第5章不定积分
5.1不定积分的概念与性质
要计算积分，可使用sympy中的integrate()函数。该函数既可计算不定积分，也可计算定积分。本章先学习不定积分的计算，使用时仅需将函数表达式及变量传递给integrate()函数，即integrate(f, var)。下面来看几个例子。
【例5.1】求∫x2dx。
解代码如下： 



from sympy import *

x=symbols('x')

init_printing()

integrate(x**2,x)





运行结果为： x3/3。


注意：    积分结果不会自动添加任意常数(+C)。



【例5.2】求∫(x－1)3x2dx。
解代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()








ex_2=(x-1)**3/(x**2)

integrate(ex_2,x)





运行结果为： x2/2－3x+3log(x)+1/x。


注意：    返回结果中，对数函数没有加绝对值，它默认x为正数。




【例5.3】求∫sin2x2dx。
解代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

ex_3=lambda x:(sin(x/2))**2

integrate(ex_3(x),x)





运行结果为： x/2－sinx/2cosx/2。

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第5章不定积分
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【例5.4】求∫2x4+x2+3x2+1dx。
解代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

def ex_4(x):

return(2*x**4+x**2+3)/(x**2+1)

integrate(ex_4(x),x)





运行结果为： 2x3/3－x+4atanx。
5.2换元积分法
我们不必关心sympy是如何求出一个不定积分的，仅需熟练使用integrate()函数就可以。再来看几个例子。
【例5.5】求∫1a2+x2dx(a≠0)。
解代码如下： 



from sympy import *

x,a=symbols('x a',real=True)

init_printing()

integrate(1/(x**2+a**2),x)





运行结果为：  atan(x/a)/a。
【例5.6】求∫sin2xcos4xdx。
解代码如下： 



x=symbols('x',real=True)

init_printing()

f=sin(x)**2*cos(x)**4

result=integrate(f,x)

result





运行结果为： x/16－sin(x)cos5(x)/6+sin(x)cos3(x)/24+sin(x)cos(x)/16。
该结果可进一步化简，代码如下： 



simplify(result)





运行结果为： x/16－(cos(2x)+1)2sin(2x)/48+sin(2x)/24+sin(4x)/192。


注释：    这里simplify（）化简结果不太理想。


【例5.7】求∫cscxdx。
解代码如下： 



x=symbols('x',real=True)

init_printing()

result=integrate(csc(x),x)

result





运行结果为： log(cos(x)－1)/2－log(cos(x)+1)/2。
再一次测试化简函数simplify(),代码如下： 



simplify(result)





运行结果为： log(cos(x)－1)/2－log(cos(x)+1)/2。


注释：    simplify()的化简结果有时可能不尽如人意。


【例5.8】求∫a2－x2dx(a>0)。
解代码如下： 



a=symbols('a',positive=True)

x=symbols('x',real=True)

init_printing()

integrate(sqrt(a**2-x**2),x)





运行结果为： a2asinxa/2+xa2－x2/2。
【例5.9】求∫1x2+a2dx(a>0)。
解代码如下： 



a=symbols('a',positive=True)

x=symbols('x',real=True)

init_printing()

f=1/(sqrt(x**2+a**2))

integrate(f,x)





运行结果为： asinh(x/a)。


注释：    该结果可进一步手工验证，与积分表中的结果一致。


【例5.10】求∫x3(x2－2x+2)2dx。
解代码如下： 



x=symbols('x',real=True)

init_printing()

integrate(x**3/((x**2-2*x+2)**2),x)





运行结果为： －xx2－2x+2+log(x2－2x+2)/2+2atan(x－1)。
5.3分部积分法
【例5.11】求∫xarctanxdx。
解代码如下： 



from sympy import *

x=symbols('x')

init_printing()

integrate(x*atan(x),x)





运行结果为： x2atan(x)/2－x/2+atan(x)/2。
【例5.12】求∫exsinxdx。
解代码如下： 



from sympy import *

x=symbols('x')

init_printing()

integrate(E**x*sin(x),x)





运行结果为： exsin(x)/2－excos(x)/2。
【例5.13】求∫sec3xdx。
解代码如下： 



from sympy import *

x=symbols('x')

init_printing()

res=integrate(sec(x)**3,x)

res





运行结果为： －log(sin(x)－1)/4+log(sin(x)+1)/4－sin(x)2sin2(x)－2。
化简代码如下： 



simplify(res)





运行结果为：  －log(sin(x)－1)/4+log(sin(x)+1)/4+sin(x)2cos2(x)。


注释：    读者通过这个例子应进一步理解sympy为符号运算的含义，它不负责检验式子是否合理，就像这里的log(sin(x)－1)。


5.4有理函数的积分
首先介绍几个初等运算的函数。
1. cancel()函数
代码如下： 



from sympy import *

x=symbols('x')

init_printing()

#约分:cancel()

cancel((x**2-2*x+1)/(x**2-1))





运行结果为： x－1x+1。


注释：    cancel()用于有理函数的约分，输出形式为分式的规范标准型，即分子与分母为整系数的多项式，且分子与分母无公因子。


2. expand()函数
代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

#展开:expand()

expand((x+1)**3)





运行结果为： x3+3x2+3x+1。


注释：    expand()可将函数展开成标准多项式的形式，它同时提供了多种展开方法，可根据实际需要选取。这里仅考虑函数的展开功能。


3. factor()函数
代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

#分解因式:factor()

factor(x**3+3*x**2+3*x+1)





运行结果为： (x+1）3。


注释：    factor()可将函数分解为有理数域上的不能再分解的因子乘积（分解因式）。


4. apart()函数
代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

#将假分式拆分为几个真分式的和:apart()

apart((2*x**4+x**2+3)/(x**2+1),x)





运行结果为： 2x2－1+4x2+1。


注释：    apart()对有理函数执行部分分式分解。


上述几个函数也可被看作“化简”函数，当simplify()的化简结果偏离预期时，可考虑上述特定功能的“化简”函数。下边来看几个有理函数的积分。
【例5.14】求∫x+2(2x+1)(x2+x+1)dx。
解代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

ex_1=(x+2)/((2*x+1)*(x**2+x+1))

integrate(ex_1,x)





运行结果为： logx+1/2－log(x2+x+1)/2+3atan23x/3+3/3/3。
【例5.15】求∫x-3(x-1)(x2-1)dx。
解代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

ex_2=(x-3)/((x-1)*(x**2-1))

integrate(ex_2,x)





运行结果为： logx－1－log(x+1)+1x－1。

【例5.16】求∫1+sinxsinx(1+cosx)dx。
解代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

ex_3=(1+sin(x))/(sin(x)*(1+cos(x)))

integrate(ex_3,x)





运行结果为： logtan(x/2)/2+tan2(x/2)/4+tan(x/2)。

【例5.17】求∫1(1+3x)xdx。
解代码如下： 



x=symbols('x')

init_printing()

ex_4=1/(sqrt(x)+x**(S(5)/6))

integrate(ex_4,x)





运行结果为： 66x－6atan(6x)。
对于sympy来说，积分要比求导复杂得多（当然，对于手工计算也一样）！