第5章窄带随机过程


如果一个随机过程的功率谱集中在某一中心频率附近的一个很小的频带内，且该频带又远小于其中心频率，这样的随机过程称为窄带随机过程，很显然，白噪声（或宽带噪声）通过窄带系统，其输出就是窄带随机过程。在电子系统中，窄带系统有很多，如一般的无线电接收系统都有的高频和中频放大器就是窄带系统，因此，窄带随机过程是雷达、通信系统中常见的随机过程。
窄带随机过程分析的有力工具是希尔伯特（Hibert）变换。因此，本章首先介绍希尔伯特变换及信号的复信号表示，在此基础上，介绍窄带随机过程的表示形式与统计特性。






5.1希尔伯特变换
希尔伯特变换是信号处理中常用的一种变换，是分析窄带信号的一种很好的数学工具。
5.1.1希尔伯特变换的定义
假定有一个实函数x（t），它的希尔伯特变换定义为

H［x（t）］=x^（t）=1π∫+∞-∞x（τ）t-τdτ（5.1.1）

反变换为

H-1［x^（t）］=x（t）=-1π∫+∞-∞
x^（τ）t-τdτ（5.1.2）

经过简单的变量替换，式(5.1.1)和式(5.1.2)也可以写成

x^（t）=1π∫+∞-∞x（t-τ）τdτ=-1π∫+∞-∞x（t+τ）τdτ（5.1.3）

x（t）=-1π∫+∞-∞x^（t-τ）τdτ=1π∫+∞-∞x^（t+τ）τdτ（5.1.4）


由定义可知，x（t）的希尔伯特变换为x（t）与1/πt的卷积，即

x^（t）=x（t）*1πt
（5.1.5）

因此，对x（t）的希尔伯特变换可以看作x（t）通过一个冲激响应为1/πt的线性滤波器，如图5.1所示。



图5.1希尔伯特变换



希尔伯特变换器传递函数为

H（ω）=-jsgn（ω）=-j（ω>0）


j（ω<0）（5.1.6）

其中sgn（·）为符号函数。从希尔伯特变换器的传递函数可以看出，它的幅频特性为

｜H（ω）｜=1（5.1.7）

它的相频特性为

φ（ω）=-π/2（ω>0）

π/2（ω<0）（5.1.8）

可见，希尔伯特变换器在整个频域上具有恒为1的幅频特性，为全通网络，在相位上则引入-
π2和π2的相移，因此，希尔伯特变换器可以看作一个
π2的理想移相器（或正交滤波器）。
5.1.2希尔伯特变换的性质
（1） H［x^（t）］=-x（t）（5.1.9）


连续两次希尔伯特变换相当于做两次
π2
的移相，即π的移相，也就是使信号反相。
（2） 设ω0为载波频率，φ为常数，则

H［cos（ω0t+φ）］=sin（ω0t+φ）（5.1.10）

H［sin（ω0t+φ）］=-cos（ω0t+φ）（5.1.11）

（3） 设a（t）为低频信号, 其傅里叶变换为A（ω）, 且

A（ω）=0（｜ω｜>Δω/2）（5.1.12）


则当ω0>Δω/2时, 有

H［a（t）cosω0t］=a（t）sinω0t（5.1.13）


H［a（t）sinω0t］=-a（t）cosω0t（5.1.14）


证明由性质（1）知, 若式（5.1.13）成立, 则式（5.1.14）必成立，因此只需证明式（5.1.13）就行了。
令x（t）=a（t）cosω0t，则

X（ω）=12［A（ω-ω0）+A（ω+ω0）］

X^（ω）=-jsgn（ω）12［A（ω-ω0）+A（ω+ω0）］

=-j2A（ω-ω0）+j2A（ω+ω0）

求上式的傅里叶反变换, 得

x^（t）=a（t）sinω0t

（4） 设A（t）与φ（t）为低频信号，则

H｛A（t）cos［ω0t+φ（t）］｝=A（t）sin［ω0t+φ（t）］（5.1.15）

H｛A（t）sin［ω0t+φ（t）］｝=-A（t）cos［ω0t+φ（t）］（5.1.16）

请读者在习题5.2中自行证明。
（5） 设y（t）=v（t）*x（t），则


y^
（t）=
v^（t）*x（t）=v（t）*x^（t）（5.1.17）

根据卷积运算的结合律就可以证明该性质。
（6） 设平稳随机过程X（t）的自相关函数为RX（τ），则

R
X^
（τ）=RX（τ）（5.1.18）


证明因为GX^
（ω）=GX（ω）｜H（ω）｜2=GX（ω）
所以RX^（τ）=RX（τ）


即X（t）经过希尔伯特变换后，其功率谱不变。这比较好理解，因为希尔伯特变换只影响相频特性，不影响幅频特性，而功率谱不含相位信息，经过希尔伯特变换以后，其功率谱是不变的，即相关函数是不变的。由式（5.1.18），得

RX^（0）=RX（0）（5.1.19）

即经过希尔伯特变换以后，其平均功率是不变的。该性质对时间相关函数也是成立的。即

RX^
（τ）=RX（τ）（5.1.20）

RX^
（0）=RX（0）（5.1.21）

（7） X（t）与它的希尔伯特变换的互相关函数满足如下关系： 

RX
X^（τ）=-
R^（τ），
RX^X（τ）=
R^（τ）（5.1.22）

证明留作习题，参见习题5.3。
（8） X（t）与它的希尔伯特变换的互相关函数是奇函数，即


RXX^（-τ）=-RXX^（τ），RX^X（-τ）=-RX^X（τ）（5.1.23）

RXX^（0）=-RXX^（0）=0（5.1.24）

式（5.1.24）也表明，X（t）与X^（t）在同一时刻是正交的。


（9） 偶函数的希尔伯特变换是奇函数，奇函数的希尔伯特变换是偶函数（证明留作习题，参见习题5.1）。





例5.1单边带调制信号的产生。通信系统中的调制信号是典型的窄带信号，假定线性调制载波为
s(t)=A(t)cos2πf0t
其中A(t)与调制信号m(t)成比例关系时产生双边带调制(DSB)，如果A(t)=A0m(t)，那么DSB信号的频谱为
S(f)=12A0M(f+f0)+12A0M(f－f0)
图5.2给出了DSB信号的频谱，高于载波频率的M(f-f0)部分称为上边带USB，低于载波频率的M(f-f0)部分称为下边带LSB。上下边带以载波频率为中心，幅度呈现偶对称关系，而相位为奇对称，因此，只需一个边带就可以得到m(t)，没有必要同时传输两个边带。


图5.2DSB信号的频谱




保留DSB上边带的信号称为上边带(USB)信号，保留DSB下边带的信号称为下边带(LSB)信号。图5.3给出了DSB信号和LSB信号的频谱。


图5.3DSB和LSB信号的频谱



DSB信号通过下边带滤波器，可以获得下边带信号。下边带滤波器可表示为
HLSB(f)=12sgn(f+f0)－sgn(f－f0)
SLSB(f)=HLSB(f)S(f)

=12sgn(f+f0)－sgn(f－f0)×12A0［M(f+f0)+M(f－f0)］

=14A0［M(f+f0)+M(f－f0)］+

14A0［M(f+f0)sgn(f+f0)－M(f－f0)sgn(f－f0)］

很显然，12A0m(t)cos2πf0t14A0［M(f+f0)+M(f－f0)］。此外，根据希尔伯特变换的性质，
m^(t)－jsgn(f)M(f)，m^(t)e±j2πf0t－jsgn(ff0)M(ff0)
14A0［M(f+f0)sgn(f+f0)－M(f－f0)sgn(f－f0)］

－j14A0［m^(t)ej2πf0t－m^(t)e－j2πf0t］=12A0m^(t)sin2πf0t
所以
sLSB(t)=12A0m(t)cos2πf0t+12A0m^(t)sin2πf0t
同理可得
sUSB(t)=12A0m(t)cos2πf0t－12A0m^(t)sin2πf0t
USB和LSB信号的产生如图5.4所示。


图5.4USB和LSB信号的产生




例5.2假多普勒干扰。雷达通常是发射一个信号，遇到目标后产生回波信号，通过对回波信号的检测发现目标并确定目标位置。现代雷达常采用复杂的信号形式和先进的信号处理技术，不仅大大提高了探测性能，也显著提高了抗干扰能力，对雷达干扰技术提出了严峻的挑战。数字射频存储雷达干扰技术是对抗现代雷达的一种新型干扰方式，它可以对接收的雷达信号采样后进行长时间的存储，经调制以后再转发为与雷达发射信号匹配的干扰信号。比如在调制过程中引入假多普勒信息，形成的干扰信号对雷达测速跟踪系统造成一个错误的速度信息，从而降低雷达系统的性能。假多普勒干扰机的组成如图5.5所示。


图5.5假多普勒干扰信号产生原理框图 



考虑到实现的成本，对雷达信号采用单通道接收，即获得雷达信号的同相分量，然后通过希尔伯特变换实时获得雷达信号的正交分量，由于此处是采用数字接收机的方案，因此，希尔伯特变换也是离散希尔伯特变换。离散希尔伯特变换的单位样值响应为
h(n)=2sin2(πn/2)πn(n≠0)
0(n=0)
假定单通道接收机输出的信号为sI(n)=a(n)cos(2πf0n+φ(n))，则
sJI(n)=a(n)cos(2πf0n+φ(n))cos2πfdn
sJQ(n)=a(n)sin(2πf0n+φ(n))sin2πfdn
sJ(n)=sJI(n)－sJQ(n)

=a(n)cos(2πf0n+φ(n))cos2πfdn－a(n)sin(2πf0n+φ(n))sin2πfdn

=a(n)cos［2π(f0+fd)n+φ(n)］

可见，输出的干扰信号产生了一个多普勒频移。

5.2信号的复信号表示
5.2.1确知信号的复信号表示

设x（t）为实的确知信号，信号的复信号形式定义为

x～（t）=x（t）+j
x^（t）
（5.2.1）
x～（t）也称为解析信号。
假定A（t）和φ（t）都是低频分量，那么
x（t）=A（t）cos［ω0t+φ（t）］

是窄带确知信号，它的解析信号为 


x～（t）=A（t）cos［ω0t+φ（t）］+jA（t）sin［ω0t+φ（t）］

=A（t）ej［ω0t+φ（t）］

=A～（t）ejω0t（5.2.2）

其中

A～
(t)=A（t）ejφ（t）
（5.2.3）

A～（t）称为复包络。
下面讨论一下解析信号的特征。对解析信号取傅里叶变换，得

X～（ω）=X（ω）+jX^（ω）

=X（ω）+j［-jsgn（ω）X（ω）］

=X（ω）［1+sgn（ω）］

=2X（ω）U（ω）

=2X（ω）（ω＞0）


0（ω＜0）
（5.2.4）

即，解析信号的频谱在负频率部分为零，而正频率部分是实信号的两倍。对于窄带确知信号，由式（5.2.2）得
X～（ω）=
A～（ω-ω0）（5.2.5）

或者

A～（ω）=
X～（ω+ω0）（5.2.6）

即, 将解析信号的频谱向左平移ω0就可以得到复包络的频谱。图5.6给出了窄带信号及其解析信号频谱之间的关系。


图5.6窄带信号及其解析信号频谱关系



5.2.2随机信号的复信号表示
对于随机信号,同样可以表示成复信号形式。设有平稳随机信号X（t），它的复信号形式定义为

X～（t）=X（t）+jX^（t）（5.2.7）

它的自相关函数定义为

RX～（τ）=E［X～（t+τ）X～*（t）］（5.2.8）

将式（5.2.7）代入式（5.2.8），得

RX～（τ）=
E｛［X（t+τ）+jX^（t+τ）］［X（t）-jX^（t）］｝

=RX（τ）+RX^（τ）+j［RX^X（τ）-RXX^（τ）］

由于RX（τ）=RX^（τ），
RXX^（τ）=RX^X（-τ）=-R^X（τ），所以上式可简化为

RX～（τ）=
2［RX（τ）+jR^X（τ）］（5.2.9）

且
RX（τ）=12Re［RX～（τ）］
（5.2.10）

式中,Re（·）表示取实部, 对式（5.2.9）两边取傅里叶变换，得


GX～（ω）=
2［GX（ω）+sgn（ω）GX（ω）］

=4GX（ω）（ω>0）


0（ω<0）（5.2.11）

式(5.2.11)表明，随机信号的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零，而在正频率为随机信号功率谱的四倍，如图5.7所示。


图5.7窄带随机信号及其复过程的功率谱














5.3窄带随机过程的统计特性
5.3.1窄带随机过程的准正弦振荡表示

在一般无线电接收系统中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频率f0，即

Δff01（5.3.1）

这样的系统称为窄带系统。
当系统的输入端加入白噪声或宽带噪声时，由于系统的带通特性，输出的功率谱集中在
ω0为中心的一个很小的频带内, 其输出噪声的波形如图5.8（d）所示，这种形状的波形告诉我们，窄带过程表现为具有载波角频率ω0、但相对于载波而言幅度和相位是慢变化的正弦振荡形式，可表示为

Y（t）=A（t）cos［ω0t+Φ（t）］（5.3.2）

其中ω0为中心频率，A（t）和Φ（t）是慢变化的随机过程，式（5.3.2）称为窄带随机过程的准正弦振荡表示形式。将式（5.3.2）展开，得


Y（t）=A（t）cosΦ（t）cosω0t-A（t）sinΦ（t）sinω0t

=Ac（t）cosω0t-As（t）sinω0t（5.3.3）

其中

Ac（t）=A（t）cosΦ（t），As（t）=A（t）sinΦ（t）（5.3.4）



图5.8白噪声或宽带噪声通过窄带系统


Ac（t）和As（t）都是低频慢变化的随机过程，称为窄带随机过程的同相分量和正交分量。窄带随机过程的幅度和相位可以用同相分量和正交分量表示为

A（t）=A2c（t）+A2s（t），Φ（t）=arctanAs（t）Ac（t）（5.3.5）


5.3.2窄带随机过程的统计特性
1. 窄带随机信号的相关函数

设窄带随机信号Y（t）的功率谱如图5.9（a）所示。


RY（τ）=12π∫+∞-∞GY（ω）ejωτdω=1π∫+∞0GY（ω）cosωτdω（5.3.6）



图5.9窄带随机信号的功率谱




令ω=Ω+ω0, 则


RY（τ）=1π∫+∞-ω0GY（Ω+ω0）cos［（Ω+ω0）τ］dΩ

=1π∫+∞-ω0GY（Ω+ω0）［cosΩτcosω0τ-sinΩτsinω0τ］dΩ

=1π∫+∞-ω0GY（Ω+ω0）cosΩτdΩcosω0τ-1π∫+∞-ω0GY（Ω+ω0）sinΩ τdΩsinω0τ


即

RY（τ）=Ra（τ）cosω0τ-Rb（τ）sinω0τ（5.3.7）

其中

Ra（τ）=1π∫+∞-ω0GY（Ω+ω0）cosΩ τdΩ（5.3.8）


Rb（τ）=1π∫+∞-ω0GY（Ω+ω0）sinΩ τdΩ（5.3.9）

Ra（τ）和Rb（τ）都是低频慢变化的。如果GY（ω）具有对称形式的功率谱（频带内的功率谱关于中心频率对称），则Rb（τ）=0，Ra（τ）是偶函数，自相关函数变为

RY（τ）=Ra（τ）cosω0τ（5.3.10）

2. Ac（t）和As（t）的统计特性
根据式（5.3.3）得

Y（t）=Ac（t）cosω0t-As（t）sinω0t

所以

Y^（t）=Ac（t）sinω0t+As（t）cosω0t （5.3.11）

Y（t）cosω0t=Ac（t）cos2ω0t-As（t）sinω0tcosω0t

Y^
（t）sinω0t=Ac（t）sin2ω0t+As（t）cosω0tsinω0t

将上面两式相加, 可得
Ac（t）=Y（t）cosω0t+
Y^（t）sinω0t（5.3.12）

同理可得

As（t）=-Y（t）sinω0t+Y^（t）cosω0t（5.3.13）

可见，Ac（t）和As（t）可以看作Y（t）和Y^（t）经过线性变换后的结果。Ac（t）的自相关函数为

Rc（t,t-τ）=E［Ac（t）Ac（t-τ）］

=E{［Y（t）cosω0t+Y^（t）sinω0t］［Y（t-τ）cosω0（t-τ）+

Y^（t-τ）sinω0（t-τ）］}

=RY（τ）cosω0tcosω0（t-τ）+RY^Y（τ）sinω0tcosω0（t-τ）+

RYY^（τ）cosω0tsinω0（t-τ）+RY^（τ）sinω0tsinω0（t-τ）

由于RY（τ）=RY^（τ），RYY^（τ）=-R^Y（τ）=-RY^Y（τ），所以


Rc（t,t-τ）=RY（τ）［cosω0tcosω0（t-τ）+sinω0tsinω0（t-τ）］+

R^Y（τ）［sinω0tcosω0（t-τ）-cosω0tsinω0（t-τ）］

即

Rc（τ）=RY（τ）cosω0τ+R^Y（τ）sinω0τ（5.3.14）

同理可证

Rs（τ）=RY（τ）cosω0τ+R^Y（τ）sinω0τ（5.3.15）

可见，Ac（t）和As（t）的自相关函数是相同的，由式（5.3.14）和式（5.3.15）也可以看出，Ac（t）
和As（t）的方差是相等的，且都等于Y（t）的方差，即σ2c=σ2s=σ2Y。
下面再分析一下Ac（t）和As（t）的互相关函数。


Rcs（t,t-τ）=E［Ac（t）As（t-τ）］

=E{［Y（t）cosω0t+Y^（t）sinω0t］［-Y（t-τ）sinω0（t-τ）+

Y^（t-τ）cosω0（t-τ）］}

=-RY（τ）cosω0tsinω0（t-τ）-RY^Y（τ）sinω0tsinω0（t-τ）+

RYY^（τ）cosω0tcosω0（t-τ）+RY^（τ）sinω0tcosω0（t-τ）



因为

RY（τ）=RY^（τ），RYY^（τ）=-R^Y（τ）=-RY^Y（τ）

所以 


Rcs（t,t-τ）=RY（τ）［sinω0tcosω0（t-τ）-cosω0tsinω0（t-τ）］-


R^Y（τ）［sinω0tsinω0（t-τ）+cosω0tcosω0（t-τ）］


即

Rcs（τ）=RY（τ）sinω0τ-R^Y（τ）cosω0τ（5.3.16）

由于 

Rcs（-τ）=RY（-τ）sin（-ω0τ）-R^Y（-τ）cos（-ω0τ）

=-RY（τ）sinω0τ+R^Y（τ）cosω0τ


即

Rcs（-τ）=-Rcs（τ）（5.3.17）

所以Rcs（τ）是奇函数, 奇函数在原点的值为零, 即

Rcs（0）=0（5.3.18）

式(5.3.18)表明,Ac（t）和As（t）在同一时刻是相互正交的。
对式（5.3.14）和式（5.3.16）做傅里叶变换，可以得到同相分量或正交分量的功率谱及其它们的互功率谱（证明留作习题，参见习题5.10），即

Gc（ω）=Gs（ω）=12［1+sgn（ω+ω0）］GY（ω+ω0）+

12［1-sgn（ω-ω0）］GY（ω-ω0）（5.3.19）

Gcs（ω）=j2［1+sgn（ω+ω0）］GY（ω+ω0）-

j2［1-sgn（ω-ω0）］GY（ω-ω0）（5.3.20）

如果Y（t）具有对称形式的功率谱，则

RY（τ）=Ra（τ）cosω0τ，R^Y（τ）=Ra（τ）sinω0τ

将上面两式代入式（5.3.16），得

Rcs（τ）=0

即Ac（t）和As（t）是相互正交的两个随机过程。这时


Rc（τ）=RY（τ）cosω0τ+R^Y（τ）sinω0τ

=Ra（τ）cosω0τcosω0τ+Ra（τ）sinω0τsinω0τ

=Ra（τ）（5.3.21）

RY（τ）=Rc（τ）cosω0τ（5.3.22）







5.4窄带正态随机过程包络和相位的分布

信号处理中，有用信号通常都是调制在载波的幅度或相位上，要提取有用信号通常需要包络检波器和鉴相器检测出信号的包络和相位，而检测前噪声通常都是窄带正态随机过程，为了获得最佳的检测效果，需要分析窄带正态随机过程包络和相位的分布。本节在5.3节的基础上，讨论窄带正态过程的包络、包络平方和相位的分布特性。在本节的讨论中，除特别声明外，都假定窄带正态过程的均值为零，功率谱密度相对于中心频率ω0 是对称的。
5.4.1窄带正态噪声的包络和相位的分布
1. 一维分布

已知窄带过程的一般表达式为

Y（t）=A（t）cos［ω0t+（t）］=Ac（t）cosω0t-As（t）sinω0t

设Y（t）的相关函数为RY（τ），方差为RY（0）=σ2，式（5.3.12）和式（5.3.13）表明，Ac（t）和
As（t）都可看作是Y（t）经过线性变换的结果。因此，如果Y（t）为正态过程，则Ac（t）和As（t）也为正态过程，并且也具有零均值和方差σ2。Y（t）的包络和相位分别为


A（t）=A2c（t）+A2s（t）1/2

（t）=arctanAs（t）/Ac（t）


式（5.3.18）说明，Ac（t）和As（t）在同一时刻是互不相关的，因二者是正态过程，故也是互相独立的。设
Act和Ast分别表示Ac（t）和As（t）在t时刻的取值，则其联合概率密度为

fAcAs（Act,Ast）=fAc（Act）fAs（Ast）=12πσ2exp-A2ct+A2st2σ2 （5.4.1）

因为


Ac（t）=A（t）cos（t）

As（t）=A（t）sin（t）


设At和φt分别为包络A（t）和相位（t）在t时刻的取值，则
A（t）和（t）的联合概率密度为

fA（At,φt）=｜J｜fAcAs（Act,Ast）

雅可比行列式J为

J=（Act,Ast）（At,φt）=
ActAtActφt

AstAtAstφt=cosφt-Atsinφt

sinφtAtcosφt=At

代入上式，得


fA（At,φt）=AtfAcAs（Atcos φt,Atsin φt）

=
At2πσ2exp-A2t2σ2（At≥0,0≤φt≤2π）

0（其他）
（5.4.2）

由此得出包络的一维概率密度为

fA（At）=∫2π0fA（At,φt）dφt=Atσ2exp-A2t2σ2（At≥0）

0（At<0）
（5.4.3）

相位的一维概率密度为
f（φt）=∫+∞0fA（At,φt）dAt=
12π
（0≤φt≤2π）

0（其他）（5.4.4）

从式(5.4.3)和式(5.4.4)可以看出，窄带正态过程的包络服从瑞利分布，而其相位服从均匀分布。另外不难看出有

fA（At,φt）=fA（At）f（φt）（5.4.5）

式(5.4.5)表明，在同一时刻t，随机变量A（t）和（t）是相互独立的。但要注意A（t）与（t）并不是相互独立的两个随机过程。
2. 二维分布
由于Ac（t）和As（t）可以看作Y（t）和Y^（t）
经过线性变换后的结果，因此若Y（t）为窄带平稳正态过程，则Ac（t）和As（t）也必为平稳正态过程。假定Y(t)具有关于中心频率对称的功率谱，令
Ac1和Ac2分别表示Ac（t）和Ac（t-τ）的取值，As1
和As2分别表示As（t）和As（t-τ）的取值。求包络和相位的二维概率密度步骤如下： 先求出四维概率密度fAcAs（Ac1,As1,Ac2,As2），然后转换为fA（A1,φ1,A2,φ2），最后再导出fA（A1,A2）
和f（φ1,φ2）。
（1） 求fAcAs（Ac1,As1,Ac2,As2）。
对于确定的时刻t，Ac（t），Ac（t-τ）,As（t）和As（t-τ）
皆为零均值、方差为σ2的正态随机过程变量。根据式（1.8.11）有

fAcAs（x）=1（2π）2det12（C）exp-12xTC-1x（5.4.6）

式中

x=Ac1

As1

Ac2

As2，
C=σ20a（τ）0

0σ20a（τ）
a（τ）0σ20
0a（τ）0σ2

其中a（τ）=Ra（τ）=Rc（τ）=Rs（τ），由此得出

C-1=1D12σ20-a（τ）0
0σ20-a（τ）
-a（τ）0σ20
0-a（τ）0σ2
 
其中D=det（C）=［σ4-a2（τ）］2，把以上各式代入式（5.4.6），得


fAcAs（Ac1,As1,Ac2,As2）

=14π2D12
·exp-12D12σ2（A2c1+A2s1+A2c2+A2s2）-2a（τ）（Ac1Ac2+As1As2）

（5.4.7）


（2） 求fA（A1,φ1,A2,φ2）。
在式（5.4.7）中，因为

Ac1=A1cosφ1，Ac2=A2cosφ2



As1=A1sinφ1，As2=A2sinφ2
（5.4.8）

那么


fA（A1,φ1,A2,φ2）=
｜J｜fAcAs（Ac1,As1,Ac2,As2）

=｜J｜fAcAs（A1cosφ1,A1sinφ1,A2cosφ2,A2sinφ2）


其中

J=（Ac1,As1,Ac2,As2）
（A1,φ1,A2,φ2）=A1A2

代入上式即可得



fA（A1,φ1,A2,φ2）

=A1A24π2D12exp
-12D12［σ2（A21+A22）-2a（τ）A1A2cos（φ2-φ1）］


0
A1，A2≥0,0≤φ1,

φ2≤2π

（其他）
（5.4.9）


（3） 包络的二维概率密度。
运用前面求一维概率密度的方法，由式（5.4.9）对φ1和φ2积分，得

fA（A1,A2）=∫2π0 ∫2π0fA（A1,φ1,A2,φ2）dφ1dφ2

=

A1A2D12I0
A1A2a（τ）D12exp
-σ2（A21+A22）
2D12（A1,A2≥0）

0（其他）
（5.4.10）

式中I0（x）为第一类零阶修正贝塞尔函数，并有

I0（x）=12π∫2π0exp（xcosφ）dφ
 
（4） 相位的分布。
由式（5.4.9）对A1和A2积分，得

f（φ1,φ2）=∫+∞0 ∫+∞0fA（A1,φ1,A2,φ2）dA1dA2

=

D12
4π2σ4（1-β2）12+β（π-arccosβ）
（1-β2）32（0≤φ1,φ2≤2π）

0（其他）
（5.4.11）

式中β=a（τ）cos（φ2-φ1）/σ2。以上诸式的积分推导比较烦琐，这里直接给出结果。
从式（5.4.9）~式（5.4.11）可知，

fA（A1,φ1,A2,φ2）≠fA（A1,A2）f（φ1,φ2）（5.4.12）

式(5.4.12)表明，窄带正态过程的包络与相位不是统计独立的随机过程。
5.4.2窄带正态噪声加正弦信号的包络和相位的分布
接收信号中除了噪声外通常还包含回波信号，分析信号加噪声包络和相位的分布对于有效地检测信号十分重要。
1. 基本关系式
设信号为s（t）=acos（ω0t+θ），噪声是窄带正态过程，可表示为

w（t）=Aw（t）cos［ω0t+w（t）］=wc（t）cosω0t-ws（t）sinω0t

其中Nc（t）=Aw（t）cosw（t）,As（t）=Aw（t）sinw（t）。那么，信号加噪声可表示为

X（t）=s（t）+w（t）
=［acosθ+wc（t）］cosω0t-［asinθ+ws（t）］sinω0t

=Ac（t）cosω0t-As（t）sinω0t=A（t）cos［ω0t+（t）］
（5.4.13）

其中包络为

A（t）=A2c（t）+A2s（t）1/2=［acosθ+wc（t）］2+
［asinθ+ws（t）］21/2 （5.4.14）

而

Ac（t）=acosθ+wc（t）


As（t）=asinθ+ws（t）（5.4.15）

由于wc（t）和ws（t）服从正态分布，所以，对于任意的θ值和时刻t，Ac（t）和As（t）也是正态分布并且相互独立。在θ值给定的情况下，它们的均值和方差分别为


E［Ac（t）｜θ］=acosθ

E［As（t）｜θ］=asinθ

Var［Ac（t）｜θ］=Var［As（t）｜θ］=σ2


那么Ac（t）与As（t）的联合概率密度为
fAcAs（Act,Ast｜θ）=
12πσ2exp-
12σ2［（Act-acosθ）2+（Ast-asinθ）2］
（5.4.16）

经过与推导式（5.4.2）相同的步骤，得出X（t）的包络与相位的联合概率密度为

fΑ（At,φt｜θ）=


At2πσ2exp
-12σ2［A2t+a2-2aAtcos（θ-φt）］
（At≥0,0≤θ，φt≤2π）



0（其他）（5.4.17）

2. 包络的概率密度
由式（5.4.17）对φt积分，得出包络的条件概率密度为

fA（At｜θ）=Atσ2exp-A2t+a22σ2I0aAtσ2（At≥0）（5.4.18）

由于式(5.4.18)的结果与θ无关，故可写为

fA（At）=Atσ2exp-A2t+a22σ2I0aAtσ2（At≥0）（5.4.19）

式(5.4.19)表明，窄带正态噪声加正弦信号的包络服从广义瑞利分布。其中I0（x）可展开成级数形式，即

I0（x）=∑+∞n=0x2n22n（n!）2

当x1时

I0（x）=1+x24+…
当x1时

I0（x）≈ex/2πx 

（1） 信噪比很小时，即a/σ1，则

fA（At）=Atσ2exp-A2t+a22σ21+a2A2t4σ2
 
上式表明，随着信噪比的减小，广义瑞利分布趋向瑞利分布。
（2） 在大信噪比的情况下，即a/σ1时，A（t）的概率密度近似为

fA（At）=（At/a）12（2πσ2）12
exp-（At-a）22σ2

该式说明，当At值接近a时，即At/a≈1时包络变为正态分布。当At偏离a较大时，式中的指数项使分布密度很快衰减下来，因而仍能保持接近正态分布。图5.10给出了随着a/σ值不同，归一化包络A（t）/σ的概率密度曲线。


图5.10窄带正态噪声加正弦信号包络概率密度




3. 相位的概率密度
由式（5.4.17）对At积分，得出相位的条件概率密度为


f（φt/θ）=∫+∞0fA（At,φt｜θ）dAt

=12πexp-12ρ21+2π
ρcos（θ-φt）·

Φ［ρcos（θ-φt）］exp12ρ2cos2（θ-φt） 
（5.4.20）

式中ρ=a/σ，Φ（·）为概率积分函数。由该式可以看出，当ρ=0时，相位变成均匀分布，这相当于窄带正态噪声的情况； 当信噪比很大ρ1时，则相位的条件概率密度近似为

f（φt/θ）≈ρ2πcos（θ-φt）exp-12ρ2sin2（θ-φt）
（5.4.21）

该式表明，在大信噪比情况下，信号加噪声的相位主要集中在信号相位θ附近。图5.11给出了该相位的概率密度曲线及其与信噪比的关系。


图5.11窄带正态噪声加正弦信号相位概率密度









5.4.3窄带正态过程包络平方的分布
对小信号的检波一般都采用平方律检波，而平方律检波器的输出是包络的平方。为此，本节将对窄带噪声以及信号加窄带噪声包络平方的分布进行简要分析。
1. 窄带噪声包络平方的分布
已知窄带正态噪声的包络的概率密度为

fA（At）=Atσ2exp-A2t2σ2（At≥0）

设包络的平方为

U（t）=A2（t）
令u为U（t）在t时刻的取值，因而有

u=A2t（At,u≥0）

于是U（t）的概率密度为

fU（u）=｜J｜fA（At）At=u

=dAtdufA（At）At=u=12σ2exp-u2σ2（u≥0）（5.4.22）


式(5.4.22)表明，窄带正态噪声的包络平方服从指数分布，对于σ2=1这一特殊条件，有

fU（u）=12e-u/2（u≥0）（5.4.23）

其均值和方差分布为


E［U（t）］=2

D［U（t）］=4


2. 正弦信号加窄带正态噪声包络平方的分布
根据式（5.4.13），信号加噪声为

X（t）=S（t）+w（t）=acos（ω0t+θ）+w（t）=A（t）cos［ω0t+（t）］

该窄带过程包络的概率密度为

fA（At）=Atσ2exp-A2t+a22σ2I0aAtσ2（At≥0）

设包络平方为U（t）=A2（t），u为U（t）在t时刻的取值，u=A2t，于是U（t）的概率密度为

fU（u）=｜J｜fA（At）At=u=dAtdufA（At）At=u

=12σ2exp-12σ2（u+a2）I0au1/2σ2（u≥0）
（5.4.24）

在无线电系统中，平方律检波器的应用十分广泛，它和包络检波器相比，在统计理论的分析上比较简单。实践证明，这两种检波器的性能差别甚小，因此在处理检波问题中常根据平方律检波的假设进行分析。当信息处理中需要得到检波后的概率密度时，上面讨论的结果就显得很有实际意义。
5.5信号处理实例——非线性系统输出端信噪比的计算
信噪比是雷达、通信等电子系统的一个重要指标，研究信号和噪声通过电子系统后、尤其是通过非线性系统后信噪比的计算方法是很有实际意义的。信号和噪声通过非线性系统后信噪比的计算要比线性系统的计算复杂得多，本节主要结合几种典型的检波器，讨论如何计算非线性系统输出的信噪比。
信噪比通常定义为信号的平均功率Ps与噪声的平均功率Pw之比，记为SNR，即
SNR=PsPw
信号通常是确定性信号，或者是满足各态历经性的随机信号，其平均功率可表示为
Ps=s2(t)= limT→∞12T∫T－Ts2(t)dt
检波器前一般连接有窄带系统，比如窄带中放，白噪声通过窄带系统，通常为窄带正态随机过程。下面结合几种典型的检波器，计算检波器输入和输出端的信噪比。






5.5.1同步检波器
同步检波器如图5.12所示，窄带中放的输入端为接收的已调载波信号与噪声之和，即
X(t)=s(t)+w(t)=A0m(t)cos2πf0t+w(t)（5.5.1）


图5.12同步检波器




其中m(t)为消息信号，信号带宽为B，w(t)为信道噪声，通常为零均值高斯白噪声，滤波器为中频窄带滤波器，它的频率特性如图5.13所示，X(t)通过窄带中放后，输出信号为
Xa(t)=sa(t)+wa(t)=A0m(t)cos2πf0t+wa(t)
其中sa(t)=s(t)，wa(t)为窄带正态噪声，可表示为
wa(t)=wc(t)cos2πf0t－ws(t)sin2πf0t
所以，
Xa(t)=A0m(t)cos2πf0t+wc(t)cos2πf0t－ws(t)sin2πf0t(5.5.2)
Xb(t)=Xa(t)2cos2πf0t

=A0m(t)+A0m(t)cos4πf0t+wc(t)+wc(t)cos4πf0t－ws(t)sin4πf0t
经过低通滤波器后，
YD(t)=A0m(t)+wc(t)(5.5.3)



图5.13窄带中放频率特性




下面计算输入输出的信噪比。在乘法器的输入端a点，信号功率为
PT=A20m2(t)/2(5.5.4)
其中，m2(t)= limT→∞12T∫T－Tm2(t)dt。a点噪声的平均功率为2N0B，因此，乘法器输入端的信噪比为
SNRT=PTE［w2a(t)］=A20m2(t)4BN0(5.5.5)
而同步检波器输出的信号功率为PD=A20m2(t)，输出的噪声功率为E［w2c(t)］=2N0B，所以，同步检波器输出的信噪比为
SNRD=PDE{w2c(t)}=A20m2(t)2BN0(5.5.6)
通常我们把SNRD/SNRT称为检波增益，它是衡量检波器性能的一个重要指标，比较式(5.5.5)和式(5.5.6)可得
SNRD/SNRT=2（5.5.7)
也就是说同步检波器得到了3dB的增益改善，这是因为利用了同步检波器参考信号的相位与接收信号相位相干的特点。
5.5.2包络检波器
幅度调制(AM)信号的解调通常采用包络检波，如图5.14所示，设包络检波器的输入为AM信号加窄带噪声，即


X(t)=A0［1+am(t)］cos2πf0t+wc(t)cos2πf0t－ws(t)sin2πf0t

=A(t)cos(2πf0t+Φ(t))(5.5.8)


图5.14包络检波器及其输出波形



其中
A(t)=A0［1+am(t)］+wc(t)2+w2s(t)(5.5.9)
Φ(t)=arctanws(t)A0［1+am(t)］+wc(t)(5.5.10)
下面分为输入是大信噪比和小信噪比两种情况加以讨论，式(5.5.9)可表示为
A(t)=A0［1+am(t)］+wc(t)1+ws(t)A0［1+am(t)］+wc(t)2(5.5.11)
当输入为大信噪比的时候，
A(t)≈A0［1+am(t)］+wc(t)(5.5.12)
图5.14检波器的输出eo(t)即为A(t)，式(5.5.12)中的第一项Ac是直流分量，它不含任何信息，可以通过隔直电路将其去掉，经隔直后，检波器的输出为
YD(t)≈A0am(t)+wc(t)(5.5.13)
输出的信噪比为
SNRD=A20a2m2(t)E{w2c(t)}=A20a2m2(t)2N0B(5.5.14)
而包络检波器输入的信噪比为
SNRT=A2021+am(t)2E［w2(t)］=A20［1+a2m2(t)］4N0B(5.5.15)
式(5.5.15)推导过程中假定了m(t)=0。那么，检波增益为
SNRDSNRT=2a2m2(t)1+a2m2(t)(5.5.16)
对于全调制的情况，即当am(t)=cos2πfmt，fm为调制角频率，那么，
SNRDSNRT=23(5.5.17)
可见，这时输出信噪比小于输入信噪比。
当输入为小信噪比时，这时的噪声幅度要远大于信号幅度，
A(t)=A0［1+am(t)］+wc(t)2+w2s(t)

=A20［1+am(t)］2+2A0［1+am(t)］wc(t)+w2c(t)+w2s(t)

≈w2c(t)+w2s(t)·1+2A0［1+am(t)］wc(t)w2c(t)+w2s(t)

≈w2c(t)+w2s(t)1+A0［1+am(t)］wc(t)w2c(t)+w2s(t)
=Aw(t)+A0［1+am(t)］cosΦw(t)(5.5.18)

其中Aw(t)=w2c(t)+w2s(t)代表噪声的幅度，Φw(t)=arctanws(t)wc(t)代表噪声的相位。所以，检波器的输出为
YD(t)=Aw(t)+A0［1+am(t)］cosΦw(t)(5.5.19)
从式(5.5.19)可以看出，调制信号m(t)无法与噪声分开，有用信号淹没在噪声中，这时，输出信噪比不是按比例地随输入信噪比下降，而是急剧恶化，这是由包络检波器的非线性解调特性引起的，通常把这种现象称为“门限效应”，开始出现门限效应的输入信噪比称为门限值。因此，包络检波器只适合于输入信噪比大的情况，当输入信噪比很小时，通常需要采用相干解调。
5.5.3平方律包络检波器
平方律包络检波器对AM信号的响应是信号加噪声包络的平方，即
A2(t)=A0［1+am(t)］+wc(t)2+w2s(t)

=A20［1+am(t)］2+2wc(t)A0［1+am(t)］+w2c(t)+w2s(t)

=A20+2A20am(t)+a2m2(t)+2wc(t)Ac［1+am(t)］+w2c(t)+w2s(t)
假定调制信号为m(t)=cos2πfmt，则
A2(t)=A20+2A20acos2πfmt+a2A20cos22πfmt+2nc(t)A0［1+am(t)］+w2c(t)+w2s(t)

=A20+2A20acos2πfmt+12a2A20+12a2A20cos4πfmt+2nc(t)A0［1+am(t)］+

w2c(t)+w2s(t)
由于直流分量不含任何信息，通过隔直电路可以将其消除，平方律包络检波器输出为
YD(t)=2A20acos2πfmt+12a2A20cos4πfmt +
2wc(t)A0(1+acos2πfmt)+w2c(t)+w2s(t)（5.5.20）
输出的信号为
SD(t)=2A20acos2πfmt+12a2A20cos4πfmt(5.5.21)
其中后一项是二次谐波，可以忽略掉，所以信号功率为
PD=2A40a2(5.5.22)
输出噪声项为
wD(t)=2A0(1+acos2πfmt)wc(t)+w2c(t)+w2s(t)(5.5.23)
噪声功率为
PWD=2A20(2+a2)E［w2c(t)］+E［w4c(t)］+E［w4s(t)］ +
2E［w2c(t)］E［w2s(t)］－{E［w2c(t)］+E［w2s(t)］}2(5.5.24)

式(5.5.24)中最后两项是因为噪声中也包含直流分量，由于输出通常采用交流耦合，直流分量可以消除，所以噪声功率中应该减去噪声直流功率。因为
E{w2c(t)}=E{w2s(t)}=σ2w=2N0B，E{w4c(t)}=E{w4s(t)}=3σ4w
所以，检波器输出的噪声功率为
PWD=2A20(2+a2)σ2w+4σ4w(5.5.25)
检波器输出的信噪比为
SNRD=2A40a22A20(2+a2)σ2w+4σ4w(5.5.26)
采用正弦波调制时，检波器输入端信号功率为
PT=12A201+12a2(5.5.27)
综合式(5.5.26)与式(5.5.27)，可得
SNRD=2a2+a22PT/N0B1+(N0B/PT)(5.5.28)
当PT/N0B的值很大时,
SNRD=2a2+a22PTN0B
(5.5.29)
当PT/N0B的值很小时,
SNRD=2a2+a22PTN0B2(5.5.30)

习题
5.1证明： 
（1） 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； 
（2） 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。
5.2设A（t）与φ（t）为低频信号，ω0为高频载波角频率，证明： 
（1） H{A（t）cos［ω0t+φ（t）］}=A（t）sin［ω0t+φ（t）］；
（2） H{A（t）sin［ω0t+φ（t）］}=-A（t）cos［ω0t+φ（t）］。
5.3证明广义平稳过程X（t）与其希尔伯特
X^（t）的相关函数存在下述关系： 
（1） RXX^（τ）= -R^X（τ）；
（2） RX^X（τ）=R^X（τ）；
（3） RX^（τ）=RX（τ）；
（4） RXX^（τ）是奇函数。
5.4设X（t）的解析信号为Z（t）=X（t）+jX^（t）： 
（1） 证明E［Z（t）Z（t-τ）］= 2［RX（τ）+j
R^x（τ）］；
（2） 证明E［Z（t）Z（t-τ）］=0；
（3） 求Z（t）的功率谱密度（假定X（t）的功率谱密度为GX（ω））。
5.5设一个线性系统输入为X（t）时，相应的输出为
Y（t）。证明若该系统的输入为X（t）的希尔伯特变换
X^（t），则相应的输出为
Y（t）的希尔伯特变换
Y^（t）。
5.6在复随机过程
Z（t）=X（t）+jY（t）中，如果Z（t）的均值
E［Z（t）］=E［X（t）］+jE［Y（t）］=mZ是复常数，
且Z（t）的自相关函数E［Z（t）Z（t-τ）］=RZ（τ）为仅与τ有关的复函数，则称Z（t）为复平稳随机过程。设Ak（
k=1,2,…,n）是n个实随机变量，ωk（k=1,2,…,n）是n个实数，试问｛Ak｝应该满足怎样的条件才能使

Z（t）=∑nk=1Akejωkt

是一个复平稳随机过程。
5.7设有复随机过程
Z（t）=∑ni=1（αicosωit+jβisinωit）

其中αi与βk是相互独立的随机变量，αi与αk、βi与βk（i≠k）是相互正交的，数学期望和方差分别为
E［αi］=E［βi］=0,σ2αi=σ2βi=σ2i。求其复随机过程的相关函数。
5.8设信号X（t）的带宽限制在
Ω上，证明信号预包络模平方的带宽为2Ω。
5.9对于调频信号X（t）=cos［ω0t+m（t）］,设
dm（t）/dt≤ω0，即为窄带信号，求该信号的复包络和包络的表示式。
5.10证明式（5.3.19）和式（5.3.20）。
5.11设功率谱密度为N0/2
的零均值白高斯噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为
f0，带宽为2B。求滤波器输出的窄带过程
n（t）和它的同相及正交分量的自相关函数
Rw（τ）、Rwc（τ）和
Rws（τ）。
5.12考虑图5.15所示的RLC带通滤波器。设滤波器的品质因数Q1，输入是功率谱密度为
N0/2的零均值白高斯噪声X（t），求滤波器输出端的窄带过程w（t）和它的同相及正交分量的功率谱密度


图5.15RLC带通滤波器



Rw（τ）、Rwc（τ）和
Rws（τ），并以图示之。
5.13相关函数为RX（τ）=σ2Xe-α｜τ｜cosω0τ的窄带平稳随机过程可表示为X（t）=Ac（t）cosω′0t-As（t）sinω′0t，试在（1）ω′0≠ω； （2）ω′0=ω的条件下，分别求出相关函数Rc（τ），Rs（τ）及互相关函数Rcs（τ）。
5.14考虑窄带高斯过程w（t）=X（t）cosω0t-Y（t）sinω0t，假定功率谱密度对称于载频
ω0，求概率密度f（xt,xt-τ,yt,yt-τ）。
5.15设
A（t）为平稳的窄带正态过程的包络，试证： 

E［A（t）］=π2σX，σ2A=Var［A（t）］=2-π2σ2X

其中σ2X为正态过程的方差。
5.16χ变量为χ2
变量的平方根，证明
n个自由度的χ
变量的概率密度为

f（χ）=χn-1e-χ2/22n-22Γn2

5.17证明n个自由度的χ2变量的第
m阶中心矩为

2mn2n2+1…n2+m-1

5.18一检波器如图5.16所示，其中非线性器件部分的传输特性为y=bx2 。设输入信号
X（t）为一窄带正态噪声，且可表示为X（t）=V（t）cos［ω0t+φ（t）］，其概率密度为

fX（x）=12πσXexp-x22σ2X

求Z（t）的概率密度、均值和方差。



图5.16检波器示意图



5.19在平方律包络检波器输入端加一窄带随机电压信号，其包络A（t）服从瑞利分布

fA（At）=Atσ2exp-A2t2σ2
（At≥0）

求在Y（t）=α22A2（t）时，检波器Y（t）输出的概率密度、均值和方差。
5.20同步检波器如图5.17所示，设
X（t）为一窄带平稳噪声，其相关函数为

RX（τ）=σ2Xe-α｜τ｜cosω0τ+αω0sinω0｜τ｜（αω0）

而Y（t）=Asinω0t为一确定性信号，求同步检波器输出端的平均功率Pz。


图5.17同步检波器示意图



5.21双边带抑制载波调制和单边带调制中，若消息信号均为3kHz限带低频信号，载频为1MHz，接收信号功率为1mW，加性白色高斯噪声双边带功率谱密度为10-3μW/Hz。接收信号经带通滤波器后，进行相干解调。
（1） 比较解调器输入信噪比； 
（2） 比较解调器输出信噪比。
计算机作业
5.22画出式（5.4.10）和式（5.4.11）给出的包络和相位的二维概率密度曲线，改变a（τ）的形式，考察曲线的变化。
5.23以信噪比ρ=a/σ作为参数，画出广义瑞利分布式（5.4.19）的一组图形。
5.24以信噪比ρ=a/σ作为参数，画出窄带正态噪声加正弦信号相位的分布式（5.4.20）的一组图形。
研讨题
5.25设有图5.18所示的窄带信号处理系统，输入X(t)是功率谱密度为N0/2的白噪声。


图5.18窄带信号处理系统



（1） 求Z1(t)和Z2(t)的自相关函数；
（2） 求Z1(t)和Z2(t)的一维概率密度；
（3） 求Z1(t)和Z2(t)的联合概率密度fZ1Z2(z1,z2,t1,t2)；
（4） 求U(t)的一维概率密度；
（5） 如果输入为X(t)=acos(2πf0t+θ)+w(t)，输出V与门限γ进行比较，求P(V>γ|a=0)和P(V>γ|a>0)的表达式。
实验
窄带高斯随机过程的产生

本实验模拟产生一段时长为5ms的窄带高斯随机过程X(t)的样本函数。根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为

X(t)=Ac(t)cos2πf0t-As(t)sin2πf0t

其中Ac(t)和As(t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，


图5.19带通高斯随机
过程的产生



然后用两个正交载波cos2πf0t和sin2πf0t进行调制，如图5.19所示。
假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为Gc(f)=Gs(f)=11+(f/Δf)4，其中Δf为功率谱密度的3dB带宽。在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法
分别产生时长为5ms的低通过程Ac(t)和As（t），然后按图5.19合成X（t），其中f0=1000/π,
要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)以及X(t)的波形。