第5章特殊正弦交流电路稳态分析



由耦合电感和理想变压器电路、谐振电路和三相电路共同组成特殊正弦交流电路。

电感元件磁通链和感应电动势仅由线圈自身电流决定，一般称其为自感元件。若线圈的磁
通链和感应电动势还与邻近线圈的电流有关，则线圈间存在互感或耦合电感(coupled induc
tor)。有互感的两个(几个)线圈的电路模型称为耦合元件，其为双端口(多端口)元件。含有
耦合元件的电路称为耦合电路。根据不同程度耦合关系，形成空心变压器、全耦合变压
器和理想变压器。

谐振电路是正弦交流电路的特殊工作状态，正弦交流电路是取自三相供电电路的一相，两者
紧密相联。

5.1基本要求

（1） 牢固掌握耦合电感的电路模型，尤其是根据同名端判断互感电压方向的方法。

（2） 熟练掌握不同联接形式的耦合电感的等效，着重掌握三端接法的去耦等效。

（3） 掌握含互感线圈电路的分析方法，重点掌握互感消去法。

（4） 掌握空心变压器的伏安特性，熟练其等效电路，会运用反映阻抗法分析含空心变压器的
电路。

（5） 掌握理想变压器的伏安关系，了解理想变压器是一个不耗能也不储能的理想二端口元件
，熟练其等效电路，熟练运用折合阻抗法分析含理想变压器的电路。

（6） 牢固掌握串联谐振、并联谐振电路的特点，能熟练地分析简单的串、并联谐振电路。

（7） 掌握谐振电路的频率特性。

（8） 牢固掌握对称三相电路的基本概念和分析方法。

（9） 掌握简单不对称三相电路的分析方法和三相功率的测量。

5.2理论提要
1. 耦合电感的电路模型
1) 互感线圈(设线圈电阻为零)的伏安关系

两个具有互感的线圈组成一个双端口元件，每个线圈上的电压由
本线圈上通过的电流产生的自感电压和相邻线圈通过的电流(施感电流)在本线圈上产生的电
压(互感电压)共同组成。为了判断互感电压的方向，定义了同名端： 在线圈的端子上标以星
标
“*”，当两线圈的电流都从星标流入(流出)线圈时，两线圈的磁通是加强的，带有星标的
一对端子就称为同名端。自感电压的方向由与自身电流参考方向是否关联决定，而互感电压
方
向则由与施感电流的参考方向相对于同名端是否关联来决定。如表51中图(ａ）所示，
ｕＬ1为11′线圈上的自感电压，电流ｉ1流入端为正； ｕ
Ｍ
12为22′线圈的电流在11′线圈上产生的互感电压，施感电流ｉ2从同名端(
*）流
入，因此同名端(*）处为互感电压的正极性端(＋）。如表51中图(b）所示，1
1′
线圈上的互感电压ｕＭ12在非同名端处为正，因为施感电流ｉ2是从非同名
端流
入的； 22′线圈上的互感电压ｕＭ21在同名端(*）处为正，因为施感电流
ｉ
1是从同名端(*）流入
的； 22′线圈上的自感电压在电流ｉ2流入端为正。综上所述，互感
线圈的伏安关系分别如表51所示。


表51
耦合电感电路模型及其伏安关系


电
路
图


微分形式
ｕ1=ｕＬ1＋ｕＭ12=Ｌ
1ｄｉ1ｄｔ＋Ｍｄｉ2ｄ
ｔ
ｕ2=ｕＬ2＋ｕＭ21=Ｌ
2ｄｉ2ｄｔ＋Ｍｄｉ1ｄ
ｔｕ1=ｕＬ1-ｕＭ1
2=Ｌ
1ｄｉ1ｄｔ-Ｍｄｉ2ｄ
ｔ
ｕ2=-ｕＬ2＋ｕＭ21=-Ｌ2ｄｉ2ｄｔ＋Ｍｄｉ1ｄｔ
相量形式
U·1=U·Ｌ1＋U·Ｍ
12=
ｊωL1I·1＋ｊωMI·2
U·2=U·Ｌ2＋U·Ｍ
21=
ｊωL2I·2＋ｊωMI·1
U·1=U·Ｌ1-U·Ｍ
12=
ｊωL1I·1-ｊωMI·2
U·2=
-U·Ｌ2＋U·
Ｍ21=-
ｊωL2I·2＋ｊωMI·1


2) 互感元件的等效

耦合电感顺(反)向串联如图51所示，其等效电感为Ｌｅｑ=Ｌ1＋Ｌ
2±2Ｍ（顺向串联时，2M前取正号，反之取负号)。



图51

耦合电感同(异)侧并联如图52所示，其等效电感为Ｌｅｑ=Ｌ
1Ｌ2-Ｍ2Ｌ1＋Ｌ22Ｍ(同侧并联时，2M前取负号，反之取正
号)。



图52

耦合电感三端接法两电感只有一个端子接在一起，其他端子各自引出，共三个端子与外电
路相
接
，如图53所示。同名端同侧相连等效时，等效电感中分别为L1-M、L2-M、M； 同
名端异侧相连等效时，等效电感分别为L1+M、L2＋M、-M。



图53

有互感的电路化为无互感等效电路的方法称为去耦或互感消去法。在具有耦合电感电路的分析中
常用此法，尤其三端接法的等效应用最多。

2. 空心变压器


空心变压器一般由有耦合的两个线圈构成，与电源相连的称为原边线圈（绕组），与负载相连的称为副边
线圈（绕组）。原线圈引出端称为原边(初级)，

图54
副线圈引出端称为副边(次级)，原边与副边没有电的
联系，其电路模型如图54所示。其中R1、Ｌ1为原线圈的电阻和电感，R2、
Ｌ2为副线圈的电阻和电感，M为两线圈的互感，RL、ＸL为负载的电阻
和电抗。列出原副边回路的电压方程为
（R1＋ｊＸＬ1）I·
1-ｊＸＭI·2=U·1
-ｊＸＭI·2＋（R2＋ｊＸＬ2＋R
L＋ｊXL）I·2=0
令Ｚ11=R1＋ｊＸＬ1为原边回路除源阻抗，Ｚ22=（R2＋
RL）＋ｊ（ＸＬ2＋ＸL）为副边回路阻抗，ＺＭ=ｊＸＭ
为互阻抗，则可以分别得到空心变压器原边等效电路和副边等效电路，如图55所示，图55
(a)为原边等效电路，图55(b）为副边等效电路。



图55

原边等效电路中,Ｚｒｅｆ1=Ｘ2ＭＺ22为副边阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗，称为反映阻抗或引入阻抗； 副边等效电
路中，ｊＸＭＺ11
U·1=U·1Ｚ11ｊ
ＸＭ为副边开路时,原边感应到副边的互感电压，Ｚｒｅｆ2=Ｘ
2ＭＺ11为原边反映到副边的反映阻抗。掌握空心变压器等
效电路的特点，会给电路分析带来很大的方便。

3. 理想变压器

理想变压器是实际铁芯变压器的一种抽象。它具有以下的理想化条件:

（1） 无损耗： 变压器原副边电阻为零，R1=0，R2=0； 

（2） 全耦合： 原线圈的磁通全部穿过副线圈，副线圈的磁通全部穿过原线圈，即耦合系数ｋ
=ＭＬ1Ｌ2=1； 

（3） 电感无穷大： Ｌ1=∞，Ｌ2=∞，Ｍ=∞。

1) 理想变压器的伏安关系

（1）  电压关系。理想变压器电压之比等于匝数之比ｎ(唯一参数)，其方向相对于同名端一致
，与电流无关，即

U·1U·2=Ｎ1Ｎ2=±ｎ(电压对同名
端一致取正号，不一致取负号，如图56（ａ）所示)



图56

（2） 电流关系。理想变压器电流之比等于匝数之比的倒数1／ｎ，方向相对于同名端不一致
，与电压无关，即

I·1=1ｎ
I·2(电流同进(出)同名端取负号，不同取正号，如图56
（b）所示）

2) 理想变压器的等效电路

两种形式的等效电路如图57所示，一侧为受控电压源，另一侧为受控电流源，它们同时
反映
电压电流关系。
图中等效电路对应原副边同名端处电压极性相同，且电流为同进（或出）同名端
的
情况，其他情况请读者自行分析。



图57




图58

3) 折合阻抗

变压器原边接上电源U·S和伴随的阻抗ＺS，
副边接上负载ZＬ，电路如图58所示，


则由原边看进去的等效阻抗为ｎ2Ｚ
L
（与
电压、电流无关)，称为折合阻抗； 由副边看进去的除源阻抗为1ｎ2ＺS。

理想变压器是一个既不耗能也不储能的理想二端口元件，即只传输功率而不消耗功率。它与输入电能的性质没有关系，也就是说，不管电源是交流还是直流，都具有变电压、变电流、变阻抗的特性。



4. 谐振电路


无源一端口网络N0内部含L、C元件，当端口电压、电流同相
时，则N0对
外呈电阻
性，此时N0与外电源之间没有能量交换，只是在N0内部的L、C之间交换能
量。这种
电路称为谐振电路。

串联谐振和并联谐振是最常见的两种谐振，其电路特点如表52所示。


表52串联谐振与并联谐振电路比较



谐振类型串联（电压）谐振并联（电流）谐振
标准电路

RLC串联谐振电路

GCL并联电路
谐振条件串联阻抗Z=R+jX(ω),则当Im［Z］=0,即X(ω)=0时

X（ω）=ωL-1ωC=0并联导纳Y=G+jB(ω)，则当Im［Y］=0,即B（ω）=0时

B（ω）=ωC-1ωL=0
谐振（角）频率ω0=1LC,f0=12πLC，改变ω、L、C之一，即可达到谐振
谐振时相量图
谐振时电路特点① Z0=R，纯电阻性，且|Z0|为|Z|的最小值； 

② I·0=U·SR,I·0与U·S同相且为最大； 

③ 串联谐振时的电压关系为： 

a. U·R0=RI·0=U·S

U·R0与U·S同相
UR0为UR的最大值

b. U·L0=jω0LI·0=jω0LU·SR=jQU·S(UL0为US的Q倍)

c. U·C0=1jω0CI·0=U·Sjω0CR=-jQU·S(UC0为US的Q倍)

d. U·X0=U·L0+U·C0=0(等值反相，串联谐振又称为电压谐振)并联谐振电路与RLC串联谐振电路有对偶关系。

① Y0=G，纯电导性，且|Y0|为|Y|的最小值；

② U·0=I·SG,U·0与I·S同相且为最大； 

③ 并联谐振时的电流关系为： 

a. I·G0=GU·0=I·S

I·G0与I·S同相
IG0为IG的最大值

b. I·C0=jω0CU·0=jω0CI·SG=jQI·S(IC0为IS的Q倍)

c. I·L0=1jω0LU·0=I·Sjω0LG=-jQI·S(IL0为IS的Q倍)

d. I·B0=I·C0+I·L0=0（等值反相，并联谐振又称为电流谐振）
特性阻抗ρ谐振时的感抗或容抗称为特性阻抗

ρΔω0L=1ω0C=1LCL=LC

ρ取决于电路的电感L和电容C，与信号源无关，量纲为欧姆（Ω）
品质因数QQΔω0LR=1ω0CR=ρRQ=ω0CG=1ω0LG=Rρ
幅频特性

相频特性
幅频特性

I=US|Z|=USR2+ωL-1ωC2

相频特性

φz=arctanωL-1ωCR幅频特性

U=IS|Y|=ISG2+ωC-1ωL2

相频特性

φy=arctanωC-1ωLG
相对抑制比ISI0=11+Q2η-1η2USU0=11+Q2η-1η2
通用谐振曲线
通频带（带宽）BWII0≥12UU0≥12
通频带近似计算BW=ω0(η2-η1)=ω0Q在Q1时，有

BW=ω0Q≈2(ω0-ω1)


实际并联谐振电路常由电感线圈(R、Ｌ）和电容器(C)并联构成，分析时将其等效为
ＧCＬ并联谐振电路来分析。

5. 三相电路



图59
1) 三相电路的性质

三相电路是由三相电源和三相负载构成的复杂的交流电路。通常三相电源都是对称的，


所以
负载对称的三相电路称为对
称三相电路，负载不对称的三相电路称为不对称三相电路。

（1） 对称三相电源。由同频率、等
幅值、初相位互差120°的三个正弦电压源，如图59所示,按一定对称方式连接而成。
这
三个电
源依次称为A相、B相和C相。以A相为参考量，则各相电源电压表示为
 ｕA=2Uｐｃｏｓωt
ｕＢ=2Uｐｃｏｓ（ωt-120°）
ｕC=
2Uｐｃｏｓ（ωt＋120°）
或
U·A=Uｐ／0°

U·Ｂ=Uｐ／
-120°
U·C=Uｐ ／
120°


各相到达正向最大值的次序
(从超前到滞后的轮换次序)称为相序。相序由A→Ｂ→C→A，称为正(相)序； 反之则为
负序。三相电路分析时不作特别说明时，均指正序。

电源连接。将三相电源的末端(X，Y，Z)连接在一起(中性点)引出
(中线)，首端分别引
出(端线)，则构成形连接的三相电源。

电源△连接。将三相电源的首尾分别连接在一起，再将各端引出，则构成△形连接的
三相
电源。

三相电源形连接和△形连接如图510(ａ)、（b）所示。



图510

各端线间的电压称为线电压，有
效值记为Ul； 每一相电源上的电压称为相电压，有效值记为Uｐ。



形连接的三相电源中，各线电压对称，各相电压对称，线电压是相电
压的
3倍，相位上各线电压超前对应的相电压30°，即

U·AＢ=3U·AＮ／30°，U·ＢC=3U·ＢＮ
／30°，U·CA=
3U·CＮ／30°

△
形连接的三相电源中，各线电压对称，各相电压对称，且线电压与相电压相同。

三相电源一般均保持对称，上述电压关系永远成立。三相电源的形连
接与△形连接
在具体分析电路时可互相转换。

（2） 三相负载。由三相电源供电的负载称为三相负载。三相负载也有形或
△形两种连接方式。各相负
载复阻抗相等时称为对称三相负载，不相等时称为不对称三相负载。

电源与负载相连时，线路中有电流，端线上通过的电流称为线电流，有效值记为Iｌ
； 各相负载(或电源)上通过的电流称为相电流，有效值记为Iｐ； 中线上通过的电流
称为中线电流，有效值记为IＮ。

对于对称负载，负载上电压(线电压、相电压)的定义及关系同相同连接方式的三相电源。三相负载连接形式及其电压、电流特点详见表53所示。


表53三相对称负载电压、电流关系



连接形式形△形
电路模型
电压特点

相电压对称

线电压对称Ul=3Up

相电压： U·AN、U·BN、U·CN

线电压： U·AB、U·BC、U·CA

令U·AN=Up／0°

则有U·BN=Up／-120°

U·CN=Up／120°

U·AB=3U·AN／30°=Ul／30°

U·BC=3U·BN／30°=Ul／-90°

U·CA=3U·CN／30°=Ul／150°Ul=Up

相电压： U·AB、U·BC、U·CA

线电压： U·AB、U·BC、U·CA

令U·AB=Ul／0°=Up／0°

则U·BC=Ul／-120°=Up／-120°

U·CA=Ul／120°=Up／120°

电流特点

相电流对称

线电流对称Il=Ip

相电流： I·AN、I·BN、I·CN

线电流： I·A、I·B、I·C

有I·A=I·AN、I·B=I·BN、I·C=I·CN

令I·A=Il／0°

则I·B=I·A／120°、I·C=I·A／-120°

I·N=0
Il=3Ip

相电流： I·AB、I·BC、I·CA

线电流： I·A、I·B、I·C

令I·AB=Ip／0°

则I·A=3I·AB／-30°

I·B=3I·BC／-30°

I·C=3I·CA／-30°


形连接中负载对称时，各线电流对称，各相电流对称，且线电流与相
电流相同。

△形连接中负载对称时，各线电流对称，各相电流对称，线电流是相电流的3倍，相位上各线电流滞后对应的相电流30°。

2） 三相电路的分析计算

（1） 对称三相电路的分析计算。根据电源和负载连接方式的不同，可构成
系统、△△系统以及△系统和△系统。后两种系统一般通过负载或电源的△变换为前
两种系统进行分析。

对称系统： 电源和负载都以对称形
方式连接。此时中线上的电压、电流为零，中线
存
在与否及中线阻抗的大小对于电路的分析计算无影响； 中线可缩为一个节点，各相具有独
立性； 
可只求一相的值(相电压、相电流)，即“化为一相”计算，然后据对称性及线值和相值关系
写出其他值(相电压、相电
流、线电压、线电流)。

对称△△系统： 不计端线阻抗时，负载电压就是电源电压，也可只求一相的值，再写出其
他
值。计端线阻抗时，可将电源和负载同时进行△变换，转换为系统，求出相值写出其他值。

（2） 不对称三相电路的分析计算。不对称是指三相负载不对称，电源电压常是对称的，要计
算
相
电压、相电流、线电压、线电流，按照正弦稳态电路一般
分析方法分析。

（3） 三相电路的功率。三相负载总的平均功率等于各相负载平均功率之和； 
总的无功功率等于各相负载无功功率之和。

对于对称三相电路，有
Ｐ=3UｐＩｐｃｏｓφ=3UｌＩｌ

ｃｏｓφＱ=3UｐＩｐｓｉｎφ=3UｌＩｌｓｉｎφ

其中φ为每相负载电压与电流的相位差，即负载的阻抗角。

ｐ=ｐA＋ｐＢ＋ｐC=3UｐＩｐｃｏｓφ=
Ｐ

三相电路的瞬时功率等于其平均功率，这种性质称为“瞬时功率平衡”。

测量三相电路的功率时，要注意计算瓦特表的读数与计算实际电路功率的公式不同。其表示为
图511

ＰW=UWＩWｃｏｓφW
其中，PW为瓦特表的读数； UW为电压线圈所接端子间的电压有效值，方向
由瓦特表的“*”端指向非“*”端； IW为电流线圈上通过的电流有效值，方向由
“*”端流向非“*”端； φW为电压线圈电压与电流线圈电流的相位差。图511
所示为二瓦法测量三相负载功率的示意图。


Ｐ1=UACＩAｃｏｓ（U·AC∧，I·A）
Ｐ2=UＢCＩＢｃｏｓ（U·ＢC∧，I·Ｂ
）



可以证明三相负载的总功率为两瓦特表读数的代数之和。

负载对称时有

P1=UACＩAｃｏｓ（30°-φ）
P2=UＢCＩＢｃｏｓ（30°＋φ）（φ的意
义同
前）

图511为共C接法，还有共A、共B接法，读者自行练习其接法，写出两个瓦特表读数的表达式。二瓦法可得无功功率Q=3（P2-P1）。

5.3典型题解析

例51图512(a)所示电路，已知电流源
ｉS1（ｔ）=5e-2ｔ　A，耦合电感参数L1=1　Ｈ
，Ｌ2=0.4　Ｈ，M=0.1　Ｈ。(1)求电压ｕ1（ｔ）和开路电压ｕ
2（ｔ）； （2）若在22′端口接入电流源ｉS2（ｔ）=10ｅ
-
5ｔ A，如图512（b）所示，求电压ｕ1（ｔ）及ｕ2（ｔ）； (3)求图
512（b）所示耦合电感的储能ｗ（ｔ）。



图512


解(1) 由于22′端开路，此时ｉ2=0，则有

ｕ1（ｔ）=Ｌ1ｄｉ1ｄｔ=1×
ｄ（5ｅ-2ｔ
)ｄｔ=-10ｅ-2ｔ　V
ｕ2（ｔ）=-MｄｉS1ｄｔ=-0.1
×5×(-2)ｅ-2ｔ　V=ｅ-2ｔ V


(2) 当22′端接入电流源ｉS2时，则对11′端产生互感电压，此时
有
ｕ1（ｔ）=Ｌ1ｄｉS1ｄｔ
-ＭｄｉS1ｄｔ=-10ｅ-2
ｔ＋5ｅ
-5ｔ　V

ｕ2（ｔ）=-MｄｉS1ｄｔ
+L2ｄｉS2ｄｔ=ｅ-2ｔ
-20
ｅ-5ｔ　V


(3) 耦合电感的储能为


w(t)=12Ｌ1ｉ2S1＋12Ｌ2ｉ2S2-ＭｉS1ｉS2
=12（5ｅ-2ｔ）2＋12×0.4（10ｅ-5ｔ）2-0.1（5ｅ-2ｔ）（
10ｅ-5ｔ）
=12.5ｅ-4ｔ＋20ｅ-10ｔ-5ｅ-7ｔ　
Ｊ



例52求图513（a）所示二端电路的戴维南等效电路。



图513

解开路电压由ｊ20 Ω线圈上自感电压和ｊ15 Ω线圈上互
感电压构成，即
U·oc=ｊ10×ｊ2＋ｊ20×ｊ2=
-60 V
除源阻抗为耦合电感的顺向串联，即
Ｚ=ｊ15＋ｊ20＋2×ｊ10=ｊ55 Ω
所得戴维南等效电路如图513（b）所示。

可用互感消去法求解过程请读者自己练习。

例53图514（ａ）、（b
）所示电
路中，
已知Ｌ1=3 Ｈ，Ｌ2=2 Ｈ，Ｍ=2 Ｈ。试求电路从11′端
口看进去的等效电感。



图514

解法1直接写出互感元件的伏安关系，其电压、
电流如图514（ａ）所示，则有

ｕ1=Ｌ1ｄｉ1ｄｔ＋Ｍｄｉ2ｄｔ①
ｕ2=Ｌ2ｄｉ2ｄｔ＋Ｍｄｉ1ｄｔ=0②

由式②解出
ｄｉ2ｄｔ=-ＭＬ2ｄｉ1ｄｔ③
将式③代入式①，得
ｕ1=Ｌ1
ｄｉ1ｄｔ-Ｍ2
Ｌ2ｄｉ1ｄｔ=Ｌ1-
Ｍ2Ｌ2ｄｉ1ｄｔ


所以有
Ｌｅｑa=Ｌ1-Ｍ2Ｌ2=3-222=1 Ｈ
同样,对图514（b）有
ｕ1=Ｌ1ｄｉ1ｄｔ-Ｍｄ
ｉ2ｄｔ④
ｕ2=Ｌ2ｄｉ2ｄｔ-Ｍｄ
ｉ1ｄｔ=0⑤

由式⑤解出

ｄｉ2ｄｔ=ＭＬ2ｄｉ1ｄｔ⑥
将式⑥代入式④，得
ｕ1=Ｌ1ｄｉ1ｄｔ-
Ｍ2
Ｌ2ｄｉ1ｄｔ=Ｌ1
-Ｍ2Ｌ2ｄｉ1ｄｔ
所以
Ｌｅｑb=Ｌ1-Ｍ2Ｌ2=
3-222=1 Ｈ
解法2将图514（ａ）中互感的两线圈的
一个端
子接到一起，如图514（ｃ）所示。据ＫCＬ知其连线上电流ｉ为零，对原电路
没有影
响，这样就构成了同侧相
连的三端接法的互感，消去互感后电路如图514（ｄ）所示。这样电路就变成了没有
互感的两电感线圈M与Ｌ2-Ｍ并联后再与L1-Ｍ线圈的串联，所以
Ｌｅｑa=Ｌ1-Ｍ＋11Ｌ2-Ｍ＋1Ｍ=Ｌ1-Ｍ2Ｌ
2=1 Ｈ
图514（b）消去互感后，电路同图514（ｄ）相似，只是M前的符号
取反，则有
Ｌｅｑb=Ｌ1＋Ｍ＋11Ｌ2+Ｍ＋1-Ｍ=Ｌ1-Ｍ2Ｌ

2=1 Ｈ
解法3原电路中的耦合电感可看作空心变压
器，则由原边看进去的等效电路，与图514（ａ）、（b）的等效电路相同,如图5
14（ｅ）
所示，则
Zｅｑ=ｊωL1＋（ωM）2ｊ
ωL2=ｊωＬ1-Ｍ2Ｌ2
Ｌｅｑ=Ｌ1-Ｍ2Ｌ2=1 Ｈ
讨论从以上三种解法中可看出，反映阻抗法较简单，且不受互感的
同名端
及电压、电流方向的影响，所以，当互感的两个线圈分属于两个独立回路时，往往将其看作
空心变
压器，用反映阻抗法来分析。

例54图515（ａ）所
示为含有耦合
电感的正弦稳态电路。已知电源角频率为ω，试写出网孔电流方程和节点电压方程。



图515

解(1) 画出电路的相量模型如图515（b）所示。标出耦合电
感的电压、电流，由其伏安关系知

U·Ｌ1=ｊωL1
I·Ｌ1＋ｊωM
I·Ｌ2=ｊωL1
I·3＋ｊωM（
I·1-I·2）①


U·Ｌ2=ｊωM
I·Ｌ1＋ｊωL2
I·Ｌ2=ｊωM
I·3＋ｊωL2（
I·1-I·2）②
将两电感视为电压源，则网孔电流方程为

R1I·1-R1I·3=U·S-U·Ｌ2③

R2-ｊ1ωCI·
2＋ｊ1ωCI·3=U·Ｌ2④
-R1I·1＋ｊ1ωCI·2＋R1-ｊ1ωCI·3=-U·Ｌ1⑤

将式①、式②代入式③、式④、式⑤，整理得
（R1＋ｊωL2）I·1-ｊ
ωL2I·2-（R1-ｊωM）I·3=U·S
-ｊωL2I·1＋R2＋ｊωL
2-
1ωCI·2＋
ｊ1ωC-ωMI·3=0
（-R1＋ｊωM）I·1＋ｊ
1
ωC-ωMI·2＋R＋ｊ
ωL
1-1ωCI·
3=0
(2) 将I·Ｌ1、I·
Ｌ2视为电流源，则节点电压方程为
U·1=U·
S⑥
1R1＋ｊωC
U·2-ｊωCU·3
-1R1
U·1=-I·Ｌ2
⑦
-ｊωC
U·2＋1R2＋ｊω
C
U·3=I·Ｌ1⑧
U·2=U·Ｌ2⑨

又有

U·Ｌ1=U·1-U·3⑩
将式①、式②代入式⑨、式⑩，则有

U·2=ｊωMI·Ｌ
1＋ｊωL2I·Ｌ2
U·1-U·3=ｊωL1I·
Ｌ1＋ｊωMI·Ｌ2

将式⑥、式⑦、式⑧、式、式五个方程联立求解，则
U·1、
U·2、
U·3、I·Ｌ1、
I·Ｌ2五个未知量可解得。

讨论在分析含耦合电感的正弦稳态电路时，将电感上的电压用耦
合电感伏安关系写出，当作电压源处理，写方程较清楚。如果在写方程时考虑互感也可以，
但很多时候容易遗忘互感。此题中U·Ｌ1、
U·Ｌ2表示电感上的总电压，而不仅仅是自感
电压。


例55正弦稳态电路如图51
6所示，
已知R1=5 Ω，Ｘ1=40 Ω，R2=10 Ω，Ｘ2=9
0 Ω，R3=20 Ω，Ｘ3=80 Ω，ωM=20 Ω。当开关
S打开时，电压表读数为100 V。试求： 

（1） 图中电流表的读数和外施电压有效值U1； 

（2） 开关闭合后，电压表和电流表的读数。



图516


解(1) 此题为空心变压器电路，开关打开时，即变压器副边开路，电
压
表读数为副边的感应电压有效值，即
U=ωMＩ1
Ｉ1=UωM=10020=5 
A
原边线圈中只有自感电压，则

U·1=R1I·1＋ｊＸ
1I·1=（R1＋ｊＸ1）I·1
U1=Ｉ1R21＋Ｘ21=5×52＋402=201.6 V
(2) 开关闭合后，副边回路总阻抗
Ｚ22=ｊＸ2＋R2＋R3-ｊＸ3
=ｊ90＋10＋20-ｊ80=30＋ｊ10 Ω
原边回路总的等效阻抗
Ｚ11ｅｑ=R1＋ｊＸ1＋(ωM)2Ｚ22
=5＋ｊ40＋20230＋ｊ10=
17＋ｊ36 Ω
原边回路电流有效值
Ｉ′1=U1｜Ｚ11ｅｑ｜=201.6172＋362=5.
064 A
原边回路总阻抗
Ｚ11=R1＋ｊＸ1=5＋ｊ40 Ω
副边回路的总的等效阻抗
Ｚ22ｅｑ=Ｚ22＋（ωM）2Ｚ11=30＋ｊ10＋2025＋ｊ40=31.23
＋ｊ0.154 Ω
副边回路电流有效值
Ｉ′2=ωMＩ1｜Ｚ22
ｅｑ｜=20×531.232＋0.1542=3.202 A
电压表读数
U′=｜R3-ｊＸ3｜×Ｉ′2=202＋802×3.202=264.04 V
故开关闭合后电流表读数为5.064 A，电压表读数为264.04 V。

讨论此题以外施电压为参考相量，直接对变压器原副边回路列方程
，求出原副边回路电流相量。因为所求值为有效值，用反映阻抗法更为简便些。

例56图517（ａ）所示电路中，已知ｉ
S=2ｃｏｓｔ A，试求ｕ2（ｔ）。



图517


解图示电路的耦合电感为异侧相连的三端接法，去耦后电路的相
量模型如图517（b）所示，此时可用系统分析法，标出节点号，列出节点电压方程
（1＋ｊ1.75）
U·1-ｊ2U·2＋
ｊ0.25U·3=1
-ｊ2U·1＋（0.5＋ｊ1.5）U·2＋ｊ0.5U·3=0
ｊ0.25U·1＋ｊ0.5U·2＋ｊ0.25U·3=0

解得

U·2=0.41
／78.2° V
所以
ｕ2（ｔ）=0.412ｃｏｓ（ｔ＋78
.2°） V


图518




例57求图518所示电路中，理想
变压器的电压
U·1、U·2及电流
I·1、
I·2。

解法1将理想变压器原、副边视为电压源，其电压为
U·1、U·2，列网孔电流
方程
（50-ｊ60）I·1＋ｊ60I·2=100
／
0°-U·1①
ｊ60I·1＋（70-ｊ60）I·2=U·2②
由理想变压器的伏安关系，有
U·1=2U·2③
I·1=12
I·2④
将式①、式②、式③、式④联立求解，得
U·1=200（140-
ｊ60）330-ｊ60=90.82
／-12.89°
U·2=45.41
／-12.89° V
I·1=100330-ｊ60=0.298
／10.30° A
I·2=
0.596／10.30° A


解法2将理想变压器原、副边的电流设为变量，对
节点ａ列电压方程，则有
ｊ160U·ａ=I·1-I·2⑤

将I·1、I·2用节点电
压及理想变压器电压表示，即
I·1=100-U·1-U·ａ50
⑥
I·2=U·2＋U·ａ70⑦
将式⑤、式⑥、式⑦及解法1中的式③、式④联立求解，得
U·1=90.82／-12.89°
 V
U·2=45.41／-12.89° V
I·1=0.298
／10.30° A
I·2=0.596／10.30° A
讨论
当理想变压器的两个线圈不是分属于两个独立的回路时，设其电压、电流为变量，系统法
分析较直接，在补充变压器伏安关系时，要注意电压的极性及电流方向。

例58图519（ａ）所
示电路中，已
知U·S=10
／0° V，R1=1 Ω，R2=3 Ω，ω
L
=
4 Ω，

1ωC=6 Ω，ｎ=2。求U·2及U·S发出的复功率。



图519



解法1将理想变压器原边折算到副边，等
效电路如图519（b）所示，则

U·2=
-ｊ1
ωC×（R2＋ｊωL）-ｊ1ωC
＋（R2＋ｊωL）ｎ2R1＋
-ｊ1
ωC×（R2＋ｊωL）-ｊ1ωC
＋（R2＋ｊωL）
×ｎ
U·S
=-ｊ6×（3＋
ｊ4）-ｊ6＋3＋ｊ4

4＋
-ｊ6×（3＋ｊ4）-ｊ6＋（3＋ｊ4）
×20
／0°
=13.51／-1.033° V
I·2=（U·
2-ｎU·S）×1ｎ2R1=1
.624
／
-177.85° A
I·1=-ｎI·2=3.2
48
／2.15° A
US=U·S×I·*1=10×3.248
／-2.15°=32.45＋ｊ1.218 VA

解法2将理想变压器副边阻抗变换到原边
，等效电路如图519（ｃ）所示，则


Ｚ′=1ｎ21ｊωC
＋1R2＋ｊω=1
41ｊ16＋
13＋ｊ4=2.077-ｊ
0.116 Ω
I·1=U·S
R1＋Ｚ′=10／0°3.077-ｊ
0.116=3.248／2.15° A
I·2=-1ｎI·1=1.624
／-177.85° A
U·2=-1ｊωC＋1R2＋ｊωL×I·2=1
3.51／-1.033° V
US=U·S×I·*1=10×3.248
／-2.15°=32.45＋ｊ1.218 VA

讨论本题用到的是从理想变压器副边看进去的戴维南等效电路，
其除源阻抗为ｎ2R1，开路电压为ｎU·S，
从原
边看进去是无源一端口，可等效为一个阻抗，等效阻抗为副边阻抗的1ｎ2倍，即所谓的折合阻抗。

例59图520（ａ）所示电路中，负载ＺＬ可变。求ＺＬ为何值时能获得最
大功率Ｐｍａｘ，此时Ｐｍａｘ为多少?



图520

解理想变压器原边为电压源与电阻并联，对原边来说就等效为电压
源，变换到副边为5／0° V的电压源，等效电路如图520（b）所
示。求
ａb端口看进去的戴维南等效电路，有

U·aboc=11＋ｊ×5／0°-11-ｊ×5／0°=5／-90° V
Ｚｉ=ｊ1＋ｊ＋-ｊ
1-ｊ=1 Ω
所以,当ＺＬ=Ｚ*ｉ=1 Ω时，负载获得最大功率，其值为
Ｐｍａｘ=U2aboc4Rｉ
=524×1=6.25 W

例510图521（ａ
）所示正弦电路中，已知ｉS
=1.414ｃｏｓ100ｔ A，T为理想变压器。试求负载阻抗ZＬ为何
值时，其获得的功率为最大，并求此最大功率Ｐｍａｘ。



图521

解本题仍为最大功率传输问题，因此需求出ａb以左的戴维南
等
效电路。理想变压器副边开路时，电流为零，据其电流关系，则原边的电流也为零，即开路，此时U·a=0
。去
耦后画出求开路电压的电路模型如图521（b）所示，则有
U·ａboc=-12U·ａ′b′oc
U·ａ′b′oc=U·ｃb′=（-ｊ10-ｊ20）I·
S=30／-90°
 V
所以有
U·ａboc=15／90°
 V
求原边ａ′b′看进去的除源阻抗Zａ′b′ｉ。采用外施电源法，电路如
图521（ｃ）所示。
U·ａ=-80I·
ｉ
U·ｉ=80I·ｉ
＋（ｊ42-j10-ｊ20）（I·ｉ-0.05U·ａ）=(80＋ｊ60）I·ｉ
得Ｚａ′b′ｉ=80＋ｊ60 Ω
副边ａb看进去的除源阻抗
Ｚａbｉ=1ｎ2Ｚａ′b′ｉ=
14（80＋ｊ60）=20＋ｊ15 Ω
所以，当ＺＬ=Ｚ*ａbｉ=20-ｊ15 Ω时，负载获得最大功率
，最大
功率为
Ｐｍａｘ=U2ａboc4×20
=1524×20=2.8125 W
例511图522所示含耦合电感线圈电
路，正弦电压ｕS的有效值为120 V，角频率ω=1000 ｒａｄ／ｓ，
Ｌ1=0.05 Ｈ，
Ｌ2=0.04 Ｈ，
Ｌ3=0.01 Ｈ，
Ｌ4=0.02 Ｈ，C=25 μＦ，Ｍ12=0.01 Ｈ，Ｍ
14=0.03 Ｈ，Ｍ24=0.02 Ｈ，线圈电阻忽略不计。
求： (1) 电磁式电压表的读数(设电压表内阻为无限大)； (2) a、b端的入端阻抗。




图522

解(1) 由右手螺旋法则判断出各耦合电感的同名端，画出电路如图52
2(b)所示。

由于电压表内阻为无穷大，所以L4上电流为零，其对右边电感没有互感影响。令U·S=120
／0° V，对于
右边回路Ⅰ、回路Ⅱ列KVL方程。

（ｊωＬ3＋ｊωＬ1）I·1＋ｊωＭ
12I·2=U·S①
ｊωＬ2-ｊ1ω
CI·2＋ｊ
ωＭ12I·1=U·S②
代入数据


（ｊ10＋ｊ50）I·1＋ｊ10I·2=120
／0°

ｊ10I·1＋（ｊ40-ｊ40）I·2=-120／0°
解得I·1=ｊ12，I·2=-ｊ
84

U·V=-ｊωＭ14I·1-ｊωＭ
24I·2

代入数据U·V=-ｊ30×（ｊ12）-ｊ20×（-ｊ84）=-
13
20 V

所以，电压表读数为1320 V。

本例中分析清楚互感关系后，可三端去耦，列网孔法方程，也可得式①、式②的关系。

(2) 图522（b）中，设ab端加的外施电压为U·S，则其产
生电流I·为
I·=I·1-I·2=j12+j84=j96


图523

所以入端阻抗
Ｚａb=U·SI·=
120ｊ96=-ｊ1.25 Ω

例512某收音机输入接收回
路的等效电
路如图523所示。已知R=6 Ω，Ｌ=300 μＨ，C为可调电容。广
播电台信号US1=1.5 ｍV，ｆ1=540 ｋＨｚ； U
S2=1.5 ｍV，ｆ2=600 ｋＨｚ。



(1) 当电路对信号US1发生谐振时，求电容C值和电路的品质因数Ｑ； 

（2） 保持(1)中的C值不变，分别计算ｕS1和ｕS2在电路中产
生的电流及在电感L上的输出电压。

解（1） 因为ｆ1=12π
ＬC


所以
C=1（2πｆ1）2Ｌ=
1（2×3.14×540×103）2×300×10-6=29
0 ｐＦ
Ｑ=ω0ＬR=2×3.14×540×103
×300×10-66=169.6
(2) 当信号ｕS1作用时，电路发生谐振，故
Ｉ1=Ｉ0=US1R=1.5×10-36=250 μΑ
UＬ1=ＱUS1=169.6×1.5×10-3=254
.4 ｍV
当信号ｕS2作用时，电路处于失谐状态，故
Ｉ2=US2R2＋ω
2Ｌ-1ω2C2
=1.5×10-362＋2π×600
×103
×0.3×10-3-12π×600×103×290×1
0
-122
=6.93 μΑ
UＬ2=ω2ＬＩ2=2π×600×103×0.3×10-3

×6.93×10-6=7.84 ｍV



讨论计算结果表明，串联谐
振电路对谐振频率附近信号有很强的选择
性，且谐振时，电感上的输出电压是电路输入信号的Q倍，具有明显的放大作用，有利于接
收
图524

所需电台的信号。


例513在图524所示电路中，正弦电压ｕ的有效值U=200 V，电流表

的读数
为零。求电流表
的读数。


解设U·=200／0° V，
的读数为零意味着其右边CＬ发生并联谐振
，由
此可确定电源的角频率
ω=10.1×10×10-6
=1000 ｒａｄ／ｓ

的两端的电位相等，所以0.1 Ｈ电感电压应为

U·0.1 Ｈ=50-
ｊ15×10-350＋ｊ200＋50-
ｊ15×10-3×200=412.
31／-76° V


所以

ＩA1=412.310.1×1000=4.12
 A

讨论此题须注意的是，许多读者会想当然地
认为，当
的读数为零时的读数
也为零，理由是电流为零，电压为电流与阻抗的乘积也为零，所以右边的电容、电感上的电
流都为零； 或者认为电流为零电路相当于开路，开路以后右边的电路与左边没有
电的联系，所以的读
数为零。这里有个概念错误，“开路”是对
一个
无穷大电阻而言的，不管电压有多大，其上通过的电流永远为零，用欧姆定律解释即有
限值除以无穷值结果为零，而零乘以有限值为零，乘以无穷值却是不定值，这个概念经常用
到，需特别注意。谐振时，电感和电容上的电流是由于其本身储存的能量引起的，其大小相
等、方
向相反，从而对外的电流为零。由于为理想电流表，内阻为零，可视为短路，两边电位
相等
，即便其内阻不为零，由于其值有限，其上的电压也为零。

例514已知对称三相电路电
源端的线电压U
ｌ=380 V，三角形负载Z=4.5＋ｊ14 Ω，端线阻抗
Ｚ
ｌ=1.5＋ｊ2 Ω。求线电流和负载的电流和电压，并作相量图。



解根据题目画出三相
电路如图525（ａ）所示，此三相电路对称，将负载端进行△
变换，系
统
变为如图525（b）所示的对称的形式，其中
Z′=1
3Ｚ=1.5＋ｊ4.67，取其中的一相(A相)计算。


图525

电源端形连接时
Uｐ=Uｌ3=220
 V
令电源A相电压为参考相量

U·A=220／0° V
则线电流

I·A=U·
AＺｌ＋Ｚ′=220／0°1.5＋ｊ2＋1.5＋ｊ4.67
=
30.09
／-65.8° A
回到图525（ａ），据△形连接负载的相电流和线电流关系得相电流

I·A′Ｂ′=13I·A
ｅｊ30°=17.37
／-35.8° A

负载电压为



U·A′Ｂ′=I·A′Ｂ′Ｚ=17.37／-35.8°×（4.5
＋
ｊ14）
=205.65＋ｊ151.51=255.43
／36.38° V
根据对称性写出其他电压、电流分别为

I·Ｂ=30.09／174.2° A
I·C=30.09／54.2° A
I·Ｂ′C′=17.37／-155
.8° AI·C
′
A′=1
7.37／84.2° AU·Ｂ′
C′=255.43／-83.62° V
U·C′A′=255.43／156.38° V

由计算结果作出如图525（ｃ）、（ｄ）所示的相量图。


例515对称三相电路如图526（
ａ
）所示。对称三相电源线电压为380 V，对称三相负载阻抗Z=20＋ｊ20 

Ω。三相电动机功率为1.7 ｋW，功率因数ｃｏｓφ=0.82。




图526

（1） 求线电流
I·A、I·Ｂ、I·C； 

（2） 求三相电源发出的总功率； 

(3) 若用两表法测三相总功率，试画出两只功率表的接线图。


解（1） 电路为对
称三相电路。设U·A=220／0° V，则一相计算电路如图526（b）所示，
其
中ZＤ表示电动机负载每相等效阻抗(形连接)。由一相计算电路及
已知条件，可得


I·A1=U·AＺ／3=220／0°（20＋ｊ20）／3=23.34／-45° A
ＩA2=Ｐ3Uｌｃｏｓφ=1.7×1033×380×0.82=3.15 A由于
ｃｏｓφ=0.82，φ=34.
9°

所以

I·A2=3.15／-34.9° A
I·A=I·A1＋I·
A2=23.34
／-45°＋3.15／-34.9°
=16.5-ｊ16.5＋2.583-ｊ1.802
=26.44
／-43.8° A
由对称性，得

I·Ｂ=26.44／-163.8° A
I·C=26.44／76.2° A
(2) 三相电源发出的有功功率为
Ｐ=3UｌＩｌｃｏｓφ=3×380×26.44×ｃｏｓ43.8°
=12.6 ｋW
(3) 两表法测三相电源发出总有功功率的接线图如图526（ｃ）所示。

讨论对称三相电路“化为一相”的计算方法很重要，要求熟练掌握。
两表法测三相总功率的接线除了图526(c)共C接法外还有其他形式，读者可自行练习。

例516图527（ａ）所
示为星形
连接的三相对称负载，电源线电压为380 V，电路中接有两只功率表

和
，Rｇ等于的
电压线圈及其附加电阻的总电阻。已知R=60 Ω，ωＬ=
80 Ω。求： 
(1) 负载所吸收的有功功率和无功功率； 

(2) 和的
读数。


图527


解（1） 功率表的接入不影响负载的电压
Ｉｐ=Ｉｌ=380／3
602＋802=2.2 A
φｚ=ａｒｃtan8060=53.13°
Ｐ=3UｌＩｌｃｏｓφｚ=3×380×2.2×ｃｏｓ53.13°=871.2 W
Ｑ=3UｌＩｌｓｉｎφｚ=3×380×2.2×ｓｉｎ53.13°=1161.6 vａｒ
或
Ｐ=3×2.22×60=871.2 W
Ｑ=3×2.22×80=1161
.6 vａｒ
（2） 前面已经提过,没有特殊说明时可认为仪表是理想的，但此例提到功率表


的
电压
线圈及其附加电阻的总电阻等于Rｇ，记两个Rｇ之间的连接点为N″，则
电源
A端和Ｎ″之间相当于接一个电阻Rｇ，据三相电路的对称性可判断N″、N′
和电源的中性点都是等电位点，所以有


=UAＮＩAｃｏｓ（
U·AＮ，I·A∧）=UpＩpｃｏｓφz=13Ｐ=290.
4 W

功率表所接
电压、电
流相量图如图527（b）所示，则

=UC
AＩ

Bｃｏｓ（U·CA，I·B∧）=UｌＩｌｃｏｓ（120°-30°-53.13
°）=668.9 W

讨论此题中若不告诉功率表的内阻，则认为功率表都是理想的，即
其电
压线圈电阻为无穷大，电流线圈电阻为零； R
ｇ接在电源之间不影响负载的供电，仍是三相对称电路，则

U·AＮ″=U·
AＢ＋U·ＢＮ″=U·AＢ+12U·ＢC=U·AＢ+1
2U·AＢ／-120°=0.866／-30°U·AＢ
功率表
的读数则
为


=UAＮ″ＩAｃｏｓ（
U·AＮ″，I·A∧）=0.866UｌＩｌｃｏｓ（-30
°＋30°＋
φz）=434.386 W
此外，还可以证明功率表的读数乘以3即为负载的无功功率
，这也是测量无功功率的常用电路。需要强调的是，三相电路的负载功率是指三个负载上
的
总功率，很多读者在计算时往往只算一相的功率。

例517图528所示三相电路中，
U·AＢ=220 ／
0° V，U·ＢC=
220／-120° V，U·C
A=220／120° V，负载端R1=10 Ω，R2=15
 Ω，ＸＬ=20 Ω，R3=12 Ω，｜ＸC｜=12 Ω。
试求： 

（1）相电流； (2)线电流； (3)每个功率表的读数； (4)负载吸收的总功率； 
（5）三个电阻吸收的总功率，并与(3)、(4)结果作比较。


图528
解（1） 功率表
视为理
想仪表，即电流线圈为短路，电压线圈为开路，仪表功耗为零。三相负载为非对称，由欧姆
定律知相电流分别为
I·AＢ=U·AＢR3-ｊ1ωC=22012-ｊ12=12.96／45° A
I·ＢC=U·ＢCR2＋ｊＸＬ=2
20／-120°15＋ｊ20=8.8／-173.13° A
I·CA=U·CAR1=220／120°10=22／120° A
(2) 线电流为
I·A=I·AＢ-I·CA=20.16-ｊ9.89=22.46／-26.13° A
I·B=I·ＢC-I·AB
=-17.9-ｊ10.21=20.61／-150.3° A
I·C=I·CA-I·BC
=-2.26＋ｊ20.10=20.23／96.42° A


(3) 功率表的读数分别为


=UAＢＩAｃｏｓ（U·
AＢ，I·A∧）

=220×22.46×ｃｏｓ（0°＋26.13°）=4436
.2 W



=UCＢＩCｃｏｓ（U·
CＢ，I·C∧）

=
220×20.23×ｃｏｓ（60°-96.42°）=3581.34 W

两个功率表读数之和

=
+

=8017.54 W

（4） 负载吸收的功率分别为

1=U·CA
ＩCA=220
／120°×22／-120°=4840 W
P1=4840 W
2=U·AＢIAＢ
=220×12.96
／-45°=2016.1-ｊ2016.1 VA
Ｐ2=2016.1 W
3=U·ＢCIＢC=220／-120°×8.8／173.13°=1161.6＋ｊ1548.8 VA

Ｐ3=1161.6 W负载吸收的总功率
Ｐ=Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3=8017.7 W
(5) 每个电阻吸收的功率为
ＰR1=R1Ｉ2CA=10×222=484
0 W
ＰR2=R2Ｉ2ＢC=15×8.82=1161.6 W

ＰR3=R3Ｉ2AＢ=12×12.962=2015.54
 W
总功率
ＰR=RR1＋ＰR2＋ＰR3=8017.4 W
计算结果与(3)、(4)相同(忽略计算误差)。

讨论三相电路的计算实际为正弦稳态电路的计算。三相电路不对称时
，其相电流、线电流也不具有对称关系； 三相负载吸收的总功率工程上用两个功率表进行测
量(三相三线制)。


例518图529(a)所示对称三相
电路
中，已知XＬ=2 Ω，ωＭ=1 Ω，R1=1 Ω，R2=15 
Ω，1ω
C=15 Ω，若虚线框内负载的三相功率Ｐ
△=4.5 ｋW，试求三相电源供出的功率P。



图529

解考虑互感，A相电感L上电压为

U·LA=jωLI·A+jωMI·B+jωMI·C
=jωLI·A+jωM(I·B＋I·C)
=jωLI·A+jωM(-I·A)
=jω(L-M)I·A


应用△→等效变换，将对称三相电路“化为一相”
来计算，其等效电路如图529(b）所示。其中
Ｚ=13Ｚ△=
13
R2-ｊ1ω
C=13（
15-ｊ15）
=5-ｊ5=52
／-45° Ω
Ｚ1=R1＋ｊω（Ｌ-Ｍ）=1＋ｊ1=2
／45° Ω
由三角形负载的一相功率可知,相电流
Ｉ△=Ｐ／3R2=150015=10 A
可知线电流
Ｉｌ=3Ｉ△=103
由负载的三相功率可知
Ｐ△=3UｌＩｌｃｏｓφ=3·3UＰ1×103×ｃ
ｏｓ（-45°）=4500
得
UＰ1=3006=1
22
.47 V
设电流
I·A=103
／
0° A为参考相量，则
U·A1=122.47
／-45° V
由ＫVＬ
U·A=Ｚ1I·A＋U·
A1
=2
／45°×103＋122.47
／-45°
=103.92-ｊ69.28=124.9
6／-33.69° V
三相电源供出的功率
Ｐ=3UＰＩｌｃｏｓφ=3×124.9×103
ｃｏｓ（-33.69°）=5400 W=5.4 ｋW

例519图530(a)所示三相电路，已知对称三相电源线电压U·AB=380／0° V,阻抗Z=25+j40 Ω。求： （1）开关S打开时三相电源的线电流I·A、I·B； （2）开关S闭合后阻抗Z中电流I·。



图530


解（1） 开关S打开时，电路三相对称，进行△→变换，电路如图530（b）所示，再化为一相计算

U·AN=U·AB3／-30°=220／-30°
I·A=U·AN10+30=5.5／-30° A,I·B=5.5／-150° A

(2) 开关S闭合后，Z端口ab的戴维南等效电路为

U·oc=U·ab=I·B3×90／30°=285.8／-120° V

除源阻抗（A、B、C短接，ab端口看进去为一桥形电路，电桥平衡时，AN支路断开或短接）

Zi=10×3010+30+10×3010+30=15 Ω

所以I·=U·ocZ+Zi=285.8／-120°25+j40+15=5.05／-165° A

评注此例在开关闭合后为非对称三相电路，阻抗Z与90 Ω电阻并联后，再进行△→变换、用节点法求解，但计算量较大，请读者自行练习。

5.4习题精解

题51图531(a)所示耦合电感电路。已
知电源电压ｕS=10cos(2π×103ｔ） V。当22′端开路时
，ｉ
1=0.1sin(2π×103ｔ）A，ｕｏ=-0.9cos(2
π
×103ｔ） V； 当22′端短路时，ｉ2sc=0.9sin(2π
×10
3ｔ）　A。求L1、Ｌ2、Ｍ和耦合系数ｋ。

图531




解当22′端开路时，L1中无互感电压，仅有自感电压； 而L2
中无自感电压，仅有互感电压。此时有

ｕS=Ｌ1ｄｉ1ｄｔ=Ｌ
1［0
.1×2π×103cos(2π×103ｔ）］
=10cos（2π×103ｔ）
得

0.1×2π×103Ｌ1=10

L1=50π≈15.9　ｍＨ

根据由施感电流产生的互感电压有
ｕｏ=-Ｍｄｉ1ｄｔ=-Ｍ［0.1×
2π×103co
s(2π×103ｔ）］
而已知条件为
ｕｏ=-0.9cos(2π×103ｔ）
由两式相等条件，得
Ｍ=4.5π≈1.43　mH






当22′
端短路时，其电路如图531(b）所示，列出两回路的KVL方程
-Ｍｄｉ2scｄｔ＋Ｌ
1ｄｉ′1ｄｔ=ｕS①
Ｌ2ｄｉ2scｄｔ-Ｍｄ
ｉ′1
ｄｔ=0②

由式①解出

ｄｉ′1ｄｔ=1Ｌ1ｕ
S＋Ｍｄｉ2scｄｔ
③


将式③代入式②，得
Ｌ2-Ｍ2Ｌ1ｄｉ2scｄｔ-ＭＬ1ｕS=0
代入L1、Ｍ值，得



Ｌ2=0.905π≈0.288　mH

耦合系数为

ｋ=ＭＬ1Ｌ2
=4.5π
50π×0.905π
=4.550×0.905≈0.669


讨论① 耦合电感电路要掌握正确列写互感电压的表达式，尤其要注意
其正负号，这是今后计算耦合电感电路的一个重要概念。

② 耦合电感电路副边(22′端)工作状态不同，其接电源端所得原边的电流也随之不同。


题52图532（ａ）所示电
路中，已知ｉS=52ｃｏｓ2ｔ A，试求稳态开路
电压ｕoc。



图532

解正弦交流电路应用相量法分析。I·
S=5／0° A，画出其相量模型如图532（b）所
示。副
边
开路，副边线圈没有自感电压，原边线圈没有互感电压，据原边线圈电流的方向判断副边互
感电压(开路电压)为上负下正，则原边线圈电流
I·Ｌ1=33＋ｊ4×I·S=33＋ｊ4×5=3
／-53.13° A
副边开路电压

U·oc=-U·
Ｍ21=-ｊωMI·Ｌ1=-ｊ
5×3
／
-53.13°=15
／-143.13° V
副边开路电压瞬时值
ｕoc=152ｃｏｓ（2ｔ-143.13°
） V
题53
图533所示电路，电路ａ、b端开路，求ｕ1（ｔ）和ｕ2（ｔ）。



图533

解电路为含有耦合电感的电路，因其不是正弦电路，所以要用瞬时表达
式求解，根据电感两边的同名端判断其电压情况，因a、b
端开路，其对左边电感不产生互感电压，左边电感只有自感电压，由标出的极性可知ｕ
Ｌ1=ｄｅ-ｔｄｔ=-ｅ-ｔ，
而右边电感只
有互感电压
没有自感电压，ｕＬ2=0.5ｄｅ-
ｔｄｔ=-0.5ｅ-ｔ V。

左边回路的ＫVＬ方程为
ｅ-ｔ=-ｕ1＋ｕＬ1=-ｕ1-ｅ-ｔ
解得ｕ1=-2ｅ-ｔ V

同时有ｉ=-ｅ-ｔ2=-12
ｅ-ｔ A
右边回路
ｕ2=-5ｉ-ｕＬ2=-5×（-12ｅ
-ｔ）＋0.5ｅ-ｔ=3ｅ-ｔ V
题54
图5
34（ａ）所示电路中，已知正弦电压ｕ
S的有效值为2.2 V，ω=104 ｒａｄ／ｓ。求： 

（1） 互感M为何值时可使电路发生电压谐振； 

（2） 谐振时各元件上的电压和电流。



图534

解(1) 从谐振的概念知，整个电路阻抗的虚部为零时即发生谐振。将
三
端接法的互感去耦，等效电路的相量模型如图534（b）所示，则
Ｚ=R＋ｊω（Ｌ1＋Ｍ）＋-ｊω（Ｌ2＋Ｍ
）×ｊωＭ＋1ωC
ｊω（Ｌ2＋Ｍ）-ｊωＭ＋1ωC

=R＋ｊωＬ1＋Ｍ＋（ω2ＭC＋1）（Ｌ2＋
Ｍ）1-ω2Ｌ2C
令Ｉｍ［Ｚ］=0，即
ωＬ1＋Ｍ＋（ω2ＭC＋1）（Ｌ2＋Ｍ）1
-ω2Ｌ2C=0
代入数据，整理可得
150Ｍ2＋2Ｍ-0.1=0

解方程得

Ｍ=20 ｍＨ
(2) 令U·S=2.2
／0° V，则谐振时电流为
I·=U·
SR=2.2
／0°50=44 ｍA
I·1=-ｊωM＋
1ωCｊω（Ｌ2＋Ｍ）-ｊωM＋1ωCI·=
-ｊ200＋11.5×10-2
ｊ800-ｊ200＋11.5×10
-2×44=-22 ｍA
I·2=I·-I·1=66 ｍA
原电路各元件上的电压分别为

U·Ｌ1=ｊωL1I·＋ｊωMI·1=ｊ200×44＋ｊ
200×（-22）=ｊ4.4=4.4／90° V
U·Ｌ2=ｊωL2I·1＋ｊωMI·=ｊ600×（-22）＋
ｊ200×44=-ｊ4.4=4.4／-90° V
U·C=U·Ｌ2=4
.4／-90° V
注意此题求各元件电压时，不能认为等效电
感(Ｌ1＋Ｍ）上的电压就是原互感线圈Ｌ1上的电压，也不能认为(L2＋Ｍ）上的电
压就是原互感线圈Ｌ2上的电压，请注意区别
。(L1＋Ｍ）和（Ｌ2＋Ｍ）上的电压计算如下
UＬ1＋Ｍ=0.4×44=17.6 VUＬ2＋Ｍ
=UC-Ｍ=0.8×22=17.6 V
题55图535（
ａ）所示电路中，U·S=100
／0° V，I·S=2／
0° A，ωL1=20 Ω，ωL2=30 
Ω，ωM
=15 Ω，1／（ωC）=40 Ω，R=60 Ω。试求电流I·R。



图535

解法1对于图535（ａ）中的外围回路，
据KVL
得
RI·R＋ｊωL2I·R＋ｊωMI·1-ｊωL1
I·1-ｊωMI·R=U·S
将I·1=I·S-I·R代入上式，整理得
I·R=U·S-（ｊωM-ｊωL1）I·
S
R＋ｊωL1＋ｊωL2-ｊ2ωM
代入数据得
I·R=100-（ｊ15-ｊ20
）×260＋ｊ20＋ｊ30-ｊ30=1.55-ｊ0.35=1
.59
／-12.72° 
 A
如果先消去互感
再列写方程，所得结果是一样的。

解法2
应用戴维南定理求解。去耦后等效电路如图535（b）所示。
U·oc=U·
S＋ｊω（Ｌ1-Ｍ）I·S=100＋
ｊ5×2=100.5
／5.71°
 V
Ｚｉ=ｊω（Ｌ1＋Ｌ2-2Ｍ）=ｊ20 Ω
Ι·R=U·
ocＺｉ＋R=100＋ｊ10ｊ
20＋60=1.55-ｊ0.35 A
=1.59／-12.7°
 A
题56图536（
ａ）所示电路中，R、Ｌ1、Ｌ2
、Ｍ均为已知，C可调，为使负载电流ｉ=0，正弦电压源的频率应取何值?



图536

解从图中线圈的绕向可判断其同名端如图536（b）所示，当中
间支路
的等效阻抗为零(相当于短路即发生串联谐振)时，负载电流等于零。去耦后电路如图536(c)所示，有
ｊωM-ｊ1ωC=0

解得

ｆ=12πＭC

题57图537所示电
路中，功率表的读数为24 W，ｕ
S=22ｓｉｎ10ｔ V。试确定互感
M的值。



图537

解副边总阻抗
Ｚ22=1.5＋ｊ2 Ω
副边反映到原边的阻抗
Ｚｒｅｆ1=（ωM）2Ｚ22=100Ｍ21.5＋ｊ2 Ω
原边总的等效阻抗
Ｚ1=Ｚ11＋Ｚｒｅｆ1=-ｊ＋ｊ＋10
0Ｍ21.5＋ｊ2
=24Ｍ2-ｊ32Ｍ2 Ω
据“串联模型”的功率三角形和阻抗三角形相似知
UＩ｜Ｚ1｜=U｜Ｚ
1｜2=ＰRｉ
代入数据得
240Ｍ22=
2424Ｍ2
解得
Ｍ=50 ｍＨ
题58空心变压器
如图538（ａ）所示。已知U1
=10 V，ω=106 ｒａｄ／ｓ，Ｌ1=Ｌ2=1 ｍＨ，
1/(ωC1)=1/(ωC2)=1 ｋΩ
，R1=10 Ω，R2=40 Ω。为使R2上获得最大功率，试求所需
的M值、负载R2上功率和C2上的电压。



图538

解令U·1=10／0°

 V，副边看进去的等效电路如图538（b）所示，则
Ｚ11=R1-ｊ1ωC1＋ｊ
ωL
1=10 Ω
Ｚｒｅｆ2=（ωM）2Ｚ11=（ωM）210 Ω
当R2=1ｊωC2＋Ｚｒｅｆ2＋ｊ
ωL2=Ｚｒｅｆ2时，可获得最大功率，即
40=（ωM）210

解得

Ｍ=20 μＨ

有

U·2=ｊωM×U·1Ｚ11=ｊ20 V

电容C2上电压为


U·C2=U·2Ｚｒｅｆ2＋1ｊωC2＋ｊωL2＋R2×1ｊωC2=ｊ2040＋40×（-ｊ1000）=250 V


负载R2上功率为

PR2=20802
×40=2.5 W


图539

题59图539所
示电路中，理想变压器的变比为1∶
2，R1=R2=10 Ω，1／（ωC）=50 Ω，U·=50／0°
 V。
求流过R2的电流。



解本题为含有理想变压器的电路分析，除了列出一般的ＫCＬ、Ｋ
V
Ｌ方程外，还要写出变压器原副边的电压电流关系，为此标出各电压电流如图所示，则
U·2=2U·1
I·1=-2I·2
R1I·1＋U·1＋R2
（I·1＋I·2）=U·
-ｊ1ωCI·2＋U·2＋R2（I·1＋I·2）=0

①
②
③
④



将式①、式②代入式③、式④并代入数据得
10（-2I·2）＋U·1＋10（-2I·2＋I·2）=50
2U·1＋10（-2I·
2＋I·2）-ｊ50I·2=0

解得

I·2=-1-ｊ=2
／-135°
 A

从而

I·R2=I·1＋I·2=-2I·2＋I·2=-I·2=2
／45°
 A
ＩR2=2=1.414 A
题510图540（a）所示正弦交流电路，已知I1=I2=I,R2=10 Ω,ωM=10 Ω时，虚线框内的并联电路达到谐振，求此时X2、R1和X1。



图540


解设并联支路电压U·1为参考相量，根据题意画出电流相量图如图540（b）所示，由于并联电路电压相等，由KVL得

（R1+jX1）I·1-jωMI·=(R2-jX2)I·2=U·1

代入I·1=I／-60°
 ,I2=I／60°
 ,则有

（R1+jX1）I／-60°
 -j10I／0°
 =(R2-jX2)I／60°
 =U1／0°
 

将上式展开，实部相等、虚部相等有

实部32X1+12R1=5+32X2=U1I
虚部12X1-32R1-10=-12X2+53=0

解得

X2=17.32 Ω,X1=22.32 Ω,R1=1.34 Ω


题511在RＬC串联谐振电路实验中
，电源电压US
=1　V保持不变。当调节电源频率达到谐振时，ｆ0=100　ｋＨｚ，回路
电流I0=100　ｍA； 当电源频率变到ｆ1=99　ｋＨｚ时，回路电流I
1=70.7　ｍA。试求：  

(1) R、Ｌ和C值； 

(2) 回路的品质因数Q。

解(1) 发生谐振时有
Ｉ0=USR
将数据代入得
R=U
S
Ｉ0=1100×10-3=10　
Ω①
ω0=2πｆ0=1ＬC

频率改变时
Ｉ1=USR2＋ω1Ｌ-1ω
1C2②
将数据和式①代入式②，求解得
Ｌ=0.796　ｍＨ，C=3200　ｐＦ
（2） 回路的品质因数
Ｑ=ω0ＬR≈50

讨论此题在列方程求解L、C时较繁，注意到I1=12Ｉ0，正好是定义通频带对应的电流，在Ｑ1时
有
ＢW=ω0Ｑ≈2（ω0-ω1）

Ｑ≈ω02（ω0-ω1）=ｆ02（
ｆ0-ｆ1）=1002=50
再由Q=ω0ＬR=1Rω0
C≈50求得Ｌ、C，过程较为简单。由此可看出，深刻领会一些基本概念对求解是有帮
助的。

题512图541（ａ）所示电路中
，如果改变电容C，电压表
的指示如何变化?C为何值时指示最小?该最小指示值为多少?


图541

解并联部分导纳为
Ｙ=Ｇ＋ｊωC-1ωＬ

｜Ｙ｜=Ｇ2＋ωC-1ωＬ
2

Ｉ=U｜Ｙ｜
在电压U一定时，电流正比于｜Ｙ｜，故当ωC=1ωＬ
，
即发
生并联谐振时，｜Ｙ｜最小，则电流I最小，即电压表指示值最小。故
C=1ω2Ｌ=1（2
π
×1.5×106）2×112×10-6
=100.52 ｐＦ
电压表指示值为


=550＋5×1
=111=0.091 V
改变电容C的过程中，电压表指
示的变化关系(定性)如图541(b）所示。



图542
题513在图542所示电路中，若电源
频率为100 ｋＨｚ时电流不能通过负载RＬ，而在频率为50 ｋＨｚ
时，流过RＬ的电流为最大。求C1和C2。


解(1) 电流不能通过负载RＬ意味着整个回路的电流为零，可
知L、C1发生并联谐振，其并联的导纳为零，即
C1=1ω2并L=1（2π×
10
5）2×10-5=0.253 μＦ
(2) 流过RＬ的电流最大时，即L、C1并联以后再和C2串联发生串联谐振
，其阻抗为零，即整个回路的阻抗为最小
C2=1ω串Ｌ-ω串C11ω串=0.760 μＦ

题514图543所
示电路中，回路Ⅰ是一个信号传输回路，为

了抑制一个频率为27.75 ＭＨｚ的强干扰信号，附加一个吸收回路Ⅱ，该回路与

图543



回路Ⅰ通过互感耦合，回路Ⅱ本身的谐振频率为27.75 ＭＨｚ。若设
耦合系数为0.25，试比较吸收回路存在和不存在时传输回路输出端干扰信号的大小。ｕ
1、ｕ2分别为输入、输出信号。

解由吸收回路Ⅱ本身的谐振频率知
Ｌ2=1ω2C2=1（2π×
27.75×106）2×30×10-12
=1.096 μＨ

互感系数M为
Ｍ=ｋＬ1Ｌ2=0.25×3
.3×10-6×1.096×10-6
=0.475 μＨ
没有吸收回路Ⅱ时，输出干扰信号与输入信号之比为
U·2U·1=-ｊ1ωC1R
1
＋ｊωL1-ｊ1ωC1
=
-ｊ12π×27.75×106×7×10-1210＋ｊ2π×27.75×106×3.3×10-6-ｊ
12π×27.75×106×7×10-12

=-ｊ819.3310-ｊ243.95=3.3
6
／-2.35°
 
U2=3.36U1


有吸收回路Ⅱ时，输出干扰信号与输入信号之比为
U·2U·1=-ｊ1ωC1R
1
＋（ωM）2R2＋ｊωL1-ｊ1
ωC1=-ｊ819.3334305
.
96-ｊ243.95=0.0239
／-89.59°

U2=0.0239U1

可见，当电路中有吸收回路Ⅱ时，对27.75 ＭＨｚ的一个强干扰信号抑制得好。


题515已知对称三相电路的形
负载Ｚ=165＋ｊ8
4 Ω，端线阻抗Zl=2＋ｊΩ，中线阻抗ＺＮ=1＋ｊ
Ω，线电压Uｌ=380 V。求负载的电流和线电压，并作出电路的相量
图。

解对称三相形连接电路如图544（ａ）所示，其“化为
一相”计算电路如图544（b）所示。


图544

设电源端相电压为参考相量，即
U·AＮ=220／0° V
I·A=U·AＮＺｌ＋Ｚ=220／0°167＋ｊ85=1.17／-27° A

U·ＺA=ＺI·A=（165＋ｊ84）×1.17／-27°=216.63／0° V

U·ＺAＢ=3U·ＺA／30°=375.2／30° V
由对称性画出相量图如图544（ｃ）、（ｄ）所示。

题516图545（ａ）所示对称三
相电路，电源频率为5
0 Ｈｚ，Ｚ=6＋ｊ8 Ω。在负载端接入三相电容器组后，使功率因数提
高到0.9。试求每相电容器的电容值。


图545



解法1将问题“化为一相”计算，其计算电路
如
图545(b）所示。输入阻抗为

Ｚｉ=Ｚ1ｊ3ωC

Ｚ＋1ｊ3ωC=
1
03ωC／-36.9°6＋ｊ8-13ωC
=｜Ｚｉ｜ ／-36.9°-ａｒｃtan8-1
3ωC6=｜Ｚｉ｜／φ
由于ｃｏｓφ=0.9，φ=25.84°,所以
-36.9-ａｒｃtan8-13ωC6=25.84°
13ωC=19.64
C=119.64×3×100π=54 μＦ

解法2应用复导纳角
φ=ａｒｃｃｏｓ0.9=25.84°将形连接负载转换
为△形连接，其等效
阻抗为
Ｚ△=3Ｚ=18＋ｊ24 Ω
一相的总导纳Y△总为
Y△总=ｊωC＋1Ｚ△=

ｊ314C＋118＋ｊ24
=0.02-ｊ0.083-314C
由题意知
0.083-314C0.02
=tan25.84°
所以C=54 μＦ

题517图546所示对称三相电路，
已知负载阻抗Z△=21＋ｊ22.5 Ω，
U·A=220／0° V，U·B=220／-120° V，U·C=
220
／120° V。求： 

（1） 三相电源发出的总功率； 

（2） 三角形负载吸收的总功率。


图546

解利用△变换，
“化为一相”电路如图546(b)所示。
Ｚ=13Ｚ
△=7＋ｊ7.5=10.26
／47° ΩI·
A=U·AＺA=2201＋ｊ0.5＋7＋ｊ7.5=554
2／-45° A

（1） 三相电源发出的总功
率
Ｐ=3UAＩAｃｏｓφ=3×220×554
2ｃｏｓ45°=9075 W（2） △形负载等效成形阻抗Z上电压为

U·=ＺI·
A=199.5／2° V
故△形负载吸收的总功率PA=3×3U×
Ｉ
A3ｃｏｓ47°=3×199.5×5542ｃｏｓ47°=7937 W


此例只是求解功率，实际上△形负载消耗的功率就是图546(b)中形负载电阻消耗的功率，于是有三相电源总功率

P=3I2A(1+7)=9075 W

三相△形负载总功率

P△=3I2A×7=7937 W

或者用
P=3ReU2AZ*也可得相同结果。

题518已知图547（ａ）所
示三角形连接的负载为Z
AＢ=6＋ｊ8 Ω，ZＢC=6-ｊ8 Ω，Ｚ
C
A=8＋ｊ8 Ω。试求负载接于线电压为380 V的三相电源时，各相
电流及线电流的值，并画出相量图。


图547


解该题为不对称三相
负载，而电源一般是对称的。

设
U·AＢ=380／0° V为参考相量，则由电源对称性知
U·ＢC=38
0／-120° V,U·
C
A
=380／120° V

所以

I·AＢ=U·AＢＺAＢ=380
／0°6＋ｊ8=38／-53.13°=22.8-ｊ30.4
I·ＢC=U·ＢCＺＢC=380
／-120°6-ｊ8=38／-66.87°=14.93-ｊ34.95
I·CA=U·CAＺCA=380／120°8＋ｊ8=33.59
／75°=8.69＋ｊ32.4
由ＫCＬ得

I·A=I·AＢ-I·C
A=14.11-ｊ62.8=64.4
／-77.3° A
I·Ｂ=I·ＢC-I·A
Ｂ=-7.87-ｊ4.55=9.09
／-150.0° A
I·C=I·CA-I·Ｂ
C=-6.24＋ｊ67.35=67.64
／95.29° A
各电流的相量图如图547（b）所示。


图548

题519图548所示对称三相电路
中，已知U·AＢ=380／0°
 V，I·

A=1／-60° A，则功率表读数各为多少?三相负载的总功率
为多
少?


解根据三相电源对称性，得

U·ＢC=380／-120° V

U·CＢ=380／60° V

U·A=220／-30° V


I·C=I·A／120°=1／60° A

φz=（-30°）-（-60°）=30°
各功率表读数



=UA
ＢＩAｃｏｓ（
U·AＢ，I·A∧）=380×1×ｃｏｓ［0°-（-60°）］=1
90 W
=UCＢ
ＩCｃｏｓ（
U·CＢ，I·C∧）=380×1×ｃｏｓ（60°-60°）=380
 W

三相负载的总功率

P=3UlIlcosφ=3×380×1×cos30°=570 W



图549

此题为二瓦法共B接法测功率的电路，两个功率表读数的代数和就是三相负载总
功率。


题520图549
所示电路，三相对称感性负载接到三相对称
电源上，在两线间接一功率表如图所示。若线电压UAＢ=380 V，负
载功率因数ｃｏｓφ=0.6，功率表读数P=275 W。求线电流IA及
三相负载的总功率。



解φ=ａｒｃｃｏｓ0.6=53.13°

令U·AＢ=380／0° V，则

U·A=22
0
／-30° V

对于感性负载有

I·A=ＩA
／
-30°-φ
ＰW=UAＢＩAｃｏｓ（30°＋φ）
ＩA=ＰWUAＢｃｏｓ（30°＋53
.1
3°）=275380×ｃｏｓ83.13°=6.05 A
Ｐ=3UｌＩｌｃｏｓφ=3×380×6.05×0.6=2389.12 W
题521图550所示对称三相电路，电源线电压有效值380 V，功率表读数为866 W，为433 W，求： （1）电路的有功功率； （2）电路的无功功率； （3）电路的功率因数； （4）负载的阻抗Z。


图550

解（1） 此例为两表法共C接法测三相电路功率，两表法测量对称与非对称三相三线制电路功率，其有功功率为两表读数的代数和，即

有功功率P=PW1+PW2=866+433=1299 W

(2) 无功功率Q=3（PW2-PW1）=3(433-866)=-750 var

(3) 功率因数

tanφ=-7501299=-0.577
φ=-30°

所以λ=cosφ=0.866

(4) 由功率计算公式P=3UlIlcosφ知

Il=P3Ulcosφ=12993×380×0.866=2.279 A
|Z|=UlIl/3=3802.279/3=288.8 Ω
Z=288.8／-30° =250-j144.4 Ω


图551
讨论若无功功率Q=3（PW1-PW2）=750 var，则阻抗Z=288.8／30°  Ω为感性。

题522图551所示
电路中，
Ｅ·A、Ｅ·B、
Ｅ·C是一组形连接的对称三相电源。试求
I·1及U·
Ｎ′Ｎ。

解法1直接运用弥尔曼定理得
U·Ｎ′Ｎ=
Ｅ·AＺ＋Ｅ·AＺ1＋Ｅ·ＢＺ＋Ｅ
·CＺ1Ｚ＋
1Ｚ＋1Ｚ＋1Ｚ1

=Ｅ·AＺ
1＋1Ｚ（Ｅ·A
+Ｅ·B+Ｅ·C）
3Ｚ＋1Ｚ1

=Ｅ·AＺ13Ｚ＋1Ｚ1
=ＺＥ·AＺ＋3Ｚ1

I·1=Ｅ·A-U·Ｎ′ＮＺ1=1-ＺＺ＋3Ｚ1Ｚ1Ｅ
·A=3Ｚ＋3Ｚ1Ｅ·A


解法2观察原电路可以看出，从Z1看
进
去的电路是对称的，先应用
戴维南定理求得I·1,再求U·Ｎ′Ｎ，过程会变得简单一些。
U·oc=Ｅ·
A，Ｚｉ=Ｚ／3
I·1=U·ocＺｉ＋Ｚ1=Ｅ·AＺ／3＋Ｚ1=3Ｚ＋3Ｚ
1Ｅ·A
U·Ｎ′Ｎ=Ｅ·
A-Ｚ1I·1=Ｅ
·A-3Ｚ1Ｚ＋3Ｚ1Ｅ·A=ＺＺ＋3Ｚ1Ｅ·A

5.5阶段测试题

51在TV显像管中需用高
电压
来加速电子束，在如图552（a)所示简化电路中，L为水平偏转线圈，其电流波形如
图552（b)所示。高电压取自耦合电感L2两端，两端可视为开路，已知图552
(b
)电流波形中ｔb-ｔａ=1 μｓ，若要求在该期间产生电压ｕ的峰值为15000
 V，求所需M。


图552


52求图553所示各电路的输入
阻
抗。已知图553（ａ）的耦合系数ｋ=0.5，图553（b）的ｋ=1，电源角频率
为ω。





图553


53
电路如图554所示，耦合系
数ｋ=0.5。求I·和U·。

54电路如图555所示，若ｕ
S（ｔ）=ｓｉｎｔ V。求ｕｏ（ｔ）。




图554


图555

55电路如图556所示，已知ω
=314 ｒａｄ／ｓ。试求电流I·2。



56如图557所示电路，已知ｕ
（ｔ）=2ｓｉｎｔ V，Ｍ=0.5 Ｈ。求Ｚ
Ｌ为何值时可获得最大功率，并求出最大功率的值。



图556


图557

57电路如图558所示，已知ｉS（ｔ）=42ｃｏｓ10
0ｔ A
。求当L为何值时该电路发生谐振。


58电路如图559所示，求电流
I·。



图558


图559


59电路如图560所示，求电压
源发出的复功率。



图560


510电路如图561所示，已知U·S=4
／0° V，I·S=1
／0° A。当ZＬ为何值时，它获得平均功率最大，并求
此最大功率。


511电路如图562所示，当ｕS（
ｔ）=82
ｃ
ｏｓ1000ｔ V时，ｉ1（ｔ）=0，且电压ｕS（ｔ）与电流ｉ（ｔ
）同相
。试求： (1)电感Ｌ2的值； (2)电流ｉC1（ｔ）。


图561图562


512电路如图563所示，已知ｕS（ｔ）=2002
ｃ
ｏｓωｔ V时，M=0.05 H，L1=0.1 H,电流表读数为零。求ｕo（ｔ）。



图563

513电路如图564所示，求： （1）互感系数M; (2)电流io(t)； （3）电流源输出的有功功率P和无功功率Q； （4）电容在t=4 s时所储存的能量。

514
电路如图565所示，Z1、Ｚ2均为感性负载，Zl=0.1＋ｊ0.2 
Ω，形负载的功率为5.25 ｋW，功率因数为0.855； △形负载的功
率为10 ｋW，功率因数为0.8。若负载端的线电压为380 V，试求电源端
的线电压。




图564



图565


515图566所示三相电路中，已知三相对称电源的
线电
压Uｌ=380 V，单相电阻负载R=1 Ω。试比较图566(ａ）和(b)
中电流表的读数。


图566


516图567所示对称三相电路中，电源线电压有效值380 
V
，负载阻抗Z=1003＋ｊ100 Ω。试求三相负载吸收
的功率及两个功率表的读数。

517图568所示对称三相电路中，已知电源线电压380 V,Ｚｌ=1＋ｊΩ
，Ｚ
=10＋ｊ10Ω，则三相负载Z吸收的功率为
多少？功率表


的读数为多少？


图567图568


  *518图569所示对称三相电路中
，已知电
源线电压Uｌ=380 V，R=8 Ω，ωＬ=6 Ω，ωＭ=1 Ω
，1ω
C=30 Ω，试求线电流有效值Ｉｌ。



图569


5.6阶段测试题答案

513 H

52（ａ） 
-3ω2＋ｊ2ω2＋ｊ4ωΩ

（b） ｊω（Ｌ1Ｌ4＋Ｌ2Ｌ3-2Ｌ1Ｌ2
Ｌ3Ｌ4）
Ｌ2＋Ｌ4
 （ｃ） ｎ21ｎ22Ｚ1
Ｚ2ｎ21Ｚ1＋ｎ22Ｚ2

（ｄ） 4 Ω

（ｅ） 2 Ω

（ｆ） 1.6 Ω

53
1.118／-26.57°
 A,3.536／-135°
 V


540.2ｓｉｎ
（ｔ＋138°） V

553／-151.9°
 A


561.06-ｊ0.938 
Ω,7.37 ｍW

573.33 Ｈ

584.78／43.5° A

5925＋ｊ25 VA

510
4-ｊ6 Ω,6.25 W

5114 ｍＨ,102
ｃｏｓ（103ｔ＋36.9°） ｍA

5122062ｃ
ｏｓ（103ｔ-76°） V

513（1） M=1 H

(2) io(t)=1.2cos(4t+53.1°) A

(3) P+jQ=12×4.8×2／53.1°=2.88+j3.84

(4) uC(t)=1.6cos(4t-126.9°) V

WC(4)=12×14×［1.6cos(4×4-126.9°)］2≈0.038 J

514390.7 V

515（ａ） 0（b） 2
20 A

5161881 W,1254 
W,627 W

5176 ｋW,3.464 ｋW


  *51816 A