第5章Z域分析








5.1基础理论
1. 求解差分方程
若线性时不变离散时间系统差分方程为

∑Nk=0aky(n-k)=∑Mr=0brx(n-r)(51)

对差分方程求Z变换，得到

∑Nk=0akz-kY(z)=∑Mr=0brz-rX(z)(52)

若响应为右边信号，对差分方程求Z变换，得到

∑Nk=0akz-kY(z)+∑-1l=-ky(l)z-l=∑Mr=0brz-rX(z)+∑-1m=-rx(m)z-m(53)

对Y(z)求逆Z变换得到响应y(n)。
2. 系统函数
由线性时不变系统的输入输出关系y(n)=x(n)h(n)，等式两边进行Z变换，根据卷积定理得到Y(z)=X(z)·H(z)，进而得到系统函数的定义： 

H(z)=Y(z)X(z)=ZTh(n)(54)

一般情况下，系统函数是一个关于z的有理多项式分式，可以表示为

H(z)=P(z)Q(z)=∑ibiz-i∑kakz-k=A∏i1-ciz-1∏k1-dkz-1(55)

其中，ak和bi是系统差分方程的系数，ci和dk分别是系统函数的零点和极点。
3. 判断系统稳定性和因果性
当系统函数的所有极点都位于单位圆中时，离散LTI系统是稳定的。当系统函数的一个极点位于单位圆外或者系统函数的一个2阶或更高阶极点位于单位圆上时，离散LTI系统是不稳定的。
当系统函数的收敛域包含正无穷大时，离散LTI系统是因果的。
5.2实验示例
例5.1求解差分方程

y(n)-0.4y(n-1)-0.45y(n-2)=0.45x(n)+0.4x(n-1)-x(n-2),n≥0

其中x(n)=2+12nu(n)，初始条件为y(-1)=0； y(-2)=3；x(-1)=2； x(-2)=2。要求列出解的函数表达式。
解： 对差分方程作单边Z变换：

Y+(z)-0.4y(-1)+z-1Y+(z)-0.45y（-2）+z-1y(-1)+z-2Y+(z)

=0.45X+(z)+0.4x(-1)+z-1X+(z)-［x（-2）+z-1x(-1)+z-2X+(z)］

代入初始条件，得到

Y+(z)=0.45+0.4z-1-z-21-0.4z-1-0.45z-2X+(z)+0.15-2z-11-0.4z-1-0.45z-2

代入X+(z)=3-2z-11-32z-1+12z-2并化简，得到Y+(z)，它是一个有理函数，化简和部分分式展开可以用MATLAB来完成，程序如下：


b=［0.45,0.4,-1］;

a=［1,-0.4,-0.45］;

Y=［0,3］;

X=［2,2］;

xic=filtic(b,a,Y,X)

bxplus=［3,-2］;

axplus=［1,-3/2,1/2］;

ayplus=conv(a,axplus)

byplus=conv(b,bxplus)+conv(xic,axplus)

［R,p,C］=residuez(byplus,ayplus)

xic =0.1500   -2.0000

ayplus = 1.0000-1.90000.65000.4750-0.2250

byplus = 1.5000-1.9250-0.72501.0000

R = -2.00002.11161.7188-0.3304

p =  1.00000.90000.5000-0.5000

最终可以得到

Y+(z)=-21-z+2.11161-0.9z+1.71881-0.5z-0.33041+0.5z

从而得到

y(n)=［2+2.11160.9n+1.71880.5n-0.3304-0.5n］u(n)

例5.2求解差分方程

y(n)=0.81y(n-2)+x(n)+x(n-1),n＞0

其中y(-1)=y(-2)=2，x(n)=0.7nu(n+1)。
解： 将差分方程两边取单边Z变换得


Y+(z)=0.81y(-2)+z-1y(-1)+z-2Y+(z)+X+(z)+z-1X+(z)

=0.812+2z-1+z-2Y+(z)+107·z+11-0.7z-1


得


Y+(z)=107·z+11-0.7z-1+1.62+1.62z-11-0.81z-2

=1.4z+3.02+0.486z-1-1.134z-21-0.7z-1-0.81z-2+0.567z-3


令


Y+1(z)=3.02+0.486z-1-1.134z-21-0.7z-1-0.81z-2+0.567z-3

z-1Y+2(z)=1.41-0.7z-1-0.81z-2+0.567z-3


分解Y+1(z)的MATLAB程序实现如下：


b=［3.02,0.486,-1.134］;

a=［1,-0.7,-0.81,0.567］;

［R,p,C］=residuez(b,a)

R = 0.30384.8600-2.1438

p = -0.90000.90000.7000



Y+1(z)=0.30381+0.9z-1+4.861-0.9z-1+-2.14381-0.7z-1

y1(n)=［0.3038-0.9n+4.860.9n-2.14380.7n］u(n)


对于Y+2(z)，MATLAB程序实现如下：


b=［1.4］; a=［1,-0.7,-0.81,0.567］;

［R,p,C］=residuez(b,a)

R = 0.39383.1500   -2.1438

p = -0.90000.90000.7000



y(n)=0.3038-0.9n+4.860.9n-2.14380.7nu(n)+

［0.3938-0.9n+1+3.150.9n+1-2.14380.7n+1］u(n+1)


例5.3求解y(n)-1.5y(n-1)+0.5y(n-2)=x(n)，其中x(n)=0.25nu(n)，初始条件为y(-1)=4,y(-2)=10。
解： 对差分方程的两边同时进行单边Z变换，得到


Y+(z)-1.5y(-1)+z-1Y+(z)+0.5y(-2)+z-1y(-1)+z-2Y+(z)

=11-0.25z-1


代入初始条件并整理得

Y+(z)=(1-0.25z-1)-11-1.5z-1+0.5z-2+1-2z-11-1.5z-1+0.5z-2

最后得到

Y+(z)=2-2.25z-1+0.5z-2(1-0.5z-1)(1-z-1)(1-0.25z-1)

进行部分分式展开得到

Y+(z)=11-0.5z-1+2/31-z-1+1/31-0.25z-1

逆Z变换后，得到差分方程的全响应解为

y(n)=12n+23+1314nu(n)



a=［1,-1.5,0.5］;b=1;

n=［0:7］;

x=(1/4).^n;

Y=［4,10］;

xic=filtic(b,a,Y);

y1=filter(b,a,x,xic);

y2=(1/3)*(1/4).^n+(1/2).^n+(2/3)*ones(1,8);

stem(n,y1,'ro'),hold on

stem(n,y2,'*b');

h=legend('y1','y2');

title('Example 5.3');

xlabel('n');

ylabel('Amplitude');

运行程序，结果如图5.1所示。


图5.1例5.3的运行结果


例5.4求解差分方程

y(n)-2y(n-1)+3y(n-2)=4x(n)-5x(n-1)+6x(n-2)-7x(n-3)

其中x(n)=u(n)，初始条件为y(-1)=-1,y(-2)=1,x(-1)=1,x(-2)=-1。
解： 对差分方程做单边Z变换：


Y+(z)-2y(-1)+z-1Y+(z)+3y(-2)+z-1y(-1)+z-2Y+(z)

=4X+(z)-5x(-1)+z-1X+(z)+6x(-2)+z-1x(-1)+z-2X+(z)-

7［x(-3)+z-1x(-2)+z-2x(-1)+z-3X+(z)］


代入初始条件，得


Y+(z)=4-5z-1+6z-2-7z-31-z-1+3z-2X+(z)+-16+16z-1-7z-21-z-1+3z-2


MATLAB程序如下：




b=［4,-5,6,-7］;a=［1,-2,3］;

Y=［-1,1］;X=［1,-1］;

xic=filtic(b,a,Y,X)

bxplus=［1］;

axplus=［1,-1］;

ayplus=conv(a,axplus)

byplus=conv(b,bxplus)+conv(xic,axplus);

［r,p,k］=residuez(byplus,ayplus)

xic =  -1616-7

ayplus = 1-35-3

r = -5.5000 - 1.0607i-5.5000 + 1.0607i-1.0000

p = 1.0000 + 1.4142i1.0000 - 1.4142i1.0000


可以得到


Y+(z)=-5.5-1.0607j1-1+1.4142jz+-5.5+1.0607j1-1-1.4142jz-11-z


=-11+14z1-2z+3z2-11-z



5.3练习题
5.1写出题图3.1所表示的离散时间系统的差分方程，使用MATLAB编程求解系统的单位样值响应h(n)，然后绘制h(n)从n=0到n=50的结果。使用MATLAB编程求解系统的阶跃响应g(n)，然后绘制g(n)从n=0到n=50的结果。
5.2写出题图3.2所表示的离散时间系统的差分方程，使用MATLAB编程求解系统的单位样值响应h(n)，然后绘制h(n)从n=0到n=50的结果。使用MATLAB编程求解系统的阶跃响应g(n)，然后绘制g(n)从n=0到n=50的结果。
5.3使用MATLAB编程求解如下差分方程并绘制响应y(n)从n=0到n=50的结果，随后使用Simulink图形仿真验证。
(1) y(n)+3y(n-1)=x(n),x(n)=0.5nu(n),y(-1)=1
(2) y(n)-0.5y(n-1)=x(n)-0.5x(n-1),x(n)=u(n),y(-1)=0
5.4使用MATLAB编程求解如下系统的单位样值响应h(n)，求解激励x(n)=cosπn3时，响应y(n)从n=0到n=50的结果，随后使用Simulink图形仿真验证。
(1) H(z)=z+1z-0.5
(2) H(z)=1+z-1+z-22