····························································
第5 章 chapter5
现代控制技术
在经典控制理论中,用传递函数模型设计和分析单输入单输出系统,但传递函数模
型只能反映出系统的输出变量与输入变量之间的关系,而不能了解到系统内部的变化情
况。在现代控制理论中,用状态空间模型来设计和分析多输入多输出系统,便于计算机
求解,同时也为多变量系统的分析研究提供了有力的工具。
5.1 采用状态空间的输出反馈设计法
设线性定常系统被控对象的连续状态空间方程为
x·(t)=Ax(t)+Bu(t),x(t)t=t0=x(t0)
y(t)=Cx(t) { (5-1)
其中,x(t)是n 维状态向量,u(t)是r 维控制向量,y(t)是m 维输出向量,A 是n×n 维
状态矩阵,B 是n×r 维控制矩阵,C 是n×m 维输出矩阵。采用状态空间的输出反馈设
计法的目的是:利用状态空间表达式设计出数字控制器D (z),使得多变量计算机控制
系统满足所需要的性能指标,即在控制器D (z)的作用下,对系统输出的y(t)经过N 次
采样(N 拍)后,跟踪参考输入函数r(t)的瞬变响应时间为最小。设具有输出反馈的多变
量计算机控制系统的闭环结构如图5-1所示。
图5-1 具有输出反馈的多变量计算机控制系统的闭环结构
假设参考输入函数r(t)是m 维阶跃函数向量,即
r(t)=r0·1(t)= r[ 01r02 …r0m ] T·1(t) (5-2)
第5章PPT
第◆5 章 现代控制技术2 15
先找出在D (z)的作用下输出是最少的N 拍时跟踪参考输入的条件。设计时,应首先把
被控对象离散化,用离散状态空间方程表示被控对象。
5.1.1 连续状态空间方程的离散化
在u(t)的作用下,式(5-1)的解为
x(t)=eA(t-t0)x(t0)+∫t
t0eA(t-τ)Bu(τ)dτ (5-3)
其中,eA(t-t0)是被控对象的状态转移矩阵,x(t0)是初始状态向量。若已知被控对象的前
面有一个零阶保持器,即
u(t)=u(k),kT ≤t < (k +1)T (5-4)
其中,T 为采样周期。现在要求将连续被控对象模型连同零阶保持器一起进行离散化。
在式(5-3)中,若令t0 =kT ,t= (k +1)T ,同时考虑到零阶保持器的作用,则
式(5-3)变为
x(k +1)=eATx(k)+∫(k+1)T
kT eA(kT+T-τ)dτBu(k) (5-5)
若令t=kT +T -τ,则式(5-5)可进一步化为离散状态空间方程:
x(k +1)=Fx(k)+Gu(k)
{y(k)=Cx(k) (5-6)
F =eAT , G =∫T
0eAτdτB (5-7)
式(5-6)便是式(5-1)的等效离散状态空间方程。可见,离散化的关键是式(5-7)中矩阵
指数及其积分的计算。
5.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件
由式(5-1)中的系统输出方程可知,y(t)要以最少的N 拍跟踪参考输入r(t),必须
满足以下条件:
y(N )=Cx(N )=r0 (5-8)
仅按式(5-8)设计的系统将是有纹波系统。为设计无纹波系统,还必须满足以下条件:
x·(N )=0 (5-9)
这是因为,在NT ≤t≤(N +1)T 的间隔内,控制信号u(t)=u(N )为常向量,由式(5-1)
知,当x·
(N )=0时,则在NT ≤t≤(N +1)T 的间隔内x(t)=x(N ),而且不改变。也就
是说,若使t≥NT 时的控制信号满足
u(t)=u(N ) (t ≥NT) (5-10)
此时,x(t)=x(N )且不改变,则使式(5-8)在t≥NT 时始终满足
y(t)=Cx(t)=Cx(N )=r0 (t ≥NT) (5-11)
下面讨论系统的输出跟踪参考输入所用最少拍数N 的确定方法。式(5-8)确定的
跟踪条件为m 个,式(5-9)确定的附加跟踪条件为n 个,为满足式(5-8)和式(5-9)组成
的m +n 个跟踪条件,N +1个r 维控制向量[u(0)u(1)…u(N -1)u(N )]必须至少
2 16 ◆微型计算机控制技术(第4 版)
提供m +n 个控制参数,即
(N +1)r ≥ (m +n) (5-12)
最少拍数N 应取满足式(5-12)的最小整数。
5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤
1.将连续状态空间方程离散化
对于由式(5-1)给出的被控对象的连续状态空间方程,用采样周期T 对其进行离散
化,通过计算式(5-7),可求得离散状态方程为式(5-6)。
2.求满足跟踪条件[式(5-8)]和附加条件[式(5-9)]的U(z)
被控对象的离散状态空间方程[式(5-6)]的解为
x(k)=Fkx(0)+ Σk-1
j=0
Fk-j-1Gu(j) (5-13)
被控对象在N 步控制信号[u(0)u(1)…u(N -1)]作用下的状态为
x(N )=FNx(0)+ ΣN-1
j=0
FN-j-1Gu(j) (5-14)
假定系统的初始条件x(0)=0,则有
x(N )=ΣN-1
j=0
FN-j-1Gu(j) (5-15)
根据式(5-8),有
r0 =y(N )=Cx(N )=ΣN-1
j=0
CFN-j-1Gu(j) (5-16)
用分块矩阵形式表示,得到
r0 =ΣN-1
j=0
CFN-j-1Gu(j)
= [CFN-1G┆CFN-2G┆…┆CFG┆CG ]
u(0)
u(1)
.
u(N -2)
u(N -1)
é
.
êêêêêêê
ù
.
úúúúúúú
(5-17)
再由式(5-9)和式(5-1)知,有
x·(N )=Ax(N )+Bu(N )=0 (5-18)
将式(5-4)代入式(5-18),得
ΣN-1
j=0
AFN-j-1Gu(j)+Bu(N )=0 (5-19)
或
第◆5 章 现代控制技术2 17
[AFN-1G┆AFN-2G┆…┆AG┆B ]
u(0)
u(1)
.
u(N -1)
u(N )
é
.
êêêêêêê
ù
.
úúúúúúú
=0 (5-20)
由式(5-17)和式(5-20)可以组成确定N +1个控制序列[u(0)u(1)…u(N -1)u(N )]
的统一方程组:
CFN-1G ┆ CFN-2G ┆ ┆ CG ┆ 0
┆ ┆ … ┆ ┆
AFN-1G ┆ AFN-2G ┆ ┆ AG ┆ B
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
u(0)
u(1)
.
u(N -1)
u(N )
é
.
êêêêêêê
ù
.
úúúúúúú
=
r00.0
é
.
êêêêê
ù
.
úúúúú
(5-21)
若式(5-21)的方程有解,并设解为
u(j)=P(j)r0 (j=0,1,2,…,N ) (5-22)
当k=N 时,控制信号u(k)应满足
u(k)=u(N )=P(N )r0 (k ≥N ) (5-23)
这样就由跟踪条件求得了控制序列{y(k)},其z 变换为
U(z)=Σ∞
k=0
u(k)z-k = ΣN-1
k=0
P(k)z-k +P(N )Σ∞
k=N
[ z-k ]r0
= ΣN-1
k=0
P(k)z-k +
P(N )z-N
1-z-1
é
. êê
ù
. úú
r0 (5-24)
3.求误差序列{e(k)}的z 变换E(z)
误差向量为
e(k)=r(k)-y(k)=r0 -Cx(k) (5-25)
假定x(0)=0,将式(5-3)代入式(5-25),得
e(k)=r0 - Σk-1
j=0
CF(k-j-1)Gu(j) (5-26)
再将式(5-22)代入式(5-26),得
e(k)= I- Σk-1
j=0
[ CF(k-j-1)GP(j)]r0 (5-27)
误差序列{e(k)}的z 变换为
E(z)=Σ∞
k=0
e(k)z-k =ΣN-1
k=0
e(k)z-k + Σ∞
k=N
e(k)z-k (5-28)
其中Σ∞
k=N
e(k)z-k =0,因为满足跟踪条件[式(5-8)]和附加条件[式(5-9)],即当k ≥N 时
误差信号应消失,所以
2 18 ◆微型计算机控制技术(第4 版)
E(z)=ΣN-1
k=0
e(k)z-k =ΣN-1
k=0
I- Σk-1
j=0
[ CF(k-j-1)GP(j)]r0z-k (5-29)
4.求控制器的脉冲传递函数D(z)
根据式(5-24)和式(5-29)可求得D (z)为
D(z)=
U(z)
E(z) (5-30)
【例5-1】 设二阶单输入单输出系统的状态空间方程为
x·(t)=Ax(t)+Bu(t)
{y(t)=Cx(t) (5-31)
其中,A= -1 0
1 0
é
. êê
ù
. úú
,B=10
é
. êê
ù
. úú
,C= [0 1] ,采样周期T =1s。设计最少拍无纹波控制器
D(z)。
【解】 F=eAT = e-1 0
1-e-1 1
é
. êê
ù
. úú
= 0.368 0
0.632 1
é
. êê
ù
. úú
,G =∫T
0eAτdτB = 1-e-1
e-1
é
. êê
ù
. úú
= 0.632
0.368
é
. êê
ù
. úú
,
离散状态方程为
x(k +1)=Fx(k)+Gu(k)
{y(k)=Cx(k) (5-32)
要设计无纹波控制系统,跟踪条件应满足
(N +1)r ≥ (m +n) (5-33)
而n=2,r=2,m =2,因此取N =2即可满足式(5-33)的条件。
由式(5-21)可得
CFG CG 0
AFG AG B
é
. êê
ù
. úú
u(0)
u(1)
u(2)
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
=
r000
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
(5-34)
即
0.768 0.368 0
-0.232 -0.632 1
0.232 0.632 0
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
u(0)
u(1)
u(2)
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
=
r0
00
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
(5-35)
进一步得
u(0)
u(1)
u(2)
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
=
P(0)
P(1)
P(2)
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
r0 =
1.58
-1.58
0
é
.
êêêê
ù
.
úúúú
r0 (5-36)
P(0)=1.58, P(1)=-1.58, P(2)=0 (5-37)
由式(5-24)和N =2知
第◆5 章 现代控制技术2 19
U(z)= ΣN-1
k=0
P(k)z-k +
P(N )z-N
1-z-1
é
. êê
ù
. úú
r0 = P(0)+P(1)z-1 +
P(2)z-2
1-z-1
é
. êê
ù
. úú
r0
=(1.58-1.58z-1)r0 (5-38)
由式(5-29)和N =2知
E(z)=ΣN-1
k=0
I- Σk-1
j=0
[ CF(k-j-1)GP(j)]r0z-k = {I+ [I-CGP(0)]z-1}r0
=(1+0.418z-1)r0 (5-39)
所以数字控制器D(z)为
D(z)=
U(z) E(z)=1.58-1.58z-1
1+0.418z-1 (5-40)
5.2 采用状态空间的极点配置设计法
在计算机控制系统中,除了使用输出反馈控制外,还较多地使用状态反馈控制,因为
由状态输入就可以完全地确定系统的未来行为。图5-2给出了计算机控制系统的典型
结构。在5.1.1节中已经讨论了连续的被控对象同零阶保持器一起进行离散化的问题,
同时本节忽略数字控制器的量化效应,则图5-2可以简化为如图5-3所示的离散控制
系统。
图5-2 计算机控制系统的典型结构
图5-3 简化的离散控制系统结构
下面按离散控制系统的情况讨论控制器的设计。本节讨论利用状态反馈的极点配
置方法设计控制规律,首先讨论调节系统(r(k)=0)的情况,然后讨论跟踪系统,即如何
引入外界参考输入r(k)。
按极点配置设计的控制器通常由两部分组成:一部分是状态观测器,它根据量测到
的输出量y(k)重构出全部状态x^(k),另一部分是控制规律,它直接反馈重构的全部状
态。图5-4给出了调节系统(r(k)=0)的情况。
5.2.1 按极点配置设计控制规律
为了按极点配置设计控制规律,暂设控制规律反馈的是实际对象的全部状态,而不
2 20 ◆微型计算机控制技术(第4 版)
图5-4 调节系统(r(k)=0)的情况
是重构的状态,如图5-5所示。
图5-5 按极点配置设计控制规律的系统结构
设被控对象的连续状态空间方程为
x·(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t) { (5-41)
由5.1.1节知,相应的离散状态空间方程为
x(k +1)=Fx(k)+Gu(k)
{y(k)=Cx(k) (5-42)
且
F =eAT
G =∫T
0eAτdτB { (5-43)
其中,T 为采样周期。若图5-5中的控制规律为线性状态反馈,即
u(k)=-Lx(k) (5-44)
则要设计出反馈控制规律L,以使闭环系统具有所需要的极点配置。
将式(5-44)代入式(5-42),得到闭环系统的状态空间方程:
x(k +1)=(F -GL)x(k) (5-45)
显然,闭环系统的特征方程为
zI-F +GL =0 (5-46)
设闭环系统的极点为zi(i=1,2,…,n),则很容易求得要求的闭环系统特征方程:
β(z)=(z -z1)(z -z2)…(z -zn)
=zn +β1zn-1 + … +βn =0 (5-47)
由式(5-46)和式(5-47)可知,反馈控制规律L 应满足如下方程:
zI-F +GL =β(z) (5-48)
若将式(5-48)的行列式展开,并比较两边z 的同次幂的系数,则一共可得到n 个代数方
第◆5 章 现代控制技术2 21
程。对于单输入的情况,L 中未知元素的个数与方程的个数相等,因此一般情况下可获
得L 的唯一解。而对于多输入的情况,仅根据式(5-48)并不能完全确定L,设计计算比
较复杂,这时需附加其他的限制条件才能完全确定L。本节只讨论单输入的情况。
可以证明,对于任意的极点配置,L 具有唯一解的充分必要条件是被控对象完全能
控(controllable),即
rank[GFG …Fn-1G ] =n (5-49)
这个结论的物理意义也是很明显的,只有当系统的所有状态都是能控的,才能通过适当
的状态反馈控制,使得闭环系统的极点配置在任意指定的位置。
由于人们对于s 平面中的极点分布与系统性能的关系比较熟悉,因此可首先根据相
应连续系统性能指标的要求给定s 平面中的极点,然后再根据zi=esiT (i=1,2,…,n)的
关系求得z 平面中的极点分布,其中T 为采样周期。
【例5-2】 被控对象的传递函数G(s)=1 s2,采样周期T =0.1s,采用零阶保持器。现
要求闭环系统的动态响应相当于阻尼系数为ξ=0.5、无阻尼自然振荡频率ωn =3.6的二
阶连续系统,用极点配置方法设计状态反馈控制规律L,并求u(k)。
【解】 被控对象的微分方程为y·· (t)=u(t),定义两个状态变量,分别为x1(t)=
y(t),x2(t)=x·
1(t)=y·
(t),得到x·
1(t)=x2(t),x·
2(t)=y··(t)=u(t),故有
x·1(t)
x·2(t)
é
.
êê
ù
.
úú
= 0 1
0 0
é
. êê
ù
. úú
x1(t)
x2(t)
é
. êê
ù
. úú
+01
é
. êê
ù
. úú
u(t) (5-50)
y(t)= [1 0]
x1(t)
x2(t)
é
. êê
ù
. úú
(5-51)
对应的离散状态空间方程为
x(k +1)= 1 T
0 1
é
. êê
ù
. úú
x(k)+
T2
2T
é
.
êêê
ù
.
úúú
u(k)
y(k)= [1 0]x(k) { (5-52)
代入T =0.1s得
x(k +1)= 1 0.1
0 1
é
. êêù
. úú
x(k)+ 0.005
0.1
é
. êê
ù
. úú
u(k)
y(k)= [1 0]x(k)
{ (5-53)
且
x·(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t) { (5-54)
[G FG ] = 0.005 0.015
0.1 0.1
é
. êê
ù
. úú
(5-55)
因为0.005 0.015
0.1 0.1 ≠0,所以系统能控。
根据要求,求得s 平面上两个期望的极点:
2 22 ◆微型计算机控制技术(第4 版)
s1,2 =-ξωn ±j 1-ξ2ωn =-1.8±j3.12 (5-56)
利用z=esT 的关系,可求得z 平面上的两个期望的极点:
z1,2 =0.835e±j0.312 (5-57)
于是得到期望的闭环系统特征方程:
β(z)=(z -z1)(z -z2)=z2 -1.6z +0.7 (5-58)
若状态反馈控制规律为
L =[L1 L2] (5-59)
则闭环系统的特征方程为
zI-F +GL =
z 0
0 z
é
. êê
ù
. úú
- 1 0.1
0 1
é
. êê
ù
. úú
+ 0.005
0.1
é
. êê
ù
. úú
[L1 L2 ]
=z2 + (0.1L2 +0.005L1 -2)z +0.005L1 -0.1L2 +1 (5-60)
比较式(5-58)和式(5-59),可得
0.1L2 +0.005L1 -2=-1.6
0.005L1 -0.1L2 +1=0.7 { (5-61)
求解式(5-61),得L1=10,L2=3.5,即L= [10 3.5]
u(k)=-Lx(k)=- [10 3.5]x(k) (5-62)
5.2.2 按极点配置设计状态观测器
前面在讨论按点配置设计控制规律时,假定全部状态均可直接用于反馈,实际上,这
难以做到,因为有些状态无法量测。因此必须设计状态观测器,根据其量测的输出y(k)
和u(k)重构全部状态。因而实际反馈的是重构状态x^(k),而不是真实的状态x(k),即
u(k)=-Lx^(k),如图5-2所示。常用的状态观测器有3种:预报观测器、现时观测器
和降阶观测器。
1.预报观测器
常用的观测器方程为
^x(k +1)=F^x(k)+Gu(k)+K [y(x)-C^x(k)] (5-63)
其中,x^是x 的状态重构,K 为观测器的增益矩阵。由于k+1时刻的状态重构只用到了
kT 时刻的量测量y(k),因此称式(5-63)为预报观测器,其结构如图5-6所示。
图5-6 预报观测器的结构
第◆5 章 现代控制技术2 23
设计观测器的关键在于如何合理地选择观测器的增益矩阵K。定义状态重构误
差为
x~ =x -x^ (5-64)
则
x~(k +1)=x(k +1)-x^(k +1)
=Fx(k)+Gu(k)-F^x(k)-Gu(k)-K [Cx(k)-C^x(k)]
= [F -KC ] [x(k)-^x(k)] = [F -KC ]x~(k) (5-65)
因此,如果选择K 使式(5-65)渐近稳定,那么重构误差必定会收敛到0,即使式(5-22)是
不稳定的,在重构中引入观测量反馈,也能使误差趋于0。式(5-65)称为观测器的误差动
态方程,该式表明,可以通过选择K 使状态重构误差动态方程的极点配置在期望的位
置上。如
果出现观测器期望的极点Zi(i=1,2,…,n),那么观测器期望的特征方程为
α(z)=(z -z1)(z -z2)…(z -zn)=zn +α1zn-1 + … +αn =0 (5-66)
由式(5-65)可得观测器的特征方程(即状态重构误差的特征方程):
zI-F +KC =0 (5-67)
为了获得期望的状态重构性能,由式(5-66)和式(5-67)可得
α(z)= zI-F +KC (5-68)
对于单输入单输出系统,通过比较式(5-68)两边z 的同次幂的系数,可求得K 中的
n 个未知数。对于任意的极点配置,K 具有唯一解的充分必要条件是系统完全能观
(observable),即
rank
C
CF
.
CFn-1
é
.
êêêêê
ù
.
úúúúú
=n (5-69)
2.现时观测器
采用预报观测器时,当前时刻(现时)的状态重构x^(k)只用了前一时刻的输出量y(k-
1),使得现时的控制信号u(k)中也包含了前一时刻的输出量。当采样周期较长时,这种
控制方式将影响系统的性能。为此,可采用如下的观测器方程:
x-(k +1)=Fx^(k)+Gu(k)
^x(k +1)=x-(k +1)+K [y(k +1)-Cx-(k +1)] { (5-70)
由于(k+1)T 时刻的状态重构x^(k+1)用到了当前时刻的量测量y(k+1),因此称式(5-70)为
现时观测器。
由式(5-42)和式(5-70)可得状态重构误差:
x~(k +1)=x(k +1)-x^(k +1)
=[Fx(k)+Gu(k)]- {x-(k +1)+K [Cx(k +1)-Cx-(k +1)] }
= [F -KCF ]x~(k) (5-71)