第3章 CHAPTER 3 恒 定 电 场 恒定电场（steady electric field）与静电场讨论的对象有很大区别。静电场主要讨论静态电荷产生的电场特性，而恒定电场讨论的是电流稳定时场的特性。虽然对象不同，但两种电场在形式上具有很多相似性。 在静电平衡条件下，导体内部不存在电场。但是在恒定电场条件下，导体内部是存在电场的，只是导体内的稳恒电场必须依靠电源才能维持。在外电源的维持下，导体内部不再是等位体，表面也不再是等位面。在恒定电场条件下，电荷的分布是稳定的，因此电场也是稳定的。这种现象是导致恒定电场与静电场特性相似的原因。 本章将讨论电流密度、电流连续性方程、导电介质的传导方程以及恒定电场与静电场的比拟。 视频13 3.1电流密度 3.1.1电流密度的定义 图3.1.1平均电流 在实际生活中，电流都是随时间变化的。只是在很多情形下，当电流大小的变化在可接受范围之内时，就认为它是稳定电流，并且用平均电流来表示，如图3.1.1所示。 在Δt时间内通过的电荷量为Δq，则平均电流为 =ΔqΔtA（3.1.1） 如果平均电流在任何时候都保持不变，则称其为稳恒电流， I=ΔqΔtA（3.1.2） 电流描述了单位时间通过的电荷总量，它没有体现电荷在导体内每一点的流动情况。为了更好地讨论恒定电场，引入电流密度（current density）的概念。它定义为流过的电流ΔI与在垂直电流流过方向的一小面元ΔS之比 J=enlimΔS→0ΔIΔSA/m2（3.1.3） 图3.1.2体电流密度示意图 其中，电流密度的方向也就是电荷运动的方向，而en为电流密度方向的单位矢量。此时的电流在一空间内流动，如图3.1.2所示，对应的电流密度称为体电流密度（volume current density），简称电流密度。注意，图3.1.2中电荷密度为ρ，电荷运动速度为v，Δt时间内的位移为Δl=vΔt，en与ΔS垂直，且与v的方向一致。 由于 ΔI=ΔqΔt=ρΔlΔSΔt=ρvΔS 故 J=ρven=ρv（3.1.4） 假设存在不同的电荷，则总电流密度就等于这些电荷所产生的电流密度的矢量和 J=∑iρivi（3.1.5） 因此，对于体分布电流，流过任意截面S的体电流大小与电流密度的关系为 I=∫SJ·dS（3.1.6） 当电流在一表面流动时，如图3.1.3(a)所示，此时的电流密度称为面电流密度（surface current density），定义为流过的电流ΔI与在垂直电流流过方向的一小线元Δl之比，且类比体电流密度的计算，可得 JS=enlimΔl→0ΔIΔl=ρsvA/m（3.1.7） 其中，ρs为面电荷密度。此时，流过任意线段l的面电流大小与面电流密度的关系为 I=∫lJS·eldl（3.1.8） 其中，ρl为线电荷密度，el为垂直于元线段dl方向上的单位矢量。 图3.1.3面电流密度和线电流示意图 如图3.1.3(b)所示，当电荷在一根很细的导线中流过时，或电流束的横截面很小时，可考虑线电流（line current）的概念。此时，电流密度已经无意义。但是线电流的大小和线电荷密度的关系可写为 enI=ρlv（3.1.9） 在实际应用中，线天线的电流可认为是线电流的典型实例。 3.1.2传导电流和运流电流 传导电流（conduction current）是指导电介质中的电流，用JC表示，并且有JC=ρv。通过总结实验还发现，在电导率为σ的导体中，有JC=σE（在3.1.3节会继续讨论）。注意，在大部分情况下，下标“C”可以忽略不写。在金属导体中，是带负电的电子在运动； 在半导体中，是电子空穴对在运动； 在导电溶液中，是正负离子对在运动。 运流电流（convection current）又称作对流电流或徙动电流，是指带电粒子在不导电的空间，如真空或极稀薄气体中定向运动所形成的电流，用JV表示，并且有JV=ρv。由此可以看出，运流电流的方向就是带电粒子运动的方向。例如，等离子体气流就是运流电流的一种。传导电流和运流电流统称为自由电流（free current）。 3.1.3欧姆定律 欧姆定律（Ohms law）表述的是流过一段导体的电流I与导体两端电压U之间的关系。下面推导电路理论中的欧姆定律。设一段长为l的直导线，横截面均匀且面积为S，则导线中的恒定电场E在导线上的电压降为 U=∫lE·dl=El=Jlσ=IlSσ=IR 该式称为欧姆定律的积分形式。其中， R=lSσ（3.1.10） 为该段导线的电阻，而σ是导体的电导率，单位是S/m（西门子/米）。如果该段导线的横截面不均匀，那么每一段的电阻dR可表示为 dR=dlSσ 此时，该段导线的总电阻可表示为 R=∫ldlSσ（3.1.11） 在电磁场理论中，通常需要研究某一点的电流密度与电场之间的关系。在导电介质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。电流密度与电场强度的函数关系由实验得到，为 J=σE（3.1.12） 该式称为欧姆定律的微分形式。它给出了各向同性导电介质中任一点的电流密度与电场强度间的关系。此式具有一般性，不但适用于恒定电场，也适用于非恒定电场。需要说明的是，运流电流不满足欧姆定律。因为运流电流对应的介质不是导体，而这些介质没有等效电导率。部分材料的电导率如表3.1.1所示。 表3.1.1部分材料的电导率 材料 电导率/（S/m） 材料 电导率/（S/m） 材料 电导率/（S/m） 银 6.17×107 湿土 0.005~0.015 去离子水 2×10－4 铜 5.8×107 25%氯化钙 0.178 干土 1×10－5 金 4.1×107 参杂硅 2.6×103 干木材 10－7~10－9 铝 3.54×107 掺杂砷化镓 2.0×103 玻璃 10－12 黄铜 1.57×107 掺杂碳化硅 10－4~10 陶瓷 10－13 青铜 1×107 铁氧体 102 橡胶 10－15 铁 1×107 海水 4 熔融石英 10－17 例3.1.1假设铜导线和铝导线的直径均为1mm，长度为1km。铜的电导率为5.8×107S/m，铝的电导率为3.54×107S/m。求两种导线的直流电阻R。 解： 由于R=lSσ，对于铜导线 R=103π10－3/22×5.8×107≈21.95Ω 而对于铝导线 R=103π10－3/22×3.54×107≈35.96Ω 3.1.4焦耳定律 在导体介质中，需要电源去维持恒定电场，这意味着导体会存在损耗。这种损耗称为焦耳损耗。实际上，焦耳损耗的微观机制是自由电子在运动过程中与原子碰撞，从而造成电子能量损耗，而使得原子的热运动加剧。 在电路理论中，焦耳损耗是通过导体内电场力所做的功来计算的。假设导体两端的电压为U，当电荷Q通过这段导线时，电场力所做的功为 W=QUJ（3.1.13） 功的单位为J（焦耳）。考虑到电荷Q=∫t0Idt，因此可得 W=∫t0IUdt（3.1.14） 这是焦耳定律（Joules law）的积分形式。对于稳恒电流，可得W=IUt。由此可以定义单位时间内所做的功，即功率P=IU。 在电磁场理论中，通常考虑利用电场去表达焦耳定律。设电荷ρΔV在Δt时间内在电场作用下沿电场方向位移Δl，电场对电荷做的功W为 W=F·Δl=QE·Δl=ρΔVEΔl 单位体积内的功率为 p=WΔVΔt=ρEΔlΔt=ρvE=JC·E=σE2(W/m3)（3.1.15） 这就是焦耳定律的微分形式。理想导体内部的电场强度为0，因此功率损耗为0。但是对于非理想导体，其内部是存在功率损耗的。 需要说明的是，对于运流电流，电场力对电荷所做的功会被转换成电荷的动能。因此，焦耳定律对运流电流也不成立。 3.1.5电动势 电源的作用是把电荷从势能低处往势能高处移动。考查电荷沿闭合路径所做的功 A=∮CF·dl（3.3.16） 如图3.1.4所示，在电源外部和内部，电场力分别为F=qE和F=qE′+E，其中，E为库仑场，E′=fe/q为局外场，可以通过电源将正负电荷分离开的局外力fe等效得到，故 图3.1.4电动势示意图 A=q∫电源内E′+E·dl+q∫电源外E·dl=q∫电源内E′·dl+q∮CE·dl=q∫电源内E′·dl 这里，利用了∮CE·dl=0。由于电源外E′=0，故有 A=q∫电源内E′·dl=q∮CE′·dl 说明电源内部的电场为非保守场，电源外部的电场是保守场。因此，定义电动势为 E=Aq=∮CE′·dl（3.1.17） 视频14 3.2电流连续性方程 要讨论电流的恒定电场条件，首先要研究电流与电荷的关系。根据电荷守恒原理，电流密度对闭合曲面的积分等于闭合曲面内电荷的减少量，即 ∮SJ·dS=－dqdt 利用散度定理，可以得到 ∫V·JdV=－ddt∫VρdV 亦即 ∫V·JdV=－∫VρtdV 或表示为 ∫V·J+ρtdV=0 （3.2.1） 式（3.2.1）便是电流连续性方程。 将电流连续性方程写成微分形式 ·J+ρt=0（3.2.2） 这是任何电流都必须满足的形式。对于稳恒电流，由于要求电流不随时间变化，因此电场亦不能随时间变化。电场归根到底是由电荷产生的，因此恒定电场要求电荷分布不能随时间变化，即要求ρt=0。由此，稳恒电流的特性为 ∮SJ·dS=0（3.2.3） 或写为微分形式 ·J=0（3.2.4） 注意： 电荷分布不随时间变化并不意味着没有电荷运动，而是进入封闭区域的电荷等于离开的电荷。因此这是一种动态平衡，从宏观上看也就是电荷分布不随时间变化。恒定电场示意图如图3.2.1所示，不管电荷如何运动，曲面S所包围区域中的电荷分布不变。 图3.2.1恒定电场示意图 如果电荷分布不随时间变化，那么这种状态就如同静电场。静电场的保守场特性也就适用于恒定电场，即 ∮E·dl=0×E=0（3.2.5） 同样，恒定电场可以用电位梯度表示 E=－φ（3.2.6） 视频15 3.3恒定电场的边界条件 在导体边界，取厚度为h、面积为ΔS的小体积元，如图3.3.1所示。当厚度h趋近于无穷小时，根据恒定电流的特性方程∮SJ·dS=0，可得J1nΔS－J2nΔS=0，亦即J1n=J2n。另外，根据电位移矢量的边界条件，可以得到 J1n=J2nen·D1－D2=ρs（3.3.1） 说明电流密度的法向分量是相等的，另外也说明两种导体的交界面可能存在表面电荷。 图3.3.1边界条件示意图 此外，根据J=σE，以及导体分界面两侧的电位相等，可得 σ1E1n=σ2E2nφ1=φ2（3.3.2） 再利用电位与电场的关系，可将上式写为 σ1φ1n=σ2φ2nφ1=φ2（3.3.3） 由于切向电场在分界面需相等，故有 E1t=E2ten×E1－E2=0（3.3.4） 于是得到 E1tσ1E1n=E2tσ2E2n（3.3.5） 也就是 tanθ1σ1=tanθ2σ2（3.3.6） 或者 tanθ1tanθ2=σ1σ2（3.3.7） 例3.3.1如图3.3.2所示的单位面积平行板，求该结构的电阻。另外求两种介质的交界面是否有自由电荷存在，电荷密度为多少？ 图3.3.2例3.3.1示意图 解： 忽略极板边缘效应，设导体1和导体2内部电场强度分别为E1和E2，则极板电压 U=E1d1+E2d2 又因为J=σE，可以得到 U=J1σ1d1+J2σ2d2 在本例中，电流垂直交界面，故J1=J1n=J2n=J2=J。又由于该结构为单位面积，故该结构的电阻R为 R=UI=UJ=d1σ1+d2σ2 在导体1和导体2内，D1=ε1E1、D2=ε2E2，则分界面的自由电荷密度为 ρs=D1－D2=ε1E1－ε2E2=ε1σ1－ε2σ2J=ε1σ1－ε2σ2UR=ε1σ1－ε2σ2Ud1σ1+d2σ2 视频16 3.4导体中恒定电场与静电场的比拟 恒定电场与静电场有很多相似的地方，可以把这些相似的地方称为类比或者比拟。表3.4.1和表3.4.2总结了两种情形的比拟量、比拟关系和边界条件。利用这种比拟关系，可以求比拟量。 表3.4.1静电场与恒定电场各比拟量 静电场(ED) 恒定电场(EJ) 电位移矢量 D 电流密度J 介电常数 ε 直流电导率 σ 电位 φ 电位 φ 电压 U 电压 U 电荷 q 电流 I 电容 C 电导 G 表3.4.2静电场与恒定电场各比拟量的表达式和边界条件 静电场(ED) 恒定电场(EJ) ×E=0E=－φ·D=02φ=0D1n=D2nE1t=E2tq=∮SD·dSD=εE ×E=0E=－φ·J=02φ=0J1n=J2nE1t=E2tI=∫SJ·dSJ=σE 例如，电容的求解公式为 C=qU=∮SD·dS∫21E·dl=ε∮SE·dS∫21E·dl（3.4.1） 而电导的计算公式为 G=IU=∫SJ·dS∫21E·dl=σ∫SE·dS∫21E·dl（3.4.2） 假设两种结构相似，在已知一个比拟量表达式的情形下，可以采用类比的方法求解另一对应的量。 例3.4.1如图3.4.1所示的同轴线，外加电源电压为U , 内外导体半径为a和b, 填充非理想介质σ≠0，因而有漏电流, 求单位长度的漏电导。 图3.4.1例3.4.1示意图 解： 假设单位长度的漏电流为I，则介质中离对称轴r的地方电流密度J为 J=I2πr 于是得到 E=Jσ=I2πrσ 取外导体为电位0点，则电压为 U=∫baEdr=∫baI2πrσdr=I2πσlnba 则单位长度的漏电导为 G=IU=2πσlnba 图3.4.2例3.4.2示意图 例3.4.2如图3.4.2所示的半径为 a 的金属半球埋入电导率为 σ 的土壤中，求金属半球的接地电阻。 解： 土壤中任意一点离球心为r时，电流密度为 J=I2πr2 因此该点的电场强度为 E=Jσ=I2πr2σ 取无限远处为电位0点，则球面上的电位为 U=∫+∞aEdr=∫+∞aI2πr2σdr=I2πaσ 于是得到 R=UI=12πaσ 本章知识结构 习题 3.1半导体器件中存在电子和空穴两种载流子。假设单个电子和空穴的带电量分别－q和q，且本征半导体的载流子密度为ni，电子和空穴在电压U作用下的运动速度分别为ve和vh。请推导出半导体材料中在电压U作用下的电流密度表达式。 3.2设一段环形导电介质，电导率为σ，其尺寸和形状如题3.2图所示，求两个端面的电阻。 3.3求例3.3.1的功率损耗。 3.4利用类比法求解例3.4.1的电导。 3.5利用类比法求解例3.4.2的接地电阻。 3.6同心球面如题3.6图所示，求同心球面之间的电阻，其中σ=σ01+k/r。 题3.2图 题3.6图 3.7请从电流连续性方程推导基尔霍夫电流定律，见题3.7图。推导前请自行复习电路原理相关知识。 3.8请计算如题3.8图所示的平行双导线的单位长度的电导，导线半径为a，导线中心距离为D，导向位于介电常数为ε、电导率为σ的介质中。 3.9存在恒定电场的情况下，分析两种不同导电介质分界面上的衔接条件，说明在什么情况下分界面上自由电荷面密度为0。 3.10金属球形电极A和平板电极B的周围为空气，已知其电容为C。若将该系统周围的空气全部换为电导率为σ的均匀导电介质，且在两极间加直流电压U0，则极板间导电介质损耗的功率是多少？ 题3.7图 题3.8图 3.11对于半径为a的深埋球形接地器，假设地的电导率为σ。 （1） 求接地电阻，并给出减少接地电阻的措施； （2） 若为浅埋接地器，说明分析方法。 3.12如题3.12图所示的浅埋接地器，由于其附近存在接地电阻，人在附近行走时，两腿间会存在一定的电势差，称为跨步电压。随着人不断靠近接地器的过程中，跨步电压会变大。为了安全起见，有必要在接地器的附近划定安全区域。请分析影响安全区域大小的因素。 题3.12图 3.13恒定电场和静电场有何相同点和不同点？