第3章〓放大电路的频率响应

内容提要： 

由于电路中存在耦合电容、旁路电容、极间电容等，使得放大电路对不同频率的正弦信号有不同的放大能力和相移。正确理解这些电容对电路性能指标的影响并掌握放大电路的频率响应分析方法，对于深入分析和设计放大电路具有重要的指导意义。本章首先介绍频率响应的基本概念，然后讨论BJT的高频模型及参数，在此基础上重点讨论共射放大电路的频率响应的分析方法，再探讨场效应管的高频模型和共源极放大电路的频率特性，最后简要介绍了多级放大电路的频率特性。

学习目标：

1．  掌握放大电路频率响应的基本概念和影响放大电路频率响应的主要因素。

2．  理解BJT的高频等效模型，掌握放大电路频率响应的分析方法。

3．  理解场效应管的高频等效模型及其放大电路的频率特性。

4．  了解多级放大电路的频率响应与单级放大电路的频率响应之间的关系。

重点内容： 

1．  影响放大电路频率响应的主要因素。

2．  放大电路频率响应的分析方法。
3．1概述

在第2章介绍的放大电路中，用通频带这一指标来描述电路对不同频率信号的响应情况，因此在设计和使用放大电路时要了解信号的频率范围，该频率范围不能超出放大电路的通频带。那么是什么因素导致放大电路输出信号的幅度和相位随输入信号频率的变化而变化呢？又如何分析和计算通频带的上限截止频率和下限截止频率等参数呢？这就是本章要讨论的问题。

3．1．1频率响应

在前面分析放大电路时，都假设电路的输入信号为单一频率的正弦信号，而且电路中的耦合电容和旁路电容对交流信号都视为短路，BJT、FET的极间电容、电路中的分布电容和负载电容均视为开路，忽略了这些电容的影响，放大电路的放大倍数均是与频率无关的量。而在实际应用中，电路所处理的信号一般不是单一频率的信号，而是频率范围很宽的信号，例如，声音信号的频率范围是20Hz~20kHz，图像信号是0~6MHz。因此，放大电路中所含的各种电容的容抗会随信号频率的变化而变化，从而使放大电路对不同频率的输入信号呈现出不同的放大能力。

频率响应又称为频率特性，是指放大电路输入相同幅度的正弦波信号时，放大倍数与频率变化之间的关系，可以由函数式表示
A·u(f)=|A·u(f)|∠φ(f)(3．1．1)
式中，|A·u(f)|表示放大倍数的幅值与频率的关系，称为幅频响应(或幅频特性)，而φ(f)表示放大器输出电压与输入电压之间的相移(相位差)与频率的关系，称为相频响应(或相频特性)，两者综合起来可全面表征放大电路的频率响应。

3．1．2放大电路频率响应的分析方法
1． 频域法
频域法是放大电路在输入正弦小信号的作用下，测量或分析其|A·u(f)|和φ(f)，并用下限截止频率fL、上限截止频率fH和通频带fBW来定量描述其频率特性的一种方法。该方法常用如图2．1．3所示形式的幅频特性曲线和相频特性曲线描述放大电路的频率特性。由于这种方法是在频率的范畴内研究频率特性，所以称为频域分析法，简称为频域法，也称为稳态法。

频域法的优点是分析简单，便于测试； 缺点是不能直观地确定放大电路的波形失真。



图3．1．1放大电路的瞬态响应

2． 时域法

时域法是以单位阶跃信号(如图3．1．1(a)所示)为放大电路的输入信号，研究放大电路的输出波形随时间变化的情况，也就是放大电路的瞬态响应，它又称为放大电路的阶跃响应。通过分析研究电路瞬态响应来研究放大电路频率响应的方法，称为瞬态法。由于瞬态法是以时间作为参数来描述放大电路的频率特性，因此又称为时域法。

阶跃信号包含有频率为0~∞的各种频率分量。由于放大电路对各频率分量的放大倍数和相移不同，所以输出电压波形不同于输入电压波形，如图3．1．1(b)所示。这种失真的大小常以上升时间tr和平顶降落率δ来表征。

上升时间tr定义为输出电压瞬时值从0．1Uom上升到0．9Uom(Uom为输出电压峰值)所需要的时间。由于这一段时间对应于输入和输出信号发生阶跃的时刻，包含丰富的高频分量。所以，tr越小，放大电路对高频分量放大的能力越强，fH越大。理论和实践证明tr和fH之间有如下关系
trfH≈0．35(3．1．2)
平顶降落率δ是指输入信号发生阶跃并经过一段时间tp后，输出信号瞬时值相对峰值Uom下降的程度，常用百分数表示，定义如下
δ=Uom-UpUom×100%(3．1．3)
式中，Up为t=tp时的输出电压瞬时值。由于阶跃信号顶部主要反映信号中的直流分量和低频分量，所以δ越大，即平顶降落越严重，放大电路对低频信号的放大能力越差，fL越大； 反之δ越小，fL越小。δ与fL之间的关系为
 δ=2πfLtp×100%(3．1．4)
时域法的优点是可以很直观地判断放大电路的波形失真，并可利用示波器直接观测放大电路的瞬态响应。在工程实际中，频域法和时域法可以互相结合，根据具体情况取长补短地运用。

通过分析不难发现，上述两种方法存在内在联系。当放大电路的输入信号为阶跃电压时，在阶跃电压的上升阶段，放大电路的瞬态响应(上升时间)决定于放大电路的高频响应(fH)； 而在阶跃电压的平顶阶段，放大电路的瞬态响应(平顶降落)又决定于放大电路的低频响应(fL)。因此，一个频带很宽的放大电路，同时也是一个很好的方波信号放大电路。在实际应用中，常用一定频率的方波信号去测试宽频放大电路的频率响应，若其方波响应很好，则说明该放大电路的频带较宽。

3．1．3波特图

在研究放大电路的频率响应时，输入信号频率范围为几赫兹到几百兆赫兹，甚至更宽； 而放大倍数从几倍到上百万倍。为了在同一坐标系中表示出如此大的变化范围，常采用波特图(Bode diagram)。波特图也称为波德图，是指对数频率响应曲线，是由H．W．Bode提出来的。

对数频率响应曲线分为幅频响应曲线和相频响应曲线，它们将被描画在如图3．1．2所示的对数坐标系中。图中的横坐标以频率相对值的对数来分度，两种曲线的横坐标均用这种分度。幅频响应曲线的纵坐标用20lg|A·u|来表达，单位为分贝(dB)。相频响应曲线的纵坐标用角度φ表示，单位是“°”。



图3．1．2波特图的对数坐标


波特图的优点是： 能够扩大频率的表达范围，并使频率响应曲线的作图方法得到简化。

3．2BJT放大电路的频率响应

由于放大电路中存在着电抗元件，如耦合电容、旁路电容、晶体管的结电容和分布电容等，它们的容抗1jωC均与频率有关。因此，放大器的电压放大倍数是与频率有关的量。这就需要研究放大器的电压放大倍数与频率变化之间的关系，即所谓放大电路的频率响应。






3．2．1无源RC网络的频率响应

在放大器中，决定放大器频率响应的电容总是以RC网络的形式出现的，下面先介绍简单的RC电路的频率响应，以便于后续讨论放大电路的频率响应。



图3．2．1RC低通网络

1． 低通网络

图3．2．1所示是由无源元件R、C组成的网络，它允许低频信号通过而衰减高频信号，因而称之为RC低通网络。

1) 频率响应的表达式

设输出电压和输入电压之比为A·u，则由图3．2．1不难推导出
A·u=U·oU·i=1jωCR+1jωC=11+jωRC(3．2．1)
式中，ω为输入信号的角频率，RC为回路的时间常数τ。令ωH=1RC=1τ，fH=ωH2π=12πRC，将ω=2πf代入式（3.2.1），则可得频率响应为
A·u=11+jωωH=11+jffH(3．2．2)
将A·u用幅值和相角表示，则分别可得幅频响应
|A·u|=11+ffH2(3．2．3)
相频响应
φ=-arctanffH(3．2．4)
由式(3．2．3)和式(3．2．4)可见，当ffH时，|A·u|≈1(最大值)，φ≈0°，而随着频率的升高，|A·u|会下降，φ会增大，且U·o滞后于U·i； 当f=fH时，|A·u|=12≈0．707，下降至最大值的0．707倍，φ=-45°； 当ffH时，|A·u|≈fHf，可以看出f升高10倍，|A·u|降低为原来的1/10； 当f趋于无穷大时，|A·u|趋于0，φ趋于-90°。由此可见，若输入信号的频率超过fH，则|A·u|很快衰减，频率越高，衰减越大，相移越大； 只有当频率远低于fH时，U·o≈U·i。fH称为RC低通网络的“上限截止频率”，其大小由时间常数τ=RC决定。

2) RC低通网络的波特图

由式(3．2．3)可得RC低通网络的对数幅频特性为
20lg|A·u|=-20lg1+ffH2(3．2．5)
联立式（3.2.5）与式(3．2．4)，将一组不同的频率值代入后可得
f<0．1fH|A·u|≈120lg|A·u|=0dBφ→0°
f=0．1fH|A·u|≈120lg|A·u|=0dBφ≈-5．7°
f=fH|A·u|≈0．70720lg|A·u|=-3dBφ=-45°
f=10fH|A·u|≈0．120lg|A·u|=-20dBφ≈-84．3°
f=100fH|A·u|≈0．0120lg|A·u|=-40dBφ≈-89．4°
将以上各值描绘在对数坐标系中，即可得RC低通网络的波特图，如图3．2．2所示。



图3．2．2RC低通网络的波特图


由图3.2.2中的对数幅频响应曲线可知，虚线所示的折线非常接近所描绘的曲线，此折线由两条直线构成，当f≤fH时，是一条与横轴平行的直线； 当f>fH时，是一条斜率为-20dB/十倍频程的直线。两条直线在fH处相交，也即折线以fH为转折点。如果只要求对幅频响应进行粗略的估算，则可以用此折线代替曲线，此时的最大误差点在fH处，误差为3dB。若需精确分析，则只要在折线的基础上加以修正即可。

由图3.2.2中的对数相频响应曲线可知，虚线所示的折线很接近所描绘的曲线，这条折线由三段构成： φ=0°的直线，φ=90°的直线，斜率为-45°/十倍频程的斜线。在工程近似估算中，也常用此折线来代替曲线，此时的最大误差在f=0．1fH和f=10fH处，均为5．7°。如需精确分析，也可在折线的基础上加以修正。


图3．2．3RC高通网络



2． 高通网络

图3．2．3所示的无源RC网络允许高频信号通过而衰减低频信号，因而称之为RC高通网络。


1) 频率响应的表达式

由图3．2．3可求得输出电压和输入电压之比为
A·u=U·oU·i=RR+1jωC=11-j1ωRC(3．2．6)
令ωL=1RC，fL=ωL2π=12πRC，将ω=2πf代入上式，则可得频率响应为
A·u=11-jωLω=11-jfLf(3．2．7)

将A·u用幅值和相角表示，则分别可得到幅频响应
|A·u|=11+fLf2(3．2．8)
相频响应
φ=arctanfLf(3．2．9)
由式(3．2．8)和式(3．2．9)可见，当ffL时，|A·u|≈1，这是|A·u|的最大值，φ≈0°，而随着频率的降低，|A·u|会下降，φ会增大，且U·o超前于U·i； 当f=fL时，|A·u|=12≈0．707，下降至最大值的0．707倍，φ=45°； 当ffL时，|A·u|≈ffL，可以看出f降低10倍，|A·u|也降低为1/10； 当f趋于零时，|A·u|趋于0，φ趋于90°。由此可见，若输入信号的频率低于fL，则|A·u|很快衰减，频率越低，衰减越大，相移越大； 只有当频率远高于fL时，U·o≈U·i。fL称为RC高通网络的“下限截止频率”，其大小由时间常数τ=RC决定。

2) RC高通网络的波特图

由式(3．2．8)可得RC高通网络的对数幅频特性为
20lg|A·u|=-20lg1+fLf2(3．2．10)
联立式（3.2.10）与式(3．2．9)，将一组不同的频率值代入后可得
f=0．01fL|A·u|≈0．0120lg|A·u|=-40dBφ≈89．4°
f=0．1fL|A·u|≈0．120lg|A·u|=-20dBφ≈84．3°
f=fL|A·u|≈0．70720lg|A·u|=-3dBφ=45°
f=10fL|A·u|≈120lg|A·u|=0dBφ≈5．7°
f>10fL|A·u|≈120lg|A·u|=0dBφ→0°

将以上各值描绘在对数坐标系中，即可得RC高通网络的波特图，如图3．2．4所示。



图3．2．4RC高通网络的波特图



由图3.2.4中的对数幅频响应曲线可知，虚线所示的折线非常接近所描绘的曲线，此折线由两条直线构成，当f≥fL时，是一条与横轴平行的直线； 当f<fL时，是一条斜率为20dB/十倍频程的直线。两条直线在fL处相交，也即折线以fL为转折点。如果只要求对幅频响应进行粗略的估算，则可以用此折线代替曲线，此时的最大误差点在fL处，误差为3dB。如需精确分析，只要在折线的基础上加以修正即可。

由图中对数相频响应曲线可知，虚线所示的折线很接近所描绘的曲线，这条折线由三段构成： φ=0°的直线，φ=90°的直线，斜率为-45°/十倍频程的斜线。在工程近似估算中，也常用此折线来代替曲线，此时的最大误差在f=0．1fL及f=10fL处，均为5．7°。如需精确分析，也可在折线基础上修正。

综上分析可知，对于RC低通网络，上限截止频率fH是一个重要的频率点，当频率较低时，|A·u|≈1，φ≈0°，随着频率的升高，|A·u|会下降，φ会增大，U·o滞后于U·i，最大滞后90°； 对于RC高通网络，下限截止频率fL是一个重要的频率点，当频率较高时，|A·u|≈1，φ≈0°，随着频率的降低，|A·u|会下降，φ会增大，U·o超前于U·i，最大超前90°。






3．2．2BJT的高频等效模型

下面将从BJT的物理结构出发，建立BJT的高频小信号模型，即BJT的混合π模型。

1．  BJT的混合π模型

图3．2．5(a)所示的是BJT的内部物理结构，它是根据BJT的内部物理过程得到的。在第1章的BJT的结构以及第2章rbe的计算中可知，由于基区非常薄并且掺杂浓度很低，因此基区体电阻不能忽略，而集电区和发射区的掺杂浓度较高，它们的体电阻较小，可以忽略。基极电流是由发射区扩散到基区的多子在基区复合形成的，这里近似地把这些复合看成都集中在基区的某一点，记作b′点，如图3．2．5(a)所示。这些复合的载流子形成的基极电流从b′点经基区流到基极b产生电压降，这种现象用b和b′之间的电阻rbb′表示，称为基区体电阻。rb′e和rb′c分别代表发射结和集电结的结电阻，Cb′e和Cb′c分别代表发射结和集电结的结电容，它们的作用在高频信号下才会表现出来。由于结电容的影响，BJT的基极电流不能全部用来控制集电极电流，一部分要对电容充电。因此在高频时，BJT的集电极电流将与发射结两端电压U·b′e成正比，用一个受控电流源gmU·b′e表示，gm称为跨导，描述U·b′e对I·c的控制关系，即I·c=gmU·b′e； rce表示BJT的集电极输出电阻。



图3．2．5混合π模型


将图3．2．5(a)改画成如图3．2．5(b)所示的共射接法的形式，即得到了BJT的混合π形等效模型，因其形似希腊字母π，并且各参数具有不同的量纲而得名，简称为混合π模型。

在图3．2．5（b）中，由于BJT工作在放大状态，集电结反偏，rb′c即为集电结的反偏电阻，达兆欧级，和与它并联的容抗相比，可以忽略其影响。在h参数交流小信号模型中提到，rce可达数百千欧以上，与外部的并联电阻相比也可以忽略，由此可得简化的混合π模型，如图3．2．6所示。



图3．2．6简化的混合π模型


BJT的混合π模型具有如下特点： 

(1) 它是一个高频小信号模型，只有在高频信号的作用下，结电容Cb′e和Cb′c的影响才会显现出来。

(2) 受控的电流源gmU·b′e不是受控于输入基极电流I·b，而是发射结电压U·b′e，这样表示的原因是： 由于结电容的存在，使I·b不仅包含流过rb′e的电流，还包含流过Cb′e的电流，因此集电极电流I·c已不再与I·b成正比，而是与U·b′e成正比，而它们之间的控制关系用gm表示。

2． 混合π模型参数的估算

混合π模型和h参数交流小信号模型都是BJT的等效电路，只是适用于不同的工作频率范围。前者适应于高频，后者适应于中低频。在低频和中频的情况下，输入信号频率较低，BJT的PN结极间电容的容抗很大，可以看作开路，因此，忽略结电容Cb′e和Cb′c的影响，由混合π模型得到低频等效电路如图3．2．7(a)所示，该电路与图3．2．7(b)中的h参数模型是互相等效。依据这种等效关系，则可方便地通过h参数来获得混合π参数。



图3．2．7低频等效电路


比较两电路的输入回路，有
rbe=rbb′+rb′e(3．2．11)
将式(3．2．11)与式(2．3．16)对比，可知
rb′e=(1+β0)UTIEQ(3．2．12)
式中，β0为前面介绍的低频时BJT的共射极电流放大系数，此处加下标“0”，是为了区别于BJT高频时的β。

再比较两电路的输出回路，得
β0I·b=gmU·b′e(3．2．13)
又知
U·b′e=I·brb′e(3．2．14)
因此可求得
gm=β0rb′e=ICQUT(3．2．15)
这样，在混合π模型中，除Cb′e和Cb′c外的其他参数均已求出。Cb′c的数值可以从产品手册中查到，至于Cb′e可通过下式计算
Cb′e=gm2πfT(3．2．16)
式中的fT为特征频率，也可从手册中查到，而上述关系式可由下面的讨论得出。


3．  BJT的频率参数fβ、fT

BJT的频率参数用来描述晶体管对不同频率信号的放大能力。常用的频率参数有共射极截止频率fβ、特征频率fT等。

1) 共发射极截止频率fβ

由于结电容的影响，BJT的β值将随工作频率的上升而下降，且使I·c和I·b之间的相位差发生变化。因此，β是频率的函数，在此用复数形式β·表示。由hfe(也就是β)的定义可知
β·=I·cI·bUCEQ(3．2．17)
即β·是集电极和发射极之间动态电压为零(ΔuCE=0)时的电流I·c与I·b的比值。因此，将图3．2．6中的混合π模型的c、e输出端短路，即得高频时分析β·的混合π模型，如图3．2．8所示。



图3．2．8分析β·的混合π模型


由图3．2．8可见，集电极电流为
I·c=(gm-jωCb′c)U·b′e(3．2．18)
基极电流I·b与U·b′e之间的关系可以使用I·b去乘b′和e之间的阻抗来获得，即
U·b′e=I·brb′e∥1jωCb′e∥1jωCb′c(3．2．19)
由式(3．2．18)和式(3．2．19)可得β·为
β·=I·cI·b=gm-jωCb′c1rb′e+jω(Cb′e+Cb′c)(3．2．20)
一般满足gmωCb′c，因此可得
β·≈gmrb′e1+jωrb′e(Cb′e+Cb′c)(3．2．21)
由式(3．2．15)可知β0=gmrb′e，则得
β·=β01+jωrb′e(Cb′e+Cb′c)(3．2．22)
式（3.2.22）与式(3．2．1)相似，说明β·的频率响应与低通网络的频率响应相似。令fβ为β·的截止频率，称为共发射极截止频率，则可知
fβ=12πrb′e(Cb′e+Cb′c)(3．2．23)
将式（3.2.23）代入式(3．2．22)可得
 β·=β01+jffβ(3．2．24)
由式(3．2．24)可得β·的幅频特性与相频特性为
|β·|=β01+ffβ2(3．2．25)
φβ=-arctanffβ(3．2．26)
由此可得β·的对数幅频特性与对数相频特性为
20lg|β·|=20lgβ0-20lg1+ffβ2(3．2．27)
φβ=-arctanffβ(3．2．28)


图3．2．9β的波特图

因此可做出β·的波特图，如图3．2．9所示。可以看到，当f=fβ时，20lg|β·|比低频时的20lgβ0下降3dB，即|β·|=β02。


2) 特征频率fT

当f=fβ时，虽然|β·|=β02，但其值通常仍远大于1，这表明BJT仍有电流放大能力。当|β·|=1时，BJT才失去电流放大能力。定义|β·|=1时的工作频率为BJT的特征频率，记作fT。一般满足fTfβ，则由式(3．2．25)及式(3．2．23)可得
fT≈β0fβ=gm2π(Cb′e+Cb′c)(3．2．29)
一般Cb′eCb′c，所以
fT≈gm2πCb′e(3．2．30)
特征频率fT是BJT的重要参数，常在手册中给出，由此即可求出Cb′e。

与β·相似，BJT的共基极电流放大系数α也是频率的函数，可表示为
α·=α01+jffα(3．2．31)
式中，α0是低频时α的值，fα是BJT的共基极截止频率。由α与β的关系可推出fα与fβ之间存在如下关系
fα≈(1+β0)fβ(3．2．32)
由式(3．2．29)和式(3．2．32)可得fT与fα之间有如下关系
fT≈β0fβ=α0fα(3．2．33)
由上述分析可知，使用同一个BJT分别构成共射放大电路和共基放大电路时，共射放大电路的上限截止频率最高能达到fβ，而共基放大电路的上限截止频率最高能达到(1+β0)fβ。由此可见，共基放大电路的高频特性比共射放大电路好得多，所以在高频应用领域常选用共基放大电路。






3．2．3共射放大电路的频率响应

由于放大电路中的耦合电容、BJT的极间电容以及导线的分布电容的容抗都是频率的函数，因此，当频率在大范围内变化时，会影响到电压放大倍数。图3．2．10(a)所示为静态工作点稳定的共射放大电路，下面以该电路为例，详细介绍放大电路频率响应的分析方法。

考虑到电容的影响，可以画出图3．2．10(a)的完整的交流小信号等效电路，如图3．2．10(b)所示。

在图3.2.10（b）中，Rb=Rb1∥Rb2，可见，等效电路中包含了BJT的极间电容Cb′e和Cb′c、耦合电容C1和C2、旁路电容Ce。由于Cb′c跨接了输入回路和输出回路，使电路分



图3．2．10共射放大电路及其完整的交流小信号等效电路




图3．2．10（续）


析变得十分复杂。为此，为了便于分析，





运用密勒定理将Cb′c等效变换到输入回路和输出回路，即将其折合到输入回路与输出回路，等效变换后的电路如图3．2．10(c)所示。图中CM为b′和e之间的等效电容，其表达式为
CM=Cb′c(1-A·u)(3．2．34)
CN为c和e之间的等效电容，其表达式为
CN=Cb′c1-1A·u(3．2．35)
在式(3．2．34)和式(3．2．35)中，A·u=U·ce/U·b′e，在近似计算中常用中频时的A·um=U·ce/U·b′e代替。可见，用密勒定理等效变换后的CM是Cb′c的(1+|A·um|)倍(对共射放大电路来说，|A·um|=-A·um)，其值较大，这种现象称为密勒倍增效应，简称密勒效应； 而由于共射放大电路的|A·um|通常很大，所以用密勒定理等效变换后的CN近似等于Cb′c，其值很小。

为了分析方便，下面将整个频率范围划分为三个频段(中频段、低频段、高频段)来讨论放大电路的频率响应。

1． 中频段的频率响应

在中频段，C1、C2及Ce的容抗很小，与相串联的输入电阻Ri、输出电阻Ro及其他电阻相比可以看作短路，同时极间电容Cb′e和Cb′c的容抗很大，与相并联的其他电阻相比，可以看作开路。这一频段对应的等效电路称为中频交流小信号等效电路，此时的等效电路是纯阻性的，得到的电压放大倍数与频率无关，2．4节介绍的电压放大倍数就是在这一频段内得到的。因此，由图3．2．10(b)可以画出电路的微变等效电路如图3．2．11(a)所示。其中，Rb=Rb1∥Rb2，一般总是远大于rbe，因而可以忽略Rb，得到如图3．2．11(b)所示的等效电路。



图3．2．11中频段交流小信号等效电路


由图3．2．11(b)可见，中频段的电压放大倍数为
A·um=U·oU·i=-β0R′Lrbe(3．2．36)
式中，R′L=RC∥RL。当考虑信号源的内阻对放大倍数的影响时，常用U·o和U·s的比值表示放大电路的放大能力，用A·usm表示，即
A·usm=U·oU·s=U·iU·sU·oU·i=-rbeRs+rbeβ0R′Lrbe=β0R′LRs+rbe∠-180°(3．2．37)
2． 低频段的频率响应与下限截止频率

在低频段，Cb′e和Cb′c可视为开路，虽然C1、C2及Ce的电容量较大，但工作于低频段时，其容抗增大，不能再看作短路，下面依次研究这些电容对频率响应的影响。

考虑C1、C2及Ce的影响，画出低频交流小信号等效电路如图3．2．12(a)所示。因Rbrbe，故Rb可以忽略； 又因下限截止频率fL非常接近中频段，故当f=fL时，Ce的容抗仍很小，一般能够满足Re1ωCe，所以Re可以忽略，从而画出忽略Rb和Re后的低频段微变等效电路，如图3．2．12(b)所示。然后将Ce等效折算到输入回路，其等效电容为Ce1+β0，再采用戴维南定理将输出回路进行等效变换，虚线左侧的一端口部分，其等效电压源为β0I·bRc，等效电阻为Rc，等效变换后的电路如图3．2．12(c)所示。



图3．2．12低频段交流小信号等效电路


由图3．2．12(c)可得低频段的电压放大倍数为
A·usL=U·oU·s=-β0R′LRs+rbe11-j1ω(Rs+rbe)C′111-j1ω(Rc+RL)C2
=A·usm11-j1ω(Rs+rbe)C′111-j1ω(Rc+RL)C2(3．2．38)
式中，C′1为输入回路中C1和Ce1+β0串联后的等效电容，即
C′1=C1Ce(1+β0)C1+Ce(3．2．39)
对比式(3．2．38)和式(3．2．6)可知，低频段的放大电路相当于包含两个RC高通网络。

在输入回路中，时间常数τ1=(Rs+rbe)C′1，下限截止频率为
fL1=12π(Rs+rbe)C′1(3．2．40)
上式表明，C1和Ce共同影响输入回路的下限截止频率，若只考虑C1，即无旁路电容Ce，则fL1=12π(Rs+rbe)C1； 若只考虑Ce，忽略C1，则fL1=12π(Rs+rbe)Ce1+β0。

在输出回路中，时间常数τ2=(Rc+RL)C2，下限截止频率为
fL2=12π(Rc+RL)C2(3．2．41)
因此，由式(3．2．40)、式(3．2．41)可求得fL1和fL2。通过以上分析可知，当τ2τ1时，即fL1fL2，低频段放大电路的下限截止频率fL主要决定于C′1(C1和Ce共同影响)，C2的影响可以忽略，即fL≈fL1； 当τ1τ2时，即fL2fL1，fL与C2有关，C′1的影响可以忽略，即fL≈fL2。

由式(3．2．39)、式(3．2．40)和式(3．2．41)可以看出，增大C1、C2和Ce的电容量可以降低下限截止频率，从而改善放大电路的低频响应。

将式(3．2．40)和式(3．2．41)代入式(3．2．38)即得低频段的放大电路频率响应为
A·usL=U·oU·s=A·usm1-jfL1f1-jfL2f(3．2．42)
3． 高频段的频率响应与上限截止频率

在高频段，C1、C2和Ce等大容量的电容可看作短路，而BJT的结电容、分布电容、负载电容等小容量的电容随信号频率增大，其容抗会减小，已不能再看作开路。考虑Cb′e、Cb′c、负载电容CL及分布电容的影响，由图3．2．10(c)可画出高频段交流小信号等效电路，如图3．2．13(a)所示，其中，Ci是Cb′e、CM及分布电容并联后的等效电容，Co是CN、CL及分布电容并联后的等效电容。再将输入回路和输出回路分别采用戴维南定理进行等效变换，变换后的电路如图3．2．13(b)所示，其中，U·′s=rb′eRs+rbb′+rb′eU·s，R′s=(Rs+rbb′)∥rb′e，R′L=Rc∥RL。



图3．2．13高频段交流小信号等效电路


由图3．2．13(b)可得高频段的电压放大倍数为
A·usH=U·oU·s=U·′sU·sU·b′eU·′sU·oU·b′e=rb′eRs+rbb′+rb′e1jωCiR′s+1jωCi(-gmR′L)1jωCoR′L+1jωCo
=A·usm11+jωR′sCi11+jωR′LCo(3．2．43)
由式（3.2.43）及图3．2．13(b)可以看出，高频段的放大电路相当于包含了两个RC低通网络。在输入回路中，时间常数τi=R′sCi，上限截止频率为
fH1=12πR′sCi(3．2．44)
在输出回路中，时间常数τo=R′LCo，上限截止频率为
fH2=12πR′LCo(3．2．45)
由式（3.2.44）和式（3.2.45）即可求得fH1和fH2。由上述分析可知，当τiτo时，即fH1fH2，高频段放大电路的上限截止频率fH决定于Ci，Co的影响可以忽略，即fH≈fH1； 当τoτi时，即fH2fH1，fH与Co有关，Ci的影响可以忽略，即fH≈fH2。

将式(3．2．44)和式(3．2．45)代入式(3．2．43)即得高频段的放大电路频率响应为
A·usH=U·oU·s=A·usm1+jffH11+jffH2(3．2．46)
4． 完整的频率响应

当低频段和高频段只考虑一个电容(C′1或C2，Ci或Co)的影响时，根据前述共射放大电路中频段、低频段、高频段的频率响应表达式可以画出相应的波特图，从而得到完整的频率响应曲线，如图3．2．14所示。

结合图3．2．2和图3．2．4，从图3．2．14中可以看出，用折线(虚线)来代替曲线(实线)能够近似地表达放大电路的频率响应，两组曲线的最大误差均出现在转折处，即上限截止频率fH和下限截止频率fL两处。幅频响应的最大误差为3dB，相频响应的最大误差为5．7°。若要准确表达频率响应，可以在折线的基础上进行适当的修正，修正后的曲线如图3.2.14中实线所示。



图3．2．14共射放大电路的波特图


由图3．2．14可以总结出阻容耦合共射放大电路的频率响应的特点如下： 

(1) 对于幅值，在中频段，电容的影响可以忽略，所以电压放大倍数最大，且在这个频段内近似为常数； 在低频段，结电容的容抗很大，与相应的PN结电阻并联时，可以忽略，而耦合电容及旁路电容的容抗变大，就会使电压放大倍数以20dB/十倍频程的速度下降； 在高频段，耦合电容及旁路电容的容抗很小，可以忽略，而结电容、负载电容及分布电容的容抗变小，也会使电压放大倍数以20dB/十倍频程的速度下降。




图3．2．15例3．2．1图

(2) 对于相移，在中频段，忽略电容的影响，放大器的相移近似为-180°； 在低频段，在耦合电容及旁路电容的影响下，曲线在中频相移的基础上，以45°/十倍频程的速度产生超前的附加相移，最大超前90°； 在高频段，在结电容、负载电容及分布电容的影响下，曲线在中频相移的基础上，以45°/十倍频程的速度产生滞后的附加相移，最大滞后90°。

由以上讨论可知，在频率响应的分析中，上限截止频率fH和下限截止频率fL是两个重要的参数，这两个参数决定了放大电路的通频带fBW(fBW=fH-fL)，必须首先确定这两个参数，才可画出频率响应曲线，确定通频带。

【例3．2．1】电路如图3．2．15所示，BJT的型号是3DG8，β0=50，rbb′=300Ω，fT=150MHz，Cb′c=4nF，UBE=0．7V； VCC=12V，Rb=560kΩ，Rc=4．7kΩ，Rs=600Ω，RL=10kΩ，C1=C2=10μF。求中频电压放大倍数、下限截止频率和上限截止频率。

解： (1) 求解混合π模型参数
IBQ=VCC-UBERb=12-0．7560≈20．2（μA）
rb′e=UTIBQ=2620．2≈1．3（kΩ）
gm=β0rb′e≈38．5（mS）
Cb′e=gm2πfT=38．52π×150≈41（nF）
A·u=U·ceU·b′e=-β0(Rc∥RL)rb′e=-gm(Rc∥RL)≈-123．1
Ci=Cb′e+Cb′c(1-A·u)=41+4×124．1=537．4（nF）
(2) 计算中频电压放大倍数
rbe=rbb′+rb′e=1．6（kΩ）
A·usm=U·oU·s=U·iU·sU·oU·i=-β0(Rc∥RL)Rs+rbe=-50×3．20．6+1．6≈-72．7
(3) 计算下限截止频率
fL1=12π(Rs+rbe)C1=12π(0．6+1．6)×103×10×10-6≈7．2（Hz）
fL2=12π(Rc+RL)C2=12π×3．2×103×10×10-6≈5（Hz）
故电路的下限截止频率为
fL=fL1=7．2（Hz）
(4) 计算上限截止频率
R′s=(Rs∥Rb+rbb′)∥rb′e=(0．6∥560+0．3)∥1．3≈0．53（kΩ）
Co≈Cb′c=4（nF）
因为时间常数R′sCi大于(Rc+RL)Co，所以电路的上限截止频率为
fH=12πR′sCi=12π×0．53×103×537．4×10-9≈0．56（kHz）
3．3场效应管放大电路的频率响应

由于场效应管放大电路也存在耦合电容和极间电容，因此，放大电路的电压放大倍数也必然与频率有关。下面分析场效应管放大电路的频率响应。

3．3．1场效应管的高频等效模型

由于场效应管各极之间存在极间电容，因而其高频响应与BJT相似。根据场效应管的结构，可以画出其高频等效模型，如图3．3．1(a)所示。其中，Cgs、Cgd和Cds为极间电容，rgs和rds分别为g与s之间的输入电阻和d与s之间的输出电阻，其值都很大。由于rgs和rds比它们的外接电阻大得多，因此，在近似分析时，可以忽略不计，认为它们是开路的。而对于跨接在g与d之间的极间电容Cgd，为了便于分析，运用密勒定理对其进行等效变换，等效变换后的电路如图3．3．1(b)所示。其中，CM为g和s之间的等效电容，其表达式为
CM=Cgd (1-A·u)(3．3．1)
CN为d和s之间的等效电容，其值为
CN=Cgd1-1A·u(3．3．2)
式中，A·u=U·oU·i。在输入回路中，用C′gs表示Cgs和CM并联后的等效电阻； 在输出回路中，用C′ds表示Cds和CN并联后的等效电阻，等效后的场效应管模型如图3．3．1(c)所示。由于输入回路的时间常数通常比输入回路的小得多，故高频时的上限截止频率取决于输入回路的时间常数，可以忽略C′ds的影响，从而得到高频时场效应管的简化模型，如图3．3．1(d)所示。



图3．3．1场效应管的高频等效模型


3．3．2共源放大电路的频率响应

场效应管放大电路的频率响应分析方法与BJT放大电路的频率响应分析方法非常相似，其结果也很相似。下面以共源极放大电路为例，介绍场效应管放大电路的频率响应分析方法。

共源极放大电路如图3．3．2(a)所示，考虑耦合电容和极间电容的影响，其完整的交流小信号等效电路如图3．3．2(b)所示。



图3．3．2共源极放大电路及其完整的交流小信号等效电路


1． 中频段的频率响应

在中频段，耦合电容C1、C2短路，极间电容C′gs开路，因而可画出中频段微变等效电路，如图3．3．3所示。


由图3．3．3可求得放大电路在中频段的电压放大倍数为
A·um=U·oU·i=-gmU·gs(Rd∥RL)U·gs=-gmR′L(3．3．3)
2． 低频段的频率响应与下限截止频率

在低频段，考虑耦合电容C1、C2的影响，画出共源极放大电路在低频段的微变等效电路，如图3．3．4所示。




图3．3．3中频段微变等效电路




图3．3．4低频段微变等效电路



由图3．3．4可求得放大电路在低频段的电压放大倍数为
A·uL=U·oU·i=A·um11-j1ωRgC111-j1ω(Rd+RL)C2(3．3．4)

由式（3.3.4）可知，低频段的放大电路相当于包含两个RC高通网络。在输入回路中，时间常数τ1=RgC1，下限截止频率为
fL1=12πRgC1(3．3．5)
在输出回路中，时间常数τ2=(Rd+RL)C2，下限截止频率为
fL2=12π(Rd+RL)C2(3．3．6)
由此求得fL1和fL2。若fL1fL2，则低频段放大电路的下限截止频率fL≈fL1； 若fL2fL1，则fL≈fL2。由式（3.3.5）和式（3.3.6）也可以看出，增大耦合电容C1、C2可以降低下限截止频率，从而改善放大电路的低频响应。

将式(3．3．5)和式(3．3．6)代入式(3．3．4)即得放大电路低频段的频率响应为
A·uL=U·oU·i=A·um1-jfL1f1-jfL2f(3．3．7)


图3．3．5高频段微变等效电路

3． 高频段的频率响应与上限截止频率

在高频段，主要考虑极间电容C′gs的影响，画出共源极放大电路在高频段的微变等效电路，如图3．3．5所示。

由图3．3．5可求得放大电路在高频段的电压放大倍数为


A·uH=U·oU·i=A·um11+jωRgC′gs(3．3．8)
由式（3.3.8）可知，高频段的放大电路相当于包含一个RC低通网络。在输入回路中，时间常数τ1=RgC′gs，可求得放大电路的上限截止频率为
fH=12πRgC′gs(3．3．9)
将式(3．3．9)代入式(3．3．8)即可求得放大电路高频段的频率响应为
A·uH=U·oU·i=A·um1+jffH(3．3．10)
由上述各频段的频率响应表达式也可以画出与BJT放大电路(见图3．2．14)非常相似的波特图，此处不再赘述。

3．3．3放大电路的增益带宽积

通过前面分析可知，加大耦合电容及旁路电容，可以降低下限截止频率，从而改善放大电路的低频特性，然而这种改善是有限的，在信号频率较低时，应考虑采用直接耦合方式。直接耦合放大电路不通过耦合电容实现级间连接，因此其下限截止频率fL=0。

为了改善放大电路的高频特性，可以减小管子的极间电容，提高上限截止频率。放大电路的通频带(带宽)fBW=fH-fL，由于一般总是有fHfL，故fBW≈fH，扩展通频带的关键就在于提高fH。但从前面的共射放大电路和共源放大电路的频率响应分析可知，经密勒定理等效变换后的输入回路电容CM都会有密勒倍增效应，其大小与电路的放大倍数Au有关。因此在提高放大倍数Au时，将使CM增大，从而降低fH； 同样，通过增大R′L可以提高放大倍数Au，但将使fH降低。这说明提高放大电路的增益与扩展放大电路的通频带是相互矛盾的。因此，不能只以fH的大小来判断一个放大电路的高频性能。综合考虑这两个性能，引入一个新的参数“增益带宽积”，记作GBP，定义为
GBP=AusmfBW≈AusmfH(3．3．11)

确定了管子和电路的参数后，GBP基本就是一个常数。由此可见，增益增大多少倍，带宽几乎就会变窄多少倍，这个结论具有普遍性。

3．4多级放大电路的频率响应

由2．7．2节的分析可知，对于一个n级放大电路，电压放大倍数为各级电压放大倍数的乘积，即A·u=A·u1A·u2…A·un。各级放大电路的电压放大倍数是频率的函数，故多级放大电路的电压放大倍数A·u也必然是频率的函数。因此，一个n级放大电路的对数幅频响应和相频响应表达式为
20lg|A·u|=∑nk=120lg|A·uk|(3．4．1)
φ=∑nk=1φk(3．4．2)
为了简明起见，假设一个两级放大电路由两个频率响应相同(A·u1=A·u2)的单级放大电路构成，即它们的中频电压增益A·um1=A·um2，下限截止频率fL1=fL2，上限截止频率fH1=fH2。下面定性分析该两级放大电路的幅频响应，研究它与所含单级放大电路频率响应的关系。

整个电路的中频电压增益为
20lg|A·um|=20lg|A·um1|+20lg|A·um2|=40lg|A·um1|
当f=fL1时，每级对应的电压增益为|A·um1|2，所以
20lg|A·um|=40lg|A·um1|-40lg2
由此可知，两级放大电路的增益下降了6dB，并且由于此时A·u1、A·u2均产生+45°的附加相移，所以A·u产生+90°的附加相移。同理可得，当f=fH1时，两级放大电路的增益也下降了6dB，但此时A·u1、A·u2均产生-45°的附加相移，所以A·u产生-90°的附加相移。因此，根据上述分析可以画出这个两级放大电路及单级放大电路的波特图如图3．4．1所示。根据放大电路通频带的定义，当电压增益为0．707|A·um|时，即增益下降3dB处对应的频率分别为下限截止频率fL和上限截止频率fH，标注如图3．4．1所示。显然，fL>fL1，fH<fH1，因此两级放大电路的通频带比单级放大电路窄。依此推广到多级放大电路，多级放大电路的下限截止频率将增大，且大于每一级放大电路的下限截止频率； 上限截止频率将减小，且小于每一级放大电路的上限截止频率，故多级放大电路的通频带变窄。



图3．4．1两级放大电路的波特图


若要定量计算一个n级放大电路的下限截止频率fL和上限截止频率fH，设每一级的下限截止频率为fL1，fL2，…，fLn，则多级放大电路低频段的增益表达式为
A·u=∏nk=1A·umk11-j(fLk/f)(3．4．3)
其中，A·umk为第k级放大电路的中频放大倍数。整个电路的中频电压放大倍数为
|A·um|=∏nk=1|A·umk|
所以有
A·uA·um=∏nk=111+(fLk/f)2

根据下限截止频率的定义，当f=fL时，A·uA·um=12，因此可得
∏nk=111+(fLk/fL)2=12
两边平方得
∏nk=1［1+(fLk/fL)2］=2
将上式展开后，考虑到fLkfL<1(k=1，2，…，n)，故忽略高次项得
fL≈f2L1+f2L2+…+f2Ln
为了得到更精确的结果，将上式进行修正，乘以修正系数1．1，可得
fL≈1．1f2L1+f2L2+…+f2Ln(3．4．4)
设每一级的上限截止频率为fH1，fH2，…，fHn，则多级放大电路在高频段的增益表达式是
A·u=∏nk=1A·umk11+j(f/fHk)(3．4．5)
与上述fL的推导过程类似，并经过修正，可得
1fH≈1．11f2H1+1f2H2+…+1f2Hn
所以
fH≈11．11f2H1+1f2H2+…+1f2Hn(3．4．6)
若两级放大电路是由两个相同频率响应的单级放大电路组成，则其下限截止频率和上限截止频率分别为
fL≈1．12fL1=1．56fL1
fH≈fH11．12=0．643fH1
若一个三级放大电路是由相同频率响应的单级放大电路组成，则可求得它的下限截止频率和上限截止频率分别为
fL≈1．13fL1=1．91fL1
fH≈fH11．13=0．52fH1
通过比较可以看出，放大电路的级数越多，通频带越窄。

式(3．4．4)和式(3．4．6)多用于各级截止频率相差不大的情况。若某级的下限截止频率远高于其他各级的下限截止频率，则多级放大电路的下限截止频率近似等于该级的下限截止频率(最高的下限截止频率)； 同理，若某级的上限截止频率远低于其他各级的上限截止频率，则多级放大电路的上限截止频率近似等于该级的上限截止频率(最低的下限截止频率)，进而可知，如果某一级放大电路的频率响应设计得不够好，则会影响整个多级放大电路的频率特性。

小结

(1) 由于放大器件存在着极间电容，以及有些放大电路中存在耦合电容、旁路电容、分布电容、负载电容等，因此，放大电路对不同频率的信号具有不同的放大能力，其增益和相移均会随频率变化而变化，即增益是信号频率的函数，这种函数关系称为放大电路的频率响应，常用波特图 (对数频率特性曲线)来描述。

(2) 为了描述BJT对高频信号的放大能力，需建立它的高频等效模型，即BJT的混合π模型。常用的BJT的频率参数有共射极截止频率fβ、特征频率fT。

(3) 对于单级共射放大电路，低频段电压放大倍数下降的主要原因是输入信号在耦合电容及旁路电容上产生压降，同时还将产生0~90°的超前附加相移。高频段电压放大倍数下降的主要原因是BJT的极间电容的影响，同时产生0~90°的滞后附加相移。

(4) 下限截止频率fL和上限截止频率fH的数值决定于电容所在回路的时间常数，通频带fBW=fH-fL。

(5) 在一定条件下，增益带宽积约为常量，若要获得比较好的高频特性，则选择上限截止频率高的放大器件； 若要使低频特性比较好，则可以考虑直接耦合方式。直接耦合放大电路不通过电容实现级间连接，因此,其低频截止频率fL=0，低频响应好。

(6) 多级放大电路的通频带总是比组成它的每一级的通频带窄，而且级数越多，通频带越窄。

习题

3．1选择填空。

(1) 放大电路在高频信号作用时放大倍数数值下降的原因是，而低频信号作用时放大倍数数值下降的原因是。



A． 耦合电容和旁路电容的存在

B． 半导体器件极间电容和分布电容的存在

C． 半导体器件的非线性特性

D． 放大电路的静态工作点不合适

(2) 当信号频率等于放大电路的fL或fH时，放大倍数的值约下降到中频时的。

A．  0．5倍
B． 0．7倍
C． 0．9倍
D． 1．4倍

(3) 对于基本共射放大电路，当f=fL时，U·o与U·i的相位关系是； 

A．  +45°
B． -90°
C． -135°
D． -225°

当f=fH时，U·o与U·i的相位关系是。

A．  -45°
B． -90°
C． -135°
D． -225°

3．2若某一放大电路的电压放大倍数为100，则其对数电压增益是多少分贝？另一放大电路的对数电压增益为80dB，则其电压放大倍数是多少？

3．3已知某放大电路电压放大倍数的频率特性为
A·u=1000jf101+jf101+jf106
式中，f的单位为Hz，试求该电路的中频对数电压增益、下限截止频率fL和上限截止频率fH。

3．4一个放大电路的幅频特性如题图3．4所示，由图可知，该电路的中频放大倍数|Aum|、下限截止频率fL和上限截止频率fH各为多少？

3．5已知某电路是由相同频率响应的单级放大电路组成，其幅频特性如题图3．5所示，试回答： 

(1) 该电路的耦合方式。

(2) 该电路由几级放大电路组成？

(3) 写出A·u的表达式，并估算该电路的上限截止频率fH。



题图3．4




题图3．5



3．6电路如题图3．6所示，VCC=12V，Rb=470kΩ，Rc=6kΩ，Rs=1kΩ，C1=C2=5μF； BJT的β0=50，UBE=0．7V，rbb′=500Ω，fT=70MHz，Cb′c=5pF。试求电路的下限截止频率fL和上限截止频率fH。



题图3．6