第
3
章
MIMO无线信道
..3.1预备知识
本节定义了随机本地信道(StochasticLocalAreaChannel,SLAC)模型并且
探讨了它的几个关键性质。该模型是小尺度信道分析的基础。
1.随机本地信道模型
3.1
由本地信道定义可知,小尺度传播的随机模型可写成如下形式:
~(r)Viep[j(r-2πfτi)] (
hf,
= Σ(N) x.i-ki
·31)
=1
在该模型中,i是多径路数;V(i) i、ki
和τi
是由本地传播特性决定的常数;相位
.i
是随机变量,它使式(3-1)成为随机模型,也称为SLAC 模型。
从式(3-1)可见,SLAC 模型是由离散波组合而成的,但是把它看作离散模型
是错误的。该模型对路径数
N
和幅度值Vi
的类型都没有加以限制。对开阔地区
的传播精确建模可能需要无穷多的项数,某些项可能具有无穷小的幅度值。
1.随机相位
3.2
式(3-1)中的随机相位导致SLAC 模型有大量的实现方法。这种多样性在对
包含衰落信道的仿真和分析研究中非常有用。SLAC 模型的应用如下:
(1)测量补遗。诸如多径的幅度、时延和波形向量的测量比单独的多径相位
要容易得多。于是可以利用SLAC 模型从没有相位数据的测量结果中提取信道
实现方法。
(2)信道模板。如果通过测量或大尺度衰落的建模得到了一套实际的幅度、
时延和波形向量函数,SLAC 模型对许多不同的信道的实现提供了很有用的模板。
(3)位置不确定性。即使式(3-1)中的每一项通过测量都得以确定,接收机也
不太可能就是在测量的某一确定位置上工作。位置的不确定性在SLAC 模型中
等价于多径波相位的扰动。
(4)频率不确定性。即使式(3-1)中的每一项通过测量都得以确定,接收机也
不太可能就是在相同的载波频率上工作,将频谱的不同部分分配给不同的用户的
多址系统尤其如此。频率的不确定性在SLAC 模型中也等价于多径波相位的
扰动。
1 08 5G 通信系统
大多数类型的开阔地区的分析都包含在上述范围内。工程师赋予了随机模型最为丰富
的意义,因此要经常谨慎地对其应用进行严格定义。否则,就会如同古老的计算机格言那
样:“概念错误导致结论错误。”
3.1.3 其他随机量
在随机信道模型中,式(3-1)中的其他量在SLAC模型中为固定的常量,它们有时也会
被当作随机变量。式(3-1)中随机幅度、波形或时延的物理含义产生了一个随机宏区域信道
(StochasticMacro-AreaChannel,SMAC)模型。例如,如果式(3-1)中的Vi 是随机变量,那
么集合中每种信道的实现将代表一组具有不同幅度的平面波,于是集合中每种信道的实现
将代表一个完全不同的开阔地区。
当接收机工作于一个漫射和高度散射的信道时,Jakes提出的小尺度衰落统计量的典
型模型类似于式(3-1),是幅度随机的SMAC模型。
3.1.4 随机相位模型
对SLAC模型而言,其随机性的本质就归结为式(3-1)中相位.i 的分布。相位的分布
由概率密度函数表征。SLAC模型中的随机相位在.i 区间上服从均匀分布。.i 的概率密
度函数可写为
f(.i)= 1
2π, 0≤.i <2π (3-2)
虽然式(3-2)中的概率密度函数对于描述单一相位值的分布非常有用,但是SLAC模型真
正的本质是在集合中某一随机相位与另一相位之间的关系,即相位联合特性。这种关系用
随机相位的联合概率密度函数描述。
如果SLAC模型的相位是不相关的,那么就称这种地区传播的模型为U-SLAC模型。
通信中对不相关相位.l 和.m 进行定义,与数学上对不相关随机变量的定义略有不同:
数学随机变量不相关定义: E{.l.m}-E{.l}E{.m}=0
通信不相关相位定义:
E{exp[j(.l-.m)]}=0 (3-3)
在通信中,如果式(3-1)中的相位的所有值满足式(3-3)中通信不相关相位条件,那么
就称该SLAC模型为U-SLAC模型。
如果SLAC 模型中的随机相位相互独立,那么就称该信道模型为I-SLAC 模型。给
SLAC模型中的随机变量加独立性的条件强于相位不相关条件。因此所有的I-SLAC模型
都是U-SLAC模型,反之不一定成立。
根据数学定义,独立性意味着一个联合概率密度函数可以写成两个变量概率密度函数
的乘积。
对于I-SLAC信道随机相位,联合概率密度函数可写为
f(φ)=f(.1)f(.2)…f(.N ), φ =
.1
.2
.
.N
é
.
êêêêê
ù
.
úúúúú
(3-4)
第3章MIMO无线信道109
因为每个相位的概率密度函数都服从均匀分布,I-SLAC 模型的相位联合概率密度函
数最终为
f(φ)=1
(2π)N,0≤φ<2π (3-5)
图3-1描述了不同类型的SLAC 模型的关系。
图3-1不同类型的SLAC模型的关系
3.1.5傅里叶变换
SLAC 模型的傅里叶变换计算起来很简单。将位置向量和频域分别变换到波形向量和
~
(k)
时延域,就得到如下Hτ,的表达式:
N
Hτ,=(3Σx.i)τ-i)kki)
~
(k)2π)Viep(jδ(τδ(-(36)
=
式(3-1)中每一个离散的成分在式(3-6)(1) (i) 中的τ=τi
和k=ki
处都产生一个冲激函数。
出现在傅里叶变换或功率谱中的冲激函数被称为谱线,这是因为谱域中能量集中于某
些单独的点。然而,式(3-6)的离散性在
N
趋于无穷大、幅度变得无穷小时消失,转化为连
续函数。
现在,引入一种用积分消除谱线的傅里叶变换的新型谱域表示。通常傅里叶变换可以
写成一个积分:
F(τ,k)∫τ∫
k
H'
,')kd'
=τkd'τ37)
τ,-司蒂吉斯(emanSile积分的形式:
-∞-∞
傅里叶反变换可以写成对F(k的黎曼
~(
Rin-tetjs)
(
~(r)∫+∞
-∞
)
p(j[dF(k) (8)
hf,=ex2πfτ+k·r])τ,3
黎曼-司蒂吉斯积分平滑了傅里叶变换
H
~(k), 并且消除了SLAC 模型的傅里叶变换
中式(36)
=(
F(
τk,
)
u(u(9)
-的冲激函数。对于SLAC 模型,τ,可以写成
N
F(τ,k)2π)3ΣViexp(j.i)τ-τi)k-ki) (3
=
现在,谱线在式(3-9)中被不连续(i) 的(1) 阶跃函数替代。
数学家经常提醒工程师,冲激函数并不是真正的函数,因为它是通过一个无解的极限定
义的。想在工程研究中严格地定义和避开使用冲激函数,可以使用傅里叶变换和频谱的黎
1 10 5G 通信系统
曼-司蒂吉斯积分表示。
3.1.6 自相关函数
本节研究SLAC模型中的二维统计特性———自相关函数。
定理3-1:U-SLAC的广义平稳性
命题:一个SLAC模型h ~
(f,r)当且仅当它为U-SLAC模型时在时间和频率域上符
合广义平稳不相关散射(Wide-SenseStationaryUncorrelatedScattering,WSSUS)的定义。
证明:首先从自相关函数的定义入手,对信道h ~
(f,r)用其傅里叶反变换式H ~
(τ,k)
替换。
H~
(τ,k)=(2π)3ΣN
i=1
Viexp(j.i)δ(τ-τi)δ(k -ki) (3-10)
Ch ~
(f1,f2,r1,r2)=E{ 1
(2π)∫3∫+∞
-∞
H~
(τ1,k1)exp[j(k1·r1 +2πf1τ1)]dk1dτ1
é
. êê
ù
. úú
·
1
(2π)∫3∫+∞
-∞
H~
(τ2,k2)exp[j(k2·r2 +2πf2τ2)]dk2dτ2
é
. êê
ù
. úú
}
= ΣN
l=1ΣN
m =1
VlVmexp[j(kl·r1 -km ·r2 +2π(flτ1 -fmτ2))]·
E{exp[j(.l -.m )]} (3-11)
如果式(3-10)和式(3-11)是U-SLAC模型,且信道相位满足当l≠m 时.l 和.m 不相
关,那么自相关函数可化简为
C~
h (f1,f2,r1,r2)=ΣN
i=1
V2iexp(j[ki·(r1 -r2)+2πτi(f1 -f2)]) (3-12)
因为其自相关函数可以表示成仅为Δf 和Δr 的函数,并且不存在空频交互乘积项的形
式,所以这是一个广义平稳不相关散射随机过程。
根据定理3-1,由具有不相关相位的SLAC模型就可得到关于位置和频率的WSSUS
信道函数。这时U-SLAC模型的自相关函数可以写为
Ch ~
(Δf,Δr)=ΣN
i=1
V2iexp[j(ki·Δr)+2πτiΔf] (3-13)
3.1.7 非均匀散射
现在,对SLAC模型的一种特例进行定义,该特例对应于非均匀散射情况,即信道满足
如下条件:
当l ≠m 时, kl ≠km , τl ≠τm (3-14)
也就是说,非均匀散射描述了这样一种信道:式(3-1)不存在两个以相同的时延或波形向量
到达的多径波。
下面的定理3-2说明:如果在SLAC模型中假设非均匀散射条件,那么信道关于某一
变量的广义平稳就必然意味着关于另一个变量的广义平稳。
定理3-2:广义平稳非均匀散射
命题:一个非均匀散射的SLAC模型h ~
(f,r)当且仅当它关于频率f 广义平稳时关于
第3章MIMO无线信道111
位置r广义平稳。
证明:应用与定理3-1中相同的证明就可得到,当且仅当所有的相位{.i}都不相关时,
非均匀散射的SLAC 模型关于位置广义平稳。类似地可以证明,当且仅当所有的相位都不
相关时该模型关于频率广义平稳。应用传递性,定理3-2得以证明。
当非均匀散射条件不成立时,定理3-2也不成立。如果两个时延τi和τj相等,那么
相关的相位中.i和.j将导致关于位置r的非平稳性,但是不影响关于频率f的广义
平稳。
3.1.8SLAC模型的功率谱密度函数
因为U-SLAC 模型是广义平稳不相关散射随机过程,所以可以用维纳-辛钦(Wiener-
Khinchine)定理定义其功率谱密度函数。U-SLAC 模型的波形向量时延功率谱为
Sh~
(τ,k)=(2π)3Σ Ni=1
V2 iδ(τ-τi)δ(k-ki) (3-15)
与傅里叶变换一样,可以通过定义以积分形式表示的功率谱密度函数消除其中的冲激
函数:
Fh~
(τ,k)=∫τ-∞∫k-∞
Sh~
(τ',k')dk'dτ'
N
=(2π)iτ-i)kki)
3ΣV2u(τu(-(316)
i=1
空频自相关函数可以写成一个黎曼-司蒂吉斯积分
:
1
~
(Δ=
2π∫+∞
-∞2πr)]
~
(k)(-
Ch
Δf,r)exp[j(τΔf+k·ΔdFh
τ,317)
尽管在研究中将尽可能地使用标准的功率谱密度函数Sh
(k),
~ τ,但是在某些研究中
(通常包含由大功率的频谱成分产生的谱线)使用积分形式的功率谱密度最为方便。
3.9
信号基带表达
1.
在无线通信中存在无线信道对传输信号信息的畸变,使得发射机和接收机之间的传
输数据速率产生了一个决定性的限制。与其他种类的通信信道(铜线﹑波导、光纤等)相
比,无线信道对于数据传输质量是相当不利的。造成这种现象的原因主要是信号幅度衰
落和时变频变空变衰落。本节将无线信道的变化分成3方面进行讨论,即时间、频率和
空间。
为调制信号建立基带表达式是信道建模和分析的关键。基带表达式最主要的作用是消
除了带通无线信道对于载频的依赖,统一和简化了信道建模。本节讨论无线信号和信道在
基带和带通表达式之间互换的数学基础。
1.
信号频谱
每个实际的通信信号都有傅里叶变换或频谱,该频谱定义了信号在频域中的数学特性。
对于每一个时间域信号x(t), 存在一个由正变换给出的频率域信号X(f):
t)(
X(f)=∫+∞ x(exp(-j2πft)dt
3-18)
-∞
1125G通信系统
每个傅里叶变换对x(t)和X(f)都是唯一的,原始时间域信号可以用傅里叶反变换从
频谱恢复:
x(t)=∫+∞
-∞
X(f)exp(j2πft)df(3-19)
因此频谱X(f)包含了与x(t)相同的所有信息。只是那些信息被组织成了不同的形
式,以帮助我们进行某种类型的信号分析。
式(3-18)和式(3-19)定义的傅里叶变换可应用于任何复时间域信号(尽管数学上成立
的并不总是物理上有意义的) 。如果信号x(t)代表一个物理量(例如天线终端上的时间域
电压), 则它必定是实值。除非时间域信号是一个刻意构造的数学函数,大多数实值时间域
函数的谱通常都是复值的。
由于它的复值性,频域函数的表达图应包括频率变量轴、实函数和虚函数部分,可以用
图3-2描述信号频谱。图3-2(a)中的谱是Sn(t)信号的频谱———它是简单的矩形谱;而
图3-2(b)中的谱是一个更实际的时间域信号的傅里叶变换频谱。
图3-
2
矩形谱和复值谱
如图3-2所示,在工程分析中,通常将频谱分解成实部或虚部;或者只画出频谱的幅度
|X(f)|,而忽略相位信息。
2.
信号调制
无线通信中最基本的处理之一是用带限数据信号调制载波。调制将一个基带信号转变
为一个带通信号。为了表示调制过程,用调制运算符
M
{·} 表示将一个基带信号
x
~(转
变到(调制载波的) t)。利用这一表示方法,
t)
带通信号x(
x(=
M
{t)}
信号可以写作
(3-20)t)x~(
函数上方的“~”是本书表示信号基带表达式的符号。
~(
在频域中,用基带信号
~
X
(
f)和带通信号
X
(f)观察调制是最容易的。带通信号的傅
里叶变换可以从基带信号Xf)按下式计算出来:
X(f)
=
1~(f-fc)
+
1~
*(-f-fc) (3-21)
2X
2X
第3章MIMO无线信道113
其中, *表示复数共轭。在频域中,X(f)只不过是频谱X~
(f)移到中心频率f=fc 的一个
副本,再加上移到中心频率f=-fc 的一个副本。
调制过程可以在时域中直接定义。给定一个载波频率fc,则
M{x~(t)}=Re{x~(t)exp(j2πfct)} (3-22)
式(3-22)中的复指数项将基带信号x~(t)上移到载波频率fc,而Re{·} 运算在-fc 上
产生共轭镜像谱。
在此,有必要定义基带信号的带宽B。如图3-3所示,有许多不同的定义基带信号的
带宽的方法,例如非零带宽、零到零带宽、半功率带宽等。通常用带宽的最大值定义非零
带宽。
图3-
3
基带信号频谱定义不同的带宽
3.
反调制
调制的反运算——t) t)也有一个时间域的定义:
—将带通信号x(变回到基带信号
x
~(
-
~(=M1{t)}
=[x(exp(-j2πfct)]..[2BSn(B
xt)x(
t)t)]
d(3-23)
2B∫+∞ x(exp(2πSn(
=ζ)-jfcζ)B|t-ζ|)
ζ
-∞
其中..表示卷积,而Sn(·) 是Sinc函数:
sinπx
Sn(x)
=
πx
~
式(3-23)中的复指数项把带通信号频谱X(f)移动了一个fc 的量,以至于
X
(f)的副
本的中心位于f=0,而它的共轭镜像位于f=-2fc;然后与Sinc函数卷积,相当于通过一
~
个低通滤波器消除了该高频镜像,以至于仅存
X
(f)。载波调制和解调的过程如图3-4所
示。其中,内环为时间域,外环为频率域。
如果已调带通信号x(t)要表示的是一个物理可实现的传输,则它必须是一个实值函
3-23), t)
数。按照式(带通实函数的等效基带信号
x
~(是复值函数,即等效基带信号可以是
复值表达。这一基带和带通表达式之间的差别来源于带通频谱
X
(f)中的共轭镜像,因此
~(
带通频谱带宽是基带频谱Xf)带宽的2倍。
1145G通信系统
图3-4载波调制和解调的过程
4.基带信道
最简单的无线通信系统表达式至少需要3个带通函数:发送信号x(t) 、接收信号y(t)
和信道H(t) 。如果信道具备线性和时不变特征,则能够用卷积将这3个量联系起来:
y(x((
t)t)
=t)..
H
(3-24)
但如果用基带表达式分析系统会更方便,这样它们将变得不依赖于载波频率。对于基
带和带通信号使用下列关系表达式:
~(~(
~
(
x(=
M
{xt)},y(yt)}, t)
H
(
t)t)=
M
{
H
(=
M
{t)} 325)
可以将式(3-24)写为基带信号的卷积形式:
~(1 ~(
~
(
yt)
=
[xt)..Ht)] (3-26)
26)
2
基带等效xt)(的信号总功率是其带通
用式(3-中基带等效分析得到的结论, ~(和
y
~t)
对应项x(和y(的2倍。如果
H
(和
H
(用同样的基带-带通变换定义,则
H
(
t)。
t) t)
~(
~t) t)~t)=
2H(
用于SISO(单输入单输出,或称单发送单接收)传输的基带和带通信道模型如图3-5所
示。其中包括了加性噪声nt)。该噪声可以是热噪声、脉冲噪声、多址干扰人为干扰或一
切对接收造成干扰的不需要的信号。
图3-
5
用于SISO
传输的基带和带通信道模型
第3章MIMO无线信道115
..3.2MIMO信道建模概述
在无线通信系统中,MIMO信道定义为无线链路发送端和接收端同时配置多个天线阵
元时构成的一种空时通信结构,如图3-6所示。
图3-6MIMO信道
MIMO技术的核心是空时信号处理,利用在空间中分布多个天线将时间域和空间域结
合起来进行信号处理。MIMO技术有效地利用了信道随机衰落和多径传播成倍地提高传
输速率,改善传输质量和提高系统容量,能在不额外增加信号带宽的前提下带来无线通信性
能上几个数量级的提高。目前对MIMO技术的应用主要集中在以空时编码(Space-Time
Code,STC)为典型的空间分集和以贝尔实验室分层空时(BelLAyeredSpace-Time,
BLAST)为典型的空间复用两方面。
然而,MIMO系统大容量的实现、MIMO系统其他性能的提高以及MIMO系统中使用
的各种信号处理算法的性能优劣都极大地依赖于MIMO信道的特性,特别是各个天线之间
的相关性。
最初对MIMO系统性能的研究与仿真通常都在独立信道假设下进行,这与实际
MIMO信道大多数情况下具有空间相关性不符合。MIMO系统的性能在很大程度上会受
到信道相关性的影响。因此,建立能有效反映MIMO信道空间相关特性并且适用于系统级
和链路级仿真的MIMO信道模型,以选择合适的处理算法并评估系统性能,就变得相当
重要。
对于MIMO信道模型的研究存在3个基本问题:
(1)什么样的理论模型能更准确地描述MIMO信道的空间、时间、频率三维的统计衰
落特征?
(2)如何扩展已有的信道建模方法,以有效且准确地构建MIMO信道模型?
(3)在建立MIMO信道的仿真模型时,如何保证较低的实现复杂度?
研究MIMO衰落信道空时频衰落统计特征有助于更好地揭示MIMO无线通信结构能
利用的空间资源的本质,理解限制MIMO无线通信容量的各种原因,进而发现提高MIMO
无线通信容量和链路质量的方法。
为解决第一个问题,首先需要在不同电波传播环境中通过测量获知MIMO信道衰落的
经验数据,然后进行统计分析和建模。为此,国外的一些研究组织和大学进行了大量的
1165G通信系统
MIMO信道衰落特性测量。测量的频率主要集中于2GHz和5GHz,测量环境包含了室内、
室外、城区和郊区等,测量的内容较多地涉及MIMO信道的多径时延、多径衰落幅度和相位
及多径的方向性特征的时间统计特性,也关注不同环境下多径到达接收端的AOA(Angle
ofArrival,到达角)和多径离开发送端的AOD(AngleofDeparture,离开角),还关注天线阵
列结构导致的发送衰落相关特性和接收衰落相关特性等。
针对第二个问题,目前用于MIMO信道建模的方法主要有两大类:一类是确定型信道
建模方法,这类方法基于对特定传播环境的准确描述,具体又可分为基于冲激响应测量数据
的建模方法和基于射线跟踪的建模方法;另一类是基于空时统计特征的建模方法,与确定型
建模方法相比,这类建模方法试图利用统计平均的方法重新产生观察到的MIMO信道的衰
落现象,具体可分为基于几何分布的建模方法、参数化统计建模方法和基于空时相关特征建
模方法。MIMO信道建模方法的分类如图3-7所示。
图3-
7
MIMO
信道建模方法的分类
基于信道冲激响应的确定型MIMO信道建模方法源于对单天线多径信道进行仿真的
方法。该建模方法通过对MIMO信道衰落的测量,获得特定电波传播环境的信道冲激响应
测量数据,利用正弦波叠加(Sum-Of-Sinusoids,SOS)方法即可模拟MIMO信道的衰落过
程。在整个信道衰落的模拟过程中,信道衰落只视为时间的函数,因此称为确定型建模方
法。相对于其他建模方法,确定型MIMO信道建模方法具有运算量小、建模过程简单的优
点,但其缺点是需要信道冲激响应的测量数据,因此只能用于特定的传播环境。基于射线跟
踪的建模方法是另一种确定型建模方法。它利用事先得到的地理信息数据,在指定的传播
环境中通过跟踪多径传播的空时特征得到信道模型。但是,基于射线跟踪的建模方法局限
于室内应用,不具有广泛的适用性。
在基于时空统计特征的建模方法中,基于几何分布的建模方法是被广泛研究的一种建
模方法。它通过描述传播环境中存在的散射体的统计分布,利用电磁波经历反射、绕射和散
射时的基本规律构建MIMO衰落信道模型。在不同的传播环境中,通常假设在用户端和基
站端具有不同的散射体几何分布,常用的几何分布模型包括单环、双环、椭圆和扇形等,多数
基于几何分布的模型假设电磁波传播经过散射体时只发生单反射过程,也有文献考虑了多
次反射的过程。例如“锁孔”或“针孔”效应,就是由于用户和移动端之间的传播距离远大于
散射体的有效半径,导致衰落信道矩阵虽然呈现出低相关的统计特性,但信道容量无法与收
发天线数目线性增长。
第3章MIMO无线信道117
参数化统计建模方法则将接收信号描述为许多电磁波的叠加,以构建信道衰落的特征。
双方向性信道模型就采用了参数化统计建模方法。双方向性信道模型可以利用抽头延迟线
模型结构实现,对应每个抽头,在发送端和接收端分别用对应的离开角、到达角、复信道衰落
因子和相对时延等参数进行描述。但是,该模型无法反映收发端天线阵列结构的影响。
虚射线模型的提出则考虑了天线阵列结构,它先将多径解释为分别包含多个子路径的
簇,对每个簇分别用多个衰落成分模拟产生。
基于空时相关特征的建模方法是基于统计特征的建模方法的另一种典型方法。该方法
假定信道衰落因子为复高斯分布的随机变量,其一阶矩和二阶矩反映了信道衰落特征。该
建模方法将空时衰落的相关特性分解为发送端衰落相关矩阵、独立衰落矩阵和接收端衰落
相关矩阵并求这3部分的乘积。相关的理论和实验测试结果表明这一模型能较好地匹配
MIMO 衰落信道的空时相关特征和MIMO 系统的容量特性。
..3.3统计MIMO信道建模
3.3.1MIMO信道模型与统计建模方法概述
从克拉克(Clark)和杰克斯(Jakes)对无线衰落信道的统计特征进行研究开始直到今
天,关于无线信道衰落特征的分析和建模研究已经有了长足的发展。过去的研究一般局限
于用数学模型描述无线信道的时域衰落特征,重点在于建立存在于无线衰落信道中的散射
体、折射体和绕射体的统计模型或几何模型,从而用于无线信道衰落分布的预测、估计和测
量。正如第2章所述,针对大尺度衰落现象,研究者分别建立了相应的路径损耗模型、基于
对数正态分布的阴影衰落模型;针对小尺度衰落现象,研究者已经提出了瑞利分布、莱斯分
布等进行描述。早期对单入单出衰落信道的研究一般仅关注频率衰落信道中多径现象导致
的时域扩展以及由于链路两端相对位置的快速移动导致的多普勒扩展。在多天线分集技术
和自适应阵列天线技术引入无线通信系统以后,研究SIMO(单入多出)信道、MISO(多入单
出)信道和MIMO 信道逐渐成为无线信道传播模型的热点。人们在研究中发现,存在于衰
落信道中的散射体不仅影响信道衰落的时域特征,而且由于散射体的分布和位置的不同,导
致在不同天线上的接收信号之间的空时相关特征,还反映出信道的空时衰落特征,从而产生
了很多描述散射体分布的统计模型。例如著名的单环模型,它将散射体的分布描述为在一
个圆环上呈均匀分布的情形。这一模型被广泛采用,直至后来提出了MIMO 衰落信道。此
外,还有双环散射模型、分布式散射模型和扩展萨利赫-瓦伦祖拉(Saleh-Valenzuela)散射模
型等。
上述散射模型的提出为MIMO 衰落信道的建模提供了参考。基于散射体几何分布的
建模方法、参数化统计建模方法和基于空时相关特征的建模方法被相继提出,大量的信道测
量数据也被公布。人们逐渐发现,在实际的移动无线衰落信道中,最早用于描述散射体均匀
分布的克拉克模型不再有效,围绕无线收发信机的散射体更多地呈现非均匀分布。已有的
多数建模方法均假设到达接收端的来波方向或离开发送端的去波方向为均匀分布的情形。
实际上,在蜂窝移动无线通信环境中,存在大量的非均匀来波情形,例如狭窄的街道、地
铁和室内情形。这些现象将会导致非均匀来波方向分布,从而影响不同天线上衰落的相关
1185G通信系统
性。此外,在现有的蜂窝无线系统中,由于蜂窝微型化和小区扇形化,基站发送端的天线已
由最初的全向辐射转为定向辐射,城区的蜂窝和微蜂窝环境、室内电波传播环境和一些复杂
环境(例如狭长的走廊和地铁隧道中),到达接收端的来波方向一般也呈非均匀分布。
MIMO信道的建模方法主要有确定型建模方法和基于空时统计特征的建模方法。目
前,在MIMO信道建模中较多地采用的是基于空时统计特征的建模方法。其中,基于散射
体几何分布的建模方法和基于空时相关统计特征的建模方法又是统计建模中采用得较多的
两种方法。这两种方法有各自的优缺点。若基于散射体的几何分布对MIMO衰落信道建
模,则必须对散射体的分布进行合理的假设,并给出收发两端的距离、散射体的数目和尺寸
以及散射体与收发两端的距离等一些可描述MIMO信道的二维几何参数。而过多的参数
约束会增加建模的复杂度,同时,在不同的环境下这些参数的值也不尽相同,因此,这种建模
方法限制了具体的应用场合。基于空时统计特征对MIMO衰落信道进行建模时,需要给出
描述离开角、到达角、水平方向角度功率谱等一系列参数的数学统计模型。这种方法能够较
为全面地反映MIMO信道的衰落特性,特别是信道的空间衰落特性,而且目前已经有了对
上述参数在各种环境下的大量测量值及其分布的数学描述。
3.3.2模型的一般描述
如图3-8所示,考虑发射端天线数为N,接收端天线数为M的两个均匀线性天线阵列
(UniformLinearArraULA),假定天线为全向辐射天线。发射端天线阵列上的发射信号
y,
记为
T
s([t),t),…,t)]
t)=s1(s2(sN
(
图3-
8
MIMO
信道模型
其中,t)表示第
N
个发射天线元上的发射信号。同样,接收端天线阵列上的接收信号可sN
(
以表示为
T
t)[t),t),…,t)
]
描述连接发射端和接收端的宽带MIMO无线信道矩阵可以表示
为
H(τ)δ(l)(
y(=y1(y2(yM
(
=Σ(L) Alτ-τ3-27)
=
其中,τ)∈CM
×N
,代表M×N的二维复数(l) 矩(1) 阵;H(
第3章 MIMO 无线信道1 19
Al =
α1(l1) α1(l2) … α1(lN)
α2(l1) α2(l2) … α2(lN)
. . . .
α(l) M1 α(l) M2 … α(l) MN
é
.
êêêêê
ê
ù
.
úúúúú
ú
(3-28)
为描述收发两端天线阵列在时延τl 下的复信道传输系数矩阵,α(l) mn 表示从第n 个发射天线
到第m 个接收天线之间的复传输系数;L 表示可分辨路径的数目。
发射信号向量s(t)和接收信号向量y(t)之间的关系可以表示为(不包括噪声)
y(t)=∫H (τ)s(t-τ)dτ (3-29)
或者
s(t)=∫HT(τ)y(t-τ)dτ (3-30)
为了保持信道模型的简单性,假设信道的传输系数α(l) mn 服从零均值的复高斯分布,即
α(l) mn 的模|α(l) mn|服从瑞利分布。并对该统计MIMO 信道模型进一步作出如下假设:
(1)同一多径下传输系数的平均功率相等,即
Pl =E{|α(l) mn |2}, n ∈ {1,2,…,N }, m ∈ {1,2,…,M } (3-31)
(2)信道为广义平稳非相关散射(WSSUS)信道,不同多径的信道传输系数不相关,即
<α(l1) mn ,α(l2) mn >=0, l1 ≠l2 (3-32)
式(3-32)中的符号<a,b>表示求a 和b 之间的相关系数。
(3)两个接收天线衰落系数的相关性与发射天线是哪一个无关;同样,两个发射天线之
间的相关性与接收天线是哪一个也无关。
定义接收端第m1 个天线和第m2 个天线之间的相关系数为
ρmRX1m2 =<αm1n ,αm2n> (3-33)
式(3-33)间接地使用了第3个假设,即接收端天线的相关系数与发射端天线无关。只
要发射端天线间距并不太大,而且每个天线具有相同的辐射模式,这个假设就是合理的。因
为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相同的散射体上,在接收端会产生相
同的角度功率谱,也会产生相同的空间相关函数。
同样,定义发射端第n1 个天线和第n2 个天线之间的相关系数为
ρnT1Xn2 =<αmn1 ,αmn2> (3-34)
根据式(3-33)和式(3-34),分别定义接收端和发射端的两个相关矩阵为
RRX =
ρ1R1X ρ1R2X … ρ1RMX
ρ2R1X ρ2R2X … ρ2RMX
. . . .
ρMRX1 ρMRX2 … ρMRXM
é
.
êêêêê
ê
ù
.
úúúúú
ú
(3-35)
RTX =
ρ1T1X ρ1T2X … ρ1TNX
ρ2T1X ρ2T2X … ρ2TNX
. . . .
ρNTX1 ρNTX2 … ρNTXN
é
.
êêêêê
ê
ù
.
úúúúú
ú
(3-36)
然而,仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的相关矩阵并不能为产生矩阵Al 提供足
1 20 5G 通信系统
够的信息。因此,需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输系数的空间相关性。为
此,定义
ρn1m1 n2m2 =<αm1n1 ,αm2n2> (3-37)
在上述第3个假设的条件下,从理论上可以证明,式(3-37)与式(3-38)等价:
ρn1m1 n2m2 =ρnT1Xn2ρmRX1m2 (3-38)
根据式(3-38),MIMO 信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与接收端相关
矩阵的克罗尼克乘积:
RMIMO =RTX ..RRX (3-39)
式(3-39)中,符号..表示矩阵的克罗尼克乘积运算。
上述信道模型再现了MIMO 信道的相关性和衰落特性,而天线阵列的相位偏移作用却
并没有得到体现。只要天线元之间高度相关,上述模型沿天线阵列产生的平均相位变化为
0,这意味着入射电波的平均波达方向(DirectionofArrival,DOA)对应于天线阵列的法线。
因为两个天线元之间的相位差与sin函数值成正比,其中g 即为DOA。另外,当使用功率
相关系数时并未考虑相位信息,这样会造成传输系数的相位关系的丢失。针对这两种情况,
可以对上述模型进行修改,在数学上,只要把式(3-29)改成如下的形式即可:
y(t)=W (. -
RX∫)H (τ)s(t-τ)dτ (3-40)
其中,W (. -
RX)为一个对角矩阵,. -
RX为AOA 的平均值。W (. -
RX)的定义如下:
W (. -
RX)=
w1(.) 0 … 0
0 w2(.) … 0
. . . .
0 0 … wM (.)
é
.
êêêêê
ù
.
úúúúú(3-41)
式(3-44)中,wm (.)提供了相对于第一个接收阵元的平均相位偏移信息。wm (.)的计算
式为
wm (.)=fm (.)exp -j(m -1)2π λdsin.
é
. êê
ù
. úú
(3-42)
其中,fm (.)为第m 根天线元的复值辐射模式,λ 为载波的波长。当L =1时,上述MIMO
信道模型由一个宽带模型变为窄带模型。此时,式(3-29)变为
y(t)=H (t)s(t) (3-43)
注意到,式(3-27)表示了一个简单的抽头延迟线模型,只是L 个抽头中每一个抽头的
信道传输系数由一个标量变成了一个矩阵,该矩阵的大小由MIMO 无线通信系统收发两端
的天线个数决定。因此,该信道模型可以看成由SISO 信道模型到MIMO 信道模型的一个
推广,并且可以通过选择适当的时延和平均功率、多普勒频移等参数,表达具有特定多普勒
扩展、时延扩展以及按照某种规律衰减的功率时延分布(即MIMO 信道的时频衰落统计
特征)。
3.3.3 相关性建模的一种等效形式
上述MIMO 信道模型在对信道的空间相关性进行建模时,按照式(3-39)对RTX和RRX
求矩阵的克罗尼克乘积,得到MIMO 信道的整体相关矩阵RMIMO,然后对RMIMO进行相应的
第3章 MIMO 无线信道1 21
矩阵分解,从而得到MIMO 信道的空间相关矩阵。这里介绍对信道相关性进行建模的一种
等效形式。
在分别得到了发射端和接收端的空间相关矩阵RTX和RRX以后,直接对RTX和RRX分别
进行矩阵分解,而不是先求克罗尼克乘积然后再分解。在窄带信道时,MIMO 信道的矩阵
可以表示为
H =(RRX)1/2G(RTX)T/2 (3-44)
式(3-44)中,G 是M ×N 的随机矩阵,其元素为独立同分布的零均值复高斯变量,并经过了
相应的信道多普勒谱成形;(·)1/2表示矩阵的平方根分解。在宽带信道的情况下,每一个抽
头上的信道矩阵都按照式(3-44)产生,即第l 根抽头上的信道矩阵为
Hl =(Rl
RX)1/2Gl(Rl
TX)T/2 (3-45)
3.3.4 LoS信道矩阵
上述MIMO 模型没有考虑传播环境中存在直接视距(LoS)分量的情况。当传播环境
中存在LoS路径时,MIMO 信道矩阵可以被分为一个固定矩阵(常量,视距)和一个瑞利矩
阵(变量,非视距)。以两根发射天线、两根接收天线的MIMO 系统为例,在窄带信道的情况
下,信道矩阵可以表示为
H = P K
K +1HF + 1 K +1HV
.
è .
.
. ÷
= P K
K +1
ej.11 ej.12
ej.21 ej.22
é
. êê
ù
. úú
+ 1 K +1
X11 X12
X21 X22
é
. êê
ù
. úú.
è .
.
.
. ÷
÷ (3-46)
式(3-46)中,Xij(第i 个接收天线与第j 个发射天线之间)为NLoS瑞利矩阵HV 的元素,
HV 由前两节中所述的方法产生;ej.ij 是LoS矩阵HF 的元素;K 为莱斯因子,表示LoS分量
功率与散射分量功率的比值;P 为信道的功率。HF 的计算式为
HF =
1
expj2π λdRXsin(AOA) .
è .
.
. ÷ .
expj2π λdRXsin[(M -1)AOA] .
è .
é
.
êêêêêêêê
ù
.
úúúúúúúú ·
1
expj2π λdTXsin(AOD) .
è .
.
. ÷
.
expj2π λdTXsin[(N -1)AOD] .
è .
é
.
êêêêêêêê
ù
.
úúúúúúúú
T
(3-47)
dRX与dTX分别为接收天线和发射天线的间距,M 与N 分别表示接收天线与发射天线
的数目,AOA 与AOD分别表示到达角和离开角。当信道是时变信道的时候,式(3-47)中
的HF 需要再乘以一个莱斯相位向量exp[j2πfmcos(π/4)t],fm 为信道的最大多普勒频移。
3.3.5 发射天线与接收天线的空间相关性
相关系数ρ 在数学上定义为
ρ=<a,b>= E[ab* ]-E[a]E[b* ]
(E[|a|2]-|E[a]|2)(E[|b|2]-|E[b]|2) (3-48)
其中,符号<·,·>表示求相关系数,符号* 表示复数共轭。根据a 和b 的性质,可以定义3
1225G通信系统
种不同的相关系数:复数相关系数、包络相关系数和功率相关系数。考虑两个复数变量x
和y,其复数相关系数、包络相关系数和功率相关系数分别为
ρc=<x,y> (3-49)
ρe=<|x|,|y|> (3-50)
ρp=<|x|2,|y|2> (3-51)
限于测量设备等因素,以前对信道相关系数的探讨更多地集中于包络相关系数和功率
相关系数。然而,对于MIMO 信道建模来说,复数相关系数包含了能反映信道特性的较全
面的信息,即幅度和相位,具有更好的性能。对于瑞利衰落信道,复数相关系数和功率相关
系数有如下关系:
ρp=|ρc|2 (3-52)
3.3.6信道的相关性和功率谱密度
1.信道的相关性
下面介绍随机信道的相关性原理,定义复基带信道关于频率、时间及空间的自相关函数。
在概率论中,相关性是对某一随机事件的两个观测结果之间进行预测的手段。在比较
两个随机变量X和Y时,如果X的观测结果可以提供一些对Y的观测结果的预测信息,反
之亦然,就说X和Y是有关联的。随机事件之间较大的相关性也就意味着较大的可预测
性。例如,某一天日照量的多少与这一天平均气温的高低两个随机事件之间的相关性是较
强的,因为晴天比阴天气温高。
如果两个随机变量
X
和
Y
不相关,那么即使知道
X
的值也不能提供关于
Y
的任何预
测信息,反之亦然。举一个不相关的例子,例如某一天日照量的多少与这一天麻将游戏的获
利者数目这样两个随机事件是不相关的。
可以用严格的数学方法定义随机变量不相关的条件:
对不相关的
X
和Y,
E{XY}=0 (3-53)
2.
自相关的关系
表征一个随机过程的发展变化特性最常用的方法就是计算其自相关函数。一个时变的
随机信道ht) ~(t2)定义为
~(的自相关函数Ch
t1,
Ch
t1,=E{t1)((354)
t2)hh(~) 式(354)
~
(~(*t2)}
t)随时
-通过对随机过程在任意两个时刻t1 和t2 的样本值的乘积取集平均捕获h(
间的演化。
在信道模型中研究的大多数随机过程都是广义平稳的随机过程(WSS )。根据定义可
知,一个广义平稳的随机过程的自相关函数值仅仅依赖于两个时刻t1 和t2 之差是多少。
换言之,其相关性不随绝对时间而变化。即
~
(t1,t2)
~
(t2+t0),t0 为任意值(
Ch
=Cht1+t0,3-55)
因此,一个广义平稳的自相关函数通常被写成时间变量Δt
的函数,Δt=t1-t2。自相
关函数的广义平稳定义如下:
~(*
~
(ΔE{t1)(t)} (-
Ch
t)=
h h(~) t1-Δ356)
第3章MIMO
无线信道123
作为关于频率
f
和空间
r
的函数的随机信道也有类似于广义宽平稳时间自相关函数的
定义。
一个随机过程为广义平稳随机过程还需要满足的第二个条件是:除了上述自相关函数
平稳以外,该随机过程的均值也必须是平稳的。以时变基带信道为例, h(~) (的值不
当E{t)}
是时间
t
的函数时,均值平稳就成立。由于自相关函数不具备广义平稳性,现实生活中的大
多数随机过程都不能通过广义平稳的测试。然而,的确存在这样一些自相关函数满足广义
平稳特性而均值却不满足平稳特性的随机过程。
自相关函数是二阶统计量。因为其刻画的是某一随机过程的两个样本点之间的关系。
术语“阶数”是指用于计算统计量的样本点数。
以下分别是时变随机信道的一阶、二阶、三阶统计量表达式:
t)},
~
((2}(
~~((~(*t2)},~(*
μ
=E{Ch
t2)hh(~) hh(~) t3)|
ht1,=E{t1)E{t1)t2)|h(357)
3.
自协方差函数
~
自协方差函数Ch
(Δt)采用如下的定义,也就是对广义平稳随机过程去除其均值
μ
的
二阶统计量:
~
*~
..
~
(t)E{[~(~)]·[(t)*]}
Ch
Δ=ht0-
μ
ht0+Δ-
μ ~
(t)(
~
2
~ ~(
其中,E{t)}。
~ ~
=
(
Ch
Δ-|μ|3-58)
μ
=
h
如果一个随机过程是零均值随机过程,那么其自相关函数就被称为自协方差函数。以
时变信道为例,如果μE{t)}0,那么其自相关函数就是自协方差函数。
=
h
=
4.
自相关系数
自相关系数定义如下:
~
2
~
~
(Ch
(Δt)-|μ|(
(0)-|μ|3-59)
ρh
Δt)=
Ch ~
2
~
其中,ht)},(0)h(~) h(~) (
h
2} 等于自相关函
~~(~(*t1)}~(是平均能量,
数在Δt=0时的取值。
可以看出,自相关系数的物理意义是对随机过程的平均能量进行归一化的结果。可以
证明,对于所有的自变量Δt,~(t)≤1 。自相关系数越大,意味着两个时间点的信道值相
μ
=E{Ch
=E{t1)=E{|t1)|
ρh
Δ
关性越强。
5.
功率谱密度函数
下面利用自相关函数和功率谱密度函数的傅里叶变换分析进一步阐述信道的特点。
可以对某一随机过程进行一种数学变换得到一个新的随机过程以描述其结果,或者说
一个随机过程的傅里叶变换就是自身随机过程的另一种表达。因此,将一个随机的时变信
~(~
道函数ht)做傅里叶变换就产生一个随频率变化的随机信道过程
H
(ω), 可以应用集合的
统计量方法对之进行分析。
ω1,
在频域定义自相关函数CH
~(ω2), 从众多文献中已经看到证明广义平稳随机过程的
频谱互不相关,因此频域自相关函数必定具有如下的形式:
~ω2)
~
(δ((
CH
(ω1,=2πSh
ω1)ω1-ω2) 360)
124
5G
通信系统
式(360) ~(就称为功率谱密度, ~(频谱的功率在
-中的函数Sh
ω1) 它表征了随机信道ht)
频域中的分布状况。功率谱密度是用于分析广义平稳随机过程极其重要的频域工具。
傅里叶变换仅对于能量信号有严格的定义。所有的广义平稳随机过程都是功率信号。
因此,其频谱的自相关函数CH
(ω1,
~(
~ω2)都为无穷大。在后面将通过在所有的频谱分析中采
用有限值的功率谱密度Sh
ω1)表达频域自相关函数。用式(3-60)中的函数δ(ω1-ω2)吸(“)
~
收”无穷大数值,这也就是Sh
(ω1)被称为功率谱密度函数的原因。
通过维纳-辛钦定理可以看到功率谱密度的作用。该定理表明广义平稳随机过程的自
相关函数与其功率谱密度函数互为傅里叶变换对:
~
(
~
((
Sh
ω)=∫+∞
-∞
Ch
Δt)exp(-jωΔt)dΔt
3-61)
~
(2π~
((
Ch
Δt)
=
1∫+∞
-∞
Sh
ω)exp(-jωΔt)dω
3-62)
维纳-辛钦定理表明研究信号在时域中的自相关特性与研究该信号在频域中的平均功
率相互等价。因此,对广义平稳随机过程的同一个二阶统计量就存在两种描述方法,即广义
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度函数是一对傅里叶变换对。
证明:根据定理3-1,自相关函数可以写成
Ch~
(t1,
=
1∫+∞
-∞
+∞
-∞
~
(ω1,ep(j[t1t2])dω2(
t2)∫CH
ω2)xω1-ω2ω1d363)
4π2
对于广义平稳随机过程,
有
~
(
~
(δ(p(j[t2])
t2)2π1∫+∞
-∞∫+∞
-∞
Sh
e-ω2ω1d
Ch
t1,=ω1)ω1-ω2)xω1t1dω2
1
~
(ω2)xω2(-t2)]ω2(
=
2π∫+∞
-∞
Sh
ep[jt1d364)
令ω1=ω2 及Δt=t1-t2,即可得到式(3-62)描述的傅里叶变换关系。
6.
三维空间的统计量
在对空间选择性的讨论中,只研究了标量空间———线性的空间变量
r
运动。当然,在实
际系统中无线接收机能够在三维空间中工作,这就要求增加其空间表示的自由度,在频域中
也同样需要增加相应的自由度。对一个三维的位置函数进行傅里叶变换其实就是对标量坐
标进行三重傅里叶变换。因此,将变换对写为
~(x,z)
~
(,) (
y,
x
,
其中,、
y
和
z
是笛卡儿位置坐标,而kx
、ky
和kz
是它们在(z) 频域中对应的波数。三重傅里
叶变换意(x) 味着需要进行3次积分,其表示如下:
h
.
H
kkyk3-65)
+∞ +∞ +∞
~
(
x
,,k)∫∫∫~(x,x-kzz)]xdz
Hkky
z=hy,z)ep[j(xx+kyy+kdyd
-∞-∞-∞
式(3-66)中的表示方法比较烦琐。可以采用一组向量符号来简化概念。
(3-66)
首先,位置标量和波数标量的相关性分别被叠并成三维的位置向量和向量波数:
r=xx+yy+zz
(3-67)
k=kx+kyy+kz
(3-68)
xy
其中,、、z表示单位向量。然后将对位置(x) 变量或波数(z) 变量的三重积分变为对一个向量偏
第3章MIMO无线信道125
微分dr或dk的一重积分。这些一重积分被定义为
∫+∞
-∞ dr=∫+∞
-∞∫+∞
-∞∫+∞
-∞ dxdydz(3-69)
∫+∞
-∞ dk=∫+∞
-∞∫+∞
-∞∫+∞
-∞ dkxdkydkz(3-70)
利用上述结论进行替换,得到关于位置向量的傅里叶变换及傅里叶反变换对:
H~
(k)=∫+∞
-∞
h~
(r)exp(-jk·r)dr(3-71)
h~
(r)=1
(2π)3∫+∞
-∞
H~
(k)exp(jk·r)dk(3-72)
其中(·) 表示内积:
k·r=xkx+yky+zkz(3-73)
这种简洁的向量符号使得定义一个三维的空间自相关函数和向量波数功率谱密度变得
更容易。三维的空间自相关函数定义如下:
Ch~
(Δr)=E{h~
(r)h~
*(r+Δr)} (3-74)
该随机信道的波数功率谱密度函数可通过对其进行傅里叶变换得到
Sh~
(k)=∫+∞
-∞
Ch~
(Δr)exp(-jk·Δr)dΔr(3-75)
表3-1总结了时间、频率、标量空间和向量空间自相关函数与相应的多普勒谱、时延谱、
波数谱和向量波数谱的对应关系。
表3-1自相关函数与功率谱密度函数的对应关系
自相关函数功率谱密度函数
时间自相关
Ch~
(Δt)=1
2π∫+∞
-∞
Sh~
(ω)exp(jωΔt)dω
多普勒谱
Sh~
(ω)=∫+∞
-∞
Ch~
(Δt)exp(-jωΔt)dΔt
频率自相关
Ch~
(Δf)=1
2π∫+∞
-∞
Sh~
(τ)exp(-j2πτΔf)dτ
时延谱
Sh~
(τ)=∫+∞
-∞
Ch~
(Δf)exp(j2πτΔf)dΔf
标量空间自相关
Ch~
(Δr)=1
2π∫+∞
-∞
Sh~
(k)exp(jkΔr)dk
波数谱
Sh~
(k)=∫+∞
-∞
Ch~
(Δr)exp(-jkΔr)dΔr
向量空间自相关
Ch~
(Δr)=1
(2π)3∫+∞
-∞
Sh~
(k)exp(jk·Δr)dk
向量波数谱
Sh~
(k)=∫+∞
-∞
Ch~
(Δr)exp(-jk·Δr)dΔr4信道联合统计量
..3.
自相关函数和功率谱密度函数不仅用于刻画具有单一自变量的随机信道,它们对于刻
画具有多个自变量的随机信道也同样很有用。
1 26 5G 通信系统
3.4.1 联合自相关函数与频谱
为了协调随机信道各自变量之间的关系,最好先定义一个关于多普勒、时延和波数的联
合功率谱密度函数。时间、频率和空间的函数的随机信道存在如下的傅里叶变换对:
h~
(t,f,r).H~
(ω,τ,k) (3-76)
与单一自变量的分析类似,相关函数可以写成
CH ~
(ω1,ω2,τ1,τ2,k1,k2)=E{H~
(ω1,τ1,k1)H~
* (ω2,τ2,k2)} (3-77)
此外,若各频谱部分互不相关,可将式(3-77)写为
CH ~
(ω1,ω2,τ1,τ2,k1,k2)=4πSh ~
(ω2,τ2,k2)δ(ω1 -ω2)δ(τ1 -τ2)δ(k1 -k2)
(3-78)
式(3-78)描述的多自变量随机过程被称为广义平稳不相关散射(WSSUS)随机过程。
对包含多个自变量的WSSUS信道定义其自相关函数并应用维纳-辛钦定理。依照
式(3-78)中单一自变量的自相关函数的定义推广,得到
C h ~
(Δt,Δf,Δr)=E{h~
(t,f,r)h~
* (t+Δt,f +Δf,r+Δr)} (3-79)
对随机过程应用维纳-辛钦定理,可得到其自相关函数与功率谱密度函数的如下傅里
叶变换关系:
Ch ~
(Δt,Δf,Δr).Sh ~
(ω,τ,k) (3-80)
在例3-1中演示了对一个包含多个自变量的随机信道如何应用上述定义。
例3-1:随机信道自相关函数和功率谱密度函数求解
包含多个自变量的随机信道自相关函数和功率谱密度函数求解。假定一个广义平稳随
机信道的自相关函数具有如下形式:
Ch ~
(Δt,Δf,Δr)=
S0στcos(k0Δr)
1+j2πΔfστ
δ(Δt) (3-81)
试求其功率谱密度函数Sh ~
(ω,τ,k)的表达式。
解:通过对自相关函数进行傅里叶变换即可求解。
Sh ~
(ω,τ,k)=∫+∞
-∞∫+∞
-∞∫+∞
-∞
Ch ~
(Δt,Δf,Δr)exp[j(2πτΔf -ωΔt-kΔr)]dΔtdΔfdΔr
=S∫0 +∞
-∞
δ(Δt)exp(-jωΔt)dΔt∫+∞
-∞
στexp(j2πτΔf)
1+j2πΔfστ dΔf
∫+∞
-∞cos(k0Δr)exp(-jkΔr)dΔr
=
S0
2[δ(k -k0)+δ(k +k0)]exp -τ
στ
.
è .
.
.÷u(τ) (3-82)
一个随机过程关于某一自变量可能是广义平稳的,但是并不满足联合广义平稳这一条
件。为了更好地理解这一点,看下面以多普勒和时延为自变量的频谱联合相关函数的例子:
CH ~
(ω1,ω2,τ1,τ2)=2πSh ~
(ω2,τ2)δ(ω1 -ω2 +τ1 -τ2)δ(τ1 -τ2) (3-83)
从自相关函数得到的该谱函数的相关性就是其仅仅依赖于τ1-τ2 和ω1-ω2。然而交
叉项使得多普勒与时延具有相关性,这增加了对二阶统计量分析的复杂性。