第5章
CHAPTER 5


电磁波的辐射









本章导读： 前面介绍的静电场和静磁场有一个共同特点，即场强不随时间变化，且电场和磁场独立存在，因此可以分开来研究。而且，由于在稳恒状态下，场和源是不可分离的，故可以把场(电场、磁场)和源(电荷、电流)统一起来研究。然而，当电荷、电流随时间变化时，其产生的电场E和磁场H不仅是空间的函数，也是时间的函数，它们相互依存、相互转化，构成不可分割的统一体，因此称为时变电磁场。时变电磁场完全可以脱离源而独立存在。本章将要讨论的辐射和第6章将要讨论的传播问题中的电磁场都属于这种情况。这类电磁场的运动规律都基于麦克斯韦方程组的重要推论。经过一个半世纪实践的检验，证明这些推论是完全正确的。

本章内容包括： 

(1) 从麦克斯韦方程组出发，引入变化电磁场的势函数，进而将麦克斯韦方程组简化为以电荷与电流为场源的关于势函数的达朗贝尔方程； 

(2) 应用达朗贝尔方程的推迟势解，处理典型的辐射问题。例如偶极辐射、多极辐射及天线辐射等；

(3) 分析电磁波的衍射。

本章内容不仅为第6章讨论电磁波的传播奠定基础，也是工程电磁问题中研究天线技术的理论基础。









5.1电磁场的矢势和标势
5.1.1用势描述电磁场

基于麦克斯韦方程组
×H=J+Dt
×E=-Bt
·B=0
·D=ρ(51)

及本构方程

D=εE,B=μH(52)

根据方程组(51)中第三式，我们可以引入变化电磁场的磁矢势A，定义为

B=×A(53)


可见，它与静磁场的磁矢势的定义式在形式上完全一样，这是由于磁场的“无源性”无论对静态场还是时变场都是普遍成立的，其物理根源仍然在于自然界中不存在 “自由磁荷”或“磁单极子”这一客观事实。将上式代入方程组(51)中第二式，整理后得到

×E+At=0(54)

由于无旋场总是可以表示为任意标量场的梯度，故可令

E+At=-φ(55)

即

E=-φ-At(56)

φ称为时变场中的标势。由式(53)和式(56)可知，如果已知势函数A和φ，就可以确定电磁场量E和B，进而可以描述电磁场的性质等。

例5.1已知势函数为

φ=0,A=μ0k4c（ct-|x|)2ez,|x|＜ct0,|x|＞ct

其中，k为常数，c=1/ε0μ0。求电荷和电流的分布。

解根据已知条件，当|x|＜ct时，可以求得电场强度为

E=-φ-At=-μ0k2(ct-|x|)ez=
-μ0k2(ct-x)ez,x＞0-μ0k2(ct+x)ez,x＜0

和磁感应强度为

B=×A=-μ0k4cx(ct-|x|)2ey=
μ0k2c(ct-x)ey,x＞0
-μ0k2c(ct+x)ey,x＜0

当|x|＞ct时，则E=0和B=0。所得E和B随x的变化关系如图51所示。



图51E和B随x的变化关系


根据所得结果，易知
·E=0
×E= μ0k2ey
·B=0
×B=-μ0k2cez
(|x|＜ct)

和

Et=-μ0kc2ez,Bt=±μ0k2ey

可见，它们满足ρ=0、J=0和JD=-k2cex时的麦克斯韦方程组。此外，B在x=0处不连续，这表明在yOz平面内有面电流JS存在。根据电磁场边值关系式(2122)中第一式可得

JS=ex×(H+-H-)=ktez

显然，在yOz平面且沿z轴方向上有一个均匀的面电流，随t线性增加。

5.1.2规范变换和规范不变性

虽然势函数可以用于描述电磁场，但是它们之间并非一一对应。若对势函数进行如下变换：

A→A′=A+ψ
φ→φ′=φ-ψt(57)

得到的另一组势函数(A′，φ′)与(A，φ)对应相同的电磁场量(E，B)，即

B′=×A′=×(A+ψ)=×A=B
E′=-φ′-A′t=-φ-ψt-tA+ψ=-φ-At=E(58)

且由于ψ是一个任意连续可微的标量函数，故(A′，φ′)有无穷多组。将每一组势函数称为一种规范。方程组(57)称为规范变换。物理规律在规范变换下保持不变的性质就是规范不变性。例如，当势函数按式(57)进行规范变换后，电磁场量和麦克斯韦方程组都将保持不变。

5.1.3达朗贝尔方程

从麦克斯韦方程组出发，结合本构方程，并利用场和势的关系，可以推导出势函数满足的微分方程。具体推导过程如下： 

将本构方程(52)中第一式代入麦克斯韦方程组(51)中第四式，得到

·E=ρε(59)

将式(56)代入上式，整理后得到

2φ+t·A=-ρε(510)

再将式(52)代入式(51)中第一式，可得

×B=μJ+μεEt(511)

进一步，利用式(53)和式(56)，得到

×(×A)=μJ-μεφt-με2At2(512)

由于

×(×A)=(·A)-2A

故

2A-με2At2-·A+μεφt=-μJ(513)

方程(510)和式(513)称为一般形式的达朗贝尔方程。在不同的规范条件下，它具有不同的表示形式。

(1) 在静磁场中，常取库仑规范条件： ·A=0，则式(510)和式(513)可化为

2φ=-ρε
2A-με2At2-μεφt=-μJ(514)

这种规范中A为无源场。且根据E=-φ-At知，式中的第二项-At为无源场(又称横场)，而第一项-φ为无旋场(又称纵场)。该种规范下电场的纵场部分完全由φ来决定，电场的横场部分完全由A来决定，-φ对应于库仑场，-At对应于感应场。这种划分对于讨论某些问题是方便的，例如可以用处理静电场的方法讨论时变电场。

(2) 在时变电磁场中，常取洛伦兹规范条件，即规定

·A+μεφt=0(515)

则

2φ-με2φt2=-1ερ2A-με2At2=-μJ(516)

该两方程形式上完全相同，形式简单，物理意义明确。若给定场源J和ρ，只要求出其中一个方程的解，另一方程解的形式与之相同。将解代入式(53)和式(56)就可得到B和E。因此，达朗贝尔方程和洛伦兹条件则是用动态势函数表述的电磁场基本方程。

在无源空间，ρ=0，J=0，动态势函数的波动方程变为齐次微分方程。即


2φ-με2φt2=0
2A-με2At2=0
(517)

在静态场的情形下，达朗贝尔方程退化为势函数的泊松方程
2φ=-ρε和
2A=-μJ
。同时，因为在静态场中，
ρ和J之间没有联系，故
φ与A彼此独立，
E=-φ和B=×A
分别由
φ和A单独确定，这就是第3章和第4章的内容。


理解延伸： 
应用达朗贝尔方程求解场问题时，尽管可先由其中一个方程解出一个势函数，再代入洛伦兹条件得到另一个势函数。但是，势函数往往不一定恰好满足
洛伦兹条件，即有

·A+μεφt=Λ≠0
   
这时，可以利用规范变换式（57），先找到一组满足洛伦兹条件的新规范，然后代回到式（515）保证新规范满足洛伦兹条件，即

·(A+ψ)+μεtφ-ψt=0

整理后得到
 
2ψ-με2ψt2=-Λ

求解该方程可以得到ψ，再把它代入式（57）即可确定出新规范。




例5.2已知势函数为


A=A0sin(k·r-ωt)
φ=φ0sin(k·r-ωt)


其中，A0和k为常矢量； φ0和ω为常数。求： 

(1) 洛伦兹规范条件下，A0和φ0之间的关系； 

(2) 场强E和B； 

(3) 若势函数分别取A′=(A0+αk)sin(k·r-ωt)，φ′=(φ0+αω)sin(k·r-ωt)，其中α为待定常数，证明(A′，φ′)与(A，φ)对应同一电磁场。

解(1) 真空中，洛伦兹规范条件可表示为

·A+μ0ε0φt=0

由已知的势函数，得到

·A=sin(k·r-ωt)·A0=(k·A0)cos(k·r-ωt)

和

φt=φ0tsin(k·r-ωt)=-ωφ0cos(k·r-ωt)

将以上两式代入洛伦兹条件，整理后可以得到A0和φ0满足的关系为

φ0=k·A0μ0ε0ω

(2) 根据已知条件，可得

B=×A=［sin(k·r-ωt)］×A0=(k×A0)cos(k·r-ωt)

和

E=-φ-At=-φ0sink·r-ωt-A0tsin(k·r-ωt)
=(ωA0-φ0k)cos(k·r-ωt)

(3) B′=×A′=sink·r-ωt×A0+αk=k×A0cosk·r-ωt=
B


E′=-φ′-A′t=-φ0+αωsink·r-ωt-
A0+αktsink·r-ωt
=ωA0-φ0kcosk·r-ωt=E


可见，(A′，φ′)与(A，φ)对应同一电磁场。








5.2推迟势
5.2.1达朗贝尔方程的解——推迟势

解决电磁波辐射问题，可以归结为求解势函数的达朗贝尔方程。下面利用两种方法求解这一问题。

方法1用点电荷的电势叠加原理求解

先考虑真空中φ的达朗贝尔方程，由式(516)，得

2φ-1c22φt2=-1ε0ρ
(518)

式中，令1c2=μ0ε0。由于该方程是线性方程，故势函数可以叠加。因此，可以先求得某一体积元内变化的电荷所激发的标势，然后对电荷分布区域积分得到总的标势。

假设原点处有一点电荷q(t)，它的电荷密度可用δ函数表示为

ρ(r,t)=q(t)δ(r)(519)

考虑球坐标系，由于电荷具有球对称性，故φ只与r、t有关，而与角变量θ、无关。于是，式(518)可表示为

1r2rr2φr-1c22φt2=-q(t)δ(r)ε0
(520)

除原点以外，电标势满足齐次波动方程

1r2rr2φr-1c22φt2=0,r≠0(521)

令

φ(r,t)=u(r,t)r

代入式(521)，得

2ur2-1c22ut2=0(522)

此式为一维波动方程，据数学物理方程，其通解为

u(r,t)=ft-rc+gt+rc

其中，f和g是两个任意函数。由此可得，原点以外的标势为

φ(r,t)=ft-rcr+gt+rcr
(523)

上式中右边第一项代表波速为c的向外辐射的球面波，第二项代表波速为c的向内会聚的球面波。式中，c=1μ0ε0≈3×108m/s为真空中一切电磁波的波速。在研究电磁波辐射问题时，只考虑向外辐射的波，故应取g=0，而f的函数形式应由物理条件定出。

在静电场中，处于r′处的点电荷在r处激发的电势为φ=q4πε0R。推广到时变场时，根据式(523)的形式，可以推想到

φ(r,t)=qr′,t-Rc4πε0R
(524)

可以证明，式(524)是方程(520)的解。

由势的叠加性，对于一般随变化电荷分布ρ(r′,t)，可将上式推广为

φ(r,t)=14πε0∫V′ρr′,t-RcRdV′(525)

由式(516)可知，A和φ所满足的方程形式相同，因而一般电流分布J(x′,t)所激发的矢势为

A(r,t)=μ04π∫V′Jr′,t-RcRdV′(526)

若令

t′=t-Rc

则式(525)、式(526)可化为

φ(r,t)=
14πε0∫V′ρ(r′,t′)RdV′
A(r,t)＝
μ04π∫V′
J(r′，t′)RdV′
(527)

由式(527)可知，t′时刻的电荷密度和电流密度源并不能确定t′时刻场点的势，它们的影响是以有限速度c传播，经过一段时间R/c后才到达场点的。也就是说，t′时刻的电荷密度和电流密度源确定的是较迟的t时刻场点的势，因此，式(527)称为推迟势。

*方法2用时谐变化的源产生的势函数通过傅里叶积分叠加求解。

假设真空中的电荷密度和电流密度按时谐规律变化，即

ρ～e-jωt|J|～e-jωt(528)

则它们激发的势函数也应有类似的形式，即

φ=φ(r)e-jωt
A=A(r)e-jωt(529)

将上式分别代入达朗贝尔方程式(516)，可得
2φ+k2φ=-ρε0
2A+k2A=-μ0J
(530)
式中，ρ、J、A、φ均简写为只关于空间变量的函数。且

k=ωμ0ε0=ωc(531)

k称为真空中频率为ω的波数，其具体物理意义详见6.6.1节。

接下来将应用格林公式求解势函数φ。根据格林公式

∫V(φ2ψ-ψ2φ)dV=∮Sφψn-ψφndS

需先构建一个函数ψ。对于单位点源分布的电荷和电流，产生的波函数ψ(代表势函数的任一分量)满足方程

2ψ+k2ψ=0(R≠0)(532)

其一个最简特解为

ψ=ejkRR(533)



图52格林函数法推导推迟势


如图52所示，围绕场点P做一个大球Γ，其表面积用S2表示； 再做一个小球γ把P点去掉，其表面积用S1表示。球壳的体积为积分区域V′，由
式(530)、式(532)和式(533)则有

φ(2ψ+k2ψ)-ψ(2φ+k2φ)=φ2ψ-ψ2φ
=ρε0ejkRR
(534)

代入式(531)，可得



1ε0∫V′ρejkRRdV′= ∮S1φnejkRR-ejkRRφndS+
∮S2φnejkRR-ejkRRφndS
(535)

对于小球表面处，S1的外法向方向向里，故有/n=-/R，且dS=R2dΩ。利用下式：

RejkRR=ejkRR2(jkR-1)
(536)

可将小球表面的积分化为

∮S1φ-jkRφ+RφRejkRdΩ(537)

而在大球表面处，S2的外法向方向向外，故有/n=/R，且dS=R2dΩ，则对大球表面的积分可化为


-∮S2φ-jkRφ+RφRejkRdΩ(538)

当小球取极限R→0时，可得

∮S1φ-jkRφ+RφRejkRdΩ→4πφ(539)

当大球取极限R→∞时，则limR→∞φ=0。为了保证达朗贝尔方程在无界区域解的唯一性，Sommerfield(索默菲尔德)提出在R→∞处解应满足如下附加条件：

limR→∞RφR-jkRφ=0(540)

该式称为辐射条件。

于是，当R→∞时，大球表面上的积分式(538)趋近于零。再结合式(535)、式(537)和式(539)，可得

φ(r)=14πε0∫V∞ρ(r′)ejkRRdV′(541)

因无电荷的区域，上式积分式中被积函数为零，故积分区域也等于只有电荷所在的区域，即

φ(r)=14πε0∫V′ρ(r′)
ejkRRdV′(542)

同理，可得

A(r)=μ04π∫V′J(r′)ejkRRdV′(543)

在式(542)和式(543)中，ejkR为推迟作用因子，表示电磁波传播到场点时会滞后相位kR。

考虑时间因子e-jωt，便可得到

φ(r,t)=14πε0∫V′ρ(r′)ej(kR-ωt)RdV′(544)

和

A(r,t)=μ04π∫V′J(r′)ej(kR-ωt)RdV′(545)

若对式(545)两边求散度，并两次利用矢量公式

·(φf)=(φ)·f+φ·f

可得

·A=μ04π∫V′
ej（kR-ωt)R·JdV′=-μ04π∫V′′ej(kR-ωt)R·JdV′
=-μ04π∫V′′·Je(kR-ωt)RdV′+μ04π∫V′′·Je(kR-ωt)RdV′


利用高斯散度定理，可把上式等号右边第一项中的体积分换为面积分，并在无限大球面上计算得其值为零。再结合周期场的电流连续性方程

·J-jωρ=0(546)

可得

·A=jωμ04π∫V′ρ(r′)ej(kR-ωt)RdV′=jωφc2

即

·A-jωφc2=0(547)

上式即为时谐场的洛伦兹条件。可见，电荷守恒定律隐含在其内。当A已知时，由该式便可确定ρ，进而确定φ。

在式(544)、式(545)中，利用式(530)可将ej(kR-ωt)化为

ej(kR-ωt)=e-jω(t-kR/ω)=e-jω(t-R/c)

同前，令

t′=t-R/c

则式(544)和式(545)可化为
φ(r,t)=14πε0∫V′ρ(r′,t′)RdV′
A(r,t)=μ04π∫V′J(r′,t′)RdV′(548)
上式与用第一种方法推导出的势函数式(525)和式(526)形式完全相同。虽然是从时谐电荷(流)源出发，但对于非时谐的场源可以通过傅里叶积分得到普遍的结论。只要ρ和J是周期量的线性叠加(傅里叶积分)

ρ(r′,t)=∫∞-∞ρ(r′,ω)e-jωtdω
J(r′,t)=∫∞-∞J(r′,ω)e-jωtdω(549)

则对应的解也是线性叠加的，则有

φ(r,t)=∫∞-∞φ(r,ω)e-jωtdω
A(r,t)=∫∞-∞A(r,ω)e-jωtdω
(550)

即只要ρ和J能用按时间的傅里叶展开式来表示，则式(549)便成立。


5.2.2推迟势的物理意义

推迟势的物理意义，可以概括为以下两点： 

(1) 对于距离波源为R的观察点,某一时刻t的势函数并不是由该时刻波源的电荷和电流决定的，而是由较早时刻t′=t-Rc的波源所决定。电荷密度和电流密度源对场点的作用以有限速度传递，滞后的时间t′-t=Rc就是电磁波传播距离R所需要的时间。即电磁场以有限速度c在真空中向外传播，而不是以无穷大速度瞬时传递； 

(2)  场点在t时刻的电磁场与t时刻的电荷密度和电流密度源的状态无关，甚至与源是否还存在也无关，即电磁场一旦从源中辐射出来，就独立于源而存在。这实际上表明电磁场是一种可以独立于“源”而客观存在的物质。

例5.3已知一无限长载流直导线，电流随时间变化的关系为

I(t)=0，t≤0
I0，t＞0

I0表示t=0时的电流强度，其大小为一常数。求电流激发的电磁场分布。

解由题意易知，该导线呈电中性，故标势为零，即φ=0。如图53所示，选取柱坐标系，假设导线沿z轴放置，则电流源点dz到坐标原点O的距离为z。令R表示电流源点到场点P的距离，ρ为P到直线的垂直距离，则R=ρ2+z2。根据式(550)，并做代换JdV′→Idl′，可以得到P点处的推迟磁矢势为


图53无穷长直导线中变
化电流激发电磁场


A(ρ,t)=μ04πez∫∞-∞I(t′)Rdz

当t＜ρ/c时，辐射出的电磁场还未到达P点，故磁矢势为零。当t＞ρ/c时，真正对矢势做贡献的有效范围为

|z|≤R2-ρ2=(ct)2-ρ2


该范围之外，t′为负值，故I(t′)=0。因此，推迟矢势A(ρ,t)可以表示为

A(ρ,t)=2μ0I04πez∫(ct)2-ρ20dzρ2+z2
=μ0I02πezlnρ2+z2+z(ct)2-ρ20
=μ0I02πlnct+(ct)2-ρ2ρez
由此可得电场强度为

E(ρ,t)=-At=-μ0I0c2π(ct)2-ρ2ez

磁感应强度为

B(ρ,t)=×A=-Azρe=μ0I02πρct(ct)2-ρ2e

当t→∞时，以上结果可以回到静场情况，即

E=0,B=μ0I02πρe

例5.4如图54所示，已知一闭合线圈L，通有电流I(t)=kt，k为一常数，t为时间。求中心点O处的推迟磁矢势A和电场强度E。



图54闭合线圈L上的电流分布


解根据题意，假设线电流元到场点O的距离为R，则推迟时刻为

t′=t-Rc

故

I(t′)=kt-Rc


因而，推迟磁矢势可以表示为

A=μ04π∮LI(t′)Rdl
=μ0k4π∮L(t-R/c)Rdl
=μ0k4πt∮L1Rdl-1c∮Ldl


由于对整个闭合回路的积分为零，即

∮Ldl=0

则

A=μ0kt4π∮L1Rdl
=μ0kt4π1a∫Ladl+1b∫Lbdl+2ex∫badxx

易知，对内圆La和外圆Lb的积分结果分别为

∫Ladl=ex∫a-adx=2aex

和

∫Lbdl=-ex∫b-bdx=-2bex

又由于

2ex∫badxx=2exlnba

故

A=μ0kt4π1a(2a)+1b(-2b)+2lnbaex=μ0kt2πlnbaex

对于闭合通电线圈，导线呈电中性，故φ=0。进一步求得电场强度为

E=-At=-μ0k2πlnbaex

可见，变化的磁场可以产生电场。








5.3偶极子辐射
5.3.1辐射场的一般公式

推迟势式(527)是进一步计算电磁辐射场的基础，在后面会频繁用到。为了书写简便，以下采用简写形式：

φ=14πε0∫V′ρRdV′
A=μ04π∫V′JRdV′(551)
但应注意，积分中ρ=ρ(r′,t′)、J=J(r′,t′)。

在理论上，只要给定了电流密度J和电荷密度ρ，就可由上式求出A和φ，进而得到B和E。但在实际问题中，我们往往不需要求出两种势函数，而可以只求A的解，再由洛伦兹条件由A求得φ，就可以得到电磁场的解。例如，若给定电流分布J，求解的思路为

J2A-εμ2At2=-μJA→B→H
·A+εμφt=0
→φ→E

考虑到实际应用中，电流(荷)密度往往是按一定角频率的交变电流，即有

J(r′,t′)=J(r′)e-jωt′

由于电荷密度和电流密度由电荷守恒定律联系，在一定角频率ω的交变电流情形中，电荷守恒定律可表示为

·J=jωρ(552)

由式(545)，知

A(r,t)=A(r)e-jωt(553)

磁感应强度可直接由计算A求得，即

B=×A(554)

电场可由麦克斯韦方程组求出。在电流分布区域以外，J=0，真空中的麦克斯韦方程为

×B=ε0μ0Et=-jωc2E=-jkcE(555)

得

E=jck×B(556)

*5.3.2推迟势的多极展开

如图55所示，假设电荷、电流都分布在一个线度为l的小区域V′内。取该区域内一点


图55推迟势的多极展开


为坐标原点O，令电荷、电流源点P′的位置矢量为r′，场点P的位置矢量为r，则P′到P的距离为R=|r-r′|。

当场点远离电荷、电流源时，则有Rl且r|r′|。于是，推迟解式(551)中的1/R可在r′=0处展开为泰勒级数，方法同3.6节。由式(551)可得推迟势的多极展开式为

φ=14πε0∫V′ρr-r′·ρr+12!r′r′： ρr+…dV′
A=μ04π∫V′Jr-r′·Jr+12!r′r′： Jr+…dV′(557)

现对展开式(557)中的主要项讨论如下： 

(1) φ多极展开式中第一项为

φ(0)=14πε0∫V′ρrdV′=Q4πε0r(558)

式中： Q=∫V′ρdV′为小区域V′内的总电量。

它表明小区域内所有电荷在远场激发的推迟标势，与位于原点处等量的点电荷激发的推迟势等同。

(2) φ多极展开式中第二项为

φ(1)=-14πε0∫V′r′·ρrdV′=-14πε0·∫V′r′ρrdV′
=-14πε0·pr
(559)

式中： p=∫V′r′ρdV′为小区域V′内的总电矩。

可见，小区域内所有电矩在远场激发的推迟标势相当于位于原点处等量电偶极矩激发的标势。

(3) φ多极展开式第三项为

φ(2)=14πε0∫V′12!r′r′:ρrdV′
=14πε0∫V′12rr′r′:ρdV′+∫V′ρ2r′r′:1rdV′
=14πε012r:∫V′r′r′ρdV′+∫V′ρ2r′r′:1rdV′
=14πε016r:De+16De:1r(560)

式中： De=∫V′3r′r′ρdV′ 定义为电四极矩。故式(560)为电四极矩激发的推迟标势。进一步，利用以下关系：

:De=rr:D¨ec2r2
1r=2rrr5

可得

φ(2)=124πε01c2r3rr:
D¨e+De:2rrr5(561)

(4) A多极展开式中第一项为

A(0)=μ04π∫V′JrdV′=μ04πr∫V′JdV′=μ04πrp·
(562)

式中： p·=VJdV′为小区域V′内的总电偶极矩关于时间的一阶导数。

显然，与静磁场情况不同，该项并不为零，表示由电偶极子激发的推迟矢势。

(5) A多极展开式中第二项为

A(1)=-μ04π∫V′r′·JrdV′=-μ04π1r∫V′r′·JdV′+∫V′r′·1rJdV′
=-μ04π12r·∫V′r′J+Jr′dV′+∫V′r′J-Jr′dV′-
μ04π∫V′r′·1rJdV′
=-μ04π16r·
D·e+1r×m+μ04π∫V′r′·rr3JdV′
=μ04πr·
D¨e6cr2+
m·×rcr2+μ04π∫V′r′·rr3JdV′
(563)

式中： m=12∫Vr′×JdV称为小区域内电流系统的磁偶极矩，与静磁场情况类似。除此之外，此式还包含有电四极矩产生的推迟势。由此可见，磁偶极辐射和电四极辐射是在A的展开式同一级中出现的。








5.3.3电偶极辐射和磁偶极辐射
1. 电偶极辐射

根据5.3.2节推迟势的多极展开式，推得电偶极子激发的标势φ(1)和矢势A(0)分别为

φ(1)=-14πε0r·pr
A(0)=μ04πrp·

据此可计算得出磁感应强度为

B=×A(0)=μ04π

p·r2×rr+
p¨cr×rr
(564)

电场强度为

E=-φ(1)-A(0)t
=14πε03(p·r)rr5-pr3+3(p··r)rcr4-p·cr2+

p¨
·rrc2r3-μ04π
p¨r
=14πε03(p·r)rr5-pr3+3
p·
·rrcr4-
p·
cr2+
p¨·rrc2r3-
p¨c2r
(565)
为了便于下面的讨论，这里保留式(564)和式(565)的一般形式，而不去进一步化简它们。

对于电荷密度ρ和电流密度J均为时谐变化的情形，容易推知它们激发的电偶极矩也是时谐变化的，即p(r,t)=p(r)e-jωt，则有

p:p·:p¨～1:ω:ω2

由于c=λf，故ωc=2πfc～1λ。因而，B中各项应满足以下近似关系：


p·r2:
p¨
cr～rλ:rλ2(566)

且E中各项应满足

pr3:p·cr2:
p¨c2r～1:rλ:rλ2(567)

根据式(566)和式(567)，可以很方便地讨论空间各区域电磁场的特点。 

1) 近区： lrλ

这种情况下，B中p·项和E中p项数值远大于其他项，需保留； 其余项可忽略。同时(t-r/c)中的r/c项也可忽略。于是，可以得到场强为

B=μ04πp·×rr3
E=14πε0
3(p·r)rr5
-pr3(568)

由此可以得出近区场的特点如下： 

(1) 由于r/c项被忽略，故推迟效应不明显。电场、磁场的表达式与恒定场相似，因而称为似稳场。

(2) B由p·激发，而E由p激发，显然它们的相位相差π/2。

2) 中间区(感应区)： r～λl

这种情况下，B和E中的p、p·及p¨项数值相当，故场强保持原有形式［式(564)和式(565)不变］。感应区是一个过渡区域。

3) 远区： rλ且rl

这种情况下，B和E中的p¨项数值较大，其余各项可忽略。因此，远区(辐射)场强为

B=μ04πcr2p¨×r
E=14πε0(p¨·r)rc2r3-
p¨
c2r(569)

对比式(568)和式(569)可知，电偶极子远区(辐射)场具有一些与近区场明显不同的性质： 

(1) 由于kr=2πrλ1，表明推迟效应明显，即场点在t时刻的场取决于t′=t-r/c时刻的源，电磁场以有限的光速c在真空中传播； 

(2) 由于磁场与电场都由p¨激发，故它们的相位相同。因此，远区的电磁场能够源源不断向外辐射。

2. 磁偶极辐射

根据式(561)和式(563)，若仅保留与磁偶极矩有关的项，则可以得到磁偶极推迟势分别为

φ(2)=0
A(1)
=μ04πcr2m·×r(570)
因此，激发的场强为


E=-φ(2)-A(1)t=μ04
πcr2r×m¨
B=×A(1)=μ04π(
m¨
·r)rc2r3-
m¨
c2r+2m·cr2(571)

在远区，上式中仅保留m¨相关项，则可以得到磁偶极辐射场强为


E=μ04πcr2r×m¨
B=μ04π(
m¨
·r)rc2r3-
m¨
c2r(572)
观察式(569)和式(572)，不难看出电偶极子辐射场和磁偶极子辐射场具有对偶性。








5.3.4辐射能流角分布——方向性函数
1. 电偶极辐射
在球坐标系中，假设
p¨沿z轴方向且与r夹角为θ，则电偶极辐射场强式(569)可以化简为

B=μ04πcrp¨sinθe
E=μ04πrp¨
sinθeθ(573)
由此可见，电偶极辐射场的特点为： 

(1) 电场强度与磁感应强度的比值等于真空中电磁波的传播速度c，并且它们相位相同，方向相互正交； 

(2) 电场强度与磁感应强度的大小与sinθ成正比，即在与电偶极子垂直的方向上辐射最强，平行的方向上辐射为零。

根据辐射场强式(573)，还可以计算出辐射能流密度

Se=E×H=1μ0E×B=μ0
p¨216π2cr2sin2θer(574)

设能流密度垂直通过的面积元为dσ，定义

fe(θ,)=dPedΩ=Se·dσdΩ

为辐射能流的角分布，因为dσ=r2dΩ，对于电偶极矩辐射，则为

fe(θ,)=μ0
p¨216π2csin2θ(575)



图56电偶极辐射能流的角分布


fe(θ,)反映了辐射分布的方向性，因此也称为方向性函数。虽然不同的文献有不同的定义，如方向性函数归一化或用任一方位的场量与最大幅值的比值来定义，但都能够描述辐射场在空间不同方向上的分布规律。图56示出了沿z轴方向的电偶极辐射能流的角分布。在θ=π/2的平面上辐射最强，而在θ=0和π的平面上即沿电偶极矩轴线方向辐射为零。电偶极辐射是天线辐射的基本单元，在实际应用中，若想获得最佳的信号发射和接收效果，就需要选取适当的方位放置天线。

2. 磁偶极辐射


假设m¨沿z轴方向，且与r夹角为θ，则磁偶极子辐射场强式(572)可转化为


E=-μ04πcr
m¨sinθe
B=μ04πc2r
m¨sinθeθ
(576)
由此可得，辐射能流密度

Sm=1μ0E×B=μ0
m¨216π2c3r2sin2θer
(577)

和辐射能流角分布

fm(θ,)=Smr2=μ0
m¨216π2c3sin2θ(578)

与电偶极辐射类似，在θ=π/2的方位磁偶极辐射最强，而在θ=0和π的方位上无辐射。

5.3.5辐射功率、辐射电阻
1. 电偶极辐射
根据辐射能流密度式(574)，得到电偶极辐射总功率为

Pe=∫Se·dσ=∮Sμ0
p¨216π2cr2sin2θdσ=∫2π0d∫π0μ0p¨216π2csin3θdθ=μ06πcp¨2
(579)

设电偶极矩p=p0e-jωt，对应的实数形式为p=p0cosωt。则一个周期内的平均辐射功率为

e=1T∫T0Pedt=1T∫T0μ06πcp¨2dt=μ0ω412πcp20(580)

如果电偶极子l不变，q随时间t变化，即q=q0e-jωt，则有

p¨(t)=q¨(t)l=I·l,I=q·(t)=I0e-jωt,
I0=ωq0

故平均辐射功率为

e=μ012πc(lωI0)2=μ0πc3lλ2I20(581)

对比交流电通过电阻R时所消耗的平均功率e=12ReI20，可得电偶极等效辐射电阻为

Re=2μ0πc3lλ2=80π2lλ2(582)

2. 磁偶极辐射

根据磁偶极辐射能流密度式(577)，可得总辐射功率为

Pm=μ06πc3m¨2(583)

若该磁偶极子由半径为a、电流振幅为I=I0e-jωt的圆电流圈形成，则有m0=I0πa2。利用与电偶极子类似的处理方法式(580)，可得平均辐射功率为

m=4μ0cπ331λ4m20=4μ0cπ53aλ4I20
(584)

对比交流电通过电阻R时所消耗的平均辐射功率

m=12RmI20

可得等效辐射电阻为

Rm=8μ0cπ53aλ4=320π6aλ4(585)

通过对比式(581)和式(584)可知，当电偶极的线度l与磁偶极线度a为同一数量级时，则有

me∞lλ2

当lλ，即短天线情形时，一般磁偶极子的辐射功率远小于电偶极子的辐射功率。因此，小型便携式无线电台一般都采用电偶极子型(开放型)拉杆天线进行发射。

*5.4电四极辐射
5.4.1高频电流分布的电四极矩
考虑辐射场问题时，可以省略比1/r更高次项的贡献，于是φ多极展开式中第三项式(561)可以化简为

φ(2)=124πε01c2r3rr:
D¨e(586)

同理，A多极展开式中第二项式(563)可以化简为

A(1)=μ04πcr216r·
D…e+
m·×r(587)

式中： 这里的De和m分别表示高频电流分布下的电四极矩和磁偶极矩。对比以上两式可知，式(586)中仅包含电四极矩的贡献； 而在式(587)中却包括两部分贡献： 等号右边第一项表示电四极矩激发的辐射势，第二项则来源于磁偶极矩。可见，在时变场情况下，电流分布与电荷分布是相互关联的，根据时谐场的电流连续性方程·J-jωρ=0可知，这时的电流密度的散度不为零，大小与电荷密度成正比。而在静场情况下，电流分布与电荷分布并无关联，因而它们各自激发的多极矩自然也不相关。

若仅保留式(586)和式(587)中的电四极矩相关项，则可以得到电四极矩激发的电磁势分别为

φ=124πε0c2r3rr:D¨e(588)

和

A=μ024πcr2r·
D¨e(589)

5.4.2电四极辐射

由电四极矩激发的电磁势，并利用场和势的关系，容易求出电四极辐射的场分布。具体推导过程如下。 

根据式(588)和式(589)，得到

B=×A=-μ024πc2r3r×
D…e·r(590)

和

E=-φ-At=124πε0c3r2rr:D…err2-r·D…e
(591)

因而平均辐射能量为

=12μ0Re(E×B*)=11152ε0π2c5r6r×D…e·r2er
(592)

辐射角分布为

f(θ,)=r2=11152ε0π2c5r4r×D…e·r2(593)








5.5天线辐射
5.5.1天线上的电流分布

本节主要应用推迟解具体分析一类典型的天线结构，即线型天线。为了方便讨论，首先利用积分变换关系JdV′→Idl′，将推迟势式(551)转化为线电流的形式，即

A=μ04π∫LIRdl′(594)



图57线天线辐射


如图57所示，将一时谐电流信号从天线中点馈入，则天线中的电流线密度一定也是时谐变化的。此外，该电流信号沿天线长度的分布也是简谐变化的，并且满足天线两端的电流为零的开路边界条件。若取天线的中点为坐标原点O，r为原点O到场点P的距离，R为电流源dz′到P的距离，则其电流分布为

I=I0sin(kl/2-k|z′|)e-jω(t-R/c)

这里k表示波数。将上式代入式(594)，得到


Az=μ04π∫l2-l2I0sinkl/2-k|z′|e-jω(t-R/c)Rdz′(595)

在远场辐射情形下，因lr且lR，故R≈r-z′cosθ。这时，可以把上式分母中的R近似地以r代替，但在相位中的R仍取r-z′cosθ，则

Az≈μ0I04π∫l2-l2sinkl/2-k|z′|re-jω(t-r/c)e-jkz′cosθdz′

对上式积分，可得

Az=μ0I02πrΓ(θ)e-jωt-rc(596)

式中：

Γ(θ)=cosklcosθ/2-coskl/2ksin2θ

由此可得，磁感应强度为

B=-jkAzsinθe=-jμ0I0k2πrsinθΓ(θ)e-jω(t-r/c)e
(597)

电场强度为

E=cB×er=-jμ0I0c2πrksinθΓ(θ)e-jω(t-r/c)eθ(598)

因此，平均能流密度为

=μ0c8I0πr2ksinθΓθ2er(599)

平均辐射角分布为

f(θ,)=μ0c8I0π2ksinθΓ(θ)2(5100)

5.5.2短天线的辐射

由天线辐射的一般公式出发，可以很方便地讨论其极限情形即短天线辐射的情况。

对于短天线，即lλ，易知式(5100)中Γ(θ)项的余弦函数是小角度函数，因而可做泰勒展开，即

cos(klcosθ/2)-cos(kl/2)≈1-(klcosθ/2)22!-1-(kl
/2)22!=12kl22sin2θ

整理后得到

f(θ,)=μ0c8I0π2［ksinθΓ(θ)］2
≈μ0c8
I0π212kl22sinθ2
=μ0cπ2I2032
lλ4sin2θ
(5101)

上式表明在垂直于天线的方向(θ=π/2)上辐射最强，而沿天线方向(θ=0或π)的辐射为零。对所有方向积分，得到平均辐射功率为

Pe=μ0cπ3I2012lλ4(5102)

可见，增大天线的线度l或者减小波长λ(相当于提高振荡频率f)，可以有效提高短天线的辐射功率。因此，一般天线多采用高架，且无线电波均采用高频。








5.5.3半波天线

由5.5.2节内容可知，为了提高天线的辐射功率，就要增大天线的长度l或者减小波长λ。当l=λ2时，称为半波天线，半波天线是一种常用的线天线。

只要将l=λ2代入任意长度的天线电流分布公式(595)中，即可得到

I(z′,t′)=I0e-jω(t-R/c)cos(kz′)

及

A=μ0I02πkrcosπ2cosθsin2θe-jω(t-r/c)ez(5103)

相应的电磁场为

B=-jμ0I02πrcosπ2cosθsinθe-jω(t-r/c)e
E=-jμ0cI02πr
cosπ2cosθsinθe-jω(t-r/c)eθ(5104)

平均辐射能流密度为

=15I20πr2cos2π2cosθsin2θer(5105)

辐射角分布为

f(θ,)=15I20πcos2π2cosθsin2θ(5106)

平均辐射功率为

e=15I20［ln(2πγ)-Ci(2π)］(5107)

式中： γ为欧勒常数，γ=1.7811； Ci(x)为积分余弦函数，Ci(x)=-∫∞πcosxxdx。

因而，半波天线的等效辐射电阻为

Rr=30［ln(2πγ)-Ci(2π)］≈73Ω(5108)

更一般地，取l=mλ2(m=1，2，3，…)时的辐射功率和辐射电阻可以直接代入式(599)和式(5100)。图58所示为

半波天线l=λ2、全波天线
l=λ和l=3λ2时的功率角分布。



图58不同m值的辐射功率角分布


通过以上几种天线的介绍，可以概括出天线辐射场的主要特征： 

(1) 电场强度与磁感应强度的比值等于真空中光速(Eθ/B=c)，它们之间的方向相互垂直，E、B与传播方向er服从右手关系，所以辐射电磁波属于
横电磁（TEM）波； 

(2) 沿z轴方向放置的天线，辐射强度与极角θ有关，与方位角无关，即具有轴对称性； 与r2成反比，且随着m的增大辐射能量主要集中于天线方向。

5.5.4天线阵

单个天线的方向性一般都是很弱的，但不少无线电设备都要求天线具有一定甚至很强的方向性。因此，为了提高天线的方向性，可以利用各天线辐射电磁波的干涉效应来获得。天线阵就是实现该种功能的一种天线。所谓天线阵，就是把一系列天线排成阵列，利用各天线辐射的干涉效应来获得较好的方向性。常见的天线阵是把半波天线按照线性、横向或方阵等方式排列。下面我们重点讨论线性排列天线阵。

如图59所示，将N个相同的半波天线沿极轴等距排列，相邻天线中点的距离为l，等幅、同相激发。分析其辐射角分布。



图59线性排列天线阵


显然，它们所激发的场到达远区各场点的路程不同，分别为

第1个天线： r1=r； 

第2个天线： r2=r1+lcosθ=r+lcosθ； 

第3个天线： r3=r2+lcosθ=r+2lcosθ； 

︙

第N个天线： rN=rN-1+lcosθ=r+(N-1)lcosθ

因此，它们彼此间存在相位差，从而导致发生干涉使辐射具有方向性。


容易看出，每相邻天线间的波程差为lcosθ。若假设第一个半波天线的辐射电场强度大小为

Eθ1=-jμ0cI02πrcosπ2cosθsinθe-jω(t-r/c)
(5109)

则第二个半波天线的辐射电场强度大小为

Eθ2=-jμ0cI02π(r+lcosθ)cosπ2cosθsinθe-jω［t-(r+lcosθ)/c)］
≈-jμ0cI02πrcosπ2cosθsinθe-jω［t-(r+lcosθ)/c)］=Eθ1ejklcosθ

(5110)

同理，可得第三个半波天线的辐射电场强度大小为

Eθ3≈Eθ1ej2klcosθ(5111)

以此类推，可得N个半波天线产生的总辐射电场强度大小为

Eθ=Eθ1+Eθ2+…+Eθi+…+EθN
=∑Ni=1Eθ1ej(i-1)klcosθ=Eθ11-ejNklcosθ1-ejklcosθ
(5112)

据前面的内容，可得辐射场的磁感应强度的大小为

B=Eθc(5113)

结合式(5112)和式(5113)，可得平均辐射角分布为

f(θ,)=||r2=15I20πcosπ2cosθsinθ21-ejNklcosθ1-ejklcosθ2
(5114)

与单个半波天线相比，角分布多了一个因子。这个因子使辐射强度与极角θ密切相关，表现出很强的方向性。令该因子为Θ，称为天线阵的阵因子。且令ψ=klcosθ，则

Θ=1-ejNklcosθ1-ejklcosθ2=sin2N2ψsin212ψ(5115)

下面讨论阵因子出现最大时的条件。

由上式可见，Θ取极值的条件为N2ψ=mπ,m=0,±1,±2,…，即

ψ=2mπN,m=0,±1,±2,…

具体讨论如下： 

(1) 当m=0，即ψ=0时，对式(5115)应用洛必达法则，可得阵因子的极大值为Θmax=N2； 

(2) 当m≠0，即ψ=±2πN,±4πN,…,±2(N-1)πN时，阵因子有极小值Θmin=0。阵因子Θ的极值分布如图510所示。



图510天线阵辐射的干涉效应


若令=π2-θ，则表示主极大的张角范围，它由ψ=klcosθ=klsin=2πN决定，即

sin=2πNkl=λNl

可见，阵列数N越大，角越小，θ的方向性就越强。换言之，当 λNl1时，就可以获得高度定向的辐射。

*5.6电磁波的衍射
5.6.1衍射问题

所谓电磁波的衍射现象，就是指当电磁波在传播过程中，遇到障碍物或者透过屏幕上的小孔时，会导致偏离原来入射方向而出射的现象。早期应用几何光线描述电磁波与物质相互作用的方法，实际上只是一种粗略的近似，只有当波长λ远小于障碍物或孔的线度d即λd时才有效。当λ～d或λ＞d时，这种近似就会失效，这时需要应用衍射理论来处理。衍射理论的基础是基尔霍夫理论，主要包括基尔霍夫衍射积分及其运算等内容。该理论是基于惠更斯、杨和菲涅耳等人的工作发展而来的，尔后由瑞利和索默菲尔德等人修正并日趋完善。这里主要介绍基尔霍夫标量衍射理论。



图511电磁波衍射的几何形状

如图511所示，通常衍射的几何形状，包括源区Ⅰ和衍射区Ⅱ两部分，它们之间由界面S1分隔，界面S2一般取在无穷远处，界面S1由不透明部分和孔组成。Ⅰ区内的源产生向外传播的场，经与界面S1相互作用后，一部分能量被吸收，一部分能量被反射，还有一部分能量透射到衍射区Ⅱ。透射到Ⅱ区内的场的角分布就是衍射图样。我们希望用Ⅰ区内的场源及其与界面S1上的屏和孔的相互作用，或者说用界面上S1的场来表示Ⅱ区内的衍射场，这实际上就是所谓的衍射问题。显然，如果用一个散射体(入射波激发的源)取代Ⅰ区内的场源，那么这里的衍射几何形状及其描述方式就可以用于处理散射问题了。

5.6.2基尔霍夫公式

基尔霍夫理论的核心思想是利用格林公式，把封闭体积V内的一个标量场ψ(r,t)即电磁场量(E，B)的任一分量用界面S上的场ψ(r′,t′)及其法向导数值ψ(r′,t′)/n表示出来。假设ψ(r,t)取时谐形式e-jωt，且满足亥姆霍兹方程

2ψ+k2ψ=0(5116)

引入格林函数G(r,r′)，定义如下：

(2+k2)G(r,r′)=-4πδ(r-r′)(5117)

可见，具有出射波形式的格林函数为

G(r,r′)=ejkRR(5118)

式中： R为源点到场点的距离，R=|R|=|r-r′|。

令φ=G和ψ=ψ，根据格林公式

∫V(φ2ψ-ψ2φ)dV=∮Sφψn-ψφndS

并以“′”表示积分变量，得

∫VG(r,r′)′2ψ(r′)-ψ(r′)′2G
(r,r′)dV′
= ∮SG(r,r′)n′ψ(r′)-ψ(r′)n′G(r,r′)dS′
(5119)

结合式(5116)和式(5117)，可得

G(2ψ+k2ψ)-ψ(2G+k2G)=G2ψ-ψ2G=4πδ(r-r′)ψ

把上式代入式(5119)，并利用关系/n′=-(eR·en)R，得到

ψ(r)=14π∮SG(r,r′)n′ψ(r′)-ψ(r′)n′G(r,r′)dS′
=-14π∮SejkRRRψ(r′)+ψ(r′)RejkRR(eR·en)dS′
=-14π∮SejkRRRψ(r′)+ψ(r′)jk-1R(eR·en)dS′
(5120)

可见，上式把衍射区内任一点r处的场ψ(r)用界面S上的ψ(r′)和ψ(r′)/R表示了出来。界面S由S1和S2两部分组成，因而对它的积分也应该包括两部分： 一部分是对屏及其孔的S1的积分，另一部分是对遍及无穷远处的S2的积分。由于假设Ⅱ区域内的场ψ(r)是由Ⅰ区的源通过S1透射过来的，故ψ(r)在S2附近是出射波，应当满足辐射条件： 

ψ～ejkRR,ψR～ψjk-1R(5121)

可见，当R→∞时，limR→∞ψ=0，则对S2的积分也趋于零，于是式(5120)中只剩下对S1的积分。由此可得，基尔霍夫衍射积分式为

ψ(r)=-14π∮S1ejkRRRψ(r′)+ψ(r′)jk-1R(eR·en)dS′
(5122)

该式称为标量基尔霍夫公式。

5.6.3小孔衍射

下面应用基尔霍夫衍射积分公式(5122)分析小孔衍射问题。为了得到衍射波，基尔霍夫用了如下假设： 



图512源点、带孔平面屏和
场点的衍射几何形状


(1)  除了孔内以外，ψ和ψn在S1上处处为零； 


(2)  孔内的ψ和ψn的值等于没有任何屏或障碍物时入射波的值。

如图512所示，以R′和R分别表示源点P′和场点P离孔内面积元dS′的距离。


根据假设(2)，在S1上的场可取为入射波形式，即

ψ～ejki·R′R′(5123)

式中： ki为入射波矢量。


把格林函数取为出射波或衍射波的形式，即

G～ejkd·RR(5124)

式中： kd为衍射波矢量。

根据基尔霍夫衍射积分公式，结合式(5123)和式(5124)，可得

ψ(r)=-14π∫S1ejkd·RRR′ψ+ψjkdcosθ-1RdS′
=-14π∫S1ejkd·RRejki·R′R′jkicosθ′-1R′+jkdcosθ-1R
dS′

式中： θ′为入射波矢ki与法线方向en的夹角； θ为衍射波矢kd与法线方向en的夹角。 

若令|ki|=|kd|=k，并略去1/R和1/R′的高次项，则

ψ(r)≈-jk2πS1ejkd·RRejki·R′R′12
(cosθ′+cosθ)dS′(5125)

式中： (cosθ′+cosθ)/2为倾斜因子。

根据式(5125)，可以得到以下结论： 

(1) 当dλ时，衍射角θλ/d会很小，这时衍射强度被限制在一个狭窄的角度范围内，而且几乎完全取决于式(5125)中两个指数因子间的干涉； 

(2) 当源点P′和场点P远离屏时(或到屏的距离远大于孔的线度时)，倾斜因子可以当作一个常数，这时不同衍射场的相对振幅将是相同的；

(3) 当正入射时，倾斜因子近似等于1，这时振幅的绝对值相同，衍射强度达到最大。

综上所述，本节主要推导了基尔霍夫衍射积分公式，简单介绍了它在小孔衍射问题中的应用，但是这些内容仍然属于标量衍射理论的范畴。由于电磁场本质上是一个矢量场，这就要求在处理实际问题时，必须考虑其矢量特征。虽然对于一些简单问题，可以近似地采用标量衍射理论来处理，但是这也不能够掩盖它的局限性。例如，在通过裂缝的微波衍射问题中，由于涉及较大的波长和衍射角，以致标量衍射理论在此处失效。这时，我们需要选用矢量衍射理论来处理。关于这个问题在此不作详细讨论。

*5.7科技前沿1： 散射相消原理及应用

电磁波的散射实质上是电磁场与遇到的障碍物相互作用的结果。按照电磁波的辐射理论，当障碍物置于外加时变场中时，介质会被外加电磁场极化，产生的交变极化电荷也会产生二次电场，从而对初始场产生扰动，改变初始电场的分布。


图513散射相消原理示意


总的电场是由外加电场和二次电场叠加确定的。电磁散射的强弱也可以用电极化强度来描述。这一问题可归结为电磁场的边值问题。
例如，一介质球处于均匀平面电磁波的散射问题，可以用分离变量法求解，较为复杂的问题可以用格林函数法求解。正常情况下，电磁场的P与E同方向，如图513(a)所示。如果在物体外围包裹一层新型人工材料，这种材料在电场中也会被极化，但是方向与外加电场相反，如图513(b)所示。那么，将此复合结构放入外加电场中时，结构整体的电极化强度有可能因为物体和包层的不同特性而抵消。换句话说，此结构对外加电场无扰动或者扰动很小，从而在外部无法探测出物体的存在，即物体被“隐形”了。这就是极化相消的机理。如何实现这一效果呢？观察P=ε0χeE=ε0(εr-1)E，可得，只要包层材料的介电常数小于真空，甚至为负值即可。虽然自然界中不存在这样的媒质，但对于静磁场，可以使用超导材料加以实现。在时变的情况下，这个要求可以用新型人工电磁材料得以满足； 此外，在光波段，大多数金属也具有负数的介电常数。

以上只是定性地解释了利用极化的概念实现散射相消的机理。事实上，对于磁性材料，可以用磁化强度做出相类似的解释。而在具体定量分析时，往往定义散射截面的概念即散射波的时间平均功率与入射波的时间平均功率密度之比。通过理论分析得出散射截面，令其取值为零，即为理想的散射相消条件。实际应用中，只能做到尽可能地减小散射。

利用散射相消原理实现电磁隐形技术，也是科学家们目前努力研究的一个重要课题。

*5.8科技前沿2： 低维材料电磁波辐射下的非线性效应

4.5节介绍了石墨烯的量子磁输运性质，即静磁场诱导的磁致电导率或磁阻现象。本节主要讨论电磁波辐射即随时间变化的电磁场对石墨烯载流子运动的影响。

研究人员发现，在电磁波辐射下石墨烯的线性光锥能谱会发生弯曲，进而张开一个能隙。在长波近似下，能隙可以表示为

Δ(p)=e2E20vF4c2pω2(5126)

式中： ω和E0分别为电磁波辐射的频率和强度； p和e分别为电子的动量和电量； vF为电子的费米速度，vF≈c/300，c为真空中光速。

可见，能隙主要依赖于电磁波辐射的频率和强度。深入分析之后还会发现，这时的电流会呈现出非常强的非线性行为，反映出电子的运动不再像静磁场时做圆周运动那么简单，而是变得愈发复杂。搞清楚这背后的物理机制将是我们进一步研发新型高效微波电子器件的基础。以上是主要结论，现就计算思路及过程简单介绍如下。



图514电磁波在石墨烯
内传播


1. 模型

如图514所示，假设电磁波沿y方向传播，波矢量为k=key，辐射频率为ω。当k接近第一布里渊区狄拉克点K时，载流子的哈密顿量可以被近似地表示为

H(x,y,t)=vF0πx-jπy
πx+jπy0(5127)

式中： πx和πy为正则动量算符π的x和y成分，π=p-eA，A为电磁波辐射的磁矢势，A=［(E0/ω)cos(ky-ωt),0］。

因为石墨烯很薄，只有一个碳原子层厚度，所以电磁屏蔽效应非常弱，可以忽略。这时，E0可以近似看作一个常数。若对上式中的πy取反号，则可以得到另一个狄拉克点K′处载流子的哈密顿量。

2.  能量本征值和本征波函数


将哈密顿量式(5127)代入电子的运动方程，即狄拉克方程

H(x,y,t)Ψ(x,y,t)=jh-Ψ(x,y,t)t(5128)

式中： 

Ψ(x,y,t)=ΨA(x,y,t)ΨB(x,y,t)(5129)

称为电子的波函数。显然，它是包含A和B两个分量的旋量波函数，而在普通材料中电子的波函数通常只有一个分量为标量波函数。究其原因在于石墨烯是复式晶格，由两套三角子晶格组成，分别记为A和B。按照量子电动力学，将式(5129)和式(5127)代入式(5128)，可以得到旋量的每一个分量方程，即

vF(πx-jπy)ΨB(x,y,t)=jh-ΨA(x,y,t)t
vF(πx+jπy)ΨA(x,y,t)=jh-ΨB(x,y,t)t(5130)

若令磁场为B，则πx和πy的对易法则可以表示为

πi-jπj=jh-ecεijkBk,(i,j=x,y)
/t,πx±jπy=-eE0csin(ky-ωt)

再利用关系kμAμ=0，可以得到旋量波函数的运动方程

-h-2v2F2Ψx2+2Ψy2-2Ψt2+2jh-ξvFcosΨx

+ξ2cos2-ξvFh-σzksin-jh-ωξσxsinΨ=0
(5131)

式中： 为电磁波的相位，=ky-ωt； ξ为辐射参数，ξ=eE0vF/cω； σμ为泡利矩阵算符。

按照弗洛凯(Floquet)理论求解方程(5131)，得到能量本征值

En(p)=nh-ω±vFp±e2E20vF/［4c2ω2p(1-vFkpy/ωp)］
(5132)

和本征波函数

Ψn,p(x,y,t)=exp-jEn(p)t/h-Φ(x,y,t)(5133)

式中： 

Φ(x,y,t)=expjnωt+jpxx/
h-+jpxy/h-expG()+jξ2ωt4
h-η×
12±e-jφ/2ej/2，
φ=tanpxpy
(5134)

是弗洛凯模，且有

G()=jξ24h-η-jξvF
h-ηpxsin+jξvFσzk2ηcos+
jξ28
h-ηsin2-ξω2ησxcos
(5135)

根据能量本征值式(5132)，在长波近似下，可以得到能隙式(5126)，即

Δ(p)=e2E20vF4c2pω2

3.  电流

将能量本征值式(5132)和本征波函数式(5133)代入电流算符

jμ,p(t)=evFΨ*n,pσμΨn,p

在长波近似下，可以得到x和y方向的电流分量分别为

jx,p(t)=evFsinhξεcosωt+coshξεcosωtcos(5136)

和

jy,p(t)=evFsin(5137)

式中： 

ε=vFp≈εF

由式(5136)可知，x方向的电流表现出很强的非线性行为，反映出电磁场作用下石墨烯上电子运动的非线性特征。更多的计算细节和讨论，请参见相关文献。

*5.9思政教育： 团体精神、“抓大放小”思想

团队精神指的是团队成员之间的合作、互助和相互支持的态度和行为。在一个具备团队合作精神的团队中，成员们追求共同目标，共享成果，相互倾听和尊重，共同解决问题，并愿意为团队的成功而奉献自己的力量。团队精神包含个体之间的相互作用和合作，通过协同努力，能够促进团队协作和创新，并在团队中营造出积极向上的工作氛围，有助于团队的发展和成就。天线阵中的干涉效应蕴含着“团队精神”的哲理。

具体地，天线阵中干涉效应是指当多个天线在一定的配置下工作时，它们之间会相互干涉，从而导致信号增强或者衰减的现象。在天线阵中的干涉效应中，每个天线的信号相互影响，最终实现了更强的信号增强或衰减。我们知道，单个小天线“势单力薄”，难以满足强辐射和强方向性等要求，需要通过组队协同完成。将若干个同类天线组成阵列，通过调控使它们达到“齐心协力”，就能够达到高辐射的效果。在阵列天线中，如果每个不同的天线到达辐射点满足相位相同时，合成场强最大。这不正和我们完成一个系统工程需要每一位鼎力相助、同心同德才能实现其共同目标类同吗？俗话说“众人拾柴火焰高”就是这个道理。由此可见，团队合作至关重要。但如果是反相叠加，其结果互相抵消，其值最小。做事中如果彼此之间心不往一处想，互相拆台，则成为“一个和尚担水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝”。在事业和生活中需要有团结协作、乐于奉献的精神。

“抓大放小”思想是一种管理和决策的理念，它强调在资源有限的情况下，将重点放在关键和战略性的事物上(“抓大”)，而将非关键和非战略性的事物降低优先级(“放小”)。这种思想鼓励将有限的资源和精力聚焦在最重要和有潜力的方面，以取得更好的结果和效益。在组织和团队中应用这种思想时，需要明确优先级，精确分配资源，避免浪费，并在重点领域中实施有效的管理和控制。线天线的推迟势是物理学中的一个概念，涉及电磁波传输和信号延迟。推迟势近似是一种数学方法，用于近似计算复杂的函数。它包括将函数按照一定的级数展开，并忽略高阶无穷小量，只保留低阶项来进行近似计算。这种方法可以简化计算过程并快速获得近似结果。以半波振子辐射为例，其矢势A满足式(595)，在讨论远区场(rl,rλ)问题时，选择源点和场点间的距离上可选择1R≈1r，而在推迟相位因子中却要选择
ejkR≈ejkr·e-jkz′cosθ。为什么要“厚此薄彼”呢？其实，主要是因为推迟因子ejkR中e-jkz′cosθ的作用不可忽视，而1R与1r相差甚小。具体而言，kz′cosθ=2πz′cosθλ的值在［0,2π］范围，相当于干涉因子，对总场的影响较大。另一个问题： 明明式(595)是精确的解析式，为什么偏偏要做近似计算呢？其实，在对许多物理问题求解时，有些情况下纵然可以经过复杂的计算得到精确解，但如果形式过于复杂，其中的物理规律、物理意义被繁杂的公式所掩盖，如雾里看花； 而在另一些情形下，如果不做近似处理就无法进行解析计算，本例就属于此。可见，恰当的近似、合理的取舍是非常必要的。这就要求我们在学习过程中善于抓住“主要矛盾”，有时需要“抓大放小”，而有时还得“斤斤计较”，这种实事求是的科学方法也是我们处事的基本原则。因此，在授课中可以因势利导，循循善诱。

将这两个概念结合起来，可以理解为在管理和发展中，根据事物的规模大小采取相应的处理方式。“抓大”是指对规模较大的事物进行更重要的关注和投入资源，以实现更优的发展； “放小”是指对规模较小的事物进行更灵活的管理，充分发挥其潜力。通过使用线天线的推迟势近似方法，可以对不同规模的问题和挑战进行分析和处理，从而实现“抓大放小”的管理思想。这样可以优化资源分配，提高效率，并获得更好的结果。

本章小结

1. 本章知识结构框架




理论基础： 麦克斯韦方程组达朗贝尔方程




基本概念： 

1. 标势和矢势

2. 洛伦兹规范

3. 场和势的关系

4. 推迟势

5. 多极辐射

6. 天线辐射

基本规律： 

1. 麦克斯韦方程组

2. 达朗贝尔方程

3. 偶极子、线天线、天线阵辐射

4. 基尔霍夫标量衍射理论


基本计算：

1. 势函数的达朗贝尔方程解

2. 推迟势多极展开

3. 偶极子、线天线、天线阵辐射场、辐射能流、方向性函数、辐射功率




2. 静电场、静磁场和变化电磁场基本公式比较



类别静电场静磁场变化电磁场

场方程∮SD·dS=Q
·D=ρ
∮lE·dl=0
×E=0
∮SB·dS=0
·B=0
∮lH·dl=I
×H=J


∮SD·dS=Q,·D=ρ
∮lE·dl=-
∫SBt·dS
,×E=-Bt

∮SB·dS=0,·B=0
∮lH·dl=
I+∫S
DtdS
,×H=J+
Dt


介质本构
方程
D=εE或
D=ε0E+P
B=μH或
B=μ0(H+M）
D=εEB=μH

电磁能流
密度
—
—
S=E×H

电磁能量
密度
we=12E·D
wm=12H·B
w=12(E·D+H·B）

电磁动量
密度
—
—
g=D×B

场和势的
关系E=-φB=×A

B=×A
E=-φ-At

势方程2φ=-ρ/ε
2φ=0
2A=-μJ
2A=0

2φ-με2φt2=-1ερ
2A-με2At2=-μJ

规范条件
—·A=0
(库仑规范条件)
·A+μεφt=0
(洛伦兹规范条件)

基本解φ（r）=
14πε0∫V′ρ（r′）RdV′A（r）=
μ04π∫V′J（r′）RdV′
φ(r,t）=14πε0∫V′ρ（r′,t′)RdV′
A（r,t)=μ04π∫V′J（r′,t′)RdV′



习题5

5.1已知时变电磁场的势函数为

φ(r,t)=0
A(r,t)=-14πε0qtr2er

求其场强及电荷和电流分布。

5.2已知时变电磁场的势函数为

φ=0
A=A0sin(kx-ωt)ey

其中，A0为振幅，k和ω分别表示电磁波的波数(波矢量的大小)和频率，它们均为常量。求场强E和B，并验证它们是否满足真空中的麦克斯韦方程组。

5.3使用以下规范函数：

ψ=-14πε0qtr

变换题5.1势函数(A，φ)，求出新势函数(A′，φ′)的形式，并讨论该结果。


5.4
证明： 推迟势满足洛伦兹规范条件。

5.5有一无穷长载流直导线载有随时间变化的电流

I(t)=0,t≤0
kt,t＞0

k为一常数。求电磁场分布。

5.6证明： 推迟势满足达朗贝尔方程。

5.7有一电荷体系，呈球对称分布，求当它以频率ω沿径向做简谐振动时的辐射场，并解释该结果。

5.8已知一无穷长载流直导线的电流为I(t)=q0δ(t)，求磁矢势及电磁场分布。

5.9有一半径为R的飞轮，在其边缘上均匀分布有总电量为Q的电荷。求当它以恒定角速度ω旋转时的辐射场。

5.10在一根长5m的天线中，通有均方根值为5A、振荡频率为1000kHz的电流。求单位时间辐射能量的平均值。

5.11在与电偶极矩垂直的方向上，相距100km处测得电场强度的振幅为100μV/m。求电偶极子的总平均辐射功率。

5.12带电量为q的粒子，以恒定的角速度ω沿半径为a的圆周转动，若ωc/a，求电偶极辐射的场强、能流及平均功率。

5.13在位于原点处沿z轴方向放置的一根线段dl中输入交变电流I=I0cosωt。求辐射场中任一点的磁矢势、电场强度、磁感应强度及平均辐射功率。

*5.14在一半径为a的圆电流圈中输入振荡电流I=I0cosωt，若aωc，求此电流圈的辐射场强、能流及功率。

*5.15有一半径为a的均匀永磁体，磁化强度为M，当它以恒定的角速度ω绕通过球心且与M垂直的轴旋转时，若aωc，求其辐射场强和能流密度。

*5.16有一磁化强度为M、半径为a的均匀磁化球体。它以恒定的角速度ω转动，转轴通过球心但与M方向成0角，当aωc时，求辐射场强、能流和辐射功率。

*5.17有一质量为m、电量为q的粒子，以速度v从一个固定不动的带电为q1的粒子附近通过。它们之间的最近距离为a，q的运动轨迹为直线。求该运动粒子因电偶极辐射所损失的总能量。