第3章基于反馈的二阶有源滤波器的分析与设计
20世纪20—60年代，实际应用的滤波器主要是由电阻、电感和电容构成的无源滤波器。在20世纪50年代人们已经认识到，用有源电路替代电感在减小体积和降低成本方面具有潜在的优势，用电阻、电容和晶体管构成的电路也可以实现无源网络的频率特性，但是当时这种有源滤波器还不能完全达到实用要求。20世纪60年代中期，高质量集成运算放大器走向商品化，有源RC滤波器获得了很大的发展。
有源滤波器的优点主要有： 尺寸小，重量轻； 采用集成工艺可以大批量生产，价格低，可靠性高； 可以提供增益； 可以与数字电路集成在同一芯片上。有源滤波器的不足之处主要是： 适用频率范围受有源器件有限带宽的限制； 受元件值的容差和漂移的影响较大，即灵敏度相对来说比较高。
二阶有源RC滤波电路是高阶有源滤波电路的基础。二阶有源滤波电路的设计方法有多种，本章主要介绍基于反馈结构的二阶有源滤波电路的设计。
3．1实际运算放大器
3．1．1实际运算放大器的模型
运算放大器(简称运放)是组成滤波电路的一个重要的有源器件，其性能直接影响有源RC滤波器的整体特性。理想运放模型取运放的增益无穷大，然而实际运放的增益只能是有限值，而且与频率有关，工作在小信号状态下的实际运放的开环增益特性可以近似用单极点网络函数表示
A(s)=A01+s/ω0(311)
式中，A0表示运放的直流增益，ω0为3dB截止角频率，对应的Bode图如图311所示。


图311运放单极点模型Bode图 

通常情况下，运放的直流增益可达100dB，3dB截止频率f0=ω0/(2π)只有几赫兹或几十赫兹。在分析电路时，若角频率ωω0，式(311)可进一步化简为
A(s)=A0ω0s=1sτ(312)
式中，A0ω0为增益带宽乘积，A0ω0的倒数定义为运放的时间常数τ，理想运放的τ等于零。
3．1．2实际运算放大器电路分析
在有源滤波电路中常用反相放大器、同相放大器和积分器，接下来进行具体分析。
1． 反相放大器
反相放大器的电路如图312所示。


图312反相放大器

运算放大器的同相输入端电位V+(s)为0，反相输入端电位V-(s)可利用叠加定理分析得
V-(s)=R2R1+R2Vi(s)+R1R1+R2Vo(s)

(313)
实际运算放大器的输入输出有如下关系： 
Vo(s)=A(s)［V+(s)-V-(s)］(314)
将V+(s)及V-(s)代入式(314)可分析出该反相放大器的增益为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=-R2A(s)R1+R2+R1A(s)=-K1+1+KA(s)(315)
当运算放大器为理想的情况下，A(s)→∞，则
H(s)|A(s)→∞=-R2R1=-K(316)
即K=R2/R1为由理想运算放大器构成的反相放大器的增益的负值。
若工作角频率ωω0，将式(312)代入式(315)，可得
H(s)=-K1+(1+K)sτ(317)
2． 同相放大器
同相放大器的电路如图313所示。


图313同相放大器

运算放大器的同相输入端电位V+(s)为Vi(s)，反相输入端电位V-(s)可由下式分析： 
V-(s)=R1R1+R2Vo(s)(318)
将V+(s)及V-(s)代入式(314)，可分析出该同相放大器的增益为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=A(s)(R1+R2)R1+R2+R1A(s)=K1+KA(s)(319)
当运算放大器为理想的情况下，A(s)→∞，则
H(s)|A(s)→∞=1+R2R1=K(3110)
即K=1+R2R1为由理想运算放大器构成的同相放大器的增益。
若工作角频率ωω0，将式(312)代入式(319)，可得
H(s)=K1+Ksτ(3111)
3． 反相积分器
反相积分器的电路如图314所示。


图314反相积分器

运算放大器的同相输入端电位V+(s)为0，反相输入端电位V-(s)可利用叠加定理分析得
V-(s)=1sCR+1sCVi(s)+RR+1sCVo(s)

(3112)
将V+(s)及V-(s)代入式(314)，可分析出该反相积分器的增益为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=-1RC1s+1A(s)s+1RC(3113)
当运算放大器为理想的情况下，A(s)→∞，则
H(s)|A(s)→∞=-1sRC(3114)
若工作角频率ωω0，将式(312)代入式(3113)，可得
H(s)=-1sRC1+τRC+sτ(3115)
3．2双线性转移函数和双二次转移函数
在滤波器综合设计中常用的转移函数有双线性函数和双二次函数两种，由线性无源RLC元件构成的二端口网络的转移函数H(s)满足无源网络的网络函数的一般性质，这些性质是： 
(1) H(s)是s的实系数有理函数； 
(2) H(s)的全部极点位于s左半平面，或为虚轴上的单阶极点； 
(3) H(s)的零点可以在s平面的任何位置； 
(4) 复数极点必共轭成对出现，复数零点也必共轭成对出现。
3．2．1双线性转移函数
分子、分母均为s的一次式的转移函数称为双线性转移函数，其一般形式如下：
H(s)=a1s+a0s+ω0(321)
式中，ω0表示滤波器的截止频率，分子系数a0和a1的不同形式决定了滤波器的不同类型。
现分别研究双线性转移函数分子多项式系数的几种特殊取值的情形。
1． a0≠0，a1=0(低通滤波器)
当a0≠0，a1=0时，对应为低通滤波器，其转移函数为
H(s)=a0s+ω0(322)
令s=jω，有
H(jω)=a0jω+ω0(323)
因此该转移函数的幅频特性为
|H(jω)|=|a0|ω2+ω20(324)
由式(324)可以看出，随着ω的加大，|H(jω)|单调减小，因此式(322)对应为低通滤波器的转移函数。
对式(324)取常用对数再乘以20，可得到以dB为单位的增益函数
G(ω)=20lg|H(jω)|=20lga0ω2+ω20(dB)(325)
利用MATLAB画出其幅频特性如图321(a)所示［式(321)中a0=10，a1=0，ω0=1rad/s］，可以看出这是一个低通滤波器的增益特性。
当ω=0时，增益函数达到其最大值G(0)=20lga0ω0=20(dB)，称为直流增益。
当ω=ω0时，增益函数为
G(ω0)=20lga0ω02=20lga0ω0-3=G(0)-3=17(dB)(326)
此时，增益较ω=0时下降了3dB，因此0~ω0的频带宽度称为3dB带宽。


图321双线性转移函数的幅频特性


2． a0=0，a1≠0(高通滤波器)
当a0=0，a1≠0时，对应为高通滤波器，其转移函数为
H(s)=a1ss+ω0(327)
幅频特性为
|H(jω)|=|a1ω|ω2+ω20(328)
由式(328)可以看出，随着ω的加大，|H(jω)|单调增加，因此式(327)对应为高通滤波器的转移函数。
增益函数为
G(ω)=20lga1ωω2+ω20(dB)(329)
利用MATLAB画出其幅频特性如图321(b)所示［式(321)中a0=0，a1=10，ω0=1rad/s］，可以看出这是一个高通滤波器的增益特性。
当ω=0时，增益函数G(0)=20lga1ωω2+ω20=0(dB)，即在直流时传输信号为零。
当ω→∞时，增益函数G(∞)=20lg|a1|=20(dB)。
当ω=ω0时，增益函数为
G(ω0)=20lga12=G(∞)-3=17(dB)(3210)
此时，较高频增益G(∞)时下降了3dB。
3． a0=-a1ω0(全通滤波器)
当a0=-a1ω0时，对应为全通滤波器，其转移函数为
H(s)=a1(s-ω0)s+ω0(3211)
幅频特性为
|H(jω)|=|a1|(3212)
由式(3212)可以看出，|H(jω)|与ω无关，因此式(3211)对应为全通滤波器的转移函数。
增益函数为
G(ω)=20lg|a1|(dB)(3213)
利用MATLAB画出其幅频特性和相频特性如图322所示［式(321)中a0=10，a1=-10，ω0=1rad/s］，可以看出这是一个全通滤波器的增益特性。


图322双线性转移函数的频率特性（全通a0=10，a1=-10，ω0=1rad/s）


3．2．2双二次转移函数
分子、分母均为s的二次式的转移函数称为双二次转移函数，其一般形式为
H(s)=N(s)D(s)=a2s2+a1s+a0s2+b1s+b0=a2s2+a1s+a0s2+ω0Qs+ω20(3214)
式中，ω0和Q分别表示H(s)的极点频率和品质因数。
现分别研究双二次转移函数分子多项式系数的几种特殊取值的情形。
1． a0≠0，a1=a2=0(低通滤波器)
当a0≠0，a1=a2=0时，对应为低通滤波器，其转移函数为
H(s)=a0s2+b1s+b0=a0s2+ω0Qs+ω20(3215)
式中，ω0称为低通滤波器的截止频率。
H(s)的幅频特性为
|H(jω)|=|a0|(ω20-ω2)2+ω0ωQ2(3216)
当ω=0时，|H(j0)|=|a0|ω20； 当ω→∞时，|H(j∞)|→0。
令ddωH(jω)|=0，可求出|H(jω)|出现极大值时的频率以及极大值分别为
ωmax=ω01-12Q2(3217)

|H(jω)|max=|H(jωmax)|=|a0|Qω201-14Q2(3218)
由式(3217)知，仅当1-12Q2>0即Q>12时，|H(jω)|才会出现极大值。当Q=12时电路的响应称为最大平坦响应。由式(3217)还可以看出，Q值越高，ωmax越接近于ω0。通常，当Q>5时，可认为ωmax≈ω0。
利用MATLAB画出不同Q值情况下式(3215)所表示的双二次转移函数的幅频特性，如图323(a)所示［当式(3214)中a0=10，a1=a2=0，ω0=1rad/s时］，可以看出这是一个低通滤波器的增益特性。


图323双二次转移函数的幅频特性


2． a0=a1=0，a2≠0(高通滤波器)
当a0=a1=0，a2≠0时，对应为高通滤波器，其转移函数为
H(s)=a2s2s2+b1s+b0=a2s2s2+ω0Qs+ω20(3219)
式中，ω0称为高通滤波器的截止频率。
H(s)幅频特性为
|H(jω)|=|a2|ω2(ω20-ω2)2+ω0ωQ2(3220)
当ω=0时，|H(j0)|=0； 当ω→∞时，|H(j∞)|→|a2|。
令ddω|H(jω)|=0，可求出|H(jω)|出现极大值时的频率以及极大值分别为
ωmax=ω011-12Q2(3221)

|H(jω)|max=|H(jωmax)|=|a2|Q1-14Q2(3222)
由式(3221)知，仅当1-12Q2>0即Q>12时，|H(jω)|才会出现极大值。
利用MATLAB画出不同Q值情况下式(3219)所表示的双二次转移函数的幅频特性，如图323(b)所示［当式(3214)中a0=a1=0，a2=10，ω0=1rad/s时］，可以看出这是一个高通滤波器的增益特性。
3． a0=a2=0，a1≠0(带通滤波器)
当a0=a2=0，a1≠0时，可实现带通滤波器，其转移函数为
H(s)=a1ss2+b1s+b0=a1ss2+ω0Qs+ω20(3223)
幅频特性为
|H(jω)|=|a1|ω(ω20-ω2)2+ω0ωQ2(3224)
当ω=0和ω→∞时，|H(j0)|=|H(j∞)|=0； 当ω=ω0时，|H(jω)|出现极大值为
|H(jω)|max=|H(jω0)|=|a1|Qω0(3225)
带通滤波器的幅频特性中极大值对应的频率称为中心频率，故式(3223)表示的二阶带通滤波函数的中心频率为ω0。二阶带通滤波器不失真地传送信号的频率范围称为通频带，通频带通常用3dB带宽来表征，即增益函数由峰值下降3dB(对应幅频特性|H(jω)|下降至峰值的1/2)的频带宽度，利用式(3224)可分析出3dB带宽的边界频率ω1和ω2分别为
ω1=ω01+14Q2-12Q(3226)
ω2=ω01+14Q2+12Q(3227)

因此其3dB带宽BW为
BW=ω2-ω1=ω0Q(3228)
利用MATLAB画出式(3223)所表示的双二次转移函数的幅频特性，如图324所示［当式(3214)中a0=a2=0，a1=10，ω0=1rad/s，Q=1时］，可以看出这是一个带通滤波器的增益特性。


图324双二次转移函数的幅频特性（带通a0=a2=0，a1=10，ω0=1rad/s，Q=1）


4． a0≠0，a1=0，a2≠0(带阻滤波器)
当a0≠0，a1=0，a2≠0时，可实现带阻滤波函数，其转移函数为
H(s)=a2s2+a0s2+b1s+b0=a2s2+ω2zs2+ω0Qs+ω20(3229)
式中，ωz称为带阻滤波器的零点频率。
幅频特性为
|H(jω)|=|a2(ω2z-ω2)|(ω20-ω2)2+ω0ωQ2(3230)
当ω=ωz时，|H(jωz)|=0； 当ω=0时，直流增益|H(j0)|=|a2|ω2zω20； 当ω→∞时，高频增益|H(j∞)|=|a2|。
根据零点频率ωz与极点频率ω0的相对大小，可分为以下三种情况： 
(1) 当ωz=ω0时，直流增益等于高频增益，即|H(j0)|=|H(j∞)|=|a2|，这种情况称为标准陷波。利用MATLAB画出其对应的幅频特性，如图325(a)所示［当式(3229)中a2=10，ωz=ω0=1rad/s，Q=10时］。


图325a0≠0，a1=0，a2≠0时双二次转移函数的幅频特性


(2) 当ωz>ω0时，直流增益大于高频增益，即|H(j0)|>|H(j∞)|，这种情况称为低通陷波。利用MATLAB画出其对应的幅频特性，如图325(b)所示［当式(3229)中a2=10，ωz=10rad/s，ω0=1rad/s，Q=10时］。
(3) 当ωz<ω0时，直流增益小于高频增益，即|H(j0)|<|H(j∞)|，这种情况称为高通陷波。利用MATLAB画出其对应的幅频特性，如图325(c)所示［当式(3229)中a2=10，ωz=0．1rad/s，ω0=1rad/s，Q=10时］。
5. a0=a2ω20，a1=-a2(ω0/Q)(全通滤波器)
当a0=a2ω20，a1=-a2(ω0/Q)时，可实现全通滤波函数，其转移函数
H(s)=a2s2-ω0Qs+ω20s2+ω0Qs+ω20(3231)
幅频特性为
|H(jω)|=|a2|(3232)

由式(3232)可以看出，|H(jω)|与ω无关，即对所有的频率分量的传输能力是相同的，因此式(3231)对应为全通滤波器的转移函数。
利用MATLAB画出其幅频特性和相频特性如图326所示［当式(3214)中a0=10，a1=-10，a2=10，ω0=1rad/s，Q=1时］，可以看出这是一个全通滤波器的增益特性。


图326双二次转移函数的频率特性（全通a0=10，a1=-10，a2=10，ω0=1rad/s，Q=1）


3．3基于反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构
实现双二次转移函数的有源滤波器称为双二次型有源滤波器，它是实现高阶有源滤波器的基本电路，常简称为“二阶节”或“双二次节”。二阶节可由一个运放或者多个运放和RC元件构成，本节介绍由一个运放和RC元件构成的二阶节。按照RC网络反馈方式的不同，可将双二次型有源RC滤波器分为正反馈和负反馈两种电路结构。
3．3．1基于正反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构
1． 电路结构
基于正反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构如图331所示，其中的RC无源网络是一个四端网络，输入信号Vi(s)接入2端，输出信号Vo(s)接回3端经RC无源网络从1端反馈回运算放大器的同相输入端，构成正反馈。为保证运算放大器工作在线性区，电路中需要引入负反馈，这是由输出电压信号Vo(s)经分压后反馈到运算放大器的反相输入端来实现的，因此如图331所示的电路为一种混合反馈结构。


图331基于正反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构图


2． 转移函数
对于图331中的RC无源网络来说，该网络有两个输入［2端的V2(s)=Vi(s)与3端的V3(s)=Vo(s)］和一个输出［1端的V1(s)=V+(s)］，在此定义RC无源网络的前馈转移函数T12(s)和反馈转移函数T13(s)分别为
T12(s)=V1(s)V2(s)V3(s)=0(331)

T13(s)=V1(s)V3(s)V2(s)=0(332)
由叠加定理知，运算放大器的同相输入端电位V+(s)可表示为
V+(s)=T12(s)Vi(s)+T13(s)Vo(s)(333)
分析反相输入端电位V-(s)可得
V-(s)=RbRa+RbVo(s)(334)
对于实际运算放大器来说，其输入输出有如下关系: 
Vo(s)=A(s)［V+(s)-V-(s)］(335)
将式(333)和式(334)代入式(335)，可分析出该滤波器的增益为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=KT12(s)1-KT13(s)+KA(s)(336)
式中，K=1+Ra/Rb，为负反馈支路中电阻Ra和Rb的分压系数。
运算放大器为理想的情况下，A(s)→∞，则
H(s)|A(s)→∞=KT12(s)1-KT13(s)(337)
将RC网络的前馈转移函数T12(s)和反馈转移函数T13(s)分别写为两个多项式之比
T12(s)=N12(s)D12(s)(338)

T13(s)=N13(s)D13(s)(339)
一般情况下，同一网络的不同转移函数的极点是相同的，即分母多项式是相同的，令D12(s)=D13(s)=D(s)，故
T12(s)=N12(s)D(s)(3310)

T13(s)=N13(s)D(s)(3311)
将式(3310)和式(3311)代入式(337)有
H(s)|A(s)→∞=KN12(s)D(s)-KN13(s)(3312)
式(3312)表明，当运算放大器为理想的情况下，RC网络前馈转移函数T12(s)的零点即滤波器转移函数H(s)的零点，RC网络的极点、反馈转移函数T13(s)的零点及因子K共同决定H(s)的极点。
3． RC无源网络的实现
图331中的RC无源网络常用梯形网络来实现，其一般电路结构如图332(a)所示。


图332适用于图331所示结构的RC无源梯形网络1


可分析图332(a)所示梯形网络的前馈转移函数和反馈转移函数分别为
T12(s)=N12(s)D(s)=Y2Y3Y1Y3+Y1Y4+Y2Y3+Y2Y4+Y3Y4(3313)

T13(s)=N13(s)D(s)=Y1Y3Y1Y3+Y1Y4+Y2Y3+Y2Y4+Y3Y4(3314)
结合式(3312)、式(3313)和式(3314)，可分析出运算放大器为理想的情况下，由图332(a)所示RC梯形网络构成的如图331所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=KY2Y3(1-K)Y1Y3+Y1Y4+Y2Y3+Y2Y4+Y3Y4(3315)
图332(b)和图332(c)给出了2种与图332(a)结构相同，并适用于图331所示结构中的RC无源梯形网络。
对比图332(a)和图332(b)，有Y1=sC2、Y2=1/R1、Y3=1/R2、Y4=sC1，代入式(3315)，可分析出运算放大器为理想的情况下，由图332(b)所示RC梯形网络构成的如图331所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=K1R1R2C1C2s2+s1R1+1R21C2+1-KR2C1+1R1R2C1C2(3316)
由式(3316)可以看出，此时构成二阶低通滤波器。
对比图332(a)和图332(c)，有Y1=1/R2、Y2=sC1、Y3=sC2、Y4=1/R1，代入式(3315)，可分析出运算放大器为理想的情况下，由图332(c)所示RC梯形网络构成的如图331所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=Ks2s2+s1C1+1C21R1+1-KR2C1+1R1R2C1C2(3317)
由式(3317)可以看出，此时构成二阶高通滤波器。
图333(b)所示网络亦适用于图331所示结构中的RC梯形网络，该网络依然是梯形网络，其一般形式如图333(a)所示，是以图332(a)所示梯形网络为基础，在中间节点和地之间接入了Y5。


图333适用于图331所示结构的RC无源梯形网络2


可分析图333(a)所示梯形网络的前馈转移函数和反馈转移函数分别为
T12(s)=N12(s)D(s)=Y2Y3Y1Y3+Y1Y4+Y2Y3+Y2Y4+Y3Y4+Y3Y5+Y4Y5 

(3318)
T13(s)=N13(s)D(s)=Y1Y3Y1Y3+Y1Y4+Y2Y3+Y2Y4+Y3Y4+Y3Y5+Y4Y5 

(3319)
对比图333(a)和图333(b)，有Y1=1/R2、Y2=1/R1、Y3=sC2、Y4=1/R3、Y5=sC1。结合式(3312)、式(3318)和式(3319)，可分析出当运算放大器为理想的情况下，由图333(b)所示RC梯形网络构成的如图331所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=sKR1C1s2+s1R1+1R21C1+1R31C1+1C2-K1R2C1+1R1+1R21R3C1C2(3320)
由式(3320)可以看出，此时构成二阶带通滤波器。
3．3．2基于负反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构
1． 电路结构
基于负反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构如图334所示，其中的RC无源网络是一个四端网络，输入信号Vi(s)接入2端，输出信号Vo(s)接回3端经RC无源网络从1端反馈回运算放大器的反相输入端，构成负反馈。


图334基于负反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构图


2． 转移函数
图334所示结构中的RC无源网络，同样定义前馈转移函数T12(s)和反馈转移函数T13(s)与式(331)和式(332)相同。
利用叠加定理，运算放大器的反相输入端电位V-(s)可表示为
V-(s)=T12(s)Vi(s)+T13(s)Vo(s)(3321)

图334所示电路中同相输入端电位V+(s)=0，将V+(s)及式(3321)代入式(335)所示的实际运算放大器的输入输出关系表达式，可分析出该滤波器的增益为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=-T12(s)T13(s)+1A(s)(3322)
当运算放大器为理想的情况下，A(s)→∞，则
H(s)|A(s)→∞=-T12(s)T13(s)(3323)
将式(3310)和式(3311)代入式(3323)有
H(s)|A(s)→∞=-N12(s)N13(s)(3324)
式(3324)表明，当运算放大器为理想的情况下，RC网络前馈转移函数T12(s)的零点即滤波器转移函数H(s)的零点，RC网络反馈转移函数T13(s)的零点即滤波器转移函数H(s)的极点。
3． RC无源网络的实现
负反馈结构单运放双二次型有源RC滤波器中常用的RC无源网络是桥T形网络，其一般电路结构如图335(a)所示。


图335适用于图334所示结构中的RC无源桥T形网络1


可分析图335(a)所示桥T形网络的前馈转移函数和反馈转移函数分别为
T12(s)=N12(s)D(s)=Y2Y4Y1Y2+Y1Y3+Y2Y3+Y2Y4+Y3Y4(3325)

T13(s)=N13(s)D(s)=Y1Y2+Y1Y3+Y2Y3+Y3Y4Y1Y2+Y1Y3+Y2Y3+Y2Y4+Y3Y4(3326)
结合式(3324)、式(3325)和式(3326)，可分析出当运算放大器为理想的情况下，由图335(a)所示RC桥T形网络构成的如图334所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=-Y2Y4Y1Y2+Y1Y3+Y2Y3+Y3Y4(3327)
图335(b)和图335(c)给出了2种与图335(a)结构相同，并适用于图334所示结构中的RC无源桥T形网络。
对比图335(a)和图335(b)，有Y1=1/R2、Y2=1/R1、Y3=sC2、Y4=sC1，代入式(3327)，可分析出当运算放大器为理想的情况下，由图335(b)所示RC梯形网络构成的如图334所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=-s1R1C2s2+s1R1+1R21C1+1R1R2C1C2(3328)
由式(3328)可以看出，此时构成二阶带通滤波器。
对比图335(a)和图335(c)，有Y1=sC2、Y2=sC1、Y3=1/R2、Y4=1/R1，代入式(3327)，可分析出当运算放大器为理想的情况下，由图335(c)所示RC梯形网络构成的如图334所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=-s1R1C2s2+s1C1+1C21R2+1R1R2C1C2(3329)
由式(3329)可以看出，此时构成二阶带通滤波器。
图336(b)和图336(c)所示网络亦适用于图334所示结构中的RC梯形网络，该网络依然是桥T形网络，其一般形式如图336(a)所示，是以图335(a)所示桥T形网络为基础，在中间节点和地之间接入了Y5。


图336适用于图334所示结构中的RC无源桥T形网络2


可分析图336(a)所示梯形网络的前馈转移函数和反馈转移函数分别为
T12(s)=N12(s)D(s)=Y2Y4Y1Y2+Y1Y3+Y2Y3+Y2Y4+Y2Y5+Y3Y4+Y3Y5 (3330)

T13(s)=N13(s)D(s)=Y1Y2+Y1Y3+Y2Y3+Y3Y4+Y3Y5Y1Y2+Y1Y3+Y2Y3+Y2Y4+Y2Y5+Y3Y4+Y3Y5(3331)
对比图336(a)和图336(b)，有Y1=1/R2、Y2=1/R3、Y3=sC2、Y4=1/R1、Y5=sC1。结合式(3324)、式(3330)和式(3331)，可分析出当运算放大器为理想的情况下，由图336(b)所示RC梯形网络构成的如图334所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=-1R1R3C1C2s2+s1R1+1R2+1R31C1+1R2R3C1C2(3332)
由式(3332)可以看出，此时构成二阶低通滤波器。
对比图336(a)和图336(c)，有Y1=sC2、Y2=sC1、Y3=1/R2、Y4=1/R1、Y5=1/R3。结合式(3324)、式(3330)和式(3331)，可分析出运算放大器为理想的情况下，由图336(c)所示RC梯形网络构成的如图334所示滤波器的转移函数H(s)可表示为
H(s)|A(s)→∞=-s1R1C2s2+s1C1+1C21R2+1R1+1R31R2C1C2(3333)
由式(3333)可以看出，此时构成二阶带通滤波器。
3．4基于反馈的单运放双二次型有源RC滤波器的分析与设计
3．4．1低通有源RC滤波器的分析与设计
1． 基于正反馈的单运放双二次型低通有源RC滤波器的分析与设计
将图332(b)所示RC梯形网络引入图331所示基于正反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构图中，即得到如图341(a)所示的低通有源RC滤波器，该滤波器称为SallenKey(萨伦凯)低通滤波器，可进一步整理为如图341(b)所示电路。


图341SallenKey低通滤波器


3．3．3节从系统结构的角度对于该滤波器的传递函数已有分析，其结果如式(3316)所示。除此之外，也可以直接对图341(b)所示电路进行分析。为简化分析，把运算放大器看作理想的，由理想运放的虚短和虚断特性，可将同相输入端电位V+(s)及反相输入端电位V-(s)表示为
V+(s)=V-(s)=RbRa+RbVo(s)(341)
由理想运放的虚断特性可知R2和C1近似串联，有
V+(s)=1sC1R2+1sC1VA(s)(342)
结合式(341)和式(342)可分析出节点A的电位VA(s)为
VA(s)=Rb(1+sR2C1)Ra+RbVo(s)(343)
列写节点A的KCL方程，有下式成立
sC2［Vo(s)-VA(s)］+Vi(s)-VA(s)R1+V+(s)-VA(s)R2=0(344)
将式(341)和式(343)代入式(344)，可得图341(b)所示SallenKey低通滤波器的转移函数为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=K1R1R2C1C2s2+s1R1+1R21C2+1-KR2C1+1R1R2C1C2(345)
式中，K=1+Ra/Rb为负反馈支路中电阻Ra和Rb的分压系数。
观察发现，式(345)与在3．3．3节的分析结果［式(3316)］相同。为便于对比分析，将式(3215)所示的二阶低通滤波器转移函数的一般形式重写如下： 
H(s)=H0ω2zs2+ωpQps+ω2p(346)
对比式(345)和式(346)，可得图341(b)所示低通滤波器的设计方程为
ωp=ωz=1R1R2C1C2(347)

Qp=R1R2C1C2(R1+R2)C1+(1-K)R1C2(348)

H0=K=1+RaRb(349)
为设计图341(b)所示SallenKey低通滤波器，可以根据指标ωp、Qp和H0直接基于式(347)、式(348)和式(349)求取元件值。但待确定的参数共有5个，R1、R2、C1、C2和K，关系式只有3个，因此在选择元件值时有一定的自由度。但这样设计出的电路元件值分散性较大，实际设计中还有一些技巧，下面介绍两种设计方案。
设计方案1。
① 为减小元件值的分散性，取R1=R2=R，C1=C2=C，选取适当的电容值C； 
② 基于式(347)，根据给定的指标ωp和已确定的电容值C确定电阻值R； 
③ 基于式(348)，根据给定的指标Qp以及已确定的C和R确定K； 
④ 基于式(349)，根据求出的K值确定电阻值Ra和Rb。
设计方案2。
允许元件值有一定的分散性，取R1=R，R2=βR，C1=C，C2=αC，其中β称为电阻比，α称为电容比，代入式(347)和式(348)，有下式成立
β=α2Qp±α4Q2p+(K-1)α-12(3410)
为使β为实数，需要
α4Q2p+(K-1)α-1≥0(3411)
K值通常取1或2，当K=1［图341(b)所示电路中用短路替代Ra并除去Rb］时，要求α≥4Q2p，由于电容比α与Q2p有关，因此K=1只能用于Qp较低的滤波器设计。当K=2时，要求α≥4Q2p/(1+4Q2p)，显然，对Qp较大的电路，电容比并不大。
设计方案2的步骤如下： 
① 选取适当的K值，基于式(3411)，根据给定的指标Qp确定电容比α； 
② 基于式(3410)，根据给定的指标Qp以及已确定的K和α确定电阻比β； 
③ 选取适当的电容值C，即取C1=C，C2=αC，取R1=R，R2=βR，基于式(347)，根据给定的指标ωp以及已确定的α、β和C确定R； 
④ 基于式(349)，根据选取的K值确定电阻值Ra和Rb。
【例341】已知SallenKey低通滤波器如图341(b)所示，要求设计该滤波器使得其指标分别为ωp=104rad/s，Qp=1/2。
解: 设计方案1。
① 取R1=R2=R，C1=C2=C，选取C=1nF。
② 将给定的指标ωp及C1=C2=C=1nF代入式(347)，确定电阻值R。
ωp=1R1R2C1C2=1RCR=1ωpC=1104×10-9=105(Ω)=100(kΩ)
③ 将给定的指标Qp及C1=C2=C=1nF，R1=R2=R=100kΩ代入式(348)，确定K。
Qp=R1R2C1C2(R1+R2)C1+(1-K)R1C2=RC2RC+(1-K)RC=13-K

K=3-1Qp=3-2=1．586
④ 为减小元件值的分散性，取Rb=R=100kΩ，将K及Rb代入式(349)，确定电阻值Ra。
K=1+RaRbRa=Rb(K-1)=105×(1．586-1)=5．86×104(Ω)=58．6(kΩ)
利用Multisim对所设计的电路进行仿真，相应仿真电路及结果如图342所示。由其幅频特性图测出通带增益为4．006dB，对应20lg(K)=20lg(1．586)=4．006dB； 测出截止频率(增益为4．006-3=1．006dB处对应频率)约为1．588kHz，对应ωp=104rad/s，因此该设计满足设计需求。在仿真电路中直接采用波特测试仪(Bode Plotter)进行传递函数的频率特性分析，也可以使用Multisim的交流扫描(AC Sweep)分析功能进行讨论。


图342例341按设计方案1所设计电路的仿真电路及仿真结果


设计方案2。
① 选取K=1，代入式(3411)，得α≥(4Q2=2)，取α=2。
② 将Q、K和α代入式(3410)，确定电阻比β。
β=α2Q±α4Q2+（K-1）α-12=1
③ 选取C=1nF，则C1=C=1nF，C2=αC=2nF，取R1=R，则R2=R，将ωp、C1和C2代入式(347)，确定电阻值R。
ωp=1R1R2C1C2=1RC1C2R=1ωpC1C2

=1104×10-9×2=7．071×104(Ω)=70．71(kΩ)
④ 基于式(349)，根据选取的K值，确定电阻值Ra和Rb。K=1，可用短路替代Ra并除去Rb。
利用Multisim对所设计的电路进行仿真，相应仿真电路及结果如图343所示。由其幅频特性图测出通带增益为0dB，对应20lg(K)=20lg(1)=0dB； 测出截止频率(增益为0-3=-3dB处对应频率)约为1．588kHz，对应ωp=104rad/s，因此该设计满足了设计需求。


图343例341按设计方案2所设计电路的仿真电路及仿真结果


对于不同的设计方案，可以通过对比灵敏度来衡量性能好坏。基于式(347)和式(348)所示的设计方程，可求取该滤波器的无源灵敏度为
SωpR1=SωpR2=SωpC1=SωpC2=-0．5(3412)

SωpRa=SωpRb=0(3413)

SQpR1=-SQpR2=-0．5+QpR2C1R1C2(3414)

SQpC2=-SQpC1=-0．5+QpR1R2+R2R1C1C2(3415)

SQpRa=-SQpRb=(K-1)QpR1C2R2C1(3416)
由式(3414)和式（3415）可以看出SQpRi和SQpCi(i=1，2)直接与电路的QpC1/C2值有关，当Qp值较大时，为了降低无源灵敏度，需要增大电容比α=C2/C1。
2． 基于负反馈的单运放双二次型低通有源RC滤波器的分析与设计
将图336(b)所示RC无源网络引入图334所示基于负反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构图中，即得到如图344所示的低通有源RC滤波器，该滤波器为多端负反馈(Multiple Feedback，MFB)低通滤波器，又称无限增益多路反馈低通滤波器。


图344基于负反馈的单运放双二次型低通有源RC滤波器


3．3．3节从系统结构的角度对于该滤波器的传递函数已有分析，其结果如式(3332)所示。除此之外，也可以直接对图344所示电路进行分析。为简化分析，将运算放大器看作理想的，由理想运放的虚短特性知电路中同相输入端电位V+(s)和反相输入端电位V-(s)相等，可表示为
V+(s)=V-(s)=0(3417)
列写节点A的KCL方程，有下式成立： 
Vo(s)-VA(s)R2+Vi(s)-VA(s)R1+V-(s)-VA(s)R3-sC1VA(s)=0(3418)
将式(3417)代入式(3418)，可得该低通滤波器的转移函数为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=-1R1R3C1C2s2+s1R1+1R2+1R31C1+1R2R3C1C2(3419)
观察发现，式(3419)与3．3．3节的分析结果［式(3332)］相同。
对比式(346)和式(3419)，可得该滤波器的设计方程为
ωp=ωz=1R2R3C1C2(3420)

Qp=R1R2R3C1C2(R1R2+R1R3+R2R3)C2(3421)

H0=-R2R1(3422)
对于该低通滤波器的设计可以参照SallenKey低通滤波器的设计方法。
3．4．2带通有源RC滤波器的分析与设计
1． 基于正反馈的单运放双二次型带通有源RC滤波器的分析与设计
将图333(b)所示RC梯形网络引入图331所示电路结构中，整理后可得如图345所示的SallenKey带通滤波器。


图345SallenKey带通滤波器


3．3．3节从系统结构的角度对于该滤波器的传递函数已有分析，其结果如式(3320)所示。除此之外，也可以直接对图345所示电路进行分析。为简化分析，把运算放大器看作理想的，由理想运放的虚短和虚断特性，可将同相输入端电位V+(s)及反相输入端电位V-(s)表示为
V+(s)=V-(s)=RbRa+RbVo(s)(3423)
由理想运放的虚断特性可知C2和R3近似串联，有
V+(s)=R3R3+1sC2VA(s)(3424)
结合式(3423)和式(3424)可分析出节点A的电位VA(s)为
VA(s)=Rb(1+sR3C2)sR3C2(Ra+Rb)Vo(s)(3425)
列写节点A的KCL方程，有
Vo(s)-VA(s)R2+Vi(s)-VA(s)R1+sC2［V+(s)-VA(s)］-sC1VA(s)=0

(3426)
将式(3423)和式(3425)代入式(3426)，可得该SallenKey带通滤波器的转移函数为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=sKR1C1s2+s1R1+1R21C1+1R31C1+1C2-K1R2C1+1R1+1R21R3C1C2(3427)
式中，K=1+Ra/Rb为负反馈支路中电阻Ra和Rb的分压系数。
观察发现，式(3427)与3．3．3节的分析结果［式(3320)］相同。为便于对比分析，将式(3223)所示的二阶带通滤波器转移函数的一般形式重写如下： 
H(s)=H0ωzQzss2+ωpQps+ω2p=H′0ss2+ωpQps+ω2p(3428)
对比式(3427)和式(3428)，可得滤波器的设计方程为
ωp=1R1+1R21R3C1C2(3429)

Qp=1R1+1R21R3C1C21R1+1R21C1+1R31C1+1C2-K1R2C2(3430)

H′0=KR1C1(3431)
对于该带通滤波器的设计可以参照SallenKey低通滤波器的设计方法。
2． 基于负反馈的单运放双二次型带通有源RC滤波器的分析与设计
将图336(c)所示RC无源网络引入图334所示基于负反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构图中，得到如图346所示的带通有源RC滤波器，该滤波器为Delyiannis(德利雅尼斯)带通滤波器。与图334所示结构电路不同的是该电路中还引入了正反馈，这是由输出电压信号Vo(s)经分压后反馈到运算放大器的同相输入端来实现的，因此Delyiannis带通滤波器为混合反馈结构，这是为了使电路在R2/R1受到限制的情况下实现高Q值。


图346Delyiannis带通滤波器


为简化分析，把运算放大器看作理想的，由理想运放的虚短和虚断特性，可将同相输入端电位V+(s)及反相输入端电位V-(s)表示为
V+(s)=V-(s)=RbRa+RbVo(s)(3432)

由理想运放的虚断特性可知C1和R2近似串联，利用叠加定理有如下关系成立： 
V-(s)=R2R2+1/(sC1)VA(s)+1/(sC1)R2+1/(sC1)Vo(s)(3433)
将式(3432)代入式(3433)，可求取节点A的电位VA(s)为
VA(s)=Rb(1+sR2C1)s(Ra+Rb)R2C1-1sR2C1Vo(s)(3434)
列写节点A的KCL方程，有下式成立
Vi(s)-VA(s)R1-VA(s)R3+sC1［V-(s)-VA(s)］+sC2［Vo(s)-VA(s)］=0

(3435)
将式(3432)和式(3434)代入式(3435)，可得该Delyiannis带通滤波器的转移函数为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=-sγR1C2s2+s1R21C1+1C2+(1-γ)1R1+1R31C2+1R1+1R31R2C1C2(3436)
式中，γ=1+(Rb/Ra)，K=1+(Ra/Rb)。
观察发现，式(3436)与3．3．3节的分析结果［式(3333)］有部分不同，不同的原因是电路中的正反馈导致的。若令图346中的Ra=∞和Rb=0，则电路中的正反馈不复存在，与图334所示结构电路相同。此时，γ=1+(Rb/Ra)=1，将其代入式(3436)，所得到的传递函数则与式(3333)完全相同。
对比式(3428)和式(3436)，可得该Delyiannis带通滤波器的设计方程为
ωp=1R1+1R31R2C1C2(3437)

Qp=1R1+1R31R2C1C21R21C1+1C2+(1-γ)1R1+1R31C2(3438)

|H′0|=γR1C2(3439)
若允许元件值有一定的分散性，令R=R1∥R3，R2=βR，C1=C，C2=αC，则该Delyiannis带通滤波器的设计方程为
ωp=βαR22C2(3440)

Qp=11βα+1α+(1-γ)βα(3441)

|H′0|=γαR1C(3442)
由以上设计方程，可分别求得该带通滤波器的设计公式为
R2=1Cωpβα(3443)

γ=1+1+α-αβQpβ(3444)

R1=γα|H′0|C(3445)

R3=1βR2-1R1(3446)
因此该带通滤波器的设计步骤为
① 给定C，α，β的值； 
② 按式(3443)、式(3444)、式(3445)和式(3446)依次确定R2，γ，R1及R3； 
③ 根据γ值确定Ra和Rb。
【例342】已知Delyiannis带通滤波器如图346所示，要求设计该滤波器使得其指标分别为fp=4kHz，Q=20，|H0|=10，设C1=C2=10nF，β=1．9305。
解: ① 由题意知C=10nF，α=1。
② 将相关参数代入式(3443)、式(3444)、式(3445)和式(3446)，依次确定R2，γ，R1及R3分别为R2=5．528kΩ，γ=2，R1=15．23kΩ，R3=3．492kΩ。
③ 根据γ值确定Ra和Rb。
由γ=1+(Rb/Ra)=2，知Ra=Rb，在本例中取10kΩ。
利用Multisim对所设计的电路进行仿真，相应仿真电路及结果如图347所示。由其幅频特性图测出滤波器的中心频率约为4kHz，在该频率处增益为19．979dB时对应20lgK=20lg10=20dB，因此该设计满足了设计需求。


图347例342所设计电路的仿真电路及仿真结果


从该例可看出，尽管Q值较大，但最大电阻比并不大。此外，H0值还可以独立地加以指定。Delyiannis带通滤波器的设计也可先指定γ值，然后再确定β值，相关公式从略。
3．4．3高通有源RC滤波器的分析与设计
高通有源RC滤波器的设计方法大致有两种： 
一是将相应RC无源网络引入基于正反馈或负反馈的单运放双二次型有源RC滤波器电路结构图中组成高通滤波器。
二是以低通有源RC滤波器基础，直接将其变换为高通有源RC滤波器，这种方法称为RCCR变换法。
RCCR变换法将RC低通滤波器中的电阻R替换为1/Rωp(F)的电容，电容C替换为1/Cωp(Ω)的电阻，即可直接将其变换为高通有源RC滤波器，其变换条件为
RH=1CLωLp(3447)

CH=1RLωLp(3448)
式中，下标为L的参数为低通原型电路的参数，下标为H的参数为变换以后的高通电路的参数。
以图348(a)所示的SallenKey低通滤波器为例，进行RCCR变换后所得电路如图348(b)所示，该电路为SallenKey高通滤波器。


图348RCCR变换


注意，低通滤波器中的RC无源网络需要进行RCCR变换，而其放大电路部分［图348(a)中的电阻Ra和Rb］不需要进行变换。
图348(b)所示滤波器的分析过程与SallenKey低通滤波器相同，在运放为理想的情况下，可分析出其转移函数为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=Ks2s2+s1RH11CH1+1CH2+1-KRH2CH1+1RH1RH2CH1CH2

(3449)
式中，K=1+Ra/Rb为负反馈支路中电阻Ra和Rb的分压系数。
【例343】用RCCR变换法综合实现如图348(b)所示的SallenKey高通滤波器，要求其指标分别为ωp=104rad/s，Qp=1/2。
解: ① 对应低通滤波器的设计
选图348(a)所示的SallenKey低通滤波器，以SallenKey低通滤波器设计方案1进行设计，其指标要求与例341相同，分析过程详见例341，所设计的元件参数分别为CL1=CL2=1nF，RL1=RL2=Rb=100kΩ，Ra=58．6kΩ。
② 高通滤波器的设计
由图348(a)所示的SallenKey低通滤波器通过RCCR变换得到的SallenKey高通滤波器如图348(b)所示。
根据式(3447)和式(3448)的变换条件可以求得图348(b)所示电路的元件值为
RH1=RH2=1CLωp=110-9×104=105(Ω)=100(kΩ)

CH1=CH2=1RLωp=1105×104=10-9(F)=1(nF)
利用Multisim对所设计的电路进行仿真，相应仿真电路及结果如图349所示。由其幅频特性图测出通带增益为4．006dB，对应20lgK=20lg1．586=4．006dB； 测出截止频率(增益为4．006-3=1．006dB处对应频率)约为1．588kHz，对应ωp=104rad/s，因此该设计满足了设计需求。


图349例343所设计电路的仿真电路及仿真结果




图3410带阻有源RC滤波器


3．4．4带阻有源RC滤波器的分析与设计
将双T形RC网络引入图341所示电路中可得到如图3410所示的带阻有源RC滤波器，又称为有源RC陷波滤波器。
图3410中，R1=R2，R2=Rβ，C1=2C，C2=αC，K=1+RaRb，在运放为理想的情况下，该滤波器的转移函数为
H(s)=Vo(s)Vi(s)=K1+2βs2+1R2C2s2+s4-2K+2(α+β)RC(1+2α)+1+2βR2C2(1+2α)(3450)
为便于对比分析，将式(3229)所示的二阶带阻滤波器转移函数的一般形式重写如下： 
H(s)=a2s2+a0s2+b1s+b0=H0s2+ω2zs2+ωpQps+ω2p(3451)
对比式(3448)和式(3449)，可得该滤波器的设计方程为
ωz=1RC(3452)
ωp=ωz1+2β1+2α=1RC1+2β1+2α(3453)

Qp=(1+2α)(1+2β)4-2K+2(α+β)(3454)

H0=K1+2β(3455)
若取β=0，即去除电阻R2，此时ωp<ωz，则图3410所示电路为低通陷波滤波器，将β=0代入式(3452)、式(3453)、式(3454)和式(3455)，可求得β=0时该滤波器的设计公式为
R=1ωzC(3456)

α=12ω2zω2p-1(3457)

C2=αC(3458)

K=2+α-12Qp1+2α(3459)
若取α=0，即去除电容C2，此时ωp>ωz，则图3410所示电路为高通陷波滤波器，将α=0代入式(3452)、式(3453)、式(3454)和式(3455)，可求得α=0时该滤波器的设计公式为
R=1ωzC(3460)

β=12ω2pω2z-1(3461)

R2=R/β(3462)

K=2+β-12Qp1+2β(3463)

【例344】试设计如图3410所示有源RC陷波滤波器，要求Qp=10，ωp=2×105rad/s，ωz=105rad/s，设C=500pF。
解: 由于ωp>ωz，因此该滤波器为高通陷波滤波器。
取α=0，即去除电阻C2，基于式(3460)、式(3461)、式(3462)和式(3463)的设计公式得各元件参数分别为R=20kΩ，β=1．5，R2=13．33kΩ，K=3．4，若取Ra=24kΩ，则Rb=10kΩ。按照图3410的要求R1=R/2，C1=2C得R1和C1分别为R1=10kΩ，C1=1000pF，所设计电路如图3411所示。


图3411例344所设计电路


利用Multisim对所设计的电路进行仿真，相应仿真电路及结果如图3412所示。由其幅频特性图测出该滤波器的零点频率约为15．884kHz，对应ωz=105rad/s，极点频率约为31．768kHz，对应ωp=2×105rad/s，因此该设计满足了设计需求。


图3412例344所设计电路的仿真电路及仿真结果


习题三
31假设题图31所示电路中的运算放大器为理想的，求解其输出电压Vo(s)。
32假设题图32所示电路中的运算放大器为理想的，试求解该电路的转移函数Vo(s)/Vi(s)，并求该电路极点频率ωp的无源灵敏度。



题图31




题图32

33反相加法器电路如题图33所示，其中的运算放大器符合单极点模型，求输出电压Vo(s)的表达式。
34同相放大器如题图34所示，R1=100Ω，R2=1MΩ，运算放大器符合单极点模型A(s)=A0ω0s+ω0，其中运算放大器的直流增益A0=104，3dB带宽ω0=100rad/s。求该同相放大器的闭环直流增益和带宽。



题图33





题图34


35求题图35所示滤波电路的转移函数、幅频特性和相频特性的表达式，并确定该滤波电路的类型。


题图35


36试设计SallenKey二阶低通滤波器，要求fp=2kHz，Qp=10。①取R1=R2，C1=C2； ②取C1=C2，K=2。
37试设计SallenKey二阶低通滤波器，并求ωp和Qp对各无源元件的灵敏度。选取Qp=10，ωp=100rad/s，C1=C2=1μF。
38试设计Delyiannis二阶带通滤波器使其转移函数为
H(s)=-2×104ss2+2000s+108

设滤波器中运算放大器的同相输入端直接接地，两电容值相同。
39用RCCR变换法综合高通滤波器函数
H(s)=Ks2s2+s+100
要求采用SallenKey高通滤波电路来实现，SallenKey低通滤波器设计时取R1=R2=R，C1=C2=C。