第
5
章
数据的机器级表示和运算
现代计算机存储和处理的信息在计算机内部的存储形式都是一致的,均为由
0和1组成的字符串,即二进制编码。在计算机中,常用的数据表示格式有两种:
一是定点格式,二是浮点格式。所谓定点格式,即在计算机中存储数据的小数点
位置是确定的,通常定点数都表示为纯小数和纯整数。纯小数的小数点固定在数
的最左边,纯整数的小数点固定在数的最右边,均可省略,因此计算机中可用“纯
整数”来表示整数。所谓浮点格式,是指一个数的小数点的位置不是固定的,浮点
数利用指数使得小数点的位置可以上下浮动。因此一般来说,浮点格式能表示的
数的范围比定点格式大得多,但是其要求的处理硬件相对定点格式则更为复杂。
在本章中,将着重介绍各类数据的表示方法和算术运算方法。
..5.1
数据类型及编码方式概述
从外部形式来看,虽然计算机也可以处理十进制数值、图、声音、文字、视频等
一些常见的数据,但是这些形式的数据难以直接在计算机内部存储、传输、运算,
仅仅是为了从键盘等输入设备输入或者从屏幕等输出设备输出。在计算机内部
只有两类基本数据类型:数值数据和非数值数据。数值数据分为整数和实数,用
来比较数据大小,整数用定点数表示,实数用浮点数表示;非数值数据是一个位
串,没有大小之分,可以用来表示逻辑值、字符等信息。这些信息都需要经过二进
制编码才能存储在计算机内部。
数据以二进制的形式存放在计算机内部有许多优点。
(1)技术上容易实现:二进制只有两种状态0和1,使用双稳态电路可以轻松
地表示出二进制的每一位。
(2)运算规则简单:二进制运算规则简单,易于实现,并且可以用逻辑运算实
现算术运算。
(3)抗干扰能力强,可靠性高:用二进制表示数据时,因为每位数据只有高低
两个状态,当受到一定程度的干扰时,仍能可靠地分辨出它是高还是低。
数值数据和非数值数据有不同的编码方式。数值数据有两大类表示方法:一
类是直接用二进制数表示,例如,原码、反码、补码;一类是用二进制编码的十进制
数表示,例如,ASCI
码、BCD码。非数值数据由一个二进制位串表示,其中,西文
字符使用最广泛的是ASCI
编码方式,中文字符常见的有UTF-8编码方式等。
第5章数据的机器级表示和运算143
当确定数值数据的编码方式、进位记数制、定点还是浮点表示之后,其代表的值就可以转化
成二进制0/1序列存储在计算机中。
数据的表示
5.1.1数值数据及其编码方式
1.数值数据类型
数值数据分为整数和实数。整数分为无符号整数和带符号整数。在计算机内部由定点
数表示,实数在计算机内部由浮点数表示。
所谓定点数,即小数点的位置约定在固定位置的数。定点数可以表示定点整数和定点
小数,定点整数的小数点总是固定在数的右边,定点小数的小数点总是固定在数的左边,所
以用定点整数来表示整数,定点小数来表示浮点数的尾数部分。
定点数表达方式直观,但是表示范围较小,不适合表达非常大或者非常小的数。最终,
绝大多数现代的计算机系统采纳了浮点数表达方式。所谓浮点数,即小数点位置约定可变
的数。这种表达方式利用科学记数法来表达实数,即用一个尾数、一个基数、一个指数以及
一个表示正负的符号来表达实数。
例如,对于十进制数X=111,可表示为以下形式。
X=0.1101111×27
=0.01101111×28
=0.9
001101111×2
2.数值数据的编码方式
1)定点数编码表示
定点数编码有原码、反码、补码、移码四种表示方式。
2)浮点数编码表示
目前几乎所有的计算机都采用IEEE754标准来表示浮点数。
3)十进制数的表示
计算机中的数都是由二进制表示和计算的,对于十进制,可以通过数值进制公式进行转
换后计算和显示。但除了这种编码方式之外,计算机为了显示和计算方便,对十进制还定义
了新的编码方式:ASCI
码字符表示、BCD码表示。
ASCI
码将十进制数看成由0~9字符组成的字符串,每一个字符占一个字节,也就是
8位二进制数,0和9分别对应ASCI
码中的30H和39H 。
例如,十进制数90经过ASCI
编码可表示为3930H 。
如果只是对十进制数进行打印或者显示,用ACSI
码非常方便,但是这种形式的十进
制数计算起来非常不便,因为高4位编码含有非数值信息,必须要转换为二进制数或者
BCD码才能计算。
BCD码用4位二进制数来表示十进制数。十进制0~9共10个数字,而4位二进制位
可以组合出16种状态,所以从16种状态中选取10种状态就可以表示十进制数,并且可以
产生多种BCD码。BCD码分为有权BCD码和无权BCD码。
有权BCD码指表示十进制数的4位二进制数的每一位都有一个确定的权。其中最常
144
计算机系统基础与实践(微课版)
用的编码是8421 码,它选取4位二进制数并按顺序取前10 个代码与十进制数字对应,每位
权从左到右为8、4、2、1,因此称为8421 码。
例如,十进制数321 的8421 码为001100100001B 。
与有权码相对应,无权码的每个十进制位没有确定的权。无权码方案中用的较多的是
余3码和格雷码。余3码是在8421 码的基础上,把每个代码都加0011 形成的,优点是执行
十进制数加法时能正确进位,且为减法运算提供便利。格雷码规则是任何两个相邻的代码
只有一个二进制位的状态不同,其余3个二进制必须相同,这样设计的好处在于从一个编码
变到下一个编码时,只有一位发生变化,编码速度最快,利于电路的设计和运行。余3码和
格雷码的编码方案如表5-1所示。
表5-
1
余3码与格雷码编码方案
十进制数余3码格雷码
1
格雷码
2
0 0011 0000 0000
1 0100 0001 0100
2 0101 0011 0110
3 0110 0010 0010
4 0111 0110 1010
5 1000 1110 1011
6 1001 1010 0011
7 1010 1000 0001
8 1011 1100 1001
9 1100 0100 1000
5.2
非数值数据及其编码方式
1.
非数值数据类型包括逻辑值、字符等数据,在计算机内部由一个二进制位串表示。逻辑
值是一串0/1序列,在形式上和二进制数并无差别,只是代表含义不同。例如,逻辑值可以
非数值数表示逻辑表达式中逻辑值的真假,真为1,假为0。字符如拉丁字母、数字、标点符号、汉字
据的表示等,不能直接在计算机内部进行处理,也需要对其进行二进制编码。所有字符的集合称为字
符集,字符集中每一个字符都有一串二进制代码与其对应,所有字符对应的二进制代码集合
则称为码表。当确定字符集和编码之后,外部字符和内部的二进制串就有了一一对应的
关系。
1.
西文字符编码方式
计算机是由美国人发明的,美国人为了让计算机能够表示字母、标点符号等字符,设计
了字符编码。英文字符数量少,不超过127 种,用7位二进制数就足以表示所有的西文字
第5章 数据的机器级表示和运算1 45
符。目前,计算机中使用最广泛的字符集及其编码是ASCII码。
如表5-2所示,每一个字符都由一个8位的二进制串表示,最高位为b7,通常为0,也可
以用来奇偶校验,最低位为b0。ASCII编码有以下两个规律。
(1)便于与十进制数转换。字符0~9在ASCII码中,b6b5b4高三位编码都是011,而低
四位b3b2b1b0 分别对应0~9的8421码,转换为十进制数非常方便。
(2)便于大小写字母的转换。大写字母与小写字母的差别仅在b5这一位上,若为1,则
为小写字母,反之为大写字母。仅需要更改一位就可以完成大小写字母的转换。
表5-2 ASCII码表
b6b5b4=
000
b6b5b4=
001
b6b5b4=
010
b6b5b4=
011
b6b5b4=
100
b6b5b4=
101
b6b5b4=
110
b6b5b4=
111
b3b2b1b0=
0000 NUL DLE SP 0 @ P ` p
b3b2b1b0=
0001 SOH DC1 ! 1 A Q a q
b3b2b1b0=
0010 STX DC2 “ 2 B R b r
b3b2b1b0=
0011 ETX DC3 # 3 C S c s
b3b2b1b0=
0100 EOT DC4 $ 4 D T d t
b3b2b1b0=
0101 ENQ NAK % 5 E U e u
b3b2b1b0=
0110 ACK SYN & 6 F V f v
b3b2b1b0=
0111 BEL ETB ‘ 7 G W g w
b3b2b1b0=
1000 BS CAN ( 8 H X h x
b3b2b1b0=
1001 HT EM ) 9 I Y i y
b3b2b1b0=
1010 LF SUB * : J Z j z
b3b2b1b0=
1011 VT ESC + ; K [ k {
b3b2b1b0=
1100 FF FS , < L \ l |
b3b2b1b0=
1101 CR GS - = M ] m
b3b2b1b0=
1110 SO RS . > N ^ n ~
b3b2b1b0=
1111 SI US / ? O _ o DEL
146计算机系统基础与实践(微课版)
2.汉字的编码方式
汉字总共有6万多个,数量巨大,只有8位的ASCII码明显不能满足编码汉字的需求。
要让汉字能够在计算机内部表示、传输、交换,有以下三个难点。
(1)输入困难。用键盘输入西文字符非常方便,一个或者两个西文字符对应于键盘上
的一个按键。如果也让一个汉字对应一个按键,那是不可能的事情。必须通过按键来对汉
字进行编码。
(2)编码复杂。第一,汉字数量巨大,ASCII码不能满足存储汉字的需要,必须设计一
种全新的编码方式;第二,新的编码方式不能与ASCII码混淆。
(3)输出困难。要使汉字在屏幕上显示或者打印,必须把汉字用人们可以阅读的方块
字的形式表现出来,也就是存放汉字的字形。
所以,要实现计算机对汉字信息的处理,汉字系统必须处理以下几种汉字代码:输入
码、内码、字模点阵码。
5.1.3进位记数制
1.进制数的表示
在日常生活中,人们常使用十进制表示数据,而在计算机系统中则采用二进制来表示数
据。事实上,任意一个数都可用下式表示:
d1…d)
N=(dn-1dn-2…d1d0.--mr
n-n---m
=dn-1r1+dn-2r2+
…+d1r1+d0r0+d-1r
1+
…+d-mr
-1
(1)=Σ(n) diri5.
i=
其中,基(m) 、
m
是代表整数位和小数位位数的正整数;di
为系数,可以是
r
被称为值;
0~r-r
1数码中的任意一(n) 个,是用来代表第
i
位的数码;
i
则为第
i
位的权重。
因此,任意一个十进制数D=dn-1dn-d-都可以表示成如下形式。
2…d1d0.1…d-
m N
(D)=dn-110n-1+dn-210n-2+
…+d1101+d0100+
d-110-
m
105.
-1+
…+d-
m
(2)
i=n-n-
其中,系数di(1,2,…1,0,1,…,-m)可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10
个数字符号中的任意一个,基值r=21为例,
10 。以十进制数1563.其代表的值为:
--2
(1563.21)10=1×103+5×102+6×101+3×100+2×101+1×10
在上式中,10i
为第
i
位上的权。在进行十进制数运算时,采用“逢十进一”的计算规则,即每
位计满十之后就要向高位进一。
类似地,任意一个二进制数B=1dn-d-1…d-
m
均可表示为如下形式。
dn-2…d1d0.
n-n---m
N
(B)dn12-2+
…d120+d12-(3)
=-1+dn221+d02-1+
…+dm25.
与十进制不同的是,二进制的基值是2,系数di
只可取0和1,运算时采用“逢二进一”
的运算法则。例如
=
,二进制数(01)
--213.10
1101.01)21×21101.2 代表的值是:
25)(3+1×22+0×21+1×20+0×21+1×2=(
扩展到一般情况,在
R
进制的数字系统中,系数di
的取值范围应该为0~R-1,采用
第5章数据的机器级表示和运算147
“逢
R
进一”的进位规则。如表5-3所示为常用的二进制、八进制、十进制、十六进制使用的
进位规则、系数取值与表示符号。
表5-
3
不同进制的进位规则、基本符号与表示
进制二进制八进制十进制十六进制
进位规则逢二进一逢十进一逢八进一逢十六进一
系数取值0,1 0,1,2,…,7 0,1,2,…,9 0,1,2,…,A,B,C,D,E,F
表示符号B(binary) O(octal) D(decimal) H(hexadecimal)
表5-4则给出了二进制、八进制、十进制与十六进制数的对照。
表5-
4
四种进制数的对照
二进制数八进制数十进制数十六进制数二进制数八进制数十进制数十六进制数
0000 0 0 0 1000 10 8 8
0001 1 1 1 1001 11 9 9
0010 2 2 2 1010 12 10 A
0011 3 3 3 1011 13 11 B
0100 4 4 4 1100 14 12 C
0101 5 5 5 1101 15 13 D
0110 6 6 6 1110 16 14 E
0111 7 7 7 1111 17 15 F
虽然在计算机内部,所有的信息都是采用二进制编码表示,但是在日常生活中,人们通
常使用八进制、十进制或十六进制等数据表示方式。因此,计算机在数据输入前和输入后都
必须进行进制间的转换。以下将介绍各进位记数制之间的转换。
2.
进制数的转换
1)
R
进制数转换成十进制数
在进行
R
进制数转换成十进制数时采用“按权展开”即可。例如:
--2
(1110.01)=3+1×21+0×21+1×214.
1×22+1×20+0×2=(25)
210
-1
(215.2×81+5×8=(5)
4)=2+1×80+4×8141.
(C5F.12×161+15×16=(75)
810
C)2+5×160+12×163167.
16=-110
2)十进制数转换成
R
进制数
在进行十进制数转换成
R
进制数时,要将整数部分和小数部分分别转换。本书主要采
用“重复相除(乘)的(”) 方法,这种方法的规则是在进行整数部分的转换时,整数部分除以
R
取余数,直到商为0为止;在进行小数部分的转换时,小数部分乘以
R
取整数,直到小数
部分为0(或按照精度要求确定位数)。
(1)整数部分的转换。
从上文中可知,针对整数部分的转换采取除以
R
取余数,直到商为0为止的转换方式。
148计算机系统基础与实践(微课版)
先得到的余数作为右边低位上的数位,后得到的余数作为左边高位上的数位。
例5.1以十进制转二进制为例,将十进制数215 转换成二进制数。
解:将215 处以2,将每次的余数按照从低位到高位的顺序排列。
重复除以2 得商取余数
215÷2 107 1 最低位
107÷2 53 1
53÷2 26 1
26÷2 13 0
13÷2 6 1
6÷2 3 0
3÷2 1 1
1÷2 0 1 最高位
所以,(215)10=(11010111)2。
(2)小数部分的转换。
从上文中可知,针对小数部分的转换采取乘以R取整数,直到小数部分为0为止的转
换方式。最后,将上面的整数部分作为左边高位上的数位,下面的整数部分作为右边低位上
的位数。
例5.2以十进制转二进制为例,将十进制小数0.8125 转换成二进制数。
解:将0.8125 乘以2,将每次结果的整数部分按照从高位到低位排序。
重复乘以2 得小数部分
0.8125×2 0.
6250
0.6250×2 0.
2500
0.2500×2 0.
5000
0.5000×2 0.
所以,(0.8125)10=(0.2。
0000
1101)
取整数
1 最高位
1
0
1 最低位
当然,在转换过程中,可能乘积的小数部分总得不到0,这种情况下得到的是近似值。
例5.以十进制转二进制为例, 624 转换成二进制数。
将十进制小数0.
3
624 乘以2,
解
:
将0.将每次结果的整数部分按照从高位到低位排序
。
重复乘以2 得小数部分取整
数
0.
0.1 最高位
624×2
248
0.
0.0
248×2
496
0.
0.0
496×2
992
0.
0.1 最低位
992×2 984
所以,(0.624)10=(1001…)
。
0.2
(3)含整数和小数部分的十进制数转换成
R
进制数。
只要将十进制数的整数部分与小数部分分别进行转换,再将转换后的
R
进制整数与小
数组合起来,便可以得到一个完整的
R
进制数。
例5.以十进制转二进制为例, 8125 转换为二进制数。
4
将十进制数215.
解:由例5.2可知
:
1和例5.
第5章数据的机器级表示和运算149
(215)10=(2
11010111)
(0.8125)10=(1101)
因此,只需将二者结合起来就可,即:
0.2
(215.10=(1101)2
8125)11010111.
3)二进制数、八进制数与十六进制数的相互转
换
(1)八进制数转换为二进制数。
在进行八进制转换成二进制时,需要按从高位到低位的顺序,将每一个八进制数字转换
为对应的3位二进制数字。八进制数字与二进制数字的对应关系如下。
(0)000)1)001)
8=((8=(
22
8=((8=(
(4)100)(2) 5)101)(2)
(2)010)3)011)
8=((8=(
22
8=((8=(
(6)110)7)111)
22
(2)二进制数转换为八进制数。
在进行二进制转换为八进制数时,需要将二进制的整数部分按照从低位到高位的顺序,
每3位二进制数字用对应的1位八进制数字来替换。如果最后高位不足3位时,则需要采
取高位补0的方式来凑满3位。而针对二进制小数部分,则按照从高位到低位的顺序,每3
位二进制数字用对应的1位八进制数字来替换。如果最后低位不足3位时,则需要采取低
位补0的方式来凑满三位。例如:
(。
71.8
(3)十六进制转换为二进制。
111001.11)2=(6)
类似于八进制转换为二进制的方法,只需将每一个十六进制数字按照高低位次序改写
成等值的4位二进制即可,十六进制数字与二进制数字的对应关系如下。
(0)0000)(1)0001)
16=(2 16=(2
(2)0010)(3)0011)
16=(16=(
16=(2 16=(2
(4)0100)(2) (5)0101)(2) (6)0110)(7)0111)
16=(16=(
16=(2 16=(2
(8)1000)(2) (9)1001)(2) (A)1010)(B)1011)
16=(16=(
16=(2 16=(2
(C)1100)(2) (D)1101)(2) (E)1110)(F)1111)
(4)二进制转换为十六进制16
。
=(2 16=(2
二进制数转换为十六进制数与二进制数转换为八进制数的规则类似。将二进制的整数
部分按照从低位到高位的顺序,每4位二进制数字用对应的1位十六进制数字来替换。如
果最后高位不足4位时,则需要采取高位补0的方式来凑满4位。而针对二进制小数部分,
则按照从高位到低位的顺序,每4位二进制数字用对应的1位十六进制数字来替换。如果
最后低位不足4位时,则需要采取低位补0的方式来凑满4位。例如:
(11101001.11)2=(C)
E9.16
1 50 计算机系统基础与实践(微课版)
.. 5.2 整数的表示
定点整数
的表示
如上所述,纯整数的小数点固定在数的最右侧,因此用“定点纯整数”来表示整数,计算
机中的整数可分为无符号整数和有符号整数。本节将重点讨论整数的表示方法,本节所提
及的无符号数和有符号数均为整数而不涉及小数。
在数据计算阶段,计算机中的立即数均存放在寄存器中,通常称寄存器存储数字的位数
为机器字长。有符号数和无符号数的区别,就在于寄存器中是否有位置存放符号。无符号
数,即没有符号的数,机器字长的全部二进制位均用来表示数值位。相对的,有符号数,需要
寄存器留出一位存放数值的符号。因此,无符号数只能表示非负数,而有符号数能够表示负
数、零和正数。
5.2.1 无符号数编码
假设有一个整数数据有n 位,可用x 表示或者写成xn-1xn-2…x1x0 形式。将x 看作
一个二进制表示的数,就获得了x 的无符号编码方法,在这种编码方式中,每个xi 都取值
为0或1。
对于二进制数x=xn-1xn-2…x1x0,令[x]D 为x 的十进制整数表示,则有
[x]D =Σn-1
i=0
xi2i (5.4)
例如:
[0001]D =0×23 +0×22 +0×21 +1×20 =0+0+0+1=1
[0101]D =0×23 +1×22 +0×21 +1×20 =0+4+0+1=5
[1001]D =1×23 +0×22 +0×21 +1×20 =8+0+0+1=9
[1111]D =1×23 +1×22 +1×21 +1×20 =8+4+2+1=15
ì
.
í
...
...
(5.5)
无符号数编码方式简单易懂,对于n 位的无符号数,其能代表的数值范围很好计算,最
小值为0,最大值为2n -1。例如,对于16位机器字长的无符号数,其能表示的最大数据范
围是0~65535。
5.2.2 有符号数编码
1.机器数和真值
正如上面所提,无符号数只能表示非负数,但是计算机的运算过程中,不可避免地会遇
到负数运算的问题,由于机器只能识别0和1,不能直接识别“正”和“负”,因此可以用0表
示“正”,用1表示“负”,这样“正”“负”符号就被表示成计算机可以识别的数字,规定在计算
机中用一个数的最高位存放符号,有效数字存放在符号位之后,这样就组成了有符号数。
例如,对于有符号数+10011,在机器中可以表示为010011,而有符号数-10011,在机
器中可以表示为110011。一个有符号数在计算机中的二进制表示形式叫作这个数的机器
数,将机器数所对应的真正的数值叫作真值。例如,上述010011和110011为机器数,而其
真正表示的带“+”“-”符号的数为真值。
第5章 数据的机器级表示和运算1 51
一旦将真值转换为机器数,即将“+”“-”号数字化,符号和数值就会形成新的编码,下
面将介绍机器数的4种编码方式,分别是原码、补码、反码和移码。
2.原码表示法
原码表示是机器数最简单的一种表示形式,一个数的原码表示直接由符号位和数值位
构成,符号位0代表正数,1代表负数,数值位即为真值的绝对值。
对于整数x,其原码表示的定义为
[x]原= 0,x, 2n >x ≥0
2n -x, 0≥x >-2n { (5.6)
式中,x 为真值,n 为整数的位数。
例如,x=+10010,则[x]原=010010。x=-10010,则[x]原=110010。
一般情况下,对于正数x=+xnxn-1…,x1x0,则有
[x]原=0xn-1xn-2…x1x0 (5.7)
对于负数x=-xnxn-1…,x1x0,则有
[x]原=1xn-1xn-2…x1x0 (5.8)
当x=0时,则有
[+0]原=0000000
[-0]原=1000000 { (5.9)
原码表示法十分简单易懂,即符号位加上真值绝对值的二进制数,与真值的对应关系直
观。但是原码的缺陷在于0的表示不唯一,给使用带来了不便,更重要的是加减法的操作十
分复杂,当进行加法运算时,首先要判断两数是否同号,同号则相加,异号则相减。进行减法
运算时,先要比较两个数的绝对值大小,然后使用绝对值大的数减去绝对值小的数,最后还
要赋予结果正确的符号,这种运算过程十分复杂费时。为了解决这些问题,人们提出了补码
表示法。
3.补码表示法
1)模运算
在学习补码之前,首先以时钟为例,了解一下模运算和补数的概念。
在模运算系统中,若A 、B、M 满足A =B +K ×M (K 为整数),则记为A =B (mod
M )。即A 、B 各除以M 后的余数相同,称为A 和B 模M 同余。假如现在时钟指向9点,
要将它拨向4点,最简单的则有两种拨法:一是逆时针拨5格;二是顺时针拨7格。这两种
方法最终的结果是一样的,时钟的指针都会指向6点。令顺时针为正,逆时针为负,则容易
得到:
9-5=4
9+7=16≡4(mod12)
由于时钟转一圈为12h,一旦时间超过了12点,“12”就会自动丢失而不被显示,即16-
12=4,因此,16点和4点在时钟中均显示为4点。也就是说,在时钟系统中,-5和+7是
等价的。在数学上称12为模,写作mod12,称+7是-5以12为模的补数,即
-5≡7(mod12)