第3章信号的频域分析
3.1引言

第2章介绍了典型信号在时间域内的变化规律和特点。实际应用中，还会常常在频率域内描述信号，分析其特性。例如，
人们所收听的广播电台都是以固定的频率发射信号，像中央人民广播电台第一套节目(中国之声)的频率就有中波639kHz、981kHz、1008kHz等，天津交通台的频率为106.8MHz，天津新闻广播台的频率为97.2MHz等。再如，在描述歌唱演员时，可以用男高音、女高音、中音、低音等来区分不同的歌唱家。这些都是在频率域内描述信号特征的，更容易区分和理解不同信号的特点。本章将介绍信号的频域分析方法，研究典型信号在频域内的特性，更深入理解信号的本质。仍然先从连续信号的频域分析开始，然后再介绍离散信号的频域分析。
3.2连续周期信号的频谱分析——傅里叶级数

先来看一个信号频域表示的例子，如f(t)=Acos(ω0t+φ0），
时域波形如图31(a)所示，若将其在频域内表示，则以ω
为横坐标，纵坐标为振幅和相位，如图31(b)、(c)所示。由频域表示可以看出，信号
f(t)
是一个具有角频率为ω0
的单一频率信号。该信号的振幅是A
，初相位是φ0
。


图31含有一个频率分量的信号时域和频域图


同理，若f(t)=cos
2πt+
π4+2cos
4πt+π2
(其时域波形如图32(a)所示)，仍可以用组成该信号的频率、初相位及振幅在频域内描述该信号，即如图32(b)、(c)所示。


图32含有两个频率分量的信号时域和频域图


从这个例子可以看出，信号f(t)
的表达式未知，如果只看到时域波形，很难分析其变化规律和特点。实际上，转到频域内描述后就很容易发现，这个信号实际上是由两个频率
f1=ω12π，f2=ω22π
的正弦或余弦信号组成的。如果由波形写出信号的表达式，图32(a)很难直接写出，而由图32(b)、(c)可很容易写出来。




由此可见，信号不仅可在时域内描述，也可在频域内描述。而且，在许多情况下，频域描述更加简捷。这也是为什么引入信号的频域分析方法的原因之一。那么是不是任意信号都可以在频域内描述呢？如果可以，如何描述？这就是本节要研究的问题。

3.2.1连续周期信号的单边谱分析——三角形式的傅里叶级数
设f(t)
为周期信号，其周期为T1
，角频率为ω1=
2πT1
，若f(t)
满足狄利赫利条件狄利赫利条件如下。

 在一个周期内，如果f(t)有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
 在一个周期内，f(t)的极大值和极小值的数目应是有限个。
 在一个周期内，信号f(t)
是绝对可积的，即∫t0+Tt0|f(t)|dt<∞。
，则
f(t)
可分解为三角函数的线性组合，即


f(t)=a0+∑+∞n=1（ancosnω1t+bnsinnω1t）
(31)


式中，n
为正整数(n=1，2，…）； a0、an、bn按如下公式计算



a0=1T1∫t0+T1t0f(t)dt

an=2T1∫t0+T1t0f(t)cosnω1tdt

bn=2T1∫t0+T1t0f(t)sinnω1tdt


(32)


注意： 式（32）中的积分区间是
［t0，t1+T1］
，其遍布f(t)
的一个周期，为了简便起见，通常取积分区间为
［0，T1］
或者-
T12，
T12
。

通常情况下，用到的周期信号都满足狄利赫利条件。将式(31)表示成一个正弦或余弦函数形式，即


f(t)=c0+
∑+∞n=1cncos(nω1t+φn)

=c0+c1cos(ω1t+φ1)+c2cos(2ω1t+φ2)+…(33)


对照式(31)和式(33)，可以看出傅里叶级数的系数之间存在以下关系


a0=c0

cn=a2n+b2n

an=cncosφn(34)

bn=-cnsinφn

tanφn=-
bnan


由式(33)可见，信号f(t)
是由不同频率的余弦或者正弦，相位差
π2
信号的线性和组成。以式(33)为基准，把角频率为
ω1
的分量称为基波，角频率为2ω1，3ω1，…，nω1
的分量分别称为二次谐波，三次谐波，…，n
次谐波。c0=a0
表示信号的直流分量，cn
表示各次谐波分量的大小，φn
表示各次谐波分量的初始相位。故将周期信号分解成三角函数的傅里叶级数的形式表明： 满足狄利赫利条件的任何周期信号都可分解为直流信号和各次谐波分量之和的形式。换言之，周期信号是由直流、基波及各次谐波分量组成的。

另外，由式(32)和式(34)可以看出，各分量的幅度an、bn、cn
和相位φn
都是nω1
的函数。如果把cn、φn
与nω1
的关系绘成如图33所示的线图，其中cn~nω1
的关系图称为幅度频谱图，用来描述各频率分量的幅度大小，每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。连接各幅度谱线顶点的曲线称为包络线，它反映各分量的幅度变化情况。而把
φn~nω1
的关系图称为相位频谱图，幅度谱和相位谱合称为频谱。可以看出，无论是幅度谱还是相位谱，谱线只出现在
0，ω1，2ω1，…
这些离散的频率点上，这种频谱称为离散谱，它是周期信号频谱的主要特点。另外，n
的取值范围在［0，+∞)
，幅度谱和相位谱均位于横坐标的右半部分，故称为单边频谱。不同信号所包含的谐波分量各不相同，因此，由信号的频谱可唯一描述信号f(t)。


图33周期信号的频谱示意图


例31分析如图34所示信号f(t)
的频谱，并画出幅度谱和相位谱。


图34例31图


解首先将f(t)
展为傅里叶三角级数形式，计算


a0=1T∫T/2-T/2f(t)dt

=1T∫τ/2-τ/2Edt

=EτT

an=2T∫T/2-T/2f(t)cos(nω1t)dt

=2T∫τ/2-τ/2Ecos(nω1t)dt

=2EτTSanω1τ2

bn=2T∫T/2-T/2f(t)sin(nω1t)dt

=0


由a0
、an
和bn
可进一步求得


c0=a0=EτT

cn=
a2n+b2n=
2EτT
Sa
nω1τ2


φn=

0,4mπτ<nω1<
2(2m+1)πτ

π或-π，
2（2m+1)πτ<nω1<
4(m+1)πτ
(m=0，1，2，…）


其中ω1=
2πT
，所求级数即为


f(t)=
EτT+
2EτT
∑+∞n=1Sa
nω1τ2cos
(nω1t)


其幅度谱和相位谱分别如图35(a)、(b)所示。当cn
为实数时，也可将幅度谱和相位谱画在一张图上，如图35(c)所示。由上式
f(t)的傅里叶级数可以看到，
cn=
2EτT
Sa
nω1τ2
(n=1，2，3，…），其可以看成是对连续函数F（ω）=
2EτT
Sa
ωτ2
的等间隔取样(或离散化)，取样间隔为ω1，
即cn=
2EτTSa
ωτ2ω=nω1
，故称
2EτTSa
ωτ2
为cn的包络线。


图35例31中信号f(t)的频谱图


当E=1,τ=1，T=4时，此时


f(t)=
14+
12
∑+∞n=1Sa
π4ncos(nω1t)

=
14+
∑+∞n=1
12
Sa
π4ncos(nω1t)


则


c0=14，
c1=12Saπ4=2π，c2=12Saπ2=1π，…

φ1=0，φ2=0，…



同样，还可以用傅里叶三角级数分析其他连续周期信号的频谱。例如图36(a)所示的周期三角波展开成傅里叶三角级数为


f(t)=
E2+
4Eπ2
cos
ω1t+
19cos3ω1t+
125cos5ω1t+…



该信号中含有直流分量、一次谐波、三次谐波
等奇次谐波分量，其频谱图如图36(b)、(c)所示。


图36周期三角波的时域和频域图



图37(a)所示的周期锯齿波展开成傅里叶三角级数为


f(t)=
Eπ

sinω1t-
12
sin2ω1t+
13sin3ω1t-…



该信号中无直流分量，只有各次谐波分量，需注意的是，三角级数中，各次谐波振幅需保持正值，故进一步将
f(t)写成


f(t)=
Eπ

cosω1t-π2+
12
cos2ω1t+π2+
13cos
3ω1t-π2+…



其频谱图如图37(b)、(c)所示。



图37周期锯齿波的时域和频域图


3.2.2连续周期信号的双边谱分析——指数形式的傅里叶级数
周期信号的傅里叶级数也可展开成指数形式，由前面已知，若f(t)
为周期信号，其三角函数形式的傅里叶级数为


f(t)=a0+∑+∞n=1(ancosnω1t+bnsinnω1t)
(35)


由欧拉公式得


cosnω1t=12(ejnω1t+e-jnω1t)

sinnω1t=12j(ejnω1t-e-jnω1t)



将上式代入式(35)，得到


f(t)=a0+
∑+∞n=1
an-jbn2
ejnω1t+
an+jbn2
e-jnω1t

(36)


令


F(nω1)=
an-jbn2(37)


并且由式(32)可知，an
是n
的偶函数，bn是n
的奇函数，由式(37)可知


F(-nω1)=
an+jbn2


将上述结果代入式(35)，得到


f(t)=a0+
∑+∞n=1
(F(nω1)
ejnω1t+
F(-nω1)
e-jnω1t)
(38)


令F(0)=a0
，则由式(38)得到f(t)
的指数形式的傅里叶级数，即


f(t)=
∑+∞n=-∞
F(nω1)ejnω1t
(39)


将式(32)中的an
和bn
代入式(37)，就可得到指数形式的傅里叶级数的系数
F(nω1)
，简写作Fn
，即


Fn=
1T1
∫t0+T1t0f(t)
e-jnω1tdt
(310)


式中，n
的取值是-∞~+∞。
由式(34)和式(37)可以看出，两种傅里叶级数的系数存在如下关系



F0=c0=a0

Fn=|Fn|ejφn=12(an-jbn)

F-n=|F-n|e-jφn=12(an+jbn)

|Fn|=
|F-n|=
12cn=
12
a2n+b2n
(311)




由式(310)可见，Fn
一般为nω1
的复函数，可写成幅度和相位的形式，即Fn=
|Fn|ejφn
，把|Fn|~nω1
的关系称为幅度谱，φn~nω1
的关系称为相位谱。需要说明的是，在指数形式的傅里叶级数中，n
的取值是-∞~+∞
，因此，对应的幅度频谱和相位频谱都存在于整个
nω1
轴上，故称为“双边频谱”。这种双边谱中，出现了“负频率”项，即
F(-ω1)，F(-2ω1)，…
，
这些项的物理意义不是很明确，理解起来比较困难，但它与对应的正频率项合在一起，却存在明确的物理意义，


图38例32图
即表示周期信号的某一个谐波分量。例如，
F（ω1）
和F(-ω1)
合成一个基波分量，F(2ω1)
和F(-2ω1)
合成一个二次谐波分量等。
例32分析图38所示的信号
f(t)
的频谱，并画出双边幅度谱和相位谱。

解首先将f(t)
展为指数傅里叶级数


Fn=1T1∫T/2-T/2f(t)e-jnω1tdt

=1T1∫τ/2-τ/2Ee-jnω1tdt

=EτT1Sa
nω1τ2


由计算结果可知，Fn
是nω1
的实函数，且函数值按正弦抽样信号变化，不同的n
值Fn
可取正值或负值，对应的相位是0(Fn
为正值时)或±π
(Fn
为负值时)，即其幅度和相位分别为


|Fn|=

EτT1
Sa
nω1τ2

φn=

0，
4mπτ<|nω1|<
2(2m+1)πτ

π或-π，
2(2m+1)πτ<
|nω1|<
4(m+1)πτ

(m=0，1，2，…）


幅度谱和相位谱图分别如图39(a)、(b)所示。此例中，由于Fn
是实函数，故可以把幅度谱




图39例32中信号f(t)的双边谱示意图


和相位谱合画在一张图上，如图39(c)所示。

综上所述，一个周期信号即可以分解为三角形式的傅里叶级数，也可以分解为指数形式的傅里叶级数，这两种频谱表示方法实质上是一样的。其不同之处在于图35中每条谱线代表一个分量的幅度，而图39中每个谐波分量的幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半，因此，只有把正、负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个谐波分量的幅度。
周期信号的频谱无论是用单边谱描述还是用双边谱描述，总结起来具有如下特点。
（1） 离散性。周期信号的频谱是由离散频率分量组成的。
（2） 谐波性。这些离散频率分量包括直流分量、基波及各次谐波，所有谱线都位于±nω1上。
(3) 收敛性。通常情况下，周期信号的各次谐波分量大小随nω1的增加而逐渐减小，最终趋于零。

当然，并不是所有周期信号的频谱都具有上述收敛特性，如图310(a)所示的周期冲激序列
δT1(t)
，其频谱不具有收敛性。可以计算其
Fn=
1T1，双边谱如图310(b)所示。


图310周期冲激序列及其双边谱图


3.2.3周期信号功率特性的频域描述
周期信号通常都是功率信号，其功率特性可利用其频谱来描述。将式(31)和式(39)的两边平方，并在一个周期内积分，并利用三角函数及复指数函数的正交性，可以得到周期信号f(t)
的平均功率P与傅里叶系数有下列关系


P=
f2(t)=
1T1
∫t0+T1t0f2(t)dt

=a20+
12
∑+∞n=0(a2n+b2n)

=c20+
12
∑+∞n=0c2n

=∑+∞n=-∞|Fn|2
(312)


式（312）的证明过程留作习题，请读者自行完成。该式表明，周期信号的平均功率等于直流分量、基波分量以及各次谐波分量有效值的平方和。也就是说，时域能量和频域能量是守恒的，此式被称为帕塞瓦尔定理。
3.2.4信号波形的对称性与傅里叶系数的关系
当周期信号的波形具有某种对称性时，其相应的傅里叶级数的系数就会呈现一定的特征，知道这些特征一方面可以简化函数的求解过程，另一方面可帮助判别信号的频谱特征。波形的对称性有两类： 一类是整周期对称，如偶对称和奇对称，这种特性决定了傅里叶级数中是否含有正弦项或余弦项； 另一类是半周期对称，即波形前半周期与后半周期是否相同或呈镜像关系，这种对称性决定了傅里叶级数展开式中是否含有偶次谐波或奇次谐波，表31给出这几种对称关系的傅里叶级数的系数情况，读者可自行证明。


表31函数的对称性与傅里叶级数系数的关系



函数f(t)
的特性波 形 示 例傅里叶级数的系数傅里叶级数
的特点

偶对称

f(t)=
f(-t)
an=
4T1
∫T120
f(t)cos(nω1t)dt

bn=0
不含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项
奇对称

f(t)=
-f(-t)

a0=0

an=0

bn=
4T1
∫T120
f(t)sin(nω1t)dt
只可能含有正弦项
半波镜像

f(t)=
-f
t±
T12


a0=0

an=bn=0（n为偶数）

an=4T1∫T120f(t)
cos(nω1t)dt

bn=4T1∫T120f(t)
sin(nω1t)dt

(n为奇数）

只有奇次谐波分量，而无直流分量和偶次谐波分量

3.2.5实际应用中的傅里叶级数有限项逼近

由傅里叶级数展开式可知，周期信号用无限项三角函数和的形式来精确逼近原函数。但在实际应用中，不可能将无穷项分量逐一分析和使用，而根据周期信号频谱的收敛性，信号的能量主要集中在低频段，所以一般采用级数的有限项和来逼近无限项和。

若取式(31)中的前2N+1
项来逼近周期信号f(t)
，则此2N+1
项有限项傅里叶级数为


SN(t)=a0+
∑Nn=1
(ancos(nω1t)+bnsin(nω1t))
(313)


此时定义逼近误差为


εN(t)=f(t)-SN(t)


其均方误差为


EN= 
ε2N(t)
=
1T1∫t0+T1t0ε2N(t)dt


将f(t)、SN(t)
所表示的级数代入上式，并利用式(312)经化简得到


EN= 
ε2N(t)=
f2(t)-

a20+
12
∑Nn=1(a2n+b2n)

(314)


下面用一个例子来说明用有限项级数来逼近原函数的过程，并观察级数中各种频率分量对波形的影响。
例33如图311所示的对称方波，求其傅里叶级数表达式，并用有限项级数来合成原信号，分别计算当N=1，3，5，11
时，均方误差为多少？


图311例33图


解由图311可知，f(t)
既是偶函数，又是半波镜像函数。因此，它的傅里叶级数中只含有奇次谐波的余弦项，即


f(t)=
2Eπ
cos
ω1t-
13cos3ω1t+
15cos5ω1t-…



根据式(313)和式(314)可得
当N=1
时


S1(t)=
2Eπ(cosω1t)

此时


E1= 
ε21=
f2(t)-
12a21

=E22-
122Eπ2

≈0.05E2


当N=3
时


S3(t)=
2Eπ
cosω1t-
13cos3ω1t



此时


E3= 
ε23= 
f2(t)-
12(a21+a23)

=E22-
122Eπ2-
12
2E3π2

≈0.02E2


当N=5时


S5(t)=
2Eπcosω1t-
13cos3ω1t+
15cos5ω1t



此时


E5= 
ε25=
f2(t)-
12(a21+a23+a25)


=E22-
12
2Eπ2-
12
2E3π2-
12
2E5π2

≈0.017E2


当N=11时


S11(t)=
2Eπ

cosω1t-
13
cos3ω1t+
15cos5ω1t-
17
cos7ω1t+
19cos9ω1t-
111cos11ω1t



此时


E11= 
ε211= 
f2(t)-
12
(a21+a23+a25+a27+a29+a211)

=E22
-122Eπ2
-122E3π2
-122E5π2
-122E7π2
-122E9π2
-122E11π2


≈0.008E2



图312(a)、(b)分别给出N取不同值时的合成方波情况。


图312N取不同值时的合成方波情况


由图312可以看出，傅里叶级数所取的项数(N)越多，相加之后合成的波形越接近原信号
f(t)
，均方误差越小； 当信号f(t)
为脉冲信号时，高频分量(也即快变信号)影响脉冲的跳变沿，低频分量(也即慢变信号)影响脉冲的顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形就会失真。

由图312还可以看出，当选取的傅里叶有限级数的项数越多，所合成的波形SN
中出现的峰起值越靠近f(t)
的不连续点。并且当所取的项数N
足够大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，这种现象通常称为吉布斯现象。

3.3连续非周期信号的频谱分析——傅里叶变换
3.3.1傅里叶正变换和逆变换

前面已经讨论了用傅里叶级数分析周期信号的频谱特性。本节将把上述傅里叶分析方法推广到非周期信号，从而得到非周期信号的频谱分析方法——傅里叶变换。

非周期信号可以看作周期趋于无穷大时的周期信号，这里，首先以周期矩形脉冲和它的离散频谱为例，研究当矩形脉冲的周期T1不断增大时，其频谱的变化过程，由此得出非周期信号的频谱分析方法。

如图313所示，在周期矩形脉冲序列中，当T1
逐渐增加至∞
时，就时域波形来讲，周期矩形脉冲信号就变成单脉冲的非周期信号。而就信号的频谱来讲，谱线间隔逐渐减小，最终使
ω1=
2πT1→0
，此时离散谱就变成了连续谱。另外由式(310)可知，由于周期
T1→∞
， F(nω1)→0
。这就是说，按照傅里叶级数所表示的频谱就化为乌有，失去应有的意义。但是，从物理概念上讲，既然是一个信号，无论怎么分解，其能量都是不变的，因此，不管周期变为多大，频谱的分布总是存在的。从数学的角度来看，在极限情况下，无限多的无穷小量之和仍然等于一有限值。


图313从周期信号的离散频谱到非周期信号的连续频谱



因此，再由傅里叶级数的定义来描述非周期信号的频谱已经不合适了，而必须引入一个新的量——频谱密度函数，用来描述非周期信号的频谱。

设周期信号f(t)
的周期为T1，其指数形式的傅里叶级数频谱系数为


F(nω1)=
1T1
∫T12-
T12f(t)
e-jnω1tdt


两边同乘以T1得


T1F(nω1)=
2πF(nω1)ω1

=∫T12-T12
f(t)
e-jnω1tdt


当T1→∞
，则有ω1→0
，谱线间隔Δ(nω1)=ω1→dω，nω1→ω
。在此极限情况下，F(nω1)→0
，但是T1F(nω1)=
2πF(nω1)ω1
趋近于有限值，离散谱线变成一个连续函数，记为
F(ω)
或F(jω)，即


F(ω)=limT1→∞F（nω1）T1

=limω1→02πF(nω1)ω1

=limT1→∞
∫T12-T12f(t)
e-jnω1tdt

(315)


进一步可写成


F(ω)=
∫+∞-∞
f(t)e-jωtdt
(316)


在式(315)中，
F(nω1)ω1
表示单位频带上的信号频谱值，即频谱密度的概念。因此，将
F(ω)
称为原函数f(t)
的频谱密度函数，简称为频谱函数，式(316)即为傅里叶正变换。借助于傅里叶变换，可分析非周期连续信号在频域内的特性。同样，也可由其频率特性得到时域表达式，这也可由周期信号的傅里叶级数导出。
由于周期信号fT1(t)
可表示为


fT1(t)=
∑+∞n=-∞
F(nω1)
ejnω1t


上式可改写为


fT1(t)=
∑+∞n=-∞
F(nω1)ω1
ω1
ejnω1t
(317)


当T1→∞
，则有ω1→dω
，nω1→ω，F(nω1)ω1→
F(ω)2π
，于是式(317)的傅里叶级数变成如下积分形式


limT1→∞
fT1(t)=limT1→∞
∑+∞n=-∞
F(nω1)ω1
ω1
ejnω1t=
12π∫+∞-∞
F(ω)
ejωtdω


即


f(t)=
12π
∫+∞-∞F(ω)
ejωtdω
(318)


此式即为傅里叶逆变换的形式。
为书写方便，习惯上采用如下符号



F(ω)=F［f(t)］=∫+∞-∞f(t)e-jωtdt(傅里叶正变换）

f(t)=F-1［F(ω)］=
12π∫+∞-∞
F(ω)ejωtdω(傅里叶逆变换）





或者


f(t)F(ω)


式中，F(ω)
是f(t)
的频谱函数，它一般是ω
的复连续函数，通常可以写作


F(ω)=
|F(ω)|
ejφ(ω)


式中，|F(ω)|
是F(ω)
的模，它代表信号中各频率分量分布值的相对大小，称为f(t)
的幅度谱； φ(ω)
是F(ω)
的相位，它表示各频率分量之间的相位关系，称为f(t)
的相位谱。

将式(318)进一步展开可得


f(t)=12π
∫+∞-∞
|F(ω）|
ejφ(ω)
ejωtdω=
12π
∫+∞-∞
|F(ω）|cos
(ωt+φ(ω))dω

+
12πj
∫+∞-∞
|F(ω）|sin
(ωt+φ(ω))dω=0

=
∫+∞-∞
|F(ω）|2π
cos
(ωt+φ(ω))dω


可以看出，非周期信号可以分解为无数个频率为ω
、振幅为|F(ω）|2πdω
的频率分量之和。

下面总结一下周期信号与非周期信号频谱之间的差异。

(1) 周期信号的频谱为离散谱，描述的是各次谐波分量的大小及初相位，非周期信号
的频谱描述的是各频率分量在频域内分布情况，即频谱密度，且是连续分布的。

(2) 周期信号频谱Fn
与非周期信号频谱密度F(ω)
之间的关系为


Fn=F(ω)T1ω=nω1


式中，T1
表示周期信号的周期，上述关系可由Fn
、F（ω)
定义式得到。另外，利用傅里叶变换分析非周期信号
f(t)
的频谱时，f(t)
需满足一定的条件，即


∫+∞-∞|f(t)|dt<∞


上式是傅里叶变换存在的充分条件。需要说明的是，任何非周期连续信号的频谱都存在，但是只有当信号满足绝对可积条件时，才可用傅里叶变换分析。当不满足绝对可积条件时，可借助已知函数的傅里叶变换或其他手段分析，后面将给出具体实例。
3.3.2典型非周期信号的频谱
1. 矩形脉冲信号
矩形脉冲的表达式为


f(t)=
Eu
t+
τ2
-u
t-τ2



式中，E为脉冲幅度； τ
为脉冲宽度。其波形如图314所示。


图314矩形脉冲信号

根据傅里叶变换的定义，有


F（ω）=∫+∞-∞f（t）e-jωtdt=∫τ2-τ2
Ee-jωtdt

=Eτ
sinωτ2
ωτ2

=EτSa
ωτ2(319)


故矩形脉冲的幅度谱为


|F(ω)|=Eτ
Saωτ2


相位谱为


φ(ω)=

0，4nπτ<|ω|<
2(2n+1)πτ，
Saωτ2>0

±π，
2(2n+1)πτ<|ω|<
2(2n+2)πτ,
Saωτ2<0
(n=0，1，2，…）


其幅度谱和相位谱分别如图315(a)、(b)所示。由于矩形脉冲的频谱函数
F（ω）
为实数，所以也可以直接用函数波形表示其频谱函数，如图315(c)所示。



图315矩形脉冲信号的频谱



由此可见，矩形脉冲在时域上是有限长的，然而它的频谱却以
Saωτ2
的变化规律分布在无限频率范围上，但是其信号能量主要处于
ω=0~2πτ
(rad/s)或
f=0~1τ(Hz)
内。因此，一般定义该信号的有效带宽近似为
2πτ
或者1τ
，即


Bω≈2πτ或
Bf≈1τ


由上述信号的时宽带宽关系进一步说明，信号在时域内存在的时间越短，在频域内占据的频带越宽，含有的高频分量越丰富。

另外，与例32中周期为T1
、宽度为τ
的矩形脉冲序列的频谱Fn
相比，也验证了Fn=
1T1F(ω)
ω=nω1
的关系。
2. 单位冲激信号
单位冲激信号的傅里叶变换为


F(ω)=
∫+∞-∞δ(t)
e-jωtdt=1


上式用到了冲激信号的取样特性，图316（a）、（b）分别给出了冲激信号及其频谱。



图316冲激信号及其频谱图


这又一次证明了时间域存在时间越短的信号，在频域内占据的带宽越宽。
3. 单边指数信号
单边指数信号的表达式为


f(t)=

Ee-αt，t≥0


0，t<0
（α>0）


波形如图317所示。


图317单边指数信号


根据傅里叶变换的定义可求得


F（ω）=
∫+∞0Ee-αt
e-jωtdt

=Eα+jω


其幅度谱为


|F(ω)|=
E
α2+ω2


相位谱为


φ(ω)=-arctan
ωα



图318（a）、(b)分别给出了单边指数信号的幅度谱和相位谱。



图318单边指数信号的频谱


4. 符号信号
符号函数的表达式为


f(t)=sgn(t)=

1，t>0


-1，t<0



该信号函数不满足狄利赫利绝对可积条件，不能直接用傅里叶变换公式计算其频谱。但可以借助符号函数和双边指数函数相乘，求相乘之后信号的频谱，再取极限，具体过程如下。 
令


f1(t)=sgn
(t)
e-α|t|(α>0)


则


F1(ω)=∫+∞-∞e-α|t|e-jωtdt

=∫0-∞-
eαt
e-jωtdt+
∫+∞0
e-αt
e-jωtdt

=-1α-jω+
1α+jω


而sgn(t)=
limα→0f1(t)
，所以


F［sgn(t)］= 
limα→0
F1(ω)=
2jω


其幅度谱为


|F(ω)|=
2|ω|


相位谱为


φ(ω)=

-π/2,ω>0


π/2,ω<0



其幅度谱和相位谱如图319所示。


图319符号函数的频谱


5. 升余弦脉冲信号
升余弦脉冲信号的表达式为


f(t)=E2
1+cos
πtτ
，
0≤|t|≤τ


其傅里叶变换为


F(ω)=
∫+∞-∞f(t)
e-jωtdt

=∫τ-τE2
1+cos
πtτ
e-jωtdt

=E2∫τ-τe-jωtdt+
E4
∫τ-τejπtτ
e-jωtdt+
E4
∫τ-τe-jπtτ
e-jωtdt

=EτSa(ωτ)+
Eτ2
Sa
ω-
πτ
τ
+
Eτ2
Sa

ω+πττ



显然，F(ω)
的频谱是由Sa(ωτ)
及其平移函数等三项组成。图320(a)、(b)分别给出升余弦脉冲及其频谱的合成过程。
由图320可知，升余弦脉冲信号的频谱较矩形脉冲的频谱更加集中，对于半幅度宽度为
τ的升余弦脉冲信号，其大部分能量集中在ω=0~
2πτ
。因为这个能量集中的特性，升余弦信号在数字通信中被广泛采用，但形式略有
不同。
3.3.3傅里叶变换的性质
在实际应用中，经常需要了解信号在时域进行某种运算后，频域发生何种变化，或者由频域的运算推测时域的变动。此时，既可以用傅里叶正变换和逆变换的定义式来求得，也可以借助傅里叶变换的基本性质获得结果。傅里叶变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间确定的内在联系，用它来求解问题不仅比较简便，而且物理概念清楚。考虑到大多数读者都应
在相关数学课中学过傅里叶变换，因此，本节只给出每个性质结论、含义及应用举例，不再逐一证明。

1. 线性特性
若f1(t)F1(ω)，
f2(t)F2(ω)，则有


c1f1(t)+c2f2(t)

c1F1(ω)+c2F2(ω)


式中，c1
和c2为任意常数。




图320升余弦信号及其频谱


2. 对称性
若f(t)F(ω)
，则


F(t)2πf(-ω)


当f(t)
为偶函数时


F(t)2πf(ω)


对称性表明，信号的时域波形与其频谱函数具有对称互易的关系。也就是说，如果知道
f(t)
的频谱为F(ω)
，则F(t)的频谱就是原时间信号沿纵轴的镜像。
例34已知
F［δ(t)］=1
，利用对称性求直流信号f(t)=1
的频谱F(ω)。
解由于F［δ(t)］=1
，利用对称性有


F(ω)=
F［1］=2πδ(-ω)=
2πδ(ω)


由此可以看出，冲激函数的频谱为常数，直流信号的频谱则为冲激函数，即
δ(t)F1
，则1F
2πδ(ω)
，其波形对比如图321所示。


图321冲激函数和直流信号的频谱对比


例35已知矩形脉冲为
f(t)=u
t+τ2-
ut-τ2
，其频谱
F(ω)=τSa
ω2τ
，利用对称性求f1(t)=τSa
τ2t
的频谱F1(ω)。
解由于
F(ω)=τSa
ω2τ，利用对称性有


F1(ω)=
F
τSaτ2t
=2π

uω+τ2-u
ω-τ2




由此可以看出，矩形脉冲的频谱为Sa函数，而Sa函数的频谱则为矩形函数，即
ut+τ2-
ut-τ2
FτSa
ω2τ，
则τSa
τ2t
F2π

uω+
τ2
-u
ω-
τ2


，其波形对比如图322所示。


图322矩形脉冲和Sa函数的频谱对比


3. 尺度变换特性
若f(t)F(ω)，则


F(at)
1|a|Fωa


式中，a
为不等于零的实数。

尺度变换特性表明，信号在时域中压缩(a>1
)等效于在频域中扩展； 反之，信号在时域中扩展(a<1
)等效于在频域中压缩。这并不难理解，因为信号在时域中压缩a
倍，信号随时间变化加快a
倍，所以它所包含的频率分量增加a
倍，也就是说频谱展宽a
倍。根据能量守恒定律，各频率分量的大小必然要减小a
倍。图323(a)~(c)分别给出不同时域宽度的矩形脉冲和相对应的频谱，以此来说明尺度变换的特性。



图323尺度变换特性举例


4. 时移特性
若f(t)F(ω)
，则


f(t-t0)F(ω)
e-jωt0


式中，t0为任意常数。

时移特性表明，信号在时域中相对原信号超前或滞后t0
个单位，其中幅度谱保持不变，相位谱产生一个附加相移-ωt0
； 反之，若两个信号在频域内的幅度谱相同，相位谱之间有一个相位差，且是ω
的一次函数，则两个信号在时域内波形相同，但有一个相对位移。
例36已知
F［f(t)］=F(ω)，
g(t)=f(2t+4)，求F［g(t)］。
解
f(2t+4)
是f(t)
经过压缩、平移两种运算而得到的信号，求其频谱需要用到展缩特性和时移特性。在求解时可以将
f(t)
先压缩再平移，也可以将f(t)
先左移后压缩，这两种方法的计算过程稍有不同，现在分别求解如下。

(1) 压缩t→2t，f(2t)12Fω2
左移t→t+2，f［2(t+2)］=f(2t+4)12Fω2
ej2ω
(2) 左移t→t+4，f(t+4)F(ω)ej4ω
压缩t→2t，f(2t+4)12Fω2ej2ω
5. 频移特性(调制定理)
若f(t)F(ω)，则


f(t)
ejω0t
F(ω-ω0)


频移特性表明，若时间信号f(t)
在时域中乘以因子ejω0t
，即相对于原信号增加一个相位，等效于f(t)
的频谱F(ω)
沿频率轴移动ω0
个单位，这就是所谓的频谱搬移技术，也称为调制定理。该性质在通信系统中得到广泛应用，诸如调幅、同步解调、频分复用等过程都是在此基础上完成的。在实际应用中，频谱搬移过程是将信号f(t)
与载频信号cos(ω0t)
或sin(ω0t)
相乘。下面分析这种相乘作用引起的频谱搬移。
因为


cos(ω0t)=12(ejω0t+e-jω0t)

sin(ω0t)=12j(ejω0t-e-jω0t)


可以导出


F［f(t)cos(ω0t)］=12［F(ω+ω0)+F(ω-ω0)］

F［f(t)sin(ω0t)］=j2［F(ω+ω0)-F(ω-ω0)］


所以，若时间信号f(t)
乘以cos(ω0t)
或sin(ω0t)
，等效于f(t)
的频谱F(ω)
一分为二，沿频率轴向左和向右各搬移至ω0
，从而实现频谱搬移。
例37已知矩形调幅信号


f(t)=G(t)cos(ω0t)


其波形如图324所示。其中G(t)为矩形脉冲，幅度为E，脉宽为τ，如图324中虚线所示，试求其频谱函数。
解根据


f(t)=G(t)cos(ω0t)

=12
G(t)
［ejω0t+e-jω0t］


利用频移特性得


F(ω)=12
G(ω-ω0)+
12G(ω+ω0)


由式(319)可知


G（ω）=
Eτ·Sa
ωτ2


代入F(ω)得


F(ω)=
Eτ2Sa

(ω-ω0)
τ2
+
Eτ2Sa

(ω+ω0)
τ2



可见，调幅信号的频谱等于将矩形脉冲的频谱各向左、右搬移
ω0，幅度降低12
，如图325所示。


图324矩形调幅信号的波形




图325矩形调幅信号的频谱


6. 卷积特性
1) 时域卷积特性
若f1(t)F1(ω)，f2(t)F2(ω)，则


f1(t)*f2(t)
F1(ω)F2(ω)



时域卷积性质说明，两个信号在时域内卷积，其频谱等于相卷积两信号频谱的乘积，即在时域卷积，频域相乘。
该性质是线性系统分析从时域转到频域的桥梁。
2) 频域卷积特性
若f1(t)F1(ω)，f2(t)F2(ω)，则


f1(t)·f2(t)
12π
F1(ω)*F2(ω)


频域卷积性质说明，两个信号在时域内相乘，其频谱等于两信号频谱的卷积再除以2π。
从以上两个卷积特性可以看出，两个信号在一个域内相乘运算，转到另一个域即为卷积运算，只是相差一个系数
2π。
例38已知信号
f(t)=Sa(t)，y(t)=f2(t)，求Y(ω)。
解f(t)的傅里叶变换为


F(ω)=π
［u(ω+1)-u(ω-1)］


其波形如图326(a)所示。由于y(t)=f2(t)
，利用傅里叶变换频域卷积特性得


Y(ω)=12πF(ω)*F(ω)

=12π{π［u(ω+1)-u(ω-1)］}*{π［u(ω+1)-u(ω-1)］}

=π2ω+π
［u(ω+2)-u(ω)］+
-π2ω+π［u(ω)-u(ω-2)］

=
π2ω+πu(ω+2)-πωu(ω)+
π2ω-πu(ω-2)


其波形如图326(b)所示。


图326例38图


7. 微分特性
1) 时域微分特性
若f(t)F(ω)，则


f′(t)jωF(ω)，f(n)(t)(jω)nF(ω)


式中，f(n)(t)表示
dnf(t)dtn。
微分特性表明，时域中f(t)
对t
取n
阶导数等效于在频域中给f(t)
的频谱函数乘以(jω)n。
2) 频域微分特性
若f(t)F(ω)
，则


tf(t)j
dF(ω)dω


例39已知
f1(t)=
EτSaτ2t
的傅里叶变换F1(ω)=2πE

uω+τ2-u
ω-τ2
，求f2(t)=tf1(t)
的频谱F2(ω)。

解利用频域微分特性得


F2（ω)=
jdF1(ω)dω

=j2πE

δω+
τ2-δ
ω-τ2



8. 时域积分特性
若f(t)F(ω)，则


∫t-∞f(τ)dτπF(0)δ(ω)+
F(ω)jω


其中


F(0)=F(ω)|ω=0


例310已知
F(ω)=F［δ(t)］=1，
利用积分特性求阶跃信号u(t)
的傅里叶变换G(ω)。
解由于u(t)=∫t-∞δ(τ)dτ
，且已知F［δ(t)］=1
，所以直接利用积分特性得u(t)
的傅里叶变换为


U(ω)=πF(0)δ(ω)+
F(ω)jω

=πδ(ω)+
1jω


其幅度谱和相位谱如图327所示。


图327单位阶跃函数的频谱


例311已知三角脉冲信号


f(t)=

E1-2|t|τ，
|t|≤τ2

0，|t|>τ2



如图328(a)所示，求其频谱F(ω)。


图328例311图


解将f(t)
取一阶与二阶导数，分别得到


f1(t)=df(t)dt

=2Eτ
ut+τ2-u(t)-
2Eτ
u(t)-ut-τ2


f2(t)=d2f(t)dt2

=2Eτ
δt+τ2+
δt-τ2-2δ(t)



其波形如图328(b)和(c)所示。对f2(t)
求傅里叶变换得


F2(ω)=
F
d2f(t)dt2=
(jω)2F(ω)

=2Eτe-jωτ2+
ejωτ2-2

=2Eτ
2cosωτ2-2

=-8Eτsin2
ωτ4


所以


F(ω)=
1(jω)2

-8Eτsin2
ωτ4



经化简得f(t)
的频谱为


F(ω)=
Eτ2

sin2
ωτ4

ωτ42
=Eτ2Sa2
ωτ4


其频谱图如图328(d)所示。可以看出，三角脉冲的频谱是一个ω
的正实函数，在整个频率轴上相位为0。
需要再次强调，利用傅里叶变换积分特性求解某信号f(t)
的频谱，对f(t)
求导时，f(t)需满足绝对可积条件或者f(t)
满足在f(-∞)
处为0。若不满足，则分以下两种情况处理。
（1） 不满足绝对可积，则需同时使用微积分特性求解信号的频谱。
（2） 若不满足f(-∞)=0，微积分特性同时使用，且积分特性为


F(ω)=πG(0)δ(ω)+
G(ω)jω+2πf(-∞)δ(ω)


下面给出分析推导过程。设


f′(t)=g(t)


即df(t)dt=g(t)
，则


df(t)=g(t)dt


对上式从-∞
到t
积分，有


f(t)-f(-∞)=∫t-∞g(τ)dτ


则


f(t)=∫t-∞g(τ)dτ+f(-∞)
(320)


取傅里叶变换得


F(ω)=πG(0)δ(ω)+
G(ω)jω+2πf(-∞)δ(ω)
(321)


此时，与傅里叶变换积分特性结果相差2πf(-∞)δ(ω)
一项，在积分特性中，隐含着g(-1)(-∞)=f(-∞)=0。
例312求图329(a)、(b)所示信号的频谱。


图329例312图


解(1) 图329(a)所示的函数可写为


f1(t)=2u(t+1)


对其求导可得


g(t)=f′1(t)=2δ(t+1)


所以


G(ω)=2ejω


而


f1(t)=∫t-∞g(τ)dτ


故


F1(ω)=
πG(0)δ(ω)+
G(ω)jω

=2πδ(ω)+
2ejωjω




(2) 图329(b)所示的函数可写为


f2(t)=
2u(t+1)-1


由图329(b)可见，f2(-∞)=-1
，不满足f(-∞)=0
，故由式(321)得


F2(ω)=
2πδ(ω)+
2ejωjω-2
πδ(ω)=
2ejωjω



除以上介绍的傅里叶变换常用性质外，还有其他性质，如奇偶虚实特性等，读者可以参考积分变换等相关教材学习。
3.3.4周期信号的傅里叶变换(频谱密度函数)
3.2节介绍了周期信号的频谱分析方法及其特点。那么，周期信号的频谱密度函数该具有什么特点，是以什么形式分布的呢？这同样可借助于傅里叶变换来分析。
1. 正弦信号、余弦信号的傅里叶变换
将cosω0t
或sinω0t
用欧拉公式展开并利用


12πδ(ω)


及


1·
ejω0t2πδ(ω-ω0)


可得


cosω0t=12ejω0t+e-jω0tπ［δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)］

sinω0t=12jejω0t-e-jω0t-jπ
［δ(ω-ω0)-δ(ω+ω0)］


其频谱分别如图330和图331所示。可以发现，这两个信号的频谱密度(傅里叶变换)仍位于原信号谱线位置处，只是变为了冲激函数。


图330余弦信号的频谱




图331正弦信号的频谱


2. 一般周期信号
设周期信号为fT1(t)
，其周期为T1
，将其表示为指数傅里叶级数形式为


fT1(t)=
∑+∞n=-∞Fn
ejnω1t


式中，Fn
是fT1(t)
的谱系数，ω1=
2πT1
，对上式两边做傅里叶变换得


F(ω)=F［fT1(t)］

=F
∑+∞n=-∞Fnejnω1t

=∑+∞n=-∞Fn
F［ejnω1t］

=2π∑+∞n=-∞Fn
δ(ω-nω1)
(322)

式(322)表明： 周期信号的频谱密度函数(傅里叶变换)是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的各谐波
nω1(n
为整数)处，每个冲激的强度是fT1（t）
谱系数Fn
的2π
倍。不难理解这一结果，因为频谱密度函数描述的是单位频带宽度上频谱分量的大小，周期信号的频谱是由离散的谱线组成的，对每一根谱线存在的点上，所占据的频带宽度为无限小，但频谱分量的大小是一个定值，故密度值趋于无穷大，即冲激信号。而在非谱线存在的频段上，频谱分量为0，密度自然也为0。
例313求如图332(a)所示的周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。


图332周期矩形脉冲信号及其频谱


解首先计算谱系数Fn


Fn=
EτT1Sa
nω1τ2
(323)


将Fn代入式(322)得


F(ω)=Eτ
2πT1
∑+∞n=-∞Sanω1τ2
δ(ω-nω1)



f(t)的频谱如图332（c）所示，对比频谱密度函数图332（b）可以看出，原来f(t)
的每根谱线变成了冲激信号。

3.4抽样信号的频谱
在数字信号处理系统中，当被处理的信号是连续时间信号时，需首先将连续信号离散化，进一步形成数字信号，才能进行后续的数字化处理。而将连续信号离散化的过程即为对连续信号抽样的过程。这一过程形成的信号与原信号之间是怎样的关系，是否还包含原信号的全部信息，能否恢复原信号，都是在进行数字化处理之前需要弄清楚的问题，也是本节要讲的主要内容。
3.4.1信号的时域抽样

在时域内对连续时间信号抽样的过程称为时域抽样，其可以用图333(a)表示抽样过程，即开关
k
每隔Ts
秒闭合一次，当开关闭合时，fs(t)=f(t)
，当开关打开时，fs(t)=0。
如果用数学模型描述抽样过程，就相当于将连续时间信号与抽样脉冲序列相乘，如图333(b)所示。



图333连续时间信号的抽样模型示意图


通常，可根据抽样脉冲序列的不同将抽样过程划分为均匀抽样和非均匀抽样、理想抽样和非理想抽样。如果用来抽样的脉冲序列是等间隔的，则称此种抽样过程为均匀抽样； 反之，称为非均匀抽样。如果用来抽样的脉冲序列是冲激序列，则称为理想抽样； 反之，称为非理想抽样。本书只讨论均匀抽样。
1. 理想抽样及抽样信号的频谱
设连续时间信号f(t)
，抽样脉冲p(t)
为单位冲激序列δTs(t)
，抽样后的信号为fs(t)
，Ts
为序列周期，其波形如图334所示，写成数学表达式为


fs(t)=f(t)
δTs(t)=
∑+∞n=-∞f(nTs)δ(t-nTs)





图334理想抽样


信号经抽样后，能否包含原信号f(t)
的全部信息？若包含了原信号的全部信息，在什么条件下可从抽样信号无失真恢复原信号？从
fs(t)
时域波形上看，似乎是否定的，下面在频域内分析抽样信号的频谱，进而得出结论。
根据频域卷积定理可知，设
f(t)
的频谱为F(ω)
，如图335(a)所示，由傅里叶变换频域卷积定理得抽样信号fs(t)
的频谱为


Fs(ω)=12πF(ω)*δTs(ω)

=12πF(ω)*
∑+∞n=-∞ωsδ(ω-nωs)

=ωs2π
∑+∞n=-∞F(ω-nωs)

=1Ts
［…+F(ω-ωs)+F(ω)+F(ω+ωs)+…］
(324)

式中，ωs=
2πTs
。式
(324)
表明，理想抽样信号的频谱Fs(ω)
是被抽样信号频谱F(ω)以ωs
为周期的周期延拓，而幅度变为原来的
1Ts
。可以看出，抽样信号不仅包含了原信号的全部信息F(ω)，
而且还包含更多频率成分的信号，图335(b)~(d)分别表示ωs
取不同值时的情况。



图335ωs取不同值时抽样信号的频谱


2. 矩形脉冲抽样及抽样信号的频谱
理想抽样在实际应用中是不可实现的，这主要因为抽样序列为冲激序列，实际中不可能产生这样的信号，
将其用于抽样的目的是便于对抽样信号的理论分析。实际应用中抽样序列通常采用矩形脉冲序列，称为矩形脉冲抽样。本节就来分析矩形脉冲抽样及抽样信号的频谱。

设p(t)
表示矩形脉冲序列，幅度为E
，脉宽为τ
，抽样角频率为ωs
(抽样间隔为Ts
)，f(t)
频谱为F(ω)
。则抽样信号fs(t)=f(t)p(t)
，抽样过程如图336(a)所示。
根据频域卷积定理则可得，矩形抽样信号的频谱为


Fs(ω)=
12πF(ω)*P(ω)

=12πF(ω)*
2πEτTs
∑+∞n=-∞Sa
nωsτ2δ(ω-nωs)

=EτTs
∑+∞n=-∞Sa
nωsτ2F(ω-nωs)

=EτTs
…+
Sa
ωsτ2
F(ω+ωs)+F(ω)+Sa
ωsτ2
F(ω-ωs)+…






图336脉冲抽样信号的频谱


同样，连续信号经过矩形脉冲序列抽样后，得到抽样信号的频谱仍然是原信号频谱F(ω)
以ωs
为周期进行周期重复。只是此时在重复过程中，频谱峰值是以
Sanωsτ2
的规律变化的，如图336(b)所示。由理想抽样和矩形脉冲抽样可以得出抽样信号
fs(t)
中包含有f(t)
的全部信息，但是抽样信号的频谱会因ωs
的不同而不同。


3.4.2时域抽样定理
无论是理想抽样还是矩形脉冲抽样，抽样信号的频谱都是将原信号频谱以ωs
(抽样角频率)为周期重复。由图335可知，F(ω)
在重复过程中有可能发生谱与谱之间的混叠。此时要想从抽样信号中完全不失真地提取出原信号是不可能的。导致混叠的原因是，抽样角频率ωs
比较小，或者是被抽样信号频带无限宽。故要想使原信号频谱被分离出来，必须保证抽样信号的频谱不能混叠，即需满足以下两个条件。
(1)  f(t)
必须为频带有限信号，其频谱在-ωm≤ω≤ωm之外全部为零。

(2) 抽样频率不能过低，要满足ωs≥2ωm
(或fs≥2fm)，或抽样间隔
Ts=1fs≤
12fm。
只有满足上述条件才能由fs(t)
不失真地恢复被抽样信号f(t)
，称上述内容为时域抽样定理。当
fs=2fm
时，将其称为奈奎斯特(Nyquist)频率，把Ts=
12fm
称为奈奎斯特间隔，奈奎斯特抽样频率(抽样间隔)是时域抽样的极端结论。实际应用中，抽样频率通常选为
fs≈(2.5~3)fm。

一般情况下，信号很难保证是频带有限信号。这样，无论怎样指定抽样频率，都不能做到抽样信号的频谱不混叠。所以，通常在对信号抽样前，先通过一个抗混叠滤波器，滤掉影响不大的高频部分，变为带限信号。
3.4.3信号的频域抽样与频域抽样定理

若在频域内对连续谱信号进行数字化处理，同样也需要对信号的连续谱进行抽样，使其频谱离散化，这个过程
称为频域取样。与时域抽样分析思路相同，需要分析信号在频域段抽样后，是否包含原信号的全部信息？如何不失真恢复原信号？

设被取样信号为F（ω）
，对应的时间信号为f(t)
，现以周期为ω1
的冲激序列δω1(ω)
对F(ω)进行理想抽样，得取样信号Fs(ω)为


Fs(ω)=F(ω)·δω1(ω)=F(ω)
∑+∞n=-∞δ(ω-nω1)


抽样过程如图337(a)所示，则fs(t)=
F-1［F(ω)］*
F-1［δω1(ω)］，
由周期冲激信号的傅里叶变换可知


F

∑+∞n=-∞
δ(t-nT1)
=ω1
∑+∞n=-∞δ(ω-nω1)


所以∑+∞n=-∞δ(ω-nω1)
的逆变换为


F-1

∑+∞n=-∞
δ(ω-nω1)
=
1ω1
∑+∞n=-∞δ(t-nT1)


因此


fs(t)=F-1［Fs(ω)］

=f(t)*
1ω1
∑+∞n=-∞δ(t-nT1)

=1ω1
∑+∞n=-∞f(t-nT1)

=1ω1
［f(-∞)+…+f(t+2T1)+f(t+T1)+f(t)

+f(t-T1)+f(t-2T1)+…］
(325)

式(325)表明，若对信号f(t)
的频谱F(ω)
以ω1
等间隔理想抽样，则时域中等效于原信号f(t)
以周期为T1
其中T1=2πω1
进行周期延拓，同样包含了f(t)
的全部信息，图337示出了频域取样的过程。


图337频域抽样所对应的信号波形


通过对时域抽样和频域抽样过程进行研究，由此得出信号的时域与频域呈现抽样与周期重复相对应这一重要结论，即信号在一个域(时域或频域)上取样，则在另外一个域上(频域或时域)周期化。
同样，信号fs(t)
在对原信号以T1
为周期进行周期延拓时，也可能会出现f(t)
的混叠问题，为避免混迭，在频域取样中也要满足一定条件。下面给出频域抽样定理： 如果信号
f(t)
是时间有限信号，即|t|>tm
时f(t)=0
，当以f1≤12tm
(T1≥2tm，ω1=2πf1
)的频率间隔对F(ω)
进行抽样时，则抽样后的频谱Fs(ω)
可以唯一地表示原信号，即可不失真地恢复原信号。

可以看出，无论是时域抽样还是频域抽样，都需满足两个条件： 一个是对被抽样信号的要求； 另一个是对抽样序列的要求。另外，本节讲解的抽样定理只针对非单一频率的低频信号的抽样。对于单一频率信号（如正弦或余弦以及带通等信号）的抽样，还有一定的条件限制，在此不再讲解，有兴趣的读者可参考相关文献或书籍。
3.5离散时间信号频谱分析
在前面介绍了连续信号的频谱可采用傅里叶级数或傅里叶变换方法来分析，离散信号的频谱同样可采用傅里叶级数或傅里叶变换的方法，只是需要采用离散形式来描述。本节将详细讲解离散信号的频域分析方法及频谱特点。

3.5.1非周期离散时间信号频谱分析——离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform，DTFT)是分析离散时间信号的频谱、离散时间系统的频率特性以及线性系统响应频域求解方法的重要工具，它是针对离散序列的一种数学变换。
1. 定义
设离散时间序列x(n)
满足绝对可和，即


∑+∞n=-∞|x(n)|<+∞


则x(n)
的傅里叶变换定义为


X(ejω)=
∑+∞n=-∞x(n)
e-jωn
(326)


式（326）也称为序列的傅里叶变换，ω表示序列的数字角频率，单位为rad。
离散时间傅里叶变换的逆变换
(Inverse Discrete Time Fourier Transform，IDTFT)
定义为


x(n)=12π
∫+π-πX(ejω)ejωndω
(327)


通常用以下符号分别表示对x(n)
取傅里叶正变换和逆变换



X(ejω)=DTFT［x(n)］=∑+∞n=-∞x(n)e-jωn

x(n)=IDTFT［X(ejω)］=
12π
∫+π-π
X(ejω)
ejωndω



也可以简化表示为x(n)
DTFTX(ejω)
。
2. 离散时间信号的频谱及特点
由离散时间序列傅里叶变换的定义可知，X(ejω)
是ω
的复函数，可表示为


X(ejω)=|X(ejω)|
ejφ(ω)


式中，|X(ejω)|
称为序列x(n)的幅度谱，是ω的偶函数； φ(ω)称为相位谱，是ω的奇函数。幅度谱和相位谱合起来称为x(n)的频谱，其含义与连续信号的频谱相同。
离散时间信号的频谱具有连续性和周期性的特点，即无论是幅度谱还是相位谱均为
ω的连续函数，而且以2π为周期，即


X(ejω)=
X(ej(ω+2kπ))，k=0，±1,±2，…


实际上，因为X(ejω)
是连续周期函数，所以可以对它做连续傅里叶级数展开，离散时间傅里叶正变换表达式(326)正是
X(ejω)
的傅里叶指数级数展开式，x(n)
相当于X(ejω)
的谱系数即式(327)，与连续周期信号指数形式傅里叶级数相比，从物理意义上看，就是将时域和频域的对应关系调换了一下，数学关系是完全一样的。

从时域抽样信号的频谱可以理解离散序列频谱的连续性和周期性。非周期连续信号在时域内理想抽样后得到离散序列，序列的频谱是原信号的周期延拓，周期为
Ωs=
2πT
，若以弧度表示，则周期为ΩsT=2π。
例314若
x(n)=u(n)-u(n-6)
，求此序列的离散时间傅里叶变换X(ejω)
。
解


X(ejω)=DTFT{u(n)-u(n-6)}

=∑5n=0
e-jωn=
1-e-j6ω1-e-jω

=e-j3ωe-jω2

ej3ω-
e-j3ω
ejω2-
e-jω2


=
e-j52ω

sin(3ω)sin
ω2




幅频特性为


|X(ejω)|=

sin(3ω)sin
ω2




相频特性为


φ(ω)=-
52ω+arg

sin(3ω)
sinω2

=

-52ω±π，
sin(3ω)sin
ω2<0


-52ω，
sin(3ω)sin
ω2≥0



序列x(n)的幅频特性及相频特性如图338所示。 


图338序列x(n)
的幅频特性及相频特性(一个周期)


3.5.2离散时间傅里叶变换的性质
与连续时间傅里叶变换一样，离散时间傅里叶变换也具有许多特性。这里只给出一些基本特性，这些特性均可由定义证明，留给读者自行完成。
1. 线性
若DTFT［x1(n)］=X1
(ejω)，
DTFT［x2(n)］=X2
(ejω)，则


DTFT［ax1(n)+bx2(n)］=aX1(ejω)
+bX2(ejω)


式中，a、b为任意常数。
2. 移位
1) 时域移位
若DTFT［x(n)］=X(ejω)
，则


DTFT［x(n-n0)］=
e-jωn0
X(ejω)


式中，n0为整数。该性质说明时域移位对应于序列频谱增加了一个相位。
2) 频域移位
若DTFT［x(n)］=
X(ejω)，则


DTFT［
ejω0nx(n)］=
X(ej(ω-ω0))


该性质说明频域移位对应于时域的调制。
3. 序列的线性加权
若DTFT［x(n)］=X(ejω)
，则


DTFT［nx(n)］=j
d［X(ejω)］dω


该性质说明时域序列的线性加权对应着频域内信号频谱的微分。
4. 序列的反转
若DTFT［x(n)］=
X(ejω)
，则


DTFT［x(-n)］=
X(e-jω)=
X*(ejω)


该性质说明时域序列反转对应着幅度谱不变，相位谱为原相位谱的相反数。
5. 卷积定理
1)  时域卷积定理
若DTFT［x1(n)］=X1
(ejω)，
DTFT［x2(n)］=X2
(ejω)
， 则


DTFT
［x1(n)*
x2(n)］=
X1(ejω)
X2(ejω)


该定理说明时域卷积对应着频域乘积。
2) 频域卷积定理
若DTFT［x1(n)］=X1(ejω)，
DTFT［x2(n)］=X2(ejω)，则


DTFT［x1(n)x2(n)］=
12π
［X1(ejω)*
X2(ejω)］


该定理说明时域相乘对应着频域卷积。
6. 帕斯瓦尔定理——能量定理
设x(n)
是能量信号，且DTFT［x(n)］=
X(ejω),则


∑+∞n=-∞|x(n)|2=
12π
∫π-π
|X(ejω)|2dω



此定理也称为能量定理，序列的总能量可在频域内利用幅度谱来求得，即时域总能量等于频域一个周期内总能量的均值。
3.5.3典型离散时间序列——窗函数及其频谱

本节介绍几种常用的离散序列(窗函数)及其频谱，这些窗函数在数字滤波器设计和功率谱估计中都有很重要的应用。
在下面的讨论中，窗函数及其频谱分别用w(n)
和W(ejω)表示，且


W(ejω)=
|W(ejω)|
ejφ(ω)



对幅频响应以分贝形式进行归一化表示为


WdB
(ejω)=10
lg

|W(ejω)|

|W(ej0)|



式中，
W(ej0)表示信号的直流成分。
1. 矩形窗


w(n)=1(n=0，1，…，N-1）


其对应的频谱为


W(ejω)=

sinNω2

sinω2

e-j
N-12ω



为便于将其他窗的频谱与矩形窗函数的频谱进行比较，将矩形窗函数的频谱用
WR(ejω)表示， 即


WR(ejω)=

sinNω2

sinω2

e-j
N-12ω




矩形窗函数的频谱特性WR(ejω)
具有
sin(Nx)sin(x)
的形式，其主瓣宽度是
4πN
，第一个副瓣对应的电平(第一副瓣电平)比主瓣峰值低13dB左右。图339示出了在
［0，π］区间内
N=51
时的矩形窗函数及其归一化幅度谱(dB)，后面其他窗函数的频谱也同样只给出
［0，π］
内的频谱，因为其频谱是关于π
对称的，并以2π
为周期。


图339矩形窗及其幅度谱


2.  三角形窗
三角形窗又称巴特利特(Bartlett)窗，即


w(n)=

12nN，
n=0，1，2，…，N2

w(N-n)，
n=N2，N2+1，…，N-1
（N为偶数）


它所对应的频谱函数为


W(ejω)=

N2

sinNω4

sinω2

2
e-j
N2-1
ω


其幅频特性主瓣宽度是矩形窗的两倍，即
8πN
，第一个副瓣电平比主瓣峰值低26dB左右，图340示出了N=51
时的时域及频谱。 


图340三角形窗及其幅度频谱


3. 汉宁窗
汉宁窗也称余弦平方窗或升余弦窗， 即


w(n)=sin2
πNn=
12

1-cos
2πNn
(n=0，1，…，N-1）


利用欧拉公式及频移定理，可以得到用矩形窗的频谱
WR(ejω)表示的偶对称式汉宁窗的频谱函数为


W(ejω)=
12
WR(ejω)-
14
WR
ejω-
2πN
-
14
WR
ejω+
2πN



其频谱特性如图341所示，它是由三个互有频移的不同幅值的矩形窗幅度谱函数合成，这将使副瓣大为衰减，能量更有效地集中在主瓣内，使计算主瓣宽度加宽了一倍。


图341汉宁窗及其幅度频谱


4.  海明窗
海明窗的单边表示为


w(n)=0.54+0.46cos
2πNn(n=0,1,…,N-1)


其频谱函数为


W(ejω)=0.54
WR(ejω)+0.23

WRejω-
2πN
+
WRejω+
2πN



海明窗频谱的幅度函数可以达到99.96%的能量集中在主瓣内，在与汉宁窗相等的主瓣宽度下，获得了更好的副瓣抑制。图342示出了海明窗及其幅度谱(dB)，可以看到，在第一副瓣处出现了很深的凹陷。 



图342海明窗及其幅度频谱


5. 布拉克曼窗

布拉克曼窗也称二阶升余弦窗。汉宁窗、海明窗都是由三个中心频率不同的矩形窗频谱线性组合而成的。布拉克曼窗是利用更多的矩形窗频谱线性组合构成的，
其单边表示为


w(n)=
∑K-1m=0(-1)mamcos
2πNmn(n=0,1,…(N-1))


其频谱表达式为


W（ejω）=
∑K-1m=0（-1）m
am2

WR

ejω-2πN+
WR
ejω+2πN




其中窗函数系数a
的选择应满足以下约束条件


∑K-1m=0am=1


实际上，汉宁窗、海明窗是a0、a1
不为零，而其他系数都为零的布拉克曼窗。假设布拉克曼窗有K
个非零的系数，则其振幅频谱将由2K-1
个中心频率不同的矩形窗频谱线性组合而成。要使窗函数的主瓣宽度变窄，则K
值不能选择很大。图343给出了K=3，a0=0.42，a1=0.5，a2=0.08
时所对应的布拉克曼窗及其幅度谱(dB)。



图343布拉克曼窗及其幅度频谱



最后给出各种窗函数的基本参数，如表32所示。可以看出相同宽度的窗函数，主瓣宽度与副瓣的幅度是成反比的。实际使用时需根据需要选择相应的窗。


表325种窗函数基本参数的比较



窗函数

窗频谱性能指标

副瓣峰值/dB主瓣宽度

矩形窗-134π/N
巴特利特-258π/N
汉宁窗-318π/N
海明窗-418π/N
布拉克曼窗-5712π/N

3.6周期离散时间信号的频谱分析——离散傅里叶级数

首先回顾一下已经学过的几种信号的频谱形式。图344(a)~(c)分别给出了连续周期、非周期、离散非周期信号的时域波形及频谱示意图，图中用Ω
表示连续信号模拟角频率，单位为rad/s，用ω
表示离散信号数字角频率，单位为rad。


图344信号在时、频域中的对称性规律



由图344可以看出，从离散与连续、周期与非周期的角度看，可以定性推断出图344(d)中离散周期信号的频谱是离散周期的。①时域上xp(n)
可以看作连续周期信号xp(t)
的离散化，根据时域上的离散化将产生频谱的周期化，因此xp(n)
的频谱Xp(ejω)
是非周期离散谱Xp(jkΩ1)
的周期化，即Xp(ejω)
是周期的离散谱。②时域上xp(n)
还可以看作离散非周期信号x(n)
的周期化，根据时域周期化将产生频谱的离散化规律，也能推断出离散周期信号
xp(n)
的频谱Xp(ejω)
是周期离散谱的结论。下面从理论上给出周期离散时间序列xp(n)
与其频谱Xp(ejω)
的关系，即离散傅里叶级数变换。
3.6.1离散傅里叶级数变换
设x(n)
的列长为N
，其傅里叶变换为X(ejω)
，为表示其周期性，在X(ejω)
上方加上标“~”，即


X～(ejω)=
∑N-1n=0
x(n)
e-jωn



现对X～(ejω)
在每个周期内均匀取样，取样点数为N
，则取样间隔ω1=
2πN
，因此一个周期内第k
个取样点为


ωk=kω1=
2πNk
(k=0，1，…，N-1）


取样后的取样序列为


X～(ejω)ω=
2πNk=
∑N-1n=0x(n)
e-j2πNkn


上式是取样点k
的函数，可以写为


X～(k)=
∑N-1n=0
x(n)
e-j2πNkn
(k=0，1，…，N-1）(328)


利用式(328)，可以计算出一个周期内的N
个取样值。可以证明X～（k）
也是以N
为周期的周期序列，即


X～（k+mN）=
∑N-1n=0
x(n)
e-j2πN(k+mN)n=
∑N-1n=0x(n)
e-j2πNkn= 
X～（k）


对X～(ejω)
均匀取样后，在频域内形成了一个新的周期序列
X～(k)
，那么X～(k)
对应的时域序列与原序列x(n)
之间有何关系？下面来分析这个问题。

将式(328)两边同乘以
ej2πNkr
，并在一个周期内求和，即


∑N-1k=0
X～(k)
ej2πNkr=
∑N-1k=0
∑N-1n=0
x(n)
e-j2πNkn

ej2πNkr=N

∑N-1n=0x(n)
1N∑N-1k=0
ej2πN(r-n)k



因为


1N
∑N-1k=0
ej2πN(r-n)k=
1，n=r


0，n≠r



所以


∑N-1k=0
X～(k)
ej2πNkr=N

∑N-1n=0x(n)
n=r=Nx(r)


以n
置换r
，可得


x(n)=1N
∑N-1k=0
X～(k)
ej2πNkn
(329)


由频域取样定理知，X(ejω)
在频域取样后，对应的时域序列x(n)
将以取样点数N
为周期进行周期延拓，形成周期序列，此时用x～(n)
表示其周期性。由式(329)也可以证明


x～(n)=x(n+mN)(m=0，±1，±2，±3，…）


如果引入符号WN
，记为


WN=
e-j2πN


并以x～(n)
替换式(328)和式(329)中的x（n），得到一组变换关系



X～(k)=∑N-1n=0x～(n)WknN=DFS［x～(n)］(k=0，1，…，N-1）

x～(n)=1N∑N-1k=0X～(k)
W-knN=IDFS
［X～(k)］(n=0，1，…，N-1）

(330)


(331)


称式（330）为离散傅里叶级数正
（Discrete Fourier Series，DFS）变换，式（331）为离散傅里叶级数逆
（Inverse Discrete Fourier Series,IDFS）
变换。离散傅里叶级数描述了离散周期序列的时频域关系，简化表述为
x～（n）
X～（k）。通常将x～（n）的谱序列
X～（k）称为x～（n）
的离散傅里叶级数系数。至此研究了周期信号的频谱分析方法，无论是连续周期信号还是离散周期信号都可以用傅里叶级数来分析其频谱特性，它们的频谱的共同特点是离散性。
3.6.2离散傅里叶级数的性质
为方便起见，先假设两个离散周期序列
x～1（n）
和x～2（n）
的周期均为N
，且X～1（k）=
DFS［x～1（n）］
，
X～2（k）=
DFS［x～2（n）］
，在即将讲述的各性质中，直接引用。

1. 线性
若x～3(n)=a
x～1(n)+b
x～2(n)
，则


X～3(k)=
DFS
［x～3(n)］=
aX～1(k)+
bX～2(k)


式中，a、b
为任意常数，线性特性可根据DFS的定义证明。
由于是线性组合，所以x～3(n)
的周期长度不变，仍为
N
，X～3(k)
也是周期为N
的离散周期序列。
2. 移位
1) 时域移位
周期序列
x～(n)
，周期为N
,将其沿横坐标平移m
(m
为整数)位后，得x～(n+m)
，则


DFS［x～(n+m)］=
W-mkN
X～(k)


证明


DFS［x～(n+m)］=
∑N-1n=0
x～(n+m)WnkN(令i=n+m)

=∑N-1+mi=mx～(i)WikNW-mkN

=W-mkN
∑N-1+mi=mx～(i)WikN



由于x～(i)
及WkNN
都是以N为周期的周期函数，因此对i
求和时，下限从m
至上限N-1+m
与0至N-1
是相同的。因此


∑N-1+mi=mx～(i)WkiN=
∑N-1i=0x～(i)WkiN=
X～(k)


所以


DFS［x～(n+m)］=
W-mkN
X～(k)


注意： 大于周期的任何移位
（m≥N)
与小于周期的移位在时域上不能区分。
2) 频域移位
当将X～(k)沿横轴平移l
(l
为整数)时，得X～(k+l)
，则


IDFS［X～(k+l)］=
WnlN
x～(n)


可用与上面类似的方法证明该性质。需要说明的是，序列在一个域内移位，在另一个域内就会增加一个相位。
3. 周期卷积定理
1) 时域周期卷积定理


DFS［x～1(n)*
x～2(n)］= 
X～1（k）
X～2（k）


证明设
X～1（k）X～2（k）=
X～3（k）
，且
X～3（k）
的IDFS为
x～3（n），则


x～3（n）=IDFS{X～3（k）}=
IDFS{X～1（k）X～2（k）}

=1N∑N-1k=0
X～1(k)X～2(k)W-nkN


代入
X～1(k)=∑N-1m=0
x～1(m)WmkN
,则


x～3（n）=1N∑N-1k=0
∑N-1m=0
x～1(m)X～2(k)W-(n-m)kN

=∑N-1m=0
x～1(m)x～2(n-m)

= x～1(n)*x～2(n)


2) 频域周期卷积定理
若x～3(n)=x～1(n)x～2(n)
，则DFS［x～3(n)］=
1N
［
X～1(k)*
X～2(k)］
，即


DFS［x～3(n)］=
1N
∑N-1l=0
X～1(l)X～2(k-l)

=1N
∑N-1l=0
X～2(l)X～1(k-l)


频域周期卷积定理的证明与时域周期卷积定理的证明类似，这里不再赘述。
3.7离散时间信号频谱的离散化和非周期化——
离散傅里叶变换


如前面所述，非周期离散信号的频谱是连续的周期谱，不利于用数字信号处理系统进行处理，需要对其频谱进行离散化，得到周期的离散序列。频域离散化带来了时域信号的周期化，此时时域及频域信号都为离散的周期信号，即前面讲述的离散傅里叶级数变换。这种时域及频域序列都是离散的序列。由于其周期特性，同样不便于数字化处理，但是可以利用其周期性分别取出时域及频域周期序列的一个周期进行分析和处理，并将分析和处理结果应用于其他周期，这一过程被称为非周期化处理，也就是本节要讲的离散傅里叶变换的思想。
3.7.1离散傅里叶变换
设x～（n）
是周期为N
的周期序列，称x～（n）
从0开始的第一个周期内的序列为x～（n）
的主值序列，对应的区间n∈［0,N-1］
称为主值区间。利用矩形窗RN(n)
与周期序列相乘，就可以表示主值序列，即


x(n)= x～(n)
RN(n)


这样就可以将x～(n)看作主值序列以N为周期的周期延拓。
同理，也可以将x～(n)
的谱序列X～(k)
看作是长度为N
的有限长序列X（k）
的周期延拓，称序列X（k）
为周期序列X～(k)
的主值序列，对应的主值区间为k∈［0,N-1］
，即


X～(k)=∑+∞r=-∞X(k+rN)

X(k)= X～(k)RN(k)



在定义了主值序列和主值区间之后，现在给出有限长序列离散傅里叶变换的定义，设
x～(n)
周期为N
，其离散傅里叶级数为
X～(k)
，分别取x～(n)
和X～(k)
的主值序列，并构成一个变换对，即



X(k)=
DFT［x(n)］=∑N-1n=0x(n)WknN(0≤k≤N-1）

x(n)=IDFT［X(k)］=
1N∑N-1k=0X(k)
W-knN(0≤n≤N-1）

(332)


(333)


称以上两式为主值序列x(n)

的离散傅里叶变换对，其中式(332)为离散傅里叶正变换
(Discrete Fourier Transform，DFT)，式(333)为离散傅里叶逆变换(
Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT)。需要说明的是，DFS是按傅里叶分析严格定义的，而DFT的定义则是一种“借用”的形式。它在时域和频域都可实现对信号的离散化、非周期化，因此也可以将DFT看作对非周期连续时间信号及其频谱的抽样。虽然离散傅里叶变换描述的是DFS对应的主值序列，但实际应用中，可以将其应用于非周期序列的时域和频域离散化分析，此时可将其理解为某一周期序列的主值序列即可，因此离散傅里叶变换在时域和频域都隐含着周期性，且正逆变换的范围是相同的。 

需要说明的是，离散傅里叶逆变换形式与正变换不同之处在于WN
因子为负指数，具有一比例系数1N
，因此离散傅里叶逆变换还可以写为


x(n)=1N

∑N-1k=0
X*(k)
WnkN
*(0≤n≤N-1)


这种逆变换形式在运算上与正变换一样，因此在实现时，只要编一个程序就可以既用来计算离散傅里叶变换，又用来计算它的逆变换。
例315求矩形脉冲序列x(n)=RN(n)
的DFT。
解由定义写出


X(k)=∑N-1n=0RN(n)
WnkN=
∑N-1n=0
e-j2πNkn

=
N，e-j2πNk=1


1-ej2πNkN

1-ej2πNk
=0，e-j2πNk≠1



当k=0
时，对应
e-j2πNk=1
，因此X(0)=N
。当k=1，2，…，N-1
时，则有
e-j2πNk≠1
，然而，

e-j2πNk
N=
e-j2πk=1
，故对应非零的k
值，X(k)全部等于零，如图345所示。


图345时域序列x(n)
及其对应的DFT X(k)



此结果表明，矩形脉冲序列的DFT仅在k=0
样点处的取样值为N
，在其余(N-1)
个样点的取样值都是零，即抽样点正好落在正弦抽样信号(矩形信号的频谱是正弦抽样信号)的过零点处，因此可以写作


X(k)=Nδ(k)(k=0，1，…，（N-1）)


不难想到，将RN（n）
周期延拓(周期等于N
)成为无始无终幅度恒为单位值的序列，取离散傅里叶级数即
∑+∞m=0Nδ(k-mN)。
3.7.2离散傅里叶变换的性质
作为一种数学变换，离散傅里叶变换也有许多性质，本节给出离散傅里叶变换的一些基本性质，这些性质大都可由定义直接证明，下面只给出结论，其证明过程由读者自行完成。假定x1(n)、
x2(n)
和x(n)都是列长为N
的有限长序列，它们的离散傅里叶变换分别为
X1(k)、X2(k)和X(k)。
1. 线性
设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，
且X3（k）=DFT［x3（n）］
，则


X3(k)=aX1(k)+
bX2(k)


式中，a、b为任意常数。
注意： 如果x1(n)
列长为N1，x2(n)
列长为N2
，则x3(n)
的列长为N3=max［N1,N2］
。因而，离散傅里叶变换X3(k)
必须按N=N3
计算。
2. 对称定理


DFT［X(n)］=Nx(-k)

=Nx(N-k)



该性质说明，X（n）
的对应频谱序列是原来的时间序列x(n)
在时间上的倒置。需要说明的是，由于离散傅里叶变换隐含着周期性，其周期可理解为x(n)
的长度N
，离散傅里叶变换通常用时域和频域的主值序列描述时频域对应关系，故将
x(-k)
表示为x(N-k)
，即用从0开始的主值序列代替x(-k)。
3. 反转定理


DFT［x(-n)］=X(-k)=X(N-k)


该性质说明，序列在时域沿纵轴翻转，对应的频域序列也同样翻转。
4. 初值定理


x(0)=1N
∑N-1k=0X(k)


该性质说明，序列x(n)
的初值x(0)
是频域序列的平均值。若知道序列在频域的特性，可直接得到其初值，而不需要计算IDFT序列。同样，也可以由时域序列得到序列在频域内的初值，而这个初值实际上就是序列的直流分量，即


X(0)=
∑N-1n=0x(n)


5. 延长序列的离散傅里叶变换
1) 后补零情况
现将序列x(n)
末尾补零至rN
点，记为g(n)
，即


g(n)=
x(n)，0≤n≤N-1


0，N≤n≤rN-1



则g(n)
的离散傅里叶变换为


G(k)=DFT［g(n)］=X
kr（k=0,1,…,rN-1）


该性质说明，g(n)
的频谱G(k)
与x(n)
的频谱X(k)
是相对应的，但其频谱序列是将原序列的频谱取样间隔减少r
倍，即增加了一个周期内的原信号频谱的抽样点数，得到的频谱更加细致，分布更清晰。
注意： 序列补零后的频谱分布形状与补零前一样，不会改变。
如连续信号x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t+90°）+sin(2πf3t)，
f1=2.67Hz，
f2=3.75Hz，
f3=6.75Hz，
取样频率
fs=20Hz，取样点数N=16，该信号抽样后的时域波形及其16点幅度谱如图346和表33所示，对抽样信号末尾补零至长度N1
，其中N1
分别为原序列长度N
的2倍、7倍和29倍时，对应的时域波形及幅度谱如图347~图349所示。


图346抽样后的N=16点的时域波形幅度谱



表33序列x(n)的幅度谱



k12345678

频率点/Hz,
（k-1）fs/1601.252.53.755.06.257.58.75
幅度值|X（k）|0.2260.73757.76377.78830.61394.99055.11462.6982

k910111213141516

频率点/Hz,
（k-1）fs/161011.2512.513.751516.2517.518.75
幅度值|X（k）|2.36272.69825.11464.99050.61397.78837.76370.7375



图347抽样后的N1=32点的时域波形及幅度谱





图348抽样后的N1=128点的时域波形及幅度谱




图349抽样后的N1=464点的时域波形及幅度谱



通过对序列末尾补零，可以将原序列的频谱分布看得更清晰，序列中的主要频率分量也不容易漏掉，当然由于补零使原序列加长，点数增多，计算量会增大。
2) 序列前补零
将序列x(n)右移(r-1)N点，并在［0，（r-1）N-1］
内补上零值，形成rN
点序列g(n)，即


g(n)=
0，0≤n≤(r-1)N-1


x(n)，(r-1)N≤n≤rN-1



则


G(k)=DFT［g(n)］=
W（r-1）krX
kr(k=0，1，…，rN-1)


证明因为


G（k）=∑rN-1n=0g(n)WknrN

=∑(r-1)N-1n=00·WknrN+
∑rN-1n=(r-1)Nx(n)WknrN


令n-(r-1)N=m，所以


G(k)=
∑N-1m=0x［m+(r-1)N］
Wk［m+(r-1)N］rN=
W（r-1）krX
kr



该性质说明，若在序列x(n)
前面填充零值，使序列加长，相当于对时域信号进行了延迟移位，则加长后的时域序列的频谱抽样间隔减少r
倍，原频谱所对应的一个周期内增加了抽样点数，得到的频谱更加细致，同时离散谱对应的每一个谱线都附加一个相位移因子。
图350给出了N=16
的离散序列及其频谱。若对其进行前补零加长至32点，加长后的离散序列及其对应的频谱如图351所示，可以看出，前补零
加长至原序列长度2倍后的序列的离散谱抽样间隔减少至原来的
12，同时离散谱对应的每一个谱线都附加一个相位移因子。



图350时域抽样序列及离散序列频谱(N=16)





图351前补零后的时域抽样序列及离散序列频谱(N=32)



3) 重复原序列本身
对序列x(n)
本身重复r
个周期，形成长度为rN
的序列，即


g(n)=x((n))N(0≤n≤rN-1)


此时


G(k)=DFT［g(n)］=
rXkr，k能被r整除

0，其他



证明


G（k）=∑rN-1n=0g(n)e-j2πnkrN


=∑N-1n=0x(n)e-j2πnkrN+

∑2N-1n=Nx(n-N)e-j2π(n+N)krN+…+
∑rN-1n=(r-1)Nx(n+(r-1)N)
e-j2π(n+(r-1)N)krN

=∑N-1n=0x(n)
∑r-1l=0
e-j2π(n+lN)krN

=∑N-1n=0
x(n)
e-j2πnkrN
∑r-1l=0
e-j2πlNkrN



因为


∑r-1l=0e-j2πlNkrN=
∑r-1l=0e-j2πlkr



所以


∑r-1l=0
e-j2πkrl=
1-e-j2πk

1-e-j2πkr


=
r，k能被r整除


0，其他



可以得出


G（k）=

rXkr，k能被r整除

0，其他



该性质说明，若将长度为N
的序列x(n)
重复原序列本身而人为加长至长度为rN
，其频谱在kr
为整数的位置处的值与原X(k)
值对应，幅度放大r
倍，在其他点处的值为零。例如， 16点序列x(n)
及其频谱X(k)如图352所示，若重复原序列本身将其人为加长至长度为
2N
，即r=2
，加长后的时域信号及其频谱如图353所示，其幅度谱在原序列幅度谱中两个相邻谱线之间插入
1个零值，原谱线幅值放大2倍。若重复原序列本身将其人为加长至长度为4N，r=4

，加长后的时域信号及其频谱如图354所示。加长后的序列还保持原有的谱线，但每根谱线的幅值放大4倍，且其
位置是在k4
为整数时的点上，即每相邻两个谱线之间插入3个零值。



图352时域序列x(n)及其幅度频谱|X（k）|（N=16）




图353延长序列及其幅度频谱|X（k）|
(N=32)





图354延长序列及其幅度频谱|X（k）|
(N=64)


由此可得出以下结论： 如果在时域内对序列x(n)
重复r倍，则其频谱是将原频谱序列谱线之间内插(r-1)个零值，且原谱线幅值放大r倍。利用DFT对称特性，如果频谱序列
X(k)在频域内重复r倍，则对应时域序列每相邻点之间有(r-1)个零插值。
6. 序列的圆周移位(循环移位)
1) 时移定理
若DFT［x(n)］=X(k)，则


DFT［x((n+m)）NRN(n)］=
W-kmNX(k)


上述特性表明，序列在时域上圆周移位，频域上每根谱线产生附加相移。实际上就是离散傅里叶级数时移定理再取主值序列。
2) 频移定理
若DFT［x(n)］=X(k)
，则


DFT［WnlNx(n)］=X((k+l)）N
RN（k）



上述特性表明，若序列在时域上乘以复指数WnlN
，则在频域上X(k)
将圆周移位l
位，这可以看作调制信号的频谱搬移，因此也称为调制定理。由此还可以得出以下两个结论


DFT
x(n)sin2πNnl=12j［X((k-l))N-X((k+l))N］RN
(n)

DFT
x(n)cos2πNnl=12［X((k-l))N+X((k+l))N］RN
(n)




上述特性表明，频域序列在频域内移位，时域序列在时域内进行了调制。

注意： 这里讲的DFT移位性质，特别强调的是“圆周移位”，这是因为DFT本身隐含着周期性，因此对于移位过程也隐含着“周期序列的移位”再取主值序列，因而是圆周移位。

7. 圆周卷积定理
1) 时域圆周卷积定理


DFT［x1(n)○Nx2(n)］=X1(k）X2(k）


证明因为X1(k）、X2(k）
隐含着周期性，存在周期序列
X～3(k）=
X～1(k）
X～2(k）
，则根据周期卷积定理有


x～3(n)=IDFS［X～3(k)］= 
x～1(n)*
x～2(n)=
∑N-1m=0
x～1(m)
x～2(n-m)

=∑N-1m=0x1((m))Nx2((n-m))N


取其主值序列


x3(n)= 
x～3(n)RN(n)=

∑N-1m=0
x1(m)x2((n-m))N
RN(n)=x1(n)
○Nx2(n)


所以


DFT［
x1(n)○Nx2(n)
］=X1(k)X2(k)



时域圆周卷积定理说明，两个序列的圆周卷积的离散傅里叶变换等于两序列离散傅里叶变换的乘积。
2) 频域圆周卷积定理
若序列x3(n)=x1(n)x2(n)
，则


X3(k)=
DFT［x3(n)］=
1N
X1(k)○NX2(k)


该性质的证明方法与时域卷积定理证明类似，此处不再赘述。

8. 离散相关定理
圆周相关定理
若x3(n)
为x1(n)、x2(n)
的圆周相关，x3(n)=
∑N-1l=0x1(l)x2((n+l))NRN(n)
，则x3(n)
的离散傅里叶变换为X*1(k)X2（k）
，即


DFT
∑N-1l=0x1(l)x2((n+l))NRN(n)
=
X*1(k)X2（k）


证明由于
X1(k)X2（k）
隐含周期性，可令
X～3(k)=
X～*1（k）·
X～2（k）
则


x～3（n）=
1N
∑N-1k=0
X～*1(k)
X～2(k)W-knN


将X～*1(k)=

∑N-1k=0
x～1(l)
WklN
*
代入上式得


x～3(n)=
1N
∑N-1k=0
∑N-1l=0
x～*1(l)
X～2(k)W-（n+l)kN

=∑N-1l=0
x～*1(l)
1N
∑N-1k=0
X～2(k)W-(n+l)kN

=∑N-1l=0
x～*1(l)
x～2(l+n)

=∑N-1l=0
x*1(l)
x2((l+n))N


因而


x～3(n)RN(n)=

∑N-1l=0
x*1(l)
x2((l+n))N
RN(n)


当x1(n)为实序列时


x～3(n)RN(n)=

∑N-1l=0
x1(l)
x2((l+n))N
RN(n)


9. 帕斯瓦尔定理


∑N-1n=0
|x(n)|2=
1N
∑N-1k=0
|X(k)|2


证明圆周相关定理中，令
x2(l)=x1(l)=x(l)，则


∑N-1l=0
x*(l)x((l+n)）NRN(l)n=0
=1N
∑N-1k=0
X*(k)X(k)
W-knNn=0


即


∑N-1l=0|x(l)|2=
1N
∑N-1k=0|X(k)|2


令l=n，可得


∑N-1l=0|x(n)|2=
1N
∑N-1k=0|X(k)|2


当x(n)
为实序列时，可以写为


∑N-1n=0x2(n)=
1N
∑N-1k=0|X(k)|2


上式左侧代表离散信号在时域中的能量，右端代表在频域中的能量，表明变换过程中能量是守恒的。
10. 离散傅里叶变换的奇偶性和对称性
1) 离散傅里叶变换的奇偶性
(1) 若有限长序列x(n)
满足奇对称特性，即x(n)=-x(-n)=-x(N-n)
，则其离散傅里叶变换也具有奇对称特性，即


DFT［x(n)］=X(k)=-X(-k)=-
X(N-k)


式中，N为序列长度。
证明若有限长序列x(n)
奇对称，则其离散傅里叶变换X(k)可写为


X(k)=
∑N-1n=0
x(n)
WknN=
∑N-1n=0［-x(-n)］W(-k)(-n)N=-X(-k)

X(k)=
∑N-1n=0
x(n)
WknN=
∑N-1n=0［-x(N-n)］W(N-k)(N-n)N=-X(N-k)



因而，X(k)具有奇对称特性。
（2） 若有限长序列x(n)
满足偶对称特性，即x(n)=x(-n)=x(N-n)
，则其离散傅里叶变换也具有偶对称特性，即


DFT［x(n)］=X(k)=X(-k)=X(N-k)


证明若有限长序列x(n)
偶对称，则其离散傅里叶变换X(k)
可写为


X(k)=
∑N-1n=0
x(n)
WknN=
∑N-1n=0［x(-n)］W(-k)(-n)N=X(-k)

X(k)=
∑N-1n=0
x(n)
WknN=
∑N-1n=0［x(N-n)］W(N-k)(N-n)N=X(N-k)



因而，X(k)具有偶对称特性。
2) 共轭复序列的离散傅里叶变换
若x(n)
为复序列，其共轭序列为x*(n)
，则


DFT［x*(n)］=X*(N-k)
(334)


证明


DFT［x*(n)］=
∑N-1n=0x*(n)WknN=
∑N-1n=0［x(n)W-knN］*

=∑N-1n=0［x(n)W（N-k）nN］*

=X*(N-k)


注意： 
k=0时，X*(N-k)=X*(N)
，而X(k)
在主值区间0≤k≤N-1
内取值，所以X(N)
已超出了主值区间，因而式(334)的严格定义应该是


DFT［x*(n)］=X*((N-k))N


式中，X((k))N表示括号内数值按模N取余。

3) 复序列的离散傅里叶变换
若有限长序列x(n)
是复序列，即x(n)=xr(n)+jxi(n)，则


DFT［xr(n)］=12DFT［x(n)+x*(n)］=
12［X(k)+X*(N-k)］=Xep(k)

DFT［jxi(n)］=12DFT［x(n)-x*(n)］=
12［X(k)-X*(N-k)］=Xop(k)


式中，Xep(k)
称为共轭对称序列，满足Xep(k)=
X*ep(N-k)
； Xop(k)
称为共轭反对称序列，满足
Xop(k)=-
X*op(N-k)。
当Xep(k)、
Xop(k)
为实序列时，Xep(k)
即为偶序列，Xop(k)
即为奇序列。

此性质可由离散序列的共轭复序列的离散傅里叶变换结论证明，这里不再赘述。

3.7.3离散傅里叶变换在实际应用中需注意的问题——
混叠、泄漏与栅栏效应

通过前面几节学习可知，离散傅里叶变换可用于时域和频域连续信号的离散化分析和数字化处理。这种离散化处理可以理解为是对非周期连续时间信号在时域和频域内的抽样。同时，离散傅里叶变换对又是通过对离散傅里叶级数变换对加窗截取主值序列而得的。因此取样及加窗截断过程都会使原信号的频谱发生变化，如出现频谱混叠、泄漏和栅栏效应等问题。
1. 混叠问题

信号在时域或频域被抽样都会在另一个域内产生周期延拓。通常情况下，被抽样信号不能严格满足抽样定理，就会发生混叠现象。这是在实际应用DFT时遇到的一个问题。下面着重讨论应用DFT时，为避免时域或频域混叠所必需的一些重要参数关系。

对于时域取样，设连续时间信号在取样前经前置滤波后，截止频率为fh
，为避免频谱混叠，要求抽样频率fs
满足


fs≥2fh(335)


抽样周期Ts必须满足


Ts=1fs≤
12fh
(336)


对于频域抽样，一个频谱周期fs
内抽样点数为N
，则频率抽样间隔为


F=fsN=
1NTs≥
2fhN
(337)


式中，F称为信号频率分辨率，F值越小，频率分辨率越高，反之则越低。
频域抽样后，对应的时域序列将做周期延拓，周期为N
，以时间单位表示为NTs
，即为周期序列的有效周期称其为最小记录长度，用tp
表示，即


tp=NTs=
1F
(338)


可见，tp
与F
呈反比关系。

由式(337)和式(338)可以看出，F、N、fh(Ts）
之间相互影响，由式(337)可知，如果频域抽样点数N
不变，若fh
增加，为满足抽样定理，fs
必须增加，导致F
增大，降低了频率分辨率，且此时tp
减小。相反，在抽样点数N
一定的情况下，要提高分辨率就必须要增加tp
，必然导致Ts
增加，因而需要减小信号的最高频率fh
。

同理，在信号的最高频率fh
与频率分辨率F
两个参数中，保持其中一个不变而增加另一个的唯一办法，就是增加在一记录长度内的点数N
。如果fh
与F
都已给定，则N
必须满足


N=
fsF≥2fhF


这是为实现基本的DFT算法所必须满足的最低条件。
例316一个估算实数信号频谱的处理器，抽样点数必须是2的整数次方，假设对数据未作任何的修正，规定的指标是： 信号频率分辨率F≤0.5Hz； 
信号的最高频率fh≤250Hz。
求下列参数： ①最小记录长度； ②抽样点间的最大时间； ③在最小记录长度中的最少点数，要求点数是2的整数幂。

① 根据要求的分辨率确定最小记录长度。


tp=
1F=
10.5=2s


记录长度必须满足


tp≥2s


② 从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔。


Ts≤
12fh=
12×250Hz=2×10-3s


③ 记录中的最少点数为


N≥2fhF=
2×2500.5=1000(点)


因此该处理器的一个适当的点数选为N=210=1024。
2. 栅栏效应
因为用DFT计算频谱得到的频域序列X（k）
并不是序列x(n)
真实频谱的全部，只是对x(n)
频谱X(ejω)
在一个周期内的离散抽样值，就好像将
X(ejω)
通过一个“栅栏”来观看一样，只能在栅栏之间的缝隙看到
X(ejω)
，这样被栅栏挡住的部分就看不到了。也就是说，X(k)
中有可能会漏掉X(ejω)
中的重要信息，这种现象称为“栅栏效应”。
减少栅栏效应的一个方法可利用延长序列的DFT性质，即在时间序列末端增加一些零值点来增加一个周期内频谱的抽样点数，从而在保持原有频谱连续性不变的情况下，变更了频谱抽样点的位置。这样，原来看不到的频谱分量就能移动到可见的位置上。
3. 频谱泄漏

由于DFT是对时域和频域内的周期序列加窗截断，取主值序列得到的，因此时域内加窗截断后，频谱内是加窗信号与原信号频谱的卷积，导致加窗后信号频域相对原信号频谱产生扩展，称为频谱泄漏。假定
x(n)=cosω0n
，用长度为L的矩形窗对其进行截断，即


x-(n)=x(n)w(n)


式中


w(n)=

1，0≤n≤L-1

0，其他



则有限长序列
x-(n)的傅里叶变换为


(ω)=12
［W(ω-ω0)+W
(ω+ω0)
］


式中，W(ω)
为窗函数的傅里叶变换。对于矩形窗来讲，可表示为


W(ω)=sinL2ωsin12ωe-jN-12ω


利用DFT计算(ω)
，通过对时域序列末端补零使其长度为N，可以计算截断序列x-(n)
的N点DFT，图355给出了ω0=0.2π、
L=25、N=2048
时的幅度谱。可以注意到，加窗截断后的信号的频谱并没有定位到单个频率，而是扩展到整个频率范围，原无限长信号集中在单个频率上的能量由于加窗扩展到整个频率范围，即能量已经泄漏到整个频率范围。这种加窗信号的特征即为频谱泄漏。


图355信号截断时产生的频谱泄漏现象


应该指出，由于泄漏将导致频谱的扩展，使信号频谱的最高频率增加，造成混叠，所以泄漏和混叠不能完全分开。

用DFT分析信号频谱的前提是信号必须是有限长序列，对于无限长序列首先要加窗处理，因此必然会产生频谱泄漏。另外，实际中在处理长序列信号时，通常也要用加窗截断的方法分段处理，这时同样会产生频谱泄漏。为减少泄漏，需要根据实际情况选择合适的窗函数，比如相同宽度的窗函数下选副瓣小的窗等。由前面3.5.3节可知，不同主瓣宽度与副瓣幅度大小之间是矛盾的，实际选择窗时应折中考虑。
3.8离散傅里叶变换的快速算法——快速傅里叶变换
3.8.1引言

DFT是信号和系统频域分析的重要工具，但是DFT的计算量与序列长度N
有关，N
越大，计算量越大，例如直接计算一个N
点序列x(n)
的离散傅里叶变换X(k)
，根据计算公式


X(k)=∑N-1n=0x(n)WknN=x(0)W0N+x(1)WkN+…+

x(N-1)W(N-1)kN
(k=0,1,…,N-1)


可知，计算一个X(k)
值需要N
次复数相乘和N-1
次复数相加。对于N
个X(k)
值，应重复N
次上述运算。因此，要完成全部DFT运算共需要N2
次复数乘法和N(N-1)
次复数加法，随着N值的增大，运算量将迅速增长，且与N2
成正比。例如N=8
需要64次复数乘法，当N=210=1024
时，就需要N2=1048576,
即一百多万次复数相乘运算。按照这种规律，如果在N
较大的情况下，将每个复数运算转化为实数运算，运算量会更大，很难满足对信号的实时处理。所以早期的DFT并没有得到真正的运用。直到1963年，美国科学家J.W.Cookey(库利)和J.W.Tukey(图基)提出了计算DFT的快速算法，后来G.Sunde(桑德)和J.W.Tukey的快速算法也相继出现，经过学者对算法的改进、发展和完善，开发了一系列高速有效的运算方法，DFT的计算得以大大简化，运算时间一般可缩短一两个数量级，进而使DFT在实际中得到了广泛的应用。与此同时，
20世纪60年代中期，大规模集成电路的发展也促成了这个算法的实现。目前，已有多种FFT信号处理器，成为数字信号处理强有力的工具。

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)算法形式很多，但最基本的方法有两大类，即按时间抽取(DecimationInTime,DIT)法和按频率抽取(DecimationInFrequency,DIF)法，其基本思想是将长序列截断形成短序列，通过计算短序列的DFT来得到原长序列的DFT，从而达到减小运算量的目的。
3.8.2按时间抽取的快速傅里叶变换算法DITFFT(库利图基法)
1. 算法原理
设序列x(n)
(n=0，1，…，N-1)
，长度N=2r，其中r
为整数。如果N
不满足2的整数幂要求，可以在序列末尾补上最少的零值点来达到。
由定义得x(n)的DFT为


X(k)=DFT［x(n)］=∑N-1n=0x(n)WknN(k=0,1,…,N-1)


n按奇偶取值将x(n)分为两个子序列



x1(r)=x(2r)r=0,1,…,N2-1

x2(r)=x(2r+1)r=0,1,…,N2-1



则


X(k)=∑N-1n=0x(n)WknN

=∑n为奇数x(n)WknN+∑n为偶数x(n)WknN

=∑N2-1r=0x(2r)W2rkN+∑N2-1r=0x(2r+1)W(2r+1)kN

=∑N2-1r=0x1(r)(W2N)rk+WkN∑N2-1r=0x2(r)(W2N)rk


由于


W2N=e-j2πN*2=e-j2π/N2=WN2


则


X(k)=∑N2-1r=0x1(r)WrkN2+WkN∑N2-1r=0x2(r)WrkN2

=X1(k)+WkNX2(k)
(339)

其中



X1(k)=∑N2-1r=0x1(r)WrkN2=∑N2-1r=0x(2r)WrkN2
k=0,1,…,N2-1

X2(k)=∑N2-1r=0x2(r)WrkN2=∑N2-1r=0x(2r+1)WrkN2
k=0,1,…,N2-1



式中，X1(k)
和X2(k)
分别为x1(r)
和x2(r)
的N2
点DFT，因此
式(339)实际上是计算了X(k)
的前N2
个值，即
X(0),X(1),…,XN2-1，而X(k)共有N个点，其后N2个点的值，可将k=k+N2代入式(339)计算来得到


Xk+N2=X1k+N2+Wk+N2NX2k+N2


其中


X1k+N2=∑N2-1r=0x1(r)Wrk+N2N2

=∑N2-1r=0x1(r)WrkN2

=X1(k)


同理


X2k+N2=X2(k)


这样可得X(k)的后N2个点的值为


Xk+N2=X1(k)+Wk+N2NX2(k)

=X1(k)-WkNX2(k)k=0,1,…,N2-1
(340)


式(339)和式(340)的运算可用图356的信号流图表示。图中左面两路为输入，中间以一个小圆表示加或减运算，右上路为相加输出，右下路为相减输出。如果在某一支路上信号需要进行相乘运算，则在该支路上标以箭头，将相乘的系数标在箭头旁边。当支路上没有标出箭头及系数时，则该支路的系数为1。由于此结构图形状像蝴蝶，所以称为蝶形图。

图356蝶形运算流图符号



由图356可以看出，一个蝶形运算需要一次复数乘法及两次复数加(减)法。据此，一个N
点的DFT分解为两个N/2
点的DFT，则各需(N/2)2
次复乘和［N/2(N/2-1)］
次复加，两个N/2
点DFT则需要2×(N/2)2=N2/2
次复乘和［2×(N/2)］(N/2-1)=N(N/2-1)
次复加。将两个N/2
点的DFT合成为N
点的DFT时，需要再进行N/2
个蝶形运算，即还需要N/2
次复乘和N/2×2=N
次复加运算。因此通过这样分解后，计算全部X(k)
共需要(N2/2+N/2)
次复乘和N(N/2-1)+N=N2/2
次复加。前已指出，直接计算N
点DFT需要N2
次复乘和N(N-1)
次复加，由此可见，仅仅做了一次分解，即可使计算量节省了近一半。
看一个具体例子，设序列x(n)
的点数N=8
，按偶数点和奇数点进行一次分解后成为


x1(r)=x(2r)



x1(0)=x(0)

x1(1)=x(2)

x1(2)=x(4)

x1(3)=x(6)

x2(r)=x(2r+1)



x2(0)=x(1)

x2(1)=x(3)

x2(2)=x(5)

x2(3)=x(7)



分别计算x1(n)、x2(n)的N/2=4点的DFT，得X1(k)和X2(k)，即



X1(k)=∑3r=0x1(r)Wrk4=∑3r=0x(2r)Wrk4

X2(k)=∑3r=0x2(r)Wrk4=∑3r=0x(2r+1)Wrk4
（k=0,1,2,3）


则



X(k)=X1(k)+WkNX2(k)


X(k+4)=X1(k)-WkNX2(k)（k=0,1,2,3）



此时对应的蝶形图如图357所示。


图357按时间抽取将一个N
点DFT分解为两个N/2
点DFT(N=8）


由于N=2r
，当r>1
时，N/2
仍然是偶数，所以可以进一步把每个N/2
点子序列再按奇偶分解为两个N/4
点子序列，分别计算两个N/4
点子序列的DFT，再合成两个N/2
点DFT，最后合成一个N
点DFT。继续上面的例子，不直接计算N/2
点DFT，而是进一步把每个N/2
点子序列按其奇偶部分分解为两个N/4
点子序列，此时可将x1(r)
按r的奇偶取值分解为


x1(r)的偶数序列x1(r)的奇数序列

x3(l)=x1(2l)(l=0,1)x4(l)=x1(2l+1)(l=0,1)

x3(0)=x1(0)=x(0)

x3(1)=x1(2)=x(4)
x4(0)=x1(1)=x(2)

x4(1)=x1(3)=x(6)


与第一次分解相同，将序列x1(r)
按奇偶进行第二次分解后，进行两个2
点序列的DFT可得



X3(k)=∑N4-1l=0x3(l)WlkN/4=∑N4-1l=0x1(2l)W2lkN/4

X4(k)=∑N4-1l=0x4(l)WlkN/4=∑N4-1l=0x1(2l+1)W(2l+1)kN/4(k=0,1)
(341)


可由上述两个2
点的DFT合成一个4点DFT X1(k)
，即



X1(k)=X3(k)+WkN/2X4(k)


X1(k+2)=X3(k)-WkN/2X4(k)(k=0,1)


将x2(r)
进行同样的分解， 可得



x2(r)的偶数序列

x5(l)=x2(2l)（l=0,1）

x5(0)=x2(0)=x(1)

x5(1)=x2(2)=x(5)
x2(r)的奇数序列

x6(l)=x2(2l+1)（l=0,1）

x6(0)=x2(1)=x(3)

x6(1)=x2(3)=x(7)


进行离散傅里叶变换，得到



X5(k)=∑N4-1l=0x2(2l)WlkN/4=∑N4-1l=0x5(l)WlkN/4

X6(k)=∑N4-1l=0x2(2l+1)WlkN/4=∑N4-1l=0x6(l)WlkN/4（k=0,1）
(342)


由X5(k)、X6(k)进行蝶形运算，即




X2 (k)=X5 (k)+WkN/2X6(k)


X2 (2+k)=X5 (k)-WkN/2X6(k)



此时对应的蝶形图如图358所示。


图358按时间抽取将一个N
点DFT分解为4个
N4
点DFT(N=8)


根据前面的分析可知，利用四个
2
点DFT及两次组合来计算8
点DFT，比仅用一次分解组合方式时的计算量又减少了约一半。

对于N=8
点的DFT，经过两次分解后，最后剩下的是四个2点的DFT，即
X3(k)、X4(k)、X5(k)、X6(k)
,利用式(341)和式(342)可分别将它们计算出来。例如利用式(341)可得



X3(0)=x(0)+W02x(4)=x(0)+W0Nx(4)


X3(1)=x(0)+W12x(4)=x(0)-W0Nx(4)




X4(k)、X5(k)、X6(k)可类似求出。对每个2点的DFT，同样可进一步分解成两个1点的序列，分别计算每个1点序列的DFT，再合成2点DFT，而一个1点DFT即是序列本身的值。这样，一个按时间抽取运算的完整的8点DFT流图如图359所示。


图359N=8的按时间抽取法FFT运算流图


由上面分析可知，由于每一步分解都是每级输入序列按时间序号是属于偶数还是奇数进行分解的，所以称为
按时间抽取的FFT算法。由于此方法要求序列长度是2的整数次幂，即N=2r，故称为基2 FFT算法。
2. 按时间抽取的FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
由按时间抽取的FFT运算流图可见，一个N=2r
点序列的FFT共需经过r=log2N
级分解运算，当N=8
时，需逐级分解形成三级运算，每一级都由N/2
个蝶形运算完成，每一个蝶形需要1次复乘和2次复加运算，这样完成一个N
点的FFT共需要
复乘次数为


mF=N2r=N2log2N


复加次数为


aF=Nr=Nlog2N



由此可见，按时间抽取的FFT算法所需的复乘数和复加数与
Nlog2N
成正比，而直接计算DFT所需的复乘数和复加数则与
N2
成正比(复乘mF=N2
，复加数aF=N(N-1)≈N2
)。表34列出了不同N
值时的FFT算法与直接计算DFT的运算量的比较。


表34DITFFT算法与直接算法的比较




NN2N/2log2N(复乘次数)
N2/((N/2)log2N)

2414.0
41644.0
864125.4
16256328.0
3210248012.8
64409619221.4
1281638444836.6
25665536102464
5122621442304113.8
102410485765120204.8
2048419430411264372.4

可以看出，当
N
较大时，按时间抽取法将比直接法快一两个数量级之多。例如N=2048时，如果直接运算需近三
小时(计算机型号为联想启天M690E，CPU型号为Inter奔腾双核E5300，CPU频率2.60GHz，内存2GB，所使用的仿真软件为MATLAB R2010a)，通过FFT则只要0.85s就完成了。这样的速度增益使得利用FFT解决信号处理问题成为可能。 


图360示出了FFT算法和直接算法所需运算量与点数N的关系曲线，使人们更加直观地看到FFT算法的优越性，特别是点数N越大时，优点更加突出。


图360直接计算法与DITFFT算法所需乘法次数的比较曲线


3. 按时间抽取的FFT算法特点
由前面讨论的DITFFT算法原理及N=8
点的例子，可以看出算法具有一定的规律和特点，现总结如下。

(1) 一个N=2r
点序列的DITFFT，需经过r=log2N
级分解，得到N/2个2点FFT运算。
(2) 由N/2
个2点DITFFT运算，逐级合成4点、6点、8点……至N点。

(3) 每级都有N/2
个蝶形，最后一级(第r
级)WN
因子的个数最多，为N/2
个，且WN
因子依次为W0N，W1N，W2N，…，WN2-1N，
以后每向前推进一级，WN
因子的个数减少一半，且WN
因子取后一级的偶次幂因子。
(4) DITFFT算法属于原位运算。
由图359可知，在FFT的每级(列)运算中，每一个蝶形的输出与输入之间满足如下关系


Xm(i)=Xm-1(i)+Xm-1(j)WkN

Xm(j)=Xm-1(i)-Xm-1(j)WkN


式中，m
表示第m
列(级)迭代； i、j
为数据所在的行数。

每一列(级)的输出又作为下一列(级)的输入参与运算，而与之前的输入无关。因此，如果所有的WkN
的值已预先保存，则除了运算的工作单元外，只要用N
个寄存器存储初始的x(n)
值即可。因为每个蝶形运算是由两个寄存器中取出数据，而计算结果仍存放到原来寄存器中，该寄存单元中原存储的内容，一经取用即可删除，不影响以后的计算，相当于每列运算均在原位进行，这种原位运算的结构可以节省存储单元，降低设备成本。

(5) 在DITFFT算法的信号流图中，输入是“乱序”的，输出是“顺序”的。

由图359可知，输入端x(n)
的排列不是按n
的自然顺序，而是以
x(0)，x(4)，x(2)，x(6)，x(1)，x(5)，x(3)，x(7)
（假设N=8）
的“乱序”排列作为输入的，而在输出端是以自然顺序输出。造成这种现象的原因是在分解时，对
x(n)
按n
的奇偶取值而造成的，这种排列方式称为“码位倒读”。所谓倒读是指二进制表示的数字首尾位置颠倒，重新按十进制读取。表35列出了N=8两种排列的变换规律。



表35自然顺序与码位倒读顺序(N=8=23)



x(n)序号n的自然排序十进制表示n的二进制表示码位倒置码位倒置后的十进制表示

x(0)00000000
x(1)10011004
x(2)20100102
x(3)30111106
x(4)41000011
x(5)51011015
x(6)61100113
x(7)71111117

3.8.3按频率抽取的快速傅里叶变换算法(桑德图基法)
按照将长序列分解为短序列，通过计算短序列的傅里叶变换来合成长序列傅里叶变换的思想，还可以将时间序列
x(n)
直接按照n
的自然取值先后分为两组，形成两个
N2
点短序列，通过某种组合和计算并按k
的奇偶取值组合成N
点DFT。该方法是桑德和图基1966年提出的，也称为桑德图基法。
1. 算法原理
设x(n)的列长N=2r，r
为整数。先将x(n)
按n的自然取值顺序分成前后两组，即



x(n)

xn+
N2
0≤n≤
N2-1，n为整数




则由定义可得


X（k）=
∑N-1n=0
x(n)WnkN=
∑N2-1n=0
x(n)WnkN+
∑N-1n=
N2
x(n)WnkN

=
∑N2-1n=0
x(n)WnkN+
∑N2-1n=0
x
n+
N2
Wn+N2kN
(k=0，1，…，N-1)

=∑N2-1n=0
x(n)+x
n+
N2
WN2kN
WknN


=∑N2-1n=0
x(n)+
(-1)kx
n+N2

WknN


考虑以下两种情况。
（1） 当k
为偶数时，令k=2rr=0，1，…，
N2-1，
则


X（k）=X(2r)=
∑N2-1n=0
x(n)+xn+N2W2rnN

=∑N2-1n=0
x(n)+x
n+
N2

WrnN/2
(343)


(2) 当k
为奇数时，令k=2r+1r=0，1，…，
N2-1
，则


X（k）=X(2r+1)=
∑N2-1n=0
x(n)-xn+N2W(2r+1)nN

=∑N2-1n=0


x(n)-xn+
N2

WnN
WrnN/2
(344)


如果令



x1(n)=x(n)+xn+N2

x2(n)=x(n)-xn+N2
WnN
n=0，1，…，
N2-1


则



X(2r)=∑N2-1n=0
x1(n)WnrN/2

X(2r+1)=∑N2-1n=0
x2(n)WnrN/2
r=0，1，…，
N2-1
(345)


由式(345)可见，X(2r)
和X(2r+1)
分别有两个N/2
点序列进行DFT而得，而这两个N/2
点序列分别是x(n)
的前一半序列与后一半序列重新组合而成的。式(345)的运算关系可以用如图361所示的蝶形运算来表示。这样就将计算一个
N
点的DFT首先分解为计算两个新序列的N/2
点的DFT，这两个N/2
点的DFT分别对应X（k）
的偶数点和奇数点序列。当N=8时，上述的分解过程如图362所示。


图361频率域抽取法的蝶形运算




与时间抽取法的推演过程一样，由于N=2r，当r>1时，N/2仍是一个偶数，因此可以继续将每个N/2点的时间序列同样前后按自然顺序分开，通过蝶形运算形成两个N/4点的新序列，分别计算N/4点DFT，得到原N/2点的DFT。图363示出了这一步分解的过程。
这样的分解可一直进行下去，直到分解r
步以后得到求N/2
个两点的DFT为止。而这N/2
个2点DFT计算结果(共N
个值)就是x(n)
的N
点DFT的结果X(k)
。图364给出了N=8
时完整的计算流图。由于整个计算过程是按频域取样点k
的奇偶取值分开计算的，故将此方法称为按频率抽取的FFT算法。


图362按频率抽取，将N
点DFT分解为2个
N2
点DFT(N=8)




图363按频率抽取，将N
点DFT分解为4个
N4
点DFT(N=8) 




图364N=8的频率抽取法FFT流图



2. 按时间抽取算法和按频率抽取算法的比较
比较按时间抽取和按频率抽取信号流图可知，两种算法既有相同点，又有不同点。先来看相同点。

(1) 两种算法计算量相同。频率抽取法也需分解为r
级运算。每级需要N2
个蝶形运算来完成，即需mF=N2log2N
次复乘和aF=Nlog2N
次复加。

(2) 两种算法均为原位运算。在DIFFFT的每级运算中，每一个蝶形的输出同样只与其对应的输入点有关，而每一个输出就是下一级的输入而与之前的点无关，故属于原位运算。
再看不同点。

(1) DIFFFT的输入是自然顺序，输出是反序顺序，这与DIT的情况正好相反。所以运算完毕后，要经过“整序”变为自然顺序输出，整序的规律和时间抽取法相同。
(2)  DIF的蝶形运算与DIT的蝶形运算略有不同，其差别在于DIF中复数乘法出现于减法运算之后。
(3)  WN
因子的排序不同。DIF的蝶形运算中，第一级WN
因子类型个数最多，为N2
个，以后每向后推进一级，WN因子类型个数减半，这与DITFFT算法相反。
需要说明的是，比较两种算法的流图可知，如果将DITFFT算法流图的方向倒转并将输入与输出对调，即可转换为按DIFFFT算法流图。同理，也可通过倒置将DIFFFT流图转为DITFFT流图。也就是说，对于每一种按时间抽取的FFT都存在一种按频率抽取的算法，二者互为转置。
3. 离散傅里叶逆变换的快速算法
比较IDFT


x(n)=
1N
∑N-1n=0
X(k)
W-nkN


和DFT


X(k)=
∑N-1n=0
x(n)
WnkN


可以发现，如果将X(k)
作为输入，x(n)
作为输出，用W-1N
代替WN
，并将计算结果乘以1/N
(或将1/N
分解为(1/2)r
并且在r
级运算中每级都分别乘以一个1/2
因子)。这样，以上所讨论的按时间抽取或按频率抽取的FFT算法都可以直接用来运算IDFT，称为快速傅里叶逆变换
（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）。例如，按照上述原则，可以直接由按频率抽取的FFT流图，得到如图365所示的IFFT流图。此时，输入为X（k）
，是自然顺序输入，输出为x(n)
，是乱序输出，称其为按时间抽取的IFFT算法。同理，可以由DITFFT流图得到如图366所示的DIFIFFT流图。


图365N=8的按时间抽取IFFT流图




图366N=8的按频率抽取IFFT流图



本节介绍了两种最基本也是最常用的FFT算法，实际上，还有许多基2FFT算法的各种变体，如基4FFT、基8FFT等。这些算法的思想仍然是利用短序列的DFT计算长序列的DFT。感兴趣的读者可以查看相关书籍。另外，需要说明的是，FFT不是新的数学变换，它只是DFT的一种快速算法。
3.8.4快速傅里叶变换的应用实例
因为FFT是DFT的快速算法，所以凡是可以利用离散傅里叶变换来进行分析、综合、变换的问题，都可以利用FFT算法及运用数字计算技术来实现。本节给出几个FFT的应用实例。 
1. 利用FFT求线性卷积——快速卷积

1)  用FFT求有限长序列的线性卷积
利用FFT求有限长序列线性卷积，其主要思想是希望借助于DFT的圆周卷积定理来求解。
由2.2节可知，若x1(n)
的长度为N，x2(n)
的长度为M
，当满足条件L≥N+M-1
时


x1(n)*x2(n)=x1(n)○Lx2(n)
=IFFT［X1(k)X2(k)］(k=0，1，2，…，L-1）



知道了圆周卷积与线性卷积的关系，可以利用DFT的圆周卷积定理，通过FFT计算两个有限长序列的线性卷积，具体流程如图367所示。


图367用FFT计算两个有限长序列的线性卷积流程图


当M、N
较大时，这种计算线性卷积的方法明显比直接计算要快。例如，计算两个长度均为220
的矩形脉冲序列的线性卷积，利用MATLAB直接计算用时达到2h，而利用FFT计算线性卷积则只需要2.2s
就可以了(计算机为联想启天M690E，CPU为Inter奔腾双核E5300，CPU频率为2.60GHz，内存为2GB，所使用的计算工具为MATLAB R2010a)。
2) 同时计算两个实序列的卷积运算
FFT算法是复数运算，无论是硬件实现还是软件实现，都是按复数运算设计的，所以当采用FFT算法分析实序列信号时，算法的虚部就被浪费掉。为此，应设法提高使用效率。

设g(n)、s(n)、h(n)
都是N
点的实序列，它们的N
点DFT分别为G(k)、S(k)、H(k)，若需计算g(n)○N
h(n)
和s(n)○Nh(n)
，可以用一次FFT运算同时实现这两个圆周卷积。方法是先将
g(n)、s(n)
组合成一个复数序列p(n)，即


p(n)=g(n)+js(n)


则


DFT［p(n)］=P(k)=
G(k)+jS(k)


令


Y(k)=H(k)P(k)


然后用IFFT运算求出y(n)
，它是p(n)、h(n)
的圆周卷积值，即


y(n)=IFFT［Y(k)］=p(n)
○Nh(n)

=［g(n)+js(n)］○Nh(n)

=g(n)○Nh(n)+js(n)
○Nh(n)


因此同时得到两组实序列的圆周卷积值，即


y1(n)=Re［y(n)］=g(n)○Nh(n)

y2(n)=Im［y(n)］=s(n)○Nh(n)


若是计算实序列的线性卷积，可利用线性卷积与圆周卷积的关系，将原序列
g(n)、s(n)、h(n)
末尾补零后再采用上述方法计算，具体流程如图368所示。


图368同时计算两组实序列的线性卷积流程图


2. 利用FFT求相关
类似于圆周卷积与线性卷积的关系，序列长度分别为N1
和N2
的两个有限长序列的线性相关，等于将这两个序列补零至N=N1+N2-1
列长后的圆周相关。由圆周相关定理可知，两个有限长序列的线性相关可以借助于离散傅里叶变换求得。用FFT计算两个有限长序列的线性相关，具体流程如图369所示。


图369用FFT计算两个有限长序列的线性相关流程图



用FFT计算相关函数称为快速相关。它与快速卷积完全类似，所不同的是： 一个应用圆周相关定理，利用圆周相关来等效线性相关； 另一个是应用圆周卷积定理，利用圆周卷积来等效线性卷积。
3. FFT在多普勒雷达信号处理中的应用——多普勒滤波器组

由前面学习可知，当满足采样定理的条件时，一个时间函数的取样序列经过DFT处理后，输出为该信号频谱的取样。可以将每条谱线看成为对应于一个窄带滤波器的输出，这就是DFT的滤波特性。下面进行较为详细的分析。

设时间序列x(n)
为具有单位振幅的N
点复指数序列，其频率为f0
，即


x(n)=
ej2πf0nT(n=0，1，…，N-1）


式中，T为采样间隔。对x(n)
做N
点DFT运算，所对应的频域序列为


X(k)=
∑N-1n=0
ej2πf0nT
e-j2πNnk=

sinNπf0-
kNTT

sinπf0-
kNTT

e-jπ(N-1)
f0-kNTT
(346)



由式(346)可知，若信号x(n)
频率不同，得到的X(k)
也不同。为描述X（k）
随信号频率的这种变化，用f
代替f0
，因而式(346)可进一步写为


Xk(f)=
sinNπf-
kNTT

sinπf-
kNTT

e-jπ(N-1)
f-kNTT


若信号x(n)
是频率为f0
的单频信号，则对应的Xk(f0)
在f0=kNT
时，即k=f0NT
时有输出，而其他k
点处值为0； 若信号x(n)
为包含多种频率具有一定频带宽度的信号，可以将该信号表示成若干单频信号的叠加，此时第k点频谱值
Xk(f)
看成是将频率为fk
的分量ej2πfknT
通过某个系统的输出，该系统只允许通过输入信号的第k个频谱抽样值，这个系统称为滤波器，其输出信号对应的频率点称为该滤波器的中心频率，即fk=k/NT
。也就是说，对一个长度为N
的有限长序列做DFT就相当于将该序列通过一组滤波器，每个滤波器组的中心频率为
fk=k/NT
，其输出即为Xk(f)
，窄带滤波器组的幅度随频率的变化关系
Hk(ej2πf)
满足


Hk(ej2πf)=

sinNπ(f-fk)T

sinπ(f-fk)T




DFT的滤波特性如图370所示。


图370DFT的滤波特性


脉冲多普勒雷达是利用运动目标的多普勒特性来提取目标运动速度等参数的。因此脉冲多普勒雷达中覆盖目标多普勒频移范围的一组邻接窄带滤波器称为多普勒滤波器组，窄带多普勒滤波器组起到了实现速度分辨和精确测量的作用。每个滤波器的带宽应设计的尽量与回波信号的谱线宽度相匹配。这个带宽同时确定了多普勒雷达的速度分辨能力和测速精度。
人们正是利用上述DFT的滤波特性来形成脉冲多普勒雷达信号处理中所必需的窄带多普勒滤波器组。

由于多普勒雷达的杂波分布情况比较复杂，目标回波可能落入杂波区，也可能落入无杂波区，两种区域中干扰的强度相差很大。经过上述滤波器组进行滤波处理之后，信号的背景干扰仍包含很宽的幅度范围。因此，利用多普勒雷达进行目标检测时一般采用恒虚警(Constant False Alarming Rate,CFAR)处理技术，以便防止干扰增大时虚警概率过高，努力使得当噪声、杂波和干扰功率或其他参数发生变化时，输出端的虚警概率保持恒定。
脉冲多普勒雷达数据处理单元中，将FFT处理机的输出进行适当的CFAR处理后与检测门限比较，由超过门限的信号所对应多普勒滤波器中心频率的位置得出目标的速度，将其送入数据处理机或直接显示，具体流程如图371所示。


图371多普勒雷达数据处理流程


3.9无线电频率划分及典型信号的频率范围

本章介绍了信号频域分析方法，了解了信号的频域特征量即“频谱”的概念。通过对典型信号在频域内特性的分析，发现不同信号在频域内分布不同，根据其主要能量在频率域的分布，对频率划分区间，并给出不同区间的命名，以示区分不同信号。信号的频率通常以Hz（赫兹）为单位，其表示方式如下。
（1）  3000kHz以下（包括3000kHz），以kHz（千赫兹）表示。
（2） 3MHz～3000MHz（包括3000MHz），以MHz（兆赫兹）表示。
（3） 3GHz～3000GHz（包括3000GHz），以GHz（吉赫兹）表示。
无线电频率一般认为是在3kHz~300GHz内，其划分区间如表36所示。而对于较高的频段，也经常采用如表37所示的频段划分标准。


表36无线电频率划分表



名称字 母 缩 写频 率 范 围波长

甚低频VLF3kHz～30kHz100km～10km
低频LF30kHz～300kHz10km～1km
中频MF300kHz～3MHz1km～100m
高频HF3MHz～30MHz100m～10m
甚高频VHF30MHz～300MHz10m～1m
超高频UHF300MHz～3GHz1m～10cm
特高频SHF3GHz～30GHz10cm～1cm
极高频EHF30GHz～300GHz1cm～1mm


表37较高频段的无线电频率划分表



字 母 代 号频率范围/GHz字 母 代 号频率范围/GHz

L波段1.00～1.88X波段8.20～12.40
Ls波段1.50～2.80KuKe波段12.40～18.00
S波段2.35～4.175K波段16.00～28.00
C波段3.60～7.45Ka波段26.00～40.00
Xb波段6.00～10.65Q波段33.00～50.00

另外，本章所描述的频域分析方法通常应用在实际遇到的信号分析中(例如地震、生物和电磁信号)。
为了从观测信号提取信息，先要对信号做频谱分析。例如，在生物信号中，如心电图(ECG)信号，为了诊断，需要使用分析工具提取相关信息。对地震信号，人们可能对检测核爆炸的表现或者确定地震特征和位置感兴趣。对于电磁信号，例如从飞机反射的雷达信号，包含了飞机的位置和径向速度的信息。这些参数可以从接收雷达信号观测估计出来。为了测量参数或者提取其他类型的信息，在信号处理时，必须大致知道获取信号的频率范围。在此，表38~表310给出了一些典型信号的频率范围。


表38一些生物信号的频率范围



信 号 类 型频率范围/Hz信 号 类 型频率范围/Hz

（视）网膜电图①0～20脑电图（EEG）0～100
眼震颤电流图②0～20肌电图④10～200
呼吸描记图③0～40脉波图⑤0～200
心电图（ECG）0～100语音100～4000


注：  ①（视）网膜特性图示记录； ②眼睛不知不觉运动的图示记录； ③呼吸活动的图示记录； ④肌肉动作（如肌肉收缩）的图示记录； ⑤血压的图示记录。


表39一些地震信号的频率范围



信 号 类 型频率范围/Hz信 号 类 型频率范围/Hz

风声100～1000地震和核爆炸信号0.1～10
地震勘探信号10～100地震噪声0.1～1



表310一些电磁信号的频率范围



信 号 类 型波长/m频率范围/Hz

无线电广播104~1023×104~3×106
短波无线电信号102~10-23×106~3×1010
雷达、卫星通信、太空
通信和普通载波微波1~10-23×108~3×1010

红外线10-3~10-63×1011~3×1014
可见光3.9×10-7~8.1×10-73.7×1014~
7.7×1014
紫外线10-7~10-83×1015~3×1016
γ射线和χ射线10-9~10-10
3×1017~3×1018

3.10民航飞机通信、导航、监视信号频谱及系统工作频段
1. 民航飞机通信系统典型信号频谱
民航飞机通信系统包括甚高频通信(VHF)、高频通信(HF)、选择呼叫(SELCAL)、客舱广播(PA)、飞机内话、旅客娱乐(录像、电视、音乐)、旅客服务、勤务内话、客舱内话、话音记录系统和ARINC通信寻址报告系统等。主要用于实现飞机与地面、飞机与飞机的相互通信，也用于进行机内通话、旅客广播、记录话音信号以及向旅客提供视听娱乐信号。
1) 甚高频通信系统信号频谱
甚高频通信系统是一种近距离的飞机与飞机之间、飞机与地面电台之间的通信系统，是民航飞机主要的通信工具，用于飞机在起飞、降落或通过管制空域时机组人员和地面管制人员之间的双向语音通信。起飞和降落期间是驾驶员处理问题最繁忙的时刻，也是飞行中最容易发生事故的时刻，因此必须保证甚高频通信的高度可靠。民航飞机上一般都装有2~3套甚高频通信系统。

目前，VHF除可进行话音通信外，还可进行数据通信。数据通信主要的应用是一种称为
飞机通信寻址报告系统(Aircraft Communications Addressing and Reporting System，ACARS)的数据通信系统。话音通信系统包括地面电台和机载电台两部分，而地面与机载台的主要组成部分为VHF收发信机，其发射的信号为双边带调幅波。图372为VHF通信系统示意图。按照国际民航组织的统一规定，甚高频通信工作频率为118.000~136.975MHz，波道间隔为25kHz，工作方式采用调幅方式，信号形式如下。


图372VHF空地话音通信系统



发射信号为sAM(t)
，即


sAM(t)=
［A+f(t)］cos(ω0t+θ0)


式中，f(t)
表示话音信号； ω0
表示载波角频率； A
为一直流电压； 话音信号f(t)
是被发送的信号，称为调制信号，该信号不含直流成分； θ0
为载波的起始相位，波形如图373(a)所示。可以看出，
sAM(t)
中载波的幅度随f(t)的变化
而变化，故称为调幅波。其频谱为


sAM(ω)=πA
［δ(ω-ω0)
ejθ0+δ(ω+ω0)
e-jθ0
］+12
［F(ω-ω0)
ejθ0+F(ω+ω0)
e-jθ0］
(347)


式(347)表明，调幅信号
sAM(t)
的频谱包含位于ω=ω0
和ω=-ω0
处的载波频率，以及位于它们两旁的边带频谱
F(ω-ω0)
和F(ω+ω0)
，如图373(b)所示。若假定θ0=0，F(ω)
是话音信号f(t)
的频谱。角频率高于ω0
和低于-ω0
的频谱称为上边带(Upper Side Band，USB)，而在角频率
ω0
和-ω0
之间的频谱称为下边带(
Lower Side Band，LSB)。可见，调幅波频谱是由载波分量以及被搬移到ω0
和-ω0
的基带频谱所构成的，调制的作用就是实现基带频谱的搬移。



图373VHF调幅波及其频谱


2) 高频通信系统信号频谱

高频通信系统是一种机载远程通信系统，通信距离可达数千千米，用于在远程飞行时保持与基地间的通信联络。系统占用
2MHz~30MHz的高频频段，典型设备的工作频率为2.8MHz~24MHz，波道间隔为1kHz。高频通信信号利用天波传播，因此信号可以传播很远的距离。大型飞机上通常装备1~2套高频通信系统。现代机载高频通信系统都是单边带通信系统，并通常能够和普通调幅通信相兼容。

与VHF通信系统一样，HF通信系统也包括地面台和机载台两部分，地面台与机载台的主要组成部分为HF收发信机，其发射单边带(Single Side Band，SSB)信号。

设f(t)=Amcos(ωmt+θm)
为要发送的单频信号，调制信号的载波信号为cos(ω0t)
，ω0
为载波频率(ω0ωm)
，则已调信号为


s(t)=Amcos(ωmt+θm)cos(ω0t)

=Am2
{cos［(ω0+ωm)t+θm］+cos［(ω0-ωm)t+θm］}


对应的频谱为


S(ω)=
Amπ2
ejθmδ(ω-(ω0+ωm))+
Amπ2
e-jθmδ(ω+(ω0+ωm))

+
Amπ2
ejθmδ(ω-(ω0-ωm))+
Amπ2
e-jθmδ(ω+(ω0-ωm))


其幅度谱|S(ω)|
如图374(a)所示，取出频率绝对值高于载频ω0(|ω|>ω0)
的频谱，即为单边带信号频谱，如图374(b)所示，对应的时域信号


SSSB(t)=
Am2cos
［(ω0+ωm)t+θm］


称为单边带调幅信号，其波形如图374(c)所示。它是一个等幅的频率为
（ω0+ωm）的余弦或正弦信号。
2. 无线电导航系统

所谓导航，即在各种复杂的气象条件下，采用最有效的方法并以规定的所需导航性能(Required Navigation Performance，RNP)引导航行体(飞机、导弹、宇宙飞船、船舶、车辆等)以及个人从出发点到目的地的过程。利用无线电技术实现对飞行器的导航(测距和测向)是飞机导航的一种方式，其所应用的导航系统主要分为航路导航系统和终端区导航系统。其中，航路导航系统以无方向性信标(NonDirectional Beacon，NDB)、甚高频全向信标(Very High Frequency Omnidirectional Range，VOR)和测距机(Distance Measuring Equipment，DME)为代表，终端区导航系统以自动定向仪无方向性信标(ADFNDB)、VOR、DME、仪表着陆系统(Instrument Landing System，ILS)、微波着陆系统(Microwave Landing System，MLS)为代表。
1) 多普勒甚高频全向信标
甚高频全向信标是一种高精度的非自主式相位测角近程导航系统，是目前民用航空主用的陆基导航系统，它为飞机提供相对于VOR台的方位信息。VOR通常与DME配合，为飞机提供ρθ
极坐标定位而用于航路，也可布置在终端区，用作仪表着陆系统的引进系统。



图374单边带信号的波形及其频谱



多普勒甚高频全向信标
（Doppler Very High Frequency Omnidirectional Range,DVOR）
是VOR导航设备的一种，其与常规甚高频全向信标(
Conventional Very High Frequency Omnidirectional Range，
CVOR)不同之处在于： DVOR导航系统基于多普勒原理，利用天线的旋转，让飞机与旋转的天线产生多普勒效应，从而使机载接收机接收信号中含有飞机磁方位信息的可变相位信号，将该信号与基准信号相比较，从而获得飞机的磁方位角。DVOR系统主要包括DVOR地面信标和VOR机载接收机两部分组成，如图375所示。
DVOR信标的空间辐射场
e(t)为调幅调频波信号，即


e(t)=Em{1+mAsin
(Ωt)+mfcos［Ωst+Kfcos
(Ωt+θ)］}cos(ωct)




图375DVOR信标

式中，ωc=2πfc，
fc=108.00~117.95MHz
为载波频率(此频段为甚高频频段)，在此频段中，频道间隔为0.05MHz，共有200个频道，VOR占有其中的160个频道； Ωs=2πFs，Fs=9960Hz为副载波频率；  
Ω=2πF，F=30Hz； mA、mf均为调制度，Kf=16，
为调频指数； θ为方位角； 
sinΩt为调制信号，单一频率正弦波； 
cos［Ωst+Kfcos(Ωt+θ)］为
调制信号(调频波)； 
cos(Ωt+θ)调频波的调制信号。
将e(t)展开为


e(t)=
Em{1+mAsinΩt+mfcos［Ωst+Kfcos(Ωt+θ)］}
cos(ωct)

=Emcosωct+mAEm
sinΩtcosωct+mfEmcos
［Ωst+Kfcos(Ωt+θ)］cos(ωct)

=Emcosωct-12mAEm
cos
(ωc+Ω)t+
π2
+12
mAEm
cos
(ωc-Ω)t+
π2


+12mfEmcos［(ωc+Ωs)t+Kf
cos(Ωt+θ)］

+12mfEmcos［(ωc-Ωs)t-Kf
cos(Ωt+θ)］


其频谱图如图376所示。


图376DVOR信标的空间辐射场e(t)的频谱


图中cn
表示n
次谐波的幅度，最大频偏为ΔFm=
480Hz
，B=2(ΔFm+F)=1020Hz
为调频波的带宽。从图中可以看出，fc+F
是基准信号频谱，而fc+Fs
周围的这些频谱代表可变相位信号频谱，在机载接收机中，通过设置不同的带通滤波器，就可分离出基准信号和可变相位信号，进而获得飞机的方位信息θ
。关于滤波器的详细知识见后续章节。

2) 测距机射频信号
测距机（DME）是一种非自主的脉冲式(时间式)近程测距导航系统，主要包括地面信标和机载系统两部分。它测量的是飞机与地面DME台之间的斜距R，如图377所示。它的起源可追溯到第二次世界大战期间英国研制的RebeccaEureka系统。从1959年起，DME已成为国际民航组织
（International Civil Aviation Organization，ICAO）批准的标准测距系统，其装备在世界范围内呈上升趋势，获得广泛的应用。

DME是通过测量电波在空间的传播时间来获取距离信息的，采用询问应答方式工作。其地面信标也称为应答器，机载系统也称为询问器。机载询问器发射询问信号，地面信标接收到该询问信号后，给出相应的应答信号，机载DME系统便能得到询问与应答之间的时间差T(见图378)，通过下面的公式便能计算出飞机到DME地面台之间的斜距R。


R=12
（T-T0）C




图377飞机到测距台的斜距




图378询问与应答之间的时间差T




式中，C为光速3×108m/s； T0为地面应答器从接收到询问信号到给出应答信号之间存在的一个应答固定延时(或称系统延时)，其典型值为50μs。


DME系统工作在L波段的962~1213MHz。机载询问频率工作在1025~1150MHz，波道间隔为1MHz，因此有126个询问频率。地面应答频率工作在962~1213MHz，波道之间的间隔也为1MHz，可以得到252个应答频率。询问频率和应答频率的频差为63MHz。

询问与应答均是以脉冲对来表示的，即一对脉冲表示一次询问或应答，而该脉冲对两个脉冲之间的间隔是固定的。对于询问脉冲对，两个脉冲之间的间隔是12μs或36μs。对于应答脉冲对，两个脉冲之间的间隔是12μs或30μs，如图379所示。



图379DME的询问与应答信号



询问脉冲对和应答脉冲对通过对各自的射频(Radio Frequency，RF)调制之后，由各自的无方向性天线辐射出去，其表达式
为


e(t)=f(t)·cos(ωct)



这也是一个调幅信号，其中f(t)
为询问脉冲或应答脉冲，ωc=2πfc，fc=
962~1213MHz
为载波频率。DME询问脉冲f(t)
和RF调制信号e(t)
如图380所示。


图380DME的询问脉冲及RF调制信号


根据傅里叶变换的频移性质，调制信号e(t)
的频谱E(ω)
为


E(ω)=
12
(F(ω-ωc)+F(ω+ωc))



上述RF脉冲的包络形状为矩形，但这容易增大邻道干扰。要避免邻道干扰的出现，对在某一频道传输
信号的带宽就必须有一定的要求，特别是对DME系统。若传输的信号带宽不满足要求，就很容易造成邻道干扰，因为DME系统波道之间的间隔仅为1MHz。所以，为了压缩信号频谱，减小邻道干扰，实际DME的RF脉冲包络f(t)
采用升余弦脉冲


f1(t)=E2
1+cos
πtτ
(0≤t≤τ)



其时域波形如图381(a)所示。而其频谱
F1（ω）为


F1（ω）=

EτSa(ωτ)
1-
ωτπ2



其波形如图381(b)所示。


图381升余弦脉冲信号的波形及频谱



比较矩形脉冲和升余弦脉冲的频谱可以得出，矩形脉冲具有更加丰富的高频成分。由于DME波道的间隔仅为1MHz，若DME RF脉冲包络采用矩形，则会出现更多的邻道干扰，使系统性能下降。因此，DME的RF包络采用高频成分相对较小的升余弦脉冲。
3. 空管监视系统典型信号频谱

民航空管监视系统用于帮助管制员对空中和地面目标进行识别和移交。通常，空管监视系统主要分为终端区监视系统和航路监视系统。而终端区监视系统主要以一次监视雷达(Primary Surveillance Radar，PSR)、二次监视雷达(Secondary Surveillance Radar，SSR)和场面监视雷达(Surface Movement Radar，SMR)为主，航路监视系统主要分为雷达监视和广播式自动相关监视(Automatic Dependent SurveillanceBroadcast，ADSB)系统。其中，一次监视雷达和二次监视雷达是现代空中交通管制(Air Traffic Control，ATC)中实施对飞机监视的重要工具，它们能够给出飞机的方位、飞机离雷达站的距离、飞机的高度及飞机的识别号等重要信息，为管制员实行对飞机的管制提供重要依据。

一次监视雷达和二次监视雷达的区别在于工作方式不同。一次监视雷达主要靠目标对雷达发射的电磁波(射频脉冲)的反射来主动发现目标并确定其位置。而二次监视雷达不能靠接收目标反射的自身发射的探测脉冲来工作。它是由地面站(通常称询问机)通过天线的方向性波束发射频率为1030MHz的一组询问编码(射频脉冲)。二次雷达要求飞机必须装有应答机，当地面发射询问码后，飞机通过应答机将自身的位置、方向、高度等相关信息发回地面。
一次雷达和二次雷达的发射信号基本形式是脉冲调幅信号，其原理为


e(t)=g(t)cos(ω0t)




式中，
g(t)=E
ut+τ2-u
t-τ2

为矩形脉冲； 载波角频率ω0=2πf0，f0


通常称为

雷达的工作频率。目前民航空管系统中使用的PSR大部


图382PSR/SSR单个RF

脉冲信号

分为脉冲雷达，工作在S波段，即其工作频率为2000~4000MHz。而SSR的询问RF和应答RF频率分别为1030MHz和1090MHz。PSR/SSR单个RF脉冲信号如图382所示。


矩形脉冲g(t)的频谱G（ω）为


G（ω）=EτSa
ωτ2


根据傅里叶变换的频移定理，可得e(t)
的频谱E(ω)
为


E(ω)=
12
G（ω-ω0)+
12G（ω+ω0)

=Eτ2

Sa（ω-ω0)
τ2
+Sa
（ω+ω0)τ2





可见，RF矩形脉冲e(t)
的频谱等于将包络线g(t)
的频谱一分为二，各向左、右移载频ω0。e(t)
的频谱E(ω)如图383所示。


图383PSR/SSR单个RF脉冲信号的频谱



3.11相关的MATLAB函数
下面介绍本章所涉及的信号处理相关的MATLAB函数。
1. fft
功能： 用来实现快速傅里叶变换。
调用格式：  X=fft(x)或X=fft(x,N)
其中，x为待分析的时域序列； X为序列x所对应的快速傅里叶变换序列； N为快速傅里叶变换的点数。
2. ifft
功能： 用来实现快速傅里叶逆变换。
调用格式：  x=ifft(X)或x=ifft(X,N)
其中，X为进行逆变换的频域序列； x为序列X所对应的快速傅里叶逆变换的时域序列； N为快速傅里叶逆变换的点数。
3. fftshift
功能： 重新排列的FFT变换的输出。
调用格式：  Y=fftshift(X) 
其中，X为排序前的以fs/2
(采样率的一半)为对称中心的快速傅里叶变换的频域序列； Y为排序后的以坐标原点为对称中心的快速傅里叶变换的频域序列。
4. circshift
功能： 用来实现圆周移位。
调用格式：  y=circshift(x,M)
其中，x为待移位的时域序列； M为圆周移位的点数，若M为正值，则向右圆周移位，若M为负值，则向左圆周移位； y为圆周移位后的时域序列。
5. fftfilt
功能： 利用重叠相加法实现长序列的线性滤波。
调用格式：  y=fftfilt(h,x)

其中，x为待滤波的时域序列(长序列)； h为滤波器的系数(短序列)； y为滤波器后的时域序列。
6. rectwin、triang、hann、hamming、blackman、gausswin、kaiser
功能： 分别用来产生矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗、高斯窗和凯泽窗。
调用格式：  rectwin(N), triang(N), hann(N), hamming(N), blackman(N), gausswin(N)，kaiser(N)
其中，N为待产生窗的长度。
习题
31求题图31所示对称周期矩形信号的傅里叶级数(三角形式与指数形式)。


题图31


32求题图32所示周期三角信号的傅里叶级数(三角形式与指数形式)，并画出幅度谱。
33求题图33所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。


题图32




题图33


34求题图34所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换。


题图34


35求题图35所示F(ω)
的傅里叶逆变换f(t)。


题图35


36如题图36所示波形，若已知f1(t)
的傅里叶变换为F1(ω)
，利用傅里叶变换的性质求f1(t)
以t02
为轴反褶后所得f2(t)
的傅里叶变换。


题图36


37利用时域与频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数。
(1)  F(ω)=δ(ω-ω0)； 
(2)  F（ω）=u(ω+ω0)-u(ω-ω0)。
38若已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求题图38所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱。
39求题图39所示三角形调幅信号的频谱。


题图38




题图39


310利用微分定理求题图310所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出
τ=2τ1
情况下该脉冲的频谱图。

311若已知f(t)
的傅里叶变换为F(ω)
，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换。
(1)  tf(2t)； 
(2) （t-2)f(-2t)； 
(3) f(1-t)； 
(4) f(2t-5)。
312已知题图312中两矩形脉冲f1(t)
及f2(t)
，且f1(t)
的傅里叶变换为E1τ1Sa
ωτ12
，f2(t)的傅里叶变换为E2τ2Sa
ωτ22。
(1) 画出f1(t)*f2(t)的图形； 
(2) 求f1(t)*f2(t)的频谱。


题图310




题图312


313若f(t)
的频谱F(ω)
如题图313所示，利用卷积定理粗略画出f(t)cos(ω0t)
、f(t)
ejω0t、
f(t)cos(ω1t)
的频谱(注明频谱的边界频率)，其中ω2-ω0=ω0-ω1。


题图313


314确定下列信号的最低抽样率与奈奎斯特间隔。
(1)  Sa(100t)； 
(2) Sa2(100t)。
315系统如题图315所示，f1(t)=Sa(1000πt)，
f2(t)=Sa(2000πt)，
p(t)=∑+∞n=-∞δ(t-nT)，
f(t)=f1(t)f2(t)，fs(t)=f(t)p(t)。
(1) 为从fs(t)
无失真恢复f(t)
，求最大抽样间隔Tmax
； 
(2) 当T=Tmax
时，画出fs(t)
的幅度谱|Fs(ω)|。


题图315


316试求如下各序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)。
(1)  x(n)=δ(n-3)； 
(2) x(n)=12δ(n+1)+δ(n)+12δ(n-1)； 
(3)  x(n)=anu(n)(0<a<1)； 
(4)  x(n)=u(n+3)-u(n-4)。
317x～（n）
表示一个具有周期为N的周期性序列，而
X～（k）
表示它的离散傅里叶级数的系数，也是一个具有周期为N的周期性序列。试根据
x～（n）
确定X～（k）
的离散傅里叶级数的系数。
318如果x～（n）
是一个具有周期为N的周期性序列，它也是具有周期为2N的周期性序列。令
X～1（k）
表示当x～（n）
看作是具有周期为N的周期性序列的DFS系数。而
X～2（k）
表示当x～（n）
看作是具有周期为2N的周期性序列的DFS系数。当然
X～1（k）
是具有周期为N的周期性序列，而
X～2（k）
是具有周期为2N的周期性序列，试根据
X～1（k）
确定
X～2（k）。
319求下列序列的离散傅里叶变换(DFT)。
(1)  {1，1，-1，-1}； 
(2)  {1，j，-1，-j}； 
(3)  x(n)=δ(n)； 
(4) x(n)=δ(n-n0)（0<n0<N)； 
(5) x(n)={1，1，1，1}； 
(6) x(n)={1，0，0，0}； 
(7) x(n)=an（0≤n≤N-1）。
320频谱分析的模拟数据以10kHz取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试确定频谱取样之间的频率间隔，并证明。
321证明


∑N-1n=0
WknN=

N，k=0，±N，±2N，…


0，其他




322已知序列x(n)
的离散傅里叶变换为X(k)=［9 1 1 9 1 1 1 1］。
(1) 确定其对应的8点IDFT； 
(2) 若序列y(n)
对应的8点DFT Y(k)=W-4k8X(k)
，求序列y(n)。
323列长为8的一个有限长序列具有8点离散傅里叶变换X（k）
，如题图323(a)所示。列长为16点的一个新的序列y(n)
定义为


y(n)=
xn2，n为偶数

0，n为奇数



试画出y(n)
的波形，并从题图323(b)的几个图中选出相当于y(n)
的16点离散傅里叶变换序列图。



题图323



324现有一为随机信号谱分析所使用的处理器，该处理器所用的取样点数必须是2的整数次幂，并假设没有采取任何特殊的数据处理措施。设频率的分辨率≤5Hz； 信号的最高频率≤12.5MHz，要求确定下列参量。
(1) 最小记录长度； 
(2) 取样点间的最大时间间隔； 
(3) 在一个记录中的最少点数。
上机习题
31编制信号产生子程序，产生以下典型信号。
（1） x1(n)=R4(n)； 
（2） x2(n)=

n+1，0≤n≤3

8-n，4≤n≤7

0，其他
； 
（3）  x3(n)=cosπ4n(0≤n≤7）； 
（4）  x4(n)=sinπ4n(0≤n≤7）； 
（5）  x5(t)=cos8πt+cos16πt+cos20πt
(采样频率fs=64Hz)。
32对题31中所给出的信号分别进行谱分析，参数如下： 

x1(n)、x2(n)、x3(n)、x4(n)进行DFT时的点数N=8，对于x5(t)需进行采样，采样频率
fs=64Hz，点数N分别为16、32、64。
33对题31中的信号，令x6(n)=x3(n)+x4(n)
，用FFT计算8点的离散傅里叶变换： 
X6(k)=DFT［x6(n)］
，并根据DFT的对称性,由X6(k)
求出X3(k)
和X4(k)
，并与题32中所得的结果进行比较。

34对题31中的信号，令x7(n)=x3(n)+jx4(n)
，用FFT计算8点的离散傅里叶变换： 
X7(k)=DFT［x7(n)］
，并根据DFT的对称性,由X7(k)
求出X3(k)
和X4(k)
，并与题32中所得的结果进行比较。
35已知X(k)=
3，k=0


1，1≤k≤9
，求其10点IDFT。

36产生频率为505Hz的正弦波信号，编制相应的程序，并绘制频谱图。具体参数如下。
(1) 设定采样频率fs=5120Hz，FFT计算点数为512； 
(2) 设定采样频率fs=2560Hz，FFT计算点数为512； 
(3) 分析上述两种情况下正弦信号频谱图的差异，并说明栅栏效应所造成的频谱计算误差。
37对300Hz正弦波信号分别用矩形窗截断和汉宁窗截断,编制相应的程序，绘制加窗前后的该正弦波信号的频谱，观察其频谱泄漏情况。相关参数如下： 采样频率fs=1200Hz
，窗的长度N=512。
38已知连续时间信号x(t)
由3个正弦信号相加得到，它们的频率、幅度和初相分别为： 
f1=1kHz，A1=2，φ1=0； 
f2=1.5kHz，A2=1，φ1=π2； 
f3=2kHz，A3=0.5，φ2=π。
以取样频率
fs=10kHz
对x(t)
取样得到序列x(n)
(设序列长度N=500
)，画出x(n)
对应的时域波形，分别计算x(n)
的500点和1024点DFT，画出幅度谱和相位谱(要求利用fftshift函数将幅度谱和相位谱横坐标转变为以Hz为单位的频率)。
39已知x(n)
是一个长度为8
的矩形窗函数，即x(n)=R8(n)
，现将x(n)
的每两点之间补进3个零值，得到一个长为32点的有限长序列y(n)
，试画出x(n)
与y(n)
的幅度谱和相位谱，并给出x(n)
与y(n)幅度谱与相位谱的关系。
310已知信号


x(t)=sin(2πft)+kn(t)


其中,f=10Hz,n(t)
为高斯白噪声。首先对该信号进行采样，采样率为
fs=200Hz
，变量k
控制所加噪声信号的强度，试画出当k=0.2
以及k=1.5
两种情况下取样后信号的时域波形及其频谱，并分析k
的取值对信号频谱的影响。