式（552）对u求导，并使它等于零求得，即 ωr=ωn1-2ζ2 （555） Mr=|G（jωr）|=（2ζ1-ζ2）-1 （556） 当ζ≥0.707，Mr≤1，L（ω）曲线不会出现谐振峰值。 图516jωωn2+2ζjωωn+1±1的L（ω）与φ(ω)曲线 相频特性 φ（ω）=-arctan2ζω/ωn1-（ω/ωn）2 （557） 或者 φ（u）=-arctan2ζu1-u2 （558） 不同ζ下的φ（ω）曲线也示于图516（a）。 复零点jωωn2+2ζjωωn+1+1（即二阶微分环节）的L（ω）曲线见图516（b），与复极点的L（ω）曲线对称（以0dB线为对称轴）； 其φ（ω）曲线与复极点的φ（ω）曲线对称（以0°线为对称轴）。 5.2.5控制系统的伯德图 下面通过一个实例说明系统伯德图的绘制方法。 例54绘制下列系统的伯德图 G（s）=10（s+1）s（s+4）（s+0.1） 解 绘制伯德图先要将传递函数化成时间常数形式。 系统的频率特性为 G（jω）=10（jω+1）（jω）（jω+4）（jω+0.1）=25（jω+1）（jω）（0.25jω+1）（10jω+1） 由式（539）知，系统的对数幅频特性是G（jω）中各基本因子对数幅频特性的叠加，所给系统有如下基本因子： 常数增益K=25、一个（ν=1）积分因子（jω）、两个实极点因子——（0.25jω+1）-1和（10jω+1）-1，以及实零点因子（jω+1）。可以利用5.2.4节的结论绘制各个因子的L（ω）曲线。 （1） L（ω）的低频起始段是由常数增益与积分因子的对数幅频特性组成： 积分因子ν=1，所以其幅频是一条经过ω=1，L（1）=0dB，斜率为-20dB/dec的直线。又因比例环节的幅值为20lgK=20lg25=28dB，所以应将积分环节的幅值提高28dB，即此系统幅频特性低频起始段斜率为-20dB/dec，且通过ω=1，L（ω）=28dB点的一条直线。 （2） 在实零点（或实极点）基本因子的转角角频率处，对数幅频特性L（ω）的斜率在原基础上增加（或减小）20dB/dec，而在复零点（或复极点）的转角角频率处，L（ω）的斜率在原基础上增加（或减小）40dB/dec。此题中两个实极点的转角角频率分别为0.1和4，一个实零点因子的转角角频率为1。 （3） 根据以上两条画出G（jω）的近似对数幅频特性L（ω）曲线，如图517所示。 图517例54的对数幅频特性曲线 （4） 相频特性曲线是所有基本因子相频特性曲线的代数和，图518给出了基本因子和系统的相频特性曲线。曲线1、2和3分别是（10jω+1）-1、（jω+1）和（0.25jω+1）-1的相频特性曲线，（jω）的相频特性曲线4是-90°的水平直线，以上4条相频特性曲线叠加的结果就是系统的相频特性曲线，图518中一条加粗的曲线就是系统的相频特性曲线。 图518例54的相频特性曲线■ 例55系统的频率特性如下： G（jω）=10（0.5jω+1）（jω）（jω+1）（（jω/10）2+（0.5jω/10）+1） （559） 绘制系统的对数幅频特性曲线。 解系统包含的因子（按照转角角频率的顺序）： （1） 常数增益K=10； （2） 在原点的极点； （3） 极点ω1=1/T1=1； （4） 零点ω2=1/T2=2； （5） 复极点ωn=10，ζ=0.25。 按照前述绘图方法即可用各因子的渐近线绘出系统L（ω）曲线图，如图519实线所示。 图519例55系统的L（ω）曲线 复极点的ζ=0.25，故需要对其曲线进行修正，按式（555）与式（556）可求得ωr和Mr分别为 ωr=ωn1-2ζ2=9.35rad/s （560） Mr=|G（jωr）|=（2ζ1-ζ2）-1=6.3dB（561） 图519中的虚线为修正后的曲线。■ 总结上面两个例子，将绘制伯德图幅频的步骤总结如下： （1） 将传递函数化成时间常数形式（2.2节）。 （2） 在横轴上标出所有的转角频率。 （3） 找到基准点（1，20lgK）。 （4） 根据系统型号ν，过基准点作一条斜率为－20νdB/dec的直线，这是在没有转角频率之前低频段的频率特性。 （5） 在横轴上自左至右找转角频率，逢转角频率则转； 该转角频率在分子上对应为一阶环节斜率增加20dB/dec，二阶环节增加40dB/dec； 在分母上则分别变化－20dB/dec和－40dB/dec。 （6） 如果转角频率处对应的是二阶环节，当0.4≤ζ≤0.707时无须修正； 当ζ<0.4时，在转角频率乘以1－2ζ2处增加最大值为|20lg (2ζ1-ζ2)| 的突出； 当ζ>0.707时，需根据转角频率处L（ω）的准确值进行修正。 绘制相频特性没有简单的办法，只能将这些相频叠加。 在此介绍系统中两个常用的术语。 （1） 增益剪切角频率ωc： 系统对数幅频特性穿越0dB的角频率，即|G（jω）|=1，或L（ω）=0dB时的角频率； （2） 相位剪切角频率ωg： 系统相频特性曲线穿越-180°的角频率，即φ（ω）=-180°时的角频率。 图520系统伯德图中ωc和ωg的位置 图520给出了伯德图上ωc和ωg的位置。 例56求下列传递函数的幅频特性，并求增益剪切角频率 G(s)=20(0.1s+1)s(s+0.5)(s+4)(0.04s+1) 解根据上述步骤，先将传递函数转换成时间常数形式 G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)14s+1(0.04s+1) （1） 转角频率为12=0.5，4，10.1=10，10.04=25； （2） 找到基准点（1，20）； （3） 过基准点作－20dB/dec的直线； （4） 沿着低频段直线，在第1个转角频率0.5处，斜率改成－40dB/dec，作直线； 在第2个转角频率4处，改成斜率为－60dB/dec的直线； 在第3个转角频率10处，斜率改成－40dB/dec； 在第4个转角频率25处，斜率改成－60dB/dec。 它的对数幅频特性见图521。 根据增益剪切角频率ωc的定义，应该是 0=20lgG(jωc) =20lg10+20lg0.1jωc+1－20lgjωc－ 20lg2jωc+1－20lg14jωc+1－20lg0.04jωc+1 根据图521，ωc应该在1和4之间，即在转角4，10，25之前。回忆基本环节的伯德图，在转角频率之前，它们的幅频是0dB，因此可以不考虑这些环节。又因为在转角频率之后，我们是用20lgTω去近似20lg(Tω)2+1，所以得到 0=20lg10－20lgωc－20lg(2ωc) 即10ωc(2ωc)=1，ωc=5≈2.236。■ 图521例56的伯德图（幅频） 在经典控制理论中根据伯德图求增益剪切频率都是根据折线的，因此与用MATLAB的仿真会有小的差异，但是就像我们总用折线代替曲线一样，反而认为这个近似值才是正确答案。可能会有读者担心，如果在例56中由于作图不准确，据图认为ωc小于4，所以没有考虑1s/4+1这个环节，但求出的ωc大于4了，这时该怎么办？由于作伯德图是近似的，可能会发生这种现象，这时就必须将1s/4+1这个环节考虑进去，重新计算就可以了，再算出来的ωc必定大于4。 5.2.6最小相位系统和非最小相位系统 为了进一步说明开环幅频特性与相频特性之间的关系，我们引入最小相位系统的概念。 定义： 在s右半开平面没有零、极点，也没有延时因子（环节）的系统称为最小相位系统。 可以证明如果有n个Gi(s)（i=1,2,…，n）,它们的幅频特性|Gi(jω)|都相等，那么最小相位系统一定使得相角变化最小，如果用φ（ω）表示系统的相频特性，那么相角的变化Δφ定义为 Δφ=max(ω)-minφ(ω) 例57设两个控制系统的开环传递函数分别为（T1>T2） G1（s）=1+T2s1+T1s及G2（s）=1-T2s1+T1s 根据定义不难判别，G1（s）是最小相位系统，G2（s）是非最小相位系统。它们的对数幅频特性和相频特性分别为 L1（ω）=20lg 1+（ωT2）2-20lg 1+（ωT1）2 L2（ω）=20lg1+（ωT2）2-20lg1+（ωT1）2 φ1（ω）=-arctanωT1+arctanωT2 φ2（ω）=-arctanωT1-arctanωT2 上述两系统的伯德图绘于图522中，比较发现： 当ω自0→∞，它们的幅频特性L1（ω）=L2（ω），但φ1（ω）的变动范围为0°→90°，而φ2（ω）的变动范围达到0°→180°。φ2（ω）的变化范围要比φ1（ω）大得多。G1（s）是最小相位系统，G2（s）是非最小相位系统。带有延迟环节的系统也是非最小相系统，读者可用同样方法进行分析和理解其相位变化情况。 图522G1（s）=1+T2s1+T1s及G2（s）=1-T2s1+T1s系统的伯德图■ 最小相位系统有以下一些特征： （1） 对于开环极点都在左半s平面的系统， 在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。 （2） 当ω→∞时，其相角等于-90°×（n-m），对数幅频特性曲线高频段的斜率为-20×（n-m）dB/dec。有时用这一特性判别一个系统是否为最小相位系统。 （3） 对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说，只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，就可以依据幅频特性对系统进行分析研究，而无须再画出相频特性。 非最小相位环节（具有右半平面上的零点、极点或时滞特性的环节） 相位滞后大，通常起动性能差，响应缓慢。在系统设计时，除了被控对象中可能包含之外，一般不人为地引入非最小相位环节。 5.2.7对数幅相特性图 系统频率特性的另一种图形表示是对数幅相特性图，也称尼科尔斯图。对数幅相特性图画在以系统的对数幅值L（ω）=20lg|G（jω）|dB为纵坐标，相角φ（ω）为横坐标的幅相平面上 （ω为参数）， 表示L（ω）与φ（ω）之间关系的特性曲线。对数幅相特性最重要的是在L（ω）=0dB和φ（ω）=-180°这一段的轨迹，所以通常只画出这一段的轨迹。 一般都是 根据对数幅频特性和相频特性画出对数幅相特性图。 例58绘制下述系统的尼科尔斯图 G（jω）=10（jω+1）（jω）（jω+4）（jω+0.1） （562） 解系统的伯德图如图523所示。利用伯德图可以很快地得到对应于同一个ω的L（ω）与φ（ω）的数据，即尼科尔斯图的数据，据此便可绘制尼科尔斯图，如图524所示。■ 图523例58系统的伯德图 图524例58系统的对数幅相特性图 对数幅相特性图主要用来由开环频率特性分析闭环频率特性，详细论述将在5.4节展开。 5.2.8用MATLAB作频率特性图 MATLAB的控制系统工具箱中有很多绘制系统频率特性图的命令，简要介绍如下。 1. 伯德图 （1） bode（sys） 绘制系统伯德图，频率范围由MATLAB自动确定。 （2） bode（sys，ω） 在定义频率ω的范围内绘制系统的伯德图。ω由两种定义方式，即 定义频率范围［ωmin，ωmax ］； 定义频率点［ω1，ω2，…，ωn］。 （3） bode（sys1，sys2，…，sysn）在同一窗口绘制多个系统的伯德图。 （4） bode（sys1，sys2，…，sysn，ω） 在定义频率ω的范围内绘制多个系统的伯德图。 （5） bode（sys1，plotstyle1，sys2，plotstyle2，…，sysn，plotstylen） 命令中的plotstyle可定义图形的属性。 （6） ［mag，phase，ω］=bode（sys） 不显示图形，仅将伯德图的数据（幅值、相角和相应的频率）置于mag、phase和ω三个向量中。 2. 奈氏图 类似于伯德图，绘制奈氏图的命令如下。 （1） nyquist（sys）； （2） nyquist（sys，ω）； （3） nyquist（sys1，sys2，…，sysn）； （4） nyquist（sys1，plotstyle1，sys2，plotstyle2，…，sysn，plotstylen）； （5） ［re，im，ω］=nyquist（sys）奈氏图的数据是实部、虚部和相应的频率。 以上命令的功能与伯德图命令是对应的，故不再重复。 3. 尼科尔斯图 （1） nichols（sys）； （2） nichols（sys，ω）； （3） nichols（sys1，sys2，…，sysn）； （4） nichols（sys1，plotstyle1，sys2，plotstyle2，…，sysn，plotstylen）； （5） ngrid在尼科尔斯图上加等幅值和等相角线。 例59用MATLAB绘制例58系统的伯德图。 解执行以下命令 num=［10，10］； den=［1，4.1，0.4，0］； sys=tf（num，den）； bode（sys） 可得系统的伯德图，如图523所示。 再执行命令 nichols（sys） 便得系统的尼科尔斯图，如图524所示。■ 5.3频域中的稳定性判据 5.3.1引言 线性定常系统稳定性判据在时域中有劳斯判据，可以判别闭环系统的特征根是否具有负实部。在复域中，则是根据开环传递函数绘制根轨迹，判定闭环系统的所有极点是否均在左半s开平面上。频域中的稳定性判据是利用系统的开环频率特性来判别系统的稳定性。 令系统的开环传递函数为 G（s）H（s）=P（s）Q（s） （563） 则闭环系统的特征式为 F（s）=1+G（s）H（s）=P（s）+Q（s）Q（s）=Kr∏ni=1（s+zi）∏nj=1（s+pj） （564） 由式（563）和式（564）可知： （1） F（s）是n阶有理分式，并且零点数和极点数是相等的； （2） F（s）的零点就是闭环系统的极点； （3） F（s）的极点就是系统的开环极点。 频域中稳定性判据（奈氏判据）的数学基础是复变函数的幅角原理，因而可以推广到非线性系统。它是通过建立开环频率特性G（jω）H（jω）曲线与F（s）=1+G（s）H（s）在右半平面上的零、极点数的关系，判别闭环系统的稳定性。 5.3.2幅角原理 1. 映射 s是复数，在s平面上可表示为s=σ+jω。F（s）也是复数，在复平面F（s）上表示为F（s）=u+jv。在s平面上除了F（s）的极点外的任意点si，均可在F（s）平面上找到与之对应的点F（si）。所以复函数F（s）是从s平面到F（s）平面的映射。例如函数 F（s）=2ss+1 若s1=2，则F（s1）=4/3； 若s2=-j，则F（s2）=1-j。 2. 幅角原理——柯西定理 频域稳定性的奈氏判据是基于复变函数的柯西定理，通常称为幅角原理，它是把在s平面上一个闭合路径Γs内F（s）的零点和极点数与F（s）平面上ΓF围绕原点的圈数联系在一起了。 幅角原理： 在s平面上取简单的闭合路径Γs，即当s在Γs上移动时，每个点只经过一次，且Γs不通过F（s）的零点和极点，F（s）在Γs内的零点数为Z、极点数为P，s按顺时针方向沿Γs绕一圈，用ΓF表示F(s)在F（s）平面上产生的闭合曲线，则ΓF围绕原点的圈数为 N=Z-P（565） 若N>0（即Z>P），则ΓF与Γs的移动方向一致，即也是顺时针移动； 若N=0（即Z=P），则ΓF不包围原点； 若N<0（即Z0 试判别闭环系统的稳定性。 解这是一个1型二阶系统。G（jω）H（jω）|ω=0=∞∠（-90°），G（jω）H（jω）|ω→∞=0∠（-180°），此题中ν=1，s为-j0→+j0时应顺时针补作180°，且半径为无穷大的虚圆弧，如图529所示。图中奈氏图不包围（-1，j0）点，即N=0。而P=0，所以系统是稳定的。■ 例511系统的开环传递函数为 G（s）H（s）=K（s-1）s（s+1）K>0 试判闭环系统的稳定性。 解闭环系统是1型二阶系统。 由于G(jω)H(jω)=2Kω2+1-j (ω2-1)Kω(ω2+1) ，因此ω→0时奈氏图始于第一象限，初始相角为90°； 在ω>1后进入第四象限，最终相角-90°。 s为-j0→+j0时应顺时针补作180°，且是一个半径为无穷大的圆弧，奈氏图如图530所示。奈氏图包围（-1，j0）点的圈数N=1，而P=0，所以闭环系统不稳定。■ 例512已知系统的开环传递函数为 G（s）H（s）=Ks（T1s+1）（T2s+1） （578） 判断系统的稳定性。 解开环是一个最小相位系统，奈氏图如图531所示。曲线与实轴的交点坐标为-KT1T2T1+T2，j0。图531给出了不同K值时的奈氏图。 图529例510的奈氏图 图530例511的奈氏图 图531例512系统的奈氏图 图（a） 为KT1+T2T1T2，曲线包围（-1，j0）点，系统是不稳定的。■ 5. 判断N的简易方法 因ω自-∞→-0→+0→+∞时，G（jω）H（jω）奈氏图对称于实轴，因此，实际应用中常常只画ω=0→∞的那一部分。习惯上将G（jω）H（jω）从下而上穿过（-1，j0）点左边负实轴称为正穿越一次； 反之，称为负穿越一次，见图532（a）。若G（jω）H（jω）轨迹起始或终止于（-1，j0）以左的负轴上，则穿越次数为半次，同样有+0.5次穿越和-0.5次穿越，见图532（b）和（c）所示。分别用N+和N-表示正穿越和负穿越的次数。 图532正、负穿越表示 不难理解，如果ω=0→∞变化时，G（jω）H（jω）按顺时针方向绕（-1，j0）一周，则必正穿越一次。反之，若逆时针方向包围（-1，j0）点一周，则必负穿越一次。此时计算奈氏图包围（-1，j0）点的圈数 N=2×（N+-N-） （579） 例513试判别图533所示各系统的稳定性，各系统的开环极点数已标示于图中。 图533例513系统奈氏图 解图533（a）中，N+=2,N-=0,N=2-0=2,而P=0，所以Z=N+P=2，F(s)在右半s平面有2个零点，系统不稳定。 图533(b)中， 若b>1，N+=4,N-=2,N=4-2=2，而P=1，所以Z=N+P=3，系统不稳定； 若b<11，或者L(ω0)>0。因此计算穿越只要关心L(ω)>0的这部分。 （3） 对于开环传递函数存在积分环节的系统，要将相频特性的尾端朝φ(ω)增加方向（箭头方向）上移ν×90°，上移后的起点必定在k180°处。这时要注意穿越(2k+1)180°都相当于穿越负实轴。 例 514系统开环传递函数的伯德图如图534所示，试求系统的N。 图534例514伯德图 解由于低频段的斜率为－20dB/dec，因此系统是1型的，相频的尾部上翘90°。检查L(ω)>0部分，相频有二次从上方（大于－180°）穿越－180°直线，因此N+=2，N=4。■ 对于开环是最小相位的系统，情况比较简单。 开环是最小相位的 系统。其稳定的充分必要条件是，在剪切角频率ωc处的φ（ωc）>-180°。反之，为不稳定系统。 图535（a）、（b）分别是两个最小相位系统的伯德图，根据判据，（a）为稳定系统，（b）为不稳定系统。由此可以得出ωc<ωg是最小相位系统稳定的充分必要条件。 图535伯德图的奈氏判据 例515用伯德图判别下列系统的稳定性 G（s）H（s）=Kr（s+3）s（s+1）（s+50）（s+100） （580） 系统的伯德图如图536所示。图中-1、-2和-3分别表示L（ω）特性的斜率-20dB/dec、-40dB/dec和-60dB/dec。 图中粗线是开环增益K=100时的L（ω）曲线，在ω=ωc处的相位φ（ω）>-180°，所以系统稳定。当K=143时的L（ω）曲线如图中的细线，相频特性正好在ω=ωc处自上向下穿越-180°，系统处于临界稳定状态。如果K>143，则ω=ωc处的相位φ（ω）<-180°，系统是不稳定的。■ 图536例515系统的伯德图 也可以用尼科尔斯图进行系统的稳定性分析，但作图比较麻烦，在此不进行讨论，读者可参阅有关资料。 5.4根据伯德图求系统传递函数 上一节指出，最小相位系统的幅频特性和相频特性是一一对应的，因此根据系统的幅频特性可以唯一地确定最小相位系统的传递函数。20世纪60年代之前，在控制理论中总假设系统是黑箱，传递函数是通过实验方法求取的，应用频率特性求取系统传递函数是一种重要的方法，尤其是涉电的控制系统。对系统输入谐波信号sin ωt，量测系统稳态输出的幅值并用分贝做单位，得到L(ω)。改变ω，就有一系列的L(ω)，将这些(ω,L(ω))标在半对数坐标中，用斜率为±20kdB/dec的折线去拟合这些点，当然也可以用最小二乘法找出最佳拟合。然后用本节给出的方法求出系统的传递函数。对于非最小相位系统，还需要用相频特性决定零极点的符号。以下假设系统的幅频特性已经画出，研究如何求得它的传递函数。 假设系统的传递函数是 G(s)=K∏m1i=1(τis+1)∏m2k=1(T2ks2+2ζkTks+1)sν∏n1j=1(τjs+1)∏n2l=1(T2ls2+2ζlTls+1) 时间常数τi、τj、Tk、Tl都是正实数，阻尼比ζk、ζl也是正实数，ν是正整数，K是增益，它们都是未知的。 1. 系统型号ν 最小折角之前的频段称为最低频段。最低频段的斜率决定了系统的型号。最低频段的斜率是ν×(－20)dB/dec，那么型号就是ν。由于已经要求用斜率是±20kdB/dec的折线去拟合，因此ν是可以获取的。 2. 时间常数τi、τj、Tk、Tl 一个折角频率对应一个时间常数，折角后斜率是减小的，这个时间常数对应的环节在分母上，增加的则在分子上。经过折角变化是±20dB/dec的，是一阶环节，变化是±40dB/dec的则是二阶环节。 3. 二阶环节的阻尼比ζk、ζl 以ω2ns2+2ζωns+ω2n为例，对于s2+2ζωns+ω2nω2n的环节只要将它做对称就可以相应处理了。二阶环节幅频的标注一般有两种情形： 存在谐振和不存在谐振。存在谐振的会注明谐振峰值Mr，根据Mr=－20lg(2ζ1－ζ2)，可得ζ。如果设cosθ=ζ，应用三角函数可以方便得到ζ=cos12arcsin(10－Mr20)。对于不存在谐振的二阶系统，通常给出在折角频率处的准确幅频值，它与折角处的幅频的差为－20lg2ζ。 4. 增益K 在绘制幅频特性的时候，总是从基准点(1,20lgK)开始的。如果ω=1处于最低频段，那么这点的幅频就是20lgK。然而对于一个给定的幅频特性，不能要求ω=1处于最低频段，也不方便将最低频段作延长线一直到ω=1处，再来量测它的L值。在一个幅频特性中，一定会有一点它的纵坐标和横坐标都是知道的。 设在幅频特性上给出了(ω0,L(ω0))。找出所有比ω0小的折角频率对应的时间常数，在分子上的是τ1,τ2,…,τm，在分母上是T1,T2,…,Tn，系统型号是ν，那么根据折线的做法有 L(ω0)=20lgK∏mi=1(τiω0)ων0∏nj=1(Tjω0) 方程中只有一个未知数K，非常方便求解。 例516已知系统是最小相位的，它的幅频特性见图537，求系统的传递函数。 图537例516的幅频特性 其中，ωc=8。 解最低频段斜率为-40dB/dec，因此系统型号为2，折角频率分别0.4、2和20，已知的基准点是(8,0)。传递函数是 G(s)=K10.4s+1120s+1s212s+1 比8小的折角有0.4和2，因此 0=20lgK×80.482×82 因此K=12.8。■ 5.5基于频率特性的性能分析与优化设计 我们已经在时域和复域中考虑了系统的性能分析和优化设计，本节考虑基于频率特性的性能分析和优化设计。本节将分成两部分，先考虑应用开环频率特性的系统性能分析和参数优化，重点讨论了稳定裕量问题。然后考虑应用闭环频率特性分析系统性能。分析依然围绕控制系统“快、稳、准”三个基本要求进行。 5.5.1开环频率特性的性能指标 开环频率特性的性能指标要分频段说。在低频段指标有低频段的斜率和开环增益。上一节已经说明最低频段的斜率对应系统型号，而开环增益主要由低频段的高度决定的。这两个指标确定了系统的稳态误差。 中频段是指包含幅频剪切频率和相频剪切频率的一段，这一段是分析闭环系统动态性能的主要依据，我们将在下一节专门介绍。 高频段是指系统的幅频已经衰减到-40dB之后，或者最后一个折角频率之后的频段。这一段的主要性能指标是高频段的斜率，希望小于-40dB/dec，使得高频信号有快速的衰减。 5.5.2稳定裕量 劳斯判据及奈氏判据都是稳定性的判据，目的是给出系统稳定还是不稳定的判断。但是，在设计系统时，不但要求系统是稳定的，而且希望有较好的动态和稳态性能，就是有好的 相对稳定性。例如，闭环系统的所有特征根都具有负实部，系统是稳定的。在稳定的系统中，特征根-σ±jω实部σ的数值越大（闭环极点离虚轴越远），其动态过程越短，响应速度越快。此外，系统元件老化、参数变动会引起极点漂移，σ数值越大，能够经受的变动就越大，系统的相对稳定性就越好，因此可以用σ的大小来度量系统的相对稳定性。另外可以用阻尼比ζ来描述相对稳定性，ζ越小超调量就越大，相对稳定性也越差。因此阻尼比和极点实部位置从不同角度描绘了相对稳定性。 在系统的开环频率特性中度量相对稳定性的指标是相位裕度和增益裕度。 （1） 增益裕度GM。 定义： 在系统的相位剪切角频率ωg（即φ（ωg）=-180°）处开环频率特性|G（jωg）H（jωg）|的倒数，称为控制系统的增益裕度，记作Gm，即 Gmdef1|G（jωg）H（jωg）|（581） 由图538可知，GH平面上负实轴与G（jω）H（jω）曲线相交点的角频率便是ωg。由奈氏判据可知，对于开环是最小相位的系统，当Gm<1时闭环系统不稳定； Gm=1，系统临界稳定； Gm>1系统稳定，Gm越大，系统的相对稳定性越好。 图538控制系统的增益裕度和相位裕度 在图538（a）中，两个增益裕度均大于1，所以是稳定系统，但它们的相对稳定性是不同的。增益裕度Gm1>Gm2，说明由G1（s）H1（s）构成的闭环系统的相对稳定性要优于G2（s）H2（s）构成的闭环系统； 在图538（b）中表示的是不稳定系统，因为Gm3<1。 增益裕度也可用分贝为单位表示，即 Gm=20lg Gm=-20lg|G（jωg）H（jωg）|(dB)（582） 如Gm>0dB，闭环系统是稳定的，如GM=0dB，系统处于临界稳定状态，如Gm<0dB，系统是不稳定的。 （2） 相位裕度γ。 定义： 在系统的增益剪切角频率ωc处（即|G（jωc）H（jωc）|=1），使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（增加或减少相移）量称为控制系统的相位裕度，记作γ，具体表示为 γ=180°+φ（ωc） （583） 对开环是最小相位的系统而言，γ=0时，闭环系统是临界稳定； γ<0时，系统不稳定； γ>0时系统是稳定的，且γ越大，系统的相对稳定性越好。 由图538可知，GH平面上单位圆与G（jω）H（jω）曲线相交点的角频率便是ωc。当γ>0°时，相位裕度为正，系统稳定，见图538（a），且G1(s)H1(s)构成的闭环系统，其相对稳定性优于由G2(s)H2(s)构成的闭环系统。当γ<0°时，相位裕度为负，系统不稳定，见图538（b）。 控制系统的相位裕度γ和增益裕度Gm是频率特性在极坐标图中对（-1，j0）点靠近程度的一种度量。因此，这两个量可以用来作为设计准则。但是，仅用增益裕度或者仅用相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。 图539给出了伯德图上的增益裕量和相位裕量。在传递函数式（537）中，改变开环增益K不能改变系统的相频特性，因此这时ωg是不变的。改变K将使得幅频特性上下平行移动，因此可以改变ωc和Gm。由图不难看出，增加K会导致相位裕量γ和增益裕量Gm减小。对于开环是最小相位的系统而言，K的选取首先是让ωc<ωg，然后上下平移幅频特性在满足γ和GM的前提下，使得K尽量大，以获得较小的稳态误差。 图539伯德图上的稳定裕量 为了得到较好的动态性能，要求相位裕度应当在γ=30°～60°，而增益裕度GM≥6dB。对于最小相位系统而言，若对数幅频特性以-20dB/dec的斜率穿越0dB线，则系统是稳定的。如果以-40dB/dec的斜率穿越0dB线，则可能是不稳定的； 即使稳定，其相位裕度也比较小。 5.5.3开环频域指标与时域性能指标的关系 这里主要讨论系统的时域指标超调量Mp、调整时间ts与开环频域指标相位裕度γ、增益剪切角频率ωc之间的关系。对二阶系统来说，它们存在准确的数学描述。但对高阶系统来说，这种关系比较复杂，通常用近似公式来描述。 1. 二阶系统 （1） Mp与γ之间的关系。 开环传递函数为 G（s）H（s）=ω2ns（s+2ζωn）（584） 频率特性为 G（jω）H（jω）=ω2njω（jω+2 ζ ωn）（585） 幅频和相频分别为 ｜G（jω）H（jω）｜=ω2nω4+（2 ζ ωnω）2 （586） φ（ω）=-90°-arctanω2ζωn （587） 当ω=ωc时，频率特性的幅值等于1。将之代入式（586）有 ω4n=ω4c+（2ζωnωc）2（588） 或 ωcωn4+4ζ2ωcωn2-1=0 解得 ωcωn=（4ζ4+1-2ζ2）1/2 （589） 系统的相位裕度为 γ=180°+φ（ωc）=90°-arctanωc2 ζ ωn=arctan2 ζ ωnωc =arctan2 ζ 14 ζ4+1-2 ζ21/2 （590） 图540相位裕度γ与阻尼比ζ的关系曲线 相位裕度γ与阻尼比ζ的关系曲线示于图540。这条曲线可以用一条斜率为0.01的直线近似，如图中的细线，其方程为 ζ=0.01γ （591） 当ζ≤0.7时，这一近似是相当准确的。 单位负反馈系统的开环传递函数为式（584），则闭环是典型二阶系统。 利用式（590）可建立闭环时域与开环频域的性能指标之间的联系。在时域分析中，二阶系统的最大超调量： 图541二阶系统Mp与ζ的关系曲线 Mp=e-ζπ1-ζ2×100% （592） 为便于比较，把式（592）中Mp和ζ的关系曲线绘于图541。 比较式（590）和式（592）不难发现， γ与Mp的关系是通过中间参数ζ相联系的，具体应用中，可通过图540或式（590）求出给定γ值所对应的ζ，再由图541或式（592）求出此ζ所对应的Mp值。 对于二阶系统来说，γ越小，Mp越大； γ越大，Mp越小。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取 30°≤γ≤70° （2） ts与γ、ωc的关系。 在时域分析中，若取Δ=5%，则 ts≈3ζωn （593） 将式（589）代入式（593），得 tsωc≈31+4ζ2-2ζ2ζ （594） 可以看出，ζ确定以后，增益剪切角频率ωc越大，过渡过程时间ts越短，系统的响应越快，而且正好是反比关系。 2. 高阶系统 对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准确的关系式。实际上大多数系统的开环频域指标γ和ωc均能反映暂态过程的基本性能。为了说明开环频域指标与时域指标的近似关系，介绍如下两个经验公式 Mp≈0.16+0.41sinγ-1（595） ts≈Kπωc（s） （596） 式中 K=2+1.51sinγ-1+2.51sinγ-12，35°≤γ≤90°（597） 由式（595）、式（596）和式（597）可以看出，超调量Mp随相位裕度γ的减小而增大； 过渡过程时间ts也随γ的减小而增大，但随ωc的增大而减小。 需指出的是，采用上述公式计算出来的结果往往比实际结果要大。这是因为对高阶系统来说，没有既简单又准确的计算公式，取偏高值可以给设计留有余地。所以，采用上面公式设计出来的系统要进一步的调试，通过实践最终确定系统的某些参数值。 由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知，系统开环频率特性中频段的两个重要参数γ、ωc反映了闭环系统的时域响应特性。所以，闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。 5.5.4基于闭环频率特性的系统性能分析 闭环频率特性的主要指标有谐振峰值、谐振频率和带宽。用W(jω)表示闭环系统的频率特性，W(jω)是一个复变量，记为W(jω)=W(jω)∠W(jω)。一般记M(ω)=W(jω)和α(ω)=∠W(jω)，于是W(jω)=M(ω)eja(ω)。M(ω)和α(ω)分别称为闭环幅频特性和闭环相频特性。闭环频率特性的指标是根据闭环幅频特性给出的，谐振峰值Mr定义为Mr=maxω M(ω)，达到Mr的频率称为谐振频率，记为ωr，即Mr=M(ωr)。ωb称为带宽，是指M(ωb)=M(0)－3dB，而当ω≤ωb时，M(ωb)≤M(ω)。应该注意M(0)、M(ωr)和M(ωb)都是稳态值。图542解释了这些指标。 图542闭环频率特性的指标 Mr表征了系统的相对稳定性，它的意义与超调相似，Mr越大系统的相对稳定性越差,工程上，一般要求(Mr－M(0))/M(0)在0.3和0.7之间。ωb是闭环幅频增益从M(0)首次下降了3dB的频率，它反映系统对信号的复现能力。读者可以想象，如果将输入信号做傅里叶展开，那么它可以看成是一些谐波信号的叠加，ωb越大，通过的谐波分量就越多，复现输入信号的能力就强。复现能力表征系统的响应速度，ωb越大，响应越快。也有的标准将3dB换成5dB的，由对系统的要求所决定。 为了帮助读者将频率域指标与时域指标联起来，下面将 讨论二阶系统闭环频域指标谐振峰值Mr、谐振角频率ωr、带宽ωb等对系统动态性能的影响。 二阶系统的频率特性为 W（jω）=ω2n（jω）2+2ζωn（jω）+ω2n =M（ω）ejα（ω）（598） 式中 M（ω）=1（1-（ω/ωn）2）2+（2ζω/ωn）2 （599） α（ω）=-arctan2ζω/ωn1-（ω/ωn）2（5100） 谐振峰值Mr： M（ω）的最大值，它与系统单位阶跃响应的最大超调量Mp对应，表征了系统的相对稳定性，Mr越小，阻尼比ζ越大，系统的相对稳定性越好。 谐振角频率ωr： 出现Mr的角频率，对式（599）求导，并令dM（ω）dω=0，可求得 ωr=ωn1-2ζ2 （5101） 将它代入式（599）得 Mr=12ζ1-ζ2（5102） 当ζ=0.707，|W（jωr）|=1，Mr=0dB。因此在ζ≥0.707时，不会出现谐振峰值。 带宽ωb： 在M（ω）=-3dB时的角频率。ωb反映了系统复现输入信号的能力，ωb越大，系统对输入信号的响应速度也越快，但对高频噪声的滤波能力越差，系统的抗干扰能力也越差。 M（ω）=-3dB对应于|W（jω）|=0.707，据此可求得 ωb=ωn［（1-2ζ2）+4ζ4-4ζ2+2］1/2 （5103） 5.5.5从尼科尔斯图求闭环系统的频域指标 尼科尔斯图的应用在于由开环频率特性来求闭环频率特性，尤其是用来确定闭环频率特性的性能指标。 设一个单位负反馈系统的开环频率特性为G（jω），则闭环频率特性为 W（jω）=G（jω）1+G（jω）=M（ω）ejα（ω） （5104） 令G（jω）=A（ω）ejφ（ω），简写为G（jω）=Aejφ，于是 M（ω）ejα（ω）=Aejφ1+Aejφ=e-jφA+1-1 =cos φA-jsin φA+1-1 则 M（ω）=1+1A2+2cos φA-1/2（5105） α（ω）=arctan sin φcos φ+A（5106） 据式（5105）和式（5106）可在尼科尔斯图的坐标平面上画出等M（ω）dB曲线和等α（ω）曲线，在其上绘出对数幅相特性，便不难求得系统的谐振峰值Mr、谐振频率ωr和带宽ωb。如例58系统的尼科尔斯图（图543），图中仅画出对应于角频率ω=（0.1~10）rad/s的一段。曲线与M（ω）=3.77dB的等M（ω）dB曲线相切，说明谐振峰值Mr=3.77dB，相应的谐振角频率ωr=1.8rad/s。带宽ωb是M（ω）=-3dB时的角频率，所以曲线与-3dB的等M（ω）dB曲线的交点对应的角频率就是带宽ωb，ωb=3.95rad/s。 图543例58系统的尼科尔斯图 ωr和ωb可结合伯德图求取： 在尼科尔斯图上找到Mr=3.77dB及M（ω）=-3dB对应的L（ω），然后在伯德图上找到相应的角频率。如要求得准确的数据，就必须画出系统准确的尼科尔斯图。 5.5.6用MATLAB分析系统的动态性能 用MATLAB求系统的增益裕度和相位裕度，有如下两条命令： ［Gm，Pm，Wcg，Wcp］=margin（sys）： 计算系统的增益裕度和相位裕度，增益剪切角频率和相位剪切角频率，并显示计算结果。Gm和Pm分别对应增益裕度和相位裕度，Wcg和Wcp分别对应相位剪切角频率和增益 剪切角频率。 margin（sys）： 在当前窗口绘制系统的伯德图，并标出相位裕度、增益裕度、增益剪切角频率和相位剪切角频率的数值。 例517已知系统的开环传递函数为 G（s）H（s）=K（s+3）s（s+1）（s+50）（s+100） （5107） 用MATLAB分别计算当K=100，K=143和K=200时，系统的相位裕度、增益裕度、增益剪切角频率和相位剪切角频率。 解分别执行命令： num=100*［1，3］； den=conv（conv（［1，0］，［1，1］），conv（［1，50］，［1，100］））； sys=tf（num，den）； margin（sys） num=143*［1，3］； den=conv（conv（［1，0］，［1，1］），conv（［1，50］，［1，100］））； sys=tf（num，den）； margin（sys） num=200*［1，3］； den=conv（conv（［1，0］，［1，1］），conv（［1，50］，［1，100］））； sys=tf（num，den）； margin（sys） 可得图544的三个图形，并在各自的图中标明系统的相位裕度（Pm）、增益裕度（Gm）、增益剪切角频率（Wcp）和相位剪切角频率（Wcg）。 图544例517用MATLAB获得的结果■ 图544 (续) 如对K=100,再执行命令 ［Gm，Pm，Wcg，Wcp］=margin（sys） 可得 Gm=7.0471e+003； Pm=87.6131； Wcg=68.5568； Wcp=0.0599 小结 频率响应法是经典控制理论中最重要的方法。频率响应是传递函数中的s用jω替代得到的数学模型。对稳定系统而言，它刻画了系统对正弦信号的稳态响应，系统的频率响应取决于系统的结构、参数，因此频率特性与系统的性能存在确定的联系。频率响应法就是利用频率特性分析和设计系统的方法，这种方法曾经得到广泛的应用，因为它 可以通过作图的方法分析和设计系统。 频率特性图主要有极坐标图（奈氏图）、对数频率特性图（伯德图）和闭环频率特性图。伯德图图形简单，作图方便，便于增减环节，因此得到广泛的应用，应重点掌握。由于一些频域指标和稳定性判据都是在奈氏图基础上建立的，因此必须对它进行讨论。由于尼科尔斯图在分析和设计中的应用不如伯德图简便，因此本书未对其展开深入讨论，有兴趣的读者可参阅有关书籍。 伯德图最大优点是将幅值的乘法转换为加法运算，同时它还提供了用对数幅频特性的渐近线来近似曲线的简便方法，使它更便于工程应用。尤其对于最小相位系统，其对数幅频特性与对数相频特性具有一一对应的关系，在应用中就更显得方便。 奈氏稳定性判据是频域中的稳定性判据，它以奈氏图包围（-1，j0）点的圈数N=Z-P判断，对最小相位系统，奈氏判据简化为： 奈氏图不包围（-1，j0）点。在伯德图上就是： ωc<ωg。 系统的动态性能用系统的相对稳定性的指标——增益裕度和相位裕度估计，最小相位系统的增益裕度和相位裕度要求是大于零的，为保证系统有足够的增益裕度和相位裕度，应使对数幅频特性以-20dB/dec的斜率穿越0dB线。 应用伯德图可以方便地选取K，使得系统在稳态误差和相对稳定性之间折中选优。 系统的动态性能还可用系统的闭环频率特性的谐振峰值、谐振角频率和带宽表示。系统的增益裕度和相位裕度，谐振峰值、谐振角频率和带宽在尼科斯图上也可求得。对于二阶系统，这些频域指标与时域指标存在一定的关系。在系统的分析中可根据具体情况来选用。 系统的稳态性能由伯德图的低频段的幅值斜率决定： ω=1时的L（1）=20lgK； 低频段的斜率等于-ν20dB/dec。系统的动态性能（稳定性和相位裕度与增益裕度）由中频段的斜率决定。 系统的伯德图与系统性能的关系可归结如下： 系统的稳态性能由伯德图的低频段决定，系统的稳定性由伯德图的中频段决定，系统的动态性能也主要由伯德图的中频段决定，伯德图的高频段则主要影响系统的高频抗干扰能力。 MATLAB提供了绘制各种频率特性曲线的命令，以及判别系统稳定性和求取增益裕度与相位裕度的命令，可以在系统实践中加以应用。 现代控制理论与电子通信先驱——亨德里克·韦德·伯德 亨德里克·韦德·伯德(Hendrik Wade Bode,1905年12月24日—1982年6月21日)，美籍荷兰人，应用 数学家、现代控制理论与电子通信先驱、美国国家科学院院士、美国国家工程院院士。生于美国威斯康星州麦迪逊。1924年在俄亥俄州立大学获得数学学士学位，1926年获得数学硕士学位。在母校当了一年助教后，他进入贝尔电话实验室从事电子滤波器和均衡器的设计。1929年，他被分配到数学研究小组，专门从事电子网络理论及其在电信中的应用研究。在贝尔实验室工作期间，他在哥伦比亚大学研究生院兼职攻读博士学位，并于1935年获得物理学博士学位。1944年伯德被任命为贝尔实验室数学研究小组的负责人，1952年成为数学研究主任，1955年被任命为物理科学研究主任，1958年晋升为负责军事发展和系统工程的副总裁。 1938年，Bode发明了伯德图，使频率特性的绘制工作更加适用于工程设计。1945年，他出版了经典著作《网络分析和反馈放大器设计》，提出了频率响应分析方法，即控制系统设计的频域方法——伯德图法，对控制系统理论作出了重要贡献。长期以来，他在世界学术界备受尊敬，也为现代工程专业的学生所熟知。 第二次世界大战期间伯德为开发自动防空系统作出了重要贡献，他帮助开发的自动火炮系统，保护了伦敦免受纳粹V1炸弹的袭击。为表彰他对战争和美利坚合众国的杰出科学贡献，1948年杜鲁门总统授予他总统功绩证书(Presidents Certificate of Merit)。第二次世界大战后，他不仅研究军事项目，还研究民用项目。在军事方面，他为导弹和反弹道导弹的设计和控制作出了贡献。在民用领域，他专注于现代通信理论。 1967年，工作了41年的伯德从贝尔电话实验室退休。在贝尔实验室工作期间，他在电气和通信工程的各个领域共拥有25项专利，涉及传输网络、变压器系统、电波放大、宽带放大器和火炮计算等方面。退休后不久，伯德当选为哈佛大学系统工程Gordon McKay教授。任职期间，他致力于研究基于随机过程的军事决策算法和优化技术，这些算法和技术被认为是现代模糊逻辑的先驱。他还研究了技术对现代社会的影响，并在哈佛大学的科学与公共政策研讨会上教授这一主题的课程，同时在工程与应用物理系监督和教授本科生和研究生。 1971年他出版了《协同： 贝尔系统中的技术集成和技术创新》，阐述了他作为贝尔实验室研究员的丰富经验。从这本书的标题及其内容可以清楚地看出，伯德是技术融合、信息度量和信息处理的早期倡导者之一。1974年，他第二次退休，哈佛授予他荣誉退休教授的职位。于是伯德继续在哈佛大学的办公室工作，并积极为政府委员会和机构就政策问题提供咨询。 伯德的贡献影响深远，远至美国太空计划。他也因此获得了众多奖项。1960年获得欧内斯特·奥兰多·劳伦斯奖，1969年获得IEEE爱迪生奖章，1975年获得了美国机械工程师学会的Rufus Oldenberger奖，1979年获得了美国自动控制委员会的第一个控制遗产奖。 1982年伯德在马萨诸塞州剑桥的家中去世，享年76岁。为了纪念他，1989年IEEE控制系统学会设立了Hendrik W.Bode演讲奖（Bode Lecture Prize），以表彰那些对控制系统科学或工程作出杰出贡献的学者。 知识点自测 本节通过判断题、单选题和多选题来检测读者对本章知识点的掌握程度，为了便于自我检测，本章末尾给出了解答。 判断题（判断下列说法是否正确） 51稳定的线性定常系统对正弦输入信号的稳态输出响应与输入是同频率的正弦信号。 52将系统传递函数中的s代之以jω便得系统的频率特性。 53系统的频率特性取决于系统的结构参数，与外界因素无关。 54系统的幅频特性和相频特性都是角频率ω的函数。 55在0≤ω<∞时，惯性环节G(s)=1/(2s+1)的奈氏图是一个位于第一象限的半圆。 56纯时间延迟环节的奈氏图是一个单位圆。 57对数频率特性图的横坐标是按对数进行分度的。 58在惯性环节的对数幅频特性中，高频段渐近线与低频段渐近线的交点频率称为转折频率。 59只要知道系统的对数幅频特性曲线，就能写出其所对应的传递函数。 510最小相位系统的所有零点都位于s右半平面。 511对于最小相位系统，根据对数幅频特性就能画出相频特性。 512奈氏稳定判据利用系统的开环频率特性来判别闭环系统的稳定性。 513奈氏图自上而下穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0dB时相频特性曲线自上而下穿越-180°线。 514若开环系统对数幅频特性最低频段的斜率为-40dB/dec，则闭环系统中包含两个积分环节。 5150型系统开环对数幅频特性曲线最低频段的高度为开环增益K。 5161型系统开环对数幅频特性曲线最低频段或它的延长线与0dB线交点的角频率在数值上等于开环增益。 517稳定裕量是衡量一个闭环系统稳定程度的指标。 518闭环系统的谐振峰值往往与其阶跃响应的最大超调量相对应。 519闭环系统的幅频特性在带宽ωb处越陡，高频抗干扰能力越弱。 520对于典型二阶系统，在ωn不变的情况下，阻尼比越大，带宽就越宽，谐振峰值也就越大。 单项选择题（每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的） 521当角频率ω从0变化到+∞时，若最小相位系统的奈氏曲线起始于正实轴，则该系统的类型数为（）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 522当角频率ω从0变化到+∞时，若某最小相位系统的奈氏曲线起始于负实轴方向，则该系统的类型数为（）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 523对于最小相位系统G(s)H(s)，若∠G(j0)H(j0)=-90°，则该系统的类型数为（）。 A. 0B. 1C. 2D. 3 524开环系统对数幅频特性的低频段由积分环节和（）环节决定。 A. 惯性 B. 比例 C. 微分 D. 时滞 525下列系统中，属于最小相位系统的是（）。 A. Gs=2(-s+3)s(s+1)B. Gs=2(s-3)s(s+1) C. Gs=2(s+3)s(s+1)D. Gs=2(s+3)e-2ss(s+1) 526系统的开环传递函数为GsHs=10(2s+1)s(0.5s+1)(s+1)(10s+1)，其对数幅频特性高频末端的斜率为（）。 A. 0dB/decB. -20dB/dec C. -40dB/decD. -60dB/dec 527系统的开环传递函数为GsHs=10(2s+1)s(0.5s+1)(s+1)(10s+1)，当ω趋于+∞时，其相角趋于（）。 A. -90° B. -180° C. -270° D. -360° 5282型系统对数幅频特性曲线最低频段的斜率为（）。 A. 0dB/decB. -20dB/dec C. -40dB/decD. -60dB/dec 529已知某1型系统的开环传递函数为G(s)H(s)，当s沿奈氏路径从-j0变化到+j0时，G(s)H(s)曲线将以半径为无穷大（）。 A. 顺时针转过π弧度B. 顺时针转过2π弧度 C. 逆时针转过π弧度D. 逆时针转过2π弧度 530某负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其在右半s平面内的极点数为P，当s按顺时针方向沿奈氏路径转一圈时，G(s)H(s)曲线绕(-1,j0)点N圈，则下列说法正确的是（）。 A. 若N=0，则系统是稳定的B. 若N=P，则系统是稳定的 C. 若N=-P，则系统是稳定的D. 若N<0，则系统是稳定的 531在判断奈氏图包围(-1,j0)点的圈数N-1时，下列说法正确的是（）。 A. 在(-1,j0)点左边穿越负实轴的次数对N-1值不起作用 B. 在(-1,j0)点右边穿越负实轴的次数将影响N-1值 C. 在(-1,j0)点左边和右边穿越负实轴的次数都影响N-1值 D. 在(-1,j0)点左边穿越负实轴的次数将影响N-1值 532极坐标图中的单位圆对应于对数频率特性图中的（）。 A. 0dB线B. 0dB线以下的区域 C. 0dB线以上的区域 D. -180°线 E. -180°线以下的区域F. -180°线以上的区域 533若系统对数幅频特性最低频段的斜率为-20dB/dec，则系统的类型号为（）。 A. 0B. 1C. 2D. 3 534系统的相位裕量γ反映了系统的（）。 A. 快速性B. 稳态性能 C. 相对稳定性D. 抗干扰能力 535系统开环对数幅频特性的最低频段，表征系统的（）。 A. 稳态性能B. 动态性能C. 快速性D. 稳定性 536对于欠阻尼二阶系统，下列说法正确的是（）。 A. 当阻尼比ζ不变时，无阻尼自然振荡频率ωn越小，最大超调量Mp越小 B. 当阻尼比ζ不变时，无阻尼自然振荡频率ωn越大，调整时间ts越大 C. 当无阻尼自然振荡频率ωn不变时，阻尼比ζ越大，谐振峰值Mr越大 D. 当无阻尼自然振荡频率ωn不变时，阻尼比ζ越大，谐振频率ωr越小 537线性系统的带宽越宽，则系统的（）。 A. 抗干扰能力越强B. 响应速度越快 C. 噪声滤波能力越强D. 稳态误差越小 多项选择题（每小题列出的选项中有两个或两个以上选项是符合题目要求的） 538频率特性的图形表示包括（）。 A. 直角坐标形式 B. 奈氏图C. 极坐标形式 D. Bode图 E. 信号流图 539若系统的对数幅频特性曲线最低频段的渐近线是一条斜率为-20dB/dec的直线，且与0dB线的交点频率为ω=15rad/s，则该系统（）。 A. 有一个积分环节 B. 有2个积分环节 C. 开环放大倍数为15 D. 开环放大倍数为225 E. 开环放大倍数为15 540下列各个量中，能反映系统快速性的量是（）。 A. 调整时间tsB. 最大超调量Mp C. 剪切频率ωc D. 相位裕量γ E. 谐振峰值MrF. 带宽ωb 541下列各个量中，能反映系统稳定性的量是（）。 A. 上升时间trB. 最大超调量Mp C. 剪切频率ωc D. 相位裕量γ E. 谐振峰值MrF. 带宽ωb 自测参考答案 判断题： (1) T; (2) T; (3) T; (4) T; (5) F; (6) T; (7) T; (8) T; (9) F; (10) F; (11) T; (12) T; (13) F; (14) F; (15) F; (16) T; (17) T; (18) T; (19) F; (20) F 单项选择题： (21) A; (22) C; (23) B; (24) B; (25) C; (26) D; (27) C; (28) C; (29) A; (30) C; (31) D; (32) A; (33) B; (34) C; (35) A; (36) D; (37) B 多项选择题： (38) BD; (39) AE; (40) ACF; (41) BDE 习题 A基本题 A51绘制下列系统的对数幅频特性图和相频特性图，并求增益剪切角频率ωc和相位剪切角频率ωg。 （1） G（s）=1s（s+15） （2） G（s）=20s（s+10）（s+20） （3） G（s）=36（s+2）s（s2+6s+12） （4） G（s）=5s（0.01s2+0.1s+1） （5） G（s）=40（s-10）s（s+10）（s+20） （6） G（s）=40s（s-10）（s+20） A52绘制下列系统的奈氏图。 （1） G（s）=100（s+10）（s+20） （2） G（s）=100s（s+10）（s+20） （3） G（s）=10s2（s+1）（s+10） （4） G（s）=10s3（s+1）（s+2） （5） G（s）=10s（s+1）（s-10） （6） G（s）=10（s+1）s（s+2） （7） G（s）=10（s-1）s（s+2） A53下列系统中，哪些系统是最小相位系统，哪些不是，为什么？ （1） G（s）=10s（s+5）（s+10） （2） G（s）=100（s+1）s（s+15）（s+30） （3） G（s）=100（s+1）s（s+15）（s-10） （4） G（s）=100（s-1）（s+5）s（s+12）（s+10）（s2+3s+3） （5） G（s）=100（s-1）（s+5）s（s+12）（s-10）（s2-3s+3） （6） G（s）=100（s-1）s（s+15）（s-10）（7） G（s）=10e-ss(s+10) A54某单位反馈系统的开环传递函数为 G（s）=K（s+8）（as+1）s（0.1s+1）（0.25s+1）（bs+1） 其伯德图如图A51所示。试依据图确定K、a和b的数值。 图A51题A54伯德图 A55已知图A52诸最小相位系统的伯德图，求 （1） 系统的传递函数； （2） 系统的开环增益； （3） 图中未标明数值的角频率； （4） 系统的误差系数Kp、Kv、Ka。 图A52题A55伯德图 A56绘制题A51各系统的尼科尔斯图。 A57用伯德图法判别题A51各系统的稳定性，并求相位裕度γ和增益裕度Gm。 A58用奈氏判据判别题A52各系统的稳定性，并求相位裕度γ和增益裕度Gm。 A59用尼氏图判别题A51各系统的稳定性，并求相位裕度γ和增益裕度Gm。 A510单位反馈系统的开环传递函数为 G（s）=Krs（s+10） 若要求闭环系统的超调量Mp≤5%，求 （1） 系统的开环增益； （2） 闭环系统的谐振峰值Mr； （3） 闭环系统的谐振角频率ωr； （4） 闭环系统的带宽ωb； （5） 闭环系统的单位阶跃响应。 B深入题 B51题A27的汽车悬浮系统（图B51），假定，输入xi（t）=sinωt，若m=1kg，k=18N/m，b=4N·s/m，求系统的频率响应。绘制系统的伯德图。并判断系统的稳定性。 图B51汽车悬浮系统模型 B52用实验方法测得某系统的频率响应（对数幅频特性和相频特性）的数据如表B51。 （1） 求系统的开环传递函数； （2） 求系统的稳态误差系数Kp、Kv、Ka； （3） 判定系统的稳定性，并求相位裕度和增益裕度。 表B51伯德图数据 ω/(rad/s)0.010.020.030.050.080.10.20.30.5 L（ω）/dB686258.453.247.84535.2428.7521.36 φ（ω）/（°） -95.3-100.5-105.4-114.4-125.2-130.7-145.0-149.1-149.3 ω/（rad/s） 0.81.02.03.05.08.010.020.030.0 L（ω）/dB13.610.61.94-3.1-17.1-20-34-40-48 φ（ω）/（°）-145.5-143.3-139.3-134.4-151.5-159.8 -163.3-171.3-174.1 提示： 对数幅频特性用渐近线近似时，渐近线的斜率必须是-20dB/dec的整数倍（0，1，2，…倍）。 B53绘制下列系统开环传递函数的奈氏图，并用奈氏图求使闭环系统稳定的K值范围。 （1） G（s）=Ks（s2+2s+4） （2） G（s）=K（s+1）s2（s2+2s+4）（s+4） （3） G（s）=K（s+1）（s+2）s2（s+4） （4） G（s）=K（s+1）（s-2）s2（s+4）（-s+1） （5） G（s）=K（s+1）（s-2）s2（s-4）（-s+1） B54设控制系统如图B52（a）所示，G（s）和Gc（s）都是最小相位系统。若已知G（s）和Gc（s）G（s）的对数幅频特性（如图B52（b））。试求 图B52题B54系统的方框图和伯德图 （1） Gc（s）的传递函数； （2） G（s）和Gc（s）G（s）的稳态误差系数Kp、Kv、Ka； （3） G（s）和Gc（s）G（s）的相位裕度； （4） 比较串入Gc（s）前后闭环系统的超调量(用MATLAB)。 C实际题 C51题B51的汽车悬浮系统，用实验方法测得其伯德图如图C51所示。试求参数m、b和k。 图C51题C51伯德图 C52图C52是采用转速负反馈的调速系统。图中Kp是放大器的增益，Ks是触发器与晶闸管的增益，Ld与Rd为电动机回路的总电感与总电阻。ed是电动机的反电势ed=Keω，Ke是电动机的反电势常数，es是测速发电机的电动势，es=Kfω，Kf是测速发电机的电势常数，Kfs是电位器的增益，J为电动机轴上的总转动惯量，b是黏性摩擦系数，Km是电动机的转矩系数。 J=11×10-3kg·m2b=0.27N·m·s/rad Km=0.84N·m/A Ke=0.84V·s/rad Rd=1.36ΩLd=3.6mH Kp=10Ks=5Kf=0.2V·s/radKfs=0.1 图C52采用转速负反馈的调速系统 （1） 试绘制系统的伯德图； （2） 系统是否稳定； （3） 求系统的相位裕度和增益裕度； （4） 求闭环系统的谐振峰值Mr和谐振角频率ωr； （5） 求系统的主导极点及系统的阻尼比ζ和无阻尼振荡角频率ωn； （6） 求系统的单位阶跃响应及系统的超调量Mp和按2%误差准则的调整时间ts。 C53图C53位置随动系统有如下的参数 收发信器： u（s）θ（s）=As=30V/rad 放大器： ua（s）e（s）=A=18； e（s）=ui（s）-uo（s） 执行电机： ω（s）ua（s）=0.135（0.025s+1）（0.2s+1） 减速器： θo（s）ω（s）=140s； θ（s）=θi（s）-θo（s） 图C53位置随动系统原理图 （1） 求系统的开环传递函数G（s）=θo（s）θi（s）； （2） 重复C52题（1）~（6）的计算。 C54用伯德图完成题C41的计算要求。 原单位反馈系统，其开环传递函数为 G（s）=Krs（s+10）（s+25） （1） 绘制系统的伯德图。若原闭环系统的超调量Mp=60%，求原系统主导极点的阻尼比ζ和无阻尼振荡角频率ωn，以及根轨迹增益Kr和在单位速度输入r（t）=tu（t）时，系统的稳态误差ess。 （2） 引入超前校正装置 Gc（s）=s+3s+3.93 求引入超前校正装置后系统的伯德图； 判定系统的稳定性，并求系统的相位裕度和增益裕度。 （3） 求闭环系统的谐振峰值Mr和谐振角频率ωr； 若以二阶系统近似，求系统的阻尼比ζ和无阻尼振荡角频率ωn，以及超调量Mp和按2%误差准则的调整时间ts。 （4） 求系统准确的单位阶跃响应，将实际的超调量Mp和按2%误差准则的调整时间ts与前面计算结果进行比较，并说明二者存在差别的原因。 C55用伯德图完成题C42的计算。原单位反馈系统，其开环传递函数为 G（s）=1s2+5s+6 （1） 绘制系统的伯德图，并求系统的相位裕度和增益裕度； （2） 求系统的稳态误差系数Kp、Kv和Ka； （3） 若希望将系统的稳态误差系数增大到原来的10倍，引入滞后校正装置 Gc（s）=Kc·s+0.05s+0.005 校正装置的Kc应为多大？ （4） 绘制校正后系统的伯德图，并计算校正后系统的稳态误差系数； （5） 求校正后系统的相位裕度和增益裕度，并与校正前进行比较。 C56用伯德图完成题C43的计算。原单位反馈系统，其开环传递函数为 G（s）=3s（s+1） 引入超前滞后校正装置 Gc（s）=（s+1）（s+0.1）（s+1.25）（s+0.008） （1） 绘制原系统的伯德图，并求系统的相位裕度和增益裕度和速度误差系数Kv； （2） 求原系统的单位阶跃响应； （3） 绘制引入校正装置后系统的伯德图，并求系统的相位裕度和增益裕度、速度误差系数Kv； （4） 求校正前后系统的单位阶跃响应，并进行比较，说明校正装置的作用。 DMATLAB题 D51用MATLAB的bode命令绘制题A51（1）、（2）、（3）、（4）各系统的伯德图，并在图上标出系统的相位裕度和增益裕度。 D52用MATLAB的nyquist命令绘制题A51（1）、（2）、（3）、（4）各系统的奈氏图，并在图上标出系统的相位裕度和增益裕度。 D53用MATLAB的nichols和ngrid命令绘制题A51（1）、（2）、（3）、（4）各系统的尼科尔斯图，并在图上标出系统的相位裕度和增益裕度。 D54用MATLAB的margin命令求题A51（1）、（2）、（3）、（4）各系统的相位裕度和增益裕度。 D55一单位反馈系统的开环传递函数为 G（s）=Ke-Tss+1 （1） 当T=0.1s，用margin命令求使系统的相位裕度为45°的K值； （2） 利用所求的K值，绘制在0≤T≤0.2s范围内相位裕度与K的关系曲线。