第5章窄带随机过程 学 习 指 导 本章学习目标 本章学习窄带随机过程的理论及应用，学习目标如下：  掌握希尔伯特变换的理论，掌握希尔伯特变换的定义、性质及应用。  掌握随机信号复信号表示的方法及相应的性质。  理解窄带随机过程表示形式，掌握并能够分析同相分量、正交分量随机过程的统计特性。  理解窄带正态随机过程准正弦表示形式，掌握并能够分析包络随机过程、相位随机过程的统计特性。  加深窄带随机过程理论的应用，掌握典型通信系统中不同检波方法的抗噪性能分析。  了解窄带随机过程的仿真生成方法，培养仿真分析的实践技能。 本章学习的重点和难点 本章学习重点：  希尔伯特变换的定义及性质。  莱斯表示形式的同相正交分量统计特性。  准正弦表示形式的包络相位过程统计特性。  窄带随机过程的工程应用及统计特性分析。 本章学习难点：  不同检波方法的输入输出信噪比分析，主要包括同步检波器、包络检波器、平方律检波器计算。  窄带随机过程的工程应用，理解电子系统双通道接收的原理及应用，能够应用所学知识解决实际应用问题。 思维导图 第5章的思维导图如图5.1所示。 图5.1第5章的思维导图 内 容 概 要 若一个随机过程的功率谱集中在某一中心频率附近的一个很窄的频带内，且该频带又远小于其中心频率，则这样的随机过程称为窄带随机过程。 5.1希尔伯特变换 希尔伯特变换是信号处理中常用的一种变换，是分析窄带信号的一种很好的数学工具。 5.1.1希尔伯特变换的定义 实函数x(t)的希尔伯特变换定义为 H［x(t)］=x^(t)=1π∫+∞-∞x(τ)t-τdτ(5.1.1) 反变换为 H-1［x^(t)］=x(t)=-1π∫+∞-∞x^(τ)t-τdτ(5.1.2) 由定义可知，x(t)的希尔伯特变换为x(t)与1/πt的卷积，即 x^(t)=x(t)*1πt(5.1.3) 因此，x(t)的希尔伯特变换可以看作x(t)通过一个冲激响应为1/πt的线性滤波器。希尔伯特变换器传递函数为 H(ω)=-jsgn(ω)=-jω>0 jω<0(5.1.4) 其中，sgn(·)为符号函数。从希尔伯特变换器的传递函数可以看出，它的幅频特性为 |H(ω)|=1(5.1.5) 它的相频特性为 φ(ω)=-π/2ω>0 π/2ω<0(5.1.6) 可见，希尔伯特变换器在整个频域上具有恒为1的幅频特性，为全通网络，在相位上对正频和负频分别引入-π/2和π/2的相移，因此，希尔伯特变换器可以看作一个π/2的理想移相器(或正交滤波器)。 5.1.2希尔伯特变换的性质 (1) H［x^(t)］=-x(t)(5.1.7) 连续两次希尔伯特变换相当于做两次π/2的移相，即π的移相，也就是使信号反相。 (2) 设ω0为信号载波频率，φ为常数，则 H［cos(ω0t+φ)］=sin(ω0t+φ)(5.1.8) H［sin(ω0t+φ)］=-cos(ω0t+φ)(5.1.9) (3) 设a(t)为低频信号，其傅里叶变换为A(ω)，且 A(ω)=0|ω|>Δω/2 则当ω0>Δω/2时，有 H［a(t)cosω0t］=a(t)sinω0t(5.1.10) H［a(t)sinω0t］=-a(t)cosω0t(5.1.11) (4) 设A(t)和φ(t)为低频信号，则 H{A(t)cos［ω0t+φ(t)］}=A(t)sin［ω0t+φ(t)］(5.1.12) H{A(t)sin［ω0t+φ(t)］}=-A(t)cos［ω0t+φ(t)］(5.1.13) (5) 设y(t)=v(t)*x(t),则 y^(t)=v^(t)*x(t)=v(t)*x^(t)(5.1.14) (6) 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)，则 RX^(τ)=RX(τ)(5.1.15) 即X(t)经过希尔伯特变换后，其自相关函数不变，当然功率谱密度也是不变的。这是因为希尔伯特变换只影响相频特性，不影响幅频特性，而功率谱不含相位信息，经过希尔伯特变换以后，其功率谱密度和自相关函数都是不变的。由式(5.1.15)，得 RX^(0)=RX(0)(5.1.16) 即经过希尔伯特变换以后，其平均功率是不变的。 (7) X(t)与其希尔伯特变换的互相关函数满足如下关系： RXX^(τ)=-R^X(τ)RX^X(-τ)=R^X(τ)(5.1.17) (8) X(t)与其希尔伯特变换的互相关函数是奇函数，即 RXX^(-τ)=-RXX^(τ)(5.1.18) RXX^(0)=-RXX^(0)=0(5.1.19) 式(5.1.19)也表明，X(t)与X^(t)在同一时刻是正交的。 (9) 偶函数的希尔伯特变换是奇函数，奇函数的希尔伯特变换是偶函数。 5.2信号的复信号表示 5.2.1确知信号的复信号表示 设x(t)为实的确知信号，信号的复信号形式定义为 x～(t)=x(t)+jx^(t)(5.2.1) x～(t)也称为解析信号。 假定A(t)和φ(t)都是低频分量，那么 x(t)=A(t)cos［ω0t+φ(t)］ 是窄带确知信号，它的解析信号为 x～(t)=A(t)ej［ω0t+φ(t)］=A～(t)ejω0t(5.2.2) 其中 A～(t)=A(t)ejφ(t)(5.2.3) A～(t)称为复包络。解析信号频谱为 X～(ω)=2X(ω)U(ω)=2X(ω)ω>0 0ω<0(5.2.4) 即，解析信号的频谱在负频率部分为零，而正频率部分是实信号的两倍。对于窄带确知信号， X～(ω)=A～(ω-ω0)(5.2.5) 或者 A～(ω)=X～(ω+ω0)(5.2.6) 即，将解析信号的频谱向左平移ω0就可以得到复包络的频谱。 5.2.2随机信号的复信号表示 平稳随机信号X(t)的复信号定义为 X～(t)=X(t)+jX^(t)(5.2.7) 它的自相关函数为 RX～(τ)=E［X～(t+τ)X～*(t)］=2［RX(τ)+jR^X(τ)］(5.2.8) 它的功率谱密度为 GX～(ω)=4GX(ω)ω>0 0ω<0(5.2.9) 上式表明，对于随机信号的复信号，其功率谱密度在负频率为零，而在正频率为随机信号功率谱的4倍。 5.3窄带随机过程的统计特性 5.3.1窄带随机过程的准正弦振荡表示 在一般无线电接收系统中，窄带系统通常是指系统带宽Δf远小于中心频率f0，即满足 Δff01(5.3.1) 白噪声或宽带噪声通过窄带系统时，由于系统的带通特性，输出的功率谱集中在以ω0为中心的一个很窄的频带内，其输出噪声的波形可以用准正弦振荡形式表示，即 Y(t)=A(t)cos［ω0t+Φ(t)］(5.3.2) 其中，ω0为中心频率，A(t)和Φ(t)是慢变化的随机过程，或者也可以写出 Y(t)=Ac(t)cosω0t-As(t)sinω0t(5.3.3) 其中 Ac(t)=A(t)cosΦ(t)As(t)=A(t)sinΦ(t)(5.3.4) Ac(t)和As(t)都是低频慢变化的随机过程，称为窄带随机过程的正交分量和同相分量。窄带随机过程的幅度和相位可以用正交分量和同相分量表示为 A(t)=A2c(t)+A2s(t)Φ(t)=arctanAs(t)Ac(t)(5.3.5) 5.3.2窄带随机过程的统计特性 1. 窄带随机信号的自相关函数 窄带随机信号的自相关函数可表示为 RY(τ)=Ra(τ)cosω0τ-Rb(τ)sinω0τ(5.3.6) 其中 Ra(τ)=1π∫+∞-ω0GY(Ω+ω0)cosΩτdΩ(5.3.7) Rb(τ)=1π∫+∞-ω0GY(Ω+ω0)sinΩτdΩ(5.3.8) Ra(τ)和Rb(τ)都是低频慢变化的。如果GY(ω)具有对称形式的功率谱(频带内的功率谱关于中心频率对称)，则Rb(τ)=0，Ra(τ)是偶函数，自相关函数变为 RY(τ)=Ra(τ)cosω0τ(5.3.9) 2. Ac(t)和As(t)的统计特性 正交分量和同相分量可表示为 Ac(t)=Y(t)cosω0t+Y^(t)sinω0t(5.3.10) As(t)=-Y(t)sinω0t+Y^(t)cosω0t(5.3.11) 它们的相关函数为 Rc(τ)=Rs(τ)=RY(τ)cosω0τ+R^Y(τ)sinω0τ(5.3.12) 可见，Ac(t)和As(t)的自相关函数是相同的，且σ2c=σ2s=σ2Y。 Ac(t)和As(t)的互相关函数可表示为 Rcs(τ)=RY(τ)sinω0τ-R^Y(τ)cosω0τ(5.3.13) 可以证明，Rcs(-τ)=-Rcs(τ)， 即Rcs(τ)是奇函数，奇函数在原点的值为零，即Rcs(0)=0，所以，Ac(t)和As(t)在同一时刻是相互正交的。 如果Y(t)具有对称形式(正频部分关于中心频率ω0对称)，则 RY(τ)=Ra(τ)cosω0τ，Rc(τ)=Ra(τ)，Rcs(τ)=0 5.4窄带正态随机过程包络和相位的分布 在本节中，除特别声明外，都假定窄带正态过程的均值为零，功率谱密度相对于中心频率ω0是对称的。 5.4.1窄带正态噪声的包络和相位的分布 1. 一维分布 在t时刻，包络和相位的联合分布为 fAΦ(At,φt)=At2πσ2exp-A2t2σ2At≥0,0≤φt≤2π 0其他(5.4.1) 包络A(t)的一维概率密度为 fA(At)=Atσ2exp-A2t2σ2At≥0 0At<0(5.4.2) 相位Φ(t)的一维概率密度为 fΦ(φt)=12π0≤φt≤2π 0其他(5.4.3) 即窄带正态过程的包络服从瑞利分布，而其相位服从均匀分布，且在同一时刻t，A(t)和Φ(t)是相互独立的。但要注意A(t)与Φ(t)并不是相互独立的两个随机过程。 2. 二维分布 假定t和t-τ两个时刻对应的幅度和相位为A(t)、A(t-τ)、Φ(t)、Φ(t-τ)，它们的联合概率密度为 fAΦ(A1,1,A2,2) =A1A24π2D12exp-12D12［σ2(A21+A22)-2a(τ)A1A2cos(φ2-φ1)］A1,A2≥0,0≤φ1,φ2≤2π 0其他(5.4.4) 式中，D=［σ4-a2(τ)］2，a(τ)=Ra(τ)=Rc(τ)=Rs(τ)。包络A(t)的二维概率密度为 fA(A1,A2)=∫2π0∫2π0fA(A1,φ1,A2,φ2)dφ1dφ2 =A1A2D12I0A1A2a(τ)D12exp-σ2(A21+A22)2D12A1,A2≥0 0其他 (5.4.5) 式中，I0(x)为第一类零阶修正贝塞尔函数，并有 I0(x)=12π∫2π0exp(xcosφ)dφ 相位Φ(t)的二维概率密度为 fΦ(1,2)=∫+∞0∫+∞0fAφ(A1,1,A2,2)dA1dA2 =D124π2σ4(1-β2)12+β(π-arccosβ)(1-β2)320≤1，2≤2π 0其他(5.4.6) 式中，β=a(τ)cos(φ2-φ1)/σ2。由式(5.4.4)~式(5.4.6)可知 fAΦ(A1,1,A2,2)≠fA(A1,A2)fΦ(1,2)(5.4.7) 式(5.4.7)表明，窄带正态过程的包络与相位不是统计独立的随机过程。 5.4.2窄带正态噪声加正弦信号的包络和相位的分布 接收信号中除了噪声外通常还包含信号，分析信号加噪声包络和相位的分布对于有效地检测信号十分重要。 1. 基本关系式 设信号为s(t)=acos(ω0t+θ)，噪声是窄带正态过程，可表示为 w(t)=Aw(t)cos(ω0t+Φw(t))=wc(t)cosω0t-ws(t)sinω0t 那么，信号加噪声可表示为 X(t)=s(t)+w(t) =Ac(t)cosω0t-As(t)sinω0t =A(t)cos［ω0t+Φ(t)］(5.4.8) 其中包络为 A(t)=［A2c(t)+A2s(t)］1/2={［acosθ+wc(t)］2+［asinθ+ws(t)］2}1/2(5.4.9) 相位为 Φ(t)=arctan［As(t)/Ac(t)］ 而 Ac(t)=acosθ+wc(t) As(t)=asinθ+ws(t)(5.4.10) X(t)的包络与相位的联合概率密度为 fAΦ(At,φt|θ) =At2πσ2exp-12σ2［(A2t+a2-2aAtcos(θ-φt))］At≥0,0≤θ,φt≤2π 0其他 (5.4.11) 2. 包络的概率密度 由式(5.4.11)对φt积分，得出包络的条件概率密度为 fA(At|θ)=Atσ2exp-A2t+a22σ2I0aAtσ2At≥0(5.4.12) 由于式(5.4.12)的结果与θ无关，故可写为 fA(At)=Atσ2exp-A2t+a22σ2I0aAtσ2At≥0(5.4.13) 式(5.4.13)表明，窄带正态噪声加正弦信号的包络服从广义瑞利分布。 (1) 当信噪比很小时，即a/σ1，式(5.4.13)可近似为 fA(At)=Atσ2exp-A2t+a22σ21+a2A2t4σ2 随着信噪比的减小，广义瑞利分布趋向瑞利分布。 (2) 在大信噪比的情况下，即a/σ1时，式(5.4.13)近似为 fA(At)=(At/a)12(2πσ2)12exp-(At-a)22σ2 当At值接近a时，即At/σ≈1时，包络变为正态分布。当At偏离a较大时，式中的指数项使分布密度很快衰减下来，因而仍能保持近似正态分布。 3. 相位的概率密度 由式(5.4.11)对At积分，得出相位的条件概率密度为 fΦ(φt/θ)=∫+∞0fAφ(At,φt|θ)dAt =12πexp-12ρ21+2πρcos(θ-φt)· ΦN［ρcos(θ-φt)］exp12ρ2cos2(θ-φt)(5.4.14) 式中，ρ=a/σ，ΦN(x)=∫x-∞12πe-12u2du是正态概率积分函数。当ρ=0时，相位变成均匀分布，这相当于窄带正态噪声的情况，当信噪比很大，即ρ1时，则相位的条件概率密度近似为 fΦ(φt/θ)≈ρ2πcos(θ-φt)exp-12ρ2sin2(θ-φt)(5.4.15) 5.4.3窄带正态过程的包络平方的分布 1. 窄带噪声包络平方的分布 已知窄带正态噪声的包络的概率密度为 fA(At)=Atσ2exp-A2t2σ2At≥0 设包络的平方为 U(t)=A2(t) 则U(t)的概率密度为 fU(u)=12σ2exp-u2σ2u≥0(5.4.16) 式(5.4.16)表明，窄带正态噪声的包络平方服从指数分布，对于σ2=1这一特殊条件，有 fU(u)=12e-u/2(5.4.17) 其均值和方差分布分别为 E［U(t)］=2Var［U(t)］=4 2. 正弦信号加窄带正态噪声包络平方的分布 根据式(5.4.8)，信号加噪声为 X(t)=s(t)+w(t)=acos(ω0t+θ)+w(t)=A(t)cos［ω0t+Φ(t)］ 该窄带过程包络的概率密度为 fA(At)=Atσ2exp-A2t+a22σ2I0aAtσ2At≥0 设包络平方为U(t)=A2(t)，则U(t)的概率密度为 fU(t)=12σ2exp-12σ2(u+a2)I0au1/2σ2u≥0(5.4.18) 5.5信号处理实例——非线性系统输出端信噪比的计算 信噪比通常定义为信号的平均功率Ps与噪声的平均功率之比，记为SNR，即 SNR=PsPw 信号通常是确定性信号，或者是满足各态历经性的随机信号，其平均功率可表示为 Ps=s2(t)=limT→∞12T∫T-Ts2(t)dt 5.5.1同步检波器 同步检波器如图5.2所示。 图5.2同步检波器 窄带中放的输入端为接收的已调载波信号与噪声之和，即 X(t)=s(t)+w(t)=A0m(t)cos2πf0t+w(t)(5.5.1) 式中，m(t)为消息信号，信号带宽为B； w(t)为信道噪声，通常为零均值高斯白噪声，功率谱密度为N0/2。窄带中放的频率特性如图5.3所示，X(t)通过窄带中放后，输出信号为 Xa(t)=sa(t)+wa(t)=A0m(t)cos2πf0t+wa(t)(5.5.2) 式中，sa(t)=s(t)，wa(t)为窄带正态噪声，可表示为 wa(t)=wc(t)cos2πf0t-ws(t)sin2πf0t(5.5.3) 同步检波器的输出为 YD(t)=A0m(t)+wc(t)(5.5.4) 同步检波器的输入端a点，信号功率为 PT=A2cm2(t)/2(5.5.5) 图5.3窄带中放频率特性 式中，m2(t)=limT→+∞12T∫T-Tm2(t)dt。a点噪声的平均功率为2N0B，因此，同步检波器输入端的信噪比为 SNRT=PTE［w2a(t)］=A20m2(t)4BN0(5.5.6) 而同步检波器输出的信号功率为PD=A20m2(t)，输出的噪声功率为E［w2c(t)］=2N0B，所以，同步检波器输出的信噪比为 SNRD=PDE{w2c(t)}=A20m2(t)2BN0(5.5.7) 通常把SNRD/SNRT称为检波增益，它是衡量检波器性能的一个重要指标，比较式(5.5.6)和式(5.5.7)可得 SNRD/SNRT=2(5.5.8) 也就是说同步检波器得到了3dB的增益改善，这是因为利用了同步检波器参考信号的相位与接收信号相位相干的特点。 5.5.2包络检波器 幅度调制(AM)信号的解调通常采用包络检波，设包络检波器的输入为AM信号加窄带噪声，即 X(t)=A0［1+am(t)］cos2πf0t+wc(t)cos2πf0t-ws(t)sin2πf0t =A(t)cos(2πf0t+Φ(t))(5.5.9) 其中， A(t)=［A0［1+am(t)］+wc(t)］2+w2s(t)(5.5.10) Φ(t)=arctanws(t)A0［1+am(t)］+wc(t)(5.5.11) 式(5.5.10)可表示为 A(t)=［A0［1+am(t)］+wc(t)］1+ws(t)A0［1+am(t)］+wc(t)2(5.5.12) 当输入为大信噪比时 A(t)≈A0［1+am(t)］+wc(t) 经隔直后，检波器的输出为 YD(t)≈A0am(t)+wc(t)(5.5.13) 输出的信噪比为 SNRD=A20a2m2(t)E［w2c(t)］=A20a2m2(t)2N0B(5.5.14) 而包络检波器输入的信噪比为 SNRT=A202［1+am(t)］2E［w2(t)］=A20［1+a2m2(t)］4N0B(5.5.15) 检波增益为 SNRDSNRT=2a2m2(t)1+a2m2(t)(5.5.16) 对于全调制的情况，即当am(t)=cos2πfmt，fm为调制角频率，那么， SNRDSNRT=23(5.5.17) 可见，这时输出信噪比小于输入信噪比。 当输入为小信噪比时，式(5.5.12)近似为 A(t)=Aw(t)+A0［1+am(t)］cosΦw(t)(5.5.18) 式中，Aw(t)=w2c(t)+w2s(t)代表噪声的幅度，Φw(t)=arctanws(t)wc(t)代表噪声的相位。所以，检波器的输出为 YD(t)=Aw(t)+A0［1+am(t)］cosΦw(t)(5.5.19) 从式(5.5.19)可以看出，调制信号m(t)无法与噪声分开，有用信号淹没在噪声中，这时，输出信噪比不是按比例地随输入信噪比下降，而是急剧恶化，这是由包络检波器的非线性特性引起的，通常把这种现象称为“门限效应”，开始出现门限效应的输入信噪比称为门限值。因此，包络检波器只适合于输入信噪比大的情况，当输入信噪比很小时，通常需要采用相干解调。 5.5.3平方律包络检波器 平方律包络检波器对AM的响应是信号加噪声包络的平方，即 A2(t)=［A0［1+am(t)］+wc(t)］2+w2s(t) 假定调制信号为m(t)=cos2πfmt，则 A2(t)=A20+2A20acos2πfmt+12a2A20+12a2A20cos4πfmt+ 2wc(t)A0［1+am(t)］+w2c(t)+w2s(t) 通过隔直电路直流分量消除，则平方律包络检波器的输出为 YD(t)=2A20acos2πfmt+12a2A20cos4πfmt+2wc(t)A0(1+acos2πfmt)+w2c(t)+w2s(t)(5.5.20) 输出的信号为 SD(t)=2A20acos2πfmt+12a2A20cos4πfmt(5.5.21) 其中，后一项是二次谐波，可以忽略掉，所以信号功率为 PD=2A40a2(5.5.22) 输出噪声项为 nD(t)=2A0(1+acos2πfmt)wc(t)+w2c(t)+w2s(t)(5.5.23) 检波器输出的噪声功率为 PwD=2A20(2+a2)σ2w+4σ4w(5.5.24) 式中，σ2w=E［w2c(t)］=E［w2s(t)］=2N0B。检波器输出的信噪比为 SNRD=2A40a22A20(2+a2)σ2w+4σ4w(5.5.25) 采用正弦波调制时，检波器输入端信号功率为 PT=12A201+12a2(5.5.26) 综合式(5.5.25)与式(5.5.26)，可得 SNRD=2a2+a22PT/N0B1+(N0B/PT)(5.5.27) 当PT/N0B的值很大时， SNRD=2a2+a22PTN0B(5.5.28) 当PT/N0B的值很小时， SNRD=2a2+a22PTN0B2(5.5.29) 习 题 解 答 5.1证明： (1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 证明: (1) 设x(t)为偶函数,则 x^(t)=x(t)*1πt x^(-t)=x(-t)*1π(-t)=x(t)*1π(-t)=-x(t)*1πt=-x^(t) 所以x^(t)为奇函数。 (2) 设x(t)为奇函数,则 x^(t)=x(t)*1πt x^(-t)=x(-t)*1π(-t)=-x(t)*1π(-t)=x(t)*1πt=x^(t) 所以x^(t)为偶函数。 证毕。 5.2设A(t)与φ(t)为低频信号，ω0为高频载波角频率，证明： (1) H{A(t)cos［ω0t+φ(t)］}=A(t)sin［ω0t+φ(t)］ (2) H{A(t)sin［ω0t+φ(t)］}=-A(t)cos［ω0t+φ(t)］ 证明： (1) A(t)cos［ω0t+φ(t)］ =A(t)［cosω0tcosφ(t)-sinω0tsinφ(t)］ =A(t)cosφ(t)cosω0t-A(t)sinφ(t)sinω0t 令 F［A(t)cosφ(t)］=Ac(ω)，F［A(t)sinφ(t)］=As(ω) 可以得到 F{A(t)cos［ω0t+φ(t)］}=12Ac(ω)［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］- j2As(ω)［δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)］ 进一步有 F{H{A(t)cos［ω0t+φ(t)］}} =12Ac(ω)［jδ(ω+ω0)-jδ(ω-ω0)］-j2As(ω)［jδ(ω+ω0)+jδ(ω-ω0)］ =12Ac(ω)［jδ(ω+ω0)-jδ(ω-ω0)］+12As(ω)［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］ 因此 H{A(t)cos［ω0t+φ(t)］} =A(t)cosφ(t)sinω0t+A(t)sinφ(t)cosω0t =A(t)sin［ω0t+φ(t)］ (2) 在(1)中已经证明 H{A(t)cos［ω0t+φ(t)］}=A(t)sin［ω0t+φ(t)］ 根据希尔伯特变换的性质 H［X^(t)］=-X(t) 可知 H{A(t)sin［ω0t+φ(t)］}=H{H{A(t)cos［ω0t+φ(t)］}}=-A(t)cos［ω0t+φ(t)］ 证毕。 5.3证明广义平稳过程X(t)与其希尔伯特变换X^(t)的相关函数存在下述关系： (1) RXX^(τ)=-R^X(τ) (2) RX^X(τ)=R^X(τ) (3) RX^(τ)=RX(τ) (4) RXX^(τ)是奇函数。 证明: 根据第3章知识，有 (1) RXX^(τ)=RX(τ)*h(-τ)=RX(τ)*1π(-τ)=-R^X(τ) (2) RX^X(τ)=RX(τ)*h(τ)=RX(τ)*1πτ=R^X(τ) (3) 因为 GX^(ω)=GX(ω)H(ω)2=GX(ω)所以 RX^(τ)=RX(τ) (4) 由 RXX^(τ)=RX(τ)*h(-τ)=RX(τ)*1-πτ 有 RXX^(-τ)=RX(-τ)*1πτ=RX(τ)*1πτ=-RX(τ)*h(-τ)=-RXX^(τ) 即RXX^(τ)是奇函数，因此 RXX^(0)=0 上式表明，X(t)与X^(t)在同一时刻是正交的。 5.4设X(t)的解析信号为Z~(t)=X(t)+jX^(t)， (1) 证明： E［Z~(t)Z~(t-τ)］=2［RX(τ)+jR^X(τ)］ (2) 证明： E［Z~(t)Z~(t-τ)］=0 (3) 求Z~(t)的功率谱密度(假定X(t)的功率谱密度为GX(ω))。 解： (1) RZ~(τ)=E［Z~(t)Z~*(t-τ)］=E{［X(t)+jX^(t)］［X(t-τ)-jX^(t-τ)］} =RX(τ)+RX^(τ)+j［RX^X(τ)-RXX^(τ)］ 由于RX(τ)=RX^(τ)，RXX^(τ)=RX^X(-τ)=-R^X(τ)，所以上式可简化为 RZ~(τ)=2［RX(τ)+jR^X(τ)］ (2) E［Z~(t)Z~(t-τ)］=E{［X(t)+jX^(t)］［X(t-τ)+jX^(t-τ)］} =RX(τ)-RX^(τ)+j［RX^X(τ)+RXX^(τ)］=0 (3) 对(1)中结论两边取傅里叶变换，得 GZ~(ω)=2［GX(ω)+sgn(ω)GX(ω)］ =4GX(ω)ω>0 0ω<0 上式表明，随机信号的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零，而在正频率为随机信号功率谱的4倍。 5.5设一个线性系统输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)。证明若该系统的输入为X(t)的希尔伯特变换X^(t)，则相应的输出为Y(t)的希尔伯特变换Y^(t)。 证明： 由于该系统为线性系统，因此可以用h(t)表示系统的冲激响应，且满足 Y(t)=X(t)*h(t) 随机过程X(t)的希尔伯特变换X^(t)满足 X^(t)=X(t)*1πt 当输出为X^(t)时，输出为 Z(t)=X^(t)*h(t)=X(t)*1πt*h(t)=X(t)*h(t)*1πt=Y(t)*1πt=Y^(t) 证毕。 5.6在复随机过程Z(t)=X(t)+jY(t)中，若Z(t)的均值E［Z(t)］=E［X(t)］+jE［Y(t)］=mZ是复常数，且Z(t)的自相关函数E［Z(t)Z(t-τ)］=RZ(τ)为仅与τ有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程。设Ak(k=1,2,…,n)是n个实随机变量，ωk(k=1,2,…,n)是n个实数，试问{Ak}应该满足怎样的条件才能使 Z(t)=∑nk=1Akejωkt 是一个复平稳随机过程。 解： 若Z(t)为复平稳随机过程，则其均值为常数，相关函数可表示为τ的函数。首先计算其均值和自相关函数 mZ(t)=E［Z(t)］=E∑nk=1Akejωkt=∑nk=1E(Ak)ejωkt RZ(t,t-τ)=E［Z(t)Z*(t-τ)］=E∑nk=1Akejωkt∑ns=1Ase-jωs(t-τ) =∑nk=1∑ns=1E(AkAs)ej(ωk-ωs)tejωsτ 要使mZ(t)为一常数，则应使 E(Ak)=0k=1,2,…,n 要使RZ(t,t-τ)仅为τ的函数，则应满足 E(AkAs)=σ2kδ(k-s) 综上所述，当{Ak}为零均值，且相互正交的实随机变量时， Z(t)=∑nk=1Akejωkt 是一个复平稳随机过程。 5.7设有复随机过程 Z(t)=∑ni=1(αicosωit+jβisinωit) 式中，αi与βk是相互独立的随机变量，αi与αk、βi与βk(i≠k)是相互正交的，数学期望和方差分别为E［αi］=E［βi］=0，σ2αi=σ2βi=σ2i。求复随机过程的相关函数。 解： 据题意 Rz(t1,t2)=E{Z(t1)Z*(t2)} =E∑ni=1［αicosωit1+jβisinωit1］∑nk=1［αkcosωkt2-jβksinωkt2］ =∑ni=1∑nk=1E{［αicosωit1+jβisinωit1］［αkcosωkt2-jβksinωkt2］} =∑ni=1∑nk=1E{［αiαkcosωit1cosωkt2+jβiαksinωit1cosωkt2- jαiβkcosωit1sinωkt2+βiβksinωit1sinωkt2］} =∑ni=1［σ2icosωit1cosωit2+σ2isinωit1sinωit2］ =∑ni=1σ2icosωi(t1-t2) 5.8设信号X(t)的带宽限制在Ω上，证明信号预包络(即解析信号)模平方的带宽为2Ω。 证明： X～(ω)=X(ω)+jX^(ω)=2X(ω)U(ω) 预包络x～(t)平方的傅里叶变换为 F{x～(t)x～*(t)}=12π∫+∞-∞X～(ω-ω′)X～*(ω′)dω′ =12π∫+∞-∞［2X(ω-ω′)U(ω-ω′)］［2X(ω′)U(ω′)］dω′ 由于有ω0-Ω2≤ω≤ω0+Ω2时X(ω)不为零，因此有 ω0-Ω2≤ω′≤ω0+Ω2 ω0-Ω2≤ω-ω′≤ω0+Ω2 时亦不为零，即ω0-Ω2-ω′≤ω≤ω0+Ω2+ω′，2ω0-Ω≤ω≤2ω0+Ω，可见频谱宽度为2Ω。 5.9对于调频信号X(t)=cos［ω0t+m(t)］，设dm(t)/dt≤ω0，即为窄带信号，求该信号的复包络和包络的表示式。 解： 预包络X～(t)=X(t)+jX^(t)=ej［ω0t+m(t)］=A～(t)ejω0t 复包络A～(t)=ejm(t)，包络A(t)=|A～(t)|=1 5.10(1) 证明窄带过程同相分量和正交分量的功率谱密度为 Gc(ω)=Gs(ω)=12［1+sgn(ω+ω0)］GY(ω+ω0)+12［1-sgn(ω-ω0)］GY(ω-ω0) (2) 证明窄带过程同相分量和正交分量的互功率谱密度为 Gcs(ω)=j2［1+sgn(ω+ω0)］GY(ω+ω0)-j2［1-sgn(ω-ω0)］GY(ω-ω0) 证明： (1) 根据公式Rc(τ)=RY(τ)cosω0τ+R^Y(τ)sinω0τ 对其相关函数作傅里叶变换， 得 Rc(τ)=12RY(τ)［ejω0τ+e-jω0τ］+12jR^Y(τ)［ejω0τ-e-jω0τ］ 两边作傅里叶变换，得 Gc(ω)=12［GY(ω-ω0)+GY(ω+ω0)］+12j［-jsgn(ω-ω0)GY(ω-ω0)+ jsgn(ω+ω0)GY(ω+ω0)］ 即 Gc(ω)=Gs(ω)=12［1+sgn(ω+ω0)］GY(ω+ω0)+12［1-sgn(ω-ω0)］GY(ω-ω0) (2) 同理，根据公式Rcs(τ)=RY(τ)sinω0τ-R^Y(τ)cosω0τ Rcs(τ)=RY(τ)12j［ejω0τ-e-jω0τ］-12R^Y(τ)［ejω0τ+e-jω0τ］ Gcs(ω)=12j［GY(ω-ω0)-GY(ω+ω0)］-12［-jsgn(ω-ω0)GY(ω-ω0)+ jsgn(ω+ω0)GY(ω+ω0)］ 经整理可得同相分量与正交分量的互功率谱为 Gcs(ω)=j2［1+sgn(ω+ω0)］GY(ω+ω0)-j2［1-sgn(ω-ω0)］GY(ω-ω0) 证毕。 5.11设功率谱密度为N0/2的零均值白高斯噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为f0，带宽为2B。求滤波器输出的窄带过程w(t)及其同相及正交分量的自相关函数Rw(τ)、Rwc(τ)和Rws(τ)。 解： 由题知，窄带过程w(t)是以f0为中心频率的对称功率谱形式，带宽为2B。 令ω0=2πf0，Δω=2πB Rw(τ)=1π∫+∞0Gw(ω)cosωτdω=1π∫ω0+Δωω0-ΔωN02cosωτdω =N02πτ［sin(ω0+Δω)τ-sin(ω0-Δω)τ］ =N02πτ2sinΔωτcosω0τ =N0sinΔωτπτcosω0τ =R0(τ)cosω0τ 由于R0(τ)=N0sinΔωτπτ是一个低频信号，所以R^w(τ)=R0(τ)sinω0τ 所以 Rwc(τ)=Rws(τ)=Rw(τ)cosω0τ+R^w(τ)sinω0τ=R0(τ) 图E5.121RLC带通滤波器 5.12考虑图E5.121所示的RLC带通滤波器。设滤波器的品质因数Q1，输入是功率谱密度为N0/2的零均值高斯噪声X(t)，求滤波器输出端的窄带过程w(t)及其同相及正交分量的功率谱密度Gw(ω)、Gwc(ω)和Gws(ω)，并以图示之。 解： 输入的功率谱密度为 GX(ω)=N02 系统的传递函数为 H(ω)=RR+jωL+1jωC=jωRC1-ω2LC+jωRC 因此输出的功率谱密度为 Gw(ω)=N02H(ω)H(-ω)=N0ω2R2C22(1-ω2LC)2+2ω2R2C2 根据习题5.10的结论，有 Gwc(ω)=Gws(ω)=12［1+sgn(ω+ω0)］Gw(ω+ω0)+12［1-sgn(ω-ω0)］Gw(ω-ω0) 功率谱密度如图E5.122所示。 图E5.122功率谱密度示意图 5.13相关函数为RX(τ)=σ2Xe-α|τ|cosω0τ的窄带平稳随机过程可表示为X(t)=Ac(t)cosω′0t-As(t)sinω′0t，试在(1)ω′0≠ω； (2)ω′0=ω的条件下，分别求出相关函数Rc(τ)、Rs(τ)及互相关函数Rcs(τ)。 解： X(t)的希尔伯特变换X^(t)=Ac(t)sinω′0t+As(t)cosω′0t 因为 X(t)=Ac(t)cosω′0t-As(t)sinω′0t Ac(t)=X(t)cosω′0t+X^(t)sinω′0t As(t)=-X(t)sinω′0t+X^(t)cosω′0t Rc(τ)=E［Ac(t)Ac(t-τ)］ =E{［X(t)cosω′0t+X^(t)sinω′0t］［X(t-τ)cosω′0(t-τ)+X^(t-τ)sinω′0(t-τ)］} =RX(τ)cosω′0τ+R^X(τ)sinω′0τ (利用了RX(τ)=RX^(τ)，RXX^(τ)=-R^X(τ)，RX^X(τ)=R^X(τ)等性质) 同理， Rcs(τ)=E［Ac(t)As(t-τ)］=RX(τ)sinω′0τ-R^X(τ)cosω′0τ 因为RX(τ)=σ2Xe-α|τ|cosω0τ，所以R^X(τ)=σ2Xe-α|τ|sinω0τ (1) 当 ω′0≠ω0时 Rc(τ)=RX(τ)cosω′0τ+R^X(τ)sinω′0τ =σ2Xe-α|τ|cosω0τcosω′0τ+σ2Xe-α|τ|sinω0τsinω′0τ =σ2Xe-α|τ|cos(ω0-ω′0)τ Rcs(τ)=RX(τ)sinω′0τ-R^X(τ)cosω′0τ =σ2Xe-α|τ|cosω0τsinω′0τ-σ2Xe-α|τ|sinω0τcosω′0τ =σ2Xe-α|τ|sin(ω′0-ω0)τ (2) 当 ω′0=ω0时 Rc(τ)=σ2Xe-α|τ|cos(ω0-ω′0)τ=σ2Xe-α|τ| Rcs(τ)=σ2Xe-α|τ|sin(ω′0-ω)τ=0 5.14考虑窄带高斯过程w(t)=X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t，假定功率谱密度对称于载频ω0，求概率密度fXY(xt,xt-τ,yt,yt-τ)。 解: 由于随机过程具有对称的功率谱，所以X(t)和Y(t)是正交的高斯过程，因此也是独立的，所以 fXY(xt,xt-τ,yt,yt-τ)=fX(xt,xt-τ)fY(yt,yt-τ) fX(xt,xt-τ)=12πdet1/2(C)exp-12［xtxt-τ］C-1xt xt-τ 式中，C=σ21r(τ) r(τ)1，C-1=1σ2(1-r2(τ))1-r(τ) -r(τ)1 fX(xt,xt-τ)=12πσ2(1-r2(τ))exp-12σ2(1-r2(τ))［xtxt-τ］1-r(τ) -r(τ)1xt xt-τ =12πσ2(1-r2(τ))exp-12σ2(1-r2(τ))(x2t+x2t-τ-2r(τ)xtxt-τ) 同理， fY(yt,yt-τ)=12πσ2(1-r2(τ))exp-12σ2(1-r2(τ))［ytyt-τ］1-r(τ) -r(τ)1yt yt-τ =12πσ2(1-r2(τ))exp-12σ2(1-r2(τ))(y2t+y2t-τ-2r(τ)ytyt-τ) fXY(xt,xt-τ,yt,yt-τ)=1(2π)2σ4［1-r2(τ)］exp-12σ2［1-r2(τ)］［x2t+y2t+ x2t-τ+y2t-τ-2r(τ)(xtxt-τ+ytyt-τ)］ 式中，r(τ)ΔrX(τ)=rY(τ),σ2Δσ2X=σ2Y。 5.15设A(t)为平稳的窄带正态过程的包络，试证： E［A(t)］=π2σX，σ2A=Var［A(t)］=2-π2σ2X 式中，σ2X为正态过程的方差。 证明： 根据窄带正态随机过程的特性，A(t)服从瑞利分布，即 fA(a)=aσ2Xexp-a22σ2Xa≥0 E［A(t)］=∫+∞0a·aσ2Xexp-a22σ2Xda u=a/σ2X∫+∞0σ2Xu2exp-u22du =σ2X2π∫+∞0u212πexp-u22du 由于∫+∞-∞u212πexp-u22du是标准正态随机变量的方差，该方差等于1，所以∫+∞0u212πexp-u22du=12，那么 E［A(t)］=σX2π∫+∞0u212πexp-u22du=σX2π·12=π2σX E［A2(t)］=∫+∞0a2·aσ2Xexp-a22σ2Xda u=a/σX∫+∞0σ2Xu3exp-u22du v=u2σ2X2∫+∞0vexp-v2dv =2σ2X σ2A=E［A2(t)］-E［A(t)］=2σ2X-π2σX2=2-π2σ2X 5.16χ变量为χ2变量的平方根，证明n个自由度的χ变量的概率密度为 f(χ)=χn-1e-χ2/22n-22Γn2 证明： χ2(n)的概率密度函数为 fχ2(y)=12n/2Γn2yn/2-1e-y/2y>0 0y≤0 已知 χ=y1/2 |J|=dydχ=2y1/2 因此有 f(χ)=［|J|·fχ2(y)］|y=χ2=2χfχ2(χ2)=χn-1e-χ2/22n/2-1Γn2χ>0 0χ≤0 证毕。 5.17证明n个自由度的χ2变量的第m阶中心矩为 2mn2n2+1…n2+m-1 证明： χ2(n)的概率密度函数为 fχ2(y)=12n/2Γn2yn/2-1e-y/2y>0 0y≤0 第m阶中心矩为 E(ym)=∫+∞012n/2Γn2yn/2+m-1e-y/2dy =2mΓn2∫+∞0y2n/2+m-1e-y/2dy2=2mΓn2+mΓn2 根据Γ(x)的性质 Γ(x)=∫+∞0tx-1e-tdt=［-tx-1e-t］+∞0+∫+∞0(x-1)tx-2e-tdt =(x-1)∫+∞0tx-2e-tdt=(x-1)Γ(x-1) 可以得到 E(ym)=2mn2n2+1…n2+m-1 证毕。 5.18一检波器如图E5.18所示，其中非线性器件部分的传输特性为y=bx2。设输入信号X(t)为一窄带正态噪声，且可表示为X(t)=V(t)cos［ω0t+Φ(t)］，其概率密度为 fXx=12πσXexp－x22σ2X 求Z(t)的概率密度、均值和方差。 图E5.18检波器示意图 解： 因为 Y(t)=bX2(t)=bV2(t)cos2(ω0t+Φ(t))=12bV2(t)［1+cos（2ω0t+2Φ(t)）］ 经过低通滤波后 Z(t)=12bV2(t) V(t)是窄带正态噪声的包络，它的概率密度为 fV(v)=vσ2Xexp－v22σ2Xv≥0 根据fZ(z)=fV(v)|J|v=2z/b，而J=dVdz=12bz，所以 fZ(z)=2z/bσ2Xexp－2z/b2σ2X12bz=1bσ2Xexp－zbσ2Xz≥0 E［Z(t)］=∫+∞0z1bσ2Xexp－zbσ2Xdz(E5.181) 在式(E5.181)中，令u=zbσ2X，则 E［Z(t)］=bσ2X∫+∞0uexp－udu=bσ2X E［Z2(t)］=∫+∞0z21bσ2Xexp－zbσ2Xdz(E5.182) 同样，在式(E5.182)中，令u=zbσ2X，则 E［Z2(t)］=(bσ2X)2∫+∞0u2exp－udu(E5.183) 对式(E5.183)采用分部积分，得 E［Z2(t)］=(bσ2X)2∫+∞02uexp－udu=2(bσ2X)2 所以，Z(t)的方差为 Var［Z(t)］=E［Z2(t)］－E2［Z(t)］=2(bσ2X)2－(bσ2X)2=b2σ4X 5.19在平方律包络检波器输入端加一窄带随机电压信号，其包络A(t)服从瑞利分布 fA(At)=Atσ2exp－A2t2σ2A≥0 求在Y(t)=α22A2(t)时，检波器Y(t)输出的概率密度、均值和方差。 解： 由 fA(At)=Atσ2exp－A2t2σ2At≥0 可得U(t)=A2(t)概率密度为 fU(u)=12σ2exp－u2σ2u≥0 进一步可得 fY(y)=1α2σ2exp－yα2σ2y≥0 E［Y(t)］=∫+∞0yα2σ2exp－yα2σ2dy=α2σ2∫∞0ue－udu=α2σ2 E［Y2(t)］=∫+∞0y2α2σ2exp－yα2σ2dy=(α2σ2)2∫∞0u2e－udu=2(α2σ2)2 Var［Y2(t)］=E［Y2(t)］－E2［Y(t)］=2(α2σ2)2－(α2σ2)2=α4σ4 图E5.20同步检波器示意图 5.20同步检波器如图E5.20所示，设X(t)为一窄带平稳噪声，其相关函数为 RX(τ)=σ2Xe－α|τ|cosω0τ+αω0sinω0|τ|αω0 而Y(t)=Asinω0t为一确定性信号，求同步检波器输出端的平均功率Pz。 解： 窄带噪声可表示为X(t)=Ac(t)cosω0t－As(t)sinω0t， X(t)Y(t)=［Ac(t)cosω0t－As(t)sinω0t］Asinω0t =AAc(t)cosω0tsinω0t－AAs(t)sin2ω0t =12AAc(t)sin2ω0t－12AAs(t)(1－cos2ω0t) =－12AAs(t)+12AAs(t)cos2ω0t+12AAc(t)sin2ω0t 经过低通滤波可得 Z(t)=－12As(t)A Z(t)平均功率为 PZ=A24E［A2s(t)］=14A2Rs(0)=14A2RX(0)=14A2σ2X 5.21双边带抑制载波调制和单边带调制中，若消息信号均为3kHz限带低频信号，载频为1MHz，接收信号功率为1mW，加性白色高斯噪声双边带功率谱密度为10-3μW/Hz。接收信号经带通滤波器后，进行相干解调。 (1) 比较解调器输入信噪比； (2) 比较解调器输出信噪比。 解： (1) 解调器输入端噪声功率为 Pn,i=N02·2·B=10-3×10-6×2×3×103=6×10-6W 解调器输入端信号功率为 Ps,i=10-3W 解调器输入端信噪比为 SNRi=10×lgPs,iPn,i≈22.2dB 两种调制的输入信噪比相同。 (2) 假设消息信号为m(t)，对于双边带抑制载波调制，接收信号为 sDSB,i(t)=a1m(t)cos2πf0t+n(t) 解调器输出为 sDSB,o(t)=a1m(t)+nc(t) 输出信号功率为输入信号功率的两倍，即 Ps,o=2×Ps,i=2×10-3W 输出噪声功率为 Pn,o=E［n2c(t)］=N0B=6×10-6W 因此解调器输出端信噪比为 SNRDSB,o=10×lgPs,oPn,o≈25.2dB 对于单边带调制，接收信号为 sSSB,i(t)=12a2m(t)cos2πf0t-12a2m^(t)sin2πf0t+n(t) 解调器输出为 sSSB,o(t)=12a2m(t)+nc(t)cos2π(f0-fc)t-ns(t)sin2π(f0-fc)t 输入信号功率为 Ps,i=14a22m2(t) 输出信号功率为 Ps,o=14a22m2(t)=Ps,i=10-3W 输出噪声功率为 Pn,o=12E［n2c(t)］+12E［n2s(t)］=N0B=6×10-6W 因此解调器输出端信噪比为 SNRSSB,o=10×lgPs,oPn,o≈22.2dB 双边带抑制载波调制输出信噪比比单边带调制输出信噪比高3dB。 计算机作业 5.22以信噪比ρ=a/σ作为参数，画出广义瑞利分布式(5.4.13)的一组图形。 解： MATLAB程序如下。 clearvars close all At = 0:0.1:10; rho = 0:1:5; sigma = 1; vec_a = rho*sigma; figure for a = vec_a f1 = At/(sigma^2); f2 = exp(-((At).^2+a^2)/(2*sigma^2)); z = a*At/sigma^2; f3 = besseli(0,z); f = f1.*f2.*f3; hold on plot(x,f) end axis(［0 10 0 0.8］) legend('$＼rho=a/＼sigma$=0','$＼rho=1$','$＼rho=2$','$＼rho=3$','$＼rho=4$','$＼rho=5$','interpreter','latex') xlabel('$x$','interpreter','latex') ylabel('$f(x)$','interpreter','latex') 程序运行结果如图E5.22所示。 图E5.22广义瑞利分布图 5.23以信噪比ρ=a/σ作为参数，画出窄带正态噪声加正弦信号相位的分布式(5.4.14)的一组图形。 解： MATLAB程序如下。 clearvars close all theta = 0; varphi_t = linspace(-pi,pi,500); vec_rho = 0:1:5; sigma = 1; vec_a = vec_rho*sigma; figure for rho = vec_rho f1 = 1/(2*pi)*exp(-0.5*(rho^2)); f2 = sqrt(2*pi)*rho*cos(theta-varphi_t).*... normcdf(rho*cos(theta-varphi_t)); f3 = exp(0.5*rho^2*cos(theta-varphi_t).^2); f = f1*(1+f2.*f3); hold on plot(theta-varphi_t,f) end axis(［-pi pi 0 2］) legend('$＼rho=a/＼sigma$=0','$＼rho=1$','$＼rho=2$','$＼rho=3$',... '$＼rho=4$','$＼rho=5$','interpreter','latex') xlabel('$＼theta-＼varphi_t$','interpreter','latex') ylabel('$f(＼varphi_t|＼theta)$','interpreter','latex') 程序运行结果如图E5.23所示。 图E5.23窄带正态噪声加正弦信号相位的概率密度 研讨题 5.24设有图E5.24所示的窄带信号处理系统，输入X(t)是功率谱密度为N0/2的白噪声。 图E5.24窄带信号处理系统 （1） 求Z1(t)和Z2(t)的自相关函数； （2） 求Z1(t)和Z2(t)的一维概率密度； （3） 求Z1(t)和Z2(t)的联合概率密度fZ1Z2(z1,z2,t1,t2)； （4） 求V(t)的一维概率密度； （5） 如果输入为X(t)=acos(2πf0t+θ)+w(t)，输出V与门限γ进行比较，求P(V>γ|a=0)和P(V>γ|a>0)的表达式。 解： （1） 假设X(t)经过H1f的输出为Y(t)，于是有 Y(t)=Ac(t)cos2πf0t－As(t)sin2πf0t 进一步有 Y(t)·2cos2πf0t=Ac(t)+Ac(t)cos4πf0t－As(t)sin4πf0t Y(t)·2sin2πf0t=－As(t)+Ac(t)sin4πf0t+As(t)cos4πf0t 经过理想低通滤波器H2f分别得到 Z1(t)=Ac(t),Z2(t)=－As(t) 因此得到 RZ1(τ)=Rc(τ),RZ2(τ)=Rs(τ) 已知 Rc(τ)=Rs(τ)=RY(τ)cos2πf0τ+R^Y(τ)sin2πf0τ 因此先求RY(τ) RY(τ)=∫－f0+Δf/2－f0－Δf/2N02ej2πfτdf+∫f0+Δf/2f0－Δf/2N02ej2πfτdf =N0πτsinπΔfτcos2πf0τ Y(t)的方差为σ2Y=RY(0)=N0Δf 注意到sinπΔfτ为低频分量，因此有 R^Y(τ)=N0πτsinπΔfτsin2πf0τ 于是有 RZ1(τ)=RZ2(τ) =N0πτsinπΔfτcos2πf0τcos2πf0τ+N0πτsinπΔfτsin2πf0τsin2πf0τ =N0πτsinπΔfτ （2） 已知白噪声X(t)通过窄带线性系统，输出Y(t)服从高斯分布，满足 fY(y)=12πσ2Y1/2exp－y22σ2Y 又因为Ac(t)和As(t)都可以看作Yt经过线性变换的结果，因此有 fAc(Act)=12πσ2Y1/2exp－A2ct2σ2Y fAs(Ast)=12πσ2Y1/2exp－A2st2σ2Y 所以Z1(t)和Z2(t)的一维概率密度为 fZ1(z1)=12πσ2Y1/2exp－z212σ2Y fZ2(z2)=12πσ2Y1/2exp－z222σ2Y （3）因为Act和Ast在同一时刻不相关，对正态而言，不相关即独立，所以Z1t和Z2t的联合概率密度fZ1Z2(z1,z2,t1,t2)为 fZ1Z2(z1,z2,t1,t2)=12πσ2Yexp－z21+z222σ2Y （4） 从图E5.24可知 V(t)=A2c(t)+A2s(t) 即为窄带正态随机过程的包络。 （5） 当a=0时，V(t)为窄带正态噪声的包络，它是服从瑞利分布的，即 fV(v|a=0)=vσ2Yexp－v22σ2Yv>0 所以， P(V>γ|a=0)=∫+∞γvσ2Yexp－v22σ2Ydv=exp(－γ2/2σ2Y) 如果a>0，输出V(t)服从广义瑞利分部，即 fV(v|a>0)=vσ2Yexp－v2+a22σ2YI0avσ2Yv>0 所以， P{V>γ|a>0}=∫+∞γvσ2Yexp－v2+a22σ2YI0avσ2Ydv =∫+∞γ/σYxexp－x2+(a/σY)22I0(a/σY)xdx=Q(a/σY,γ/σY) 其中，Qa,b=∫∞bxI0(ax)exp－x2+a22dx。 实验 窄带高斯随机过程的产生 本实验模拟产生一段时长为5ms的窄带高斯随机过程X(t)的样本函数。根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为 X(t)=Ac(t)cos2πf0t-As(t)sin2πf0t 图实5.11带通高斯随机过程 的产生 式中，Ac(t)和As(t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，然后用两个正交载波cos2πf0t和sin2πf0t进行调制，如图实5.11所示。 假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为Gc(f)=Gs(f)=11+(f/Δf)4，其中Δf为功率谱密度的3dB带宽。在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长为5ms的低通过程Ac(t)和As(t)，然后按图实5.11合成X(t)，要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)以及X(t)的波形。 解： MATLAB程序如下。 clearvars close all clc set(0,'DefaultFigureWindowStyle','docked') Td = 5e-3; dt = 5e-8; vec_t = 0:dt:Td; N = length(vec_t); f0 = 1/Td; Df = 1e3; B = 6*Df; f = -B:f0:B; f = f.'; Gx = 1./(1+(f/Df).^4); fun = @(x) 1./(1+(x/Df).^4); q = integral(fun,-B,B); beta = q/sum(Gx); M = length(Gx); Xc = randn(M,1); Xs = randn(M,1); Xck = sqrt(beta*Gx).*Xc; Xsk = sqrt(beta*Gx).*Xs; vec_k = (1:M).'-floor(M/2); Act = Xck.'*exp(1j*2*pi*f0*vec_k*vec_t); Ast = Xsk.'*exp(1j*2*pi*f0*vec_k*vec_t); Act_real = real(Act); Ast_real = real(Ast); figure plot(f,Gx,'o') xlabel('Frequency $f$/Hz','Interpreter','latex') ylabel('$G_X(＼omega)$','Interpreter','latex') figure subplot(2,1,1) plot(vec_t,Act_real) ylim(［-150 150］) xlabel('Time $t$/ms','Interpreter','latex') ylabel('$A_c(t)$','Interpreter','latex') subplot(2,1,2) plot(vec_t,Ast_real) ylim(［-150 150］) xlabel('Time $t$/ms','Interpreter','latex') ylabel('$A_s(t)$','Interpreter','latex') fc = 50e3; Xt = Act_real.*cos(2*pi*fc*vec_t)-Ast_real.*sin(2*pi*fc*vec_t); figure plot(vec_t,Xt) ylim(［-150 150］) xlabel('Time $t$/ms','Interpreter','latex') ylabel('$X(t)$','Interpreter','latex') 功率谱离散采样如图实5.12所示。 图实5.12功率谱离散采样 模拟产生的低频高斯随机过程Ac(t)和As(t)的波形如图实5.13所示。 图实5.13模拟产生的低频高斯随机过程Ac(t)和As(t)的波形 模拟产生的窄带随机过程X(t)的波形如图实5.14所示。 图实5.14模拟产生的窄带随机过程X(t)的波形