第3 章数值计算
3.1 数值数据类型
计算机刚研发出来时,它们主要被视为数字处理器,也就是协助科学家完成科学计算
的工作,现在这仍然是一个重要的应用。正如你所见,涉及数学公式的问题很容易转化为
Python程序。在本章中,我们将仔细考查一些程序,这些程序的目的是执行数值计算。
计算机程序存储和操作的信息通常称为“数据”。不同类型的数据以不同的方式存储和操
作。比如下面这个计算零钱的程序:
#3_1 change.py
#A program to calculate the value of some change in dollars
def main():
print("Change Counter")
print()
print("请输入你的各种硬币个数.")
yuan = eval(input("有多少1 元的硬币: "))
fifty_cents = eval(input("有多少5 角的硬币: "))
twenty_cents = eval(input("有多少2 角的硬币: "))
ten_cents = eval(input("有多少1 角的硬币: "))
total =yuan * 1.0 + fifty_cents * .50 + twenty_cents * .20 + ten_cents * .10
print()
print("你拥有的硬币总额是", total)
main()
下面是输出示例:
Change Counter
请输入你的各种硬币个数.
有多少1 元的硬币: 5
有多少5 角的硬币: 3
有多少2 角的硬币: 4
第3 章 数值计算
有多少1 角的硬币: 6
你拥有的硬币总额是7.9
这个程序实际上操作两种不同的数字。用户输入的值(5,3,4,6)是整数,它们没有任
何小数部分。硬币的值(1.0,.50,.20,.10)是分数的十进制表示。在计算机内部,整数和具
有小数部分的数值的存储方式是不同的,从技术上讲,这是两种不同的“数据类型”。
对象的数据类型决定了它可以具有的值以及可以对它执行的操作。整数用int表
示,int型的值可以是正数和负数。具有小数部分的数字为浮点(float)型。当需要判断数
字是什么数据类型时,可以使用Python内置的type()函数,如下所示。
>>> type(5)
<class 'int'>
>>> type(5.0)
<class 'float'>
>>> a = 5
>>> type(a)
<class 'int'>
>>> a = 5.0
>>> type(a)
<class 'float'>
从上面可以看到两种数据类型:int型和float型。那为什么会有多种数据类型呢? 其
中的一个原因是程序风格,如int型表示的数据不能带有小数部分,比如不能说有3.8只小
动物等;另一个原因是各种数据类型的操作效率问题,如对int型的处理,计算机一般比较
快。当然,当今的处理器,CPU的浮点运算是高度优化的,可能与int型运算一样快。
int型和float型之间的另一个区别是,float型可以表示数学中的实数。我们会看
到,存储值的精度(或准确度)存在限制。由于float型不精确,而int型总是精确的,所以
一般的经验法则应该是:如果不需要小数值,就使用int型。
当然,Python除了支持int型和float型,还支持长整(long)型和复数(complex)型。
表3-1列出了一些数值类型的示例。
表3-1 一些数值类型的示例
int long float complex
10 519243964254752 0.0 3.14j
-10 -47218852996548 3.21 3j
0o56(八进制) 0o5734542234233251(八进制) 56.25 9.322e-32j
-0o56(八进制) -0o573454223433251(八进制) -32.54e100 3e+23j
0x10(十六进制) 0xDEFABCECBDAECBFBAE
-0x10(十六进制) -0x19323
35
Python 程序设计基础
>>> i = 10
>>> i
10
>>> a = 0o56
>>> a
46
>>> b = 0x10
>>> b
16
>>> c = 519243964254752 #十进制长整型
>>> c
519243964254752
>>> d = 0o56345422342345223251 #八进制长整型
>>> d
836738412174452393
>>> e = 0xDEFABCECBDAECBFBAE #十六进制长整型
>>> e
4113244760468049623982
>>> f = -32.54e100 #浮点数
>>> f
-3.254e+101
>>> g = 3e+23j #复数3e 为实部,23j 为虚部
>>> g
3e+23j
值的数据类型决定了可以进行什么样的操作。Python支持对数值的一般数学运算。
表3-2总结了这些操作。
表3-2 Python内置的数值操作
操 作 符操 作
+ 加
- 减
* 乘
/ 浮点除
操 作 符操 作
** 指数
abs() 绝对值
// 整数除
% 取余
看看如下的Python交互:
>>> 3 + 4
7>
>> 3.0 + 4.0
7.0
>>> 3 * 4
36
第3 章 数值计算
12
>>> 3.0 * 4.0
12.0
>>> 4**3
64
>>> 4.0**3
64.0
>>> 4.0**3.0
64.0
>>> abs(5)
5>
>> abs(-3.5)
3.5
在大多数情况下,程序员不必明确操作的是什么类型的数据。整数加法和浮点数加
法计算方法相同。但除法会有所不同,在Python3.0之后提供了两种不同的运算符,以
前常见的符号斜线(/)用于常规除法,双斜线(//)用于整型除法。通过代码来比较它们的
差异:
>>> 100 / 3
33.333333333333336
>>> 100 // 3
33
>>> 100.0 / 3.0
33.333333333333336
>>> 100.0 // 3.0
33.0
>>> 100.00 // 3.00
33.0
>>> 100 % 3
1>
>> 100.0 % 3.0
1.0
请注意,操作符“/”总是返回一个浮点数。即使操作数是int型,除法产生的结果也
是带小数的浮点数。这与C 系列语言和Java语言有所不同。你可能注意到了,在
Python中,100/3和100.0/3.0的结果最后都有一个6,这是因为浮点数总是近似值。
要获得返回整数结果的除法,可以使用整数除法运算“//”,因为整数除法总是产生一
个整数。可以把整数除法看作整除。表达式10//3得到3。虽然整数除法的结果总是一
个整数,但结果的数据类型却取决于操作数的数据类型。整数整除浮点数得到一个浮点
数,它的分数分量为0。
最后两行展示了余数运算%。请再次注意,结果的数据类型取决于操作数的类型。
37
Python 程序设计基础
求余数的操作采用“%”,可以把一个数用“//”和“%”表示出来,例如:
a=(a//b)(b)+(a%b)
3.2 类型转换和舍入
前面已经知道了同种数据类型数据的基本运算,但在某些情况下,可能会将两种不同
的数据类型进行计算,这时就要将一种数据类型转换成另一种数据类型进行运算。例如
一个整型数据与一个浮点型数据相加,此时Python会如何处理? 比如计算下面示例:
x = 5.0 + 2
如果两者都为整型或都为浮点型,此时结果很简单,分别为7和7.0。当遇到示例这
种情况时,我们首先想到的是将两者变为同一种数据类型,其中一种是将浮点型5.0变为
整型5,然后再与2相加;另一种是将整型2变为浮点型2.0,再与5.0相加。
通常情况下,将浮点型转换为整型会使计算结果不精确,从而导致发生严重的错误,
因为当浮点型小数点后不为0时,将浮点型转换为整型,小数部分就会被截去,从而导致
结果错误。而将整型转换为浮点型,只需要在整型后加上小数点即可,所以,在混合类型
表达式中,Python会自动将整型转换为浮点数,并执行浮点运算以产生浮点数结果,这种
转换,称为“隐式转换”。
当然,程序员也可以通过显式转换来指定数据的类型转换。Python提供了内置的转
换函数int()和float()。
>>> int(3.14)
3>
>> float(3)
3.0
>>> float(int(3.14))
3.0
>>> int(float(3))
3
如你所见,转换为整型就是丢弃浮点值的小数部分,该值将被截断,而不是舍入。对
数值进行四舍五入的通常方法是使用内置的round()函数,它可以将数值四舍五入到最
接近的整数值。
>>> round(3.14)
3>>> round(3.5)
4
38
第3 章 数值计算
请注意,像这样调用round()函数将会产生一个整型的值。因此,对round()的简单
调用是将浮点型转换为整型的另一种方法。
>>> pi = 3.141592653589793
>>> round(pi, 2)
3.14
>>> round(pi,3)
3.142
类型转换函数int()和float()还可以将数字字符串转换为数字类型:
>>> int("1234")
1234
>>> float("1234")
1234.0
>>> float("1234.5")
1234.5
通过上面的分析,完全可以利用这种方法替代eval()函数,获取用户的数字数据,这
特别有用,而且降低了“代码注入”攻击的风险。下面是零钱计数程序的一个改进版本:
#3_2 new_change.py
#A program to calculate the value of some change in dollars
def main():
print("Change Counter")
print()
print("请输入你的各种硬币个数")
yuan = int(input("有多少1 元的硬币: "))
fifty_cents = int(input("有多少5 角的硬币: "))
twenty_cents = int(input("有多少2 角的硬币: "))
ten_cents = int(input("有多少1 角的硬币: "))
total =yuan * 1.0 + fifty_cents * .50 + twenty_cents * .20 + ten_cents * .10
print()
print("你拥有的硬币总额是", total)
main()
注意:在input语句中使用的是int()函数而不是eval()函数,可以确保用户只能输
入有效的整数。任何非法(非整数)输入都会导致程序崩溃和错误消息,从而避免代码注
入攻击的风险。另外,还有一个好处是,这个版本的程序强调输入应该是整数。
使用数字类型转换代替eval()函数的唯一的缺点是,它不支持同时输入(即不能在单
个输入中获取多个值)。
39
Python 程序设计基础
>>> #simultaneous input using eval
>>> x,y = eval(input("Enter (x,y): "))
Enter (x,y): 3,4
>>> x
3>
>> y
4>
>> #does not work with float
>>> x,y = float(input("Enter (x,y): "))
Enter (x,y): 3,4
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: could not convert string to float: '3,4'
这样代价很小,但换来了额外的安全性。在第5章,你将学习如何克服这个限制。作
为一种良好的实践,在编写程序时,应该尽可能使用适当的类型转换函数去代替eval()
函数。
3.3 使用math库
Python标准库math提供了很多有用的数学函数,利用math库可以使用浮点值完
成复杂的数学运算,包括三角函数运算、对数运算等。库就是一个模块,包含了很多封装
好的函数表达式,可以极大地方便程序员解决问题,如利用math库来解决二次函数
问题。在
数学中学习过,一元二次方程的标准式为ax2+bx+c=0,求该方程的解,可以利
用一元二次方程求解公式来进行求解:
x=-b± b2-4ac
2a
这里可以利用math库来完成该方程的求解。首先要求用户输入方程中参数a、b、c
的值,最后通过程序处理输出方程的两个解。
#3_3 math.py
#A program to math
import math
def main():
print("求解一元二次方程")
print()
a = float(input("输入系数a: "))
b = float(input("输入系数b: "))
40
第3 章 数值计算
c = float(input("输入系数c: "))
discRoot = math.sqrt(b * b - 4 * a * c)
root1 = (-b + discRoot) / (2 * a)
root2 = (-b - discRoot) / (2 * a)
print()
print("方程的解为:", root1, root2 )
main()
该程序调用了math库中的sqrt()函数来求平方根。但这个程序仍然存在一个问
题,大家都知道求解一元二次方程时,只有在b2-4ac≥0时方程有实数解,否则方程无实
数解。所以当我们输入的系数使得b2-4ac<0时,会导致程序崩溃。如何解决这个问
题,大家可以思考一下。
熟练利用各种库,可以将复杂代码简单化,简化编写步骤,增强可读性。Python的标
准库math还提供了很多的函数,如表3-3所示。
表3-3 math库的一些函数
Python的函数数 学描 述
sqrt(x) x x的平方根
sin(x) sin(x) x的正弦值
cos(x) cos(x) x的余弦值
tan(x) tan(x) x的正切值
asin(x) arcsin(x) x的反正弦
acos(x) arccos(x) x的反余弦
atan(x) arctan(x) x的反正切
log(x) ln(x) x的自然对数
log10(x) lgx x的常用对数
exp(x) ex e的x次方
ceil(x) [x] 最小的大于或等于x的值
floor(x) [x] 最大的小于或等于x的值
3.4 累积结果:阶乘
在数学中,一个正整数的阶乘是所有小于或等于该数的正整数的积,且0的阶乘为
1,自然数的阶乘记为n!。
大家肯定遇到过这样的问题,6个人随便站队排列,求一共有多少种可能性? 这是一
41
Python 程序设计基础
个排列组合问题,可以很快地给出答案,一共有6! 种排列组合,更详细一点为6×5×4×
3×2×1=720种排列方式。
编写一个程序,让计算机来处理用户输入数字的阶乘。程序的基本结构遵循“输入、
处理、输出”模式:
※ ----伪代码----
※ 输入要计算阶乘的数,n
※ 计算n 的阶乘,fact
※ 输出fact
整个过程的难点在第二步求解n的阶乘。为了求解阶乘,先来看看阶乘n的表达式:
n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。从表达式可以看到,每次相乘的数都比前一个数
小1,且整个过程是一个重复相乘(即累乘)的过程,所以,可以使用循环结构来实现这个
过程。因此得到一般模式如下:
※ ----伪代码----
※ 初始化累加器变量
※ 循环直到得到最终结果
※ 更新累加器变量的值
前面已经学习了range()函数,range(n)产生一个数字序列,从0开始,增长到n,但
不包括n。range还有一些其他调用方式,可用于产生不同的序列。可以利用range()函
数的两个参数,即range(start,n),产生一个以值start开始的序列,增长到n,但不包括n。
range()函数还有3个参数的使用方法,如range(start,n,step),这个形式十分类似于双
参数,它的第3个参数step的作用是作为每个数字之间的增量,即前后两个数字的差值。
利用range()函数可以得到其中一种求解阶乘的方法,如下:
#3_4 factorial.py
#A program to factorial
def main():
n = int(input("请输入n:"))
fact = 1
for i in range(1,n+1):
fact = fact * i
print( n,"的阶乘为",fact)
main()
当然,求解阶乘还有很多别的方法,这只是其中的一种。有兴趣的话,读者可以自己
再设计几种实现阶乘求解的程序。
42
第3 章 数值计算
本章小结
本章介绍了数字的计算,主要是整型和浮点型数据的计算。对于数值类型的转换和
运用,要注意的是,Python一般会把整型转换为浮点型进行计算。内置的round()函数能
将数字四舍五入到最近的整数值。本章还举例说明了如何实现阶乘的运算。除此之外,
列举了一些math库的函数,方便进行一些数学运算。
知识扩展:运算符优先级
优先级和结合性是Python表达式中比较重要的两个概念,它们决定了先执行表达
式中的哪一部分。Python支持几十种运算符,被划分成将近二十个优先级,只有相同优
先级别的运算符才遵循从左到右计算,否则优先级高的运算符优先计算,运算符优先级如
表3-4所示。
表3-4 运算符优先级
Python运算符运算符说明优 先 级结 合 性
() 小括号19 无
x[i]或x[i1:i2[:i3]] 索引运算符18 左
x.attribute 属性访问17 左
** 乘方16 右
~ 按位取反15 右
+(正号)、-(负号) 符号运算符14 右
*、/、//、% 乘除13 左
+、- 加减12 左
> > 、< < 位移11 左
& 按位与10 右
^ 按位异或9 左
| 按位或8 左
==、!=、>、>=、<、<= 比较运算符7 左
is、isnot is运算符6 左
in、notin in运算符5 左
not 逻辑非4 右
and 逻辑与3 左
or 逻辑或2 左
exp1,exp2 逗号运算符1 左
43
课程思政:创造了国产软件的骄傲———求伯君
金山办公于2019年11月18日,正式在上交所科创板挂牌交易,股票简称“金山办
公”,市值超过600亿。其主打产品WPSOfice,大家不会陌生。正如金山集团董事长、
小米集团董事长兼CEO
雷军所说:“金山WPS是一家有梦想、有使命感的公司。31
年
坚持做一件事,并且越做越好!
”
回顾WPS的成长之路,不得不提一个人,他就是WPS创作者、金山软件创始人求伯
君。求伯君是金山软件股份有限公司创始人之一,有“中国第一程序员”之称。他是个名
副其实的学霸,高考以数学满分、县里第一的成绩考上了国防科技大学。
1.天赋与钻研劲并存
毕业后的一天,求伯君有个同学的打印机出问题了,请他过去帮忙。求伯君发现故障
原因是打印机驱动不兼容。他的钻研劲儿上来了,认真思考着:“我为什么不搞个通用
的打印机驱动呢?”于是他用了9个晚上,写了一个5万行汇编程序语言的支持多种打印
机的驱动程序,把打印机驱动的问题解决了。同学建议他去四通公司,四通公司的人看见
求伯君的打印驱动以后,马上提出要买下这个程序的全部版权。后来,求伯君就留在了四
通公司。同样的情况再次出现了,四通公司的合作伙伴金山公司的老板张旋龙,有一批机
器的输入输出系统出现了问题,计算机无法启动。他手下团队里的那些专业人士都对这
个问题一筹莫展,四通公司就派了求伯君去试试看,求伯君只花了一晚上就把问题给解
决了。
2.办公软件WPS1.
0横空出世
到了金山以后,求伯君打算做一件大事,他觉得当时市面上主流的汉字处理系统
WordStar不好用,想写一个更好的出来。于是,求伯君对着一台386计算机开始埋头苦
写代码,只要醒着,就不停地写;困得看不清计算机屏幕了,才躺下来眯一会儿。有时忙得
两三天才记起来吃一顿饭。就这样敲了一年零四个月的代码后,求伯君愣是一个人敲完
了122000行代码,WPS1.
0横空出世
!
WPS的诞生具有跨时代的意义,它极大地提升了中文办公的效率。短短的时间内就
成了中国计算机的标配,占据了90%的中国市场。求伯君也因此名扬四海,25岁的求伯
君被人们称为“中国第一程序员”。
3.金山陷入危机
1996年,微软公司希望金山公司将WPS格式与微软公司共享,使两者可以兼容。当
时WPS只有DOS系统版本,微软公司得到兼容格式后,快速将WPS
的老用户转移到
Windows平台,抢占了中国的市场份额,整个金山公司岌岌可危,求伯君于是准备用3年
时间重写WPS
。因为亏损,没有资金,求伯君二话没说就把自己的房子卖了。在市场上
Python
程序设计基础
沉默了几年之后,金山公司推出了WPS97,凭借以往的用户基础,两个月内就售出了
13000多套。
4.中国第一代程序员心中国产软件的骄傲
在求伯君的身上集结着很多的第一:1988年成功开发国内第一套文字处理软件
WPS1.0;1995年推出中国第一个游戏软件《中关村启示录》等。值得一提的是,面对微软
公司的Ofice在国内一统江湖的竞争局面,WPS2005实现了与Ofice在内容和格式上
的“深度兼容”,满足了用户在使用习惯上的要求,而整个软件采用开发式架构,更有利于
对未来各种格式的升级。多年来肩扛民族软件大旗的金山公司宣称,WPS2005的发布
意味着Ofice和WPS之战,将由战略相持阶段转向WPS全面反攻阶段。2011年11月
18日,求伯君宣布退休。现如今,他已经不再插手繁杂的事务。但是,WPS始终是求伯
君年少时梦想的化身,始终是中国第一代程序员心中国产软件的骄傲。
也许从世俗的名利上来讲,求伯君没有比尔·盖茨改变世界的野心,没有登上福布
斯,没有上名人榜。这些我们以为的成功,他似乎从来都没有在乎过。求伯君被称为“中
国第一程序员”,不是因为他熬得了写程序的苦,也不是因为他写代码的能力强大到无人
可及,更多的是他在那个中国处处被国外卡脖子的年代,让我们自己的软件,一直站着,没
有跪下!
第
3
章数值计算
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