第3章随机过程的线性变换 在电子技术中，通常需要将信号经过一系列的变换，才能提取到有用的信息。变换可以看作为信号通过系统，所以随机过程的变换就是分析随机过程通过系统后的响应。系统一般分为线性系统和非线性系统两大类，因此随机过程的变换也分为线性变换和非线性变换两大类。本章介绍随机过程的线性变换，随机过程的非线性变换将在第4章介绍。 3.1变换的基本概念和基本定理 3.1.1变换的基本概念 1. 变换的定义 首先回顾普通函数变换的概念。 给定一个函数x（t），按照某种法则T，指定一个新的函数y（t），那么，就说y（t）是x（t）经过变换T后的结果。记为 y（t）=T［x（t）］ （3.1.1） T称为从x（t）到y（t）的变换。类似地，随机过程的变换也可以这样来定义。 定义给定一个随机过程X（t），按照某种法则T，对它的每一个样本函数x（t），都指定一个对应函数y（t），于是就得到了一个新的随机过程Y（t），记为 Y（t）=T［X（t）］（3.1.2） T就叫作从随机过程X（t）到Y（t）的变换，Y（t）是随机过程X（t）经过变换后的结果。 需要说明的是式（3.1.2）的变换关系，如果要用普通函数的变换关系来理解的话是一簇变换关系，也就是说，对X（t）和Y（t）的每一个样本函数都有一个变换等式。 随机过程的变换也可以用系统的观点来加以解释。如图3.1所示，假定系统是按照法则 T来定义的，那么Y（t）就可以看作随机过程X（t）通过系统后的响应。 图3.1随机过程的变换示意图 变换有确定性变换和随机性变换两种。对于某个试验结果ei，对应一个特定的时间函数 x（t，ei），用这个信号作为系统的输入，可以得到一个特定的输出函数y（t，ei），这个函数是Y（t）对应于ei的一个样本。于是，系统对随机输入的响应与确定性信号的响应是相同的，所谓随机性主要表现在输入上，而不是变换本身。按这种方式解释的变换称为确定性变换。即如果e1和e2是两个实验结果，且x（t，e1）=x（t，e2），则y（t，e1）=y（t，e2），则称T是确定性变换，否则称为随机性变换。 本章只介绍确定性变换。 2. 线性变换 定义设有任意两个随机变量A1和A2及任意两个随机过程X1（t）和X2（t），如果满足 L［A1X1（t）+A2X2（t）］=A1L［X1（t）］+A2L［X2（t）］（3.1.3） 则称L是线性变换。 对于线性变换L，Y（t）=L［X（t）］，如果 Y（t+ε）=L［X（t+ε）］（3.1.4） 其中ε为任意常数，即输入的时延对输出也只产生一个相应的时延，则称L是线性时不变的。 3.1.2线性变换的基本定理 下面针对线性变换给出两个基本定理，这两个定理描述了随机过程经过线性变换后数字特征的变化。 定理1设Y（t）=L［X（t）］，其中L是线性变换，则 EY（t）=LE［X（t）］ （3.1.5） 即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。 由于 EY（t）=EL［X（t）］=LE［X（t）］ （3.1.6） 可见，如果把L和E看作为算子，那么L和E这两个算子是可以交换次序的。 定理1可以用大数定理加以证明。设第i次试验时，得到样本函数xi（t），将其加到系统的输入端，而在输出端得到一个样本函数yi（t）： yi（t）=L［xi（t）］（3.1.7） 在n次重复试验后，可以得到n个样本函数y1（t），y2（t），…，yn（t），那么Y（t） 的样本均值为 Y（t）=1n［y1（t）+y2（t）+…+yn（t）］ =1nL［x1（t）］+L［x2（t）］+…+L［xn（t）］ =L1n［x1（t）+x2（t）+…+xn（t）］ =LX（t） （3.1.8） 当X（t）与Y（t）的方差有限时，根据大数定理，当n→∞时，有 X（t）→E［X（t）］，Y（t）→E［Y（t）］ 所以 EY（t）=LE［X（t）］ 定理2设Y（t）=L［X（t）］，其中L是线性变换，则 RXY（t1，t2）=Lt2［RX（t1，t2）］ （3.1.9） RY（t1，t2）=Lt1［RXY（t1，t2）］=Lt1·Lt2［RX（t1，t2）］ （3.1.10） 其中Lt1表示对t1做L变换，Lt2表示对t2做L变换。 证明因为 X（t1）Y（t）=X（t1）L［X（t）］=L［X（t1）X（t）］ EX（t1）Y（t）=EL［X（t1）X（t）］=LE［X（t1）X（t）］ 令t=t2，可得 RXY（t1，t2）=Lt2［RX（t1，t2）］ 同理可证 RY（t1，t2）=Lt1［RXY（t1，t2）］ 联合上面两式，得 RY（t1，t2）=Lt1·Lt2［RX（t1，t2）］ 以上两个定理是线性变换的两个基本定理，它给出了随机过程经过线性变换后，输出的均值和相关函数的计算方法。 从两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确定。推广而言，对于线性变换，输出的k阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如 EY（t1）Y（t2）Y（t3）=Lt1·Lt2·Lt3E［X（t1）X（t2）X（t3）］（3.1.11） 假定系统是线性时不变的，由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出，如果X（t） 是严平稳的，则Y（t）也是严平稳的。如果X（t）是广义平稳的，则Y（t）也是广义平稳的。 例3.1随机过程导数的统计特性。设X·(t)=dX(t)/dt，L=ddt，很容易证明，导数是一种线性 图3.2随机过程的导数变换示意图 变换，X·(t)可以看作X(t)经过微分变换后的输出，如图3.2所示。 根据线性变换的基本定理1，导数过程X·(t)的均值为 E［X·(t)］=E{L［X(t)］}=L{E［X(t)］}（3.1.12） 即 mX·(t)=dmX(t)dt(3.1.13) 根据线性变换的定理2，X(t)和X·(t)的互相关函数为 RXX·(t1,t2)=Lt2［RX(t1,t2)］=RX(t1,t2)t2 (3.1.14) 自相关函数为 RX·(t1,t2)=Lt1［RXX·(t1,t2)］=RXX·(t1,t2)t1=2RX(t1,t2)t1t2（3.1.15） 如果X(t)为平稳随机过程, 则 mX·(t)=0(3.1.16) RXX·(τ)=-dRX(τ)dτ， RX·(τ)=dRXX·(τ)dτ=-d2RX(τ)dτ2 (3.1.17) GXX·(ω)=-jωGX(ω)GX·(ω)=jωGXX·(ω)=ω2GX(ω) (3.1.18) 导数过程的相关函数可用图3.3来表示。 图3.3随机过程及其导数相关函数示意图 另外，RXX·(-τ)=RX·X(τ)=dRX(τ)dτ ， 综合式(3.1.17)，可得RXX·(-τ)=-RXX·(τ)，RXX·(τ)是奇函数，RXX·(0)=0。因此，平稳随机过程X(t)与它的导数X·(t)在同一时刻是正交的和不相关的，如果X(t)服从正态分布，则它们还是相互独立的。 3.2随机过程通过线性系统分析 随机过程通过线性系统分析的中心问题是： 给定系统的输入函数和线性系统的特性，求输出函数，由于输入是随机过程，所以输出也是随机过程； 对于随机过程，一般很难给出确切的函数形式，因此，通常只分析随机过程通过线性系统后输出的概率分布特性和某些数字特征。线性系统既可以用冲激响应描述，也可以用系统传递函数描述，因此，随机过程通过线性系统的常用分析方法也有两种： 冲激响应法和频谱法。 3.2.1冲激响应法 设有如图3.4所示的线性系统，其中h(t)为系统的冲激响应。 图3.4线性系统示意图 根据线性系统的理论，输出Y(t)为 Y(t)=∫+∞-∞X(t-τ)h(τ)dτ=∫+∞-∞X(τ)h(t-τ)dτ=h(t)*X(t)(3.2.1) 如果用L=h(t)*表示与冲激响应的卷积，即Y(t)=L［X(t)］，很容易证明，L是一种线性变换，由定理1，输出的均值为 mY(t)=L［mX(t)］=h(t)*mX(t)=∫+∞-∞mX(t-τ)h(τ)dτ(3.2.2) 如果X(t)为平稳随机过程, 则 mY=∫+∞-∞mXh(τ)dτ=mX∫+∞-∞h(τ)dτ=mXH(0)(3.2.3) 其中H(0)为系统的传递函数在ω=0时的值。 由定理2，输入和输出的互相关函数为 RXY(t1,t2)=Lt2［RX(t1,t2)］=h(t2)*RX(t1,t2) =∫+∞-∞RX(t1,t2-u)h(u)du(3.2.4) 输出的自相关函数为 RY(t1,t2)=Lt1［RXY(t1,t2)］=h(t1)*RXY(t1,t2) =∫+∞-∞RXY(t1-u,t2)h(u)du(3.2.5) 综合式(3.2.4)与式(3.2.5)，得 RY(t1,t2)=h(t1)*RXY(t1,t2)=h(t1)*h(t2)*RX(t1,t2)(3.2.6) 同理可证 RYX(t1,t2)=h(t1)*RX(t1,t2)(3.2.7) RY(t1,t2)=h(t2)*RYX(t1,t2)(3.2.8) 输入输出相关函数的关系如图3.5所示。 图3.5随机过程通过线性系统输入输出相关函数之间的关系 如果X(t)是平稳随机过程，则 RXY(t1,t2)=∫+∞-∞RX(t1,t2-u)h(u)du=∫+∞-∞RX(t1-t2+u)h(u)du =∫+∞-∞RX(τ+u)h(u)du 其中，τ=t1-t2，即 RXY(τ)=h(-τ)*RX(τ) (3.2.9) 同理 RY(t1,t2)=∫+∞-∞RXY(t1-u,t2)h(u)du=∫+∞-∞RXY(t1-t2-u)h(u)du =∫+∞-∞RXY(τ-u)h(u)du 即 RY(τ)=h(τ)*RXY(τ)(3.2.10) 所以 RY(τ)=h(-τ)*h(τ)*RX(τ)(3.2.11) 类似地， RYX(τ)=h(τ)*RX(τ)(3.2.12) RY(τ)=h(-τ)*RYX(τ)(3.2.13) 平稳随机过程通过线性系统输入输出相关函数之间的关系如图3.6所示。 图3.6平稳随机过程通过线性系统输入输出相关函数之间的关系 例3.2设有微分方程描述的线性系统： dY(t)dt+αY(t)=X(t) 其中α为常数，系统的起始状态为Y(0)=0，输入X(t)为平稳随机过程，且E［X(t)］=λ，RX(τ)=λ2+λδ(τ)，求输出Y(t)的统计特性。 解首先确定系统的冲激响应，令输入为δ(t)，则冲激响应为 dh(t)dt+αh(t)=δ(t) 由此可解得 h(t)=e-αtU(t) 由于系统是因果系统，系统的响应只有在t≥0时才存在，因此，其输入也只有在t≥0时才对系统起作用，即实际加到系统的输入为X(t)U(t)，那么，输出Y(t)的均值为 mY(t)=h(t)*［mX(t)U(t)］=∫t0λe-ατdτ=λα(1-e-αt)（t≥0） 由式(3.2.4)，输入与输出的互相关函数为 RXY(t1,t2)=∫t20RX(t1,t2-u)h(u)du=∫t20［λ2+λδ(t1-t2+u)］e-αudu =λ2α(1-e-αt2)+λe-α(t2-t1)U(t2-t1)（t2>t1) 由式（3.2.5），输出的自相关函数为 RY(t1,t2)=∫t10RXY(t1-u,t2)h(u)du =∫t10λ2α(1-e-αt2)+λe-α(t2-t1+u)U(t2-t1+u)e-αudu =λ2α2(1-e-αt2)(1-e-αt1)+λ2αe-α(t2-t1)(1-e-2αt1)（t2>t1） 由于自相关函数满足RX(t1,t2)=RX(t2,t1)，所以，只需将上式t1和t2的位置互换，就可以得到t1>t2情况的RY(t1,t2)，即 RY(t1,t2)=λ2α2(1-e-αt1)(1-e-αt2)+λ2αe-α(t1-t2)(1-e-2αt2)（t1>t2） 可见，输出过程是非平稳的随机过程，当t1→∞,t2→∞时, 输出Y(t)进入稳态, 这时 mY=λα RY(t1,t2)=λ2α2+λ2αe-α|τ|，τ=t1-t2 所以，稳态情况下，输出是平稳随机过程。 图3.7RC电路 例3.3设有图3.7所示的RC电路。 假定输入为零均值的平稳随机过程, 且相关函数为RX(τ)=e-β|τ|, 求稳态时输出Y(t)的自相关函数。 解RC电路的冲激响应为 h(t)=αe-αtU(t) α=1RC 输入与输出的自相关函数为 RXY(τ)=h(-τ)*RX(τ)=∫+∞0RX(τ+u)h(u)du=∫+∞0e-β|τ+u|αe-αudu 当τ≥0时,RXY(τ)=∫+∞0e-β(τ+u)αe-αudu=αα+βe-βτ 当τ<0时,RXY(τ)=∫-τ0eβ(τ+u)αe-αudu+∫+∞-τe-β(τ+u)αe-αudu =αα-βeβτ-2αβα2-β2eατ 当τ<0时，RY(τ)=RXY(τ)*h(τ)=∫+∞-∞h(τ-u)RXY(u)du =∫τ-∞αα-βeβu-2αβα2-β2eαuαe-α(τ-u)du =αα2-β2(αeβτ-βeατ) 由于RY(τ)是偶函数, 所以 RY(τ)=αα2-β2(αe-β|τ|-βe-α|τ|) 3.2.2频谱法 所谓频谱法, 就是利用系统的传递函数来分析输出的统计特性。对于平稳随机过程,对式(3.2.9)和式(3.2.10)两边同时做傅里叶变换，可得 GXY(ω)=H*(ω)GX(ω)(3.2.14) GY(ω)=H(ω)GXY(ω) (3.2.15) GY(ω)=H*(ω)H(ω)GX(ω)=|H(ω)|2GX(ω)(3.2.16) 同理 GYX(ω)=H(ω)GX(ω)(3.2.17) GY(ω)=H*(ω)GYX(ω)(3.2.18) 例3.4如例3.2所述，运用频谱法求输出的功率谱和自相关函数。 解由于系统是物理可实现的，系统的起始状态为零，意味着输入X(t)是从t=0才起作用，故输出有一段瞬态过程，输出信号是非平稳的，这时不能应用频谱法进行分析。只有当t1→∞,t2→∞时, 输出Y(t)进入稳态, 输出信号为平稳信号，这时才能采用频谱法，即频谱法只适合稳态分析。 对例3.2所求的冲激响应做傅里叶变换，可得系统的传递函数为 H(ω)=∫+∞0e-αte-jωtdt=1α+jω 输入的功率谱密度为 GX(ω)=∫+∞-∞RX(τ)e-jωτdτ=2πλ2δ(ω)+λ 由式(3.2.16)，得 GY(ω)=|H(ω)|2GX(ω)=2πλ2α2+ω2δ(ω)+λα2+ω2=2πλ2α2δ(ω)+λα2+ω2 求上述功率谱的傅里叶反变换即可得输出的自相关函数为 RY(τ)=12π∫+∞-∞GY(ω)ejωτdω=λ2α2+λ2αe-α|τ| 例3.5如例3.3所述，运用频谱法求输出的功率谱和自相关函数。 解系统的传递函数为 H(ω)=αα+jωα=1RC 输入X(t)的功率谱为 GX(ω)=∫+∞-∞RX(τ)e-jωτdτ=2ββ2+ω2 由式(3.2.16), 可得 GY(ω)=GX(ω)|H(ω)|2=2ββ2+ω2·α2α2+ω2=αα2-β2α·2ββ2+ω2-β·2αα2+ω2 求上式的傅里叶反变换, 可得 RY(τ)=αα2-β2(αe-β|τ|-βe-α|τ|) 与例3.3比较可见，对于本例，采用频谱法更为简单。 图3.8信号通过线性 系统示意图 例3.6求随机相位信号通过线性系统后的自相关函数。设有图3.8所示线性系统，信号S(t)=acos(ω0t+Φ)，其中a和ω0均为常数，Φ为(0,2π)区间上均匀分布的随机变量，求输出信号的自相关函数。 解根据线性系统的理论，输出信号可以表示为S0(t)=a|H(ω0)|cos［ω0t+Φ+argH(ω0)］，其中|H(ω0)|表示系统传递函数在ω0处的幅度值，argH(ω0)表示系统传递函数在ω0处的相角。输出的自相关函数为 RS0(τ)=E［S0(t+τ)S0(t)］ =Ea2|H(ω0)|2cos［ω0(t+τ)+Φ+argH(ω0)］cos［ω0t+Φ+argH(ω0)］ =12a2|H(ω0)|2Ecos［ω0(t+τ)+ω0t+2Φ+2argH(ω0)］+cosω0τ =12a2|H(ω0)|2cosω0τ 输出信号的平均功率为RS0(0)=12a2|H(ω0)|2。 3.2.3平稳性的讨论 如果输入X(t)是平稳的, h(t)在(-∞,+∞)中都存在(即系统是物理不可实现的), 那么由式(3.2.3)、式(3.2.9)和式(3.2.11)可以看出，输出Y(t)也是平稳的, 且输入与输出是联合平稳的。 对于物理可实现系统，即当t<0时，h(t)=0，假定输入X(t)是平稳的，且从-∞ 时加入，则 Y(t)=∫+∞-∞X(t-u)h(u)du=∫+∞0X(t-u)h(u)du(3.2.19) mY=mX∫+∞0h(u)du(3.2.20) 可见输出的均值仍为常数。 RXY(t+τ,t)=E{X(t+τ)Y(t)}=EX(t+τ)∫+∞0X(t-u)h(u)du =∫+∞0RX(τ+u)h(u)du(3.2.21) RY（t+τ,t）=E［Y（t+τ）Y（t）］=E∫+∞0X（t+τ-u）h（u）duY（t） =∫+∞0RXY（τ-u）h（u）du (3.2.22) RY(t+τ,t)=∫+∞0∫+∞0RX(τ+v-u)h(u)h(v)dudv(3.2.23) 从式(3.2.23)可以看出, 相关函数只与τ有关, 所以Y(t)仍是平稳的。 如果X(t)是从t=0加入，则 Y(t)=∫t0X(t-u)h(u)du(3.2.24) mY(t)=mX∫t0h(u)du(3.2.25) RXY(t1,t2)=E［X(t1)Y(t2)］=EX(t1)∫t20X(t2-u)h(u)du =∫t20RX(t1,t2-u)h(u)du =∫t20RX(τ+u)h(u)du（τ=t1-t2） (3.2.26) RY(t1,t2)=E［Y(t1)Y(t2)］=E∫t10X(t1-u)h(u)duY(t2) =∫t10RXY(t1-u,t2)h(u)du =∫t10RXY(τ-u)h(u)du(3.2.27) RY(t1,t2)=∫t10∫t20RX(t1-u,t2-v)h(v)h(u)dvdu =∫t10∫t20RX(τ-u+v)h(v)h(u)dvdu(3.2.28) 冲激响应法是随机过程通过线性系统分析的基本方法，对于平稳和非平稳情况都是适应的。表3.1列出了常用线性电路的系统传递函数和冲激响应，供大家参考。 表3.1常用线性电路的系统传递函数和冲激响应对照表 电路H（ω）h（t） 11+jωRC1RCe-t/RCU（t） jωRC1+jωRCδ（t）-1RCe-t/RCU（t） RR+jωLRLe-Rt/LU（t） 续表 电路H（ω）h（t） jωLR+jωLδ（t）-RLe-Rt/LU（t） 例3.7干扰抑制滤波器。假定Y(t)=X(t)－X(t－T)，X(t)=S(t)+I(t)，其中S(t)为输入的有用信号，I(t)为输入的干扰信号，可表示为I(t)=acos(2πf0t+Φ)，式中a为常数，f0=50Hz，Φ为(0,2π)区间上均匀分布的随机变量，试分析系统对干扰信号I(t)的抑制作用。 解 干扰信号是一个随机相位信号，它的自相关函数为RI(τ)=12acos2πf0τ，功率谱密度为GI(f)=a24［δ(f+f0)+δ(f－f0)］。 干扰抑制器的冲激响应为h(t)=δ(t)－δ(t－T)，对应的传递函数为H(f)=1－e－j2πfT，干扰抑制器输出的功率谱密度为 GY(f)=GX(f)|H(f)|2=GS(f)+a24［δ(f+f0)+δ(f－f0)］|1－e－j2πfT|2 =GS(f)+a24［δ(f+f0)+δ(f－f0)］2(1－cos2πfT) 当f=1/T=1/50时，(1－cos2πfT)|f=1/T=0，这时，干扰抑制滤波器在f=1/T处形成一个零点，干扰信号刚好滤除。输出信号的功率谱为GY(f)=2(1－cos2πfT)GS(f)，输出信号得以保留。 3.3限带过程 在2.6.1节中介绍了白噪声，白噪声的功率谱在整个频率轴上是一个常数，若随机过程在一个有限的频带内具有非零的功率谱，而在频带之外为零，则称其为限带随机过程，或限带过程。很显然，白噪声通过一个限带系统，输出就是一个限带随机过程，常见的限带随机过程有低通随机过程和带通随机过程。 图3.9低通随机过程的功率谱 3.3.1低通过程 如果随机过程的功率谱GX（ω）在|ω|<ωc内不为零，而在其外为零，这样的随机过程称为低通随机过程，见图3.9。很显然，白噪声通过低通滤波器后，其输出就是这种低通随机过程。 低通随机过程的自相关函数为 RX（τ）=12π∫ωc-ωcGX（ω）ejωτdω （3.3.1） 对于低通随机过程，它的自相关函数的任意n阶导数都是存在的，即 R（n）X（τ）=12π∫ωc-ωc（jω）nGX（ω）ejωτdω<∞（3.3.2） 如果低通随机过程在频带内功率谱密度为常数，即 GX（ω）= N0/2（|ω|＜ωc，N0为常数） 0（其他） （3.3.3） 则称X（t）为理想低通随机过程或理想低通白噪声，其自相关函数为 RX（τ）=N0ωc2π·sinωcτωcτ（3.3.4） 总的平均功率为 RX（0）=N0ωc2π （3.3.5） 图3.10理想低通随机过程的自相关函数 从图3.10中可以看出，当τ=kπ/ωc（k=±1，±2，…）时，有 RX（kπ/ωc）=0 （3.3.6） 所以理想低通白噪声X（t）与X（t+kπ/ωc）（k=±1，±2，…）是正交的。对于理想低通白噪声，如果以Δt=π/ωc的时间间隔对它进行采样，那么，采样后得到的这组离散数据X（n），n=0，±1，±2，…是相互正交的。 3.3.2带通过程 如果随机过程X（t）的功率谱GX（ω）集中在ω0为中心的频带内，则称X（t）为带通随机过程，白噪声通过一个带通滤波器后，其输出为带通随机过程。如果在频带内，功率谱密度为常数，则称其为理想带通随机过程，见图3.11。 图3.11一般带通随机过程和理想带通随机过程示意图 设理想带通随机过程的功率谱密度为 GX（ω）= N0/2（ω0-ωc<ω<ω0+ωc或-ω0-ωc<ω<-ω0+ωc） 0（其他） （3.3.7） 对应的自相关函数为 RX（τ） =1π∫+∞0GX（ω）cosωτdω=1π∫ω0+ωcω0-ωcN02cosωτdω =N0ωcπ·sinωcτωcτ·cosω0τ （3.3.8） 理想带通随机过程自相关函数的图形如图3.12所示,其总的平均功率为 RX（0）=N0ωcπ（3.3.9） 图3.12理想带通随机过程自相关函数 3.3.3噪声等效通能带 在实际中，噪声等效通能带也是一个常用的概念。把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效成在一定频带内均匀的物理谱密度，这个频带称为噪声等效通能带，记为 Δfe，它表示了系统对噪声功率谱的选择性，图3.13给出了噪声等效通能带的示意图。 图3.13噪声等效通能带示意图 由图3.13可以看出， FY（ω0）Δωe=∫+∞0FY（ω）dω 因此噪声等效通能带为 Δfe=12π·∫+∞0FY（ω）dωFY（ω0）=∫+∞0H（ω）2dω2πH（ω0）2 （3.3.10） 图3.13给出的是带通网络的情况，对于低通网络，等效通能带为 Δfe=12π·∫+∞0FY（ω）dωFY（0）=∫+∞0H（ω）2dω2πH（0）2（3.3.11） 由此可见，噪声等效通能带只由线性系统特性来确定。根据噪声等效通能带，可以写出输出平均功率的表达式，对于带通网络，输出的平均功率为 RY（0）=12π∫+∞0FY（ω）dω=12πΔωeFY（ω0）=N0ΔfeH（ω0）2（3.3.12） 对于低通网络，输出的平均功率为 RY（0）=N0ΔfeH（0）2（3.3.13） 例3.8设有n阶巴特沃斯滤波器 Hn（f）2=11+f/Δf2n 其中Δf是滤波器3dB带宽，求噪声等效通能带。 解由式（3.3.11）得 Δfe=∫+∞0Hn（f）2df=∫+∞011+（f/Δf）2ndf=Δf∫+∞011+x2ndx =πΔf/（2n）sin（π/（2n）） n=1时，Δfe=（π/2）Δf =1.57Δf； n=2时，Δfe=1.11Δf； n越大，滤波器的带沿变得越陡峭，它的噪声等效通能带也越趋近于它的3dB带宽，当n→∞时，Δfe→Δf。 例3.9白噪声通过图3.7所示的RC电路，分析输出的统计特性。 解RC电路为一低通网络，系统的传递函数为 H（ω）=αα+jω，α=1RC 输出的功率谱密度为 GY（ω）=N02H（ω）2=N02·α2α2+ω2 输出的自相关函数为 RY（τ）=αN04e-α|τ| 相关系数为 rY（τ）=RY（τ）RY（0）=e-α|τ| 由式（3.3.11），可得噪声等效通能带为 Δfe=12π∫+∞0α2α2+ω2dω=14α 由式（2.3.16），可得输出随机过程的相关时间为 τ0=∫+∞0rX（τ）dτ=∫+∞0e-α|τ|dτ=1α 所以 τ0=14Δfe 即相关时间与系统的噪声等效通能带是成反比的，白噪声通过RC电路时，如果 α→∞，则Δfe→∞，τ0→0，这时RC电路为全通网络，输出仍为白噪声； 反之，如果α很小，则Δfe也很小，τ0很大，这时白噪声只有低频部分通过，输出噪声变化缓慢。 图3.14给出了白噪声通过RC电路MATLAB的Simulink仿真模块，图3.14（a）中的参数a为电路参数α=1RC，在实际仿真过程中需要给出具体值； 图3.14（b）中给出的a值为1，图3.14（c）中给出的a值为0.1。从仿真结果可以看出，大的 α相关时间少，输出噪声波形变化很快，小的α相关时间大，输出噪声波形变化很缓慢。 图3.14白噪声通过RC电路MATLAB的Simulink仿真模块 3.4随机序列通过离散线性系统分析 设有图3.15所示的离散线性系统，线性系统的单位样值响应为h（n），系统传递函数H（ω） 与单位样值响应之间是离散傅里叶变换对的关系，即 图3.15离散线性系统 H（ω）=∑+∞n=-∞h（n）e-jnω（3.4.1） 或者用z变换可表示为 H（z）=∑+∞n=-∞h（n）z-n（3.4.2） 随机序列X（n）通过线性系统后，输出Y（n）为 Y（n）=∑+∞k=-∞h（k）X（n-k）=∑+∞k=-∞h（n-k）X（k）=h（n）*X（n） （3.4.3） 那么，输出的均值为 mY（n）=EY（n）=∑+∞k=-∞h（k）mX（n-k） 即 mY（n）=h（n）*mX（n）（3.4.4） 输入与输出的互相关函数为 RXY（n1，n2）=EX（n1）Y（n2）=EX（n1）∑+∞k=-∞h（k）X（n2-k） =∑+∞k=-∞h（k）EX（n1）X（n2-k） =∑+∞k=-∞h（k）RX（n1，n2-k） 即 RXY（n1，n2）=h（n2）*RX（n1，n2） （3.4.5） 输出的自相关函数为 RY（n1，n2） =EY（n1）Y（n2） =E∑+∞k=-∞h（k）X（n1-k）Y（n2） =∑+∞k=-∞h（k）RXY（n1-k，n2） =h（n1）*RXY（n1，n2） 将式（3.4.5）代入上式可得 RY（n1，n2）=h（n1）*h（n2）*RX（n1，n2） （3.4.6） 如果输入X（n）为平稳随机序列，则 mY=mX∑+∞k=-∞h（k）=mXH（0）（3.4.7） 其中H（0）是系统传递函数H（ω）在ω=0的值。 RXY（m）=h（-m）*RX（m） （3.4.8） RY（m）=h（m）*RXY（m）=h（-m）*h（m）*RX（m） （3.4.9） GXY（ω）=H（-ω）GX（ω）（3.4.10） GY（ω）=H（ω）GXY（ω）=H（ω）2GX（ω） （3.4.11） 如果用z变换表示，则 GXY（z）=H（z-1）GX（z）（3.4.12） GY（z）=H（z）GXY（z）=H（z）H（z-1）GX（z）（3.4.13） 例3.10设有如下差分方程描述的离散线性系统： X（n）=aX（n-1）+W（n） （3.4.14） 系统如图3.16所示，其中W（n）为平稳白噪声，方差为σ2，式（3.4.14）也称为一阶AR（autoregressive）模型，由AR模型所产生的随机过程称为AR过程，求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。 图3.16一阶AR模型 解首先求系统的单位样值响应h（n），单位样值响应是当输入W（n）=δ（n）时系统的输出，即 h（n）=ah（n-1）+δ（n）=a2h（n-2）+aδ（n-1）+δ（n） = δ（n）+aδ（n-1）+a2δ（n-2）+… 或者写成 h（n）=an（n≥0） 0（n<0） （3.4.15） 系统稳定的条件是|a|<1。系统的传递函数为 H（ω）=∑+∞n=-∞h（n）e-jnω=∑+∞n=0ane-jnω=11-ae-jω （3.4.16） 首先用冲激响应法求输出的均值和自相关函数，假定|a|<1，由于输入W（n）的均值为零，所以，X（n）的均值亦为零。由式（3.4.9），X（n）的自相关函数为 RX（m）=h（-m）*h（m）*RW（m）=h（-m）*h（m）*σ2δ（m） =σ2h（-m）*h（m）=σ2∑+∞k=-∞h（m+k）h（k） 由于自相关函数是偶函数，所以可以先考虑m≥0的情况，有 RX（m）=σ2∑+∞k=0am+kak=σ2am1-a2 综合m<0的情况，有 RX（m）=σ2a|m|1-a2 （3.4.17） 可见一阶AR过程的自相关函数是无限长度的。 下面再用频谱法求解，由式（3.4.11），有 GX（ω）=H（ω）2GW（ω）=σ21-ae-jω2=σ21+a2-2acosω（3.4.18） 式（3.4.14）可以推广到N阶差分方程： X（n）=a1X（n-1）+a2X（n-2）+aNX（n-N）+W（n）（3.4.19） 称为N阶AR模型，对应的X（n）称为N阶AR过程，N阶AR过程的功率谱为 GX（ω）=H（ω）2GW（ω）=σ21-∑Nk=1ake-jωk2 （3.4.20） 在实际中，可以利用观测到的数据，估计模型的参数，用一个AR模型对一个时间序列建模。 例3.11设有如下差分方程描述的离散线性系统： X（n）=b0W（n）+b1W（n-1）（3.4.21） 系统如图3.17所示，其中W（n）为平稳白噪声，方差为σ2，式（3.4.21）也称为一阶MA（moving average）模型，由MA模型所产生的随机过程称为MA过程，求一阶M A过程的自相关函数和功率谱。 图3.17一阶MA模型 解首先确定系统的单位样值响应和系统传递函数，单位样值响应是输入为W（n）=δ（n）时的响应，即 h（n）=b0δ（n）+b1δ（n-1）（3.4.22） 可见系统的单位样值响应是有限长度的，系统的传递函数为 H（ω）=b0+b1e-jω （3.4.23） 输出的均值为 E［X（n）］=b0E［W（n）］+b1E［W（n-1）］=0 由式（3.4.9）可得一阶MA过程的自相关函数为 RX（m） =h（-m）*h（m）*RW（m） =［b0δ（-m）+b1δ（-m-1）］*［b0δ（m）+b1δ（m-1）］*σ2δ（m） =σ2［b0b1δ（m+1）+（b20+b21）δ（m）+b0b1δ（m-1）］ （3.4.24） 一阶MA过程的功率谱为 GX（ω）=σ2［b0b1ejω+b20+b21+b0b1e-jω］ =σ2［2b0b1cosω+b20+b21］（3.4.25） 式（3.4.21）可以推广到M阶MA过程： X（n）=b0W（n）+b1W（n-1）+…+bMW（n-M）（3.4.26） 很显然，M阶MA过程的均值仍为零，可以证明，当m≥0时，MA过程的自相关函数为 RX（m）=σ2∑Mk=mbkbk-m（0≤m≤M） 0（m>M）（3.4.27） 由自相关函数的性质，可得当m<0时，RX（m）=RX（-m）。 组合AR模型和MA模型可以构成ARMA模型如下： a0X（n）+a1X（n-1）+a2X（n-2）+aNX（n-N） =b0W（n）+b1W（n-1）+…+bMW（n-M） 称X（n）为ARMA（N，M）（autoregressive/moving average）过程。ARMA系统的传递函数为 H（ω）=∑Mk=0bke-jkω∑Nk=0ake-jkω （3.4.28） ARMA过程的功率谱密度为 GX（ω）=σ2∑Mk=0bke-jkω∑Nk=0ake-jkω2（3.4.29） 例3.12设有ARMA（2，2）模型如下： X（n）+1.4X（n-1）+0.5X（n-2）=W（n）-0.2W（n-1）-0.1W（n-2） 其中W（n）是零均值单位方差的平稳白噪声，求该过程的功率谱。 解系统的传递函数为 H（ω）=1-0.2e-jω-0.1e-j2ω1+1.4e-jω+0.5e-j2ω 由式（3.4.11）可得功率谱为 GX（ω）=1-0.2e-jω-0.1e-j2ω1+1.4e-jω+0.5e-j2ω2 例3.13图像边缘检测。边缘检测在图像处理中具有重要作用，例如，机场与机场周边的环境、公路路面与公路两边的区域具有不同的灰度等级，一阶差分运算是边缘检测简单实用的方法。一阶差分运算定义为Y(n)=X(n)－X(n－1)，求输出Y(n)的均值和自相关函数。 解定义差分算子L［X(n)］=X(n)－X(n－1)，很显然，L是线性变换。Y(n)的均值为 E［Y(n)］=E{L［X(n)］}=L［mX(n)］=mX(n)－mX(n－1) 输入与输出的互相关函数为 RXY(n1,n2)=Ln2［RX(n1,n2)］=RX(n1,n2)－RX(n1,n2－1) 输出的自相关函数为 RY(n1,n2)=Ln1［RXY(n1,n2)］=RXY(n1,n2)－RXY(n1－1,n2) =RX(n1,n2)－RX(n1,n2－1)－RX(n1－1,n2)+RX(n1－1,n2－1) 如果X(n)为平稳随机序列，且自相关函数为RX(n1,n2)=a|n1－n2|,0t0) 很显然，h2（t）在t<0时不为零，因此H2（s）不是物理可实现的滤波器，如果取物理可实现部分，则 h2c（t）= c2e（t-t0）/2(0＜t≤t0) 0(t＜0或t＞t0) 对应的传递函数为 H2c（s）=∫t00c2e（t-t0）/2e-stdt=c1-2se-st0-e-t0/2 那么，s（t）的广义匹配滤波器为 H（s）=H1（s）H2c（s）=c·1+s1-2se-st0-e-t0/2 3.6线性系统输出端随机过程的概率分布 在本章的前几节分析了线性系统输出的均值、相关函数和功率谱，本节将分析线性系统输出的概率密度。由于随机过程通过线性系统，就是对输入过程进行变换，即 Y（t）=L［X（t）］（3.6.1） 对于某个时刻t而言，式（3.6.1）是一种函数变换关系，所以Y（t）的一维概率密度可以用式（1.6.6）和式（1.6.8）来确定。同样，对于任意两个时刻t1和t2，有 Y（t1）=L［X（t1）］ Y（t2）=L［X（t2）］ （3.6.2） Y（t1）和Y（t2）的联合概率密度即为Y（t）的二维概率密度，它可以由式（1.6.10）确定，以此类推，Y（t）的N维概率密度可由式（1.6.13）来确定。这是线性系统输出端概率密度确定的一般方法，但实际上，由于线性系统特性不是一种简单的函数关系，通常都是由系统的冲激响应或传递函数来描述，因此，以上方法并不能直接使用。本节重点分析输出为正态的情况，其他情况通常只能运用概率密度估计的方法。 3.6.1正态随机过程通过线性系统 设随机过程X（t）通过冲激响应为h（t）的线性系统，输出过程为Y（t），那么 Y（t）=∫t-∞X（τ）h（t-τ）dτ= limmaxΔτi→0∑Ni=1X（τi）h（t-τi）Δτi（3.6.3） 对于任意N个时刻t1，t2，…，tn，设Yk=Y（tk），Xk=X（τk），则式（3.6.3）可用线性方程组来表示，即 Y1=l11X1+l12X2+…+l1NXN Y2=l21X1+l22X2+…+l2NXN  YN=lN1X1+lN2X2+…+lNNXN （3.6.4） 可见Y1，Y2，…，YN是X1，X2，…，XN经过线性变换后的响应，当X（t）是正态随机过程时，X1，X2，…，XN是N维正态随机矢量，N维正态随机矢量经过线性变换后仍为正态随机矢量，所以正态随机过程通过线性系统后仍然服从正态分布。 图3.24正态随机过程通过 线性系统示意图 例3.17设有如图3.24所示系统，假定输入 X（t）为零均值平稳正态随机过程，功率谱密度为GX（ω），求输出过程的一、二维概率密度。 解输出的功率谱为 GY（ω）=GX（ω）H（ω）2 那么，输出的方差为 σ2Y=RY（0）=12π∫+∞-∞GX（ω）H（ω）2dω （3.6.5） 输出的自相关函数为 RY（τ）=12π∫+∞-∞GX（ω）H（ω）2ejωτdω （3.6.6） 所以，Y（t）的一维概率密度为 fY（y）=12πRY（0）exp-y22RY（0） （3.6.7） 由式（2.6.7）可知，Y（t）的二维概率密度为 fY（y）=12πdet12（C）exp-12yTC-1y（3.6.8） 其中 y=［y1 y2］T，C=RY（0）RY（τ） RY（τ）RY（0） 或者写成 fY（y1，y2）=12πRY（0）1-r2Y（τ）exp-12［1-r2Y（τ）］RY（0）［y21-2rY（τ）y1y2+y22］（3.6.9） 其中rY（τ）=RY（τ）/RY（0）。 类似地，根据式（2.6.6），可以写出任意N维概率密度。 3.6.2随机过程的正态化 随机过程的正态化是指非正态随机过程通过线性系统后，变换为正态过程。就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。因此，即使线性系统的输入过程是非正态的，则根据式（3.6.3）得 Y（t）= limmaxΔτi→0N→∞∑Ni=1X（τi）h（t-τi）Δτi Y（t）是许多随机变量之和，因此输出过程仍有可能逼近正态分布。可以证明，白噪声通过有限带宽的线性系统，输出是服从正态分布的。同样，宽带噪声通过窄带系统，输出也是近似服从正态分布的，这里的宽带噪声是相对于系统带宽而言的。如果噪声带宽与系统带宽之比大于7~10倍，就可以看成是宽带噪声通过窄带系统的情况。 在本章最后给出了一个随机过程正态化的实验，利用该实验可验证随机过程正态化的几点结论。 3.7信号处理实例： 有色高斯随机过程的模拟 在电子系统的仿真技术中，经常涉及随机过程的模拟，如雷达地杂波、海杂波的模拟，电子战技术中的电子干扰信号模拟等。在这些模拟中经常遇到需要模拟任意功率谱形状的平稳随机过程。在2.7节中初步介绍了给定相关函数的相关高斯随机序列的模拟，本节将介绍具有任意功率谱形状的有色高斯随机过程的模拟。模拟的方法有很多种，本节着重介绍频域法和时域滤波法两种。 3.7.1频域法 假定需要模拟一个持续时长为Td的高斯随机过程的一个样本X(t)，要求功率谱满足GX(f)。为此，可以先将X(t)进行周期延拓，得到一个周期信号，如图3.25所示，然后对周期信号进行傅里叶级数展开,即 X～（t）=∑+∞k=-∞Xkej2πf0kf0=1Td（3.7.1） 图3.25随机过程的样本函数及其周期延拓 图3.26X～（t）的功率谱 由于傅里叶级数是Xk的线性组合，所以，如果Xk是零均值的高斯随机变量，那么X～（t）也是零均值高斯过程，如果{Xk}是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，如图3.26所示，即 GX～（f）=∑+∞k=-∞g2kδ（f-kf0）（g2k=E（|Xk|2）） （3.7.2） 通过选择gk就可以得到期望的功率谱。 假定GX(f)是带限的，即 GX(f)=0（|f|>B）（3.7.3） 其中B为功率谱的带宽，那么，{g2k}只有有限项，即{g2-M,g2-M+1,…,g20,…,g2M-1,g2M}，其中M=［B/f0］，［·］表示取整，与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。因此，只需产生2M+1个相互正交的零均值高斯随机变量{X-M,X-M+1,…,X0,…,XM-1,XM}，其方差E(|Xk|2)=g2k，并在式（3.7.1）中将时间限定为(0,Td)就可以得到模拟过程X(t)。g2k应与GX(kf0)成比例，即g2k=βGX(kf0)，系数β的选择可以通过满足下式来选择： ∫B-BGX(f)df=∑Mk=-ME［|Xk|2］=∑Mk=-Mg2k=β∑Mk=-MGX(kf0)（3.7.4） 即 β=∫B-BGX(f)df∑Mk=-MGX(f0k)（3.7.5） 下面将频域产生有色高斯随机过程的步骤总结如下： （1） 根据所需过程的时长Td确定频率f0，并由此确定傅里叶级数系数的长度M=［B/f0］； （2） 根据式（3.7.5）确定系数β； （3） 产生2M+1个独立的高斯随机变量，即 Xk~N(0,βGX(kf0)),k=-M,-M+1,…,0,…,M-1,M（3.7.6） （4） 构建时域样本函数。 X［i］=X(iΔt)=∑Mk=-MXkej2πf0k(iΔt)（3.7.7） 其中Δt为任意小的时间间隔。 例3.18假定要产生一段5ms的零均值高斯随机过程的一个样本，其功率谱密度要求为 GX(f)=11+(f/Δf)4 其中Δf=1kHz是功率谱密度的3dB带宽，严格地说，该过程的带宽是无限的，但当频率足够高时，功率谱密度已经很小，取B=6Δf，按以上步骤产生的随机过程如图3.27所示。 图3.27模拟产生的具有给定功率谱的高斯随机过程 3.7.2时域滤波法 有色高斯随机过程产生的另一种方法是时域滤波法，如图3.28所示。 图3.28时域滤波法产生有色高斯噪声的示意图 根据3.2节和3.6节所介绍的理论，功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出是服从高斯分布的，且输出的功率谱为GX(f)=|H(f)|2。因此，要产生功率谱为GX(f)的有色高斯噪声，只需设计一个滤波器即可，该滤波器的传递函数应满足 H(f)=GX(f)（3.7.8） 例3.19假定要产生一个例3.18所要求的有色高斯随机过程。功率谱密度可分解为 GX(f)=11+(f/Δf)4 =(Δf)4(f-Δf·ejπ/4)(f-Δf·ej3π/4)(f-Δf·e-jπ/4)(f-Δf·e-j3π/4) 其中，前两个极点与H(f)有关，后两个极点与H*(f)有关。所以，滤波器的传递函数为 H(f)=(Δf)2(f-Δf·ejπ/4)(f-Δf·ej3π/4)(3.7.9) 对式(3.7.9)做傅里叶反变换可得到系统的冲激响应为 h(t)=-2ω0e-ω0tcosω0t（t≥0）(3.7.10) 其中ω0=2πΔf。输出的有色高斯过程为 Y(t)=X(t)h(t)（3.7.11） 由于计算机产生的是连续时间信号的抽样值，即离散时间的信号，因此，在模拟滤波器设计后要转换成离散时间形式。根据模拟滤波器的原型设计相应的数字滤波器有许多方法，如冲激响应不变法、双线性变换法，有关设计的例子将在研讨题中进行实践。 习题 3.1设随机过程X（t）是平稳的和可微的，存在导数X′（t）。证明对于给定的t，随机变量X（t）和X′（t）是正交的和不相关的。 3.2设输入随机过程X（t）的自相关函数为RX（τ）=A2+Be-|τ|，系统冲激响应为 h（t）= e-at（t≥0） 0（其他） A，B，a均为正实常数。试求输出Y（t）的均值。 3.3已知一个平稳随机过程输入到RC低通滤波器，如图3.29所示。X（t）的自相关函数RX（t1，t2）=δ（t1-t2）=δ（τ），求输出的自相关函数RY（τ）。 3.4如图3.30所示RL电路，输入随机过程X（t），其E［X（t）］=0，RX（t1，t2）= σ2exp［-β|t1-t2|］=σ2exp［-β|τ|］，β>0，试求稳态时输出的自相关函数RY（τ）。 图3.29RC电路 图3.30RL电路 3.5设线性时不变系统的冲激响应为h（t）=e-βtU（t），输入平稳随机过程 X（t）的自相关函数为RX（τ）=e-α|τ|，其中α>0，β>0。 （1） 求输入输出之间的互相关函数RXY（τ）； 图3.31延迟电路 （2） 当令α=3，β=1时，将所得结果画出来。 3.6如图3.31所示电路中，输入平稳随机过程X（t）的相关函数为RX（τ）。试求 RY（τ）、RXY（τ）。 3.7设线性时不变系统的传递函数为 H（ω）=jω-αjω+β 输入平稳随机过程X（t）的自相关函数为RX（τ）=e-v|τ|（v>0），试求输入输出之间的互相关函数RXY（τ）。 3.8如图3.29所示，RC低通滤波器的输入为白噪声，其物理谱密度FX（ω）= N0（0＜ω＜∞），相应的自相关函数RX（τ）=N02δ（τ）。试求输出的FY（ω）和RY（τ），并证明（令t3＞t2＞t1） RY（t3-t1）=RY（t3-t2）RY（t2-t1）RY（0） 3.9假定功率谱密度为N0/2的高斯白噪声通过一个滤波器，其传递函数为 H（ω）=11+jω/ω1 其中ω1为常数，求输出的概率密度函数。 3.10如图3.32所示RL系统中，输入X（t）是物理谱密度为N0的白噪声，试用频谱法求系统输出的自相关函数RY（τ）。 3.11如图3.33所示，X（t）是输入随机过程，GX（ω）=N0/2，Z（t）是输出随机过程。试用频谱法求输出Z（t）的均方值。 图3.32RL电路 图3.33线性系统示意图 3.12零均值平稳随机过程X（t）输入一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数形式的一段，即 h（t）= e-at（0≤t≤T，α>0） 0（其他） 证明输出随机过程的功率谱密度为 α2α2+ω2（1-2e-αTcosωT+e-2αT）GX（ω） 其中GX（ω）是输入过程的功率谱密度。 3.13设积分电路输入输出之间满足下述关系： Y（t）=∫tt-TX（τ）dτ 其中T为常数，且X（t）和Y（t）均为平稳随机过程。求证Y（t）的功率谱密度 GY（ω）=GX（ω）sin2（ωT/2）（ω/2）2 3.14图3.34为单输入双输出的线性系统。求证： 输出Y1（t）和Y2（t）的互谱密度 GY1Y2（ω）=H1（ω）H2（ω）GX（ω） 图3.34单输入双输出的线性系统 3.15若线性系统输入随机过程X（t）的功率谱密度为 GX（ω）=ω2+3ω2+8 现已知其输出过程Y（t）的功率谱密度GY（ω）=1，求该系统的传递函数。 3.16假定随机过程X（t）的功率谱为GX（f）=11+f2，该过程加到一个传递函数为H（f）的滤波器，该滤波器的功能是使输出的功率谱为1，称该滤波器为白化滤波器。求该滤波器的传递函数，并画出它的实现电路。 3.17证明随机过程的采样定理。设X（t）为限带随机过程，即功率谱密度满足GX（ω）=0（ω>ωc），试证明： X^（t）=∑+∞n=-∞X（nT）sin（ωct-nπ）ωct-nπ 提示： 要证明上式，只需证明E{［X（t）-X^（t）］2}=0。 3.18已知平稳随机过程的相关函数为 （1） RX（τ）=σ2X（1-α|τ|）τ≤1α （2） RX（τ）=σ2Xe-ατ 其中α>0，分别求其等效通能带Δωe。 3.19设X（t）为一个零均值高斯过程，其功率谱密度GX（f）如图3.35所示，若每1/（2W）秒对X（t）取样一次，得到样本集合X（0），X（1/（2W）），…，求前N个样本的联合概率密度。 图3.35功率谱密度 3.20设X（n）是一个均值为零、方差为σ2X的白噪声，Y（n）是单位样值响应为h（n）的线性时不变离散系统的输出，试证： （1） E［X（n）Y（n）］=h（0）σ2X； （2） σ2Y=σ2X∑+∞n=-∞h2（n）。 3.21图3.36所示系统，输入为均值为零、方差为σ2X的白噪声序列，其中h1（n）=anU（n），h2（n）=bnU（n），且|a|＜1和|b|＜1。试求σ2Z。 图3.36离散线性系统 3.22设离散系统的单位样值响应h（n）=na-nU（n），a＞1，该系统输入为自相关函数为RX（m）=σ2Xδ（m）的白噪声，试求系统输出Y（n）的自相关函数和功率谱密度。 3.23序列Y（n）和X（n）满足差分方程Y（n）=X（n+a）-X（n-a），其中a为常数，试用X（n）的自相关函数表示Y（n）的自相关函数。 3.24实值一阶自回归过程X（n）满足差分方程X（n）+a1X（n-1）=W（n），其中a1 为常数，W（n）为独立同分布随机序列。证明： （1） 若W（n）均值非零，则X（n）非平稳； （2） 若W（n）均值为零，a1满足条件a1<1，则X（n）的方差为 σ2w1-a21； （3） 若W（n）均值为零，分别求当0T） 为指数形式脉冲，α>0，w（t）为平稳白噪声，且与s（t）之间统计独立。试求匹配滤波器的传输函数H（ω），并画出电路示意图。 3.31分析单个射频脉冲信号的匹配滤波。信号s（t）是矩形包络的射频脉冲，脉冲宽度为τ，角频率为ω0，其表示式为s（t）=arect（t）cosω0t，其中 rect（t）= 1（0≤t≤τ） 0（其他） 求s（t）的匹配滤波器的传递函数、输出信号的波形、输出的信噪比，并画出匹配滤波器的实现框图。 3.32分析相参射频脉冲串信号的匹配滤波器。设信号s（t）为 s（t）=∑M-1k=0s1（t-kT） 其中s1（t）是习题3.31所表示的单个射频脉冲信号，求s（t）的匹配滤波器的传递函数、输出信号的波形、输出的信噪比，并画出匹配滤波器的实现框图。 3.33设图3.29所示的RC低通滤波器的输入信号为X（t）=s（t）+w（t），其中，w（t）的功率谱密度为 Gw（ω）=N0/2，-∞<ω<∞，s（t）为与w（t）统计独立的矩形脉冲 s（t）= A（0≤t≤τ） 0（其他） 若定义RC低通滤波器的等效噪声频带Δfe=12RC，试求 （1） RC低通滤波器输出信噪比的表达式； （2） 最佳等效噪声频带Δfe，opt与τ为什么关系时，RC低通滤波器输出端有最大信噪比？ 3.34设线性滤波器的输入为X（t）=s（t）+w（t），已知s（t）与w（t）之间统计独立，且 s（t）= A（0≤t≤τ） 0（其他） w（t）是平稳噪声，其功率谱为 Gw（ω）=2αω2α2+ω2-∞<ω<∞ 试求输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数。 3.35设信号s（t）=1-cosω0t（0≤t≤2π/ω0），噪声的物理谱Fw（ω）=N0（0<ω<∞），且与信号统计独立，试设计匹配滤波器： （1） 求传输函数和冲激响应； （2） 求输出波形； （3） 画出匹配滤波器的结构方框图; （4） 若噪声功率谱为Gwω=ω21/（ω2+ω21）（-∞<ω<∞），其中ω1为常数，试求输出信噪比最大的线性滤波器的传输函数和冲激响应。 计算机作业 3.36模拟产生一个功率谱为GX（ω）=1/（1.25+cosω）的正态随机序列，画出随机序列的波形。 3.37图3.14是用MATLAB的Simulink模拟白噪声通过例3.3的RC电路，用示波器观察输入和输出的波形，改变RC的值，使电路时常数改变，观察输出波形的变化。 研讨题 3.38在雷达信号处理中，杂波的对消非常重要，用杂波衰减因子来描述杂波对消的效果，它的定义为CA=Ci/Co,其中Ci表示杂波对消器的输入杂波功率，Co表示杂波对消器的输出杂波功率。图2.36描述的就是一种最简单的二脉冲杂波对消器，假定进入到二脉冲对消器的杂波功率谱密度为GX(f)=Pc2πσcexp－f22σ2c，Pc为输入杂波的功率，求二脉冲对消器的杂波衰减因子。（提示： 对正弦函数可以采用近似计算： 对于小的x，sinx≈x，在实际中通常有fT1） 3.39设有图3.29所示RC低通滤波器，输入X（t）=s（t）+w（t）,s（t）=acos（ω0t+Φ），其中a,ω0是已知常数，Φ是在（0,2π）上均匀分布的随机变量，w（t）是功率谱密度为N0/2的白噪声，且与s（t）统计独立。 （1） 求输出Y(t)的自相关函数； （2） 如果定义输出的信噪比（SNR）为输出信号的平均功率与输出噪声的平均功率之比，求输出信噪比SNR的表达式； （3） RC应该如何选择可使输出信噪比达到最大？ 3.40在3.7.1节中介绍了频谱法模拟有色高斯随机过程的方法，请根据例3.18给出的要求，编写模拟有色高斯过程的MATLAB程序，并画出模拟产生的高斯随机过程的一个样本函数。 3.41在3.7.2节中介绍了时域滤波法模拟有色高斯随机过程的方法，请根据例3.19给出的要求，按照双线性变换法设计相应的数字滤波器，编写模拟有色高斯过程的MATLAB程序，并画出模拟产生的高斯随机过程的一个样本函数。 3.42设有图3.37所示系统。 图3.37匹配滤波器在二元PAM信号传输中的应用 假定信号为脉冲幅度调制(PAM)信号，s(t)=∑M-1k=0Akp(t-kts)，Ak等概率取+1和-1两个值，ts=1，信号在信道中传输会受到加性高斯白噪声的污染，在接收端每一个脉冲要判断发射的是“1”还是“0”。 （1） 画出信号、信号加噪声的波形； （2） 对匹配滤波器输出信号，每隔ts秒进行取样（在每个脉冲结尾时刻取样），取样值与一门限值（自行确定）进行比较，超过门限判“1”，低于门限判“0”，画出匹配滤波器输出的波形，并标出取样值。 （3） 产生10000个二进制数字（随机产生），统计输出端检测的误码率。 实验 实验3.1典型时间序列模型分析 通过本实验熟悉几种常用的时间序列，实验内容如下。 1. 设有AR（1）模型： X（n）=-0.8X（n-1）+W（n） W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。 （1） 用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形； （2） 用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差； （3） 画出X（n）的理论的自相关函数和功率谱； （4） 估计X（n）的自相关函数和功率谱。 2. 设有AR（2）模型： X（n）=-0.3X（n-1）-0.5X（n-2）+W（n） W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。 （1） 用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形； （2） 用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差； （3） 画出理论的功率谱； （4） 估计X（n）的相关函数和功率谱。 3. 设有ARMA（2，2）模型： X（n）+0.3X（n-1）-0.2X（n-2）=W（n）+0.5W（n-1）-0.2W（n-2） W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。 （1） 用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形； （2） 用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差； （3） 画出理论的功率谱； （4） 估计X（n）的相关函数和功率谱。 实验3.2随机过程通过线性系统分析 3.6.2节介绍了随机过程的正态化问题，任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的； 宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布，本实验的目的就是要验证以上结论。 实验内容如下。 假定滤波器为图3.7给出的RC电路（低通滤波器）。 （1） 将低通滤波器转化成数字低通滤波器； （2） 产生一组均匀分布的白噪声序列，让这组白噪声序列通过数字低通滤波器，画出输出序列的直方图，并与输出的理论分布进行比较； （3） 产生一组拉普拉斯分布的白噪声序列，让这组白噪声序列通过数字低通滤波器，画出输出序列的直方图，并与输出的理论分布进行比较； （4） 改变滤波器的参数（电路RC值），重做（1）~（3），并与前一次的结果进行比较。