第5章函数 函数是具有特殊性质的二元关系。以往学习函数是从变量的角度在实数集上来探讨其连续性。而在计算机科学领域，数据本身具有离散性，因此可以把函数看作输入/输出的关系，它把一个集合(输入集合)的元素变成另一个集合(输出集合)的元素。例如，计算机中的程序可以把一定范围内的任意一组数据变换成另一组数据。 本章将定义一般函数类和各种特殊子类，并将函数定义推广到任意集合上，作为特殊二元关系，侧重讨论离散函数。 本章学习目标及思政点 学习目标  函数或映射、像、原像、定义域和值域、空函数、常函数、恒等函数等  函数的性质(单射、满射、双射)  复合函数、复合运算、幂等函数  逆函数、逆运算 思政点 培养认知事物的科学精神，形成负责的学习态度，既勇于探究新知又坚持实事求是； 培养研究问题的科学方法，运用函数思想寻找解决问题的共同属性，发现定量和变量之间的联系； 学会用辩证的映射方法建立事物之间的内在联系，树立辩证唯物主义哲学观，培养事物之间存在普遍联系的认识观。 5.1函数的基本概念 函数建立了从一个集合到另一个集合的变换关系，计算机执行任何类型的程序都是这样的变换。例如，编译程序可以把源程序转换为机器语言的指令集合(目标程序)。下面将函数放在任意集合上来讨论函数概念以及常用和特殊的函数。 定义5.1设X和Y是集合，一个从X到Y的函数f(记为f:X→Y)是一个满足以下条件的关系： 对任意x∈X，都存在唯一的y∈Y，使∈f。 ∈f通常记作f(x)=y，x称作函数的自变量，y称作对应于自变量x的函数值。把X称作函数f的前域，y称作函数f的陪域。 从定义5.1可以看出，X到Y的函数f和一般X到Y的二元关系有以下两个不同点： (1) X的每一元素都必须作为f的序偶的第一元素出现； (2) 如果f(x)=y1和f(x)=y2，那么y1=y2。 通常也把函数f看作是一个映射(变换)规则，使得X中的每个元素都可以在Y中找到唯一的元素与之对应，因而f(x)又叫作x的映像。 注意： (1) 一般用dom来标记定义域，即domf=X。由此可知函数的定义域就是前域X，而不是X的某个真子集； 也就是说，x中的每个元素都必须作为f序偶的第一元素出现。 (2) 一般用ran来标记值域，有ranfY，即值域ranf是陪域的一部分。 例5.1设集合A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，判断下列基于A到B上的二元关系哪些是映射？ (1) R1={<1,a>,<2,c>,<4,a>}。 (2) R2={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,b>,<4,c>}。 (3) R3={<1,a>,<2,a>,<3,b>,<4,b>}。 解： 根据函数定义，映射关系必须满足两个条件： ①X的每一元素都必须作为f的序偶的第一元素出现。②如果f(x)=y1和f(x)=y2，那么y1=y2。 (1) R1={<1,a>,<2,c>,<4,a>}，集合A的元素3没有作为序偶的第一元素出现，因此它不是映射关系。 (2) R2={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,b>,<4,c>}，虽然集合A的所有的元素都有作为序偶的第一元素出现，但因为f(1)=a、f(1)=b，显然a≠b，所以也不是映射关系。 (3) R3={<1,a>,<2,a>,<3,b>,<4,b>}，集合A的所有的元素都作为序偶的第一元素出现，并且不同的A作为第一元素输入时，输出的第二元素也是唯一的，因此该关系是映射关系。 由于对于任意的x∈X，都存在唯一的y∈Y，使∈f。所以通常的多值函数的概念是不符合这里的函数定义的。如R2={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,b>,<4,c>}只是一个关系，而不是函数。 通常把函数f称为映射(变换)，它把X的每一个元素映射到(变换为)Y的一个元素，因此f(x)也可以称为x的像，而称x为f(x)的原像。 在定义一个函数时，必须指定定义域、陪域和变换规则，变换规则必须覆盖所有可能的自变量的值。 例5.2实数集R上的二元关系f1={|a2=b},f2={|a=b2}，试判定f1和f2是不是函数。 解： 根据函数定义，函数f1在实数集上依据表达式a2=b均以第一元素出现，并且对应的第二元素是唯一的，因此符合函数的定义。 根据函数定义，函数f2在实数集上依据表达式a=b2，有序偶对<4,-2>和<4,2>，即f(4)=2和f(4)=-2，2≠-2所以f2不是函数。 例5.3设集合X={a,b,c,d}，y={1,2,3,4,5}，从X到Y的一个函数f={,,,}，试求domf、ranf和y=f(x)。 解： 由f={,,,}可得 domf=X，ranf={1,3,5} f(a)=5，f(b)=3，f(c)=3，f(d)=1 定义5.2设f和g是从集合A到集合B的两个函数，若对任意a∈A，有f(a)=g(a)，则称函数f和g相等，记作f=g。 由定义可知，两个函数相等，它们的定义域一定相等，即domf=domg。 例如，f(a)=a2-1a-1，g(a)=a+1，因为domf={a|a∈R且a≠1}，而domg=R，即domf≠domg，所以f≠g。 定义5.3所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”。符号化表示为 BA={f|f:A→B} 下面讨论像这样从集合A到集合B可以定义多少个不同的函数。 设|A|=m，|B|=n，由关系的定义可知，A×B的子集都是A到B的关系，则集合A到集合B的二元关系是2mn。但根据函数的定义，A×B的子集不一定是A到B的函数。因为对A中m个元素中的任意元素x，可在B的个元素中任取一个元素作为x的像，因此A到B的函数有nm个，用BA表示A到B的全部函数组成的集合，则|BA|=nm。 例5.4设A={a,b}，B={1,2,3}，求BA。 解： 因为|A|=2，|B|=3，所以|BA|=32=9，实际上，从A到B的9个函数具体如下： f1={,}，f2={,}，f3={,}， f4={,}，f5={,}，f6={,}， f7={,}，f8={,}，f9={,} 即BA={f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9}。 定义5.4设函数f:X→Y，X1X，Y1Y，则有 (1) 令f(X1)={f(x)|x∈X1}，称f(X1)为X1在f下的像。特别地，当X1=X时，称f(X)为函数的像。 (2) 令f-1(Y1)={x|x∈X∧f(x)∈Y1}，称f-1(Y1)为Y1在f下的完全原像。 在这里要注意区别函数的值和像是两个不同概念。函数f(x)∈Y是一个元素，而像f(X1)Y1是一个集合。 设Y1Y，显然Y1在f下的完全原像f-1(Y1)是X的子集。如果X1X，那么f(X1)Y。 f(X1)的完全原像是f-1(f(X1))。一般来说，f-1(f(X1))≠X1，但是X1f-1(f(X1))。例如,函数f:{1,2,3}→{0,1}，满足f(1)=f(2)=0，f(3)=1。令X1={1}，那么有f-1(f(X1))=f-1(f({1))=f-1({0})={1,2}，这时X1f-1(f(X1))。 例5.5设f:N→N，且f(x)=x/2,若x为偶数 x+1,若x为奇数，令X={0,1}，y={2}，求f(X)和f-1(Y)。 解： f(X)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}。 函数是一种特殊的关系，它与一般关系的差别如下： (1) 从A到B的不同关系有2|A|×|B|个，但从A到B的不同函数却仅有|B||A|个； (2) 关系的第一个元素可以相同，函数的第一元素一定互不相同； (3) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关系的基数却是从0到|A|×|B|。 5.2特殊函数与常函数 本节在介绍特殊函数之前先讨论函数的几个性质，包括了函数的满射性质、单射性质和双射性质。 定义5.5设函数f:A→B。 (1) 如果对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y，那么称f为满射的(到上的)。 (2) 如果对于任何的a1，a2∈A，若a1≠a2，则有f(a1)≠f(a2)，那么称f为单射的(一对一的)。 (3) 设函数f:A→B，若f既是满射的，又是单射的，则称f为双射的(一一到上的)。 具有这些性质的函数分别叫作满射函数、单射函数和双射函数。 如果f:X→Y是满射的，那么任意元素y∈Y均在f的像中； 如果f是单射的，那么前域中不同的元素会映射到陪域中不同的元素； 如果f是双射的，那么Y的每一元素y是且仅是X的某个元素x的映像，常称双射为一一对应。 图5.1用来说明定义5.5中各类函数的概念，函数的前域和陪域分别用左边和右边的空心圆点来表示。 图5.1函数关系图 从图5.1(a)可以看出，该映射是单射的但不是满射的，图5.1(b)是满射但不是单射的，图5.1(c)是双射的。显然，如果f是满射的，那么至少有一条弧终止于陪域的每一元素。如果f是单射的，那么终止于陪域的每一元素的弧不多于一条。如果f是双射的，那么有且只有一条弧终止于陪域的每一元素。 例5.6判断下列函数是否为满射、单射和双射。 (1) f:N→Z，f(n)=小于n的完全平方数的个数。 (2) f:R→R，f(x)=3x+7。 (3) f:R→Z，f(x)=［x］，［x］表示取整数。 (4) f:R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数。 解： (1) 由f的定义可得f={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,2>,<4,2>,<5,3>,…} f既不是满射函数，又不是单射函数，也不是双射函数。 (2) 因为f:R→R，f(x)=3x+7，定义域为R，值域也为R，并且也是一一对应的，所以该f是满射函数、单射函数，也是双射函数。 (3) f:R→Z，f(x)=［x］，f是满射函数，但不是单射函数，也不是双射函数。如f(1.4)=f(1.6)=1。 (4) f:R+→R+，f(x)=(x2+1)/x不是单射函数，也不是满射函数。因为当x→0时，f(x)→+∞； 而当x→+∞时，f(x)→+∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。所以该函数既不是单射函数也不是满射函数。 一般情况下，函数是满射函数还是单射函数，没有必然的联系，但当A、B都是有限集时，则有如下定理： 定理5.1设X和Y为有限集，若|X|=|Y|，则f:X→Y是单射函数，当且仅当f为满射函数。 证明： 充分性。若f为满射函数，根据定义必有Y=f(X)，于是 |X|=|Y|=|f(X)|① 因此f是一个单射函数。否则存在x1，x2∈A，虽然x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，所以|f(X)|<|X|=|Y|。 这与①矛盾，故由f是满射函数可推出f是单射函数。 必要性。若f是单射函数，则|X|=|f(X)|，因为|X|=|Y|，从而 |f(X)|=|Y|② 又f(X)Y，所以f(X)=Y。因此由f是单射函数可以推出f为满射函数。 定义5.6(1) 设f是从集合A到B的函数，若存在一个b∈B，使得对所有的a∈A，都有f(a)=b，则称f是从A到B的常函数。 (2) 集合A上的恒等关系IA称为A上的恒等函数，即对所有的a∈A，都有IA(a)=a。 (3) 设f是实数集R上的函数，对任意的a1，a2∈A，如果a1,,,,}，则f1是一个常数函数。 设整数集Z上的函数f2(a)=a+1，则f2是一个严格单调递增函数。 实数集R上的常函数，既是单调递增函数，又是单调递减函数。 设实数集R上的函数f3(a)=a2，则f3既不是单调递增函数，也不是单调递减函数。 设集合A={a,b,c}上的等价关系R={,}∪IA，则从A到A/R的自然映射g为 g:{a,b,c}→{{a,b},{c}} g(a)=g(b)={a,b},g(c)={c} 注意： 一般来说，常函数不是单射函数，恒等函数是双射函数。 5.3复合函数与逆函数 5.3.1复合函数 由第4章关系中可知，对二元关系进行复合运算，可以产生一种新的关系。而函数是一种特殊的二元关系，按照关系的复合运算可以给出复合函数的定义。 定义5.7设函数f:A→B，B→C，则将复合关系gf={| a∈A，c∈C，且存在b∈B,使f(a)=b，g(b)=c}是从A到C的函数，称为函数f和g复合函数。 在定义5.7中，隐含了函数f的值域是函数g的定义域的子集，即ranfdomg。这一条件保证了复合函数gf是非空的。如果gf是非空集，可以证明下述定理成立。 定理5.2设函数f:A→B，B→C，那么复合函数gf是一个从A到C的函数，而且，对任意一个a∈A，都有(gf)(a)=g(f(a))。 例如，设集合A={a,b,c}，B={1,2}，C={e,f,g}，从A到B的函数为f={,,}，从B到C的函数为： g={<1,e>,<2,g>}，那么，gf={,,}是一个由A到C的函数。 例5.7设集合A={1,2,3}上的两个函数分别为f={<1,3>,<2,1>,<3,2>}，g={<1,2>,<2,1>,<3,3>}，试求复合函数fg、gf、ff、gg。 解： f={<1,3>,<2,1>,<3,2>}，g={<1,2>,<2,1>,<3,3>}， fg ={<1,1>,<2,3>,<3,2>}，gf ={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，ff ={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，gg ={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 例5.8设实数集R上的3个函数分别为f(a)=3-a，g(a)=2a+1，h(a)=a/3，试求复合函数gf、hg、h(gf)、(hg)f。 解： f(a)=3-a，g(a)=2a+1，h(a)=a/3， (gf)(a)=g(f(a))=g(3-a)=2(3-a)+1=7-2a (hg)(a)=h(g(a))=h(2a+1)=(2a+1)/3 (h(gf))(a)=h((gf)(a))=h(7-2a)=(7-2a)/3 ((hg)f)(a)=(hg)(f(a))=(hg)(3-a)=(2(3-a)+1)/3=(7-2a)/3 由例5.8可以看出，函数的复合运算不满足交换律，但满足结合律。因此可得到下面的定理。 注意： 函数f和g可以复合ranf=domg； dom(fg)=domf，ran(fg)=rang； 对任意x∈A，有fg(x)=g(f(x))。 定理5.3设函数f:A→B，g:B→C，则 (1) 若f和g是满射的，则gf:A→C是满射的。 (2) 若f和g是单射的，则gf:A→C是单射的。 (3) 若f和g是双射的，则gf:A→C是双射的。 证明： (1) 对于c∈C，因g是满射的，所以存在b∈B，使g(b)=c。对于b∈B，因f是满射的，所以存在a∈A，使f(a)=b。于是(gf)(a)=g(f(a))=g(b)=c，因此gf是满射的。 (2) 对于a,b∈A，若a≠b，因为f是单射的，则f(a)≠f(b)。又因g是单射的，所以g(f(a))≠g(f(b))，gf是单射的。 (3) 因为f和g是满射和单射的，由(1)(2)可知gf也是满射和单射的，因此gf是双射的。 上述的定理说明，函数的复合运算能够保持函数满射、单射和双射特性。但是定理5.3的逆定理只有部分成立。 定理5.4设函数f:A→B，g:B→C，则 (1) 若gf:A→C是满射的，则g是满射的。 (2) 若gf:A→C是单射的，则f是单射的。 (3) 若gf:A→C是双射的，则g是满射的，且f是单射的。 证明： (1) 因为，gf:A→C是满射，所以，对于任意的c∈C，存在a∈A，使得gf(a)=c，即g(f(a))=c。又因为f:A→B是函数，则有b=f(a)∈B，而g(b)=c，因此，g是满射的。 (2) 用反证法。设a1，a2∈A且a1≠a2，但f(a1)=f(a2)，而g:B→C是函数，所以gf(a1)=gf(a2)，这与gf:A→C是单射的矛盾，故f是单射的。 (3) 因为gf:A→C是双射的，所以gf既是满射的，又是单射的，因此，g是满射的且f是单射的。 定理5.5设f:A→B是任意一个函数，IA、IB分别为A、B上的恒等函数，求证IBf=fIA=f。 证明： 因为f:A→B是函数，所以对任意a∈A，存在b∈B，使f(a)=b，而(IBf)=IB(f(a))=IB(b)=b，(fIA)(a)=f(IA(a))=f(a)=b，可得IBf=fIA=f。 5.3.2逆函数 在第4章关系中定义了逆关系，即把从集合A到B的二元关系R中的所有有序对的两个元素交换位置，就能够得到R的逆关系R-1。但是，对于任意给定的一个函数f，它的逆f-1不一定是函数，只是一个二元关系。 例如，从集合A={a,b,c}到集合B={1,2,3,4}的函数f={,,}，则它的逆关系f-1={<3,a>,<3,b>,<1,c>}。显然，f-1不是函数，因为对于3∈domf-1，有a和b两个值与之对应，这不满足函数的单值性。 若从集合A到集合B的单射函数为g={,,}，则它的逆关系g-1={<3,a>,<2,b>,<1,c>}满足函数的定义，g-1是函数。 如果取集合C=rang={1,2,3}，函数g:A→C不仅是满射的，也是单射的，故它是双射的，而且逆关系g-1： C→A是一个函数。 为说明这一点，令函数f:A→B，f-1表示f的逆关系，有两个原因可以看出f-1不一定是函数。 (1) 当f是单射的而不是满射的时(见图5.2(a))，f-1是函数，但f-1的定义域ranf不是B，而是B的真子集。 (2) 当f是满射的而不是单射的时(见图5.2(b))，f-1不满足函数值的唯一性条件，如函数f={,,}，对于自变量3∈domf-1来说，同时有<3,a>,<3,b>∈f-1，不满足函数的定义，所以f-1不是函数。 不难看出，对于给定的函数f:A→B，只有当f是双射的时，f-1是从B到A的函数，即f-1： B→A，且也是双射的，如图5.2(c)所示。 图5.2函数关系图 定理5.6设函数f:A→B是双射的，求证f的逆关系f-1是B到A的函数。 证明： 对于任意的y∈B，由于f:A→B是双射的，即f:A→B是满射的，则存在x∈A，使得∈f，由逆关系的定义可得∈f-1； 另一方面，若有∈f-1且∈f-1，由逆关系的定义可得∈f且∈f，而f:A→B是双射的，即f:A→B是单射的，所以x=x′。 综合上述，对于任意的y∈B，存在唯一的x∈A，使得∈f-1。由函数的定义可知，f的逆关系f-1是B到A的函数。 定义5.8设函数f:A→B是双射的，则将f的逆关系称为逆函数，记作f-1： B→A。如果函数存在反函数f-1，则称f是可逆的。 例5.9函数f:Z→Z； f={|i∈Z}是否存在逆函数？ 解： f的逆函数f-1={|i∈Z}，显然，f-1不是从Z到Z的函数。这个例子说明，不能把逆函数直接定义为逆关系。 定理5.7若f:A→B是双射，则f-1： B→A也是双射。 证明： 若f:A→B是双射的，则由定理5.6和定义5.8可知f-1： B→A是函数。要证明f-1： B→A是双射的，需先证f-1： B→A是满射的。因为f:A→B是函数，所以，对每一个a∈A，必有b∈B使b=f(a)，从而有f-1(b)=a，所以f-1： B→A是满射的。 再证明f-1： B→A是单射的。若f-1(b1)=a，f-1(b2)=a，则f(a)=b1，f(a)=b2。因为f:A→B是函数，有b1=b2，所以f-1： B→A是单射的。 综上所述，若f:A→B是双射的，那么f-1： B→A也是双射的。 定理5.8若函数f:A→B存在逆函数f-1，则f-1f=IA，ff-1=IB。 证明： f-1f与IA的定义域相同，都是A。 因为f是双射的，所以f-1也是双射的。 若f:x→f(x)，则f-1(f(x))=x，因此f-1f=IA。 同理可证ff-1=IB。 例5.10函数f:{0,1,2,3}→{a,b,c,d}是双射的，求f-1f和ff-1。 由定理5.8可知，f-1f=IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}， ff-1=IB={,,,}。 定理5.9设函数g:A→B，f:B→C都是双射的，则(fg)-1=g-1f-1。 证明： 由假设和复合定理可知，fg是A到C的双射，所以fg)-1是C到A的双射，又因为g-1是C到B的双射，f-1是B到A的双射，所以g-1f-1是C到A的双射。 下面证明对于任何的c∈C，(fg)-1(c)=g-1f-1(c)。事实上，对于任意的c∈C，f-1(c)=b，g-1(b)=a，则有(g-1f-1)(c)=g-1(f-1(c))=g-1(b)=a。又因为(fg)(a)=f(g(a))=f(b)=c，所以(fg)-1(c)=a。 综上所述，(fg)-1(c)=g-1f-1。 例5.11设f:R→R，g:R→R，f(x)=x2+2x≥3-2x<3，g(x)=x+2。求gf，fg，如果f和g存在逆函数，求出它们的逆函数。 解： gf:R→R，gf(x)=x2+2,x≥30，x<3 fg:R→R，fg(x)=(x+2)2,x≥1-2，x<1 因为f:R→R不是双射的，所以不存在逆函数； 而g:R→R是双射的，它的逆函数为g-1： R→R，g-1(x)=x-2。 5.4例 题 解 析 例5.12设Z是整数集，Z+是正整数集，函数f:Z→Z+，f(x)=|x|+2。求它的值域。 解： 因为f:Z→Z+，f(x)=|x|+2，即x∈Z，|x|≥0，则f(x)=|x|+2≥2，故函数的值域为ranf=N-{0,1}。 例5.13设X={1,2,3},y={a,b,c}，确定下列关系是否为从X到Y的函数； 如果是，找出定义域和值域。 (1) {<1,a>,<2,a>,<3,c>}。 (2) {<1,c>,<2,a>,<3,b>}。 解： (1) {<1,a>,<2,a>,<3,c>}是X到Y的函数，其定义域为domf=A={1,2,3}，其值域为ranf={a,c}。 (2) {<1,c>,<2,a>,<3,b>}是X到Y的函数，其定义域为domf=A={1,2,3}，其值域为ranf=B={a,b,c}。 例5.14给定函数f和集合A、B，对每一组f和A、B，求A在f下的像f(A)和B在f下的完全原像f-1(B)。 (1) f:N→N×N，f(x)=，A={5}，B={<2,3>}。 (2) f:N→N×N，f(x)=2x+1，A={2,3}，B={1,3}。 (3) f:S→S×S，S={0,1}，f(x)=x/2+1/4，A=(0,1)，B=［1/4,1/2］。 解： (1) f(A)=f({5})={<5,6>}，f-1(B)=f-1({<2,3>})={2}。 (2) f(A)=f({2,3})={5,7}，f-1(B)=f-1({1,3})={0,1}。 (3) f(A)=f((0,1))=(1/4,3/4)，f-1(B)=f-1(［1/4,1/2］)=［0,1/2］。 例5.15举出满足下列要求的例子。 (1) 单射但非满射。 (2) 满射但非单射。 (3) 既非单射也非满射。 (4) 既是单射也是满射。 解： (1) f:I→I，f(x)=x3。 (2) f:N→{0,1}，f(n)=1,n是奇数0,n是偶数。 (3) f:R→R，f(x)=x2+1。 (4) f:I→I，f(x)=x+1。 例5.16(1) 设A={0,1,2,3,4}，f是从A到A的函数： f(x)=4x(mod 5)。试将f写成序偶组成的集合，判断f是单射的还是满射的？ (2) 设A={0,1,2,3,4,5}，f是从A到A的函数： f(x)=4x(mod 6)。试将f写成序偶组成的集合，判断f是单射的还是满射的？ 解： (1) f={<0,0>,<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>}，由图5.3(a)可知，f是双射的。 (2) f={<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>}，由图5.3(b)可知，f既不是单射的也不是满射的。 图5.3函数关系图 例5.17设N是自然数集，f和g都是从N×N到N的函数，且f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy。求证： f和g是满射的，不是单射的。 证明： 设任意n∈N，存在∈N×N，则f(n,1)=n∈N，g(n,1)=n∈N，故f、g是满射。但f、g不是单射的，如f(2,2)=4=f(3,1)，g(3,4)=g(2,6)=12。 例5.18设f:R×R→R×R，f()=<(x+y)/2,(x-y)/2>，求证f是双射的。 证明： 对于,∈R×R，设f()=f()，可得<(x+y)/2,(x-y)/2>=<(u+v)/2,(u-v)/2>，即(x+y)/2=(u+v)/2，(x-y)/2=(u-v)/2，解得x=u，y=v，故=，因此f是单射的； 对于任意∈R×R，令f()=，可得<(x+y)/2, (x-y)/2>=，即(x+y)/2=u，(x-y)/2=v，只要取x=u+v，y=u-v就可使该式成立，因为∈R×R，所以∈R×R。故f是满射的。 综上所述，f是双射的。 例5.19设函数f:A→B是双射函数。求证： f的逆关系{|∈f}是B到A的函数。 证明： 对于任意b∈B，因为f:A→B是双射的，即f:A→B是满射的，则存在a∈A使∈f，由逆关系定义可得∈f-1； 若∈f-1且∈f-1，由逆关系定义得可∈f且∈f。又因为f:A→B是单射的，故x=x1。 综上所述，由函数定义可知，f-1是B到A的函数。 例5.20设f:R→R，f(x)=cosx，试问f有没有逆函数？为什么？如果没有，将如何修改f的定义域或值域使f有逆函数。 解： 没有，因为f不是双射函数。若将函数f的定义域和值域分别改为［0,π］和［-1,1］，则f有逆函数。 例5.21设f:A→B，g:B→C，fg:A→C是双射的。证明下列各命题。 (1) f:A→B是单射的。 (2) g:B→C是满射的。 证明： (1) 因为gf:A→C是双射的，所以gf:A→C是单射的。假设a1,a2∈A且a1≠a2，则f(a1)=f(a2)。而g:B→C是函数，则gf(a1)=gf(a2)，这与gf:A→C是单射的矛盾，故f是单射的； (2) 因为gf:A→C是双射的，所以gf:A→C是满射的。对于任意c∈C，存在a∈A，使得gf(a)=g(f(a))=c。又因为f:A→B是函数，故存在b=f(a)∈B。因此，存在b∈B使得g(b)=c，故g是满射的。 例5.22设函数g:A→B，f:B→C，回答命题(1)~(6)。若命题为真，则证明； 若命题为假，则给出反例。 (1) 若f是单射的，则fg是单射的。 (2) 若f是满射的，则fg是满射的。 (3) 若fg是单射的，则f是单射的。 (4) 若fg是单射的，则g是单射的。 (5) 若fg是满射的，则f是满射的。 (6) 若fg是双射的，则f是满射的，g是单射的。 解： (1) 假。例如，设A={a,b,c}，B={x,y}，C={1,2,3}。尽管f={,}是单射的，但若g={,,}，则fg={,,}不是单射的。 (2) 假。例如，设A={a,b,c}，B={x,y}，C={1,2}，若设g={,,}，尽管f={,}是满射的，但fg={,,}不是满射的。 (3) 假。例如，设A={a,b,c}，B={x,y,z,w}，C={1,2,3}。若设g={,,}，f={,,,}，虽然fg={,,}是单射的，但f不是单射的。 (4) 真。证明： 用反证法。设有a1,a2∈A且a1≠a2，但g(a1)=g(a2)，而f:B→C是函数，所以fg(a1)=fg(a2)，这与fg:A→C是单射的矛盾。故g是单射的。 (5) 真。证明： 因为fg是满射的，所以，对于任意的c∈C，存在a∈A，使得fg(a)=c，即f(g(a))=c。又因为g:A→B是函数，所以有b=g(a)∈B，使得f(b)=c。因此f是满射的。 (6) 真。证明： 因为fg是双射的，所以fg既是满射的，又是单射的，由(4)、(5)可知f是满射的，g是单射的。 例5.23(1) 设f是从A到B的一个函数，定义A上的关系R： aRb当且仅当f(a)=f(b)。证明R是A上的等价关系。 (2) 设f是A中特征函数。定义A上关系R： aRb当且仅当f(a)=f(b)。由(1)知R是一个等价关系。试问等价类是什么？ (1) 证明： 因为f是从A到B的函数，所以f(a)=f(a)，因此aRa，即R是自反的； 对于任意的a，b∈A，若aRb，则f(a)=f(b)，所以f(b)=f(a)，因此bRa，即R是对称的； 对于任意的a,b,c∈A，若aRb、bRc，则f(a)=f(b)，f(b)=f(c)，所以f(a)=f(c)，即aRc，因此R是传递的。 (2) 解： 等价类是{A,}。 例5.24求证： 从A×B→B×A存在单射函数，并且此函数为满射函数。 证明： 设f:A×B→B×A，f(a,b)=，对任意∈A×B均成立。对任意a1,a2∈A，b1,b2∈B，由函数f:A×B→B×A可得f(a1,b1)=，f(a2,b2)=。若f(a1,b1)=f(a2,b2)，则=，因此b1=b2，a1=a2，所以=，故f是单射的。 若对于任意∈B×A(这里b∈B，a∈A)，根据定义可知的原象是∈A×B，满足满射函数的定义，故f是满射函数。 例5.25求证： 若f:A→B是单射的，则对集合A的所有子集X和Y，f(X∩Y)=f(X)∩f(Y)。 证明： 对于任意的y∈f(X∩Y)，存在x∈X∩Y，使得y=f(x)，这是因为x∈X∩Y，则x∈X且x∈Y，因此，f(x)∈f(X)，f(x)∈f(Y)，所以f(x)∈f(X)∩f(Y)，即f(X∩Y)f(X)∩f(Y)。 任取u∈f(X)∩f(Y)，则u∈f(X)，u∈f(Y)，因此，存在x∈X且y∈Y，使得u=f(x)，u=f(y)，即f(x)=f(y)。又因为f:A→B是单射的，所以x=y，故x∈X∩Y。因此，f(x)∈f(X∩Y)，即f(X)∩f(Y)f(X∩Y)。 综上所述，f(X∩Y)=f(X)∩f(Y)。 本 章 小 结 1. 重点与难点 本章重点： (1) 从集合A到集合B的函数、求由A到B的函数个数； (2) 判断和证明函数性质(单射、满射、双射)； (3) 常函数、恒等函数及商集的概念； (4) 复合函数与逆函数的概念及性质。 本章难点： (1) 从集合A到集合B的函数或映射的判定和证明； (2) 从集合A到集合B的函数性质(单射、满射、双射)的判定和证明； (3) 求一个集合到其商集的典型(自然)映射； (4) 复合函数与逆函数的概念，复合运算与逆运算的性质。 2. 思维导图 习题 1. 设A={1,2,3,4}，B={x,y,z,w}，判断命题(1)~(5)的每个关系是不是从A到B的一个函数。如果是函数，找出其定义域和值域，并确定它是不是单射的或满射的。如果它既是单射又是满射的，那么给出用有序对的集合描述的逆函数，并给出该逆函数的定义域和值域。 (1) {<1,x>,<2,x>,<3,z>,<4,y>}。 (2) {<1,z>,<2,x>,<3,y>,<4,z>,<2,w>}。 (3) {<1,z>,<2,w>,<3,x>,<4,y>}。 (4) {<1,w>,<2,w>,<4,x>}。 (5) {<1,y>,<2,y>,<3,y>,<4,y>}。 2. 设X={1,2,3},y={a,b,c}，确定下列关系是否为从X到Y的函数。如果是，找出其定义域和值域。 (1) {<1,a>,<2,a>,<3,c>}。 (2) {<1,c>,<2,a>,<3,b>}。 (3) {<1,c>,<1,b>,<3,a>}。 (4) {<1,b>,<2,b>,<3,b>}。 3. 设A={x,y,z}，B={a,b}，求BA。 4. 设N是自然数，确定下列函数中哪些是双射的？哪些是满射的？哪些是单射的？ (1) f:N→N，f(n)=n+1。 (2) f:N→N，f(n)=1，n为奇数0，n为偶数。 (3) f:N→{0,1}，f(n)=1，n为奇数0，n为偶数。 (4) f:R→R，f(x)=x3+1。 5. 考虑下述从R到R的函数： f(x)=2x+5，g(x)=x+7，h(x)=x/3，k(x)=x-4。试构造gf、fg、ff、gg、fh、gh。 6. 设f:R→R，f(x)=x2-2，g:R→R，g(x)=x+4，h： R→R，h(x)=x3-1，试求： (1) gf、fg。 (2) gf和fg是否为单射的、满射的和双射的？ (3) f、g、h中哪些函数有逆函数？如果有，求出这些逆函数。