第5章〓多元函数微分 专题28退化的多元 二元函数本有两个变量，但当第二个变量也成了第一个变量的函数，则此时的二元函数退化成为一元函数，但又兼具二元函数的复合结构。命题人可就此命制区分度极高的试题。 知识清单 1. 退化的多元： 含f(x,u(x))=v(x)的试题中出现导数，对方程左右两边同时求x的导数。 2. 一阶线性微分方程dydx+P(x)y=Q(x)的通解是y=e-∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C。 注意： (1) 难点在于将方程化为上述标准式，提炼出P(x),Q(x)。 (2) 有时将方程化为dxdy+P(y)x=Q(y)，此时通解为x=e-∫P(y)dy∫Q(y)e∫P(y)dydy+C。 经典例题 设函数f(x,y)具有连续的偏导数。 (1) 若f(x+1,ex)=x(x+1)2，f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=()。 A. dx B. dy C. dx-dy D. dx+dy (2) 若f′x(x,y)+f′y(x,y)=xy，设y(x)=e-2xf(x,x)，求y(x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。 解 (1) B。 将题意中两个方程左右两边分别对x求导得【笔记】解法： 退化的多元，左右两边对x求导 f′1(x+1,ex)·1+f′2(x+1,ex)·ex=(x+1)2+2x(x+1) ① f′1(x,x2)+2xf′2(x,x2)=2(2xlnx+x) ② 令①中x=0，②中x=1得f′1(1,1)+f′2(1,1)=1f′1(1,1)+2f′2(1,1)=2 解得f′1(1,1)=0f′2(1,1)=1，所以df(1,1)=f′1(1,1)dx+f′2(1,1)dy=dy。 (2) 由y(x)=e-2xf(x,x)，两边对x求导有 【笔记】解法： 退化的多元，左右两边对x求导 y′=-2e-2xf(x,x)+e-2xf′1(x,x)+e-2xf′2(x,x)·1【笔记】别漏了f′2(x,x)·1 =-2e-2xf(x,x)+e-2x(f′1(x,x)+f′2(x,x))=-2y+e-2x(f′1(x,x)+f′2(x,x)) 已知f′x(x,y)+f′y(x,y)=xy，则f′1(x,x)+f′2(x,x)=x2。 因此，y(x)满足下述一阶微分方程为y′+2y=x2e-2x。 一阶线性微分方程dydx+P(x)y=Q(x)通解公式： f(x)=e-∫P(x)dxC+∫Q(x)e∫P(x)dxdx 这里P(x)=2，Q(x)=x2e-2x，代入上式得 y=e-∫2dx∫x2e-2xe∫2dxdx+C=e-2x∫x2e-2xe2xdx+C =e-2x∫x2dx+C=e-2xx33+C(C为任意常数) 解题心得 专题29连续、偏导、可微基本概念 “可微判别”是许多同学的软肋，做了很多题，依然迈不过这道坎。因为此考点不仅理解上难，计算上也难，可谓是难上加难。但也正因如此，本考点也是高区分度的考点，高等数学不可多得的精妙处。小白不可恋战，可只做经典例题56第（1）问。 知识清单 1. 定义法求偏导数： limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx； limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy。 2. 可微判别式： limρ→0Δz-dzρ=0,其中，dz=f′xΔx+f′yΔy。 经典例题 设f(x,y)在(0,0)处连续，且limx→0y→0f(x,y)-1sink(x2+y2)=1。 (1) 当k=1时，下列哪个选项正确？() A. f(x,y)在(0,0)处不可偏导 B. f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微 C. f′x(0,0)=f′y(0,0)=1且f(x,y)在(0,0)处可微分 D. f′x(0,0)=f′y(0,0)=0且f(x,y)在(0,0)处可微分 (2) 若函数f(x,y)在(0,0)处可微分，求k的取值范围。 解(1) D。 【方法1】k=1时，由limx→0y→0f(x,y)-1sin(x2+y2)=1，得f(0,0)=1。 【笔记】分母趋近0，则分子也趋近0，加上f(x,y)连续，则有f(0,0)-1=0 因为sin(x2+y2)~(x2+y2)，所以limx→0y→0f(x,y)-f(0,0)x2+y2=1。 从而f(x,y)-f(0,0)x2+y2=1+o(1)，其中，o(1)为当(x,y)→(0,0)时1的高阶无穷小。 于是Δf=f(x,y)-f(0,0)=0×x+0×y+o(x2+y2)。 由可微定义可知f(x,y)在(0,0)处可微，且f′x(0,0)=f′y(0,0)=0，选D。 【笔记】函数f(x,y)在(x0,y0)处可微的充要条件： Δf=A·Δx+B·Δy+o((Δx)2+(Δy)2)或limΔx→0Δy→0Δf-(A·Δx+B·Δy)(Δx)2+(Δy)2=0 【方法2】当k=1时，取f(x,y)=1+x2+y2。 df(x,y)=2xdx+2ydyf′x(0,0)=f′y(0,0)=0 易知f(x,y)=1+x2+y2偏导数连续，所以在(0,0)处可微。 与选项对比，可快速得出正确答案为D。 (2) k>12。 limx→0y→0f(x,y)-1sink(x2+y2)= limx→0y→0f(x,y)-1(x2+y2)2k= limx→0y→0f(x,y)-1x2+y2·1ρ2k-1= limx→0y→0f(x,y)-1x2+y2·ρ1-2k = limρ→0Δz-dzρ·ρ1-2k=1 当ρ→0时，ρ1-2k 为无穷大，必有limρ→0Δz-dzρ=0,【笔记】 ∞·Δ=1，则Δ必为无穷小 此时1-2k<0k>12。 解题心得 专题30多元函数求偏导 多元函数求偏导，这本是一类“老掉牙”的考题。但命题人对考生的爱就像蓝天白云，晴空万里，突然暴风雨，无处躲避，总是让人始料不及。本专题总结了偏导试题的高光时刻，并加入了一类“始料不及”的考法。请考生体会。 知识清单 1. 变限积分求导公式： ∫φ(x)(x)f(t)dt′ x=f［φ(x)］φ′(x)-f［(x)］·′(x)。 2. 变限函数化为纯t公式。 (1)∫x0f(x-t)dt=∫x0f(u)du。 (2)∫x0(x-t)f(t)dt=x∫x0f(t)dt-∫x0tf(t)dt。 (3)∫10f(xt)dt=∫x0f(u)dux（x≠0）。 3. 伽马函数计算积分∫+∞0xse-xdx=s!(其中,s为正整数)。例如： ∫+∞0x2e-xdx=2!=2×1=2。 4. 偏导与次序无关： 若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数2zxy和2zyx在点(x0,y0)都连续，则在点(x0,y0)处有2zxy=2zyx。 5. 隐函数求导法。 (1) 方程左右两边同取全微分。 (2) 利用隐函数存在定理： F(x,y,z)=0,则zx=-F′x(x,y,z)F′z(x,y,z),zy=-F′y(x,y,z)F′z(x,y,z)。 (3) 两边对某变量求导，同级变量为常数。 6. 链式法则： 设z=f(u,v),u=φ(x,y),v=(x,y),则zx=zu·ux+zv·vxzy=zu·uy+zv·vy。 经典例题 设函数f(x,y)=∫xy0ext2dt。 (1) 2fxy(1,1)=。 (2) 求极限limy→+∞f(-1,y)。 解(1) fy=ex(xy)2·x=xex3y2， 2fxy=fyx=ex3y+3x3y2ex3y2，【笔记】基本初等函数混合偏导与次序无关： f″xy=f″yx 2fxy(1,1)=e+3e=4e。 【笔记】∫xy0ext2dt≠ex·∫xy0et2dt； 本题无法先对x求偏导，所以考虑交换求导次序 (2) limy→+∞f(-1,y)=limy→+∞∫-y0e-t2dt=-∫+∞0e-t2dt。 令I=∫+∞0e-t2dt=limR→+∞∫R0e-t2dt。 【方法1】利用二重积分求解。 I2=limR→+∞∫R0e-x2dx·∫R0e-y2dy=limR→+∞0≤x≤R0≤y≤Re-(x2+y2)dxdy 利用极坐标可得 ∫π20dθ∫R0e-r2rdr≤0≤x≤R0≤y≤Re-(x2+y2)dxdy≤∫π20dθ∫2R0e-r2rdr limR→+∞∫π20dθ∫2R0e-r2rdr=limR→+∞∫π20dθ∫R0e-r2rdr=π4 由夹逼准则可知I2=π4I=π2。 所以，limy→+∞f(-1,y)=-π2。 【方法2】利用伽马函数求解。 -∫+∞0e-t2dt=-12∫+∞0u-12e-udu=-12·Γ12=-12·π=-π2 设函数u=f(x,y,z)，g［sinx,ln(1+y),z］=0，x=ey，其中,f,g都具有一阶连续偏导数，且gz≠0，求dudy。 解 【方法1】dudy=f′2+f′1dxdy+f′3zxdxdy+f′3zy zx=-F′xF′z=-g′1cosxg′z； zy=-F′yF′z=-g′2(1+y)g′z【笔记】将zx,zy代入dudy dudy=f′2+f′1ey+f′3-g′1cosx·eyg′z+f′3-g′2(1+y)g′z 【方法2】全微分法。 由u=f(x,y,z)，g［sinx,ln(1+y),z］=0，x=ey分别可得【笔记】对所有的函数关系取全微分 du=f′1dx+f′2dy+f′3dz(1) cosx·g′1dx+11+y·g′2dy+ g′zdz=0(2) dx=eydy(3) 联合(1)(2)(3)可得dudy=f′2+f′1ey+f′3-g′1cosx·eyg′z+f′3-g′2(1+y)g′z。 解题心得 专题31多元极值 多元函数极值理解上无深渊，但计算上有波澜，处于计算量极大之列。 普通极值与条件极值花开两朵，各领风骚数百天。从多元隐函数极值，到条件极值应用，再到多元极值与极限结合，本专题汇总核心考法，且计算量巨大。择日不如撞日，既然做到这里了，不如现在就开始狂练计算！ 知识清单 1. 普通极值求解。 (1) 先求驻点： f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0。 (2) 再判断是否为极值点。 令f″xx(x0,y0)=A,f″xy(x0,y0)=B,f″yy(x0,y0)=C，则 (1) AC-B2>0时，f(x,y)在点(x0,y0)取极值，且当A>0时取极小值 当A<0时取极大值。 (2) AC-B2<0时，f(x,y)在点(x0,y0)无极值。 (3) AC-B2=0时，不能确定f(x,y)在点(x0,y0)是否有极值，还需进一步讨论(一般用极值定义)。 2. 条件极值求解。 先构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，然后解方程组 Fx=fx+λφx=0 Fy=fy+λφy=0 Fλ=φ(x,y)=0 所有满足此方程组的解(x,y,λ)中(x,y)是函数f(x,y)在条件φ(x,y)=0下可能的极值点。 3. 闭区域上的最值： 边界上用条件极值，区域内用普通极值。 4. 点(x，y，z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式： d=Ax+By+Cz+DA2+B2+C2。 5. 三角函数降幂公式： sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2。 6. 极值定义。 (1) 一元极值定义： 在x0的去心邻域内 f(x)>f(x0)(或f(x)f(x0,y0)(或f(x,y)0(或A<0),则存在一个δ>0, 当x∈(x0-δ,x0+δ),且x≠x0时，f(x)>0(或f(x)<0)。 8. 局部函数法： 若存在极限limx→0f(x)xn=A，则x→0时，有f(x)=Axn+o(xn)。 经典例题 已知函数z=z(x,y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x,y)的极值。 解 （1） 先求驻点。 方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0两边对x求导，得 2xz+(x2+y2)zx+zxz+2=0① 令zx=0，则xz+1=0。 方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0两边对y求导，得 2yz+(x2+y2)zy+zyz+2=0② 令zy=0，则yz+1=0。 由xz+1=0yz+1=0,得x=yz=-1x，【笔记】联立zx=0zy=0，得驻点的坐标 代入原方程知x=y=-1z=1，令P0(-1,-1)。【笔记】别漏掉题干中的方程，需解出所有驻点的坐标 （2） 再判断驻点是否为极值点。 方程①两边再对x求导，得2z+2xzx+2xzx+(x2+y2)2zx2+1z2zx2+1z′zx=0。 把x=y=-1z=1代入，得2zx2P0=-23=A。 方程①两边再对y求导，得2xzy+2yzx+(x2+y2)2zxy+1z′zx+1z2zxy=0。 把x=y=-1z=1代入，得2zxy=0=B。 方程②两边再对y求导，得2z+2yzy+2yzy+(x2+y2)2zy2+1z2zy2+1z′zy=0。 把x=y=-1z=1代入，得2zy2=-23=C。 则AC-B2=49>0，且A<0，故P0是极大值点，且极大值z(P0)=1。 求解下列极值问题。 (1) 求直线4x+3y=16与椭圆18x2+5y2=45之间的最短距离。 (2) 将长为2的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，求三个图形面积之和的最小值。 解(1) 设椭圆上的点为(x,y)，则点(x,y)到直线4x+3y=16的距离为 d=|4x+3y-16|5 用距离与椭圆(约束条件)18x2+5y2=45构造拉格朗日函数： F(x,y)=(4x+3y-16)225+λ(18x2+5y2-45) 【笔记】正值函数d与d2具有相同的极值点，d2更方便求偏导，故采用d2 Fx=2(4x+3y-16)25×4+36λx=0 Fy=2(4x+3y-16)25×3+10λy=0 Fλ=18x2+5y2-45=0 解得 x1=1011 y1=2711 ， x2=-1011 y2=-2711 将上式代入d=|4x+3y-16|5，可得d1=1,d2=275。即最短距离为1，最长距离为275。 (2) 设圆的半径为x，正方形的边长为y，正三角形的边长为z。 由题可知： 2πx+4y+3z=2【笔记】约束条件 其面积和S(x,y,z)=πx2+y2+34z2【笔记】极值函数 即是求S(x,y,z)=πx2+y2+34z2在约束条件2πx+4y+3z=2下的最小值是否存在。 设拉格朗日函数L(x,y,z,λ)=πx2+y2+34z2+λ(2πx+4y+3z-2)， 求偏导得L′x=2πx+2πλ=0L′y=2y+4λ=0L′z=32z+3λ=0L′λ=2πx+4y+3z-2=0 解得x=1π+4+33y=2π+4+33z=23π+4+33(唯一驻点)【笔记】只能解驻点，无法判断 由实际问题可知，最小值一定存在，在1π+4+33,2π+4+33,23π+4+33取得，且最小值为1π+4+33。 若积分∫π-π(x-a1cosx-b1sinx)2dx=mina,b∈R∫π-π(x-acosx-bsinx)2dx。 (1) 则a1cosx+b1sinx=()。 A. 2sinx B. 2cosxC. 2πsinx D. 2πcosx (2) 积分∫π-π(x-acosx-bsinx)2dx在区域a2+b2≤1上的最小值为()。 A. 23π3-5π B. 23π3-4πC. 23π3-3π D. 23π3+5π 解 (1) A。 ∫π-π(x-acosx-bsinx)2dx =∫π-π(x2+a2cos2x+b2sin2x-2axcosx-2bxsinx+2abcosxsinx)dx =∫π-π(x2+a2cos2x+b2sin2x-2bxsinx)dx【笔记】奇偶性简化： ∫π-πxcosxdx=∫π-πcosxsinxdx=0 其中： ∫π-πx2dx=23π3， ∫π-πcos2xdx=∫π-πsin2xdx=π【笔记】cos2x=1+cos2x2,sin2x=1-cos2x2 ∫π-πxsinxdx=2π【笔记】∫π-πxsinxdx=2∫π0xsinxdx=2·π2∫π0sinxdx=2π 所以∫π-π(x-acosx-bsinx)2dx=23π3+π(a2+b2)-4πb。 相当于求二元函数z=a2+b2-4b的最小值点，显然a2+b2-4b=a2+(b-2)2-4， 可知当a=0,b=2时取得最小值，得2sinx,故选A。 (2) C。 设函数f(a,b)=∫π-π(x-acosx-bsinx)2dx， 由(1)可知f(a,b)=23π3+π(a2+b2)-4πb。 若驻点在区域内，由 fa=2πa=0fb=2πb-4π=0a=0b=2 容易验证，点(0,2)不在区域a2+b2≤1内部，【笔记】别漏掉此处的验证！ 故最小值一定在边界上取到。【笔记】连续函数在闭区域内必有最值(包括最大和最小) 23π3+π(a2+b2)-4πb=23π3+π-4πb，其中，b∈［-1,1］， 所以23π3+π-4πb≥23π3-3π，故选C。 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。 解【方法1】作拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-4)。 令 F′x=2x+2λx+μ=0 F′y=2y+2λy+μ=0 F′z=2z-λ+μ=0 F′λ=x2+y2-z=0 F′μ=x+y+z-4=0， 解方程组得(x1,y1,z1)=(1,1,2),(x2,y2,z2)=(-2,-2,8)， 故所求的最大值为72，最小值为6。 【方法2】问题等价于求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在x+y+x2+y2=4条件下的最值。 设F(x,y,λ)=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ(x+y+x2+y2-4)， 令F′x=4x3+4xy2+2x+λ(1+2x)=0 F′y=4y3+4x2y+2y+λ(1+2y)=0 F′λ=x+y+x2+y2-4=0， 解得(x1,y1)=(1,1),(x2,y2)=(-2,-2)，代入z=x2+y2，得z1=2,z2=8。 故所求的最大值为72，最小值为6。 设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数，且φ′y(x,y)≠0。已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）。 A. 若f′x(x0,y0)=0，则f′y(x0,y0)=0B. 若f′x(x0,y0)=0，则f′y(x0,y0)≠0 C. 若f′x(x0,y0)≠0，则f′y(x0,y0)=0D. 若f′x(x0,y0)≠0，则f′y(x0,y0)≠0 解 D。 作拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，并记对应x0,y0的参数λ的值为λ0，则F′x(x0,y0,λ0)=0F′y(x0,y0,λ0)=0，即f′x(x0,y0)+λ0φ′x(x0,y0)=0f′y(x0,y0)+λ0φ′y(x0,y0)=0。 消去λ0，得f′x(x0,y0)φ′y(x0,y0)-f′y(x0,y0)φ′x(x0,y0)=0, 整理得f′x(x0,y0)=1φ′y(x0,y0)f′y(x0,y0)φ′x(x0,y0)（因为φ′y(x,y)≠0）。 若f′x(x0,y0)≠0，则f′y(x0,y0)≠0，故选D。 解题心得 专题32偏导反求原函数 由偏导反求原函数属逆向操作。在过去，这种考法是一座难以翻越的大山。到如今，拉远镜头，此考法只是命题人浩瀚群峰中的一角。难度不大，小白可完成，积分很友好，印刷也很清晰，只稍加注意常数即可。但这可能只是第一问。 知识清单 1. 由二阶偏导求一阶偏导： f′x(x,y)=∫f″xxdx+c(y)或f′x(x,y)=∫f″xydy+c(x)。 2. 由一阶偏导求多元原函数： f(x,y)=∫f′xdx+c(y)。 3. 定积分求旋转体体积。体积微元： dV=πr2·dx(圆盘),dV=2πr·y·dx(柱壳)。 经典例题 已知函数f(x,y)满足2fyx=0,f′y(x,x)=2x+2,f(y,y)=(y+1)2-(2-y)lny。 (1) 求f(x,y)。 (2) 求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积。 解(1) 2fyx=0左右两边同时对x积分，则 fy=c1(y)【笔记】非常重要，此处是对x积分，故广义常数不含x，但需含y 令y=x，则f′y(x,x)=c1(x)【笔记】利用题干中的初始值确定c1(y) 又因为f′y(x,x)=2x+2，所以2x+2=c1(x)c1(y)=2y+2。 故fy=2y+2。 等式fy=2y+2左右两边同时对y积分，则 f(x,y)=(y+1)2+c2(x)【笔记】非常重要，此处是对y积分，故广义常数不含y，但需含x 令x=y，则有f(y,y)=(y+1)2+c2(y)【笔记】利用题干中的初始值确定c2(x) 又因为f(y,y)=(y+1)2-(2-y)lny，所以c2(y)=-(2-y)lny， 即c2(x)=-(2-x)lnx，所以f(x,y)=(y+1)2-(2-x)lnx。 (2) f(x,y)=0(y+1)2-(2-x)lnx=0 即(y+1)2=(2-x)lnx。 易知f(x,y)=0所确定函数的定义域为［1,2］，【笔记】定义域由(2-x)lnx≥0,x>0 解出 且曲线f(x,y)=0关于y=-1对称。【笔记】给定一个x，可求解出两个y值(两个值关于y=-1对称) V=∫21πr2dx=∫21π(1+y)2dx【笔记】圆盘法的体积微元dV=πr2dx，此处r=y-(-1)=y+1 =∫21π(2-x)lnxdx=π2ln2-54 解题心得 专题33偏导数方程 与天斗，其乐无穷，与偏导数方程斗，其乐无穷。求二阶偏导本身就具有很大的计算量，若再与变量替换、化为微分方程等综合。强大的计算量足以让同学们乐此不疲，打着喷嚏，发烧都不休息。本专题总结了偏导数方程的两类核心考法。 知识清单 1. 齐次通解。 (1) 当λ1,λ2为相异的特征根时，通解为y(x)=C1eλ1x+C2eλ2x。 (2) 当λ1=λ2时，通解为y(x)=(C1+C2x)eλ1x。 (3) 当λ=α±iβ(复根)时，通解为y(x)=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。 2. 非齐次特解。 非齐次方程y″+Py′+Qy=f(x)的特解y*求解过程如下。 (1) 变形： 将f(x)中的多项式广义化，指数项不变，三角项补全，得到式①。 (2) 同根： 若f(x)中指数或三角函数对应的根为λ2+Pλ+Q=0的k重根，则y*=xk·①。 注意： y″+Py′+Qy=f1(x)+f2(x)的特解y*=y*1+y*2。 其中，y1为y″+Py′+Qy=f1(x)的特解； y2为y″+Py′+Qy=f2(x)的特解。 3. 非齐次通解的结构。 非齐次的通解=齐次通解+非齐次特解。 4. 若z=f［u(x,y),v(x,y)］，则f′x,f′y,f″xx,f″xy,f″yy与f具有相同的复合关系。 5. 若z=f(g(x,y))，即z=f(u),u=g(x,y)，则关于z偏导数方程可化为常微分方程。 经典例题 设二元函数z=z(x,y)有二阶连续的偏导数。 (1) 若变换 u=x-2y v=x+ay 可把方程62zx2+2zxy-2zy2=0化简为2zuv=0,求常数a。 (2) 若z=f(excosy)满足2zx2+2zy2=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0,f′(0)=0，求f(u)的表达式。 解(1) 由多元复合函数求导法则得 zx=zuux+zvvx=zu+zv zy=zuuy+zvvy=-2zu+azv 所以2zx2=xzu+xzv=2zu2·ux+2zuv·vx+2zv2·vx+2zvu·ux =zu2+22zuv+2zv2 2zxy=yzu+yzv=2zu2·uy+2zuv·vy+2zv2·vy+2zvu·uy =-2zu2+(a-2)2zuv+a2zv2 2zy2=-2yzu+ayzv =22zu2·uy+2zuv·vy+a2zv2·vy+2zvu·uy =42zu2-4a2zuv+a22zv2 代入62zx2+2zxy-2zy2=0,并整理得 62zx2+2zxy-2zy2=(10+5a)2zuv+(6+a-a2)2zv2=0 于是,令6+a-a2=0得a=3或a=-2。【笔记】此时方程已化简为(10+5a)2zuv=0 a=-2时,10+5a=0,故舍去； 【笔记】此时2zuv≠0也可使(10+5a)2zuv=0 a=3时,10+5a≠0,此时必有2zuv=0； 因此仅当a=3时化简为2zuv=0。 (2) 由z=f(excosy)知【笔记】f(u)为一元函数，偏微分方程必可化为常微分方程 zx=f′(excosy)·excosy，zy=f′(excosy)·(-exsiny) 2zx2=f″(excosy)·excosy·excosy+f′(excosy)·excosy 2zy2=f″(excosy)·(-exsiny)·(-exsiny)+f′(excosy)·(-excosy) 由2zx2+2zy2=(4z+excosy)e2x，代入得 f″(excosy)·e2x=［4f(excosy)+excosy］e2x 即f″(excosy)-4f(excosy)=excosy。 令u=excosy，则f″(u)-4f(u)=u， 特征方程r2-4=0r1=2,r2=-2， 齐次方程通解为y=C1e2u+C2e-2u。 设特解f*=au+b，代入方程f″(u)-4f(u)=u得 a=-14,b=0，所以特解为f*=-14u。 原方程的通解为f=C1e2u+C2e-2u-14u。 由f(0)=0,f′(0)=0，得C1=116,C2=-116， 所以f(u)=116e2u-116e-2u-14u。 解题心得 专题34偏导应用(仅数学一) 本专题属于最易遗忘的考点之一，但最近几年频繁出现，尤其是旋度这类练习较少的考点，具有很大的区分度，2016年、2018年均有其身影。考生们应加强防范。此外，本专题还融入了曲线旋转后的曲面，集旋度、散度、方向导数、旋转曲面方程、切平面方程、旋转体体积于一身。 知识清单 1. 梯度。 梯度为向量： gradf(x,y,z)=(f′x,f′y,f′z)。 2. 方向导数。 f(x0,y0,z0)l=f(x0,y0,z0)xcosα+f(x0,y0,z0)ycosβ+f(x0,y0,z0)zcosγ 口诀： 方向导数=梯度乘以单位方向向量。 方向导数最大值为|gradf(x0,y0,z0)|，最小值为-|gradf(x0,y0,z0)|。 3. 切向量与法向量。 曲线x=x(t)y=y(t)z=z(t)的切向量为(x′(t),y′(t),z′(t))。 曲面f(x,y,z)=0的法向量为(f′x,f′y,f′z)。 4. 散度与旋度。 设有矢量场A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。 (1) 散度公式： divA=Px+Qy+Rz。 (2) 旋度公式： rotA=ijk xyzPQR。 5. 旋转曲面方程。 (1) 曲线f(x,z)=0绕z轴所得曲面方程为f(±x2+y2,z)=0。 (2) 曲线f(y,z)=0绕z轴所得曲面方程为f(±x2+y2,z)=0。 6. 定积分求旋转体体积。 体积微元： dV=πr2·dx(圆盘),dV=2πr·y·dx(柱壳)。 经典例题 设向量场A=xy2i+yezj+xln(1+z2)k。 (1) 求向量场A在点P(1,1,0)处的散度divA与旋度rotA。 (2) 求函数f(x,y,z)=x2+2y2+z2在点P(1,1,0)沿该点处A方向的方向导数。 解 (1) 直接用散度公式divAP=x(xy2)+y(yez)+z(xln(1+z2))P =y2+ez+x·2z1+z2(1,1,0)=12+e0+1·2×01+02=1+1=2 直接用旋度公式rotAP= ijkxyzPQRP=(-yez,-ln(1+z2),-2xy)P=(-1,0,-2)。 (2) 点P(1,1,0)沿该点处A方向的方向向量为(1,1,0)。 对函数f(x,y,z)=x2+2y2+z2求偏导数有 f′x(x,y,z)=2x,f′y(x,y,z)=4y,f′z(x,y,z)=2z 所以函数f(x,y,z)在点(1,1,0)处的梯度为(2,4,0)。【笔记】梯度公式： (f′x,f′y,f′z) 所以方向导数为(2,4,0)·12(1,1,0)=32。 由曲线x2-3y2=4z=0绕x轴旋转一周得到的旋转面为Σ1，绕y轴旋转一周得到的旋转面为Σ2。 (1) 求曲面Σ2在点(4,2,0)处的切平面方程。 (2) 求曲面Σ1与平面x=3,x=4围成立体的体积。 解 Σ1： x2-3(y2+z2)=4【笔记】曲线f(x,y)=0绕x轴旋转，旋转曲面为f(x,±y2+z2)=0 Σ2： (x2+z2)-3y2=4【笔记】曲线f(x,y)=0绕y轴旋转，旋转曲面为f(±x2+z2,y)=0 (1) Σ2： (x2+z2)-3y2=4F(x,y,z)=(x2+z2)-3y2-4=0 曲面Σ2在点(x,y,z)处法向量为(F′x,F′y,F′z)=(2x,-6y,2z)， 所以曲面Σ2在点(4,2,0)处的法向量为(2,-3,0)，【笔记】(8,-12,0) 与(2,-3,0)平行 切平面方程为2(x-4)-3(y-2)=0，【笔记】切平面： a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,n=(a,b,c) 化简后可得2x-3y-2=0。 (2) 曲面Σ1与平面x=3,x=4围成立体的体积为 V=∫43πr2dx=π3∫43(x2-4)dx=25π9【笔记】圆盘法求旋转体体积，dV=πr2dx 解题心得