第3章 线性控制系统的能控性和能观测性 能控性和能观测性是系统的两个基本结构特性。随着状态空间描述的引入，Kalman在20世纪60年代初首先提出并研究了能控性和能观测性这两个基本概念。系统和控制理论的发展表明，这两个概念对于控制和估计问题的研究意义重大： 在理论层面，它们为线性控制系统理论建立了严谨的理论基础； 在应用层面，在系统设计阶段，它们为关键信号的获取方式和调节方式、关键振型的配置或对消等问题，进行宏观的预判和布局，是系统设计的前提。 本章首先明确能控性和能观测性的目的，给出能控性和能观测性的严格数学定义； 其次针对线性控制系统，包括时变和定常的情形讨论能控性和能观测性的判别方法； 最后讨论基于能控性和能观测性讨论系统标准型和结构分解等内容。 非线性控制系统自然有能控性和能观测性的问题，但无法建立统一的判别方法。因而，本章对于能控性和能观测性的判别仅针对线性控制系统。 对于离散控制系统的能控性和能观测性与连续系统基本是平行的，但有区别，本章只做概要介绍，详细内容可参考《计算机控制》或《离散控制系统》等教材。 能控性和能观测性属于控制系统的定性描述，而非定量描述。学习本章，要注意体会概念中蕴涵的时间和空间变化特性； 另外，能控和能观测本来是针对状态变量的概念，但各种判据都是依据系统的结构和参数给出的，这恰好体现了系统结构决定系统功能这一基本思想。 重要知识点 1. 能控性的一般概念： 考虑连续的n阶非线性时变控制系统 x·(t)=f［x(t),u(t),t］,x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T 其中x(t)为状态向量，u(t)为控制输入向量，t0是某个被关注的时刻，未必是初始时刻，ξ1,ξ2,…,ξn为不全为零的常数。状态的能控性与系统输出无关，所以这里不考虑输出方程。 状态的能控性问题包括以下几条。 (1) 待处理对象： x(t0)，包括时刻t0，以及这一时刻的已知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn，即在状态空间中的一个具体位置。 (2) 目标： x(tf)=0，tf为t0之后的某个有限时刻。这里选择零向量作为目标状态，是因为任何一个非零的目标状态都可以通过坐标平移转换为零向量。 (3) 工具： ① 状态方程的结构和参数； ② 时刻t0和常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn； (4) 手段： 选取时刻tf，以及控制输入u(t)，t∈［t0,tf)。可以想见，tf和u(t)一般说来要依赖(3)中的①和②。 (5) 关键： 上述控制输入u(t)存在的条件是什么？ 以上第(5)属于能控性判别条件或方法； 总结以上(1)~(4)，有如下的状态能控性定义： 定义对于t0时刻和这一时刻不全为零的已知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn，若存在时刻tf>t0和控制输入u(t)，t∈［t0,tf)，使得x(tf)=0，则称t0时刻的状态x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T是能控的。 对于上述定义，有以下几点解读： ① x(t0)是否能控和时刻t0有关，即相同的状态分量、不同的时刻t0可能导致不同的能控性； ② x(t0)是否能控和状态分量ξ1,ξ2,…,ξn有关，即不同的状态分量、相同的时刻t0可能导致不同的能控性； ③ 能控性实际上是探讨能否用低维的控制输入向量调节高维的状态向量。控制输入u(t)使系统状态从x(t0)≠0到x(tf)=0，这种转移不是立竿见影、一蹴而就的，而是依托时间区间［t0,tf)的。形象地说，是用时间来换取空间位置的转移。 研究表明，对于时变系统，状态能控性往往和时刻t0有关； 对于非线性系统，状态能控性通常和状态分量ξ1,ξ2,…,ξn即空间中的具体位置有关。 2. 时变控制系统的能控性： 考虑n阶时变线性控制系统 x·(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T 其中x(t)为状态向量，u(t)为控制输入向量，t0是某个被关注的时刻，未必是初始时刻，状态分量ξ1,ξ2,…,ξn是不全为零的已知常数。对于该系统，有如下定义： 现代控制理论习题详解与评注 第3章线性控制系统的能控性和能观测性 定义对于t0时刻和这一时刻不全为零的已知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn， (1) 若存在时刻tf>t0和控制输入u(t)，t∈［t0,tf)，使得x(tf)=0，则称t0时刻的状态x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T是能控的； (2) 若对状态分量ξ1,ξ2,…,ξn的任意取值，存在时刻tf>t0和控制输入u(t)，t∈［t0,tf)，使得x(tf)=0，则称在t0时刻状态完全能控，或称系统在t0时刻完全能控，简称系统在t0时刻能控。 对上述定义有两点解读： ① 由于系统是时变的，能控性概念始终依赖具体的t0时刻。t0取值的改变通常会带来能控性的改变； ② 定义中有从单个状态能控到全体状态能控的过渡； ③ 定义中有从状态能控到系统能控的过渡。 其合理性在于，状态空间的基础概念部分曾提到，状态变量可以用来代表整个系统。 在系统运行过程中，状态总是不断变化的。因此，相对于单个状态能控，人们显然更加关注全体状态是否能控，即系统是否能控。 3. 线性时变控制系统能控性的Gram矩阵判据： 时变线性控制系统在t0时刻能控的充分必要条件是： 存在有限时刻tf>t0，使得如下的Gram矩阵 W(t0,tf)=∫tft0［Φ(t0,t)B(t)BT(t)ΦT(t0,t)］dt 可逆。这里用Φ(t,t0)表示系统的状态转移矩阵； 对于矩阵的积分就是每个元素分别积分。 注意式状态转移矩阵中两个时间变量的顺序。 对Gram矩阵判据有以下几点说明： ① 若W(t0,tf1)可逆，tf11时，被积矩阵一定不可逆。但W(t0,tf)作为积分、作为对时间的累加却有可能可逆，从而保证系统能控。这里再次体现了以时间换取空间位置转移的思想。 ③ 由于时变线性系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)一般难以求解，Gram矩阵W(t0,tf)因此也难以求解。因此，时变线性控制系统的Gram矩阵难以直接用于判断系统能控性，通常只具有理论意义。 4. 定常线性控制系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t)的能控性定义： 对于t0时刻不全为0的已知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn， (1) 若存在时刻tf>t0和控制输入u(t)，t∈［t0,tf)，使得x(tf)=0，则称状态x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T是能控的； (2) 若对状态分量ξ1,ξ2,…,ξn的任意取值，存在时刻tf>t0和控制输入u(t)，t∈［t0,tf)，使得x(tf)=0，则称状态完全能控，或称系统完全能控，简称系统能控。 5. (Gram矩阵判据)定常系统能控的充分必要条件是，存在tL>0，使得如下的Gram矩阵 W(tL)=∫tL0［e-AtBBTe-ATt］dt 可逆。 事实上，Gram矩阵W(tL)的可逆性由系统矩阵A和控制矩阵B决定，形式上与tL有关，但本质上与tL的取值无关(包括负值)，只要tL≠0。 矩阵指数eAt可以得到解析表达式，但当系统阶次较高时，获取Gram矩阵W(tL)的计算量复杂度仍然很高。 6. (秩判据)定常线性系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t)能控的充分必要条件是，如下能控性判别矩阵 QC(n)=［BAB…An-1B］ 行满秩，即rankQC(n)=n，而n就是QC(n)的行数。 7. (PBH秩判据，振型判据)定常线性系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t)能控的充分必要条件是，对系统矩阵A的任意特征值(振型)λ，有 rank［A-λEB］=n 即［A-λEB］行满秩。 8. (PBH特征向量判据)定常线性系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t)能控的充分必要条件是，AT的任意特征向量h均满足hTB≠0。 9. (若当标准型判据，实根情形)考虑如下的系统矩阵为上三角若当型矩阵的10阶线性定常控制系统 x·1 x·2 x·31 x·32 x·411 x·421 x·422 x·431 x·432 x·433=a1 a2 a31 a3 a4 a41 a4 a410 a41 a4x1 x2 x31 x32 x411 x421 x422 x431 x432 x433+b1 b2  b3 b41  b42   b43u 其中，特征值a1,a2,a3,a4两两互异； 控制矩阵拆分为10个行向量。 由于系统矩阵为上三角形式，因此只需关注每个若当块最后一行所对应的控制矩阵的行，例如，如控制矩阵的最后一行b43需要列出，因为对应最后一个三阶若当块的最后一行即［0…0a4］。表示的行对于判断系统能控性不起作用。 根据若当标准型判据，系统能控的充分必要条件是，4个向量组{b1}、{b2}、{b3}、{b41,b42,b43}均为线性无关； 或者说，b1、b2、b3均非零，且向量b41、b42、b43线性无关。 10. (若当标准型判据，共轭复根情形)考虑如下的系统矩阵为实若当型矩阵的10阶线性定常控制系统 x·111 x·112 x·113 x·114 x·121 x·122 x·21 x·22 x·3 x·4=α1β110 -β1α101 α1β1 -β1α1 α1β1 -β1α1 α2β2 -β2α2 α3 α4x111 x112 x113 x114 x121 x122 x21 x22 x3 x4+  b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8u 其中，系统矩阵为分块上三角结构，代表特征值的(α1,β1),(α2,β2),(α3,0),(α4,0)两两互异，代表特征值虚部的β1,β2均不为零； 控制矩阵拆分为10个行向量。 系统完全能控的充分必要条件是： rankb1 -b2 b3 -b4b2 b1 b4 b3=4,rankb5b6 -b6b5=2,b7≠0,b8≠0 11. 能观测性的一般概念： 考虑连续的n阶非线性时变控制系统 x·(t)=f［x(t),u(t),t］,x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T y(t)=g［x(t),u(t),t］ 其中x(t)为状态向量，u(t)为控制输入向量，y(t)为可测输出向量，t0是某个被关注的时刻，未必是初始时刻，ξ1,ξ2,…,ξn为未知常数。 状态的能观测性问题包括以下几条。 (1) 待处理对象为x(t0)，包括时刻t0，以及这一时刻的未知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn。 (2) 目标： ξi=?即要求确定状态在空间中的具体位置，而且必须是唯一解。 (3) 工具： ①状态方程的结构和参数； ②时刻t0； ③输入u(t)和输出y(t)。 (4) 手段： 选取有限时刻tf>t0，利用u(t)，y(t)，t∈［t0,tf)求解各个ξi。 (5) 关键： 能够求得ξi的条件是什么？ 12. 状态能观测性定义： 对于t0时刻和这一时刻的未知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn，若存在时刻tf>t0，利用输入u(t)和输出y(t)，t∈［t0,tf)能够确定各个ξi，则称t0时刻的状态向量x(t0)是能观测的。 对于上述定义，有以下几点解读： ① x(t0)是否能观测和时刻t0有关，即相同的ξi真实值、不同的时刻t0可能导致不同的能观测性； ② x(t0)是否能观测和x(t0)在状态空间中的实际位置有关，即不同的ξi真实值、相同的时刻t0可能导致不同的能观测性； ③ 确定各个ξi的真实值需要时间区间［t0,tf)上的输入u(t)输出y(t)，不会在t0瞬时完成，必然是个时间过程，是用时间来换取空间位置的定位。 ④ 与能控性类似，能观测性探讨由低维的输入和输出确定高维状态向量的可行性。 研究表明，对于时变系统，状态能观测性往往和时刻t0有关； 对于非线性系统，状态能观测性通常和x(t0)在空间中的实际位置有关。 13. 对于n阶时变线性控制系统 x·(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T y(t)=C(t)x(t) 其中x(t)为状态向量，u(t)为控制输入向量，t0是某个被关注的时刻，未必是初始时刻，状态分量ξ1,ξ2,…,ξn为未知常数。对于该系统，有如下定义： 对于t0时刻和这一时刻的未知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn， (1) 若存在时刻tf>t0，利用输入u(t)和输出y(t)，t∈［t0,tf)能够唯一确定各个ξi，则称t0时刻的状态向量x(t0)是能观测的； (2) 若对状态分量ξ1,ξ2,…,ξn的任意未知实际值，总存在时刻tf>t0，利用输入u(t)和输出y(t)，t∈［t0,tf)能够唯一确定各个ξi，则称在t0时刻状态完全能观测，或称系统在t0时刻完全能观测，简称系统在t0时刻能观测。 对上述定义有几点解读： ① 对于时变系统，能观测性概念始终依赖具体的t0时刻。t0取值的改变通常会带来能观测性的改变； ② 定义中有从单个状态能观测到全体状态能观测的过渡； ③ 与能控性类似，定义中有从状态能观测到系统能观测的过渡。 同样，其合理性在于状态变量可以用来代表整个系统。 因为系统状态总是不断变化的，所以，相对于单个状态能观测，研究全体状态是否能观测，即系统是否能观测显然更有意义。 14. 时变线性控制系统的能观测性的Gram矩阵判据： 时变线性控制系统在t0时刻能观测的充分必要条件是： 存在有限时刻tf>t0，使得如下的Gram矩阵 W(t0,tf)=∫tft0［ΦT(t,t0)CT(t)C(t)Φ(t,t0)］dt 可逆。这里用Φ(t,t0)表示系统的状态转移矩阵，矩阵的积分就是每个元素分别积分。 15. 两个时变控制系统 Σ1:x·(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) y(t)=C(t)x(t) 和 Σ2:x(t)=-AT(t)x-(t)+CT(t)u-(t) y-(t)=BT(t)x-(t) 称为对偶系统。 系统Σ1的运动是从时刻t0向时刻t的转移； 而系统Σ2的运动是从时刻t向时刻t0的转移。 记系统Σ1和系统Σ2的状态转移矩阵分别为Φ1(t,t0)和Φ2(t,t0)，则Φ2(t,t0)=ΦT1(t0,t)。 若系统Σ1和系统Σ2简化为定常的，且传递函数矩阵分别为G1(s)和G2(s)，则G2(s)=-GT1(-s)。 系统Σ1的能控性等同于系统Σ2的能观测性； 系统Σ1的能观测性等同于系统Σ2的能控性。对照定常控制系统的各种能控与能观测判据，这一点将尤为明显。 对偶现象实际上广泛存在，如电路中的对偶现象； 几何学中两点确定一条直线、两条直线确定(交于)一点； 三点确定一个平面、三个平面确定(交于)一点等。 16. 定常控制系统的能观测性： n阶定常线性控制系统 x·(t)=Ax(t)+Bu(t),x(t0)=［ξ1ξ2…ξn］T y(t)=Cx(t) 其中x(t)为状态向量，u(t)为控制输入向量，t0是某个被关注的时刻，未必是初始时刻，状态分量ξ1,ξ2,…,ξn为未知常数。 与针对能控性的讨论类似，定常线性系统的能观测性与时刻t0的取值无关，因而只需关注未知状态分量ξ1,ξ2,…,ξn。 对于t0时刻的未知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn， (1) 若存在时刻tf>t0，利用输入u(t)和输出y(t)，t∈［t0,tf)能够唯一确定各个ξi，则称未知状态向量x(t0)是能观测的； (2) 若对状态分量ξ1,ξ2,…,ξn的任意实际值，总存在时刻tf>t0，利用输入u(t)和输出y(t)，t∈［t0,tf)能够唯一确定各个ξi，则称状态完全能观测，或称系统完全能观测，简称系统能观测。 17. (Gram矩阵判据)定常系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)能观测的充分必要条件是，存在tL>0，使得如下的Gram矩阵 W(tL)=∫tL0［eATtCTCeAt］dt 可逆。 对于定常系统，Gram矩阵W(tL)的可逆性取决于系统矩阵A和输出矩阵C，形式上与tL有关，但本质上只要tL≠0即可。 18. (秩判据)定常系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)能观测的充分必要条件是，如下能观测性判别矩阵 QO(n)=C CA  CAn-1 列满秩，即rankQO(n)=n，而n就是QO(n)的列数。 19. (PBH秩判据，振型判据)定常系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)能观测的充分必要条件是，对系统矩阵A的任意特征值λ，有 rankA-λE C=n 20. (PBH特征向量判据)定常系统x·(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)能观测的充分必要条件是，A的任意特征向量h均满足Ch≠0。 21. (定常系统若当标准型判据，实根)： 考虑如下的系统矩阵为上三角若当型矩阵的10阶定常线性控制系统 x·1 x·2 x·31 x·32 x·411 x·421 x·422 x·431 x·432 x·433=a1 a2 a31 a3 a4 a41 a4 a410 a41 a4x1 x2 x31 x32 x411 x421 x422 x431 x432 x433+Bu y=c1c2c3c41c42c43x 其中，特征值a1,a2,a3,a4两两互异； 输出矩阵拆分为10个列向量。 针对系统矩阵的上三角形式，这里只需关注每个若当块第一列所对应的输出矩阵的列，例如，如输出矩阵的倒数第三列c43需要列出，因为对应最后一个三阶若当块的第一列即系统矩阵的倒数第三列。表示的列不影响系统的能观测性。 根据若当标准型判据，系统能观测的充分必要条件是，4个向量组{c1}、{c2}、{c3}、{c41,c42,c43}均为线性无关； 或者说，c1、c2、c3均非零，且向量c41、c42、c43线性无关。 进行判别时，输出矩阵中对应同一特征值的列归入同一组，不同的组之间没有联系。 与能控性时类似： 系统能观测的必要条件之一，是输出维数不低于特征值的几何重数。几何重数影响能观测性，而代数重数未必。 22. (定常系统若当标准型判据，共轭复根)： 考虑如下的系统矩阵为实若当型矩阵的10阶定常线性控制系统 x·111 x·112 x·113 x·114 x·121 x·122 x·21 x·22 x·3 x·4=α1β110 -β1α101 α1β1 -β1α1 α1β1 -β1α1 α2β2 -β2α2 α3 α4x111 x112 x113 x114 x121 x122 x21 x22 x3 x4+Bu y=c1c2c3c4c5c6c7c8x 其中，系统矩阵为分块上三角结构，代表特征值的(α1,β1),(α2,β2),(α3,0),(α4,0)两两互异，代表特征值虚部的β1,β2均不为零； 输出矩阵拆分为10个列向量。 系统完全能观测的充分必要条件是： rankc1c2c3c4 -c2c1-c4c3=4,rankc5c6 -c6c5=2,c7≠0,c8≠0 23. 能观测性的时间顺序： 能控问题是选取控制输入，把t0时刻的已知状态x(t0)在之后的某个时刻tf精确转移到指定的目标状态如原点，从时间角度看是“面向未来”的。能观测问题是t0时刻的状态x(t0)未知，要利用t0到之后某个时刻tf期间的输入和输出来确定x(t0)，从时间角度看是“回首往事”，因为时刻t0在已经发生的输入和输出之前。 确定过去时刻t0的状态x(t0)，不能说没有意义； 但不论从前馈控制还是反馈控制的角度讲，确定还未发生的、将来的状态显然更有意义，且意义重大。实际上，能观测性概念也可以做到“面向未来”，即确定还未发生的状态，见如下的能观测性定义： 定义对于未来时刻t0和这一时刻的未知常值状态分量ξ1,ξ2,…,ξn， (1) 若存在时刻tfp，可采用能控性实现为 A=0Ep…0  00…Ep -aiEp-ai-1Ep…-a1Eppl×pl=010 001 -6-11-6 B=0  0 Eppl×p=0 0 1 C=［blbl-1…b1］q×pl=［410］ 验证由以上A、B、C构成的状态空间表达式，必有C(s-EA)-1B=G(s)，从而此为该系统的能控性实现。 (2) 将G(s)分子分母同时除以2，可得G(s)的首项为1的最小公分母为 ψ(s)=s3+a1s2+a2s+a3=s3+6s2+11s+6 则， P(s)=ψ(s)G(s)=b1s2+b2s+b3=s+4 由于G(s)的q>p，可采用能观测性实现为 A=0…0-aiEq Em…0-ai-1Eq  0…Em-a1Eqql×ql=00-6 10-11 01-6 B=bl bl-1  b1ql×p=4 1 0 C=［00…Iq］q×ql=［001］ 验证由以上A、B、C构成的状态空间表达式，必有C(s-EA)-1B=G(s)，此为该系统的能观测性实现。