第5章多元函数微分

专题24多元可微的判别


 
 “可微判别”是许多考生的软肋，做了很多题，可依然迈不过这道坎。因为此考点不仅理解上难，计算上也难，可谓是难上加难。但也正因如此，本考点也是高区分度的考点，高等数学不可多得的精妙之处。小白不可恋战，可只做第(1)问。















30. 设f(x,y)在(0,0)处连续，且limx→0
y→0f(x,y)－1sink(x2+y2)=1，

(1) 当k=1时，下列选项正确的是()。

(A) f(x,y)在(0,0)处不可偏导

(B) f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微

(C) f′x(0,0)=f′y(0,0)=1且f(x,y)在(0,0)处可微分

(D) f′x(0,0)=f′y(0,0)=0且f(x,y)在(0,0)处可微分

(2) 若函数f(x,y)在(0,0)处可微分，求常数k的取值范围。


专题25多元函数求偏导





多元函数求偏导，这本是一类老掉牙的考题。但命题人对考生的“爱就像蓝天白云，晴空万里，突然暴风雨，无处躲避，总是让人始料不及”。













31. 设函数fx,y=∫xy0ext2dt，则

(1) 2fxy(1,1)=。

(2) 求极限limy→+∞f－1,y。

























32. 设函数u=f(x,y,z)，g［sinx,ln(1+y),z］=0，x=ey，其中f和g都具有一阶连续偏导数，且gz≠0，求dudy。






专题26多元函数极值





多元函数极值理解上无深渊，但计算上有波澜，属于最难算的专题之一。
普通极值与条件极值花开两朵，各领风骚数百天。本专题汇总核心考法，计算量巨大。来来来，择日不如撞日，既然做到这里了，现在就开始狂练计算吧！












33. 设z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值。

























34. 求解下列极值问题：

(1) 求直线4x+3y=16与椭圆18x2+5y2=45之间的最短距离。

(2) 将长为2米的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？











35. 若函数∫π－π(x－a1cosx－b1sinx)2dx=mina,b∈R∫π－π(x－acosx－bsinx)2dx，则a1cosx+b1sinx的值为()。

(A) 2sinx(B) 2cosx(C) 2πsinx(D) 2πcosx
















36. 已知fx,y在点0,0的某邻域内连续，且limx→0
y→0fx,y－gx,y1－cosx2+y2=1，

(1) 若g(x,y)=xy2，点0,0是否为fx,y的极值点？

(2) 若g(x,y)=axy，点0,0是否为fx,y的极值点？






















37. 已知函数z=fx,y的全微分dz=2xdx－2ydy，并且f1,1=2，求fx,y在椭圆域D=(x,y)x2+y24≤1上的最大值和最小值。


专题27偏导数反求原函数



由偏导数反求原函数属逆向操作。在过去，这种考法是一座难以翻越的大山。到而今，拉远镜头，此考法只是考题“浩瀚群峰中的一角”。喜爱登山的朋友可在此一展身手。
难度不大，小白可完成，积分很友好，印刷也很清晰，只稍加注意常数即可。等等。这可能只是个开始。















38. 函数f(x,y)满足2fyx=0,f′y(x,x)=2x+2,f(y,y)=y+12－(2－y)lny，

(1) 求f(x,y)。

(2) 求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=－1旋转所成旋转体的体积。













专题28偏导数方程






与天斗，其乐无穷； 与偏导数方程斗，其乐无穷。求二阶偏导本身就具有很大的计算量，若再与变量替换、化为微分方程等综合，强大的计算量足以让同学们乐此不疲，“打着喷嚏、发烧都不休息”。












39. 设二元函数z=z(x,y)有二阶连续的偏导数，

(1) 若变换u=x-2y

v=x+ay可把方程62zx2+2zxy-2zy2=0化简为2zuv=0,求常数a。

(2) 若z=f(excosy)满足2zx2+2zy2=(4z+excosy)e2x，且f(0)=0,f′(0)=0，求f(u)的表达式。








专题29偏导数应用(仅数学一)




本专题属于最易遗忘的考点之一，但最近几年频繁出现，尤其是旋度这类练习较少的考点，2016年、2018年均有其身影。考生应加强防范。














40. 设向量场A=xy2i+yezj+xln1+z2k，求

(1) 向量场A在点P1,1,0处的散度divA与旋度rotA。

(2) 函数f(x,y,z)=x2+2y2+z2在点P(1,1,0)沿该点处A方向的方向导数。



















41.  由曲线x2－3y2=4

z=0绕x轴旋转一周得到的旋转面为Σ1，绕y
轴旋转一周得到的旋转面为Σ2，求

(1) 曲面Σ2在点(4,2,0)处的切平面方程。

(2) 曲面Σ1与平面x=3,x=4三者围成立体的体积。