第3章〓概率论与数理统计技巧(仅数学一、数学三)










技巧专题1分布函数与概率


例题1 设随机变量X的分布函数为F(x)=
0,x＜012,0≤x＜11-e-x,x≥1，则P{X=1}=()。

A. 0B. 12C. 12-e-1D. 1-e-1

答案 C

解P(X=1)=F(1)-F(1-)=(1-e-1)-12=12-e-1，故选C。

技巧专题2max与min概率

例题1 对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值分别为X1,X2,X3,X4,X5，设它们是相互独立的变量，且具有相同的分布函数F(z)=1-e-z28,z≥00,其他。

(1) maxX1,X2,X3,X4,X5＞4的概率为()。

A. 1-1-e-25B. 1-e-25C. e-10D. 1-e-10

(2) minX1,X2,X3,X4,X5＜2的概率为()。

A. 1-1-e-125B. 1-e-125C. e-52D. 1-e-52

答案 (1) A(2) D

解(1) 令V=maxX1,X2,X3,X4,X5，由于X1,X2,X3,X4,X5相互独立，且服从同一分布，于是有

Fmax(z)=P(V≤z)=P［max(X1,X2,X3,X4,X5)≤z］
=P(X1≤z,X2≤z,X3≤z,X4≤z,X5≤z)
=P(X1≤z)P(X2≤z)P(X3≤z)P(X4≤z)P(X5≤z)
=［F(z)］5

所求概率P(V＞4)=1-P(V≤4)=1-Fmax(4)=1-［F(4)］5=1-(1-e-2)5，故选A。

(2) 令U=minX1,X2,X3,X4,X5，由于X1,X2,X3,X4,X5相互独立，且服从同一分布，于是有

Fmin(z)=P(U≤z)=P［min(X1,X2,X3,X4,X5)≤z］
=1-P［min(X1,X2,X3,X4,X5)＞z］
=1-P(X1＞z,X2＞z,X3＞z,X4＞z,X5＞z)
=1-P(X1＞z)P(X2＞z)P(X3＞z)P(X4＞z)P(X5＞z)
=1-［1-P(X1≤z)］［1-P(X2≤z)］…［1-P(X5≤z)］
=1-［1-F(z)］5

所求概率P(U＜2)=Fmin(2)=1-［1-F(2)］5=1-e-52，故选D。

例题2 设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在,记U=max{X,Y}，V=min{X,Y},则E(UV)=()。

A. EU·EVB. EX·EYC. EU·EYD. EX·EV

答案 B

解当X≥Y时,U=X,V=Y； 当X＜Y时，U=Y,V=X。UV=max{X,Y}min{X,Y}=XY，可知E(UV)=E(max{X,Y}min{X,Y})=E(XY)=
EX·EY(X,Y相互独立)，故选B。


技巧专题3泊松分布

例题1 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX=EX2=。

答案 12e-1

解由DX=EX2-(EX)2，得EX2=DX+(EX)2，又因为X服从参数为1的泊松分布，所以DX=EX=1，所以EX2=1+1=2，所以 PX=2=122！e-1=12e-1。

技巧专题4正态归一化

例题1 设随机变量X～N(μ,σ2)(σ＞0)，记p=P{X≤μ+σ2}，则()。

A. p随着μ的增加而增加B. p随着σ的增加而增加

C. p随着μ的增加而减少D. p随着σ的增加而减少

答案 B

解P{X≤μ+σ2}=PX-μσ≤σ=
Φ（σ），其中Φ（x）为标准正态的分布函数，随x增加而增加
，所以概率p随着σ的增加而增加。故选B。

例题2 设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N(0,1)，X2～N(0,22)，X3～N(5,32),pj=P{-2≤Xj≤2}(j=1,2,3),则()。

A. p1＞p2＞p3B. p2＞p1＞p3
C. p3＞p1＞p2D. p1＞p3＞p2

答案 A

解由X1～N(0,1),X2～N(0,22),X3～N(5,32)
知，p1=P{-2≤X1≤2}=P{X1≤2}=2Φ(2)-1，p2=P-2≤X2≤2=PX2≤2=
PX22≤1

=2Φ(1)-1，故p1＞p2。根据X3～N(5,32)及概率密度的对称性知，p1＞p2＞p3，故选A。

技巧专题5二维正态

例题1 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布： (X,Y)～N(0,0;1,1;0)，概率PXY＜0=。

答案 12 

解由(X,Y)～N(0,0; 1,1; 0),知X～N(0,1),Y～N(0,1),且ρXY=0,从而X,Y相互独立，故PXY＜0=P(X＞0,Y＜0)+ P(X＜0,Y＞0)=P(X＞0)·P(Y＜0)+P(X＜0)·P(Y＞0)=12×12+12×12=12。

技巧专题6离散边缘反推联合

例题1 设随机变量Xi～-101141214(i=1,2)，且满足PX1X2=0=1，则P{X1=X2}=()。

A. 0B. 14C. 12D. 1

答案 A

解P{X1X2=0}=1P{X1X2≠0}=0，所以P{X1=-1,X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}=P{X1=1,X2=-1}=P{X1=1,X2=1}=0。

即X1和X2的联合分布简化为




X1X2
-100pj
-10014
012
10014
pi1412141



PX1=-1,X2=0=PX1=-1-PX1=-1,X2=-1-PX1=-1,X2=1=14

同理可得

PX1=0,X2=-1=PX1=0,X2=1=PX1=1,X2=0=14

PX1=0,X2=0=PX1=0-PX1=0,X2=-1-PX1=0,X2=1=0

即X1和X2的联合分布为




X1X2
-101pj
-1014014
01401412
1014014
pi1412141

所以PX1=X2=PX1=-1,X2=-1+PX1=0,X2=0+PX1=1,X2=1=0。故选A。

技巧专题7二维连续变离散

例题1 假设二维随机变量(X,Y)在矩形G=(x,y)0≤x≤2,0≤y≤1上服从均匀分布。记U=0, X≤Y1, X＞Y，V=0, X≤2Y1, X＞2Y，则E(UV)为()。

A. 112B. 12C. 14D. 34

答案 B

解变量UV的所有可能取值为0,1。所以E(UV)=0·P(UV=1)+1·P(UV=1)=P(UV=1)=P(X＞2Y)=12。故选B。

技巧专题8卡方期望与方差

例题1 X1,X2,…,Xn是总体为N(0,1)的简单随机样本。记=1n∑ni=1Xi,S2=1n-1∑ni=1Xi-2,T=2-1nS2，则DT=。

答案 2n(n-1)

解和S2独立,当μ=0,σ=1时,有
DT=D2-1nS2=D(2)+1n2D(S
2)=1n2
D(n)2+1n2·1(n-1)2D(n-1)S2=1n2·2+1n2·1(n-1)2·2(n-1)=2n(n-1)。




注意： (n-1)S2～χ2(n-1),(n)2～χ2(1)。




技巧专题9乘积的数字特征

例题1 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=1}=P{X=-1}=12，Y服从参数为λ的泊松分布P(λ)。令Z=XY,则DZ=。

答案 λ+λ2 

解DZ=E(Z2)-(EZ)2，EZ=E(XY)=EX·EY=0，E
（Z2）=E(X2Y2)=E(X2)·E(Y2)，E(X2)=1,E(Y2)=DY+(EY)2=λ+λ2，所以DZ=λ+λ2。

例题2 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(μ,μ; σ2,σ2; 0),则E(XY2)=。

答案 μ3+μσ2

解由于ρ=0，由二维正态分布的性质可知随机变量X,Y独立且同分布。因此E(XY2)=EX·E(Y2)。由
(X,Y)服从N(μ,μ; σ2,σ2; 0)可知EX=μ,E(Y2)=DY+(EY)2=μ2+σ2，则
E(XY2)=μ(μ2+σ2)=μ3+μσ2。

技巧专题10二维概率密度

例题1 设随机变量X～011434，随机变量Y服从参数为1的指数分布，且X,Y相互独立。设Z=(2X-1)Y，记(Y,Z)的分布函数为F(y,z)，则(y,z)的分布函数F(y,z)=。

答案 
1-e-y,0＜y＜z
1-14e-y-34e-z,0＜z＜y
14(ez-e-y),0≤-z＜y
0,其他

解Y的概率密度为fY(y)=e-y,y＞00,其他,由定义可知F(y,z)=P(Y≤y,Z≤z)=P(Y≤y,(2X-1)Y≤z,X=0)+P(Y≤y,(2X-1)Y≤z,X=1)=14P(-z≤Y≤y)+34P(Y≤y,Y≤z)。若y≤0，显然F(y,z)=0。以下讨论y＞0的情况。

① z＞0且z＞y，此时F(y,z)=14P(0≤Y≤y)+34P(Y≤y)=P(Y≤y)=1-e-y。

② z＞0且y＞z，此时F(y,z)=14P(0≤Y≤y)+34P(Y≤z)=1-14e-y-34e-z。 

③ z≤0且-z＜y，此时F(y,z)=14P(-z≤Y≤y)=14(ez-e-y)。

④ z≤0，且-z≥y，此时F(y,z)=0。

综上，F(y,z)=
1-e-y,0＜y＜z
1-14e-y-34e-z,0＜z＜y
14(ez-e-y),0≤-z＜y
0,其他。

技巧专题11绝对值方差

例题1 设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,则|X-Y|的方差为。

答案 1-2π 

解令Z=X-Y,由于X,Y相互独立,且都服从正态分布,因此Z也服从正态分布,且E(Z)=E(X)-E(Y)=0,D(Z)=D(X)+D(Y)=12+12=1。于是,Z=X-Y～N(0,1)。DX-Y=DZ=EZ2-EZ2=D(Z)+EZ2-EZ2=1-EZ2。

而EZ=∫+∞-∞z·12πe-z22dz=22π∫+∞0ze-z22dz=22π∫+∞0e-z22dz22=22π-e-z22+∞0=2π，故DX-Y=1-2π。

技巧专题12相关系数

例题1 设X1与X2相互独立且均服从N(0,1)，=12(X1+X2),U=X1-，V=X2-，则变量U,V的相关系数为。

答案 -1

解【方法1】U+V=(X1-)+(X2-)=0，所以相关系数为-1。


补充： ρUV=cov(U,V)DUDV=covU,-UDUD(-U)=-DUDU=-1。




【方法2】由于ρUV=covX1-,X2-DX1-DX2-=EX1-X2--EX1-EX2-DX1-DX2-，EX1-=EX1-E=0-0=0，EX1=EX2,DX1-=DX2-，EX1-X2-=EX1X2-EX1-EX2+E2=EX1·EX2-2EX1·12(X1+X2)+E2=0-2×12+12=-12。

DX1-=DX1-12X1+X2=D12X1-12X2=14DX1+14DX2=12，故ρUV=-1212=-1。

例题2 将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于()。

A. -1B. 0C. 12D. 1

答案 A

解掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n-X，故DY=D(n-X)=DX，cov(X,Y)=cov(X,n-X)=cov(X,n)-cov(X,X)=0-DX=-DX。由相关系数的定义，得ρ(X,Y)=cov(X,Y)DXDY=-DXDXDX=-1。故选A。


技巧专题13协方差

例题1 设(X1,X2,…,Xn)(n＞1)是来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中样本方差S2=1n-1∑ni=1(Xi-)2，则cov(X1+X2,S2)=。

答案 0

解由对称性cov(X1,S2)=cov(X2,S2)=…=cov(Xn,S2)=1ncov(X1+X2+…+Xn,S2)=cov(,S2)=0，所以cov(X1+X2,S2)=0。

技巧专题14离散连续全概率

例题1 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=12,记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数,则函数FZ(z)的间断点个数为()。

A. 0B. 1C. 2D. 3

答案 B

解FZ(z)=P(XY≤z)=P(XY≤z|Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z|Y=1)P(Y=1)=12［P(XY≤z|Y=0)+P(XY≤z|Y=1)］=12［P(X·0≤z|Y=0)+P(X≤z|Y=1)］。

因为X,Y独立，FZ(z)=12PX·0≤z+PX≤z，
①若z＜0,则FZ(z)=12Φ(z)； ②若z≥0,则FZ(z)=12(1+Φ(z))。所以z=0为间断点，故选B。

技巧专题15统计量的方差

例题1 设X1,X2,…,Xn(n＞2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi-,i=1,2,…,n，则cov(Y1,Y1+Yn)=。

答案 n-2nσ2 

解cov(Y1,Y1+Yn)=cov(Y1,Y1)+cov(Y1,Yn)=DY1+cov(Y1,Yn)，

DY1=D(X1-)=D1-1nX1-1n∑nj=2Xj=1-1n2DX1+1n2∑nj=2DXj

=(n-1)2n2σ2+1n2·(n-1)σ2=n-1nσ2。

cov(Y1,Yn)=E(Y1Yn)-EY1·EYn
（EY1=E(X1-)=0-0）


=E(Y1Yn)=E［(X1-)(Xn-)］ =E(X1Xn-X1-Xn+2)

=E(X1Xn)-2E(X1)+E（2）
（对称性，即E(X1)=E(Xi)=E(Xn)）

=0-2nEX21+∑nj=2X1Xj+D+(E)2（当EX=0时，E(X2)=DX+(EX)2=DX）


=-2nσ2+1nσ2=-1nσ2。

所以原式=n-1nσ2-1nσ2=n-2nσ2。

技巧专题16切比雪夫不等式

例题1 设总体X的分布律为




X012

P1-θθ-θ2θ2


其中，θ未知(0＜θ＜1)； X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本，其中取值为2的随机变量个数为N，由切比雪夫不等式，PN-nθ2＜nθ≥。

答案 θ2

解N～B(n,θ2),EN=nθ2,DN=nθ2(1-θ2)，PN-nθ2＜nθ≥1-nθ2(1-θ2)nθ2=θ2。


技巧专题17依概率收敛

例题1 设随机变量序列X1,X2,…,Xn独立同分布，且X1的概率密度为f(x)=1-|x|,|x|＜10,其他，则当n→∞时，1n∑ni=1X2i依概率收敛于()。

A. 18B. 16C. 13D. 12

答案 B

解E(X21)=∫+∞-∞x2f(x)dx=∫1-1x21-|x|dx=2∫10x2(1-x)dx=16，根据维纳辛钦大数定理，1n∑ni=1X2i依概率收敛于E1n∑ni=1X2i=E(X21)=16，故选B。

技巧专题18抽样分布

例题1 设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,为样本均值，S2为样本方差,则()。

A. n～N(0,1)B. nS2～χ2(n)

C.  (n-1)S～t(n-1)D.  (n-1)X21∑ni=2X2i～F(1,n-1)

答案 D

解根据简单随机样本的性质,可知X1,X2,…,Xn相互独立且都服从N(0,1),于是有X21与∑ni=2X2i相互独立且都服从χ2分布,自由度分别为1与n-1,因此
X21∑ni=2X2in-1=(n-1)X21∑ni=2X2i～F(1,n-1)，故选D。


补充： 
由于n=∑ni=1Xi～N(0,n)，故选项A错误。






由(n-1)S2=∑ni=1Xi-2～χ2(n-1)，故选项B错误。


由于～N0,1n,故n～N(0,1),(n-1)S2～χ2(n-1),所以n(n-1)S2n-1=nS～t(n-1)，故选项C错误。




例题2 设X1,X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本，记=1n∑ni=1Xi，则下列结论中不正确的是()。

A. ∑ni=1(Xi-μ)2服从χ2分布
B. 2(Xn-X1)2服从χ2分布

C. ∑ni=1(Xi-)2服从χ2分布
D. n(-μ)2服从χ2分布

答案 B

解X～N(μ,1),Xi-μ～N(0,1)

∑ni=1(Xi-μ)2～χ2(n)，选项A正确；

(n-1)S2=∑ni=1(Xi-)2～χ2(n-1)，选项C正确；

～Nμ,1n,n(-μ)～N(0,1),n(-μ)2～χ2(1),选项D正确；

（Xn-X1）～N(0,2),(Xn-X1)22～χ2(1)，选项B错误，故选B。


例题3 设X1,X2，…,X9是来自正态总体X～N(μ,σ2)的简单随机样本,Y1=16(X1+X2+…+X6),Y2=13X7+X8+X9,S2=12∑9i=7Xi-Y22,Z=2Y1-Y2S则统计量Z服从()。

A. 自由度为3的t分布B. 自由度为2的t分布

C. 自由度为3的卡方分布D. 自由度为2的卡方分布

答案 B

解由题设知Y1～Nμ,σ26,Y2～Nμ,σ23, 所以Y1-Y2～N0,σ22,即Y1-Y2σ2～N(0,1)。此外2S2σ2=1σ2∑9i=7Xi-Y22～χ2(2),并且2S2σ2与Y1,Y2都相互独立，所以Y1-Y2σ2与2S2σ2相互独立，于是由t分布定义知Z=2Y1-Y2S=Y1-Y2σ22S2σ2×12～t(2)。故选B。


技巧专题19离散点估计

例题1 设总体X的概率分布为




X0123

Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ


其中，θ0＜θ＜12是未知参数。利用总体X的如下样本值： 3,1,3,0,3,1,2,3，若a为θ的矩估计值,b为θ的最大似然估计值,则ab=。

答案 7-1348

解EX=0×θ2+1×2θ(1-θ)+2θ2+3×(1-2θ)=3-4θ,θ=14(3-EX)。

θ的矩估计量为θ^=14(3-),根据给定的样本观察值，=18×(3+1+3+0+3+1+2+3)=2，因此θ的矩估计值θ^=14(3-)=14。

对于给定的样本值，似然函数为
L(θ)=4θ6(1-θ)2(1-2θ)4,lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1-θ)+4ln(1-2θ)，
dlnL(θ)dθ=6θ-21-θ-81-2θ=24θ2-28θ+6θ(1-θ)(1-2θ)。

令dlnL(θ)dθ=0,得方程12θ2-14θ+3=0,解得θ=7-1312θ=7+1312＞12,不合题意。于是θ的最大似然估计值为θ^=7-1312，所以ab=7-1348。

技巧专题20无驻点的似然估计

例题1 设总体X
的概率密度为f(x;a,b)=1b-a,x∈［a,b］0,其他，则()。

① a的极大似然估计a^=min(x1,x2,…,xn)

② b的极大似然估计b^=max(x1,x2,…,xn)

A. ①与②均正确B. ①错误②正确

C. ①正确②错误D. ①与②均错误

答案 A

解L(a,b)=1(b-a)n，lnL(a,b)=-nln(b-a)，此函数为单调函数，所以这种方法不适用。因此，应按定义求出使似然函数L到最大值的a和b。由于L(a,b)=1(b-a)n
，a的取值范围为（-∞，min(x1，x2，…，xn)］，b的取值范围为
［max(x1，x2，…，xn)，+∞）
，故只要选取a^=min(x1,x2,…,xn),b^=max(x1,x2,…,xn)，就能使L(a,b)在a^,b^处达到最大值,它们就是a和b的极大似然估计，故选A。

技巧专题21中心极限定理

例题1 设X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，其中P(X=0)=P(X=1)=12，Φ(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P∑100i=1Xi≤55的近似值为()。

A. 1-Φ(1)B. Φ(1)
C. 1-Φ(2)D. Φ(2)

答案 B

解由题意EX=12,DX=14,E∑100i=1Xi=100EX=50，D∑100i=1Xi=100DX=25。由中心极限定理知∑100i=1Xi～N(50,25)，有P∑100i=1Xi≤55=P∑100i=1Xi-505≤55-505=Φ(1)，故选B。

技巧专题22置信区间(仅数学一)

例题1 假定机床加工轴的平均椭圆度服从正态分布，现从一台机床加工的轴中随机抽取200根，测量其椭圆度。由测量值计算平均值x-=0.081mm，标准差S=0.025mm，给定置信度为0.95，此机床加工的轴的平均椭圆度的置信度为0.95的置信区间为。

(提示： Z0.025=1.96。)

答案 (0.078,0.084)

解依题意，设n=200,1-α=0.95,故α2=0.025，查标准正态分布表得Zα2=1.96。于是置信下限为x--Sn×Zα2=0.081-1.96×0．025200=0.078,置信上限为
x-+Sn×Zα2=0.081+1.96×0.025200=0.084,故此机床所加工的轴的平均椭圆度的置信区间是(0.078,0.084)。

技巧专题23假设检验(仅数学一)

例题1 设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本，据此样本检测，假设H0： μ=μ0,H1： μ≠μ0,则()。

A. 如果在检验水平α=0．05下拒绝H0，那么在检验水平α=0．01下必拒绝H0 

B. 如果在检验水平α=0．05下拒绝H0，那么在检验水平α=0．01下必接受H0 

C. 如果在检验水平α=0．05下接受H0，那么在检验水平α=0．01下必拒绝H0 

D. 如果在检验水平α=0．05下接受H0，那么在检验水平α=0．01下必接受H0

答案 D

解统计量 -μ0σn～N(0,1),在检验水平α=0．05下接受域为-μ0σn＜μ0.025，解得接受域的区间为-μ0.025σn,+μ0．025σn，在检验水平α=0．01下接受域的区间为-μ0．005σn,+μ0．005σn。由于μ0.025＜μ0．005，α=0．01下接受域的区间包含了α=0．05下接受域的区间，故选D。

例题2 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其中参数μ和σ2未知,记=1n∑ni=1Xi,Q2=∑ni=1Xi-2,则假设H0： μ=0的t检验使用统计量t=。

答案 Qn(n-1)

解该题是属于正态总体方差未知的关于期望值μ的假设检验问题，据此应该选取t检验的统计量是t=-μ0Sn=1n(n-1)∑ni=1Xi-2，经过化简得t=Qn(n-1)。

例题3 设X1,X2,…,X16是来自总体N(μ,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题H0： μ≤10,H1： μ＞10。Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W={≥11}，其中=116∑16i=1Xi，则μ=11．5时，该检验犯第二类错误的概率为()。

A. 1-Φ(0．5)B. 1-Φ(1)C. 1-Φ(1．5)D. 1-Φ(2)

答案 B

解所求概率为P{＜11}，～N11．5,14，P{＜11}=P
-11．512≤11-11．512=1-Φ(1)，故选B。